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NÚMEROS IRRACIONALES

No todos los números pueden expresarse como fracción, cuando eso sucede nos referimos a números ´irracionales´, al conjunto de ellos se lo simboliza con ‘I ‘. Un número irracional famoso es el número 𝜋 (phi), que representa cuantas veces está contenido el diámetro de una circunferencia en la longitud de la misma

Longitud de la circunferencia de diámetro D: 𝜋. 𝐷 → 𝜋 = 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝐷

D Por ser 𝜋 , un número irracional no tiene un número contable de cifras decimales, puede expresarse aproximadamente según las condiciones del problema a resolver mediante π≈3,1416 Otro número irracional importante es el número ´e´, base de los logaritmos naturales, para hallar su valor aproximado se coloca en la calculadora e1

Otros ejemplos de números irracionales :√2 , -√53

, √3

Podemos asegurar, entonces, que existen dos grandes grupos de números que forman el conjunto de los números “reales” IR, los números Racionales y los Irracionales Reales (IR)

Radicación en el conjunto de números reales:

Se llama radical a : √𝑎𝑛

= r , nεN y n >1 n : índice de la raíz

a : radicando

r: raíz

Racionales (Q)

Enteros (Z)

Irracionales (II)

Naturales

(IN)

Enteros (Z)

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√𝒂 = 𝒏

r si rn = a

Para tener en cuenta:

Si el índice es par, el radicando sólo puede ser un número real positivo o cero y

la raíz será un número real no negativo

Si el índice es impar, el radicando puede ser cualquier número real y la raíz

tendrá su mismo signo

Los radicales cumplen las mismas propiedades de la potencia ya que pueden

expresarse como exponente fraccionario

( √𝑎𝑛

= 𝑎1𝑛)

Coloca Verdadero (V) o Falso(F), en caso de ser F dar la respuesta correcta

1- √9 = ± 3

2- √−4 =-2

3- −√49 = - 7

4- √− 643

= no es posible

5- √𝑎64 = 𝑎

46

6- √2 ε Q

7- (−4 − √25) ε I

Expresar como potencia de exponente fraccionario:

a) √𝑎43

b) √2−15

c) √3

5

Expresar como radical:

a) 𝑎72

b) (−2)13

c) (4 + 𝑎)25

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Completa el siguiente cuadro:

Propiedades de la radicación:

La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y la división, siempre

que sea posible (es decir que tenga solución en el conjunto de números reales)

√𝒂. 𝒃 𝒏

= √𝒂𝒏

. √𝒃𝒏

Ejemplos:

1. √64.9 = √64.√9 → √576 = 8.3= 24

2. √−8: 273

= √−83

: √273

= -2/3

3. √(−4). (−25) ≠√−4.√−25 se debe resolver: √(−4). (−25) = √100 = 10

Si es distributiva, es asociativa

√𝒂𝒏

. √𝒃𝒏

= √𝒂. 𝒃𝒏

Ejemplo:

√2.√8 = √16 = 4

La radicación 𝐧𝐨 es distributiva respecto de la adición y sustracción

√𝒂 + 𝒃𝒏

≠ √𝒂𝒏

+√𝒃𝒏

Signo del radicando Índice Signo del resultado Ejemplo

Positivo par

Positivo impar

Negativo impar

Negativo par

√0𝑛

=

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Raíz de otra raíz, es otra raíz cuyo índice es el producto de los índices dados

√ √𝒂𝒎𝒏

= √𝒂𝒏.𝒎

Ejemplo:

√√643

= √646

= 2

La potencia y la radicación pueden simplificarse con ciertas restricciones

√326= √3

3 ya que 3

26 = 3

13

Si el índice es par √𝒂𝒏𝒏= 𝒂

Ejemplo

√(−49)24 = √ −49 = 7, se debe colocar valor absoluto al radicando para que

la raíz exista

Coloca Verdadero (V) o Falso (F). Justifica

1. √36 + 81= 6 + 9

2. √(−9)2 = -9

3. Si 0<a<b →√𝑎3

< 𝑏13

4. √3:√12 = ½

Resuelve y expresa el resultado radical sin exponentes negativos

𝑎) √(𝑏−3)2 ..3

√1

𝑏

3.

b)√1

𝑏+1

𝑏(1+𝑏−2)

c)- (h-k) + (-1)3[9

24√

64

9−1ℎ −

1

4(√82

2)𝑘]

Resultado siempre positivo o cero

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d) √𝑥5( 2−𝑥−1)

𝑥 −2

𝑥−6

e)

f)

Extracción de factores del radical:

Es posible extraer factores si el exponente del radicando es mayor o igual que el

índice

Un método práctico es

si el radicando es numérico, se factoriza el coeficiente y se expresa como

producto de potencias donde el exponente de una de ellas debe ser el mayor

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múltiplo posible del índice, para extraer se divide el exponente múltiplo por el

índice

Ejemplo

√645

= √265 = √25. 2

5 luego 2.√2

5

si el radicando tiene parte literal, se descompone en producto de factores tal

que uno de ellos tenga exponente múltiplo mayor posible del índice, para

extraer se divide el exponente múltiplo por el índice

Ejemplos

1)√𝑎7𝑏−4𝑐3

=√𝑎6𝑎 𝑏−3𝑏−1𝑐3

=𝑎2𝑏−1 √𝑎 𝑏−1𝑐3

2) √27(𝑎 + 𝑏)5=√33(𝑎 + 𝑏)5= √323(𝑎 + 𝑏)4(𝑎 + 𝑏)= 3(𝑎 + 𝑏)2√3(𝑎 + 𝑏)

Extrae todos los factores del radical:

a)√𝑎3𝑏−6𝑐9

(𝑥+𝑦)5 d)√

750

147=

b)√𝑥8(𝑏+𝑐)7

𝑧−3(𝑏−𝑐)4 e)√(−2)4256

c)√1

𝑥5+2

1

𝑥+2

f)√42(−4)35

Introducir factores en el radical:

Para introducir factores al radical se multiplica el exponente por el índice

Ejemplo:

𝑐3(𝑥 + 1)𝑎−2 √𝑐2𝑎7(𝑥 + 1)3

= √𝑐9(𝑥 + 1)3𝑎−6𝑐2𝑎7(𝑥 + 1)3

=√𝑐11(𝑥 + 1)4𝑎3

Introducir factores al radical y operar

a)(1 + 𝑎)√1 +𝑎

𝑏 =

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b)𝑏2

𝑎√

𝑎

𝑏2+ 𝑎

4 =

c)𝑥3(2a+b)√𝑦(2𝑎+𝑏)

𝑥(2𝑎2+𝑏)=

Radicales semejantes

Son los que tienen el mismo índice y el mismo radicando

3√54

y -6√54

son semejantes

Determinar si los siguientes radicales son semejantes o no

a) √16 3

, √1443

b) √90𝑥6 , √902𝑥124

Operaciones con radicales

Adición y sustracción de radicales semejantes:

Para sumar o restar radicales éstos deben ser semejantes

3√𝑎 +17√𝑎 -2√25𝑎 = √𝑎(3 + 17 -10) = 10√𝑎 √25𝑎= 5√𝑎

Resuelve, expresando el resultado como valor exacto:

a)√2 + √200 -√72 =

b) √3 - √276

-√94

-√63

=

c) 31/5(1

3)2

5⁄ √35

: √95

d)1

2√𝑥7𝑎𝑏3

:(-2√𝑥2𝑎3

)

e) el perímetro de un rectángulo de lados (1 + √𝑎 ) y (5√𝑎) en cm

f) el perímetro de un triángulo isósceles de altura h: 3√2cm y lado desigual b: 2√3 cm

(Ayuda: En todo triángulo isósceles la altura divide al lado respecto de quien se traza

en su punto medio)

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Multiplicación y división de radicales

Multiplicación y división de igual índice:

Se aplica la propiedad asociativa con respecto a la multiplicación o división

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

en forma análoga para división

Ejemplo:

√𝑎45 √𝑎25

= √𝑎4𝑎25 = √𝑎65

= a√𝑎5

Resuelve expresando el resultado como valor exacto:

a) ( √2 − √8)2

b) ( √2 − √8)3

c) El área de las figuras planas del ejercicio e) y f)

Multiplicación y división de distinto índice:

Se debe encontrar un índice múltiplo menor entre los índices y luego se multiplica

al exponente y al índice por el resultado de dividir al índice común por el índice del

radical

Ejemplo:

√2𝑎34 √4𝑎56

= el menor múltiplo común entre 4 y 6 es 12

Por lo que 12:4=3 y 12:6 = 2

√2𝟑𝑎3.𝟑 4.𝟑

√4𝟐𝑎5.𝟐6.𝟐= √27𝑎1912

= 𝑎 √27𝑎712

Resuelve expresando el resultado como valor exacto

𝑎) (√50 − √80)√203

=

b) del área del trapecio isósceles

(√253

+ √500) 𝑐𝑚 H: altura

√163

cm √2 cm H: √2 cm

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Racionalización de denominadores:

Racionalizar denominadores significa eliminar los radicales del denominador utilizando

artificios convenientes

Nunca emplear potencias de exponente negativo

Si hay un solo término en el denominador: el objetivo es cancelar el radical

Ejemplos

1) 2

√5𝑎=

2

√5𝑎

√𝟓𝒂

√𝟓𝒂 =

2√5𝑎

√(5𝑎)2=

2√5𝑎

5𝑎 Se multiplicó y dividió por el mismo radical

2) 𝑎

2. √𝑏23 = 𝑎

2. √𝑏23

√𝒃𝟑

√𝒃𝟑 =

𝑎 √𝑏3

2. √𝑏33 = 𝑎 √𝑏

3

2.𝑏 Se multiplicó y dividió por un radical tal que el

exponente del radicando resulte múltiplo del índice

3) −3√8

√2𝑏75 = −3√23

√2𝑏75 √𝟐𝟒𝒃𝟑𝟓

√𝟐𝟒𝒃𝟑𝟓 =−6√2 √24𝑏35

√25𝑏105 = −6 √2528𝑏610

2𝑏2=

−3 √213𝑏610

𝑏2 =

−6 √23𝑏610

𝑏2

Si hay más de un término, se debe llevar a diferencia de cuadrados

Recordar: (a-b). (a+b) = a2 – b2

Ejemplos:

3

√5−√2 =

3

(√5−√2) (√𝟓+√𝟐)

(√𝟓+√𝟐) =

3.(√5+ √2

(√5)2−(√2)2

=3.(√5+ √2)

3 = √5 + √2

a-b multiplicamos y dividimos por a + b