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5
1En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo, la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos las fracciones para identificar valores numéricos que no son enteros.
NÚMEROS RACIONALES
REPASA LO QUE SABES1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.
7 −3 −19 11 15
2. Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5)
b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4)
c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5
d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)
3. Factoriza estos números como producto de números primos.
a) 180
b) 255
c) 330
4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.
IDEAS PREVIAS
❚❚ Números enteros.
❚❚ Operaciones con números
enteros.
❚❚ Divisibilidad.
❚❚ Máximo común divisor
y mínimo común
múltiplo.
Antes de las calculadoras electrónicas que podemos utilizar hoy en día, los matemáticos se servían de tablas y reglas de cálculo para agilizar la resolución de problemas.
Matemáticas en el día a día ][mac3e1
1 Números racionales
6
1. FRACCIONES
En un partido de baloncesto, el base del equipo local ha anotado 64 de los 80
puntos marcados por su equipo. Es decir, ha conseguido 64
80 de la puntuación total.
Utilizamos una fracción para representar el número de aciertos con respecto al total.
Una fracción es un cociente a
b de dos números enteros, donde b ≠ 0.
Todos los números que se pueden escribir como fracción reciben el nombre de números racionales.
Las fracciones 64
80 y
80
100 representan
el mismo número, es decir, el base tiene un 80 % de acierto. Son fracciones equivalentes.
También la fracción 4
5 es una
fracción equivalente a ellas; además, es una fracción irreducible, porque no puede simplificarse.
Se dice que una fracción m
n es irreducible si m.c.d. (m, n) = 1.
Aprenderás a…❚● Utilizar fracciones en diferentes contextos.
❚● Reconocer los números racionales.
Lenguaje matemáticoAl conjunto de los números racionales lo designamos por la letra .
Presta atención
Toda fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva.
Dos fracciones a
b y
c
d son
equivalentes si: a ⋅ d = b ⋅ c
Recuerda
`` Determina la fracción irreducible equivalente a esta otra: 200
225Solución
Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador:
m.c.d. (200, 225) = 25
Dividimos el numerador y el denominador por 25: =200
225
8
9
EJERCICIO RESUELTO
Comparación de fraccionesEn el siguiente partido que disputó el equipo local, el base consiguió 78 de los 96 puntos que obtuvo su equipo. Para saber en qué partido fue más efectivo,
comparamos las siguientes fracciones: 64
80y
78
96
Las reducimos a común denominador: = =64
80
384
480y
78
96
390
480
Como 384 < 390, resulta que = =64
80
384
480
390
480
78
96< , esto es:
64
80
78
96<
De este modo, el base fue más efectivo en el segundo partido.
Para comparar dos fracciones, se reducen a común denominador, y es menor aquella cuyo numerador es menor.
m.c.m. (80, 96) = 480
7
1Actividades
Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.
a) c)
b) d)
Halla la fracción equivalente a 35
91 cuyo numerador
es 5.
1
2
¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de
gastar 2
7 de su dinero, le quedan aún 15 €?
¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar 5
7
de su contenido, quedan 34 litros?
3
4
La capacidad de un vaso es 2
5 de litro, y la de una
botella es 1
3 de litro. ¿Cuál de los dos recipientes
tiene más capacidad?
Ordena de menor a mayor estas fracciones.
1
4
5
12−
11
48
15
36−
7
9−
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.
a) 512
403
512
401
512
402
512
404
b) 9 762
9 123
9 762
9 121
9 762
9 124
9 762
9 119
Dados tres números naturales, a, b y c, tales que
b < c, ¿qué fracción es mayor: a
b
a
co ?
Ordena de menor a mayor estas fracciones, sin reducirlas a común denominador.
35
31−
23
18
7
11−
11
13
5
6
7
8
9
Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.
a) 23
5 b)
19
8 c)
8
9
10
`` ¿Cuánto pesaba una pizza si, después de comernos cinco octavos de la misma, quedan 150 g?
Solución
Después de comernos 5
8 de pizza, quedan
3
8 de la
misma.
Entonces 3
8 de la pizza pesan 150 g, y
1
8 pesa:
150 : 3 = 50 g
La pizza completa, esto es, ocho octavos de pizza, pesa 50 ⋅ 8 = 400 g.
EJERCICIO RESUELTO
`` Sitúa la fracción 29
12 entre dos números enteros
consecutivos.
Solución
Situamos el numerador, 29, entre dos múltiplos consecutivos del denominador: 24 < 29 < 36
Dividimos estas desigualdades por el denominador y obtenemos el siguiente resultado:
24
12
29
12
36
12< <
En conclusión: 229
123< <
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO
Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones ++
a
b
a
by
1
1?11
1 Números racionales
8
2. OPERACIONES CON FRACCIONES
Andrea ha plantado tomates, pimientos y patatas en su huerta. Si los tomates
ocupan 1
6 del total de la superficie de la huerta, y los pimientos,
7
10, podemos
hallar la fracción de la huerta que Andrea destinó a las patatas.
Calculamos la extensión dedicada a los tomates y a los pimientos sumando las
fracciones correspondientes: + = + = =1
6
7
10
5
30
21
30
26
30
13
15
Por tanto, la fracción de la superficie de huerta destinada a las patatas es la diferencia
del total menos la fracción calculada, es decir: = =113
15
15
15
13
15
2
15− −
Si después de una tormenta, solo 2
3 de la superficie dedicada a los pimientos se
mantiene practicable, entonces = =2
3
7
10
14
30
7
15⋅ es la fracción de la huerta de la
que Andrea podrá recoger pimientos.
El día de la cosecha, Andrea avisa a 5 amigos, de modo que cada uno se encargará
de recoger los pimientos de = =:7
156
7
15
1
6
7
90⋅ de la superfice de la huerta.
❚❚ La suma de fracciones es la fracción que se obtiene reduciendo a común denominador y sumando los numeradores.
❚❚ El producto de fracciones es la fracción que se obtiene multiplicando los numeradores y los denominadores.
❚❚ El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera por la fracción inversa de la segunda.
Aprenderás a…❚● Realizar operaciones con fracciones.
Presta atención
El producto de una fracción por su fracción inversa es igual a la unidad.
3
4⋅
4
3=
12
12= 1
❚❚ Para sumar fracciones, debemos reducirlas a común denominador; para ello podemos utilizar el mínimo común múltiplo.
❚❚ Cuando restamos fracciones, sumamos a la primera la opuesta de la segunda.
Recuerda
`` Calcula: 3
7−
6
7:
2
3⋅5
6+
6
4−
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
Solución
Si las operaciones con fracciones aparecen combinadas, aplicamos la misma jerarquía que en el caso de los números naturales y enteros.
EJERCICIO RESUELTO
mac3e2
9
1Actividades
María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?
Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen 9
10 de la superficie
cultivable; ¿cuál es la superficie total de la finca?
¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?
Calcula y simplifica.
a) 1 :2
5−
1
10
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
784⋅784
9 b) −
3
8+ 2 ⋅ 3−
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
3:
1
6
Efectúa las siguientes operaciones.
a) +2
9
3
4
1
2
1
3
1
4⋅ − ⋅ c)
1
7+
2
3⋅
3
4+
1
5⋅
3
2−
5
7
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + 2
b) 1
2+
5
6⋅
3
10− 3−
4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ d)
5
3⋅
2
4−
2
3−
5
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
2
7
17
18
19
20
21
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.
a) +5
3
4
7 c) +
3
2
3
7
3
4− e)
3
4
8
5⋅ g) 2
4
7:
b) 7
9
2
3− d) +
7
4
1
6
4
3− f)
9
5
6
5: h) 3
7
9⋅
Realiza las operaciones y simplifica.
a) 1111
2222
1111
4 444+ c)
765908
10
5
765908⋅
b) 5
6
9
20− d)
100
77
10
11:
¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?
¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?
¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?
12
13
14
15
16
DESAFÍOUn depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda 4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?
22
En tu vida diaria
Cuando depositas en un banco una cantidad de dinero durante cierto tiempo, este devuelve al cliente la cantidad depositada más unos intereses. El interés I que produce un capital C depositado durante un tiempo t (expresado en años) a un interés del i % anual es:
I = C ⋅ i
100
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ t
1 Números racionales
10
3. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES
Tipos de números decimalesPodemos expresar cualquier fracción como un número decimal si dividimos el numerador por el denominador.
❚❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición factorial solo los factores primos 2 o 5, el número decimal que resulta es exacto.
= =75
100
3
40,75
Es un número decimal exacto porque tiene un número limitado de cifras decimales.
4 = 22
❚❚ Si el denominador de la fracción irreducible no contiene en su descomposición los factores 2 y 5, el número decimal que resulta es un número decimal periódico puro.
10
15
2
30,666… 0,6= = =
Es un número decimal periódico puro porque el período comienza después de la coma.
❚❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición otros factores primos además del 2 o del 5, decimos que el resultado es un número decimal periódico mixto.
75
18
25
64,1666… 4,16= = =
Es un número decimal periódico mixto porque tiene anteperíodo.
6 = 2 ⋅ 3
Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.
Fracciones generatricesSi conocemos un número decimal exacto o periódico, podemos hallar la fracción cuya expresión decimal coincide con dicho número.
❚❚ Si el número decimal es exacto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión decimal y despejamos.
==
= =
a
a
a
0,35
100 35
35
100
7
20
❚❚ Si el número decimal es periódico puro, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el período y restamos las igualdades para despejar.
→
=
=
=
= =
b
b
b
b b
1,34
100 134,34
1,34
99 133133
99
−
❚❚ Si el número decimal es periódico mixto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el anteperíodo y el período. Volvemos a multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número decimal. Restamos las igualdades obtenidas y despejamos.
→
=
=
=
= = =
c
c
c
c c
0,385
1000 385,85
10 3,85
990 382382
990
191
495
−
Todo número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción. La fracción irreducible equivalente a ella se denomina fracción generatriz.
Aprenderás a…❚● Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.
11
1Actividades
Halla la expresión decimal de estas fracciones.
a) 8
3 e)
15
12−
b) 56
21− f)
35
90
c) 28
70 g)
143
220
d) 7
9 h)
3086
495
Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.
a) 9
20 e)
15
90
b) 33
77− f)
908
100
c) 5
6 g)
45
15−
d) 2
9 h)
17
50
Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.
a) 3,26 f) 3,578 312 831 283…
b) 54,060 060 060… g) 87,567 01
c)
2,36 h)
4,08
d) 53,68 i)
21,3
e) 28,5
j) 0,972
Halla la fracción generatriz de estos números.
a) 7,34 f) 7,53−
b) −2,55 g)
1,19−
c) 0,000 3 h) 1,241
d)
1,4 i)
2,009
e) 2,3 j) 0,38
Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) −3,004 444… e) 4,121 212…
b) 0,013 333… f) 2,365 656…
c) 6,324 324… g) 25,84
d) 7,18 h) 13,555…
23
24
25
26
27
Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.
a) 3,27
b) 6,032 121 212…
c) 24
d) 5,370 371 372…
Ordena de menor a mayor estos números decimales.
0,34
0,3 0,330,34 0,34 0,3
¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?
28
29
30
Determina la expresión decimal del valor de 2a − b,
si =a 1,276 y
=b 0,473 .
Dados los números =p 3,412 y
=q 1,7, calcula:
a) p ⋅ qb) p : q
Expresa como fracción irreducible el resultado de
esta operación: �
�
0,8
0,361,4−
31
32
33
`` Calcula la suma de los números decimales
0,176
y 0,437 .
Solución
Calculamos sus fracciones generatrices:
=
=
=
=
=
a
a
a
a
a
0,176
1000 176,6
100 17,6
900 159
159
900
−
=
=
=
=
=
b
b
b
b
b
0,437
1000 437,7
100 43,7
900 394
394
900
−
Sumamos las fracciones: + =159
900
394
900
553
900
Obtenemos, así, la expresión decimal del resultado:
553
9000,614=
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO¿Son iguales los números
5,9 y 6? ¿Y los números
7,59 y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fracciones generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?
34
1 Números racionales
12
4. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
Veamos cómo representar los números racionales sobre la recta numérica.
Los números 2 , 3 , 5 , no son racionales, es decir, no podemos expresarlos en forma de fracción y, por tanto, tampoco es posible escribir su expresión decimal como números decimales exactos o periódicos.
Otro número que no podemos expresar como número racional es el cociente entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro, es decir, el número π.
❚❚ Los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras sin ninguna periodicidad reciben el nombre de números irracionales.
❚❚ A los números que son racionales o irracionales se les llama números reales. Estos números se representan en la recta real.
IntervalosLos números 2,1;
2,5 ; 2,68697… y 2,999 están comprendidos entre 2 y 3. Decimos que estos números pertenecen al intervalo abierto (2, 3), es decir, al conjunto formado por los números reales mayores que 2 y menores que 3.
Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números denominados extremos.
Hay diferentes tipos de intervalos dependiendo de si los extremos están incluidos o no. También se pueden expresar mediante intervalos los conjuntos de valores mayores o menores que un número.
Intervalo cerrado Intervalos abiertos
[a, b]
a ≤ x ≤ b
(a, b)
a < x < b
(a, +∞)
x > a
(−∞, b)
x < b
–3 –2 –1 0 1 2 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 –1 0 1 2 3
[−2, 1]
−2 ≤ x ≤ 1
(3, 5)
3 < x < 5
(4, +∞)
x > 4
(−∞, 2)
x < 2
Intervalos semiabiertos o semicerrados
[a, b)
a ≤ x < b
(a, b]
a < x ≤ b
[a, +∞)
x ≥ a
(−∞, b]
x ≤ b
0 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 1 2 3 4 5
[1, 3)
1 ≤ x < 3
(−4, −2]
−4 < x ≤ −2
[0, +∞)
x ≥ 0
(−∞, 4]
x ≤ 4
Aprenderás a…❚● Representar números racionales.
❚● Reconocer los distintos tipos de números reales.
❚● Definir y expresar intervalos de números reales.
Presta atención
Al realizar operaciones con números irracionales, podemos obtener números racionales.
2 − 2 = 0
2 ⋅ 2 = 2
Lenguaje matemático❚❚ El conjunto de los números reales lo denotamos con la letra .
7
π4 15
0,51
1–8–
25–
❚❚ Para expresar que el conjunto de los números reales no tiene fin, utilizamos el símbolo del infinito: ∞
mac3e3
13
1Actividades
Representa en la recta real estos números racionales.
a) 4
9 b)
5
7 c)
3
4
35
Representa en la recta real estos números racionales.
a) 12
5 e) −
5
4
b) 25
4 f) −
13
5
c) 37
8 g)
3
7
d) −2
9 h) −
14
3
¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?
0 1
36
37
Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:
a) −2,3 e) 1,254
b) 7 f) π + 2
c) −4,32 g) 4 5
d) 900 h) 6 − 3
Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.
a) 4,131 311 131 111 111 3…
b) 1,234 567 892 435 678 9…
c) 2,010 010 001 000 010 0…
d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4…
e) 0,235 711 131 719…
f) 3,123 412 341 234…
¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
a) Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.
b) La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
c) Todo número decimal periódico es un número racional.
Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.
a) [0, 2) e) [4, +∞)
b) (1, 3] f) (−∞, 3)
c) (−1, 2) g) (−∞, 1]
d) [2, 5] h) (−3, +∞)
Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:
a) 1 ≤ x < 4
b) 3 < x < 5
c) −4 < x ≤ 1d) 13 ≤ x ≤ 15
Describe mediante desigualdades los intervalos representados.
a) c) 0 1 0 1
b) d) 0 1 0 1
38
39
40
41
42
43
44
DESAFÍO
¿Es un número racional el resultado de la operación 1+ 6 + 5 + 16 ?45
`` Representa 14
3 en la recta real.
Solución
Como 12 < 14 < 15, dividimos las desigualdades por el
denominador y resulta: 12
3<
14
3<
15
3
Así, 4 < 14
3 < 5; por tanto, podemos descomponer la
fracción en esta suma: 14
3= 4 +
2
3
3 4 5 6 714
3
EJERCICIO RESUELTO
1 Números racionales
14
5. APROXIMACIONES
Si observamos en un folleto publicitario que el precio de una piruleta es 0,90 €; el de un balón, 4,95 €; y el de un abrigo, 99,90 €; inmediatamente pensamos que cuesta la piruleta, 1 €, el balón, 5 € y el abrigo, 100 €. Damos un precio aproximado.
Habitualmente usamos dos métodos para aproximar: el truncamiento y el redondeo.
Truncar un número decimal a un determinado orden consiste en eliminar todas las cifras decimales de los órdenes inferiores a él.
Redondear un número decimal a un determinado orden consiste en:
❚❚ Si la cifra decimal del orden inferior es menor que 5, truncar el número a ese orden decimal.
❚❚ Si la cifra decimal del orden inferior es mayor o igual que 5, truncar el número a ese orden decimal y sumarle una unidad decimal del mismo orden.
Error absoluto y error relativoCuando decimos que los precios son 1 €, 5 € y 100 €, usamos aproximaciones que difieren de los precios reales en 0,10 €, en 0,05 € y en 0,10 €, respectivamente. Estos valores miden el error absoluto cometido en cada caso.
Si el valor a es una aproximación del número x, la diferencia en valor absoluto de ambos números se denomina error absoluto.
Error absoluto = | x − a |
Podemos observar que el error absoluto que cometemos al aproximar el precio de la piruleta y del abrigo coincide: 0,10 €. Para comparar el error cometido según el número que hemos aproximado en cada caso, calculamos el error relativo:
| 0,90−1|
| 0,90 |=
0,1
0,9= 0,11…→ 11%
| 99,90−100 |
| 99,90 |=
0,1
99,9= 0,001…→ 0,1%
Según los resultados que hemos obtenido, deducimos que el error cometido al aproximar el precio de la piruleta es relativamente mayor que el de la aproximación que hicimos para el abrigo.
El error relativo cometido al emplear una aproximación, a, de un número, x, es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número. Se expresa como porcentaje.
Error relativo = | x − a |
| x |
Aprenderás a…❚● Hallar la aproximación por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.
❚● Calcular el error absoluto y relativo cometido al aproximar números.
Al número de cifras que se conocen con certeza más una de cuyo valor no se está seguro lo denominamos cifras significativas.
0,0305
Tiene 3 cifras significativas porque hay 3 cifras decimales contadas desde la primera no nula: 3, 0 y 5
Lenguaje matemático
El valor absoluto de un número real, x, lo denotamos por | x |, y es el mismo número, si es positivo, y el opuesto, si es negativo.
| 5 | = | −5 | = 5
Recuerda
`` Halla las aproximaciones por truncamiento y por redondeo a las décimas y a las unidades de los precios del ejemplo anterior.
Solución
Truncamiento a las décimas
Redondeo a las décimas
Truncamiento a las unidades
Redondeo a las unidades
0,90 0,9 0,9 0 1
4,95 4,9 5 4 5
99,90 99,9 99,9 99 100
EJERCICIO RESUELTO
15
1Actividades
Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.
4,0725 7,34 12,78
Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es, respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?
La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si aproximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.
Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0,46. ¿Se trata de una aproximación por exceso o por defecto?
46
47
48
49
Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0,48 por su aproximación por redondeo a las décimas.
Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número 6
11. Calcula el error
absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos es mejor aproximación?
Escribe una aproximación del número 7,3
de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación sea menor que una centésima.
Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegurarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona tu respuesta.
50
51
52
53
Decimos que un número, a, obtenido al truncar o redondear otro número, b, es una aproximación por defecto si a < b, y que, es una aproximación por exceso cuando a > b.
Lenguaje matemático
`` Halla el error absoluto que se comete al sustituir el número 0,57 por el
número 0,6.
Solución
Calculamos la fracción generatriz de ambos números:
0,57 =57
99=
19
33 0,6=
6
9=
2
3
Hallamos el error absoluto cometido: x − a =19
33−
2
3=
19− 22
33=
3
33=
1
11
EJERCICIO RESUELTO
Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).
54
Investiga
16
¿QUÉ1 tienes que saber?
Calcula: 1+3
5⋅2
7−
1
3:4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1+3
5⋅
2
7−
1
3:4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅
2
7−
1
3⋅5
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅2
7−
5
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= 1+3
5⋅
24
84−
35
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅ −
11
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−
33
420=
420
420−
33
420=387
420=
129
140
= 1+3
5⋅
24
84−
35
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅ −
11
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−
33
420=
420
420−
33
420=387
420=
129
140
Simplificamos el resultado.
Para sumar, reducimos a común denominador.
Operaciones con fraccionesTen en cuentaPara realizar operaciones combinadas con fracciones:
1 Se resuelven los paréntesis.
2 Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen.
3 Se resuelven las sumas.
Para dividir, multiplicamos por la fracción inversa.
Determina las aproximaciones a las décimas por redondeo y por truncamiento de 1,6
. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en cada caso.
Aproximación Error absoluto Error relativo
Por redondeo 1,75
3−
17
10=
1
30
5
3−
17
10
5
3
=
1
305
3
=1
50= 0,02 = 2%
Por truncamiento 1,65
3−
16
10=
1
15
5
3−
16
10
5
3
=
1
155
3
=1
25= 0,04 = 4%
AproximacionesTen en cuentaSi a es una aproximación del número x:
❚❚ Error absoluto = | x − a |
❚❚ Error relativo = | x − a |
| x |
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.
Halla la fracción generatriz de estos números racionales.
a) 1,234 b) 1,6
c) 2,36
a = 1,234
1000a = 1234
a =1234
1000=
617
500
b = 1,6
10b = 16,6
− b = 1,6
9b = 15
b =15
9=
5
3
c = 2,36
100c = 236,6
−10c = 23,6
90c = 213
c =213
90=
71
30
Fracción generatrizTen en cuenta❚❚ Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.
❚❚ La fracción irreducible equivalente a un número decimal exacto o periódico se denomina fracción generatriz del número decimal.
a) b) c)
17
Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 3−2
5:
1
5+
3
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
b) 5
6−
3
2+ 1 :
1
4−
4
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
c) 5
4:
2
3+
5
6
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
4
5−5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
d) 3
5+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5− 2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
2
3+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
6
10+ 3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
e) 6
9+
7
4−
3
2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
1
6+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅
4
5− 2 +
1
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
f) 2
10+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
3
18−
1
5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
9
2−
9
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
12
8− 8
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Los 2
5 de los alumnos de un centro escolar hacen
uso del servicio de comedor.
Calcula el número de alumnos matriculados en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.
Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?
Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?
62
63
64
65
Fracciones
Halla la fracción equivalente a 2
89 cuyo numerador
es 100.
Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.
216
306
7
9
448
576
3
5
115
184 12
1784
140
5
8
Halla la expresión irreducible de tres números
racionales situados entre 4
7 y 5
7.
Ordena las fracciones de menor a mayor.
a) 800
241−
365
241−
214
241
41
241
7022
241
b) −103
200
103
789−
103
82
103
734
103
3668
c) −3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15
Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.
a) 3
8+
2
5⋅15
4 c)
46
51⋅
6
23−
4
17:
3
34
b) 15
40−
9
8:
1
5 d)
3
8⋅
4
27−
12
13:
1
26
Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.
a) 2
9+
5
12⋅16
27 c)
13
15−
3
25⋅
5
18
b) 2
9+
5
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
16
27 d)
13
15−
3
25
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
5
18
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 5 +2
3⋅
4
9−
1
3:
3
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
b) 1
2−
1
8⋅
5
6+
2
3:
4
7
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
c) 3
4−
1
5⋅
7
3−
1
3:
1
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
55
56
57
58
59
60
61
Actividades Finales 1
18
1 Números racionales
Fracciones y números decimales
Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.
a) −7
8 d)
37
100
b) 13
15 e)
8
9
c) 8
11 f)
1
60
¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se
obtiene al expresar en forma decimal 1583
37?
Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
FracciónFracción
irreducibleFactorización
del denominadorTipo de decimal
528
3 150O 3 ⋅ 52 ⋅ 7 O
612
150O O Exacto
91
693
13
99O O
285
450O O O
Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.
a) 0,72 d) 8,45
b) 4,7
e) −3,36
c) −1,87 f) 2,965
Dados los números a = 3,412 y b = 1,7
, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.
a) a + b
b) a − b
c) a ⋅ b
d) b
a
Indica razonadamente si la expresión:
2,87+ 0,41
corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:
2,8+ 0,2
69
70
71
72
73
74
Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos del resto ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?
De los 305 m2 de una huerta, 2
3 se dedican al cultivo
de lechugas; 2
5 de lo que queda se reserva para
patatas, y en la superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?
Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?
66
67
68
`` De un depósito lleno se ha extraído la mitad del agua que contenía y, posteriormente, las tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del depósito si después de las extracciones aún quedan 15 litros?
Solución
Tras la primera extracción, en el depósito ha quedado la mitad del agua.
En la segunda extracción se saca:
3
4 de
1
2=
3
8
Luego, en el depósito queda:
1
2−
3
8=
4− 3
8=
1
8
Si 1
8 de la capacidad del depósito son 15 L, entonces la
capacidad total es 15 ⋅ 8 = 120 L.
EJERCICIO RESUELTO
19
¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.
Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece
el número 5 .
a) [2, 3] c) 5 , 3⎡⎣⎢ )
b) 5 , 3( ) d) (2,3; 3]
Escribe dos intervalos abiertos a los que pertenezca
el número −2,5.
Aproximaciones y errores
Halla las aproximaciones por redondeo y por
truncamiento a las centésimas del número 0,71 . Razona si se trata de aproximaciones por exceso o por defecto.
Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.
Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?
Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?
Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estuche.
¿En cuál de los dos productos ha conseguido un descuento mejor? Razona tu respuesta.
78
79
80
81
82
83
84
85
El 0,4
de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron
la enfermedad 104
181 de la población. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?
En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde
se vende el 0,1
. ¿Cuántas revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?
Números racionales e irracionales
Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.
7,2
3
4
π 2 + 4
− 81 14
5 2,345
75
76
77
`` En la clase de Omar pasó el examen de Biología
el 0,5
del total de alumnos, mientras que tres cuartas partes aprobaron el examen de inglés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase, sabiendo que son menos de 40?
Solución
La fracción generatriz correspondiente a 0,5
es 5
9.
Si N es el número de alumnos de clase, podemos decir
que los que aprobaron el examen de Biología son 5N
9,
y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de alumnos. Por tanto, N es múltiplo de 9.
Análogamente, también debe ser entero el número de
alumnos que pasó el examen de Inglés, que es 3N
4, lo
que implica que N es múltiplo de 4.
El único número menor que 40 que es múltiplo de 9 y de 4 es el 36.
En consecuencia, en la clase de Omar hay 36 alumnos.
EJERCICIO RESUELTO
Actividades Finales 1
1 MATEMÁTICAS VIVAS
20
RELACIONA
Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.
a. ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para clasificarlos.
b. ¿Por qué crees que es necesario redondear las cantidades que aparecen en la factura?
2
COMPRENDE
Observa la factura del teléfono anterior.
a. ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
b. ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.
c. ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
RESUELVE
d. Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.
1
ARGUMENTA
UTILIZA LAS TIC
En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los servicios contratados y el consumo realizado durante el período de facturación. El importe total en euros de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.
COMUNICA
PIENSA Y RAZONA
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
21
1Interpretación de facturas
REFLEXIONA
El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.
Móvil 1
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 111111111 02 min 09 s 0,6372
05-11-2014 / 10:45 222222222 05 min 48 s 1,7190
….………………… …………… …...…….. …………
30-11-2014 / 17:56 999999999 04 min 22 s 1,2942
Total 9 llamadas 38 min 39 s 11,4545
Móvil 2
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
04-11-2014 / 22:38 111111111 04 min 12 s 1,2448
15-11-2014 / 12:41 222222222 06 min 14 s 1,8474
….………………… …………… …...…….. …………
27-11-2014 / 09:26 555555555 00 min 28 s 0,1383
Total 5 llamadas 17 min 41 s 5,2397
Llamadas internacionales (desde telf. fijo)
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 +33123456789 05 min 22 s 2,7188
05-11-2014 / 10:45 +39123456789 01 min 06 s 0,5573
30-11-2014 / 17:56 +33123456789 06 min 45 s 3,4150
Total 3 llamadas 13 min 13 s 6,6911
a. Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.
b. ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?
3
RESUELVE
ARGUMENTA
TRABAJO
COOPERATIVO
22
1 Números racionales
La espiral que aparece en la figura se denomina espiral de Teodoro de Cirene
y proporciona un modo de representar los números 2 , 3 , 4 , 5 …
Partiendo de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad,
obtenemos, por el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa mide 2 .
Construyendo un nuevo triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 ,
deducimos que la hipotenusa mide 3 .
Repitiendo este proceso, generamos la espiral y podemos obtener geométricamente la medida exacta de segmentos cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
También es posible reproducir este proceso sobre la recta real para representar gráficamente números irracionales
del tipo n .
Sobre el intervalo [0, 1] dibujamos un segmento perpendicular de longitud 1 para formar un triángulo rectángulo
isósceles. Así, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide 2 .
Trasladamos con un compás la longitud de la hipotenusa sobre la recta real
y repetimos el proceso para formar un triángulo rectángulo cuyos catetos
midan 2 y 1 y cuya hipotenusa, por tanto, mida 3 . Reiterando el proceso,
podemos representar cualquier número irracional de la forma n .
AVANZA
A1. Representa los números 5 y 17 sobre la recta real.
A2. Representa los números 27 y 38 sobre la recta real.
Representación gráfica de números irracionales tipo n
Para comparar fracciones sin reducirlas a denominador común, se pueden obtener sus expresiones decimales (o una aproximación de las mismas) y compararlas.
Por ejemplo, si queremos comparar 17
36 y
9
10, procedemos del siguiente modo:
17
36<
18
36=
1
2= 0,5 y
9
10= 0,9
���
����������������������������������������������
→ 0,5 < 0,9 →17
36<
9
10
Otra estrategia para ordenar dos fracciones consiste en efectuar el cociente de ambas y compararlo con la unidad.
Por ejemplo, para ordenar 13
24 y
26
27, hay que proceder así:
13
2426
27
=13 ⋅27
24 ⋅26=
9
16< 1→ El numerador es menor que el denominador →
13
24<
26
27
CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones.
a) 1
4 y
3
10 b)
99
200 y
51
90 c)
11
20 y
30
99
CM2. Utiliza la técnica explicada para comparar estas fracciones.
a) 36
77 y
18
49 b) 25
21 y
15
14 c)
54
65 y
45
52
1 2
1
1
0
3
3
2
2
10
1 1
2
3
3
2
2
CÁLCULO MENTAL Estrategia para COMPARAR FRACCIONES
17
36<
18
36=
1
2= 0,5 y
9
10= 0,9
���
����������������������������������������������
→ 0,5 < 0,9 →17
36<
9
10
