Ondas Guíadas

Alfonso Zozaya

30 de abril de 2009

Índice

Índice 11. Introducción 1

1.1. Planteamiento del problema ideal, 3.

2. Clasificación de las soluciones 72.1. Ondas TEM, 7 –2.1.1. Solución, 7 . —2.2. Ondas TE o H, 8 –2.2.1. Solución, 8 . —2.3. OndasTM o E, 9. —2.4. Solución, 10. —2.5. Estimación de la solución del problema real, 12. —2.6.Atenuación, 12. —2.7. Cálculo de la atenuación αC por pérdidas en el conductor, 14. —2.8.Cálculo de la atenuación αD por pérdidas en el dieléctrico, 16.

3. Resumen de fórmulas 174. Cable coaxial 17

4.1. Onda de voltaje, 19. —4.2. Onda de corriente, 19. —4.3. Impedancia característica, 19. —4.4. Atenuación del cable coaxial, 19 –4.4.1. Atenuación debido al conductor, 20. –4.4.2. Atenuacióndebido al dieléctrico, 20. –4.4.3. Atenuación resultante, 20 .

5. Guía de onda rectangular 215.1. Condición de propagación, 25. —5.2. Frecuencia de corte, 25. —5.3. Modo dominante, 25.

6. Guía de onda circular 266.1. Ondas TE, 28. —6.2. Ondas TM, 29. —6.3. Modo dominante, 31.

7. Relación entre la densidad de corriente superficial Js de un conductor perfectoy la densidad de corriente J en un conductor real 32Referencias 33

Índice alfabético 35

1. IntroducciónUna guía de onda está hecha de uno o más materiales de propiedades electromagnéticas

intrínsecas diferentes y consiste, en general, en una estructura con gran desarrollo longitudinaly una sección transversal uniforme. En la Figura 1 se muestran algunos tipos de guías deondas.

1

(a) Guía de onda rec-tangular (tomado dehttp://www.quinstar.com).

(b) Cable coaxial(tomado dehttp://www.cybermarket.co.uk).

(c) Microcin-ta (tomado dehttp://www.eecs.umich.edu).

(d) Fibra óptica (tomado dehttp://www.drakausa.com).

Figura 1: Ejemplos de guías de onda.

Una guía de onda puede tener la forma de una cañería, hecha de material conductor,rellena de aire, o vacía, como es el caso de una guía de onda rectangular –ver Fig. 1(a)–,o de una guía de onda circular; o podría consistir en dos regiones cilíndricas concéntricashechas de materiales dieléctricos con distintos índices de refracción, como es el caso de lafibra óptica –ver Fig. 1(d)–; o de un par de conductores cilíndricos formando lo que se conocecomo una línea bifilar. Existen otras estructuras de guíado, como el cable coaxial –Fig. 1(b)–,la microcinta –Fig. 1(c)–, etc.

Normalmente se puede asumir que los campos se propagan en el interior de la guía1 enla dirección longitudinal, mediante múltiples reflexiones en la superficie de separación de losmateriales que conforman la estructura. Esto es intuitivamente cierto cuando uno cualquierade los campos presenta una componente longitudinal (modos TE y TM), pero resulta muy

1Se entiende por interior de la guía la región ocupada por el material interno

2

difícil admitirlo cuanto los campos son completamente transversales (modo TEM).Los campos dentro de la guía se pueden considerar libres (de fuentes) y su estructura está

determinada por la solución de tantas ecuaciones homogéneas de Helmholtz como mediosdistintos formen parte de la guía, y de la conciliación de tales soluciones con las condicionesde borde que las Ecuaciones de Maxwell imponen en todas las interfaces entre los materiales.

En este documento nos ocuparemos del estudio de las guías de onda constituidas por unoo dos conductores y rellenas de un dieléctrico homogéneo.

Cuadro 1: Clasificacin de las ondas guiadasTEM TM TE

ez, hz = 0 hz = 0 ez = 0

En una guía de onda arbitraria, todos loscampos que tienen alguna posibilidad de pro-pagarse (en la dirección longitudinal) presen-tan, en general, una estructura que resulta decierta combinación lineal de tres familias dis-tintas de estructuras posibles. Estas estructu-

ras se denominan –ver Cuadro 1–:

TEM: ondas transverse electromagnetic: los campos eléctrico y magnético son ambostransversales a la dirección de propagación.

TE o H: ondas (modos) transverse electric: el campo eléctrico es transversal a la direc-ción de propagación.

TM o E: ondas (modos) transverse magnetic: el campo magnético es transversal a ladirección de propagación.

Para analizar estas soluciones (estructuras) partiremos de una guía de onda ideal, esto es:hecha con conductores ideales (σ → ∞) y rellena con un dieléctrico perfecto (ε′′ = 0). Elproblema que así resulta se reduce a resolver un problema con valores en la frontera en unasola región: en el dieléctrico, el cual se asume delimitado, como se ha indicado anteriormente,por uno o más conductores perfectos.

1.1. Planteamiento del problema ideal

Dadas la ecuaciones de Helmholtz para los campos E y H en el dieléctrico que rellena laguía:

∇2E + κ2E = 0 (1)∇2H + κ2H = 0 (2)

3

Pondremos el operador de Helmholtz en la forma:

∇2 + κ2 (3)⇓ (4)

∂2

∂x2+

∂2

∂y2︸ ︷︷ ︸∇2

T

+∂2

∂z2+ κ2 (5)

⇓ (6)

∇2T +

∂2

∂z2+ κ2 (7)

Descompondremos el campo eléctrico en sus componentes transversales y longitudinales, yasumiremos que la dependencia de estas componentes respecto de las coordenadas transver-sales (x y y) y longitudinal (z) es separable:

E = ET(x, y, z)︸ ︷︷ ︸eT (x,y)g(z)

+ Ez(x, y, z)︸ ︷︷ ︸ez(x,y)g(z)

az (8)

⇓ (9)E = eT (x, y)g(z) + ez(x, y)g(z)az (10)

Haremos lo propio con el campo magnético:

H = HT(x, y, z)︸ ︷︷ ︸hT (x,y)g(z)

+ Hz(x, y, z)︸ ︷︷ ︸hz(x,y)g(z)

az (11)

⇓ (12)H = hT (x, y)g(z) + hz(x, y)g(z)az (13)

Al aplicar el operador 7 a los campos 10 y 13, las ecuaciones vectoriales 1 y 2 dan lugara las ecuaciones del cuadro 2.

Cuadro 2: Ecuaciones de Helmholtz.

Campo eléctrico Campo magnético(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)eT (x, y)g(z) = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)hT (x, y)g(z) = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)ez(x, y)g(z) = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)hz(x, y)g(z) = 0

La ecuación (∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)f(x, y)g(z) = 0 (14)

4

se separa en dos ecuaciones:

g(z)∇2T f(x, y) + f(x, y)

d2

dz2g(z) + κ2f(x, y)g(z) = 0 (15)

⇓ (16)∇2

T f(x, y)

f(x, y)= −κ2

T (17)

1

g(z)

d2

dz2g(z) = −κ2

` (18)

⇓ (19)κ2

T + κ2` = κ2 (20)⇓ (21)

∇2T f(x, y) + κ2

T f(x, y) = 0 (22)d2

dz2g(z) + κ2

`g(z) = 0 (23)

La solución de la ecuación 23 es:

g(z) = Ae−jκ`z + Bejκ`z (24)

con A y B constantes complejas indeterminadas.La solución 24 está compuesta por dos ondas viajeras: una en el sentido de crecimiento de

la coordenada longitudinal z, Ae−jκ`z, y la otra en sentido contrario, Bejκ`z. Nos quedaremoscon la onda viajera progresiva e−jκ`z e incluiremos la constante indeterminada A en la funciónf(x, y), por lo que escribiremos g(z) = e−jκ`z. De esta forma las ecuaciones del cuadro 2 danlugar a las ecuaciones del cuadro 3.

Dadas las ecuaciones de Maxwell, para un medio simple libre de fuentes:

∇× E = −jωµH (25)∇× H = jωεE (26)

∇ · D = 0 (27)∇ · B = 0 (28)

Descomponemos los operadores ∇× y ∇· de la forma:

∇× ≡(∇T +

∂

∂zaz

)×

∇· ≡(∇T +

∂

∂zaz

)·

donde∇T ≡

(∂

∂xax +

∂

∂yay

)

5

Cuadro 3: Resumen de las Ecuaciones resultantes

Campo eléctrico Campo magnético(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)eT (x, y)e−jκ`z = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)hT (x, y)e−jκ`z = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)ez(x, y)e−jκ`z = 0

(∇2

T +∂2

∂z2+ κ2

)hz(x, y)e−jκ`z = 0

⇓

∂2

∂z2≡ (−jκ`)

2; κ2 − κ2` = κ2

T

⇓

∇2T eT (x, y) + κ2

T eT (x, y) = 0 ∇2T hT (x, y) + κ2

T hT (x, y) = 0

∇2T ez(x, y) + κ2

T ez(x, y) = 0 ∇2T hz(x, y) + κ2

T hz(x, y) = 0

Sustituyendo las expresiones de los campos E y H de las ecuaciones 10 y 13, respectivamente,y poniendo g(z) = e−jκ`z obtenemos:(

∇T +∂

∂zaz

)×

[eT (x, y)e−jκ`z + ez(x, y)e−jκ`zaz

]= −jωµ

[hT (x, y)e−jκ`z + hz(x, y)e−jκ`zaz

](∇T +

∂

∂zaz

)×

[hT (x, y)e−jκ`z + hz(x, y)e−jκ`zaz

]= jωε

[eT (x, y)e−jκ`z + ez(x, y)e−jκ`zaz

](∇T +

∂

∂zaz

)·[eT (x, y)e−jκ`z + ez(x, y)e−jκ`zaz

]= 0 (29)(

∇T +∂

∂zaz

)·[hT (x, y)e−jκ`z + hz(x, y)e−jκ`zaz

]= 0 (30)

Para el campo eléctrico escribiremos:

∇T × eT (x, y) = −jωµhz(x, y)az (31)∇T × ez(x, y)az − jκ`az × eT (x, y) = −jωµhT (x, y) (32)

∇T · eT (x, y) = jκ`ez(x, y) (33)

6

Usando la identidad vectorial:

∇× (ψA) = (∇ψ) × A + ψ∇× A

se podrá escribir:∇T × ez(x, y)az = ∇T ez(x, y) × az

ya que ∇T × az = 0. Reescribiremos la ecuación 32 de la forma:

az ×∇T ez(x, y) + jκ`az × eT (x, y) = jωµhT (x, y) (34)

Y para el campo magnético:

∇T × hT (x, y) = jωεez(x, y)az (35)az ×∇T hz(x, y) + jκ`az × hT (x, y) = −jωεeT (x, y) (36)

∇T · hT (x, y) = jκ`hz(x, y) (37)

2. Clasificación de las soluciones

2.1. Ondas TEM

Para las ondas TEM se cumple que ez = 0 y hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones deMaxwell estos valores se obtiene:

Ecuaciones para el campo eléctrico:

∇T × eT (x, y) = 0 (38)κ`az × eT (x, y) = ωµhT (x, y) (39)

∇T · eT (x, y) = 0 (40)

Ecuaciones para el campo magnético:

∇T × hT (x, y) = 0 (41)κ`az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y) (42)

∇T · hT (x, y) = 0 (43)

2.1.1. Solución

∇T × eT (x, y) = 0 ⇒ eT (x, y) = −∇Φ(x, y) (44)⇓ (45)

∇2T Φ(x, y) = 0

Φ|S1,S2

}(46)

κ` = κ (47)⇓ (48)

E = −∇T Φ(x, y)e−jκz (49)

H = ± κ

ωµaz × eT (x, y)e−jκz (50)

7

κ` = κ ya que E = eTe−jκ`z debe satisfacer la ecuación (1):

∇2eTe−jκ`z + κ2eTe−jκ`z = 0[∇2

T − κ2`

]eTe−jκ`z + κ2eTe−jκ`z = 0

2.2. Ondas TE o H

Para las ondas TE o H se cumple que ez = 0. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwelleste valor se obtiene:

Ecuaciones para el campo eléctrico:

∇T × eT (x, y) = −jωµhz(x, y)az (51)κ`az × eT (x, y) = ωµhT (x, y) (52)

∇T · eT (x, y) = 0 (53)

Ecuaciones para el campo magnético:

∇T × hT (x, y) = 0 (54)az ×∇T hz(x, y) + jκ`az × hT (x, y) = −jωεeT (x, y) (55)

∇T · hT (x, y) = jκ`hz(x, y) (56)

2.2.1. Solución

1. Se resuelve la ecuación de Helmholtz:

∇2T hz(x, y) + κ2

T hz(x, y) = 0 (57)

que junto con la condiciones Et = 0 y Hn = 0 sobre la superficie conductora, conEt = eT · at y Hn = ht · an, donde at y an son dos vectores unitarios, el primerotangente a la superficie conductora y contenido en el plano transversal, y el segundonormal a la superficie conductora, tal que az × at = an:

(az ×∇T hz + jκ`az × hT = −jωεeT ) · at –ecuación 55– (58)⇓ (59)

∇T hz × az · at + jκ`hT × az · at = 0 (60)

ya que A × B · C = A · B × C

∇T hz · az × at + jκ`hT · az × at = 0 (61)⇓ (62)

∇T hz · an + jκ`hT · an = 0 (63)⇓ (64)

∂hz

∂n= 0 (65)

8

da lugar al denominado segundo problema de contorno para la ecuación de Helm-holtz:

∇2T hz + κ2

T hz = 0

∂hz

∂n= 0 en ST

(66)

El problema de contorno 66 es un problema de autovalores, donde κT , con κT ∈{κT n}, es un autovalor del operador ∇2

T , {κT n} es el espectro de ∇2T , y la solución

hz es la autofunción asociada, con hz ∈ {hzn}. Cada solución hz del conjunto {hzn}da lugar a una estructura transversal de los campos E y H distinta, denominadamodo de propagación . El conjunto {hzn} contiene todos los modos de propagación: lasautofunciones.

2. Se calcula ht(x, y) a partir de hz(x, y):

∇T × hT (x, y) = 0 –ecuación 54– (67)⇓ (68)

∇T ×∇T × hT (x, y) ≡ ∇T [∇T · hT (x, y)︸ ︷︷ ︸de la ecuación 56

] −∇2T hT (x, y)︸ ︷︷ ︸

del cuadro 3

= 0 (69)

⇓ (70)∇T [jκ`hz(x, y)] + κ2

T hT (x, y) = 0 (71)⇓ (72)

hT (x, y) = −jκ`

κ2T

∇T [hz(x, y)] (73)

3. Se calcula eT (x, y) a partir de hT (x, y), usando la propiedad a×b×c = (a·c)b−(a·b)c:

κ`az × eT (x, y) = ωµhT (x, y) –ecuación 52– (74)⇓ (75)

κ`az × az × eT (x, y) = ωµaz × hT (x, y) (76)⇓ (77)

eT (x, y) = −ωµ

κ`

az × hT (x, y) (78)

Se define la impedancia de onda para el modo TE:

ηTE =eT

hT

=ωµ

κ`

=κ

κ`

η

2.3. Ondas TM o E

Para las ondas TM o E se cumple que hz = 0. Al sustituir en las ecuaciones de Maxwelleste valor se obtiene:

9

Cuadro 4: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para las ondas TE.

∇2T hz + κ2

T hz = 0

∂hz

∂n= 0 en ST

hz = hz(x, y), hz ∈ {hzn}, κT ∈ {κT n}

hT = −jκ`

κ2T

∇T hz

eT = −ηTEaz × hT

Ecuaciones para el campo eléctrico:

∇T × eT (x, y) = 0 (79)az ×∇T ez(x, y) + jκ`az × eT (x, y) = jωµhT (x, y) (80)

∇T · eT (x, y) = jκ`ez(x, y) (81)

Ecuaciones para el campo magnético:

∇T × hT (x, y) = jωεez(x, y)az (82)κ`az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y) (83)

∇T · hT (x, y) = 0 (84)

2.4. Solución

1. Se resuelve la ecuación de Helmholtz:

∇2T ez(x, y) + κ2

T ez(x, y) = 0 (85)

que junto con la condición ez = 0 sobre la superficie conductora, da lugar al denominadoprimer problema de contorno para la ecuación de Helmholtz:

∇2T ez + κ2

T ez = 0

ez = 0 en ST

(86)

10

2. Se calcula et(x, y) a partir de ez(x, y):

∇T × eT (x, y) = 0 –ecuación 79– (87)⇓ (88)

∇T ×∇T × eT (x, y) ≡ ∇T [∇T · eT (x, y)︸ ︷︷ ︸de la ecuación 81

] −∇2T eT (x, y)︸ ︷︷ ︸

del cuadro 3

= 0 (89)

⇓ (90)∇T [jκ`ez(x, y)] + κ2

T eT (x, y) = 0 (91)⇓ (92)

eT (x, y) = −jκ`

κ2T

∇T [ez(x, y)] (93)

3. Se calcula hT (x, y) a partir de eT (x, y): Usando la propiedad a×b×c = (a·c)b−(a·b)c:

κ`az × hT (x, y) = −ωεeT (x, y) –ecuación 83– (94)⇓ (95)

κ`az × az × hT (x, y) = −ωεaz × eT (x, y) (96)⇓ (97)

hT (x, y) =ωε

κ`

az × eT (x, y) (98)

Se define la impedancia de onda para el modo TM:

ηTM =eT

hT

=κ`

ωε=

κ`

κη

Cuadro 5: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para las ondas TM.

∇2T ez + κ2

T ez = 0

ez = 0 en ST

ez = ez(x, y), ez ∈ {ezn}, κT ∈ {κT n}

eT = −jκ`

κ2T

∇T ez

hT =1

ηTM

az × eT

11

2.5. Estimación de la solución del problema real

En una situación real, ni el dieléctrico ni el conductor son perfectos. El dieléctrico pre-sentará pérdidas por polarización (ε′′ 6= 0), por lo que parte de la energía transportada porlos campos se disipará en forma de calor en el propio dieléctrico. Además, otra fracción de lamencionada energía transportada por los campos, aún cuando muy pequeña, se refractará enel conductor disipándose en él mediante el efecto Joule. Si estas pérdidas se mantienen pe-queñas, es posible estimar la solución del problema real mediante una pequeña perturbación2

de la solución del problema ideal:

E = (eT + ezaz) e−κ`z︸ ︷︷ ︸solución ideal

→ E = (eT + ezaz) e−(κ`z+↓

αz)︸ ︷︷ ︸solución ideal perturbada

(99)

H = (hT + hzaz) e−κ`z︸ ︷︷ ︸solución ideal

→ H = (hT + hzaz) e−(κ`z+↓

αz)︸ ︷︷ ︸solución ideal perturbada

(100)

donde α es la perturbación, la cual se refleja en forma de una atenuación en la expresión delos campos.

El calculo de α, curiosamente, se puede realizar utilizando las soluciones de los campos delproblema ideal bajo la premisa, ya mencionada, de que las imperfecciones en los materialescausen pérdidas muy pequeñas [1].

2.6. Atenuación

Aplicaremos el método de las perturbaciones para calcular la atenuación (la perturbación)haciendo uso de la solución del problema ideal3. Para ello observamos que la potencia que sepropaga a los largo de la guía responde a una ley del tipo:

P =

∫ST

<{

E × H∗

2

}· ds

=

∫ST

<

{(eT + ezaz) e−(κ`z+αz) ×

(h∗

T + h∗zaz

)eκ`z−αz

2

}· ds

=

∫ST

<{

eT × h∗T

2

}· ds︸ ︷︷ ︸

P0

e−2αz

=P0e−2αz

(101)

donde ST es la superficie transversal del dieléctrico y P0 es la potencia que sería transportadapor los campos en el caso ideal (ausencia de pérdidas) y que equivale, en el caso real, a lapotencia transportada por los campos en z = 0.

2¿Vale la redundancia?3Esto es: en las ecuaciones utilizadas todas las expresiones de los campos eléctrico y magnético se refieren

a la solución ideal, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

12

Dado que la onda electromagnética progresiva ha de experimentar una variación de po-tencia ∆P en una longitud ∆Z de la guía que se debe corresponder con la misma cantidadde potencia disipada tanto en el dieléctrico como en el conductor por unidad de longitud, P`,tomando en cuenta la ecuación (101), se podrá escribir:

P` = − lım∆z→0

∆P

∆z

= − dP

dz= 2αP

(102)

la cual implica que las pérdidas por unidad de longitud en un plano transversal dado de laguía es directamente proporcional a la potencia transportada por los campos en el mismoplano. De la ecuación (114) es posible despejar α:

α =P`

2P(103)

Por razones de linealidad, α se puede descomponer en una suma de dos partes: una, αD,que modela las pérdidas en el dieléctrico y otra, αC , que modela las pérdidas en el conductor:α = αD +αC . Para el cálculo de estas atenuaciones partiremos de la parte real de la ecuaciónde balance energético complejo:∮

S

<{

E × H∗

2

}· ds = −ω

2

∫V (S)

(µ′′H · H∗ + ε′′E · E∗) dν

− 1

2

∫V (S)

σE · E∗ dν (104)

la cual aplicaremos a una región volumétrica de la guía definida por ST y una longitud incre-mental ∆z –ver figura 2(a)–, suponiendo que el dieléctrico no exhibe pérdidas ni magnéticasni óhmicas: ∮

S

<{

E × H∗

2

}· ds = −ω

2

∫V (S)

ε′′E · E∗ dν (105)

z∆

atS�( )TS z

( )T atV S S+ �(a) Corte en perspectiva.

TS

atL�na

(b) Corte transversal.

Figura 2: Tramo de guía de onda de longitud ∆z.

La integral del miembro de la derecha se divide en dos partes al considerar que la superficiede integración está compuesta por una superficie ST transversal, a través de la cual fluye la

13

energía transportada por los campos a lo largo de la guía, y una superficie lateral S`at –verfigura 2(a)–, la cual coincide con la superficie interior de los conductores, a través de la cualfluye la energía que se refracta en estos y que se disipa por efecto Joule:∮

S

<{

E × H∗

2

}· ds =

∫ST (z)+ST (z+∆z)

<{

E × H∗

2

}· ds +

∫S`at

<{

E × H∗

2

}· ds (106)

que al sustituir en la ecuación (105), y luego de despejar apropiadamente, nos permite obtener:∫ST (z)+ST (z+∆z)

<{

E × H∗

2

}· ds = −

∫S`at

<{

E × H∗

2

}· ds − ω

2

∫V (ST +S`at)

ε′′E · E∗ dν

∆P = −∫

S`at

<{

E × H∗

2

}· ds

︸ ︷︷ ︸PC

− ω

2

∫V (ST +S`at)

ε′′E · E∗ dν

︸ ︷︷ ︸PD

(107)

donde ∆P es la variación de la potencia electromagnética transportada por los campos en∆Z metros de longitud, PC es la potencia refractada hacia los conductores que fluye desdeel volumen considerado a través de la superficie lateral, y PD es la potencia disipada en elinterior del volumen considerado debido a las pérdidas de polarización del dieléctrico.

Para la aplicación de la fórmula (103) tal que:

αC =P`C

2PαD =

P`D

2P(108)

es necesario definir P`C y P`D en función de PC y PD, respectivamente.

2.7. Cálculo de la atenuación αC por pérdidas en el conductor

P`C = lım∆z→0

PC

∆z

= lım∆z→0

∫S`at

<{

E×H∗

2

}· ds

∆z

= lım∆z→0

∫∆z

∮L`at

<{

E×H∗

2

}· d`dzan

∆z

=

∮L`at

<{

E × H∗

2

}· d`an

(109)

donde an es un vector unitario normal a la superficie lateral de la guía que apunta hacia elinterior del conductor y L`at es el contorno lateral de los conductores en el plano transversal–ver figura 2(b)–.

14

En virtud de que el campo eléctrico ideal es nulo en el contorno lateral L`at la integralanterior –ecuación (109)– no nos sirve directamente para calcular P`C . En un conductor real,el campo eléctrico tangencial a la superficie, aún cuando muy pequeño, no es nulo. Tendremosque calcular P`C utilizando los valores de los campos en el conductor (¿cómo?):

P`C =

∮L`at

<{

EC × H∗C

2

}· d`an (110)

Aplicando las condiciones límites de Leontóvich, podemos expresar el vector de Poyntingcomplejo en el conductor como un vector en la dirección de an, de tal forma que:

S0an =1

2EC × H∗

C

donde EC = E+(0)e−κCn y HC = H+(0)e−κCn son el campo eléctrico y magnético, res-pectivamente, en el conductor. Como EC = ηCHC × an, sigue que:

EC × H∗C = (ηCHC × an) × H∗

C

=ηC

(HC · H∗

C

)an

(111)

sustituyendo la ecuación (111) en la ecuación (110), se obtiene:

P`C=

∮L`at

<

{ηC

(HC · H∗

C

)an

2

}· d`an

=<{ηC}

2

∮L`at

HC · H∗C d`

(112)

y como HC(0) = H(0), o sea: la componente tangencial del campo magnético en la superficiede separación entre un dieléctrico y un conductor real es continua:

P`C =<{ηC}

2

∮L`at

H · H∗ d` (113)

Tomando en cuenta que

P =1

2

∫ST

<{E × H∗} · ds

= <{

1

2

∫ST

(ηDH × az) × H∗}· dsaz

=ηD

2

∫ST

H · H∗ds

(114)

será:

αC =<{ηC}

∮L`at

H · H∗ d`

2ηD

∫ST

H · H∗ ds(115)

15

2.8. Cálculo de la atenuación αD por pérdidas en el dieléctrico

La potencia disipada en el dieléctrico por unidad de longitud vale:

P`D = lım∆z→0

PD

∆z

= lım∆z→0

ω2

∫V (ST +S`at)

ε′′E · E∗ dν

∆z

= lım∆z→0

ω2

∫∆z

∫ST

ε′′E · E∗ dsdz

∆z

=ωε′′

2

∫ST

E · E∗ ds

(116)

de modo que:

αD =ωε′′

∫ST

E · E∗ ds

2ηD

∫ST

H · H∗ ds(117)

16

3. Resumen de fórmulas

Cuadro 6: Resumen del procedimiento de cálculo de los campos para cualquier modo.

TEM TE TM

∇2T Φ = 0 ∇2

T hz + κ2T hz = 0 ∇2

T ez + κ2T ez = 0

Φ|ST1,ST2

∂hz

∂n= 0 en ST ez = 0 en ST

κ` = κ ηTE = κκ`

η ηTM = κ`

κη

eT = −∇T Φ hT = −jκ`

κ2T

∇T hz eT = −jκ`

κ2T

∇T ez

hT = az × eT

ηeT = −ηTEaz × hT hT =

1

ηTM

az × eT

Solución ideal

E = (eT + ezaz) e−κ`z

H = (hT + hzaz) e−κ`z

Solución real

E = (eT + ezaz) e−(κ`+α)z

H = (hT + hzaz) e−(κ`+α)z

α = αD + αC αD =ωε′′

∫ST

E · E∗ ds

2∫

ST<{E × H∗} · ds

αC =<{ηC}

∮ΓT

H · H∗ d`

2∫

ST<{E × H∗} · ds

4. Cable coaxialDado el cable coaxial que se ilustra en la figura 3, interiormente relleno de un dieléctrico

ideal y hecho con conductores ideales, también, la estructura de los campos se puede obtenera partir de la solución del problema de contorno:

1

ρ

d

dρρ

(dΦ

dρ

)= 0

Φ(a) = V0, Φ(b) = 0

(118)

17

ab(a) Sección transversal.

x

zy ρ

ϕ

(b) Perspectiva.

Figura 3: Cable coaxial. ¥: conductor; ¤: dieléctrico.

La solución de la ecuación (118) es:

Φ(ρ) = A ln ρ + B (119)

evaluando la solución (119) en los bordes se obtiene:

A ln a + B = V0

A ln b + B = 0(120)

de dondeA =

V0

ln (a/b)

B = − V0 ln b

ln (a/b)

(121)

de esta forma:Φ(ρ) =

V0

ln (b/a)(ln b − ln ρ) (122)

y

eT = −∇T Φ

= − dΦ

dρaρ

=V0

ln (b/a)

aρ

ρ

(123)

sustituyendo esta solución en las ecuaciones (49) y (50) se obtiene:

E =V0

ln (b/a)

aρ

ρe−κz (124)

H =V0

ln (b/a)

1

η

aϕ

ρe−κz (125)

18

4.1. Onda de voltaje

Podemos calcular la diferencia de potencial entre los conductores en el plano transversalz = ctte. –ST (z)–:

V = −∫ +

−E · d`

= −[

V0

ln(b/a)

∫ b

a

aρ

ρ· dρaρ

]e−κz

= V0e−κz

(126)

y vemos como, existiendo una relación unívoca entre E y V , es posible hablar de una ondade voltaje.

4.2. Onda de corriente

Podemos calcular la corriente enlazada por el campo magnético en el conductor interior(o exterior) en el plano transversal ST (z). Sea Γ un camino cerrado alrededor del conductorinterno del cable coaxial:

I =

∮Γ

H · d`

=

[V0

ln(b/a)η

∫ 2π

o

aϕ

ρ· ρdϕaϕ

]e−κz

= I0e−κz

(127)

dondeI0 =

2πV0

ln(b/a)η

Como la relación entre H e I es unívoca, también podemos hablar de una onda de corriente.

4.3. Impedancia característica

La relación entre la onda de voltaje –ecuación (126)– y la onda de corriente –ecuación(127)– tiene unidades de Ohmios y es una función de la geometría transversal de la línea yde las propiedades intrínsecas del dieléctrico:

V

I= Zc =

ln(b/a)

2πη (128)

Zc se conoce como impedancia característica del cable coaxial.

4.4. Atenuación del cable coaxial

La atenuación α = αC + αD del cable coaxial se puede calcular haciendo uso de lasfórmulas (115) y (117), respectivamente, sustituyendo en ellas las expresiones de los campos(124) y (125).

19

4.4.1. Atenuación debido al conductor

A partir de la ecuación (115):

αC =<{ηC}

∮L`at

H · H∗ d`

2ηD

∫ST

H · H∗ds

=<{ηC}2ηD

[V0

ln(b/a)ηD

]2 (∫ 2π

0dϕa

+∫ 2π

0dϕb

)[

V0

ln(b/a)ηD

]2 ∫ b

a

∫ 2π

0dϕdρ

ρ

=<{ηC}2ηD

a + b

ab

1

ln(b/a)

(129)

y tomando en cuenta que para un buen conductor <{ηC} =√

ωµ0

2σ=

√πfµ0

σy que para un

un buen dieléctrico ηD =√

µ0

ε′, resulta:

αC =1

2

√πfε′

σ

ln(b/a)

a + b

ab(130)

4.4.2. Atenuación debido al dieléctrico

A partir de la ecuación (117):

αD =ωε′′

∫ST

E · E∗ ds

2ηD

∫ST

H · H∗ds

=ωε′′

2ηD

[V0

ln(b/a)

]2 ∫ b

a

∫ 2π

0dϕdρ

ρ[V0

ln(b/a)ηD

]2 ∫ b

a

∫ 2π

0dϕdρ

ρ

=πfε′′√

µ0

ε′

(131)

4.4.3. Atenuación resultante

Finalmente podemos escribir:

α = πfε′′√

µ0

ε′︸ ︷︷ ︸αD

+1

2

√πfε′

σ

ln(b/a)

a + b

ab︸ ︷︷ ︸αC

(132)

20

ab

(a) Sección transversal.

a

bx

yz

(b) Perspectiva.

Figura 4: Guía de Onda rectangular.

5. Guía de onda rectangularLa geometría de una guía de onda rectangular se muestra en al figura 4. La ecuación de

Helmholtz en este caso asume la forma:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+ κ2

T u = 0 (133)

Para las ondas TE:

∂2hz

∂x2+

∂2hz

∂y2+ κ2

T hz = 0

∂hz

∂x= 0 para

{x = 0x = a

∂hz

∂y= 0 para

{y = 0y = b

(134)

Para las ondas TM:∂2ez

∂x2+

∂2ez

∂y2+ κ2

T ez = 0

ez = 0 para{

x = 0 y = 0x = a y = b

(135)

La ecuación 133 se resuelve asumiendo una solución producto: u(x, y) = X(x)Y (y), dondelas funciones X y Y dependen exclusivamente de las variables x y y, respectivamente:

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+ κ2

T u = 0 (136)

Yd2X

dx2+ X

d2Y

dy2+ κ2

T XY = 0 (137)

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+ κ2

T = 0 (138)

21

La ecuación 138 se separa en dos ecuaciones:

1

X

d2X

dx2+

1

Y

d2Y

dy2+ κ2

T = 0 ⇒

d2X

dx2+ κ2

xX = 0

d2Y

dy2+ κ2

yY = 0

(139)

donde κ2x + κ2

y = κ2T . Las soluciones de las ecuaciones 139 son:

X(x) = A cos(κxx) + B sin(κxx)

Y (y) = C cos(κyy) + D sin(κyy)

Y por tanto:

u(x, y) = [A cos(κxx) + B sin(κxx)][C cos(κyy) + D sin(κyy)] (140)

Para las ondas TE, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la ecuación134 permite obtener la solución para hz:

∂hz

∂x

∣∣∣∣x=0

= 0 ⇒ −κx[A sin(κx0) − B cos(κx0)]Y = 0 ⇒ B = 0

∂hz

∂x

∣∣∣∣x=a

= 0 ⇒ −κxA sin(κxa)Y = 0 ⇒ κx =mπ

a, m = 0, 1, 2 . . .

∂hz

∂y

∣∣∣∣y=0

= 0 ⇒ −Xκy[C sin(κy0) − D cos(κy0)] = 0 ⇒ D = 0

∂hz

∂y

∣∣∣∣y=b

= 0 ⇒ −XκyC sin(κyb) = 0 ⇒ κy =nπ

b, n = 0, 1, 2 . . .

Yhz(x, y) = Hmn cos

(mπ

ax)

cos(nπ

by)

(141)

donde Hmn = AC.La ecuación (141) representa la familia de modos de propagación TE o H.Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la ecuación

135 permite obtener la solución para ez:

ez|x=0 = 0 ⇒ [A cos(κx0) + B sin(κx0)]Y = 0 ⇒ A = 0

ez|x=a = 0 ⇒ B sin(κxa)Y = 0 ⇒ κx =mπ

a, m = 1, 2, 3 . . .

ez|y=0 = 0 ⇒ X[C cos(κy0) + D sin(κy0)] = 0 ⇒ C = 0

ez|y=b = 0 ⇒ XD sin(κyb) = 0 ⇒ κy =nπ

b, n = 1, 2, 3 . . .

Yez(x, y) = Emn sin

(mπ

ax)

sin(nπ

by)

(142)

22

(a) Modo TM1,1 (b) Modo TM2,1

(c) Modo TM2,2 (d) Modo TM2,3

Figura 5: Estructura transversal de ezm,n(x, y) en una guía de onda rectangular de dimensiones a× b, con a = 2b.

donde Emn = BD.La ecuación (142) representa la familia de modos de propagación TM o E.A partir de las soluciones 141 y 142, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y 5, se

pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 7 se resumen estosresultados junto con otros parámetros de interés.

En la Figura 5 se muestra la estructura transversal de ezm,n correspondiente a los modosTM1,1 –Fig. 5(a)–, TM1,2 –Fig. 5(b)–, TM2,2 –Fig. 5(c)– y TM3,2 –Fig. 5(d)–. Tales gráficasfueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente código:

a=1; b=0.5;x=linspace(0,a,50);y=linspace(0,b,30);[X,Y]=meshgrid(x,y);ez=sin(m*pi*X./a).*sin(n*pi*Y./b);surf(X,Y,ez);shading(’interp’);axis([0 a 0 b]) set(gca,’PlotBoxAspectRatio’, [2 1 1]);view(0,90),axis equal, grid off, box off , axis off

23

Cua

dro

7:Es

truc

tura

delo

sca

mpo

sy

otra

spr

opie

dade

sen

una

guía

deon

dare

ctan

gula

r.

mod

osT

Em

odos

TM

Hz

Hm

nco

s( m

π ax) co

s( n

π by) e−

jκ`,m

nz

0E

z0

Em

nsi

n( m

π ax) si

n( n

π by) e−

jκ`,m

nz

Ex

η TE

,mnH

mnj

κ`,m

n

κ2 T

,mn

nπ b

cos( m

π ax) si

n( n

π by) e−

jκ`,m

nz

−jE

mn

κ`,m

n

κ2 T

,mn

mπ a

cos( m

π ax) si

n( n

π by) e−

jκ`,m

nz

Ey

−η T

E,m

nH

mnj

κ`,m

n

κ2 T

,mn

mπ a

sin

( mπ ax) co

s( n

π by) e−

jκ`,m

nz

−jE

mn

κ`,m

n

κ2 T

,mn

nπ b

sin

( mπ ax) co

s( n

π by) e−

jκ`,m

nz

Hx

Hm

nj

κ`,m

n

κ2 T

,mn

mπ a

sin

( mπ ax) co

s( n

π by) e−

jκ`,m

nz

jE

mn

ηT

M,m

n

κ`,m

n

κ2 T

,mn

nπ b

sin

( mπ ax) co

s( n

π by) e−

jκ`,m

nz

Hy

Hm

nj

κ`,m

n

κ2 T

,mn

nπ b

cos( m

π ax) si

n( n

π by) e−

jκ`,m

nz

−j

Em

n

ηT

M,m

n

κ`,m

n

κ2 T

,mn

mπ a

cos( m

π ax) si

n( n

π by) e−

jκ`,m

nz

η TE

,mn

κκ

`,m

nη

η TM

,mn

κ`,m

n

κη

κT

,mn

√ ( mπ a

) 2 +( n

π b

) 2κ

`,m

n

√ κ2−

[ ( mπ a

) 2 +( n

π b

) 2]f c

,mn

12√

µε

√ ( m a

) 2 +( n b

) 2λ

c,m

n2

q

(m a)2

+(n b

)2

24

5.1. Condición de propagación

Para que un determinado modo se propague en la guía es necesario que el coeficiente depropagación κ`,mn:

κ`,mn =√

κ2 − κ2T

=

√ω2µε −

[(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2]

sea real, circunstancia que se conoce como condición de propagación:

(2πf)2µε >(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2

f >1

2π√

µε

√(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2(143)

5.2. Frecuencia de corte

La frecuencia límite a partir de la cual un determinado modo m,n puede propagarse seconoce como frecuencia de corte de dicho modo:

fc,mn =1

2π√

µε

√(mπ

a

)2

+(nπ

b

)2

(144)

5.3. Modo dominante

El modo que presenta la frecuencia de corte menor se conoce como modo dominante.Con la ayuda de la Ec. (144) y poniendo a = 2b, se ha llenado el Cuadro 8.

Cuadro 8: Frecuencias de corte de los primeros modos.

modo frecuencia de corte

m,n 12π

√µε

√(mπa

)2+

(nπb

)2

1,0 12a

√µε

0,1 1a√

µε

1,1√

52a

√µε

2,1 2√2a

√µε

1,2√

172a

√µε

A partir del Cuadro 8 se observa que:

fc,10 < fc,01 < fc,11 < fc,21 < fc,12 < fc,22 < · · ·

El rango [fc,10, fc,01] es el rango de frecuencias en el que se suele usar la guía, dado queen dicho rango solo se propaga el modo dominante.

25

De la solución de ez –ecuación (142)– vemos que los modos TM requieren que m y n seanambos distintos de cero, por lo que el modo más bajo que puede propagarse es el modo TM11.Tal restricción no existe para los modos TE –ver ecuación (141)–, siendo el modo TE10 elmodo dominante.

6. Guía de onda circular

a

(a) Sección trans-versal.

ax

z

y

ρ

ϕ

(b) Perspectiva.

Figura 6: Guía de Onda circular.

La geometría de una guía de onda circular se muestra en al figura 7. La ecuación deHelmholtz en este caso asume la forma:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϕ2+ κ2

T u = 0 (145)

Para las ondas TE:

∂2hz

∂ρ2+

1

ρ

∂hz

∂ρ+

1

ρ2

∂2hz

∂ϕ2+ κ2

T hz = 0

∂hz

∂ρ= 0, para ρ = a

(146)

Para las ondas TM:

∂2ez

∂ρ2+

1

ρ

∂ez

∂ρ+

1

ρ2

∂2ez

∂ϕ2+ κ2

T ez = 0

ez = 0, para ρ = a

(147)

La ecuación 145 se resuelve asumiendo una solución producto: u(ρ, ϕ) = P (ρ)Φ(ϕ), dondelas funciones P y Φ dependen exclusivamente de las variables ρ y ϕ, respectivamente:

Φd2P

dρ2+

Φ

ρ

dP

dρ+

P

ρ2

d2Φ

dϕ2+ κ2

T PΦ = 0

1

P

d2P

dρ2+

1

Pρ

dP

dρ+

1

Φρ2

d2Φ

dϕ2+ κ2

T = 0

26

multiplicando este resultado por ρ2 se obtiene:

ρ2

P

d2P

dρ2+

ρ

P

dP

dρ+

1

Φ

d2Φ

dϕ2+ ρ2κ2

T = 0 (148)

ρ2

P

d2P

dρ2+

ρ

P

dP

dρ+ ρ2κ2

T = − 1

Φ

d2Φ

dϕ2(149)

La ecuación 149 se separa en dos ecuaciones:

ρ2

P

d2P

dρ2+

ρ

P

dP

dρ+ ρ2κ2

T = − 1

Φ

d2Φ

dϕ2⇒

ρ2

P

d2P

dρ2+

ρ

P

dP

dρ+ ρ2κ2

T = ν2

1

Φ

d2Φ

dϕ2= −ν2

o

d2P

dρ2+

1

ρ

dP

dρ+

(κ2

T − ν2

ρ2

)P = 0 (150)

d2Φ

dϕ2+ ν2Φ = 0 (151)

donde ν2 es cierta constante de separación.Las solución de la ecuación 151 es:

Φ(ϕ) = A cos(νϕ) + B sin(νϕ)

donde A y B son dos constantes indeterminadas. Como la función Φ(ϕ) ha de ser unievaluada:Φ[ν(α + 2π)] = Φ(να), ν ha de ser un número entero:

Φ(ϕ) = A cos(nϕ) + B sin(nϕ)

La solución de la ecuación 150 es:

CJn(κT ρ) + DYn(κT ρ)

donde C y D son dos constante indeterminadas, Jn es la función de Bessel de orden n –verla Fig. 7(a)–, y Yn es la función de Neuman de orden n –ver la Fig. 7(b)–.

La función de Bessel Jn(x) se define como:

Jn(x) =∞∑

m=0

(−1)m(x/2)n+2m

m!(n + m)!

Las funciones Jn y Yn se conocen también como funciones de Bessel de primer y segundotipo, respectivamente, de orden n.

La ecuación 150 se denomina ecuación de las funciones cilíndricas o ecuación deBessel. Sus soluciones, las funciones Jn y Yn, se denominan funciones cilíndricas. Las

27

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

x

J n(x)

J0(x)

J1(x)

J2(x)

J3(x)

J4(x)

(a) Del primer tipo o de Bessel.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.5

0

0.5

1

x

Yn(x

)

Y0(x)

Y1(x)

Y2(x)

Y3(x) Y

4(x)

(b) Del segundo tipo o de Neuman.

Figura 7: Funciones de Bessel.

funciones Jn y Yn no son periódicas, pero al crecer ρ, oscilan cerca de cero, decrecen monó-tonamente, y se aproximan a las funciones trigonométricas para ρ → ∞ (ver figuras 7(a) y7(b)). Es cómodo comparar la ecuación de funciones cilíndricas con la ecuación de funcionestrigonométricas y exponenciales, así como las soluciones respectivas:

y′′ + 1xy′ +

(1 − n2

x2

)y = 0 ⇔ y′′ + y = 0

Jn(x) ⇔ cos(x)Yn(x) ⇔ sin(x)

La función de Neuman Yn(κT ρ) → ∞ para ρ → 0 –ver Fig. 7(b)–. Por esta razón lasolución de la ecuación 145 asume definitivamente la forma:

u(ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn(κT ρ)

6.1. Ondas TE

Para las ondas TE, la aplicación de las condiciones de borde, especificadas en la ecuación146, permite obtener los autovalores {κT,nm} a partir de las raíces de las ecuaciones4:

J ′n(κT a) = 0 (152)

de dondeκT,nm =

p′nm

a

siendo p′nm la raíz m-ésima de la ecuación 1525 –ver Cuadro 9(a)–, n = 0, 1, 2 . . ., y m =1, 2, 3 . . ..

Las soluciones para hz (modos o autofunciones) tienen la forma:

hz(ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn

(p′nm

aρ

)(153)

4Se comprueba que J ′n(x) = n

xJn(x) − Jn+1(x).5La ecuación 152 se obtiene al igualar la derivada de la función de Bessel de orden n evaluada en ρ = a a

cero.

28

Cuadro 9: Raíces p′nm y pnm.

(a) Algunas raíces p′nm.

n p′n1 p′n2 p′n3

0 3.832 7.016 10.1741 1.841 5.331 8.5362 3.054 6.706 9.970

(b) Algunas raíces pnm.

n pn1 pn2 pn3

0 2.405 5.520 8.6541 3.832 7.016 10.1742 5.135 8.417 11.620

6.2. Ondas TM

Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde, especificadas en la ecuación147 permite obtener los autovalores {κT,nm} a partir de las raíces de las ecuaciones:

Jn(κT a) = 0 (154)

de dondeκT,nm =

pnm

a

siendo pnm la raíz m-ésima de la ecuación 1546 –ver Cuadro 9(b)–, n = 0, 1, 2 . . ., y m =1, 2, 3 . . ..

Las soluciones para ez (modos o autofunciones) tienen la forma:

ez(ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn

(pnm

aρ)

(155)

6La ecuación 154 se obtiene al igualar la función de Bessel de orden n evaluada en ρ = a a cero.

29

Cua

dro

10:Es

truc

tura

delo

sca

mpo

sy

otra

spr

opie

dade

sen

una

guía

deon

daci

rcul

ar.

mod

osT

Em

odos

TM

Hz

Jn

( p′ n

m aρ){

Aco

s(nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m0

Ez

0J

n

( pn

m aρ){ A

cos(

nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m

Eρ

−jη

TE

,nm

κ`,n

m

κ2 T

,nm

Jn

( p′ n

m aρ) n ρ

{ Bco

s(nϕ)

−A

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m−

jκ

`,n

m

κT

,nm

p′ n

m aJ′ n

( pn

m aρ){ A

cos(

nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m

Eϕ

jηT

E,n

mκ

`,n

m

κT

,nm

p′ n

m aJ′ n

( p′ n

m aρ){

Aco

s(nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m−

jnκ

`,n

m

κ2 T

,nm

Jn

( pn

m aρ) n ρ

{ Bco

s(nϕ)

−A

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m

Hρ

−j

κ`,n

m

κT

,nm

p′ n

m aJ′ n

( p′ n

m aρ){

Aco

s(nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

mj

1η

TM

,nm

κ`,n

m

κ2 T

,nm

Jn

( pn

m aρ) n ρ

{ Bco

s(nϕ)

−A

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m

Hϕ

−j

κ`,n

m

κ2 T

,nm

Jn

( p′ n

m aρ) n ρ

{ Bco

s(nϕ)

−A

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m−

j1

ηT

M,n

m

κ`,n

m

κT

,nm

p′ n

m aJ′ n

( pn

m aρ){ A

cos(

nϕ)

+B

sin(n

ϕ)

} e−jκ

`,n

m

η TE

,mn

κT

,nm

κ`,n

mη

η TM

,mn

κ`,n

m

κT

,nm

η

κT

,mn

p′ n

m ap

nm a

κ`,

mn

√ κ2−

( p′ n

m a

) 2√ κ

2−

( pn

m a

) 2f c

,mn

12π√

µε

p′ n

m a1

2π√

µε

pn

m a

λc,

mn

2πa

p′ n

m

2πa

pn

m

30

A partir de las soluciones 153 y 155, y utilizando las ecuaciones de los cuadros 4 y 5,se pueden determinar las componentes restantes de los campos. En el cuadro 10 se resumenestos resultados junto con otros parámetros de interés.

(a) Modo TE1,1 (b) Modo TE1,2

(c) Modo TE2,2 (d) Modo TE2,3

Figura 8: Estructura transversal de hzm,n(x, y) en una guía de onda circular.

En la Figura 8 se muestra la estructura transversal de hzm,n correspondiente a los modosTE1,1 –Fig. 8(a)–, TE1,2 –Fig. 8(b)–, TE2,2 –Fig. 8(c)– y TE2,3 –Fig. 8(d)–. Tales gráficasfueron elaboradas usando MATLAB, mediante el siguiente código:

A=0,5 B=0,5phi=linspace(0,(2*pi),200);r=linspace(0,1,200);[Phi,R]=meshgrid(phi,r);[X,Y]=pol2cart(Phi,R);p=[3.832,7.016,10.174;1.841,5.331,8.536;3.054,6.706,9.970]Hz=besselj(n,p(n+1,m)*R).*(A*cos(n*Phi)+B*sin(n*Phi));surf(X,Y,Hz);shading(’interp’);view(0,90),axis equal, grid off, box off, axis off

6.3. Modo dominante

Inspeccionado las tablas 9(b) y 9(a) se observa que el modo TE11 –ver Fig. 8(a)– es elmodo dominante. Para este modo tenemos: ver cuadro 11.

31

Cuadro 11: Campos del modo TE11

E H

Eρ = −j Eρ,11

ρJ1

(p′11a

ρ) {

B cos(ϕ)−A sin(ϕ)

}e−jκ`,11 Hρ = −jHρ,11J

′1

(p′11a

ρ) {

A cos(ϕ)+B sin(ϕ)

}e−jκ`,11

Eϕ = jEϕ,11J′1

(p′11a

ρ) {

A cos(ϕ)+B sin(ϕ)

}e−jκ`,11 Hϕ = −j

Hρ,11

ρJ1

(p′11a

ρ) {

B cos(ϕ)−A sin(ϕ)

}e−jκ`,11

Ez = 0 Hz = J1

(p′11a

ρ) {

A cos(ϕ)+B sin(ϕ)

}e−jκ`,11

Con la ayuda de la gráfica 9 podemos trazar las líneas de fuerza de E y de H a manoalzada. ¡Inténtalo!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5J

1(x)

J’1(x)

Figura 9: J1 y J ′1.

7. Relación entre la densidad de corriente superficial Js

de un conductor perfecto y la densidad de corriente J

en un conductor realEn un conductor ideal los campos eléctrico y magnético son nulos, y la corriente es

superficial –ver figura 10(a)–. De tal suerte que si se toma un contorno Γ cerrado, comose ilustra en la figura 10(a), y se calcula la circulación de H , se obtiene:∮

Γ

H · d` =

∫S(Γ)

Js · ds

= −∫

∆y

Js · dyax

(156)

En un conductor real los campos eléctrico y magnético no son nulos, y la corriente,aunque se atenúa fuertemente a razón de 1/δ nepers por metro de longitud, se distribuye

32

×x

z

y( ) 0yH S ≠ S

( ) 0yH S =

à L��� ���� �

SJ

y∆

(a) Conductor ideal

×x

z

y( , ,0) 0yH x y ≠

S

( , , ) 0yH x y L →Γ

L��� ���� �0J � �� �� �� � �������� J

y∆

(b) Conductor real

Figura 10: Relación entre Js y J .

volumétricamente – ver figura 10(b)–. Si tomamos un contorno Γ, similar a como se procedióen el caso del conductor real y como se indica en la figura 10(b), al calcular la circulación deH se obtiene: ∮

Γ

H · d` =

∫S(Γ)

J · ds

= −∫

∆y

∫ L

0

J · dzdyax

= −∫

∆y

∫ L

0

Jdz︸ ︷︷ ︸Js

·dyax

= −∫

∆y

Js · dyax

(157)

donde se ha definido de manera natural la densidad superficial de corriente Js del conductorideal en términos de la densidad de corriente J del conductor real:

Js =

∫ L

0

Jdz (158)

.

Referencias[1] Robert E. Collin. Foundations for microwave engineering. McGraw-Hill Book Company,

USA, 1963.

[2] V. V. Nikolski. Electrodinámica y propagación de ondas de radio. MIR, Moscú, 1980.

[3] David Cheng. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Addison-Wesley Ibe-roamericana, USA, 1997.

[4] Hermann A. Haus and James R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. PrenticeHall, USA, 1989.

33

[5] Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, and Gabriel G. SkiteK. Electromagnetismo,conceptos y aplicaciones. Prentice Hall Hipanoamericana, México, 1997.

34

Índice alfabéticoAtenuación, 12Atenuación del cable coaxial, 19autofunción, 9autovalor, 9

cálculo de la atenuación, 14Cable coaxial, 17condición de propagación, 25condiciones límites de Leontóvich, 15

ecuación de Bessel, 27ecuación de las funciones cilíndricas, 27espectro, 9

Frecuencia de corte, 25función de Bessel, 27función de Neuman, 27, 28funciones cilíndricas, 27funciones de Bessel del primer y segundo tipo,

27funciones exponenciales, 28funciones trigonométricas, 28

Guía de onda circular, 26Guía de onda rectangular, 21

Impedancia característica del cable coaxial,19

impedancia de onda TE, 9impedancia de onda TM, 11

método de las perturbaciones, 12modo de propagación, 9Modo dominante, 25

Onda de corriente, 19Onda de voltaje, 19ondas TE o H, 3, 8ondas TEM, 3, 7ondas TM o E, 3, 9ondas viajeras, 5

primer problema de contorno, 10problema de autovalores, 9

segundo problema de contorno, 9

35