Übung zur gleichnamigen Vorlesung, SS 2016 Jana Börner, Julia …tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of... · 2018-04-17 · Übung zur gleichnamigen Vorlesung, SS

Inverse Probleme in der GeophysikÜbung zur gleichnamigen Vorlesung, SS 2016

Jana Börner, Julia Weißflog

Ziel

ZIEL DER ÜBUNG

Einführung in inverse Probleme

Handwerkszeug zur Lösung inverser Aufgaben

Überblick zu Inversionsverfahren

Nutzung von A-Priori-Information

Auswirkung von Datenfehlern

Nur mit Hilfe von Inversionsrechnungen könnengeophysikalische Messungen petrophysikalisch undgeologisch richtig interpretiert werden!

TU Bergakademie Freiberg | Jana Börner, Julia Weißflog | Inverse Probleme, SS 2016 | 07. Juni 2016 1

Ziel

ZIEL DER ÜBUNG

Einführung in inverse Probleme

Handwerkszeug zur Lösung inverser Aufgaben

Überblick zu Inversionsverfahren

Nutzung von A-Priori-Information

Auswirkung von Datenfehlern

Nur mit Hilfe von Inversionsrechnungen könnengeophysikalische Messungen petrophysikalisch undgeologisch richtig interpretiert werden!


Ziel

ANWENDUNGSBEISPIELE

Lösen von Gleichungssystemen

Lineare Regression als inverses Problem

Bildkomprimierung mittels Singulärwertzerlegung

Laufzeit-Tomographie

1D-Inversion von DC-Sondierungskurven


Ziel

INHALT

Einführung

Lineare Inversion

Nichtlineare Inversion

Literatur


Einführung

Einführung

Lineare Inversion


Literatur


Einführung

ZielBestimme eine plausible Verteilung von Modellparametern ~m,welche die gemessenen Daten ~d erklären:

~m = F−1(~d). (1)

Dabei ist der Vorwärtsoperator F im Wesentlichen einepartielle Differentialgleichung, die physikalische undgeometrische Abhängigkeiten beschreibt.I. A. liegt das Vorwärtsproblem

F(~m) = ~d (2)

in diskretisierter Form (FD, FE, . . . ) vor.


Einführung

Lineares Problem

F hängt nicht von ~m ab:

F · ~m = ~d. (3)

Beispiel: Gravimetrie, Magnetik, Tomographie mit linearemStrahlengang

Nichtlineares Problem

F hängt von ~m ab:F(~m) = ~d. (4)

Beispiel: Geoelektrik, elektromagnetische Methoden,Tomographie unter Berücksichtigung der Brechung


Einführung

~m = F−1~d ergibt i. A. keine Lösung, weil ...

... F nicht invertierbar ist.

... das inverse Problem nicht korrekt gestellt ist. D.h. dieForderungen von Hadamard hinsichtlich der

1. Existenz einer Lösung2. Eindeutigkeit der Lösung3. Stetigkeit der Lösung bei Datenfehlern

sind nicht erfüllt.


Einführung

AufgabentypEntscheidend für den Aufgabentyp sind die AnzahlMessungen N und die Anzahl der Modellparameter M.

Überbestimmtes ProblemN > M: Mittels Ausgleichsrechnung wird eine Lösung imSinne kleinster Quadrate gesucht.

Unterbestimmtes ProblemN < M: Zusätzliche Forderungen an die Lösung führen zuEindeutigkeit.


Einführung

Beispiel: Überbestimmtes ProblemBestimme einen PunktP(x1, x2) welcher die fol-genden Gleichungen er-füllt:

x1 − x2 = −12x1 − x2 = 0x1 + x2 = 2.5︸︷︷︸

A~x=~b(5)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x1

x2

x1 + 1

2 * x1

2.5 − x1

Loesung A\b

Loesung NG

Es gibt mehr Gleichungen als Unbekannte. Lösung ist derPunkt P mit dem geringsten Abstand zu allen drei Geraden.


Lineare Inversion

Einführung

Lineare InversionDie Methode der kleinsten QuadrateSingulärwertzerlegungTomographieRegularisierung


Literatur


Lineare Inversion

DIE METHODE DER KLEINSTEN QUADRATEAusgangspunkt ist die Minimierung der Euklidnorm desResiduums bzw. der Zielfunktion Φ:

Φ(~x) =‖ A~x− ~b ‖22:=

√∑i,j

(Aijxj − bi)2

2

→ min

= (A~x− b)T(A~x− b)

= ~xTATA~x−~xTAT~b− ~bTA~x+ ~bT~b (6)

Notwendige Bedingung für das Auftreten eines Extremums istdas Verschwinden der ersten Ableitungen von Φ(~x) nach allenParametern in ~x:

∂Φ(~x)∂~x

!= 0.


Lineare Inversion

Aus der partiellen Ableitung von Gleichung (6)

∂Φ(~x)∂~x

= 2ATA~x− 2AT~b != 0

folgt schließlich das System der Normalgleichungen

ATA~x = AT~b (7)

mit der Lösung im Sinne der kleinsten Quadrate(„Least-Squares-Lösung“)

~xls = (ATA)−1(AT~b). (8)


Lineare Inversion

1. Aufgabe: Least-Squares-Ansatz1. Lösen Sie das Gleichungssystem (5) mit Hilfe der

Methode der kleinsten Quadrate! Stellen Sie dazu dieNormalgleichungen auf und lösen Sie diese nachGleichung (8)!

2. Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe der Grafik aufFolie 9!

3. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung von A\~b!Was ist daraus zu schließen?


Lineare Inversion

Lineare Regression

Finde m und n so, dassdie Gerade y = mx +n die gegebenen Punk-te im Sinne der kleinstenQuadrate nähert.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

x

y

Regressionsgerade

Punkte

Mittels der Methode der kleinsten Quadrate wird eineAusgleichsgerade durch die Punktschar gelegt.


Lineare Inversion2. Aufgabe: Lineare RegressionGegeben seien die Koordinaten (xi, yi) der Punkte P1 bis P11,sowie die lineare Abbildung (m, n)→ (mx+ n). Dabei stellenn und m die gesuchten Modellparameter dar.

1. Stellen Sie das lineare Gleichungssystem für diegegebene Abbildung auf (vgl. Folie 9).

2. Erzeugen Sie eine Funktion ’linreg.m’! (Bittekommentieren!)

3. Stellen Sie das System der Normalgleichungen auf.Lösen Sie anschließend dieses Gleichungssystem.

4. Geben Sie m und n als Funktionswerte zurück.

5. Testen Sie die Funktion mit beliebigen Daten (grafischerVergleich)!

Zusatz: Berechnen Sie die Summe der Quadrate derAbweichungen der einzelnen Punkte von der Geraden(Fehlerquadratsumme)!TU Bergakademie Freiberg | Jana Börner, Julia Weißflog | Inverse Probleme, SS 2016 | 07. Juni 2016 15

Lineare Inversion

SINGULÄRWERTZERLEGUNG

Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen

Multipliziert man einen Vektor ~x ∈ Rn\{~0} mit einer MatrixA ∈ Rn×n, so ändert sich i. A. seine Richtung und sein Betrag.Erfüllt ~x jedoch die Gleichung

A~x = λ~x −→ (A− λI)~x = ~0, (9)

so ist der resultierende Vektor stets parallel zumAusgangsvektor. Man bezeichnet ~x als Eigenvektor (EV) derMatrix A.


Lineare Inversion

Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer MatrizenDie zugehörigen Eigenwerte (EW) λ verändern den Betragvon ~x (und ggf. sein Vorzeichen) und ergeben sich aus denNullstellen des charakteristischen Polynoms:

cA(λ) = det(A− λI) = 0. (10)


Lineare Inversion

3. Aufgabe: Berechnung von EW und EV

Gegeben ist die Matrix A: 2 −3 13 1 3−5 2 −4

(11)

Bestimmen Sie die Eigenwerte (Gl. (10)) der Matrix A.

Hausaufgabe

1. Bestimmen Sie die Eigenvektoren (Gl. (9)) der Matrix A.

2. Geben Sie außerdem die algebraische und geometrischeVielfachheit der EW an.


Lineare Inversion

Zu voneinander verschiedenen EW lässt sich stets ein Satz vonlinear unabhängigen EV finden.(Ausnahme: geometrische Vielfachheit < algebraischeVielfachheit)

Symmetrische MatrizenIm Speziellen sind die EV von symmetrischen Matrizen immerorthogonal zueinander.Weiterhin existiert eine Faktorisierung/Zerlegung mit den EWin der Diagonalmatrix D und den zugehörigen EV in derMatrix U:

A = UDUT. (12)


Lineare Inversion

Da U eine Orthogonalmatrix ist, gilt U−1 = UT.Mit Hilfe dieser Beziehung und unter Verwendung vonGleichung (12) lässt sich die Diagonalisierung der Matrix Abeschreiben:

U−1AU = D. (13)


Lineare Inversion

Singulärwertzerlegung (SVD) rechteckiger Matrizen

Wir konstruieren aus einer Rechteckmatrix A ∈ Rn×m einesymmetrische quadratische Matrix S:

S =

(0 AAT 0

). (14)

Diese besitzt eine Eigenwertzerlegung der Form:

S~wi = σi~wi mit ~wi =

(~ui~vi

). i = 1 . . . n+m (15)

Dabei wird ~w in einen n-dimensionalen “Datenanteil“ ~u undeinen m-dimensionalen ”Modellanteil“ ~v zerlegt.

Beachte: Wir bezeichnen die EW der Matrix S mit σ.TU Bergakademie Freiberg | Jana Börner, Julia Weißflog | Inverse Probleme, SS 2016 | 07. Juni 2016 21

Lineare InversionModell- und Datenvektorraum

Wir erhalten zwei gekoppelte Singulärwertprobleme (SP) für Aund AT: A~vi = σi~ui, (16)

AT~ui = σi~vi. (17)

Um die SP zu entkoppeln, multiplizieren wir die Gl. (16) und(17) mit AT bzw. A und erhalten nach Substitution dieEigenwertprobleme (EP):

ATA~vi = σ2i ~vi, (EP des Modellraums) (18)

AAT~ui = σ2i ~ui. (EP des Datenraums) (19)

Beachte:

Bei ATA und AAT handelt es sich stets um symmetrischeMatrizen!

Die Eigenwerte σ der Matrix S entsprechen den Singulärwertender Matrix A!


Lineare Inversion

Ausgehend von Gleichung (16) erhält man analog zum Fallquadratischer Matrizen eine Singulärwertzerlegung(Faktorisierung) der Matrix A ∈ Rn×m in der Form:

A = UWVT. (20)

Aufgrund der Orthogonalität der EV gilt: U−1 = UT undV−1 = VT.Dabei bilden die normierten Eigenvektoren

in U ∈ Rn×n den Datenvektorraum (aus Gl. (18)) und

in V ∈ Rm×m den Modellvektorraum (aus Gl. (19)).


Lineare Inversion

Die ”rechteckige Diagonalmatrix“ W ∈ Rn×m wird aus denSingulärwerten σ der Matrix A gebildet (vgl. Gl. (16)). Dieseerhält man aus den Quadratwurzeln der EW von ATA undAAT:

W enthält im linken oberen Block diag(σ1, σ2, . . . , σl),wobei σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σl mit l = min(n,m)

σ mit algebraischer Vielfachheit k werden dabei k-fachaufgeführt.


Lineare Inversion

4. Aufgabe: a. SVD

Betrachten wir die Matrix A =

1 1 00 0 10 0 −1

. Weder ihre

Spalten- noch ihre Zeilenvektoren sind linear unabhängig.

1. Berechnen Sie die Singulärwerte von A mit Hilfe derEigenwertzerlegung von ATA und AAT! Vergleichen Siedas Ergebnis der Handrechnung mit den Resultaten derFunktion ’eig’!

2. Machen Sie sich mit der Funktion ’svd’ vertraut undberechnen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix A!


Lineare Inversion

Der verallgemeinerte VorwärtsoperatorDie Singulärwerte σi stellen Elemente einer Wichtungsmatrixfür die einzelnen Daten- und Modellvektoren dar. Die zuverschwindenden Singulärwerten σi = 0 gehörenden ~ui und ~vispannen den Daten- bzw. den Modellnullvektorraum auf. Dadie Beiträge der Nullvektorräume keinen Einfluß auf dasVorwärts- bzw. Inversionsproblem haben, erhalten wir durchausschließliche Betrachtung der r nichtverschwindenenSingulärwerte einen für unser Problem äquivalentenverallgemeinerten Operator:

Ar = UrWrVTr . (21)

Beachte:

Bei rechteckigen Matrizen A existiert immer ein Daten- oderModellnullvektorraum!

Bei quadratischen Matrizen existiert entweder ein Daten- undModellnullvektorraum gleicher Dimension oder keiner vonbeiden!


Lineare Inversion

Die verallgemeinerte Inverse

Da U und V orthogonal sind, existiert weiterhin einesogenannte verallgemeinerte Inverse (Pseudoinverse) A† vonA:

A† = VrW−1r UTr . (22)

Die Lösung eines Gleichungssystems A~x = ~y ergibt sich dannwie folgt:

~x = A†~y. (23)

Für die meisten Probleme werden Singulärwerte nicht exaktNull, sondern sehr klein. Dann kann anstelle des Rangs r ein„Pseudorang“ bzgl. einer gewissen Genauigkeit für dieRekonstruktion der Matrix gewählt werden.


Lineare Inversion

4. Aufgabe: b. SVD - Modell- und Datenvektorräume

1. Schauen Sie sich erneut die SVD von A an. Wo liegen derDatenvektorraum, der Modellvektorraum und dieNullvektorräume in U und V?

2. Berechnen Sie die verallgemeinerte Inverse A† der MatrixA aus Aufgabe 4 a) nach Gleichung (22) und lösen SieA~x = ~y für ~y = (1,2,1)T!


Lineare Inversion5. Aufgabe: Bildkomprimierung mittels SVDDie Idee der Bildkomprimierung besteht in der Zerlegung derBildmatrix mittels SVD und dem Weglassen niedriger Singulärwerte.

1. Speichern Sie dasBild:http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/basket.jpg im Arbeitsverzeichnis und stellen Siees dar: imread, imagesc, colormapaxis(’image’), axis(’off’)


http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/basket.jpg



Lineare Inversion

2. Zerlegen Sie die Matrix mit Hilfe der Funktion ’svd’ in ihreEigenvektoren im Datenraum, Eigenvektoren im Modellraumund Singulärwerte (Datenformat beachten!).

double(. . . )[U,S,V]=svd(A);

3. Sehen Sie sich das Singulärwertspektrum sowie einige derModellvektoren an! Was schlussfolgern Sie daraus?

semilogy(diag(S))plot(V(:,1)), plot(V(:,30)), plot(V(:,100))

4. Nähern Sie jetzt die Matrix A durch Betrachtung der ersten nSingulärwerte an und bewerten Sie das Ergebnis optisch!Ab welcher Zahl n ist die Näherung gut genug?

5. Errechnen Sie die Menge der zur Speicherung von Ar nötigenZahlen. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der unkomprimiertenMatrix A!


Lineare Inversion

Auflösung der SVD

In der Annahme fehlerfreier Messungen (A ·~x = ~y) gilt

~x† = A†~y = A†A~x. (24)

Einsetzen der verallgemeinerten Inversen A† ergibt

~x† = VrW−1r UTr UrWrVTr~x = VrVTr~x. (25)

Die Matrix VrVTr wird als Modellauflösungsmatrix bezeichnet.Auf gleiche Weise ergibt sich die DatenauflösungsmatrixUrUTr :

~y† = A~x† = AA†~y = UrUTr~y. (26)


Lineare Inversion

6. Aufgabe: Lösung überbestimmter Probleme mittelsSVDBetrachten wir wieder das Gleichungssystem (5) auf Folie 9.

1. Bestimmen Sie die Singulärwertzerlegung der Matrix!

2. Leiten Sie daraus die verallgemeinerte Inverse ab!Dabei ist die Anzahl nichtverschwindender σi zubeachten.

3. Errechnen Sie die Lösung von (5) und vergleichen Siediese mit dem Resultat aus dem Least-Squares-Ansatz!

4. Ermitteln Sie Modell- und Datenauflösungsmatrix undstellen Sie diese mit spy dar! Interpretieren Sie beide!

5. Machen Sie sich mit svd(A,’econ’) vertraut!


Lineare Inversion

7. Aufgabe: Lösung unterbestimmter Probleme mittelsSVD

Betrachten wir das System A ·~x = ~y mit A =

(1 1 00 0 1

).

Errechnen Sie wieder

1. die verallgemeinerte Inverse,

2. die Modell- und Datenauflösungsmatrix und

3. lösen Sie das Gleichungssystem für ~y = (1,1)T!

Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat für ’\’!


Lineare Inversion

TOMOGRAPHIE

EinführungAngenommen werden gerade Strahlenwege zwischenSendern und Empfängern in einem zweidimensionalenModellgebiet. Die Laufzeit t ergibt sich für den Laufweg l zu:

t =∫l

1v(l)· dl =

∫l

s(l) · dl, (27)

wobei v die Geschwindigkeit und s die Slowness sind.Durch Übergang zum diskreten Modell mit stückweisekonstanter Slowness erhält man:

t =∑i

sili. (28)


Lineare InversionVorwärtsrechnungZur Vorwärtsrechnung müssen lediglich die Laufwege durchdie einzelnen Zellen geometrisch bestimmt werden. InMatrixform lässt sich schreiben:

~t = W~s (29)

mit den Gesamtlaufzeiten aller Strahlen in~t, denSlowness-Werten aller Zellen in ~s und den Laufwegen fürjeden Strahl in jeder Zelle in W. Die Matrix W enthält proStrahl eine Zeile und pro Modellzelle eine Spalte.

Laden Sie die Funktion wmatrix.mhttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/wmatrix.m herunter!

Sehen Sie sich die Hilfe zu dieser Funktion an!


http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/wmatrix.m



Lineare Inversion8. Aufgabe: a. Tomographie - Slownessfeld

1. Laden Sie hv130.mathttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/hv130.matin den Arbeitsspeicher! ((xt,yt) - Sender, (xr,yr) -Empfänger)

2. Legen Sie x und y als Vektoren sowie ein homogenesSlownessfeld S als Matrix (!) an (Hinweis: siehe Hilfe derFunktion malen.m)!

3. Stellen Sie es mit der Funktionhttp://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/malen.mmit und ohne Strahlen dar!subplot(...)


http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/hv130.mat



http://tu-freiberg.de/sites/default/files/media/institute-of-geophysics-and-geoinformatics-575/weissflog/malen.m



Lineare Inversion

8. Aufgabe: b. Tomographie - Laufwege

1. Bestimmen Sie die Laufwegmatrix W !wmatrix.m

2. Wählen Sie den Laufweg des Strahls Nr. 18 und stellenSie ihn dar!n = 18l = W(n,:)malen(x,y,l,xt(n),yt(n),xr(n),yr(n))

3. Stellen Sie auf gleiche Weise das Überdeckungsschemadar!Summieren Sie dazu die Laufwege aller Strahlen in derjeweiligen Zelle auf!


Lineare Inversion

9. Aufgabe: Tomographie - SVD

1. Führen Sie eine Singulärwertzerlegung der Matrix Wdurch!W = full(W)

2. Betrachten Sie das Singulärwertspektrum!

3. Sehen Sie sich einige Modellvektoren an!v = V(:,n)malen(x,y,v)

4. Errechnen Sie Modell- und Datenauflösungsmatrixmit Vollrang,mit eingeschränktem Rang!

Stellen Sie die Hauptdiagonalen der Matrizen dar undinterpretieren Sie!


Lineare Inversion

10. Aufgabe: Tomographie - synthetische Daten1. Legen Sie einen anomalen Bereich im Modell fest!

2. Errechnen Sie die Modellantwort!reshape(...)

3. Stellen Sie die Strahlen im Modell dar, die im Vergleichzum homogenen Modell eine veränderte Laufzeitaufweisen!


Lineare Inversion

Im Folgenden versuchen wir, aus der synthetischenModellantwort das Modell zu rekonstruieren.

11. Aufgabe a: Tomographie - Inversion mittels LS

Zunächst muss die Überbestimmtheit sichergestellt sein.

Überprüfen Sie ferner, dass: det(WTW) 6= 0(ggf. Änderung des Gitters erforderlich!)→ schlecht gestelltes / konditioniertes Problem,Regularisierung notwendig!

Invertieren Sie mithilfe der Normalgleichungen(LS-Lösung)!


Lineare Inversion

11. Aufgabe b: Tomographie - Inversion mittels SVD

1. Konstruieren Sie die verallgemeinerte Inverser = rank(full(W))

2. Errechnen Sie daraus die verallgemeinerte Lösung undvergleichen Sie mit der LS-Lsg!

3. Variieren Sie den Pseudorang r und betrachten Sie das Modell!Welches r erscheint am günstigsten?

4. Wiederholen Sie die Schritte 1. bis 3. mit verrauschten Daten!t=t.*(1+noise*randn(size(t))) z.B. noise=0.03

5. Schreiben Sie eine Funktion ’svdinv.m’, in der r gerade sogewählt wird, dass die Daten im Rahmen des Rauschlevelserklärt werden!

norm(Wsinv − t)√length(t)− 1

≤ 2 ∗ noise ∗mean(t) (30)



Einführung

Lineare Inversion


Literatur


Literatur

Einführung

Lineare Inversion


Literatur


Literatur

Unterstützende LiteraturA.J. Scales, M.L. Smith and S. Treitel: Introductorygeophysical inverse theory, Samizdat Press, ColoradoSchool of Mines

R.C. Aster, B. Borchers and C.H. Thurber: ParameterEstimation and Inverse Problems, Elsevier Academic Press

J. Nocedal and S.J. Wright: Numerical Optimization


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