Übung zur Vorlesung Theorien Psychometrischer Tests I

Ulf KröhneNorman Rose

Session 1/13

Organisatorisches

• Buch: Messen und Testen http://www.metheval.uni-jena.de/lehre_literatur.php

• Benutzername: stud_user• Passwort: steyer_ss_04

• Gruppen: – Dienstag 18:15– 19:45 Uhr– Freitag 10:15 – 11:45 Uhr

Aufbau der Übungen

Fragen zur Vorlesung

Übungs-aufgaben

Computer-programm

Interaktion

Agenda

• Fragen zur Vorlesung

• Wiederholung Rechenregeln

• Pfaddiagramme– in Regressionsgleichungen umwandeln– Varianzen und Kovarianzen ermitteln– Implizierte Varianz-Kovarianzmatrix

• Aufgaben

Fragen zur Vorlesung

• Mengenlehre, Potenzmenge, …:U, O,

• Variablen vs. Wert einer Variablen• Definition True-Score Variable: i := E(Yi |U ) • Definition Residuum: i := Yi i • Eigenschaften von Residuum und True-Score • Varianzzerlegung: Var(Yi) = Var(i) + Var(i)• Reliabilität: Rel(Yi) = Var(i) / Var(Yi)• Parametrisierung: i = ij0 + ij1j ij0, ij1IR, ij1>0

Wichtig: Was folgt aus der Definition und was sind zusätzliche Annahmen eines Modells!

Wiederholung Rechenregeln .1

Expectation If X takes only the values x1, ..., xn :

1

( ) ( )n

i ii

E X x P X x

Covariance Cov(X, Y ) := E [ [X – E(X )] [Y – E(Y )] ]

Variance Var(X ) := Cov(X, X ) = E [ [X – E(X )]2]

Standard deviation

Std(X ) := ( )Var X

Correlation

Corr(X,Y ):=

if ( )( , ),

( ) 0( ) ( )

0, .

Std X andCov X Y

Std YStd X Std Y

otherwise

Wichtige Definitionen:

Wiederholung Rechenregeln .2

Regel für unbedingte Erwartungswerte:

(i) E() =

(ii) E( X + Y ) = E(X ) + E(Y )

Wiederholung Rechenregeln .3

Regel für Varianzen:

(i) Var (X ) = E(X 2) – E(X ) 2

(ii) Var (X ) = 0, if X =

(iii) Var ( X ) = 2 Var(X )

(iv) Var ( + X ) = Var (X )

(v) Var ( X + Y ) = 2 Var (X ) + 2 Var (Y ) + 2 Cov(X, Y )

Wiederholung Rechenregeln .4

Regel für Kovarianzen:

(i) Cov ( X, Y ) = E( X Y ) – E( X ) E( Y )

(ii) Cov ( X, Y ) = 0, if X =

(iii) Cov ( X, Y ) = Cov ( X, Y )

(iv) Cov ( + X, + Y ) = Cov ( X, Y )

(v) Cov(1 X1 + 2 X2, 1 Y1 + 2 Y2)

= 1 1 Cov(X1, Y1) + 1 2 Cov(X1, Y2 )+ 2 1 Cov(X2, Y1) + 2 2 Cov(X2, Y2 ))

Wiederholung Rechenregeln .5

Regel für Bedingte Erwartungen (Regressionen):

(i) E(  X ) = (ii) E( Y1 +  Y2 X )  =  E(Y1 X ) +  E(Y2 X )

(iii) E[E(Y  X )]  = E(Y )

(iv) E[f (X)  X ]  = f (X ), if f (X ) is numeric

(v) E[E(Y  X )  f (X )] = E[Y  f (X )]

(vi) E[f (X ) Y  X ]  = f (X ) E(Y  X ), if f (X ) is numeric

Wiederholung Rechenregeln .6

Eigenschaften des Residuums:

(i) E() = 0

(ii) Cov[, E(Y  X )] = 0

(iii) Var(Y ) = Var[E(Y  X )] + Var()

(iv) E( X ) = 0

(v) E [ f (X )] = 0

(vi) Cov[, f (X )] = 0, if f (X ) numeric

Heimstudium ;-(

• ! M&T, Anhang – Anhang B Mengenlehre– Anhang C Karthesisches Produkt– Box F.1 E( X ), Var( X ), Cov( X, Y )– Box G.1 E( Y | X)

• M&T, Kapitel 1- Beschreibt Ziel und Anliegen der Vorlesung

• Aktuelle Vorlesung: M&T Kapitel 9

Üben Pfaddiagramme

Prinzip:

• 1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressions-gleichungen zerlegen

• 2. Schritt: Varianz der Regressions-gleichung bestimmen

• 3. Schritt: Kovarianzen der Regressions-gleichungen bestimmen

Häufig: Namen der Parameter Programmen zur Analyse (LISREL oder Mplus) einsetzen

Als Matrix aufschreiben.

Pfaddiagramm

Y3

Y2

Y1

1

2

3

Pfaddiagramm +

Y3

Y2

Y1 1

2

3

1

2

3

i := E(Yi |U ) i := Yi i

1

1

1

1

1

1

Y3

Y2

Y1 1

2

3

1

2

3

Pfaddiagramm ++

i = ij0 + ij1j i = i0 + i1

11

21

31

Pfaddiagramm!

Y3

Y2

Y1

1

2

3

1

1

1

11

21

31

Pfaddiagramm!

Y1 = 11 + 1

1. Schritt: Pfaddiagramm in Regressionsgleichungen zerlegen

Y2 = 21 + 2

Y3 = 31 + 3

Pfaddiagramm!

Var(Y1) = Var(11 + 1)= Var(11 )+Var (1)= 11

2 Var( )+Var (1)Var(Y2) = …

2. Schritt: Varianz der Regressionsgleichung bestimmen

Pfaddiagramm!

Cov(Y1, Y2) = Cov(11 + 1, 21 + 2)

= 11 21 Cov( , ) + 11Cov( , 2)

+ 21Cov(1, ) + Cov(1, 2)

= 11 21 Var() + Cov(1, 2)

= 11 21 Var()

3. Schritt: Kovarianzen der Regressionsgleichungen bestimmen

Pfaddiagramm!

Var(1) 2

Var() 2

…

Optional: Ersetzen mit Parametern…

Pfaddiagramm!Aufschreiben in Matrizenform:

Var(Y1 )

Cov(Y1, Y2)

Cov(Y1,Y3)

Var(Y2 )

Cov(Y2,Y3) Var(Y3 )

Y1

Y2

Y3

Y1 Y2 Y3

Pfaddiagramm!Aufschreiben in Matrizenform:

112 Var( )+Var (1)

212 Var( )+Var (2)

312 Var( )+Var (3)

11 21 Var()

11 31 Var() 21 31 Var()

Üben (a)

Y3

Y2

Y1

1

2

3

11=1

21=1

31=1

Üben (b)

Y3

Y2

Y1

1

2

3

Var(ε1) = Var(ε2) = Var(ε3)

11=1

21=1

31=1

Üben (c)

Y3

Y2

Y1

1

2

3

Var(η) = 1

11

21= 11

31= 11

Üben (d)

Y3

Y2

Y1

1

2

3

11

21= 11

31=1

Aufgaben

• 1. Leiten Sie die vom Modell implizierte Varianz-Kovarianzmatrix für ein Modell paralleler Tests mit 4 Indikatoren her.

• 2. Bilden Sie die Potenzmenge zu A = {p, q, r}.

• 3. Zeigen Sie, dass Cov(i, j) = Cov(Yi, j) gilt.

• 4. Zeigen Sie, dass Kor(Yi , i)2 = Rel(Yi) gilt.

(7.7%)