Odredjivanje koef.trenja

5/8/2018 Odredjivanje koef.trenja - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/odredjivanje-koeftrenja 1/17

4. KRETANJE FLUIDA

4.1. Uvod

Proučavanje kretanja fluida je veoma složen zadatak. Ako se posmatra opšti slučaj kretanja

potrebno je voditi računa o velikom broju veličina u celoj zapremini koju zauzima fluid, a koje se

menju tokom vremena. Zbog ove složenosti proučavanje se može pojednostavljivati na nekolikonačina. Idelaizacije modela fluida pomažu da se matematički jednostavnije opiše kretanje ili

mirovanje fluida. U slučaju kretanja fluida, pored pritiska, gustine i spoljnih sila pojavljuje se brzina

kretanja čestica fluida. Naravno, već je napomenuto da se viskoznost manifestuje tokom kretanja

fluida.

Istrorijski posmatrano, mehanika fluida u domenu kretanja razvijala se u dva pravca.

1. Lagranžev (Joseph-Louis Lagrange) princip zasnovan je na posmatranju čestice fluida koja se

kreće, slično kao u mehanici čvrstih tela. Princip se sastoji u tome da se čestica fluida "prati" tokom

njenog kretanja.

2. Ojlerov (Ledonhard Euler) princip zasnovan je na posmatranju celokupnog prostora koji zauzima

fluid. "Prate " se promene svih bitnih veličina u nekoj tački prostora koji zazima fluid. Pri ovakvom

posmatranju fluid se smatra potpuno plastičnom (deformabilnom) materijom koja u potpunosti

ispunjava prostor.Ojlerov princip generalno je preovladao zbog pogodnije primene, mada se u pojednim specifičnim

slučajevima primenjuje i Lagranžev princip.

Pojednostavljenje kretanja fluida koje doprinosi jednostavnijem matematičkom opisivanju često se

može usvojiti tako da se posmatrani parametri fluida u posmatranoj tački fluidnog prostora ne

menjaju tokom vremena. U ovakvom slučaju ovakav kretanje je stacionarno ("ustaljeno"). Kada se

posmatrane veličine u nekoj tački menjaju tokom vremena kretanje je nestacionarno

("neustaljeno").

4.2.Osnovni pojmovi kretanja

Radi jednoznačnog razumevanja pojmova u oblasti kretanja fluida objasni

će se osnovni pojmovi prikretanju fluida.

Strujnica je kriva linija koja spaja tangente brzina fluidnih delića. Ova linija dočarava tendenciju

orijentacije kretanja ovih delića (sl.4.1. a).

Joseph-Louis Lagrange,

(1736-1813)

Ledonhard EULER

(1707-1783)

Sl. 4.1. Osnovni pojmovi kretanja fluida



Putanja je geometrijsko mesto tačaka kroz koje je prošao fluidni delić. To je u oštem slučaju kriva

linija po kojoj se kretao posmatrani fluidni delić. Kaže se da je to "trag" kretanja fluidnog delića. Pri

stacionarnom kretanju strujnica i putanja se podudaraju (poklapaju) (sl.4.1. a).

Strujno vlakno predstavlja skup ("zbir") strujnica i ono predstavlja elementarnu (diferencijalnu)

strujnu cev (sl.4.1. b).

Strujna cev je konačni zbir strujnih vlakana (sl.4.1. c).Strujni tok je zbir više strujnih cevi koje razgranjavaju i spajaju (razgranate cevne mreže, reke sa

kanalima i sl) (sl.4.1. d).

4.3.Protok

Protok je količina fluida koja protekne kroz posmatranu površinu preseka u jednici vremena.

Definicija protoka može se odrediti na osnovu definicije gustine. Poznato je (j. 2.2) da je:

dV

dm= ρ

Odavde je na osnovu slike (sl 4.2):

dm = ρdV = ρdsdA (4.1)

gde je ds elementarni pređeni put.

Sl.4.2. Definisanje protoka

Protok se definiše na dva načina kao maseni i zapreminski. Maseni protok se definiše na osnovu

jednačine (j.4.1):

vdAdAd

ds

d

dmmd ρ

τ ρ

τ ===& (kg/s) (4.2)

U prethodnoj jednačini d τ je elementarno vreme, koje je proteklo tokom prelaska puta ds, a izraz

τ d

dsje trenutna brizana fluida u posmatranoj tački. Zapreminski protok se određuje kao:

vdAvdAmd

dQV d ==== ρ

ρ

ρ

&& (m3/s) (4.3)

4.4. Jedančina kontinuiteta



Kada se opšti zakon klasične fizike o održanju mase (materije) primeni na na strujanje fluida dobije

se jednačina kontinuiteta. Posmatraće se slučaj stacionarnog kretanja. Prethodno je definisan maseni

protok fluida (j.4.2). Ako se posmatra elementarna strujno vlakno (sl. 4.3) maseni protok duž njega

će biti jednak, zato što se "masa ne može dobiti ni izgubiti". Zbog toga će važiti:

Sl.4.3. Proticanje fluida kroz strujno vlakno

const md md md ==== &L&& 21

(4.4)

Ako se uzme u obzir jednačina (j.4.2) dobija se

const vdAdAvdAv ==== ρ ρ ρ L222111 (4.5)

Jednačina (j.4.5) je tražena jednačina kontinuiteta u elementarnom obliku. U slučaju nestišljivog

fluida, s obzirom da je ρ =const , jednačina se pojednostavljuje:

const vdAdAvdAvdQ ===== L2211 (4.6)

Za srujnu cev potrebno je sabrati protoke kroz strujna vlakna od kojih je ona sastavljena (sl.4.1.c).

Ukupni maseni protok kroz strujnu cev je:

( )∫ = A

Ad vmrr

& , ρ (4.7)

a za nestišljiv fluid:

( )∫ = A

Ad vQrr

, (4.8)

Jendačina kontinuiteta za strujnu cev se formuliše na sledeći način:

const m =& (4.9)

ili

const Q = (4.10)

Za praktičnu primenu jednačine kontinuiteta najčeće se koristi pojam srednje brzine u strujnoj cevi.

Ova veličina definiše se na sledeći način:



( ) Av Ad vm sr A

== ∫ rr

& , ρ (4.11)

odakle sledi da je:

( )

A

Ad v

v A sr

∫ =

rr,

(4.12)

Izraz u zagradi, pod integralom, je skalarni proizvod vektora. Brojčana vrednost ovog proizvoda

jednaka je proizvodu komponente brzine koja je normalna na površinu i elementarne površine. Radi

jednostavnosti može se napisati da je vrednost srednje brzine jednaka:

A

vdA

v A sr

∫ = (4.13)

gde je v komponenta brzine koja je normalna na površinu poprečnog preseka strujne cevi. Ove

komponente su različitog intenziteta po preseku (sl.4.4).

Sl.4.4. Vrednost normalne komponente brzine je različ ita po preseku strujne cevi

S druge strane vrednost integrala iz jednačine (j.4.13) jednaka je ukupnom protoku (j.4.8), pa se

može napisati da je:

A

Qv sr = (4.14)

Ovo je najčešći način definisanja srednje brzine u strujnoj cevi. U mehanici fluida postoje i druge

definicije srednje brzine, koje se primenjuju u specifičnim slučajevima. kad se razmatra strujanje

kroz strujnu cev u hidropneumatskoj tehnici brzina se obeležava samo sa v, a podrazumeva se da je

reč o srednjoj brzini da bi se pojednostavilo pisanje. Jednačina kontinuiteta za stacionarno stujanje

kroz strujnu cev se piše u sledećem obliku:

const vA Av Avm ===== ρ ρ ρ L& 222111 (4.15)

a za nestišljive fluide ( ρ =const ):

const vA Av AvQ ===== L2211 (4.16)



Ovaj oblik jednačine kontinuiteta najčešće se koristi u praktičnim problemima hidropneumatske

tehnike. Na slici (sl. 4.5) dat je primer strujne cevi u kojoj se duž strujanja menja površina

poprečnog preseka. Primena jednačine kontinuiteta u ovom slučaju je:

Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = A1 v1 = A2 v2 = A3 v3 = A4 v4

Sl. 4.5. Primer strujne cevi railič ite površine popreč nog preseka duž strujanja(1,2,3 i 4 – različ iti popreč ni preseci cevi)

4.5.Osnovna jednačina kretanja fluida(Ojlerova diferencijalna jednačina za kretanje fluida)

Posmatra se neviskozni fluid pri stacionarnom strujanju. Polazište za razmatranje kretanja je

jednačina statike fluida (j.3.8).

gradp F ρ

1=

r

Pri kretanju neviskoznih fluida, pored spoljnih sila, javljaju se inercijalne sile. One su posledica

Njutnovog zakona:

dt

dvmma F i == (4.17)

Za jediničnu masu fluida ovaj zakon glasi:

dt

dv F i = (4.18)

Dinamička ravnoteže fluida može se iskazati kao ravnoteža unutrašnjih i spoljnih sila (statika

fluida) i ravnoteža inercijalnih sila:

gradp F F i ρ

1−=

r(4.19)

ili

gradp F dt

dv

ρ

1−=

r(4.20)

Vektorska jednačina (j.4.20) razlaže se u skalarni oblik, u pravouglom Dekartovom koordinatnom

sistemu:

x

p X

d

dv x

∂

∂−= ρ τ

1(4.21)

y

pY

d

dv y

∂

∂−= ρ τ

1(4.22)

z

p Z

d

dv z

∂

∂−= ρ τ

1(4.23)



Ako se jednačina (j.4.21) pomnože sa vrednošću dx, jednačina (j.4.22) sa vrednošću dy i jednačina

(j.4.23) sa vrednošću dz , dobija se sledeći sistem jednačina:

dx x

p Xdxdx

d

dv x

∂

∂−= ρ τ

1(4.24)

dy y

pYdydy

d

dv y

∂

∂−= ρ τ

1(4.25)

dz z

p Zdz dz

d

dv z

∂

∂−= ρ τ

1(4.26)

Sabiranjem prethodne tri jednačine dobija se:

dz z

pdy

y

pdx

x

p Zdz XdxYdydz

d

dvdy

d

dvdx

d

dv z y x

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−++=++

ρ ρ ρ τ τ τ

111(4.27)

Preuređenjem prethodne jednačine (j.4.27) dobija se sledeća forma:

{ { { 4 4 4 4 34 4 4 4 21dp

z

v

y

v

x

v

dz z

pdy

y

pdx

x

p Zdz XdxYdydv

d

dz dv

d

dydv

d

dx

z y x

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−++=++ ρ τ τ τ

1(4.28)

Uočavaju se izvodi xvd

dx=

τ , yv

d

dy=

τ i z v

d

dz =

τ , koji predstavljaju komponente brzine u pravcima

pojednih koordinata. Takođe, uočava se totalni diferencijal pritiska dp. Jednačina (j.4.28) poprima

sledeći oblik:

dp Zdz XdxYdydvvdvvdvv z z y y x x ρ

1−++=++ (4.29)

Vrednost brzine fluida u nekoj tački može se iskazati na sledeći način:

2222 z y x vvvv ++= (4.30)

Ako se ovaj izraz (j.4.30) diferencira dobija se:

( ) z z y y x x dvvdvvdvvvd 2222 ++=

ili, ako se prethodna jednačina podeli sa 2:

z z y y x x dvvdvvdvvv

d ++=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

2

2

(4.31)

Leva strana jednačine (j.4.28) jednaka je desnoj strani jednačine (j.4.30), pa se može napisati

sledeće:



dp Zdz XdxYdyv

d ρ

1

2

2

−++=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ (4.32)

Ovo je poznata Ojlerova jednačina za kretanje fluida. Ona važi za stacionarno strujanje i za

neviskozni fluid.

4.6. Bernulijeva jednačina

Ojlerova diferencijana jednačina kretanja je opšti zakon. Od posebnog praktičnog interesa je da se

ova jednačina primeni u polju zemljine teže. U tom slučaju od spoljnjih sila postoji samo sila

zemljine teže. Komponente spoljnje sile su:

X = 0; Y = 0; Z = -g (4.33)

Koordinatna osa z usmerena je vertikalno naviše. Ako se vrednosti iz prethodne jednačine (j.4.33)

zamene u Ojlerovu jednačinu kretanja (j.4.32), dobija se:

dp gdz vd ρ 1

2

2

−−=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ (4.34)

ili

01

2

2

=++⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ dp gdz

vd

ρ (4.35)

Ako se ova diferencijana jednačina integrali dobija se:

C dpdz g v

d =++⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ∫ ∫ ∫ ρ

1

2

2

(4.36)

gde je C konstanta integracije. Sređivanjem jednačine (j.4.36) dobija se:

const dp gz v

=++ ∫ ρ

1

2

2

(4.37)

Da bi se rešio integral u prethodnoj jednačini potrebno je poznavati funkciju ρ = ρ( p). Ako je ova

funkcija postoji reč je o barotropnom fluidu. Ako je u pitanju nestišljivi fluid ( ρ =const ) rešenje

integrala u jednačini (j.4.37) je jednostavno:

const p

gz v

=++ ρ 2

2

(4.38)

Ovo je jedna od oblika poznate Bernulijeva jednačina. Ona važi za strujnu cev. Ovako izvedena,

ona ima velika ograničenja. Ograničenja su sledeća:

- neviskozni fluid,

- stacionarno strujanje i

- nestišljivi fluid.

I pored ovako velikih ograničenja, ova jednačina ima veoma veliki praktični značaj.



4.7. Fizičko tumačenje Bernulijeve jednačine

Ako se u proizvoljnoj strujnoj cevi (sl. 4.6) uoče dva preseka, Bernulijeva jednačina (j.4.38) može

se napisati na sledeći način:

ρ ρ

22

221

1

21

22

p gz

v p gz

v++=++ (4.39)

Daniel Bernouli (1700-1782)

Sl.4.6. Fizič ka interpretacija Bernulijeve jednač ine

Ako se jednačina (j.4.39) pomnoži sa elementarnom masom dm dobija se:

dm p

dm gz dmv

dm p

dm gz dmv

p

pr po

k

dE

dE dE

dE

ρ ρ

22

221

1

21

22++=++

4 4 34 4 21

321321

321

(4.40)

Prvi član jednačine se prepoznaje kao kinetička energije2

21 dmv

dE k = elementarne mase fluida

dm. Drugi član jednačine dm gz dE po 1= je položajna (ili visinska) energije, a treći član

dm p

dE pr ρ

1= je pritisna energija elementarne mase fluida. Zbir drugog i trećeg člana je, ustvari,

ukupna potencijalna energija fluida, koja se sastoji od položajne i pritisne energije dE p = dE po+dE pr .

Može se zaključiti da Bernulijeva jednačina predstavlja opšti zakon klasične fizike o održanju

(konzervaciji) energije, primenjen na strujanje fluida – zbir kinetičke i potencijalne energije je

nepromenjiv (konstantan). U ovom zakonu posmatrani su samo oblici fluidne enegrije. Opet se

naglašava da je reč o neviskoznom i nestišljivom fluidu, pri stacionarnom strujanju.Poznavanje jednačine kontinuiteta (zakon o održanju mase) i Bernulijeve jednačine (zakon o

održanju energije) je veoma dobra osnova za rešavanje praktičnih zadataka. Ove jednačine (j. 4.15.

ili 4.16. i 4.38) su moćno oružje za proračune strujanja, bez obzira na sva ograničenja koja su ranije

navedena.

Dimenzinom analizom prvog člana Bernulijeve jednačine (j.4.38) dobija se:



const p

gz v

=++ ρ 2

2

{

kg

J

kg

Nm

kg

m

s

kgm

kgs

mmkg

s

m

T

L

N

222

2

2

2

====⇒ (4.41)

Analiza pokazuje da se, zaista, dobija specifična fluidna energije – količina energije po jedinici

mase fluida. Ako se Bernulijeva jednačina (j.4.38) pomnoži sa ρ, dobija se druga forma ove

jednačine:

const p gz v

=++ ρ ρ 2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3m

JPa (4.42)

Ovo je, takozvana, pritisna forma Bernulijeve jednačine. I u ovoj formi uočava se njena energetska

suština. Ovde je količina energije izražena po jednici zapremine. Ako se, pak, prethodna jednačina

podeli sa ρ g dobija se visinska (geodezijska) forma iste jednačine:

const g

p z

g

v=++

ρ 2

2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

N

Jm (4.43)

U ovom slučaju koli

čina energije izražena je po jedinici težine. Sva tri oblika Bernulijeve jedna

činese primenjuju u praksi. Koji oblik će biti odabran za primenu zavisi od vrste problema koji se

rešava. Generalno, pritisna forma (j.4.42) češće se koristi u slučajevima strujanja gasova, a visinska

forma (j.4.43) u slučajevima strujanja tečnosti. Prva navedena forma Bernulijeve jednačine (j.4.38)

naziva se njena brzinska forma.

Pri korišćenju već definisane srednje brzine (j.4.14) u Bernulijevoj jednačini za strujnu cev (j.4.38)

pravi se izvesna greška. Naime, srednja brzina izračunata na osnovu količnika protoka i površine

poprečnog preseka u prvom članu Bernulijeve jednačine je na drugom stepenu. S obzirom da je

ukupna kinetička energija zbir pojedničanih kinetičkih energija delića koji se trenutno nalaze u

posmatranom preseku može se konstatovati da to ne odgovara prethodnoj primeni srednje brzine.

Matematički iskazano: "zbir kvadrata nije jednak kvadratu zbira". Razmatrajući Bernulijevu

jednačinu bilo bi doslednije naći ukupnu kinetičku energiju u posmatranom preseku pa iz nje

definisati srednju brzinu. Ova, uočena greška u jednačini se koriguje "dodavanjem" korekcionogfaktora α ispred kinetičkog člana, pa taj član jednačine tada glasi:

2

2vα (4.44)

U većini praktičnih problema može se smatrati da je α ≈ 1. U slučaju znatno većih brzina ovaj

faktor mora da se uzme u obzir, jer je on veći od 1.

4.8. Bernulijeva jednačina za viskozni fluid

(Proširena Bernulijeva jednačina)

Pri izviđenju Ojlerove diferencijane jednačine (j.4.32) unutrašnje trenje između čestica fluida, koje

je posledica viskoznosti fluida, nije uzeto u obzir. Uvođenjem viskoznih sila analiza se usložnjava.

Posledica te složene matematičke anailze su poznate Navije-Stoksove (Navier, Stockes)

diferencijalne jednačine kretanja, koje se izvode samo za jednu vrstu idealizovanog kretanja. Dalje

usložnjavanje problema pojavljuje se zbog različitih tipova strujanja i specifičnosti strujanje uz

čvrste granice strujne cevi. Teorijska razmatranja i teorijsko-eksperimentalni rezultati u ovoj oblasti

mogu se pronaći u literaturi. Za potrebe inženjerske prakse formulisana je proširena Bernulijeva

jednačina koja obuhvata probleme kretanja viskoznih fluida. Proširenje već poznate Bernulijeve



energijske jednačine za neviskozni fluid (j.4.38), se ostvaruje tako što se sa desne strane jednačine

dodaje član ∑ g H koji predstavlja "gubitak" energije zbog viskoznog trenja između dva

posmatrana preseka. Reč je o količini fluidne energije koja će se zbog postojanja trenja pretvoriti u

toplotnu. Toplotna energija se prenosi u okolinu. Za posmatrana dva preseka u strujnoj cevi (sl. 4.6)

dobija se proširena Bernulijeva jednačina:

∑+++=++2

1

22

221

1

21

22 g H

p gz

v p gz

v

ρ ρ (4.45)

Ovo je, takođe, jednačina koja proističe i opšteg zakona klasične fizike o održanju energije. Član

∑2

1 g H predstavlja količinu strujne energije, koja se zbog viskoznog trenja pretvara u neke druge

oblike energije i odlazi iz fluida. Ova količina energije se "izgubila" između preseka 1 i 2. Zadatak

inženjera je da se ova količina energije izračuna i uvrsti u jednačinu. Veliki broj istraživača je

teorijski i eksperimentalno proučavao ove gubitke energije. Na bazi velikog broja eksperimentalnih

podataka u praksi se izračunavaju gubici u zavisnosti od toga kolika je brzina fluida, koji je fluid u

pitanju, kakva je geometrija strujne cevi, kolika je hrapavost površine cevi itd.

Geometrijsko i fizičko tumačenje proširene Bernulijeve jednačine prikazano je na slici (sl.4.7).

Sl.4.7. Geometrijsko i fizič ko tumač enje proširene Bernulijeve jednač ine

U donjem delu slike (sl.4.79) prikazana je proizvoljna strujna cev. U pravcu strujanja menjaju se

sve tri karakteristične veličine v, p i ρ. Zbog toga se menjaju i količine sve tri vrste fluidne energije.

Način kako se one menjaju u ovom slučaju prikazan je na dijagramu iznad cevi. Ukupna količina



energije u preseku 1 cevi iznosi E U1. Ona je, ustvari zbir kinetičke, visinske i pritisne energije u

preseku 1. Posmatrajući stanje duž strujanja, uočava se da se ukupna količina fluidne energije

smanjuje EUX - u proizvoljnom preseku X. Smanjenje je za količinu energije ∑X

1 g H , odnosno za

količinu energija koja je utrošena za savladavanje viskoznog trenja od preseka 1 do preseka X.

Posmatrajući dva konkretna preseka cevi 1 i 2, analiza je analogna. Pri strujanju od preseka 1 do preseka 2 izvesna količina fluidne energije će se koristiti ("trošiti") za savladavanje viskoznog

trenja između ova dva preseka. Ukupna količina fluidne energije u preseku 2 je EU2. Ona je zbir tri

vrste energije u tom preseku, kinetičke, visinske i pritisne. Zbog postojanja viskoznog trenja ova

količina energije je manja u odnosu na EU1 za gubitke ∑2

1 g H . Koliki će biti pojedni sabirci fluidne

energije u preseku 2 zavisi od konfiguracije cevi i od promene površine poprečnog preseka. Ako se

cevovod uspinje povećaće se količina visinske energije, a ako se spušta ona će biti manja nego u

preseku 1. Ako se cevovod proširuje povećava se površina poprečnog preseka, pa se zbog toga

smanjuje brzina, odnosno kinetička energije fluida. Ako se cevovod sužava kinetička energija raste

zbog povećanja brzine fluida. Povećanje ili smanjenje pojedinih vrsta energije uvek je na račun

preostale dve vrste. Linija b na slici (sl.4.7) predstavlja ukupni zbir fluidne energije. Linija a

pokazuje ukupnu količinu energije za neviskozni fluid. Linije c i d pokazuju međusobne odnose

pojedinih vrsta energije.

4.9. Vrste strujanja

Davno je uočeno da tečnosti struje "uređeno" ili "haotično". Primer za to je svakodnevno iskustvo

pri posmatranju vode koja ističe iz slavine. Kada se slavina malo otvori, na gornjem delu toka, blizu

izlaznog dela slavine, voda struji "uređeno" ("glatko"). Malo niže počinje "haotično" kretanje vode

(sl. 4.8). Ovaj fenomen je zainteresovao naučnike, jer je utvr đeno da vrsta strujanja utiče na ukupne

gubitke fluidne energije pri strujanju. Zapaženo je da pri većim brzinama fluida dolazi do pojave

"haotičnog" strujanja.

Osborne Reynolds (1842-1912)

Sl. 4.8. "Uređ eno" i "haotič no" strujanje



Rejnolds (Osborne Reynolds) je proučavao ovaj fenomen. Eksperimente je izvodio na aparaturi

koja je principijelno prikazana na slici (sl.4.9). U osnovni tok fluida upuštao je obojeni fluid iz

posebnog rezervoara. Ekperimentisao je sa različitim fluidima (i tečnim i gasovitim). U

eksperimentima je menjao brzine strujanja osnovnog fluida. Ekperimentisao je i sa različitim prečnicima cevi u kojoj je strujao fluid. On je izveo veoma veliki broj eksperimenata. Zapazio je da

promena režima strujanja zavisi od vrste fluida, odnosno njegove viskoznosti, od brzine strujanja i

od prečnika cevi u kojoj fluid struji. "Uređeno" strujanje je nazvao laminarno strujanje, a"haotično" je nazvao turbulentno strujanje. Postupnim povećavanjem brzine fluida u cevi

dostizao je moment kada je laminarno strujanje prelazilo u turbulentno. Na velikom broju

ponovljenih eksperimenata za isti fluid i za istu cev, uvek pri određenoj brzini fluida dolazilo je do

promene režima strujanja. Njegov veliki doprinos nauci bio je taj što je uspeo da utvrdi kriterijum

pri kome dolazi do prelaska laminarnog u turbulentno strujanje. taj kriterijum kasnije je nazvan baš

po Rejnoldsu i zove se Rejnoldsov broj. On je definisan na sledeći način:

ν

vd =Re (-) (4.46)

gde je v – brzina fluida, d – prečnik cevi, a ν – kinematska viskoznost. Dimenzionom analizom

može se zaključiti da je Rejnoldsov broj bezdimenzionalan. Ta bezdimenzionalnost mu daje

određenu univerzalnost značenja. Fizičko tumačenje ovog broja može se iskazati kao odnos

inercijalnih i viskoznih sila u fluidu.

Sl.4.9. Rejnoldsov eksperiment (1 – posuda sa obojenim fluidom, 2 – strujna cev)

Rejnolds je ekperimentima utvrdio da je promena režima strujanja nastajala pri tačno određenoj

vrednosti Rejnoldsovog broja, bez obzira na vrstu fluida, brzinu fluida i prečnik cevi. Laminarno

strujanje uvek je egzistiralo za vrednosti Re ≤ 2320. Turbulentno strujanje uvek je egzistiralo pri

strujanjima za koje je bilo Re ≥10000. Ako se pažljivo povećava brzina strujanja iznad Re = 2320

može se održati laminarno strujanje, ali je ono nestabilno, lako se promeni u turbulentno. Isto tako,

ako se snižava vrednost Rejnoldsovog broja ispod 10000 može da egzistira turbulentni režim. Zbog

ovih činjenica strujanje u područ ju definisanim opsegom 2320≤ Re ≥ 10000 naziva se prelazni

režim strujanja. U ovom područ ju moguće je da postoji i laminarno i turbulentno strujanje.

Sumirajući prethodno može se napisati:

Re ≤ 2320 Laminarni režim strujanja



2320 ≤ Re ≥ 10000 Prelazni režim strujanja

Re ≥ 10000 Turbulentni režim strujanja.

Režim strujanja utiče na brzinsko polje fluida u cevi. Ovo polje naziva se i profil brzine fluida u

cevi. Ako je strujanje fluida u cevi laminarno profil brzine fluida u cevi definisan je parabolom. U

slučaju turbulentnog strujanja profil brzine je ravnomerniji, ali pri tome treba znati da je uz zidove

cevi strujanje laminarno, a u jezgru cevi je turbulentno. Između laminarnog i turbulentnog područ janalazi se područ je prelaznog režima strujanja (sl.4.8).

Sl.4.10. Profil brzine fluida u cevi za laminarni i turbulentni režim strujanja

4.10. Određivanje gubitaka fluidne energije

Proširena Bernulijeva jednačina, koja se odnosi na viskozni fluid (j.4. 45) pruža mogućnost za razne

proračune strujanja:

∑+++=++2

1

22

221

1

21

22 g H

p gz

v p gz

v

ρ ρ (4.45)

da bi to bilo moguće potrebno je poznavati član jednačina ∑2

1 g H . Kao što je spomenuto, veliki broj

istraživača radio je na određivanju vrednosti ovog člana jednačine. Ovi gubici se određuju

eksperimentalno. Uniformnost određivanja gubitaka fluidne energije je postignuta tako što se uzima

da je gubitak fluidne energije proporcionalan kinetičkoj energiji fluida. Za svaki pojedniačni uzrok

nastanka gubitka eksperimentom je utvr đeno na koji način on zavisi od kinetičke energije fluida. Ta

zavisnost je iskazana na sledeći način:

2

2v Hg ii ξ = (4.46)

gde je ξ i koeficijent otpora, koji se određuje eksperimentalno. Specifičnost pojedinih vrsta otpora

iskazana je vrednošću ovog koeficijenta. Generalno, gubici fluidne energije razvrstavaju se u dve

vrste. Prva vrsta gubitaka su oni koji nastaju pri strujanju kroz prave cevi, a druga vrsta je ona

koja nastaje zbog promene pravca strujnica i zbog promena lokalnih brzina fluida. Ova druga vrsta

gubitaka naziva se lokalni gubici fluidne energije.



4.10.1. Gubici fluidne energije pri strujanju kroz prave cevi

Prvi pokušaji određivanja gubitaka fluidne energije pri strujanju kroz prave cevi pokazali su da

postoji uticaj većeg broja faktora. Nikuradze (Nikuradze) je eksperimentima utvrdio da su to sledećifaktori.

e – hrapavost unutrašnje površine cevi (sl.4.11),

d – prečnik cevi,ν – kinematska viskoznost,

v – brzina fluida i

l – dužina cevi.

Sl.4.13. Hrapavost unutrašnje površine cevi

Uzimajući u obzir Rejnoldsove postavke, prethodne faktore on je sveo na sledeću zavisnost:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ = l

d

e Hgtr Hgtr Re,,

gde je

d

e- relativna hrapavost,

Re – Rejnoldsov broj i

l – dužina cevi.

On je obavio veliki broj eksperimenata iz ove oblasti, koji su poslužili drugim istraživačima. Darsi(Darcy) je prethodna istraživanja Nikuradzea objedinio u izraz, koji je saglasan sa jednačinom za

gubitke energije (j.4.46):

2

2v

d

l Hgtr λ = (4.47)

gde je λ koeficijent trenja u pravim cevima. Dalja istraživanja su se usmerila ka iznalaženju načina

određivanja koeficijenta trenja λ. Veoma značajan doprinos u ovoj oblasti dao je Mudi (Moody). On

je obradio područ je laminarnog, prelaznog i turbulentnog strujanja. Za laminarni režim je utvrdio da

hrapavost ne utiče na koeficijent trenja. Kod ovog režima strujanja (Re ≤ 2320) koeficijent trenja se

određuje na sledeći način:

Re64=λ (4.48)

Dakle, koeficijent trenja, u ovom slučaju, zavisi od brzine, prečnika cevi i kinematske viskoznosti.

U slučaju turbulentnog strujanja proračun gubitaka nešto je složeniji. Mudi (Moody) je nastavio

istraživanja Nikuradzea i formirao dijagram, na osnovu koga se određuje koeficijent trenja. To je

čuveni Mudijev dijagram (sl. 4.12). Dijagram je izrađen u logaritamskim koordinatama. Na apscisi

je Rejnoldsov broj Re, a na ordinati koeficijent trenja λ. Obe kordinate su logaritamske. U levom

delu dijagrama je laminarno područ je (Re ≤ 2320). Linija zavisnosti koeficijenta trenja od

Rejnoldsovog broja je prava zbog logaritamskih koordinata. Ta zavisnost je, inače, hiperbola



(j.4.48). U desnom delu dijagrama, za Re ≥ 2320, povučene su linije različitih relativnih hrapavosti

e/d .Procedura određivanja koeficijenta trenja, u nekom konkretnom slučaju, je sledeća:

1.Izračunavanje vrednosti Rejnoldsovog broja,

2.Određivanje režima strujanja,

3.Ako je Re ≤ 2320, strujanje je laminarno i koristi se jednačina (j.4.48),

4. Ako je Re ≥ 2320, strujanje je prelazno ili turbulentno. U tom slučaju se određuje relativnahrapavost e/d. Na bazi ove vrednosti se pronalazi odgovarajuća kriva u Mudijevom dijagramu. Ako

je potrebno obavlja se interpolacija. Sa apscise gde je nanešena izračunata vrednost Rejnoldsovog

broja povlači se vertikalna prava linija do preseka sa određenom linijom relativne hrapavosti. Iz

tačke tog preseka povlači se horizontalna prava do ordinate gde se očitava vrednost koeficijenta

trenja λ. Nakon određivanja koeficijenta trenja koristi se izraz (j.4.47) za određivanje gubitaka fluidne

energije u pravim cevima.

Sl.4.12. Mudijev dijagram

U slučaju kada cevi nisu kružnog poprečnog preseka Rejnoldsov broj se izračunava na osnovu

hidrauličkog radijusa:

ν

vRh4Re = (4.49)

gde je Rh hidraulički radijus. Hidraulički radijus se određuje na sledeći način:



O

A Rh = (4.50)

gde je A površina poprečnog preseka cevi, a O okvašeni obim poprečnog preseka. Primeri različitihoblika poprečnog preseka dati su na slici (sl.4.13). Pri određivanju okvašenog obima treba voditi

računa da je to dužina koja odgovara samo onom delu obima cevi koji je u kontaktu sa fluidom koji

struji – podebljana linija na crtežu (sl.4.13).

Sl.4.13. Različ iti popreč ni preseci strujne cevi

Za date primere na slici napisani su izrazi za određivanje Površine popre

čnog preseka, okvašenogobima i hidrauličkog radijusa (tab. 4.1)

Tabela 4.1. Hidraulič ki radijusi za osnovne popreč ne preseke (saglasno sa sl.4.13)

Oznaka

na sl.

4.13..

Presek strujne

cevi

Površina

A

Okvašeni obim

O

Hidraulički

radijus Rh

A Kvadrat 2a 4a 4

a

B Pravougaonik ba× 2( ba× )( )ba

ba

+

×

2

C Krug4

2π d d π 4d

D Pravougaonik ba× 2b + a ab

ba

+

×

2

E Trapez hba

2

+ a+2c

( )( )ca

hba

22 +

+



4.10.2. Lokalni gubici fluidne energije

Zbog promene pravca strujnica i zbog promene brzine strujanja na pojedinim mestima duž strujanja

javljaju se dodatni, lokalni gubici fluidne energije. Primeri za to su skretanje fluida (koleno), cevni

zatvarači (ventili, zasuni i slavine), proširenja cevi, suženja cevi, filteri, račve i sl (sl.4.14).

Sl.4.14. Mesta nastanaka lokalnih gubitaka fluidne energije

Ova vrsta gubitaka određuje se na osnovu jednačine:

2

2v Hg ξ = (4.51)

gde je ξ koeficijent lokalnog otpora. Ovaj koeficijent određuje se pomoću priručničke literature, u

kojoj su sistematizovani različiti slučajevi i date vrednosti za koeficijent lokalnog otpora. U svakom

konkretnom slučaju potrebno je pronaći identičan primer u tabelama i odrediti koeficijent.Lokalni gubitak fluidne energije može se iskazati ekvivalentnom dužinom cevovoda, ako se

izjednače desne strane jednačina (j.4.47 i j.4.51).

22

22vv

d

l ekv ξ λ = (4.52)

odakle je:

d

l ekvλ ξ = ili

λ

ξ d l ekv = (4.53)

pa se lokalni gubitak fluidne energije može iskazati i na sledeći način:

2

2v

d

l Hg ekv

lok λ = (4.54)

Documents

Odredjivanje koef.trenja