Objem a povrch rotačného kužeľa ... U: Aký je vzorec na výpočet objemu rotačného kužeľa? Ž: Objem rotačného kužeľa s polomerom r podstavy a výškou v vypočítame

: Preo má kue prívlastok rotaný?
U: Vysvetuje podstatu vzniku tohto telesa. Rotaný kue vznikne rotáciou, ie otoením, pravouhlého trojuholníka okolo priamky, ktorá obsahuje jednu odvesnu pravouhlého trojuholníka.
A B S
: Trojuholník zrejme otáame v priestore o 360 stupov.
U: Áno. Priamku, okolo ktorej otáame, nazývame osou kuea.
: Mám os kuea chápa ako os symetrie kuea?
U: Máš pravdu. Rotaný kue je osovo súmerný poda svojej osi. Súmernos sa prejaví aj v kadom rovinnom útvare, ktorý vznikne prienikom rotaného kuea s rovinou. Tento prienik nazývame osový rez rotaného kuea. Rovina rezu však musí obsahova os kuea.
: Aha! Osovým rezom nášho rotaného kuea na obrázku je rovnoramenný trojuholník ABV so základou AB. Táto úseka predstavuje priemer podstavy rotaného kuea.
U: Jej polovicou je polomer podstavy. Inak povedané, polomerom podstavy je dka tej odvesny pravouhlého trojuholníka, ktorá je kolmá na os otáania. To preto, lebo bod A sa pri rotácií pohybuje po krunici s polomerom rovnajúcim sa dke odvesny AS pravouhlého trojuholníka.
: Úseka AS teda vytvorí kruh s tým istým polomerom.
Ma-Te-04-T List 2
U: Tento kruh nazývame podstavou rotaného kuea.
: Podstava musí by vdy v rovine kolmej na os kuea?
U: Pri rotanom kueli áno.
U: Prepona AV rotujúceho pravouhlého trojuholníka vytvorí pri otáaní plochu, ktorú nazý- vame pláš rotaného kuea.
: Akým geometrickým útvarom je pláš rotaného kuea? U: Bod V leí na osi rotácie, preto pri otáaní nemení svoju polohu. Bod A tak, ako sme u povedali, sa pohybuje po krunici s polomerom podstavy kuea. V kadom okamihu rotácie je však jeho vzdialenos od bodu V konštantná.
: Jasné. Táto vzdialenos je vdy rovná dke prepony pravouhlého trojuholníka. Rotáciou úseky AV musí vzniknú kruh. Polomerom kruhu je dka prepony.
U: Ideš na to dobre. Nebude to však celý kruh, ale iba jeho as. Plášom rotaného kuea po rozvinutí do roviny je kruhový výsek.
AA
B
V
: A teraz som si uvedomil, e pláš charakterizujú dva rôzne polomery. Prepona uruje polomer výseku a polomer podstavy kuea súvisí s dkou krunicového oblúka.
U: Pochopil si správne. Pre jednoduchšie vyjadrovanie nazveme bod V vrcholom rotaného kuea. Je prieseníkom osi kuea a jeho pláša.
Ma-Te-04-T List 3
: Jeho vzdialenos od roviny podstavy by mala by výška rotaného kuea. Výškou kuea je úseka SV .
U: Posledným pojmom k popisu rotaného kuea je strana rotaného kuea. Je ou prepona AV pravouhlého trojuholníka, ktorá pri otáaní vytvorí pláš kuea.
: Ale kue by mal ma nekonene vea strán, nie?
U: Máš pravdu. Kadá úseka spájajúca vrchol s ktorýmkovek bodom X na hranici podstavy rotaného kuea je jeho stranou.
AA
X
B
V
s s
s s
U: Aby sme mohli vypoíta objem rotaného kuea, potrebuje pozna polomer jeho podstavy a výšku kuea. Vzorec bude analogický ako pre objem ihlana.
: Mysleli ste vzorec V = 1 3 Spv, kde Sp je obsah podstavy a v telesová výška?
U: Áno. Ak toti dve telesá majú rovnakú výšku a kadá rovina rovnobená s ich podsta- vami ich pretne v rovinných geometrických útvaroch s rovnakým obsahom, tak na základe Cavalieriho princípu takéto telesá majú rovnaký objem.
vv
a
a rr
: Aha! To ako keby som zobral pravidelný štvorboký ihlan a rotaný kue s rovnakou telesovou výškou. Ak obsah štvorca, ktorý je rezom ihlana rovinou rovnobenou s jeho podstavou bude rovnaký ako obsah kruhu v prípade kuea, tak ihlan a kue majú rovnaký objem.
Ma-Te-04-T List 4
U: Samozrejme, ihlan však môe by aj viac-boký. Dôleité je porovnávanie obsahov rezov.
: V prípade objemu rotaného kuea to bude jednoduchšie. Podstavou je stále kruh. Obsah podstavy preto závisí iba na druhej mocnine jeho polomeru. Platí
Sp = πr2.
U: Objem rotaného kuea s polomerom podstavy r a výškou v sa preto dá vyjadri v tvare
V = 1 3 πr2v.
: Mohli by ste ešte vysvetli, ako vypoítame povrch rotaného kuea?
U: Povrch rotaného kuea je daný sútom obsahu podstavy a obsahu pláša.
S = Sp + Spl.
: Obsah podstavy nie je problém. Pouijem vzorec Sp = πr2, lebo podstavou je kruh s polo- merom r. Zaujíma má hlavne obsah pláša.
ss
V
U: Povedali sme, e plášom kuea je kruhový výsek. Stredom kruhového výseku je vrchol V kuea. Strana AV kuea predstavuje polomer kruhového výseku. Dku tejto strany oznaíme symbolom s. Potrebujeme ešte zisti, aká je dka krunicového oblúka, ktorý prislúcha tomuto kruhovému výseku.
: Krunicový oblúk je vlastne obvodom podstavy. Ak má podstava polomer r, tak obvod podstavy je 2πr. Teda aj krunicový oblúk má dku 2πr.
U: Obsah kruhového výseku, ktorému prislúcha krunicový oblúk dky 2πr, oznaíme ako neznámu Spl. Obsah celého kruhu, z ktorého výsek vznikol, je πs2. To preto, lebo strana s je polomerom kruhu. Aký krunicový oblúk prislúcha celému kruhu?
: Je to celá krunica s polomerom s, ktorá ohraniuje kruh. Dka krunice je 2πs. Ako to pomôe k vyjadreniu obsahu kruhového výseku?
Ma-Te-04-T List 5
U: Medzi obsahom kruhového výseku a dkou krunicového oblúka, ktorý kruhovému výseku prislúcha je priama úmernos.
: ím väší je obsah výseku, tým dlhší oblúk výseku prislúcha?
U: Áno. Zárove to znamená, e pomer obsahov dvoch rôznych výsekov je rovnaký ako pomer dok krunicových oblúkov, ktoré im prislúchajú.
: Aha! Take porovnáme celý kruh a výsek. U: Preto pre obsah Spl pláša platí
Spl
Spl = 2πr
2πs · πs2.
Vykrátim výraz 2πs a dostávam Spl = πrs.
U: Obsah pláša teda vypoítame poda vzorca Spl = πrs, kde r je polomer podstavy kuea a s je strana kuea.
: Je to ako obsah podstavy πr2, ale jedno r je nahradené stranou s.
U: Povrch rotaného kuea teda vypoítame poda vzorca
S = πr2 + πrs,
kde r je polomer podstavy kuea a s jeho strana.
Ma-Te-04-1 List 6
Príklad 1: Vypoítajte pomer objemov a povrchov rotaných kueov, ktoré vznikli rotáciou pravouhlého trojuholníka ABC okolo odvesien a a b. Dky odvesien pravouhlého trojuhol- níka sú a = 5 cm, b = 12 cm.
U: Uvaujme najskôr rotaný kue, ktorý vznikol rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo odvesny b.
B C
A
a
b
o
360
: Odvesna a je potom polomerom podstavy a odvesna b výškou kuea. Platí
r1 = a = 5 cm; v1 = b = 12 cm.
Ma-Te-04-1 List 7
: Pouijem vzorec V = πr2v. Po dosadení íselných hodnôt dostávam
V1 = πr21v1 = π · 52 · 12.
U: Vyjadrenie objemu ponecháme v tomto tvare. Pome vyjadri povrch. Ten vypoítame poda vzorca S = πr2 + πrs. Nepoznáme však stranu s kuea.
: Stranou s kuea je vlastne prepona AB pravouhlého trojuholníka. Vypoítam ju na základe Pytagorovej vety, lebo dky odvesien poznám:
s2 = a2 + b2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169.
Strana s má dku 13 centimetrov. U: Po dosadení íselných hodnôt do vzorca pre povrch kuea dostávame
S1 = πr21 + πr1s = π · 52 + π · 5 · 13.
Dopoítaj hodnotu povrchu.
: íslo pä umocním a v druhom sítanci vynásobím ísla 5 a 13, teda
S1 = 25π + 65π = 90π.
U: Analogické výpoty urobíme aj pre druhý rotaný kue. Vznikne rotáciou toho istého pravouhlého trojuholníka okolo odvesny a.
A C
B
a
b
o
360
: Polomer podstavy má teraz dku 12 centimetrov a výška kuea 5 centimetrov.
r2 = b = 12 cm; v2 = a = 5 cm.
Ma-Te-04-1 List 8
U: Objem tohto kuea bude V2 = πr22v2 = π · 122 · 5.
Teraz u môeme vypoíta pomer objemov týchto dvoch rotaných kueov.
: Pre pomer objemov platí V1 V2 =
π · 52 · 12 π · 122 · 5
= 5 12
.
Vykrátil som íselný výraz π · 5 · 12. Pomer objemov rotaných kueov je íslo
5 12 .
U: Strana druhého rotaného kuea má tie dku s = 13 cm, lebo je to tá istá prepona v pravouhlom trojuholníku. Vypoítaj povrch tohto kuea.
: Do vzorca pre povrch kuea dosadím íselné hodnoty. Potom ísla umocním a vynásobím. Pre povrch tak dostávam
S2 = πr22 + πr2s = π · 122 + π · 12 · 13 = 144π + 156π = 300π.
U: Pomer povrchov oboch kueov je
S1 S2 = 90π 300π
: Pomer povrchov kueov, ktoré vzniknú rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jeho odve- sien je rovný reálnemu íslu 0,3.
Ma-Te-04-2 List 9
Príklad 2: Vypoítajte objem rotaného kuea, ktorého plášom je kruhový výsek s polomerom 3 cm a stredovým uhlom 120 stupov.
U: Aký je vzorec na výpoet objemu rotaného kuea?
: Objem rotaného kuea s polomerom r podstavy a výškou v vypoítame poda vzorca
V = 1 3 πr2v.
Výšku kuea nepoznám, ale polomer podstavy by mal by rovný trom centimetrom.
A
V
A
120
U: Pozor! Túto dku má polomer kruhového výseku, ktorý je plášom rotaného kuea. Polomerom výseku je strana s kuea. Ide o vzdialenos vrchola V kuea od ubovoného bodu na obvode podstavy. Strana kuea má teda dku s = 3 cm.
: Ako teda uríme polomer podstavy kuea?
U: Dka krunicového oblúka, ktorý ohraniuje kruhový výsek je rovnaká ako obvod podstavy. Obvod podstavy sa dá vyjadri v tvare o = 2πr, kde r je polomer podstavy.
: Netuším však, ako mám vypoíta dku krunicového oblúka.
U: Vypoíta dku krunice s polomerom s by pre teba nemal by problém.
: Dka krunice sa dá vyjadri v tvare 2πs. Ale, ako to súvisí s polomerom podstavy?
U: Stredový uhol, ktorý prislúcha celej krunici má vekos 360 stupov. Aká as krunice prislúcha stredovému uhlu 120 stupov?
: Jasné! Je to jedna tretina. Teda obvod podstavy kuea je rovný tretine dky krunice s polomerom s. Preto platí
1 3 · 2πs = 2πr.
U: No vidíš! Pochopil si základnú pointu úlohy. Ak rovnicu teraz vykrátime íslom 2π, tak dostaneme vyjadrenie pre polomer podstavy
r = s
3 .
Polomer podstavy má vekos r = 1 cm, lebo s = 3 cm.
Ma-Te-04-2 List 10
r
: S výškou kuea si u poradím sám. Vyuijem pravouhlý trojuholník ASV s pravým uhlom pri vrchole S. V trojuholníku poznám dku prepony a jednej odvesny. Poda Pytagorovej vety platí
v2 = s2 − r2.
√ s2 − r2.
Dosa íselné hodnoty a dopoítaj vekos výšky.
: Viem, e s = 3 cm a r = 1 cm. Pre výšku platí
v = √ 32 − 12 =
√ 8.
U: iastone odmocni! : Aha! íslo osem zapíšem v tvare súinu dvoch ísel, z ktorých sa íslo štyri dá odmocni. Dostávam
v = √ 8 =
√ 2.
U: Teraz u poznáme tak polomer podstavy kuea, ako aj jeho výšku. Môeme vypoíta objem kuea.
: Do vzorca V = 1 3 πr2v dosadím hodnoty r = 1 cm a v = 2
√ 2 cm.
√ 2 = 2 √ 2π 3 cm3.
U: Objem kue je 2 √ 2π 3 centimetrov kubických.
Ma-Te-04-3 List 11
Príklad 3: Objem rotaného kuea je 9π √ 3 dm3 a strana kuea zviera s rovinou podstavy
uhol β = 60. Vypoítajte obsah pláša rotaného kuea.
U: Objem rotaného kuea vypoítame poda vzorca V = 1 3 πr2v, kde r je polomer podstavy
a v výška rotaného kuea.
: Ale nepoznáme ani polomer podstavy, ani výšku rotaného kuea.
U: To je pravda. Poznáme však uhol, ktorý zviera strana kuea s rovinou podstavy.
A B

U: V pravouhlom trojuholníku ASV s pravým uhlom pri vrchole S sú polomer r podstavy a výška v kuea odvesnami trojuholníka.
: Vyuijem goniometrickú funkciu tangens. Je to pomer protiahlej odvesny k priahlej. Preto platí
tgβ = v
v = rtgβ = rtg60 = √ 3r,
lebo hodnota funkcie tangens pre 60 stupov je √ 3. Dosa toto vyjadrenie za výšku v do
vzorca pre objem. Vypoítaš tak polomer podstavy kuea.
: Po dosadení do vzorca pre objem dostávam
V = 1 3 πr2v =
9π √ 3 =
√ 3 3
9 = 1 3 r3.
27 = r3.
Polomer podstavy rotaného kuea je rovný trom decimetrom, lebo r = 3 √ 27 = 3.
U: Môeme vypoíta výšku rotaného kuea. Platí
v = √ 3r = 3
√ 3.
Na výpoet obsahu pláša rotaného kuea ešte budeme potrebova dku strany s kuea.
: V pravouhlom trojuholníku ASV pouijem Pytagorovu vetu. Platí
s2 = r2 + v2.
Dosadím íselné hodnoty r = 3 dm a v = 3 √ 3 dm.
U: Pre stranu s dostávame
s = √ 32 + (3
√ 9 + 27 = 6 dm.
Strana kuea má dku 6 decimetrov. Vypoíta obsah pláša by pre teba nemal by problém.
: Obsah pláša vypoítam poda vzorca Spl = πrs. Dosadím íselné hodnoty a dostávam
Spl = π · 3 · 6 = 18π dm2. U: Obsah pláša rotaného kuea je 18π decimetrov štvorcových.
Ma-Te-04-4 List 13
Príklad 4: Vypoítajte objem a povrch telesa, ktoré vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka okolo jeho prepony. Odvesny pravouhlého trojuholníka majú dky 6 cm a 8 cm.
U: Máš predstavu, aké teleso vznikne?
o
A
: Nazval by som ho dvojkue.
U: Máš pravdu. Vzniknuté teleso pozostáva z dvoch neprekrývajúcich sa rotaných kueov. Oba kuee majú spolonú podstavu.
: To znamená, e polomer podstavy je v oboch telesách rovnaký.
U: Vieš uri jeho vekos? o v pravouhlom trojuholníku ABC uruje polomer podstavy kadého z dvoch rotaných kueov, ktoré vzniknú?
: Polomer podstavy je zárove výškou na preponu. Poznám však iba dky odvesien pravouh- lého trojuholníka. Netuším ako vypoítam dku výšky na preponu.
U: Dku prepony vieš vypoíta?
Ma-Te-04-4 List 14
|AB| = √ |AC|2 + |BC|2.
Po dosadení íselných hodnôt dostávam
|AB| = √ 62 + 82 =
√ 36 + 64.
Prepona má dku 10 centimetrov, lebo odmocnina z ísla sto je íslo desa. Ako vyuijem preponu na výpoet výšky?
U: Vyjadríme obsah pravouhlého trojuholníka. Vieme, e je daný jednou polovicou zo súinu dky prepony a výšky na preponu. Výšku sme oznaili ako polomer r podstavy, preto pre obsah trojuholníka platí
S = |AB| · r 2
: Dobre, ale ve nepoznáte ani obsah, ani polomer r.
U: To je to umenie matematiky. Obsah pravouhlého trojuholníka vieme vyjadri aj iným spôsobom. Ve odvesny, ktorých dky poznáme, sú na seba kolmé. Jedna odvesna je zárove výškou na druhú odvesnu.
: Jasné. Obsah pravouhlého trojuholníka sa dá vyjadri tak cez preponu, ako aj jednu odvesnu. Preto platí
|AB| · r 2
Dky všetkých úseiek, a na polomer r poznám.
U: Dosa íselné hodnoty a vypoítaj polomer r podstavy rotaného kuea.
: Pre polomer r dostávam
r = |AC| · |BC|
.
Posledný zlomok sa dá kráti íslom dva. Polomer podstavy kuea je 24 5 centimetra.
U: Môeme vypoíta objem vzniknutého telesa.
Ma-Te-04-4 List 15
r
v1
v2
: Nechcem vás straši, ale asi ste zabudli, e nepoznáme telesové výšky v1 a v2 rotaných kueov.
U: Budeme ich vôbec potrebova? Skús vyjadri celkový objem telesa a potom uvidíš.
: Dám na vaše rady. Objem celého telesa bude sútom objemov oboch rotaných kueov. V oboch prípadoch je polomer podstavy rovnaký, preto platí
V = V1 + V2 = 1 3 πr2v1 +
1 3 πr2v2.
Z oboch sítancov vyberiem pred zátvorku výraz 1 3 πr2. V zátvorke zostane súet v1 + v2.
Jasné! Ve súet telesových výšok rotaných kueov dá preponu AB trojuholníka.
V = 1 3 πr2(v1 + v2) =
1 3 πr2|AB|.
U: No vidíš, e si to zvládol. Staí, ak teraz dosadíš íselné hodnoty a vypoítaš objem vzniknutého telesa.
: Po dosadení íselných hodnôt dostávam
V = 1 3 π ·
Ma-Te-04-4 List 16
U: Pome teraz vypoíta povrch telesa. Ako súvisí s povrchmi rotaných kueov, z ktorých pozostáva?
: Staí zobra iba plášte rotaných kueov. Ich podstavy, ktoré sú totoné, sú vo vnútri telesa. Netvoria jeho hranicu.
U: Preto platí S = Spl1 + Spl2 .
Vzorec na výpoet obsahu pláša rotaného kuea, by nemal by problémom.
: Obsah pláša rotaného kuea vypoítam poda vzorca
Spl = πrs.
Polomer podstavy poznám r = 24 5 . Stranou s je v jednom kueli strana BC trojuholníka,
a v druhom kueli je to strana AC trojuholníka ABC. Po dosadení íselných hodnôt do- stávam
S = πr|BC|+ πr|AC| = π 24 5 · 8 + π
24 5 · 6 = 336π
5 .
U: Povrch telesa je 336π 5 centimetrov štvorcových a jeho objem
384π 5 centimetrov
Ma-Te-04-5 List 17
Príklad 5: V akej výške máme rozreza rotaný kue rovinou rovnobenou s podstavou tak, aby vzniknuté asti mali rovnaký objem? Polomer podstavy rotaného kuea je r = 6 cm a telesová výška v = 15 cm.
: Ak máme rozreza rotaný kue na dve asti s rovnakým objemom, tak jedna as bude ma poloviný objem v porovnaní s objemom zadaného rotaného kuea.
U: Vieš vypoíta objem zadaného rotaného kuea?
: Pouijem vzorec
V = 1 3 πr2v,
kde r je polomer podstavy a v výška kuea. íselné hodnoty oboch veliín sú dané. Po dosadení do vzorca pre objem dostávam
V = 1 3 π · 62 · 15 = π · 36 · 5 = 180π.
U: To znamená, e jedna as kuea má po odrezaní objem 90π centimetrov kubických. Máš predstavu, ako odrezané telesá vyzerajú?
A
A′
V
o
B
B′
S
S′
v′
: Horná as telesa bude opä rotaným kueom. Dolná as sa podobá na valec, ale má šikmý pláš.
U: Dolná as sa nazýva zrezaný rotaný kue. Vzorec na výpoet jeho objemu pri riešení úlohy však nebudeme potrebova. Vystaíme s rotaným kueom.
Ma-Te-04-5 List 18
: Dobre. Vieme, e horná as rozrezaného telesa je rotaný kue. Jeho objem je 90π centi- metrov kubických. Nepoznáme však polomer podstavy horného rotaného kuea. Ako chcete vypoíta jeho výšku?
U: Polomer podstavy a výška horného rotaného kuea súvisia s rozmermi zadaného rota- ného kuea. Staí, ak sa pozrieš na osový rez týchto telies.
A
A′
V
o
B
B′
S
S′
v
r
r′
v′
: Netuším, o z obrázka mám vyui.
U: Trojuholníky SBV a S ′B′V sú podobné. Sú pravouhlé a majú spoloný ostrý uhol pri vrchole V . o platí o stranách v podobných trojuholníkoch?
: Pomery zodpovedajúcich si strán sú rovnaké. Tento pomer nazývame koeficient podob- nosti trojuholníkov.
U: Ak oznaíme koeficient podobnosti symbolom k, tak pre zodpovedajúce polomery podstáv kueov platí
r′ = kr.
Vyjadri vzah medzi výškami.
: Aj výšky poda oznaenia musia by v tom istom vzahu. Preto platí
v′ = kv.
Ma-Te-04-5 List 19
U: To ale znamená, e z objemu horného rotaného kuea vieme vypoíta koeficient podob- nosti trojuholníkov. Je to zárove koeficient podobnosti zadaného a odrezaného rotaného kuea.
: Pre objem odrezaného rotaného kuea platí
V ′ = 1 3 π(r′)2v′ =
1 3 π · (kr)2 · kv =
1 3 π · k3 · r2v.
U: Všimni si, e výraz 1 3 πr2v vyjadruje objem V pôvodného rotaného kuea.
: Objemy sú teda v pomere tretej mocniny koeficientu podobnosti
V ′
V = k3.
U: Máš pravdu. To je dos dôleitý poznatok pre pomer objemov dvoch podobných telies. Vieš teraz vypoíta koeficient k?
: Viem, e platí V ′ = V
2 . Preto pre koeficient podobnosti platí
k3 = 1 2 .
k = 3 √ 0,5.
: Výška odrezaného rotaného kuea sa potom dá vyjadri v tvare
v′ = 3 √ 0,5 · 15.
U: V akej výške od roviny podstavy sme daný rotaný kue rozrezali?
: Od výšky daného kuea odrátam výšku odrezaného kuea a dostávam
v − v′ = 15− 3 √ 0,5 · 15.
To sa dá ešte upravi tak, e íslo 15 vyberiem pred zátvorku. Kue bude rozrezaný vo výške 15 · (1− 3
√ 0,5).
Ma-Te-04-6 List 20
Príklad 6: Rotaný kue má výšku v = 6 cm. Jeho pláš má íselne toko cm2, koko cm3 má jeho objem. Urte vekos uhla pri vrchole osového…