NUMEROS IRRACIONALES

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I)

MATEMÁTICA: UNIDAD II : SESIÓN LIC. HAROLD A. CHOQUETICO APAZA

CONJUNTO NUMÉRICOS: N, Z, Q

Recordando a los números naturales (N)

N = 0; 1; 2; 3; 4; ......

Recordando a los números enteros (Z)

Z = ...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...

Recordando a los números racionales (Q)

Citemos algunos elementos del conjunto Q:

Q = 7; -8;

23 ;

−65 ; 54 ;

16 ;

− 711 ; 0,63;

1,68; 1,3; 2,16; 0; ....

En diagramas

Los números racionales tienen 2 formas de representarse:

División indicada de 2 números enteros (divisor diferente de cero)

Ejemplos:

a)

71 = 7 es natural, entero y

racional

b)−81 = - 8 es entero y racional

c)

23 es racional

d)−54 es racional

Expresión decimal de los números racionales:

Ejemplos:

a) 7 = 7,00

b) – 8 = - 8,00

c)

54 = 1,25

d)

23 = 0, 666... = 0, 6 Número decimal

con período puro

e)−65 = -1,2 Número decimal

terminante

f)− 711 = - 0, 6363... = - 0,63

Número decimal con período

puro

g)

16= 0,1666... = 0,16 Número decimal

con período mixto

NOTAS:

I. Dado el siguiente número decimal:

12 , 316

Presenta: * 2 cifras en la parte entera* 3 cifras en la parte decimal

II. Si a la derecha de la parte decimal de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así:

i) 3,4 = 3,40 = 3,400 = 3,4000

III. Si a la izquierda de la parte entera de un número se agregan “ceros” dicho número no se altera. Así:

i) 0, 58 = 00,58 = 000, 58

IV. Si a un número decimal lo multiplicamos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la derecha tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10).

Ejemplos:

i) 2 , 73 . 10 = 27,3

CEBA JORGE ALBERTO RENGIFO PRADA

N Z Q

Q

Z

N

parte entera Coma

decimal

parte decimal

CICLO AVANZADO SEMANA Nº SEGUNDO AÑO


ii) 13, 612 . 100 = 1361,2

iii) 0,75123 . 1000 = 751,23

V. Si a un número decimal lo dividimos por una potencia de 10, la coma decimal se desplazará a la izquierda tantos lugares como ceros exista (en la potencia de 10)

Ejemplos:

i) 11, 7 : 10 = 1,17

ii) 1256,25 : 100 = 12,5625

iii) 110,23: 1000 = 0,11023

Expresión decimal terminante

Aquella que genera un número finito de cifras en la parte decimal, cuando se divide el numerador y el denominador. (Resto igual a cero)

Ejemplos:

i) 35 = 0,6 30 5

0

ii) 516 = 0,3125 50 16

40 80 0

Expresión decimal con período puro

Aquella que genera un conjunto de cifras repetitivas (período), inmediatamente después de la coma decimal cuando se divide el numerador y el denominador.

Ejemplos:

i) 23 = 0,666.... = 0,6 20 3

2 0,6 . .

ii)

311 = 0,2727.... = 0, 27 30 11

30 . . .

Expresión decimal con período mixto

Aquella que genera un conjunto de una o más cifras que nunca se repite (parte no periódica), luego de la coma decimal. Después de la parte no periódica hay un conjunto de cifras que se repite periódicamente.

Ejemplos:

i)

512 = 0,41666... = 0,4 1 6

50 12 20 0,4166... 80 8 . .

.

ii) 718 = 0,3888... = 0, 3 8

70 18 54 0,388... 160 144 16 . .

.


0,6

20 0,3125

Período 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666... 0,666...

Período 0,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,27270,2727

PeríodoParteno

periódica

Parteno

periódica

Período


A. Completar los espacios en blanco con las palabras: natural entero, racional según sea el caso:

1) 7 es ....................................................................

2) – 4 es .................................................................

3)25 es .................................................................

4)17 es ..............................................................

5) 0,36 es ...............................................................

6) 2,75 es .................................................................

7) 0 es ..................................................................

8)74 es ..................................................................

9) – 8 es ..................................................................

10) 1,3 es ..................................................................

11) 0,1333... es ........................................................

12)

3100 es ................................................................

13) 3,001 es ..............................................................

14) 1,27 es .................................................................

B. Marca verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

1) 6 = 06,00 ( )

2) –2 = -2,000 ( )

3)15 = 0,205 ( )

4)−23= -0,666... ( )

5)

225 = 0,08 ( )

6) 02,4 = 2,40 ( )

7)−34 =

−2432 ( )

8) 334 =

64

( )

9) 14,15 = 1,415 . 10 ( )

10) 0,25 : 100 = 0,0250 ( )

11) 0,1717... = 0,17( )

12) 215 =

115

( )

13) 5,182 : 1000 = 0,05182( )

14) 2,23 = 2,2333... ( )

15)27 =

1657 ( )

16) 0,7272... 0,7222... ( )

17) –1,41 -1,414( )

18) 1,421 . 10 = 0,1421 ( )

19) 2,15 : 10 = 0,215 ( )

20) 42,132 = 42,13200 ( )

21) 2,11411 2,11414 ( )

22) 005,3 = 05,30( )

C. Divide las siguientes fracciones y clasifícalas en: Decimales terminantes, Decimales con período puro o Decimales con período mixto.

1)35 = 0,6 Decimal terminante

30 5 0,6


EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 A


2)

13 = 0,333... = 0,3 Decimal con período puro

10 3 10 0,33... 1

3)56 = 0,8333... = 0,83 Decimal con período mixto

50 6 20 0,833... 2

4)211 =

5)74 =

6)

19 =

7)1727 =

8)

815 =

9)

730 =

También sabemos que expresiones decimales como:

0,25; 0,63; 0,16 pueden ser expresadas como

números racionales de la forma ab así:

0,25 = 25100 =

14

0,63 = 6399 =

711

0,16 = 16−190 =

1590 =

16

NOTAS:

I. Fracción generatriz de un decimal terminante:

Ejemplos: Hallar la fracción generatriz de:

i) 0,125 = 1251000 =

18

Descripción: En el numerador se coloca el entero, que

resulta de suprimir la coma decimal.

En el denominador se coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el numerador dado.

Luego se simplifica.

ii) 2,25 = 2 + 0,25 = 2 + 25100 = 2 +

14 =

94

Fracción

generatriz

II. Fracción generatriz de un decimal con período puro:

Ejemplos:

Hallar la fracción generatriz de:

i) 0,234234... = 0,234 = 234999 =

78333 =

26111

Fracción generatriz

Descripción:

En el numerador se coloca el período

En el denominador está formado por tantos nueves como cifras tiene el período.

Luego se simplifica.

ii) 2,36 = 2 + 0,36 = 2 + 3699 = 2 +

411 =

2611


III. Fracción generatriz de un decimal con período mixto:

Ejemplos:

Hallar la fracción generatriz de:

i) 0,83 = 83−890 =

7590 =

56


Descripción:

En el numerador se coloca la parte no periódica

seguida del período menos la parte no periódica.

En el denominador escribimos tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no periódica.



ii) 2, 1590 = 2 + 0,1590 = 2 + 1590−159900 = 2 +

15759900

= 2 + 744 =

9544 Fracción generatriz

A. Hallar la fracción generatriz de:

1) 0,012 5) 0,175

2) 2,05 6) 6,12

3) 0,35 7) 10,1

4) 0,105 8) 12,25

B) Hallar la fracción generatriz de:

1) 0,63 6) 0,72

2) 0,711 7) 2,2

3) 5,6 8) 9,333...

4) 2,54 9) 1,1818...

5) 0,018 10) 0,756756....

C) Hallar la fracción generatriz de:

1) 0,17 6) 2,7666...

2) 0,56 7) 0,6343434...

3) 0,125 8) 2,15666...

4) 1,23 9) 0,0532

5) 3,165 10) 1,22363636...

OBSERVACIÓN:

Existen números con infinitas cifras en su parte

decimal y que no presentan período alguno.

Tales números forman parte de un nuevo conjunto

de números , “Los Números Irracionales”.

¿QUÉ ES UN NÚMERO IRRACIONAL?

Es todo aquel número que en su parte decimal

tiene infinitas cifras decimales sin presentar

período alguno.

Estos números constituyen un conjunto numérico

denominado CONJUNTO DE NÚMEROS

IRRACIONALES y se le representa por I

Ejemplos:

i) 2,2360679...

ii) 3,14159265... no presentan

iii) 1,4142135... Período

iv) 2,71828128...

v) 1,73231...

NOTAS:

I. Los números irracionales no pueden ser representados por fracción alguna.

II. Algunos de estos números irracionales son el resultado de efectuar ciertas operaciones de radicación, por ejemplo:

√2 = 1,4142135...

√3 = 1,73231...

√5 = 2,2360679...

III. Otros números irracionales son llamados trascendentes como el (se lee número “PI”) y e (se lee número de Neper).

= 3,14159265...

e = 2,71828128...

IV. El conjunto Q y el conjunto I son disjuntos entre sí

Q I =

V. Al conjunto I también se le simboliza por Q ’

A. Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:


EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº 3C

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Nº3 B

Pero, no todo número decimal puede ser

expresado como número racional.


1) 3 N ( )

2) 7/5 Z ( )

3) –7 I ( )

4) √4 I ( )

5) 0,3 I ( )

6) 0 Q ( )

7) 2,2360679... I ( )

8) 1,414141... Q ( )

9) 2,71828128... I ( )

10) √5 N ( )

11)−63 Z ( )

12) 1,4142135... I ( )

13) 2,333... Q ( )

14) – 8 N ( )

15) 0 I ( )

16) 1 I ( )

17) √3 Q ( )

18) I ( )

19) 1,7320508 I ( )

20) √81 Z ( )

21)3√−8 Z ( )

22)5√32 Q ( )

1. Calcular la fracción generatriz del número

decimal:

1,405 dando como respuesta la suma de los

términos de dicha fracción.

2. Luego de obtener la fracción generatriz del

número decimal: 0,363636...

Indicar la diferencia de los términos de la

fracción generatriz.

3. Calcule Ud. la fracción generatriz del decimal

que resulta al efectuar: 1,245 + 2,534 – 3

Dar como respuesta el numerador.

4. Al calcular Ud. la fracción generatriz del

número decimal: 0,4484848... se observa

que el denominador excede al numerador en:

5. Luego de obtener la fracción generatriz del

número decimal:1,5625 se nota que el

numerador excede al denominador en:

6. Después de efectuar las operaciones indicadas

a continuación:

0,2121... – 0,1212... + 0,5666.....

Indicar el numerador de la fracción generatriz.

7. Luego de efectuar : (6,21 – 2,43 + 5,82) : 2Calcular el cuadrado de la suma de los

términos de la fracción generatriz.

8. Después de efectuar operaciones en la

expresión:

(2,12 + 3,13 + 4,14) : 3 – 2,33

Calcule la suma de cuadrados de los términos

de la fracción generatriz.

9. Indicar el decimal que origina el resultado de

efectuar: (23+ 16+ 34 )

10. ¿Qué decimal se obtiene luego de efectuar

operaciones en: (14+ 13+12 ):(3+ 14 )?


TAREA DOMICILIARIA N° 3

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