OS NATU

HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES.

SUMA Y RESTA DE IRRACIONALES.

MULTIPLICACIÓN DE IRRACIONALES.

DIVISIÓN DE IRRACIONALES.

POTENCIACIÓN DE IRRACIONALES.

RACIONALIZACIÓN.

HISTORIA DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Son todos aquellos que no se pueden expresar en forma de fracción

y tienen una cantidad infinita de decimales sin ningún patrón que se

repita, son los que no son racionales.

Los números irracionales los descubrió un estudiante de Pitágoras

llamado Hipaso, que trató de escribir la raíz de 2 en forma de fracción

(se cree que utilizando geometría). Pero demostró que no se podía

escribir de esta forma, por lo tanto demostró que existían números

que no eran racionales.

Para Pitágoras que creía que todos los números tenían valores

perfectos, no aceptaba la existencia de los números irracionales, y

tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó.

CARACTERÍSTICAS:

Cualquier raíz de un número primo.

Cualquier raíz que no sea exacta.

Números como π y e.

Todo número cuyo parte decimal sea infinita no periódica.

Con el teorema de Pitágoras podemos representar gráficamente la

posición de un número irracional teniendo en cuenta la siguiente

figura.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Para simplificar un radical se descompone el radicando en factores

primos.

EJEMPLO:

Se organiza en la raíz.

√23. 52

Se aplican las propiedades de la radicación de números enteros

para simplificar al máximo el número irracional.

√23. 52 = √23. √52 = √22. 2. √52

= 2√2. 5 = 10√2

SUMA Y RESTA DE IRRACIONALES

Para sumar o restar dos números irracionales se debe simplificar al

máximo y luego se suman o se restan aquellos que tengan el mismo

radicando y el mismo índice.

= 3√20 + 5√45 − 12√24

= 3√22. 5 + 5√32. 5 − 12√22. 6

= 3.2√5 + 5.3√5 − 12.2√6

= 6√5 + 15√5 − 24√6

= (6 + 15). √5 − 24√6

= 21√5 − 24√6

MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

Para multiplicar números irracionales se tiene en cuenta la siguiente

propiedad de la radicación de los números enteros.

= √𝑎. 𝑏 = √𝑎. √𝑏

Ejemplo: = (3√2). (2√6) = 3.2√2.6 = 6√12

= 6√12 = 6√22. 3 = 6.2√3 = 12√3

En algunas ocasiones los índices de los números irracionales no son

iguales, se debe amplificar con el fin de volverlas homogéneas y así

poder aplicar la propiedad anterior.

Ejemplo: (3√23

). (6√2)

(3√23

). (6√2) = (3√226) . (6√236

) = (3.6√22. 236) = (18√256

)

DIVISIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES

Para dividir números irracionales se tiene en cuenta la siguiente

propiedad de la radicación de los números enteros.

= √𝑎

𝑏=

√𝑎

√𝑏

Ejemplo:

3√8

2√2=

3

2√

8

2=

3

2√4 =

3

2. 2 = 3

En algunas ocasiones los índices de los números irracionales no son

iguales, se debe amplificar con el fin de volverlas homogéneas y así

poder aplicar la propiedad anterior.

Ejemplo:

2√33

3√34 =

2√33

3√34 =

2 √3412

3 √3312 =2

3√

34

33

12

=2

3√3

12

POTENCIACIÓN DE NÚMEROS

IRRACIONALES

Para potenciar un número irracional se aplica la siguiente propiedad

de la radicación de números enteros y el resultado lo se simplifica.

( √𝑎𝑛

)𝑚

= √𝑎𝑚𝑛

Ejemplo:(√254

)2

(√254

)2

= ( √524)

2

= (√(52)24)

= ( √544) = 5

RACIONALIZACIÓN

Es el proceso de eliminar radicales que se encuentran en el

denominador, pueden presentarse casos donde el denominador es

un monomio (un término), binomio (2 términos), trinomio (3

términos).

Cuando es un monomio:

Cuando el índice es igual a 2 se multiplica por la misma raíz que está

en el denominador arriba y debajo de la fracción y se simplifican las

raíces.

Ejemplo: 2

√5

2

√5.√5

√5=

2√5

√52=

2√5

5

Cuando el índice es mayor a 2, primero se simplifica el radicando,

luego se multiplica por la misma raíz que está en el denominador

arriba y debajo de la fracción y se simplifican las raíces.

Ejemplo:

2

√45 =

2

√225 .√235

√235 =2√235

√255 =2√235

2= √235

Cuando es un binomio:

Se multiplica por la conjugada del binomio, la conjugada es el mismo

binomio per el signo que separa ambos términos es contrario es

decir:

(𝑎 + 𝑏) La conjugada es (𝑎 − 𝑏)

Ejemplo: 2

√2+5

2

√2 + 5.√2 − 5

√2 − 5=

2(√2 − 5)

(√2 + 5)(√2 − 5)

=2√2 − 10

(√2)(√2) + (5)√2 − (5)√2 − (5)(5)

=2√2 − 10

(√22) + 5√2 − 5√2 − 25=

2√2 − 10

2 − 25

=2√2 − 10

−23

https://www.youtube.com/watch?v=LVNth46dPfU

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