5 numeros irracionales

Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y B

UNIDAD N°1: 2º PARTE

NÚMEROS IRRACIONALES

A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les llama números irracionales. A su conjunto lo representaremos con la letra a .

Son números irracionales:

Números irracionalesLos números irracionales aparecen en las construcciones geométricas más sencillas. Por ejemplo, en un cuadrado de lado igual a 1, la diagonal adopta como valor raíz de 2, un número irracional.

El conjunto formado por los números racionales e

irracionales es el conjunto de los números reales, se designa

por .

Atención!!! Recordá que no podemos resolv er las raíces d eíndice par de números negativos, y la división por cero.

1


1) Marcar los números que son irracionales.

49a) 1,737475767778… b) -2,040404040… c) d) 6 23

13360 16e)4,12345678 f) g) 5 32 h)90 2

2) Hallar el valor de X .

a) b)

2

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e) f) ¿Puede existir este triángulo?

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto

de la recta un número real .

Representación de los números reales

Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta

aproximación como queramos, pero hay casos en los que podemos

representarlos de forma exacta.

3


4) Apliquen el teorema de Pitágoras para representar los siguientes números irracionales en la recta real.

a) 20 c) 29 c) 40 d) 27

5) Escribir un número irracional mayor que 2 y menor que 2,1

6) Escribir un número racional .a) mayor que 1 y menor que 2b) mayor que 5 y 10

7) Encuentren la regla que haya podido usarse para generar los siguientes números, indiquen si son racionales o irracionales y escriban las cinco cifras decimales siguientes.

a) 0,101100111000… b) 8,10200300040… c) 1,73207320… d)-3,010203…e) 8,991991… f) 8,991992… g) 5,212022212322…h)-404004000,4040… i) -2,959697… j) 0,123212321232…

8) Entre que números enteros consecutivos se encuentra cada uno de los siguientes números. No hagas cuentas.

.......... 7 .......... .......... 18.......... .......... 50 .................... ..........

7 108 29

9) Con ayuda de tu calculadora encontrá un número racional comprendido entre :

a) 2 y 3 b) 1 7 y 1 8

10) Escribí un par de números racionales entre los que se encuentre:

a) 5 b) 2 7

11) Sobre un cuadrado negro se ha colocado otro gris y sobre él uno blanco. Sabiendo que la superficie del cuadrado negro es de 64cm2 , calculá la longitud de los lados del cuadrado gris y del blanco.

4

Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y B12) Indicá si estos números son irracionales o no. Justificá en todos los casos.a) 7 3 b) 6 6 c) 7. 7 d ) 3 27 e)5 3

13) Escribí un Número real “a” que cumpla con las condiciones pedidas: a) 7<a<7,28 y es irracional.b)7<a<7,28 y es racional,c)-5<a<-4 y tiene una expresión decimal periódica mixta.

14) Sumas algebraicas con números irracionales. ¿Te animás?3 14 3 2

7 7 5 5a) 3 4 3 6 3 b) c) d) 3 5 3 2 3

2 7 2 5e) 2 3 2 f) 3 3 3 5 3

15) Resolvé las siguientes operaciones y coloca una cruz en TODAS las casillas que corresponda

Natural Entero Racional Irracional3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

16) Sin resolver el cálculo decidí si el resultado se trata de un numero Irracional o Racional, fundamentá tu respuesta

a) 2 11 b) 4 11 c) 17 8 d) 7 10

17)Sabiendo que 5 es irracional decidí si son o no irracionales los siguientes números, fundamentá tu decisión.

a) 4 b) 3 c) 3 d) 5 e) 5 f) 25 5 5 5· 5· 5

5 6 5g) 3,1 h) 1

5 56

18) Leo afirma que 2 , Caro hace las cuentas con la calculadora y le da la8 2

razón.

a) ¿Alcanza con “mirar” la pantalla de la calculadora para justificar esa igualdad? Explicá cualquier respuesta

5

Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y Bb) Buscá una explicación “analítica” que fundamente esa igualdad.

19) A partir de lo hecho en el ejercicio anterior, extrae todos los factores que sea posible de la raíz y escribí una igualdad como la del ejercicio anterior.

a) 50 b) 18 c) 300 d ) 128 e) 27 f ) 81 g) 125 h) 3125

20) Primero extrae todos los factores que sea posible y luego resolver las siguientes operaciones de suma y resta de Números Irracionales.

a) 3 2 8 4 18

b) 28 3

63 98 5

c) 3 80 45 2

18 3

982 3 3 7

d) 2 3 5 2 5032 72 2 484 5

e) 63

2 281

175 3436 5

f) 27 108 2 48 2 75

2 6 3g)2 20 1 7 . 8045

169 493h) 3 72 3 200 25 1024

2 812 4 625i) 8 1 12 500180 45

5 144j) 2 180 3 245 5 125 605

k)1

150 3 486 216 1

2942 4

l) 5 6 25 2 24 96 3 16

21) Resolver los siguientes ejercicios combinados de Números Irracionales.

a) 5. 3 5

b) 3 7. 2 7

c) 4 3. 3 3 2

e) 3 8. 2 14 3 983

50 4 10 3 2

f)2

6

Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y B1 2 1108. 90. 125

g) 2

3 51

2 32.5 48. 72h) 10

i) 6 2. 3 2

22) Hallar el perímetro de las siguientes figuras, cuyas medidas están en cm. Luego hallar el área en los casos b),c),d) y e).

a) b) c)

d) e)

Rtas: a) 13

7 b) 8 2 ; 6cm2 c) 3 2; 1cm2 d) 4 10; 6cm2

2e) 2 5 7 11 cm; 5 7cm2

23) Se sabe que la suma de las aristas de un cubo es de 6 3

cm a) ¿Cuál es en cm la medida de una arista?

b) ¿Cuánto mide en cm la diagonal de una cara?

24) Resolvé aplicando la propiedad distributiva

a) 5 · b) 5 · 5 c) 5 · 5 d) 2 .12 2 2 2 2 2 2 2

7


e) 3. 3

f) 22 . 5

2 2 3 2 2 3

25) Expresar como potencias de exponente fraccionario.

1 xya) 5 x3 b) xy c) d) 3

2 z26)Paula calculó la medida del lado de un cuadro de forma cuadrada que tiene un

área de 1cm2

2

1 1

4cm .¿Está bien lo que hizo?¿Por qué?y obtuvo como resultado2

27) Realizar las siguientes operaciones ( Sugerencia: escribir como potencias de exponente fraccionario)

4 2 64 1 2 7 27 1 1 51

a) 2 : b) :4 c) x 3 : x 5 =2 3 3

28) Mariana y Leandro calcularon la medida de la diagonal de una bandeja cuadrada1 1

1 2 m.de lado m. Leandro dice que la diagonal mide 0,5 m y Mariana,8 4

¿Quién tiene razón?¿Por qué?

29) Mariana y Leandro siguen discutiendo. Ahora calcularon la medida de la arista del alhajero de su mamá que tiene forma de cubo de volumen 0,343 dm3 . Leandro dice que da 1/7 dm y Mariana,7/10 dm.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

Aproximación por Redondeo y Truncamiento:

Cuando trabajamos con números racionales periódicos o no periódicos, no podemos escribirlos con su desarrollo decimal completo porque tienen infinitas cifras. Con fines prácticos, en muchos casos usamos un valor aproximado.Por ejemplo:2,3 es un valor aproximado de 7/3.3,1416 es un valor aproximado de π.Para aproximar un número podemos hacerlo por redondeo o truncamiento..Observen algunos ejemplos de cómo aproximamos

1,2329. Redondeo a los centésimos:1,2379 ≈ 1,24Le sumamos 1 al 3 (la cifra del centésimo) porque le sigue un número mayor o igual que 5.

Redondeo a los décimos: 1,2379 ≈1,2Desechamos las cifras siguientes sin cambiar nada porque al 2 le sigue una cifra menor que 5.

Truncamiento a los centésimos:

8

Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y B1,2379 ≈ 1,23Cortamos el número en la cifra pedida y desechamos las siguientes.

Truncamiento a los décimos:1,2379 ≈ 1,2

Cortamos el número en la cifra pedida y desechamos las siguientes. Como conclusión final:Truncamiento: Truncar una expresión decimal en una cifra determinada significa eliminar todas las cifras que le siguen.Redondeo: Redondear una expresión decimal a una cifra determinada es reemplazarla por la expresión decimal exacta más cercana, con ese número de cifras.

Se va a entender mejor observando el siguiente cuadro de ejemplos:

Expresión original Nº de decimales a aproximar truncamiento redondeo1,5686 2 1,56 1,575,12894 3 5,128 5,1293,123155 4 3,1231 3,12320,1234544 3 0,123 0,1231,0002121 4 1,0002 1,00024,0048 2 4 44,0054 2 4 4,014,9006 3 4,9 4,9010,70000210 5 0,7 0,70,50000088 6 0,5 0,500001

30) Completar la tabla:

Expresión Expresión Aproximación por Aproximación porfraccionaria decimal truncamiento a los redondeo a los centésimos

centésimos1

16167

12

31) Mariana pagó en el mes de mayo las facturas de gas y servicio eléctrico. En los dos casos se abonó en IVA (21%), que se calcula sobre el subtotal:

a) ¿Cuánto pagó por la factura del gas, si el subtotal que figura en la boleta era de $16,88, sin considerar el IVA? Aproximen el resultado al centésimo.

b) Si por la factura de la electricidad le cobraron IVA $ 6,99, ¿cuál fue el importe total que debió abonar? Aproximen el resultado al décimo.

32) Redondear a milésimos y truncar a centésimos:a) 25,6782= b) 41,9995= c) 101,2996=d)52,3394= e )102,4453= f )π=

9


TRABAJAMOS CON LA CALCULADORA.

Las calculadoras científicas tienen entre sus funciones una que nos permite seleccionar la cantidad máxima de cifras decimales con las que deseamos trabajar. Para lograr esto utiliza la aproximación por redondeo.Esta función se activa pulsando las teclas MODE 7 y el número de cifras decimales deseadas. Se desactiva pulsando las teclas MODE 9.

33) Hallen y redondeen a 2 y3 cifras decimales. a) 2 b) 3 7

ERROR DE LAS MEDICIONES.

Cuando aproximamos números cometemos errores intencionales. Por ejemplo: Si un paquete de fideos cuesta $1,67 el cajero cobra $1,65, comete un error de $0,02 a favor del cliente.

Error absoluto= valor verdadero valor aproximado

34) Sergio va al supermercado a realizar sus compras, pero no quiere gastar más de $50. Para evitar problemas en la línea de cajas, redondea el precio en forma mental y suma.

Artículo PrecioPan lacteado 7,831 paq. de salchichas 4,561 Docena de huevos 6,091 paq. de ñoquis 12,34caldo 1,01Carne picada 15,07Jugo exprimido 1,78Jugo exprimido 2,37

a) Si redondea a una cifra decimal,¿cuál es el error cometido?,¿a quién favorece?

b) El cajero suma correctamente y redondea la suma;¿cuál es el error cometido?,¿a quién favorece?35) ¿Cuál es el error que se comete al sumar

5 y

5 si se opera con sus

16 8expresiones decimales redondeadas a dos cifras decimales? 20) En caso de querer escribir una aproximación decimal de 7 ,¿ cuándo cometemos menor error, al escribir 2,64 ó 2,65? Fundamentá tu respuesta.

36)¿Cuánto mide la superficie de una habitación rectangular de 5,33 m de largo por 7,12 m de ancho?a) Redondea a los décimos la medida de la superficie.b)¿Cuál es el error absoluto que se comete al efectuar ese redondeo?

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Escuela Agropecuaria. Facultad de Cs. Veterinarias. UBA Matemática 2° A y BINTERVALOS EN REALES37) Completá la siguiente tabla

Inecuación Intervalo Representación en la recta0<x 3

2- ---------- )-√2 ---- 0 √3----- (----

( ; 4] 4;x> 1

2------------0---- 2

[--------

) 9-----

38) Escribir las siguientes desigualdades como intervalos reales.

a) x b) x c) 2 x d)x x e) x2 6 6 3 3 2 5 13

39) Marcar en la recta numérica los siguientes intervalos.

16 7 17a) 2; d ) 3;0 e) ; 17b) ; 2 c); 4;3 24

INECUACIONES:

Las inecuaciones son desigualdades que se verifican cuando sus miembros toman ciertos valores.Para resolver una inecuación podemos proceder de la misma forma que para resolver una ecuación, pero teniendo en cuenta el sentido de la desigualdad.

Ejemplos: Pensemos juntos…

-2 < 6 -10>-15-2 . (-3)……6 . (-3) -10 : (-5)…..-15 : (-5)

6 …… -18 2 …..3Resolvemos inecuaciones:

a) 3x-4<123x<16 Sumamos 4 a ambos miembrosX<16/3 Dividimos por 3 a ambos miembros

b) - x 3 4

2x 1 Restamos 3 a ambos miembros

2

ATENCIÓN

Si se multiplica o divide a ambos

miembros de una desigualdad por un

número negativo, la desigualdad

cambia de sentido.

x 2 Multiplicamos por -2 a ambos miembros.

11


Verifica las inecuaciones anteriores.

40) Resolver las siguientes inecuaciones en R y expresar el conjunto solución como intervalo:

a) 5 2x 16 b) 9 3.(x 2)9 c) 3x 1 2(x 5) 7x 5 0,152 6 4 4 2 2

d ) x 3 3x 2 12 e) 2x 5 5 2x 16 f ) 3x 5 x 2 x

2 4 3 2 6 18 6 61 7x 0,3 2 i) x 2 2 2

g) 3 x 2x 1 h) 0,5 2 2x x2 2

41) Expresá mediante inecuaciones:

a) Temperatura probable : Mínima 15°C/Máxima 26°Cb) La clasificación de una película dice que es prohibida para menores de

18 años.

c) En un cierto juego no pueden ser menos de 2 ni más de 6 participantes.d) Si sabés que el lado de un cuadrado no es menor que 6 cm, ¿qué podés

decir de su perímetro?

42) En un ascensor tienen que viajar 2 personas con un equipaje de 41 kg. Una de las personas pesa la mitad del peso de la otra aumentado en 10 kg. Sabiendo que la carga máxima del ascensor es de 225 kg ,¿Cuál es el máximo peso posible de la persona de mayor peso?

43)El perímetro de un corral de forma rectangular debe ser menor o igual que 300 m. El lado menor debe medir 50 m,¿ qué medidas puede tomar el otro lado?

Bibliografía. D Albano Carina, Giambini Rosana (2009) Guías de 2° año.Material

de Cátedra. Illuzzi María Alejandra, Menéndez Stella Maris (2002) Matemática 8.

Serie Convergencias. Editorial Kapelusz.Matemática para resolver problemas III. Santillana prácticas(2010) Actividades de Matemática 9 .Santillana.(2009)

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