Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia

Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb

• Základní vztahy a předpoklady řešení• Výpočet normálového napětí

• Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb

• Složené případy namáhání

2

Pruty namáhané na ohyb

ba

M

l

M

M

M

+M

V

Při ohybu prutu vznikají v jeho průřezech ohybové momenty a zpravidla i posouvající síly.

Prostý ohyb

0, ≠yz MV0==== zxy MMVNV rovině xz platí:

Rovinný ohyb: vnitřní i vnější síly leží v rovině xy nebo xz – hlavní roviny.

0, ≠zy MV0==== yxz MMVNV rovině xy platí:

3

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Ohybová zkouška

4

Základní typy namáhání – prostý ohyb

Zkouška drátkobetonových trámů, ČVUT, Praha

5

Normálová napětí při ohybu – základní předpoklady

b) podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí

0== zy σσ

a) průřezy rovinné a kolmé k ose prutu před deformací zůstávajírovinnými a kolmými k deformované ose (Bernoulliovahypotéza)

Předpoklad má povahu deformačně – geometrickou.

a

M

b

M

z

x

z

y

y

z

Daniel Bernoulli(1700 - 1782)

Platí pouze v pružné oblasti – platnost Hookeova zákona!

6

Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu prutu

+z

+x

+y

N

zV

yV

Průřez prutu

Těžiště průřezu

Střednice prutu

y

z

AN x d.d σ= ANA

xd∫= σ

xσxyτ

xzτ

( ) Adz.z.NMA

xy ∫== σ

obdobně

Působiště výslednice vnitřních sil

( ) Ady.y.NMA

xz ∫−=−= σ

dosazením

7

Určení normálového napětí za ohybu

Normálové napětí σx probíhajílineárně po výšce nosníku a extrémníhodnoty vznikají v krajních bodech. Naopak nulové hodnoty jsou v tzv. neutrálné ose (z = 0).

z

xσ

maxσ

maxσ

Neutrálná osa je s osou těžištní shodná pouze u jednoduchého zatížení.

zAB

C ED

ϕd

xd∆xd

x ′d

r

x = n

y

y

xI

z.M=σ

e

IW

y

y =

Extrémní napětí bude v krajních vláknech pro z = e.

y

y

y

y

W

Me

I

M==maxσ

e

8

Účinek normálového napětí

Více viz přednáška

ANA

xd∫= σ

Prostý ohyb: výslednice N = 0

9

Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu (rovina xz)

Symetrický průřez

z

y

x

ílndo,y

y

ílndo,xW

M=σ

Horní vlákna: ( )horní,y

y

horníW

M−=σ

Dolní vlákna:

y

y

ílndomax,,xhornímax,,xW

M== σσ

horní,xσ

ílndo,xσ

záporné napětí

kladné napětí

!

10

Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu (rovina xz)

x1e

z

y 2e

Neutrálná osa v těžišti průřezu

taženávláknaW

Me

I

M

ey

y

y

y

ex

1,

11, . ==σ

..2,

22, tlačvláknaW

Me

I

M

ey

y

y

y

ex ==σ

1

1e

IW

y

e,y =2

2e

IW

y

e,y =

… Průřezové moduly ke krajním vláknům [m3]

0=xσ

Nesymetrický průřez

hor

horW

M−=σ

dol

dolW

M=σ

ílndomax,,xhornímax,,x σσ ≠

vzdálenosti krajních vláken od těžištní osy e1,2 bývají často uváděny také jako c1,2

rozhodující je vzdálenější vlákno (větší napětí)→ rozhodující je Wy,menší

11

Návrh a posouzení ohýbaného prvku v pružném oboru - MSÚ

Posouzení návrhudle MS únosnosti

Návrh nosné konstrukce

Realizace

Dimenzování

dminEd f,W,M

dminRdEd f.WMM =≤

RdMzvětšit

d

Edmin

f

MW =

M

kd

ff

γ=

dEd MmaxM =

Předpoklad posouzení:u materiálu je stejná pevnost v tahu a tlaku, zanedbán vliv smykových napětí

12

Kombinace účinků

a

Raz

b

Rbzl

Rax

F

σx

A

N xN =σ

zI

M

y

yM =σ

N

M

V

Nσ MσMσ

0=Nσ

c

V průřezu c napětísuperponujeme a lze získat:

x = n

Posun neutrální osy

-

+- -

+

- - -

+ +

-

-

+

13

Závěry a omezená platnost odvozeného vztahu (rovina xz)

y

y

xI

z.M=σ

• Vztah platí pro případ prostého ohybu, stálého průřezu a h << l.

xz

xσ

maxσ

ha

Raz

b

Rbz

• Pokud je , vztah je pouze přibližný. Vz způsobuje smykovénapětí, zkosení, a tím i ztrátu rovinnosti průřezu. Je-li l > 5h, lzepoužít s dostatečnou přesností.

0≠zV

l

(tlak)

(tah)

14

Omezená platnost odvozeného vztahu

x

a

Raz

b

Rbzl

Vztah neplatí v místě náhlých průřezových změn.

h

y

y

xI

z.M=σ

15

Omezená platnost odvozeného vztahu

Výpočet normálového napětí

x

a

Raz

b

Rbzl

Vztah neplatí u stěn, kde l < 3h . Blíže předmět Pružnost a plasticita II.

h

z

Průběh hlavního napětí σσσσ 1

-1,4

158

-1,1

979

-1,5

275

-1,8

632

-1,0

186 1,

9644

9,19

22

6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00

[m]

[kN

/m2 ]

(tah)

(tlak)

y

y

xI

z.M=σ

16

Složená namáhání

z

y

y

y

xI

z.M=σ

z

zx

I

y.M−=σ

a b

Svislý ohyb Vodorovný ohyb

z

z

y

y

xI

y.M

I

z.M−=σ působí My i Mz – složené namáhání prutu

(prostorový ohyb)→

Svislý, vodorovný a prostorový ohyb (kap.7.1 učebnice)

17

Podklad k souhrnu učiva

Doplňte údaje: název a jednotka zatížení, únosnost

18

Podklad k souhrnu učiva - nápověda

Zadejte si každý svůj zatížený nosník

19

Úkol

x

a b

U daného nosníku spočítejte reakce, vykreslete průběhy vnitřních sil a stanovte maximální hodnotu normálového napětí včetně určení místa, ve kterém toto maximálnínapětí působí.Dále spočítejte hodnoty normálových napětí ve všech označených bodech zvlášť od N, od M a celkové hodnoty napětí v těchto bodech. Označené body jsou v krajních vláknech, v ose průřezu a ve čtvrtinách výšky průřezu.Průběhy normálových napětí v zadaných průřezech vykreslete v měřítku.

lz

y

4l

4l

F

α

h

α = 10°,

(vyjde 0 - kontrola)

poměr l/h = 15,12328

20

Průřezové charakteristiky

Rovinná úloha:

Nosník: rovina xz → ohybový moment My, posouvající síla Vz

z

x

z

y

Průřez: rovina yz → charakteristiky k ose y

F

21

Průřezové charakteristiky –

Průřezová charakteristika pro normálová napětí za ohybu je moment setrvačnosti Iy

nebo z něj odvozený průřezový modul Wy

[m3]

3

12

1bhI =

464

44rd

Iππ

== 4

12

1aI =

jednoduché obrazce v tabulkách, složené obrazce-výpočet

2

6

1bhW =⇒

33

432

rdW

ππ==⇒

3

6

1aW =⇒[m3]

[m3]

[m4][m4]

[m4]

e

IW

y

y =vzdálenosti krajních vláken od těžištní osy e1,2 bývají často uváděny také jako c1,2

moment setrvačnostiprůřezový modul

22

Průřezové charakteristiky –

Složené průřezy

moment setrvačnostiprůřezový modul

Složené průřezy - nesymetrické

e

IW

y

y =

2e

IW

y

horní,y =

1e

IW

y

ílndo,y =

ílndo,yhorní,y WW ≠

23

Spočítejte průřezové charakteristiky: Wy1,2, iy, iz

Průřezové charakteristiky – úkol do příští přednášky

yT

zT

IPN-120

IPN-220

h cel

= 2

51,5

5 m

m58

T

24

Okruhy problémů k ústní části zkoušky

1. Průřezové charakteristiky

2. Ohyb nosníků v pružném stavu – předpoklady, napětí

3. Neutrálná osa, průřezový modul, ohyb prutůnesymetrického průřezu

4. Posunutí neutrálné osy při složeném namáhání

5. Návrh a posudek prutu namáhaného prostým ohybem

6. Složené případy namáhání prutu