Statika 1 - 4. prednáška Vnitrní síly na prutech

Statika 1

M. Vokác

Definování vnitrních sil

Prubehy a vlastnostivnitrních sil

Vnitrní síly nalomených nosnícícha soustavách

Príklady

Kontrolní otázky

Statika 14. prednáška

Vnitrní síly na prutech

Miroslav Voká[email protected]

CVUT v Praze, Fakulta architektury

11. dubna 2016

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Vnitrní síly na prutech

Vnitrní síly – síly pusobící uvnitr telesa (desky, prutu), kterévznikají pusobením vnejšího zatížení a reakcí.

Ay

Ax

q

B

F

Ay

Ax

q

V

N

M

t

B

F

V

N

M

t

Vnitrní síly na prutech tvorívýslednice napetí v prurezutransformovaná do težište prurezu.

Oznacení vnitrních sil dleCSN ISO 3898:

1. V – Posouvající síla [N]

2. M – Ohybový moment [N m]

3. N – Normálová síla [N]

Ve všech rezech telesa pusobívnitrní síly, které jsou v rovnováze.

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Konvence vnitrních sil

SmykKladný sm er posouvající síly

V

V

OhybKladný sm er ohybovéhomomentuKladný ohybový moment táhnedolní vlákna prurezu. M M

Tah & TlakKladný sm er normálové sílyKladná normálová síla jetahová.

N N

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Podmínky ekvivalenceDefinice vnitrních sil na prutu

Mechanické nap etí – síla na jednotku plochy [Pa] = [ Nm2 ]

σ – normálové napetí v prurezuτ – smykové (tecné) napetí v prurezuOsa x leží ve strednici prutu.Osy y, z jsou hlavní centrální osy setrvacnosti.

ty

z

tτ

t

V

Smyk

V =

∫

A

τ dA

ty

z

tσ

t M

Ohyb

M =

∫

A

z σ dA

ty

z

tσ

tN

Tah & Tlak

N =

∫

A

σ dA

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Výpocet vnitrních silPosouvající síla V

q

F

Ax

Ay B

◮ Posouvající síla v libovolném prurezu se vypocte jakosoucet všech sil kolmých ke strednici prutu v daném rezu,které se nacházejí na jedné strane od tohoto prurezu.

Kladný smer priscítání zleva

V

N

MV

N

M

Kladný smer priscítání zprava

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Výpocet vnitrních silOhybový moment M

q

F

Ax

Ay B

◮ Ohybový moment v libovolném prurezu se urcí jako soucetohybových momentu všech sil nacházejících se na jednéstrane od daného prurezu k težišti tohoto prurezu.


V

N

MV

N

M


Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Výpocet vnitrních silNormálová síla N

q

F

Ax

Ay B

◮ Normálová síla v libovolném prurezu je soucet všech silrovnobežných se strednicí prutu v daném rezu, které senacházejí na jedné strane od tohoto prurezu.


V

N

MV

N

M


Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Vnitrní síly jako funkce

◮ Posouvající sílu, ohybový moment i normálovou sílu mohuurcit pro libovolný prurez prutu.

◮ Vnitrní síly mužeme vyjádrit jako funkci souradnice xa vynášíme je do grafu.

q

Fx

+−

V = V (x)

+M = M(x)

+N = N(x)

◮ Ohybové momenty vynášíme na stranu tažených vláken!

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Prostý nosníkSíla uprostred & spojité zatížení na celé délce

1

2L 1

2L

F

R = 1

2F R

V+

−

+ 1

2F

− 1

2F

M+

+ 1

4FL

L

q

R = 1

2qL R

V+

−

+ 1

2qL

− 1

2qL

M+

+ 1

8qL2

2◦

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

KonzolaSíla na konci & spojité zatížení na celé délce

L

F

V

++F

M

−

−FL

L

q

V

+

+qL

M

−

− 1

2qL2

2◦

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Vlastnosti vnitrních sil

◮ Na úseku, kde je spojité zatížení q = 0 platí:V (x) je konstantní funkce.M(x) je lineární funkce.

◮ Na úseku, kde q je nenulová konstantní funkce platí:V (x) je lineární funkce.M(x) je parabola (polynom 2◦).

◮ Na úseku, kde q je lineární funkce platí:V (x) je parabola (polynom 2◦).M(x) je kubická parabola (polynom 3◦).

Mezi funkcemi platí vztahy, které oznacujeme jakoSchwedlerova v eta:

V ′(x) = −q(x)

M ′(x) = V (x)

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


Nespojitost funkce V (x)◮ Posouvající síla je nespojitá v bode, kde pusobí osamelá

síla. Osamelou silou je i reakce.◮ Rozdíl hodnot V vlevo a vpravo je roven velikosti této síly.◮ Graf ohybového momentu je v tomto bode zalomen,

protože je nespojitá jeho derivace.

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


Umístení extrému ohybového momentu:

1. Pod osamelou silou, kde je V (x) nespojitá funkce a meníse v tomto bode znaménko.

2. V bode, kde je nulová hodnota posouvající síly, tj. v bode,kde platí M ′(x) = V (x) = 0.(U parabolického prubehu M(x) není treba kontrolovatkonkávnost, resp. konvexnost, v okolí tohoto bodu.)

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Lomený nosník

Ax

Ay

F1

F2

B +

◮ Nejprve u svislých prutu volím „dolní vlákna“ vlevo nebovpravo (oznacím cárkovanou cárou).

◮ Vnitrní síly vypoctu podle konvence natocenéodpovídajícím smerem.

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Lomený nosník

Ax

Ay

F1

F2

B +

Pri opa cné volb e dolních vláken:◮ Znaménko V a N se nezmení. Znaménko jednoznacne

urcuje smer V a N.◮ Znaménko M je opacné. Pri dodržení pravidla +M na

stranu „dolních vláken“ vynesu prubeh ohybovýchmomentu stejne. Pravidlo „M na stranu tažených vláken“jednoznacne urcuje smysl M.

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Staticky urcitá soustava

q

Ax

Ay

Bx

By

q

Ax

Ay

Bx

By

Cy

Cy

Cx

Cx

+

K výpo ctu vnit rních sil v daném rezu mohu použít:◮ Statické schéma celé soustavy (rez v míste daného

prurezu musí rozdelit soustavu na 2 cásti).◮ Statické schéma jednotlivé desky nebo prutu.

Pri libovolné volbe zpusobu výpoctu musí vyjít stejný výsledek,protože konstrukce je ve statické rovnováze!

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Staticky urcitá soustava

F

Ax

Ay B

F

Ax

Ay B

Cy Cy

Cx

Cx

D

D

+

V nekterých p rípadech nelze využít statické schéma celésoustavy , protože daný rez nerozdelí soustavu na2 samostatné celky.

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

PríkladPrímý nosník

F = 4kN

q = 4kN/m

Ay = 6,99 kN

Ax = 0,70 kN

B = 4,95 kN

2m 1m 1m

a bc d

αF = 80◦

+

Posouvající síly:Vac = Ay = 6,99 kNVc = Ay − q.2 = −1,01 kNVdc = Ay − q.2 = −1,01 kNVdb = Ay − q.2 − F sinαF = −4,95 kNVbd = Ay − q.2 − F sinαF = −4,95 kN

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


F = 4kN

q = 4kN/m

Ay = 6,99 kN

Ax = 0,70 kN

B = 4,95 kN

2m 1m 1m

a bc d

αF = 80◦

+

Ohybové momenty:Ma = 0 kN mMc = Ay .2 − 1

2 q.22 = 5,97 kN mMd = B.1 = 4,95 kN mMb = 0 kN m

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


F = 4kN

q = 4kN/m

Ay = 6,99 kN

Ax = 0,70 kN

B = 4,95 kN

2m 1m 1m

a bc d

αF = 80◦

+

Normálové síly:Nac = −Ax = −0,70 kNNc = −Ax = −0,70 kNNdc = −Ax = −0,70 kNNdb = −Ax + F cosαF = 0 kNNb = −Ax + F cosαF = 0 kN

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


F = 4kN

q = 4kN/m

Ay = 6,99 kN

Ax = 0,70 kN

B = 4,95 kN

2m 1m 1m

a bc d

αF = 80◦

+

+6,99

−1,01 −1,01−4,95 −4,95

+

−V

0 0

+4,95+5,97

+

M

2◦

−0,70 −0,70

0 0−

N

x

V (x) = Ay − qx = 0 ⇒ x = 1,75 mM(x) = Ay x − 1

2qx2 = 6,10 kN m

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky


F = 4kN

q = 4kN/m

Ay = 6,99 kN

Ax = 0,70 kN

B = 4,95 kN

2m 1m 1m

a bc d

αF = 80◦

+

+6,99

−1,01 −1,01−4,95 −4,95

+

−V [kN]

0 0

+4,95+5,97

+

M [kNm]

2◦

−0,70 −0,70

0 0−

N [kN]

1,75m

+6,10

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku

F1 = 2kN

F2 = 5kN

q = 4kN/m

1m 1m

1,5m

1m

b dc

a

+

+

−

V

[kN]

+2

−3

+4

0

−

+

−

M

[kNm]

−5

−2

+2

−2

0 2◦

−

−

N

[kN]

−2 0

−4

+

+

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku - souctové podmínky

F1 = 2kN

F2 = 5kN

q = 4kN/m

1m 1m

1, 5m

1m

b dc

a

+

+

−

V

[kN]

+2

−3

+4

0

−

−

N

[kN]

−2 0

−4

+

+

Ncb = −2 kN Ncd = 0kN

Nca = −4 kN

Vcb = 0kN

Vcd = +4kNVca = +2kN

↑: Vcb − Vcd −Nca = 0

→: −Ncb +Ncd − Vca = 0

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

PríkladLomený nosník - kontrola rovnováhy ve stycníku - momentová podmínka

F1 = 2kN

F2 = 5kN

q = 4kN/m

1m 1m

1, 5m

1m

b dc

a

−

+

−

M

[kNm]

−5

−2

+2

−2

0 2◦

+

+

Mcb = 0kNm Mcd = −2 kNm

Mca = −2 kNm

x: −Mcb +Mcd −Mca = 0

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Urcete, který prubeh posouvající síly V odpovídá danémuzatížení.

F F F

+

−

A) V

+

−

+B) V

+

−

+C) V

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Kontrolní otázka

Urcete, který prubeh ohybových momentu M odpovídádanému zatížení.

F

q

−

+A) M

−

+B) M

2◦

−

+C) M

2◦

Statika 1

M. Vokác




Príklady

Kontrolní otázky

Konec prednášky

Dekuji za pozornost.

Vysázeno systémem LATEX.Obrázky vytvoreny v systému METAPOST.

Documents

Statika 1 - 4. prednáška Vnitrní síly na prutech