Upload
others
View
8
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Stavební mechanika, 2.ročník bakalářského studia AST
Téma 2Deformace staticky určitých prutových konstrukcí - pokračování
2 / 65
Osnova přednášky
Osnova přednášky
• Deformace nosníku v osové úloze
• Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze
• Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku
• Deformace přímého nosníku v krutové úloze
• Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
3 / 65
Deformační zatížení, způsobené oteplením
Princip virtuálních prací
Rovnoměrné oteplení a rozklad lineárně proměnného oteplení po výšce průřezuObr. 2.7. / str. 29
Silový princip virtuálních prací:
D
D
D
l
tztyt
l
ty
yy
z
zz
z
zz
y
yy xb
tM
h
tMtNx
GI
TT
GA
VV
GA
VV
EI
MM
EI
MM
EA
NN
0
210
0
dd**
aaad
dxtdu
h
etttt
t
zhdh
D
DDDD
0
0 )(
a h
dxtd
ttt
ty
hd
D
DDD
1
1
aj
4 / 65
Deformace nosníku v osové úloze
Deformace nosníku v osové úloze
Deformace nosníku v osové úlozeObr. 2.11. / str. 33
l
e xA
NN
Eu
0
d1
d
Nt
l
te AtxNtu 0
0
0 d DD aad
Silové zatížení
Oteplení
EA
AxNN
EAu N
l
e
0
d1
dStálý průřez
Proměnný průřez
Simpsonovo pravidlo
324d 42310
0
dfffffxxf
l
5 / 65
Příklad 2.1
xN
R
R
ax
ax
.4,813
kN13
085,2.4,8
Deformace nosníku v osové úloze
Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 2.12. / str. 34
A = 64 mm2,
E = 2,1.108 kPa, at = 1,2.10-5K-1
Nutno určit pro silový zatěžovací stav i rovnoměrné ochlazení vodorovný posun uc
Silový zatěžovací stav:
m000685,010.4,6.10.1,2
2,9
d
58
0
l
Nc
EA
Ax
EA
NNu
6 / 65
Příklad 2.1
Deformace nosníku v osové úloze
Zadání a řešení příkladu 2.1Obr. 2.12. / str. 34
mm48,0m00048,02).20.(10.2,1
dd
5
0
0
0
0
0
DDD
c
Nt
l
t
l
tc
u
AtxNtxtNu aaa
Posun způsobený ochlazením:
7 / 65
Deformace přímého nosníku v příčné úloze
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Druhy přímých nosníků v příčné úlozeObr. 2.14. / str. 36
ll
xA
VV
Gx
I
MM
E0
*
0
d1
d1
d
Dl
t xM
t0
1 dh
ad
Silové zatížení
Oteplení
ll
xVVGA
xMMEI
0
*
0
d1
d1
dStálý průřez
AA
kruh pro 27/53
obdélník pro 1,2 *
Redukovaná plocha
8 / 65
Vereščaginovo pravidlo
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Vereščaginovo pravidloObr. 2.15. / str. 37
TM
l
MAxMM .d0
Pomůcka pro výpočet integrálu
Integrál ze součinu dvou momentových funkcí, z nichž první M je hladká a spojitá a druhá M je lineární, je roven součinu plochy AM prvního momentového obrazce a pořadnice MT druhého momentové obrazce v místě těžiště TM prvního momentového obrazce.
9 / 65
Vereščaginovo pravidlo
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Poloha těžiště parabolické části momentovýchobrazců pro použití Vereščaginova pravidlaObr. 2.16. / str. 38
10 / 65
Příklad 2.3
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Zadání a řešení příkladu 2.3Obr. 2.17. / str. 38
Železobetonová konzola
E = 2,2.107 kPa
S využitím Vereščaginova pravidla určete svislý průhyb d = wa.
Možno zanedbat práci posouvajících sil.
11 / 65
Příklad 2.3
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Zadání a řešení příkladu 2.3Obr. 2.17. / str. 38
3
3
1
0
33
3
2
2
1
22
3
1
1
0
11
3
321
2
0
23
37
3
kNm667,21)667,1.(13
d
kNm15)5,1.(10
d
kNm5,2)75,0.(333,3
d
m005407,010.24416,7
667,21155,2
)(1
d
kNm1024416,7
12
28,0.18,0.10.2,2
12
MAxMMS
MAxMMS
MAxMMS
SSSEI
xEI
MMw
bhEEI
M
M
M
a
12 / 65
Příklad 2.4
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Reálné a virtuální posouvající síly konzoly z příkladu 2.3Obr. 2.18. / str. 39
Železobetonová konzola
G = 9,24.106 kPa
Výpočet příkladu 2.3 s uvažováním práce posouvajících sil.
00
´
5
5
´
2,2
1,1
56*
2*
21*
2
0
*
´
7,1100.407,5
093,0100.
mm093,0m10.276,910.8808,3
2610
kNm26)1.(1.26
kNm10)1.(2
1.20
kN10.8808,3042,0.10.24,9
m042,02,1
28,0.18,0
)(1
w
w
w
VAS
VAS
GA
bhA
SSGA
dxGA
VVw
c
c
V
V
c
13 / 65
Tabulka 2.2
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Vzorce pro výpočet integrálů l
xMM0
d
str. 41
14 / 65
Tabulka 2.3
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Lokální deformace konzoly a prostého nosníku stálého průřezu str. 42
15 / 65
Příklad 2.6
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Zadání a řešení příkladu 2.6Obr. 2.20. / str. 43
Mt
l
t Ah
txM
h
t 1
0
1 dD
D
aa
dOcel at = 1,2.10-5 K-1
Lineární oteplení po výšce průřezu.
Nutno určit průhyb wc a ws.
h = 0,24 m
16 / 65
Příklad 2.6
Deformace přímého nosníku v příčné úloze (ve svislé hlavní rovině xz)
Zadání a řešení příkladu 2.6Obr. 2.20. / str. 43
cMttt
c Ah
txM
h
tx
h
Mtw 1
9
0
9
0
11 ddD
D
D
aaa
92
2.9
cMA
mm2,7m0072,024,0
)9.(16.10.2,1 5
cw
sMt
s Ah
tw 1D
a125,6
2
75,1.7
sMA mm9,4m0049,0
24,0
125,6.16.10.2,1 5
sw
17 / 65
Deformace přímého nosníku v krutové úloze
Deformace přímého nosníku v krutové úloze
Deformace nosníku v krutové úlozeObr. 2.22. / str. 45
t
T
l
t
l
t
cGI
AxTT
GIx
GI
TT
00
d1
d
Krutové pootočení
Silový virtuální stav
G modul pružnosti ve smyku
It moment tuhosti průřezu v kroucení
AT plocha obrazce kroutících momentů na části nosníku s T= ±1
18 / 65
Příklad 2.8
Deformace přímého nosníku v krutové úloze
Zadání a řešení příkladu 2.8Obr. 2.23. / str. 45
Metodou jednotkových sil nutno určit krutové pootočení pravého konce b
Ocel - G = 8,1.107 kPa
o
2
00
277
4544
41
42
20,2rad0384,08466,60
336,2
kNm336,26,0.72,0.2
11).52,172,2.(
2
1
d1
d
kNm8466,6010.5119,7.10.1,8
mm10.5119,7)2430.(2
)(2
b
T
t
T
l
t
l
t
t
pt
A
GI
AxTT
GIx
GI
TT
GI
rrII
19 / 65
Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze
Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze
m
j
l
j
j
l
j
j
l
j
j
jjj
xA
VV
Gx
I
MM
Ex
A
NN
E1 0
*
00
d1
d1
d1
d
Tři lokální složky deformace: u, v a j
m
j
l
j
j
j
xI
MM
E 1 0
d1
d
U staticky určitých případů se zanedbává práce posouvajících a normálových sil
22ccc uw dV bodě c
c
c
w
uatan
Oteplení
DDm
j
l
j
j
j
l
jjt
jj
xh
MtxNt
1 0
,1
0
,0 ddad
Stálý průřez
m
j
l
j
j
j
xMMIE 1 0
d11
d
20 / 65
Příklad 2.9
Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.9Obr. 2.24. / str. 47
Nutno určit
ud , wd , a a dd
Ocel
I1 = 16.10-5 m4
I2 = 3,8.10-5 m4
I3 = 9,2.10-5 m4
E = 2,1.108
kPa
Délky prutů:
ml
ml
ml
162,31013
2,1
8,2
22
3
2
1
21 / 65
Příklad 2.9, výpočet Vereščaginovým pravidlem
mu
Eu
dxI
MMdx
I
MM
Edx
EI
MMu
mw
Ew
dxI
MMdx
I
MM
Edx
EI
MMw
d
d
ll
jj
l
j
d
d
d
ll
jj
l
j
d
j
j
3
558
55
3
0 3
33
1
0 1
113
1 0
3
558
55
3
0 3
33
1
0 1
113
1 0
10462,6102,9
087,26
1016
763,171
101,2
1
102,9
13
2
2
162,3181
4
3
3
162,39
10162
18,38,256,251
1
10441,10102,9
26,78
1016
704,217
101,2
1
102,9
33
2
2
162,3183
4
3
3
162,39
1016
38,256,251
1
31
31
Deformace rovinně lomeného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.9Obr. 2.24. / str. 47
o
d
d
ddd
w
u
mwu
75,316189,010441,10
10462,6tan
10279,1210462,6441,10
3
3
332222
aa
d
704214,
22 / 65
Rámová ocelová konstrukce průmyslové haly
Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku
Rozpětí 20,5 m
23 / 65
Hala pro výrobu komponent jaderných elektráren, Vítkovice
Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku
• Půdorys 130 x 320 m• Jeřáby o nosnosti 80 a 200 t• Poddolované území
24 / 65
Železniční most, Polanecká spojka
Ukázky kloubových příhradových konstrukcí
Most přes železniční trať v Polance z r.1964
25 / 65
Tribuna fotbalového stadiónu na Bazalech, Ostrava
Ukázky konstrukcí rovinně lomeného nosníku
• Poddolované území
26 / 65
Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku
Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku
p
j j
jjjp
j
l
j
j
jjp
j
l
j
j
jj
A
lNN
Ex
A
NN
Ex
EA
NN jj
11 01 0
.1d
1dd
Oteplení
Virtuální práce pouze normálových sil
DDDp
jjjt
p
j
l
jjt
p
j
l
jjt ltNxtNxtNjj
1,0
1 0
,01 0
,0 dd aaad
27 / 65
Příklad 2.11
Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku
Zadání a řešení příkladu 2.11Obr. 2.28. / str. 54
Nutno určit wc
A1 = 24.10-4 m4
A2 = 12.10-4 m4
A3 = 18.10-4 m4
A4 = 18.10-4 m4
A5 = 12.10-4 m4
A6 = 12.10-4 m4
A7 = 18.10-4 m4
l2 = l3 = l6 = 2,236 m
Tabulkový výpočet
28 / 65
Příklad 2.11 Tabulkový výpočet
mm62,5m1062,5101,2
10192,11801 3
8
37
1
j j
jjj
cA
lNN
Ew
j Aj [m2] lj [m] Nj [kN] Nj [1] (NjNjlj/Aj).10-3 [kN/m]
1 0,0024 2,000 -90,000 -1,000 75,000
2 0,0012 2,236 134,164 2,236 559,017
3 0,0018 2,236 -67,082 0,000 0,000
4 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333
5 0,0012 1,000 0,000 0,000 0,000
6 0,0012 2,236 67,082 2,236 279,508
7 0,0018 2,000 -60,000 -2,000 133,333
1180,192
Deformace rovinného kloubového příhradového nosníku
29 / 65
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Tvar a podepření rovinného zakřiveného nosníku v rovinné úlozeObr. 2.25. / str. 48
Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl
fΦ
30 / 65
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Vzepětí f a poměrná vzepětí F rovinných zakřivených nosníkůObr. 2.26. / str. 49
Rozpětí l, vzepětí f, poměrné vzepětí Fl
fΦ
31 / 65
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Silové zatížení
L jLL
sGA
VVs
EI
MMs
EA
NNddd
*d
Teplotní zatížení
DDL
t
L
t sh
MtsNt dd 10 aad
ycos
dd
xs Řešení Po úpravě:
Silové zatížení b
a
b
a
b
a
x
x
x
x
x
x
xA
VV
Gx
I
MM
Ex
A
NN
Ed
cos
1d
cos
1d
cos
1* yyy
d
Teplotní zatížení
DDb
a
b
a
x
x
t
x
x
t xh
Mtx
Nt d
cosd
cos10
ya
yad
Použití metody jednotkových sil
32 / 65
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Výpočet přetvoření
Numerická integrace
Simpsonovo pravidlo
Obdélníková metoda
3))...(2)...(4(d)( 2421310
0
dffffffffxxf nnn
l
DD
DD
n
ii
i
iin
ii
i
ii
n
ii
ii
iin
ii
ii
ii
x
x
x
x
sI
MM
Es
A
NN
E
xI
MM
Ex
A
NN
Ex
I
MM
Ex
A
NN
E
b
a
b
a
11
11
11
cos
1
cos
1d
cos
1d
cos
1
d
yyyyd
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
33 / 65
Příklad 2.10
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.10Obr. 2.27. / str. 51
2.xkxz
1
22208,0
5
2 mx
z
x
zk
b
b
a
a
Parabolická střednice
xxkxkx
z16,0..2.
d
dtg 2
y
22 0256,01
1
tan1
1cos
x
yy
22 0256,01
16,0
tan1
tgsin
x
x
y
yy
Nutno určit ub
EI = 6,72.104 kNm2
22 08,0. xxkxz
34 / 65
Příklad 2.10
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.10Obr. 2.27. / str. 51
)(1
0
0
5,1110
4075
10
585,256
0585,25610
5,2610
40225
10
585,756
058)5,210(5610
ax
azaz
bxax
az
bz
az
az
R
RR
RR
kNR
R
kNR
RVýpočet reakcí:
Výpočet ohybových momentů po délce oblouku – viz obr.
35 / 65
Příklad 2.10, výpočet posunutí ub Simpsonovým pravidlem
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.10Obr. 2.27. / str. 51
25,18 / 10/ 8
3))(2)(4( S )(
S
864275310
0
0
1
cos
1
nldn
dfffffffffdxxfS
dxdsu
l
L
l
bEI
MM
EIEI
MM
y
i x [m] tgy cosy M[kNm] M[kNm] MM/ cosy [kNm2]
0 -5,00 -0,8 0,78087 0,0000 0,0000 0,000
1 -3,75 -0,6 0,85749 28,4375 0,875 29,018
2 -2,50 -0,4 0,92848 47,5000 1,500 76,739
3 -1,25 -0,2 0,98058 57,1875 1,875 109,350
4 +0,00 +0,0 1,00000 57,5000 2,000 115,000
5 +1,25 +0,2 0,98058 43,1250 1,875 82,461
6 +2,50 +0,4 0,92848 28,7500 1,500 46,447
7 +3,75 +0,6 0,85749 14,3750 0,875 14,668
8 +5,00 +0,8 0,78087 0,0000 0,000 0,000
mmmu
S
b79,81079,8
106,72
590,984
590,984kNm0)1,25/346,447)115,002(76,739
)668,14146,8235,109018,29(40(
3
4
3
36 / 65
Příklad 2.10, výpočet posunutí ub, obdélníková metoda
Deformace rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Zadání a řešení příkladu 2.10Obr. 2.27. / str. 51
)2(1
x105 pro 8)5,2(56)5(5,26)(
5x0 pro )5(3)5(5,26)(
110
x 01
2
i
n
1i
1
z(x)M
xxxxM
xxxM
lnxMMdsu
iii
L
bEIEI
MM
DD
mmmuxMMb
n
i
77,81077,8106,72
589,618 589,618kNm 3
4
3
1
D
i x [m] z [m] tgy cosy M[kNm] M[kNm] MMDx/ cosy [kNm2]
1 -4,5 1,62 -0,72 0,811534 12,5 0,38 5,85311
2 -3,5 0,98 -0,56 0,872506 33,0 1,02 38,5785
3 -2,5 0,50 -0,40 0,928477 47,5 1,50 76,7386
4 -1,5 0,18 -0,24 0,972387 56,0 1,82 104,8142
5 -0,5 0,02 -0,08 0,996815 58,5 1,98 116,2000
6 +0,5 0,02 +0,08 0,996815 51,75 1,98 102,7924
7 +1,5 0,18 +0,24 0,972387 40,2500 1,82 75,3352
8 +2,5 0,05 +0,40 0,928477 28,75 1,5 46,4470
9 +3,5 0,98 +0,56 0,872506 17,25 1,02 20,1660
10 +4,5 1,62 +0,72 0,811534 5,75 0,38 2,6924
37 / 65
Rovinně zakřivený nosník
Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.
Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
38 / 65
Gateway Arch, rozpětí a vzepětí ocelového oblouku z roku 1966 192,5 m, Saint Louis, Missouri.
Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Rovinně zakřivený nosník
39 / 65Ukázky konstrukcí rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze
Rovinně zakřivený nosník
Rovinně zakřivený vazník, Výzkumné energetické centrum VŠB-TU Ostrava
40 / 65
Most přes řeku Odru z r.1964, Polanecká spojka, Ostrava – Zábřeh
Železniční most, Polanecká spojka
Ukázky kloubových příhradových konstrukcí
41 / 65
Silniční most, Ostrava - Hrabová
Ukázky kloubových příhradových konstrukcí
Příhradový most přes řeku Ostravici