Embed Size (px)
Citation preview
1
Nizovi – zadaci ( I deo )
1.
Odrediti granične vrednosti sledećih nizova:
a) 2
3 1lim
2 5 6n
n
n n→∞
+− +
b)
3
2
2 3 12lim
5n
n n
n→∞
− +−
v)
2
2
5 3 2lim
2 4 1n
n n
n n→∞
− ++ +
g)
2
2
1lim
3n
n
n→∞
+−
Rešenje:
Ovo je osnovni tip zadataka sa nizovima, u kojima se radi o racionalnoj funkciji.
Rešenje možemo odmah znati, po pravilima:
i) Ako je najveći stepen gore u brojiocu veći od najvećeg stepena dole u imeniocu rešenje je ∞
ii) Ako je najveći stepen dole veći od najvećeg stepena gore, rešenje je 0
iii) Ako su najveći stepeni isti, rešenje je količnik brojeva ispred najvećih stepena.
a) 2
3 1lim 0
2 5 6n
n
n n→∞
+=
− + (pravilo ii) jer u imeniocu imamo
2n a u brojiocu samo n
b)
3
2
2 3 12lim
5n
n n
n→∞
− += ∞
− (pravilo i) , gore je polinom trećeg stepena a u imeniocu drugog stepena
v)
2
2
5 3 2 5lim
2 4 1 2n
n n
n n→∞
− +=
+ + (pravilo iii) , ovde su polinomi istog stepena
g)
2
2
1 1lim 1
3 1n
n
n→∞
+= = −
− − (pravilo iii) , polinomi su istog stepena , ispred
2n u brojiocu je 1 a u imeniocu -1
Možda vaši profesori neće dozvoliti da koristite ova pravila , e onda morate da radite sve postupno!
Postoje dve ideje kako raditi ovakve primere.
2
Jedna od ideja je da se svaki sabirak podeli sa najvećim stepenom n-a.
a) 2 2
22
2 2 2
3 1
3 1lim lim
2 5 62 5 6n n
n
n n n
n nn n
n n n
→∞ →∞
++=
− +− +
sve smo podelili sa 2n , jer je to najveći stepen ...sad pokratimo...
2
3
3 1lim lim
2 5 6n n
n
n
n n→∞ →∞
+=
− +
2n
2
2
1
2
n
n
+
2n
5 n−
2n
2
22
3 1
lim5 66 2
n
n n
n nn
→∞
+=
− ++
dalje koristimo da je 0A=
∞ , pa je
30=
∞, 1
0=∞
, 5
0=∞
, 6
0=∞
i dobijamo:
2
3
3 1lim lim
2 5 6n n
n
n
n n→∞ →∞
+=
− +
2n
2
2
1
2
n
n
+
2n
5 n−
2n
2
22
3 1
0 0 0lim 0
5 6 2 0 0 26 2n
n n
n nn
→∞
+ += = = =
− −− ++
Ovaj postupak bi onda morali da primenjujemo za sve ostale zadatke, evo recimo pod
v)
22
2 2 2 2
22
2 2 2
55 3 2
5 3 2lim lim lim
2 4 12 4 1n n n
nn n
n n n n n
n nn n
n n n
→∞ →∞ →∞
− +− += =
+ ++ +
2n
3 n−
2n
2
2
2
2
n
n
+
2n
4 n+
2n
2
5 0 0 5
2 0 0 21
n
− += =
+ ++
Neki profesori vole da izvučemo najveći stepen kao zajednički ( druga ideja), pa bi to izgledalo:
v)
2 22 2
22
2
3 2(5 )
5 3 2lim lim lim
4 12 4 1(2 )
n n n
n nn n n n
n nn
n n
→∞ →∞ →∞
− +− += =
+ + + +
2
2
3 2(5 )
n n
n
− +
2
5
4 1 2(2 )
n n
=+ +
jer izrazi 2 2
3 2 4 1, , ,n n n n
teže 0.
g)
222 2
22
2
1(1 )
1lim lim lim
33( 1)
n n n
nnn n
nnn
→∞ →∞ →∞
++= =
− −
teži 0
2
2
1(1 )
n
n
+
2
teži 0
11
13( 1)n
= = −−
−
3
2.
Odrediti granične vrednosti sledećih nizova:
a) 2lim( 10 )
n
n n n→∞
− −
b) 2lim( 1 )
n
n n→∞
+ −
v) 2
3 10lim
9 8 2n
n
n n→∞
−
+ +
Rešenje:
Kod zadataka sa korenima je česta ideja da se izvrši racionalizacija.
Najčešće koristimo (pravimo) razliku kvadrata, ali ako su u pitanju treći koreni, moramo raditi zbir ili razliku kubova.
a)
2 2 22 22
2 2
( 10 )10 10lim( 10 ) lim lim
1 10 10n n n
n n nn n n n n nn n n
n n n n n n→∞ →∞ →∞
− −− − + −− − = ⋅ =
+ − + −
U brojiocu je očigledno razlika kvadrata . Moramo malo i imenilac da prisredimo,
odnosno da pod korenom izvučemo 2n ispred zagrade pa zatim n ispred korena…
2 2 2 2 2 2 2
22
( 10 ) ( 10 ) 10lim lim lim
10 1010(1 ) (1 )
10lim
n n n
n
n n n n n n n n n
n n nn n n n
n n
n
→∞ →∞ →∞
→∞
− − − − − += =
+ − + − + ⋅ −
=
n
10lim
10 101 1 1 1
n
n n
→∞=
⋅ + − + −
Znamo da izraz 10
0n→ teži nuli kad n→∞ , pa je
( )10 10 10 10
lim 51 1 210 1 1 0
1 1n
n
→∞= = = =
+ + −+ −
4
b)
2 2 22 2 2 22
22
2 2
teži 0
( 1)1 1 1lim( 1 ) lim lim lim
1 11 1(1 ) (1 )
1 1 1lim lim 0
1 2 2
n n n n
n n
n nn n n n n nn n
n nn n n n
n n
n n n
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ −+ − + + + −+ − = ⋅ = = =
+ + + + ⋅ + +
= = =⋅ + ⋅∞
v)
U ovom primeru ne moramo raditi racionalizaciju, jer je u imeniocu koren bez plus ili minus neki broj.
22
2
10 33 (1 )3 10 3lim lim lim
8 29 8 29 (1 )
9 9
n n n
nnn n
n nn
n n
→∞ →∞ →∞
−−= =
+ + + +
teži 0
10(1 )
3
3
n
n
−
2
teži 0 teži 0
11
18 2(1 )
9 9n n
= =
+ +
3.
Odrediti granične vrednosti sledećih nizova:
a) 3 3lim( 2 2)n
n n→∞
+ − −
b) 3 3 2lim( 2 )
n
n n n→∞
+ −
Rešenje:
a)
Koristimo 2 2 3 3( )( ) razlika kubovaA B A AB B A B− + + = −
Ovde imamo izraz 3 32 2n n+ − − , a to nam je ustvari ( A - B).
Moramo dodati 2 2( )A AB B+ + , to jest, pošto je A=
3 2n+ a B=3 2n− racionališemo sa
( ) ( )2 23 3 3 32 2 2 2n n n n+ + + ⋅ − + −
Da se vratimo na zadatak:
5
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 23 3 3 3
3 3 3 3
2 23 3 3 3
3 33 3
2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3
2 23 3 3 3
2 2 2 2
lim( 2 2) lim( 2 2)
2 2 2 2
2 2 2 2lim lim
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4lim 0
2 2 2 2
n n
n n
n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n
n n n n n n n n
n n n n
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
+ + + ⋅ − + −+ − − = + − − ⋅ =
+ + + ⋅ − + −
+ − − + − += =
+ + + ⋅ − + − + + + ⋅ − + −
= = =∞ +∞ +∞ ∞+ + + ⋅ − + −
b)
3 3 2lim( 2 ) ?n
n n n→∞
+ − =
Vršimo racionalizaciju sličnu kao u prethodnom primeru:
( )( )
( )( ) ( )
( )
23 33 2 3 2 2
3 33 2 3 2
23 33 2 3 2 2
33 3 2 3
3 2 3
2 23 3 3 33 2 3 2 2 3 2 3 2 2
2
23 33 2 3 2 2
2 2lim( 2 ) lim( 2 )
2 2
2 2lim lim
2 2 2 2
2lim
2 2
n n
n n
n
n n n n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n nn n n
n n n n n n n n n n n n
n
n n n n n n
→∞ →∞
→∞ →∞
→∞
+ + + ⋅ ++ − = + − ⋅ =
+ + + ⋅ +
+ − + −= =
+ + + ⋅ + + + + ⋅ +
=+ + + ⋅ +
Sad nam je posao da i imenilac prisredimo !
( )2 2
3 36 5 4 3 2 2 6 3 23 3
2
2 2
2 23 3
2
2 2lim lim
4 4 24 4 2 (1 ) (1 )
2 2lim lim
4 4 2(1 ) (1 )
n n
n n
n n
n n n n n n n n n n nn n n
n n
n n n nn n n
→∞ →∞
→∞ →∞
= =+ + + + ⋅ + + + + + ⋅ +
=
⋅ + + + ⋅ + ⋅ + 2n 3 3
2
3 3
4 4 2[ (1 ) (1 ) 1]
2 2 2lim
1 1 1 3[ (1 0 0) (1 0) 1]n
n n n
→∞
=
⋅ + + + + +
= =+ ++ + + + +
6
4.
Odrediti sledeće granične vrednosti:
a) 3
lim 1 ;
n
n n→∞
+
b) 1
lim ;1
n
n
n
n→∞
+ −
v) lim (ln( 1) ln );n
n n n→∞
+ −
Rešenje:
U sledećim zadacima ćemo koristiti:
1
lim 1
n
n
en→∞
+ =
i 1
lim 1
an
n
ean→∞
+ =
a)
3lim 1
n
n n→∞
+ =
ovde gde je 3 mora biti 1, pa ćemo 3 ”spustiti ” ispod n
3lim 1
n
n n→∞
+ =
1lim 1
3
n
n n→∞
+ =
sad kod n u eksponentu pomnožimo i podelimo sa 3,jer nam treba 3
n
3
lim 1
n
n n→∞
+ =
1lim 1
3
n
n n→∞
+
3
33 3
31 1lim 1 lim 1
3 3
n n
n n
en n
⋅
→∞ →∞
= + = + =
www.matematiranje.in.rs
7
b)
1lim
1
n
n
n
n→∞
+ = − trik: u zagradi ćemo dodati 1 i oduzeti 1=
Ova dva sredimo
1 1 1 1( 1) 1 1lim 1 1 lim 1 1 lim 1 lim 1
1 1 1 1
2 1lim 1 spustimo 2 ispod n-1= lim 1
11
2
u izložiocu
n
n n n
n n n n
n
n
n n
n n n n n n
n n n n
nn
→∞ →∞ →∞ →∞
→∞ →∞
+ + + − − + − + + − = + − = + = + − − − −
= + = + = −−
=
2
1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2
2
1
1 2 dodamo koje nam treba,ali moramo i suprotno
2 1
1 1 1lim 1 lim 1 lim 1 lim
1 1 1
2 2 2
je neprekidna funkcija pa
n
n n n n nn
n n
n
n
n n n n
x
n
n
en n n
e
− − − −⋅ ⋅ ⋅− −
−
→∞ →∞ →∞ →∞
−=
−
= + = + = + = = − − −
=2
lim21
ovo je 0
sme da zameni mesto sa limesom = jer je
2 2 2lim lim lim 2
11 1(1 ) (1 )
n
n
n
n n n
e e
n n
nn
n n
→∞ −
→∞ →∞ →∞
=
= = =− − −
v)
lim (ln( 1) ln ) Znamo da za logaritme ima pravilo lnA-lnB=ln
1lim[ ln ] Važi i pravilo n lnA=lnA
1lim ln
n
n
n
n
n
An n n
B
nn
n
n
n
→∞
→∞
→∞
⋅ + − =
+= ⋅ = ⋅
+ = =
( pošto je lnx neprekidna funkcija i ona može da zameni mesto sa lim )
Ovo je e
1 1 1 1ln lim ln lim ln lim 1 ln lim 1 ln 1
n n n n
n n n n
n ne
n n n n n→∞ →∞ →∞ →∞
+ = + = + = + = =
www.matematiranje.in.rs
