Funkcionalni nizovi - University of Belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~zdrazic/MAT2/funkcionalni nizovi.pdfBrojevni nizovi Funkcionalni nizovi Konvergencija funkcionalnig niza u tackiˇ

Brojevni nizoviFunkcionalni nizovi

Funkcionalni nizovi

November 9, 2017

Funkcionalni nizovi


Nizovi realnih brojeva(an)n∈N,an = ( 1

2 )n

a1 = 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 a1=1/2

Funkcionalni nizovi



2 )n

a1 = 12 , a2 = 1

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 a1=1/2

a2=1/4

Funkcionalni nizovi



2 )n

a1 = 12 , a2 = 1

4 a3 = 18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 a1=1/2

a2=1/4

a3=1/8

Funkcionalni nizovi



2 )n

a1 = 12 , a2 = 1

4 a3 = 18 , a4 = 1

16 , a5 = 132 , ....

limn→∞

an = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5 a1=1/2

a2=1/4

a3=1/8

a4=1/16

a5=1/32

Funkcionalni nizovi


Konvergencija funkcionalnig niza u tackiKonvergencija funkcionalnig niza na intervaluUniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnig niza

Funkcionalni niz

(fn(x))n∈N = (f1(x), f2(x), f3(x), ...)

Clanovi niza su funkcije, a ne brojevi.

Primer

f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) =

x3 , ...

tj. fn(x) = xn , (x ∈ R,n ∈ N)

Funkcionalni nizovi



Konvergencija funkcionalnig niza u tackifn(x) = x

n , (x ∈ R,n ∈ N)

f1(x) = x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1(x)=x

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

f1(x) = x , f2(x) = x2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1(x)=x

f2(x)=x/2

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) = x

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1(x)=x

f2(x)=x/2 f3(x)=x/3

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) = x

3 , f4(x) = x4 , ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1(x)=x

f2(x)=x/2 f3(x)=x/3 f4(x)=x/4

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

f1(x) = x , f2(x) = x2 , f3(x) =

x3 , f4(x) =

x4 , f5(x) =

x5 , ..., f50(x) = x

50 , ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f1(x)=x

f2(x)=x/2 f3(x)=x/3 f4(x)

f5(x) ...

f50(x)

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

Za npr. x = 3 : f1(3) = 3, f2(3) = 32 , f3(3) =

33 = 1, f4(3) = 3

4 , f5(3) =35 , ..., f50(3) = 3

50 , ... dobija se brojni niz (fn(3))n∈N koji konvergira ka 0⇒ funkcionalni niz (fn(x))n∈N = x

n , konvergira u tacki x = 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x) f5(x) ...

f50(x)

f1(3)

f2(3) f3(3)

Funkcionalni nizovi




n , (x ∈ R,n ∈ N)

Za x = 3, x = 5, x = 8 :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x) f5(x) ...

f50(x)

Funkcionalni nizovi



Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu Ifn(x) = x

n , (x ∈ R,n ∈ N)

limn→∞

fn(x) = f (x) = 0 (funkcija! a ne broj)

(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x) f5(x) ...

f50(x)

Funkcionalni nizovi



Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu I(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε

Za fiksirano (malo) ε, koliko veliko treba da bude n tako da važi|fn(x)− f (x)| < ε ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x) f5(x) ...

f50(x) eps eps eps

Funkcionalni nizovi



Konvergencija funkcionalnig niza na intervalu I(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε, x))(∀n > N(ε, x)) : |fn(x)− f (x)| < ε

Odgovor zavisi od x !

Za x = 1 : n ≥ 1. Za x = 3 : n ≥ 3. Za x = 7 : n ≥ 6.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 f1(x)

f2(x)

f3(x)

f4(x) f5(x) ...

f50(x) eps eps eps

Funkcionalni nizovi



Uniformna (ravnomerna) konvergencija funkcionalnigniza

(∀ε > 0)(∀x ∈ I)(∃N(ε))(∀n > N(ε)) : |fn(x)− f (x)| < ε

Primer

(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N = (x + 1, x + 1

2 , x + 13 , ...)

Funkcionalni nizovi




(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N

f1(x) = x + 1, f2(x) = x + 12 , f3(x) = x + 1

3 , ..., f50(x) = x + 150 , ....

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3 f1(x)

f2(x) f3(x) ...

f50(x)

Funkcionalni nizovi



(fn(x))n∈N = (x + 1n )n∈N

limn→∞

fn(x) = f (x) = x - funkcionalni niz konvergira ka f (x) = x .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3 f1(x)

f2(x) f3(x) ...

f(x)

Funkcionalni nizovi




Za fiksirano (malo) ε, koliko veliko treba da bude n tako da važi|fn(x)− f (x)| < ε ?Za n ≥ 3. Odgovor ne zavisi od x! ⇒ (fn(x))n∈N ⇒ f (x) = x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3 f1(x)

f2(x) f3(x) ...

f(x)

eps

eps

eps

Funkcionalni nizovi



Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f1(x)

Funkcionalni nizovi



Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x), f2(x) = sin2(x)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f1(x)

f2(x)

Funkcionalni nizovi



Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ Rf1(x) = sin(x), f2(x) = sin2(x), f3(x) = sin3(x), ..., f50(x) = sin50(x), ....

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f2(x)

fn(pi/2)=1

Funkcionalni nizovi



Još jedan primer(fn(x))n∈N = (sinn(x))n∈N, fn : (0, π)→ R

sinn(x)→

{0, za x ∈ (0, π/2) ∪ (pi/2, π)1, za x = π/2

Niz (fn(x))n∈N ce da konvergira ka

limn→∞

fn(x) = f (x) =

{0, za x ∈ (0, π/2) ∪ (pi/2, π)1, za x = π/2

Granicna funkcija f (x) nije neprekidna, iako sve fn(x) jesu neprekidne⇒ Niz (fn(x))n∈N ne konvergira uniformno.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f1(x)

f2(x)

fn(pi/2)=1

Funkcionalni nizovi

Documents

Funkcionalni nizovi - University of Belgradepoincare.matf.bg.ac.rs/~zdrazic/MAT2/funkcionalni nizovi.pdfBrojevni nizovi Funkcionalni nizovi Konvergencija funkcionalnig niza u tackiˇ