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Escuela de Educación Técnica N° 485 “Vicecomodoro Marambio”
Máquinas y Comandos Eléctricos MyCE 501
Cuaderno 501 repaso 2
Prof. Gustavo Benegas [email protected]
Ángulo Definición:
Llamamos ángulo plano α de vértice A y se lo simboliza CA^B al conjunto de
los puntos del plano barridos por la semi recta AC→ desde su posición inicial
hasta llegar a su posición final dada por la semi recta AB→
Se puede observar que el ángulo AC^B es un ángulo recto o sea de 90°.
El ángulo recto viene de dividir la circunferencia en 4 partes iguales.
360 ÷ 4= 9
Triángulo Rectángulo
El triángulo rectángulo es un polígono de tres lados que tiene uno de sus
ángulos recto (α=90º).
Los dos ángulos menores (β y γ) suman 90º.La suma de todos los ángulos
interiores del triángulo nos de 180°.
Los elementos de un triángulo rectángulo son: los dos lados contiguos al
ángulo recto, a y b (cada uno de ellos es un cateto), y el lado mayor c, opuesto
al ángulo recto, que es la hipotenusa.
Teorema de Pitágoras
Teorema: dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa h (el lado opuesto al ángulo recto). Entonces,
Recordemos que:
el triángulo es rectángulo porque tiene un ángulo recto, es decir, un ángulo de 90 grados ó π / 2 radianes.
la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto
Pitágoras explicación
https://www.youtube.com/watch?v=XfVWlO3sRw0
Definimos las Relaciones Trigonométricas
Seno de α : Sen α = 𝑎
𝑐 ; Coseno de α : Cos α =
𝑏
𝑐 ; Tangente de α : Tan α =
𝑎
𝑏
Se comprende mejor si las estudiamos en la circunferencia trigonométrica cuyo
radio es igual a 1
Como vemos c=1
Al punto A (vértice) lo podemos llamar ahora “O” por ser el origen de
coordenadas. Y las equivalencias
b=AC=OC=x ; a=CB=y
En la circunferencia de Radio=1 se pueden ver representados gráficamente el
Cos ; Sen y Tan del ángulo α (alfa)
El Cos α= 𝑂𝐶
𝑂𝐵 =
𝑂𝐶
1=
𝑋
1 =
𝑏
1= X = OC = b El Sen α =
𝐶𝐵
𝑂𝐵 =
𝐶𝐵
1 =
𝑌
1=
𝑎
1 = Y = CB = a
Y como el triangulo OCB▲ es semejante al triángulo ODE▲ la tangente se
puede escribir como 𝐷𝐸
𝑂𝐷 =
𝐷𝐸
1 por lo tanto la Tan α queda representada por el
segmento DE
https://giphy.com/gifs/trigonometry-8x9gHanNFSUYo
En este enlace se ven gráficamente representados los valores del Sen , Cos y
Tan para los distintos valores del ángulo α desde 0 (cero) hasta 360° o 2π
Radianes.
El Sen y el Cos varían entre 0(cero) y 1 (uno) y la Tan entre 0 (cero) y ∞+ ;
∞- y 0 (cero). Siempre trabajando en el 1ro y 4ro cuadrantes.
Observar DETENIDAMENTE que
Si multiplico OB . Cosα = OB . OC/OB = OB . 𝑂𝐶
𝑂𝐵 = OC que es la
componente en X
Si multiplico OB . Senα = OB . CB/OB = CB que es la componente en Y
Vectores
Las magnitudes físicas o variables se clasifican en dos grandes grupos: Las escalares: Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo, es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. Por ejemplo, 5,5 kg, 2,7 s, 400 °C y 7,8 km, respectivamente. Las vectoriales: Son aquellas que quedan totalmente definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos dónde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha
Vector Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido. Los vectores se representan goemétricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.
La longitud del segmento orientado (flecha) indica el módulo o magnitud de la variable física representada Tensión y Corriente Eléctricas El sentido en nuestro caso es de la referencia de polo neutro a fase o polo vivo La dirección queda definida por el ángulo α con el eje de las X o abcisas.
Magnitud
La magnitud física es una propiedad de los cuerpos y elementos que
permite que sean medibles y, en algunos casos, observables.
Unidades que representan las diferentes magnitudes, entre las que se pueden mencionar las siguientes: (Indicar cuales son escalares y cuales vectoriales)
Tiempo: segundo (s). Longitud: metro (m). Masa: kilogramo (kg), gramo (m). Temperatura: kelvin (k) y grado Celsius (°C). Intensidad de corriente eléctrica: amperio o ampere (A). Tensión o Diferencia de Potencial eléctrica: voltio (V) Energía: julio (J). Fuerza: newton (N).
Nosotros trabajamos con vectores que giran con centro en el origen de
coordenadas y forman circunferencias.
Al girar y conforme pasa el tiempo esos vectores con los cuales representamos
las tensiones y corrientes eléctricas, van cambiando de dirección
continuamente. Y en un instante de tiempo determinado, podemos conocer su
dirección, por el ángulo que forma con el eje de las x (abcisas).
Características del Movimiento Circular Uniforme (M.C.U.)
Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme
(m.c.u.) son las siguientes:
1. La velocidad angular es constante (ω = cte)
2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su
sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta
con aceleración normal
3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son
nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es
constante
4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una
vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son
las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo
es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares
uniformes (m.c.u.)
5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo
en un segundo. Su valor es el inverso del periodo
De aquí en mas el angulo α lo llamamos ∅
En el movimiento circular uniforme (MCU) el móvil describe una trayectoria circular con rapidez constante. Es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales, pero en cada instante cambia de dirección.
La unidad de medida en el Sistema Internacional es el radian. Existe una relación matemática sencilla entre los arcos descritos y los ángulos que sustentan: “el ángulo es la relación entre el arco y el radio con qué ha sido trazado”.
Si llamamos ∆S al arco recorrido el ángulo barrido por el radio, tenemos que:
El radian es el ángulo cuya longitud del arco es igual al radio. Por lo tanto, para una circunferencia completa será:
Otra unidad para medir ángulos son los grados sexagesimales. Pero esta unidad no se utiliza a la hora de medir los desplazamientos angulares.
Velocidad lineal y velocidad angular
Vamos a imaginar que tenemos un disco, como el representado a continuación, que gira con una cierta rapidez y en el que hemos marcado dos puntos, A y B. Los dos puntos describen un movimiento de trayectoria circular, los dos puntos describen el mismo ángulo pero no recorren la misma distancia ya que el radio de B es menor que el radio de A.
La velocidad lineal, “v”, es la rapidez con la que se mueve un punto a lo largo de una trayectoria circular.
la velocidad angular, “⍵”, en el MCU nos queda como:
La unidad de velocidad angular en el Sistema Internacional es el radián por segundo (rad/s). La velocidad angular se expresa también en revoluciones por minutos (rpm o rev/min), siendo su equivalencia:
Cuándo un disco gira con cierta rapidez, la velocidad lineal definida sobre la trayectoria y la velocidad angular definida sobre el ángulo barrido en un tiempo dado se producen de forma simultánea. Por lo tanto, es posible establecer una
relación entre la velocidad lineal “v” y la angular “⍵”.
Si el desplazamiento angular y la velocidad angular son respectivamente:
Despejando en la segunda ecuación e igualando nos queda finalmente:
Como:
Dado que el Movimiento Circular Uniforme se repite periódicamente, también es posible estudiar dicho movimiento en función de magnitudes periódicas, tales como:
Periodo: Es el tiempo que se emplea en dar una vuelta o revolución. Se representa por “T” y se mide en segundos (s).
Frecuencia: número de vueltas que da un móvil en 1 segundo. Se representa por “f”. Es la inversa del periodo, por lo tanto:
La frecuencia se mide en vueltas o ciclos por segundo (c/s). Los ciclos por segundos reciben el nombre de hercio (Hz) aunque la unidad de medida más usada son los segundos menos 1 (s-1).
La velocidad angular del cuerpo será:
Entonces: Multiplicando la velocidad angular “ω” por el tiempo “t” obtenemos el
ángulo “∅”
ω = ∆∅
∆𝑡 => ω ∆t = ∆∅ => ω t = ∅
Funciones trigonométricas
Repaso de Función matemática
La nona explicando que es una función
https://www.youtube.com/watch?v=eViT5wKoN-Q
O sea que a las funciones Sen y Cos le “meto” un ángulo y me “larga” un
número. De manera tal que a ese ángulo le “hace corresponder” ese número.
Animación con vector girando a velocidad angular ω constante. Generando las
funciones Seno y Coseno. Representación grafico-temporal
https://giphy.com/gifs/math-mathematics-wisdom-Z5FQ7kSqeN5KM
Cuál es función Seno y Cual Coseno ?
Función Senoidal
https://www.youtube.com/watch?v=VSCT8dsF14I
Gráfica
El período T es el tiempo transcurrido entre 0(cero) y 2π
Preguntas:
Si un vector giratorio describe una vuelta completa en 20 mili segundos.
( 20 mili segundos es el período T )
Cuántos radianes barrerá en 1 (un) segundo?
2π ---------- ------------------------------------------------------------------0.020 s
Aplicamos la vieja y querida regla de tres
X ------------------------------------------------------------------------------ 1 s
X = 1 𝜋 2
0.02 =
1
0.02 2π = f 2π = 50 2π = 314 Rad/ s
f = 1
𝑇 y es la frecuencia de giro y por lo tanto la frecuencia de la función senoidal
1 ¿Cuántas vueltas por segundo representa esa frecuencia de 50 Hz?
2 Resolver:
Para una frecuencia de 50 Hz que ángulo le corresponde a 40 milisegundos
ω = 2 π f - ∅ = ω t
∅ = 2 . 50 . π . 0.04 = 100 . π . 0.04 = 4π
Completar
Para T = 1 segundo ; T = 0.01s ; T = 0.005s ;
Para una frecuencia de 50 HZ que período T corresponde a π/4 Radianes?
Completar para
π/2 ; π ; 45° ; 90° ; 180° y 360°
3 Para un vector V de módulo o valor 220 que forma un ángulo de 30° con el
eje x (o de las abcisas). Calcular su componente en eje x , en el eje y
Vx = V . Cos 30°
Vy = V . Sen 30°
Calcular componentes
Para vector V = 380 , V= 110 ,
Para Vector Z = 250 , Z = 500 , Z = 150
4 Calcular el módulo o valor del vector V y el ángulo ∅ que forma con el eje x
Vx = 21.35
Vy = 244.07 Respuesta: aplico pitágoras V2 = 244.072 + 21.352
Ángulo Tan∅ = 244.07/21.35 = 11.43
La inversa de la función Tan es el arcTan
arcTan 11.43 = 85° , cuantos radianes representa ¿?
Para sacar el arcTan con la calculadora 11.43 - SHIFT – Tan - =
V? ∅?
Vx = 173.67
Vy = 21.34
V ? ∅ ?
Vx = 250
Vy = 175
5 Dados Z = 35 Zx = 25.6 Calcular Zy , el ángulo ∅
6 Dados Zy = 64.43 Z = 70 Calcular Zx , el ángulo ∅
7 Dados Tan∅ = 5/4 Z = 64 Calcular las componentes de Z
8 Dados ∅ = π/4 Z = 55 Calcular las componentes de Z (Zx , Zy)
9 Para una frecuencia f = 100 Hz
Cuanto vale la velocidad angular ω ?
Y el tiempo transcurrido para un ∅ = 60° ?
10 Para ω = 942.47 cuanto vale la frecuencia f ? Y el tiempo transcurrido para
∅ = 30° ?
Fecha de entrega 07/04/2020
Escuela de Educación Técnica N° 485 “Vicecomodoro Marambio”
Materia: Máquinas y Comandos Eléctricos
Curso 501 Depto Electromecánica
Prof. Gustavo Rubén Benegas Leone
Electrotécnico IPR
I.C.P.T. N° 2-3097-9
3416960401
