Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i, lub, nieCegieªki buduj¡ce wspóªczesne procesory.
Piotr Fulma«ski
Uniwersytet ódzki, Wydziaª Matematyki i Informatyki [email protected]
http://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_
fulmanp.pdf
5 kwietnia 2017
mailto:[email protected]://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_fulmanp.pdfhttp://fulmanski.pl/zajecia/prezentacje/festiwalnauki2017/festiwal_wmii_2017_fulmanp.pdf
Table of contents
1 Algebra Boole'a
2 Bramki
3 Liczby dwójkowe
4 Sumator 1-bitowy
Algebra Boole'aDe�nicja
Niech b¦dzie dana szóstka uporz¡dkowanaT = (B,AND,OR,NOT , 0, 1), gdzie
B � pewien zbiór,
AND (·) oraz OR (+) � dwa binarne operatory (dziaªania)okre±lone na elementach zbioru B,
NOT (linia nad symbolem, jak np. x) � unarny operator (dziaªanie)okre±lone na elementach zbioru B,
0, 1 � dwa wyró»nione elementy ze zbioru B.
Algebra Boole'aDe�nicja
Dla dowolnych elementów a, b oraz c nale»¡cych do B okre±lamynast¦puj¡cy zbiór aksjomatów A
a+ (b + c) = (a+ b) + c a · (b · c) = (a · b) · c ª¡czno±¢a+ b = b + a a · b = b · a przemienno±¢
a+ (a · b) = a a · (a+ b) = a pochªanianiea+ 0 = a a · 1 = a identyczno±¢
a+ (b · c) = (a+ b) · (a+ c) a · (b + c) = (a · b) + (a · c) rozdzielno±¢a+ a = 1 a · a = 0 dopeªnienie
Algebra Boole'aKonsekwencje � twierdzenia
Z podanych powy»ej aksomatów mo»na wyprowadzi¢ wiele ró»nychtwierdze«, z których jednym z najpowszechniej u»ywanych s¡ prawa DeMorgana
x + y = x · yx · y = x + y
Algebra Boole'aDwuelementowa algebra Boole'a
Z informatycznego punktu widzenia istotna dla nas jest najprostszaalgebra Boole'a, tzn. tak, w której zbiót B jest dwuelementowy a wi¦cskªada si¦ tylko z elementów 0 i 1.Na podstawie podanych wcze±niej aksjomatów mo»na wyprowadzi¢ zbiórreguª charakteryzuj¡cych operacje AND, OR oraz NOT. Zwykle reguªy tezapisujemy w postaci tzw. tabel prawdy
a b AND(a, b) OR(a, b) NOT(a)
0 0 0 0 10 1 0 1 11 0 0 1 01 1 1 1 0
Algebra Boole'aDlaczego to nas interesuje?
Algebra Boole'a ma zastosowania w logice, gdzie 0 mo»emy interpretowa¢jako FASZ (FALSE), 1 za± jako PRAWD (TRUE). Dwuprzedmiotowaalgebra Boole'a jest równie» wykorzystywana do projektowania obwodóww elektrotechnice. W takim przypadku 0 i 1 reprezentuj¡ dwa ró»ne stanyjednego bitu w obwodzie cyfrowym, zazwyczaj wysokie i niskie napi¦cie.Obwody s¡ opisywane przez wyra»enia zawieraj¡ce zmienne, a dwa takiewyra»enia s¡ równe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich warto±cizmiennych, odpowiednie obwody generuj¡ takie same sygnaªy wyj±ciowe.Ponadto, ka»dy mo»liwy zwi¡zek pomi¦dzy wej±ciem a wyj±ciem mo»eby¢ modelowany przez odpowiednie wyra»enie boolowskie. To sprawia, »ealgebra Boole'a jest idealnym narz¦dziem, które mo»emy wykorzysta¢podczas projektowania obwodów logicznych.
Bramki
Cho¢ funkcje logiczne AND, OR, NOT uwa»ane s¡ za podstawowe, to wpraktyce w informatyce wykorzystuje si¦ tak»e, a cz¦sto przedewszystkim, inne tj. NAND, NOR, XOR.W elektronice powy»sze funkcje logiczne implementowane s¡ za pomoc¡bramek
Maj¡c okre±lony schemta logiczny (sposób poª¡czenia bramek ze sob¡)bez trudu mo»na okre±li¢ stan wyj±¢ ukªadu w odpowiedzi na okre±lon¡kombinacj¦ sygnaªow wej±ciowych.
BramkiZwi¡zek wej±cia z wyj±ciem
Przyjrzyjmy si¦ jak reaguje ukªad nazywany komparatorem
Liczby dwójkowe
Dodawanie liczb dwójkowych
bit przeniesienia
|
1
0 0 1 1
0 + 1 + 0 + 1 +
===== ===== ===== ======
0 1 1 10
Dodawanie liczb dwójkowych � troch¦ praktyki
bit przeniesienia
|
1
0 0 1 1
0 + 1 + 0 + 1 +
===== ===== ===== ======
0 1 1 10
11 1 11 1
01101100101100 6956
01100101101010 + 6506 +
================== =========
11010010010110 13462
Sumator 1-bitowy
Ukªad realizuj¡cy dodawanie dwóch cyfr dwójkowych na jednej pozycji wliczbie dwójkowej.
cin x y value cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 1 1
Sumator 1-bitowyModel dziaªania
Sumator 1-bitowySchemat
Sumator 1-bitowySymulacja
Sumator 1-bitowyRealny ukªad
Algebra Boole'aBramkiLiczby dwójkoweSumator 1-bitowy