Nermin Okiciˇ c´pmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/DodiplomskiStudij/LiTS/TeorijaSkupova.pdf · 1.2. Paradoksi u teoriji skupova Grellingov6 paradoks U svakom jeziku postoje

UNIVERZITET U TUZLIPRIRODNO-MATEMATICKI FAKULTET

Nermin Okicic

Teorija skupova

- Skripta -

Tuzla, 2014.

Sadrzaj

1 Od paradoksa do aksiomatske teorije 1

1.1 O paradoksima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Paradoksi u teoriji skupova . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Izbjegavanje paradoksa ili podjele medu matematicarima 6

2 Aksiomatika i operacije 10

2.1 Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije skupova . . 10

2.2 Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Relacije i funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Aksiom izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3 Kardinalni brojevi 78

3.1 Ekvipotentnost skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Konacni i beskonacni skupovi . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Prebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Neprebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Hipoteza continuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6 Aritmetika kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . 104

A Ahil i kornjaca 110

Bibliografija 112

i

1

Od paradoksa do aksiomatsketeorije

1.1 O paradoksima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Paradoksi u teoriji skupova . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Izbjegavanje paradoksa ili podjele medu mate-

maticarima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1 O paradoksima

Rijec ”paradoks” poznata je vecini. Kada u obicnom govoru kazemoda je nesto paradoksalno, podrazumijevamo da je to ”nesto” neos-tvarivo ili da je nemoguce (najcesce kao ”skoro nemoguca” stvar).Najlakse za shvatiti, paradoks ili antinomija predstavlja rasudivanjekoje nas obavezno dovodi do protivurijecnosti, bez obzira kolikonam polazne pretpostavke izgledale tacne, a pravila rasudivanjaispravna. Krajem XIX vijeka pojavili su se neki paradoksi koji upocetku nisu shvatani previse ozbiljno. Kada je B. Russell1 1902.godine objavio svoj paradoks, koji se nalazi u osnovi tadasnje te-orije skupova, to je izazvalo pravu krizu u svijetu matematike, ali ifilozofije. Naime, sa malim izmjenama u formulaciji tog paradoksa,moze se doci do kontradikcije koja se moze formulisati na jezikuvecine logickih pojmova.

Naravno da Rusellov paradoks nije prvi paradoks u svijetu mate-matike. Jos iz doba Stare Grcke poznati su neki od njih, ali stoje jako bitno, njihovim razrjesavanjem dolazilo je do naglog razvojaodredene matematicke discipline. Tako je problem nesamjerljivedijagonale doveo do razvoja citave matematicke oblasti, tzv. teorije

proporcija iz koje ce se kasnije razviti teorija iracionalnih brojeva.

1Bertrand Arthur William Russell, britanski filozof (1872-1970)

1

1.1. O paradoksima

Takode, poznati Zenonov 2 paradoks o Ahilu i kornjaci (i njemusrodni) doveli su do razvoja teorije ekshaustije, a koji se zasnivana cinjenici da se jedna konacna velicina ne moze izgraditi od be-skonacno mnogo, beskonacno malih velicina. To ce ustvari nestokasnije uzrokovati razvoj integralnog racuna. Pocetkom XIX vi-jeka nepazljivo i bezobzirno koristenje beskonacno malih velicinace ponovo uzrokovati krizu matematike, a koja ce biti otklonjenaradovima Cauchyja 3 i Weierstrassa4, cime ce matematicka analizabiti postavljena na mnogo zdravijoj osnovi.

Otkrivanje paradoksa na kraju XIX vijeka dovodi do naglog razvojai zainteresovanosti za matematicku logiku, sto ce bitno uticati narazvoj i kretanja u modernoj matematici, a takode i na logiku kaofilozofsku disciplinu.

Navedimo neke od paradoksa, srodnih Rusellovom paradoksu:

Paradoks lazovaOvaj paradoks izveden je iz poznate konstrukcije kritskog filozofaEpimenida5;

”Ja sam kricanin, a svi kricani lazu.”

Ocigledna je kontradiktornost gornje izjave. Naime, ako ja jesamkricanin onda zbog njihove ”lazljivosti” ja nisam kricanin.

Ovaj se paradoks moze iskazati i na razne druge nacine, npr.

”Ja lazem sada.” ili ”Ova izjava je lazna.”

Prema nekim istoricarima, ovaj paradoks je prvi formulisao Eubu-lid iz Mileta (4. v. p.n.e), koji ga je dao u obliku

”Covjek kaze da laze. Da li je to sto govori istinito ili lazno?”

Kataloski paradoksPosmatrajmo biblioteku koja pravi bibliografski katalog svih (i samonjih) kataloga koji ne navode sami sebe. Da li ce se u tom katalogunavoditi i biblioteka koja ga pravi?

Paradoks briceU jednom selu postoji brico koji brije sve one ljude koji ne brijusami sebe. Ko brije bricu?

2Zenon od Eleje, grcki filozof (oko 490 p.n.e.- oko 430 p.n.e.)3Augustin Louis Cauchy, francuski matematicar (1789-1857)4Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, njemacki matematicar (1815-1897)5Epimenides, grcki filozof (VI/VII v.p.n.e.)

2

1.2. Paradoksi u teoriji skupova

Grellingov6 paradoksU svakom jeziku postoje rijeci koje su ”samoopisne”. Naprimjer,rijec ”bosanski” je bosanska rijec, ”viseslozno” je viseslozna rijec,”kratak” je kratka rijec, ”ispravno” je ispravna rijec, ”apstraktno”je apstraktna rijec itd. Ali rijec ”dug” ocigledno nije duga rijec.Rijeci poput ”udoban”, ”zanosan”, ”uskoro” i sl. jasno, nemaju ovuosobinu samoopisnosti. Ako rijeci bez osobine samoopisnosti nazo-vemo neinspirativnim, da li je rijec ”neinspirativno” neinspirativna?Paradoksi (oni koje poznajemo) se mogu podjeliti po mnogim os-

novama, npr. sintaksni, semanticki, geometrijski, fizicki i sl. Zanas interesantna podjela je u sljedece dvije grupe, semanticki pa-radoksi i skupovni paradoksi. U semanticke spadaju: paradokslazova (Epimenidov paradoks), paradoks brice, Grelingov paradoks,Berijev, Risharov i svi paradoksi oblika:

Ne postoji istina!

Njihova osnova su pojmovi: istina, laz, izrazivost.U skupovne paradokse spadaju: Burali-Fortijev, Cantorov, Ra-

ssellov . Njihov izvor su pojmovi skup i kljucne skupovne operacijei relacije, kardinalni broj i ordinalni broj.

1.2 Paradoksi u teoriji skupova

Jednu od najznacajnijih matematickih teorija, teoriju skupova, njentvorac G. Cantor7 razvijao je neaksiomatski. Odatle i naziv za tuteoriju, naivna teorija skupova (kako je razvijena i obrazlozena,tu nema mjesta nikakvoj naivnosti). Naknadnom analizom je za-kljuceno da je Cantor sve rezultate izveo oslanjajuci se na tri aksi-oma, koje nigdje nije jasno fomulisao i precizirao. To su:

• Aksiom jednakosti:Dva skupa su jednaka ako i samo ako imaju iste elemente.Formulski izrazeno: (∀z)(z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇔ x = y.

• Aksiom apstrakcije:Za svako svojstvo S (duzine (arnosti) 1), postoji skup X ciji suelementi upravo oni koji imaju svojstvo S.Formulski izrazeno: (∀S)(∃X) X = {x| S(x)}.

6Kurt Grelling, njemacki matematicar (1886-1942)7Georg Cantor, njemacki matematicar (1845-1918)

3


• Aksiom izbora:Za svaku familiju A nepraznih disjunktnih skupova, postojifunkcija f (tzv. izborna funkcija), koja svakom skupu X iz Adodjeljuje po jedan njegov element.Formulski izrazeno: (∀A)(∃f)(∀X ∈ A) f(X) ∈ X.

Za aksiom izbora, po formulaciji najslozeniji, pokusavalo se veomadugo cak i poslije stvaranja aksiomatskih teorija skupova, pokazatida ona slijedi iz ostalih aksioma. Medutim, slicno kao kod V pos-tulata u Euklidovim Elementima, pokazalo se da je aksiom izboranezavisan od ostalih aksioma, pa su u skladu sa tim rezultatomkasnije razvijane aksiomatske teorije skupova sa aksiomom izborakao i one bez nje.

Aksiom apstrakcije izgledao je sasvim prihvatljivo i potpuno prirod-no, tako da niko nije ni slutio da ce upravo on pokrenuti citavulavinu paradoksa, lavinu koja je zaprijetila da porusi matematickugradevinu, pa i cijelokupnu klasicnu nauku.

Radovima mnogih matematicara s kraja XIX vijeka, kao sto suBolzano8, Weierstrass pa i Cantor, postavljane su osnove mate-matic-ke analize. Medutim, 1895. Cantor uocava prvi paradoksu svojoj teoriji. U svojoj prepisci sa Hilbertom9 on ga iznosi ali gane publikuje. Obzirom da se odnosio na prilicno tehnicki dio te-orije dobro uredenih skupova, on se nadao da bi uz male ispravkeu nekim dokazima mogao izbjeci to neugodno pojavljivanje. 1897.to isto uocava Burali-Forti10 i publikuju taj paradoks koga i danasznamo pod imenom Burali-Fortijev paradoks. On glasi:Skup svih ordinala W je dobro ureden skup i on ima ordinal veciod bilo kog ordinala iz W . Ali to bi onda znacilo da je W veci odsvih ordinala, pa i od samog sebe.

Dvije godine kasnije Cantor uocava slican paradoks i u teoriji kar-dinalnih brojeva.Cantorov paradoksPo Cantorovoj teoriji, partitivni skup nekog skupa ima kardinal veciod kardinala samog skupa. Ako sa U obiljezimo skup svih skupova,tada P (U) ima veci kardinal od U , a to je nemoguce jer P (U) ⊆ U .

1901. Russell uocava slicnu situaciju i konstruise novi paradoks,mnogo elementarniji od Cantorovog jer ne zahtijeva ni podskupove

8Bernardus Placidus Johann Nepomuk Bolzano, italijanski filozof (1781-1848)

9David Hilbert, njemacki matematicar (1862-1943)10Cesare Burali-Forti, italijanski matematicar (1861-1931)

4


ni partitivne skupove.Russellov paradoksNeka je S = {X| X /∈ X}, tj. S je skup svih onih skupova koji nisuelementi samog sebe. Da li je S element samog sebe? Odgovor naovo pitanje je kontradiktoran, naime on dovodi do situacije

S ∈ S ⇔ S /∈ S .

Russell obavjestava Fregea11 o svom paradoksu i publikuje ga 1903.godine ali za razliku od Burali-Fortijevog i Cantorovog, ovaj pa-radoks nailazi na veliki odijek i bio je prava pometnja u mate-matickim krugovima koji su se u to vrijeme bavili fundamentalnimproblemima. Tako ce Dedekind objavljivanje svog rada o prirodi ismislu brojeva prolongirati za izvjesno vrijeme, a Frege koji je pri-vodio kraju svoj veliki rad o formalnim sistemima ce u predgovorurada priznati da je Russellov paradoks uzdrmao fundamente nje-govog rada. Poincare12, jedan od vodecih matematicara tog doba,inace do tada veliki pristalica Cantorovog rada, od pojave Russello-vog paradoksa postaje totalni protivnik Cantorove teorije skupova.

U sustini, Russellov i paradoks o brici imaju isti korijen. Medutim,paradoks o brici jednostavno rjesavamo tako sto kazemo da je brico”kontradiktoran” i konstatujemo da takvo selo ne moze postojati.Ali tako nesto ne mozemo primjeniti kod Russsellovog paradoksajer nije jasno zasto onako napravljen skup S ne bi postojao, od-nosno zasto je on ”samokontradiktoran”. Sta vise, ako to i prihva-timo tako, postavlja se pitanje da li postoji jos takvih skupova, boljereci, a koliko jos ima takvih skupova koji su ”samokontradiktorni”?

Iako Cantor nije uspio da rijesi ove probleme oko pojave ovih pa-radoksa, on ni u jednom trenutku nije odustao od svoje teorijeskupova. Sama cinjenica da cak i mi danas o tim pojavama govo-rimo u terminima ”paradoks” ili ”antinomija”, a ne ”kontradikcija”,govori da je Cantor bio u pravu sa svojim stavom. Kako to receHilbert, ipak vecina matematicara ”ne zeli biti izgnana iz raja u kojinas je Cantor uveo ”.

11Gottlob Frege, njemacki matematicar (1848-1925)12Jules Henri Poincare, francuski matematicar (1854-1912)

5

1.3. Izbjegavanje paradoksa ili podjele medu matematicarima

1.3 Izbjegavanje paradoksa ili podjele medu

matematicarima

Sustinski se u modernoj matematici razlikuju tri matematicka prav-ca (pokreta): formalizam, intuicionizam i logicizam. Njihova gleda-nja na matematiku nisu obavezno toliko protivurijecna kako se toponekad zeli prikazati, ali se razlicitim oblastima problema bave nabitno razlicite nacine.FORMALIZAM U najkracem, formalizam tezi zasnivanju potpunih

aksiomatskih sistema. Ova tendencija uocljiva je jos od Euklida, aosnivac modernog pravca je D. Hilbert. Posmatranje matematickihproblema je sljedece: postoje sintaksa i semantika tojest, iskaza-nost (mogucnost zapisa) i samo znacenje iskaza matematike. Je-dan formalista se ne bavi mnogo pitanjem sadrzaja i istinosti ulogickom i filozofskom smislu. Hilbert je namjeravao da stvori pre-cizan i detaljan matematicki jezik koji ce omoguciti formalizacijucak i samog cina matematickog dokazivanja. On je zakljucio damogu postojati dokazi o egzistenciji nekog objekta koji se ne mogusprovesti u konacnom broju koraka. Medutim, ukoliko bi takavdokaz narusio konvencije matematickog izvodenja i dokazivanja,takvu gresku bi smo mogli pronaci na sasvim konacan i izvodljivnacin. Zakljucuje se po principu iskljucenja treceg (tj. stav ili jestetacan ili nije tacan, formalno: p ili ne p) da su navedeni dokazi ko-rektni jer nisu nekorektni. Iz ovakvog pristupa onda imamo ([4],str. 61). ”... Moramo ispitivati ne tvrdnje, vec metode dokazivanja.Klasicnu matematiku moramo gledati kao kombinatornu igru os-novnim simbolima i moramo finitnim kombinatornim sredstvimaustanoviti do kojih nas kombinacija osnovnih simbola dovode me-tode konstrukcije ili ”dokazi”.”Jos jedna vazna crta formalizma jeste da pravi razliku izmedu poj-mova istinito i smisleno. Ovo je na neki nacin distinkcija izmedulogickog i formalnog jer npr. i 1 + 1 = 2 i 1 + 1 = 1 jesu (formalno)smisleni iskazi, gde je prvi tacan, a drugi nije, dok 1 + +1 = ili= +1 + 1 nisu smisleni, pa se ne moze ni govoriti o istinosti tihiskaza, odnosno formalnih zapisa.INTUICIONIZAM (KONSTRUKTIVIZAM) Jedan od najvecih kriticara

Cantorove teorije beskonacnih skupova bio je Kronecker13. Isaoje cak dotle da tu teoriju (a na zalost i samog Cantora) smatra”ludom” i ”suvise divljom”, jednom rijecju, zaista neprimjerenom

13Leopold Kronecker (1823-1891), njemacki matematicar

6


matematici. Ovim svojim nemilosrdnim i ostrim stavovima on jebio preteca pravca koga je formulisao L.E.J. Brouwer14. Intuici-onisti nastoje povratiti sigurnost i dignitet matematike kroz samumatematiku kao mentalnu konstrukciju. Matematicke isitne nesmatraju otkricima o stvarima i njihovim osobinama u nekom aps-traktnom svijetu, nego su one konstrukcije takvih svijetova. In-tuicionista uzima prirodne brojeve potpuno konstruktivno. Po-lazi od prirodne, apriorne intuicije prirodnih brojeva, odnosno nji-hove strukture unutar misljenja, a ne od prirodnih brojeva kaozaista postojecih objekata ili pak osobina nekih drugih postojecihobjekata. Ovo je samo na prvi pogled mistifikacija; bas napro-tiv, intuicionista upravo zeli da izbjegne svaku vrstu mistifikacijekoju implicitno pronalazi u teoriji skupova. O tome A. Heyting 15

kaze ([4], str. 49): ”Ni prirodnim brojevima ni bilo kakvim drugimmatematickim objektima ne pripisujemo egzistenciju nezavisnu odnaseg misljenja, tj. transcendentnu egzistenciju. Mada bi moglobiti istinito da se svaka misao odnosi na neki objekat poiman kaoda postoji nezavisno od nje, ovo pitanje mozemo ostaviti otvore-nim.”. Dakle, to pitanje je za intuicioniste potpuno irelevantno.Otuda pristalica ovoga pravca smatra da je moguce konstruktivnopraviti beskonacan skup (tzv. potencijalna beskonacnost ) ali ni-kada se ne moze zaista i napraviti beskonacan skup (tj. aktuelnabeskonacnost). Postojanje aktuelne beskonacnosti trebalo bi dabude bez znacaja za nas, pa se samim tim logicki kvantifikator”postoji” (∃) moze smisleno upotrebljavati samo za konacne sku-pove. Po tumacenju intuicionista, mi smatramo da posjedujemoaktuelnu beskonacnost u masti, ali je nikakvim svojim (vremenskii prostorno) ogranicenim konstruktivnim postupkom ne mozemorealizovati. Intuicionista iz ovoga dalje zakljucuje da klasicna mate-matika nije zapisiva jer podrazumijeva koriscenje nekonstruktivnihsimbola kao sto su ”. . . ” (u znacenju: i tako dalje - u beskonacnost),a koji jednostavno zavaravaju, ne opisuju nikakav konstruktivanpostupak, pa su zato i neupotrebljivi. Postavlja nam se razumnopitanje, kako simbol beskonacnosti moze oznaciti nesto tako neo-buhvatno (govorimo o matematickim, po mogucnosti netranscen-dentnim objektima)? Ljudi u svom prakticnom djelovanju cestopribjegavaju ovakvim ”precicama” koje nisu toliko odraz inteligent-nosti i dosjetke, koliko su jedino moguce. Ako bi intuicionista

14Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966), holandski matematicar15Arend Heyting (1898-1980), holandski logicar i matematicar

7


u krajnjoj konsekvenci i dozvolio mogucnost postojanja nekons-truktivnih matematickih objekata, opet bi mogao s punim pravomda nas upita: ”na osnovu kojih to pravila smijemo da svedemonekonstruktivnost na sasvim konstruktivnu simboliku?”. Intuci-onista, kao izvorni konstruktivista, na osnovu svega ovoga i da-lje ce tvrditi da su ljudi prevashodno konstruktivna, algoritamskabica, bez obzira na sav njihov afinitet za transcendentnim. Tran-scendentno i jeste transcendentno zato sto je van domasaja nasegkonstruktivistickog iskustva i istog takvog promisljanja stvrnosti.Intuicionizam primjecuje, pored nezapisivosti nekonstruktivne ma-tematike, i problem sa logickim pravilom iskljucenja treceg - onoje odbaceno za potencijalno beskonacne i prihvaceno za aktuelnokonacne skupove. Ovo se opravdava, izmedu ostalog, i konstataci-jom da su matematika i logika dosle do svojih zakljucaka posma-tranjem konacnih skupova. Heyting ce dodatno razjasniti ovakvestavove ([4], str.50). ”... Matematicki objekti po svojoj prirodi zaviseod ljudskog misljenja (prim. zato sto nastaju apstrahovanjem). Nji-hovo je postojanje zajamceno u onoj mjeri u kojoj je ustanovljenomisljenjem. Oni imaju svojstva u onoj mjeri u kojoj ih misljenjemoze izdvajati. Vjeru u transcendentnu egzistenciju, nepodrzanupojmovima, valja odbaciti kao sredstvo matematickog dokaziva-nja.”

LOGICIZAM Kao sto i sama rijec kaze, pristalice ovog pravca preva-shodno daju logici na znacaju. U svome djelu ”Principia mathema-ticae”, B. Russell je, kao osnivac pravca, izlozio osnovne postavkekoje se mogu sazeti u sljedecu formulaciju: ”Matematika se skorou potpunosti moze svesti na logiku”, tj. matematika je prevedivana logiku. Nasuprot Hilbertovom tvrdenju da je rijec samo o bez-sadrzinskoj igri simbola, Russell tvrdi da se matematika sastoji odrecenica oblika, ako A, onda B (tj. A ⇒ B) i intrigantno dodaje daniko ne zna sta je A, a sta B. U fizici naprimjer, A je eksperiment, aB je rezultat eksperimenta. Imajuci ovo u vidu, R. Carnap16 navodisljedece o logicistickom pogledu na matematiku ([4], str. 39-40).”... Russell je stoga s pravom oklijevao da ih predstavi kao logickeaksiome (prim. misli se na dva aksioma o egzistenciji - aksiomubeskonacnosti i aksiomu izbora) jer logika ispituje samo moguceentitete i ne moze nista tvrditi o postojanju. Russell je nasao iz-laz iz ove poteskoce ovakvim rasudivanjem: Kako je i matematikacisto formalna nauka, i ona moze da o postojanju tvrdi samo us-

16Rudolf Carnap (1891-1970), njemacki filozof

8


lovno, a ne kategoricki - ako neke strukture postoje, onda postojei neke druge strukture cija je egzistencija logicka posljedica egzis-tencije onih prvih. Stoga je on preoblikovao matematicku recenicu,recimo R, ciji dokaz zahtijeva aksiomu beskonacnosti (B) ili aksi-omu izbora (A) (prim. koje su veoma sporne sa logicke, a pogotovokonstruktivisticke tacke gledista) u uslovnu recenicu; ne tvrdimoR, nego U ⇒ R, odnosno A ⇒ R. Ta je uslovna recenica onda iz-vodljiva iz logickih aksioma. Zahvaljujuci logicistickom pristupu,dobili smo mogucnost koriscenja racunara svodenjem matematikena logiku, a logike na elektricne impulse, ali je vazna cinjenica dabez intuicionisticke konstruktivnosti ne bi bilo pojma i primjenealgoritma onakvog kakav je danas.Formalisticki pristup je u krajnjoj konsekvenci takode doprinio

sistematizaciji i uopstenju algoritmike, pa na osnovu samo ovogjednog vrlo vaznog primjera, uvidamo sav znacaj koriscenja svegaonoga sto predstavlja prednost pojedinog matematickog pravca.Ovo nas, kao sto smo vec ranije uocili, upucuje na cinjenicu dase ovi pravci ne razlikuju u tolikoj mjeri da bi onemogucili napre-dak matematike, vec da realno, kroz svojevrsnu medusobnu kon-kurenciju, omogucuju plodnu matematicku sintezu, pri cemu ipakzadrzavaju sve svoje osobenosti.

9

2

Aksiomatika i operacije

2.1 Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije sku-

pova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Relacije i funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Relacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2 Funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Aksiom izbora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.1 Zermelo-Frenkelov sistem aksioma te-

orije skupova

Kao sto smo vidjeli, jedan od nacina izbjegavanja paradoksa je ipostavljanje teorije, pa i teorije skupova, na aksiomatsku osnovu.

Prvi aksiomatski sistem teorije skupova dao je E. Zermelo1 1908.godine. 1922. A. Fraenkel2 ce dopuniti Zermelov sistem aksiomate je tako dobijen sistem aksioma koga danas nazivamo ZF-sistem

aksioma za teoriju skupova. U razlicitim knjigama mogu se nacirazliciti spiskovi ovih aksioma. To ne treba da zbunjuje jer ZF-sistem aksioma je nezavisan sistem, pa redoslijed ili zamjena nekeod aksioma su stvar autora.

Iako cemo mi ovdje postaviti detaljno ZF-sistem aksioma, trebanapomenuti da je u upotrebi i NGB-sistem aksioma koga je prvopostavio von Neumann3, a kasnije je dopunjen od strane R. Robin-

sona4, P. Bernaysa i K. Godela.

1Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, njemacki matematicar (1871- 1953)2Adolf Abraham Halevi Fraenkel, njemacko-izraelski matematicar (1891-

1965)3John von Neuman, austro-ugarski matematicar (1903-1957)4Abraham Robinson, USA matematicar (1918-1974)

10

2.1. Zermelo-Frenkelov sistem aksioma teorije skupova

Za izgradnju formalne ”Teorije skupova” koristimo se iskaznom ipredikatskom logikom kao formalnim teorijama. Ovo prije svegaznaci da koristimo Modus ponens i generalizaciju kao zakone za-kljucivanja, ali i da koristimo alfabet tih teorija, sa napomenomda cemo za varijable koristiti i mala i velika slova uobicajenih alfa-beta (a, b, c, ..., A, B, C, ..., x, y, ..., X, Y, ...), sa namjerom da sugerisemostandardna oznacavanja za skupove (velika slova) i njihove ele-mente (mala slova), koja smo koristili u dosadasnjem ucenju ma-tematike. U izlaganju ZF-sistema navodit cemo semanticki zahtjevaksioma kao i njegov formalni zapis u jeziku matematicke logike.Pri tome cemo podrazumijevati univerzalnu zatvorenost formula (tj.podrazumijevat cemo univerzalne kvantifikatore za sve slobodnepromjenljive). Simbol ”=” koristiti cemo za oznacavanje jednakostiobjekata. Jedini novi ”ne-logicki” simbol koga cemo koristiti je bi-narni relacijski simbol ”∈” (”indicija”, ”pripadanje” ili ”clanstvo”), apo dogovoru, umjesto iskaza ¬(x ∈ y), upotrebljavacemo oznakux /∈ y. Razlog uvodenja ovog simbola je prosirivanje mogucnostizapisa, prije svega za atomarne formule, a samim tim i uopstenoza bolju iskazivost formula iskaznog i predikatskog racuna. Dakle,ako su a i b termi, tada je a ∈ b atomarna formula.Varijable u daljoj teoriji citat cemo jednostavno ”skup”. Pojam

”skup” je primitivni pojam teorije skupova i kao takav ne definisemoga. Ovo treba razlikovati od standardnog shvatanja pojma skupakao apsolutnog objekta ili kao sto to ucimo u ranim fazama skolova-nja kao ”skup je skup i to je to”. Prelagodno shvatanje ovog pojmaje i dovelo do pojave paradoksa.Iako nije standardan, treba ga spomenuti u formi aksioma, a to

je tzv. nulti aksiom, kojim formalno opravdavamo izucavanje oveteorije. On glasi

Aksiom: Nulti aksiom

Postoji bar jedan skup.

Obzirom na strogost koju zelimo da postignemo postavljanjem oveteorije, opravdanost ovakvog aksioma je jasna jer nije sigurno dato sto zelimo da izucavamo uopste postoji. On se moze izvesti izaksioma logike, cak i iz aksioma ovog sistema, sto jasno govorida nije neophodan (narusava osobinu nezavisnosti), ali ga ovdjenapominjemo iz razloga da domen podrucja o kojem zelimo govoritinije prazan.

11


Jednakost dva skupa oznacavat cemo uobicajenim logickim sim-bolom ”=”.

Aksiom 1: Aksiom ekstenzionalnosti

Dva su skupa jednaka ako imaju iste elemente.

X = Y ⇔ (∀z)(z ∈ X ⇔ z ∈ Y ) .

Cinjenicu o nejednakosti dva skupa zapisivat cemo sa A 6= B, a onaznaci da postoji element koji se ne nalazi u oba skupa istovremeno,

A 6= B ⇔ (∃z)(z /∈ A ∨ z /∈ B) .

Iz aksioma ekstenzionalnosti kao posebno vazno, proizilazi sljedece

{a, d, c, b} = {a, b, c, d} i {a, a, c, a, b, b} = {a, b, c} ,

tojest u zapisu skupa nisu bitni

• redosljed navodenja elemenata skupa i

• ponavljanje elemenata tog skupa.

Dakle, jednaki skupovi imaju jednake elemente, ali tu treba voditiracuna o direktnom i indirektnom ”clanstvu” u nekom skupu. Npr.Velika Britanija je drzava od cetiri clanice,

Velika Britanija ={Engleska, Skotska,Sjeverna Irska,Vels

}.

U slucaju pripadnosti Evropskoj fudbalskoj federaciji (UEFA), svecetiri clanice joj pripadaju ”direktno”,

UEFA ={Njemacka,BiH,Engleska, Skotska,Sjeverna Irska,Vels, ...

},

ali u slucaju pripadnosti Evropskoj Uniji (EU) one imaju ”indirek-tnu” pripadnost,

EU = {Njemacka,Francuska,Velika Britanija, ...}

jer je ”samo” Velika Britanija pripadnica EU. U kontekstu ovih ze-malja jasno je da UEFA 6= EU (iako ima i drugih razloga za ovunejednakost, koja za ovaj primjer nije vazna).Za jednakost skupova lagano se dokazuje (koristeci poznate tauto-

logije), da vrijede osobine:

12


• Za proizvoljan skup X, je X = X.

• Ako je X = Y , onda je Y = X, za proizvoljne skupove X i Y .

• Za proizvoljne skupove X, Y i Z, ako je X = Y i Y = Z, onda jeX = Z.

Aksiom 2: Aksiom praznog skupa

Postoji skup koji nema niti jednog elementa.

(∃S)(∀x)x /∈ S .

Skup cije postojanje smo uveli gornjom aksiomom, nazivat cemoprazan skup i za njegovo oznacavanje koristit cemo oznaku ”∅”.Prostim koristenjem Aksioma 1, lahko se uvjeriti da je takav skupjedinstven. Zaista, ako bi postojala dva takva skupa ∅1 i ∅2 i pritome da je ∅1 6= ∅2, tada bi prema aksiomu ekstenzionalnosti pos-tojao element koji nije istovremeno u oba skupa. Medutim, to bi seprotivilo cinjenici da oba ova skupa nemaju elemenata.Iz egzistencije praznog skupa slijedi da postoji i skup ciji je ele-

ment prazan skup, {∅}. Jasno je pri tome da ∅ 6= {∅}. Sta vise, naosnovu prvog aksioma imamo da je uvijek

• A 6= {A} i

• A ∈ {A}.

Aksiom 3: Aksiom para

Ako su X i Y skupovi, onda postoji skup Z koji sadrzi tacno Xi Y kao elemente.

(∃Z)(∀z)(z ∈ Z ⇔ (z = X ∨ z = Y )) .

Skup {X, Y } se naziva neureden par skupova X i Y i pri tome jedakle {X, Y } = {Y,X}. Ako je pri tome jos i X = Y , onda imamo{X, Y } = {X,X} = {X} i ovakav skup nazivamo singleton ili jedno-

elementni skup.Za zadate skupove X i Y postojanje ovakvog skupa koga nam ga-rantuje aksiom para je jedinstveno. Zaista, pretpostavimo da pored

13


skupa Z postoji i skup W sa osobinom iz aksioma para. Za pro-izvoljan z, neka je z ∈ Z. To je onda ekvivalentno sa time da jez = X ∨ z = Y , medutim ovo je opet ekvivalentno sa time da jez ∈ W . Dakle vrijedi,

(∀z)(z ∈ Z ⇔ z ∈ W ) ,

sto na osnovu aksioma ekstenzionalnosti znaci jednakost skupova,tj. Z = W .Na osnovu ova prva tri aksioma u mogucnosti smo napraviti sin-

gleton i skup sa dva elementa, ali jos uvijek ne mozemo napravitiskup sa tri elementa, tj. za zadate skupove x, y i z, postoji li skup{x, y, z}? Odgovor na ovo pitanje dobijamo sljedecim aksiomom.

Aksiom 4: Aksiom unije

Ako je X skup, onda postoji skup U koji sadrzi sve elementeelemenata od X.

(∃U)(∀z)(z ∈ U ⇔ (∃Y )(Y ∈ X ∧ z ∈ Y )) .

X ∪X

Slika 2.1: Unija sadrzi sve elemente elemenata skupa.

Skup U koga smo uveli gornjom aksiomom je, na osnovu Aksioma1, jedinstven i za njega cemo koristiti oznaku ∪X. Ako je X ={A,B}, onda cemo koristiti oznaku A ∪ B.Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada vrijedi

X = {A,B} 6= ∪X = A ∪B .

Ako je X = {A}, tada je ∪X = A i sta vise, ∪∅ = ∅. Iz aksioma unijedirektno slijedi i osobina ∅ ∪ A = A, za proizvoljan skup A.

14


Na osnovu ova cetiri aksioma imamo egzistenciju sljedecih sku-pova:

∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅, {∅}}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}} ...

Da odgovorimo sada i na postavljeno pitanje iza treceg aksioma.Neka su dati skupovi x, y i z. Na osnovu aksioma para, postoje sku-povi {x, y} i {z}, a jos jednom primjenom tog aksioma utvrdujemoi postojanje skupa {{x, y} , {z}}. Sada na osnovu aksioma unijeimamo da postoji skup ciji su elementi, svi elementi elemenata po-sljednjeg skupa, tj. postoji skup {x, y, z}.Prije naredne aksiome uvedimo novi simbol. Iz aksioma ekstenzi-

onalnosti, ako ga zapisemo u formi,

X = Y ⇔ (∀z) ((z ∈ X ⇒ z ∈ Y ) ∧ (z ∈ Y ⇒ z ∈ X)) ,

jasno je da iz desne strane ekvivalencije mozemo izdvojiti samojedan clan konjukcije i da to onda vodi ka nekoj osobini, ”slicnoj”jednakosti skupova.

Definicija 1

Za proizvoljne skupove A i B pisemo A ⊆ B, ako vrijedi osobinada je svaki element skupa A ujedno i element skupa B, tj.

A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) .

Tada kazemo da je skup A podskup skupa B.

Aksiom 5: Aksiom o partitivnom skupu

Ako je X proizvoljan skup, postoji skup P ciji su elementi svipodskupovi skupa X.

(∃P )(∀z)(z ∈ P ⇔ z ⊆ X) .

Jedinstvenost i ovom aksiomom uvedenog skupa je lahko dokazivakoristeci Aksiom 1, i za njega cemo koristiti oznaku P(X), a zvatcemo ga partitivni skup skupa X.Uocimo da je pomocu Aksioma 5 uveden skup svih podskupova

nekog skupa, ali da nam nije poznato postojanje niti jednog konkret-nog podskupa datog skupa. Takav skup ocigledno mora imati

15


karakteristiku da ”sakuplja” elemente iz datog skupa, a sa za-jednickom im nekom osobinom. Naravno, upravo ovakvo ”sakup-ljanje” objekata na osnovu neke njima zajednicke osobine, cinisustinu pojma skupa, pa svaka formalna teorija koja ima za cilj daopise intuitivnu teoriju skupova, mora izrazavati ovaj semantickizahtjev. S druge strane, nekriticko i previse slobodno primjenji-vanje ovog zahtjeva je i dovodilo do pojave paradoksa u naivnojteoriji skupova. Da bi pokusali pomiriti ova dva zahtjeva, uvodimosljedeci aksiom.

Aksiom 6: Aksiom podskupa (komprehenzije, izdvajanja)

Neka je A zadani skup i P (x) predikat koji za svako x ∈ A imasmisla (za svako x ∈ A, P (x) je iskaz). Tada postoji skup Bciji su elementi oni i samo oni elementi iz skupa A za koje jepredikat P tacan.

(∃B)(∀x)(x ∈ B ⇔ (x ∈ A ∧ P (x))) ,

gdje je P (x) proizvoljan predikat koji ne sadrzi slobodnu pro-mjenljivu B.

Kada varijabli x damo neku vrijednost iz oblasti definisanosti predi-kata, on postaje iskaz koji dakle moze biti ili tacan ili netacan. Nekaje A oblast definisanosti predikata P (x). Simbolikom

{x | x ∈ A ∧ P (x)} ili {x ∈ A | P (x)} ,

oznacavat cemo skup svih onih elemenata iz skupa A za koje jepredikat P (x) tacan. To znaci

a ∈ {x ∈ A | P (x)} ⇔ τ (P (a)) = ⊤ .

Neka je P (x) proizvoljan predikat arnosti 1, naprimjer:

• P (x) : 1 < x ≤ 2,

• P (x) : x je paran broj,

• P (x) : x je jednakostranican trougao i sl.

Neka je A = R (R skup realnih brojeva). Tada pomocu Aksioma 6konstruisemo skupove {x ∈ R | 1 < x ≤ 2}, {x ∈ R | x je paran broj}.Ako je A skup svih trouglova u ravni, onda je skup i

{x ∈ A | x je jednakostranican trougao} .

16


Jasno je da za svaki predikat P (x) u Aksiomu 6 imamo po jedanaksiom, pa se za ovaj aksiom kaze da predstavlja ”semu aksioma”.Medutim i pored toga, Aksiomom 6 nije moguce konstruisati skupsvih skupova, odnosno ”univerzalni skup”, pa su time otklonjenisvi navedeni paradoksi koji su se pojavljivali u naivnoj teoriji sku-pova. Dakle, uloga Aksioma 6 je konstruisati sto vise skupova, alipri tome izbjeci bar poznate paradokse naivne teorije skupova.Neka je sa D oznacen skup svih drzava. Za d ∈ D definisimo

osobinu P (d) sa

P (d) : d ima najmanje 25 sastavnih dijelova .

Kako za svaku drzavu mozemo ispitati tacnost predikata P (·), ondaje skup L = {d ∈ D| P (d)} dobro definisan. USA ima 50 drzava,Svicarska ima 26 kantona, Indija ima 25 drzava i 7 teritorija, ondaimamo

USA, Indija, Svicarska ∈ L , BiH,Austrija /∈ L .

Ako formiramo skup E = {d ∈ EU | d koristi euro}, tada su Njemacka,Holandija ∈ E, ali Velika Britanija /∈ E. Medutim, i Crna Gora ko-risti euro, ali nije clanica EU, tako da Crna Gora /∈ E.Aksiomom 6 smo uveli nacin zapisivanja skupa

A = {x | x ima osobinu P} .

Pored ovog nacina zapisivanja skupa koristit cemo i nacin zapisi-vanja pojedinacnih elemenata skupa, nabrajanjem njegovih eleme-nata, A = {a1, a2, .., an}.Sa ovih prvih 6 aksioma moguce je uvesti sve pojmove sa kojima se

sluzimo u ”svakodnevnoj” matematici. Ono sto se moze primjetiti,da one daju samo konacne skupove tojest, beskonacan skup nijemoguce konstruisati pomocu njih. Zato uvedimo sljedeci aksiomkoji ce obezbjediti postojanje i ovakvih skupova.

Aksiom 7: Aksiom beskonacnosti

Postoje beskonacni skupovi.

(∃S)(∅ ∈ S ∧ (∀x)(x ∈ S ⇒ x ∪ {x} ∈ S)) .

Ako je X skup, onda skup X+ = X ∪ {X} nazivamo sljedbenikomskupa X. Sa ovim terminom Aksiom 7 garantuje postojanje skupa

17


koji sadrzi prazan skup i sljedbenika svakog svog elementa. Skupkoji zadovoljava uslov aksioma beskonacnosti se naziva induktivan

skup. Sa ovom terminologijom, aksiom beskonacnosti nam tvrdi dapostoji bar jedan induktivan skup. Svaki takav skup onda sadrzisljedece skupove: ∅, {∅} , {∅, {∅}} , {∅, {∅} , {∅, {∅}}} , ...

Teorem 2.1.1

Postoji najmanji induktivni skup.

Najmanji onduktivni skup mora strzavati element ∅. Oznacimo tajelement sa

0def= ∅ .

Kako taj skup sadrzi sljedbenika svakog svog elementa, izvrsimosljedeca oznacavanja:

1def= 0+ = ∅ ∪ {∅} = {∅} .

2def= 1+ = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}} .

3def= 2+ = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅} , {∅, {∅}}} .

Nastavimo li dalje sa ovim oznacavanjem i rezonovanjem, dobijamonajmanji induktivni skup koga oznacavamo sa ω. Skup ω bez ele-menta 0 nazivamo skup prirodnih brojeva, a njegove elemente na-zivamo prirodnim brojevima i oznacavat cemo ga sa N. Na skupuω uvodimo jedno jako bitno svojstvo koga nazivamo princip mate-

maticke indukcije, a koje glasi:Neka je X ⊆ ω za koga vrijedi: 0 ∈ X i za svako n ∈ X je i n+ ∈ X.Tada je X = ω.

Sa sljedece dvije aksiome cemo prosiriti ali i dodatno ogranicitimogucnosti pravljenja novih skupova.

Aksiom 8: Aksiom zamjene

Funkcija preslikava skup u skup.

(∀A)((∀x ∈ A)(∃!y)P (x, y) ⇒ (∃z)(∀x ∈ A)(∃y ∈ z)P (x, y)) ,

za sve predikate P (x, y) koji nemaju slobodnu promjenljivu y.

18


Prostije receno, gornji aksiom nam kaze sljedece: Neka je A zadaniskup i P (x, y) predikat arnosti 2 koji ima osobinu da za proizvoljnoa ∈ A, postoji jedinstven b, takav da je τ (P (a, b)) = ⊤. Tada postojijedinstven skup B ciji su elementi svi skupovi y za koje postojix ∈ A, takav da je τ (P (x, y)) = ⊤.”Naivno” tumacenje gornjeg aksioma je: Ako je na skupu A de-

finisana funkcija f i za svako a ∈ A je f(a) skup, tada je B ={f(a) | a ∈ A} takode skup. Ovaj aksiom je Frenkel dodao na Zer-melov sistem aksioma i on kao i Aksiom 6. predstavlja semu aksi-oma.Sa ovom aksiomom smo prosirili mogucnosti gradnje skupova, a

sada cemo napraviti dodatna ogranicenja.

Aksiom 9: Aksiom fundacije ili o zabrani losih skupova

Za svaki neprazan skup X postoji bar jedan njegov element kojinema zajednickih elemenata sa X,

X 6= ∅ ⇒ (∃Y ∈ X)(∀t)¬(t ∈ X ∧ t ∈ Y ) .

Aksiom fundacije se moze iskazati i u sljedecoj ekvivalentnoj formi:Neka je X proizvoljan neprazan skup. Postoji element y ∈ X, takav

da za svako z ∈ X vrijedi z /∈ y.

Ovaj drugi oblik smo iskazali jer je ”blizi” shvatanju sta se njimezeli iskazati. Tako imamo da se postojeci y ∈ X naziva minimalni

element skupa X u odnosu na relaciju ” ∈ ”. Ako posmatramoskup

A = {0, {0} , {1, 2} , {0, {1, 2}} , {{0}}} ,

on ima dva minimalna elementa i to 0 i {1, 2} jer niti jedan elementskupa A nije element nekog od ovih skupova ( brojevi 1 i 2 nisuelementi skupa A). Jasno je da minimalni element ne mora bitijedinstven, ali ako on ima i osobinu da je element svakog od ele-menata posmatranog skupa, onda ga nazivamo najmanji element.Tako imamo da je skup {∅}, najmanji element skupa

{{∅} , {{∅} , {∅, {∅}}} , {{∅}}} .

Glavna ideja aksioma fundacije jeste dati pravila za formiranje uni-verzuma skupova. Prema ovom aksiomu naprimjer imamo

• {{{x}}} ; Pravljenje skupova od skupova je dozvoljeno.

19


• {x, {x} , {x, {x}}} ; Skupovi sa ”uporedivim” elementima (x ∈{x}) su dozvoljeni.

• {X, Y }, gdje je X /∈ Y i Y /∈ X ; Skupovi sa ”neuporedivim”elementima su dozvoljeni.

• {X, Y }, gdje je X ∈ Y i Y ∈ X: ”Ciklicnost” nije dozvoljena, tj.ovakvi ”skupovi” nisu skupovi.

• {x1, x2, ...}, gdje je x2 ∈ x1, x3 ∈ x2,... ; ”skupovi” koji formirajuopadajuci niz nisu dozvoljeni.

Primjetimo da aksiom fundacije ne dozvoljava skupove x sa osobi-nom x ∈ x. Zaista, neka je x proizvoljan skup, tada je {x} neprazani na osnovu aksioma fundacije skup x nema zajednickih elemenatasa skupom {x}, tj. x /∈ x.

Kao direktnu posljedicu aksioma fundacije navodimo sljedeci vazanteorem.

Teorem 2.1.2

Kolekcija svih skupova nije skup.

Dokaz: Neka je U kolekcija svih mogucih skupova. Posmatrajmoproizvoljan skup X ∈ U . Tada je skup i {X} (ovo naime pociva naAksiomu para), a na osnovu Aksioma fundacije, postoji y ∈ {X},takav da za svako x ∈ X, vrijedi x /∈ y. Ali jedini element nasegskupa je X, pa dakle vrijedi X /∈ X. Ovo nam onda znaci da jeX 6= U jer U sadrzi X kao element, a to onda znaci da U nije skup.♣

Posljedica 2.1.3

Ne postoji skup koji sadrzi sebe samog kao element tojest, nepostoji skup X takav da je X ∈ X.

Aksiom 9. zbilja iskljucuje mnoge ”patoloske” skupove, ali takodeje mnoge stvari moguce dokazati ne koristeci ga. Formalni sistemkoji se koristi aksiomama od 1-8 cesto se obiljezava sa ZF−, doksvih izlozenih devet aksioma predstavlja ZF teoriju skupova.

20

2.2. Operacije sa skupovima

2.2 Operacije sa skupovima

Vecina stvari ove sekcije je poznata citaocu. Mnoge od tih stvarina ovom mjestu cemo uvesti strogo precizno, drzeci se naravno ak-siomatike koju smo upravo uveli, ali ce mnogi detalji takode bitii preskoceni i ostavljeni citaocu da prode taj put od ZF teorije dodokaza da su novouvedeni objekti zaista dobro definisani. Preva-shodni cilj ove glave je dakle, da fiksiramo i usvojimo notaciju iterminologiju koja ce u daljem biti koristena.Za obiljezavanje skupova u daljem cemo uglavnom koristiti velika

slova abecede (A,B,C, ..., X, Y, Z, ...) ili velika slova sa indeksima ( Ai

(i ∈ I), Bk (k = 1, 2, ..., n) i sl.). Ako su Ai (i ∈ I) proizvoljni skupovi,skup {Ai| i ∈ I} uobicajeno cemo nazivati familija skupova, a skupI, indeksni skup ili skup indeksa date familije.Aksiom para nam je obezbjedivao postojanje dvoelementnog skupa.

Zato dokazimo

Teorem 2.2.1

Neka je n proizvoljan prirodan broj i neka su X1, X2, ..., Xn sku-povi. Tada postoji skup ciji su elementi upravo ti skupovi to-jest, postoji skup {X1, X2, ..., Xn}.

Dokaz: Neka je n ∈ N i X1, ..., Xn proizvoljni skupovi. Na osnovuAksioma 3, postoji skup {X1, X2}. Tada na osnovu Aksioma 4, pri-mjenjenom na skup S = {{X1, X2} , {X3}}, postoji skup

∪S = {X1, X2} ∪ {X3} = {X1, X2, X3} .

Postupak sada ponavljamo primjenjujuci aksiom unije na skup L ={{X1, X2, X3} , {X4}}. U konacno mnogo koraka, primjenjujuci istusemu, dolazimo do postojanja skupa

{X1, X2, ..., Xn−1} ∪ {Xn} = {X1, X2, ..., Xn} ,

sto je i trebalo dokazati. ♣Kao sto smo vidjeli u aksiomatici, aksiom unije nam je garantovao

postojanje unije skupa A,

∪A = {x | (∃X ∈ A) x ∈ X} ,

cije postojanje sada sa ovom notacijom mozemo obrazloziti i aksi-omom izdvajanja. Aksiom ekstenzionalnosti nam garantuje jedins-tvenost takvog skupa.

21


Lema 2.2.2

Unija je jedinstveno odreden skup.

Dokaz: Neka su za dati skup A, ∪1A i ∪2A njegove razlicite unije.To bi znacilo na osnovu aksioma akstenzionalnosti da postoji x ∈∪1A, takav da x /∈ ∪2A. Iz cinjenice da x ∈ ∪1A imamo da postojiX ∈ A, takav da je x ∈ X. S druge strane, iz x /∈ ∪2A imamo da¬(∃Y ∈ A)x ∈ Y , sto je ekvivalentno sa (∀Y ∈ A)x /∈ Y , a to bi i zapostojeci X moralo vrijediti, tj. x /∈ X sto predstavja kontradikciju.♣Ako je A = {X, Y }, tada smo rekli da cemo koristiti oznaku

∪A = X ∪ Y .

Primjer 2.1. Unija skupova predstavlja sveukupnost svih elemenataskupova koje uniramo. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i B = {a, b, c, d, e}.Tada je

A ∪B = {1, 2, 3, 4, a, b, c, d, e} .

♦

Neka je L = {Ai| i ∈ I}, tada za uniju skupa L koristimo oznaku

⋃

i∈I

Ai ,

gdje je I neki skup indeksa. Pripadnost nekog elementa uniji sku-pova iskazujemo sljedecim zapisom:

x ∈⋃

i∈I

Ai ⇐⇒ (∃i0 ∈ I) x ∈ Ai0 .

U slucaji konacnosti indeksnog skupa, naprimjer I = {1, 2, ..., n},koristimo oznaku

n⋃

i=1

Ai ,

a ako je I = N, onda koristimo oznaku

∞⋃

i=1

Ai =⋃

i∈N

Ai .

22


Skupove graficki najcesce predstavljamo pomocu Vennovih 5 dija-

grama koji se jos nazivaju i skupovni dijagrami. Njima izrazavamohipoteticke mogucnosti logickih relacija izmedu konacnih kolekcijaskupova. Konstruisemo ih pomocu jednostavnih geometrijskih li-kova (krug, elipsa, pravougaonik i sl.) u ravni, gdje unutrasnjosttih likova simbolicki reprezentuje elemente skupa. Kako pod uni-jom podrazumijevamo sveukupnost elemenata skupova koje uni-ramo, Vennov dijagram unije dva skupa predstavljen je na slici2.2.

A B

Slika 2.2: Vennov dijagram unije dva skupa; A ∪B

Definicija 2.2.1

Neka je A proizvoljan skup i neka je L ⊆ P(A). Presjek skupaL, u oznaci ∩L, je skup koji se sastoji od onih i samo onihelemenata koji su elementi u svakom skupu iz L, tj.

∩L = {x | (∀Y ) (Y ∈ L ⇒ x ∈ Y } .

AB

A ∩ B

Slika 2.3: Vennov dijagram presjeka dva skupa; A ∩B

Za razliku od unije koja je uvedena aksiomatski, cinjenicu da je”presjek” dobro definisan skup, ostavljamo citaocu da je dokazekoristeci uvedene aksiome. Za vjezbu je ostavljen i dokaz sljedecetvrdnje.

5John Venn (1834-1923)-Engleski logicar i filozof

23


Lema 2.2.3

Presjek je jedinstveno odreden skup.

Ako je L = {X, Y }, tada skup ∩L zapisujemo sa X ∩ Y .

Primjer 2.2. Presjek skupova cine elementi koji su zajednicki svimskupovima koje ”presjecamo”. Neka je A = {n ∈ N | 2 ≤ n ≤ 6} iB = {n ∈ N | n2 ≤ 50}. Tada je A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}te je

A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} .

♦

Slicno kao i kod unije, ako je L = {Ai | i ∈ I}, presjek skupa L

zapisujemo sa⋂

i∈I

Ai, odnosno za konacan i beskonacan presjek ko-

ristimo oznaken⋂

i=1

Ai ,∞⋂

i=1

Ai =⋂

i∈N

Ai .

Pripadnost elementa presjeku skupova zapisujemo sa:

x ∈⋂

i∈I

Ai ⇐⇒ (∀i ∈ I) x ∈ Ai .

Definicija 2.2.2

Za skupove X i Y kazemo da su disjunktni ako vrijedi

X ∩ Y = ∅ .

A B

Slika 2.4: Disjunktni skupovi; A ∩B = ∅

Aksiomom izdvajanja nam je omoguceno iz datog skupa izdvojitineki njegov dio, koga smo nazvali podskupom. Uvedimo novi pojami formalno.

24


Definicija 2.2.3

Za skup X kazemo da je podskup skupa Y i pisemo X ⊆ Y , akovrijedi

(∀x)(x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) .

A

B

(a) B ⊆ A

AB

(b) ¬(B ⊆ A)

A B

(c) ¬(B ⊆ A)

Slika 2.5: Vennov dijagram podskupa.

Teorem 2.2.4

Vrijedi,

1. (∀X) ∅ ⊆ X.

2. (∀X) X ⊆ X.

3. (∀X, Y )(X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X ⇒ X = Y ).

4. (∀X, Y, Z)(X ⊆ Y ∧ Y ⊆ Z ⇒ X ⊆ Z).

Dokaz:

1. Ako bi postojao skup X za koga ne vrijedi ∅ ⊆ X, to bi znaciloda postoji bar jedan element skupa ∅ koji nije u skupu X. Ali,prazan skup nema elemenata, pa takvo sto nije moguce.( Dokaz ove cinjenice smo takode mogli bazirati i na tautologiji⊥ ⇒ p.)

2. Da je tvrdnja tacna, slijedi iz cinjenice da je iskaz p ⇒ p tauto-logija, tj. uvijek vrijedi x ∈ X ⇒ x ∈ X.

3. Ova osobina slijedi direktno iz aksioma ekstenzionalnosti.

25


4. Neka su X, Y, Z skupovi za koje vrijedi X ⊆ Y i Y ⊆ Z. Neka jex ∈ X proizvoljan. Kako je X ⊆ Y , zakljucujemo prema defini-ciji podskupa da je x element i skupa Y . Kako vrijedi i Y ⊆ Z,onda iz x ∈ Y zakljucujemo da je x ∈ Z. Zbog proizvoljnostiposmatranog elementa x sada imamo

(∀x)(x ∈ X ⇒ x ∈ Z) ⇔ X ⊆ Z .

♣Jasna je razlika izmedu pojmova ”pripadnosti” (x ∈ X) i ”sadrzanosti”

(x ⊆ X). Vezu izmedu ova dva pojma iskazujemo narednom tvrd-njom.

Lema 2.2.5

Za proizvoljan neprazan skup X vrijedi

x ∈ X ⇒ {x} ⊆ X .

U opstem slucaju, ako je {x} ⊆ X ne mora biti x ∈ X. Zaista, UK(Ujedinjeno Kraljevstvo) je evropska drzava koja se sastoji od cetiridrzave, te je kao takva UK = {E,S,SI,V} ⊂ EU . Medutim, niti jednaod drzava (Engleska, Skotska, Sjeverna Irska i Vels) nisu claniceEU.

Lema 2.2.6

Neka je data familija skupova Ai (i ∈ I), sa osobinom da je zasvako i ∈ I, Ai ⊆ X. Tada vrijedi

⋃

i∈I

Ai ⊆ X .

Dokaz: Za zadate skupove Ai (i ∈ I) i X, neka je Ai ⊆ X za svako

i ∈ I. Neka je sada x ∈⋃

i∈I

Ai proizvoljan. To znaci da postoji i0 ∈ I,

takav da x ∈ Ai0, a kako je Ai0 ⊆ X, ovo opet znaci da je x ∈ X.Dakle,

(∀x)(

x ∈⋃

i∈I

Ai ⇒ x ∈ X

)

,

26


a onda na osnovu definicije uvedene relacije imamo da je⋃

i∈I

Ai ⊆ X.

♣Spomenimo jos jednu cestu skupovnu vezu, izvedenu iz relacije

”biti podskup”.

Definicija 2.2.4

Ako vrijedi X ⊆ Y i X 6= Y , kazemo da je X pravi podskup od Yi pisemo X ⊂ Y .

U upotrebi veza ”⊆” i ”⊂” treba voditi racuna o preciznosti iskaziva-nja. Naime, za skup 2N = {n ∈ N | n je paran broj } vrijedi 2N ⊂ N,ali necemo pogrijesiti ako napisemo i 2N ⊆ N. Medutim, za skupoveA = {x ∈ R | − 1 < x < 1} i B = {x ∈ R | |x| < 1} pogresno bi bilo reciA ⊂ B jer u stvari vrijedi A = B, a ne bi bila greska reci A ⊆ B.

Napomenimo da pomocu veze ”biti podskup” mozemo definisati ivezu ”biti nadskup”.

Definicija 2.2.5

Kazemo da je skup A nadskup skupa B i pisemo A ⊇ B, ako isamo ako je B ⊆ A.

Narednom definicijom uvodimo novu operaciju nad skupovima.

Definicija 2.2.6

Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Razlika skupova X i Y , uoznaci X \ Y , je skup koji se sastoji od onih elemenata skupaX koji se ne nalaze u skupu Y , tj.

X \ Y = {x | x ∈ X ∧ x /∈ Y } .

Primjer 2.3. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} i B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Tadaimamo:

A \B = {1} , B \ A = {8} .

♦

27


A B

A \B

A B

B \ A

Slika 2.6: Vennov dijagram razlike skupova.

Ako je Y ⊆ X, umjesto o razlici skupova X \ Y , govorimo o kom-plementu skupa Y u odnosu na skup X i koristimo oznaku CX(Y ).Ukoliko su svi skupovi koje posmatramo podskupovi nekog skupaU , koga tada nazivamo univerzalni skup ili univerzum, koristimooznaku C(X) (ili Xc) za CU(X) = U \X.

A

B

CA(B)

(a) Komplement skupau odnosu na skup

U

B

CU(B) = Bc

(b) Komplement skupau odnosu na univerzum

Slika 2.7: Vennov dijagram komplementa skupova.

Primjer 2.4. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} i B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.Tada je CB(A) = {7, 8, 9, 10}. Ako bi smo za univerzum uzeli skupsvih prirodnih brojeva, tada imamo

N \ A = CN(A) = Ac = {n ∈ N | n ≥ 7} .

♦

Ovdje treba napomenuti da ne postoji skup koji bi predstavljaoapsolutni komplement datog skupa, tj. za zadati skup B, ne postojiskup A = {x | x /∈ B}. Naime, ako bi takav skup postojao, onda naosnovu aksioma unije bi i A∪B bio skup, sto bi znacilo da je A∪Bskup svih skupova, a takav na osnovu ZF sistema aksioma nijemoguc.

28


Sljedecim teoremom uvezujemo osobine unije, presjeka i relacije”biti podskup”.

Teorem 2.2.7

Za proizvoljne skupove A i B sljedeca tvrdenja su ekvivalentna:

1. A ⊆ B.

2. A ∩ B = A.

3. A ∪ B = B.

Dokaz: (1 =⇒2)Neka je A ⊆ B, tj neka vrijedi

(∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B) .

Uzmimo proizvoljan x ∈ A ∩B. Tada imamo

x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (definicija presjeka)

⇒ x ∈ A (tautologija (p ∧ q) ⇒ p .

Na osnovu definicije inkluzije zakljucujemo da vrijedi

A ∩ B ⊆ A . (1)

Neka je sada x ∈ A proizvoljan.

x ∈ A ⇒ x ∈ B (pretpostavka A ⊆ B)

⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (tautologija p ⇒ (p ∧ ⊤)

⇒ x ∈ A ∩B .

Dakle,A ⊆ A ∩ B . (2)

Na osnovu (1), (2) i aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo jedna-kost skupova, tojest

A ∩ B = A .

(2 =⇒ 3)neka je A ∩B = A. Za proizvoljan x ∈ A ∪B imamo

x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B (aksiom unije)

⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ x ∈ B (pretpostavka A = A ∩B)

⇒ x ∈ B (tautologija ((p ∧ q) ∨ q) ⇒ q)

29


Na osnovu definicije inkluzije vrijedi

A ∪ B ⊆ B . (3)

Neka je x ∈ B proizvoljan. Tada,

x ∈ B ⇒ x ∈ B ∨ x ∈ A (tautologija p ⇒ (p ∨ ⊤))

⇒ x ∈ B ∪ A (aksiom unije)

⇒ x ∈ A ∪ B (komutativnost unije) .

Zakljucujemo da vrijedi

B ⊆ A ∪B . (4)

Iz (3), (4) i aksioma ekstenzionalnosti imamo da vrijedi A ∪B = B.

(3 ⇒ 1)Neka je A ∪B = B. Tada za proizvoljan x ∈ A imamo

x ∈ A ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B (tautologija p ⇒ (p ∨ q))

⇒ x ∈ B (pretpostavka A ∪B = B) .

Na osnovu definicije inkluzije vrijedi A ⊆ B.

Na osnovu tranzitivnosti implikacije i tautologije

(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ,

iz 1 ⇒ 2, 2 ⇒ 3 i 3 ⇒ 1, zakljucujemo ekvivalentnost sva tri iskaza.♣Pored mnogih osobina skupovnih operacija koje nalazimo u lite-

raturi i koje cesto koristimo, narednim teoremom izdvajamo cetirimedu najvaznijim od skupovnih jednakosti.

Teorem 2.2.8

Za proizvoljne skupove A,B i C vrijedi

1. A ∩B = B ∩ A ; A ∪B = B ∪A.

2. (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)) ; (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)).

3. A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) ; A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).

4. A \ (B ∩C) = (A \B)∪ (A \C) ; A \ (B ∪C) = (A \B)∩ (A \C).

30


Pravilo 1. nazivamo zakon komutativnosti za presjek i uniju, pra-vilo 2. je zakon asocijativnosti za presjek i uniju, pravilo 3. je zakondistributivnosti unije prema presjeku i presjeka prema uniji. Oso-bine navedene u 4. nazivamo De Morganovi6 zakoni, a cesto seiskazuju i u obliku

(B ∪ C)c = Bc ∩ Cc , (B ∩ C)c = Bc ∪ Cc ,

gdje se komplementiranje odnosi na neki zadati skup (npr. u od-nosu na neki skup A).Kada vrsimo zapis A ∩ B ∩ C moguca je zabuna da li mislimo (A ∩B)∩C ili A∩ (B∩C). Asocijativni zakon nam govori da je to jednakotojest, da nam zagrade u ovom slucaju, slicno i za uniju, nisu neo-phodne. Medutim, kod zapisa A ∩ (B ∪ C) ili kod A ∪ (B ∩ C), kakonam govore distributivni zakoni, zagrade moramo pisati. Operacijeunije, presjeka i razlike skupova su istog prioriteta, pa zagradamanaglasavamo redoslijed njihovog izvrsavanja. Ako zagrada nema,koristimo se pravilom izvrsavanja operacija s lijeva na desno. Takobi imali za izraz A ∪ B \ C ∩D da odgovara izrazu ((A ∪B) \ C) ∩D.Za dokazivanje skupovnih jednakosti uobicajeno se koristimo ne-

kom od naredne cetiri metode.I Nacin:(pomocu aksioma ekstenzionalnosti) Ako trebamo po-kazati skupovnu jednakost A = B, uzimamo proizvoljan x ∈ A ipokazemo da onda on pripada i skupu B, cime smo pokazali da jeA ⊆ B. Zatim uzimamo proizvoljan lemenet skupa B i pokazujemoda on pripada i skupu A, tojest pokazemo da je B ⊆ A. Iz ove dvijecinjenice, na osnovu aksioma ekstenzionalnosti, zakljucujemo davrijedi data skupovna jednakost, A = B.

Primjer 2.5. Dokazimo skupovnu jednakost

(A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ C .

Dokazujemo inkluziju ”⊆”.(1) Neka je x ∈ (A \ C) ∩ (B \ C) proizvoljan. To na osnovu definicijeoperacije presjeka skupova znaci da x pripada skupu A \C i skupuB \ C,

x ∈ A \ C ∧ x ∈ B \ C .

(2) Sada na osnovu definicije razlike skupova imamo da x pripadaskupu A, a ne pripada skupu C i x pripada skupu B, a ne pripadaskupu C,

x ∈ A ∧ x /∈ C ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C .6Augustus De Morgan (1806-1871) - Britanski matematicar i logicar

31


(3) Odavde zakljucujemo da x pripada skupovima A i B i ne pripadaskupu C,

x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C .

(4) Prema definiciji presjeka skupova x pripada skupu A ∩ B i x nepripada skupu C,

x ∈ A ∩ B ∧ x /∈ C .

(5) Konacno, prema definiciji razlike skupova zakljucujemo x ∈ (A∩B) \ C, te vrijedi

(A \ C) ∩ (B \ C) ⊆ (A ∩ B) \ C . (5)

Dokazujemo inkluziju ”⊇”.(1) Neka je x ∈ (A ∩ B) \ C proizvoljan. Prema definiciji razlikeskupova x pripada skupu A ∩B i ne pripada skupu C,

x ∈ A ∩ B ∧ x /∈ C .

(2) Dakle, x pripada skupu A i pripada skupu B i ne pripada skupuC,

x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C .

(3) Ovo je isto kao da kazemo da x pripada skupu A, a ne pripadaskupu C i x pripada skupu B, a ne pripada skupu C,

x ∈ A ∧ x /∈ C ∧ x ∈ B ∧ x /∈ C .

(4) Konacno, prema definiciji razlike zakljucujemo da x pripadaskupovima A \ C i B \ C,

x ∈ A \ C ∧ x ∈ B \ C .

(5) Prema definiciji prsjeka skupova gornje znaci x ∈ (A\C)∩(B\C),te vrijedi

(A ∩B) \ C ⊆ (A \ C) ∩ (B \ C) . (6)

Iz (5) i (6) na osnovu aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo jed-nakost skupova. ♦

II Nacin:(algebarski dokaz) U ovoj vrsti dokaza koristimo se vecpoznatim (dokazanim) skupovnim jednakostima. Neophodno je svakikorak dokaza okarakterisati skupovnom jednakoscu ili pravilomzakljucivanja kojim se koristimo.

32



(A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ C .

(A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ Cc) ∩ (B ∩ Cc) (jer X \ Y = X ∩ Y c)

= (A ∩B) ∩ (Cc ∩ Cc) (komutativnost i asocijativnost presjeka)

= (A ∩B) ∩ Cc (X ∩X = X)

= (A ∩B) \ C . (jer X \ Y = X ∩ Y c)

♦

III Nacin:(Vennovim diagramima)


(A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩B) \ C .

Kako radimo sa tri skupa, uvedimo Vennov diagram na sljedecinacin

U

A B

C

2 38

1

4

5 6

7

Pravougaonikom predstavljamo univerzum skupova, sa krugovima(u opstem slucaju sa elipsama) pojedinacne skupove A, B i C, a sanumeracijom od 1 do 8 (u slucaju tri skupa) pojedinacne regione.Tako imamo da region 8 predstavlja A∩B∩C ili region 4 je C\(A∪B).Ideja ove vrste dokaza jeste reprezentovati pojedine skupove prekoregiona, naprimjer skup A je skup regiona {2, 5, 7, 8}.Sada imamo, skup A \ C su regioni {2, 7}, skup B \ C su {3, 7}.

Dalje, skup A ∩ B je {7, 8} i skup C je {4, 5, 6, 8}. Sada imamo

(A \ C) ∩ (B \ C) = {2, 7} ∩ {3, 7} = {7} ,

i(A ∩B) \ C = {7, 8} \ {4, 5, 6, 8} = {7} .

Kako se obje strane nase skupovne jednakosti svode ni isti skupregiona ({7}), to je data skupovna jednakost tacna. ♦

33


IV Nacin:(Tabelarni metod) U ovoj metodi se sluzimo idejom daformiramo tabelu cije su kolone naslovljene na sve skupove kojifigurisu u zadatoj skupovnoj jednakosti, a tabelu popunjavamo sa”Da” i ”Ne” prema odgovoru ”da li x pripada tom skupu?”. Prve ko-lone su rezervisane za pojedinacne skupove koji ucestvuju u sku-povnoj jednakosti.


(A \ C) ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ C .

A B C A \ C B \ C Lijevo A ∩ B Desno Venn

Ne Ne Ne Ne Ne Ne Ne Ne 1

Da Ne Na Da Ne Ne Ne Ne 2

Ne Da Ne Ne Da Ne Ne Ne 3

Ne Ne Da Ne Ne Ne Ne Ne 4

Da Da Ne Da Da Da Da Da 7 X

Da Ne Da Ne Ne Ne Ne Ne 5

Ne Da Da Ne Ne Ne Ne Ne 6

Da Da Da Ne Ne Ne Da Ne 8

Prve tri kolone daju odgovore na pitanja ”Da li je x u skupu A”,”Da li je x u skupu B” i ”Da li je x u skupu C”. Kolone ”Lijevo” i”Desno” su odgovori na pitanje ”Da li je x u skupu (A \C)∩ (B \C)”i ”Da li je x u skupu (A ∩ B) \ C”. Kolonu ”Venn” smo dodali dauocimo vezu ovog metoda sa metodom Vennovih diagrama i u njojocitavamo pripadnost x-a datom regionu Vennovog diagrama.

Kako su odgovori u kolonama ”Lijevo” i ”Desno” identicni, to namgovori da je data skupovna jednakost tacna. ♦

Teorem 2.2.9

Za proizvoljne skupove X i Y vrijedi,

X \X = Y \ Y .

Dokaz: Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada imamo

x ∈ X \X ⇔ x ∈ X ∧ x /∈ X ⇔ ⊥ . (7)

x ∈ Y \ Y ⇔ x ∈ Y ∧ x /∈ Y ⇔ ⊥ . (8)

34


Iz (7) i (8) zakljucujemo da vrijedi x ∈ X \X ⇔ x ∈ Y \ Y , pa na os-novu aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo jednakost skupova,tj. X \X = Y \ Y . ♣Prema gornjem tvrdenju razlika X \ X ne ovisi o skupu X, a to

nam samo jos jednom potvrduje jedinstvenost praznog skupa jer jeX \X = ∅.

Aksiom para nam je dozvoljavao napraviti dvoclani skup, koji jepredstavljao neureden par skupova. Sada cemo definisati uredenipar skupova pomocu koga cemo moci uvesti jos jednu operaciju saskupovima.

Definicija 2.2.7

Skup {{x} , {x, y}} nazivamo uredeni par s prvim elementom x idrugim elementom y i oznacavamo ga sa (x, y).

Element x u uredenom paru (x, y) nazivamo prva komponenta iliprva koordinata, a element y nazivamo druga komponenta ili drugakoordinata uredenog para. Gornja definicija potice od Kuratow-skog7 i u daljem nju prihvatamo kao osnovnu. Medutim, posto-jale su i druge definicije uredenog para. Tako je Hausdorff8 daosljedecu definiciju

(a, b)def= {{a, 1}, {b, 2}} ,

gdje su 1 i 2 neki drugi objekti razliciti od a i b, a Wiener9 je 1914.dao definiciju koja je bila i prva definicija uredenog para,

(a, b)def= {{{a},∅}, {{b}}} .

U daljem tekstu mi cemo se drzati definicije Kuratowskog. Zax 6= y ocigledno vrijedi (x, y) = {{x} , {x, y}} 6= {{y} , {x, y}} = (y, x).Ovu cinjenicu izrazavamo lemom

Lema 2.2.10

Uredeni par (x, y) jednak je uredenom paru (a, b) ako i samoako vrijedi x = a i y = b.

7Kazimierz Kuratowski (1896-1980) - Poljski matematicar i logicar8Felix Hausdorff (1868-1942) - Njemacki matematicar9Norbert Wiener (1894-1964) - Americki matematicar

35


Dokaz: (⇐=) Ako je x = a i y = b, tada je ocigledno

(x, y) = {{x} , {x, y}} = {{a} , {a, b}} = (a, b) .

(=⇒) Neka je (x, y) = (a, b). Razlikujmo dva slucaja: x = y i x 6= y.1) Neka je x = y. Tada imamo

(x, y) = {{x}, {x, y}} = {{x}, {x, x}} = {{x}} .

Zbog pretpostavke jednakosti uredenih parova je

(a, b) = {{a}, {a, b}} = {{x}} ,

pa zakljucujemo da mora biti {a} = {a, b} = {x}, tj. mora vrijeditix = a = b, a sa polaznom pretpostavkom x = y onda imamo da jex = a i y = b.2) Neka je x 6= y. Iz (x, y) = (a, b) je prema definiciji {{x}, {x, y}} ={{a}, {a, b}}. Moguca su tri slucaja:a) Neka je {a, b} = {x}. Tada mora biti a = b = x, a to nam onda

daje{{a}, {a, b}} = {{x}, {x, x}} = {{x}} .

Tada je onda {{x}, {x, y}} = {{x}}, tj. moralo bi biti x = y, a to bibilo kontradiktorno pretpostavci x 6= y.b) Ako bi bilo {a} = {x, y}, to bi takode vodilo kontradikciji jer bi

onda moralo biti x = y = a.c) Kao treca mogucnost ostaje {x} = {a} iz cega je onda x = a. S

druge strane mora biti {x, y} = {a, b} i ako pretpostavimo da je b = x,to bi znacilo {a, b} = {x, x} = {x} 6= {x, y}, sto bi davalo ociglednukontradikciju. Dakle, mora biti b = y, sto zajedno sa dobijenimx = a kompletira dokaz. ♣

Definicija 2.2.8

Direktni, Kartezijev ili Descartesova proizvod skupova X i Y , uoznaci X × Y , je skup svih uredenih parova kod kojih je prvakomponenta iz skupa X, a druga komponenta iz skupa Y .

X × Y = {(x, y)| x ∈ X ∧ y ∈ Y } .

aRene Descartes (1596-1650) - Francuski filozof

36


Teorem 2.2.11

Kartezijev proizvod skupova je skup.

Dokaz: Nije tesko vidjeti da smo definiciju Kartezijevog produktamogli uvesti i sa

X × Y = {z ∈ P(P(X ∪ Y ))| (∃x ∈ X)(∃y ∈ Y ) z = (x, y)} . (9)

Zato pokazimo da je X × Y iz gornje jednakosti, dobro definisanskup.Neka su x ∈ X i y ∈ Y proizvoljni elementi. Tada X ∪ Y je skupna osnovu aksioma unije i x, y ∈ X ∪ Y . Na osnovu aksioma opartitivnom skupu, P(X ∪Y ) je skup i pri tome je {x} , {x, y} ∈ P(X ∪Y ). Ali tada {{x} , {x, y}} ∈ P(P(X ∪ Y )) i to je opet zbog Aksioma5, skup. Dakle, (x, y) = {{x} , {x, y}} ∈ P(P(X ∪ Y )), pa na osnovuAksioma 6, postoji skup (9). ♣Kako god imamo potrebu za uredenim parom elemenata, tako

nam je potreban pojam i uredeno trojke, cetvorke i sl. Uopstavajucipojam uredenog para, mozemo definisati i pojam uredene n-torke(n ∈ N).

Definicija 2.2.9

Neka je n proizvoljan prirodni broj. Uredenu n-torku definisemokao

1. (x1) = x1, za n = 1.

2. (x1, x2, ..., xn) = ((x1, x2, ..., xn−1), xn), za n > 1.

Sada Kartezijev proizvod skupova X1, X2, ..., Xn definisemo kao skup

X1 ×X2 × · · · ×Xn = {(x1, x2, ..., xn)| (∀i)(1 ≤ i ≤ n ⇒ xi ∈ Xi)} .

Specijalno, ako je X1 = X2 = · · · = Xn = X, govorimo o n-tom(direktnom) stepenu skupa X, u oznaci Xn. Direktan produktmozemo definisati i za proizvoljnu familiju skupova. Naime, ako

imamo {Xi| i ∈ I}, gdje je I proizvoljan skup indeksa, onda sa∏

i∈I

Xi

oznacavamo direktan produkt familije skupova {Xi| i ∈ I}.

37


Jos o Vennovim dijagramima

Kako smo to vec spomenuli, skupove najcesce predstavljamo Ven-novim dijagramima. Uobicajeno je univerzalni skup U predstav-ljati pravougaonikom, a konacnu kolekciju njegovih podskupovaA1, A2, ..., An sa krugovima ili elipsama. Pri tome mora biti zadovo-ljen uslov da je pravougaonik podijeljen krugovima i elipsama na2n (n broj podskupova koje predstavljamo) povezanih dijelova. Toznaci da Vennov dijagram mora da obezbijedi dovoljan broj oblastiza predstavljanje svih mogucih presjeka skupova A1, A2, ..., An, kaoi njihovih komplemenata. Kako svi ti presjeci mogu biti neprazni,to povezanih oblasti mora biti 2n. Preglednosti radi, uobicajeno seu Vennovim dijagramima koristimo zamjenskom notacijom za pre-sjek, npr. A∩B ≡ AB i komplement se uvijek odnosi na univerzum.

U

A B

ABc AcBAB

AcBc

(a) Vennov dijagram za dva skupa.

U

A B

C

ABcC

cA

cBC

c

ABC

AcB

cC

c

AcB

cC

ABcC A

cBC

ABCc

(b) Vennov dijagram za tri skupa.

Slika 2.8: Vennovi dijagrami.

Sljedecom slikom prikazan je dijagram, ali koji nije Vennov zbognepovezanosti oblasti.

U

A

B

Slika 2.9: Primjer dijagrama koji nije Vennov. Skup A∩Bc nije povezan.

Na zalost, vec u slucaju cetiri skupa nije moguce nacrtati Vennovdijagram sa krugovima, cak i kada koristimo krugove razlicitih po-luprecnika. Iako su u upotrebu uvedeni jos davne 1881. godine,tek je 1975. godine dokazano da se za svaki prirodan broj n moze

38

2.3. Relacije i funkcije

konstruisati Vennov dijagram sa n elipsi, koji obezbjeduje svih po-trebnih 2n povezanih oblasti.

Crtanje Vennovih dijagrama vec za pet skupova je toliko kompli-kovano da to necemo ovdje raditi, ali pogledajte sljedecu sliku ipokusajte pokazati da ona ne predstavlja Vennov dijagram. Kaosto smo rekli gore, moguce je nacrtati Vennov dijagram za cetiriskupa, ali pomocu elipsi. Citaocu ostavljamo da to izvede sam.

U

Slika 2.10: Da li je ovo Vennov dijagram?

2.3 Relacije i funkcije

U teoriji skupova i relacije i funkcije definisemo kao skupove, na-ravno sa odredenim posebnim svojstvima. Iako mozemo razmatratirelacije proizvoljne duzine (arnosti), ovdje cemo se uglavnom bavitibinarnim relacijama i njihovim svojstvima. Kao specijalnu vrsturelacija, definisat cemo pojam funkcije i razmatrati najosnovnijenjihove osobine.

2.3.1 Relacije

Definicija 2.3.1

Neka je n ∈ N proizvoljan i neka su X1, X2, ..., Xn skupovi. n-arna relacija na skupovima X1, X2, ..., Xn je proizvoljan podskupskupa X1 ×X2 × ...×Xn.Ako je X1 = X2 = · · · = Xn = X, govorimo o n-arnoj relaciji naskupu X.

Specijalno, kada imamo dva skupa X i Y , govorimo o dvoclanojili binarnoj relaciji iz skupa X u skup Y . Dakle, binarna relacija

39


iz skupa X u skup Y je proizvoljan ρ ⊆ X × Y . Ako je X = Y , iρ ⊆ X ×X, kazemo da je ρ binarna relacija na X.Za binarnu relaciju ρ, umjesto oznake (x, y) ∈ ρ uobicajeno se ko-

risti neka od sljedecih oznaka

ρ(x, y) , xρy , x ≡ y(mod ρ) , x ≡ρ y .

Definicija 2.3.2

Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna binarna relacija.

1. Skup D1(ρ) = {x ∈ X| (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ ρ}, nazivamo domenili lijevo podrucje relacije ρ.

2. Skup D2(ρ) = {y ∈ Y | (∃x ∈ X) (x, y) ∈ ρ}, nazivamo kodo-men ili desno podrucje relacije ρ.

Primjer 2.9. Neka je X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {a, b, c, d}. Skup

ρ = {(1, a), (1, b), (2, b), (2, c), (3, c), (4, a)} ⊂ X × Y ,

predstavlja binarnu relaciju sa X u Y . Pri tome je

D1(ρ) = {1, 2, 3, 4} ⊂ X ,a D2(ρ) = {a, b, c} ⊂ Y .

♦

Definicija 2.3.3

Neka su X, Y i Z proizvoljni skupovi. Neka je ρ1 ⊆ X × Y iρ2 ⊆ Y ×Z. Pod kompozicijom relacija ρ1 i ρ2, podrazumijevamoskup

ρ2 ◦ ρ1 = {(x, z) | (∃y ∈ Y )((x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2)} ⊆ X × Z .

Iz definicije kompozicije dvije relacije, ρ2 ◦ ρ1, vidimo da bi kom-pozicija bila dobro definisana mora desno podrucje relacije ρ1 bitijednako lijevom podrucju relacije ρ2. Pri tome je kompozicija dvijerelacije opet relacija. Medutim, ako je ρ1 ⊆ X × Y i ρ2 ⊆ Y × Z i pritome X 6= Z, jasno je da nece biti uopste moguce napraviti kompo-ziciju ρ1 ◦ ρ2. Ovo nam govori da kompozicija dvije relacije u opstemslucaju nije komutativna operacija tojest, u opstem slucaju vrijedi

ρ2 ◦ ρ1 6= ρ1 ◦ ρ2 .

40


Lema 2.3.1

Za proizvoljne ρ1 ⊆ X × Y i ρ2 ⊆ Y × Z vrijedi,

1. Kompozicija ρ2 ◦ ρ1 postoji ako i samo ako D2(ρ1) = D1(ρ2).

2. D1(ρ2 ◦ ρ1) = D1(ρ1).

3. D2(ρ2 ◦ ρ1) = D2(ρ2).

Definicija 2.3.4

Neka je ρ ⊆ X × Y . Inverzna relacija relacije ρ, je relacija

ρ−1 = {(y, x)| (x, y) ∈ ρ} ⊆ Y ×X .

Primjer 2.10. Neka je ρ ⊆ N× N definisana sa

n,m ∈ N , (n,m) ∈ ρ ⇐⇒ n2 = m .

Tada je ρ = {(n, n2) | n ∈ N} = {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), ...}. Prema de-finiciji inverzne relacije je onda ρ−1 = {(1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), ...} ={(n2, n) | n ∈ N}, ili

n,m ∈ N , (n,m) ∈ ρ−1 ⇐⇒√n = m .

♦

Ocigledno iz same definicije slijedi idenpotentnost inverznosti re-lacije, tj. za proizvoljnu relaciju vrijedi (ρ−1)

−1= ρ. Takode iz de-

finicije inverzne relacije direktno imamo (X × Y )−1 = Y × X. Ko-risteci aksiom ekstenzionalnosti i definiciju relacije, lahko se doka-zuje sljedece tvrdenje.

Lema 2.3.2

Neka je ρ ⊆ X × Y proizvoljna relacija. Tada vrijedi:

D1(ρ−1) = D2(ρ) i D2(ρ

−1) = D1(ρ) .

41


Lema 2.3.3

Neka su zadate relacije ρ1 ⊆ X × Y , ρ2 ⊆ Y × Z i ρ3 ⊆ Z × W .Tada vrijedi

1. (ρ2 ◦ ρ1)−1 = ρ−11 ◦ ρ−1

2 .

2. (ρ3 ◦ ρ2) ◦ ρ1 = ρ3 ◦ (ρ2 ◦ ρ1).

Dokaz:

1. Neka je (z, x) ∈ (ρ2 ◦ ρ1)−1 proizvoljan. Tada vrijedi niz ekviva-lencija,

(z, x) ∈ (ρ2 ◦ ρ1)−1 ⇔ (x, z) ∈ ρ2 ◦ ρ1⇔ (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ ρ1 ∧ (y, z) ∈ ρ2

⇔ (∃y ∈ Y ) (y, x) ∈ ρ−11 ∧ (z, y) ∈ ρ−1

2

⇔ (∃y ∈ Y ) (z, y) ∈ ρ−21 ∧ (y, x) ∈ ρ−1

1

⇔ (z, x) ∈ ρ−11 ◦ ρ−1

2 .

Na osnovu aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo jednakostskupova (ρ2 ◦ ρ1)−1 i ρ−1

1 ◦ ρ−12 .

2. Dokaz druge tvrdnje ostavljen je za vjezbu.

♣

Lema 2.3.4

Neka su zadate relacije ρ1, ρ2 ⊆ X × Y . Tada vrijedi

1. (ρ1 ∪ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∪ ρ−12 .

2. (ρ1 ∩ ρ2)−1 = ρ−1

1 ∩ ρ−12 .

Dokaz:

1. Neka je (x, y) ∈ (ρ1 ∪ ρ2)−1 proizvoljan. Tada imamo,

(x, y) ∈ (ρ1 ∪ ρ2)−1 ⇔ (y, x) ∈ ρ1 ∪ ρ2

⇔ (y, x) ∈ ρ1 ∨ (y, x) ∈ ρ2

⇔ (x, y) ∈ ρ−11 ∨ (x, y) ∈ ρ−1

2

⇔ (x, y) ∈ ρ−11 ∪ ρ−1

2 .

42


Na osnovu aksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo jednakostskupova (ρ1 ∪ ρ2)

−1 i ρ−11 ∪ ρ−1

2 .

2. Dokaz druge tvrdnje potpuno je analogan dokazu pod 1. iostavljen je za vjezbu.

♣Sljedecom definicijom uvodimo jednu specijalnu binarnu relaciju

na proizvoljnom skupu, pomocu koje cemo okarakterisati mnogeosobine relacija.

Definicija 2.3.5

Neka je X neprazan skup. Relaciju ∆ ⊂ X ×X, definisanu sa

∆ = {(x, x)| x ∈ X} ,

nazivamo dijagonalna relacija skupa X.

Relacije kao specijalna vrsta skupova, imaju neke svoje vazne oso-bine. Uvodimo neke najvaznije od tih osobina za binarne rela-cije.

Definicija 2.3.6

Neka je ρ ⊆ X ×X.

1. Za ρ kazemo da je refleksivna, ako vrijedi ∆ ⊆ ρ.

2. Za ρ kazemo da je antirefleksivna, ako vrijedi ∆ ∩ ρ = ∅.

3. Za ρ kazemo da je simetricna, ako vrijedi ρ−1 = ρ.

4. Za ρ kazemo da je antisimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 ⊆ ∆.

5. Za ρ kazemo da je asimetricna, ako vrijedi ρ ∩ ρ−1 = ∅.

6. Za ρ kazemo da je tranzitivna, ako vrijedi ρ ◦ ρ ⊆ ρ.

7. Za ρ kazemo da je povezana, ako vrijedi X×X = ρ∪ρ−1∪∆.

Ove se osobine mogu iskazati i na drugaciji nacin. Tako imamo,

43


(∀x ∈ X) xρx ( refleksivnost )(∀x ∈ X) ¬(xρx) ( antirefleksivnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ yρx) ( simetricnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ∧ yρx ⇒ x = y) ( antisimetricnost )(∀x, y ∈ X)(xρy ⇒ ¬(yρx)) ( asimetricnost )(∀x, y, z ∈ X)(xρy ∧ yρz ⇒ xρz) ( tranzitivnost )(∀x, y ∈ X)(x 6= y ⇒ xρy ∨ yρx) ( povezanost )

Za izucavanje daljih pojmova teorije skupova, spomenimo jos jednuvaznu osobinu relacija.

Definicija 2.3.7

Ako relacija ρ ⊆ X × Y zadovoljava osobinu

x1ρy ∧ x2ρy ⇒ x1 = x2 ,

kazemo da je relacija ρ jednokorijena relacija.

U radu sa relacijama korisno je imati i nekakav ”graficki” nacinnjihovog prikazivanja. Naravno, ta predstavljanja su u mnogomediktirana oblikom skupova na kojima je relacija zadata. Navedimodva takva nacina.Neka je X = {x1, x2, ..., xn} i ρ ⊆ X × X. Tada elemente skupa X

mozemo prestaviti na nekoj zamisljenoj pravoj. Predstavljajuci ele-mente skupa X na jednoj takvoj horizontalnoj i vertikalnoj pravoj,uredene parove dobijamo u presjeku horizontalnih i vertikalnih li-nija kroz tacke skupa predstavljene na osama. Jasno, skup svihtih presjecnih tacaka tada predstavlja direktni produkt X ×X.

x1 x2 x3· · · xi xn

x1

x2

x3

...

xj

xn

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bxiρxj

(a) Direktni produkt X ×X

x1 x2 x3· · · xi xn

x1

x2

x3

...

xj

xn

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bxiρxj

(b) Relacija ρ ⊆ X ×X

Slika 2.11: Graficko predstavljanje relacije.

Kako je relacija ρ podskup od X × X, izdvajanje nekih od tacakapresjeka predstavlja relaciju ρ.

44


Primjer 2.11. Na skupu X = {1, 2, 3, 4, 5} zadata je relacija,

x, y ∈ X , xρydef⇔ x+ y je neparan broj .

Tada zadata relacija predstavlja skup

ρ = {(1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4)} .

Drzeci se gore opisanog nacina, graficki predstavljena zadata rela-cija prikazana je na slici 2.12 ♦

1 2 3 4 5

123

45

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Slika 2.12: Relacija ρ iz Primjera 2.11.

Relacije mozemo predstavljati i pomocu grafova (pojam grafa uzi-mamo cisto intuitivno, a njihovim izucavanjem se bavi citava granamatematike, Teorija grafova). Neka je zadat skup X = {x1, x2, ..., xn}.Ako njegove elemente predstavimo jednostavnim tackama (cvorovima)u ravni, tada se veze (relacija) izmedu njegovih elemenata mogu pri-kazati jednostavnim spajanjem odgovarajucih tacaka usmjerenimlinijama (granama) kojima naglasavamo veze tih elemenata (slika2.13).

xi xj

xi ρ xj

xi xj

xj ρ xi

x

x ρ x

Slika 2.13: Predstavljanje veza grafom.

Primjer 2.12. Neka je zadat skup X = {2, 3, 4, 5, 6} i relacija ρ nanjemu, definisana sa

x, y ∈ X , x ρ ydef⇔ x+ y ≥ 9 .

ρ = {(3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}. Pred-stavljanje ove relacije grafom dato je narednom slikom.

♦

45


2

3

4 5

6

Slika 2.14: Graf relacije ρ iz primjera 2.12

Relacija ekvivalencije

Definicija 2.3.8

Neka je X proizvoljan neprazan skup. Binarnu relaciju ρ na Xnazivamo relacija ekvivalencije, ako i samo ako je ona reflek-sivna, simetricna i tranzitivna.

Primjer 2.13. Zadat je skup A = {b, c, d, e} i binarna relacija nanjemu,

ρ = {(b, b), (b, c), (b, d)(c, b), (c, c), (c, d), (d, d), (d, b), (d, c)} .

Data relacija nije refleksivna! Iako jeste bρb, cρc i dρd, nije zado-voljeno eρe, a zahtjev u refleksivnosti jeste da je za svako x ∈ Azadovoljeno xρx.

Relacija ρ jeste simetricna! Zaista, u simetricnosti imamo zahtjevda kad god jeste xρy, onda mora biti i yρx. Pojedinacnim provje-rama vidimo da nasa relacija to zadovoljava: bρc onda cρb, bρd ondadρb, cρd onda dρc. Primjetimo da je istinitosna vrijednost implikacijebρe ⇒ eρb, ⊥ ⇒ ⊥, te je ona tacna. Isto zakljucujemo za cρe ⇒ eρci dρe ⇒ eρd, te je predikat (∀x, y ∈ A)(xρy ⇒ yρx) valjana formula.

Relacija ρ je i tranzitivna, ali uobicajeno treba malo vise posla zapokazati to. Naime, moramo pokazati da za sve x, y, z ∈ A istinitaje tvrdnja xρy ∧ yρz ⇒ xρz. Naprimjer, neka je x = b, y = c i z = d.Tada imamo bρc ∧ cρd ⇒ bρc, a ovo je tacan iskaz jer se svodi na(⊤ ∧ ⊤) ⇒ ⊤. Neka je sada x = b, y = e i z = c, te dobijamo iskazbρe ∧ eρcq ⇒ bρc, koji se svodi na (⊥ ∧ ⊥) ⇒ ⊤, a koji je opet tacaniskaz. Provjerom ostalih kombinacija bi utvrdili da je nas uslovtranzitivnosti valjana formula, tojest relacija je tranzitivna. ♦

46


b c d e

b

cd

e

b

b

b

b

b

b b

b

b

(a) Grafik relacije ρ

e

b c

d

(b) Graf relacije ρ

Slika 2.15: Relacija ρ iz Primjera 2.13.

Primjer 2.14. Na skupu prirodnih brojeva (N) definisimo relaciju

m,n ∈ N , m ρ ndef⇔ m+ n paran broj.

Parnost prirodnog broja n okarakterisana je time da postoji priro-dan broj k, takav da je n = 2k.Za proizvoljno n ∈ N imamo da je n+ n = 2n, tojest vrijedi nρn, te jerelacija ρ refleksivna.Neka su m,n ∈ N proizvoljni i neka je mρn. To znaci da je m+n = 2k,za neko k ∈ N, a na osnovu osobine komutativnosti sabiranja ondaje m+ n = n +m = 2k, te je i n+m paran broj, odnosno vrijedi nρm.Dakle ρ je i simetricna relacija.Neka su sada m,n, k ∈ N proizvoljni, takvi da je mρn i nρk. Znaci,postoje l, s ∈ N, tako da je m + n = 2s i n + k = 2l. Odavde ondaimamo da vrijedi m = 2s− n i k = 2l − n. Tada je

m+ k = 2s− n + 2l − n = 2s+ 2l − 2n = 2(s+ l − n) .

Dakle, m + k je paran broj, te vrijedi i mρk, a to znaci da je nasarelacija i tranzitivna. Na osnovu svega recenog, pozivajuci se naDefiniciju 2.3.8, zakljucujemo da je ρ relacija ekvivalencije. ♦

Uobicajeno se za relacije ekvivalencije koristi simbol ”∼”, kogacitamo ”tilda”. Jedna od osnovnih ideja pomocu koje se koristi rela-cija ekvivalencije jeste razbijanje ili dekompozicija skupa.

Definicija 2.3.9

Neka je zadat proizvoljan neprazan skup X. Familiju skupova{Ai| i ∈ I}, koja zadovoljava osobine

1. (∀i, j ∈ I)(i 6= j ⇒ Ai ∩ Aj = ∅),

47


2. X =⋃

i∈I

Ai,

nazivamo dekompozicija ili particija skupa X.

Ako je familija {Ai| i ∈ I} proizvoljna particija skupa X, tada na Xmozemo definisati relaciju

x, y ∈ X ; x ∼ ydef⇔ x, y ∈ Ai , za neko i ∈ I .

Nije tesko provjeriti da je ovako definisana relacija upravo relacijaekvivalencije na X. Zaista, na osnovu druge osobine dekompozicijeimamo da za proizvoljno x ∈ X, postoji i ∈ I, tako da je x ∈ Ai, tj. zaproizvoljno x ∈ X je x ∼ x, a to je osobina refleksivnosti relacije ”∼”.Ako su x, y ∈ X proizvoljni, za koje vrijedi x ∼ y, to znaci da postojii ∈ I, takav da x, y ∈ Ai, a to je isto kao da kazemo da y, x ∈ Ai,sto je opet ekvivalentno sa tim da je y ∼ x, tj. imamo osobinusimetricnosti. Na kraju, ako za proizvoljne x, y, z ∈ X vrijedi x ∼ yi y ∼ z, to znaci da postoje i, j ∈ I, takvi da je x, y ∈ Ai i y, z ∈ Aj.Zbog prve osobine dekompozicije, element y moze pripadati samojednom skupu date familije, pa zakljucujemo da mora biti Ai = Aj,iz cega onda opet imamo da x, z ∈ Ai, tj. x ∼ z, a to je osobinatranzitivnosti relacije ”∼”.Dakle, svaka particija skupa odreduje jednu relaciju ekvivalencije

na tom skupu. Vrijedi i obrnuta situacija, tj. svaka relacija ek-vivalencije ce odredivati neku particiju skupa, a da bi to pokazalidefinisimo sljedeci pojam.

Definicija 2.3.10

Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalen-cije ∼. Za proizvoljno x ∈ X skup

[x] = {y ∈ X| x ∼ y} ,

nazivamo klasa ekvivalencije elementa x. Skup svih klasa ek-vivalencija u odnosu na relaciju ∼ nazivamo kolicnicki skupskupa X i oznacavamo ga sa

X/∼ = { [x] | x ∈ X} .

Jasno je, zbog osobine refleksivnosti relacije ekvivalencije, da jesvaka klasa ekvivalencije neprazan skup. Osim toga, ako je x′ ∈ [x]

48


proizvoljan, klasu [x] takode mozemo oznaciti i sa [x′], pri tomeproizvoljan element klase nazivamo predstavnikom klase.

Primjer 2.15. U Primjeru 2.14 definisali smo relaciju ρ i pokazalida je ona relacija ekvivalencije. Odredimo klasu ekvivalencije broja5 ∈ N.

[5] = {n ∈ N | 5ρn} = {n ∈ N | 5 + n paran broj}= {n ∈ N | n neparan broj} .

U gornjem smo se posluzili cinjenicama da je broj 5 neparan, daje zbir dva neparna broja paran broj i da je zbir neparnog i parnogbroja neparan broj. Sada naprimjer vrijedi 3 ∈ [5], 101 ∈ [5], ali2 /∈ [5].Ako sa 2N oznacimo skup parnih brojeva, a sa 2N+ 1 skup nepar-

nih brojeva, lahko se uvjeravamo da ce za proizvoljan paran brojn ∈ N biti [n] = 2N, a za proizvoljan neparan m ∈ N, [m] = 2N + 1.Ovime opravdavamo cinjenicu da ako je k ∈ [n] da tada klasu ekvi-valencije [n] mozemo pisati i sa [k]. Naprimjer, kako je 3 ∈ [5], tadaje [3] = [5].Kako prirodan broj moze biti ili paran ili neparan, jasno je da na

skupu N, u odnosu na relaciju ρ, postoje samo dvije klase ekviva-lencije i to su skupovi 2N i 2N+ 1. Pri tome ocigledno vrijedi

N = 2N ∪ 2N+ 1 .

♦

Posljednja iskazana cinjenica u gornjem primjeru predstavlja os-novnu karakteristiku klasa ekvivalencije, a iskazujemo je sljedecimtvrdenjem.

Teorem 2.3.5

Neka je na nepraznom skupu X definisana relacija ekvivalen-cije ∼. Za proizvoljne x, y ∈ X vrijedi

ili [x] = [y] ili [x] ∩ [y] = ∅ .

Dokaz: Neka su x, y ∈ X proizvoljni i neka je x 6= y. Pretpostavimoprvo da vrijedi [x] ∩ [y] = ∅, tj. da niti jedan element klase [x] nepripada klasi [y]. To znaci da x ∈ [x] i x /∈ [y], a iz ovoga, na osnovuaksioma ekstenzionalnosti zakljucujemo da je [x] 6= [y].

49


Neka je sada [x] ∩ [y] 6= ∅. Dakle, postoji z ∈ X, takav da z ∈ [x] iz ∈ [y], a to onda znaci da je x ∼ z i y ∼ z. Na osnovu simetricnostii tranzitivnosti relacije ∼, sada bi imali da vrijedi x ∼ y, tj. x i ypripadaju istoj klasi, a kako su oni proizvoljni predstavnici svojihklasa, zakljucujemo da vrijedi [x] = [y]. ♣Na osnovu ove tvrdnje sada imamo sljedece razmatranje: ako je

na X definisana relacija ekvivalencije, tada su svake dvije razliciteklase medusobno disjunktne i svaki element skupa X nalazi se utacno jednoj klasi ekvivalencije, a sve ovo nam onda na osnovuDefinicije 2.3.10 govori da je familija X/∼ jedna particija skupa X.Dakle, kao sto rekosmo ranije, vrijedi i obrat, tj. svaka relacijaekvivalencije na skupu, definise jednu particiju tog skupa.

Primjer 2.16. Na skupu Q = {mn| m ∈ Z, n ∈ N} (racionalni brojevi)

uvedimo relaciju

q1 =m1

n1, q2 =

m2

n2∈ Q , q1 ∼ q2

def= m1n2 −m2n1 = 0 .

Za proizvoljan q = mn

∈ Q je mn − mn = 0, tj. q ∼ q, te je relacijarefleksivna.Neka su q1 = m1

n1

, q2 = m2

n2

∈ Q takvi da je q1 ∼ q2, tj. neka je m1n2 −m2n1 = 0. Tada je m2n1 − m1n2 = 0, te je q2 ∼ q1. Dakle, relacija jesimetricna.Neka su q1 = m1

n1

, q2 = m2

n2

, q3 = m3

n3

∈ Q, takvi da je q1 ∼ q2 i q2 ∼q3. Prema definiciji relacije ovo znaci da vrijedi m1n2 − m2n1 = 0 im2n3 − m3n2 = 0 ili sto je ekvivalentno m1

n1

= m2

n2

i m2

n2

= m3

n3

iz cegazakljucujemo da je onda i m1

n1

= m3

n3

, tj. m1n3−m3n1 = 0. Dakle vrijediq1 ∼ q3 te je relacija tranzitivna. Iz svega navedenog imamo da jeuvedena relacija, relacija ekvivalencije.

Za proizvoljan q ∈ Q je [q] = {p ∈ Q | q ∼ p}. Tako je naprimjer

[1

2

]

=

{1

2,2

4,3

6, ...,

100

200, ...

}

, ili [1] =

{1

1,2

2,3

3, ...,

200

200, ...

}

.

Ocigledno klasa ekvivalencije nekog racionalnog broja predstavljasve moguce nacine zapisa tog broja kao razlomka. Ako sada po-smatramo kolicnicki skup Q/∼, on ce predstavljati sve racionalnebrojeve, ali sa jedinstvenim zapisom. ♦

Koristenje grafickog predstavljanja relacija demonstrirajmo sljedecimprimjerom.

50


Primjer 2.17. Neka je zadata relacija ρ = {(2, 2), (4, 1), (4, 3), (5, 3)}, naskupu X = {1, 2, 3, 4, 5}. Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije naX koja sadrzi relaciju ρ!Predstavimo relaciju ρ grafom.

1

2

3 4

5

Slika 2.16: Graf relacije ρ

Kako zahtjevamo relaciju ekvivalencije, zelimo da relacija bude re-fleksivna, simetricna i tranzitivna. Te zahtjeve cemo ispuniti u trikoraka.(I Korak) ”Dopunimo” relaciju do refleksivnosti. U predstavljanjurelacije grafom, refleksivnost (xρx) interpretiramo tako da svaki ele-ment ima vezu sa samim sobom. Dakle, na svaki cvor dodajmo”petlju”.

1

2

3 4

5

Slika 2.17: Relacija ρ dopunjena do refleksivnosti

(II Korak) Simetricnost (xρy ⇒ yρx) interpretiremo tako da gdjegod imamo vezu (liniju) sa elementa x na element y, moramo imatii obratnu vezu, sa y na x.

1

2

3 4

5

Slika 2.18: Relacija ρ dopunjena do simetricnosti

(III Korak) ”Dopunjavanje” do tranzitivnosti (xρy∧yρz ⇒ xρz) vrsimotako sto zatvaramo sve trouglove u relaciji, tojest ako relaciji pripa-daju parovi (x, y) i (y, z) dodajemo i par (x, z), ali i (z, x) (ako ih nije

51


bilo) da bi ”odrzali” simetricnost. U nasem zadatku to su parovi(1, 3) i (3, 1) te (4, 5) i (5, 4).

1

2

3 4

5

Slika 2.19: Relacija ρ dopunjena do tranzitivnosti

Novodobijena relacija

ρ′ ={(1, 3), (1, 4), (2, 2), (3, 1), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (5, 3), (5, 4), (5, 5)} ,

je minimalno zatvorenje relacije ρ do relacije ekvivalencije, te onasama predstavlja relaciju ekvivalencije. ♦

Relacija poretka

Druga vazna relacija je relacija poretka ili relacija uredenja.

Definicija 2.3.11

Neka je na skupu X definisana binarna relacija ρ. Za relaciju ρkazemo da je relacija parcijalnog poretka ako i samo ako zado-voljava uslove refleksivnosti, antisimetricnosti i tranzitivnosti.Uredeni par (X, ρ) nazivamo parcijalno ureden skup.

Ove relacije nam sluze da na nekom skupu vrsimo ”uredivanje” nje-govih elelemata, ili da elemente tog skupa ”uporedujemo”, a jasnoje da iz takvih uloga i potice naziv ovih relacija.

Za relacije parcijalnog poretka uobicajeno koristimo simbol ”≤” ili”�” i citamo ga ”biti ispred”, ne podrazumijevajuci uvijek znacenjeovoga u obicnom govoru.

Primjer 2.18. Na svakom od skupova prirodnih, cijelih, racionalnihi realnih brojeva, relacija definisa sa

x ≤ ydef⇔ (∃z nenegativan) x+ z = y ,

52


predstavljaju relaciju parcijalnog uredenja. Dakle, (N,≤), (Z,≤),(Q,≤) i (R,≤) su uredeni skupovi (preciznije, parcijalno uredeniskupovi). Pokazimo to za skup R.Neka je x ∈ R proizvoljan. Postoji 0 ∈ R (0 je nenegativna), takavda je x + 0 = x, a sto prema definisanoj relaciji znaci x ≤ x. Zbogproizvoljnosti x ∈ R, relacija je refleksivna.Neka su sada x, y ∈ R takvi da je x ≤ y i y ≤ x. To znaci da postojenenegativni z1, z2 ∈ R, takvi da je x+ z1 = y i y+ z2 = x. Uvrstavajuciy iz prve jednakosti u drugu jednakost imamo (x + z1) + z2 = x, tj.x + (z1 + z2) = x. Kako u skupu realnih brojeva postoji jedinstvenneutralni element u odnosu na sabiranje, mora biti z1 + z2 = 0, akako su jos z1 i z2 nenegativni, zakljucujemo da je z1 = z2 = 0. Ovoonda znaci da je x = y, pa zbog proizvoljnosti elemenata imamoantisimetricnost relacije.Neka su sada x, y, z ∈ R proizvoljni takvi da je x ≤ y i y ≤ z. Tadapostoje t1, t2 ∈ R takvi da je

x+ t1 = y (10)

y + t2 = z (11)

Stavljajuci y iz (10) u (11) dobijamo x + (t1 + t2) = z. Kako su t1, t2nenegativni takav je i t = t1 + t2, odakle zakljucujemo da postojinenegativan t ∈ R, takav da je x + t = z, a sto je ekvivalentno satvrdnjom x ≤ z. Dakle, relacija je tranzitivna.Iz svega recenog vidimo da je definisana relacija, relacija poretka.♦

Primjer 2.19. Na skupu N uvedimo relaciju

n,m ∈ N , n|m def⇔ (∃q ∈ N) m = n · q .

Relaciju ”|” citamo ”dijeli”, tj. izraz n|m citamo ”n dijeli ”m” bezostatka”.Jasno je da je svaki prirodan broj djeljiv sa samim sobom, tojest

vrijedi n|n, za proizvoljno n ∈ N, a to znaci da je uvedena relacijarefleksivna.Neka su m,n ∈ N takvi da vrijedi n|m i m|n. To znaci da postojeprirodni brojevi q1 i q2, takvi da je m = n · q1 i n = m · q2. Zamjenjujucin iz druge jednakosti u prvu jednokost imamo da je m = m · q1 · q2iz cega je jasno da mora biti q1 = q2 = 1, odnosmo vrijedi n = m, stopretstavlja osobinu antisimetricnosti.

53


Neka su sada m,n, k ∈ N takvi da je m|n i n|k. Tada vrijedi n = m · q1i k = n · q2. Zamjenjujuci n iz prve jednakosti u drugu jednakost istavljajuci da je q1q2 = q ∈ N, dobijamo k = m · q, tojest m|k, pa jenasa relacija i tranzitivna.Iz svega navedenog, na osnovu Definicije 2.3.11 zakljucujemo da jerelacija ”|”, relacija parcijalnog poretka na skupu N.Primjetimo da ista ova relacija na skupu cijelih brojeva nije relacija

poretka jer za proizvoljan n ∈ Z je −n|n i n| − n, ali jasno ne vrijedin = −n, tj. na skupu Z ova relacija nije antisimetricna. ♦

Primjer 2.20. Za proizvoljan skup X, (P(X),⊆) primjer je parcijalnouredenog skupa.Ovo se ima na osnovu Teorema 2.2.4. ♦

Pomocu relacije parcijalnog poretka uvijek mozemo da definisemoi relaciju ”biti strogo ispred”, u oznaci ”<” ili ”≺”, na sljedeci nacin

x < ydef⇔ x ≤ y ∧ x 6= y ,

i nazivamo je relacija striktnog ili strogog uredenja. Ovako uve-dena relacija je antirefleksivna i tranzitivna i nije antisimetricna,pa dakle nije relacija poretka. Takode, mozemo definisati i sljedecurelaciju

x ≥ ydef⇔ y ≤ x ,

i sve tri ove relacije su medusobno definabilne (iz proizvoljne semogu dobiti ostale). Za relaciju parcijalnog poretka, definisanuna skupu X, pravilnije bi bilo koristiti oznaku ”≤X” koju citamo”relacija parcijalnog poretka na X”, ali kad god to ne izaziva zabunumi cemo pisati jednostavno ”≤”.

Definicija 2.3.12

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup. Za elemente x, y ∈ Xkazemo da su uporedivi ako vrijedi x ≤ y ili y ≤ x, u suprotnomkazemo da su x i y neuporedivi.

Prefiks ”parcijalno” u definiciji relacije poretka koristimo da nagla-simo cinjenicu da ne moraju svi elementi datog skupa na kome jeuvedena relacija poretka, biti ”uredeni” ili biti ”uporedivi” tom rela-cijom. Za skupove na kojima je moguce definisati relaciju poretka

54


u odnosu na koju su svi elementi skupa uporedivi imamo posebantermin.

Definicija 2.3.13

Neka je (X,4) parcijalno ureden skup. Za skup A ⊆ X kazemoda je lanac (linearno ili totalno ureden skup) ako su svaka dvarazlicita elementa tog skupa uporediva.

Primjer 2.21. Ako posmatramo skup X = {1, 2, 3, 4, 5} sa relacijom”≤” (biti manji ili jednak), jasno je da je X tada ureden skup, alikako za proizvoljna dva elementa iz tog skupa tacno znamo ko jeod koga veci, to je on totalno ureden skup.

Ako na istom skupu definisemo relaciju ”|” (dijeli), tada naprimjerza proizvoljno x ∈ X imamo da je 1|x, tj. 1 je uporediva sa svakimelementom skupa X. Medutim, to ne mozemo reci za element 3 jer¬ 2|3 i ¬ 3|2, tj. 3 nije uporediva sa elementom 2. Sta vise, element3 nije uporediv datom relacijom niti sa jednim elementom skupaX \ {1, 3}, te je X sa ovom relacijom parcijalno ureden skup. ♦

Osim vec navedenih nacina (grafickog i pomocu grafa) predstav-ljanja relacija, predstavljanje relacija poretka se izvodi uobicajenoi poznatim Hasseovim10 dijagramom. Da objasnimo i ovaj nacin,definisimo sljedeci pojam.

Definicija 2.3.14

Neka je (X, ρ) parcijalno ureden skup. Za element x ∈ X kazemoda je neposredni prethodnik elementa y ∈ X ako vrijedi

(∀z ∈ X)(xρz ∧ zρy ⇒ z = x ∨ z = y) .

Prosto receno, element x je neposredni prethodnik elementa y akose niti jedan element skupa ne moze ”smjestiti izmedu” njih. Sadapomocu pojma neposrednog prethodnika, na uredenom skupu mo-zemo odrediti nivo svakog elementa tog skupa, u odnosu na relacijuuredenja. Neka je (X, ρ) parcijalno ureden skup.Za element x ∈ X kazemo da je na nivou 0 u odnosu na relaciju ρako nema niti jednog neposrednog prethodnika (za elemente koji se

10Helmut Hasse (1898-1979) - njemacki matematicar

55


nalaze na nivou 0 kazemo da su atomi). U suprotnom, element x jena nivou k (k ∈ N) ako ima bar jednog neposrednog prethodnika nanivou k − 1, a svi ostali njegovi neposredni prethodnici imaju nivone veci od k − 1. Hasseov dijagram uredenog skupa (X, ρ) kons-truisemo na sljedeci nacin.Svakom elementu iz X pridruzujemo jedan cvor dijagrama. Svecvorove u dijagramu redamo prema njihovom nivou, od 0-tog nadnu, do najviseg nivoa na vrhu. Svaki cvor spajamo (orijentisanomili neorijentisanom) linijom sa svakim njegovim neposrednim pret-hodnikom. Ako se koriste orijentisane linije, onda orijentacija ideod cvora sa manjim nivoom do cvora sa visim nivoom.

Primjer 2.22. Neka je dat skup X = {a, b, c}. Posmatrajmo parcijalnouredeni skup (P(X),⊆). Elementi partitivnog skupa su

P(X) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} .

Prazan skup je nultog nivoa jer nema niti jednog neposrednog pred-hodnika (prazan skup nije nadskup niti jednog skupa iz P(X), osimsamog sebe). U odnosu na relaciju ”⊆”, skupovi {a}, {b} i {c} suprvog nivoa jer je prazan skup podskup svakog od njih, a nemajudrugih prethodnika. Skupovi {a, b}, {a, c} i {b, c} su drugog nivoajer svaki od njih ima bar jednog neposrednog prethodnika (skupoviiz prvog nivoa) i skup {a, b, c} je treceg (najviseg) nivoa. Hasseovdijagram sada izgleda,

bC

bC bC bC

bC bC bC

bC

∅

{a}

{a, b}

{c}

{b, c}

{b}

{a, c}

{a, b, c}

0 nivo

2 nivo

3 nivo

1 nivo

Slika 2.20: Hasseov diagram sa prikazanim nivoima.

♦

Primjer 2.23. Zadat je uredeni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, |) (relacija”|” je ”dijeli”). Hasseov dijagram je,

56


bC

bC bC bC bC

bC bC bC

bC

1

2 3 5 7

4 6 9

8

1 ne dijeli niti jedan element skupa pa je ona 0-tog nivoa. Ona jetakode ”prethodnik” svih ostalih elemenata, ali je neposredni pret-hodnik elemenata 2, 3, 5 i 7 koji su onda prvog nivoa. 1 jesteprthodnik broja 4, ali 2 je njegov neposredni prethodnik te je 4drugog nivoa, a isto vazi za elemente 6 i 9. Na kraju, neposredniprethodnik 8 je 4, te je 8 treceg nivoa. ♦

Primjer 2.24. Konstruisati Hasseov dijagram za skup X = {1, 2, 3, 4}ureden relacijom ”≤”.

bC

bC

bC

bC

bC

12345

♦

Iz same konstrukcije Hasseovog dijagrama se vidi da su elementina istom nivou dijagrama medusobno neuporedivi. Iz ovoga jejasno onda da u totalno uredenom skupu (lancu), kod koga susvaka dva elementa uporediva, na svakom nivou moze biti samo pojedan element, sto imamo u gornjem trecem primjeru, a to oprav-dava i naziv ”lanac” za ovakve skupove.

Definicija 2.3.15

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.

1. Za element x ∈ X kazemo da je maksimalan, ako ne pos-toji y ∈ X, takav da je x ≤ y.

2. Za element x ∈ X kazemo da je minimalan, ako ne postojiy ∈ X, takav da je y ≤ x.

57


Definicija 2.3.16

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup.

1. Za element x ∈ X kazemo da je najveci ako za sve elementey ∈ X vrijedi y ≤ x.

2. Za element x ∈ X kazemo da je najmanji ako za sve ele-mente y ∈ X vrijedi x ≤ y.

Dakle, najveci element nekog skupa je ”veci” od svih elemenatatog skupa, tj. svi elementi tog skupa su uporedivi sa najvecimi svi su ispred njega. Proizvoljan skup moze imati najvise jedannajveci i najvise jedan najmanji element. Zaista, ako bi skup Ximao dva najveca elementa x′ i x′′, tada bi posmatrajuci prvo x′ kaonajveci imali da je x′′ ≤ x′, a opet posmatrajuci x′′ kao najveci biimali x′ ≤ x′′. Iz ove dvije veze, na osnovu antisimetricnosti relacijeporetka, zakljucujemo da mora vrijediti x′ = x′′, tj. najveci elementje jedinstven.Maksimalan je onaj element od koga nema ”veceg”, ali ovdje nije

eksplicitno zahtjevana uporedivost svih elemenata skupa sa mak-simalnim elementom. Upravo ovo nezahtijevanje dovodi do togada u nekom skupu moze postojati i vise od jednog maksimalnih,odnosno vise od jednog minimalnih elemenata.

Primjer 2.25. Posmatrajmo skup A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Definisimo nanjemu relaciju

x|y ako i samo ako x dijeli y bez ostatka .

Kao sto smo vec imali u ranijim primjerima, ovako definisana rela-cija jeste relacija parcijalnog poretka na A.

bC

bC bC bC bC

bC bC

1

2 3 5 7

4 6

Maksimalni elementi

Najmanji element

Slika 2.21: Hasseov dijagram sa prikazom najmanjeg i maksimalnih

elemenata.

58


Jasno je da broj 4 ne dijeli niti jedan broj skupa A (osim samogsebe), pa dakle nema niti jednog elementa skupa koji je ”veci” odnjega, te ja kao takav on maksimalan element. Ali to isto vrijedi iza elemente 5,6 i 7, te su i oni takode maksimalni elementi skupaA. Primjetimo da je 1 najmanji element ovog skupa (Slika 2.21).Ako bi smo posmatrali skup A′ = {2, 3, 4, 5, 6, 7} sa istom relaci-

jom, maksimalni elementi ostaju isti, ali sada ne postoji najmanjielement, vec imamo minimalne elemente 2,3,5 i 7.

bC bC bC bC

bC bC

2 3 5 7

4 6

Maksimalni elementi

Minimalni elementi

Slika 2.22: Promjena skupa uzrokuje promjenu minimalnosti i maksi-

malnosti elemenata.

♦Primjer 2.26. Posmatrajmo skup A = N0 ∪

{13

}. Neka je na ovom

skupu definisana relacija ”biti ispred”, na sljedeci nacin. Za x, y ∈ A

x ≤ ydef⇔ (∃z ∈ A) x+ z = y .

Jasno je sada da broj 13

nije uporediv ni sa jednim elementom skupaA osim sa samim sobom. Zaista, ako bi za neko n ∈ N0 vrijedilo 1

3≤

n, jasno je da niti za jedno m ∈ A ne moze biti 13+m = n. Isto tako ne

moze biti n ≤ 13

niti za jedno n ∈ A. Dakle, ne postoji element skupaA koji je ispred njega, te je prema gornjoj definiciji on maksimalanelement skupa A. Ali on nije najveci element jer najveci elementmora biti uporediv sa svim elementima posmatranog skupa i pritome svi moraju biti ispred njega.Po istom principu mozemo zakljuciti da je 1

3minimalan element

skupa A, ali on opet nije najmanji element (zbog neuporedivosti).♦

Za razmatranje ovakvih primjera od koristi su sljedeca jednos-tavna tvrdenja.

59


Lema 2.3.6

Ako je x najmanji (najveci) element skupa X, tada je on i mini-malni (maksimalni) element tog skupa.

Dokaz: Neka je na skupu X definisana relacija parcijalnog uredenja≤ i neka je x0 ∈ X najmanji element skupa X, tj

(∀x ∈ X) x0 ≤ x .

bC

bC bC bC

bC bC

Najmanji element ⇒ Minimalni element

Slika 2.23: Kad postoji najmanji element on je i minimalan element.

Ako bi za neko x ∈ X vrijedilo x ≤ x0, tada zbog minimalnosti ele-menta x0, vrijedio bi i obrat x0 ≤ x, a onda bi zbog antisimetricnostiimali da je x = x0. Dakle, niti jedan element skupa X nije ispred x0,a to znaci da je x0 minimalni element. ♣Slika 2.23 ilustruje tvrdnju gornje leme. Obrat ove tvrdnje u

opstem slucaju nije tacan, tj. minimalnost elementa ne znaci ida je on najmanji element, sto smo mogli vidjeti i u primjeru 2.26.Ipak vrijedi

Lema 2.3.7

Ako je X totalno ureden skup, onda ako postoji minimalni(maksimalni) element tog skupa, on je i najmanji (najveci) ele-ment tog skupa.

Dokaz: Neka je skup X totalno ureden relacijom poretka ≤ i nekaje x0 njegov minimalni elemet. Izaberimo proizvoljan x ∈ X. Kako jeX totalno ureden sakup, svaka dva njegova elementa su uporediva,tj. vrijedi

x ≤ x0 ili x0 ≤ x .

Pretpostavimo da je x ≤ x0. Kako je x0 minimalni element, naosnovu antisimetricnosti relacije poretka, zakljucujemo da vrijedi

60


x = x0. Dakle, uslov uporedivosti se svodi na

x = x0 ili x0 ≤ x ,

pa zbog proizvoljnosti elementa x onda zakljucujemo

(∀x ∈ X) x0 ≤ x ,

odnosno, x0 je najmanji element skupa X. ♣

bC

bC

bC

bC

bC

bC Minimalni element ⇒ Najmanji element

Slika 2.24: Na lancu je minimalan element i najmanji element.

Dokaze sljedecih jednostavnih, ali korisnih tvrdenja ostavljamocitaocu za vjezbu.

Lema 2.3.8

Ako u skupu X nema maksimalnih (minimalnih) elemenata,tada X nema ni najveceg (najmanjeg) elementa.

U Primjeru 2.25 elementi 4, 5, 6i 7 su maksimalni elementi, pa uodnosu na uvedenu relaciju ne postoji najveci element skupa. Ovucinjenicu okarakterisimo sa,

Lema 2.3.9

Ako u skupu X postoji vise od jednog maksimalnih (minimal-nih) elemenata, tada u X ne postoji najveci (najmanji) element.

Primjedba 2.3.1. Ako skup X ima jedinstven maksimalan (minima-lan) element, on opet ne mora biti najveci (najmanji) element togskupa.

U Primjeru 2.26 smo vidjeli da je 13

maksimalan element. Stavise, to je jedini maksimalni element jer za bilo koji n ∈ N, pos-toji m = n + 1 ∈ N takav da je n ”ispred” m, tojest niti jedan n ∈ Nnije maksimalan element skupa N∪{1

3}. Medutim, ovaj skup nema

61


najveceg elementa (ne postoji najveci prirodni broj) iako ima jedins-tven maksimalan element.Svi do sada uvedeni pojmovi ”ogranicenja” skupa su imali ka-

rakteristiku da su oni sami elementi posmatranog skupa. Sadacemo definisati jos cetiri jako vazna pojma za mnoge oblaste ma-tematike, ali koji ovu karakteristiku pripadnosti skupu ne morajuimati.

Definicija 2.3.17

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup. Za element x0 ∈ Xkazemo da je donja meda ili minoranta skupa A ⊆ X, ako vri-jedi

(∀a ∈ A) x0 ≤ a .

Za element x0 ∈ X kazemo da je gornja meda ili majorantaskupa A ⊆ X, ako vrijedi

(∀a ∈ A) a ≤ x0

Primjer 2.27. Za skup (0, 1] = {x ∈ R| 0 < x ≤ 1}, svaki realan brojveci ili jednak 1 je gornja meda datog skupa jer

(∀M ≥ 1)(∀x ∈ (0, 1]) x ≤ M ,

dakle gornjih meda moze biti vise. Analogno, svaki realan brojmanji ili jednak 0 je donja meda posmatranog skupa jer

(∀m ≤ 0)(∀x ∈ (0, 1]) m ≤ x ,

pa i minoranti moze biti vise. ♦

Definicija 2.3.18

Najmanju majorantu skupa X nazivamo supremum skupa X iobiljezavamo je sa supX.Najvecu minorantu skupa X nazivamo infimum skupa X i obi-ljezavamo je sa infX.

Uobicajeno u dokazivanju da je neki element infimum skupa, prvopokazujemo da je taj element donja meda skupa, a onda i da je on

62


najveca donja meda. Analogno za supremum, pokazujemo prvo daje taj element gornja meda skupa, a potom da je i najmanja donjameda.Kao sto smo vidjeli u gornjem primjeru, minoranti i majoranti

moze biti vise za zadati skup, ali na osnovu definicije najmanjegi najveceg elementa, infimum i supremum skupa, ako postoje, sujedinstveni. Pored toga, za minimalne i maksimalne elemente kaoi za najmanji i najveci element nekog skupa, jasno je da svi onipripadaju datom skupu. Medutim, to nije slucaj sa infimumom isupremumom.

Primjer 2.28. Za skup A = {x ∈ R| 0 < x < 1} = (0, 1), infimum skupaje 0, ali 0 /∈ A. Isto tako, supremum skupa je 1, ali 1 /∈ A.Zaista, za svako x ∈ A vrijedi 0 < x, te je 0 donje ogranicenje skupaA. A da je to i najvece donje ogranicenje vidimo iz sljedeceg. Nekaje ε proizvoljno malen pozitivan broj, tj. 0 < ε. Tada je elementx0 = ε

2∈ A i vrijedi ε

2< ε. Ovo znaci da ε nije donje ogranicenje

skupa A, odnosno 0 je najvece donje ogranicenje te vrijedi 0 = inf A.♦

Teorem 2.3.10

Neka je (X,≤) parcijalno ureden skup. Ako je x0 najmanji ele-ment skupa A ⊆ X, tada je x0 = inf A.Ako je x0 najveci element skupa A ⊆ X, tada je x0 = supA.

Dokaz: Dokazat cemo tvrdnju za najmanji element, a dokaz zanajveci, koji je potpuno analogan ovome, ostavljamo za vjezbu.Neka je x0 najmanji element skupa A ⊆ X. Dokazimo prvo da je x0

minoranta skupa A. Kako je x0 najmani element, to vrijedi

(∀a ∈ A) x0 ≤ a .

Na osnovu Definicije 2.3.17 zakljucujemo da je x0 donja meda skupaA. Pokazimo jos da je to i najveca donja meda. Neka je x′ ∈ X pro-izvoljna donja meda skupa A, tj. neka vrijedi

(∀a ∈ A) x′ ≤ a ,

ali to onda vrijedi i za x0 jer x0 ∈ A, tj. x′ ≤ x0. Zbog proizvoljnostidonje mede, zakljucujemo da je x0 najveca donja meda. Dakle,x0 = inf A. ♣

63


2.3.2 Funkcije

I pojam preslikavanja (funkcije) je predmetom izucavanja teorijeskupova. Kao sto cemo vidjeti, funkcije su specijalne vrste relacija,a kao takve i one su skupovi.

Definicija 2.3.19

Za relaciju f ⊆ X × Y , koja zadovoljava osobine

1. (∀x ∈ X)(∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ f ,

2. (x, y1) ∈ f ∧ (x, y2) ∈ f ⇒ y1 = y2,

kazemo da je funkcija ili preslikavanje, definisana na skupu Xsa vrijednostima u skupu Y .Za funkciju kazemo da preslikava skup X u skup Y i to zapi-sujemo sa f : X → Y . Umjesto (x, y) ∈ f , uobicajeno pisemoy = f(x), y = fx ili f : x 7→ y. Pri tome, element x ∈ X nazivamooriginal, a element y = f(x) ∈ Y nazivamo slika.Skup X = D1(f) nazivamo domen ili podrucje originala, a skupD2(f) ⊆ Y nazivamo kodomen ili podrucje slika funkcije.

Dakle, funkcija je specijalan slucaj relacije. Medutim, nije svakarelacija funkcija. Uslov 1. iz gornje definicije zahtjeva da svakioriginal ima svoju sliku, a uslov 2. nam govori da jedan originalmoze imati najvise jednu sliku.

b

b

XY

x

f(x)b

b

b b

XY

x

Slika 2.25: Jednom originalu jedna slika, jeste funkcija (lijevo). Jednom

originalu vise slika, nije funkcija (desno).

To lijepo ilustruje sljedeci primjer.

Primjer 2.29. Na skupu svih ljudi uvedimo binarnu relaciju na

64


sljedeci nacin:

xρydef⇔ x je bioloska majka od y.

Jasno je da relacija ρ nije funkcija jer jedna majka moze imati visedjece, ali je interesantno primjetiti da relacija ρ−1 jeste funkcija jersvaka osoba ima samo jednu biolosku majku. ♦

Ovakvu pojavu generalizujemo sljedecim tvrdenjem.

Lema 2.3.11

Neka je f ⊆ X × Y .

1. f je funkcija ako i samo ako je f−1 jednokorijena relacija.

2. f−1 je funkcija ako i samo ako je f jednokorijena relacija.

Primjer 2.30. Posmatrajmo relaciju f ⊆ R× (R+ ∪ {0}), zadatu sa

x, y ∈ R , (x, y) ∈ fdef⇔ y = x2 .

Provjeravajuci osobine 1. i 2. Definicije 2.3.19, vidimo da je ffunkcija. Za x′ = 1 i x′′ = −1 iz domena (R) funkcije f vidimo da(1, 1), (−1, 1) ∈ f , sto znaci da f nije jednokorijena relacija, a to naosnovu kontrapozicije tvrdenja 2. (njene lijeve implikacije) Lema2.3.11, znaci da f−1 nije funkcija. U ovom slucaju, f−1 nam pred-stavlja ”samo” inverznu relaciju relacije f i jasno sa njom mozemouvijek raditi, ali samo kao sa inverznom relacijom. Tada imamo,(1,−1), (1, 1) ∈ f−1, tj. f−1(1) = {−1, 1}.

1

2

3

4

−1

1 2−1−2x

y

(a) Funkcija f

1

2

−1

−2

1 2 3 4−1

y

x

(b) Relacija f−1

65


Da f nije jednokorijena relacija, na slici lijevo (a) vidimo iz cinjeniceda povlaceci horizontalnu liniju kroz tacku 1 na y-osi, ona presjecagrafik za dvije vrijednosti x-a (x = −1 i x = 1).Da f−1 nije funkcija (nije zadovoljen uslov 2. Definicije 2.3.19), vi-dimo ako povucemo vertikalnu liniju kroz tacku 1 na x-osi, da tadapostoje dva y-a (y = −1 i y = 1), takva da je (1,−1), (1, 1) ∈ f−1 (desnaslika (b)). ♦

Kao direktnu posljedicu Leme 2.3.2 i osobina relacija imamo daza proizvoljnu funkciju f vrijede veze

D1(f−1) = D2(f) , (12)

D2(f−1) = D1(f) , (13)

(f−1)−1

= f . (14)

Definicija 2.3.20

Ako f : X → Y i ako je A ⊆ X, preslikavanje f |A : A → Y , zadatosa f |A(x) = f(x) (x ∈ A), nazivamo restrikcija preslikavanja f naskup A.

Primjer 2.31. Posmatrajmo funkciju f : R → R, zadatu sa f(x) = x.Graficki prikaz funkcije f je prava koja polovi prvi i treci kvadrantkoordinatnog sistema, tj. (x, y) ∈ f ako i samo ako je x = y,

f = {(x, x) | x ∈ R} .

Ako zelimo datu funkciju posmatrati samo na skupu [0, 2], tj. po-

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3x

y

(c) Grafik funkcija f

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3x

y

(d) Grafik restrikcije f |[0.2]

66


smatrajmo funkciju g : [0, 2] → R, zadatu sa g(x) = x. Tada jeocigledno za x ∈ [0, 2], g(x) = f(x) i kazemo da je funkcija g restrik-cija funkcije f na skup [0, 2], tj. g = f |[0,2].Naravno da ne mozemo reci da je f = f |[0,2] jer domeni ove dvije

funkcije nisu isti. ♦

Svaka funkcija je osim skupom svojih uredenih parova, okarak-terisana i svojim domenom i kodomenom. Zato uslov o jednakostidvije funkcije zahtjeva vise elemenata.

Definicija 2.3.21

Za dva preslikavanja f : A → B i g : C → D kazemo da sujednaka, f = g, ako i samo ako je A = C, B = D i za svakox ∈ A = C vrijedi f(x) = g(x).

Ranije definisana dijagonalna relacija ∆ ⊆ X×X, primjer je funkcijekoju nazivamo identiteta ili identicko preslikavanje, idX : X → X,definisana sa idX(x) = x, za proizvoljno x ∈ X.

Preslikavanje i : X → Y , definisano sa i(x) = x (x ∈ X), gdje jeX ⊆ Y , nazivamo inkluzija ili inkluzivno preslikavanje.

Jasno je sada da identicko preslikavanje i inkluzivno preslikava-nje, bez obzira na jednakost njihovog zadavanja, u opstem slucajunisu jednaka preslikavanja jer im kodomeni ne moraju obaveznobiti isti.

Ako sa Y X oznacimo sva preslikavanja iz X u Y , tada ako je f ∈ Y X

neko od tih preslikavanja, onda je f ⊆ X×Y , pa jasno f ∈ P(X×Y ).Ali tada vrijedi Y X ⊆ P(X×Y ), te je na osnovu aksioma specifikacijeY X skup, tj. mozemo pisati

Y X = {f | f : X → Y } .

Teorem 2.3.12

Ako je f ∈ Y X i g ∈ ZY onda je i g ◦ f ⊆ X × Z funkcija, tojestg ◦ f ∈ ZX.

67


Dokaz: Kako je f ∈ Y X i g ∈ ZY , to na osnovu kompozicije relacijaimamo

g ◦ f = {(x, z)| (∃y ∈ Y ) ((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| (∃y ∈ Y ) (y = f(x) ∧ z = g(y)), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| z = g(f(x)), x ∈ X, z ∈ Z}= {(x, z)| z = (g ◦ f)(x), x ∈ X, z ∈ Z} ,

tj.g ◦ f = {(x, z)| z = (g ◦ f)(x)} ⊆ X × Z .

Pokazimo jos da su za relaciju g ◦ f zadovoljeni uslovi Definicije2.3.19.Kako je f funkcija, onda za svako x ∈ X, postoji y ∈ Y , tako da jey = f(x). To isto vazi i za funkciju g, pa specijalno za y = f(x) ∈ Y ,postoji z ∈ Z, tako da je z = g(y). Dakle, za svako x ∈ X, postojiz ∈ Z, takav da je

z = g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) ,a to znaci da je zadovoljen prvi uslov.Neka su sada (x, z1), (x, z2) ∈ g ◦ f . Ovo znaci da je z1 = g(f(x)),odnosno z2 = g(f(x)). Stavljajuci da je y = f(x), ovo bi znacilo da je(y, z1), (y, z2) ∈ g, a kako je g funkcija, zakljucujemo da mora vrijeditiz1 = z2. ♣Funkciju g ◦ f , uvedenu gornjom teoremom, nazivamo kompozi-

cija ili superpozicija funkcija f i g. Sljedece tvrdenje je direktnaposljedica osobina relacija te je ostavljeno citaocu za vjezbu da gadokaze.

Lema 2.3.13

Kad god su definisane sljedece kompozicije, vrijedi

1. U opstem slucaju, f ◦ g 6= g ◦ f .

2. f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.

3. id ◦ f = f i f ◦ id = f .

4. (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

Pored osobina funkcija koje preuzimamo iz njihovih osobina kaorelacija, za funkcije su od posebnog interesa osobine koje cemosada uvesti.

68


Definicija 2.3.22

Neka je f : X → Y proizvoljna funkcija. Za f kazemo da jeinjektivno preslikavanje ili injekcija, ako vrijedi

(∀x1 ∈ X)(∀x2 ∈ X)(∀y ∈ Y )((x1, y) ∈ f ∧ (x2, y) ∈ f ⇒ x1 = x2) .

b

bb

b

XY

x1

f(x1)x2

f(x2)b

bb

XY

x1

x2

f(x1) = f(x2)

Slika 2.26: Razlicitim originalima razlicite slike, injektivno preslikava-

nje (lijevo). Razlicitim originalima iste slike, neinjektivno preslikavanje

(desno).

Vidimo da je osobina injektivnosti preslikavanja zapravo osobina”jednokorijenosti” relacije. Kako relacija ne mora biti i funkcija,pravimo razliku izmedu ova dva pojma iako su oni za funkcijeidenticni. Za injektivno preslikavanje kazemo jos i da je to ”1-1”(jedan-jedan, jedan-na-jedan) preslikavanje, a to u stvari znaci, po-jednostavljeno govoreci, da jednakim slikama odgovaraju jednakioriginali. Primjenimo li kontrapoziciju implikacije, ovo iskazujemosa ”razlicitim originalima odgovaraju razlicite slike”.

(x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2)) ⇔ (f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2) .

Definicija 2.3.23

Neka je f : X → Y proizvoljna funkcija. Za f kazemo da jesurjektivno preslikavanje ili surjekcija, ako vrijedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X) (x, y) ∈ f .

Surjektivno preslikavanje nazivamo i ”na” preslikavanje jer, pojed-nostavljeno govoreci, ovo znaci da je svaki element y ∈ Y slika barjednog elementa x ∈ X, tj. D2(f) = Y . Kako smo u definiciji funkcije

69


naglasili, uopsteno za funkciju f : X → Y kazemo da slika X u Y .Ako je f surjektivno preslikavanje, tada kazemo da f slika X na Y .

XY

XY

Slika 2.27: Preslikavanje X u Y (lijevo). Preslikavanje X na Y (desno).

Kombinujuci osobine injektivnosti i surjektivnosti preslikavanjadobijamo,

Definicija 2.3.24

Za f : X → Y kazemo da je bijektivno preslikavanje ili bijekcija,ako vrijedi

(∀y ∈ Y )(∃x ∈ X)(∀x′ ∈ X)((x, y) ∈ f ∧ (x′, y) ∈ f ⇒ x = x′) .

Bijektivnost preslikavanja znaci istovremenost injektivnosti i su-rjektivnosti preslikavanja. U kontekstu ovog pojednostavljivanja,bijektivnost znaci da je svaki element y ∈ Y slika tacno jednog ori-ginala x ∈ X.

Primjer 2.32. Identiteta na X, tj. preslikavanje idX : X → X je inje-ktivno i surjektivno preslikavanje, dakle bijekcija.Inkluzija, tj. preslikavanje i : X → Y jeste injektivno, ali ne oba-vezno i surjektivno preslikavanje. ♦

Primjer 2.33. Posmatrajmo relaciju f ⊂ R× R, zadatu sa

x, y ∈ R , (x, y) ∈ fdef⇔ y = sin x .

Kako za svako x ∈ R postoji sin x i kako je iz (x, y1), (x, y2) ∈ f slijediy1 = sin x = y2 zakljucujemo da je f funkcija. Ovo geometrijski znacida ako crtamo vertikalne linije u koordinatnom sistemu, da ce onegrafik sjeci u samo jednoj tacki (slika lijevo).

70


1

−1

1 2 3−1−2−3

1

−1

1 2 3−1−2−3

Slika 2.28: Geometrijsko tumacenje ”biti funkcija” i biti ”1-1” pres-likavanje

Da preslikavanje nije injektivno, geometrijski vidimo crtajuci ho-rizontalne linije. Ukoliko bilo koja horizontalna linija sjece grafik uvise tacaka, tada preslikavanje nije injektivno (slika desno). ♦

Vezu izmedu preslikavanja i njemu inverznog preslikavanja da-jemo sljedecom tvrdnjom.

Teorem 2.3.14

Neka je f : X → Y proizvoljno injektivno preslikavanje. Tadavrijedi,

1. za proizvoljno x ∈ D1(f), f−1(f(x)) = x,

2. za proizvoljno y ∈ D2(f), f (f−1(y)) = y.

Dokaz: Neka je f injektivna funkcija. Kao prvo zakljucimo naosnovu Leme 2.3.11, da je i f−1 funkcija.

1. Neka je x ∈ D1(f). Zbog prve osobine funkcije, postoji y ∈D2(f), takav da je y = f(x). Ovo znaci da je (x, y) ∈ f ilidrugacije (x, f(x)) ∈ f , a na osnovu definicije inverzne relacijeonda imamo da (f(x), x) ∈ f−1. Kako je f−1 funkcija, posljed-nje ustvari mozemo zapisati i sa f−1(f(x)) = x, sto je i trebalodokazati.

2. Neka je y ∈ D2(f) proizvoljan. Prema (12) je y ∈ D1(f−1), a kako

je f−1 funkcija, f−1(y) je dobro definisan. Dakle, (y, f−1(y)) ∈f−1, a zbog (14), imamo da je onda (f−1(y), y) ∈ f , sto ne pred-stavlja nista drugo do cinjenicu da je f (f−1(y)) = y.

♣

71


Definicija 2.3.25

Neka je f ∈ Y X. Kazemo da je:

1. f monomorfizam ako

(∀g1 ∈ XZ)(∀g2 ∈ XZ)(f ◦ g1 = f ◦ g2 ⇒ g1 = g2) .

2. f je epimorfizam ako

(∀g1 ∈ ZY )(∀g2 ∈ ZY )(g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2) .

3. f je izomorfizam ako

(∃g ∈ XY )(g ◦ f = idX ∧ f ◦ g = idY ) .

Teorem 2.3.15

Neka je f ∈ Y X. Tada vrijedi:

1. f je monomorfizam ako i samo ako je f injektivno presli-kavanje.

2. f je epimorfizam ako i samo ako je f surjektivno preslika-vanje.

3. f je izomorfizam ako i samo ako je f bijektivno preslika-vanje.

Dokaz:

1. (=⇒) Neka je f : X → Y monomorfizam. Neka su x1, x2 ∈ X,takvi da je f(x1) = f(x2). Posmatrajmo sada skup Z = {0} ina njemu definisana dva preslikavanja, g1 : Z → X, zadato sag1(0) = x1 i g2 : Z → X, zadato sa g2(0) = x2. Tada kompozicijef ◦ g1 i f ◦ g2 preslikavaju Z u Y i pri tome je

(f ◦ g1)(0) = f(g1(0)) = f(x1) = f(x2) = f(g2(0)) = (f ◦ g2)(0) .

Zbog osobine monomorfizma zakljucujemo da mora biti g1 =g2, tj. x1 = g1(0) = g2(0) = x2, a zbog proizvoljnosti elemenata

72


x1, x2 ∈ X ovo znaci injektivnost preslikavanja f .(⇐=) Neka je sada f injektivno preslikavanje i neka su g1, g2 ∈XZ, takvi da je f ◦ g1 = f ◦ g2. Ovo znaci da za proizvoljno z ∈ Zvrijedi f(g1(z)) = f(g2(z)). Kako je f injektivno preslikavanje, tj.jednakim slikama odgovaraju jednaki originali, zakljucujemoda za svako z ∈ Z je g1(z) = g2(z), tj. g1 = g2, a ovo znaci da je fmonomorfizam.

2. (=⇒) Neka je f : X → Y epimorfizam. Pretpostavimo suprotnotvrdnji, da f nije surjekcija, tj. pretpostavimo da postoji y0 ∈Y , tako da niti za jedno x ∈ X nije f(x) = y0, ili ekvivalentno

(∀x ∈ X) f(x) 6= y0 .

Posmatrajmo dvoelementni skup Z = {0, 1} i preslikavanja

g1 : Y → Z , (∀y ∈ Y ) g(y) = 0 ,

g2 : Y → Z , g(y) =

{1 ; y = y00 ; y 6= y0

Ocigledno je g1 6= g2. Medutim, za proizvoljno x ∈ X, zbogpretpostavljene osobine nesurjektivnosti imamo,

(g1 ◦ f)(x) = g1(f(x)) = g2(f(x)) = (g2 ◦ f)(x) ,

tj. g1 ◦ f = g2 ◦ f , a kako je f epimorfizam ovo bi moralo znacitijednakost preslikavanja g1 i g2, sto je opet u suprotnosti sapokazanom nejednakoscu tih preslikavanja. Dakle, pretpos-tavka o nesurjektivnosti preslikavanja f je neodrziva.(⇐=) Neka je f surjektivno preslikavanje i neka su g1, g2 ∈ ZY

takvi da je g1 ◦ f = g2 ◦ f . Za proizvoljno x ∈ X je dakle(g1 ◦ f)(x) = g1(f(x)) = g2(f(x)) = (g2 ◦ f)(x). Kako zbog pret-postavljene surjektivnosti imamo da za svako y ∈ Y , postojix ∈ X, tako da je y = f(x), prethodno receno mozemo iskazatii sa time da za svako y ∈ Y je g1(y) = g2(y), tj. g1 = g2, a to znacida je f epimorfizam.

3. Posljednu tvrdnju ostavljamo citaocu da je dokaze za vjezbu.

♣

73

2.4. Aksiom izbora

Teorem 2.3.16

Neka su f ∈ Y X i g ∈ ZY . Tada vrijedi:

1. Ako su f i g monomorfizmi, onda je i g ◦ f monomorfizam.

2. Ako su f i g epimorfizmi, onda je i g ◦ f epimorfizam.

3. Ako su f i g izomorfizmi, onda je i g ◦ f izomorfizam.

Posljednju tvrdnju na osnovu Teorema 2.3.15 mozemo citati i kao:

• Kompozicija injektivnih preslikavanja je injektivno preslikava-nje.

• Kompozicija surjektivnih preslikavanja je surjektivno presli-kavanje i

• Kompozicija bijektivnih preslikavanja je bijektivno preslikava-nje.

2.4 Aksiom izbora

Neka je zadata neprazna familija nepraznih skupova F = {Xi | i ∈ I}.Da li je skup

∏

i∈I

Xi takode neprazan?

Ako je familija konacna, npr. F = {X1, X2, ..., Xn}, onda prostimbiranjem po jednog elementa xi iz svakog od nepraznih skupova Xi

(i = 1, 2, ..., n), formiramo n-torku (x1, x2, ..., xn) koja pripada

n∏

i=1

Xi, tj.

produkt nije prazan skup.Ako je familija F beskonacna, postavlja se pitanje da li i sadamozemo izabrati po jedan element iz svakog od skupova Xi (i ∈ I)?Ilustrativan primjer za ovo je Rusellov primjer: za beskonacan skupsvih parova cipela imamo jednostavan nacin odluke izbora, tako storecimo od svakog para cipela uzmemo desnu cipelu. Ali sta ura-diti ako radimo sa beskonacnim skupom parova carapa? Pitanjemozemo postaviti i ovako: neka je zadata beskonacna familija Fnepraznih disjunktnih skupova, da li postoji skup S koji sadrzi potacno jedan element iz svakog skupa te familije (takav skup ondabi zvali izborni skup)? Ako je odgovor ”DA”, sto bas i nije ocigledno

74

2.4. Aksiom izbora

ili nije jednostavno za pokazati, onda nas sistem aksioma moramodopuniti sa jos jednom aksiomom.

Aksiom 10: Aksiom izbora

Za svaki skup X, nepraznih i disjunktnih skupova, postojiskup S koji sadrzi po jedan i samo po jedan element svakogskupa iz X.

(∀x, y ∈ X)(x 6= ∅∧(x 6= y ⇒ x∩y = ∅)) ⇒ (∃S)(∀z ∈ X)(∃!u) u ∈ z∩S.

Definicija 2.4.1

Neka je {Xi | i ∈ I} neprazna familija nepraznih skupova i neka

je X =⋃

i∈I

Xi. Funkcija f : {Xi | i ∈ I} → X, sa osobinom da je

za svako i ∈ I, f(Xi) ∈ Xi, naziva se funkcija izbora.

Teorem 2.4.1: Zermelo

Za svaku nepraznu familiju skupova, postoji funkcija izbora.

Dokaz: Neka je {Xi | i ∈ I} proizvoljna neprazna familija nepraznihskupova. Za svako i ∈ I formirajmo direktni proizvod Xi × {i} = X ′

i,tj. X ′

i = {(x, i)| x ∈ Xi}. Familija {X ′i | i ∈ I} se sastoji od medusobno

disjunktnih skupova. Naime, ako je i 6= j, onda je i X ′i∩X ′

j = ∅ jer susvi (x, i) ∈ X ′

i i (x, j) ∈ X ′j medusobno razliciti po drugoj komponenti.

Prema aksiomu izbora postoji skup S koji sadrzi jedan i samo jedanelement svakog od skupova X ′

i (i ∈ I). To znaci da je S ∩X ′i = (x∗, i)

za neko x∗ ∈ Xi i za svako i ∈ I, pa mozemo definisati funkcijuf : {Xi | i ∈ I} → ∪i∈IXi, zadatu sa

f(Xi) = x∗ ∈ Xi ,

a to znaci da je f funkcija izbora. ♣Dakle, ovim teoremom tvrdimo da aksiom izbora povlaci postoja-

nje izborne funkcije. Medutim, vrijedi i obrat.

75

2.4. Aksiom izbora

Teorem 2.4.2

Ako za nepraznu familiju skupova postoji izborna funkcija,tada vrijedi aksiom izbora.

Dokaz: Neka je {Xi| i ∈ I} neprazna familija nepraznih i disjunkt-nih skupova. Za tu familiju, na osnovu Zermelove teoreme, postojifunkcija izbora f : {Xi | i ∈ I} → ∪i∈IXi, takva da je f(Xi) ∈ Xi (i ∈ I).Dakle, funkcija f pridruzuje svakom Xi tacno jedan element skupaXi, pa skup

S = {f(Xi) | i ∈ I} ,

ima trazenu osobinu iz aksioma izbora. ♣Teorem 2.4.1 i Teorem 2.4.2 nam pokazuju ekvivalentnost aksi-

oma izbora i postojanja funkcije izbora. Sta vise, iz ovoga vidimoda aksiom izbora vrijedi i kada posmatrana familija skupova sadrziproizvoljne skupove, a ne obavezno disjunktne.Teorija skupova u kojoj uvodimo ZF sistem aksioma plus aksiom

izbora (AC), oubicajeno se oznacava sa ZFC. Mnogi matematicari,ukljucujuci i samog Cantora, koristili su neki oblik aksiome izbora,ali je nisu eksplicitno navodili. Prvi put je eksplicitno iskazuje G.Peano11 1890. jer je u dokazu jedne teoreme u teoriji obicnih dife-rencijalnih jednacina imao potrebu za tvrdnjom koju daje aksiomizbora. B. Russell je aksiom izbora 1906 iskazao sa,Ako je X familija nepraznih disjunktnih skupova, tada je

∏X 6= ∅.

Zbog ”jednostavnosti” i ”ociglednosti” aksioma izbora, preovladavautisak da bi se on mogao izbjeci i dokazati pomocu ostalih aksiomaZF teorije. Mnogi su to i pokusali, ali nikome to do danas nije posloza rukom. To je samo produkovalo da danas imamo oko stotinjakekvivalenata aksiomi izbora. Neke od tih ekvivalentnih tvrdnji (kojese cesto i koriste u dokazima) su:

Teorem (Zornova lema). Neka je (A,�) parcijalno ureden skup kojiima osobinu da za svaki lanac u A, postoji gornje ogranicenje (u A):Tada A sadrzi bar jedan maksimalan element.

Teorem (Hausdorffov princip maksimalnosti). Neka je (A,�) parci-jalno ureden skup. Tada za svaki lanac u A, postoji maksimalanlanac koji ga sadrzi. (Za svaki lanac L, postoji lanac L′, takav da jeL ⊆ L′ i za svaki lanac L′′ u A koji sadrzi L vrijedi L′ * L′′. )

11Giuseppe Peano 1858-1932, Italijanski matematicar

76

2.4. Aksiom izbora

Teorem (Zermelov teorem). Svaki skup se moze dobro urediti.

Upravo to ce onda baciti sumnju na ”jednostavnost” i ”ociglednost”aksioma izbora. Ipak, rjesenje ”sumnje” o AC razrijesio je K. Godel12

1939. On je dokazao sljedeci teorem.

Teorem 2.4.3: O saglasnosti ZF sa AC

AC je saglasan sa ZF teorijom, tj. ako je ZF teorija neprotivu-rijecna, onda je takva i teorija ZFC.

Tezim se pokazalo pitanje, da li se ili ne, AC moze izvesti iz ZFteorije. Taj problem ce biti rijesen 1963. od strane Cohena, kojice pokazati da je problem sa AC slican V Euklidovom postulatu ugeometriji.

Teorem 2.4.4: O nezavisnosti AC o ZF

AC je nezavisna od ZF teorije, tj. ako je ZF teorija neprotivu-rijecna, onda je takva i teorija ZF+¬ AC

Koliko god ove teoreme formalno u potpunosti razrjesavaju statusAC u odnosu na ZF teoriju, dopustamo da ce neki citaoci i daljeostati u dilemi: ” Da li je AC, u stvari, tacna ili ne?” Nikakav ”ustvari” ne postoji. ZF teorijom opisujemo samo zamisljene objekte,a koje u stvari niti smo konstruisali niti vidjeli. Ako se dogovorimoda je svijet koga opisuje ZF teorija, svijet skupova, onda je taj opisnepotpun. Naime, postoje svijetovi u kojima je AC tacna, a postoje isvijetovi u kojima AC ne vazi. Ali je vazno da u svijetu koga opisujeZF teorija AC nije istovremeno i tacna i netacna. Dakle, pitanjeprihvatanja ili odbacivanja AC nosi iskljucivo filozofski karakter.

12Kurt Godel (1906-1978) - Njemacki matematicar

77

3

Kardinalni brojevi

3.1 Ekvipotentnost skupova . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.2 Konacni i beskonacni skupovi . . . . . . . . . . . 86

3.3 Prebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4 Neprebrojivi skupovi . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.5 Hipoteza continuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.6 Aritmetika kardinalnih brojeva . . . . . . . . . . . 104

Tek mislioci Stare Grcke pocinju odvajati pojam broja od pojmakojim se nesto ”samo” broji. Poznato je da je Pitagora zajedno sasvojim pitagorejcima smatrao da ”Brojevi upravljaju svemirom”, dase sve zakonitosti svijeta mogu objasniti brojevima. U traganjima ozakonitostima brojeva, izdvajani su neki sa posebnim svojstvima:prosti brojevi (brojevi djeljivi samo jedinicom i samim sobom), bli-zanci brojevi (prosti brojevi koji se razlikuju za 2), savrseni brojevi(brojevi jednaki zbiru svojih djelitelja, osim samog sebe), prijateljskibrojevi (parovi brojeva od kojih je svaki jednak zbiru djelitelja onogdrugog broja, osim samog broja). Ipak, pojam beskonacnosti nepostoji u matematici Starog vijeka. Tako Euklid u svom izucavanjuprostih brojeva kaze da ”prostih brojeva ima vise od bilo koje zadatekolicine brojeva”.

Znacajan doprinos u prici o beskonacnom dao je Nikola Kuzan-ski1 u svom djelu De docta ignorantia (”O ucenom neznanju”) iz1440. godine, koja ce dati rezultata tek u XVI vijeku. Prvo modernoshvatanje pojma beskonacnosti nalazimo kod G. Gallilea koji pri-mjecuje da ”pojmovi manji, veci i jednako nisu primjenljivi na be-skonacnost”, a pravo shvatanje tog pojma imamo tek sa pojavom

1Nicolaus Cusanus 1401-1464 , njemacki kardinal i filozof

78

Newtona i Leibnitza i njihovih radova iz kojih ce proisteci mate-maticka analiza.

Naivni pristup pojmu kardinalnog broja jeste ”prebrojavanje” ele-menata nekog skupa. Kod skupova sa konacno mnogo elemenataovaj pristup je moguc i ogleda se u principu bukvalnog prebroja-vanja. Njegova primjena se vidi u Dichletovom principu (”pigeon-hole principle”- princip golubinjaka), a sastoji se u sljedecem: akoimamo n kaveza u golubinjaku i ako u golubinjak doleti n+1 golub,onda ce u bar jednom kavezu morati biti bar dva goluba. Naravno,u slucaju skupova sa beskonacno mnogo elemenata stvari ce sezakomplikovati.

Za to nam je odlican primjer Hilbertovog paradoksa. Naime, Hil-bert je 1920. postavio pricu koja na misteriozan nacin ilustrujebeskonacnost. Zamislimo hotel sa beskonacno mnogo soba (Hil-bertov hotel) numerisanih redom prirodnim brojevima, koji je upotpunosti popunjen. Jedan dan na recepciji se pojavi gost kojitrazi slobodnu sobu. Recepcioner Hilbertovog hotela je brzo reago-vao i javio svim gostima da se presele u susjednu sobu (gost iz sobe1. da ide u sobu broj 2, iz sobe 2. u sobu 3. itd.). Tako je recepci-oner uspio osloboditi sobu broj 1. u koju je smjestio novopridosloggosta. Malo veci problem se pojavio kada se ispred Hilbertovoghotela pojavio Hilbertov autobus (autobus sa beskonacno mnogoputnika) koji su trazili smjestaj u hotelu. Taj problem je recep-cioner rjesio tako sto je svakom gostu hotela javio da se iz svojesobe preseli u sobu sa duplo vecim rednim brojem (gost iz sobe 1.u sobu 2., iz sobe 2. u sobu 4. itd). Na taj nacin je oslobodiosve sobe sa neparnim brojevima i u njih smjestio sve nove goste.Pravi problem je recepcioneru bio kad je cuo da su svi Hilbertovihoteli (kojih je bilo beskonacno mnogo) zatvoreni i da su se svi nji-hovi gosti uputili njemu. I ovaj problem recepcioner je rjesio, ali uzmalu pomoc matematicara.

Najpoznatiji pristup pojmu kardinalnog broja jeste preko pojmatzv. ekvipotentnih skupova. Prema tom pristupu, svaka klasaskupova predstavlja kardinalni broj (koji odgovara tim skupovima).Dakle, svakom skupu cemo na jednoznacan nacin pridruziti njegovkardinalni broj i dva skupa ce imati isti kardinalni broj samo akosu ekvipotentni. Mnogo stroziji pristup proizilazi iz stava da sviobjekti sa kojima radimo (pa i kardinali) su skupovi, a time bi kar-dinale trebalo uvesti kao specijalne ordinale.

79

3.1. Ekvipotentnost skupova

3.1 Ekvipotentnost skupova

Definicija 3.1.1

Za skupove A i B kazemo da su ekvipotentni i pisemo A ∼ B,ako i samo ako postoji bijekcija f : A → B.

Primjer 3.1. Posmatrajmo skupove N = {1, 2, 3, ...} i 2N = {2, 4, 6, ...}.Neka je f : N → 2N, zadato sa f(n) = 2n (n ∈ N).Neka je y ∈ 2N, tada je y paran broj, tojest oblika je y = 2k, za nekok ∈ N, a to znaci da vrijedi f(k) = 2k = y. Dakle, za svako y ∈ 2N,postoji k ∈ N, takav da je f(k) = y, pa je preslikavanje f surjekcija.Neka su m,n ∈ N takvi da je m 6= n. Tada brojevi 2m i 2n pripa-daju skupu 2N i ocigledno je 2m 6= 2n. Dakle, za m,n ∈ N, m 6= nvrijedi f(m) = 2m 6= 2n = f(n). Zakljucujemo da je preslikavanje f iinjektivno, sto zajedno sa pokazanom surjektivnoscu znaci da je fbijektivno preslikavanje.Dakle vrijedi N ∼ 2N. Primjetimo da je 2N ⊂ N. ♦

Primjer 3.2. Neka je X = {a, b, c, d} skup kaveza u golubinjaku iY = {1, 2, 3, 4, 5} skup golubova. Jasno je da ne postoji bijekcijaizmedu skupova X i Y jer postujuci drugu osobinu preslikavanja(jedan original se moze slikati samo u jednu sliku), niti jedno pres-likavanje sa skupa X u skup Y ne moze biti surjektivno, pa daklevrijedi X ≁ Y ili interpretirano, u bar jedan kavez moraju uci dvagoluba. ♦

Teorem 3.1.1

Neka je U univerzum svih posmatranih skupova. Relacija ”bitiekvipotentan” je relacija ekvivalencije na U .

Dokaz: Da bi dokazali izrecenu tvrdnju, treba dokazati da datarelacija ima osobine refleksivnosti, simetricnosti i tranzitivnosti.Za proizvoljan A ∈ U mozemo posmatrati identicno preslikavanjeidA : A → A, idA(x) = x, koje je ocigledna bijekcija, pa dakle vrijediA ∼ A, tj. ”∼” je refleksivna.Neka su A,B ∈ U i neka postoji bijekcija f : A → B. f je izomor-fizam, pa postoji g : B → A, takvo da je f ◦ g = idB. Ali tada je i g

80


izomorfizam, tj. bijekcija, a to znaci da vrijedi B ∼ A. Dakle, ”∼” jesimetricna relacija.Neka su sada A,B,C ∈ U i neka postoje bijekcije f : A → B ig : B → C. Tada je i preslikavanje h = g ◦ f : A → C bijektivno(Teorem 2.3.16), a to znaci A ∼ C, pa je ”∼” tranzitivna.Na osnovu svega ovoga zakljucujemo da je ”∼” relacija ekvivalen-

cije. ♣Kako svaka relacija ekvivalencije ”razbija” skup na kom je defi-

nisana na disjunktne klase ekvivalencija, jasno je onda da jednuklasu ekvivalencije cine skupovi koji su medusobno ekvipotentni.

Definicija 3.1.2

Svakoj klasi ekvivalencije relacije ”∼” pridruzujemo broj koganazivamo kardinalni broj. Svaki skup iz iste klase ima istikardinalni broj i u tom slucaju govorimo o kardinalnom brojuskupa, sto cemo zapisivati sa card(A).

Dakle, za dva skupa A i B kazemo da imaju isti kardinalni broj,tj. card(A) = card(B), ako i samo ako vrijedi A ∼ B. Gornjom defi-nicijom smo uveli pojam kardinalnog broja, ali smo takode uveli irelaciju jednakosti kardinalnih brojeva. Uvedimo jos jednu relacijunad kardinalnim brojevima.

Definicija 3.1.3

Skup A ima kardinalni broj manji ili jednak od kardinalnogbroja skupa B, u oznaci card(A) ≤ card(B), ako i samo akopostoji B′ ⊆ B, takav da je

card(A) = card(B′) .

Primjer 3.3. U primjeru sa kavezima i golubovima posmatrajmoY ′ = {1, 2, 3, 4} ⊂ Y = {1, 2, 3, 4, 5}. Tada mozemo posmatrati pridru-zivanje a 7−→ 1, b 7−→ 2, c 7−→ 3 i d 7−→ 4, tj. smjestimo goluba 1 ukavez a, goluba 2 u kavez b, goluba 3 u kavez c i goluba 4 u kavezd. Jasno je da je ovo pridruzivanje injektivno i surjektivno izmeduskupa kaveza X = {a, b, c, d} i skupa golubova Y ′ = {1, 2, 3, 4}, te jecard(X) = card(Y ′), odnosno card(X) ≤ card(Y ). ♦

Sljedece tvrdenje nam daje karakterizaciju novouvedene relacije.

81


Lema 3.1.2

Neka su A i B proizvoljni skupovi. Tada vrijedi, card(A) ≤card(B) ako i samo ako postoji injektivno preslikavanje f : A →B.

Dokaz: Neka je card(A) ≤ card(B). Na osnovu Definicije 3.1.3, toznaci da postoji B′ ⊆ B takav da je card(A) = card(B′), a to znaci dasu skupovi A i B′ ekvipotentni, pa postoji bijekcija g : A → B′. Nekaje i : B′ → B inkluzivno preslikavanje. Svaka inkluzija je injektivnopreslikavanje, pa je i f = i ◦ g injektivno preslikavanje i pri tomef : A → B.Neka je sada f : A → B injekcija. Posmatramo li skup f(A) ⊆ B,

onda je preslikavanje f : A → f(A), koje dobijemo tako da suzimokodomen preslikavanja f na skup f(A), i surjekcija, tj. ono je bi-jektivno preslikavanje. Ovo opet znaci da su skupovi A i B′ = f(A)ekvipotentni i pri tome je B′ ⊆ B, pa vrijedi card(A) ≤ card(B). ♣Primjetimo da ako vrijedi X ⊆ Y , onda mozemo posmatrati inkluziv-

no preslikavanje i : X → Y , i(x) = x, a kako je inkluzivno preslika-vanje injektivno, onda vrijedi card(X) ≤ card(Y ). Ovo iskazujemosljedecom tvrdnjom.

Lema 3.1.3

Ako je X ⊆ Y , onda je card(X) ≤ card(Y ).

U dokazima narednih tvrdenja bit ce nam potrebna dva pojmakoji nisu bitno vezani za teoriju skupova, te ih zbog toga necemoni definisati formalno. Za preslikavanje f : X → X kazemo da imasvojstvo fiksne tacke ako postoji x∗ ∈ X, takav da je f(x∗) = x∗.Za ovakav x∗ onda kazemo da je fiksna tacka preslikavanja f . Zapreslikavanje f : X → X kazemo da je uzlazno ako za proizvoljneA,B ∈ P(X) iz A ⊆ B, slijedi f(A) ⊆ f(B).

Lema 3.1.4

Svako injektivno preslikavanje je uzlazno preslikavanje.

Dokaz: Neka je f : X → X i A,B ⊆ X takvi da je A ⊆ B. Ako jef injektivno preslikavanje tada se razliciti originali preslikavaju u

82


razlicite slike, te ce ocigledno vrijediti

f(A) = {f(x) | x ∈ A} ⊆ {f(x) | x ∈ B} = f(B) .

♣

Lema 3.1.5

Neka je X proizvoljan skup i P(X) njegov partitivni skup. Akoje f : P(X) → P(X) uzlazno preslikavanje, tada f ima svojstvofiksne tacke.

Dokaz: Oznacimo sa

L = {Y ∈ P(X)| Y ⊆ f(Y )} .

Ovaj skup nije prazan jer bar ∅ pripada L (prazan skup je podskupbilo kog skupa). Definisimo dalje skup K na sljedeci nacin

K = ∪L = ∪{Y | Y ∈ L} ∈ P(X) .

Kako je L neprazan, na osnovu aksioma unije, skup K postoji.Za proizvoljno Y ∈ L je Y ⊆ K, a onda zbog uzlaznosti preslikava-

nja f imamo da je f(Y ) ⊆ f(K). Kako je Y ∈ L, onda je Y ⊆ f(Y ), padakle imamo da je za svako Y ∈ L, Y ⊆ f(K). Onda i njihova unijaima istu osobinu, tj.

K = ∪{Y | Y ∈ L} ⊆ f(K) . (1)

S druge strane, kako su K, f(K) ∈ P(X) i zbog K ⊆ f(K), na osnovuuzlaznosti preslikavanja imamo f(K) ⊆ f(f(K)). Ovo onda znaci daje f(K) ∈ L, pa je tim prije zadovoljeno

f(K) ⊆ ∪L = K . (2)

Iz (1) i (2) imamo da vrijedi f(K) = K, tj. f ima svojstvo fiksnetacke. ♣Iskazimo sada jedan od najvaznijih teorema teorije skupova, koji

predstavlja kljucni rezultat koji dozvoljava poredenje beskonacnosti.Ona je prvi put iskazana 1895. od strane Cantora u obliku konjuk-ture, a koga su 1896. neovisno dokazali Bernstein2 i Schroder.3

2Felix Bernstein 1878-1956 , njemacki matematicar3Ernst Schroder 1841-1902 , njemacki matematicar

83


Teorem 3.1.6: Cantor-Bernstein-Schroder

Ako za proizvoljne skupove X i Y vrijedi

card(X) ≤ card(Y ) i card(Y ) ≤ card(X) ,

onda vrijedi card(X) = card(Y ).

Dokaz: Neka vrijedi

card(X) ≤ card(Y ) i card(Y ) ≤ card(X) ,

to znaci da postoje injektivna preslikavanja

f : X → Y i g : Y → X .

Da bi pokazali ekvipotentnost skupova X i Y , moramo pronaci nekobijektivno preslikavanje sa X na Y .

Posmatrajmo kao prvo preslikavanje h : P(X) → P(X), zadato sa

A ⊆ X , h(A) = X \ g(Y \ f(A)) .

Neka su A,B ⊆ X takvi da je A ⊆ B. Tada imamo

A ⊆ B ⇒ f(A) ⊆ f(B)

⇒ Y \ f(A) ⊇ Y \ f(B)

⇒ g(Y \ f(A)) ⊇ g(Y \ f(B))

⇒ X \ g(Y \ f(A)) ⊆ X \ g(Y \ f(B))

⇒ h(A) ⊆ h(B) .

Dakle, preslikavanje h je uzlazno preslikavanje, pa na osnovu Leme3.1, h ima fiksnu tacku, tj. postoji K ⊆ X, takav da je h(K) = K,odnosno

K = X \ g(Y \ f(K)) .

84


K

X

g(Y \ f(K))

f(K)

Yf

g

Za ovako odreden skup K, definisimo sada funkciju φ : X → Y ,zadatu sa

φ(x) =

{f(x) ; x ∈ Kg−1(x) ; x ∈ X \K

Zbog izbora skupa K jasno je da je ovo preslikavanje injektivno.Osim toga je

φ(X) = φ(K)∪ φ(X \K) = f(K) ∪ g−1(X \K) = f(K) ∪ (Y \ f(K)) = Y ,

pa zakljucujemo da je φ i surjektivno preslikavanje.Dakle, pronasli smo bijekciju φ : X → Y , pa vrijedi card(X) =card(Y ). ♣U iskazu gornje teoreme dali smo joj ime ”Cantor-Bernstein-Schroder”,

ali njeno tradicionalno ime (najcesce koristeno) je ”Bernstein-Schroder”,dok cemo se mi u daljem tekstu na nju pozivati sa imenom ”Cantor-

Bernstein” teorem.

Primjer 3.4. Neka je A = [0, 4] i B = [0, 2] ∪ [3, 4].Ocigledno je B ⊆ A, pa vrijedi

card(B) ≤ card(A) . (3)

Posmatrajmo preslikavanje f : A → B, zadato sa f(x) = 12x. f je

ocigledno injektivno preslikavanje (kao linearno preslikavanje) pana osnovu Leme 3.1.2 je

card(A) ≤ card(B) . (4)

Iz (3) i (4), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemocard(A) = card(B). ♦

85

3.2. Konacni i beskonacni skupovi

Teorem 3.1.7

Neka su X, Y i Z proizvoljni skupovi za koje vrijedi X ⊆ Y ⊆Z. Ako je card(X) = card(Z), onda vrijedi card(X) = card(Y ) =card(Z).

Dokaz: Kao sto je napomenuto iza Leme 3.1.2, iz X ⊆ Y slijedi daje

card(X) ≤ card(Y ) . (5)

Isto tako iz Y ⊆ Z imamo card(Y ) ≤ card(Z), a zbog pretpostavkecard(X) = card(Z), onda vrijedi

card(Y ) ≤ card(X) = card(Z) . (6)

Iz (5) i (6), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemoda vrijedi card(X) = card(Y ). ♣Spomenimo na ovom mjestu jos jedan vazan ekvivalent aksiomi

izbora, a koji se tice uvedene relacije ”≤” nad kardinalnim broje-vima.

Teorem (Hartogov teorem). Ako su α i β kardinalni brojevi, tada jeα ≤ β ili α ≥ β.

3.2 Konacni i beskonacni skupovi

Definicija 3.2.1

Za skup X kazemo da je beskonacan ako i samo ako postojielement α koji ne pripada skupu X, tako da vrijedi

card(X ∪ {α}) = card(X) .

Ako skup nije beskonacan onda kazemo da je konacan.

Primjer 3.5. Posmatrajmo skup prirodnih brojeva, N = {1, 2, 3, ...}.Oznacimo sa N0 = N ∪ {0}. Neka je f : N0 → N, zadato sa f(n) =n + 1. Za proizvoljan m ∈ N je m − 1 iz N0 i pri tome je f(m − 1) =(m − 1) + 1 = m, pa je preslikavanje f surjektivno. Osim toga, za

86


n1, n2 ∈ N0, takve da je n1 6= n2, je f(n1) = n1 + 1 6= n2 + 1 = f(n2), te jepreslikavanje f i injektivno. Dakle, f je bijektivno preslikavanje, ato znaci card(N) = card(N0). Na osnovu gornje definicije, skup N jedakle beskonacan skup (ovdje je α = 0). ♦

Sljedecim teoremom dajemo jednu karakterizaciju beskonacnihskupova.

Teorem 3.2.1

Skup je beskonacan ako i samo ako je ekvipotentan svom pra-vom podskupu.

Dokaz: Neka je A beskonacan skup. Tada postoji α /∈ A, takavda je card(A) = card(A ∪ {α}). To opet znaci da postoji bijekcijaf : A ∪ {α} → A. Ali tada je i preslikavanje

f |A : A → A \ {f(α)}

takode bijekcija, a to znaci da je A ekvipotentan skupu A \ {f(α)},medutim ocigledno je A \ {f(α)} ⊂ A.Neka je sada A ekvipotentan svom pravom podskupu A′. Tada

ocigledno postoji x0 ∈ A \ A′ i pri tome vrijedi

A′ ⊂ A′ ∪ {x0} ⊆ A .

Zbog A ∼ A′, na osnovu Leme 3.1.7 imamo

card(A′) = card(A′ ∪ {x0}) = card(A) .

Neka je α proizvoljan, takav da α /∈ A. Zbog pretpostavke A ∼ A′,onda je i A ∪ {α} ∼ A′ ∪ {α}. Kako je card(A′ ∪ {x0}) = card(A′ ∪ {α}),zakljucujemo da je card(A ∪ {α}) = card(A′ ∪ {x0}) = card(A), a ovoupravo znaci beskonacnost skupa A. ♣Prethodnu tvrdnju mozemo koristiti i kao karakterizaciju konacnih

skupova. Naime, iskoristimo li kontrapoziciju, mozemo zakljucitida ako skup nije ekvipotentan niti jednom svom pravom podskupu,da onda on mora biti konacan skup. Ipak cemo sljedecom tvrdnjomdati nesto korisniju karakterizaciju konacnih skupova.

87


Teorem 3.2.2

Skup je konacan ako i samo ako je svako injektivno preslika-vanje tog skupa u samog sebe ujedno i surjekcija.

Dokaz: Neka je X konacan skup i neka je f : X → X injektivnopreslikavanje. Pretpostavimo da f nije surjektivno preslikavanje,tj neka je f(X) ⊂ X. Oznacimo sa X ′ = f(X). Tada je f : X → X ′

bijekcija, pa zakljucujemo da su X i X ′ ekvipotentni skupovi, a tona osnovu Teorema 3.2.1 znaci da je X beskonacan skup. To jekontradikcija sa konacnoscu skupa X, pa zakljucujemo da f morabiti surjektivno preslikavanje.Neka je sada svaka injekcija sa X u X ujedno i surjekcija. Pret-

postavimo da je X beskonacan skup. To znaci da je X ekvipotentannekom svom pravom podskupu X ′, tj. postoji bijekcija g : X → X ′.Posmatrajmo sada preslikavanje f = i◦ g : X → X, gdje je i : X ′ → Xinkluzivno preslikavanje. Kako je svako inkluzivno preslikavanjeinjektivno i kako je g takode injektivno (g je bijekcija), onda je i nji-hova kompozicija, tj. preslikavanje f , injektivno. Zbog polaznepretpostavke f je tada i surjektivno preslikavanje tojest, vrijedif(X) = X. Ali tada imamo

X = f(X) = (i ◦ g)(X) = i(g(X)) = g(X) = X ′ ,

sto je kontradikcija sa pretpostavkom da je X ′ pravi podskup od X.Dakle, X ne moze biti beskonacan skup, sto znaci da je on konacanskup. ♣

Teorem 3.2.3

Neka je A beskonacan skup i neka je A ⊆ X. Tada je i Xbeskonacan skup.

Dokaz: Neka je A beskonacan skup i A ⊆ X. Zbog beskonacnosti,A je ekvipotentan svom pravom podskupu, tj. postoji A′ ⊂ A, takoda je A′ ∼ A, odnosno postoji bijekcija f : A → A′. Oznacimo saX ′ = X \ A ∪ A′. Zbog A′ ⊂ A, jasno je X ′ ⊂ X. Posmatrajmo sadapreslikavanje F : X → X ′ zadato sa

F (x) =

{f(x) ; x ∈ Ax ; x ∈ X \ A

88


Iz same konstrukcije preslikavanja F jasno je da je to bijektivnopreslikavanje, a to znaci da je X ekvipotentan svom pravom pod-skupu X ′, pa je X beskonacan skup. ♣Slicnu (dualnu) tvrdnju gornjoj tvrdnji mozemo iskazati za konacne

skupove, koja je u toj formi prakticno posljedica gornje teoreme.

Teorem 3.2.4

Ako je A konacan skup i ako je X ⊆ A, onda je i X konacanskup.

Dokaz: Neka je A konacan i X ⊆ A. Pretpostavimo da X nijekonacan, tj. neka je X beskonacan skup. To bi prema gornjojteoremi znacilo da je i A beskonacan skup sto bi bila kontradikcija.Dakle, X mora biti konacan skup. ♣

Teorem 3.2.5

Za proizvoljan prirodan broj n, skup An = {1, 2, 3, ..., n} je konacanskup.

Dokaz uraditi za vjezbu!

Teorem 3.2.6

Za razlicite prirodne brojeve m i n, skupovi Am i An nisu ekvi-potentni.

Dokaz: Pretpostavimo da postoje m,n ∈ N, m 6= n, takvi da jeAm ∼ An. Ne gubeci na opstosti, neka je m < n. Tada je ociglednoAm ⊂ An i dakle, An je ekvipotentan svom pravom podskupu sto biznacilo da je An beskonacan skup, a to prema Teoremi 3.2.5 nijemoguce. ♣

Teorem 3.2.7

Neka je X proizvoljan konacan skup. Tada, ili je X = ∅ ilipostoji n ∈ N, tako da je X ∼ An.

89

3.3. Prebrojivi skupovi

Na osnovu gornje teoreme konacne skupove mozemo preciznijeokarakterisati. Naime, neka je X konacan skup i neka je X 6= ∅.Tada je za neko n ∈ N, X ∼ An, tj. postoji bijekcija f : An → X. Akostavimo da je f(1) = x1, f(2) = x2, ..., f(n) = xn, imamo da je skupX zadat sa svojim elementima

X = {x1, x2, ..., xn} .

Osim toga svaki se konacan skup nalazi u onoj klasi ekvivalen-cije relacije ” ∼ ” u kojoj se nalazi njemu odgovarajuci An. Tadaza konacan skup X koji je ekvipotentan sa An, kazemo da mu jekardinalni broj jednak n, tj.

card(X) = card(An) = n , n ∈ N .

Specijalno, uzimamo da vrijedi card(∅) = 0. Iz gornjeg imamo da susvi prirodni brojevi ukljucujuci nulu, kardinalni brojevi. Za njih seveze i uobicajeno shvatanje kardinala kao ”broja elemenata skupa”,sto u generalnom shvatanju pojma kardinalnih brojeva nije pri-hvatljivo. Takve kardinalne brojeve nazivamo konacni kardinali, akao sto cemo vidjeti u daljem, postoje takode i beskonacni kardi-nali, koji su naravno vezani za beskonacne skupove.

3.3 Prebrojivi skupovi

Kao sto smo to vec imali prilike vidjeti ranije, vrijedi N ∼ 2N to-jest, skup prirodnih brojeva je ekvipotentan svom pravom dijelu,pa je on kao takav beskonacan skup. Kardinalni broj skupa Noznacavamo simbolom ”ℵ0”. Znak ”ℵ” je prvo slovo hebrejske az-buke i cita se ”alef”. Dakle,

card(N) = ℵ0 ,

je kardinalni broj koga pridruzujemo svim skupovima koji su ek-vipotentni skupu prirodnih brojeva i on predstavlja nas prvi be-skonacni kardinalni broj. Naime, kako je za svako n ∈ N An ⊂ N,to je card(An) = n ≤ ℵ0 = card(N). Kako jos vrijedi An ≁ N jasno jeda n 6= ℵ0. Sada se namece potreba za jos jednom relacijom medukardinalnim brojevima.

90


Definicija 3.3.1

Neka su X i Y proizvoljni skupovi.

card(X) < card(Y )def⇔ card(X) ≤ card(Y ) ∧ card(X) 6= card(Y ) .

Gornju definiciju smo mogli iskazati i na nacin da postoji injektivnopreslikavanje f : X → Y , a da pri tome vrijedi X ≁ Y . Drzeci seovoga, iz do sada poznatih nam stvari, imamo

∅ ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An ⊂ · · · ⊂ N ,

pa tada za uvedene kardinale vrijedi veza

0 < 1 < 2 · · · < n < · · · < ℵ0 .

Prvi beskonacni kardinalni broj vezali smo za skup prirodnih bro-jeva pa za njega vezemo i posebnu klasu skupova.

Definicija 3.3.2

Za skup X kazemo da je prebrojiv ako je X ∼ N, tj. ako vrijedi

card(X) = card(N) = ℵ0 .

Za skup X kazemo da je najvise prebrojiv ako je card(X) ≤ ℵ0.

Termin ”prebrojiv” dolazi iz sljedeceg rezonovanja. Kako je X ∼ N,postoji bijekcija f : N → X, tako da je f(n) = xn ∈ X, pa je dakle

X = {x1, x2, ..., xn, ...} ,

tj. elemente skupa X mozemo prikazati u obliku niza.

Teorem 3.3.1

Svaki podskup prebrojivog skupa je ili konacan ili prebrojivskup.

Dokaz: Neka je X prebrojiv skup i neka je A ⊆ X.Ako je A konacan skup, tvrdnja je tacna. Zato pretpostavimo da jeA beskonacan skup i pokazimo da on mora biti prebrojiv.

91


Zbog prebrojivosti skupa X, postoji bijekcija f : N → X. Skup Aje podskup od X i beskonacan je, pa mozemo sprovesti sljedecukonstrukciju:Neka je i1 ∈ N najmanji prirodni broj za koga vrijedi f(i1) ∈ A.Dalje neka je i2 ∈ N prvi prirodni broj za koga je i2 > i1 i f(i2) ∈A. Nastavljajuci ovakav postupak, neka je in+1 > in i f(in+1) ∈ A,formiramo niz prirodnih brojeva i1 < i2 < · · · < in < · · · , za koje jef(in) ∈ A, n ∈ N. Oznacimo sada

g(n) = f(in) , n ∈ N .

Jasno je da g : N → A i na osnovu konstrukcije, g je bijektivnopreslikavanje (jer je f bijekcija), a to znaci da je card(A) = card(N) =ℵ0. ♣

Teorem 3.3.2

Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojiv podskup.

Dokaz: Neka je X beskonacan skup. Postoji x1 ∈ X jer X nijeprazan skup. Tada zbog beskonacnosti vrijedi X \ {x1} 6= ∅, papostoji x2 ∈ X \ {x1}. Neka smo na ovaj nacin ”pronasli” elementex1, x2, ..., xn ∈ X. Tada opet zbog beskonacnosti skupa X, postojixn+1 ∈ X \ {x1, x2, ..., xn}.Na ovaj nacin smo formirali skup A = {x1, x2, ..., xn, ...} ⊆ X. Posma-

trajmo sada preslikavanje f : N → A, zadato sa f(n) = xn. Jasno jeda je to bijektivno preslikavanje, pa je A prebrojiv skup. ♣Gornji dokaz ima jedan nedostatak, a taj je da gore formirani

”skup” A ne mozemo opravdati niti jednom aksiomom ZF teorije,tj. ne mozemo tvrditi da je klasa {x1, x2, ...} skup u ZF teoriji.

Teorem 3.3.3

Neka je X beskonacan skup, a Y prebrojiv ili konacan skup.Tada vrijedi

card(X ∪ Y ) = card(X) .

Dokaz: Ne gubeci na opstosti, pretpostavimo da su skupovi Xi Y disjunktni (u suprotnom sljedece razmisljanje bi sproveli naskupovima X i Y \X). Kako je X beskonacan, prema Teoremi 3.3.2,postoji prebrojiv podskup

A = {x1, x2, ..., xn, ...} ⊆ X .

92


Ako je Y prebrojiv skup, tj. Y = {y1, y2, ..., yn, ...}, definisimo presli-kavanje f : X → X ∪ Y , sa

f(x) =

x ; x ∈ X \ Axn ; x = x2n

yn ; x = x2n−1

, n ∈ N .

Neka je z ∈ X ∪Y proizvoljan. Tada ako z ∈ Y , onda je z = yi, a tadaza x = x2i−1, vrijedi f(x) = z.Ukoliko je z ∈ X, onda ako je z ∈ X \ A, f(z) = z, a ako z ∈ A, ondaje z = xi za neko i ∈ N, pa je za x = x2i, f(x) = z.Iz svega ovoga zakljucujemo da je f surjektivno preslikavanje.Neka su sada x′, x′′ ∈ X, x′ 6= x′′. Razmatrajmo sljedece slucajeve:

Ako su x′, x′′ ∈ X \ A, tada je f(x′) = x′ 6= x′′ = f(x′′).Ako su x′, x′′ ∈ A, tada je x′ = xi i x′′ = xj, za neke i, j ∈ N (i 6= j). Akosu oba indeksa parna, tj. i = 2i′ i j = 2j′, tada je

f(x′) = xi′ 6= xj′ = f(x′′) .

Ako su oba neparni, tj. i = 2i′ − 1 i j = 2j′ − 1, tada je

f(x′) = yi′ 6= yj′ = f(x′′) .

Ako je jedan paran a drugi neparan, npr. i = 2i′ i j = 2j′ − 1, tada je

f(x′) = xi′ 6= yj′ = f(x′′) .

Dakle, za x′ 6= x′′, vrijedi f(x′) 6= f(x′′), tj. preslikavanje f je injek-tivno. Uz ranije pokazanu surjektivnost, preslikavanje f je bijek-cija, pa vrijedi

card(X) = card(X ∪ Y ) ,

sto je i trebalo pokazati.U slucaju da je Y konacan skup, tj. Y = {y1, y2, ..., yn}, posmatramo

preslikavanje f : X → X ∪ Y , definisano sa

f(x) =

x ; x ∈ X \ Ayi ; x = xi (i = 1, 2, ..., n)xk ; x = xn+k

Slicnim detaljisanjem kao gore, pokazuje se da je f bijekcija, saistim zakljuckom da vrijedi card(X) = card(X ∪ Y ). ♣Gornjim teoremom tvrdimo da ako beskonacnom skupu ”dodamo”

konacan ili prebrojiv skup, njegova kardinalnost se nece promje-niti. Ovo smo mogli iskazati i u sljedecoj slicnoj formi.

93


Teorem 3.3.4

Neka je X beskonacan skup i Y ⊆ X neki njegov konacan pod-skup. Tada vrijedi:

X ∼ X \ Y .

Dakle, ako beskonacnom skupu ”oduzmemo” neki njegov konacandio, karidnalnost se nece promjeniti.

Teorem 3.3.5

Konacna unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Dokaz: Neka su Xi (i ∈ N) prebrojivi skupovi. Posmatramo li unijudva prebrojiva skupa X1 ∪ X2, na osnovu prethodne teoreme ovomozemo shvatiti kao uniju beskonacnog i prebrojivog skupa, pavrijedi

card(X1 ∪X2) = card(X1) = ℵ0 .

Neka je sada za proizvoljno n ∈ N, X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn prebrojiv skup.Tada ponovo na osnovu prethodne teoreme vrijedi

card

(n⋃

i=1

Xi ∪Xn+1

)

= card

(n+1⋃

i=1

Xi

)

= ℵ0 .

♣Sljedecu tvrdnju navodimo bez dokaza, ali isticemo njenu veliku

vaznost kako u teoriji skupova, tako i u drugim oblastima mate-matike.

Teorem 3.3.6

Prebrojiva unija prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Teorem 3.3.7

Skup N× N je prebrojiv.

Dokaz: Posmatrajmo funkciju f : N× N → N, zadatu sa

f(n,m) = 2n3m .

94


Neka su (n1, m1), (n2, m2) ∈ N× N i neka vrijedi f(n1, m1) = f(n2, m2).To znaci da je 2n13m1 = 2n23m2. Bez umanjenja opstosti, neka jen1 ≥ n2. Djeleci posljednju jednakost sa 2n2, dobijamo

2n1−n23m1 = 3m2 .

Desna strana je neparan broj, a da bi to bila i lijeva strana, zbogumnoska 2n1−n2, mora biti n1 − n2 = 0, tj. mora biti n1 = n2. Ali toonda daje

3m1 = 3m2 ,

pa mora biti i m1 = m1. Dakle, vrijedi (n1, m1) = (n2, m2), pa jepreslikavanje f injektivno, na osnovu cega je onda

card(N× N) ≤ card(N) . (7)

Posmatrajmo sada preslikavanje g : N → N × N, zadato sa g(n) =(n, 1). Ako je za neke n,m ∈ N, g(n) = g(m), to znaci jednakosturedenih parova (n, 1) = (m, 1), sto opet daje n = m. Dakle, presli-kavanje g je injektivno te vrijedi

card(N) ≤ card(N× N) . (8)

Iz (7) i (8), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme, zakljucujemo

card(N× N) = card(N) = ℵ0 .

♣Kao direktnu posljedicu ovog tvrdenja imamo sljedece tvrdenje.

Posljedica 3.3.8

Direktni proizvod konacno mnogo prebrojivih skupova je pre-brojiv skup.

Teorem 3.3.9

Skup cijelih brojeva Z je prebrojiv skup.

Dokaz: Skup Z se moze prikazati u sljedecem obliku

Z = N ∪ {0} ∪ (−N) ,

95


gdje je −N = {−n| n ∈ N}. Preslikavanje f : N → −N, zadato saf(n) = −n je bijekcija, pa vrijedi card(−N) = card(N) = ℵ0.Kako je N beskonacan skup, vrijedi

card(N ∪ {0}) = card(N) = ℵ0 .

Skup Z je sada kao unija dva prebrojiva skupa i sam prebrojivskup. ♣

Teorem 3.3.10

Skup racionalnih brojeva Q je prebrojiv skup.

Dokaz: Prikazimo skup Q u obliku

Q = Q− ∪ {0} ∪Q+ ,

gdje su Q− i Q+ skupovi negativnih i pozitivnih racionalnih bro-jeva respektivno. Preslikavanje f : Q+ → Q−, zadato sa f(q) = −qje bijekcija, pa vrijedi card(Q−) = card(Q+). Kako je N ⊂ Q+ i Nbeskonacan skup, to je i Q+ beskonacan skup, a onda vrijedi

card(Q+ ∪ {0}) = card(Q+) .

Dakle, za dokaz gornje cinjenice dovoljno je pokazati da vrijedicard(Q+) = ℵ0.Kako se svaki pozitivan racionalan broj moze na jedinstven nacin

prikazati kao kolicnik dva relativno prosta prirodna broja, tj. zaq ∈ Q+, postoje jedinstveni m,n ∈ N, m i n relativno prosti, tako daje

q =m

n,

definisimo preslikavanje f : Q+ → N× N, zadato sa

q =m

n∈ Q+ , f(q) = (m,n) .

Za m1

n1

, m2

n2

∈ Q+, ako je f(m1

n1

) = f(m2

n2

), to znaci da je

(m1, n1) = (m2, n2) ,

a iz jednakosti dva uredena para zakljucujemo da je m1 = m2 in1 = n2, tj. m1

n1

= m2

n2

, pa je f injektivno preslikavanje. Na osnovuLeme 3.1.2 ovo znaci da je card(Q+) ≤ card(N × N) = ℵ0. S druge

96

3.4. Neprebrojivi skupovi

strane, iz N ⊂ Q+ imamo da je ℵ0 = card(N) ≤ card(Q+). Sadana osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme imamo card(Q+) = ℵ0. Izsvega recenog vrijedi

card(Q) = ℵ0 .

♣

3.4 Neprebrojivi skupovi

U dosadasnjem izlaganju upoznali smo sve konacne kardinale (n ∈N0) i jedan beskonacni kardinal (ℵ0). Naravno da je smisleno zapi-tati se da li postoje i neki drugi beskonacni kardinali? Odgovor jepotvrdan, sto ce proizilaziti iz sljedeceg tvrdenja.

Teorem 3.4.1: Cantor

Za proizvoljan skup X vrijedi

card(X) < card(P(X)) .

Dokaz: Neka je X = ∅. Tada je P(X) = {∅} i pri tome vrijedi

0 = card(∅) < card({∅}) = 1 .

Neka je sada X 6= ∅. Posmatrajmo preslikavanje f : X → P(X),definisano sa

f(x) = {x} , x ∈ X .

Jasno je da vrijedi

x, y ∈ X , x 6= y ⇒ {x} 6= {y} ,

tj. f(x) 6= f(y), pa je f injektivno preslikavanje. To znaci da je onda

card(X) ≤ card(P(X)) . (9)

Pretpostavimo sada da postoji bijektivno preslikavanje φ : X →P(X). Skup

A = {x ∈ X| x /∈ φ(x)} ,

je prema aksiomi specifikacije dobro definisan skup. On takodenije ni prazan skup. Zaista, kako ∅ ∈ P(X), zbog surjektivnostipreslikavanja φ, postoji x0 ∈ X takav da je φ(x0) = ∅ (sta vise,

97


postoji tacno jedan). Tada ocigledno za takav x0 ∈ X vrijedi x0 /∈∅ = φ(x0) tojest, x0 ∈ B.Kako je B ∈ P(X), opet zbog surjektivnosti preslikavanja φ, morapostojati b ∈ X takav da je φ(b) = B. Pretpostavimo da je b ∈ B! Tobi onda znacilo da b /∈ φ(b), a zbog φ(b) = B to bi znacilo da b /∈ B.Medutim, ovo ne znaci da b /∈ B jer ako bi to bilo, to bi znacilo da jeb ∈ X i b /∈ φ(b) tojest, b ∈ B.Ovo znaci da je konstruisani skup B kontradiktoran, a njegovukonstrukciju nam je omogucilo postojanje bijekcije φ. Dakle, nepostoji bijektivno preslikavanje sa X na P(X), te vrijedi

card(X) 6= card(P(X)) . (10)

Iz (9) i (10), na osnovu Definicije 3.3.1 imamo card(X) < card(P(X)).♣Dakle, kardinalni broj partitivnog skupa je strogo veci od kardi-

nalnog broja samog skupa. Time je potvrdeno da beskonacnihkardinala, osim ℵ0, zaista ima jos. Sta vise, ima ih beskonacnomnogo jer vijedi

ℵ0 = card(N) < card(P(N)) < card(P(P(N)))...

Jedan od tih beskonacnih kardinalnih brojeva za nas je posebno in-teresantan. Prije nego sto ga uvedemo, dokazimo sljedece tvrdenje.

Teorem 3.4.2

Skup realnih brojeva R, ekvipotentan je proizvoljnom intervalu(a, b) (a, b ∈ R, a < b).

Dokaz: Posmatrajmo preslikavanje f : (−1, 1) → R, definisano saf(x) = tan πx

2. Iz poznavanja elementarnih funkcija znamo da je

funkcija f bijekcija, tj. vrijedi R ∼ (−1, 1).Neka je sada (a, b) ⊆ R proizvoljan interval. Uvedimo preslikavanjeg : (−1, 1) → (a, b), zadato sa g(x) = a−b

2x+ a+b

2. Funkcija g je linearna

funkcija, dakle bijekcija, pa vrijedi (−1, 1) ∼ (a, b). Iz tranzitivnostirelacije ∼, zakljucujemo R ∼ (a, b). ♣Kako je N ⊂ R i N beskonacan skup, to je na osnovu Teorema

3.2.3 i R beskonacan skup, a na osnovu gornje teoreme je takav iproizvoljan interval (a, b).Iz same definicije beskonacnih skupova tada onda vrijede i sljedeca

98


b b

-1 1

(a) Funkcija f(x) = tan πx

2 .

b b

b

b

−1 1

b

a

(b) Funkcija g(x) = a−b

2 x+ a+b

2 .

Slika 3.1: Grafovi funkcija koristenih za dokaz R ∼ (a, b)

tvrdenja,

card((a, b)) = card([a, b)) = card((a, b]) = card([a, b]) ,

jer je [a, b) = (a, b) ∪ {a} i [a, b] = (a, b) ∪ {a, b}.

Teorem 3.4.3

Skup realnih brojeva nije prebrojiv.

Dokaz: Zbog ekvipotentnosti skupa R sa proizvoljnim intervalom,dovoljno je pokazati neprebrojivost skupa (0, 1).Pretpostavimo da je (0, 1) prebrojiv skup. To bi znaci da ga mozemozapisati nabrajajuci njegove elemente, tojest (0, 1) = {x1, x2, ..., xn, ...}.Svaki se element x ∈ (0, 1) moze zapisati u obliku beskonacnog de-cimalnog broja

x = 0, a1a2.... , ai ∈ {0, 1, 2, ..., 9} ,

pri cemu nisu skoro sva decimalna mjesta jednaka 0 (termin ”skorosvi” znaci da pocev od nekog konacnog mjesta svi naredni elementiimaju datu osobinu), npr. umjesto 0, 5 = 0, 500... mozemo pisati0, 5 = 0, 4999.... Dakle, sve elemente skupa (0, 1) mozemo poredati uniz

x1 = 0, x11x12x13...x1n...

x2 = 0, x21x22x23...x2n...

x3 = 0, x31x32x33...x3n...

.....................................

99


xn = 0, xn1xn2xn3...xnn...

.....................................

Konstruisimo sada broj y = 0, y1y2....yn... na sljedeci nacin; neka je

yi =

{1 ; xii 6= 12 ; xii = 1

Jasno je da se y razlikuje od bilo kog xi upravo u i-toj decimali, alipri tome je y ∈ (0, 1). Dakle, y /∈ {x1, x2, ..., xn, ...} pa dakle imamokontradikciju (konstruisali smo broj iz (0, 1) koji se ne nalazi u na-vedenom nizu).Pretpostavka da je (0, 1) prebrojiv skup dovela nas je u kontradik-

ciju te on nije prebrojiv skup, a samim tim ni skup R nije prebrojivjer je (0, 1) ⊂ R. ♣Uvedimo sada oznaku

card(R) = c ,

tj. uveli smo oznaku za novi beskonacni kardinalni broj koji nazi-vamo continuum. Zbog N ⊂ R je ℵ0 ≤ c, a na osnovu gornje teoremeje ℵ0 6= c. Dakle vrijedi

Posljedica 3.4.4

ℵ0 < c.

Za dokaz sljedece vazne tvrdnje trebat ce nam pomocni stav.

Lema 3.4.5

Za proizvoljan skup X vrijedi,

card(P(X)) = card({0, 1}X) ,

gdje je {0, 1}X = {f | f : X → {0, 1}}.

Dokaz: Neka je A ⊆ X proizvoljan skup. Funkciju χA : X → {0, 1}

χA(x) =

{1 ; x ∈ A0 ; x /∈ A

nazivamo karakteristicna funkcija skupa A.Posmatrajmo sada preslikavanje f : P(X) → {0, 1}X, definisano sa

A ⊆ X , f(A) = χA .

100


Kako je proizvoljna funkcija φ iz {0, 1}X ustvari neka karakteristicnafunkcija, tj. φ = χB za neko B ⊆ X, jasno je da je f surjekcija.Neka su sada A,B ⊆ X i f(A) = f(B). Tada je χA = χB, a to znacisljedece:Ako je x ∈ A, onda iz χA(x) = 1 = χB(x), zakljucujemo da x ∈ B,odnosno A ⊆ B.Isto tako iz x ∈ B i χB(x) = 1 = χA(x), zakljucujemo da x ∈ A, tj.B ⊆ A.Zajedno, gornje nam daje da vrijedi A = B, a to onda znaci injektiv-nost preslikavanja f . Dakle, f je bijektivno preslikavanje pa vrijedi

P(X) ∼ {0, 1}X .

♣

Definicija 3.4.1

Neka je card(A) = a i card(B) = b. Vrijednost ab definisemo kaocard(AB), tj.

ab = card(AB) = (card(A))card(B) .

Teorem 3.4.6

c = 2ℵ0.

Dokaz: Posmatrajmo preslikavanje f : R → P(Q), zadato sa

x ∈ R , f(x) = {q ∈ Q| q < x} ∈ P(Q) .

Neka su x′, x′′ ∈ R takvi da je x′ 6= x′′. Neka je npr. x′ < x′′. Ociglednovrijedi

{q ∈ Q| q < x′} ⊆ {q ∈ Q| q < x′′} ,

a zbog poznatog stava da se izmedu svaka dva realna broja nalaziracionalan broj, postoji q0 ∈ Q, takav da je x′ < q0 < x′′. Ovo znaci daje q0 ∈ f(x′′) i q0 /∈ f(x′). Dakle, vrijedi f(x′) 6= f(x′′), a ovo onda znacida je f injektivno preslikavanje. Na osnovu Leme 3.1.2 imamo

card(R) = c ≤ card(P(Q)) ,

a kako je

card(P(Q)) = card({0, 1}Q) = (card({0, 1}))card(Q) = 2ℵ0 ,

101


imamo

c ≤ 2ℵ0 . (11)

Posmatrajmo sada preslikavanje F : {0, 1}N → [0, 1), zadato sa

f ∈ {0, 1}N , F (f) = 0, f(1)f(2)f(3)...f(n)...

Neka su sada f1, f2 ∈ {0, 1}N proizvoljne i neka je F (f1) = F (f2). Ovoznaci jednakost

0, f1(1)f1(2)...f1(n)... = 0, f2(1)f2(2)...f2(n)... ,

a kako je to jednakost decimalnih zapisa, jednake moraju biti od-govarajuce cifre tih zapisa, tj.

f1(1) = f2(1), f1(2) = f2(2), . . . , f1(n) = f2(n), . . .

Medutim, ovo nije nista drugo do jednakost ovih preslikavanja, tj.vrijedi

(∀n ∈ N) f1(n) = f2(n) ⇐⇒ f1 = f2 .

Dakle, preslikavanje F je injektivno, pa zakljucujemo

card({0, 1}N) ≤ card([0, 1)) = c .

Kako je

card({0, 1}N) = (card({0, 1}))card(N) = 2ℵ0 ,

imamo

2ℵ0 ≤ c . (12)

Iz (11) i (12), na osnovu Cantor-Bernsteinove teoreme zakljucujemojednakost

c = 2ℵ0 .

♣Nesto slicno Teoremi 3.3.4 vrijedi i za neprebrojive skupove.

Teorem 3.4.7

Neka je X neprebrojiv skup i Y ⊆ X konacan ili prebrojiv. Tadavrijedi,

X ∼ X \ Y .

102

3.5. Hipoteza continuuma

Dokaz: Kako je X = (X \ Y ) ∪ Y , pretpostavka da je X \ Y pre-brojiv bi dovela do toga da je X kao unija dva najvise prebrojivaskupa i sam najvise prebrojiv skup, sto je suprotno pretpostavci oneprebrojivosti skupa X. ♣Primjer 3.6. Kako je R \ Q = I, zbog neprebrojivosti skupa realnihbrojeva i prebrojivosti skupa racionalnih brojeva zakljucujemo naosnovu gornje teoreme da je skup iracionalnih brojeva (I) nepre-brojiv skup.Ako sa A oznacimo skup svih realnih algebarskih brojeva (brojeva

konstruktibilnih lenjirom i sestarom), lahko se pokazuje da je onprebrojiv skup, a prema gornjoj teoremi je card(R\A) = c. Ovo znacida nekostruktibilnih brojeva ima ”mnogo vise” od algebarskih, atakve brojeve nazivamo transcendentni brojevi (npr. π i e). ♦

3.5 Hipoteza continuuma

Za do sada uvedene kardinale imamo sljedece relacije,

0 < 1 < 2 < · · · < n < · · · ℵ0 < c < · · ·

Pri tome je ℵ0 = card(N) i c = card(R). Ocekivana oznaka za konti-nuum bila je ℵ1, obzirom da smo prvi beskonacni kardinal oznacilisa ℵ0. Zasto to nismo ucinili tako, objasnit cemo narednim razma-tranjem.Neka je sada X proizvoljan beskonacan podskup od R. Zbog nje-

gove beskonacnosti, sigurno postoji injekcija f : N → X, pa tadavrijedi

ℵ0 ≤ card(X) .

Kako je uz to X ⊆ R, onda je

card(X) ≤ c .

Dakle, za ovakav skup X vrijedi

ℵ0 ≤ card(X) ≤ c .

Postavlja se pitanje, da li se u gornjoj vezi znakovi ”≤” mogu za-mjeniti sa znakom ”<”? Drugacije receno, da li postoji skup sakardinalnim brojem k, takav da vrijedi

ℵ0 < k < c ?

103

3.6. Aritmetika kardinalnih brojeva

Pretpostavka o nepostojanju takvog kardinala (tj. skupa) poznataje pod nazivom Hipoteza continuuma i to je jedan od Hilbertovihproblema, koji na zalost do danas jos nije rijesen. P. Cohen je1963 ”rjesio” dati problem, a odgovor je glasio ”takav skup postojii ne postoji”. Naime, danas postoje dvije teorije skupova, ona kojakaze da takav skup ne postoji i ona koja postojanje tog skupa neiskljucuje. Obje teorije su ispravne jer do danas niti jedna od ovedvije pretpostavke nije dovela do nesaglasnosti neke od tih dvijuteorija.

Dakle, odgovor na pitanje zasto nismo pisali c = ℵ1 je sada jasanjer ne znamo da li je c prvi sljedbenik od ℵ0. Ovaj problem je postav-ljen u samom pocetku razvoja teorije skupova kao Cantorova hipo-

teza contnuuma, a glasila je: Ako je X beskonacan podskup skupa

R tada postoji bijekcija sa X na N ili sa X na R. Parafrazirano, ovo jeznacilo: ”Da li je 2ℵ0 = ℵ1?”. Generalizovana hipoteza continuumaglasi: niti za jedan beskonacan skup X ne postoji kardinalni brojizmedu card(X) i card(P(X)).

3.6 Aritmetika kardinalnih brojeva

Prvo definisimo osnovne operacije sa kardinalnim brojevima, a tosu uobicajeno sabiranje, mnozenje i stepenovanje.

Definicija 3.6.1

Neka su X i Y skupovi ciji su kardinalni brojevi card(X) = a icard(Y ) = b.

1. Neka su X i Y disjunktni skupovi.

a+ bdef= card(X ∪ Y ).

2. a · b def= card(X × Y ).

3. abdef= card(XY ).

Gornja definicija ne zavisi od izbora skupova. Naime, neka su npr.X,X ′, Y, Y ′ skupovi takvi da je X ∩ Y = ∅, X ′ ∩ Y ′ = ∅, X ∼ X ′ iY ∼ Y ′. Tada postoje bijekcije f : X → X ′ i g : Y → Y ′. Posmatramo

104


li preslikavanje h : X ∪ Y → X ′ ∪ Y ′, zadato sa

h(x) =

{f(x) ; x ∈ Xg(x) ; x ∈ Y

jasno je da je h bijekcija jer su takve f i g, a to onda znaci da jeX ∪ Y ∼ X ′ ∪ Y ′.Takode, posmatramo li preslikavanje k : X × Y → X ′ × Y ′,

k(x, y) = (f(x), g(y)) ,

zakljucujemo da je X × Y ∼ X ′ × Y ′.

Teorem 3.6.1

Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:

1. α + β = β + α.

2. α + (β + γ) = (α+ β) + γ.

3. α · β = β · α.

4. α · (β · γ) = (α · β) · γ.

5. α · (β + γ) = α · β + α · γ.

Dokazi gornjih tvrdenja se svode na pravilno koristenje uvedenihoperacija, osnovnih skupovnih relacija i nalazenje prostih bijek-tivnih preslikavanja, stoga su ostavljeni citaocu za vjezbu. Datatvrdenja predstavljaju osobine komutativnosti, asocijativnosti i dis-tributivnosti novouvedenih operacijaU radu sa realnim (prirodnim, cijelim, racionalnim i dr.) brojevima

vrijedi praviloa+ b = a+ c ⇐⇒ b = c .

U opstem slucaju za kardinalne brojeve to pravilo ne vrijedi. Naime,posmatramo li ℵ0, 2 i 3 kao kardinalne brojeve, zbog cinjenice da jeunija prebrojivog i konacnog skupa opet prebrojiv skup, imamo daje

ℵ0 + 2 = ℵ0 = ℵ0 + 3 ,

iz cega ne mozemo zakljuciti jednakost 2 = 3.Isto tako, u opstem slucaju ne vrijedi pravilo

a · b = a · c ⇒ b = c ,

105


sto pokazujemo istim primjerom kao kod sabiranja. Naime,

ℵ0 · 2 = ℵ0 · 3 = ℵ0 ,

ali nije 2 = 3.

Teorem 3.6.2

Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi. Tada vrijedi:

1. αβ+γ = αβ · αγ.

2. (α · β)γ = αγ · βγ.

3.(αβ)γ

= αβ·γ.

Teorem 3.6.3

Neka je α proizvoljan kardinalni broj. Tada vrijedi:

1. α+ 0 = α.

2. α · 1 = α.

3. 0 · α = 0.

4. α1 = α.

5. 1α = 1.

Dokaz: Neka je A skup takav da je card(A) = α. Ranije smo uvelida je card(∅) = 0 i card({∅}) = 1. Sada imamo:

1. Na osnovu definicije zbira je α + 0 = card(A ∪ ∅). Na osnovuaksioma unije je A ∪ ∅ = A, to onda vrijedi A ∪ ∅ ∼ A, tj.card(A ∪∅) = card(A).

2. Na osnovu definicije mnozenja imamo α · 1 = card(A × {∅}).Posmatrajmo preslikavanje f : A×{∅} → A, zadato sa f(x,∅) =x. Ono je ocigledno bijekcija pa je card(A× {∅}) = card(A).

3. 0 ·α = card(∅×A) i card(∅) = 0. Prema aksiomi praznog skupavrijedi

(∀x) x /∈ ∅ .

a to onda znaci da je ∅×A = ∅, te vrijedi card(∅×A) = card(∅).

106


4. Na osnovu definicije stepenovanja imamo α1 = card(A{∅}). Razli-citih preslikavanja sa jednoclanog skupa ({∅}) u proizvoljanskup A ima tacno onoliko na koliko nacina mozemo tom jed-nom elementu pridruziti jedan element skupa A. Dakle, ocigled-no je A{∅} ∼ A, tj. card(A{∅}) = card(A).

5. 1α = card(

{∅}A)

i 1 = card({∅}). Kako je {∅}A = {f | f : A → {∅}} =

{f}, tj. imamo jednoclan skup (preslikavanja koja svakom ele-mentu iz A pridruzuje upravo i samo ∅ ima tacno jedno), to

vrijedi card(

{∅}A)

= card({f}) = card({∅}). ♣

Teorem 3.6.4

Neka je α proizvoljan beskonacan kardinalni broj. Tada vrijedi

1. (∀n ∈ N) α + n = α.

2. α + ℵ0 = α.

Dokaz: 1. Neka je A beskonacan skup, takav da je card(A) = αi neka je n ∈ N proizvoljan. Tada je card(An) = n, pa na osnovudefinicije sabiranja imamo α+n = card(A∪An). Na osnovu Teoreme3.3.3, vrijedi

card(A ∪An) = card(A) ,

a to upravo znaci α + n = α.2. Na isti nacin kao i gore imamo α + ℵ0 = card(A ∪ N), ali zbog

Teoreme 3.3.3 je card(A ∪ N) = card(A), pa tvrdnja vrijedi. ♣

Teorem 3.6.5

Vrijede sljedeca tvrdenja:

1. (∀n ∈ N) ℵ0 · n = ℵ0.

2. ℵ0 · ℵ0 = ℵ0.

Dokaz: 1. Neka je n ∈ N proizvoljan. ℵ0 · n = ℵ0 · (1 + 1 + · · ·+ 1)︸︷︷︸

n−puta

.

Koristeci osobinu 5. Teoreme 3.6.1, dalje imamo

ℵ0 · n = ℵ0 · 1 + ℵ0 · 1 + · · ·+ ℵ0 · 1︸︷︷︸

n−puta

.

107


Kako je ℵ0 · 1 = ℵ0 (osobina 3. Teorem 3.6.3), dalje imamo

ℵ0 · n = ℵ0 + ℵ0 + · · ·+ ℵ0︸︷︷︸

n−puta

= card(N ∪ N ∪ · · · ∪ N) .

Na osnovu Teoreme 3.3.5 je card(N ∪ N ∪ · · · ∪ N) = ℵ0, te konacnoimamo

ℵ0 · n = ℵ0 .

2. ℵ0 · ℵ0 = card(N×N), a na osnovu Teoreme 3.3.7 je card(N×N) =ℵ0, cime je tvrdnja dokazana. ♣

Teorem 3.6.6

Vrijede tvrdenja:

1. c · c = c.

2. (∀n ∈ N) cn = c.

Dokaz: 1.

c · c = 2ℵ0 · 2ℵ0

= 2ℵ0+ℵ0

= 2card(N∪N)

= 2ℵ0 = c .

2. Ova tvrdnja se dokazuje matematickom indukcijom i ostavljenaje citaocu za vjezbu. ♣

Teorem 3.6.7

Neka su α, β i γ proizvoljni kardinalni brojevi i neka je α ≤ β.Tada vrijedi:

1. α+ γ ≤ β + γ.

2. α · γ ≤ β · γ.

3. αγ ≤ βγ.

4. γα ≤ γβ.

108


Teorem 3.6.8

Vrijede relacije:

1. nℵ0 = (ℵ0)ℵ0 = cℵ0 = c, za n ≥ 2.

2. nc = (ℵ0)c = cc = 2c, za n ≥ 2.

Dokaz: 1. Kako vrijedi 2 ≤ n ≤ ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 3. pret-hodne teoreme imamo

2ℵ0 ≤ nℵ0 ≤ (ℵ0)ℵ0 ≤ cℵ0 ,

a kako je 2ℵ0 = c i

cℵ0 =(2ℵ0

)ℵ0

= 2ℵ0·ℵ0 = 2ℵ0 = c ,

zakljucujemo da u gornjim nejednakostima svuda moraju stajatijednakosti.2. Ponovo iz 2 ≤ n ≤ ℵ0 ≤ c, koristeci relaciju 4. gornje teoreme

imamo2c ≤ nc ≤ ℵc

0 ≤ cc . (13)

Zbogcc =

(2ℵ0

)c= 2ℵ0·c = 2c ,

zakljucujemo da u (13) svuda moraju biti jednakosti. ♣

109

A

Ahil i kornjaca

Zenonovi paradoksi su zbunjivali, izazvali, utjecali, inspirisali i za-divljivali filozofe, matematicare, fizicare ali i ostale ljude, prekodvije hiljade godina. Najpoznatiji su takozvani ”argumenti protivkretanja”.

Ahil i kornjaca je prica o trci izmedukornjace i brzog trkaca Ahila. Ahil trci10 puta brze od kornjace, ali pocinje odtacke A, 100 metara iza kornjace, kojaje u tacki K1. Da bi prestigao kor-njacu, Ahil mora prvo doci do tacke K1medutim, dok Ahil stigne do tacke K1kornjaca je presla 10 metara i dosla do

tacke K2. Ponovo Ahil trci do tacke K2, ali kao i prije, dok on predetih 10 metara, kornjaca je metar ispred njega, kod tacke K3. Prematome, nastavimo li ovako razmisljati, Ahil nikada nece prestici kor-njacu.

K1

K2

K3

U slucaju Ahila i kornjace, treba zamisliti da kornjaca trci kons-tantnom brzinom od v metara u sekundi i da ima startnu prednost

110

od d metara, a da Ahil trci konstantnom brzinom od x · v (x putabrze) metara u sekundi za x > 1. Ahilu je potrebno d

x·vsekundi

da dode do tacke s koje je kornjaca otpocela trku, a za to vrijemekornjaca je presla novih d

xmetara. Dakle, da bi Ahil sada dosao

do nove pozicije kornjace potrebno mu je dx2v

sekundi, a kornjacace za to vrijeme ponovo preci novih d

x2 metara. Postupak nasatv-ljamo ad continuum. Prema tome, vrijeme potrebno Ahilu da stignekornjacu je:

d

v

∞∑

k=1

(1

x

)k

=d

v(x− 1)sekundi .

Vidimo da ce Ahil za konacno vrijeme da stigne kornjacu.

111

Bibliografija

[1] Dj. Kurepa : Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951

[2] K. Kuratowski, A. Mostowski: Set Theory, North-Holland,1967.

[3] S. Presic i drugi: Problem postojanja u matematici, Mate-maticki Insti tut, Beograd, 1979.

[4] Z. Silic: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.

[5] Z. Sikic: Kako je stvarana novovjekovna matematika, Skolskaknjiga, Zagreb, 1989.

[6] K. Devlin: The Joy of Sets, Springer-Verlag, 1993.

[7] J. Thomas: Set Theory, Third Millennium Edition, Sprin-ger Monographs in Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag 2003.

[8] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State Uni-versity, 2005.

[9] M. Vukovic: Matematicka logika 1, Sveuciliste u Zagrebu, Za-greb 2006.

112

Documents

Nermin Okiciˇ c´pmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/DodiplomskiStudij/LiTS/TeorijaSkupova.pdf · 1.2. Paradoksi u teoriji skupova Grellingov6 paradoks U svakom jeziku postoje