Paradoksi u Fizici

Садржај УВОД ........................................................................................................................ 6

ПРВИ ДЕО .......................................................................................................... 14

I Парадокс – феномен изражавања у историји културе ....................................... 16 I ............................................................................................................................... 18 II .............................................................................................................................. 21 III ............................................................................................................................ 25 IV ............................................................................................................................. 29 Литература ............................................................................................................. 31

II Историјски корени парадоксалног начина размишљања у физици ................... 34 Настанак првих парадокса у физици ................................................................. 36 Примери првих парадокса физике ..................................................................... 37

1. Анаксимандаров парадокс настанка ........................................................... 37 2. Зенонови парадокси ..................................................................................... 38

а. Парадокс Ахила ......................................................................................... 39 б. Парадокс дихотомије ................................................................................ 40 в. Парадокс стреле ......................................................................................... 41 г. Парадокс стадиона ..................................................................................... 42

3. Аристотелов парадокс точка ........................................................................ 43 4. Аристотелов парадокс места ........................................................................ 43 5. Архимедов парадокс ..................................................................................... 44

Закључак ................................................................................................................ 45 Литература ............................................................................................................. 45 Табеле ..................................................................................................................... 46

Табеларни преглед Зенонових парадокса ...................................................... 46 Табеларни преглед карактеристика првих парадокса физике .................... 46

III Типови парадокса ............................................................................................... 48 Класификација парадокса према научним дисциплинама у Википедији ..... 50 Класификације парадокса ................................................................................... 52 Класификације парадокса у физици .................................................................. 58

I. ........................................................................................................................... 60 II. ......................................................................................................................... 61 III. ........................................................................................................................ 62

Закључак ................................................................................................................ 65 Литература ............................................................................................................. 65

IV Парадокс и мисаони експеримент у физици .................................................... 68 Мисаони експерименти у физици ...................................................................... 70 Парадокси и мисаони експерименти у физици ................................................. 71 Закључак ................................................................................................................ 73 Литература ............................................................................................................. 73 Табеларни преглед мисаоних експеримената и парадокса у физици ............ 76

Табеларни преглед парадоксалних мисаоних експеримената у физици по областима ............................................................................................................... 77

V Геделове теореме непотпуности као објашњење разлога постајања парадокса у физици ..................................................................................................................... 80

Геделове теореме .................................................................................................. 83 Парадокси у физици и Курт Гедел...................................................................... 85 Закључак ................................................................................................................ 87 Литература ............................................................................................................. 87

ДРУГИ ДЕО ........................................................................................................ 90

VI Примери парадокса у физици ........................................................................... 92 A. Парадокси класичне физике .................................................................................. 95

a. Парадокси класичне механике ........................................................................... 95 1. Аристотелов парадокс точка ........................................................................ 95 2. Кeролов парадокс .......................................................................................... 96 3. Архимедов парадокс ..................................................................................... 97 4. Хидростатички парадокс .............................................................................. 97 5. Даламберов парадокс ................................................................................... 98 6. Зомерфелдов парадокс ............................................................................... 100 7. Денијев парадокс .......................................................................................... 101

Закључак .............................................................................................................. 103 Литература ........................................................................................................... 103 Табеларни преглед карактеристика парадокса у класичној физичкој механици .............................................................................................................. 104

б. Парадокси термодинамике и статистичке физике......................................... 105 1. Болцманов парадокс ................................................................................... 106 2. Лошмитов парадокс реверзибилности ..................................................... 107 3. Цермелов рекуретни парадокс .................................................................. 108 4. Мпемба ефект .............................................................................................. 109 5. Парадокс Максвеловог демона ................................................................... 111 6. Парадокс топлотне смрти (Клаузијусов парадокс) .................................. 112 7. Гибсов парадокс (Парадокс мешања) ........................................................ 113

Закључак ............................................................................................................... 114 Литература ............................................................................................................ 115 Табеларни преглед карактеристика парадокса у термодинамици и статистичкој физици. .......................................................................................... 116

в. Парадокси електромагнетизма .......................................................................... 117 1. Парадокс Бабинета ....................................................................................... 117 2. Парадокс ултра-љубичасте катастрофе ..................................................... 118 3. Фарадејев парадокс ротирајућег диска ...................................................... 119 4. Парадокс два кондензатора ........................................................................ 121

Закључак .............................................................................................................. 123 Литература ........................................................................................................... 123 Табеларни преглед карактеристика парадокса у електромагнетизму ......... 124

Б. Парадокси релативистичке физике ..................................................................... 125 1. Парадокс Беловог свемирског брода (Парадокс два свемирска брода, Парадокс ракета и сајле) ................................................................................ 130

2. Контракциони парадокси "веће" у "мање" ................................................ 131 а. Парадокс кола и гаража ........................................................................... 131 б. Парадокс лествица .................................................................................. 132 в. Парадокс мотка-амбар ............................................................................ 132 г. Парадокс тигра и кавеза ......................................................................... 132 д. Парадокс буба-закивак ........................................................................... 132 ђ. Парадокс штап-рупа ............................................................................... 132 е. Парадокс ауто-рупа ................................................................................. 133

3. Суплијев парадокс (Парадокс подморнице) ............................................ 134 4. Парадокс близанаца ................................................................................... 135 5. Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде ..... 136 6. Парадокс маказа (Парадокс суперлуминарних маказа) ........................ 138 7. Парадокс Андромеде ................................................................................... 139

Закључак .............................................................................................................. 139 Литература ........................................................................................................... 140 Табеларни преглед карактеристика парадокса у релативистичкој физици. ............................................................................................................................... 143

В. Парадокси квантне физике .................................................................................. 144 1. Парадокс Де Брољове кутије ...................................................................... 146 2. Парадокс расејања електрона на две пукотине ........................................147 3. Парадокс Ајнштајн-Борове кутије (Парадокс сата у кутији) ................. 149 4. Парадокс Шредингерове мачке ................................................................. 151 5. Парадокс Планкове дужине ....................................................................... 152 6. ЕПР парадокс ............................................................................................... 154

Закључак ............................................................................................................... 155 Литература ............................................................................................................ 155 Табеларни преглед карактеристика парадокса у квантној физици .............. 157

Г. Астрофизички парадокси ...................................................................................... 158 1. ГЗК парадокс (Парадокс космичког зрачења) ......................................... 158 2. Зелигеров парадокс (Зелигер-Нојманов парадокс) ................................ 160 3. Олберсов парадокс (Фотометријски парадокс) ........................................ 161 4. Вилеров парадокс ентропије црне рупе ................................................... 162 5. Парадокс информације из црне рупе ....................................................... 163 6. Едингтонов парадокс .................................................................................. 164 7. Парадокс слабог младог Сунца .................................................................. 165 8. Парадокс топлотне смрти (Клаузијусов парадокс) ................................. 166

Закључак .............................................................................................................. 166 Литература ........................................................................................................... 166 Табеларни преглед парадокса у астрофизици ................................................ 169

Д. Парадокси времена ............................................................................................... 170 1. Зенонови парадокси ..................................................................................... 171 2. Парадокси путовања кроз време ................................................................ 171

а. Парадокс деде ........................................................................................... 173 б. Парадокс човека који је сопствена мајка ...............................................174 в. Парадокс човека без прошлости ............................................................. 175 г. Парадокс билијара и времеплова ........................................................... 175 д. Парадокс "туриста" из будућности .........................................................176

3. Парадокс светог Аугустина .........................................................................176 4. Парадокс симетрије времена ..................................................................... 178 5. Парадокс неочекиваног испитивања .........................................................179 6. Релативистички парадокси времена. ....................................................... 180

а. Парадокс близанаца (Сатни парадокс) ................................................. 180 б. Парадокс астронаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде .. 180 в. Парадокс Андромеде ............................................................................... 180

Закључак .............................................................................................................. 180 Литература ............................................................................................................ 181 Табеле ................................................................................................................... 183

Зенонови парадокси ....................................................................................... 183 Парадокси путовања кроз време ................................................................... 183 Релативистички парадокси времена ............................................................ 183 Табеларни преглед карактеристика преосталих парадокса времена ....... 184

ЗАКЉУЧАК ...................................................................................................... 186

ДОДАЦИ ........................................................................................................... 192 Додатак 1: Временска евалуација парадокса у физици ......................................... 194 Додатак 2: Привидни парадокси .............................................................................. 196

Значај привидних парадокса у популаризацији физике ............................... 199 Примери привидних парадокса ....................................................................... 200

1. Аристотелов парадокс точка ..................................................................... 200 2. Кeролов парадокс ....................................................................................... 200 3. Архимедов парадокс .................................................................................. 200 4. Хидростатички парадокс ........................................................................... 200 5. Денијев парадокс ........................................................................................ 200 6. Парадокс Андромеде ................................................................................. 200 7. Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде .... 200 8. Парадокс маказа (Парадокс суперлуминарних маказа) ....................... 200 9. Парадокс слабог младог Сунца ................................................................. 200 10. Парадокс близанаца ................................................................................. 200 11. Парадокс неочекиваног испитивања ...................................................... 200

Закључак .............................................................................................................. 201 Литература ........................................................................................................... 201 Табеларни преглед привидних парадокса по карактеристикима ................ 203

Додатак 3: Необрађени парадокси физике у тези .................................................. 204 Додатак 4: Табеларне класификације парадокса у физици .................................. 206

а. Табеларни преглед парадокса у физици према чулном карактеру (Мисаоност парадокса) ...................................................................................... 206 б. Табеларни преглед парадокса у физици према опсервабилном карактеру (Изворност парадокса) ....................................................................................... 207 в. Табеларни преглед парадокса у физици према решивости (објашњивости) ...............................................................................................................................208 г. Табеларни преглед парадокса у физици према експресивном карактеру (Врсте парадокса) ................................................................................................ 209 д. Табеларни преглед парадокса увршћених у тезу према свим класификационим карактеристикама ............................................................. 210

ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................. 212

Драгољуб Цуцић - Парадокси у физици

6

УВОД


7

Но дакле ко си ти? Део сам оне силе што вечно жели зло, а увек добро ствара. Гете, Фауст Зашто немате вољу да примите к знању да рафинираности не само што не искључују простоту, него баш треба и морају да иду с њом у пар? Да онај ко себе компликује, није кадар истовремено себе да упрошћује, губи способност да се у себи супротставља силама које је у себи пробудио и које ће га уништити. Витолд Гомбрович, Дневници


8

Циљ тезе је био да се одреди епистемолошки значај постојања парадокса у физици, разлози њиховог успостављања, да се јасно дефинише њихова структура како би били препознатљивији. Такође, намера је била да се изврши класификација парадокса у физици према заједничким чиниоцима, и да парадокс, као феномен у физици, постане једна јасна, препознатљива и прихватљива категорија са научно-филозофског и научно-историјског становишта. Тражени су одговори на питања:

− Која су битна својства парадокса? − На који начин се идентификује парадокс? − Како могу да се класификују парадокси? − Да ли ће једног дана физика бити без парадокса?

О парадоксу и примерима који га репрезентују написане су многе књиге и радови у математици, логици и филозофији. У овим областима људске духовности и интелектуалности могу се пронаћи синтезе којима се чинe покушаји генерализовања и класификације парадокса по заједничким чиниоцима на разне начине. Честе су парадоксалне ситуације које се дешавају у свакодневном животу и човек се пита да ли се нешто заиста баш њему дешава. Оно што није објашњено филозофски, уметнички или природњачки постаје предмет чуђења, како се нешто десило, на баш тај начин, за шта не постоји одговарајуће објашњење. Парадокс је истинско чуђење, он представља још увек развијено умеће запитати се зашто су одређене нејасноће тако јасно изражене, а према много чему тако не би требало бити. Корени значења речи парадокс потичу од грчке речи paradoxos. На латинском језику је из грчког језика реч преузета са истим значењем и гласила је paradoxum. У средњем веку употребљавани су термини insolubilia и антиномија, у смислу значења речи парадокс. Та реч је настала као кованица од две речи para и doxa. Para је предлог на грчком језику који има значење супротности, као што је на пример: насупрот, према томе, против, погрешка, заблуда. Doxa је именица чије је значење: слава, углед, глас... може да има пренесено значење: оно што се добија; или што је највероватније овом случају: мишљење или мњење. Тако да кованица парадокс има у изворном облику значење против мишљења или против мњења. Парадокси су суштински супротстављени општем усвојеном сазнању. У енциклопедији Британика може се пронаћи да је парадокс "наизглед контрадикторно становиште, чије се право значење сазнаје само пажљивим разматрањем", или како преводи Милан Божић: "привидно противречан исказ чије се стварно значење открива тек после опрезне анализе."1 У Википедији, интернет-енциклопедији, за парадокс пише следеће:

"Парадокс се појављује када скуп очигледно непобитних премиса даје неприхватљиве или противречне закључке."

Џон Ечеменди (John Etchemendy), у Cambridge Dictionary, пише: 1 Божић, М. (2002). Улога парадокса у развоју математике. стр. 81.


9

"Парадокс, наизглед део гласа резоновања заснованог на наизглед истинитим претпоставкама које води контрадикцији (или другачије: очигледно погрешном закључку). Парадокс показује да су или принципи резоновања или претпоставке, на којим је заснован, погрешни."

У Webster's New World Dictionary може се пронаћи:

− Парадокс је тврдња која изгледа контрадикторно или апсурдно, али може бити чињенично истинита.

− Парадокс је самоконтрадикторна чињенична тврдња која је у овом случају погрешна.

− Парадоксална је особа или ствар који изгледају недоследни и пуни су контрадикција. (бесмислено је говорити о "парадоксалној особи", осим у енглеском језику)

Вилард Квајн (Willard Van Orman Quine, 1908-2000) у књизи The Ways of Paradox (1966) чини прву опште прихваћену систематизацију парадокса класификовавши их у три категорије. Поред Квајна, на пољу класификације парадокса, неопходно је споменути Франка Рамсеја (Frank Ramsey, 1903-1930) који четрдесет година пре Квајна дели парадоксе у две основне категорије.2 Први парадокси потичу из времена старе Грчке, и одличан преглед развоја парадокса из тог времена данас се може пронаћи код Роја Соренсена (Roy Sorensen), у књизи A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the mind (2003). Такође, истиче се књига Марка Сеинсбурија (Richard Mark Sainsbury) Paradoxes (1987), која је једна од најуспешније написаних књига о парадоксима. Треба споменути и Мајкл Кларка (Michael Clark) који је врло успешно каталогизовао парадоксе у књизи Paradoxes from a to z (2002). У Лекцијама физике3 Ричарда Фејнмана (Richard Feynman, 1918-1988) може се пронаћи: да су парадокси у физици врста конфузија до којих долази само услед недовољног разумевања. Он не признаје постојање стварних парадокса у физици. По њему постоји само један тачан одговор на питање које се поставља. Он заступа став да у физици одговори зависе од начина анализе физичког догађаја и да лоша анализа установљава парадоксе. Најчешће, када се ради о парадоксима експерименталног типа, Фејнман је у праву. Неочекивани резултати су последица грешке приликом реализације експеримента или грешке у теорији на чијим темељима су предвиђени очекивани резултати. То није случај са свим парадоксима у физици. Физичари су често парадоксима сматрали феномене које нису могли експериментално проверити. Показало се, према резултатима овог рада, да су теоријски парадокси чешће присутни у физици од експерименталних. У Србији, међу радовима који се баве парадоксима, истакнуто место заузима књига Милоша Арсенијевића, професора на Филозофском факултету Универзитета у Београду, Простор, време, Зенон (1986), која се бави Зеноновим парадоксима. Арсенијевић их анализира и даје решење. Књига доноси један целовит филозофски став о континуитету, времену и кретању. 2 Детаљније о овим поделама ће бити у одељку који се бави врстама парадокса у физици. 3 Feynman, R. P, Leighton, R. B. and Sands, M. (1964), Chap. 17-4.


10

Миомир Јакшић, професор са Економског факултета Универзитета у Београду, у својој књизи Парадокси и загонетке у економији (1998) бави се парадоксима у економији. Он их набраја, образлаже и врши класификацију и синтезу наведених парадокса. Разликују се три типа парадокса који се појављују у економији: свакодневне нејасне опсервације, разјашњени парадокси и неразјашњени парадокси. Миомир Јакшић сматра да су "недоказане претпоставке", на којима се они заснивају, заједнички именилац за парадоксе у економији. Розалија Мадраз-Силађи (Rozalia Madarasz-Szilagyi), са Универзитета у Новом Саду, у електронском уџбенику-приручнику (2004) за испит из предмета Математичка логика и теорија скупова, бави се скуповним парадоксима у математици – без покушаја да дефинише проблем појаве феномена парадокса у математици. Анализирајући токове савремене математике, појаву теорије скупова, као и заснивање математике с краја 19. и почетка 20. века, Хилбертов програм и Расел-Вајтхедову формализацију, Милан Божић, професор Београдског Универзитета, у књизи Преглед историје и филозофије математике "дотиче" тему парадокса као феномена у математици не упуштајући се у његово анализирање другачије осим историјски. У тексту Улога парадокса у развоју математике4 за термин парадокс пише да је он неохеленизам "скован од стране средњовековних преписивача и тумача науке и културе",5 који када се преведе на српски језик има значење ван памети. За њега је парадокс противречан став и тврдња у смисленој интерпретацији. Он сматра да парадоксе треба разликовати од "обичних логичких противречних исказа". Мора постојати "природност" при формирању исказа који води до противречности – има такву форму да није лако уочљиво место које омогућава настанак противречности. Дарко Капор, са Универзитета у Новом Саду, 1993. године у Младом физичару објављује текст Један заборављени комад који се бави етиком у науци и представља анализу позоришног комада швајцарског писца Фридриха Диренмата (Friedrich Dürrenmatt, 1921-1990). Са сличним опсервацијама и радом Диремантови "Физичари" као алатка за разумевање етике науке6 Дарко Капор учествује на 6. Балканској конференцији физичара, 2006. године у Истанбулу. У свом раду он посебно скреће пажњу на одељак Диренмантове драме 21 тачка о "Физичарима" у коме је дато набрајање парадокса са становишта етике у физици. Моралне дилеме на које се Диренмат осврће Капор вешто и зналачки реализује са становишта физичара бавећи се и књижевном анализом дела. У тексту Проблеми релативистичке космологије7 Ђорђе Живановић (1934-1985), професор Београдског Универзитета, бави се парадоксима класичне (нерелативистичке) космологије. Без намере да тумачи суштину феномена парадокса, он за Класичан космолошки модел каже да је неконзистентан и да врви од парадокса. Суштина разлога појављивања парадокса, не само у физици, јесте неконзистентност модела (теорије) који омогућава да настају парадокси.

4 Божић, М. (2002). Флогистон. бр. 10. стр. 81-101. 5 Што је неконзистентна тврдња у поређењу са неким изворима. На пример: Ritter, J, Gründer K. und Gabriel, G. (1971-2005). У њиховом речнику филозофије се може пронаћи да је реч "парадокс" грчки придев који се може користити и као именица, да је документован као реч у класичном периоду, прихваћен као страна реч из грчког у латинском језику. Као изворе који су се користили речју "парадокс" спомињу се Ксонофон, Демостен, Менандар, Плутарх и Цицерон. 6 Капор, Д. (2006). 7 ΘΕΩΡΙΑ, (1979). стр. 41-47.


11

Александар Богојевић из Института за физику у Земуну, у тексту Будућност физике – криза идеје и излаз из кризе8 заузима став да је парадокс истинит исказ који се наизглед противи здраворазумском начину размишљања. Карактеристика парадокса у физици је управо та "наизгледност" – она се намеће као закључак из претпоставки које само наличе да су истините и добре. Богојевић сматра да су парадокси грешке у начину размишљања. Од курсева о парадоксу, који се могу пронаћи, истиче се курс Лоренца Голдштајна (Laurence Goldstein), професора са Кент универзитета у Енглеској који се може пронаћи на интернету (www.laurecegoldstein.net). Постоји велики број радова о појединим парадоксима у физици у којима се анализирају и нуде њихова решења. Поједини парадокси физике често су познати и лаицима за физику. Није начињен ниједан покушај да се парадокси у физици систематизују. На сајту Википедије постоји набрајање парадокса у физици, али је оно веома некомплетно и несистематично (мора се признати да је у последње 4 године начињен помак). Ипак, може да послужи као основа за проналажење литературе и референци којe се такође односe само на поједине парадоксе физике, без иједног покушаја да се изврши било каква класификација, да се учини поређење са учињеним у математици, логици и филозофији, или да се класификује и синтетише мишљење о парадоксима физике. Не постоји уједначен став према парадоксу међу научним радницима, логичарима, математичарима и филозофима. Парадокс је начин људског изражавања, природни феномен али и облик опсервације. Најчешће схватање значења парадокса зависи од области у којој се парадокси појављује. У различитим областима људског деловања парадокс се различито тумачи: неочекиван резултат или опсервирани феномен у физици; збуњујући облик изражавања у уметности; логичка, математичка и филозофска неконзистентност или било шта што субјектима не дозвољава да стекну интуитивно прихватљив и задовољавајући увид. Ма колико горњи наводи звучали слично, велик је дијапазон између свега што се назива парадоксима. Основно значење, заједничко за све области у којима се појављује парадокс јесте да изазива неку врсту недоумице. Анализом се установљавају разлози и оправданост стварања тих недоумица. Конкретно, у математичкој логици Раселов парадокс је усвојен као неодвојив део садржаја у начину расуђивања, док је у физици на пример Хидростатички парадокс добио назив парадокс услед недовољног познавања физичких закона.9 Није сваки парадокс једнако парадоксалан. Различити су разлози због којих се парадокси у физици третирају као парадокси: интуитивно неприхватљиве теоријске претпоставке или интуитивно неприхватљиви експериментални резултати. Не мора да значи за парадокс у физици да је грешка у тумачењу или објашњењу појаве (као што указује Фејнман) разлог успостављања. Субјекти опсервације су често неспособни да опсервирају поједине природне феномене. Та неспособност, у чину опсервације, је често неспознатљива самом субјекту. Субјекти опсервације, јесу свесни сопствене ограничености, али често не знају тачно где се та граница налази. Услед ове немогућности субјекта да се изрази на исправан начин (зато што физичке феномене не може да сагледа потпуно) парадокси су били и биће

8 Млади физичар, бр. 101. 9 У Хидростатичком парадоксу ништа није парадоксално, постоји само једна, назови интуитивна, запитаност чији је основни узрок незнање.

http://www.laurecegoldstein.net/


12

чињеница неодвојива од људског сазнања. Према разлогу настанка контраинтуитивног ефекта парадоксалности начињена је оргинална подела према типу парадокса у физици која ће се користити у тези. Приметно је да су аутори често неаргументовано користили термин парадокс у потпуно неодговарајућем значењу. Теза треба да помогне да се препознају различити типови парадокса, што до сада није било разликовано у физици. О парадоксима могу се пронаћи многи радови у филозофији и логици. У тези је успостављена веза између физичарског погледа на свет, заснованог на посматрању и експериментима, са филозофским који има тежњу да успостави "концептуалну шему логичке семантичке студије"10. Генерисани су заједнички чиниоци на основу анализе парадокса у физици. Сазнање је уобличено у епистемолошки и онтолошки садржај, уколико га парадокс садржи. Тиме су установљене релације везе између парадокса у физици и извршена је њихова класификација. До сада су парадокси у физици анализирани и обрађивани увек само као појединачни феномени, без покушаја да се установи неки заједнички образац. У овој тези је управо то учињено. Анализом појединачних случајева, познатих парадокса у физици,11 тражена је правилност на чијим основама су дефинисани класификациони критеријуми. Тиме су одређене групе парадокса сличних карактеристика и синтетисан емпиријски закључак о парадоксу у физици. Хипотеза је била да се класификовањем парадокса може одредити њихова структура. То касније треба да помогне физичарима да прецизније препознају значајне парадоксе. Направљена је класификација парадокса у физици. Дефинисани су аутори парадокса и време настанка парадокса. Сваки парадокс је детаљано објашњен (ко га је и када смислио, као и у ком је контексту настао и са којим утицајем се даље појављивао. Урађена је хронологија јављања појединих парадокса у физици по областима и уопште. Дефинисан је разлог зашто се парадокси у физици називају парадоксом. Код парадокса који су разјашњени постоји образложење парадоксалности. Код парадокса који имају више решења, она су представљена. Парадокси у физици су разврстани на оне који су мисаони експерименти и оне који то нису. Друга хипотеза на којој се рад заснивао била је: Парадокси потичу од геделовске неконзистентности аксиоматизованих система. За агностички став који преовладава на крају двадесетог века и почетком двадесет првог века међу физичарима веома је заслужан Курт Гедел (Kurt Gödel, 1906-1978). Његове Теореме о непотпуности формалних система су дефинитивно усвојене од стране физичара. Пример оправданости Геделових теорема je видљив у само-референтном омнипотенце Парадоксу камена. У том парадоксу се уочава немоћ да се објасни моћ Бога ствараоца да спозна онога што је сам створио. Питање: Да ли може Бог створити толико тежак камен да га ни сам не може подићи? еквивалентно је питању: Да ли може Бог створити свет који ни сам не може спознати? Ово је јеретичко питање када се оно односи на Бога, у исто време ово је важно питање када се оно односи на покушај спознаје света у коме се живи. Уколико Бог може створити камен толико тежак да га сам не може подићи, или не може створити камен да толико тежак да га сам не може подићи, он има границе.

10 Sorensen, R. (2003). р. 369. 11 Оним што се сматра да су парадокси у физици. Око 50 парадокса.


13

Ове границе су математичко-логичка замка бесконачности у којој обитава и одговор на питање: Да ли је могуће објаснити природу?12 Парадокси су прво појединачно били анализирани. У почетку, када је вршено ишчитавање, нису постојали класификациони критеријуми. Они су утврђени након проучавања структуре великог броја парадокса. Тражени су заједнички чиниоци код анализираних парадокса, као и чиниоци по којима се разликују. Метода тог рада је била индуктивна анализа. Када су установљени структурни чиниоци парадокса према њима су образовани класификациони критеријуми. Дефинисањем класификационих критеријума добијени су резултати за које се може рећи да су дедуктивни и синтетички. Када су начињене класификације поново је вршена анализа свих појединачних парадокса. Пошто је то учињено стекли су се услови да се изврши синтеза појединачних искустава о парадоксима у физици и дефинисана су њихова заједничка својства. У дисертацији су дати одговори на постављена питања која су била разлог да она буде написана. Дефинисани су класификациони критеријуми помоћу којих су начињене поделе код парадокса – установљене су разлике између постојећих парадокса у физици. Такав приступ је омогућио да се да се стекне увид у карактеристике парадокса у физици, како уопште тако и за парадоксе посебних области физике. Сада се могу препознати типови парадокса, који су на сличан начин структуирани а на први поглед немају ништа заједничко. Табеларно су представљени сви парадокси са њиховим карактеристикама и на тај начин могу се прегледно анализирати. Начињен је каталог парадокса у физици. Највећи број парадокса је и наведен са историјским садржајем како дошло до њиховог формирања. Нису сви парадокси анализирани зато што би у том случају теза била преопширна, али је постигнута добра основа да се и преостали парадокси у физици анализирају и каталогују. На темељима Геделових теорема је образложено зашто су парадокси неизоставан део физике.

12 Професор Мирко Дејић је на име овог парадокса указао на коментар једног свог колеге: Ако је Бог свемоћан он онда може и да не може!


14

ПРВИ ДЕО


15


16

I Парадокс – феномен изражавања у историји културе


17

Узмимо да је на Земљи 01. 01. 1600. живело нешто више од 500.000.000 људи. Ако се вампири хране људском крвљу бар једанпут месечено и њихова жртва и сама постаје вампир следи једноставна математика: Претпоставка је да се први вампир појавио баш 01. 01. 1600. године, 01. 02. 1600. би на Земљи било већ два вампира, кроз две и по године по тој математици на Земљи би било 536.870.911 вампира, што значи да не би било људи и не би било могућности да се они хране. Костас Ефитимију, Лајв Сајенс13 У расправи са Бертандом Раселом рече му суговорник, "ако прихватимо да је 1=2, докажите ми да сте ви папа", "папа и ја смо 2, према томе папа и ја смо 1", одговори Расел након кратког размишљања. Анегдота Људи воле парадоксе и посебно настоје да разумеју оно што други не могу да схвате. Адам Смит14 У науци не постоје парадокси.15 Лорд Келвин Они су настојали актуелизирати оно што су њихови претходници покушавали симболизирати. Какузо Окакура, Књига о чају

13 Политика, 26.11.2006. 14 Преузето из Јакшић, M. (1998). 15 Sorensen, R. (2003). р. 370.


18

I О парадоксу – као ставу или начину размишљања који се супротставља установљеном знању и као такав стоји у опозицији према важећим стандардима – много је писaно. Да би парадокс био представљен као феномен, мора се претходно појаснити само значење речи: "парадокс" као и значење речи "феномен". Углавном је значење појма "парадокс" код различитих аутора слично, али различите интерпретације омогућавају да се пронађу нијансиране различитости при схватању парадокса. Парадокс је мултидисциплинарни феномен. Парадокси се јављају у свим областима људског деловања. Неопходно је пронаћи заједничка обележја парадокса који постоје у различитим областима. Та обележја треба да буду полазиште за синтезу која ће покушати да пружи објашњење настанка парадокса. Парадокс се јавља у: филозофији, математици, логици, физици, психологији, књижевности, сликарству, економији, социологији. Уопштено посматрано, једнако је присутан како у природним тако и у хуманистичким наукама, уметности и религији. Феномени се објашњавају законима, док је сам механизам опсервације феномена нешто што по Александру Коареу (Alexandre Koyre, 1892-1964) није повезано са законом.16 Феномен је све што се може опсервирати. Феномен је појава и она временом стиче различита значења. Парадокс је феномен онда када се одређени догађај реализује неочекивано, а антиципација догађаја је била заснована на јасним претпоставкама. Парадокс је такође и феномен у изражавању човека који понекад настаје с циљем да се одређени догађај представи на интригантан начин. Парадокс је и облик изражавања. Такав он представља један од основних начина критике идеја здраворазумског размишљања. Најранији парадокси се проналазе у старој Грчкој када Зенон (око 490-430 п.Х.) критикује "здраворазумске идеје да живимо у коонтинууму – бесконачно дељивом, на фин начин изграђеног простора", како у једној прилици каже Дејвид Дојч (David Deutsch).17 Први парадокси формулишу проблемску ситуацију, која је у "сукобу" са здраворазумским јавним мишљењем. Парадокс, као облик изражавања, је настао с намером да се помоћу њега формулише супротстављање општем, здраворазумском ставу. Временом, кроз историју, мењао се и смисао парадокса. До настанка парадокса, како у физици, тако и у другим областима људског деловања, долази услед "когнитивне дисонанце" или "сазнајног несклада"18 између субјекта као опсерватора, и истог тог субјекта као еталона знања. Парадокси се најчешће јављају у ситуацијама, док "успостављајући дух" још није овладао чињеницама и релацијама које их повезују, и док још увек постоји мешање два, или више, парадигматичних ставова. Идеалан терен за настанак парадокса нпр. у науци је ситуација у којој још не постоји јасно научно објашњење и док још влада комешање у погледу исхода теоријских парадигми. Поред појма парадокс могу се пронаћи појмови који представљају синониме. То су: антиномија, инсолубилија и софисмата.

16 Koare, A. (1981). стр. 152. 17 Скраћена верзија овог чланка се појављује 5. јануара 2001. године у The Times Higher Educational. 18 Антонић, С. (2000). стр. 328.


19

За термин "антиномија" Милан Божић пише да се користи од средине првог миленијума и да је настаo као "неолатинизована кованица" из средњевековног латинског језика. Није најјасније шта је Божић са овом тврдњом желео да каже. Антиномија је грчка реч – αντινοµια.19 Настала је од речи anti што значи против и nomos што значи закон. Кованица речи antinomos има значење за нешто што је противзаконито. Употребљавала се у случајевима када постоји: сукоб два принципа или закона, противречност закона или контрадикција судова (са подједнако оправданим разлозима за установљење и тумачење). Антиномија – то су два супротстављена исказа о истом проблему. Појам антиномијe у филозофију уводи 1781. године Немац Имануел Кант (Immanuel Kant, 1724-1804) у књизи Критика чистог ума. Чувене су четири антиномије у којима се бави успостављањем тезе и антитезе, при чему покушава да докаже и једно и друго. Инсолубилија је средњовековни термин и латинска кованица која потиче од латинске речи insolubilis коју чине саставци in и solvere. Старински је било indissoluble што је означавало нерешивост и да нема објашњења. Један од незаобилазних аутора који се бави инсолубилијама је Томас Брадвардин (Thomas Bradwardine, 1290/95?-1349) чија је књига Insolubles, писана између 1321. и 1324. године, извршила велики утицај на потоње ауторе. Брадвардин за појам "инсолубилија" усваја дефиницију: "тежак паралогизам ... који нараста из неког чина [приче] рефлектован на себе са нужном детерминисаношћу."20 Као термин се појављује у наслову књиге Француза Пјера од Елија (Pierre d'Ailly [лат.: Petrus Aliacensis], 1350–1420/21?) Концепт и инсолубилије 1372. године.21 Може се пронаћи и код Вилијама Окамског (William of Ockham, 1287-1347) у књизи Summa logicae, писаној 1323. године, где он за инсолубилију каже: "да се неке ствари називају инсолубилијама не зато што не постоји начин да буду решене, већ пре зато што их је тешко решити."22 Инсолубилијама се баве и други актуелни аутори из тог периода попут: Роџера Свиншида (Roger Swyneshed/Swineshead, ?-1365?), Вилијама Хејтсберија (William Heytesbury, 1305/13?-1372/73?), Григорија из Риминија (Gregorio Da Rimini [лат.: Gregorius de Arimino], 1300-1358) и Џона Виклифа (John Wyclif, 1320/30-1384).23 "Софисмата" је појам који такође долази из средњевековне филозофије, веома употребљиване и развијане у тринаестом и четрнаестом веку. Потиче од грчке речи sophismа што значи: измудровати, излукавити. "Софисмата", или "софизмата" (новији тип изговора) представља множину од речи софизма, што је алтернативни облик од речи "софизам", дакле софистички, што ће рећи: лукави, привидни, али и цепидлачки закључак. Боље је уместо софисмата рећи софисма, или још боље софизам, уколико се не означава множина. Софизам представља облик двосмислености и изражајне тешкоће или загонетне реченице (логичке анализе које се решавају). Биле су важан елемент приликом учења, као школски тренинг на универзитетима и њихова главна улога је педагошког карактера. Разликовала су се три типа софизама: логички, граматички и физички. Такозвани физички софизам (природнонаучни, физика тада није била дефинисана као посебна наука) служио је за дискусију о општим физичким концептима. Бројни су аутори тих физичких софисма из 14. века, препознатљиви као "Оксфордске рачунџије" или "Мертонијанци", попут:

19 Божић, М. (2002). Флогистон. бр.10. стр. 82. 20 Преузето из http://plato.stanford.edu/entries/insolubles/ 21 Spade, P. V. (1996). 22 Ockham, Summa logicae III-3, 46. 23 http://plato.stanford.edu/entries/insolubles/

http://plato.stanford.edu/entries/insolubles/

http://plato.stanford.edu/entries/insolubles/


20

Ричарда Килвингтона (Richard Kilvington, 1302/05-1361), Вилијама Хејтсберија, Томаса Брадвардина, Роџера и Ричарда Свиншида (Richard Swineshead/Swyneshed, ?-1354/5).24 У Oxford English Dictionary о парадоксу можемо пронаћи следеће: "Парадокс је оно што је супротно прихваћеном мишљењу или очекивању ..." и "Становиште или начело супротно прихваћеном мишљењу или веровању; често са импликацијом да је чудно или невероватно; понекад са неповољном конотацијом, као што је постојање неслагања са оним што је обухваћено заснованом истином, и стога апсурд или фантазија; понекад са повољном конотацијом, у својству грубе грешке (ретко је коришћен пре 17. века, често представљано као меродавно мишљење.)". Слично се изјашњавају многи умови: Палсгрејв (PALSGRAVE tr. Acolastus Prol. B ij b), 1540. године: "не ћемо говорити о парадоксима где им није место, не ћемо стварати мишљење о стварима, оно ће бити о или изнад општег мишљења човека"; Гардинер (GARDINER Declar. Art. Joye 54 b) 1545. године: "твоју наклоност парадоксима само вера оправдава"; Марбек (MARBECK Bk. Notes 791) 1581. године: "парадокс је необична изрека, супротна мишљењу већег дела. То је необична изрека, не лако схватљива"; Шекспир (SHAKS. Ham. III. i. 115), 1602. године пише: "то је био некада парадокс, али сада му је време дало доказ"; Булокар (BULLOKAR Eng. Expos.), 1616. године: "парадокс, мишљење установљено супротно уобичајеном прихваћеном мишљењу, као што је потврђено да се око Земље креће Месец, и да небо мирије"; Мур (H. MORE Antid. Ath. II. xii. f17 (1712) 84) 1653. године: "тако пријатан и истинит парадокс годишњег кретања Земље"; Хобс (HOBBES Liberty, Necess., & Chance (1841) 304) 1656. године: "бискуп говори често о парадоксима са таквом поругом или гнушањем, тако да ће обичан читалац било који парадокс узети као кривично дело или неки други одвратан злочин, ... с обзиром на то можда разуман читалац зна ... да парадокс, је још увек опште неприхваћено мишљење"; 1697. године (tr. Burgersdicius' Logic II. xv. 65): "Парадокс је говорио да постоји проблем истине супротан општем мишљењу ... попут, кретања Земље, мада је оно истинито, још увек је против здраворазумског мишљења и зато је парадокс"; Де Квинси (DE QUINCEY Templars' Dial. Wks. IV. 183) 1854. године: "Парадокс, ви знате, је просто супротност популарном мишљењу – које је у многим случајевима погрешно"; 1890. године (Illustr. Lond. News 26 Apr. 535/3) "Парадокс је пропозиција реалности или очигледна контрадикторност здраворазумски прихваћеним идејама ... Оно је, као што име индицира, уображење супротно мишљењу, али не и супротно резону. Позиција супротна резону је паралогизам." Такође се о парадоксу може пронаћи и да је то: "Закључак или завршница контрарног појма који аудијенцију води очекиваном". У том смислу се изјашњава Филипс (PHILLIPS ed. 4), 1678. године када каже: "Парадокс ... супротно мишљењу или очекивању аудиториjума, и другачије звано Hypomone". Парадокс је: "Становиште или пропозиција која је наизглед самоконтрадикторна, апсурд, или неслагање са здравим разумом, мада, разmатрањем или објашњавањем, може се доказати добра заснованост. (или, према неким, премда есенцијална истина)". У том смислу се изјашњавају: Кроули (CROWLEY Soph. Dr. Watson i. 187) 1569. године: "Ваш чудан парадокс Христа који једе своје сопствено месо"; 1939. године (BROOKS & WARREN Understanding Poetry VI. 637): "Парадокс, исказ који површно посматрано изгледа као да је контрадикторан, али који укључује елемент истине. Зато што је елемент супротан између форме исказа и његове истинске импликације, парадокс је близак 24 Sophismata (Stanford Encyclopedia of Philosophy)


21

иронији"; 1947. године (1947 C. BROOKS Well-Wrought Urn 230): "Парадокс као замисао за супротстављање конвенционалном погледу на ситуацију, или лимитиран специјалним погледом на њу тако да је узет у практичном и научном говору, са више закључним огледом". Парадокс је: "Често примењен као правило или исказ самоконтрадикторан, или супротан резону установљене истине, и тако, есенцијално апсурдан и погрешан. Дакле парадоксални искази, који могу бити доказани да су истинити, називају се 'привидни парадокси', и то нису парадокси у правом смислу". Парадокс је: "Исказ или тврдња која, од прихватљиве претпоставке и упркос расуђивању, води закључку који се противи смислу, логички неупотребљивом, самоконтрадикторном". У том смислу се изјашњавају: Џонсон (W. E. JOHNSON Logic I. iii. 45) 1921. године: "Парадокс импликације претпоставља много форми, од којих неке није лако препознати, као што је обухваћање разноврсности неких од фундаменталних принципа"; Карнап (R. CARNAP Logical Found. Probability vii. 469) 1950. године: "Ово је пример који Хемпел зове парадокс потврде". Парадокс је: "Појава која се показује као контрадикција или конфликт са унапред замишљеном назнаком која је прихватљива или могућа."

II За Светислава Марића (1895-1973) парадокс је тврдња супротна очекивању појединца или супротна очекивању општеприхваћеног мишљења. Парадокс може бити нова истина, али и не мора. Парадокс може бити и неистина која је само интелектуална спекулација, и као интелектуална игра служи за забаву.25 Владимир Филиповић пише како парадокс, и поред све своје необичности, јесте истинит исказ, уколико се више потрудимо и боље га испитамо и проучимо.26 У Речнику књижевних термина, Драгише Живковића, може се пронаћи да парадокс значи, у преводу са грчког језика: неочекиван или необичан. Парадоксом су се називале парнице код којих је предмет био противречан правном осећању. У реторици се парадоксом називају појмови који су противречни, и у школама у којима се изучавала реторика, били су измишљани парадоксални случајеви, како би ученици на њима развијали своје говорничке вештине. Александар Богојевић један је од ретких аутора који се на српском језику бави парадоксом као феноменом, и вероватно једини који се бави парадоксом у физици. Он под парадоксом подразумева истинит исказ који се наизглед противи здраворазумском размишљању. Према његовим ставовима, код парадокса је све некако "наизглед". Та "наизгледност" се намеће као закључак заснован на претпоставкама које само личе да су ваљане и истините. За Богојевића парадокси су грешке у начину размишљања. Такав став се може пронаћи и код Ричарда Фајнмана у Лекцијама физике.27 Овакво схватање парадокса имплицира да је грешка основни услов формирања парадокса. Грешке су отклоњиве, а парaдокси, уколико

25 Maрић, С. (1991). стр. 107. 26 Filipović, V. (1989). str. 243. 27 Feynman, R. P, Leighton, R. B. and Sands, M. (1964). Chap. 17-4.


22

нису привидни (привидни парадокс такође није "грешка") отклоњиви су само условно, или чак нису никако отклоњиви. Миомир Јакшић, је написао књигу Парадокси и загонетке у економији коју је посветио парадоксима у економији. Он на парадоксе у економији гледа на следећи начин:

"Економски парадокси су феномени непотпуно објашњени на економским начелима и унутар структуре постојећих теорија. Заједнички им је именитељ претпоставка, која није дефинитивно доказана да се homo economicus понаша и да се неправилности и нелогичности економских парадокса разилазе са овом базичном предпоставком."28

По Јакшићу постоје три типа парадокса у економији:

1. Они који се свакодневно примећују, који су решиви применом основних принципа у економији, а иначе су непознати људима неупућеним у економију (пример: Зашто се већа паковања по јединици мере скупље продају?);

2. Некадашњи парадокси, који су решени напретком знања у економији (пример: Смитов парадокс вода-дијамант);

3. Нерешени парадокси, који су и данас изазов да буду разрешени (пример: Парадокс гласања бирача).

Прецизно одређивање врсте парадокса може да доведе до неслагања – на то скреће пажњу филозоф Вилард Квајн (Willard Van Orman Quine, 1908-2000) када говори о Зеноновим парадоксима:

"оно што је неком човеку антиномија, другом човеку је парадокс грешке, додавањем или узимањем пар хиљада година."29

Или када говори о Раселовом парадоксу:

"неком човеку антиномија може бити оно што је другом човеку парадокс потврде, или оно што је неком парадокс потврде неком другом може бити плиткост духа."30

Њега Рој Соренсен сматра главним у поступку дефинисања појма парадокса.31 Парадокс је категорија која је дубоко повезана са основним усвојеним принципима који се разликују од човека до човека, од групе људи до групе људи. Када се формира општа представа о парадоксима, постоји опасност да се упадне у замку субјективизма, релативизирањем чињеница. У томе и јесте дуалност феномена парадокса. Парадокс покреће сумњу, али истовремено утемељује истину.

28 Јакшић, M. (1998). 29 The Ways of Paradox. Quine, W. V. (1976). р. 9. 30 The Ways of Paradox. Quine, W. V. (1976). р. 12. 31 Sorensen, R. (2003). р. 350.


23

У предавањима Лоренса Голдштајна (Laurence Goldstein), у којма се он бави феноменом парадокса, може се пронаћи покушај дефинисања парадокса, каже се да је: део расуђивања, који води од очигледних и истинитих претпоставки, помоћу очигледних и прихватљивих корака, ка закључку који је контрадикторан или лудост. Голдштајн примећује да парадокси стварају могућност за настанак питања која воде у неконзистентност, па је за решавање парадокса понекад неопходно преиспитивање фундаменталних претпоставки. Голдштајнова предавања омогућавају потпунији преглед аутора који се баве феноменом парадокса. Значајна је Голдштајнова препорука да се парадокси не решавају заснивањем на "лошим аргуменaтима". Он свој став образлаже запажањима различитих аутора на примеру Епименидовог парадокса лажљивца.32 Голдштајн такође прави градацију парадокса33 по "дубини" при чему су они дубљи парадокси значајнији од мање дубоких, бави се анализом разних општепознатих парадокса, типова парадокса, и ставовима аутора који пишу о парадоксима. Марк Сејнсбери (Richard Mark Sainsbury), се парадоксима бави опширније, озбиљније и комлексније, него многи у тези споменути аутори, и он за парадоксе каже следеће:

"Ово је оно што ја подразумевам под парадоксом: један очигледно неприхватљив закључак, проистекао из очигледно прихватљивог резона и од очигледно прихватљивих предпоставки. Појаве обмањују, док прихватљивост не може бити вођена прихватљивим корацима до неприхватљивости. Тако, уопштено, ми имамо избор: било који од закључака је доиста неприхватљив, или је то почетна назнака, или резон има неки неочевидни недостатак."34

По њему парадокси су облик "озбиљне забаве". Сејнсбери разликује парадоксе по степену камуфлирања реалности. По том нормативу их вреднује нумерички. Пораст фреквенције појаве парадокса уочава се приликом криза и револуционарних помака у мишљењу. Сејнсберијев став се поклапа са Куновим (Thomas Samuel Kuhn, 1922-1996) да је "трусност" мисаоних система јасно препознатљива приликом кризе постојеће парадигме или у екстремнијем случају њеном изменом. Парадоксе групише у следећој класификацији:

1. Парадокси простора, времена и бесконачности; 2. Парадокси као носиоци назнака рационалне акције; 3. Спорни парадокси; 4. Раселов и Рамсијев парадокс.

Рој Соренсен (Roy Sorensen) схвата парадокс као посебну врсту загонетке. Он идентификује и делове загонетке као парадоксе. Тврдњу пореди са примером да и "делови руже могу бити названи ружом", при чему наглашава како није битно да ли се говори о ружи као грму руже или ружи као врсти цвећа. По њему, разлог зашто парадокси често не могу да буду решени лежи у чињеници да представљени предуслови који доводе до

32 http://laurencegoldstein.net/index.html (2511) 33 Нешто слично Сејнсберију. 34 Sainsbury, R. M. (1995). p. 1.

http://laurencegoldstein.net/index.html


24

парадокса, не обухватају све могућности, што истовремено условљава и настанак парадокса:

"они који развијају логику питања одређују директни одговор као одговор понуђен тачно са толико информација као што је упитани захтевао."35

Соренсен анализира различита мишљења; за Гарета Метјуса (Gareth В. Matthews, 1929-2011) пише да парадокс схвата као конфликт са концептуалном истином. За Џона Мекиа (John Leslie Mackie, 1917–1981) пише како он сматра да је парадокс цео садржан у доказу. Коментарише и Сеинсберија и каже да он парадокс идентификује као неприхватљив закључак са прихватљивим поступком доказивања.36 Вредно истицања је мишљење Николаса Решера (Nicholas Rescher) који тврди како:

"парадокс није продукт грешке приликом резоновања осим као дефект битног: несклад потврда."37

Један од начелника "парадоксизма"38, Даглас Хофштетер (Douglas R. Hofstadter), уочава како је:

"... напор да се по сваку цену одстране парадокси, нарочито када то захтева стварање једног крајње извештаченог формализма, који сувише много наглашава недужну непротивречност, а сувише мало разне зачкољице и бизарности ..."39

Књига Дагласа Хофштетера ГЕБ: једна бескрајна златна нит истинска је ода парадоксу – као начину мишљења и животном ставу. Тежња да се објасни настанак свести по принципу "чудне петље" упућује на то да је парадокс незаобилазан чинилац у људском животу. Комплекс самопозивних структура при мешању хијерархијских нивоа формализује се у структуру за коју:

"нико не би могао да тврди да читава стварност сама по себи није ништа друго него један веома сложен формални систем."40

чиме се Хофштетер самопотврђује у свом основном ставу да је ГЕБ ... један покушај да бесмислени симболи добију смисао упркос самима себи. Мајк Меткалф (Mike Metcalfe), професор са Универзитета Јужне Аустралије, и један од зналаца о стратегијском мишљењу у коришћењу прагматичних система, пише о Маријани Луис (Marianne W. Lewis), са Синсинати Универзитета у САД. Она се бави феноменом парадокса у организационим теоријама, истраживачким методама, технологији и 35 Sorensen, R. (2003). р. 5. 36 Sorensen, R. (2003). р. 6. 37 Rescher, N. (2001). p. 6-7. 38 Измишљен израз који треба да означава тежњу да се појаве посматрају и анализирају помоћу парадокса. 39 Хофштетер, Д. Р. (2002). стр. 75. 40 Хофштетер, Д. Р. (2002). стр. 119.


25

иновационом менаџменту. Истражује феномен парадокса који омета и онемогућава иновације. За њу је парадокс "алатка" за дефинисање проблема и унапређење успешности у областима деловања. Луисова описује парадокс као контрадикторност чији су елементи у међусобној вези која је само наизглед логична, а која је истовремено апсурдна. По њој, смисао парадокса није само у томе да буду решени, него и да дају допринос у тражењу истине у поступку учења. Она парадоксе сматра објектима које је могуће открити. За њу је парадокс:41

1. Интерпретација која је супротна појединачном феномену, 2. Супротно мишљење, 3. Помоћ при разумевању интерпретација које се разилазе, 4. Опажајан, 5. Прикладан привид који је настао услед социјалне интеракције, 6. Обележавање различитих гледишта, 7. Својственост посматрача – не посматраног, 8. Могућа последица која се користи у негативном смислу када се нешто дефинише.

Мајк Меткалф проучавајући схватање парадокса које је дала Мариан Луис запажа:

"Парадокси се користе да пронађу, објасне и потврде постојање алтернативних интерпретација чије мишљење увек егзистира негде око разумевања ... Настојање да се пронађу парадокси, да се они уклоне или да се ради помоћу њих је недовољно; тачније, парадокс треба да изгледа као прозор кроз који се креативно схвата свет."42

Морис Коен (Morris Raphael Cohen, 1880-1947) и Ернест Нејгел (Ernest Nagel, 1901-1985) сматрају да премисе имплицирају закључак. Тврђење да се закључак садржи у премисама имплицира да до парадокса долази услед неконзистентности премиса и закључка.Да би интерпретација парадокса била успешна они тумаче како:

"Парадокс настаје када се једном увиди да је релација импликације између ставова таквог јединственог типа да се само прави збрка када се она замени неком аналогном релацијом која има нека њена формална својства."43

III Парадокси настају и када се не употребљавају прецизни и одговарајући термини. Ствара се конфузија приликом тумачења појава употребом термина чија су значења неадекватна. Тако размишља и Бертранд Расел (Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell, 1872-1970) када указује да је:

41 Metcalfe, M. (2005). 42 Metcalfe, M. (2005). 43 Коен, М. и Нејгел, Е. (1979). стр. 195.


26

"Једна од најтежих ствари у свакој дискусији разликовање спорова око речи од спорова око чињеница."44

Дефинише се дистинкција за постојање семантичких и онтолошких недоумица на чијим основама настају парадокси. Појмови који имају једно значење у једној области неке дисциплине, на пример математике или физике, немају исто значење у другој области (На пример: схватање времена у класичној физици разликује се од схватања времена у релативистичкој физици). Основна заблуда настаје из жеље да се генерализује принцип јединства, чиме се постижу услови за стварање неконзистентности (из којих проистичу парадокси). Методи закључивања су дефинисани правилима. Различити методи закључивања се "покоравају" различитим правилима. На постоји универзални метод закључивања који у различитим ситуацијама доводи до исправног закључка. Не постоји збир правила помоћу којих субјект може доћи до истинитог закључка. Било да се до успостављеног закључка долази дедуктивно или индуктивно, помоћу силогизама, софистички, заснивајући размишљање на рационалистичким нормативима или емпирији – показало се да не постоји привилеговани начин мишљења, и да сваки има и врлине и мане, које се испољавају у различитим ситуацијама, и које сходно ситуацији се "намећу" као ваљан облик мишљења. Парадоксима су се служили још у старој Грчкој, и један релативно дужи период, иако не заборављени, били су прилично запостављени у природним наукама. У физици, поготово у физици од половине 19. века, парадокси постају веома заступљени највише захваљујући статистичкој физици, а потом захваљујући теорији релативитета. Тежња за формализовањем мишљења датира још од времена старе Грчке и Аристотела (384-322 п.Х.), при чему је "доказ истине" оног што је било, и што још увек јесте – недостигнути "Свети Грал" – тежње за сазнањем. Сходно томе у којој се области интелектуалног стваралаштва парадокси појављују, разликују се: епистемолошки парадокси, онтолошки парадокси, метафизички парадокси, семантички парадокси, природнонаучни парадокси и логичко-математички парадокси. Такође, парадоксалан начин изражавања је често присутан као духовна форма изражавања, да ли у облику језгровитих зенбудистичких кратких дијалога и мисли у култури Истока кроз коане, или пак у форми уметничких парадокса Запада: као стилска фигура у књижевности кроз оксимороне или на примеру ликовног израза Ешерових цртежа. Коан у зен-будизму представља кратку парадоксалну реченицу, која може бити и у облику питања и користи се у медитативне сврхе. Коан има решење и приликом решавања коана долази до "умарања" интелекта чиме се "отвара простор" за интутитивану опсервацију. Пример: Када обе руке пљесну чује се звук, слушајте звук једне руке када пљеска. Оксиморон је стилска фигура која се користи при описивању посебних стања када не постоји рационалан израз који би га могао описати у којем се спајају два противречна – уочљиво различита појма у облику именице или атрибута.45 Часлав Копривица за оксиморон каже да је то појам који почива на контрадикцији. Да је парадокс у оксиморону садржан не у закључивању, већ у самој суштини неке (немогуће) "ствари". Етимолошки, оксиморон је кованица која потиче од грчих речи oxys што значи оштар или бридак и

44 Расел, Б. (1962). стр. 112. 45 Речник српскохрватскога књижевнога језика, (1971).


27

moros што значи луд или глуп. Заједно у кованици то би могло да значи нешто попут оштроумне лудости или бритке глупости. Често је био употребљиван у средњовековној мистичној литератури али је често присутан и у данашњој књижевности. Примери оксиморина су: хладна топлина, пролазна вечност... У одређеним временским периодима, рађали су се креативни аутори-мислиоци који су се својим идејама супротстављали јавном мњењу. Шкот Дејвид Хјум (David Hume, 1711-1776) изјавио је да: "ништа не може бити јачи показатељ лажности од одобравања гомиле". Италијан Леонардо да Винчи (Leonardo da Vinci, 1452-1519) био је свестран стваралац и "тек понешто" је успео да заврши за живота, али и то "тек понешто" је било довољно да постане један од најчувенијих стваралаца свих времена. Својим ставом, према себи и животу, они су стицали епитет парадоксалан аутор. На једном месту јапански естетичар Какузо Окакура (Kakuzo Okakura, 1863-1919) овако је описао зен-учитеље:

"Древни мудраци никад своја учења нису износили систематски и доследно. Говорили су у парадоксима да не би изрицали полуистине."46

У књижевности постоје добри примери чије је главно обележје парадокс. Цитат из Гетеовог (Johann Wolfgang Goethe, 1749-1832) Фауста: "Но дакле ко си ти? Део сам оне силе што вечно жели зло, а увек добро ствара" изразито је демонског, али и парадоксалног карактера. Цитат асоцира на роман-парадокс руског писца Михајла Булгакова (Михаил Афанасьевич Булгаков, 1891-1940) Мајстор и Маргарита. Ликови овог романа чине зло које је апсурдно у односу на зло које влада Русијом. Демонска свита "мсје" Воланда (Азазело, Бехемот, Коровјов-Фагот) осваја Москву, а време романа обухвата најтуробнији период у руској историји. Ова свита која постоји да чини зло, чини заправо много тога доброг а све што чини дијаметрално је супротно егзистирајућем злу које влада Москвом у том периоду. Чињеница је да ова ђавоља дружина, у једном јасно препознатљивом кризном времену по руски народ, када је, захваљујући "вулгарно материјалистичким" тумачењима једног типа идеологије, деградирао управо онај део људског духа који оплемењује и који човека наводи да чини добро постала противтежа. Они су потпуно неприхватљиви, у миљеу тог времена, па могу постојати и као могућност; и мада представници зла, ова "свита" је парабола вере и изванприродне силе. Они су могућа теза која објашњава, необјашњива дешавања у Русији тридесетих година двадесетог века. Они представљају персонификацију свега што је непознато и као такво плаши – вука који се страхом храни и ликује у својој свемоћи пред парализованим овцама. Та група „чудака“ представља добро, и све што раде чине у име добра. Швајцарски писац и драматург Фридрих Диренмат (Friedrich Dürrenmatt, 1921-1990), у својој чувеној драми Физичари бави се моралним аспектима оних припадника људског друштва који генеришу напредак човечанства, али у чијим је рукама моћ да то човечанство и униште. Парадокс као да извире из саме суштине: да сваки штап има два краја – од којих се једним подупиремо, а други наноси бол. Дуализам могућности, анализиран кроз заплет у Физичарима, само потврђује, оно у шта је аутор тезе дубоко убеђен, да је сам живот један интегрални парадокс, а да су све остало што живот обогаћује његови садржаји.

46 Okakura, K. (1983). str. 48.


28

Претходни увод начињен је због намере да се издвоје неки од набројаних принципа у драми Физичари, које Диренмат набраја на крају драмског комада, и који су и принципијелна основа за овај рад – тичу се парадокса:

12. Као ни логичари, ни драматичари не могу избећи парадоксе. 13. Као ни логичари, ни физичари не могу избећи парадоксе. 14. Драма о физичарима мора бити парадоксална. 15. Она не може имати за циљ садржину физике, већ само њено дејство. 16. Садржина физике тиче се физичара, а њено дејство тиче се свих људи. 17. Оно што се тиче свих, само сви могу решавати. 18. Сваки покушај неког појединца да сам за себе реши оно што се тиче свих – мора

пропасти. 19. Стварност се огледа у парадоксима. 20. Онај ко се супротставља парадоксима, супротставља се стварности.

Последња, двадесета тачка набројаних принципа а девета која се тиче парадокса, је уједно и суштина написане књиге: Стварност не постоји без парадокса. Оно што комад чини интересантним физичарима јесте да су једни од главних актера драме: Њутн, Ајнштајн и Мебијус.47 На 6. конференцији физичара Балкана 2006. године у Истанбулу Дарко Капор је имао рад посвећен овом делу. Он истиче горе наведена Диренматова размишљања, које сам Диренмат додаје у програму за премијеру, и које је назвао "21 тачка о Физичарима". Тиме жели да укаже на питање морала и одговорности научника. Колико такав један "изванредно људски чин" као што је научно стваралаштво, којим се директно утиче на духовну и материјалну структуру човека, сме да буде бизнис и оружје за спровођење воље јачег, и колико су они који су способни да стварају те "технолошке и природнонаучне новине" заиста одговорни због своје незаинтересованости коме њихови резултати доспевају у руке и на који начин се материјализују у људској свакодневници. Холандски сликар и графичар Мауритс Корнелиус Ешер (Maurits Cornelius Escher, 1902-1972) својим цртежема и графикама изменио је однос према перцепцији стварности многих. Он је уметник који је успео да се наметне код савремених мислилаца и научника, попут Дагласа Хофштетера и Роџера Пенроуза, и да буде схваћен озбиљно приликом изградње нових научних и мисаоних парадигми. Парадокс је неизоставна форма изражавања код људи. Један од задатака које је човек себи поставио јесте да се тај збуњујући однос према околини умањи, како би се у неком човечнијем и боље уређеном стању (човеку ближем, а тиме и лакшем за деловање) – успоставиле контролисане релације које су данас још увек тако далеке. Курт Гедел (Kurt Gödel, 1906-1978), 1931. године, у раду О формално неодлучивим теоремама у Principia Mathematica и сродним системима48 формулише нови модел математичко-логичког размишљања. У две теореме доказује да у сваком строгом формалном математичком систему постоје искази који не могу бити нити потврђени нити

47 Професор Капор на предавању када има намеру да прича о овом комаду поставља питање: Које је то место где могу да се сретну Њутн, Ајнштајн и Мебијус? Одговор је: Лудница. 48 Gödel, K. (1931).


29

оспорени, иако су успостављени на основу аксиoма који су у тај систем уграђени. Tо једноставније речено значи да: аксиоми формалног система не изостављају могућност да се оствари противречност. Ово претпоставља реалну могућност постојања парадокса у свим формализованим мисаоним системима, по претпоставци у нашем случају – физици. Теореме на које се ослања у овим претпоставкама су:

− Уколико су аксиоми одређене теорије непротивречни, постоје теореме којима се не може доказати ни истинитост ни неистинитост.

− Не постоји прецизан начин помоћу којег се може доказати да су аксиоми одређене теорије непротивречни.

Теореме се овде наводе као принципијелна основа која омогућава постојање разлога за формирање парадокса у физици. Парадокс, као начин мишљења, помаже Ајнштајну, али и његовим савременицима, да јасније формулише један у много чему другачији поглед на физичку реалност, заснован на другачијим принципима, помоћу којих је била формирана класична физика. Линтел (Harald van Lintel) и Грубер (Christian Gruber) истичу да бројни парадокси у теорији релативитета настају услед интиутивног неслагања субјекта са последицама њених принципа.

IV Када се каже за закључак да је парадоксалан, то значи, да је према субјекту који o парадоксу суди, тај закључак инкомпатибилан са општеприхваћеном истином у јавном мњењу. Разлози инкомпатибилности закључка са јавним судом могу да буду разни:

− Превиђени су неки услови, па је претпоставка од које се полази приликом доношења закључка била погрешна.

− Модел размишљања, употребљен приликом доношења закључка је погрешан – наводи на закључак који не одговара запажању.

− Претпоставке су исправне, модел размишљања је проверено исправан, али се изведен закључак противи очекиваном – не уклапа се у "слику света" на основу већ стечених сазнања.

Заједничко за сва три наведена разлога да се "доведе" до парадоксалне ситуације јесте да закључни исказ није очекиван. Парадоксална ситуација следи из закључка који је одговор на постављено питање, а који збуњује субјекта. Ова тврдња је заснована на претпоставци да је до настанка парадокса дошло услед чињенице да није пронађен одговарајући начин да се објасни догађај из којег је парадокс проистекао. О парадоксу се може рећи:

− Парадокс настаје услед незнања или услед прихватања неадекватног модела сазнања.

− Када се неко налази у парадоксалној ситуацији, он схвата да се дешава нешто што се противи његовом очекивању.

− Претпоставке, предвиђања и познавање узрока недоумице – у некој мери је погрешно.


30

− До парадокса се долази и услед погрешке, нпр. погрешном анализом претпостављене ситуације.

− Парадокс настаје када се очекује једно, а добије друго. − Парадокс је понекад антропоморфна појава. − Човек одређује шта је парадокс. − До парадокса долази када не могу да се схвате разлози неког дешавања. − Парадокс обухвата и тврдње које су интуитивног карактера. − Ситуација се назива парадоксалном када се догађај, био он реалан или фиктиван,

противи начелном начину размишљања. − Парадокс наводи на сумњу у истинитост суда. − Парадокс је дилема која треба бити решена. − Парадокс настаје приликом колизије парадигми.

Сви горе наведени покушаји да се о парадоксу нешто искаже захтевају прецизније објашњење (често су искази непрецизни и само описивање квалитета појма или феномена више казује него покушај да се појам дефинише). Када се каже да се очекује једно а добије друго, подразумева се да се приликом очекивања једних резултата приказују други. У парадоксалну ситуацију запада субјект затечен неочекиваним. Погрешно би било тумачење када би се парадокс схватао упрошћено као изненађење, јер изненађење носи у себи психолошки фактор, док парадокс не би смео да буде партикуларно субјективан. Оно што је изненађење за неког не мора да буде изненађење за неког другог. Парадокс је општа карактеристика. Парадоксалност може да важи за појединца или групу. Оно што је парадоксално за једну групу не мора да буде парадоксално за неку другу групу. Ова врста субјективне неконзистентности се јавља услед незнања, опсена (привида) или неког облика непрецизности. Кад се ради о овим случајевима то су привидни парадокси и уколико се посматра појединац или група, може се закључити да је привидни парадокс углавном појава која је феномен релације за одређене скупове опсерватора, али не за све. На пример, фатаморгана није феномен који сви виде на једнак начин или познавањем закона физике Хидростатички парадокс је лако објашњив. Вредно је споменути и употребну вредност парадокса у процесу учења. Постављање парадокса ученицима у процесу проблемске наставе, представља одличан начин да се процени њихова критичка способност и интуиција. Кроз примере стављају се на пробу њихове могућности да реше проблемску провокацију. Ученици треба да пронађу одговоре којима се објашњавају парадоксалне ситуације. Парадокси у образовању имају мотивациони карактер. Они дају подстрек ученицима да сами, на основу свога знања, понуде решења. Можда превише слободна паралела је тренутно актуелни парадокс савремене физике, кроз који се чује крик физичара "с првe линије фронта", који наглас размишљају о сумњама које их муче. Вапај је врло јасно видљив у чланку Криза у фундаменталној физици, Ли Смолина (Lee Smolin).49 Он износи свој став да је савремена теоријска физика изгубила контакт са експерименталном физиком, сматрајући притом да су теоријски физичари

49 Smolin, L. (2006).


31

данашњице доспели у необичну ситуацију, у којој су њихове теорије математички истините и конзистентне, али експериментално без могућности потврде. Ситуација у савременој физици уноси сумњу у тачност основних принципа актуелних фундаменталних теорија. Као један од могућих излаза, спомиње долазак "нове ере у науци у којој ће математичка конзистентност заменити реални експеримент као крајњег судију коректности теорије."50 Иако Смолин верује да се модификацијом основних методолошких принципа не могу сачувати одређене теорије које су пуно обећавале, он ипак мисли да је проблем у "целој методологији и стилу истраживања". На основу горе наведеног јасно је да је парадокс феномен који је неопходно разматрати мултидисциплинарно. Математичари, логичари и филозофи су до сада били најуспешнији приликом анализе феномена парадокса у људском сазнању и они су највише узнапредовали у формулисању класификационе препознатљивости парадокса – дефинисању различитости парадоксалних ситуација. Литература

1. Feynman, R. P, Leighton, R. B. and Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics. Addison–Wesley, Reading, MA, Vol. II.

2. Filipović, V. (1989). Filozofijski rečnik. NZMH, Zagreb. 3. Gödel, K. (1931). On Formally undecidable Propositions of Principia Mathematica and

related Systems. e-print: http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf

4. Каpor, D. (2006). Dürrenmatt’s “Physicists” as a Tool in understanding the Etics of Science. 6th International Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-005, Book of Abstracts 1197)

5. Metcalfe, M. (2005). Contradiction and Systems Thinking. e-print: http://isce.edu/ISCE_Group_Site/web-content/ISCE_Events/Christchurch_2005/Papers/Metcalfe.pdf

6. Okakura, K. (1983). Knjiga o čaju. Grafički zavod Hrvatske, Zagreb. 7. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Cambridge,

Mass.: Harvard University Press. 8. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Chicago: Open Court. 9. Ritter, J, Gründer, K. und Gabriel, G. (1971-2005). Historisches Wörterbuch der

Philosophie. Verlag: Schwabe, Basel. 10. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. CambidgeUniversity Press. 11. http://laurencegoldstein.net/index.html 12. Smolin, L. (2006). A Crisis in Fundamental Physics. Magazin of the New York Academy of

Science. Jan/Feb issue. 13. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. OXFORD UNIVERSITY PRESS, Oxford. 14. Spade, P. V. (1996). Thoughts, Words and Things: An Introduction to Late Mediaeval

Logic and Semantic Theory. e-print: http://pvspade.com/Logic/docs/thoughts1_1a.pdf

50 Smolin, L. (2006).

http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf


http://isce.edu/ISCE_Group_Site/web-content/ISCE_Events/Christchurch_2005/Papers/Metcalfe.pdf



http://pvspade.com/Logic/docs/thoughts1_1a.pdf


32

15. Антонић, В. (2000). ДА ЛИ ПОСТОЈЕ СТВАРИ КОЈЕ НЕ ПОСТОЈЕ: Водич за критичко размишљање. Публикум, Београд.

16. Божић, М. (2002). Улога парадокса у развоју математике. Флогистон, бр.10, Београд. 17. Божић, М. (2002). Преглед историје и филозофије математике. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 18. Борстин, Д. Џ. (2002). Свет открића. Геопоетика, Београд. 19. Диренмат, Ф. (1969). Посета старе даме. Физичари. Рад, Београд. 20. Јакшић, M. (1998). Парадокси и загонетке у економији. Чигоја штампа, Београд. 21. Капор, Д. (1993). Један заборављени комад. Млади физичар, 48. стр. 16-18. 22. Koаре, A. (1981). Научна револуција. Нолит, Београд. 23. Коен, М. и Нејгел, Е. (1979). Увод у логику и научни метод. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 24. Maрић, С. (1991). Филозофски речник. Дерета, Београд. 25. Расел, Б. (1962). АБЦ теорије релативности. Савремена школа, Београд. 26. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 27. Шешић, Б. (1962). Логика. Научна књига, Београд.


33


34

II Историјски корени парадоксалног начина размишљања у физици


35

Физичари су увек највише научили из парадокса. Р. Пајерлс Како је дивно да смо се сусрели са парадоксом. Сада можемо да се надамо да ћемо учинити напредак. Нилс Бор


36

Парадокси, као начин изражавања, некада су представљали, и данас то често јесу, критику здраворазумског начина размишљања. Они су прва осмишљена формулација проблемске ситуације "сукобљене" са здраворазумским мишљењем. Према Роју Соренсену (Roy Sorensen) феномен парадокса се појављује веома рано, у 6. веку пре Христа у старој Грчкој, када се зачињу и многе друге основне замисли на чијим темељима ће се изградити јудео-хришћански облик европског цивилизацијског мишљења. По Соренсену први парадокси су настали из филозофских загонетки, што је био веома развијен облик разговора међу мисленим људима тог доба. Загонетке су биле распрострањене као начин "надмудривања" у античкој Грчкој. Соренсен развија тезу и парадоксе сматра једном врстом загонетки, сматрајући да историја филозофије постаје истински видљива тек када се посматра кроз призму првонасталих парадокса.51 Предсократовци представљају прву препознатљиву "групу" мислилаца који дефинишу питања која да се тичу природе. На нека од тих питања и данас не постоје коначни одговори. Управо специфичан начин формулисања питања, на која предсократовци траже одговоре, када размишљају о природи, први су зачеци онога што се данас назива парадоксом. У време када не постоји разлика између религије и филозофије, када не постоје принципи научног закључивања, када се формирају први ставови о окружењу човека, јасно је да се појављују неусклађене и неконзистентне импликације које доводе до "збуњености". Родоначелник парадокса, по Соренсену, је Анаксимандар (око 610-547 п.Х.) из Милета. Између осталог он се бави онтолошким питањима настанка и нестанка, а дао је и први модел свемира. На сличним принципима мишљења, изграђеним на интегрисаном простору старе Грчке, полемисао је и Зенон, мислилац чији парадокси и данас изазивају живо интересовање. Парадокс, који је настао, по свему судећи, као једна врста упитаности развијао се временом. Он је изгубио своју првобитно изграђену смисленост и развио се у аргументовано супротстављање општем ставу мњења чије се назнаке већ могу приметити у Зеноновим парадоксима. Настанак првих парадокса у физици Предисторија физике била је неодвојив део филозофије античке Грчке која је, између осталог, обухватала и одговоре на питања која су се тицала природе и појава које су се дешавале у човековој непосредној околини. Физика, као научна дисциплина, јасно је дефинисана у последњих неколико стотина година. Препознатљиви "архетип", из којег се физика "зачела" налази се у текстовима старогрчких филозофа, из којих је изворно настала целокупна јудео-хришћанска култура. Оно што се данас подразумева под физиком некада се називало филозофијом природе. Човекова потреба да се бави феноменима које уочава у свом окружењу, започета са предсократовцима из Милета, временски се поклапа са првим забележеним разумевањем феномена бројева који настаје са Питагором (око 582-500 п.Х.) и његовима следбеницима. Управо тај период представља иницијацију која је нулта тачка из које се развила физика. Познато је да Грци нису изводили лабораторијске експерименте како би проверили исправност својих идеја. Лабораторијски експеримент је настао заједно са науком, и он је 51 Sorensen, R. (2003). р. 3. & р. 10.


37

један од основних методолошких принципа изградње научног става. Парадокс, који је настао знатно пре лабораторијског експеримента, је једна врста његове претече. Парадокс је, у свом основном облику,52 настао као једна форма мишљења помоћу које је идеја стављана на проверу. Парадокс је тестирао одређени концепт мишљења. Пошто су Грци били оријентисани ка мисаоном конципирању "слике света", коју су градили на основу посматрања појава које су их окруживале, онда је и провера тих концепта била мисаоног карактера. Тако су настали и први мисаони експерименти.53 Када су ти мисаони експерименти обликовани у форму загонетки, која је имала за циљ да изазове сумњу или збуњеност у исправност мишљења, изградила се веза између мисаоних експеримената и парадокса. Филозофи у старој Грчкој нису водили рачуна да ли се ради о филозофским, логичким, математичким или физичким парадоксима зато што нису имали јасно дефинисане представе о тим областима и дисциплинама мишљења. Данас, када су све те дисциплине и научне области формулисане, савремени историчари науке траже трагове у нечему што је некада била јединствена форма, изграђена да се "сазна" природа која окружује човека. Примери првих парадокса физике Као примере првонасталих парадокса у филозофији природњачких и техничких опсервација у овом делу ће бити наведени и анализирани парадокси који потичу из периода и на простору старе Грчке. Вероватно да су и друге старе културе имале ту врсту парадоксалне опречности у начину размишљања и закључивања, али у овој тези оне нису узете у обзир. Обрађено је осам парадокса, од којих Зенонових парадокса има четири. Изабрани су најпознатији парадокси старе Грчке из домена филозофије природних наука (физике). Неки од њих су више "физичарски", попут Архимедовог парадокса или Аристотеловог парадокса точка, док су други више филозофски, попут Анаксимендровог парадокса настанка или Аристотеловог парадокса места. Зенонови парадокси су опште познати парадокси и као такви не фигурирају као физички парадокси, али су као парадокси кретања, простора, континуитета и времена ипак уврштени у овај избор. За анализу одабрани су следећи парадокси:

1. Анаксимендров парадокс настанка, 2. Зенонови парадокси, 3. Аристотелов парадокс точка, 4. Аристотелов парадокс места, 5. Архимедов парадокс.

1. Анаксимандаров парадокс настанка

Да ли свака ствар има свој настанак?

52 Како су га третирали Анаксимендар, Парменид, Зенон... 53 Да би нешто било мисаони експеримент треба да буде задовољена форма мисаоне инструметалности, да исказ буде: проверљив, сингуларан и да је физички (пондерабилно) нереализован.


38

Пример Анаксимадаровог парадокса настанка, као првог забележеног парадокса, може се пронаћи код Роја Соренсена у књизи Кратка историја парадокса.54 Овај парадокс се своди на питање настанка физички реалног света. Физика данас још увек нема коначан одговор на питање о настанку универзума.55 Парадоксалност Анаксимадаровог парадокса настанка заснована је на искуственом ставу "да све што постоји мора и да је настало". Анаксимендар не разликује филозофију природе (физику) од религије. Бог је једнако стваран као и закони природе. Исказ "Све што постоји је настало." принципијелног је карактера. Такав исказ може бити усвојен као принцип који дефинише границе. Оваква упитаност је филозофска и још увек метафизичка. Наведени парадокс уврштен је међу примере зато што се физичари баве и проблемима настанка физичких објеката. Упитна реченица је мисленог карактера и парадокс је зато теоријског типа. Могло би се рећи да је она један облик мислене спекулације.56 Анаксимендаров парадокс настанка је чулно опсервабилан парадокс. Искуство и индуктивни начин размишљања указују на став "Све што постоји је и настало". Док се другачије не покаже ово је и решење парадокса и зато је Анаксимендаров парадокс настанка – експарадокс. Он је и парадокс парадигме зато што има карактер принципа. Усвојивши један од два могућа принципа (оно што постоји мора или не мора да настане) парадигматично се мења "слика света". Разјашњење Анаксимендаровог парадокса настанка Искуство упућује на чињеницу да ствари којима су људи окружени, настају и нестају (добијају друге облике постојања). Не зна се за човека који се родио а да није умро. За временске интервале трајања који су дужи од људског живота постоје разна сведочанства. Екстремно великим интервалима трајања бави се наука (попут сазнања да Земља траје око 5 милијарди година и да Универзум траје преко 12 милијарди година...). Наука се не одриче вероватноће да у изнетим исказима греши. Некад је та вероватноћа велика, а некад мала. Наука не познаје ствар (предмет или биће) која није настала – за коју се може рећи да је вечна, никад створена. Религиозни ставови се по овом питању не подударају са научним. За поједине религије, попут хришћанске, Бог је вечан – никад створен. Парадокс је и настао услед "мешања" религиозног бића и искуствене потребе човека да спозна свет око себе. Та два дела човекове природе комплементарна су и опстају упркос порицања двојности. 2. Зенонови парадокси Зенонови парадокси се спомињу у Платоновој књизи Парменид. Платон (428/7-348/347 п.Х.) пише да их је Зенон (око 490-430 п.Х.) по први пут обнародовао када је дошао у посету Пармениду у Атину, око 450. годне пре Христа. У четири позната Зенонова парадокса анализирају се просторно-временске релације и кретање. Зенон се супротставља начелу питагорејског мишљења о мноштвености. Зенон, ученик и присталица

54 Sorensen, R. (2003). 55 Биг Банг је још увек само теорија, као и остале постојеће које се баве настанком универзума. 56 Попут Лапласовог демона.


39

Парменидовог (око 515-450 п.Х.) схватања о јединствености, смишља 40 парадокса,57 од којих је сачувано 4, помоћу којих брани Парменидово становиште о промени и кретању као људском привиду. Циљ формирања парадокса био је да се доведе у питање модел мишљења питагорејаца, и да се једном рационалном логичком анализом, свођењем на апсурд, успостави филозофски проблем који до тада није био нити искуствено нити рационално дефинисан. Зенонови парадокси су између осталог и кинематички парадокси – парадокси кретања. Осмишљени су тако да критички указују на принципијелност искуства приликом тумачења времена и простора. Критикују принципијелан став о времену, простору, кретању и континуитету. То су основне физичке величине и категорије помоћу којих се објашњава кинематика кретања. Парадоксалан став Зенона је успостављен негирањем начела "питагорејског плурализма". О времену, приликом анализе Зенонових парадокса, Аристотел у Физици наглашава:

1. да је време попут "медијума" у којем се врши кретање,58 2. да је време дељива категорија.59

Ово су принципи схватања времена на којима Зенон смишља парадоксе, и помоћу којих он тежи да доведе у питање њихов партикуларизам, покушавајући да на тај начин докаже да је време, као и простор, парменидски недељива целина. Практично су сва четири парадокса докази у којима се Зенон "игра" са феноменом кретања. Иако се Зенон бави кинематичким категоријама, оно што ове парадоксе чини парадоксалним јесте његов покушај да се избори са поларитетом односа коначног и бесконачног, континуитета и дискретности, целином и издељеношћу. Врло је нејединствен став да ли су ово логички, филозофски, математички или парадокси физике. Зенонови парадокси су све од наведеног. Они су незаобилазни у свакој од наведених области. а. Парадокс Ахила

Док прогонитељ (Ахил) пређе растојање које га дели од прогоњеног (корњаче), прогоњени се већ удаљи за неко одстојање, у односу на место на којем се налазио, у тренутку када се прогонитељ упустио у сустизање. Значи да прогонитељ никада неће сустићи прогоњеног.

Овај парадокс се може пронаћи и под називом Парадокс Ахила и корњаче. Помоћу њега се анализира трка у којој "најбржи" никада не сустиже и престиже "најспоријег". Парадокс Ахила нема утемељење у реалном физичком догађају (искуствено је јасно да ће Ахил брзо престићи корњачу). Дедуктивном анализом долази се до закључка који очигледно није истинит. Неистиност закључка није заснована у моделу закључивања, већ у

57 По наводима Проклуса у коментару Платоновог Парменида. 58 Аристотел, Физика, 239а25: "Будући све оно које се креће у времену се креће и из нечега у нешто се мијења, у времену у којем се креће само по себи и не креће се у неком дијелу тога [времена]." 59 Аристотел, Физика, 239а30: "Јер све је време дељиво; тако те ће у једноме његову дијелу за другим бити истинито рећи да у истоме бивају и сама ствар и њезини делови. Ако пак није тако, него је само у једноме од ‘сада’, онда неће бити никакво вријеме напрама чему [другоме], него напрама граници времена."; Аристотел, Физика, 239б5: "… јер се вријеме не састоји од недељивих ‘сада’, управо као ни једна друга величина."


40

поставци проблематике парадокса. Ово је случај да се једна реална физичка ситуација решава физички нереалном математичком апстракцијом (бесконачна дељивост просторне и временске протежности) и стога је ово парадокс по претпоставци. Постоје многа решења, почевши још од Аристотела, овог парадокса и стога ћемо га посматрати као експарадоксом. Поставка парадокса је апстрактне природе и објашњење је у колизији са реалним искуством. Циљ успостављања парадокса јесте да се обесмисли искуство. То је разлог зашто се третира као теоријски парадокс. Пошто је мисаона творевина са јасно формулисаном радњом и актерима он је мисаони експеримент. Разјашњење Парадокса Ахила Док Ахил стигне до места где је корњача, она се већ удаљила. У овом случају се растојање између Ахила и корњаче непрестано смањује, а то значи да се смањује и временски интервал Ахиловог сустизања до места где се корњача налазила у тренутку када је Ахил кренуо. Претпостaвка је да су брзине Ахила и корњаче сталне: v – брзина корњаче, u=x·v (x>1) – брзина Ахила, d – растојање између Ахила и корњаче. За временски интервал t=d/u=d/x·v Ахил је стигао на место где је била корњача када је он кренуо. Корњача је за тај временски интервал прешла пут d/x. Тај пут d/x Ахил пређе за временски интервал t=d/(x2·v). Корњача је за тај временски интервал прешла пут d/x2. И тако у бесконачност. Сабирањем временских интервала које је Ахил "утрошио" да сустигне корњачу добија се геометријски низ чије решење има коначну вредност, па значи да је и укупни временски интервал потребан Ахилу да сустигне корњачу – коначан (Ахил је стигао корњачу). Зенон полази од претпоставке да кретање не постоји и да је оно што се запажа привид, стога он закључује да Ахил не може да стигне корњачу. Искуство, ма како оно привидно било, ипак показује другачије. б. Парадокс дихотомије

Уколико кретање постоји увек се прво стигне до половине пута између старта и циља, а тих половина има бесконачно, што значи да се никада не стиже до циља, односно: нема кретања.60

Парадокс дихотомије се бави доказом (попут претходног парадокса) непостoјaња кретања. Циљ формирања парадокса од стране Зенона је да се докаже: да уколико кретање реално постоји, никада се не може стићи до циља. Парадокс дихотомије попут Парадокса Ахила нема утемељење у реалном физичком догађају. Такође се дедуктивном анализом долази до закључка који очигледно није истинит у реалном физичком свету. Неистиност закључка није заснована на моделу закључивања већ у поставци проблема парадокса, када се једна реална физичка ситуација решава физички нереалном математичком апстракцијом (бесконачна дељивост просторне и временске протежности) и стога је ово парадокс по претпоставци.

60 Аристотел, Физика, 239б10: "...‘оно које се премјешта' треба стићи до половице прије неголи до циља."


41

Парадокс дихотомије је решен и он је експарадокс. Ово је теоријски парадокс јер је заснован на једној теоријској претпоставци о бесконачној просторној дељивости. Третира се као мисаони експеримент јер је заснован на мисаоном концепту који нема утемељење у реалним физичким дешавањима. Разјашњење Парадокса дихотомије Рој Соренсен наглашава да он лично не види разлику између Парадокса Ахила и Парадокса дихотомије, осим у начину како се представља једна иста идеја. Оба парадокса су засновани на низу који се умањује у бесконачност, било да је то умањење временско-интервалне или просторно-дужинске протежности. Решење парадокса се може извести на сличан начин као код парадокса Ахила. в. Парадокс стреле

Уколико је све што заузима простор непокретно, и ако све што се назови привидно креће (стрела) налази у том истом простору, онда је и то што се креће непокретно.

Овај парадокс има за циљ да утемељи став како се избачена стрела из лука уствари не помера – да је њено кретање привид. У парадоксу се полази од претпоставке да је апсолутни простор у коме се све налази – непокретан, и да стога његов садржај мора такође бити непокретан. До закључка се долази дедуктивном методом која непосредно зависи од полазне претпоставке – стога је парадокс класификован као парадокс по претпоставци. Парадокс стреле је теоријски парадокс зато што је мисленог карактера и није заснован на реалном физичком догађају него на мисаоним спекулацијама. Он је и мисаони експеримент зато што задовољава критеријуме: садржи мисаону инструменталност, проверљив је, исказ је сингуларан и није пондерабилно реализован.61 Парадокс је решен и зато је експарадокс. Разјашњење Парадокса стреле Претпоставимо да се временски интервал састоји из тренутка чији период трајања тежи нули, онда услед "трајања тренутка без квантитативне вредности" нема ни кретања. Закључак у том случају је: ако нема кретања током тренутка, нема кретања ни током интервала који је од тренутака сачињен. Овај парадокс има своје математичко решење када се разматра помоћу граничне вредности, односно диференцирањем пређеног пута по времену, чиме се добија брзина кретања:

v = limt→0 ∆r/∆t = dr/dt

61 Многи су одапињали стрелу али је објашњење суштине чина лета стреле од круцијалног значаја, као што код Парадокса Шредингерове мачке није важно да се мачка стави у кутију. Сам чин је инструментално употребљен због мисаоног објашњења једне тезе служећи се при том апстрахованим а не пондерабилним (мерним) чињеницама.


42

За инфинитезимално мале временске интервале постоје инфинитезимално мали помераји који заједно дефинишу брзину кретања, чиме је брзина као релативна физичка величина дефинисана. Брзина постоји, али није одређен референтни положај у односу на који се брзина посматра. Константна брзина је релативна физичка величина чији је интензитет дефинисан једино дефинисањем реферетног положаја у односу на који се брзина мери. Парадокс је дефинитивно решен проналаском инфинитезималног рачуна. г. Парадокс стадиона

Посматра се кретање олине,62 у односу на једну олину – која мирује, и другу идентичну – која се креће у супротном смеру, једнаким интензитетом брзине. Олине прелазе једнака растојања за једнаке временске интервале. Док лева олина пролази поред пола мирујуће олине, истовремено пролази и целу олину која се креће. Све три олине се састоје из једнаког броја целина. Олина која се креће прелази пола мирујуће за временски интервал Т/2. Истовремено су се сви делови крећућих олина мимоишли. Услед мимоилажења 4 половине олина закључак је да се то чини за временски интервал 2Т. Из наведеног уочава се да постоје два различита временска интервала за догађај једнаког трајања, што је бесмислено – значи кретање је привидног карактера.63

Ради се о два идентична тела која се на тркалишту мимоилазе, крећући се при том брзинама једнаког интензитета и трећем телу које мирује. Ово је очигледан пример парадокса по претпоставци, у којем се на основу погрешних претпоставки изводе погрешни закључци. Наведени парадокс је теоријске природе у смислу анализе како се долази до закључка без заснованости у реалном искуству. Парадокс стадиона је мисаони експеримент услед објашњења које је мисаоног карактера. Овај парадокс попут Парадокса Шредингерове мачке има за циљ да измени мислено становиште.64 Врло је лако физички реализовати овај пример, попут свих претходних Зенонових парадокса, али анализа је мисаона спекулација. Парадокс је решен и стога је експарадокс. Разјашњење Парадокса стадиона Временским интервалима се приписује просторна карактеристика при чему се не узима у обзир брзина као релација везе између њих. Мимоилажење олина се анализира без коришћења закона сабирања брзина и то је основни разлог зашто се долази до закључака који су парадоксални. У анализи парадокса инсистира се на просторним деловима олине који се мимоилазе, при чему се изводи погрешан закључак јер се не прави разлика између мировања и кретања у истом референтном систему. У закључку парадокса претпоставља се да је време мимоилажења половина две олине, која мирује и која се креће, једнако као и време мимоилажења половина две олине које се обе крећу у супротним смеровима. Као додатно се то време умножава са 4 зато што су се мимоишле 4 половине олина.

62 Величина, вредност, количина, који могу бити схваћени као маса или тело. 63 Проблематичан за тумачење, овде је представљен на основама тумачења и превода Гаја (R. К. Gаyе). 64 Али то не чини, већ опстаје као један став заснован на постулираној претпоставци.


43

3. Аристотелов парадокс точка

Замајац је сачињен од два дела ваљка различитог полупречника. За време обртања и праволинијског кретања замајца, с лева на десно, мањи ваљак замајца додирује замишљену линију CD и прелази тај пут. За једнако време, већи ваљак замајца, који се окреће једнаком угаоном брзином, прелази пут AB. Овај закључак наговештава да је обим мањег ваљака замајца једнаке дужине као и обим већег ваљка замајца што је очигледна неистина.

Овај парадокс потиче највероватније од Аристотела (384-322 п.Х.), из његове књиге Механика. Ово тврђење је несигурно и непотврђено. Аристотелов парадокс точка припада кинематици ротационог кретања, подобласти класичне механике.

Слика 1. Аристотелов точак65 Парадокс је решен и стога је експарадокс. С обзиром да се закључак о једнакости обима мањег и већег ваљка замајца заснива на нетачно изведеном аргументу коришћењем нетачних тврдњи које смислено доводе до наведеног закључка, овај парадокс се категорише као привидни парадокс. Парадокс је теоријске природе зато што је објашњење које доводи до парадоксалности засновано на спекулативном теоријском концепту. Парадокс није мисаони експеримент зато што је реално чулно остварив. Разјашњење Аристотеловог парадокса точка Основна грешка која доводи до парадокса јесте претпоставка да се тачка А креће дуж приказане путање AB, и да се тачка C креће дуж приказане путање CD. То је путања кретања центра замајца, који је једнак за оба ваљка замајца, док се тачке А и С крећу по другачијим путањама. Док центар замајца пређе растојање AB=CD, тачке А и С се крећу по кривама сличног облика али различите дужине. Оне се разликују: AB>CD. 4. Аристотелов парадокс места66

Ако све што постоји има своје место, и то место има место, и место места има место, и тако може у бесконачност.

Овај парадокс је филозофске природе. Простор је битна тема којима се баве физичари и то је разлог зашто је Аристотелов парадокс места наведен као пример. Парадокс се формулише приликом претпостављене чињенице да не постоји јасно дефинисано место за које би се могло рећи да се на њему одређени догађај дешава. Релативизовањем на овај начин се може се доћи до закључка како је све уствари једно

65 Слика је преузета из Loy, Ј. (2002). 66 Физика IV:1, 209a25


44

целовито место, на начин како Једно схвата Парменид, а када се тако закључује онда следи и да нема кретања – да је оно само привид. По структури је овај парадокс веома сличан Зеноновим парадоксима. Аристотелов парадокс места није утемељен у реалном физичком систему, већ на физички нереалној математичкој апстракцији (бесконачна дељивост просторне протежности) и зато је он парадокс по претпоставци. Постоји решење овог парадокса и стога је експарадокс. Парадокс је апстрактне природе и као вид мисаоне спекулације може се сматрати да је то теоријски парадокс. Та мисаона спекулација нема утемељење у физичком искуству и она јесте мисаони експеримент. Разјашњење Аристотеловог парадокса места Парадокс претпоставља могућност фрагментације простора у бесконачност. Та врста дељивости је математичког карактера, као што се то дешава у Зеноновим парадоксима. Физика подразумева да није могућа дељивост у бесконачност. Најмања мера просторне дељивости је Планкова дужина, која је дефинисана као граница физичке реалности.67 Ма како била мала вредност, могуће је дефинисати појам места, што је у физици веома битно јер је могуће дефинисати положај референтног система из којег се одређени догађај посматра. 5. Архимедов парадокс

Велики бојни брод може пловити у неколико литара воде. Сам назив парадокса упућује на претпоставку да је његов творац Архимед (287-212 п.Х.). Парадокс је заснован на чињеници да тело, чија је густина мања, а запремина већа, од воде у којој се налази, може пловити по њеној површини. Парадокс је привидан јер је изграђен на темељима наизглед немогућег догађаја што се може оповргнути и математичким формулама и реалним извођењем. Парадокс није настао у процесу сазнања, или на неким парадигматичним основама које доводе до контраинтуитивног закључка. Он се само наизглед чини неоснованим. Архимедов парадокс је експарадокс зато што је његово решење јасно са становишта физике. Парадокс је настао као мисаона спекулација, која провокативним приступом треба да изазове конфузију. Циљ настанка парадокса је експресивног карактера – да се на један необичан и памтљив начин предоче закони физике. Парадокс јесте реално физички изводив, али Архимедов парадокс је уврштен у мисаони експеримент, услед мисленог разлога његовог настанка и релативно компликоване физичке реализације. Парадокс реално није ни теоријске ни експерименталне природе, али је ипак подведен као теоријски парадокс.68 Парадокс је лако објашњив и највероватније да није настао након

67 Физички закони нису валидни за вредности које су мање од Планкове дужине. 68 Експеримент може да се реализује, али сама реализација није битна, колико је битна назнака о деловању силе потиска. Слично као код Парадокса Шредингерове мачке, када сама реализација стављања мачке у кутију није од значаја.


45

реализованих реалних експеримената, где се неко сетио да узме бојни брод (или било какав брод или чамац) и да га стави у неколико литара воде да провери да ли ће моћи да плови. Разјашњење Архимедовог парадокса Парадокс је заснован на Архимедовом принципу. То је случај равнотеже када тело плива. Значи да би тело пливало мора да буде: окружено течношћу (у овом случају водом), да му је густина мања од густине течности, да му је дубина довољна да не додирује дно како би деловала сила потиска. Пар литара воде не може да омогући да брод не додирује дно, тако да он неће пливати. Закључак Може се приметити да су одабрани парадокси, иако сви припадају филозофији природних наука, прилично различити. Прави парадокси физике су Аристотелов парадокс точка и Архимедов парадокс. То су парадокси који могу да буду физички реализовани и проверени. Остали одабрани парадокси су теоријске и мисаоне природе. Аристотелов парадокс точка, Зенонови парадокси и Архимедов парадокс су парадокси у којима се физичко искуство сукобљава са назнакама на које сам парадокс наводи. Анаксимендров парадокс настанка и Аристотелов парадокс места су парадокси у којима су мисаоност и филозофски принципи доминантни у односу на прагматичност физике. Зенонови парадокси негирају физичко искуство, то им је циљ настанка. Анализа је заснована на претпоставкама које су у колизији са физичким искуством. Сви су једнообразно структурирани, што се може видети из анализе. Зенонови парадокси су: парадокси по претпоставци, експарадокси, теоријске су природе и мисаони су експерименти. Анализа потврђује да су највероватније креирани од истог човека. Често се може пронаћи да су Зенонови парадокси сврстани као: филозофски, математички или логички парадокси. Тема коју они третирају је изразито физичарска, али је начин на који је она третирана није. Иста структура парадокса је препозната и код Аристотеловог парадокса места. Приликом анализе је уочена сличност у структури Аристотеловог парадокса точка и Архимедовог парадокса. Парадокси су привидни зато што се једно реално уочава а до парадокса долази приликом теоријске анализе. Иначе, Архимедов парадокс је сврстан под мисаони експеримент и сам парадокс је конципиран на преувеличавању. Анаксимандров парадокс настанка филозофски је парадокс сведен на питање на које се принципијелно зна одговор. По форми и структури парадокс се разликује од осталих, и као најсличнији (по структури) Аристотелов парадокс места се ипак разликује јер у себи има инфинитезимални садржај (места у месту) тежње ка бесконачности и континуитету који га обесмишљава. Литература

1. Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge, London. 2. Loy, Ј. (2002). Aristotle's Wheel Paradox. e-print:

http://www.jimloy.com/geometry/wheel.htm



46

3. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Harvard University Press, Cambridge.

4. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court, Chicago. 5. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 6. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxford University Press, Oxford. 7. Аничин, И. В. (2006). Обрада резултата мерења. Универзитет у Београду Физички

факултет (треће издање), Београд. 8. Aристотел, (1987). Физика. СНЛ, Загреб. 9. Арсенијевић, M. (1986). Простор, време, Зенон. БиблиоТека ФИЛОЗОФСКЕ

СТУДИЈЕ, Београд-Загреб. 10. Коплстон, Ф. (1988). Историја филозофије (Том I, Грчка и Рим). БИГЗ, Београд. 11. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (механика и гравитација). ИРО "Грађевинска

књига", Београд. Табеле Табеларни преглед Зенонових парадокса

Парадокс Ахила

Парадокс дихотомије

Парадокс стреле

Парадокс стадиона

Врста парадокса

Парадокс по претпоставци




Решеност парадокса

Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс

Извор парадокса

Теорија Теорија Теорија Теорија

Мисаоност парадокса

Мисаони експеримент




Табела 1 Табеларни преглед карактеристика првих парадокса физике

Аристотелов парадокс точка

Анаксимендров парадокс настанка

Зенонови парадокси

Аристотелов парадокс места

Aрхимедов парадокс


Привидни парадокс

Парадокс парадигме





Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија


Чулна опсервација

Чулна oпсервација




Табела 2


47


48

III Типови парадокса


49

Људи воле парадоксе и посебно настоје да разумеју оно што други не могу да схвате. Адам Смит There is a mistake somewhere... Lewis Caroll, Alice's Adventures in Wonderland Историја филозофије постаје видљива кроз призму парадокса. Рој Соренсен Први циљ науке је да благонаклоно и без предрасуда тумачи језик природе. Михајло Пупин, Романса машина


50

Класификација парадокса према научним дисциплинама у Википедији Класификација је принципијелан начин организовања знања и представља један од основних корака у његовом стварању. У овом поглављу ће се, без посебних објашњења, класификовати парадокси и само ће се навести по имену да у раду буду заведени због концептуално упоредног развоја тезе. Наводимо класификацију парадокса која се може пронаћи на интернету, на Википедија енциклопедији, и она је изведена на следећи начин:69

1. Логички (нематематички) парадокси; a. Само-референтни парадокси; b. Парадокси нејасноће;

2. Математички и статистички парадокси; a. Парадокси вероватноће; b. Парадокси бесконачности; c. Парадокси у геометрији и топологији;

3. Парадокси одлуке; 4. Хемијски парадокси; 5. Физички парадокси; 6. Филозофски парадокси; 7. Психолошки парадокси; 8. Економски парадокси.

Интересантно је да у наведеној подели нема парадокса у биологији. У табелама (због боље прегледности) су представљени парадокси наведени у Википедији.

Математички и статистички Бесконачности геометрије и топологије вероватноће

Бурали-Фортијев Банач-Тарски Берксонов Расподеле (Алабама, Новог стања, популације)

Галилејев Габријеловог рога (Торичелијева труба)

Бертрандов Стреле/Гласања

Хилбертов Гранд хотела Хаусдорфов Рођендана Бенфордов закон

Монтија Хела Обале Борелов Лифта

Сколемов Смелов Дечак и девојчица Прегледа

Обале и сирене Недостатак одговарајућег пазла Хоџсонов Интересантног броја

Монтија Хола Непрелазне коцке

Кравате Линдлијев

Симсонов Мале тежине при рођењу

Успаване лепотице Недостајућег долара

Статистички

Вила Роџера

Врајтов

Табела 3

69 Обрађено 15.12.2006.


51

Логички (нематематички) парадокси

... семантички нејасноће Захтева Беријев Тезејски брод

Гаврана Брајанов Соритес

Коња Куријев

Неочекиваног вешања Епименидов

Пијанца Изузетка

Каролов Фазини

Лутрије Грелинг-Нелсонов

Хегелов

Лажљивца

Петронијусов

Квинов

Суда

Раселов

Ричардов

Шаинесов

Не читај ово

Смислено празна страна

Дразинов

Динов парадокс

Табела 4 Одлуке Хемијски Филозофски Психолошки Економски

Албилејн САР Епикуров/ Проблем зла Реверзне психологије Абилејн

Магарца Слободна воља и свезнање Храбрење да се буде спонтан

Алаис

Контроле Деде (Путовања кроз време) Оглашавање пилота Бертрандов

Мортонове виљушке Хатонов Помешаних порука Птице у грму (Врапца у руци)

Хедонизма 1 Либерала Жеље и људске природе Дијамант-вода

Њукомбов Простог додавања Естетика модерне уметности

Еџевортов

Кафкиног отровног пазла Муров Елсбергов

Роман Нихилизма Гибсонов

Свемоћи 1 Гифен

Свемоћи 2 Јевонс

Хедонизма 2 Леонтиеф

Предестинације Марша Кинеза

Зенонови Штедње

Парондов

Сент Петерсбурга

Табела 5

У подели која се може пронаћи на Википедија енциклопедији, на интенету, нема парадокса времена. Парадокси који су сврстани у групу парадокса времена на Википедији се могу пронаћи уврштени у различите области – првенствено међу филозофским парадоксима.


52

Парадокси теорије скупова (Раселов парадокс, Грелингов парадокс...) треба да буду посебна група математичких парадокса – математичка логика, али нису тако класификовани. Класификације парадокса Пјер Дијем (Pierre Duhem, 1861-1916) у књизи Циљ и структура физичке теорије овако пише у уводу одељка који носи назив "Улога природне класификације и објашњења у развоју физичке теорије":

"Сматрамо да се циљ физичке теорије састоји у томе да она постане природна класификација, тј. да се међу различитим експерименталним законима успостави логички однос који ће у неку руку бити слика или одраз стварне уређености којом се одликују за нас неухватљиви реалитети. То је и услов који се мора испунити да би теорија била плодоносна и да би могла подстицати нова открића."70

Када се парадокс сврста у одређену класификациону групу, он може истовремено бити вишезначан: лажан парадокс, соритес парадокс или на пример парадокс лимита. Због постојања више врста подела и непринципијелности критеријума према којима се те поделе врше, дешава се да се један парадокс може сврстати у више група. Препознатљивост парадокса је још увек недовољно дефинисана и то је један од разлога због чега је писана ова теза. Вилард Квајн прави разлику између три врсте парадокса.71 Исту поделу и на сличан начин образлаже Стефан Баркер (Stephen Francis Barker) у књизи Филозофија математике. Подела која следи сачињена је на примерима логичких парадокса и парадокса математичке логике:72

1. Потврдљиви (veridical) парадокси (парадокси потврде), су парaдокси чији је резултат апсурдан, али представљен да изгледа истинито. То су ситуације које су наизглед немогуће или противречне, али су ипак истините. Садрже у себи изненађење које нестаје приликoм објашњењa. Примери: Федериков рођендан у оперети Пирати од Пензијаса73, Стрелина невероватна теорема, Симсонов парадокс, постојање једнаког броја парних и непарних бројева према Канторовој теорији...

2. Лажни (falsidical) парадокси, су засновани на резултатима који нису само наизглед неистинити и делују лажно – они су заиста неистинити и лажни. Приликом објашњења парадокса, расуђивање изгледа исправно, а закључак је ипак бесмислен и лажан. Ови парадокси садрже изненађење које је као "лажни аларм" када се реши

70 Дијем, П. (2003). стр. 44. 71 Quine, W. V. (1976). p. 1-19. 72 Quine, W. V. (1962). Paradox. Scientific American, April, p. 84-96. Такође: Quine, W. V. (1966). 73 У оперети Пирати од Пензијаса, младић Федерик приступа пиратима у својој 21. години. По услову уговора он није могао да приступи пиратима пре 21. рођендана. Федерик је рођен 29. фебруара. Он је практично био стар 21 годину, али је прославио тек 5 рођендана.


53

изгледајућа грешка. Примери: разни погрешни алгебарски докази,74 Парадокс коња, Зенонови парадокси...

3. Антиномије, су парадокси који нису класификовани под прве две врсте.75 Они су самоконтрадикторни у начину излагања или резоновања, а до контрадикторности је дошло услед усвојених принципа. Расуђивањем, које изгледа исправно, показује се да је изведени закључак и истинит и лажан. Парадигме истине и веровања морају бити одбачене или проверене. Садрже у себи изненађење које може носити и нарушавање концептулане баштине. Примери: Грелинг-Нелсонов парадокс, Раселов парадокс, Епименидесов парадокс...

Одређивање којој врсти поједини парадокс припада може да доведе до неслагања, скреће пажњу Квајн, зато што:

"неком човеку антиномија може бити оно што је другом човеку парадокс потврде, или оно што неком парадокс потврде неком другом може бити плиткост духа."76

Парадокс је дубоко повезан са основним усвојеним принципима који се разликују од човека до човека и од групе људи до групе људи. При покушају да се формира општа представа о парадоксима, постоји опасност да се упадне у замку субјективизма. У томе и јесте дуалност феномена парадокса. Парадокс истовремено наводи на сумњу и фундира истину. Квајн изводи аналогију између "математичког и физичког мита",77 с тим што установљене противречности у физици сматра не тако "окорелим", јер математика је ипак "нормативна дисциплина", чији је формализам знатно строжије изграђен у пopeђeњу сa физикoм. Марк Сеинсбури разликује парадоксе по степену зависности формулације од њихове "камуфлаже реалности" – колика је релевантност формираног парадокса, формулисаног на субјекту препознатљив начин, чиме се интерпретира одређена појава. Нормира их, и нумерички вреднује oд 1 до 10, при чему вредност 1 имају они чија је "камуфлажна способност" мала (Парадокс берберина), док са 10 вреднује оне чија интерпретација "дрма" темеље мишљења (Парадокс лажљивца). Сеинсбури примећује да се парадокси могу груписати према области предметног значења, при чему, разликује парадоксе који се тичу: а) простора, б) времена и ц) бесконачности (попут Зенонових парадокса) или оне који су назнака рационалне акције (Њукомбов парадокс, Парадокс дилеме затвореника).

74 Доказ да је 2=1. Верзија Аугуста Де Моргана (Augustus De Morgan): узмимо да је х=1, помножимо обе стране са х ⇒ х2=х, одузмимо са обе стране 1 ⇒ х2-1=х-1, растављањем на чиниоце леве стране као разлику квадрата ⇒ (х-1)(х+1)=х-1, делењем обе стране са (х-1) ⇒ х+1=1, када заменимо претпоставку да је х=1 ⇒ 2=1. Примедба: Грешка која доводи до контрадикције у овом парадоксу је да делењем са (х-1), под почетном претпоставком х=1. Једначина се дели са нулом, чиме се креирају бесконачности са обе стране једнакости, јер коначна вредност када је дељена са нулом суочава делиоца са бесконачношћу. 75 Поједини аутори, код нас, не праве разлику између парадокса и антиномија: Розалиа Мадраш-Силађи у књизи Математичка логика и теорија скупова све назива антиномијама. 76 Quine, W. V. (1976). p. 9. 77 Quine, W. V. (1987).


54

Једну од првих класификација парадокса чини Франк Ремзи (Frank Plumpton Ramsey, 1903-1930), ученик Бертранда Расела, у свом делу The foundations of mathematics, 1925. године. Он парадоксе дели на:78

− Логичко-математичке парадоксе – то су парадокси који се непосредно тичу математике или логике (Раселов парадокс, Бурали-Фортијев парадокс...);

− Семантичке парадоксе (другачије их назива и епистемолошке парадоксе) – то су сви они парадокси који у себи садрже лингвистичку или епистемолошку конотацију, које се односе на значење или смисао (Епименидов парадокс, Беријев парадокс...).

Исправан јe став Милана Божића79 да је подела Франка Ремзија упроштена и да се не може направити јасна подела између парадокса који би припадали једној или другој групи. Код Роја Соренсена, у књизи, се може пронаћи слично дефинисана подела парадокса на:

1. Научне парадоксе – код којих до парадоксалног несагласја долази услед научног погледа на свет, у којем: посматрање, експеримент, рачун и мерење играју кључну улогу приликом објашњења и доношења исказа о опсервираном феномену. Он потврђује како су многи од научних парадокса већ решени;

2. Филозофске парадоксе – који потичу од људске тежње за сазнањем и не могу да буду названи научним. То су мислени парадокси који се налазе изван области у којима се сазнање дефинише научним методама.

Према горе наведеним упрошћеним поделама, моглo би да сe закључи, с намером да сe такође поједностави класификацијa парадокса, да је ће у овој тези бити заступљена основна подела парадокса на:

− Онтолошке парадоксе, који се тичу реалних појава, у реалном физичком окружењу. Могу сe другачије назвати и реални парадокси – ти парадокси нису језичке природе већ су настали у процесу проучавања суштине природе;

− Семантичке парадоксе, који се тичу објашњења реалних појава који могу бити теоријског (објашњавалачког) карактера. Могу сe другачије звати епистемолошки или објашњавалачки парадокси – они настају у процесу објашњења физичке појаве.

У литератури се могу пронаћи различите класификације парадокса, без јасног класификационог критеријума, који не дозвољава да један парадокс може припадати у више класификационих група. Могу се пронаћи следеће врсте парадокса:

1. Парадокси нејасноће; 2. Соритес парадокси; 3. Само-референтни парадокси; 4. Парадокси лимита; 5. Математички парадокси физике; 6. Парадокси бесконачности;

78 Ramsey, F. P. (1925). 79 Божић, М. (2002). Флогистон, бр.10. стр. 81-101.


55

7. Визуелни парадокси; 8. Парадокси мешања парадигми.

1. Парадокси нејасноће (Vagueness) су чести парадокси, који настају у једном облику неспоразума, услед нејасне дефинисаности проблема који се тиче феномена. Нејасноћа може да се односи на:

− Реалан објекат (пуно-мало, жуто-црвено...) − Вредносну функцију (добар-лош, паметан-глуп...)

Парадокси који настају услед нејасне границе прелаза једне карактеристике у другу, услед могућности релативизовања појмова, попут: висок-низак, дугачак-кратак, јак-слаб, или у спектру боја када се не може рећи када је једна боја преко низа нијанси претекла у другу боју. 2. Соритес парадокси су специјалан случај парадокса нејасноће. Код њих кључна реч има нејасно значење. На пример: Шта значи имати пуно пара? Имати 100.000 долара. Имати 100.000 долара у нeкoј сиpoмaшнoј зeмљи није исто што и имати 100.000 долара на Менхетну.80 Количина има значај у оба случаја, али шта значи имати пуно пара, или где се налази квантитативна граница између пуно и мало? Често је, за појединце из света бизниса, наведена сума новца веома мала. Свака квантитативна могућност поређења, без унапред јасно аргументованих и прецизираних разлика (које су такође од човека дате),81 ствара могућност за формирање соритес парадокса. Етимолошко разматрање указује да назив за ову врсту парадокса потиче од грчке речи σωρός (сорос), чије је значење: мноштво, хрпа, гомила. Сви парадокси који се тичу количине припадају групи соритес парадокса. Пример који се често наводи за ову врсту парадокса је гомила песка. Одузимањем зрна по зрна од гомиле, поставља се питање: када ће сe моћи рећи да је тај песак престао да буде гомила? Добар пример за соритес парадокс у физици наводи, али у једном другом контексту, Ђорђе Живановић када се пита:

"Колико микро-система треба да садржи сложени систем па да буде макроскопски, тј. да за њега почне да важи класична механика?"82

3. Само-референтни (self-reference) парадокси сe на српском могу назвати и само-упутни или само-позивни83 парадокси. За само-референтне парадоксе каже се да су то парадокси у којима сe:

"кључни појам дефинише помоћу неке тоталности коме и он сам припада и у свим парадоксима имамо неко кружење у аргументацији."84

80 И на Менхетну постоје људи који припадају различитим финансијским класама. 81 И државне границе су измишљене. 82 Бом, Д. (1972). – Из предговора Ђорђа Живановића у тексту: Бомов антимеханистички став и интерпретација квантне механике. стр. 26. 83 Madarasz –Szilagyi, R. (2005).


56

Само-позивни парадокси су настали на принципу посебног типа цикличног софизма, код којих се парадоксална ситуација формира "позивом на саму себе". Проблем код ове врсте парадокса јесте тешкоћа да се увиди где се тај "самопозив" десио. Карактеристика им је да када се партикуларно разложе у себи немају ништа парадоксално, али када се та партикуларност обједини долази се до неконзистентности која је настала у процесу закључивања.

Слика 2. М. К. Ешер, Руке које цртају (литографија, 1948) Формирање самoреферентних парадокса је условно конзистенатно са Геделовим теоремама непотпуности, које доказују постојање могућности за остварење противречности у формализованим системима. "Самопозив" је момент остварења противречности. "Самопозив" се појављује у цикличној вези питања и објашњења, при чему се у једном моменту јавља објашњење које више није у конзистентном односу са објашњењем које је одговор на почетно питање у формираном цикличном низу. Примери: Епименидисов парадокс, Раселов парадокс, Грелинг-Нелсонов парадокс... 4. Парадокси лимита су, према Британика енциклопедији, парадокси који представљају резултат проистекао из погрешне идеје: да гранична (апроксимована) конфигурација настала, на пример умањивањем, мора имати особине које су дефинисане случајевима одговарајућих особина конфигурација које се апроксимују. Квајновски посматрано: ово су лажни парадокси, јер је наизглед исправно расуђивање довело до погрешног закључка. Парадокси овог типа су у принципу математички, и имају погодно тло у физици. Ма како то парадоксално, у први мах, изгледало, до одређења коначних чињеница долази сe бесконачним низом корака, па неки од ових парадокса могу да се опсервирају и као парадокси бесконачности. Класичан пример парадокса лимита је поређење дужина страница код једнакостраничног троугла ABC:

ABC=2AC ADEFC=2AC AGHIEJKLC=2AC . . . AC=2AC

Слика 3. Подела троугла

84 Madarasz -Szilagyi, R. (2005).


57

У физици се овакви парадокси дешавају у граничним ситуацијама, где природа сама има ограничења. То су границе дефинисане: физичким константама, брзином светлости, апсолутном нулом, квантом дејства, на граници Шварцвилдове површи... Примери: Даламберов парадокс, парадокси СТР-а, Парадокси ОТР-а... 5. Математички парадокси физике су парадокси код којих се математичка предвиђања развоја догађаја налазе у контрадикцији са реалним дешавањем. Попут парадокса лимита, који може да се сврста под тип парадокса математичке природе, и ово су лажни парадокси посматрано по критеријумима Виларда Квајна. До парадокса долази употребом наизглед одговарајућег математичког апарата који води ка очигледно погрешном закључку. Примери: Даламберов парадокс, Зомерфелдов парадокс, Гибсов парадокс, Лошмидтов парадокс... 6. Парадокси бесконачности се класификују као математички парадокси, јер је математика, као најстрожа интелектуална аналитичка дисциплина, највише учинила на формирању представа о значењу бесконачности и облицима њеног испољавања, како у апстрактним, тако и у реалним системима. Бесконачност означава структуре и процесе код којих нису дефинисана ограничења, и као таква присутна je у физици у облику парадокса лимита. Примери: Бурали-Фортијев парадокс, Галилејев парадокс, Парадокс Болцманове бесконачности, Парадокс Хилбертовог Гранд хотела, Парадокс Монтија Хала, Парадокс обале и сирене, Сколемов парадокс, Поенкареов рекурентни парадокс, Парадокс ултра-љубичасте катастрофе... 7. Визуелни парадокси су парадокси који стварају визуелну илузију, за коју је јасно да не егзистира у реалности. У овај тип парадокса спада на пример Троугао Роџера Пенроуза (Roger Penrose). Прави "чаробњак" за ову врсту парадокса био je холандски сликар и графичар Мауритс Корнелиус Ешер (Maurits Cornelius Escher, 1902-1972). Само тумачење визуелних парадокса је директно повезано са разлозима настанка илузије, и ови парадокси не захтевају посебна објашњења. Визуелни парадокси могу да буду и физички феномени. Могу се разликовати реални и замишљени визуелни парадокси. Реални би били они парадокси за које је јасно да не постоје на начин како их видимо у реалном окружењу, попут фатаморгане, док су замишљени парадокси фикције попут Ешерових слика или Пенроузовог троугла. Ово су лажни парадокси јер им је природа или невероватна (ако су замишљени) или неистинита, или пак само вapкa (ако потичу од реалног феномена). Примери: фатаморгана, привидни прелом објекта који се делом налази у води а делом у ваздуху (кашика у чаши с водом), Пенроузов троугао... 8. Парадокси мешања парадигми су парадокси који настају при дефинисању проблема, или феномена, коришћењем концепцијски различитих модела мишљења. Дефинисање овог типа парадокса је засновано на становишту Томаса Куна: да до концепцијске измене феномена "слике света" долази услед измене основних парадигми која је генерише. Оно што се назива парадоксом приликом тумачења одређене појаве према једном парадигматичном обрасцу, не мора да буде парадокс када се та појава тумачи према


58

неком другом парадигматичном обрасцу. Пример настанка овог парадокса је када се једна парадигма мишљења меша са другом и као резултат настаје контрадикција. Ако се одређени

проблем посматра са становишта два принципијелно различита концептулна модела, уопштавањем се добијају контрадикције које се називају парадоксима. Конкретно, уколико је квантно-физичко тумачење да је фотон "истовремено прошао кроз обе пукотине" сагласно са квантно-физичким принципима, то тумачење је за класичну физику неприхватљиво јер се "сукобљава" са принципима на којима је заснована класична физика. Такође, класичан пример овог типа парадокса у физици је Максвелов демон. Када се у физику микростања (која се описују и дефинишу физиком заснованом на принципима статистичке физике) уведе "класично биће" (које са понаша по законима макро-физике) ствара се могућност настанка ситуције која је парадоксална са становишта посматрача-човека. Ово су по Виларду Квајну антиномије зато што посматрано из једног парадигматичног угла то јесу, а посматране из другог парадигматичног угла оне нису парадокси. Ови парадокси нису описани код Томаса Куна. Они су очигледни и препознатљиви, и терминолошки треба да буду усвојени као засебна група парадокса. Примери: Парадокс расејања фотона на две пукотине, Максвелов демон, Парадокс Шредингерове мачке, Олберсов парадокс... Парадокси, било којој дисциплини људског духа да припадају, могу бити решени, нерешени или "назови решени парадокси". Последњи овде наведени парадокси су они за које сe мисли да су решени, али је то решење нетачно. Проверено решени парадокси се могу назвати експарадоксима. Класификације парадокса у физици Парадокси се најчешће јављају у "критичним ситуацијама", приликом настајања новог парадигматичног мишљења у физици, и у "кризи" стандардног мишљења, до којег је могло да дође услед неопходности његовог модификовања, изазвано новинaма које захтевају корекције. Парадокси су акт нарушавања принципа физике. Разни су начини како се могу касификовати парадокси у физици. Један од начина, који се може пронаћи на сајту Википедије (Интернет енциклопедији), је следећи:

1. Парадокси настали услед погрешних претпоставки (Парадокс близанаца, Парадокс лествица, Суплијев парадокс, Бабинетов парадокс, Гибсов парадокс, Олберсов парадокс, Мпемба парадокс...); Ово су парадокси који се супротстављају здраворазумским предвиђањима. Претпоставке које су довеле до предвиђања биле су погрешне или некомплетне.

2. Парадокси настали због нефизичких, математичких, идеализација (Зенонови парадокси, Даламберов парадокс, парадокси СТР-а...); У ову категорију се могу сврстати и парадокси лимита који настају услед идеализације приликом постизања вредности које су дефинисане физичким константама.

3. Квантно-механички парадокси (ЕПР парадокс, Парадокс Шредингерове мачке, Парадокс информације из црне рупе...); Тип парадокса који су дефинисани према


59

области физике. У контексту критеријума наведене класификације је неприкладан зато што су изузети парадокси осталих области физике.

4. Парадокси каузалитета (Парадокс путовања кроз време, Лошмидтов парадокс...) Парадокси каузалитета су парадокси који нарушавају линеарну хронологију узрочно-последичне везе која је установљена као један од примарних принципа класичне физике.

5. Посматрачки парадокси (ГЗК парадокс...); Посматрачки парадокси могу бити различити. Под посматрачким парадоксима могу се подвести и већ споменути визуелни парадокси.

На истом месту, у Википедији може се пронаћи и да се парадокси у физици налазе у привидној контрадикторности са физичким описом. Такође, прави се разлика између парадокса прихваћених као куриозитет у физици (који чине већину), од парадокса који су настали на основу неодговарајуће интерпретације теорије (који су у мањини). Као закључак навoди се да су парадокси у физици претпоставка да постоји грешка или одређена врста некомплетности. Горе наведена класификација има ману: Не постоји заједничка референца по којој је ова класификације изведена, на основу које се може рећи да се парадокси управо по њој разликују. Да би сe нешто назвалo класификацијом неопходно је одредити извесни чинилац, који је заједнички за све класе класификације.85 Као пример може се навести да је квантна механика једна од области физике, и да парадокси који су настали услед лоше претпоставке, могу бити квантно-механички, али могу бити и из осталих области физике. То значи да се ове две класификоване разлике не могу сврстати у једну класификацију, према којој ће се разликовати парадокси у физици. То је основни узрок због кога наведена класификација нема упориште да буде усвојена. Ахаронов и Рорлих86 усвајају Сеисбуријеву дефиницију парадокса, али је интерпретирају на знатно радикалнији начин. За њих је парадокс веома користан, јер указује на чињеницу да нешто није како треба, када сви показатељи упућују да је све ваљано. Према њиховом ставу парадокс указује да нешто не ваља, али не и шта не ваља. Они разликују три врсте парадокса у физици:

1. Парадокси грешке, (errors) настају услед грешке која може бити једноставна али и врло суптилна да би била препозната. Уколико се грешка открије парадокс се решава. Основна карактеристика ових парадокса јесте да се њиховим решавањем унапређује разумевање теорије, а не унапређује се сама теорија. Наводе као пример како због погрешног разумевања појма истовремености настају парадокси у специјалној теорији релативности. Примери: Парадокс Ајнштајн-Борове кутије, Парадокс близанаца, Динглов парадокс, Парадокс Андромеде...

2. Парадокси раскорака, (gaps) другачије се могу пронаћи и као парадокси контрадикције (ублажену верзију): указују на постојање недостатка у физичкој теорији. Код парадокса раскорака недостатак који се уочава, и који указује на

85 Морис, К. и Ернест, Н. (1979). стр. 242. 86 Aharonov, Y. & Rohrlich, D. (2003).


60

парадокс није "фаталне природе". Решавањем парадокса не нарушава се физичка теорија. Примери: Вилеров парадокс ентропије црне рупе...

3. Парадокси контрадикције, (contradictions) представљају екстремнију верзију парадокса раскорака. Овај тип парадокса указује на постајање контрадикције у физичкој теорији која је "фаталне природе", и чијим решавањем се мења парадигма. Примери: Парадокс одржања наелектрисања у ротирајућем систему, Парадокс ултра-љубичасте катастрофе...

Начињена је вредносна градација парадокса и дефинисане су врсте парадокса по различитим карактеристикама за парадоксе филозофије, математике и логике. Намеће се питање: Колико од тих формулација се може усвојити да на једнако добар начин функционише у физици? Изграђене на већ постојећим основама овде ће бити приказане класификације које ће се применити у дисертацији. Изведени на различитим основама класификациони критеријуми парадокса у физици разликују се према:

I. Oбласти у којој се парадокси јављају; II. Oблику формулације (да ли потичу из емпиријских или теоријских садржаја

физике); III. Степену развијености области у оквиру које се јављају (приликом формулисања

нове области, или приликом кризе мишљења у већ дефинисаној области). I. Парадокси могу да се групишу према области физике. Постоје разне поделе, и у тези се полази од следеће:87

− Класична физика; − Квантна физика; − Физика релативитета.

Иван В. Аничин88 наводи дефиницију физике која је принципијелног карактера у тези: Физика је описивање природе бројевима.89 Ова дефиниција је неопходна да се увиди шта је то што нарушава ту "кућу" бројева, шта је то што је чини, у појединим ситуацијама, парадоксалном. Физика је наука чија је конзистентност, осим у чињенично-искуственој дефинисаности, заснована и на математици – најстрожијој нормативној дисциплини људског ума. Да би одређен физички феномен био објашњен неопходно је да буде математички образложен.

87 Класична физика је област физике у којој се не тумаче појаве: чија брзина је приближна брзини светлости (специјална теорија релативитета), када су гравитационе силе или убрзање екстремно велики (општа теорија релативитета), у областима екстремно малог у сразмери с човеком (квантна физика). 88 Аничин, И. В. (2006). 89 Математика је језик физике, било да се ради о теоријским или експрименталнм аспектима. Помоћу бројева се квантификују природни феномени, чиме се омогућава провера исправности њихових тумачења. Она је блиско сагласна са дефиницијом: "Физика је само економично корелирање експеримената." (Преузето из: Бом, Д. (1972). – Из предговора Ђорђа Живановића у тексту: Бомов антимеханистички став и интерпретација квантне механике. стр. 16.)


61

Парадокси настају услед тешкоћа приликом интуитивног усвајања чињеничног стања. Те "тешкоће" су веома "видљиве" у случају настанка СТР-а, ОТР-а и квантне механике. II. Парадокси се, према томе да ли потичу из посматрачко-експерименталне или нормативне математичко-теоријске анализе у физици, према опсервабилном карактеру, могу разликовати на:

1. Експерименталне парадоксе – то су парадокси који се јављају приликом реализовања реалних лабораторијских експеримената, када се добија резултат који нема задовољавајуће објашњење. Када је објашњење феномена физички проверљиво предвиђање чији резултати нису у складу са очекивањем.

2. Теоријске парадоксе – то су парадокси код којих се не може извести физички проверљиво предвиђање (посматрање или лабораторијски експеримент). Они су знатно многобројнија врста парадокса. Јављају се услед математичких и мисаоно-конзистентних спекулација помоћу којих се не могу на задовољавајући начин објаснити реални физички догађаји.

Разматрајући теоријске парадоксе приметно је да се често парадокси представљају помоћу мисаоних експеримената, али такође постоје парадокси који настају директно као последица објашњења физичких феномена. Експериментални парадокси су очигледно чулног карактера – директно или индиректно, субјект уз помоћ чула опажа резултате експеримента. Уколико је класификациони критеријум теоријске спекулације облик мислености,90 теоријски парадокси се могу разликовати на:

1. Парадоксе који су мисаони експерименти – парадокси који су настали као резултат теоријских спекулација и који приликом формирања нису засновани на физичком искуству (Парадокс близанаца, Парадокс Максвеловог демона...);

2. Парадоксе који нису мисаони експерименти (чулно опсервбилни) – парадокси који су настали услед теоријских спекулација и који су приликом формирања засновани на реалном (физичком) искуству (Денијев парадокс, Мпемба ефект...).

Питање које може да се постави је: Шта чини разлику између теоријског парадокса и експерименталног парадокса, односно парадокса мисаоног експеримента и парадокса реалне чулне опсервације? На први поглед постоје недовољно разјашњени критеријуми по којима би се одређени парадокси могли сврстати под одређену категорију, мада, није баш тако. За теоријске и експерименталне парадоксе може се рећи:

− Парадокс је теоријског карактера када објашњење потиче од контраинтуитивне теоријске конструкције.

90 Павловић, Б. (2006). стр. 54: "...да буду спекулативне (умствене), што је значило да се до знања о њиховим предметима није могло доспети емпиријским, експерименталним путем, мада је ослањање на природно искуство и у њима, наравно, долазило до изражаја."


62

− Парадокс је теоријског карактера када нема чулне експерименталне опсервације. − Парадокс је теоријског карактера када постоји могућност експерименталне

реализације91 али она није од помоћи зато што је теоријска спекулација доминантно наглашена да укаже на одређену врсту контраинтуитивности.

− Парадокс је експерименталног карактера када су резултати лабораторијског експеримента контраинтуитивне природе.

За парадоксе мисаоне експерименте и парадоксе реалне чулне опсервација се може рећи:

− Парадокс је мисаони експеримент када је реализован само мисаоно. − Парадокс је мисаони експеримент када може бити реализован као реалан

лабораторијски експеримент, али таква врста реализације није од значаја јер се тиме никакав ефективан резултат не добија.

− Експериментални парадокси никада нису и мисаони експерименти. − Парадокс је чулна опсервација када је чулно препознатљив. − Парадокс је чулна опсервација увек када је експерименталан парадокс. − Парадокс је чулна опсервација када је чулно препознатљив а парадоксалност потиче

од теоријских спекулација које су контраинтуитивне. III. Нису сви парадокси у физици једнако важни. У зависности од тога како је усвојено објашњење парадокса од стране мњења физичара,92 и према степену развијености идеје могу сe разликовати:

1. Као резултати у оквирима непотврђених теорија (Парадокс информације из црне рупе);

2. Као резултати у оквирима прихваћених теорија (релативистички парадокси, Олберсов парадокс);

3. Као резултати у оквирима усвојеног сазнања о физичким процесима (Мпемба ефекaт).

Једна од основних подела парадокса начињена je према чињеници да ли они имају релевантно објашњење. Према таквом класификационом критеријуму разликују се:

1. Парадокси који имају објашњење (решени парадокси) – парадокси чије објашњење задовољава мњење физичара.93 Овај парадокс је и експарадокс (Парадокс топлотне смрти, Парадокс ултра-љубичасте катастрофе...);

2. Парадокси који немају објашњење (нерешени парадокси) – су парадокси код којих нема одговарајућих и задовољавајућих објашњења (Еренфестов парадокс, ГЗК парадокс...).

91 Подразумева се реални лабораторијски експеримент. 92 Уколико је одређено објашњење више засновано у мњењу физичара, утолико је парадокс формиран у оквирима таквог објашњења битнији, а битност квантитативно расте градуирано намером да се објашњење коригује до његове замене. 93 Сви парадокси имају неко објашњење али нису сва јасно формулисана и физички конзистента.


63

Посебна врста нерешених парадокса у физици су нерешиви парадокси (у данашњем времену су они посебно актуелни). Теорија физике је знатно узнапредовала у односу на експерименталну могућност да се теоријске претпоставке и хипотезе провере. Та чињеница омогућава формирање мноштва нових парадокса и они треба да буду анализирани као засебна целина. Према свему наведеном, разматрајући парадоксе у физици, уочава се да они настају на различитим основама. Експресивност парадокса у физици је прилично разнолика. Према начину како се парадокс у физици успоставља, и према разлозима зашто се одређени феномен у физици уопште сматра парадоксалним, предлаже се разликовање следећих парадокса:

1. Привидни парадокс није парадокс у правом смислу значења појма парадокс. Прецизним разматрањем појаве која се на први мах чинила контрадикторном, установљава се да физичке контрадикторности нема. Не постоји ниједан елеменат појаве који је збуњујућег карактера – у супротности са усвојеним сазнањем. Милорад Млађеновић овај тип парадокса назива наводни парадокс.94 Он претпоставља постојање "парадокса" који не заслужују ту врсту карактеризације, али се не упушта у објашњавање и навођење примера. (све врсте визуелних парадокса, Аристотелов парадокс точка, Хидростатички парадокс, Парадокс Андромеде...)

2. Парадокс идеализације настаје у ситуацијама идеализовања физичког процеса или тела (Куетов проток, чврсто тело...). Понекад приликом објашњавања неке физичке појаве неопходно је појаву идеализовати тако да она губи своје реално утемељење – она реално не постоји. Идеализацијом се добија апроксимован феномен који се описује са мањим бројем параметара од реалног. Тиме се формулише апроксимативно становиште које може, и не мора, бити блиско опсервабилним резултатима реалног догађаја. Ово су теоријски парадокси. (када се разматра ситуација у идеалном флуиду: Даламберов парадокс, Зомерфелдов парадокс...)

3. Хијерархијски парадокс је парадокс који настаје приликом измене стања материје. Код ове врсте парадокса не постоји јасно објашњење разлога промене одређене врсте физички-онтолошког принципа на ком се заснива начин постојања материје, приликом прелаза у другачије физичко стање. Парадокс настаје у уочљивој различитости физичког понашања материје: микро и макро стања, агрегатног стања или теоријски претпостављеног стања материје код црне рупе. (Болцманов парадокс, Мпемба ефект, Парадокс информације из црне рупе...)95

4. Транзициони парадокс настаје у процесу решавања неког физичког проблема, приликом објашњавања одређеног теоријског или физички реалног феномена. Овај тип парадокса је инспиративног карактера, и основна тежња ових парадокса јесте да

94 Млађеновић, M. (1986). Развој физике (електромагнетизам), ИРО "Грађевинска књига", Београд. стр. 122. 95 На добар начин ту хијерархијску структуру описује Ђорђе Живановић у тексту: Бомов антимеханистички став и интерпретација квантне механике. [Бом, Д. (1972). стр. 20.]

"... а природа је, вероватно, организована у бесконачно много нивоа (или чак и на сложенији начин). Но ти нивои нису једноставно смештени један у други, као лутке «матрјошке», већ су закони сваког нивоа одређени свим нивоима испод и изнад њега у хијерархијској лествици."


64

се идеја формулише у један јаснији и конзистентнији систем. Они настају у процесу дефинисања објашњења физичког феномена, док теоријска идеја још није у целости формулисана. Карактеристика им је да кратко трају, као алатка приликом решавања проблема. (Вилеров парадокс, Лошмитов парадокс, Цермелов парадокс, Парадокс Ајнштајн-Борове кутије...)

5. Парадокс по претпоставци је парадокс код кога је претпоставка објашњења феномена сама већ недовољно интуитивно вероватна (у супротности је са свакидашњим искуством) па дедуктиван закључак (на одређеним теоријским принципима) доводи до контрадикције са опсервираним реалним стањем физичког система. Парадокс постоји унутар саме теорије која је конзистентна, али су резултати мерења непроверљиви или су слабо проверљиви. (Парадокси контракције "веће" у "мање" СТР-а, Парадокс подморнице, Парадокс деде, ГЗК парадокс...)

6. Парадокс парадигме је парадокс који постоји у домену једног парадигматичног становишта, а када се то парадигматично становиште измени парадокса нема. Реално искуство је супротстављено одређеном теоријском становишту, изменом битних принципа мења се и објашњење које више није у супротности са опсервираним подацима. (Парадокс ултра-љубичасте катастрофе, Олберсов парадокс, Клаузијусов парадокс, Парадокс ДеБрољове кутије...)

Могуће је извести поделе парадокса у физици по разним критеријумима. На пример, у физици је питање континуума и дисконтунуума од принципијелне важности. На основама принципијелног става о структури природе гради се физичка слика света. Услед, временом показане, битне диференцијације могуће је дефинисати физичке парадоксе који се заснивају на овој различитости:

1. Парадокси физике континуума; 2. Парадокси физике дисконтинуума.

Ова подела треба да разграничи парадоксе на оне који припадају физици континуума од оних који припадају физици дисконтинуума. Пример за парадокс континуума је Парадокс ултра-љубичасте катастрофе. Разматрајући проблем ултра-љубичастог зрачења са становишта физике континуума Земља треба да буде спржена услед зрачења Сунца. Разматрајући проблем ултра-љубичастог зрачења са становишта физике дисконтинуума нема парадокса. Ово је уједно и парадокс парадигме, јер разматрајући појаву са једног парадигматичног становишта, парадокс постоји; док, уколико се појава разматра са другог парадигматичног становишта, парадокса нема. Једно парадигматично становише, у овом случају, не искључује друго. Контрадикције у физици могу да резултирају као парадокси. Контрадикције у конзистентним системима указују на другачију врсту закључка него контрадикције у неконзистентним системима. Схватање физичке реалности имплицира да парадокси могу настати услед:

1. Грешке; 2. Некомплетности формалног сазнања.


65

Уколико се сазнање о физичкој реалности усваја као конзистентна целина онда контрадикција која се јавља мора да долази услед неке грешке. Парадокси који се појављују услед грешке су калибрационог типа (не дозвољавају импровизацију у научном сазнању). Друга тачка подразумева једну од основних хипотеза у дисертацији. Према Геделовим теоремама немогуће је у математици да се формира конзистентан систем без парадокса. Ако таква истина важи за математику као најпрецизнији облик људског изражавања, онда је она имлицитна и на физику. Формално сазнање у физици је некомплетно, па самим тим и неконзистентно. Закључак Покушај да се дефинишу парадокси у физици врло је незахвалан. Неопходно је дефинисати граничне области у физици које нису јасно прецизиране, што унапред претпоставља многобројна неслагања. Такође, питање типа шта се може назвати парадоксом, поготово парадоксом у физици, јесте још један проблематичан момент за који треба створити аргументовану основу, јер она не постоји. Препознавање дефинисаних критеријума, у већ постојећим врстама парадокса, један је од основних задатака који се односи на парадоксе у физици који су набацани без чврсте аргументације припадности. У овом делу тезе представљене су поједине класификације парадокса које су се могле пронаћи у приступачној литератури, а потом је анализом многобројних парадокса у физици учињена класификација по препознатљивим карактеристикама. Запажено је да многобројни примери који се називају парадоксима то уствари нису, када се прецизно дефинише шта се подразумева под парадоксом у физици. Класификација је начињена тако да поједини парадокси могу да се сврстају у више класификационих група попут рецимо Кероловог парадокса који је истовремено: теоријски парадокс, експарадокс, привидни парадокс и мисаони експеримент Литература

1. Aharonov, Y. & Rohrlich, D. (2003). Quantum Paradoxes: Quantum Theory for the Perplehed. John Wiley & Sons, New York.

2. Barrow, J. D. (1998). IMPOSSIBILITY: The Limits of Science and the Science Limits. Oxford University Press, Oxford.

3. Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge, London. 4. Cucić, D. (2006). Paradox in physics, the consistency of inconsistency. 6th International

Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-002, Book of Abstracts p. 1194)

5. Dehler, G. E, Welsh, M. A, Lewis, M. W. (1999). Critical Pedagogy in the ‘New Paradigm’: Raising Complicated Understanding in Management Learning. e-print: http://www.mngt.waikato.ac.nz/ejrot/cmsconference/documents/Management%20Education/emailversioncmcpaper.pdf

http://www.mngt.waikato.ac.nz/ejrot/cmsconference/documents/Management%20Education/emailversioncmcpaper.pdf



66

6. Gödel, K. (1931). On Formally undecidable Propositions of Principia Mathematica and related Systems. e-print: http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf

7. Goldstein, L. e-print: http://laurencegoldstein.net/index.html 8. Goldstein, L. (2006). Russell, Edward Lear, Plato, Zeno, Grelling, Eubulides. Paradox:

Logical, Cognitive and Communicative Aspects. The Baltic International Yearbook of Cognition, Logic and Communication, 1. p. 51-68. e-print: http://www.hku.hk/philodep/dept/lg/docs/REPZGE.pdf

9. Madarasz-Szilagyi, R. (2005). Математичка логика и теорија скупова. e-print: http://www.im.ns.ac.yu/Personal/madaraszr/Rozi-licno/skupovi.pdf


11. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass.: Harvard University Press, Cambridge.

12. Quine, W. V. (1987). О ономе што јест. из књиге Новија филозофија математике, Нолит, Београд.

13. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court, Chicago.

14. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 15. Schiller, C. (2002). MOTION MOUNTAIN (the adventure of physics).

www.motionmountain.net 16. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxford University Press, Oxford. 17. Watson-Manheim, M. B, Chudoba, K. M, Crowston, K. (2004). The Paradox of

Discontinuities and Continuities: Toward a More Comprehensive View of Virtuality. e-print: http://crowston.syr.edu/papers/paradox2004.pdf

18. Аничин, И. В. (2006). Обрада резултата мерења. Универзитет у Београду- Физички факултет (треће издање), Београд.

19. Баркер, С. (1973). Филозофија математике. Нолит, Београд. 20. Божић, М. (2002). Улога парадокса у развоју математике. Флогистон, бр.10, Београд. 21. Божић, М. (2002). Преглед историје и филозофије математике. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 22. Бом, Д. (1972). Узрочност и случајност у савременој физици. Нолит, Београд. 23. Бошковић, A. (1998). Постмодернизам, антропологија и здрав разум. Социологија,

Vol. 40, бр. 2, стр. 211-242. 24. Дејић, М. (1990). Тајни свет математике. Нолит, Београд. 25. Дијем, П. (2003). Циљ и структура физичке теорије. Издавачка књижарница Зорана

Стојановића, Сремски Карловци·Нови Сад. 26. Јакшић, M. (1998). Парадокси и загонетке у економији. Чигоја штампа, Београд. e-

print: http://ns.ekof.bg.ac.yu/predmeti/rem/knjige/m-jak/paradoks/PARADOKS.PDF 27. Јанковић, Д. (2000). Конотативни аспект значења: утврђивање латентних димензија.

Психологија, 1-2, стр. 199-220. 28. Коен, М. и Нејгел, Е. (1979). Увод у логику и научни метод. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 29. Кун, T. (1974). Структура научних револуција. Нолит, Београд. 30. Марић, З. (1986). Оглед о физичкој реалности. Нолит, Београд.




http://www.hku.hk/philodep/dept/lg/docs/REPZGE.pdf

http://www.im.ns.ac.yu/Personal/madaraszr/Rozi-licno/skupovi.pdf



http://www.motionmountain.net/

http://crowston.syr.edu/papers/paradox2004.pdf

http://ns.ekof.bg.ac.yu/predmeti/rem/knjige/m-jak/paradoks/PARADOKS.PDF


67

31. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (електромагнетизам). ИРО "Грађевинска књига", Београд.

32. Павловић, Б. (2006). Филозофија природе. Плато, Београд. 33. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум, ИНФОРМАТИКА, Београд. 34. Рајхенбах, Х. (1964). Рађане научне филозофије. Нолит, Београд. 35. Расел, Б. (1962). АБЦ теорије релативности. Савремена школа, Београд. 36. Секулић, Н. (2002). Постмодернизам и крај антропологије. Социологија, Vol. 44, бр.

4, стр. 343-365. 37. Фејнман, Р. (1986). Особитости физикалних закона. Школска књига, Загреб. 38. Хајзенберг, В. (1989). Физика и метафизика. Нолит, Београд. 39. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 40. Шешић, Б. (1962). Логика. Научна књига, Београд.


68

IV Парадокс и мисаони експеримент у физици


69

The meaning of the world is the separation of wish and fact. Kurt Gödel


70

Парадокси и мисаони експерименти често су у физици комплементарне појава. Често је мисаони експеримент парадоксалан, или је парадокс представљен помоћу мисаоног експеримента. И парадокс и мисаони експеримент су и феномени и облици изражавања. Очигледно је да се у физици појављују заједно, па се за поједине феномене или мисаоне спекулације може рећи да су истовремено и парадокс и мисаони експеримент. У овом поглављу ће да се разјасни веза између парадокса и мисаоног експеримента. Такође, биће покушано да се пронађе по чему су парадокси у физици, који су и мисаони експерименти, другачији од парадокса који нису мисаони експерименти. Ова тема је већ дотакнута у магистарском раду Фиктивни експеримент у физици. Овде ће се настојати да се прецизније елаборира оно што је у поменутом раду већ на неки начин речено. За разлику од претходног рада где су међу мисаоним експериментима уочавани парадокси, овде ће се међу парадоксима уочавати мисаони експерименти. Милош Арсенијевић је приметио да су замишљени експерименти парадоксални зато што се експерименти описују неодговарајућом терминологијом.96 Ипак, намеће се питање да ли је само неодговарајућа терминологија разлог зашто је одређен мисаони експеримент парадоксалан? О истој теми се може пронаћи мишљење Милорада Млађеновића да: "Најпознатије мислене експерименте у релативитету представљају разни парадокси у којима се покушавају наћи унутрашње недоследности."97 Унутрашња недоследност може потицати од неодговарајуће терминологије, али и не мора. Већ код ова два утицајна српска аутора приметна је неусаглашеност, а разлог је управо комплексност феномена парадокса. Мисаони експерименти у физици Мисаони експерименти су појаве које се могу пронаћи у многим научним областима људског деловања: филозофији, психологији, економији, биологији, физици, итд. Мисаони експерименти у физици имају форму реалног лабораторијског експеримента. Њих одликују: инструменталност, проверљивост резултата и сингуларност крајњег исказа. Једина принципијелна разлика између реално изведеног и замишљеног експеримента јесте у пондерабилности инструмената помоћу којих се експеримент реализује. Мисаони експерименти се реализују једно у мислима. Они немају чулно-опсервабилну експлицитност. У физици се помоћу мисаоног експеримента не може верификовати теорија, као што се то може помоћу реалног лабораторијског екперимента, а то значи да мисаони експеримент нема ту "специфичну тежину". Заснован је на употребним аналогијама са пондерабилном физичком реалношћу. Под употребним аналогијама подразумевају се примењени закони и принципи у мисаоним експериментима за које је утврђено деловање у пондерабилној физичкој реалности. Тако Ендрју Ирвин (Andrew D. Irvine) каже: "Мисаони експерименти су разумљиви као аргументи разматраних партикуларних догађаја или стања"98. У додатку *XI "О употреби и злоупотреби мисаоних експеримената, посебно у квантној теорији",99 Карл

96 Арсенијевић, М. (1986). стр. 156. 97 Млађеновић, М. (1986). Развој физике (механика и гравитација). стр. 401. 98 Irvine, A. D. (1991). 99 Попер, К. (1973).


71

Попер (Karl R. Popper, 1902-1994) се бави разликом између мисаоних експеримената. Он разликује мисаоне експерименте према употреби:

1. Мисаони експеримент са критичком употребом – када се експерименти формирају да се покажу евентуални превиди, пример: ЕПР парадокс.

2. Мисаони експеримент са хеуристичком употребом – када се помоћу мисаоних експеримената дође до нових закључака, пример: Карноов цилкус.

3. Мисаони експеримент са апологетском употребом – мисаони парадокси који су временом постали употребљивани као аргументи, пример: Хајзенбергов микроскоп.

За њега је смисао формирања мисаоних експеримената у изражавању "критичког духа" који треба да буде усмерен на критику теорија, али и у изналажењу нових модела мишљења који би омогућили другачији увид. Мисаони експеримент, попут реалног физичког експеримента, мора да буде конзистентан и та конзистентност је одређена:

1. Почетним и граничним условима – дефинисаним на искуственим основама у теоријским оквирима.

2. Епистемолошким моделом – који одређује структуру теорије. У мисаоном експерименту "експериментатор" прецизно дефинише услове у којима се екперимент изводи и гради аналогне везе са реалним физичким системом. Мисаони експеримент је физички нереализован услед:

1. Принципијелне немогућности да буде реализован – дефинисане су апроксимације услед којих је експеримент неизводив, пример: Максвелов демон.

2. Техничке немогућности да буде реализован – инструменти који су замишљени још увек нису физички направљени али је изгледно да ће једног дана бити, пример: Парадокс близанаца.

Мисаони експеримент је неопредмећена, јасно формулисана, замисао која је заснована на знању. У тој замисли се мисаоно "контролише развој експеримента". До резултата се долази дедукцијом. Експеримент се реализује у систему који је заснован на упрошћеној стварности – физичка реалност пондерабилног света увек је основа којој је свака мисаона спекулација пројекција. Мисаони експеримент нема доказну моћ зато што је степен апстракције, у којем је реализован, увек нижи од степена у којем пондерабилна физичка реалност егзистира. Велик је подстицајни карактер мисаоног експеримента и помоћу њега се често дијагностификују проблемске ситуације у физици. Парадокси и мисаони експерименти у физици Мисаони експерименти у физици се граде на експерименталним и теоријским принципима и законима. Закључци у мисаоним експериментима су изведени дедуктивном методом, на основама постојећег знања, и веза мисаоног експеримента и парадокса је ефикаснија уколико је закључак који се намеће у већем сукобу са здраворазумским начином схватања.


72

Мисаони експерименти се често формирају у условима граничних случајева, у којим се не могу реализовати реални лабораторијски експерименти. У условима недовољне проверљивости конзистентности теорија, немогућности лабораторијских потврда одређених физичких ставова, вероватноћа за настанак парадокса расте. Мисаони експеримент може да буде парадоксалан, али и не мора. Такође, постојање парадоксалне ситуације не подразумева и постојање мисаоног експеримента. Они су понекад комплементаран начин изражавања. Када мисаони експеримент садржи парадоксалну ситуацију, подразумева се да је резултат мисаоног експеримента противречан начелима концепта одређеног епистемолошког модела, помоћу којег се на другачији начин тумачи резултат. Парадокс сам по себи нема ништа заједничко са мисаоним експериментом. Постојање парадокса у мисаоном експерименту подразумева да је резултат (закључак) мисаоног експеримента противречан одређеним начелима, или одређеном концепту, у оквирима истог или другог епистемолошког модела. Парадоксалност мисаоних експеримената стоји у закључку који он наговештава, који је наизглед противречан или контраинтуитиван. Анализом мисаоног експеримента утврђује се разлог постојања парадоксалности. Парадокс је једнако као и мисаони експеримент подстицајан фактор у истраживању – то им је заједничка карактеристика. Значај постојања парадокса у мисаоном експерименту заснива се на мисаоном формирању ситуације, која даје одговоре противне очекиваним или на неки начин неприхватљиве. Када се резултат теорије не слаже са искуственим предрасудама постоје три разлога зашто је то тако:

− Теорија не ваља – премисе теорије су погрешне; − Теорија не ваља – постоји грешка у њеној разради и неопходна је корекција; − Искуство је неадекватно – недовољно или неодговарајуће промишљено, за

доношење суда о теорији. Парадокси у физици се често излажу у форми мисаоних експеримената.100 Они су интелектуална провокација за претпостављена објашњења у физици. Често су парадокси и мисаони експерименти комплементарне појаве помоћу којих се постављају суштинска питања на чијим одговорима се граде парадигматичне основе појединих области у физици (ЕПР парадокс, Парадокс Шредингерове мачке...). Вилард Квајн (Willard Van Orman Quine, 1908-2000) je разликовао три врсте парадокса,101 сличну поделу образлаже Стефан Баркер (Stephen Francis Barker) u књизи Филозофија математике102 (не спомиње Квајна):

1. Парадокси потврде, су парaдокси aпсурдног резултата до којих се долази приликом анализе, који су изложени тако да изгледају као да су истинити.

2. Лажни парадокси, су парадокси чији су резултати приликом анализе заиста лажни. Анализа изгледа исправно, а закључци су бесмислени и лажни.

100 У магистарској тези је инсистирано на изразу фиктивни експеримент, на чему се сада не инсистира. Све једно је да ли се користи израз: мисаони експеримент, фиктивни експеримент, мисаони оглед... Битно је да се зна шта ти изрази означавају. 101 Quine, W. V. (1962). Такође: Quine, W. V. (1966). 102 Barker, S. F. (1964).


73

3. Антиномије, су самоконтрадикторни парадокси. До њихове контраинтуитивности долази услед расуђивања које је само наизглед исправно. Закључак може бити и истинит и лажан.

За мисаоне експерименте у физици најинтересантнија је прва врста парадоксалности. Том врстом парадоксалности најчешће се служе физичари при стварању мисаоних експеримената. На тај начин покушавају да истакну физику у контраинтуитивном примеру. Парадоксалност мисаоних експеримента се појављује у резултату експеримента, који је често само наизглед противречан знању.103 Закључак На основу датих табела приметно је да се мисаони експерименти и парадокси појављују у свим областима физике као комплементарне појаве осим у класичном електромагнетизму. Вероватно да до те врсте некомплементарности у електромагнетизму долази и услед одабраних примера, али нису пронађени примери који би указали на другачији став. Парадокси у мисаоним експериментима помажу да се јасније сагледају проблеми које у себи садржи теорија – да се та теорија појасни кроз лакше схватљив начин изражавања. Очигледно је да постоји блиска повезаност између парадокса и мисаоних експеримената у физици. Често је мисаони експеримент парадоксалан, па се таква чињеница не може усвојити као случајност. Уколико се занемаре привидни парадокси104 – у којима се смислено, из едукативних разлога, жели изазвати конфузија помоћу мисленог експеримента – остаје неразјашњено питање: Колико је код научника-истраживача, када се служе мисаоним експериментом, зато што није у могућности да изведе реалан лабораторијски експеримент, природно и неодвојив део његовог мисаоног конструкта да тежи парадоксалности? Да ли се ради о комплементарној повезаности та два феномена у научном изражавању или комплементарној повезаности егзистенције феномена који ум није у могућности да раздвоји? Какав год да је одговор на ово питање, јасан је закључак да су мисаони експеримент и парадокс често неодвојиви. Литература



3. Dehler, G. E, Welsh, M. A, Lewis, M. W, (1999). Critical Pedagogy in the ‘New Paradigm’: Raising Complicated Understanding in Management Learning. e-print: http://www.mngt.waikato.ac.nz/ejrot/cmsconference/documents/Management%20Education/emailversioncmcpaper.pdf

103 Цуцић, Д. (2001). 104 Цуцић, Д. (2010).




74

4. Goldstein, L. e-print: http://laurencegoldstein.net/index.html 5. Goldstein, L. (2006). Russell, Edward Lear, Plato, Zeno, Grelling, Eubulides. Paradox:


6. Goodenough, J. (1995). On the Methodology of Thought Experiments. e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought,

7. Häggqvist, S. (1996). Thought Experiments in Philosophy. Doctoral dissertation, Department of Philosophy Stockholm University, Akademitryck AB, Edsbruk.

8. Horowitz, T. & Massey, G. J. (1991). Thought Experiments in Science and Philosophy. CPS Publications in Philosophy of Science Edited on behalf of the Center for Philosophy of Science University of Pittsburgh, Rowman & Littlefield Publishers, Inc. Savage.

9. Levine, A. (1995). When Can Intuitions on Counterfactual Cases Be Trusted? e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought,

10. Poincare, H. (1989). Znanost i hipoteza. Globus, Zagreb. 11. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass.:

Harvard University Press, Cambridge. 12. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court,

Chicago. 13. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 14. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxford University Press, Oxford. 15. Souder, L. (1997).Trying to Get a Grip on Virtual Reality. e-print:

http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought 16. Souder, L. (1997). A Way to Describe and Evaluate Thought Experiments. e-print:

http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought 17. Supek, I. (1980). Povijest fizike. Školska knjiga, Zagreb. 18. Баркер, С. (1973). Филозофија математике. Нолит, Београд. 19. Божић, М. (2002). Преглед историје и филозофије математике. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 20. Божић, М. (2002). Улога парадокса у развоју математике. Флогистон, бр.10, Београд.

стр. 81-101. 21. Бом, Д. (1972). Узрочност и случајност у савременој физици. Нолит, Београд. 22. Бор, Н. (1985). Атомска физика и људско знање. Нолит, Београд. 23. Ивановић. Д. (1985). Историјско-филозофска питања физике. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 24. Коаре, А. (1981). Научна револуција. Нолит, Београд. 25. Коен, М. и Нејгел, Е. (1979). Увод у логику и научни метод. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 26. Kонстатиновић, Р. (1966). Проблем значења научних апстракција код Филипа

Франка. Институт друштвених наука, Београд. 27. Кун, T. (1974). Структура научних револуција. Нолит, Београд. 28. Марић, З. (1986). Оглед о физичкој реалности. Нолит, Београд. 29. Најгел, Е. (1974). Структура науке. Нолит, Београд. 30. Опенхајмер, Р. (1967). Наука и здрав разум. Просвета, Београд. 31. Попер, К. (1973). Логика научног открића. Нолит, Београд. 32. Рајхенбах, Х. (1964). Рађане научне филозофије. Нолит, Београд.



http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought





75

33. Фавр, Л. (1921). Научни дух и научни метод. Напредак, Београд. 34. Фејнман, Р. (1986). Особитости физикалних закона. Школска књига, Загреб. 35. Хајзенберг, В. (1989). Физика и метафизика. Нолит, Београд. 36. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 37. Цуцић, Д. (2001). Фиктивни експеримент у физици. магистарска теза.


76

Табеларни преглед мисаоних експеримената и парадокса у физици

−парадокси класичне механике, −парадокси термодинамике и статистичке физике, −парадокси електромагнетизма, −парадокси релативистичке физике, −парадокси квантне механике, −парадокси астрофизике, −парадокси времена.

Мисаони експеримент Чулна опсервација

Парадокс Максвеловог демона Гибсов парадокс Цермелов парадокс Клаузијусов парадокс Лошмитов парадокс Болцманов парадокс

Даламберов парадокс Мпемба ефект Зомерфелдов парадокс Аристотелов парадокс точка

Керолов парадокс Денијев парадокс Архимедов парадокс Хидростатички парадокс

Парадокс Беловог свемирског брода Парадокс Бабинета Контракциони парадокси "веће" у "мање" Фарадејев парадокс ротирајућег диска

Суплијев парадокс Парадокс ултра-љубичасте катастрофе Парадокс близанаца Парадокс два кондензатора

Парадокс космонаута на хоризонту догађаја црне рупе Парадокс расејања фотона на две пукотине Парадокс Андромеде Зелигеров парадокс

Парадокс маказа Олберсов парадокс Парадокс Де Брољове кутије Клаузијусов парадокс

Парадокс Ајнштајн-Борове кутије ГЗК парадокс Парадокс Шредингерове мачке Парадокс "туриста" из будућности

Парадокс Планкове дужине Парадокс симетрије времена ЕПР парадокс Парадокс светог Аугустина

Вилеров парадокс Парадокс информације из црне рупе

Едингтонов парадокс Парадокс слабог младог сунца

Парадокс неочекиваног испитивања Парадокс Ахила

Парадокс дихотомије Парадокс стреле

Парадок стадиона Парадокс деде

Парадокс човека који је сопствена мајка Парадокс човека без прошлости Парадокс билијара и времеплова

Табела 6

Дра

гољ

уб Ц

уцић

- П

арад

окси

у ф

изиц

и

77

Таб

елар

ни п

регл

ед п

арад

окса

лних

мис

аони

х ек

спер

имен

ата

у ф

изиц

и по

обл

асти

ма

4

Пар

адок

с Б

абин

ета

Пар

адок

с ул

траљ

убич

асте

ка

таст

роф

е

Фар

адеј

ев

пара

докс

ро

тира

јуће

г ди

ска

Пар

адок

с дв

а ко

нден

зато

ра

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а

Таб

ела

7, Е

лект

ром

агне

тиза

м

7

Бол

цман

ов

пара

докс

Л

ошм

итов

па

радо

кс

Цер

мел

ов

пара

докс

М

пем

ба

ефек

т

Пар

адок

с М

аксв

елов

ог

дем

она

Кла

узиј

усов

па

радо

кс

Гиб

сов

пара

докс

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Чул

на

опсе

рвац

ија

Чул

на

опсе

рвац

ија

Таб

ела

8, Т

ерм

один

амик

а и

стат

исти

чка

физ

ика

7

Пар

адок

с Б

елов

ог

свем

ирск

а бр

ода

Кон

трак

цион

и па

радо

кси

"већ

е"

у "м

ање"

Суп

лије

в па

радо

кс

Пар

адок

с бл

изан

аца

Пар

адок

с ко

смон

аута

П

арад

окс

Анд

ром

едe

Пар

адок

с

мак

аза

Мис

аоно

ст

пара

докс

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Таб

ела

9, Р

елат

ивис

тичк

а ф

изик

а

6

Пар

адок

с ра

сеја

ња

фот

она

на д

ве п

укот

ине

Пар

адок

с Д

еБро

љев

е ку

тије

Пар

адок

с А

јнш

тајн

-Бор

ове

кути

је

Пар

адок

с Ш

реди

нгер

ове

мач

ке

Пар

адок

с П

ланк

ове

дуж

ине

ЕП

Р

пара

докс

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Таб

ела

10, К

вант

на м

ехан

ика

7

Дал

амбе

ров

П

арад

окс

Ден

ијев

па

радо

кс

Зом

ерф

елдо

в па

радо

кс

Ари

стот

елов

па

радо

кс т

очка

К

eрол

ов

пара

докс

Х

идро

стат

ички

па

радо

кс

Aрх

имед

ов

пара

докс

Мис

аоно

ст

пара

докс

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Чул

на

опсе

рвац

ија

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Чул

на

опсе

рвац

ија

Мис

аони

ек

спер

имен

т

Таб

ела

11, К

ласи

чна

мех

аник

а

Дра

гољ

уб Ц

уцић

- П

арад

окси

у ф

изиц

и

78

4 П

арад

окс

Ахи

ла

Пар

адок

с ди

хото

миј

е П

арад

окс

стре

ле

Пар

адок

с

стад

иона

Мис

аоно

ст

пара

докс

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т

Таб

ела

12, З

енон

ови

пара

докс

и

5 П

арад

окс

деде

Пар

адок

с чо

века

ко

ји је

соп

стве

на

мај

ка

Пар

адок

с чо

века

без

пр

ошло

сти

Пар

адок

с би

лија

ра и

вр

емеп

лова

Пар

адок

с "т

урис

та"

из б

удућ

ност

и

Мис

аоно

ст

пара

докс

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а

Таб

ела

13, П

арад

окси

пут

овањ

а кр

оз в

рем

е

3 П

арад

окс

близ

анац

а П

арад

окс

астр

онау

та

Пар

адок

с

Анд

ром

еде

Мис

аоно

ст

пара

докс

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Таб

ела

14, Р

елат

ивис

тичк

и па

радо

кси

врем

ена

3 П

арад

окс

свет

ог

Ауг

усти

на

Пар

адок

с си

мет

рије

вр

емен

а

Пар

адок

с не

очек

иван

ог

испи

тива

ња

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Таб

ела

15, П

арад

окси

вре

мен

а

8 Г

ЗК

пара

докс

Зе

лиге

ров

пара

докс

О

лбер

сов

пара

докс

В

илер

ов

пара

докс

Пар

адок

с ин

фор

мац

ије

из ц

рне

рупе

Еди

нгто

нов

пара

докс

Пар

адок

с сл

абог

мла

дог

Сун

ца

Кла

узиј

усов

па

радо

кс

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а Т

абел

а 16

, Аст

роф

изич

ки п

арад

окси


79


80

V Геделове теореме непотпуности као објашњење разлога постајања парадокса у

физици


81

Наука није систем сигурних и добро утврђених исказа, нити је систем који неумољиво напредује ка стању завршености. Карл Попер Ми не узимамо у обзир ствари које се дешавају да буду истините ми узимамо у обзир ствари које морају бити истините. Курт Гедел, Што је Канторова хипотеза континуума?105

105 What Is Cantor's Continuum Hypothesis?


82

Курт Гедел (Kurt Gödel, 1906-1978) је изградио основу за епистемолошко самоубиство, која ће највероватније, попут Хајзенбергове релације неодређености, једног дана прерасти у принцип (уколико неки математичар не успе да оспори доказе тврдњи његових теорема). Нејасно дефинисане границе између филозофије, логике и математике, назначене у другој половини 19. века, када се логика истргла из окриља филозофије и огрнула математичко рухо – и данас је тема која покреће многобројне расправе. Математика, логика и физика, друге половине двадесетог века, у све већем обиму су детерминисане ставовима Курта Гедела. У раду О формално неодлучивим теоремама у Principia Mathematica и сродним системима106, објављеном 1931. године, он успоставља преокрет у начину математичко-логичког размишљања. До краја 20. века Геделов доказани агностицизам биће опште прихваћен у физици, чиме се и дефинитивно мења "слика света". У књизи Некомплетност – доказ и парадокс Курта Гедела, Ребека Голдштајн (Rebecca Goldstein) биографски приступа делу и животу Курта Гедела, али истовремено изванредно је изграђена и његова "интелектуална биографија". О парадоксима пише као о "резонским катастрофама" које присиљавају субјекте на запажање контрадикторности; при чему су парадокси тако изграђени и формулисани да смишљено наводе субјекте на уверење да је изречена формулација једина могућа, а самим тим збуњујућа и интуитивно неусвојива.

"Парадокси су често сакривени у најдубљим размишљањима. Њихово присуство је често сигнал (попут канаринског умирања) да смо се снашли, понекад несвесно, спотакавши се на дубоком и проблематичном месту, напрслине у заснованом."107

Ребека Голдштајн "упире прстом" на Курта Гедела, сматрајући да је он тај који је први уочио и доказао структуру самопозивне парадоксалности.108 Закони мишљења су настали као суштинска потреба људског бића да се систематизује процес мишљења који треба да доведе до истина. Као и највећи број идеја које припадају баштини хришћанско-јеврејске културе и ова има корене из периода старе Грчке. Савремени токови развоја идеје формализације мишљења, могу се приписати зачетницима: Џорџу Булу (George Boole, 1815-1864), Луису Керолу (Lewis Carroll, 1832-1898), Готфриду Фрегеу (Gottfried W. Frege, 1848-1925), Ђузепеу Пеану (Guiseppe Peano, 1858-1932), Георгу Кантору (Georg Cantor, 1845-1918), и коначно као најистакнутијем представнику ове групе Давиду Хилберту (David Hilbert, 1862-1943). Сви су они важни математичари, и актуелност њиховог рада је веома порасла са напорима научника, на крају 20. века и почетку 21. века, да се пронађе модел за изградњу вештачке интелигенције. Да се истакне истина у математици, по Хилберту је било неопходно рећи: да је нешто доказно у формалном систему.109 Хилбертова животна замисао била је да формализује све области математике. Успостављањем система доказности практично би се херметизовао математички систем у конзистентну целину. Конкретно, познат као Други Хилбертов проблем, Хилберт је установио стратегију, тзв Хилбертов програм, како да се докаже

106 Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandeter Systeme. На енглеском: On Formally undecidable Propositions of Principia Mathematica and related Systems. 107 Goldstein, R. (2006). p. 91. 108 Goldstein, R. (2006). p. 50. 109 Систем сачињен од ентитета између којих су прецизно дефинисане везе и све што систем чини: симболи, формуле, аксиоми, релације.


83

конзистетност аксиома у аритметици, као једном од најбазичнијих,110 између осталих математичких система. У тражењу начина да се изгради конзистентан систем законитости мишљења (којим се наговештавао пут до формализоване истине) незаобилазни су били: Бертранд Расел (Bertrand Russell, 1872-1970) и Алфред Вајтхед (Alfred North Whitehead, 1861-1947) с Principia Mathematica из 1913. године. У њему је учињен покушај хијерархизације с намером да се избегне могућност самоконтрадикције у формализованом систему. Целокупну замисао је оборио Курт Гедел доказавши да у формалним математичко-логичким системима постоје теореме чија се истинитост не може доказати, као ни противречност претпостављених аксиома. Теореме некомплетности, као полазне тачке у извођењу научних ставова, у другој половини ХХ века користе: Алан Тјуринг (Alan Mathison Turing, 1912-1954), Џон Лукас (John Randolph Lucas), Стенли Јаки (Stanly L. Jaki 1924-2009), Роџер Пенроуз (Roger Penrose), Стивен Хокинг (Stephen Hawking) и многи други аутори. Алан Тјуринг доказ о непостојању Тјурингове машине изводи након изучавања Геделових терема о некомплетности. Џон Лукас први, 1961. године, публикује рад у којем доказује постојање везе између прве Геделове теореме и природе ума.111 За Роџера Пенроуза оне представљају основни аргумент зашто људски ум не може бити дигитални компјутер. Стивен Хокинг се служи са Геделовим теоремама када изводи закључак о немогућности описа универзума уз помоћ ограниченог броја исказа. Геделове теореме Курт Гедел је, како сам наводи, концептуални и математички реалиста који се никада није слагао са становиштем: да је математика језичка синтакса.112 Уколико су ставови и докази Курта Гедела тачни онда је постојање парадокса једна уобичајена појава у једном домену сазнања, у том случају та појава је само последица настала приликом формирања математичко-логичких формалних система. Прва Геделова теорема:

Уколико су аксиоми одређене теорије непротивречни, постоје теореме којима се не може доказати ни истинитост ни неистинитост. (Непротивречне аксиоматске формулације садрже исказе којима се не може доказати тачност)

Друга Геделова теорема:

Не постоји прецизан начин помоћу којег се може доказати да су аксиоми одређене теорије непротивречни. (Није могуће извести формални доказ о конзистентности система унутар самог система)

110 У смислу да су сви релативни докази конзистенције повезани са аритметичком конзистенцијом, чији доказ конзистентности је стога "апсолутни доказ". 111 Lucas, J. R. (1961). 112 Goldstein, R. (2006). p. 112.


84

Према Геделовим теоремама некомплетности, упрошћено се може рећи да: у сваком строгом математичко-логичком систему постоје искази који не могу бити нити потврђени нити оспорени, иако су успостављени на основу аксиома који су у тај систем уграђени, и да аксиоми таквог система не изостављају могућност да се оствари противречност. Гедел је доказао да аритметика, као базна област математике, не може бити формализована. Суштинско, што је Гедел показао, јесте како да се конструишу аритметичке пропозиције чија истинитост не може бити доказана на сваком формалном конзистентном систему. Гедел проналази начин да конзистентни формални систем "преведе" на аритметику и доказује да аритметика, као основни систем, не садржи исказе чија се тачност може доказати, и чији су аксими непротивречни. Ово је разлог да се усвоји и могућност настајања парадокса у физици, јер физика113 је формални систем који се може свести на аритметичке пропозиције. Тежња математичара, али и научника, међу којима предњаче физичари, јесте да се аксиоматизују претпоставке (да се постулирају). Та аксиоматизација претпоставља дефинисање помоћу већ познатих појмова који не би смели да буду неодређени (јер уколико то јесу, онда ни дефиниција није јасна). Оно што је битно, а често се дешава, јесте да треба да се избегне кружна затвореност у процесу дефинисања (на пример: Енергија је способност тела да врши рад. Рад је мера промене енергије тела.) када се један појам дефинише другим, а затим се тај други појам дефинише оним првим. Да би се избегла ова врста циркуларности, требало би да се свака аксиома дефинише помоћу неког већ неспоменутог појма у аксиоматском систему, што упућује на неконзистентност аксиоматског система, чиме се ствара могућност за постојање парадокса у формираној нецеловитости. На сваки исказ који формулише одређену тврдњу, надомештава се следећи помоћу којег се побољшава систем тврдњи. Шта се добија када се успостави аналогија између Геделових теорема некомплетности (њиховог значаја у поимању математичке истине) и Хајзенбергове релације неодређености (и њеног значаја у поимању прецизности у квантној механици)? Хајзенбергова релација недређености добила је статус принципа на којем је заснована квантна механика, а тиче се лимитиране могућности спознаје у квантном свету. Сличан тип лимита је успостављен у математици од стране Курта Гедела, при чему он лимитира могућност да се дође до формалне истине у математици, доказавши у теоремама непотпуности како у аксиоматизованом систему могу постојати тврдње чија се истинитост не може доказати. Сва је прилика да ће теореме непотпуности постићи статус принципа, чиме ће постати основа у моделима размишљања који ће оправдавати агностицизма у коме је постојање парадокса сасвим оправдано. Почетком 20. века настао је велики број парадокса у филозофији, математици, логици, али и физици. Уопште у 20. веку формиран је велики број парадокса у многим областима људског деловања (психологија, економија...). Посматрано са становишта парадокса као феномена двадесети век би се могао назвати век парадокса. То је и век када су учињени први кораци у смеру формулисања синтетичког става о парадоксу. 113 Уколико желимо да будемо строжи онда ћемо посматрати области или подобласти физике.


85

Парадокси у физици и Курт Гедел Принцип природе је да структура одређује функцију. Човек, као неодвојиви део природе, има потребу да је спознаје и да систематизује стечено знање, стварајући вештачке релације које су често недовољно утемељене апроксимације истинских релација у природи. Структурализује се и идеја, тако што се обликује у јасно дефинисане терминолошке конституенте. Уколико је парадокс последица човекове потребе да структурализује идеје, да смислено систематизује своју реакцију на дешавања која га окружују, толико се на физику више гледа као на "опис природе бројевима". Када се физичким објектима додељују прецизно дефинисани и формализовани симболички записи који имају значење изван људског бивствовања, онда је то "територија" Платоновог света. "Тај свет" је био опсесија Курта Гедела још од његових студентских дана. Роџер Пенроуз не пориче да је платониста. Код Џулијана Барбура (Julijan Barbour) "свет" се уобликовао у појам Платоније.114 Платонистички карактер схватања проистиче из могућности пресликавања физичке реалности на један апстрактно-реални свет утемељен на безвременој апсолутној математичкој истинитости, независној од субјекта.

"Није никаква тајна да лично стојим чврсто на страни платонистичког става да је математичка истина апсолутна, спољашња и вечна, и да није заснована на критеријумима које су људи сачинили; и да математичке објекте карактерише сопствено безвремно постојање, независно од људског друштва, нити од конкретних физичких објеката."115

Развојем сазнања, развија се и употребна вредност феномена парадокса. У традиционалном моделу спознаје, у којем доминира принцип конзистенције, сама конзистентност сазнања искључује могућност формирања парадокса, односно неконзистеност знања условљава стварање парадокса, што је могло да указује како нешто у моделу сазнања није добро. Насупрот традиционалном моделу, према новом моделу спознаје, принцип противречности је "регулативни принцип" који доводи до сазнања, и са чијим постојањем директно корелирају парадокси, као феномени који усмеравају пут ка сазнању.116 Курт Гедел је веровао да математички објекти постоје независно од конструкција и интуитивног схватања субјекта. Парадоксе у математици је сматрао озбиљним проблемом који потиче из логике и епистемологије, а не из математике.117 Он парадоксе у теорији скупова не сматра "неугоднијом" појавом него што су чулна заваравања физике.118 Права истина је "негде изван" формалне опсервације. О значају рада Курта Гедела у савременим токовима стремљења физичара наглас размишља и Стивен Хокинг у интернет предавању "Гедел и крај физике". Он изводи паралелу између немогућности да се формулише теорија универзума помоћу коначног броја тврдњи, и Геделових теорема које указују да ограничен систем аксиома, не може

114 Област безвремености коју сачињавају садашњости, у којој нема промене. 115 Пенроуз, Р. (2004). стр. 121. 116 Берберовић, Ј. (1990). 117 Гедел, К. (1987). Што је Канторов проблем континуума? приредио Шикић, З. (1987). стр. 140. 118 Гедел, К. (1987). Што је Канторов проблем континуума? приредио Шикић, З. (1987). стр. 149.


86

успешно да докаже сваки резултат у математици. Он своје становиште заснива на позитивистичком односу према науци, при чему је физичка теорија математички модел. Па уколико у математици постоје тврдње које не могу бити доказане, имлицитно, постоје и физички проблеми који су недоказиви. Он изводи закључак како су физичке теорије само-референтне, јер како каже:

"Ми нисмо анђели, који могу посматрати универзум споља. Наместо тога, ми и наши модели, део смо универзума који описујемо."119

Овим ставом Стивен Хокинг повлачи паралелу између Геделових теорема, и некомлетности физичких теорија, да се опише универзум. У том "простору некомплетности" постоји сасвим реална могућност за формирање нерешивих парадокса. Физика је емпиријска наука120 чији су резултати инваријантни у просторвремену и независни су од субјекта. Закони физике су изведени из теоријских и епистемолошких принципа који су дефинисани у искуственом односу човека према природи. Постоје симболи и релације везе који су неизоставни део физике, као што постоје и у математици, и помоћу њих се формализује физика. Аналогија са математиком је очигледна. Уколико постоји доказ о недоследности који важи у математици, области људског деловања са већим степеном апстракције од физике, логична је претпоставка је да ће бити важећи и у физици. Парадокси постоје у свим областима физике. Најпознатији су парадокси релативистичке и квантне физике. Нису парадокси настајали само у 20. веку. Физика се као научна дисциплина формирала из природне филозофије у 17. веку и њу од почетка прате парадокси као њен саставни део. Поједине области физике као да су више "склоне" парадоксима него друге. Тако је на пример приметан релативно велики број парадокса у специјалној теорији релативитета, док на пример у електромагнетизму нема толико парадокса. Није занемарив број парадокса у класичној механици или термодинамици и статистичкој физици. Разлози за такву појаву тек треба да буду прецизно дефинисани, и претпоставка је да они леже у чињеници да је физика емпиријска наука заснована на математичким нормативима. Вероватно, да сам настанак и начин развоја појединих области физике, директно условљавају формирање парадокса у њима. Поједини парадокси у физици су решиви (они који су засновани на емпиријским садржајима), док неки нису (они који су засновани на математичко-теоријским садржајима). Приликом изградње одређених области, и подобласти, у физици као да није било "опипљиве доступности" која је условила њихов развој у већем степену апстракције, унутар којег су се стварале могућности за настанак парадокса.

119 Hawking, S. W. (2002). 120 Физичари тек треба да се договоре у ком смеру се развија физика и да формулишу савремене спекулације о крају физике до којег неминовно долази услед емпиријске немогућности да се у лабораторији испрате теоријска постигнућа.


87

Шта значи да одређена физичка теорија садржи парадоксе? Пре свега, то значи да на основу неке теорије следе предвиђања која су у сукобу са перцепцијом физичке реалности, било директно или индиректно, попут: честица са имагинарном масом, имагинарног времена (Хокингова интерпретација математичког времена), негативне вероватноће (у теорији струна када се добијају негативни бројеви за вероватноћу догађаја третираних квантно-механичким правилима), кретања чија је брзина већа од брзине светлости (тахјони), итд. Сви ови резултати се добијају применом математике и очекује се да имају одређене физичке атрибуте. Закључак Парадокс је постао опште прихваћен феномен чија је присутност у физици неоспорна. У овом одељку покушано је да се формулише став о разлогу постојања парадокса у физици и да се представи теза која је изведена из математичке логике (чија корисност се наслућивала у физици). Уколико су у математичкој логици, као најстроже формализованој дисциплини људског деловања, према доказима Геделових теорема непотпуности, аксиоматски системи условно противречни; онда су у физици, науци која је заснована на математичким предикцијама, парадокси незаобилазни чиниоци свих објашњења физичких догађаја. Физика, као "неосновни" формални систем може се свести на аритметику (математику), а пошто је доказано да је аритметички систем неконзистентан, физика онда представља систем у којем је нужно постојање парадокса. Према томе закључак је да су парадокси у физици неизбежни. Литература

1. Barbour, J. (2000). The End of Time. A Phoenix Paperback, London. 2. Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge, London. 3. Feferman, S. (1996). Penrose’s Gödelian argument. Psyche 2, p. 21-32. e-print:

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/penrose.pdf 4. Feferman, S. (1996). Gödel's program for new axioms: Why, where, how and what. Gödel

’96 (P. Hajek, ed.), Lecture Notes in Logic 6, p. 3-22. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godelprogram.pdf

5. Feferman, S. (1993). Gödel’s Dialectica interpretation and its two-way stretch. Computational Logic and Proof Theory (G. Gottlob, et al., eds.), Lecture Notes in Computer Science 713. p. 23-40. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/stretch.pdf

6. Feferman, S. (2006). The nature and significance of Gödel’s incompleteness theorems. Lecture for the Princton Institute for adveted Study Gödel Centrary Program. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godel-IAS.pdf

7. Feferman, S. (2006). Review of "Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel by Rebecca Goldstein". London Review of Books, vol. 28, No. 9, e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/lrb.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/penrose.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godelprogram.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/stretch.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godel-IAS.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/lrb.pdf


88

8. Gödel, K. (1931). Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandeter Systeme. I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38, s. 173-98. e-print: http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf

9. Goldstein, R. (2006). Incompletnes: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company, New York.

10. Hawking, S. W. (2002). Gödel and the end of physics. e-print: http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/

11. Lucas, J. R. (1961). Minds, Machines and Gödel. First published in Philosophy, XXXVI, pp.(112)-(127); reprinted in The Modeling of Mind, Kenneth M.Sayre and Frederick J.Crosson, eds., Notre Dame Press, 1963, pp.[269]-[270]; and Minds and Machines, ed. Alan Ross Anderson, Prentice-Hall, 1954, pp.43-59.

12. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass.: Harvard University Press, Cambridge.


14. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 15. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxford University Press, Oxford. 16. Аничин, И. В. (2006). Обрада резултата мерења. Универзитет у Београду- Физички

факултет (треће издање), Београд. 17. Берберовић, Ј. (1990). Филозофија и свијет науке. Свјетлост, Сарајево. 18. Кун, T. (1974). Структура научних револуција. Нолит, Београд. 19. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. ИНФОРМАТИКА, Београд. 20. Попер, К. (1973). Логика научног открића. Нолит, Београд. 21. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 22. Шикић, З. приредио. (1987). Новија филозофија математике. Нолит, Београд.


http://www.damtp.cam.ac.uk/strings02/dirac/hawking/


89


90

ДРУГИ ДЕО


91


92

VI Примери парадокса у физици


93

Као мали слажемо слагалице; као људска бића живимо у слагалици. Леонард Млодинов Никада не дозволи себи да озбиљно узимаш проблеме са речима и њиховим значењима. Оно што треба узети озбиљно јесу питања о чињеницама и тврдње о чињеницама: теорије и хипотезе; проблеми које они решавају; и проблеми које стварају. Карл Попер


94

Све класификације су вештачке и непотпуне, али и поред тога класификација представља један од основних метода сазнања. Класификације су покушај да се систематизују чињенице како би биле боље сагледане. У дисертацији су парадокси анализирани према областима физике и том приликом је испоштована класификација физике на:

− Класичну физику, − Квантну физику, − Релативистичку физику.

Пре физике 20. века, када се појмовно, и у јасно дефинисаном контексту, издвајају по својој карактеристичности квантна и релативистичка физика, постојала је класична физика, као физика која не изучава екстремно мало и екстремно брзо, у смислу принципијелно другачијег епистемолошког приступа решавању проблема. Гранични случај изучавања екстремно малог формулише квантну физику, док гранични случај екстремно брзог и неапсолутног система формулише физику релативитета. Свака област физике има подобласти. Такође, комбинације подобласти чине многе граничне случајеве ових области физике. Подобласти физике, које су употребљене у тези дефинисане су само код класичне физике:

− Класична механика, − Термодинамика и статистичка физика, − Електромагнетизам.

Парадокси у физици, биће анализирани на следећи начин:

1. Биће систематизовани према областима и подобластима физике којима припадају, 2. Биће наведени аутори који су учествовали у стварању парадокса, 3. Биће дефинисан временски период када је парадокс настао као и историјски услови

научног сазнања који су довели до настанка парадокса, 4. Биће образложен разлог зашто је наведен сваки парадокс, 5. Уколико су решени, заведени под експарадоксе, биће образложено објашњење.

Поједини експарадокси, попут на пример Даламберовог парадокса, имају више различитих решења. Неће се у овој тези улазити у детаље које је решење тачно и зашто је баш оно тачно, јер би усмеравање пажње у том смеру изискивало огромно специјалистичко знање за све области и подобласти физике. Овде ће бити само указано на претпоставке од којих се пошло приликом решавања парадокса и на могућност постојања више решења.


95

A. Парадокси класичне физике

a. Парадокси класичне механике Реч механе изгледа да прво означава машину којом се спушта на позорницу и диже са ње глумац који игра бога, од чега је постао израз "deus ex machina". Милорад Млађеновић Класична механика је део класичне физике који се бави најелементарнијим облицима кретања у природи и чије је кретање окарактерисано положајем и брзином. Темеље савремене класичне механике поставио је Исак Њутн (Isaac Newton, 1643–1727) и често се у литератури назива Њутнова механика. Класична механика описује детерминистички најједноставније облике кретања и заснована је на принципима који припадају човеку блиском окружењу. Разни су разлози формирања парадокса у класичној механици. На пример, идеализација модела у класичној механици чест је разлог успостављања парадокса. Поједини парадокси, сврстани у овом поглављу, познати су још из времена старе Грчке. Тек знатно касније формулисаће се физика и Њутнова механика. У класичној механици постоји знатно већи број парадокса али теза би постала преобимна да су анализирани сви познати парадокси. У овом одељку ће бити анализирани следећи парадокси:

1. Аристотелов парадокс точка (кинематика ротационог кретања), 2. Кeролов парадокс (динамика ротационог кретања), 3. Aрхимедов парадокс (статика флуида), 4. Хидростатички парадокс (статика флуида), 5. Даламберов парадокс (динамика флуида), 6. Зомерфелдов парадокс (динамика флуида), 7. Денијев парадокс (капиларне силе и површински напон).

1. Аристотелов парадокс точка121

Замајац је сачињен од два дела различитог полупречника. За време обртања и праволинијског кретања замајца, с лева на десно, мањи ваљак замајца додирује замишљену линију CD и прелази тај пут. За једнако време, већи ваљак замајца, који се окреће једнаком угаоном брзином, прелази пут AB. Овај закључак наговештава да је обим мањег ваљка замајца једнаке дужине као и обим већег ваљка замајца, што је очигледна неистина.

121 Анализа је на страни 43.


96

2. Кeролов парадокс122

Хомогени крути штап, дужине l, налази се између два вертикална концентрична круга, полупречника r1 и r2, при чему је l=r2–r1. Штап је постављен тако да је један крај повезан са унутрашњим кругом, а други крај са спољашњим кругом. Претпоставка је, да је кретање штапа, у спојном делу са круговима, без трења. Штап је у почетном тренутку постављен у хоризонтални положај "казаљка на три сата", и затим пуштен. Да ли ће се такав штап кретати?

Парадокс је формулисао Мајкл Керол (Michael M. Carroll) 1984. године, са Беркли универзитета у САД, у раду Једно третирање силе у динамици крутог тела.123 Кeролов парадокс настаје разматрањем кретања крутог штапа који је повезан за два концентрична круга, при чему, када се кретање крутог штапа анализира на један начин показује се да је момент импулса (угаони момент) константан, а када се анализира на други начин показује се да он није константан.

Слика 4, Керолов парадокс124

Анализом момента импулса штапа, на два различита начина, долази се до следећих закључка:

1. Сила трења штапа на спојним местима са концентричним круговима једнака је нула. Не постоји компонента силе отпора нормалне на штап чије би дејство створило момент силе који би штап померао радијално дуж вођица концентричних кругова (дејство силе теже штап усмерава вертикално на доле). Нема дејства момента силе трења на штап. С обзиром да је момент импулса штапа на почетку, у тренутку положаја "казаљка на три сата", нула ⇒ момент импулса ће остати нула све време, односно неће се мењати. (L=r x p, L=0)

2. У почетном тренутку штап има само потенцијалну енергију и након пуштања, штап ротира, крећући се попут казаљке на часовнику. Када штап дође до позиције "казаљка на шест сати", он има минималну потенцијалну енергију (Ако се нулти ниво потенцијалне енергије постави у том стању, значи да се сва потенцијална енергија из почетног тренутка трансформисала у кинетичку енергију). Како нема губитка енергије зато што је кретање штапа без трења, штап у позицији "шест сати" има максималну кинетичку енергију и наставља да се креће "поштујући" принцип

122 Због могућности настанка забуне, битно је напоменути да је Керолов парадокс име и за парадокс који настаје приликом правилног доношења закључка, а који је поставио Луис Керол (Lewis Carroll), мање познат по свом правом имену Чарлс Лутвиџ Доџсон (Charles Lutwidge Dodgson, 1832-1898), енглески математичар, логичар и писац чувене књиге Алиса у земљи чуда. Овај парадокс он је обелоданио у забавној мисаоној причи под називом Шта је корњача рекла Ахилу. 123 Carroll, М. М. (1984). 124 Слика преузета из Carroll, М. М. (1984).


97

одржања енергије. Из разлога зато што штап наставља да се креће, закључак је да он у положају нулте потенцијалне енергије поседује момент импулса, који га подстиче даље на кружно кретање. (L≠ 0)

По Виктору Намиасу (Victor Namias) ово је привидан парадокс. Он за Керлов парадокс каже:

"...Привидан парадокс настаје зато што су силе реакције у контактним тачкама потпуно радијалне, и заједно са тежином штапа, који делује на центар масе штапа, су неспособне да формирају торзиони момент око центра масе неопходан за ротацију штапа..."125

Парадокс је теоријске природе. Парадоксална ситуација настаје услед математичке анализе када се објашњење ситуације даје на различит начин, чиме се долази до различитих резултата за једно исто кретање. Физички је лако реализовати ситуацију која се анализира али парадокс је настао као последица објашњења. Парадокс је мисаони експеримент зато што је заснован на математичким и физичким спекулацијама. Ово је експарадокс зато што постоји објашњење парадокса. Разјашњење Кероловог парадокса Кeрол сматра да се овако замишљена физичка ситуација не може десити. У реалности одржавање штапа у радијалној позицији, између кругова са којима је повезан, захтева силу бесконачне вредности интензитета. Другачије решење парадокса даје, након две године, Виктор Намиас. Он се не слаже са реалним постојањем "мистериозне тангенцијалне силе" на месту контакта крутог штапа и концентричне вођице Претпоставка је да се крути штап креће, што значи да је кретање ротационо и да мора постојати момент импулса штапа ⇒ L=r x p, r је вектор растојања центра масе штапа од његове осе ротације, p је вектор импулса штапа који се обрће константном угаоном брзином. На овим основама ⇒ p=const. ∧ r=const. ⇒ L=const. ∧ M=∆L/∆t ⇒ M=0. Значи момент силе који треба да делује на центар масе штапа једнак је нули. 3. Архимедов парадокс126

Велики бојни брод може пловити у неколико литара воде. 4. Хидростатички парадокс

Појава да стубови исте течности, различитог облика, једнаких површина дна, делују на дно једнаким силама, независно од количине течности у судовима – назива се хидростатички парадокс.

125 Namias, V. (1986). 126 Анализа је на страни 44-45.


98

Овај парадокс је одавно објашњен и спада у категорију експарадокса. Разлог једнаког интензитета деловања тежине воде на дно различитих облика судова, који је некада изгледао тако противречан, данас је познат и ученицима основне школе. Парадокс су највероватније формулисали Фламанац Симон Стевин (Simon Stevin, 1548-1620) и независно од њeга Италијан Ђанбатиста Бенедети (Giambattista Benedetti, 1530-1590).127 Појава је сматрана парадоксом у периоду када је преовладавало мишљење да притисак на дно потиче од количине течности. Такво расуђивање потицало је из незнања или услед површног разматрања проблема хидростатичког притиска. Овај парадокс се не може сматрати правим парадоксом и сврстан је у групу привидних парадокса пошто је теоријско објашњење јасно и експериментална демонстрација лако изводива. Парадокс је експерименталне природе, лак је за реализацију, често се демонстрира у школама и значи да је чулно опсервабилан. Разјашњење хидростатичког парадокса Француски филозоф, математичар, физичар и теолог Блез Паскал (Blaise Pascal, 1623-1662) 1648. године објаснио је Хидростатички парадокс демонстрирајући га помоћу Паскалове вазе. Експериментално се помоћу Халдатове ваге могло утврдити да притисак на дно суда не зависи од облика суда.

F = P · S P = P0 + ρ · g · h

Прва формула је за интензитет силе а друга за хидростатички притисак. Из формула се види како притисак на дно суда не зависи од количине течности, већ само од врсте течности (ρ) и дубине на којој се притисак мери (h). 5. Даламберов парадокс Тако, ја не схватам, ја признајем, како неко може на задовољавајући начин теоријски објаснити отпор код флуида. Насупрот, изгледа ми да теорија, најстроже, даје у многим случајевима нулту вредност отпора; особит је парадокс који остављам будућности. Жан Даламбер, Geometers for elucidation (1752) Неколико формулација Даламберовог парадокса:

Невискозан и нестишљив флуид не повлачи објекте који су у контакту са флуидом. Невртложно кретање невискозног флуида око објекта не ствара повлачење на објекту. Лапласов проток не ствара повлачење.

127 Млађеновић, M. (1986). Развој физике (механика и гравитација). стр. 56.


99

Тело се креће, према математичком извођењу, кроз идеалан нестишљив флуид без отпора кретању.

Име Француза Жана Даламбера (Jean le Rond D'Alembert, 1717-1783), иако је по вокацији пре био математичар и филозоф, у физици је остало препознатљиво, по Даламберовом принципу и Даламберовом парадоксу. Ово је парадокс из динамике флуида. Даламбер је парадокс формулисао 1752. године у раду Нова теорија отпора флуида.128 Даламберов парадокс је настао као гранични случај у елементарном рачуну којем је Даламбер дао физички значај и стога се може сврстати под парадокс идеализације. Даламберов парадокс се може пронаћи и под именом Ојлеров парадокс.129

Слика 5, Насловна страна Даламберове Нове теорије отпора флуида Парадокс је решио Лудвиг Прандл (Ludwig Prandtl, 1875-1953) почетком 20. века, и његова идеја је касније развијана у радовима Хермана Шлихтинга (Hermann Schlichting, 1907-1982) 1955. године,130 Лава Ландауа (Lav Davidovich Landau, 1908-1968) и Евгенија Лифшица (Evgeny Mikhailovich Lifshitz, 1915-1985) 1959. године.131 Последњих година су Швеђани Јохан Хофман (Johan Hoffman) и Клис Џонсон (Claes Johnson) разрадили решење парадокса које је засновано на компјутерској симулацији. С обзиром на то да постоје решења парадокса ово је експарадокс. Даламберов парадокс је теоријске природе зато што настаје приликом математичке формулације идеализованог феномена. Парадокс се може сматрати мисаоним експериментом. Услови парадоксалне ситуације, да не долази до повлачења тела, мисаоно су формулисани и нису чулно опсервабилни. Разјашњење Даламберовог парадокса Лудвиг Прандл, кога називају и оцем модерне механике флуида, дао је решење Даламберовог парадокса 1904. године на Трећем интернационалном конгресу математичара у Хајделбергу, где је представио рад О кретању флуида врло малог вискозитета.132 Прандл је пошао од претпоставке да је нулта вискозност разлог погрешних предвиђања о кретању флуида. У том раду он је развио теорију ефекта граничних слојева, посебно обраћајући пажњу на танке слојеве флуида непосредно поред тела. Искуство у раду са флуидима мале вискозности, попут воде или ваздуха, јесте да постоји отпор средине кртању тела кроз њега, односно да постоји повлачење од стране објекта који се креће кроз такав флуид. Стационарни флуида, код којег нема дивергениције и

128 Essai d'une nouvelle theorie de la resistance des fluides (New theory of the resistance of Fluids). 129 Жижић, Б. (1989). стр. 249. 130 Schlichting, H. (1955). 131 Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1959). 132 Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung.


100

турбуленције, другачије се зове Лапласов флуид.133 Он не егзистира као релан флуид и то је смерница за решење установљеног парадокса. Математички опис потенцијалног протока нема своју заснованост код реалног протока чиме је утврђена контрадикција у односу на искуство. Сила вискозног трења је у функцији природе флуида и релативне брзине струјања флуида. Код идеалног флуида коефицијент вискозности има вредност нула. Под претпоставком да је оптицање идеалног флуида око симетричног тела, на пример лопте, при чему је кретање флуида стационарно (брзина, притисак и густина флуида се не мења с временом), онда и сила притиска на тело од стране флуида не постоји, што значи да нема чеоног отпора, односно да симетрично тело при константном кретању кроз идеалан флуид не наилази на отпор средине. Решење Хофмана и Џонсона засновано је на израчунавању Ојлерових једначина које описују идеалан проток нестишљивог флуида. Они тврде да је разматрање са нултим повлачењем код идеалног флуида нестабилно и стога не може бити физички реализовано. Математичка анализа парадокса је детаљно обрађена компјутерском анимацијом за претпостављене параметре. 6. Зомерфелдов парадокс

Математичко предвиђање је да ће најједноставније од свих протока, Куетов проток (стационарна линеарна брзина флуида), остати трајно стабилан. У флуидима мале вискозности примећено је да увек долази до појаве турбуленције.

Парадокс је поставио немачки физичар Арнолд Зомерфелд (Arnold Sommerfeld, 1868-1951), и тиче се стабилности невискозног Куетовог протока. Зомерфелд је овај парадокс обелоданио на Трећем интернационалном конгресу математичара у Риму 1908. године у раду Један допринос за хидродинамичко објашњење турбулентног кретања течности.134 Зомерфелфов парадокс је парадокс динамике флуида. Као и Даламберов парадокс спада у категорију парадокса у којем се математичка предвиђања ефекта не подударају са реалним физичким дешавањима. Предвиђена трајна стабилност протока претпоставља постојање идеализованог флуида. Непостојање физичке реалности у претпоставци створило је услове за формирање Зомерфелдовог парадокса. Зато што је у претпоставци усвојена идеализована форма за математичко третирање феномена ово је парадокс идеализације. Постоји решење парадокса и он је експарадокс. Разлог успостављања парадокса је идеализација претпоставке математички третираног флуида. Парадокс је мисаоног карактера и он је мисаони експеримент. Зомерфелдов парадокс је теоријски парадокс зато што настаје услед математичког објашњења појаве, при чему се то објашњење разликује од реалног запажања.

133 Идеалан бестежински флуид, нултог вискозитета, при чему је струјање флуида стационарно. Лапласов флуид је математичка апстракција реалног флуида. 134 Sommerfeld, A. (1908). p. 116-124.


101

Разјашњење Зомерфелдовог парадокса По Херману Шлихтингу линеарна брзина Куетовог протока је превише једноставно математички изложено и математичка грешка је направљена од стране Арнолда Зомерфелда. Поновљеним математичким рачуном установљено је да Куетов проток није трајно стабилан, што се поклапа са физичком реалношћу. Јохан Хофман и Клис Џонсон решење Зомерфелдовог парадокса заснивају на тврдњи да су они уочили да "коректна немодална анализа" показује мале трансферзалне пертурбације. Уколико таква ситуација при протоку потраје, она може да изазове настанак турбуленције. На основама резултата добијених компјутерском симулацијом они тврде да су решили Зомерфелдов парадокс. Помоћу компјутерске симулације потврђено је реално понашање флуида мале вискозности. 7. Денијев парадокс

"Водени шетачи" приликом кретања по површини воде стварају одређену врсту момента док покрећу ноге. С обзиром на малу густину ваздуха претпоставка је да се покретачки момент гради у контакту са водом. Шта покреће "водене шетаче", и како се млади "водени шетачи" одржавају на води када нису у могућности да постигну одговарајућу брзину?

Овај парадокс је формулисао 1993. године у књизи Ваздух и вода135 Марк Дени (Mark W. Denny), професор биологије са Стенфорд универзитета у САД, и тиче се кретања инсекта по површини воде. Познато је да су поједине врсте инсеката способне да се крећу по површини воде, и да при томе не потону. Енглески термин water strider може се превести као "шетачи по води" или "водени шетачи".136 Денијев парадокс се конкретно односи на наизглед невероватну способност да се поједине врсте одржавају на површини воде, тако што стварају довољно интензивну пропулзивну силу, која их покреће и тера да иду напред, те тако опстају на површини воде не потонувши.

Слика 6, Водени шетач на површини воде.137 До сазнања какве силе делују да би "водени шетачи" опстали на површини воде долази се познавањем елементарних закона физике и биологије. Парадокс је настао на темељима изведене формуле за кретање "водених шетача" која је указивала на контрадикцију са оним

135 Denny, M. W. (1993). 136 Инсекти који ходају по води су: стеница водомар, стеница газивода... 137 Слика преузета из Denny, M. W. (2004).


102

што се може видети у природи. Парадокс је последица недовољног познавања феномена и стога је привидни парадокс. Овај парадокс је из механике флуида и појава одржавања на површини воде је директно повезана са постојањем површинског напона. Парадокс је чулно опсервабилан и само на први поглед је контраинтуитиван. Упориште му је у физичком феномену, могућности да се инсект креће по води, па се стога може сматрати експерименталним парадоксом. Пажљивом анализом се даје јасно објашњење па се може сматрати експарадоксом. Разјашњење Денијевог парадокса Када мирују, "водени шетачи" се служе ногама као веслима, које све време лагано раде. Удубљење које се формира услед капиларних сила, испод сваке од ногу, опонаша оштри део весла. Повлачење воде узрокује стварање малих водених ковитлаца чије кретање условљава настанак неопходног момента који омогућава да се "водени шетачи" одрже на површини воде. Када се крећу, око ногу "водених шетача" се образује површински напон и да би "водени шетачи" опстали на површини воде њихове ноге се морају брже покретати од брзине дате формулом:

44

ρσg

v =

при чему су: g – убрзање у гравитационом пољу Земље, σ – интензитет површинског напона воде, ρ – густина воде. Брзина износи 23cm/s. "Водени шетачи" имају способност да се "одупиру" о воду, а да не потону, чиме се ствара пропулзивна сила која омогућава да се по њој крећу. Млади "водени шетачи" се не могу кретати лимитираном брзином по површини воде, они ту способност стичу одрастањем и по свему судећи они не би могли да се одржавају на површини, али то није тако. Решење први даје Роберт Сутер (Robert B. Suter) са својим тимом 1997. године. Он разрађује хипотезу да је разлог одржавања на води због протока око рупица ногу "водених шетача".138 Сутерово објашњење допуњује Ху (David L. Hu), у то време докторант на МИТ-у, 2003. године.139 Показано је да се услед веслања ногу преноси импулс до воде формирањем таласа и полулоптастог диполарног вортекса.140

138 Suter, R. B, Rosenberg, O, Loeb, S, Wildman, H. and Long, J. (1997). 139 Hu, D. L, Chan, B. and Bush, J. W. M. (2003). 140 Denny, M. W. (2004).


103

Закључак Уочљив је мали број савремених парадокса Њутнове механике (овде су уврштени: Каролов парадокс и Денијев парадокс). Парадокси попут Денијевог парадокса могу се објашњавати у оквирима посебног поглавља које би се тицало биофизичких парадокса животињског кретања. Анализом седам наведених парадокса класичне механике примећује се њихова типичност – пет је привидних парадокса, а два су настала идеализацијом реалног система и оба су из динамике флуида. Ниједан од пет привидних парадокса није из динамике флуида. С обзиром да је класична механика област физике интуитивно "најближа" човеку, и да је лакше пондерабилно проверљива од других области физике, решавање парадокса класичне механике било је очекивано. Од одабраних примера сви су експарадокси. Међу одабраним парадоксима пола их је настало као последица мисаоних процеса а пола су резултат опсервације реалних догађаја. Једина дилема је код Архимедовог парадокса, који је настао као ментална игра, а чија је реализација лако остварива. Само два парадокса, између одабраних и анализираних, настала су као резултат посматрања (Хидростатички парадокс и Денијев парадокс). Са временске дистанце веће од две хиљаде година може се претпоставити да је Аристотелов точак прво направљен па да је тек након тога постављен парадокс. Претпоставка је да је однос о узајамној вези обима точкова постављен као интелектуална игра и то је разлог зашто је Аристотелов парадокс точка посматран као теоријски парадокс. Литература

1. Carroll, М. М. (1984). Singular constarints in rigid-body dinamics. Am. J. Phys. 52, p. 1010.

2. Cowley, S. J. (2001). Laminar Boundary-Layer Theory: A 20th century Paradox? Proceedings of ICTAM 2000, eds H. Aref and J. W. Philips, Kluwer. e-print: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/papers/ictam2000/short.pdf

3. Cucić, D. (2006). Paradox in physics, the consistency of inconsistency. 6th International Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-002, Book of Abstracts p. 1194)

4. Cucić, D. (2008). Astrophisics Paradoxes (short version). XV NATIONAL CONFERENCE OF ASTRONOMERS OF SERBIA, Beograd, oktobar 2008.

5. Denny, M. W. (1993). Air and Water. Princeton: Princeton University Press. 6. Denny, M. W. (2004). Paradox lost: answers and questions about walking on water. First

published online April 8, 2004, Journal of Experimental Biology, 207, p. 1601-1606, Published by The Company of Biologists 2004.

7. Dickinson, M. H, Farley, C. T, Full R. J, Koehl M. A. R, Kram, R, Lehman, S. (2000). How Animals Move: An Integrative View. Science, Vol. 288, April 2000., p. 100-106.

8. Hoffman, J. & Johnston, C. (2006). Finally: Resolution of dAlembert Paradox. In review. e-print: http://www.femcenter.org/pub/preprints/phiprint-2006-14.pdf

9. Hoffman, J. & Johnson, C. (2006). Computational Turbulent Incompressible Flow. Springer-Verlag Publishing.

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/papers/ictam2000/short.pdf

http://www.femcenter.org/pub/preprints/phiprint-2006-14.pdf


104

10. Hu, D. L, Chan, B. and Bush, J. W. M. (2003). The hydrodynamics of water strider locomotion. Nature 424, р. 663 -666.

11. Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1959). Fluid mechanics. Pergamon Press, Reading, Mass. Addison-Wesley, London.

12. Loy, Ј. (2002). Aristotle's Wheel Paradox. e-print: http://www.jimloy.com/geometry/wheel.htm

13. Namias, V. (1986). On an apparent paradox in the motion of a smoothly constrained rod. American Journal of Physics, 54(5), May 1986.

14. Prandtl, L. (1904). On motion of fluids with very little viscosity. Third International Congress of Mathematics, Heidelberg. e-print: http://naca.larc.nasa.gov/digidoc/report/tm/52/NACA-TM-452.PDF

15. Schlichting, H. (1955). Boundary Layer Theory. McGraw-Hill, New York. 16. Sommerfeld, A. (1908). Ein beitrag zur hydrodynamischen erklärung der turbulenten

flüssigkeitsbewegungen. Atti del 4. Congr. Internat.dei Mat. III, Roma. p. 116-124. 17. Suter, R. B, Rosenberg, O, Loeb, S, Wildman, H. and Long, J. (1997). Locomotion on the

water surface: propulsive mechanisms of the fisher spider Dolomeds triton. J. Exp. Biol. 200, p. 2523-2538.

18. http://jeb.biologists.org/cgi/reprint/202/20/2771?ijkey=4f676b33a0d3912ee1f0509b1b99e23aa0a5a1d9

19. Veysey, J. II & Goldenfeld, N. (2007). Simple viscous flows: From boundary layers to the renormalization group. Rev. Mod. Phys., Vol. 79, No. 3, July–September 2007.

20. Жижић, Б. (1989). Курс опште физике, физичка механика. ИРО Грађевинска књига, Београд.

21. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (механика и гравитација). ИРО "Грађевинска књига", Београд.

Табеларни преглед карактеристика парадокса у класичној физичкој механици

Даламберов Парадокс

Денијев Парадокс

Зомерфелдов парадокс

Аристотелов парадокс точка

Кeролов парадокс

Хидростатички парадокс

Aрхимедов парадокс


Парадокс идеализације








Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Теорија Експеримент Теорија Теорија Теорија Експеримент Теорија


Мисаони Експеримент







Табела 17


http://naca.larc.nasa.gov/digidoc/report/tm/52/NACA-TM-452.PDF

http://jeb.biologists.org/cgi/reprint/202/20/2771?ijkey=4f676b33a0d3912ee1f0509b1b99e23aa0a5a1d9

http://jeb.biologists.org/cgi/reprint/202/20/2771?ijkey=4f676b33a0d3912ee1f0509b1b99e23aa0a5a1d9


105

б. Парадокси термодинамике и статистичке физике "… да нити топлота ствара кретање, нити кретање топлоту (иако је обоје на известан начин тачно), већ да је топлота по себи, и својој суштини кретање, и ништа више." Френсис Бејкон – Novum Organum "Толико много особина материје, нарочито када је у гасном облику, може се извести из хипотезе да су њени сићушни делови у брзом кретању, са брзином која расте са температуром, да прецизна природа тог кретања постаје предмет рационалне знатижеље ..." Џејмс Клерк Максвел Предмет анализе у овом одељку су парадокси у термодинамици и статистичкој физици. У стручној литератури се могу пронаћи многи текстови који се баве парадоксима у овој области физике, али у свим случајевима се они објашњавају појединачно, без покушаја да се начини нека врста синтезе помоћу које би могли да се сагледају сви парадокси одједном. У радовима те врсте су најчешће објашњења сваког од парадокса учињена много студиозније него што је то урађено у овом случају. Термодинамика је област физике код које се, као и код осталих области, први облици формулације могу пронаћи у филозофији старих Грка. Преломни моменти приликом изучавања топлотних појава дешавају се у средњем веку када се чине покушаји стандардизације скале и физичке реализације мерног уређаја. Осмишљавањем термометра у 17. веку стичу се услови да се топлота поред квалитативног начина изучава и квантитативно, чиме термодинамика почиње да добија јасне обрисе у процесу формулације. Први статистички подаци се јављају у 17. веку, али тек у 19. веку статистика и вероватноћа постају неодвојиви део физике. Термодинамика и статистички приступ термодинамици (статистичка физика) постали су објективан поглед на свет након дела немачког физичара Рудолфа Клаузијуса (Rudolf Julius Emanuel Clausius, 1822-1888), шкотског физичара Џејмса Максвела (James Clark Maxvell, 1831-1879), аустријског физичара Лудвига Болцмана (Ludwig Eduard Boltzmann, 1844-1906) и Американца Виларда Гибса (Willard Josiah Gibbs, 1839-1903). Највећи број парадокса статистичке физике потиче из 19. века, када она настаје. Овде ће бити представљени и аналзирани следећи парадокси:

1. Болцманов парадокс, 2. Лошмитов парадокс реверзибилности, 3. Цермелов рекуретни парадокс, 4. Мпемба ефект, 5. Парадокс Максвеловог демона, 6. Парадокс топлотне смрти (Клаузиусов парадокс), 7. Гибсов парадокс (Парадокс мешања).


106

1. Болцманов парадокс

Како је могуће да микроскропска кретања, која су реверзибилна, условљавају настанак макроскопских кретања, која су иреверзибилна?

Можда би, најједноставније, разлика између микро и макро система, могла да се представи "филмским језиком". Микросистем би био "уснимљен" систем код којег субјект не би успео да утврди исправан смер тока догађаја, док би се код макросистема лако утврдиле "нелогичности", на основу којих би се утврдио смер. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и није мисаони експеримент. Иако је феномен физички реално уочљив парадокс је теоријске природе, јер не постоји експеримент који би га јасно дефинисао и искуствено формулисао (другачије осим као последицу дуготрајног посмарања понашања природе). Болцманов парадокс је постављено питање о разлогу различитог понашања природе на два њена структурно различита нивоа. Ричард Фејнман у есеју Разлика прошлости и будућности141 бави се феноменима реверзибилности и иреверзибилности. На једном месту наводи како су закони повратни а појаве нису. Он уочава разлику између установљених закона физике и појава које они објашњавају.

"Природа је тако грађена да су најважније чињенице у њој далеке последице више или мање случајних слагања мноштва закона."142

И Фејнман формулише хијерархијску разлику "појмова и предоџби". На примеру поретка пар молекула (који се могу изоловати у микросвету) и поређењем са огромним бројем молекула (који чине један систем у макросвету) он изводи закључак о разлогу неповратности макросистема (која је привидне природе због малог временског интервала посматрања појаве). Болцманов парадокс је хијерархијски парадокс који настаје услед измене стања материје – у овом случају разматрања физичког стања у микро и макро свету. Разјашњење Болцмановог парадокса Лудвиг Болцман, један од утемељивача статистичке механике, није сматрао да реверзибилна микроскопска кретања имају неку посебну карактеристику која их чини реверзибилним, осим што су сама по себи реверзибилна. Једнако важи и за макроскопска кретања чија се иреверзибилност огледа у немогућности повратног процеса (просута вода из лавора "тешко" да ће се вратити у лавор), што по Болцману представља једноставно уређеност појавности у природи. Болцман је заступао становиште да решења за овај парадокс једноставно нема. Макросистем је уређен ентропијски, и он тежи максималном нереду. Природа макросистема је иреверзибилна. Оно што је Болцман успео да покаже, јесте да се ентропија реверзибилних процеса своди на закон вероватноће, што се јасно огледа у Планковој формули за ентропију S=k·lnW. Такође, и за ентропију реверзибилних процеса он показује да се могу свести на закон

141 Фејнман, Р. (1986). стр 116. 142 Фејнман, Р. (1986). стр. 116.


107

статистичке механике, али нигде не налази спону која би повезала разлоге настанка иреверзибилних од реверзибилних процеса. Лорд Келвин прави разлику између "апстрактне"143 и "физичке"144 динамике, при чему је, према његовом ставу, прва реверзибилна, а друга иреверзибилна.145 По Лорду Келвину разлика између ове две механике је само привидне природе и она нестаје када се у механику уведи статистичка механика. Конкретног решења за овај парадокс нема, осим наведених ставова који потичу од ауторитета у физици, и више су спекулативне и филозофске природе него јасно физичко објашњење. 2. Лошмитов парадокс реверзибилности

У суду, савршено рефлектујућих зидова, налази се гас неравнотежног стања (има немаксвелову расподелу брзина). Стање система се може описати Болцмановом Н-функцијом. Временом ће тај гас постићи Максвелову расподелу. Измена стања система се може описати низом Н1, Н2, ..., Нн који је опадајаћи према Болцмановој Н-теореми.146 Након што систем постигне равнотежу, промене се смерови брзина свих честица. Новом стању, у почетном тренутку, ће одговарати друга Болцманова функција Нн' која је једнаке вероватноће као и Нн. Обртањем смера брзине молекула, гас треба да пролази кроз стања која су растућег карактера: Нн, Нн-1, ..., Н2, Н1, што је у супротности са Болцмановом Н-теоремом да је Н-функција опадајућа. Други принцип термодинамике се на тај начин оповргава, чиме се поткопавају темељи термодинамике.

Јозеф Лошмит (Joseph Loschmidt, 1821-1895) је објавио три чланка под насловом О стању равнотеже топлоте система тела са освртом на силу теже147 током 1876. и 1877. године. У њима је покушао да докаже да је равнотежа система могућа и без изједначавања температура елемената који чине систем. Овај парадокс, као код Цермеловог парадокса, заснива се на критици Болцманове Н–теореме, и представља једну од многих дискусија приликом дефинисања статистичке природе другог принципа термодинамике. Попут лорда Келвина, две године раније, Лошмит поставља апстрактну ситуацију обртања смера брзине молекула система. Лошмитов парадокс је заснован на принципу утврђеном код Њутнових једначина механике: да се смисао не мења приликом промене смера времена у једначинама. Промена знака времена у једначинама иницира реверзибилност процеса, што је у супротности са 143 Рационална механика. 144 Реални физички процеси. 145 Објављено 1874. године у раду Кинетичка теорија дисипације енергије. 146 Ако је функција f(x,t) решење одговарајуће диференцијалне једначине, и Н је решење одређеног интеграла те функције, онда важи да је dH/dt ≤ 0. 147 Loschmidt, J. Wien. Ber.: [1] Über den Zustand des Warmeglaeichgewichtes eines Systeme von Körpern mit Rucksicht auf die Schwerikraft. 73 (2), p. 128-142, 1876; [2] Über den Zustand des Warmeglaeichgewichtes eines Systeme von Körpern mit Rucksicht auf die Schwerikraft 73 (2), p. 366-372, 1876; [3] Über den Zustand des Warmeglaeichgewichtes eines Systeme von Körpern mit Rucksicht auf die Schwerikraft 75 (2), 67, 1877.


108

принципом класичне термодинамике: да су сви реални процеси иреверзибилни. На тај начин успостављена је очигледна контрадикција између закона пораста ентропије, који "препознаје" разлику између прошлости и будућности, и принципа Њутнове класичне механике, који ту разлику "не препознају". Парадокс реверзибилности био је формулисан као примедба на Болцманову теорију од стране Лошмита. Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног, феномена. Парадокс је мисаона спекулација о обрту смера брзина молекула и стога је мисаони експеримент. Такође, може се рећи да је природа парадокса теоријског карактера јер се сам парадокс заснива на контрадикторности формулисаних теоријских концепата. С обзиром да парадокс настаје у процесу формулисања статистичког модела термодинамичких појава он може да се класификује као транзициони парадокс. Разјашњење Лошмитовог парадокса реверзибилности Решење парадокса је формулисано пре него што је сам парадокс и дефинисан. Лорд Келвин га је дефинисао 1874. године у раду Кинетичка теорија дисипације енергије. Келвин претпоставља могућност да се из температурне равнотеже система, обртањем смера кретања молекула система, поново дође у почетно стање система са неравномерном расподелом температуре система. Његов закључак био је: да ће при већем броју молекула у систему време постизања почетног стања бити краће. Уколико се ради о систему у којем број молекула тежи бесконачности, постизање неравнотеже сматра немогућим. Болцман 1877. године одговара Лошмиту да ће молекули гаса после стања H', након довољно дугог времена, опет прећи у стање Н, и опадајућом Н-функцијом ће постићи равнотежу, јер је број могућих расподела стања много већи код равнотежних него код неравнотежних система. 3. Цермелов рекуретни парадокс

Поенкареова теорема рекурентности148 наговештава периодичност Болцманове Н-функције. Према Болцмановој Н-теореми Н-функција је опадајућа149 и не претпоставља могућност њеног враћања у почетно стање.

Физичари су крајем 19. века владали знањем заснованом на: Њутновој класичној механици, класичној термодинамици и Максвеловој електродинамици (која је тек оформљена). У комбинацији Њутнове класичне механике и класичне термодинамике, водили су се и у Лошмитовом и Цермеловом парадоксу. Поенкаре се служи Цермеловим парадоксом и доказује да ће се иницијална стања Њутнових једначина класичне механике поновити уз сугестију да се не ради о стварном иреверзибилном процесу. Рекуретни парадокс се заснива на Поенкареовој теореми.150

148 Уколико је систем затворен и има ограничен број стања, ζ, након довољно дугог времена ће се систем вратити у стање које је блиско почетном. Ред величине временског трајања је такозвани Поенкареов број 10ζ (број је толико велик да је временска јединица ирелевантна). 149 dH/dt ≤ 0 150 У изолованом ограниченом систему, са коначном енергијом, ограниченом у коначној запремини, након довољно дугог временског периода, систем тежи да се врати у стање блиском почетном.


109

Ернст Цермело (Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo, 1871-1953), ученик Макса Планка и настављач његовог термодинамичког погледа на свет, 1896. године објављује чланак О једној теорији динамике и механичкој теорији топлоте,151 у којем примењује Поенкареову теорему на Други принцип термодинамике. Цермелов закључак је да се поставља питање општости Другог принципа термодинамике и да се парадокс оправдава реализацијом само почетних стања која имплицирају иреверзибилне процесе. Овај парадокс није чулно опсервабилан и потиче од човеку мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. Парадокс је теоријске природе и настао је из расправе о теоријским концептима објашњења статистичке природе. Цермелов рекуретни парадокс је теоријског карактера и настаје у процесу дефинисања Болцманове формулације статистичке физике. Парадокс омогућава да се унапреди формулација статистичке физике и стога се може сврстати у транзиционе парадоксе. Разјашњење Цермеловог рекурентног парадокса Цермелов парадокс засниван је на ставу да уколико је неки процес периодичан не може бити истовремено и иреверзибилан. Значи, усвајањем Поенкареове теореме појам ентропије у Другом принципу термодинамике губи смисао. Болцман у два наврата аргументује своје ставове, чиме даје једну форму решења Цермеловог парадокса. Он је свестан метафизичког карактера принципа, да је све настало из најневероватнијег стања и физичке тежње да се и стање система (универзума) и стање подсистема – мења ка вероватнијем стању. По њему је Поенкареова теорема „мање општа“ од усвојеног принципа и иако се рекурентност након довољно дугог временског периода може очекивати, генерално, енропија система расте. Болцман указује на чињеницу да мора постојати разлика између Цермеловог логичког система и реалног физичког система. Цермелова идеја је математички постојана али време рекурентности у реалном систему је дуже од времена трајања универзума. 4. Мпемба ефект

У два једнака суда, с једнаком количином воде, недрастично различите температуре, почне се хлађење њихове сарджине коришћењем идентичног процеса. Под одређеним условима, вода која је у почетном тренутку била топлија ће се пре смрзнути.152

Феномен да се топлија вода мрзне брже него хладнија био је познат још Аристотелу (Aristotle, 384-322 п.Х.).153 O њему се дискутовало током раног средњег века, разматрали су га: Роџер Бејкон (Roger Bacon, 1214-1294),154 Ђовани Марлиани (Giovanni Marliani)155 са Павијског Универзитета у 15. веку, и у касном средњем веку то чине Френсис Бејкона 151 Zermelo, E. (1896). 152 Аутомобили ће доћи знатно касније након Аристотела, али народно је искуство да се залеђена шофершајбна на аутомобилу не залива врућом водом него хладном, јер ће се тако брже заледити. 153 У дванаестом одељку прве књиге Метеорологика. 154 Opus Majus (Веће дело).

155 Clagett, M. (1967). p.79.


110

(Francis Bacon, 1561-1626)156 и Рене Декарт (Rene Descartes, 1596-1650)157. На неки чудан начин, феномен је био запостављен и заборављен у научној јавности, све док није танзанијски студент Ерасто Мпемби (Erasto B. Mpemba) 1969. године, подсетио на њега. То је разлог зашто је назван Мпемба ефект. С обзиром на здраворазумску нелогичност да се топлија вода пре мрзне од хладне ефект се назива парадоксом. За обнављање интересовања да се топлија вода брже мрзне од хладније постоји и анегдотско сећање како је Мпемба дошао до њега. Наиме, још док је био средњошколац, код Еугена Маршала (Eugene Marschal) на Мквава школи у Иринги158 (Mkwawa Secondary School, Iringa) 1963. године, правио је сладолед. Умешао је прокувано млеко са шећером и неохлађено га ставио у фрижидер. Изнанађен је приметио да се умешан сладолед од топлог млека пре смрзнуо него сладоледи других студената, чије млеко није било топло. Када је упитао свог наставника физике да му објасни насталу нелогичност, овај то није умео. Тек га је Денис Осборн (Denis G. Osborne) 1969. године, поновивши оглед, након Мпембиног интересовања за разлог бржег мржњења топлије воде од хладније озбиљно схватио при чему су заједно описали овај ефекат и поново га вратили у жижу интересовања научне јавности.159 Како то често бива исте године је Кел (Kell G. S) објавио свој рад, независно од Мпембе и Осборна, у којем се потрудио да објасни феномен помоћу феномена испаравања. Он није био упознат с радом Дениса Осборна у којем се показује да је разлог бржег смрзавања топлије течности објашњен губљењем масе, услед испаравања, мада је овај разлог био недовољан да објасни ефекат. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и није мисаони експеримент. Горе је наведен експеримент који указује да се ради о експерименталном парадоксу. Ово је парадокс код којег не постоји јасно објашњење разлога брзине измене температуре у различитим физичким стањима воде. Може се посматрати као хијерархијски парадокс. Разјашњење Мпемба ефекта Да би био решен Мпемба ефект неопходно је дефинисати почетне услове: маса воде, облик и врста суда, разлика у температури воде, конвекција топлоте у води, количина ваздуха у води, метод замрзавања, околни систем... У случајевима драстичне разлике у температури воде или драстичне разлике у количини воде – неће доћи до ефекта да се топлија вода пре мрзне. Треба дефинисати и да ли се рачуна временски интервал који протекне до почетка мржњења воде или до замрзавања целе количине воде. Проблем који се намеће јесте да Мпемба ефект није конзистентан са савременом теоријом топлоте. Једно од објашњења Мпембиног ефекта је да су у почетном тренутку једнаке количине воде на различитим температурама. Вода на вишој температури више испарава, тако да у моменту замрзавања неће бити једнаке количине воде, и мања количина ће се брже

156 Novum Organum. 157 Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology (Расправа о методи, оптика, геометрија и метеорологија). 158 Танзанија. 159 Mpemba, E. B. & Osborne, D. G. (1969).


111

замрзнути. Поједини аутори тврде да је истициње само процеса испаравања недовољно за објашњење Мпемба ефекта. Опште је мишљење да постоји неограничен број комбинација релевантних параметара експеримента у чијим оквирима ће Мпемба ефект важити или неће важити. Не може се рећи да је Мпемба ефект решен, јер нису прецизно одређене вредности параметара у чијим границама ће се топлија вода загревати брже него хладнија. 5. Парадокс Максвеловог демона

А Б Слика 7. Максвелов демон.160

"Замислимо неко биће које је у стању да прати сваки молекул дуж његове путање, такво биће чије особине би биле у основи коначне као и наше, било би у стању да ради оно што ми не можемо. Видели смо да се молекули, у посуди пуној ваздуха, на равномерној температури, крећу брзинама које нису равномерне, иако је средња брзина великог броја њих, произвољно одабраних, скоро потпуно равномерна. Претпоставимо да је посуда подељена на два дела А и Б, преградом са малом рупом. Нека биће, које може видети појединачне молекуле, отвара и затвара рупу, тако да само брзи молекули могу прећи из А у Б, а спори из Б у А. На тај начин би без утрошка рада, порасла температура у Б а смањила се у А, што је у супротности са другим принципом термодинамике "161

Парадокс Максвеловог демона дат је у изворном облику. Џејмс Максвел парадокс обелодањује 1871. године у фусноти уџбеника Теорија топлоте, а парадокс се први пут појављује децембра 1867. године у Максвеловом писму Тејту (Peter Guthrie Tait, 1831-1901). Сам "демон" ће се у овом парадоксу појавити касније,162 уместо "бића" које разврстава молекуле према њиховој брзини и "разматра начин на који, када су два тела у контакту, топлије тело преузима топлоту од хладнијег без спољног посредовања."163

160 Зоран Малеш 161 Млађеновић, М. (1989). стр. 207-208. преузето из Максвеловог уџбеника Tеорија топлоте [Maxwell, J. C. (1891). Theory of Heat Longmans, London] u odeljku: Ograničenja Drugog principa termodinamike. 162 Увешће га Томсон (Joseph John Thompson, 1856-1940). 163 Lambiotte, R. (2004). Chapter 5: From the Maxwell demon to the granular clock. р. 151-214.


112

Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена. Он је спекулативан и потиче од човеку мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. 164 Парадокс је теоријске природе, настао као мисаона спекулација која треба да помогне приликом представљања једног теоријског концепта. Оно што овај мисаони експеримент чини парадоксалним јесте Други принцип термодинамике да топлота никад не може прелазити са хладнијег на топлије тело без спољњег посредника. Максвел проналази начин помоћу којег "протреса темеље" класичне термодинамике захваљујући принципијелно другачијем становишту, приликом разматрања проблема преноса топлоте. Парадокс настаје као последица мешања парадигми па је ово парадокс парадигме. У овом случају врши се мешање парадигми класичне физике и квантне физике. Квантно-механички проблем се третира са становишта класичне физике. Разјашњење парадокса Максвеловог демона Mисаони експеримент је парадоксалан зато што је "биће" које пребира молекуле из света класичне физике. "Биће" се понаша по нормама макросвета у микросвету. Када се парадокс разматра са становишта квантно-механичких принципа постојање и деловање "демона" се мора усвојити као активно. "Биће" врши рад приликом одабира молекула. 6. Парадокс топлотне смрти (Клаузијусов парадокс)

При претпоставци да је свемир вечан намеће се питање: Како то да термодинамичка равнотежа није већ успостављена?

Парадокс топлотне смрти, другачије познат као Клаузијусов парадокс али и као Термодинамички парадокс, заснива се на принципијелној претпоставци да сваки систем тежи успостављању термодинамичке равнотеже. Овај парадокс претпоставља класичан статичан модел свемира по којем је трајање свемира бесконачно. Клаузијусов парадокс је парадокс парадигме. Променом основних принципијелних ставова у разматрању универзума измењена је парадигма. До решења парадокса долази приликом измене парадигме. Парадокс који важи у класичном стационарном моделу свемира не важи у Фридмановом нестационарном релативистичком моделу. Ово је решен парадокс и стога је експарадокс. Парадокс је заснован на ригидном механичком становишту Другог принципа термодинамике Рудолфа Клаузијуса по којем топлота увек прелази само са топлијег на хладније тело. Уколико је универзум вечан, како се тврди у класичном стационарном моделу свемира, он би већ требало да буде хладан. Парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и настао је услед чулне опсервације. Не постоји реалан лабораторијски експеримент којим би се потврдио овај парадокс. Утврђен је посматрањем и заснован је на теоријским спекулацијама па је зато теоријске природе. 164 Цуцић, Д. (2001).


113

Разјашњење Парадокса топлотне смрти Према савременим космолошким теоријама свемир није вечан и има свој почетак који датира од пре отприлике 12 до 15 милијарди година. На овим сазнајним основама решење Парадокса топлотне смрти је да термодинамичка равнотежа још није успостављена зато што није прошло довољно времена. 7. Гибсов парадокс (Парадокс мешања)

Претпостави се посуда, која је подељена преградом на два једнака дела, унутар којих се налази исти гас, у једнаким количинама, на једнакој температури и притиску. Уклањањем преграде и мешањем гаса из сваког од одељака долази до пораста ентропије система.

Може се пронаћи да се Парадокс мешања и Гибсов парадокс наводе одвојено. На пример у Википедији165 се за Гибсов парадокс наводи да је то питање: „Да ли је у идеалном гасу ентропија екстензивна варијабла?“, а Парадокс мешања је: “Промена ентропије система пре и после мешања.“ Суштинске разлике у значењу између наведених парадокса нема па су то два назива за један парадокс. Гибсов парадокс настаје приликом мешања гасова, у случају када се практично ништа није променило (количина гаса, температура, притисак, запремина). Уклањањем преграде, свака од две количине гаса ће се раширити на целокупну запремину посуде, чиме ће се изменити ентропија система, што је лако израчунати. При једнаким условима једанака је ентропија преграђених одељака. Пре уклањања преграде укупна ентропија система износи 2S, а након уклањања преграде она је већа од 2S, и та појава се назива ентропија мешања. Парадокс мешања подразумева израчунавање ентропије два термодимнамичка система, пре и након мешања њихових садржаја. Парадокс је поставио Вилард Џосаја Гибс 1875. године. Парадокс мешања је првобитни назив за Гибсов парадокс. Парадокс представља "прекогнативни" увод у Бозе-Фермијеву статистику. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и није мисаони експеримент. Реално је изводив лабораторијски експеримент за интерпретацију парадокса, иако је суштина парадокса у његовом објашњењу. Парадокс је поставио и решио сам Гибс указавши на могућност „неспоразума“, истовремено образлажући зашто би до њега дошло. Према томе ово је експарадокс. С обзиром да Гибсов парадокс постоји када се појава разматра са становишта класичне статистичке механике, а да парадокса нема када се објашњење врши са становишта квантне статистике, овај парадокс се може сврстати под парадокс парадигме. Изменом основних парадигматичних принципа долази се до решења парадокса. Разјашњење Гибсовог парадокса Принципијелна претпоставка у класичној статистичкој механици јесте да се идентичне честице могу међусобом разликовати. Стања система, добијена пермутацијом идентичних 165 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes


114

честица, не могу се разликовати. Ентропија са становишта класичне статистике нема адитивне карактеристике.166 Гибс закључују да се класична статистичка механика треба третирати као гранични случај, и да принципијелна претпоставка треба да буде да се идентичне честице не могу разликовати између себе167. У том случају не постоји Парадокс мешања јер нема рада који настаје услед кретања честица приликом њиховог мешања које је неуочљиво. Закључак Представљено је седам парадокса од којих су два парадокси класичне термодинамике (Мпемба ефект и Клаузиусов парадокс), а пет су настали као последица статистичког погледа на термодинамичке феномене (Болцманов парадокс, Лошмитов парадокс реверзибилности, Цермелов рекуретни парадокс, Парадокс Максвеловог демона и Гибсов парадокс). Сви парадокси потичу из 19. века осим Мпемба ефекта који је био познат још у старој Грчкој. Парадокси термодинамике и статистичке физике су најчешће успостављени услед лоше парадигме (Клаузиусов парадокс, Парадокс Максвеловог демона и Гибсов парадокс). Два од седам парадокса су транзициони – настали у процесу формулисања теорије на неизмењеној парадигми (Лошмитов парадокс реверзибилности, Цермелов рекуретни парадокс). Два су хијерархијски парадокси– који настају при изменама стања система (Болцманов парадокс, Мпемба ефекат). За пет од седам парадокса се може рећи да су им решења "чврста" и да задовољавају критеријуме по којима се за неки парадокс може рећи да је решен (Клаузиусов парадокс, Лошмитов парадокс реверзибилности, Цермелов рекуретни парадокс, Парадокс Максвеловог демона и Гибсов парадокс). Код два парадокса постоје образложења која указују да решења парадокса постоје али су она још недовољно уверљива да би била у потпуности прихваћена (Мпемба ефект и Болцманов парадокс). Три парадокса су мисаоног карактера без утемељености у реалном експерименту (Лошмитов парадокс реверзибилности, Цермелов рекуретни парадокс, Парадокс Максвеловог демона), док четири од седам парадокса имају своје утемељење у реалним физичким опсевацијама (Мпемба ефект, Клаузиусов парадокс, Болцманов парадокс и Гибсов парадокс). Два парадокса директно следе из реалног експеримента (Мпемба ефект и Гибсов парадокс) док чак пет потичу од теоријског разматрања (Болцманов парадокс, Лошмитов парадокс реверзибилности, Цермелов рекуретни парадокс, Парадокс Максвеловог демона и Клаузиусов парадокс). Парадокси у термодинамици и статистичкој физици, мада различити, испреплетени су по карактеристикама, тако да се не може истаћи нека посебност по којој би они били другачији и препознатљиви у односу на парадоксе других области физике.

166 Укупна ентропија система у квантној статистици се добија простим сабирањем ентропија оба суда појединачно: (NA + NБ)·k·ln(2), при чему NA и NБ представљају укупан број честица у судовима А и Б. 167 Што је основни принцип квантне статистике.


115

Литература

1. Auerbach, D. (1995). Supercooling and the Mpemba effect: when hot water freezes quicker than cold. American Journal of Physics, 63 (10).

2. Chaliasos, E. (2005). The Loschmidt paradox on Boltzmann’s H-theorem: a resolution. е-print: [physics/0511090.]

3. Clagett, M. (1967). Giovanni Marliani and the late medieval physics. AMS Press Inc., New York.


5. Cucić, D. (2009). Paradoxes of Thermodynamics, 7th International Conference of the Balkan Physical Union BPU7, Alexandroupolis – Greece 9-13. September 2009. (Poster presentation, Book of Abstracts p. 218)

6. Flamm, D. (1997). Ludwig Boltzmann – A Pioneer of Modern Physics. Paper presented at the XXth International Congress of History of Science, on July 25 1997 in Liege, Belgium.

7. Flamm, D. (1998). History and outlook of statistical physics. е-print: [physics/9803005] 8. Gibbs, J. W. (1875-78). On the Equilibrium of Heterogeneous Substances. Connecticut

Acad. Sci. Reprinted in The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, by Dover Publications, Inc., New York, 1961.

9. Gross, D. H. E. (2002). Second Law in Classical Non-Extensive Systems. presented at the First International Conference on Quantum Limits to the Second Law, San Diego.

10. Jaynes, E. T. (1992). The Gibbs Paradox. Smith, C. R, Erickson, G. J, Neudorfer, P. O, in Maximum Entropy and Bayesian Methods. Editors, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Holland. p. 1-22.

11. Jeng, M. (2005). Hot water can freeze faster than cold?!? е-print: [physics/0512262] 12. Katz, J. I. (2006). When hot water freezes before cold. е-print: [physics/0604224] 13. Lambiotte, R. (2004). Inelastic Gases: A paradigm for far-from-equilibrium systems. е-

print: http://theses.ulb.ac.be/ETD-db/collection/available/ULBetd-10172005-120819/unrestricted/thesis.pdf

14. Loschmidt, J. (1876). Uber den Zustand des Wärmegleichgewichtes eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft. 1. Teil, Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien Math. Naturwiss. Classe 73. р. 128–142.

15. Mpemba, E. B. & Osborne, D. G. (1969). Cool. Physics Education, vol. 4, p. 172-5. 16. Shu-Kun, L. (1996). Gibbs paradox of entropy of mixing: experimental facts, its rejection

and the theoretical consequences. Electronic Journal of Theoretical Chemistry, vol. 1, р. 135–150.

17. Zermelo, E. (1896). Uber einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie. Ann. Physik, 57, р. 485–494.

18. Млађеновић, М. (1989). Развој физике (IV термодинамика). Научна књига, Београд. 19. Фејнман, Р. (1986). Особитости физикалних закона. Школска књига, Загреб. 20. Цуцић, Д. (2001). Фиктивни експеримент у физици. магистарски рад.

http://theses.ulb.ac.be/ETD-db/collection/available/ULBetd-10172005-120819/unrestricted/thesis.pdf

http://theses.ulb.ac.be/ETD-db/collection/available/ULBetd-10172005-120819/unrestricted/thesis.pdf


116

Табеларни преглед карактеристика парадокса у термодинамици и статистичкој физици.

Болцманов Парадокс

Лошмитов парадокс

Цермелов парадокс

Мпемба парадокс

Парадокс Максвеловог

демона

Клаузијусов парадокс

Гибсов парадокс


Хијерархијски парадокс

Транзициони парадокс


Хијерархијски парадокс





Нерешен парадокс Експарадокс Експарадокс Нерешен

парадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Теорија Теорија Теорија Експеримент Теорија Теорија Експеримент



Мисаони Експеримент






Табела 18


117

в. Парадокси електромагнетизма Неколико хиљада година требало је људима да обједине своја схватања о електрицитету и магнетизму, да би онда у једном релативно кратком временском периоду, током 19. века, све повезали са феноменима оптике и таласа. Та прва синтеза електромагнетних појава била је обједињена у доменима оног што данас зовемо класична физика. Електричне и магнетне појаве дуго су третиране као неповезане и различите па су тако и проучаване. Тек у 18. веку почиње да се обраћа пажња на назнаке о повезаности између електричних и магнетних појава, да би у 19. веку та веза била математички и експериментално потврђена. У овом раду неће бити заступљени парадокси који потичу од квантних и релативистичких електромагнетних феномена. Обухваћени су само парадокси електромагнетизма у класичној физици. Овде су под парадоксе електромагнетизма обједињени парадокси електростатике и електродинамике. Сви парадокси електромагнетизма нису обрађени услед тежње за сажимањем. Критеријум одабира је био да се "покрију" што боље све области електромагнетизма. У раду ће се разматрати следећи парадокси:

1. Парадокс Бабинета, 2. Парадокс ултраљубичасте катастрофе, 3. Фарадејев парадокс ротирајућег диска, 4. Пaрадокс два кондензатора.

1. Парадокс Бабинета

На дифракционој граници, попречни пресек зрака се двоструко увећава. Жак Бабинет (Jacques Babinet, 1794–1872) је француски физичар, математичар и астроном чији су највећи доприноси били у оптици. Приликом изучавања короне Сунца, у раду написаном 1837. године Мемоари из оптичке метерологије168 представљен је први пут Бабинетов принцип на чијим темељима је настао и Парадокс Бабинета. До парадокса долази када се принцип примењује у граничним вредностима таласне оптике. Да би се боље парадокс објаснио и схватио (није пронађен у литератури на српском језику), прво ће бити наведен Бабинетов принцип:

− Ако је светлост из извора прво дифрактована на отвору и затим и на некој препреци, комплементарној отвору, укупно електрично поље биће такво као да је посматрано у одуству отвора или препреке.

или

168 Mémoires d’optique météorologique. Académie des Sciences, Comptes rendus, 4.


118

− На отворима једнаке величине и на непровидним препрекама, дифракција се одвија на једнак начин, осим приликом изразито увећаног интензитета зрачења.

Парадокс Бабинета је случај дуплог увећања попречног пресека зрака. Парадокс је последица реалног физичког експеримента и стога је чулно опсервабилан парадокс експерименталног типа. Парадокс је привидан. Контраинтуитиван ефекат је последица незнања. С обзиром на то да је Парадокс Бабинета решен он је експарадокс. Разјашњење Парадокса Бабинета Бабинетов парадокс је последица наивног здраворазумског тумачења и очекивања да се увек све дешава на једнак начин. Наиме, на дифракционој граници појављује се резултат који се разликује од очекиваног. До двоструког увећања попречног пресека флукса долази зато што је износ апсорбованог или рефлектованог зрачења једнак као и износ самог дифрактованог – удваја се. Парадокс се сматра као "дефект" Френелове теорије. 2. Парадокс ултра-љубичасте катастрофе ... цела процедура је била чин очајања јер се теоретска интерпретација имала пронаћи по било коју цену, небитно колика она може бити ... Макс Планк

Резултати који су се добијали, на основу Рејли-Џинсове формуле за таласне дужине реда величине ултра-љубичастог зрачења, су били крајње необични. При тим таласним дужинама формула је показивала да треба да се остварује бесконачно велика вредност густине енергије. На Земљу са Сунца стиже енергија у тим таласним дужинама, и чињеница је да нешто није како треба, с обзиром да Земља очигледно није спржена.

Ова контрадикторност названа је – Парадокс ултра-љубичасте катастрофе. Крајем деветнаестог века није постојала одговарајућа теорија која је могла да на задовољавајући начин објасни зрачење. Изведене су две теоријске формуле помоћу којих се описивало зрачење: једна је била Винова формула,169 која је добро описивала зрачења малих таласних дужина, и у том домену је била сагласна са резултатима реалних експеримената; друга је била Рејли-Џинсова формула која се са резултатима реалног експеримента слагала само за велике вредности таласних дужина зрачења. Обе теорије су припадале домену класичне теорије радијације црног тела. Формулу, из које је проистекао парадокс, формулисао је барон Рејли (John William Strutt, baron Rayleigh, 1842-1919) као корекцију Винове формуле јуна 1890. године, и то је једна од три корекције које се појављују те године. Десет година су чињене разне корекције да се ускладе "мала експериментална неслагања", док коначно Немац Макс Планк (Max Planck, 1858-1947) није применио ентропијски начин сагледавања проблема који је указивао на иреверзибилност одређеног ефекта, чиме је ентропију система везао са енергијом 169 (Wilheim Wien, 1864-1928)


119

осцилатора. Да би математички дотерао идеју био је принуђен да конципира енергију као дељиву величину целобројних умножака, при чему није дао физичко објашњење те уведене елементарне дискретне величине. Идеју је први пут представио на састанку немачког друштва физичара 19. октобра 1900. године у саопштењу насловљеном О једном побољшању Винове спектралне једначине. Закон зрачења, квант и вредност константе – представио је 14. децембра. Тако је настао квант, који ће појавом на физичкој позорници изменити физичке представе у двадесетом веку. Сам назив „ултра-љубичаста катастрофа“ потиче од немачког физичара Пола Еренфеста (Paul Ehrenfest, 1880–1933) и формулисан је тек 1911. године – знатно након Планковог увођења феномена кванта.

Слика 8. График зависности интензитета зрачења и таласне дужине Парадокс је настао на темељима измене парадигме и стога је парадокс парадигме. Он егзистира у класичној теорији зрачења, применом модела квантовања енергије парадокса нема. Овај парадокс, настао након открића кванта, није мисаоног карактера и последица је теоријског објашњења и чулне опсервације. Ово је експарадокс, јер модел кванта енергије нуди објашњење помоћу којег се превазилази проблем катастрофе. Разјашњење парадокса ултра-љубичасте катастрофе Аутор решења парадокса je Макс Планк. До решења ултра-љубичасте катастрофе се није могло доћи у парадигматском оквиру класичне физике, са којом се покушавало решити закон зрачења. Претпоставка за решавање проблема зрачења је била погрешна и докле год су научници инсистирали да проблем реше на начин класичне физике он је био неухватљив. Тек када је измењена парадигма, да се енергија може квантовати, дошло се до објашњења које је било смислено. Макс Планк је дао решење које је било у складу са реалним експериментом и посматрањем. 3. Фарадејев парадокс ротирајућег диска

За реализацију експеримента неопходни су: цилиндрични магнет, проводни диск, проводна осовина, жица, четкица и галванометар. Диск и магнет су постављени паралелно на малом растојању један од другог, дуж исте осе ротације и симетрије, тако да могу слободно да ротирају око ње. Жица, на


120

којој се налази галванометар, повезује проводну осовину и обод проводног диска на који је прислоњена четкица. Кораци експеримента су следећи: Прво, диск и магнет мирују – галванометар не регистује струју у жици. Друго, диск мирује а магнет ротира – галванометар не региструје струју у жици. Треће, ротира диск а магнет мирује – галванометар региструје струји у жици. Четврто, диск и магнет ротирају – галванометар региструје струју у жици.

Овај парадокс је експерименталне природе и њиме је 1832. године Мајкл Фарадеј (Michael Faraday, 1791-1867) указао на карактеристике ефекта електромагнетне индукције. Фарадеј никада није био задовољан сопственим објашњењем феномена на Хомополарном генератору170 или Фарадејевом генератору, названом тако њему у част.171 То је био први динамо (електрични генератор) који се покретао помоћу магнетног поља али услед мале ефикасности није му одређена практична примена.

У експерименту је било очекивано да ће бити регистрована струја у три од четири случаја, али се то није десило. По Фарадејевом закону електромагнетне индукције, уколико се проводник нађе у пољу променљивог магнетног флукса у њему ће се индуковати струја. Збуњујућа је чињеница да се у другом случају, када ротира магнет а проводни диск мирује, показало да магнетни флукс није променљив.

Слика. 9. Шема диска, диска и проводника Парадокс је експерименталне природе и није мисаони експеримент – проистекао је из реалног лабораторијског експеримента који је показао један неочекивани ефекат. Парадокс је настао услед недовољног познавања феномена, због чега ни његово објашњење није могло да буде задовољавајуће, што ће се показати нешто касније развојем физике. Парадокс је настао у самом процесу формирања закона електромагнетне индукције, и сам аутор закона уочава неконзистнетност у свом објашњењу, и то је основни разлог зашто је сврстан под транзициони парадокс. Парадокс је решен када су објашњени прави разлози стварања променљивог флукса у магнетном пољу које условљава настанак струје у проводнику. Разјашњење Фарадејевог парадокса ротирајућег диска Парадокс није могао бити објашњен на прави начин, у време када се Фарадејев бавио њиме, зато што је електрон откривен нешто касније. Кретање електрона у магнетном пољу

170 Откривену с његове стране још 1831. године. 171 Никола Тесла се бавио интензивно овим феноменом.


121

је феномен који разјашњава парадокс. На све електроне који се крећу у магнетном пољу делује Лоренцова сила. Та сила је нормална на брзину кретања електрона (која је паралелна тангенти основе диска) и на линије силе магнетног поља (које продиру основу диска под углом од 900) – радијалног је карактера у односу на диск. Услед симетрије поља магнета у односу на осу обртања, проводни диск и проводник на који је прикључен галванометар налазе се у непромењивом магнетном пољу, без обзира да ли магнет ротира или не ротира. До индукције струје у проводнику долази само услед ротације диска, када се он креће у том магнетном пољу и тиме се стварају услови за индуковање струје. Слободни електрони у ротирајућем диску крећу се у магнетном пољу, на њих делује Лоренцова сила, чиме долази до стварања разлике потенцијала и индукције струје која протиче кроз проводник. 4. Парадокс два кондензатора

Претпоставимо затворено коло нулте отпорности са два једнака кондензатора и отвореним прекидачем. У почетном тренутку један кондензатор је напуњен наелектрисањем а други је празан. Затварањем прекидача пола количине наелектрисања прелази са напуњеног кондензатора на празан. Укупна енергија система се разликује пре и после укључења прекидача.

У почетном тренутку први кондензатор капацитета С има количину наелектрисања Q, а други кондензатор капацитета С је празан. Затварањем прекидача на празан кондензатор прелази пола количине наелектрисања са пуног кондензатора Q/2. Тиме је испоштован принцип одржања наелектрисања. У почетном тренутку укупна енергија система је:

W1=Q2/2С

Након затварања прекидача, и успостављања равнотеже, укупна енергија система је:

W2=W1’+W2’=Q2/8C + Q2/8C= Q2/4C Очигледно да је:

W1 = W2/2, W1 ≠ W2 Није добијен очекивани резултат. Пола износа енергије је нестало. Објашњење разлога "нестанка енергије" мора да уважи принцип одржања наелектрисања и принцип одржања енергије. Приликом извођења испоштован је само принцип одржања наелектрисања. Основна питања која се намећу код Парадокса два кондензата су:

1. Где се губи енергија током процеса прелаза наелектрисања са пуног на празни кондензатор, ако се по претпоставци ради о идеалном кондензатору и колу без отпора?


122

2. Зашто нестаје баш половина од укупне почетне енергије (када су кондензатори једнаког капацитета)?

Уобичајено објашњење, уколико се не ради о идеалном колу, јесте да је недостајућа енергија у кондензаторима утрошена на кретање електрона кроз коло, приликом њиховог прелаза на други кондензатор, и да се та енергија трансформисала у Џулову топлотну енергију. Пошто се ради о идеалном колу и кондензаторима ово објашњење није задовољавајуће. Нема одговора на друго питање и поред јасног извођења. Феномен се разматра у идеалним условима и зато је ово парадокс идеализације. Постоје одговори на постављена питања и ово је експарадокс, иако према разматрањима Владана Панковића не постоји јасно и конзистентно објашњење.172

Слика. 10. Коло са два кондензатора Парадокс је лако експериментално реализовати у реалним условима, по стандардима који теже идеалним, и који могу да имплицирају објашњење. Парадокс је теоријске природе иако га је лако физички реализовати. С обзиром на то да се оглед може физички реализовати ово је чулно опсервабилан парадокс. Разјашњење Парадокса два кондензатора Приликом разјашњења Парадокса два кондензатора поједини аутори173 чине аналогију са хидродинамичким системом спојених судова (два цилиндра од којих је један напуњен водом а други празан). Приликом отварања вентила на спојном суду, енергија система, када се успостави равнотежа, биће преполовљена. Наелектрисања осцилују између два кондензатора док се половина енергије не трансформише у топлоту или ЕМ радијацију. Код идеалног проводника наелектрисања осцилују док се не емитује пола од укупне енергије у почетном тренутку. Значи од почетне количине енергије: четвртина енергије из пуног кондензатора премешта се у празан кондензатор, четвртина енергије остаје у њему, а половина енергије се троши да наелектрисања постигну крајње стање (емитује се приликом њихових осцилација). Енергија се троши на кретање наелектрисања кроз коло и емитовање електромагнетних таласа том приликом. Владан Панковић указује на могућност да се искључе ефекти отпора када се врши апроксимација у оквирима локалних домена и посматрања кретања електрона услед њихове сопствене инерције, што може као резулат довести до формулације постављеног парадокса.

172 Pankovic, V. & Krmar, M. (2009). 173 Mould, S. (1998). и Carvallho, P. S. & Sousa, A. S. (2008).

C

C

Q

P


123

Закључак Сва четири примера нису мисаони експерименти. Парадокс Бабинета и Фарадејев парадокс су парадокси настали на основу реалног експеримента а Парадокс ултра-љубичасте катастрофе и Парадокс два кондензатора су теоријски парадокси. Код Парадокса ултра-љубичасте катастрофе постојало је објашњење које није задовољавало евидентну околност. Код Парадокса два кондензатора објашњење је контраинтуитивно и незадовољавајуће и поред могућности физичке реализације са високом прецизношћу. Сви парадокси су објашњени. И Парадокс два кондензатора има објашњење и поред негодовања појединих аутора. Смишљено су одабрани потпуно различити типови парадокса, настали у различитим периодима развоја електромагнетизма. Та различитост указује на незграпност сваког покушаја класификације при чему је јасно уочљиво да поједини парадокси могу истовремено бити сврстани у више класификованих типова. На пример Парадокс ултра-љубичасте катастрофе се може посматрати као парадокс парадигме зато што се увођењем феномена кванта мења парадигматични став, али истовремено показује да тај парадокс онда и није био прави парадокс јер је парадоксалност изграђена услед незнања и погрешног начина тумачења. Из изложеног се може закључити да су парадокси у електромагнетизму различитог карактера у више погледа. Не може се утврдити нека врста униформности која би била препознатљива за парадоксе у електромагнетизму. Литература

1. Boykin, T. B, Hite, D. and Singh, N. (2002). The two-capacitor problem with radiation. Am. J. Phys. 70 (4), р. 415-420.

2. Carvallho, P. S. & Sousa, A. S. (2008). Helping students understand real capacitors: measuring efficiencies in a school laboratory. Phys. Educ. 43 (4).

3. Choy, T. C. (2004). Capacitors can radiate: Further results for the two-capacitor problem. Am. J. Phys. 72, р. 662-670.

4. Crooks, M. J, Litvin, D. B. & Matthews, P. W. (1978). One-piceFaraday generator: A paradoxical experiment from 1851. Am. J. Phys. 46 (7), p. 729-731.


6. Feynman, R. P, Leighton, R. B. and Sands, M. (1964). The Feynman Lectures on Physics. Addison–Wesley, Reading, MA, Vol. II, Chap. 17-4.

7. Kelly, A. G. (1998). Faraday's Final Riddle; Does the Field Rotate with a Magnet? Monographs 5 & 6 of the Institution of Engineers of Ireland. e-print: www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/kelly_unipolar.pdf

8. McDonald, K. T. (2002). A Capacitor Paradox. e-print: www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/twocaps.pdf

9. Mita, K. and Boufaida, M. (1999). Ideal capacitor circuits and energy conservation. Am. J.Phys. 67 (8), р. 737-739.

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/kelly_unipolar.pdf

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/twocaps.pdf


124

10. Mould, S. (1998). The energy lost between two capacitors: an analogy. Phys. Educ. 33 (5).

11. Pankovic, V. & Krmar, M. (2009). Definite Solution of the two Capacitor Paradox. e-print: [gen.ph 0912.0650v1]

12. Parisi, G. (2001). Planck’s Legacy to Statistical Mechanics. e-print: [cond-mat/0101293v1]

13. Powell, R. A. (1979). Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5), р. 460-462.

14. Rizzi, G. & Ruggiero, M. (2004). Relativity in Rotating Frames. Kluwer, Dordrecht. (Weber, T. A. Elementary Considerations of the Time and Geometry of Rotating Reference Frames, p. 139-153.)

15. Senir, T. B. A. (1975). Some Extensions of Babinet’s Principle. The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 58, Issue 2, p. 501-503. e-print: http://www.eecs.umich.edu/RADLAB/html/techreports/RL612.pdf

16. Tyndall, J. (1868). Faraday as a Discoverer. Longmans, Green, and Co. London. 17. Wilson, M. & Wilson, H. A. (1913). On the electric effect of rotating a magnetic insulator

in a magnetic field. Proc. R. Soc., Ser. A 89, London. p. 99-106. e-print: http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/wilson_prsla_89_99_13.pdf

18. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (оптика). ИРО "Грађевинска књига", Београд. 19. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (електромагнетизам). ИРО "Грађевинска

књига", Београд. 20. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. Информатика, Београд. 21. Поповић, Б. (1981). Зборник проблема из електромагнетике. Грађевинска књига,

Београд. Табеларни преглед карактеристика парадокса у електромагнетизму

Парадокс Бабинета

Парадокс ултраљубичасте

катастрофе

Фарадејев парадокс ротирајућег диска

Парадокс два кондензатора


Привидни Парадокс







Експеримент Теорија Експеримент Теорија


Чулна Опсервација




Табела 19

http://www.eecs.umich.edu/RADLAB/html/techreports/RL612.pdf

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/wilson_prsla_89_99_13.pdf


125

Б. Парадокси релативистичке физике Веровати у то је логички могуће без противречности; али то је толико у супротности са мојим научним инстиктом а да ја не могу да не будем у потрази за концепцијом која је комплетнија. Алберт Ајнштајн Специјална теорија релативности заснована је на свега два постулата. Општа теорија релативитета само је природни сукцесивитет, проистекао из већ усвојеног начина размишљања у специјалној теорији релативитета. Обе теорије релативитета су математички конзистентне теорије. Иако је принцип релативитета био познат још старогрчким филозофима, његов истински значај потврђен је тек крајем 19. века и почетком 20. века. Стубови носиоци овог принципа били су Aнри Поанкаре (Henri Poincaré, 1854-1912), Хендрик Лоренц (Hendrick Antoon Lorentz, 1853-1928) и Алберт Ајнштајн (Albert Einstein, 1879-1956). Они су покренули цео један нови начин сагледавања света који је праву своју формулацију у физици стекао баш кроз "проблематичне" ситуације које су настајале, прво у специјалној теорији релативитета, а потом и у општој теорији релативитета. Иако је парадокс као феномен био препознатљив још у старој Грчкој, праву експлозију популарности постиже са појавом специјалне и опште теорије релативитета. Оне су "понудиле" низ веома прихватљивих могућности да се изврше разноврсна поређења и да се коригују схватања реалитета физичког света – онога што се мислило да је реалност, и онога што се као истина о реалности наметало са тада новим теоријама у физици. Ванискуствене представе које су своје темеље имале у једном теоријском и математички конзистентном систему, изведене су из прецизно формулисаних принципа (заснованих на проверљивом реалном лабораторијском експерименту). Намера је аутора тезе (у овом одељку) да се класификују парадокси у релативистичкој физици и да се наведу сви који су релевантни, како би се стекао један јаснији преглед. Терминолошки, неопходно је начинити разлику између релативитета и релативности, с једне стране, и релативизма, са друге стране.174 На латинском relatio значи однос. Први ставови релативизма потичу од Протагоре (481–411 п.Х.) који је заступао мишљење да је људско сазнање индивидуално зависно, и да је условљено субјектом и његовим односом према посматраном објекту о којем се суд доноси. Софистичко схватање Протагориног релативизма у свом екстремном облику негира чак и могућност сазнања. (то није релативитет који ће се у сасвим измењеном значењу обновити у теорији релативитета). Релативност је став, који подразумева да се мерењем просторне дужине и временских интервала (протежности – обједињено једном речју), из различитих референтних система, добијају вредности које су или својства мерених објеката, или представљају мерни однос објекта и субјекта који врши мерења. Заједничко за обе принципијелне тврдње јесте да су опсервације посматраног објекта, из различитих референтних система, различите. Управо дефинисање ове различитости

174 Релативизам је став у теорији сазнања да је могуће сазнати само односе између ствари, и да се не могу спознати оне саме.


126

представља основу на којој се формирају парадокси у физици релативитета. Посматрањем једног догађаја из два различита референтна система ствара се могућност да они буду другачије опсервирани, па се другачијим и показују. Основна подела парадокса у релативистичкој физици, дефинисана на историјским основама настанка теорије релативитета (иако се данас релативистички третирају и друге области физике осим механике)175 – подразумева поделу на парадоксе:

1. Специјалне теорије релативности (СТР), (Парадокс Беловог свемирског брода, Контракциони парадокси "веће" у "мање", Суплијев парадокс, Парадокс близанаца, Парадокс Андромеде, Парадокс маказа),

2. Опште теорије релативности (ОТР), (Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде).

Ефекти дилатације времена и контракције дужине последица су Лоренц-Фицџералдових једначина, и они су наслеђе на којем ће Ајнштајн изградити прво СТР, а потом и ОТР. Феномен истовремености престаје да буде третиран на једнак начин. Та измена у начину схватања физичке реалности доводи до парадокса истовремености који настају као последица релативизовања референтног система (Парадокс близанаца, Парадокс Андромеде...). Када је Ајнштајн, избацио етар из својих теорија као "непотребност", он је негирао постојање апсолутног референтног система, у односу на који би се вршило посматрање. Он долази до закључка да су сви референтни системи једнако битни (симетрија референтних система), из чега је следило да је истовременост релативна појава. Парадокс, као начин мишљења, помаже Ајнштајну и његовим савременицима да јасније формулишу један у много чему другачији поглед на физичку реалност, заснован на другачијим принципима. Харалд Линтел (Harald van Lintel) и Кристијан Грубер (Christian Gruber) истичу да бројни парадокси у теорији релативитета настају услед интутивног неслагања субјекта са последицама њених принципа. По тврђењу Михаела Вајса (Michael Weiss)176 сви релативистички парадокси имају тежњу да установе двосмисленост приликом формулације. Јакир Ахаронов (Yakir Aharonov) и Даниел Рорлих (Daniel Rohrlich)177 сврставају их у групу парадокса грешке,178 и дефинисани су као испомоћ приликом разумевања теорије, а не као недостатак који теорију може да уруши. О парадоксима у специјалној теорији релативитета Бертранд Расел (Bertrand Russell, 1972-1970) пише да су они, у ствари, реакција на једно већ устаљено становиште:

"Парадокси посебне теорије релативности су само зато парадокси што ми нисмо навикли на њено гледиште и због навике да ствари узимамо као тачне и онда кад на то немамо права."179

Овај став потврђује тврдњом да:

175 Релативистичка електродинамика, релативистичка квантна физика... 176 Weiss, M. (1995). 177 Aharonov, Y. & Rohrlich, D. (2003). 178 Настају услед грешке која може бити једноставна, али и врло суптилна да би била препозната. стр. 59-60. 179 Расел, Б. (1962). стр. 44-45.


127

"Мерење растојања и времена не открива директно својства мерених предмета, већ однос тих предмета према оном ко врши мерење."180

Што значи да Бертранд Расел третира релативистичке парадоксе као последицу реалне различитости између опаженог и оног што опажено заиста јесте. Слично Раселу, Лав Ландау (Лев Давыдович Ландау, 1908-1968) и Јориш Румер (Юриш Борисович Румер, 1901-1985) мисле да парадокси СТР-а нису оптичка варка, да је њихова природа реалног карактера, да представљају објективну стварност опсервирану из различитих рефентних система.181 По писању Мичио Какуа (Michio Kaku) до парадокса, и различите опсервације истог објекта, долази услед неуједначености закривљености просторвремена. Реални експеримент ће дефинитивно све показати, али према његовом ставу – парадокси у теорији релативитета се могу решити:182

1. Када се контракција дужине у једном референтном систему усагласи са дилатацијом времена из другог референтног система.

2. Опсервацијом референтних система, у смислу да се један у односу на другог не креће.

У теорији релативитета јасно је да постоји несагласност између посматраног догађаја и самог догађаја. Говорећи језиком математике, парадокси настају у релацији везе између "оригинала" и "слике". Када "оригинал" нестане, нестаје и "слика". Када нестане"слика", не нестаје и "оригинал". "Слика" настаје као реакција на "оригинал". У релацији везе између "оригинала" и "слике" долази до измене која од "оргинала" чини "слику". У теорији релативитета постоје два посматрача и догађај који они посматрају. Парадокс настаје услед нетранзитивности између две "слике" и "оргинала". Нема ни симетрије између "слике" и "оргинала". До асиметрије долази услед неједнаког убрзавања система. Рефлексивност је успостављена. Парадокси СТР-а настају у граничној ситуацији физичке реалности – када брзина система тежи граничној брзини с, што значи да су они парадокси лимита. Такође, то су и парадокси проистекли из погрешне претпоставке, засноване на здраворазумском становишту, да се у граничним ситуацијама систем понаша једнако као у неграничним случајевима одговарајућих конфигурација. Ипак, тумачење да релативистички парадокси припадају парадоксима лимита моћи ће бити усвојено тек након физичке евиденције феномена контракције. У овом раду се анализирају неки од најпознатијих релативистичких парадокса, који се често понављају и под другим именом:

1. Парадокс Беловог свемирског брода (Парадокс два свемирска брода, Парадокс ракета и сајле),

180 Расел, Б. (1962). стр. 76. 181 Landau, L. D. i Rumer, J. B. (1985). str. 52-53. 182 Каку, М. (2005). стр. 224.


128

2. Контракциони парадокси "веће" у "мање" (Парадокс кола и гараже, Парадокс лествица...),

3. Суплијев парадокс (Парадокс подморнице), 4. Парадокс близанаца, 5. Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде, 6. Парадокс маказа (Парадокс суперлуминарних маказа), 7. Парадокс Андромеде (Ритдијк-Путнам-Пенроуз аргумент).

Заједничко за све релативистичке парадоксе јесте да се посматрани догађај другачије опсервира, зато што је посматран и анализиран из различитих инерцијалних система – сопственог (система који се посматра, а који се креће релативистичким брзинама) и дислоцираног-посматрачког (система из којег се посматра првоспоменути). Овај облик дислоцираности183 приликом посматрања и објашњења догађаја доводи до различитости из које се формирају релативистички парадокси. Основни разлог настанка парадокса у специјалној теорији релативитета још увек побуђује многе физичаре, филозофе, али и припаднике других области деловања људског духа: Да ли су ефекти контракције дужине и дилатације времена реални ефекти? Контракција дужине и дилатација времена изведени су из Лоренц-Фицџералдових једначина, и како тврди Милорад Млађеновић:

"Они се користе у теоријским објашњењима, док се не би могло рећи да је експериментално проверено да се без икакве сумње ради о 'реалним' ефектима"184

Овакав став није општи. Постоје радови, у уџбеницима се наводе као примери, у којима се утврђују реални експериментални докази Млађеновићеве сумње.185 Џон Филд (Jоhn H. Field) указује на оригиналан Ајнштајнов текст из 1905. године, у којем сам Ајнштајн о релативистичкој контракцији говори као о појавном (видљивом – ономе што субјект уочава), а не као о реалном ефекту.186 Пол Епштајн (Paul Sophus Epstein, 1883-1966), а потом и Леполд Инфелд (Leopold Infeld 1898-1968), Ајнштајнов дугогодишњи сарадник, тврде да се физичка реалност заснива на посматрачким чињеницима сматрајући да је контракција дужине реалан догађај.187 Лоренц-Фицџералдова контракција је теоријски феномен који није потврђен од стране физичара у реалном догађају.

183 Технолошки је ово још увек неоствариво, тако да углавном сви релативистички парадокси су и мисаони експерименти чија се реализација може само апроксимативно претпоставити. Једино на чињеницама кретања објеката у природи се могу изводити закључци коjи наводе на исправност ставова у теорији релативитета. 184 Млађеновић, M. (1986). Развој физике (механика и гравитација). ИРО "Грађевинска књига", Београд. стр. 390. 185 Трајање мезона у космичком зрачењу, црвени помак дефинисан атомским часовницима на различитој надморској висини (1959), кашњење атомског сата када се један стави у брз авион (Hafele, J. C. & Keating, R. 1971), дилатација времена у близини белих патуљака (1977)... 186 Field, J. H. (2004). 187 Млађеновић, М. (1986). Развој физике (механика и гравитација), ИРО "Грађевинска књига", Београд. стр. 403.


129

Згодно је на овом месту, када се говори о реалном и појавном, аналогије ради, споменути Доплеров ефект: Овај ефекат се бави перцепцијом посматрача који ослушкују звук пиштања локомотиве, при чему је један у возу а други поред пруге. Ко је од та два посматрача у праву, и која је мерена фреквенција писка локомотиве реална? У овом случају сваки физичар ће рећи да су оба опсервирана случаја једног догађаја реална, јер их је лако реализовати да се искуствено потврде. Оба посматрача су у праву, и ово је случај дивергирајуће стварности која се перцепира на различити начин услед феномена кретања.188 Важна карактеристика парадокса у СТР-у јесте да се они заснивају на покушају ненарушавања симетрије референтних система, чиме се изједначава и њихова опсервабилна битност. Успостављена је еквиваленција између система. Разлог због којег долази до промена које се уочавају у једном систему, једнак је разлогу због којег долази до промена у другом систему (посматрач у сваком од система може претпоставити да мирује, а да се онај други креће).189 Ово становиште се мења са општом теоријом релативитета, зато што општа теорија релативитета не пренебегава чињеницу да је неки од система морао да убрзава да би постигао релативистичку брзину. Управо убрзање система нарушава симетрију на којој се заснивају многи парадокси специјалне теорије релативитета. Нестационарност асиметризује – она утиче на измену инваријантности закона физике. Препознатљив је модел формирања парадокса у СТР-у, у којој до асиметрије долази услед убрзавања, за разлику од ОТР-а где асиметрију успоставља гравитационо поље (принцип еквиваленције):

− Постоје два референтна система од којих је један све време у инерцијалном стању – нарушава се симетрија инерцијалних система с обзиром да се један систем неко време налазио у неинерцијалном стању.. Касније он опет постаје инерцијални систем, прелази из неинерцијалног у инерцијално стање (Парадокс Беловог свемирског брода, Контракциони парадокси, Парадокс подморнице, Еренфестов парадокс, Селеријев парадокс, Парадокс правоуглa, Динглов парадокс, Парадокс близанаца, Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде). Поредећи наведене парадоксе примећује се да је:

a. прво референтно опсервабилно место из асиметрично дефинисаног симетричног система (који је претходно убрзавао),

b. друго референтно опсервабилно место из симетричног система (који није претходно убрзавао). Успостављена је релација везе између та два система при чему је код првог дошло до реалне измене (контракција, дилатација...).

188 Споменимо неке од дивергирајућих перцепција које настају услед кретања:

− Кретањем електрона у односу на посматрача, он региструје магнетно поље које се из система електрона не уочава.

− Кретањем извора звука у односу на посматрача, он региструје измењену фреквенцију звука. − Кретањем штапа у односу на посматрача, он уочава контракцију дуж правца кретања. − Кретањем сата у односу на посматрача, он уочава дилатацију временског периода.

189 Познато је да: − Успоравањем контракција нестаје (враћањем на почетни положај, у исти референтни систем, не

постоји разлика у дужини). − Успоравањем дилатација нестаје, али укупно временско кашњење настало услед дилатације остаје

реално и опсервабилно.


130

− У случају Парадокса Андромеде постоје два референтна система од којих су оба у инерцијалном стању. Парадокс суперлуминарних маказа настаје као последица простирања информације коначном брзином (што је основни разлог нарушавања схватања пререлативистичког смисла истовремености).

1. Парадокс Беловог свемирског брода (Парадокс два свемирска брода, Парадокс ракета и сајле)

У почетном тренутку два свемирска брода, повезана затегнутом сајлом дужине L, налазе се у стању мировања један у односу на други, и у односу на посматрача који је ван тих бродова. Свемирски бродови потом убрзавају једнако убрзано дуж правца сајле у истом смеру. Питање које се намеће је: Шта ће се десити са сајлом која повезује бродове?

Прва дискусија по питању овог парадокса била је 1959. године од стране Девана (E. Dewan) и Берана (M. Beran). Њихове назнаке је 1976. године детаљно развио Џон Бел (John S. Bell) у тексту "Како да се учи специјална релативност",190 и по његовом имену је парадокс данас познат. Заснивајући ставове на принципима класичне механике, независно од посматрача, изводи се закључак да уколико свемирски бродови убрзавају једнаким убрзањима дуж правца сајле која их повезује, у истом смеру, да ће растојање између њих остати константно после било ког временског периода. Разматрајући релативистички, поштујући Лоренц-Фицџералдову једначину контракције дужине, очекивано је, према запажању посматрача који се налази ван бродова, да ће доћи до контракције бродова, што значи да сајла мора да се истегли и прекине у одређеном тренутку. Парадокс је решен и едукативног је карактера. Помоћу њега се проблем контракције дужине на још један начин смислено опсервира, и стога је ово експарадокс. Начин на који је формулисан парадокс није физички реализован и саставни је део једног теоријског концепта. Парадокс Беловог свемирска брода је мисаони експеримент СТР-а и теоријске је природе. Намећу се питања: Да ли је сајла тело, и да ли можда долази до конктракције сајле? Да ли у том случају растојање између бродова остаје константно? У чему је разлика, уколико између бродова није сајла, него се они само налазе на растојању L један од другог? Модификација парадокса настаје када бродови нису спојени сајлом и у том случају се намеће питање: Да ли ће доћи до контракције простора између бродова?191 Ово је парадокс по претпоставци зато што је контракција по теоријској претпоставци реалан физички ефекат, утемељен у релативистичкој формули. Разјашњење парадокса Беловог свемирског брода Са становишта посматрача који се налазе у свемирским бродовима растојање између бродова се не мења, независно да ли је разматрање засновано на њутновским или релативистичким принципима (скраћује се и мерни систем помоћу којег се он мери). У

190 Bell, J. S. (1987). 191 Matsuda, T. & Kinoshita, A. (2004).


131

случају када бродови убрзавају једнаким убрзањем, њихове брзине су једнаке, и ефекат контракције на њих је једнак. Космонаути то не уочавају, јер су и сами изложени ефекту убрзавања. Не уочавају ни контракцију ни дилатацију, уочавају само ефекат убрзавања. Пилоти-космонаути један другог из бродова виде у неизмењеном стању. Пошто свемирски бродови све време мирују, један у односу на други, космонаути у бродовима неће уочити никакве димензионе измене и то је једина права физичка реалност – све остало су пројекције физичке реалности. Парадоксалан закључак о затезању сајле која се после извесног времена прекида настаје услед нејасног разликовања стварног растојања између бродова и видљиве контракције дефинисане Лоренц-Фицџералдовим једначинама.192 За случај да контракција није реалан ефект, растојање између бродова се не мења и нема затезања у сајли која их повезује, па тако се ни сајла неће прекинути. За случај да је контракција реалан ефект, растојање између бродова се мења, бродови се смањују, долази до контракције сајле, али сајла се неће прекинути јер се мења растојање између бродова. 2. Контракциони парадокси "веће" у "мање" Овде названи контракциони парадокси представљају једну групу парадокса насталу услед феномена контракције у специјалној теорији релативитета. Они су настали у разним периодима развоја СТР-а и од различитих аутора. Карактеристика контаркционих парадокса је да им се форма разликује а суштина им је иста. Контракциони парадокси настали су независно у радовима Ирца Џорџa Френсисa Фицџералда (George Francis FitzGerald, 1851-1901) 1889. године и Холанђанина Хендрика Лоренца (Hendrik Antoon Lorentz, 1953-1928) 1892. године.193 Били су предвиђени као последица Лоренц-Фицџералдове формуле контракције дужине. Џејмс Терел (James Terrell) одбацује могућност да се релативистичка контракција тела може уочити. Лоренц-Фицџералдова контракција је невидљива за човека.194 Ласло Сабо (Laszlo E. Szabo) са Института за филозофију у Будимпешти, тврди да Лоренцове-Фицџералдове једначине коваријантности не гарантују сатисфакцију принципа релативитета. Не може да се изведе еквиваленција између Лоренц-Фицџералдових једначина и принципа релативитета.195 Сабо такође тумачи и различита становишта које се тичу реалности физичке промене и доноси суд да је промена предвиђена Лоренц-Фицџералдовим једначинама и СТР-ом реална.196 а. Парадокс кола и гаража

Имао је један човек гаражу и ауто једнаке дужине. Када је ауто паркиран у гаражи, врата од гараже се затварају тако да ауто буде таман смештен у

192 Nawrocki, P. J. (1962). 193 FitzGerald, G. F. (1889). The Ether and the Earth’s Atmosphere. Science, 13, p. 390. и Lorentz, H. A. (1892-93). De relatieve beweging van de aarde en den aether. Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam. Wisen Natuurkundige Afdeeling. Verslagen der Zittingen 1, р.: 74-79. Reprinted in translation: The Relative Motion of the Earth and the Ether. in: Collected Papers. 194 Terrell, J. (1959). 195 Szabo, L. E. (2004). 196 Szabo, L. E. (2004).


132

њој. Једног дана човек је замолио пријатеља да му помогне да затвори врата гараже, у тренутку када задњи део аута буде ушао у гаражу, док упаркирава аутомобил у њу. Да ли је могуће упаркирати ауто у такву гаражу на замишљен начин?

б. Парадокс лествица Претпоставимо лестве, чија је дужина већа од дужине гараже у коју треба да буду смештене. Нека се оне крећу релативистичком брзином ка гаражи. Са становишта посматрача који стоји поред гараже оне ће се услед контракције довољно скратити тако да ће стати у гаражу. Са становишта посматрача који се налази у инерцијалном систему лестава (носилац мердевина) оне неће стати у гаражу.

в. Парадокс мотка-амбар Претпоставимо мотку веће дужине од амбара у који желимо да је сместимо. Уколико се мотка креће релативистичком брзином ка амбару, она ће се услед контракције довољно скратити и без проблема ће моћи да стане у амбар. Из перспективе мотке може се претпоставити да се амбар креће релативистичком брзином ка њој, и у том случају услед контракције амбара мотка неће моћи да стане у амбар.

г. Парадокс тигра и кавеза

Претпоставимо тигра дугог 3 метра и кавез 10 пута мање дужине, у који ловац жели да утера тигра. Уколико се тигар креће релативистичком брзином он може да стане у кавез. Са становишта тигра, кавез се креће према њему релативистичком брзином и долази до његове контракције па тигар не стаје у њега.

д. Парадокс буба-закивак Претпоставимо бубу која се увукла у рупу у коју треба закуцати закивак. Нека је дубина рупе једнака дужини закивка. Са становишта посматрача који се налази на закивку, буба ће бити убијена када се закива закивак релативистичком брзином. У случају посматрача поред рупе у којој је буба, она неће бити убијена.

ђ. Парадокс штап-рупа

Крут штап се креће релативистичком брзином преко стола према рупи која је мање дужине, када се налазе у истом инерцијалном систему. Посматрач на столу, примећује контракцију штапа, и он очекује да штап пропадне кроз рупу. Посматрач, који се налази у референтном систему штапа, очекује да штап не пропадне кроз рупу.


133

е. Парадокс ауто-рупа Аутомобил се креће релативистичком брзином путем према рупи мање дужине, када се налазе у истом инерцијалном систему. Посматрач који стоји поред пута, примећује контракцију аутмобила, и он очекује да аутомобил пропадне кроз рупу. Посматрач, који се налази у референтном систему аутомобила, очекује да аутoмобил не пропадне кроз рупу.

Формално гледано свих седам парадокса су суштински једнаки, једино је форма, помоћу које је феномен контракције представљен, другачија. Ради се о парадоксима заснованим на ефекту контракције дужине при чему се једно тело креће релативистичком брзином а друго мирује. Услед контракције дужине "веће" се смешта у "мање" и назовимо их једним именом Контракциони парадокси "веће" у "мање". Сви примери су мисаони експерименти, и настају услед релативистичког ефекта контракције дужине. Ово су парадокси по претпоставци зато што су засновани на тачности релативистичке формуле за контракцију дужине и немају упориште у реалном експерименту. Није реализован експеримент који је потврдио Лоренц-Фицџералдове формуле контракције и стога су сви наведни парадокси теоријске природе. Контракциони парадокси "веће" у "мање" се могу сматрати решеним са становишта релативистичке физике и они су експарадокси. Разјашњење парадокса Анализа је само за први парадокс, од прва четири. Изведен закључак важи за сва четири парадокса. Шта је приликом упаркиравања видео пријатељ, а шта возач у ауту?

1. Возач је коментарисао како му се гаража приближавала док је седео у ауту, и због контракције гараже није успео да се паркира.

2. Прича пријатеља је да се дужина кола због контракције умањила и да су она лако стала у гаражу.

Нетачно у овом парадоксу је да постоји симетрија коју коментаришу возач и посматрач. Тачно се зна ко се креће, зато што тело које се креће мора бити одређени временски период у неинерцијалном стању услед заустављања. Ови парадокси су настали на различитости која је настала дефинисањем постојања опсервираних и стварних својстава система који се креће. Парадокс кола и гараже – пошто је кретање кола реално, долази до контракције кола и она стају у гаражу. Парадокс лествица – пошто је кретање лествица реално, долази до контракције лествица и она стају у гаражу. Парадокс мотка-амбар – пошто је кретање мотке реално, долази до контракције мотке и она стају у амбар. Парадокс тигра и кавеза – кретање тигра је реално и долази до његове контракције и он стаје у кавез.197

197 Овај парадокс се може додатно унапредити разматрањем како тигар улази у кавез (кавез је непокретан, кавез пада на тигра...), али то ће бити анализе за неку другу прилику.


134

Разјашњење парадокса буба-закивак Тек пошто се установи да ли се кретао закивак или рупа у коју се закивак закива, могуће је решити парадокс (Искуство је да се закивак закива, односно он се креће). Сваки од посматрача може закључити да ли је био изложен убрзању (или је симетрија инерцијалности система, у коме се налази, разбијена на неки други начин) приметивши дејство унутар система у којем се налази. Та чињеница је условна у претпоставци који се систем креће. На основу успостављене асимерије може се донети закључак да ли ће буба бити убијена или не:

− Уколико се крећу рупа и буба онда ће се рупа скратитити и закивак ће убити бубу. − Уколико се креће закивак доћи ће до његове дилатације и буба ће преживети (Ово је

и одговор на парадокс). Разјашњење парадокса штап-рупа Парадокс је у оргиналној верзији представио и решио Волфганг Риндлер (Wolfgang Rindler) 1961. године у тексту "Парадокс контракције дужине". Парадокс се појављивао и у верзији сноубордера и рупе.198 Решење је представљено на примеру парадокса штап-рупа. Штап се налази у реалном кретању. Штап је убрзавао, и на тај начин је постигао реално стање брзине у односу на рупу (рупа се привидно креће у односу на штап). Услед ефекта контракције, дужина штапа се довољно скратила и он упада у рупу. Харалд ван Линтел и Кристијан Грубер у раду "Преиспитивање парадокса штап и рупа" доказују да штап, или ауто, приликом кретања релативистичком брзином, неће упасти у рупу.199 Они своју тврњу заснивају на анализи да се не може занемарити дебљина штапа и да не постоји штап бесконачне тврдоће, јер за временски интервал његовог прелаза преко рупе он се параболично савија. 3. Суплијев парадокс (Парадокс подморнице)

Пловност релативистичког објекта (меткa, подморнице), који пролази кроз флуид, зависи од референтног положаја осматрања: објекта (метка, подморнице) или флуида. Уколико објекат (метак, подморница) пролази кроз флуид релативистичком брзином са становишта референтног система:

1. метка (подморнице) – маса флуида расте и метак (подморница) израња, 2. флуида – маса метка расте и он тоне.

Парадокс је смислио Џејмс Супли (James M. Supplee) 1989. године.200 Са становишта флуида, као референтног система, уколико се метак или подморница (од сада само подморница) креће релативистичком брзином кроз флуид, сходно формулама, густина

198 Schiller, C. (2004). 16 th revision, p. 238, ((2007) 20 th revision, p. 309) 199 Lintel, H. van & Gruber, C. (2005). 200 Supplee, J. M. (1989).


135

подморнице расте, што значи да ће у једном моменту њена густина бити довољно велика па ће потонути. Са становишта подморнице, као референтног система, флуид се поред ње креће релативистичком брзином, сходно формулама, густина флуида расте, што значи да ће у једном моменту њена густина бити довољно велика да ће подморница изронити. Џорџ Матсас (George E. A. Matsas), са Института за теоријску физику у Сао Паулу у Бразилу тумачи парадокс као парадокс подморнице.201 Ово је парадокс по претпоставци зато што је заснован на релативистичким принципима и није реализован у реалном физичком систему. Парадокс је мисаони експеримент зато што је реализован само мислено и теоријске је природе зато што представља део једног теоријског концепта. Разјашњење Суплијевог парадокса Претпоставка је да је релативистички објект подморница (метак). Подморница ће или потонути или изронити. На подморницу све време делује гравитациона сила и сила потиска. Парадокс је образложен кинематички разматрајући брзине подморнице или флуида. Претпоставимо посаду на подморници и посматрача (пливача-рониоца) у флуиду (води). Ни у једном од случаја (све једно да ли се креће подморница или флуид) посада неће приметити било какву промену на самој подморници. Две су могућности запажања приликом релативистичког кретања подморнице кроз воду, и овде ће бити дате као крајњи закључак Џорџа Матсаса заснован на принципима СТР-а и ОТР-а:

1. Запажање посаде подморнице: Посада подморнице уочава раст ефективне гравитационе силе приликом кретања подморнице кроз флуид, услед раста масе подморнице. Запажање посаде је да подморница тоне.

2. Запажање пливача-рониоца: Посматрач који се налази у систему флуида уочиће да се подморница смањује услед контракције дужине при релативистичким брзинама. Значи смањује се запремина подморнице и сила потиска опада па подморница тоне.

Реално кретање у овом случају је кретање подморнице. Подморница је морала да убрзава да би се кретала, што значи да се анализа случаја кретања флуида може с правом изоставити. Подморница тоне. 4. Парадокс близанаца

Претпоставимо два брата близанца. Један од браће је космонаут. Брат-космонаут одлази на пут свемирском бродом, који се креће брзинама блиским брзини светлости. При тим брзинама постоје ефекти дилатације времена који су описани специјалном теоријом релативитета. Након годину дана, који је измерио брат-космонаут, брод се враћа на Земљу. Код куће, брат-космонаут је потражио брата и затекао је старца.

201 Matsas, G. E. A. (2003).


136

Парадокс близанаца, у другој форми, мање визуелној, познат је и као сатни парадокс. У парадоксу близанаца се, на основу релативистичког ефекта дилатације времена, претпоставља успоравање животних функција брата-космонаута, услед његовог кретања брзинама блиским брзини светлости. Парадокс се заснива на погрешној претпоставци да се може подразумевати како се Земља креће у супротном смеру од ракете која мирује, при чему би ефекат морао да буде супротан од представљеног. Парадокс близанаца је мисаони експеримент, који је доживео реализацију у реалном експерименту са два часовника, од којих се један кретао у односу на Земљу а други је мировао,202 па је ово експарадокс. Парадокс је у виду мисаоног експеримента поставио француски физичар Пол Ланжвен (Paul Langevin, 1872–1946) 1911. године.203

Слика 11. Парадокс близанаца204 Ситуцију је претпоставио и образложио још 1905. године Алберт Ајнштајн. Парадокс се појавио као контраинтуитиван пример теоријској претпоставци о дилатацији времена и стога је теоријски парадокс. Разлика од претходних парадокса је у претпостављеној ситуацији кретања по затвореној путањи при чему близанци треба да се сретну како би се извршило поређење. Ово је привидни парадокс зато што дилатација времена има потврду у реалном експерименту. Парадоксалност се огледа у контраинтуитивном ефекту сусрета близанаца различитог старосног доба. Разјашњење парадокса близанаца Претпоставка о постојању парадокса је погрешна. У мисаоном експерименту је веома јасно који систем убрзава, што условљава успоравање животних функција брата-космонаута. Услед постојање асиметрије, о претпоставци да се Земља креће у супротном смеру не може ни бити говора. Контрадикција са принципом релативитета заснива се на пренебрегнућу да принцип релативитета важи само за неубрзане системе.205 5. Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде

Претпоставимо два космонаута. Један од њих, космонаут-самоубица, налази се на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде са бљескалицом у руци, а други космонаут се налази на безбедном растојању од те звезде и посматра првог космонаута. У неком тренутку, услед гравитационог колапса, гравитационо

202 Октобра 1971. године су га реализовали Хафеле и Китинг. 203 Field, J. H. (2008). 204 Зоран Малеш 205 Остаје нејасно како је постигнута различитост брзине система уколико нису убрзавани.


137

привлачење је довољно снажно да више ништа не може напустити њен хоризонт догађаја. Док космонаут-самоубица доживљава тренутну смрт, космонаут-посматрач уочава како бљескови (и паузе између њих) космонаута-самоубице трају све дуже.

У парадоксу космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде се анализира случај који је мисаони експеримент, и заснован је на утицају јаких гравитационих сила у промени трајања временских интервала догађаја. Парадокс је последица два различита закључка који су изведени о једном догађају, посматрано из два референтна система. Парадокс се може пронаћи код Стивена Хокинга (Stephen Hawking).206 Није познато његово претходно спомињање.

Слика 12. Парадокс космонаута ...207

1. Из система космонаута-самоубице: у моменту када досегне хоризонт догађаја, он ће погинути и распашће се заједно са бљескалицом.

2. Из система космонаута-посматрача: космонаут-самоубица постаће вечан и никада неће прећи границу хоризонта догађаја, јер ће последњи бљесак бљескалице тежити бесконачном трајању. Остаће жив попут замрзнуте слике.

Два космонаута се налазе у раздвојеним системима који коренсподирају путем информације која је једносмерна, од космонаута-самоубице ка космонауту-посматрачу. Асимерија је успостављена чињеницом да космонаут-самоубица не добија никакву информацију о космонауту-посматрачу, док космонаут-посматрач добија информације о космонауту-самоубици. Ефекат дилатација времена услед различитог интензитета гравитационе силе теоријски је објашњен и доказан у реалном систему. У парадоксу који доводи до контрадикторне ситуације да је космонаут-самоубица и мртав и жив – тај је ефекат мислено интензивиран. На основу изложеног ово је привидан парадокс. Парадокс је теоријске природе зато што је настао на принципима ОТР-а и нема реалне емпиријске потврде. Експарадокс је у смислу да не постоји недоумица око објашњења парадокса са теоријског становишта. Разјашњење парадокса космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде Више је нејасноћа које су прећутане у овом парадоксу:

1. Трајање интервала бљеска тежи бесконачној вредности. Подразумева се претходно трајање интевала мрака "нешто што је мало краће од бесконачности". Такође,

206 Hawking, S. (1988). 207 Зоран Малеш


138

светлосни бљесак пре тог мрака подразумева интервал трајања "мало краће од бесконачности", што се развија у један парадоксалан збир тежњи бесконачности, које треба да се десе пре очекиваног догађаја.

2. Крајње је реално очекивати да је космонаут-самоубица један облик Супермена, а лампа Суперлампа, способни да физички издрже дејство гравитационих сила, а да се не распадну.

Космонаут-самоубица гине, али та информација не долази до космонаута-посматрача. Информације које опсервира космонаут-посматрач нису одраз реалног стања космонаута-самоубице (То што мој другар није чуо да је наш заједнички пријатељ умро, не значи да он није умро). Иако је привид да је космонаут-самоубица и мртав и жив, он је ипак одавно погинуо. 6. Парадокс маказа (Парадокс суперлуминарних маказа)

Претпоставимо огромне маказе чија су сечива дугачка једну светлосну годину. Дршка маказа је величине пола метра. Tиме се прави огромна полуга на маказама. Ако се у почетку маказе отворе за неколико степени, а затим се изненада затворе (сама акција затварања маказа траје део секунде), намеће се питање: Да ли се и сечива маказе затварају за једнако време?

Парадокс се може пронаћи на интернету и објашњава га Скот Чејз (Scott I. Chase) који га је највероватније електронски уредио 1993. године. Није пронађен аутор парадокса и све референце се односе на Чејза. Јасно је да су овакве маказе фиктивне. Ово је мисаони експеримент. Попут осталих релативистичких парадокса и ово је парадокс теоријске природе, без потврде у реалном физичком свету. Парадокс маказа није "истински" парадокс и зато је он привидни парадокс. Привид је у успостављању аналогије између искуства са реалним маказама и замишљених суперлуминарних маказа. Парадокс је решен на принципима релативистичке теорије и он је експарадокс. Разјашњење парадокса маказа Сечива маказа се не затварају истовремено са рукохватом. Сечива су дужине светлосне године и уколико би затварање сечива било скоро тренутно, као и затварање дршке, то би значило да би брзина затварања сечива морала да буде знатно већа од брзине светлости, што се противи једном од основних принципа специјалне теорије релативитета. Сечива маказа се закривљују, сходно брзини преноса информације о њиховом затварању. Смишљено је пренебегнута чињеница да информација о савијању сечива маказа не може бити тренутног карактера. Анализом простирања информације на микроскопском нивоу такође се намеће чињеница да то простирање не може бити веће од брзине светлости, што указује на закривљавање сечива, и неистовремено затварање сечива и рукохвата маказа.


139

7. Парадокс Андромеде

Претпоставимо два човека који пролазе један поред другог на улици. Претпоставимо и свемирску флоту која се покреће ка Земљи из галаксије Андромеда, њутновски истовремено са мимоилажењем пролазника. За пролазнике, покретање свемирске флоте у Андромеди није истовремени догађај. За једног од њих је флота већ пошла, док за другог још није донета одлука да се флота упути ка Земљи.

Парадокс Андромеде је другачије познат и под именом Ритдијк-Путнам аргумент.208 Посматрачи који се крећу различитим брзинама имају различите сопствене просторе истовремености. Ритдијк (C. W. Rietdijk), 1966. године, овај аргумент представља као последицу утицаја релативистичког става о истовремености на четвородимензионални свет-догађај Минковског.209 Хилари Путнам (H. Putnam) чини то годину дана касније.210 Пенроуз је овај феномен обликовао у парадокс Андромеде по којем два пролазника, који се мимоилазе на улици, имају различито третирање феномена садашњости, услед различитог смера кретања у односу на опсервирани догађај (који се у овом случају дешава у галаксији Андромеда). Ово је теоријски парадокс који нема утемељење у реалном експерименту или посматрању. Парадокс Андромеде је привидни парадокс (парадокса суштински нема). Привид се успоставља услед теоријског концепта који је у супротности са интуитивно очекиваном перцепцијом. У оквирима саме теорије нема ничег неконзистентног. Концепт је мисленог карактера па је мисаони експеримент. Парадокс Андромеде је решен у оквирима теоријског концепта када је и постављен па је експарадокс. Парадокс је образовног карактера – успоставља се контраинтуитивна "назови недоумица". Разјашњење парадокса Андромеде Парадокс је заснован на релативистичком моделу схватања појаве истовремености. У СТР-у сваки посматрач има сопствени простор истовремености који представља скуп информација пристиглих у одређеном моменту до посматрача и чине догађај датог тренутка. Такав начин дефинисања истовремености ствара могућност да један догађај за различите посматраче не буде истовремен, што је искоришћено приликом формулисања парадокса Андромеде. Практично парадокс не постоји, осим уколико се ситуација третира у духу класичне физике, по којем нека врста апсолута представља референтно место према коме се одређује појава истовремености. Закључак Оно што се може видети, кроз претходне примере, јесте да релативистички парадокси и данас још увек настају. Релативистичка теорија је свакодневно "нападана" од стране

208 Може се пронаћи и као Ритдијк-Путнам-Пенроуз аргумент. 209 Rietdijk, C. W. (1966). 210 Putnam, H. (1967).


140

многобројних физичара као теорија која не задовољава интуитивни, математички или филозофски принципијелни став. Решења многобројних парадокса, као и објашњења разлога њиховог настанка често се и принципијелно разликују. Парадокси у теорији релативитета изграђени су по матрици упоређивања опсервабилних чињеница из два референтна система, или често и упоређивањем претпоставки о могућим чињеницама (када се ради о мисаоним експериментима). Најчешћи су парадокси који се тичу контракције дужине. Дискусија о физичкој реалности контракције још увек није завршена зато што још увек нема експерименталне потврде. Сама природа парадокса у теорији релативитета разликује се, и најчешће су парадокси засновани на некој претпоставци. Парадокси у теорији релативитета били су, и још увек су, најпрепознатљивији парадокси физике. Они су настали на једном, још увек за многе, контраинтуитивном "тлу". Човек, као субјект сазнања, није решио проблем који настаје приликом објашњавања феномена природе. Постигнути степен апстракције, на којем настаје сазнање, још увек је процес који зависи од постојећих "шумова" у објашњењима који се манифестују кроз парадоксе. Оно што је приметно анализом одабраних седам парадокса јесте да су сви решени са теоријског становишта СТР-а и ОТР-а. Свих седам парадокса су мисаони експерименти и теоријског су карактера. Од седам парадокса четири су привидни (Парадокс маказа, Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде, Парадокс Андромеде, Парадокс близанаца), тј. озбиљнијом анализом се лако уочава њихова "заводљивост". Три парадокса настала су услед претпоставке (Парадокс Беловог свемирског брода, Контракциони парадокси "веће" у "мање", Суплијев парадокс). Сва три парадокса, по претпоставци, засновани су на феномену контракције дужине. Два привидна парадокса су заснована на феномену дилатације времена (Парадокс космонаута нахоризонту догађаја колапсирајуће звезде, Парадокс близанаца) а два су привидна услед "наизглед" контрадикторног закључка који наводе. Судећи по парадоксима изгледа као да се прећутно подразумева да је дилатација времена иреверзибилан процес. У Парадоксу близанаца када се ракета врати на Земљу близанац-космонаут има године које су сагласне са његовим старењем приликом лета. Крајње стање парадокса је евидентна разлика у годинама између близанаца. Код контракције дужине као да нема иреверзибилности. Не постоји парадокс контракције који наводи ситуацију да се тело које се креће вратило до посматрача који се није кретао. Нема парадокса у којем постоји цикличност кретања како би се установило скраћење тела које се креће. Питање је: Да ли ће се близанац-космонаут вратити кући прилично стањен или скраћен или ће само бити старији? Релативистички парадокси су актуелни при разматрању дилеме: Да ли је реална информација о стању или је реално само стање? Информација која долази од посматраног система у релативистичким парадоксима се не поклапа са самим дешавањем у посматраном систему. Гради се дивергентна реалност: једна, заснована на информацији и друга, која потиче од догађаја са места одакле је информација упућена. Литература

1. Aharonov, Y. & Rohrlich, D. (2003). Quantum Paradoxes: Quantum Theory for the

Perplehed. John Wiley & Sons, New York.


141

2. Bell, J. S. (1987). Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge University Press, Cambridge.

3. Brown, H. R. (2001). The orgins of length contracton: I. The Fitzgerald-Lorentz deformation hypothesis. American Journal of Physics, 69, p. 1044-1054.

4. Chase, S. I. (1993). The Superluminal Scissors. e-print: http://jcbmac.chem.brown.edu/scissorsHtml/invariance/relativity/relScissors.html

5. Cho, J.-H, Oh, P, Park, C. and Shin, J. (2005). String Pair Creations in D-brane Systems. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0501/0501190v2.pdf



8. Cucić, D. (2006). A short insight about Thought experiment in Modern Physics. 6th International Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-003, Book of Abstracts p. 1195)

9. Dewan, Е. and Beran, М. (1959). Note on stress effects due to relativistic contraction. Am. J. Phys. 27, p. 517-518.

10. Dieks, C. (2004). Space and Time and Coordinates in a Rotating World. e-print: http://igitur-archive.library.uu.nl/phys/2006-0727-201804/Dieks-04SpaceTimeandCoordinatesinaRotatingWorld.pdf

11. Dingle, H. (1967).The Case Against Special Relativity. Nature, vol. 216. Issue 5111, p. 119-122

12. Einstein, A. (1905). On The Electrodynamics of moving Bodies. e-print: http://www.fourmilab.ch

13. Einstein, A. (1920). Relativity: The Special and General Theory. e-print: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt

14. Field, J. H. (2004). On the Real and Apparent Positions of Moving Objects in Special Relativity: The Rockets-and-String and Pole-and-Barn Paradoxes Revisited and a New Paradox. e-print: [arXiv:physics/0403094 v2]

15. Field, J. H. (2008). Langevin’s ‘Twin Paradox’ paper revisited. e-print: [arXiv:physics.class-ph/0811.3462 v1]

16. Hafele, J. C. and Keating, R. E. (1972), Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains. Science 177. р. 166.

17. Hawking, S. (1988). Kratka povjest vremena. Otokar Keršovani, Opatija. 18. Hill, D. L. (1946). A Note of the Relativistic Problem of Uniform Rotation. Physical

Review, vol. 69. 19. Landau, L. D. i Rumer J. B. (1985). Što je teorija relativnosti. Školska knjiga, Zagreb. 20. Lewis, R. C. & Tolman, G. N. (1909). The Principle of Relativity and Non-Newtonian

Mechanics. Philosophical magazine, 18, p. 510-523. 21. Lintel, H. van & Gruber, C. (2005). The rod and hole paradox re-examined. Eur. J. Phys.

26, No 1, , p. 19-23. 22. Matsas, G. E. A. (2003). Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the

general-relativistic resolution of the “submarine paradox”. e-print: [arXiv:gr-qc/0305106 v1]

23. Matsuda, T. & Kinoshita, A. (2004). A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity. AAPPS Bulletin, Vol. 14.

http://jcbmac.chem.brown.edu/scissorsHtml/invariance/relativity/relScissors.html

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0501/0501190v2.pdf

http://igitur-archive.library.uu.nl/phys/2006-0727-201804/Dieks-04SpaceTimeandCoordinatesinaRotatingWorld.pdf

http://igitur-archive.library.uu.nl/phys/2006-0727-201804/Dieks-04SpaceTimeandCoordinatesinaRotatingWorld.pdf

http://www.fourmilab.ch/

http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt


142

24. McCall, S. (2006). Philosophical Consequences of the Twins Paradox. The Ontology of Spacetime, ed. Dennis Dieks, Vol 1 of the series Philosophy and Foundations of Physics, Elsevier, p. 191-204.

25. Nawrocki, P. J. (1962). Stress effects due to relativistic contraction. Am. J. Phys. 30. Issue 10. p. 771-72.

26. Petkov, V. (2005). Is There an Alternative to the Block Universe View? e-print: http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00002408/01/Petkov-BlockUniverse.pdf

27. Putnam, H. (1967). Time and Physical Geometry. Journal of Philosophy, 64. 28. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass.:

Harvard University Press, Cambridge. 29. Reichenbach, H. (1957). The Philosophy of Space and Time. Dover, New York. 30. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court,

Chicago. 31. Ricker III, H. H. (2005). Correct Solution Of The Right Angle Lever Paradox Of Special

Relativity. e-print: http://www.wbabin.net/science/ricker12.pdf 32. Rietdijk, C. W. (1966). A Rigorous Proof of Determinism Derived from the Special

Theory of Relativity. Philosophy of Science, 33. 33. Rindler, W. (1961). Length contraction paradox. Am. J. Phys. 29, p. 365-6. 34. Rizzi, G. & Ruggiero, M. L. (2002). Space geometry of rotating platforms: an operational

approach. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0207/0207104v2.pdf 35. Ruggiero, M. L. (2003). The Relative Space: Space Measurements on a Rotating

Platform. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0309/0309020v1.pdf 36. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 37. Schiller, C. (2007). Motion Mountain (The Adventure of Physics), Motion Mountain 20th

revision, e-print: http://www.motionmountain.net 38. Selleri, F. (1997). Noninvariant one way speed of light and locally equivalent reference

frames. Found. Phys. Lett. 10, p. 73-83. e-print: http://oldserver.ba.infn.it/~selleri/R18%20-%20FPL.pdf

39. Sherwin, B. W. (1960). Some Recent Experimental Tests of the Clock Paradox. Physical Review, vol. 120.

40. Smolin, L. (2007). The TROUBLE with PHYSICS: the Rise of String Theory, the Fall of a Science, and What Comes Next. A Mariner Book Houghton Mifflin Company, New York.

41. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the mind. Oxford University Press, Oxford.

42. Supplee, J. M. (1989). Relativistic buoyancy. Am. J. Phys. 57, p. 75-77. 43. Szabo, L. E. (2004). On the meaning of Lorentz covariance. Foundation of Physics

Letters 17. p. 479-496. 44. Tartaglia, A. (2004). Does anything happen on a rotating disk? Relativity in Rotating

Frames Edited by Guido Rizzi and Matteo Luka Ruggiero, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. p. 261-275. e-print: http://freeweb.supereva.com/solciclos/tartaglia_d.pdf

45. Terletskii, Y. P. (1968). Paradoxes in theory of Relativity. Plenum Press, New York. 46. Terrell, J. (1959). Invisibility of the Lorentz Contraction. Physical Review, Vol. 116, No 4,

p. 1041-1045. 47. Weber, T. A. (2003). Elementary Considerations of the Time and Geometry of Rotating

Reference Frames. Fundamental Theories of Physics, Vol. 135, p. 139-154. 48. Weiss, M. (1995). The Rigid Rotating Disk in Relativity. e-print:

http://www2.corepower.com:8080/~relfaq/rigid_disk.html

http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00002408/01/Petkov-BlockUniverse.pdf

http://www.wbabin.net/science/ricker12.pdf

http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0207/0207104v2.pdf



http://oldserver.ba.infn.it/~selleri/R18%20-%20FPL.pdf

http://freeweb.supereva.com/solciclos/tartaglia_d.pdf



143

49. Weiss, M. (1995). Bell’s Spaceship Paradox. e-print: http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/spaceship_puzzle.html

50. Каку, М. (2005). Ајнштајнов космос. Хеликс, Смедерево. 51. Млађеновић, М. (1986). Развој физике (механика и гравитација). ИРО "Грађевинска

књига", Београд. 52. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. ИНФОРМАТИКА, Београд. 53. Расел, Б. (1962). АБЦ теорије релативности. Савремена школа, Београд. 54. Цуцић, Д. (1998). Фиктивни експеримент у физици. Флогистон, бр. 8, Београд. стр.

91-137. Табеларни преглед карактеристика парадокса у релативистичкој физици.

Парадокс Беловог

свемирска брода

Контракциони парадокси

"веће" у "мање"

Суплијев парадокс

Парадокс близанаца

Парадокс космонаута

Парадокс Андромедe

Парадокс маказа


Парадокси по претпоставци



Привидни парадокси





Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија









Табела 20

http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/spaceship_puzzle.html


144

В. Парадокси квантне физике Супротност неког тачног тврђења јесте погрешно тврђење. Али супротност неке дубоке истине може да буде опет нека дубока истина. Нилс Бор211 Копенхагенска интерпретација квантне теорије почиње са парадоксом. Вернер Хајзенберг, Физика и филозофија Заједно са парадоксима теорије релативитета, парадокси квантне физике представљају најпознатије парадоксе физике. Да би се формирали услови за настанак парадокса неопходно је да постоји принципијелно постављена условност која омогућава аргументовано тумачење става, на којем се заснива парадокс. Парадокс није принципијелна претпоставка која може бити само усвојена или одбијена. Ако се говори о претпоставци заснованој искључиво на херметичном веровању, онда се не говори о науци већ о религији, метафизици или некој херменеутичкој дисциплини. Бесмислено је било шта назвати парадоксом а да се тиче непроверљивих принципа на којима је парадокс заснован. Сама могућност успостављања парадокса представља прилику да се дође до унапређења знања, како каже Снидер (Alfred C. Snider).212 Парадокси су алатка, а не баријера! Парадокси квантне физике настајали су заједно са квантном физиком. Како се развијала теорија квантне физике тако су настајали парадокси који су актуелизовали проблеме у новонасталој теорији. Парадокси у квантној физици су неодвојив део у процесу њеног настанка и развоја. Без парадокса, на чијим темељима је структуирана и дефинисана, квантна физика је "непрепознатљива" физичарима. Важно је обратити пажњу на шта тачно парадокс указује и шта је разлог успостављања парадокса. Решавањем парадокса не доказује се и не оповргава теорија, али се она унапређује. Такав случај је веома уочљив код парадокса квантне физике. Одабрано је шест парадокса квантне физике. Описан је историјат њиховог настанка, објашњени су и анализирани. Тај наизглед компликован однос физичара према квантној физици, представља Ричард Фејнман (Richard Feynman, 1918-1988) који овако посматра проблеме на које су физичари наилазили приликом дефинисања квантне механике:

"Али потешкоћа је овде сасвим психолошка: стално нас мучи питање “како то може бити?” у којем се огледа нехотична, али сасвим неоснована тежња да све предочавамо уз помоћ нечег добро познатог."213

Феномен парадокса у физици настаје када су објашњења појава у природи и интуитивног карактера, изграђена на непосредном, свакодневном (проверљивом) искуству. Приликом објашњавања постоји једна, можда и неоснована принципијелна тежња: да се непознато доведе у везу са познатим. Свака појава се објашњава уз помоћ познатих појмова (или

211 Хајзенберг, В. (1989). стр. 164. 212 Snider, A. C. (2001). 213 Фејнман, Р. (1986). стр. 122.


145

појмова који се своде на познате), успостављањем разних облика релација везе између оног што се објашњава и оног што се већ зна. У случају квантне физике такав принцип доводи до конфузије, и у том неприхваћеном "принципијелно другачије заснованом простору" настају парадокси квантне физике. Код парадокса квантне физике нема унутрашње логичке противречности, недоследност је здраворазумске природе или, ако је научно и филозофски засновано, неквантномеханичке природе. Квантна механика214 има своју логичку конзистентност, са којом се појединци не слажу, али која је усвојена од стране мњења физичара и која је добро "подржана" резултатима реалних лабораторијских експеримената. Противречност која се наговештавала у физици, услед настанка паралелизма између квантног и таласног, није дискредитовала ни један став у тумачењу физичких појава, већ је, напротив, допринела да се наизгледне супротности сједине у Де Брољовско тумачење. Нису све противречности овог типа, што указује да и њих треба разликовати, јер из сваке противречности не следи парадокс. Квантномеханичко мисаоно становиште принципијено је другачије засновано у односу на класичномеханичко мисаоно становиште.215 У квантној механици мерни апарати, помоћу којих се посматра микросвет, заправо су једна врста асемблера који преводи "непознати језик микросвета у познати језик макросвета". Управо је тај "преводилачки чин" оно што физичаре узбуђује, ствара "немир" и непристајање на стање феноменолошке различитости између микро и макро света. Описани парадокси су настали као реакција, приликом настајања квантне механике и у току њеног развоја, у покушајима да се формира јединствена слика света. Постоји стална тежња међу научницима да се направе кохерентне теорије помоћу којих ће моћи да се објашњавају физичке појаве. Увек, у својим зачецима, те теорије су недовољно развијене идеје које представљају само "колекцију апроксимованих рачуна", услед нејасно установљених основних принципа, на којима права теорија тек треба да заснује конзистентност са перцепцијама објективног физичког света.

"Управо у суштину опита спада могућност да опажено опишемо појмовима класичне физике. У томе се, наравно, састоји парадокс квантне теорије. С једне стране, формулишемо законе који су другачији од оних у класичној физици и, с друге стране, уместо опажања, ми тамо где меримо или фотографишемо без устручавања употребљавамо класичне појмове. И морамо то чинити, јер смо упућени на језик, како бисмо своје резултате саопштили другим људима."216

Истиче се становиште Јакира Ахаронова (Yakir Aharonov), становиште тима са којим је радио,217 да се парадокси у квантној механици усвајају као нешто што је „инхерентно“ једној дубљој логичкој структури квантне механике "која је природно описана језиком слабих вредности, и која је приступачна експериментално кроз слаба мерења." Препознатљив је став, да је управо та "слаба доступност" разлог постојања парадокса у квантној физици. За анализу су одабрани следећи парадокси квантне физике:

214 Када се каже квантна механика мисли се на квантну физику. 215 Основна разлика између квантне и класичне физике је да се у квантној физици као описна карактеристика користи таласна функција а класичну физику описно карактеришу позиција и брзина. 216 Хајзенберг, В. (1989). стр. 202. 217 Aharonov, Y, Botero, A, Popescu, S, Reznika, B. & Tollakseng, J. (2002).


146

1. Парадокс Де Брољове кутије, 2. Парадокс расејања електрона на две пукотине, 3. Парадокс Ајнштајн-Борове кутије, 4. Парадокс Шредингерове мачке, 5. Парадокс Планкове дужине, 6. ЕПР парадокс.

Заједнички чинилац за све наведене парадоксе јесте да су настали у 20. веку, упоредо са развитком квантне физике. Парадокси су својствени квантној физици зато што је сама квантна физика интуитивно веома проблематична за прихатање. Људи живе у свету који се концептуално другачије приказује од микросвета у којем се показује да су принципи квантне физике одрживи. 1. Парадокс Де Брољове кутије

Претпоставка је да постоји преграђена кутија на два једнака дела и да преграда садржи рупу малих димензија. Из кутије су евакуисани сви атоми осим једног, који приликом кретања може да прође кроз рупу у прегради. Уколико се рупа затвори атом не може да прелази из једног дела кутије у други и тада може да се размишља на два начина:

1. По принципима класичне физике, атом ће се налазити или у једном или у другом преграђеном делу кутије.

2. По принципима квантне физике, атом ће се налазити у "мешаном" стању. Парадокс се појављује први пут 1959. године у Де Брољевом раду "Интерпретација таласне механике".218 Луј де Брољ (Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7th duc de Broglie, 1892-1987) је мисаоно ставио на пробу идеју о потпуности у квантној физици и установио је да до парадокса долази када се она изложи у реалном физичком систему. У почетном тренутку, десна страна слике, систем је описан таласном функцијом Ф(x,y,z,t). Када се рупа затвори, случај на левој страни слике, системи су описани таласним функцијама Ф1(x,y,z,t), односно Ф2(x,y,z,t).

Слика 13. Парадокс Де Брољове кутије219

218 De Broglie, L. (1959). 219 Зоран Малеш


147

Франко Селери (Franco Selleri) истиче да је Де Брољев парадокс кутије актуелан само за онe који се придржавају рационалистичке филозофије, и који остају при тврдњи да честица објективно постоји.220 Проблем честице у подељеној кутији је прецизно дефинисан. Атом се налази, када препреке на отвору нема, истовремено у обе половине кутије са становишта квантне физике (како то приказује таласна функција). Парадокс Луј Де Брољове кутије настао је услед парадигматично различитих принципа квантне и класичне физике. Када се проблем објашњава са становишта класичне физике парадокс постоји, када се објашњава са становишта квантне физике парадокса нема. Ово је стога парадокс парадигме. Парадокс је мисаони експеримент, јер је настао као мисаона спекулација у којој је физички било немогуће извршити апсолутну евакуацију атома из кутије, при чему ће у њој остати само један атом. Помоћу овакве врсте мисаоног експеримента и парадокса постизао се ефекат квалитативне провере начина размишљања и стога је парадокс теоријског типа. Пошто је постављени проблем решив у квантној физици, ово је експарадокс. Разјашњење парадокса Де Брољове кутије Парадокс је настао услед чињеница да се атом у "исто време" може налазити у оба дела кутије као што на то указује расподела вероватноће о његовој локацији, што је интуитивно страно здраворазумском схватању класичне физике. Ова парадоксалност у потпуности се уклапа у квантномеханички начин размишљања који са високом лабораторијском експерименталном прецизношћу објашњава процесе у микро системима. Када се разматра расејање светлости на "егзистирајући" атом у кутији, актуелне су следеће могућности:

1. Атом је затворен у левој половини кутије и мери се расподела интензитета расејане светлости на њему.

2. Атом је затворен у десној половини кутије и мери се расподела интензитета расејане светлости на њему.

3. Атом се слободно креће кроз кутију и мери се расподела интензитета расејане светлости на њему.

Поштујући принципе класичне физике атом ће се увек налазити или у левој или у десној половини кутије и расподела интензитета расејане светлости је адитивно сума расподела првог и другог огледа. Поштујући принципе квантне физике расподела интензитета расејане светлости чини интерференцију вероватноће да се атом налази или у левој или у десној комори кутије. 2. Парадокс расејања електрона на две пукотине

Приликом расејања једног електрона на две пукотине уочава се, на основу интерференционе слике на екрану, који се налази иза пукотине, да је кретање електрона кроз обе пукотине било истовремено.

220 Selleri, F. (1990).


148

Слика 14. Парадокс расејања електрона на две пукотине221

Парадокс је заснован на познатом Јанговом експерименту расејања светлости на две пукотине, који Томас Јанг (Thomas Young, 1773-1829) представља јавности почетком 19. века. Експеримент расејања на две пукотине има већи број варијација. На Петој конференцији физичара Соловејевог института, октобра 1927. године у Бриселу,222 Алберт Ајнштајн (Albert Einstein, 1879-1956) се успротивио изузимању каузалног описа у квантној механици и свој став је поткрепио примером проласка честице кроз пукотину. Дискусија се потом епистемолошки и теоријски актуелизовала223 у смеру да се прво разматрао случај проласка интензивног снопа честица кроз две пукотине, а потом се анализирао случај проласка слабог снопа, чиме се дошло до дилеме: Кроз коју од две пукотине је прошао електрон пре него што је стигао на плочу?224 Парадокс је настао као варијација реалног физичког експеримента, који није могао да буде физички реализован у тренутку осмишљавања. Завршну модификацију експеримента расејања једног електрона на две пукотине, у мисаоној форми која је нама данас позната, даје Ричард Фејнман у својим предавањима са Калтека.225 У циљу формирања основних представа о квантној физици, служио се поменутим мисаном експериментом. Он је експеримент расејања електрона на две пукотине сматрао основним експериментом квантне физике, што је и био разлог значаја који му је придавао на својим предавањима. Временом га је у потпуности разрадио, па је парадокс добио име и Фејманов парадокс расејања електрона на две пукотине. Технолошки развој омогућио је да овај експеримент данас буде реализован у реалним физичким условима, па је стога парадокс експерименталног типа.226 Парадокс је теоријски

221 Слика је преузета са сајта Тома Бардена (Tom Bearden): http://www.cheniere.org/books/excalibur/2slit.htm 222 Тема конференције је била "Електрони и фотони". 223 Свела се на питања: Да ли је постојећа квантна механика довољна да објасни микросистеме? Да ли се прецизније објашњење феномена може добити прецизнијим опсервирањем енергије и импулса система? 224 Бор, Н. (1985). – у чланку: Дискусија са Ајнштајном. (1949). 225 Feynman, R. P, Leighton, R. B & Sands, M. (1963). 226 Немац Клаус Јонсон (Clauss Jönsson) реализује први пут, 1961. године, експеримент са електронима (Jönsson, C. (1961). Elektroneninterferenzen an Mehreren Künstich Hergestellten Feinspalten. Zeitschrift für Physik, 161, p. 454-474.). Реални експеримент са једним електроном реализује група италијанских истраживача

http://www.cheniere.org/books/excalibur/2slit.htm


149

објашњен и експериментално реализован, и може се третирати као експарадокс. Ово је парадокс прве класе, која се по Сеинсбуријевој градацији мери највећом вредношћу (10), што значи да задире у темеље мишљења.227 На њему је заснована огромна грађевина квантне физике. Задовољавајуће решење је захтевало измену основних принципа становишта па је ово парадокс парадигме. Разјашњење парадокса расејања фотона на две пукотине Парадокс настаје када се квантни ефекти феномена третирају на принципима класичне физике. Оно што је необјашњиво приликом употребе принципа класичне физике, принципијелно је неодвојиво од квантне физике. Тек квантномеханичко тумачење парадокса даје објашњење које је задовољило физичарско јавно мњење. До решења парадокса долази се тек након усвајања принципијелно другачијег начина третирања проблема, усвајањем квантномеханичког формализма, при чему се не прави разлика између појединачне честице и система честица, па су стога физичке честице у реалној могућности да буду на два различита места истовремено. Постоји више теоријских решења Парадокса расејања честице на две пукотине (прореза) попут: Боровог објашњења заснованог на Копенхагеншкој интерпретацији квантне механике или на пример Еверетове (Hugh Everet III, 1930-1982) која интерпертира декохеренцију стања система и формирање паралелних светова. Основну концепцију објашњења расејања честице на две пукотине (која се противи Ајнштајновом становишту) дао је Нилс Бор који решава парадокс тако што повезује његову конзистентност са Хајзенберговом релацијом неодређености; потврдивши при том да је принцип комплементарности фундаменталан у квантној физици: На екрану се може видети слика помоћу које се тумачи дешавање између пукотина и екрана. Не може да се зна како је дошло до формирање интерференционе слике, јер се детекција врши на екрану. Ту је моменат где настаје колапс функције. Уколико се детекција чини на пукотинама, онда ће се јасно знати куда електрон пролази, али неће бити интерфренционе слике на екрану. Када се детекција не врши на пукотинама него на екрану јавља се интерференциона слика. Шта се заиста дешава са електроном посматрач не може сазнати у случају формирања интерференционе слике. У микросвету посматрано и посматрач чине нераздвојиву целину у којој узајамно делују једно на друго. Управо то међудејство не дозвољава да се формирају јасно дефинисани визуелни концепти својствени макросвету. 3. Парадокс Ајнштајн-Борове кутије (Парадокс сата у кутији)

Замислимо кутију са рупом на једној страни и часовником унутра, која виси о "динамометар". Постоји механизам који рупу отвара и затвара у ритму

предвођена Пиер Ђорђо Мерлијем (Pier Giorgio Merli) 1974. године (Merli, P. G, Missiroli, G. F. and Pozzi, G. (1974). Electron Interferometry with the Elmiskop 101 Electron Microscope. Journal of Physics E: Scientic Instruments, 7, p. 729-732). Јаснију потврду резултата добија група јапанских истраживача, Хитачијевог развојног тима, предвођена Акиром Тономуром (Akira Tonomura) 1989. године (Tonomura, A, Endo, J, Matsuda, T, Kawasaki, T. and Ezawa, H. (1989). Demonstration of Single-Electron Buildup of an Interference Pattern. American Journal of Physics, 57, p. 117-120). 227 Sainsbury, R. M. (1995).


150

показивања часовника. У почетном тренутку је у кутији извесна количина зрачења. Отварањем поклопца на рупи, у кратким временским интервалима, постиже се да само један фотон може излетети кроз отвор напоље. Мери се тежина кутије пре и након излетања фотона. Померањем поклопца на рупи у одређеном моменту (који се очитава на часовнику) прецизно се одређује време када је фотон напустио кутију. Мерењем тежине у том тренутку добија се вредност енергије фотона који је напустио кутију.

Алберт Ајнштајн је, у једној од дебата,228 помоћу овог парадокса понудио мисаони концепт којим се супротставио Хајзенберговом принципу неодређености енергије и времена (положаја и импулса) у квантној механици. По Ајнштајну могуће је мерити "истовремено" енергију и период зрачења. Нилс Бор (Niels Bohr, 1885-1962) је "бранио" Копенхагеншку интерпретацију квантне механике, али Ајнштајна није уверио у исправност Хајзенберговог принципа неодређености. Иако је Ајнштајн на крају нагласио "непостојање чврсто установљених принципа за објашњење природе" Борова аргументација је закључила дискусију.

Слика 15. Парадокс Ајнштајн-Борове кутије229 Ајнштајн се противио одустајању од каузалитета у квантномеханичком третирању просторвремена, служећи се својом најчувенијом формулом релације везе између енергије и масе. Парадокс је мисаони експеримент и настао је као производ сукоба мишљења двају филозофских концеција у дефинисању основних принципа квантне механике. Парадокс је теоријске природе. Нереализован је у форми реалног физичког експеримента. Ово је експарадокс који је омогућио да се у једној здравој дискусији унапреди квантномеханички модел мишљења. Према наведеним критеријумима дефинисања типова парадокса ово је транзициони парадокс зато што је настао у процесу дефинисања квантномеханичког концепта физике. Разјашњење парадокса Ајнштајн-Борове кутије Борово образложење било је следеће:230 Тежина кутије се након напуштања фотона одређује променом масе ∆m, што значи да јој се мења импулс за ∆p. На основама ОТР-а часовник у кутији се помера у гравитационом пољу за ∆q, одакле следи да ће се и временски интевал сходно томе променити за ∆t. Изражавањем промене импулса преко промене масе и заменом изведених вредности добија се Хајзенбергова релација неодређености у функцији промене временског интервала и енергије.

228 На 6. Соловјевој конференцији 1930. године. 229 Зоран Малеш 230 Бор, Н. (1985).


151

Тако је Бор, искористивши Ајнштајнов аргумент, извео формулу на којој се заснива Хајзенбергов принцип који је Ајнштајн желео да обори. 4. Парадокс Шредингерове мачке

Унутар непровидне кутије се налазе: радиоактивни извор, Гајгер-Милеров бројач, стаклена ампула која садржи отров, радиоактивни окидач и жива мачка. Радиоактивни окидач у кутији подешен је тако да ако Гајгер-Милеров бројач региструје радиоактивну честицу, стаклена ампула са отровом се разбија и мачка умире. У случају да Гајгер-Милеров бројач не региструје радиоактивну честицу мачка ће и даље живети.

Актуелни посматрач (који се налази изван кутије) не зна да ли је мачка жива или мртва. Када ће услед радиоактивног распада доћи до ослобађања отрова из ампуле не зна се тачно и претпоставка о том догађају је статистичке природе. Познато је да су у кутију стављени: жива мачка и ампула отрова са радиоактивним окидачем. Од тренутка затварања непрозирне кутије посматрач је неспособан да дефинише објективну стварност унутар ње. Могући су следећи закључци о стању мачке унутар кутије: мачка је жива, мачка је мртва, мачка је и жива и мртва (мачка није ни жива ни мртва).

Слика16. Парадокс Шредингерове мачке231 Овај парадокс је суштина сукоба између два сазнајна модела која су заступали истакнути физичари тог времена. Парадокс је смислио аустријски физичар Ервин Шредингер (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887-1961) 1935 године232 с намером да се супротстави интерпретацији квантне механике коју су заступали Данац Нилс Бор и Немац Вернер Хајзенберг (Werner Heisenberg, 1901-1976). Класичном, здраворазумском, начину мишљења страно је да мачка у исто време буде и жива и мртва. Парадокс Шредингерове мачке је настао као покушај да се физичка реалност физике микросвета примени на перцепцију физичке реалности физике макросвета. Реални физички експеримент са мачком није тешко реализовати, али сама реализација није у овом случају битна, колико је битан карактер упитаности о идеји коју експеримент носи у себи. Особеност је у чињеници да експеримент упућује на квалитативно другачији начин

231 Зоран Малеш 232 Оргинални чланак се појавио у немачком часпису Naturwissenschaften под називом "Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik" (Садашња ситуација у квантној механици), Naturwissenschaften, 48, p. 807-12, 49, p. 823-8, 50, p. 844-9. (Новембар 1935).


152

сагледавања физичке стварности, која је супротстављена здраворазумском, због којег је експеримент и настао. Овај парадокс је пример мисаоног експеримента зато што се никако другачије, до мисаоно, не може сагледати стање унутар црне кутије. Парадокс доводи у сумњу став о могућности јасног и прецизног сазнанања – указује на ограниченост сазнања. Парадокс је теоријског карактера зато што је опсервација и образложење засновано на теоријским принципима квантне механике. За парадокс се, на основу изложеног, може рећи да мења основна принципијелна становишта, зато што указује на могућност другачијег начина сагледавања физичке реалности, и он је парадокс парадигме. Разјашњење парадокса Шредингерове мачке За посматрача који је мачку сместио у кутију, после одређеног временског интервала остаје непознато да ли је мачка жива или мртва (занемаримо могућност ослушкивања, ренгенског сагледавања...). Питање је статистичке сигурности, да ли је услед радиоактивног распада дошло до лома ампуле и ослобађања отрова. Колико ће да живи мачка у кутији, експериментатор не зна. Чињеница је да је посматрач у кутију сместио мачку, ампулу отрова са радиоактивним окидачем, као што је чињеница да је он од тог тренутка неспособан да дефинише објективну физичку стварност у кутији. Копенхагеншка школа квантне механике, при образложењу Парадокса Шредингерове мачке, заступала је становиште да квалитет саме појаве (у овом случају живот мачке) није оно што је описано приликом објашњавања. Квалитетом би се пре могла назвати вероватноћа и тенденција коју сама појава има. 5. Парадокс Планкове дужине

Ако је Планкова дужина најмања дужина која може бити физички опсервирана, намеће се питање: како се при релативистичким брзинама таква дужина скраћује, односно, како ће бити опсервирана?

Планкова дужина је у физику уведена на прелазу 19. у 20. век, заједно са осталим Планковим величинама.233 Уведена је као хипотетичка величина и временом је добила на значају тако да представља једну од физичких граница реалног света. Планкова дужина износи око 1.6·10-35m. У време када је дефинисана Планкова дужина нису постојале теорије релативитета и квантна физика. До касних 60-их година прошлог века Планкове величине нису разматране озбиљно, у смислу да имају битан физички значај.

3cћG

l p =

233 Основне природне једнинице: масе, дужине и времена су конструисане од фундаменталних константи физике: G, c i h (нису зависне од спољних услова). Ове изведене квантитативне вредности се појављују у јавности 1899. и 1900. године.


153

Термин Парадокс Планкове дужине је пронађен код Ли Смолина (Lee Smolin) у књизи Невоље с физиком.234 Разлог успостављања парадокса, да мора постојати гранична вредност дужине која је концепцијски супротстављена Лоренц-Фицџералдовој контракцији, био је познат знатно раније.235 Смолин указује на Италијана Ђованија Амелино-Камелиа (Giovanni Amelino-Camelia) који је 1999. године прецизно описао и решио парадокс. Парадокс Планкове дужине формиран је на темељима: квантномеханичког феномена – контракција дужине.236 Анализа овог парадокса заснована је на истом принципу као код конктракционих парадокса релативистичке физике. Парадокс Планкове дужине је мисаони експеримент зато што је опсервиран само мисаоно. Ово је парадокс теоријске природе зато што представља теоријску спекулацију незасновану у реалном физичком експерименту. Парадокс Планкове дужине је парадокс по претпоставци, зато што је заснован на тачности релативистичке формуле за контракцију дужине и Планковој скали минималне вредности, без упоришта у реалном физичком експерименту. Контракциони парадокси "веће" у "мање" могу се сматрати решеним са становишта релативистичке и квантномеханичке физике и они су експарадокси јер су у домену њихових принципа и настали. У овом случају се комбинује Лоренц-Фицџералдова трансформација контракције дужине са Планковом минималном вредношћу реалне дужине. Постоји више варијанти теоријских решења Парадокса Планкове дужине. Разјашњење Парадокса Планкове дужине Амелино-Камелиа је претпоставио237 (при чему је учинио модификацију Ајнштајнове специјалне теорије релативитета238) да се мерење продужности и временских интервала не разликује, када их тумаче два посматрача, на величини реда Планкове дужине,239 већ да су контракција дужине и дилатација времена важеће при величинама већим од Планкове дужине и Планковог времена. Код Ровелија (Carlo Rovelli) и Специала (Simone Speziale)240 може се уочити да они такође сматрају како је "ограничена минимална ненулта вредност" квантизована. Квантитативна вредност се не мења услед Лоренц-Фицџералдових трансформација (оба посматрача виде једнаку дужину). Они теоријски показују да то није случај у квантној гравитацији петље. На једнаком становишту су Ливин (Etera R. Livine) и Орити (Daniele Oriti).241 Они тврде да се дужина, у контексту квантне гравитације, при анализи у оквирима "деформисане специјалне релативности" не мења.

234 Smolin, L. (2007). 235 Hagar, A. (2007). 236 Колико је, и да ли је уопште, битно да је прво формулисан концепт контракције а потом изведена величина минималне протежности. 237 Amelino-Camelia, G. (2000). 238 DSR (deformed special relativity или doubly special relativity) 239 Слично Ајнштајновој идеји са константношћу брзине светлости с. 240 Rovelli, C. & Speziale, S. (2003). 241 Livine, E. R. & Oriti, D. (2004).


154

6. ЕПР парадокс

Претпоставимо постојање две честице које се налазе на неопходно великој удаљености једна од друге. Честице су описане јединственом таласном функцијом. Мерењем положаја и импулса једне честице познат је положај и импулс друге честице.

Ово је парадокс о коме је, највероватније, писано највише. ЕПР парадокс, препознатљив је и под именом Парадокс непотпуности интерпретације копенхагеншке школе квантне механике, успостављен је од стране Алберта Ајнштајна, Бориса Подолског (Boris Poldolsky, 1896-1966) и Натана Росена (Nathan Rosen, 1909-1995) 1935. године у раду Може ли се квантномеханички опис физичке реалности сматрати потпуним? Начин, како је представљен ЕПР парадокс, подразумева да су познати положај и импулс обе честице, чиме је начињена контрадикција са Хајзенберговом релацијом неодређености. Теоријски доказ да основе на којима се заснива ЕПР парадокс нису квантномеханичког карактера, зато што се нарушава принцип локалности, дао је Швајцарац Џон Бел (John Stewart Bell, 1928-1990). Џон Клаузер (John Clauser) и Стујарт Фридман (Stuart J. Freedman) 1972. године,242 у исто време и Абнер Шимони (Abner Shimony) реализовали су експеримент у лабораторији, а после њих и Алан Аспек (Alain Aspect), чиме је доказано непостојање скривених варијабли, помоћу којих је вршен покушај да се статистика квантне механике сведе на узрочни принцип који лежи у основама класичне механике. Закључак је био да су назнаке, на које је упућивао ЕПР парадокс, такве природе да се не уклапају у начин сагледавања проблема са становишта квантне механике. У време када је био формиран, ЕПР парадокс је био пример мисаоног експеримента помоћу којег се постављају питања од кључног значаја за квантну теорију. Ово је теоријски парадокс који указује на физичку реалност дефинисане физичке величине под претпостављеним условима. Парадокс је решаван са различитих аспеката квантнотеоријског начина мишљења, има и облике потврде у реалном физичком експерименту, и стога се може подразумевати да је експарадокс. С обзиром да је основни смисао настанка парадокса довођење у питање једног филозофског погледа на свет, без обзира да ли данашњи резултати реалних лабараторијских експеримената дају предност било ком од ставова, ово је парадокс парадигме. Разјашњење ЕПР парадокса ЕПР парадокс и даље је актуелан, иако је прошло више од 70 година од како је парадокс осмишљен. Постоји велики број радова који се тичу ЕПР парадокса и углавном сви разрађују могућности решења. Први је то учинио Нилс Бор већ у наредном броју часописа у којем је парадокс објављен. ЕПР парадокс је настао с намером да укаже на непотпуност квантне механике, али експериментални резултати су оборили важност принципа локалности.243 Постоји више решења ЕПР парадокса која су понудили сами аутори парадокса, Нилс Бор, Џон Бел... Поједина теоријска решења добила су своју потврду, у неким аспектима, и кроз реални физички експеримент.

242 Freedman, S. J. & Clauser, J. F. (1972). 243 У реалном физичком систему се утицај не преноси тренутно.


155

Закључак Свих шест наведених парадокса имају конзистентна теоријска решења и стога су сви експарадокси. Сви парадокси, осим Парадокса расејања електрона на две пукотине теоријске су природе и нису реализовани у реалном, физички пондерабилном систему. Парадокс расејања електрона на две пукотине настао је као теоријска спекулација модификације једног реалног физичког експеримента на квантномеханичким принципима. Временом је реализован у реалном физички пондерабилном систему, и потврђени су принципи на којима је заснован. Иако је, у наведеној варијанти настао као мисаони експеримент, он то више није, док су сви остали анализирани парадокси још увек мисаони експерименти. Од шест одабраних парадокса квантне физике четири припадају групи парадокса парадигме, један је транзициони парадокс, и један је парадокс по претпоставци. То упућује на чињеницу да су одабрани парадокси суштински битни за развој квантне физике, јер су решиви једино у границама важења квантномеханичких принципа на којима се заснивају (а тиме су указивали на одрживост ових закона). Треба истаћи да су сви наведени парадокси експарадокси када се посматрају са становишта Копенхагенске интерпретације квантне механике и да могу бити решиви и са становишта неке друге интерпретације, попут Еверетове или Бомове. Може да се уради провера како се сваки од парадокса "понаша" у различитим интерпретацијама квантне механике, чиме би се добила јаснија слика о парадоксима у квантној механици.244 Одабрани парадокси су настали у првој половини 20. века, или су интуитивно били наслућени, када се квантна механика формулисала. При анализи се показало да постоји одређена сличност између њих. Слична структура одабраних парадокса квантне физике била је очекивана из следећих разлога:

1. Период од 100 година, у којем су настали сви парадокси веома је кратак. Било је очекивано да се, услед јаких утицаја квантне физике и интеракције између блиских генерација физичара, модел мишљења неће знатно мењати.

2. Многе феномене који су описани помоћу квантномеханичке теорије, није могуће тестирати у лабораторији и проверити веродостојност објашњења.

3. У процесу настајања квантне механике, мисаони експерименти помоћу којих су предочавани парадокси, били су једна од најактуелнијих алатки за проверу и унапређење сазнања.

Литература


244 Како је рекао професор Дарко Капор приликом једне размене мејлова: Интерпретација КМ за коју се сматра да је исправна, у смислу да може да објасни све експериментом регистроване појаве, и чија су предвиђања такође експериментом проверена и потврђена, још увек не гарантује да се ствари у природи дешавају на начин који она заступа.


156

2. Aharonov, Y, Botero, A, Popescu, S, Reznika, B. & Tollakseng, J. (2002). Revisiting Hardy’s Paradox: Counterfactual Statements, Real Measurements, Entanglement and Weak Values. Physics Letters A, 301, Issues 3-4, p. 130-138.

3. Amelino-Camelia, G. (2000). Testable Scenario for Relativity with minimum-lenght. e-print: [hep-th/0012238]

4. Amelino-Camelia, G. (2000). Planck-Length Phenomenology. e-print: [gr-qc/0008010] 5. Amelino-Camelia, G. (2000). Improving limits on Planck-scale Lorentz-symmetry test

theories. e-print: [astro-ph/0410076] 6. Aspect, A. (1999). Bell’s inequality test: more ideal than ever. Nature, 398, p. 189-190. 7. Aspect, A, Dalibard, J. & Roger, G. (1982). Experimental Test of Bell’s Inequalities Using

Time-Varying Analyzers. Phys. Rev. Lett., 49, p. 1804–1807. 8. Barrow, J. D. (2003). The Constants of Nature, From Alpha to Omega. Vintage, London. 9. Bohr, N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be

Considered Complete? Physical Review, 48, p. 696-702. 10. Bell, J. S. (1964). On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox. Physics 1, p. 195-200. 11. Bohm, D. & Aharonov, Y. (1957). Discussion of Experimental Proof for the Paradox of

Einstein, Rosen, and Podolsky. Physical Review, 108. No. 4. 12. Cucić, D. (2006). Paradox in physics, the consistency of inconsistency. 6th International

Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-002, Book of Abstracts p. 1194). [arXiv:0812.2541]

13. De Broglie, L. (1959). L'interprétation de la mécanique ondulatoire. J. Phys. Radium, 20, p. 963-979.

14. Deutsch, D. (1997). The Fabric of Reality. Penguin Books, London. 15. Einstein, A, Podolsky, B. & Rosen. N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, 47, p. 777-780. 16. Feynman, R. P, Leighton, R. B. & Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics.

Addison-Wesle, Vol. III. 17. Freedman, S. J. & Clauser, J. F. (1972). Experimental test of local hidden-variable

theories. Phys. Rev. Lett. 28, p. 938. 18. Griffiths, R. B. (2002). Consistent Resolution of Some Realtivistic Quantum Paradoxes.

e-print: [quant-ph/0207015] 19. Hagar, A. (2007). Length Matters (I): The Einstein-Swann Correspodence and the

Constructive Approach to the Special Theory of Relativity. e-print: http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00003487/01/Swann.pdf

20. Hardy, L. (1992). Quantum mechanics, local realistic theories, and Lorentz-invariant realistic theories. Phys. Rev. Letter, 68, p. 2981.

21. Livine, E. R. & Oriti, D. (2004). About Lorentz invariance in a discrete quantum setting. Published by Institute of Physics Publishing for SISSA/ISAS. http://jhep.sissa.it/archive/papers/jhep062004050 /jhep062004050.pdf

22. Penrose, R. (2006). THE ROAD TO REALITY: A Complete Guide to the Laws of the Universe. Alfred A. Knopf, New York.

23. Rovelli, C. & Speziale, S. (2003). Reconcile Planck-scale discreteness and the Lorentz-Fitzgerald contraction. Phys. Rev. D, 67, [gr-qc/0205108]

24. Selleri, F. (1990). Quantum Paradoxes and Physical Reality. Springer-Verlag, New York. 25. Smolin, L. (2007). The TROUBLE with PHYSICS: the Rise of String Theory, the Fall of a

Science, and What Comes Next. A Mariner Book Houghton Mifflin Company, New York.

http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00003487/01/Swann.pdf


http://jhep.sissa.it/archive/papers/jhep062004050%20/jhep062004050.pdf


157

26. Snider, A. C. (2001). Essential Paradox: Grounds for Debate. International Debate Education Association Conference 2001, Debate and Argumentation: Opening Minds, Borders and Societies, Prague.

27. Tartaglia, A. (1998). Is the EPR paradox a paradox? e-print: [quant-ph/9805074] 28. Wheeler, J. A. & Zurek, W. H. (1983). Quantum Theory and Measurement. Princeton U.

Press, Princeton. 29. Бор, Н. (1985). Атомска физика и људско знање. Нолит, Београд. 30. Бом, Д. (1972). Узрочност и случајност у савременој физици. Нолит, Београд. 31. Вајцзекер, К. Ф. фон (1988). Јединство природе. Веселин Маслеша, Сарајево. 32. Градина, бр.11, Ниш, (1989). 33. Грибин, Џ. (1989). У трагању за Шредингеровом мачком. Просвета, Београд. 34. Кун, Т. (1974). Структура научних револуција. Нолит, Београд, 35. Млађеновић, М. (1986). РАЗВОЈ ФИЗИКЕ, оптика. ИРО "Грађевинска књига",

Београд. 36. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. Информатика, Београд. 37. Рајхенбах, Х. (1964). Рађане научне филозофије. Нолит, Београд. 38. Фејнман, Р. (1986). Особитости физикалних закона. Школска књига, Загреб. 39. Хајзенберг, В. (1989). Физика и метафизика. Нолит, Београд. 40. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 41. Чевизовић, Д. (2008) Свет с друге стране кванта. Планета, бр. 30, стр. 30.

Табеларни преглед карактеристика парадокса у квантној физици

Парадокс расејања фотона на две

пукотине

Парадокс ДеБрољеве

кутије

Парадокс Ајнштајн-Борове кутије

Парадокс Шредингерове

мачке

Парадокс Планкове дужине

ЕПР парадокс









Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Експеримент Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија








Табела 21


158

Г. Астрофизички парадокси Највећа препрека откривања ... није почивала у незнању, већ у илузији о поседовању знања. Данијел Џ. Борстин Често су поједини проблеми у физици, биологији, астрофизици, или било којој другој науци, у одређеном контексту, сматрани парадоксима. Дешава се да савремени физичари уместо израза парадокс користе термин пазл, мада тај термин више одговара нечему што се поставља као проблемски задатак који треба решити. Парадокс у својој структури садржи проблем и то је вероватно разлог поистовећивања. Парадокс није само уочени проблем, он у себи садржи и контраинтуитивни елемент, код већ постојећег објашњења, на којем се гради његова контрадикторност. Нема јасно формулисаног текста у коме су синтетизовани парадокси у астрофизици по било каквим класификационим чиниоцима. Парадокси астрофизике су суштински физички парадокси.245 Парадокси астрофизике покривају широк спектар различитих области физике помоћу које се формулишу и решавају астрономски феномени. У даљем тексту биће представљени и анализирани следећи парадокси:

1. ГЗК парадокс (Парадокс космичког зрачења), 2. Зелигеров парадокс (Зелигер-Нојманов парадокс), 3. Олберсов парадокс (Фотометријски парадокс), 4. Вилеров парадокс ентропије црне рупе, 5. Парадокс информације из црне рупе, 6. Едингтонов парадокс, 7. Парадокс слабог младог Сунца, 8. Клаузијусов парадокс (Парадокс топлотне смрти).

Заједничко за наведене парадоксе јесте да се сви тичу астрономских феномена који су представљали, или још увек представљају, иполазну основу интегралног приступа решавања проблема заснованог на разним физичким теоријама. 1. ГЗК парадокс (Парадокс космичког зрачења)

Постоји израчуната гранична вредност енергије за мерење зрачења које потиче од удаљених објеката универзума. Када је вредност енергије космичког зрачења изнад те границе, нема интеракције ЕМ зрачења које потиче са удаљених објеката са фотонима позадинског микроталасног зрачења. Парадокс је да су евидентирани космички зраци који потичу из удаљених извора чија је енергија већа од установљеног лимита.

245 До мерних чињеница се долази анализом електромагнетних таласа и субатомских честица које до нас долазе из свемира.


159

ГЗК парадокс је заснован на установљеном ГЗК лимиту који су независно израчунали 1966. године, с једне стране Енглез Кенет Грајсен (Kenneth Greisen, 1918-2007)246, са Корнел Универзитета, и с друге стране Руси Вадим Кузмин (Vadim A. Kuzmin) и Георгиј Затсепин (Georgiy T. Zatsepin)247 Парадокс је и назван по почетним словима њихових презимена. Теоријским израчунавањем дефинисан је горњи праг вредности енергије космичког зрачења удаљених извора од 5·1019 eV за ступање у интеракцију са фотонима позадинског микроталасног зрачења. Сам ГЗК парадокс је установљен мерењима почетком деведесетих година 20. века у: HiRes експерименту248 (1991. године) из Јуте, у САД, када је измерена енергија космичког зрачења у вредности 3·1020 eV – што је било преко ГЗК лимита; AGASA експерименту249 (1993. године) из опсерваторије Акено у Јапану, где је измерена енергија космичког зрачења у вредности 2·1020 eV – што је такође било преко ГЗК лимита; AUGER експерименту250 (1995. године); посматрања из EUSO-а251 и GLAST-а.252 Израчунавање горњег прага интеракције засновано је на специјалној теорији релативитета и физици честица. Ли Смолин (Lee Smolin) наглашава како је предвиђање у ГЗК парадоксу: "... први тест специјалне теорије релативитета према Планковој скали, оне скале на којој ми можемо уочити ефекте квантне теорије гравитације."253 Парадокс је заснован на лимиту за интеракцију између космичких зрака и фотона космичког позадинског микроталасног зрачења. Космички зраци са енергијом преко вредности лимита неће интереаговати са фотонима позадинског зрачења и неће бити пиона који су продукт те интеракције. Tо је разлог зашто су космички зраци са енергијом изнад тог прага невидљиви за евиденцију на Земљи. ГЗК парадокс је чињеница да су посматрачким мерењима евидентирани космички зраци са енергијама које су изнад ГЗК лимита (космички зраци са ултра-висoком енергијом). Постоји још увек нејасно неслагање између реалних резултата осматрања и усвојеног знања заснованог на СТР-у и теорији честица. Другачије, овај парадокс се може пронаћи и као Парадокс космичког зрачења и ГЗК предвиђање. ГЗК парадокс је заснован на разлици између теоријског становишта и резултата реалног експеримента. ГЗК парадокс је експериментални парадокс и настао је када су посматрањем добијени резултати који по теорији не би требало да су видљиви. Он је вероватно парадокс по претпоставци. Уколико су разлози установљене различитости толико дубоки да ће морати да се мењају основни парадигматични теоријски принципи објашњења феномена онда је парадокс парадигме. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и није мисаони експеримент већ реална чулна опсервација.

246 Greisen, K. (1966). p. 748-50. 247 Zetsepin G. T. & Kuzmin V. A. (1966). p. 78-80. 248 High Resolution Fly’s Eye Experiment. 249 AGASA (Akeno Giant Air Shower Array) експеримент су посматрања обављена у Јапану чији резултати се односе на вредности енергија изнад ГЗК лимита. 250 Из Pierre Auger опсерваторије. Они су се потрудили да потврде резултате AGASA експерименте, што им у већини случајева није успело и сматрају да су резултати AGASA експеримента представљени некоректно. 251 Extreme Universe Space Observatory. 252 Gamma-ray Large Area Space Teleskope. 253 Smolin, L. (2007). р. 220.


160

Разјашњење ГЗК парадокса ГЗК лимит је теоријски изведена граница реакције на којој резултати осматрања показују неслагање са теоријом. Постоји неколико претпоставки о разлозима успостављања ГЗК парадокса:

I. Добијени AGASA посматрачки резултати су последица грешке на мерном инструменту,

II. Није исправна интерпретација AGASA посматрачког експеримента, III. Космички зраци потичу из удаљених локалних извора чије је порекло прилично

нејасно, IV. Постоји могућност да тежи нуклеони могу превазићи ГЗК границу.

Не постоји дефинитивно решење ГЗК парадокса, и овај парадокс важи за један од актуелних проблема који астрофизичари и физичари треба тек да реше. 2. Зелигеров парадокс (Зелигер-Нојманов парадокс)

Према класичном статичном моделу свемира, звезде су у свемиру равномерно распоређене. С обзиром на равномерност распоређености звезда дедуктивно следи да се за гравитациони потенцијал добије неодређен израз. То значи да на свако тело у свемиру делује неодређени гравитациони потенцијал, односно неодређена гравитациона сила која потиче од осталих маса у свемиру којe су равномерно распоређене око њега.

Аустријанац и немачки астроном, витез Хуго Зелигер (Hugo Hans Ritter von Seeliger, 1849-1924) креатор је овог парадокса који по њему носи име. Парадокс се може пронаћи и као Зелигер-Нојманов парадокс, због Нојмановог доприноса на израчунавању потенцијала (данас познатијег као Јукавин потенцијал), али је парадокс формиран тек 1895. године. У 19. веку је био доминантан статичан класичан модел свемира, заснован на принципијелним основама хомогености и изотропности простора, и еуклидовској временској и просторној бесконачности. Хомогеност и изотропност простора разлог су гравитационе нестабилности свемира и успостављања Зелигеровог парадокса. До решења парадокса долази када се усвајањем релативистичке физике негира класичан модел свемира, изменом основних принципа на којима је он био заснован. Ово је према томе парадокс парадигме. Зелигеров парадокс је настао као последица теоријских разматрања која су довела до контрадикторности и стога је он теоријски парадокс. Парадокс је решен и он је експарадокс. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и стога је реална чулна опсервација. Разјашњење Зелигеровог парадокса Зелигеров парадокс је објашњен развојем Фридмановог модела свемира, у којем се одустаје од претпоставке да је материја у свемиру равномерно и статично распоређена. Потврда да се одустане од ове претпоставке иницирана је Хабловим открићем црвеног помака и развојем релативистичке физике.


161

3. Олберсов парадокс (Фотометријски парадокс)

На основама класичног модела свемира, статичног и бескрајног, по којем је свемир испуњен равномерно распоређеним звездама, сјај тих звезда треба да равномерно осветљава цео свемир. Познато је да је ноћно небо црно, а по класичном моделу не би смело да је мање сјајно од сјаја равномерно распоређених звезда.

Први који се јасно запитао над постојећом контраинтуитивном појавом био је Немац Јохан Кеплер (Friedrich Johannes Kepler, 1571-1630) 1610. године. Такође нејасна форма парадокса јавља се и када је Енглез Едмунд Халеј (Edmund Halley, 1656-1742) изнео чињеницу тамног неба као аргумент против стационарног свемира испуњеног бесконачним бројем звезда. Тек је немачки астроном Хајнрих Олберс (Heinrich Olbers, 1758-1840) 1823. године парадокс јасно формулисао254 и представио га научном мњењу. По њему је парадокс назван касније Олберсов парадокс, а познат је и као Парадокс црног ноћног неба. До парадокса долази услед очекивања (заснованог на класичном моделу свемира) да свемир треба да је једнако осветљен од звезда које га испуњавају. Сведоци смо да то није случај. Под претпоставком да је универзум бесконачан, звезде би требало да су свуда на небу и ноћно небо не би смело да буде тамно. Овај парадокс који је овде уврштен међу астрофизичке, с обзиром на комплексност астрономије, може да се класификује као термодинамички парадокс и као електродинамички парадокс. Парадокс је заснован на једном теоријском становишту и он је пример парадокса парадигме. Да би парадокс био решен било је неопходно изменити основне теоријске принципе, а у оквиру којих је Олберсов парадокс важио. Од памтивека је позната боја неба, гледано са земље, и показало се да теорија статичког хомогеног и бесконачног универзума није могла да објасни зашто боја неба није, како се према теорији очекивало увек светла, већ је оно ноћу тамно. Олберсов парадокс је теоријски парадокс настао у нескладу између очигледне чињенице и покушаја њеног објашњења. Ово је данас решен парадокс и зато је експарадокс. Овај парадокс потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена, и стога је реална чулна опсервација. Разјашњење Олберсовог парадокса Открићем црвеног помака 1868. године за које је заслужан енглески астроном Виљем Хагинс (William Huggins 1824-1910)255 постављене су основе нове теорије. Данас је јасно да свемир није статичан и бесконачан и да међузвездани простор није празан. Утврђено је да светлост са удаљених звезда доноси мање енергије посматрачу, уколико је галаксија или звезда удаљенија. Ово је решење парадокса са становишта нестационарног универзума. То умањење енергије настаје услед:

1. Апсорпције које врши међузвездана материја која још није дошла у стање термодинамичке равнотеже, јер када буде постигла стање термодинамичке равнотеже – емитована енергија међузвездане материје биће једнака апсорбованој.

254 1826. године га је реформулисао у нама познатом облику. 255 Он је открио постојање Доплервог ефекта на удаљене објекте у свемиру и назвао га Доплеров помак.


162

2. Удаљавањем галаксија, услед црвеног помака, посматрачи на Земљи примају мање енергије чиме се такође објашњава зашто је небо црно ноћу.

Још је Олберс понудио решење парадокса за модел бесконачног стационарног универзума. Ово решење сводило се на апсорпцију енергије звeзда од стране међузвездане материје, али се оно показало неадекватно услед полазног принципа бесконачности трајања свемира – по чему би термодинамичка равнотежа требало да је већ успостављена. Било је још покушаја да се парадокс реши у оквирима класичног стационарног модела попут хијерархијске структуре шведског астронома Карла Чарлиера (Carl Vilhelm Ludwig Charlier, 1862-1934) 1908. године или у данашње време Руса Косинова, Гарбарукова и Пољакова.256 Последња тројца не негирају нестационарност универзума, они само нуде решење проблема у стационарном бесконачном моделу. 4. Вилеров парадокс ентропије црне рупе

Према класичном моделу и општој теорији релативитета ништа не може да напусти црну рупу. Све што упадне у црну рупу, у њој ишчезава. Претпоставимо сложен физички систем који упада у црну рупу. Питање које се намеће јесте: Шта се дешава са укупном ентропијом црне рупе и шта се дeшава са укупном ентропијом изван црне рупе? Да ли се ентропија изван црне рупе смањује зато што део ентропије нестаје унутар црне рупе? Ако ентропија сложеног физичког система ишчезава нарушен је Други принцип термодинамике (S≥ 0).

Црна рупа је, према класичном концепту, објект чије је гравитационо поље довољно јако да ништа не може да га напусти.257 По наводима Џејкоба Бекенштајна (Jacob D. Bekenstein) он је за феномен нарушавања другог принципа термодинамике у систему црна рупа и универзум чуо од Џона Вилера 1971. године, што је касније определило и његов животни пут и стваралаштво. Вилеров парадокс ентропије црне рупе и Парадокс информације црне рупе су два блиско повезана парадокса настала у процесу развоја теоријског објашњења, у то време теоријског феномена црне рупе.258 Сам феномен црне рупе настао је као производ теорије гравитације, термодинамике и квантне теорије у процесу комплексног објашњавања астрофизичких феномена током 20. века. Вилеров парадокс или Парадокс ентропије црне рупе теоријски је парадокс настао у процесу формализовања једне теорије и стога може да се сврста под окриље групе транзициозних парадокса. Вилеров парадокс је конзистентно решен са теоријског становишта на претпостављеним принципима теорије и он је експарадокс. Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена. Обрађује се феномен који

256 Kosinov, N. V, Garbaruk, V. I. & Polyakov, D. V. (2003). 257 Идеју о могућности постајања астрономског тела с особинама црне рупе је поставио 1783. године Енглез Џон Мичел (John Michell, 1724-1793). Кум термина црна рупа је амерички физичар Џон Вилер (John Archibald Wheeler, 1911-2008) 1967. године (има текстова који указују да се то десило 1969). 258 Црна рупа још није била физички евидентирана, а и данас постоји само висок проценат поузданости да црне рупе постоје.


163

нема научну извесност, али је веома плаузабилан. Он је спекулативан и потиче од човеку мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. Разјашњење Вилеровог парадокса ентропије црне рупе Стивен Хокинг је 1971. теоријски доказао да се хоризонт догађаја црне рупе не може смањивати. Одговор на Вилерово питање даје Џејкоб Бекенштајн када формулише идеју да је величина подручја хоризонта догађаја квантитативна мера ентропије црне рупе. Материја упада у црну рупу, расте њен хоризонт догађаја, што онда значи да расте и ентропија црне рупе. Укупна ентропија система који сачињавају црна рупа и простор изван црне рупе у том случају се не смањује. 5. Парадокс информације из црне рупе

Падом материје у црну рупу расте њен хоризонт догађаја. Хоризонт догађаја је мера ентропије унутар црне рупе. Све што је ентропијско има температуру. Тело са температуром емитује зрачење. Емисијом се смањује маса црне рупе. Шта се дешава са информацијама које су нестале унутар црне рупе?

Овај парадокс је настао као резултат истраживања гравитационих ефеката на основама усвојених сазнања из домена квантне механике и опште теорије релативитета, и заснива се на становишту да информација не може бити уништена.259 Парадокс може да се посматра и као термодинамички јер се у њему дискутује о ентропији и информацији физичког система. По казивању Стивена Хокинга (Stephen Hawking)260 иницијација идеје o радијацији црне рупе настала је 1967. године када је Вернер Израел (Werner Israel) указао да Шварцвилдова метрика важи само приликом решавања посебног случаја црне рупе. Џејкоб Бекенштајн, 1972. године, доноси закључак да црна рупа одашиље радијацију,261 а годину дана касније Стивен Хокинг262 развија ту идеју, чиме су успостављени услови за настанак парадокса информације из црне рупе. Треба уочити да је парадокс информације проистекао из претходно установљеног парадокса, за то време необичне Бекенштајнове идеје да црна рупа зрачи (ако је црна рупа заиста црна она само апсорбује263) – што је био фантастичан помак у схватању феномена црне рупе, који се тек морао математички и физички уобличити и потврдити. Парадокс је теоријског карактера. Установљен је на теоријским основама квантне механике и ОТР-а у покушају да се објасни постојање једног феномена за који се није могло са извесном сигурношћу тврдити да физички постоји. Парадокс је заснован на претпоставци да нестанак информације настаје приликом измене физичког стања система (црне рупе) и стога може да се класификује као хијерархијски парадокс. Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена. Обрађиван је феномен за који се 259 С обзиром на принцип да су закони природе временски симетрични, уколико се обрне смер времена код одговарајућег догађаја неопходна информација ће бити обновљена. 260 Hawking, S. W. (2005). 261 Bekenstein, J. (1972). 262 Hawking, S. W. (1975). 263 Црна рупа се понаша другачије. Када се повећама њена маса (енергија) она се хлади.


164

није знало да има научну извесност, али је био веома плаузабилан. Идеја о црној рупи је тада била спекулативана и потицала је од мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. Он још увек нема експерименталну потврду али је у теоријском погледу решен, на јасно дефинисаним принципијелним становиштима, и стога је експарадокс. Установљен је на низу претпоставки које су се приликом формулације теорије показале као погрешне. Разјашњење Парадокса информације из црне рупе Решење парадокса потиче из математички идентификованог и усвојеног "чина" да се информација дезинтегрира у црној рупи, што је засновано на Хокинговом аргументу да су употребљене физичке теорије264 временски симетричне. Стивен Хокинг показује да принцип реверзибилности у микропроцесима не важи за црне рупе, зато што су оне феномен који не дозвољава да информација напусти хоризонт догађаја и на тај начин оне представљају "фудаментално нови извор иреверзибилности у природи".265 Математичком формализацијом коју је урадио Стивен Хокинг дефинисан је став који се супротставља једном од основних квантномеханичких принципа о неуништивости информације. 6. Едингтонов парадокс

"Ја не схватам како звезда која падне у компресовано стање, излази из њега ... Изгледа да ће звезда бити у некој неугодној тешкоћи када им опадне подршка од субатомске енергије"266

Парадокс је први обелоданио Енглез сер Артур Едингтон (Arthur Stanley Eddington, 1882-1944) 1926. године у својоj књизи Унутрашња конституција звезда267. Овај парадокс је у својој књизи јасније поставио његов земљак сер Ралф Фаулер (Ralph Howard Fowler, 1889-1944), исте 1926. године, у чланку "Густина материје"268 на следећи начин:

"Звездани материјал, у стању белог патуљка, зрачиће мање енергије него што ће зрачити иста количина материје коју нормални атоми зраче на температури апсолутне нуле. Ако се део материје одвади од звезде и престане притисак звезде, шта ће се десити?"269

У форми афоризма Едингтонов парадокс гласи: "Звезде требају енергију да се охладе."270 До решења парадокса сер Ралф Фаулер долази применом Фермијеве статистике и дегенерације електрона271 при чему сам даје одговор на питање које поставља, и стога је

264 ОТР, термодинамика, квантна теорија. 265 Susskind, L. (1997). 266 Преузето из: Chandrasekhar, S. (1983). 267 Eddington, A. S. (1926). 268 Fowler, R. H. (1926). 269 Преузето из: Chandrasekhar, S. (1983). 270 Преузето из: Chandrasekhar, S. (1983). 271 Први пут употребљени у овом контексту.


165

ово експарадокс. Едингтонов парадокс је теоријски парадокс настао у процесу решавања одређеног астрофизичког проблема код којег се применом другачијег математичког апарата долази до решења. Према усвојеној класификацији парадокс се може сврстати у групу хијерархијских парадокса јер се појављује приликом измене стања материје. Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена. Обрађује се феномен који се догађа физички далеко ван човековог физичког домашаја. Он је спекулативан и потиче од мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. Разјашњење Единтоновог парадокса Решење Едингтоновог парадокса по Фаулеру јесте да је електростатичка енергија по јединици запремине атома мања од кинетичке енергије кретања по јединици запремине слободних честица идеалног гаса. Тиме се добија неједнакост зависности притиска од густине која ће бити нарушена када је притисак довољно велики (као у случају белог патуљка). За очекивати да су електрони дегенерисани на температурама и густинама које владају на белим патуљцима. При густинама које су на белом патуљку укупна кинетичка енергија је већа од потенцијалне, што чини решење Едингтоновог парадокса. И како закључује и сам Фаулер: "Једина разлика између материје код белог патуљка и нормалних молекула је да молекули могу постојати у слободном стању док материја белог патиљка може постојати само под веома високим спољним притиском."272 7. Парадокс слабог младог Сунца

Некада је Сунце било мање запремине него данас. Површина Сунца је била мања па је зато Сунце емитовало мање светлости и топлоте. Изучавањем је уочено да је некада површина Земље била топлија него данас. Како је могло Сунце које је одашиљало мање енергије да више загреје Земљу?

Прва запажања, из којих ће проистећи парадокс, потичу од Карла Сагана (Carl Sagan, 1934-1996) и Џорџа Мулена (George Mullen) 1972. године. Опсервације су засноване на стандардном моделу Сунца помоћу којег се описује развој звезда типа Сунца. Пре 4,5 милијарди година Сунце је емитовало 70% мање енергије него данас и запремина му је била за око 15% мања. Под тим условима Земља би примала 30% мање енергије од Сунца. Према параметрима који су валидни данас на Земљи, она би требало да је била потпуно залеђена. Познато је да наша планета у време своје конфигурације није била залеђена већ топлија него данас. Парадокс слабог младог Сунца је решен парадокс и зато је он експарадокс. Приликом решавања парадокса, аргументовано је образложена претпоставка о атмосферским условима који су владали на Земљи у време формирања атмосфере и површинског слоја. Ти услови су били познати Сагану и Мулену, чиме је овај парадокс више трик питање и стога је сврстан у привидне парадоксе. Парадокс је последица теоријских спекулација о еволуцији Земље и он је теоријски парадокс. Овај парадокс не потиче од реалног, човеку чулно приступачног феномена. Обрађује се феномен који се догађао пре него што је човек 272 Преузето из: Chandrasekhar, S. (1983).


166

постојао. Он је спекулативан и потиче од човеку мисаоно формулисаног феномена. Овај парадокс је мисаони експеримент. Разјашњење Парадокса слабог младог Сунца Решење парадокса се проналази у саставу Земљине атмосфере. Некада се Земљина атмосфера састојала углавном од угљен-диоксида, метана и воде (слично је на Венери данас) чиме је стваран ефекат "стаклене баште" и површина Земље је била топлија него данас када је структура атмосфере знатно другачија па је тај ефекат мање изражен. 8. Парадокс топлотне смрти (Клаузијусов парадокс)273 Закључак За решавање астрофизичких парадокса неопходно је опште познавање физике и актуелних физичких теорија. Колико је познато оваква врста анализе у астрофизици није вршена. Већина парадокса у астрофизици је решено и припадају групи експарадокса. Једино се ГЗК парадокс не може сврстати под експарадокс зато што је теоријска претпоставка на којој су засновани експериментални резултати стављена на разматрање. Седам од осам наведених парадокса су теоријске природе (једино се за ГЗК парадокс може рећи да се експерименталним мерењем нарушило теријско очекивање). Свих седам парадокса настали су на темељу посматрања, при чему се очигледност виђеног не поклапа са теоријским претпоставкама на којима се заснива објашњење. До формирања парадокса у астрофизици је долазило на два начина: приликом објашњавања опсервираних астрофизичких појава и приликом развоја физичких теорија које су иницирале претпоставке о постојању одређених астрофизичких феномена. Одабрани парадокси у астрофизици класификовани су, и приметно је да нема парадокса који припадају групи парадокса идеализације, а да су сви остали класификациони типови парадокса присутни. Највише је парадокса парадигме (парадокси који су настали у оквирима модела класичног статичног универзума и који су решени када је усвојен Фридманов модел динамичког универзума) и хијерархијских парадокса (настали у процесима формализације теорија при чему постоји измена стања система). Четири од осам парадокса чулно су опсервабилни (ГЗК парадокс, Зелигеров парадокс, Олберсов парадокс и Клаузијусов парадокс) док су остала четири (Вилеров парадокс, Парадокс информације из црне рупе, Едингтонов парадокс и Парадокс слабог младог сунца) заснована на мисаоним спекулацијама које нису биле чулно утемељене. Литература

1. Bekenstein, J. B. (1972). Transcendece of the Law of Baryon-Number Conversation in Black-Hole Phyisic. Physical Review Letters, Vol 28, No. 7, p. 452-455.

2. Bekenstein, J. В. (1972). Black holes and the second law. Lett. Nuovo. Cim. 4, р. 737-740. 273 Стр. 112-113.


167

3. Bekenstein, J. B. (1973). Black Holes and Entropy. Physical Review D, Vol 3, No. 8, p. 2333-2346.

4. Bekenstein, J. B. (1980). Black-hole Thermodynamics. Physics Today, p. 24-31. 5. Buzatu, A. (2005). Black Hole Thermodynamics and Information Loss Paradox. e-print:

http://www.physics.mcgill.ca/~abuzatu/Documents/Information%20Loss%20Paradox.pdf 6. Chandrasekhar, S. (1963). The Case for Astronomy. Proceedings of the American

Philosophical Society 108, р. 1–6. 7. Chandrasekhar, S. (1983). On Stars, their evolution and their stability. Nobel lecture. 8. Cucić, D. (2006). Paradox in physics, the consistency of inconsistency. 6th International


9. Eddington, A. S. (1926). The Internal Constitution of Stars. Cambridge University Press, Cambridge.

10. Faulkner, D. R. (1980). The young faint Sun paradox and the age of the solar system. Impact (ICR), 300.

11. Fiola, T. M, Preskill, J, Strominger, A, Trivedi, S. P. (1924). Black Hole Thermodinamics and Information loss in two Dimensions. e-print: [hep-th/9403137]

12. Fowler, R. H. (1926). Mon. Not. Roy. Astr. Soc., 87, p. 114. 13. Greisen, K. (1966). End to the Cosmic-Ray Spectrum? Phys. Rev. Lett., 16 (17). p. 748-

50. 14. Hawking, S. W. (1975). Particle Creation by Black Holes. Commun. Math. Phys, 43. 15. Hawking, S. W. (2005). Information Loss in Black Holes. e-print: [hep-th/0507171] 16. Khrennikov, A. (2006). Contextualist viewpoint to Greenberger-Horne-Zeilinger paradox.

e-print: [quant-ph/0309065] 17. Koryukin, V. (2003). Gravitational Fields and Dark Matter. e-print: [gr-qc/0303047] 18. Kosinov, N. V, Garbaruk, V. I, Polyakov, D. V. (2003). Photometric Paradox and relict

radiation – two sides of one phenomenon? e-print: http://www.scribd.com/doc/2337352/photome

19. Lukács, B. (1992). On Heat Death in Past, Present or Future. Acta Climat. XXIV-XXVI, 5. 20. Myers, R. (1997). Pure states don’t wear black. e-print: [gr-qc/9705065] 21. Neumann, C. (1874) Ober die den Kraften Elektrodynamischen Ursprungs zu zuschreiben

den Elementargesetze. Abh. Math.–Phys. Kl. k. sächs. Ges. Wiss. (Lpz.) 10, р. 419-524. 22. Penrose, R. (2006). The Road to Reality (A Complete Guide to the Laws of the Universe).

Alfred A. Knopf, New York. 23. Preskill, J. (1992). Do Black Holes Destroy Information? e-print: [hep-th/9209058] 24. Preskill, J. (1994). Black holes and information: A crisis in quantum physics. e-print:

www.theory.caltech.edu/~preskill/talks/blackholes.pdf 25. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass:

Harvard University Press, Cambridge. 26. Rabinovitz, M. (2004). Black Hole Paradoxes. e-print: [astro-ph/0412101] 27. Rescher, N. (2001). Paradoxes: Their Roots, Range and Resolution. Open Court,

Chicago. 28. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 29. Seeliger, H. (1895). Ueber das Newton’sche Gravitationsgesetz. Astr. Nachr. 137, Issue 9.

р. 129-136. 30. Smolin, L. (2007). The Trouble with Physics. Mariner Books, New York.

http://www.physics.mcgill.ca/~abuzatu/Documents/Information%20Loss%20Paradox.pdf

http://www.scribd.com/doc/2337352/photome

http://www.theory.caltech.edu/~preskill/talks/blackholes.pdf


168

31. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the mind. OXFORD UNIVERSITY PRESS, Oxford.

32. Susskind, L. (1997). Black Holes and the Information Paradox. Scientific American. e-print: www.sciam.com

33. Zetsepin, G. T. & Kuzmin, V. A. (1966). Upper Limit of the Spectrum of Cosmic Rays. JTEP Letters, 4. р. 78-80.

34. http://en.wikipedia.org 35. ΘΕΩΡΙΑ, (1979). бр. 14, часопис филозофског друштва Србије, Београд. 36. СФИН, год.II бр.2, Гравитација и космологија (Зборник радова посвећен сећању на

Ђорђа Живановића), Институт за теоријску физику, Београд, (1989). 37. Миљковић, К. Олберсов парадокс - зашто је небо црно. e-print:

http://www.astronomija.co.yu/teorije/olbers/olbersovo.htm 38. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. ИНФОРМАТИКА, Београд.

http://www.sciam.com/

http://en.wikipedia.org/

http://www.astronomija.co.yu/teorije/olbers/olbersovo.htm

Дра

гољ

уб Ц

уцић

- П

арад

окси

у ф

изиц

и

16

9

Таб

елар

ни п

регл

ед п

арад

окса

у а

стро

физ

ици

Г

ЗК

пара

докс

Зе

лиге

ров

пара

докс

О

лбер

сов

пара

докс

В

илер

ов

пара

докс

Пар

адок

с ин

фор

мац

ије

из ц

рне

рупе

Еди

нгто

нов

пара

докс

П

арад

окс

слаб

ог

мла

дог

Сун

ца

Кла

узиј

усов

па

радо

кс

Тип

П

арад

окса

П

арад

окс

по

прет

пост

авци

П

арад

окс

пара

дигм

е П

арад

окс

пара

дигм

е Тр

анзи

цион

и П

арад

окс

Хиј

ерар

хијс

ки

пара

докс

Х

ијер

архи

јски

па

радо

кс

При

видн

и па

радо

кс

Пар

адок

с

пара

дигм

е Р

ешив

ост

Пар

адок

са

Нер

ешен

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а И

звор

П

арад

окса

Е

кспе

рим

ент

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Таб

ела

22


170

Д. Парадокси времена Парадокси времена су најстарији познати парадокси. Време је човеку одувек била изузетно интригантна појава. Људи су с временом у непосредном "додиру", и на њега не могу да утичу. Та "присутност" времена је код најранијих генерација цивилизованог размишљања изазвала реакцију. Тако су настали и први записани парадокси који се тичу времена, попут Зенонових парадокса. Парадокси времена су данас актуелни, можда, више него икад. Медији попут: ТВ-а, филма, часописа, интернета, уметничка литература (посебно СФ жанр) препуни су разних парадокса услед неуједначених ставова о феномену времена. Парадокси времена припадају разним областима људског мисаоног деловања: филозофији, логици, математици, физици, биологији, психологији. Овде су дефинисане три основне врсте парадокса времена: Зенонови парадокси, Парадокси путовања кроз време и Релативистички парадокси времена. Обрађена су још три парадокса који нису сврстани ни у једну од група. Анализа је представљена табеларно по наведеним групама. Укупно је анализирано 15 парадокса и сви су класификовани према дефинисаним критеријумима. Парадокси времена су посебна врста парадокса. Присутни су у свим научним и многим ненаучним областима, али оно што парадоксе времена чини посебним јесте њихова мултидисциплинарност. Вероватноћа настанка парадокса времена је велика зато што нема прецизне дефиниције времена, која би била општеважећа у свим дисциплинама људског деловања. Чињеница је да се изучавањем времена људи баве из перспектива свих постојећих научних области, и то ствара могућност нејасноћа из којих се стварају парадокси. Одабрани су парадокси времена из следећех области:

1. Класичне физике (Парадокс симетрије времена); 2. Модерне (релативистичке) физике (Парадокс близанаца, Парадокс астронаута ...,

Динглов парадокс); 3. Филозофије (Парадокси путовања кроз време, Парадокс светог Аугустина, Парадокс

неочекиваног испитивања, Парадокс "туриста" из будућности); 4. Математике (Зенонови парадокси).

Приметно је да се у подели разликују две области физике. Услед принципијелне разлике која постоји између те "две физике", а која се тиче схватања времена у њима. Парадокси настали услед тумачења бесконачности и континуитета временских интервала ће се разматрати као математички парадокси времена.

1. Зенонови парадокси (4 парадокса): − Парадокс Ахила − Парадокс дихотомије − Парадокс стреле − Парадокс стадиона

2. Парадокси путовања кроз време (5 парадокса): − Парадокс деде


171

− Парадокс човека који је сопствена мајка − Парадокс човека без прошлости − Парадокс билијара и времеплова − Парадокс "туриста" из будућности

3. Парадокс светог Аугустина 4. Парадокс симетрије времена 5. Парадокс неочекиваног испитивања 6. Релативистички парадокси времена (3 парадокса)

− Парадокс близанаца − Парадокс астронаута − Парадокс Андромеде

1. Зенонови парадокси274 2. Парадокси путовања кроз време Намера aутора тезe није била да се анализира реална остваривост путовања крoз време. Под претпоставком да је таква врста путовања остварива, настали су парадокси који оспоравају ту могућност. Парадокси путовања кроз време често су спомињани парадокси у литератури. Има их више, тако да се може дефинисати група парадокса који се односе на путовање кроз време. У ту групу парадокса сврстани су следећи парадокси:

а. Парадокс деде б. Парадокс човека који је сопствена мајка в. Парадокс човека без прошлости г. Парадокс билијара и времеплова д. Парадокс "туриста" из будућности

Да ли је време медиј кроз који се може кретати? Шта је "пропусно и протежно", тако да се кроз "то" може кретати? Различите су средине (ваздух, вода, свемир, метал…), кроз које се може кретати. Да ли је време "протежна средина"? Средина мора бити сама по себи дискретна (не може да буде недељива), да би се кретање, унутар средине, могло констатовати. У обрнутом случају кретање не постоји и све је Парменидово Једно, у којем нема разлике између прошлости, садашњости и будућности. Уколико се, под претпоставком, усвоји да је путовање кроз време могуће, то имплицира да време није Једно, да је сачињено од делова између којих се може путовати. Формално посматрано, није битно који су "делови времена" прошлост, садашњост или будућност. Да ли је једном прошлост увек прошлост, или једном прошлост може бити истовремено и садашњост и будућност? У том случају време је структуирано и протежно. Приликом уобичајеног схватања линеарног времена, при чему се између прошлости, садашњости и будућности прави јасна разлика, све што постоји је и "временска машина"

274 Образложење је на страни 39 до 43.


172

која "путује" кроз време. До проблемских ситуација долази уколико се, на неки начин, отпутује у прошлост. Различите су могућности како је путовање у прошлост оствариво. На пример, када се посматрач креће брзином која је већа од брзине информације. У том случају ће престићи информације о догађајима који су претходили његовом поласку. Проблем је што овакво путовање у прошлост има две веома битне потешкоће:

1. Кретање посматрача чији је интензитет брзине већи од брзине информације (читај светлости),

2. Непондерабилност информације из прошлости која је сустигнута и која открива посматрачу истинску историју догађаја (која је претходила његовом поласку, као када се посматра филм).

Интерпретације о могућности путовања кроз време, које потичу, првенствено, од Кип Торна (Kip Thorne) стварају могућност спекулације чија је директна последица Парадокс путовања кроз време. Савремено тумачење овог парадокса укључује квантномеханичко разматрање Еверет-Вилерове интерпретације, по којем у случају било какве интервенције евентуалног путника у времену, долази до гранања (бифуркације) догађаја. Тим ставом у физици се оправдава постојање бесконачно много универзума, који сви паралелно егзистирају, без могућности да се успостави комуникација између њих. Не може се тумачити исправност претпоставке да је могуће путовати у прошлост. Хипотетички ова могућност је реална и последице су прихватљиве само у домену спекулација. У структури Парадокса путовања кроз време примећује се кружна аргументација која се своди на апсурдну ситуацију по чему су препознатљиви само-референтни парадокси. Посебна подврста Парадокса путовања кроз време су парадокси који се могу пронаћи под називом парадокси предодређења, парадокси предестинације или узрочна петља275. Заједничко за ову подврсту је да се "временски путник" задеси у једном низу догађаја који предодређују његово путовање кроз време. Од одабраних парадокса то су: Парадокс човека без прошлости, Парадокс билијара и времеплова и Парадокс човека који је сопствена мајка276. Другу подврсту, за коју се може рећи и да је подскуп Парадокса предестинације, чине Онтолошки парадокси, који се могу пронаћи и под именом Бутстрап парадокс.277 Ова подела је прилично нејасно формулисана. Онтолошки парадокси су дефинисани као посебна врста Парадокса путовања кроз време у коме се формира онтолошко питање: Где, када и од кога је одређена информација била створена и потом раздељена приликом временског путовања? Парадокси предестинације настали су услед могућности да временски путник може утицати на свој пут, док онтолошки парадокси окупљају групу парадокса у којима се посебна пажња обраћа на саму могућност последица које временско путовање омогућава. Тражи се одговор на питање: Где долази до првог догађаја који ће 275 Causal loop ili causality loop. 276 Последњи парадокс је сложенија варијанта парадокса Сам себи прадеда: Неки човек је открио временску машину и вратио се у прошлост где ће да упозна сопствену прабабу. Она ће да затрудни са њим и родиће његовог деду. Редом ће доћи до његовог рођења када ће он опет морати да пронађе временску машину да би се вратио у прошлост и створио услов за сопствено рођење. 277 Према причи Роберта Хајнлајна By His Bootstraps. Бутстрап је петља на чизмама која служи за њихово обување.


173

условити све остале у кружном путовању кроз време, које описује парадокс? Примери су иста три наведена парадокса као код парадокса предестинације. Разматрањем наведених парадокса уочавамо да се путовањем у прошлост нарушава принцип каузалитета, чиме се отвара могућност да се последица деси пре узрока, у једном следу догађаја. Ова врста нарушавања је теоријски могућа у Геделовом моделу свемира278 и код временске машине Френка Триплера (Frank J. Tipler),279 о којима се овде неће даље расправљати. У физици Принцип самоконзистенције Новикова280 забрањује могућност постојања узрочне петље. Игор Новиков, 80-их година прошлог века, проналази решење за проблеме које доноси могућност да се путује кроз време. Вратити се у прошлост и утицати на феномен који је карика у ланцу дешавања која су довела до реализације, значило би негирати каузалитет. Негирати да сви претходни догађаји утичу на реализацију наредних догађаја, да постоји претходно и наредно, да постоји линеаран "неповредив" след догађаја. Одличан пример је дилема Игора Новикова која настаје услед цикличности: замислимо већу групу људи који ходају у круг, на пример, око наше планете. Ми можемо само за оне који су близу нас да кажемо да су испред или иза нас за оне који су удаљенији такав исказ нема смисла. Где је граница за раздвајање исказа? Зашто баш ту? По Новикову једнака је ситуација када се говори о временској петљи. У временској петљи не постоји прошлост и садашњост него след догађаја који доводи до понављања – као када се поквари ЦД (некада плоча) и све време се понавља иста музика. а. Парадокс деде

Претпоставимо постојање временске машине и особе која се помоћу те машине вратила у временски период када његов деда још није упознао његову бабу. Ако убије деду или бабу (може и обоје), шта ће се догодити са том особом?

Парадокс под именом Парадокс деде познат је и као Парадокс бабе, такође се може пронаћи и као Пого парадокс, према једној епизоди из серије Звездане стазе. Први који је осмислио овај парадокс, како се може пронаћи у Википедији,281 био је писац научне фантастике Рене Баржавел (René Barjavel, 1911-1985) у књизи Дрво будућег времена282, 1943. године. Такође, у вези са овим парадоксом, може се пронаћи у тексту Милана Ћирковића283 да је овај парадокс први осмислио 1917. године, амерички физичар и космолог Ричард Чејс Толмен (Richard Chace Tolman, 1881-1948), па се он назива и Толменов парадокс. Парадокс се бави могућношћу до које би могло доћи у случају изводивости путовања кроз време. Овај парадокс се разликује од парадокса предодређења зато што долази до "кидања континуитета", зато што убица убија деду и тиме онемогућава сопствени настанак.

278 Gödel, K. (1949). 279 Tipler, F. J. (1974). 280 Закони физике у универзуму важе уколико су локални догађаји самоконзистентни са глобалним догађајима. 281 Интернет енциклопедија. 282 Le Voyageur Imprudent. 283 Ćirković, M. M. Vremensko putovanje: teorija i praksa.


174

Парадокс деде је мисаона спекулација заснована на претпоставци да је путовање у прошлост могуће. Ова врста парадокса је у домену теорије и представља мисаони експеримент. Због начина како је заснован ово је парадокс по претпоставци. Разјашњење Парадокса деде Нема решења Парадокса деде зато што је он спекулација на тему: Шта би било кад би било. Као прво, сама могућност пондерабилног путовања у прошлост није могућа ни теоријски. Као друго, ако се узме да је такво путовање могуће можда би решење било мултидимензиалност универзума, и чин убиства би изазвао нестанак посматрача. б. Парадокс човека који је сопствена мајка

Џејн је живела у сиротишту и била нахоче. Као тинејџер Џејн се заљубила у једног бармена, који је напустио оставивши је трудну. Она је родила ћерку коју је неко мистериозно киднаповао. При порођају Џејн је врло крварила и доктор је тада открио да има оба полна органа. Да би јој сачувао живот обавио је операцију и направио је да буде мушко. Када је изашао из болнице променио је име у Џим и помоћу временске машине се вратио у прошлост. Запослио се као бармен у једном кафићу. После неког времена упознао је једну тинејџерку коју је оставио након што је затруднела. Киднаповао јој дете после порађаја и заједно са дететом се временском машином вратио мало у прошлост. Дете је оставио у сиротишту.

Парадокс потиче од Роберта Хајнлајна (Robert Anson Heinlein, 1907-1988) из његове кратке приче Сви ви зомбији из 1959. године. Ради се о парадоксу и СФ жанру, главни лик је девојка Џејн, која као временски путник, постаје себи и отац и мајка, али и дете, пријатељ и љубавник. Парадокс човека који је сопствена мајка једна је компликованија варијанта Парадокса деде. У овом парадоксу нема убиства али има инцеста, са самим собом, и једне тешко прихватљиве вероватноће, чак и да је могуће пондерабилно путовање у прошлост. Основна претпоставка је следећа: Путовање у прошлост је могуће. Зато је ово парадокс по претпоставци. Цела спекулација је мисаона творевина претворена у причу и може се посматрати као мисаони експеримент на тему: Шта би било кад би било. Просто је невероватно да ће парадокс икада имати реалну физичку интерпретацију (немогуће је да ће изаћи изван оквира теорије). Разјашњење Парадокса човека који је сопствена мајка Решење парадокса, како га је интерпретирао Хајнлајн, не постоји. Он обесмишљава сваку помисао да је могуће да се успостави било какав поредак. Носећа идеја у овом парадоксу је: Све је могуће! Чак и да постоји пондерабилна могућност реализације наведеног заплета није познато да хемофродит може имати дете са самим собом.


175

в. Парадокс човека без прошлости

Млад проналазач је радио на изградњи временске машине у својој гаражи. Изненада се појавио старији човек и открио му је тајну како да је направи. Младић је постао богат захваљујући клађењу, јер је био у могућности да сазна резултате свих спортских догађаја пре него што су се десили. Као старији човек одлучио је да се врати у прошлост и саопшти себи, као младићу, тајну о изградњи временске машине.

Као и претходни парадокси путовања кроз време и Парадокс човека без прошлости заснован је на претпоставци да је путовање кроз време могуће и зато је ово парадокс по претпоставци. Није реализован другачије осим мисаоно и он је мисаони експеримент који ставља на пробу исправност једне теоријске концепције, па се може сматрати теоријским парадоксом. Разјашњење Парадокса човека без прошлости Парадокс човека без прошлости има кружност у аргументацији која доводи до апсурдности и он је, попут претходна два парадокса, само-референтан. Могући догађај код овог парадокса је знатно прихватљивији. Није неопходан сусрет прве врсте са самим собом. Он сам себи може оставити један облик поруке, што је знатно прихватљивије него да постоји било какав облик телесног контакта. г. Парадокс билијара и времеплова

Инсталира се времеплов на билијарском столу, тако да након што се таком удари билијарска кугла, времепловом се пошаље мало у "прошлост" усмерена да из времеплова изађе тако да удари саму себе под неким углом, одмах након што је таком ударена, а пре него што је времепловом дислоцирана. На тај начин кугла саму себе скреће са путање, куда је ударац таком упутио.

У Парадоксу билијара и времеплова временски путник је билијарска кугла, а не човек, и то овај парадокс разликује од претходно наведених парадокса. Све остало им је заједничко. С обзиром на то да се полази од претпоставке да је путовање кроз време могуће, ово је парадокс по претпоставци. Парадокс је реализован само мисаоно и има све карактеристике експеримента тако да је он теоријске природе и мисаони експеримент. Разјашњење Парадокса билијара и времеплова Код овог парадокса, као код првог и другог парадокса путовања кроз време, постоји сусрет прве врсте – билијарска кугла се судара са самом собом. Решења нема јер није познато да је путовање у прошлост могуће, као што нису познате ни последице евентуалне остваривости такве могућности.


176

д. Парадокс "туриста" из будућности

Како је могуће, уколико је путовање кроз време могуће, да још нико није приметио ниједног "туристу" који нас је посетио из будућности?

Парадокс потиче од Стивена Хокинга (Stephen Hawking) када је 1990. године формулисао скептичан став према могућности постојања временске машине. Он се овим парадоксом супротставио ставу Кипа Торна и његових присталица, који су извели теоријски доказ да је могуће путовање кроз време. Парадокс се тиче претпоставке да је путовање у прошлост могуће и припада скупини Парадокса путовања кроз време. Парадокс је формулисан у форми питања на које се тражи одговор. Овај парадокс је по структури веома сличан Фермијевом парадоксу, с тим што Енрико Ферми (Enrico Fermi, 1901-1954) исто питање поставља за посете ванземаљаца.284 Парадокс је истовремено питање и анализа питања. Парадокс је теоријске природе зато што није могуће да се физички реализује (не зна се да је било ко направио временску машину помоћу које је било могуће пребацити човека у "неко друго време"). Чулна опсервација доказује да нема путника из "неког другог времена", али она може бити лажна јер постоји могућност да "путници" не желе да буду виђени. Парадокс "туриста" из будућности је парадокс по претпоставци зато што претпоставља да је могуће начинити временску машину. Разјашњење Парадокса "туриста" из будућности Амос Ори (Amos Ori) се супроставио Хокинговом питању-аргументу питањем: Како је Хокинг сигуран, или како било ко други може бити сигуран да "туристи" из будућности нису правили посете? Хокинг се касније одрекао става, да су "туристи" морали бити примећени, јер не постоји одговарајући начин да се докаже да нема туриста који долазе из будућности. То што се нису пријавили "рецепционару" не значи да "туристи" нису допутовали. Њихова је моћ, уколико су пронашли начин да допутују у прошлост, да се не озваниче као присутни (технолошка зрелост прављења временске машине намеће мисао о менталној супериорности "путника" која може да их из неких, њима знаних разлога, сачува скривене за нас). Постоје многи коментари који теже да дају смислено објашњење парадокса, али истинског решења нема, а биће га када физика донесе коначан суд, да ли је путовање кроз време могуће. 3. Парадокс светог Аугустина

Прошлост не постоји, јер је више нема, будућност не постоји, јер се још није десила, садашњост је без трајања, што значи да ни она не постоји. Ако не постоји ни прошлост, ни садашњост, ни будућност, питање је: шта се онда мери, и на који начин?

284 Уколико је било посетилаца из свемира, како то онда да их нисмо видели?


177

Парадокс је настао 400. године објављивањем књиге Исповести, у којој (у једанаестој глави) св. Аугустин Аурелије Хипонски (Aurelii Augustini, 354-430) на један онтолошко-теолошки начин разматра феноменом времена. Овај парадокс се тиче мерења времена, при чему св. Аугустин поставља питање и размишља о феномену времена. Св. Аугустин уочава да се кретање мери временом, али и да се само време мери временом.285 Кретање није време, или бар интуитивно, субјект прави разлику између појаве кретања и времена. У чему је онда разлика између њих, ако се и прво и друго мери истим – временом? Зашто баш временом? Иако св. Аугустин није физичар, нити је физика за његовог живота била формулисана из природне филозофије, он поставља питања физичарског карактера. Св. Аугустин размишља о мерењу као физичком чину. Он своје парадоксално питање заснива на чињеницама да се време мери, и да је чин мерења важан чинилац у процесу сазнања. Парадокс је мисаоног карактера, али се не би могао назвати мисаоним експериментом јер у себи не садржи експерименталне карактеристике.286 Ово је парадокс који настаје приликом покушаја формулације човеку чулно приступачног објективног физичког феномена. Време је део свакодневног искуства, али је на овај начин представљена мисаона опсервација ипак софистичког и теоријског карактера. Парадокс у себи садржи елементе и привидног и транзиционог парадокса, јер је јасно да се време мери (постоје часовници), али је уједно Парадокс светог Аугустина и парадокс инспиративног карактера чија је тежња да се идеја о времену боље формулише у један јаснији и конзистентни систем. С обзиром на то да не постоји дефинитиван став о феномену времена и да су дискусије о времену и данас веома актуелне, парадокс ће се посматрати као транзициони парадокс. Разјашњење Парадокса светог Аугустина Свети Аугустин наводи да се може мерити само садашње време (иако то време по њему нема трајање, што значи да нема протежност). Он сматра да се не могу мерити ни прошло ни будуће време, јер не постоје (једно – више није, а друго – још није).287 Намеће се питање: Чиме се може мерити нешто што нема протежност? Оно што има протежност је временски интервал, и закључује да оно што може да се мери јесу временски интервали, који се мере методом поређења – са часовником. Значи, поређењем се одређује који је временски интервал дужи, а који краћи. Зато што имају карактеристику протежности, временски интервали су упоредиви. Протежност временског интервала назива се трајање. Свети Аугустин каже за трајање да је оно: "мноштво узастопних кретања која се не одвијају у исти мах."288 Мери се само оно време које "пролази" – оно се опажа јер је трајуће (протежно). Када прође, по св. Аугустину, време је немерљиво.289 Кад овако каже за време св Аугустин мисли на временске интервале, јер мерљиви су интервали времена а само време је немерљиво. Шта је онда време? Шта је онда то што је принципијелно немерљиво, али је и оно што га управо чини мерљивим?

285 Књига XI, глава 26 (33) 286 Cucić, D. (1998). 287 Књигa XI, глава 15 288 Књигa XI, (13) 289 Књига XI, глава 16


178

У садашњости се уочавају мерљиви трагови (очитавање часовника). Субјекти, увек живе и делују у садашњости. Садашњост је субјективно трајно стање у којем егзистира променљивост. Прошлост је такође субјективног карактера и зависи од способости сећања. У физици садашњост нема посебног значаја, опсервација догађаја у функцији је положаја и брзине информације. На тај начин сваки физички догађај може бити образложен. Уколико је догађај физички реалан он може објективно бити истовремено и прошлост и садашњост и будућност. Са тог становишта Парадокс светог Аугустина губи смисао. Није пронађено да се неки аутор на овај начин бавио анализом Парадокса светог Аугустина, а парадокса је анализиран много пута. Литература указује на чињеницу да се крајњи ставови, настали услед анализе парадокса, знатно разликују. Због наведеног овај парадокс се сматра експарадоксом. 4. Парадокс симетрије времена

Зашто је смер времена асиметричан у реалном свету искуства, када је у класичној физици време дефинисано као инваријантна физичка величина? Зашто је време у физици симетрично, а у природи није?

Парадокс симетрије времена је питање слично питању које се поставља код Болцмановог парадокса. Лудвиг Болцман (Ludwig Eduard Boltzmann, 1844-1906) коментарисао је иреверзибилност процеса у физичком свету искуства (макросвету) у којем се асиметричности догађаја мере временом. Парадокс је теоријске природе, јер свакодневно искуство упућује на једносмереност времена, али тек прецизном теоријском анализом и терминолошком прецизношћу долази се до разјашњења. Не постоји лабораторијски експеримент, осим дуготрајног посматрања, који би потврдио или оспорио уочено понашање природе. Парадокс потиче од реалног и човеку чулно приступачног искуства и зато није мисаони експеримент. Чулна је опсервација да се разбијено неће само од себе поново саставити. Наше искуство, перцепција света у којем живимо, указује нам на чињеницу о асиметричности времена. У овом случају ово је парадокс измене парадигми до којег долази услед коришћења концепцијски различитих модела мишљења, који постоје у микро и макро свету. Разјашњење Парадокса симетрије времена Време је у физици инваријантна физичка величина. На тој инваријантности заснивају се сви закони физике и симетрија времена је један од фундаменталних принципа у физици, попут: принципа најмањег дејства, принципа инерције или принципа одржања енергије. Физички принципи и закони не зависе од смера времена, да ли је смер времена ка будућности или прошлости. Парадокс је да нико нема искуство да стари у смеру прошлости. Сва трајања људских живота су усмерена од младости ка старости – од прошлости ка будућности. Искуство указује да се оно што се догодило не може поново догодити. Догађај је "необртив" и једносмеран, а не време. Помоћу времена се догађај опсервира и мери се његова усмереност. Субјективан је осећај да постоји смер времена. Парадокс симетрије времена попут Болцмановог парадокса није решен.


179

5. Парадокс неочекиваног испитивања

Један средњошколски професор најавио је ученицима да ће их у току следеће недеље испитивати градиво и да не жели да најави који ће то дан бити. Ученици су размишљали на следећи начин: То не може да буде петак. Ако испитивања није било до четвртка увече, биће у петак, и то онда није неочекивано. То не може бити ни четвртак. Ако испитивања није било до среде увече, биће у петак или четвртак, а онда то није неочекивано, јер за петак је већ објашњено зашто није неочекивано. Значи ако буде у четвртак и то није неочекивано. То не може бити среда. Ако испитивања није било до уторка увече, биће у среду, а онда то није неочекивано, јер што се тиче четвртка и петка то нам је већ јасно зашто испитивања неће бити. На исти начин су размишљали зашто испитивање не може да буде у уторак и понедељак. Тако размишљајући, ученици су закључили да професор не може да обави неочекивано испитавање наредне недеље.

Парадокс је познат и као Парадокс предвиђања или Парадокс неочекиваног вешања. Код Парадокса неочекиваног вешања професор је џелат а ученици су осуђеник и парадокс се развија на једнак начин. Прадокс први спомиње Данијел О Конор (Daniel John O'Connor) у раду Прагматични парадокси, објављеном у Mind-у 1948. године.290 Мајкл Скривен (Michael Scriven ) 1951. године образлаже парадокс у облику како је он данас познат.291 Искуствено је познато да, када професор најави испитивање не може се знати ког дана ће оно бити. Очигледно је да нешто није како треба и да размишљање ученика треба преиспитати. Искуство се не поклапа са расуђивањем ученика. Време у Парадоксу неочекиваног испитивања је посредни чинилац, зато што је поредак дана у недељи једног смера док је поредак доношења закључака ученика у супротном смеру. Ово је софизам који наводи на лажни закључак. Врло је лако реализовати догађај попут наведеног и показати да ученици нису добро размишљали. Искуство би било у несагласности са претпостављеним размишљањем ученика због њиховог лошег закључивања. Ово није парадокс из физике у којем се обрађује феномен времена. Он указује на чињеницу да реверзибилни облик анализе догађаја није у сагласности са чињеницом да је време у једначинама физике реверзибилно. Парадокс је класификован као теоријски парадокс, јер садржи, као да је варијација Болцмановог парадокса, тежњу да покаже како поредак приликом закључивања у макроскоспској природи није реверзибилан у односу на догађај. Да се поредак приликом закључивања у макросвету мора подударати са смером времена – поретком догађања. Ово је мисаони експеримет попут Парадокса Шредингерове мачке – у смислу да је лако реализовати реални експеримент, али смисао није у чину реализације него у мисаоном концепту. Парадокс је привидан због софизма који је смишљен да укаже на важност развоја поретка догађаја. Пошто је парадокс решен он је експарадокс.

290 O'Connor, D. J. (1948). 291 Scriven, M. (1951).


180

Разјашњење Парадокса неочекиваног испитивања Мајкл Кларк (Michael Clark) анализира парадокс и представља га као пример индукционог доказа унатраг. Заводљивост анализе Парадокса неочекиваног испитивања заснива се на аргументацији која се одвија у супротном смеру од реалног временског следа догађања. У примеру, у којем је време класично иреверзибилно, догађаји се не могу обрнути, да се дешавају од петка ка понедељку, изводи се дедуктиван доказ придржавајући се управо тог обрнутог нереалног смера који имплицира и нереалан закључак. Према Сеинсбуријевом ставу структура овог парадокса је свођење на апсурд (reductio ad absurdum), где ученици полазе од претпоставке да професор говори истину, да би затим дедуктивно анлизирајући његов исказ, дошли до контрадикције, која им дозвољава да исказ професора буде одбачен као лажан. 6. Релативистички парадокси времена. а. Парадокс близанаца (Сатни парадокс)292 б. Парадокс астронаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде293 в. Парадокс Андромеде294 Закључак Рађање, пролазност и смрт чине време другачијим и интригантнијим од других феномена присутних у људском животу. Овде је разматран само један аспект времена – парадокси. Феномен времена је људима прилично збуњујући и за многе још увек недовољно објашњен и дефинисан. У овом одељку су дотакнута најконтрадикторнија запажања која се тичу времена. Према дефинисаним критеријумима класификоване су карактеристике парадокса времена како би се добио јаснији преглед. Парадокси су класификовани у четири групе: Зенонови парадокси, Парадокси путовања кроз време, Релативистички парадокси времена и преостали парадокси. Приликом анализе Зенонових парадокса уочљива је једнака структура по којој су парадокси изграђени, што потврђује да их је, највероватније, осмислио исти човек, и да парадокси представљају варијације једног начина мишљења. Сва четири парадокса су парадокси по претпоставци при чему се реална физичка ситуција кретања решава математички апстрактно, засновано на "питагорејском плурализму", с намером да се он обесмисли. Парадокси су теоријске природе, мисаони експерименти, и решени су. Парадокси путовања кроз време су, можда, најинтригантнији парадокси данашњице. Они окупирају пажњу научника, писаца, режисера и ствараоца уопште. Наведени су само познатији парадокси, али оно што је препознатљиво приликом њихове анализе јесте, као код Зенонових парадокса, једнака структура на којој су изграђени. Они не потичу од једне

292 Образложење је на страни 136-137. 293 Образложење је на страни 137-138. 294 Образложење је на страни 139-140.


181

особе, али су засновани на истој претпоставци, могло би се рећи тежњи, и релативно кратком временском периоду у којем су сви настали. Разликује се само Парадокс "туриста" из будућности који је формиран на реалном искуству. Релативистички парадокси времена су настали као последица дилатације времена. Мада Парадокс Андромеде није заснован на дилатацији времена по структури је исти као и остала два парадокса. Заједничко за сва три парадокса је то да је принцип истовремености функционалан на релативистичким основама. Преостала три парадокса су прилично различита по структури и представљају софистицирани облик филозофског мишљења. Сама чињеница да се време посматра са једног неодређеног филозофског становишта довољан је разлог за различитост структуре парадокса. Литература

1. Aristotel, (1987). Fizika. SNL, Zagreb. 2. Augustin, A. (1973). Ispovijesti. Kršćanska sadašnjost, Zagreb. 3. Barbour, J. (2000). The End of Time: The Next Revolution in Our Understanding of the

Universe. A Phoenix Paperback, London. 4. Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge, London. 5. Cramer, J. G. (1988). Velocity Reversal and the Arrows of Time. Foundations of Physics

18, p. 1205. 6. Cucić, D. (2006). On the Justifiability of Establishing a Science of Time. 6th International

Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-004, Book of Abstracts p. 1196). e-print: http://www.chronos.msu.ru/


8. Foschini, L. (1999). Questions on the Concept of time. e-print: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9901013

9. Franck, G. (1985). Time, Actuality, Novelty and History. e-print: http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/Franck_2001a_zeit_e.pdf

10. Franck, G. (1994). Physical Time and Intrinsic Temporality. e-print: http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/GF_1994a.pdf

11. Gardner, M. (1969). The Unexpected Hanging and other Mathematical Diversions. The University of Chicago Press, Chicago and London.

12. Hawking, S. (1988). Kratka povjest vremena. Otokar Keršovani, Opatija. 13. Hawking, S. (1999). Space and Time Wraps. Public Lectures. e-print:

http://www.scribd.com/doc/7388/Stephen-Hawking-Space-and-Time-Warps 14. Gödel, K. (1949). An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s

field equations of Gravitation. Reviews of Modern Physics, vol. 21, July, p. 447-450. 15. Kaku, M. (2003). Is Time travel Possible? e-print:

http://www.pbs.org/wnet/hawking/mysteries/html/bioUnskaku1-1.html 16. Kitada, H. http://www.kitada.kom/ 17. Kozyrev, A. (1967). Possibility of Experimental Study of the Properties of Time.

Unpublished article. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

http://www.chronos.msu.ru/

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9901013


http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/Franck_2001a_zeit_e.pdf

http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/GF_1994a.pdf

http://www.scribd.com/doc/7388/Stephen-Hawking-Space-and-Time-Warps

http://www.pbs.org/wnet/hawking/mysteries/html/bioUnskaku1-1.html

http://www.kitada.kom/



182

18. Levich, P. (1995). Motivations and Problems of Studying Time. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

19. Levich, P. (2003). Paradigmas of Natural Science and Substantial Temporology. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

20. Nоvikov, I. (1999). Notion of the Past & Can We Change It? e-print: http://www.iap.fr/eas/EAS18/time18/ontime.html

21. O'Connor, D. J. (1948). Pragmatic Paradoxes. Mind 57, р. 358–359. 22. Putnam, H. (1967). Time and Physical Geometry. Journal of Philosophy, 64, p. 240-247. 23. Reihenbach, H. (1958). The philosophy of Space & Time. Dover publications, New York. 24. Rietdijk, C. W. (1966). A Rigorous Proof of Determinism Derived from the Special

Theory of Relativity. Phiosophy of Science, 33, p. 341-344. 25. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 26. Schneider, J. (1997). Time and the Mind Body Problem: A Quantum perspective.

Presented at Meeting on Psychoanalysis and Physics, New York, Dec 1996. e-print: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9707056

27. Scriven, M. (1951). Paradoxical Announcements. Mind 60, р. 403–407. 28. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxford University Press, Oxford. 29. Thorne, K. S. (1968). Gravitational Radiation Damping. Physical Review Letters 21, p.

320-323. 30. Tipler, F. J. (1974). Rotating Cylinders and the Possibility of Global Causality Violations.

Physical Review D, Vol. 9, No.8, p. 2203-2220. 31. Witrow, G. J. (1985). Šta je vreme? Prosveta, Beograd. 32. Witrow, G. J. (1993). Vreme kroz istoriju. SKZ, Beograd. 33. Арсенијевић, М. (1986). Простор, време, Зенон. БиблиотекаТека ФИЛОЗОФСКЕ

СТУДИЈЕ, Београд-Загреб. 34. Арсенијевић, М. (2003). Време и времена. Дерета, Београд. 35. Коплстон, Ф. (1988). Историја филозофије (Грчка и Рим). БИГЗ, Београд. 36. Млађеновић, М. (1986). Развој физике (механика и гравирација). ИРО "Грађевинска

књига", Београд 37. Окуњ, Л. Б. (1992). Физика елементарних честица. Фонд "инг. Петра и Соње

Суботић", Београд. 38. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум, Информатика, Београд. 39. Простор и време данас (текстови приређени у сарадњи са Жилом Миноом), (1987).

Нолит, Београд. 40. Свети Августин, (1989). Исповести. Графос, Београд. 41. Цуцић, Д. (2009). Свети Аугустин и утемељење једне парадигме. НАУКА-

РЕЛИГИЈА-ОБРАЗОВАЊЕ – Монографија, Учитељски факултет Универзитета у Београду, Вол. 21, Београд, стр. 115-125.

42. Цуцић, Д. (1998). Фиктивни експеримент у физици. Флогистон бр. 8 (часопис за историју наука), Музеј науке и технике, стр. 91-137, Београд.

43. Ћирковић, М. М. (2009). Aртефакт за свемирско путовање. Хеликс, Смедерево.



http://www.iap.fr/eas/EAS18/time18/ontime.html



183

Табеле Зенонови парадокси

Парадокс Ахила

Парадокс дихотомије

Парадокс стреле

Парадокс стадиона









Теорија Теорија Теорија Теорија






Табела 23 Парадокси путовања кроз време

Парадокс деде Парадокс човека који је сопствена

мајка

Парадокс човека без прошлости

Парадокс билијара и времеплова

Парадокс "туриста" из будућности








Нема решења






Теорија Теорија Теорија Теорија Теорија







Табела 24 Релативистички парадокси времена

Парадокс близанаца

Парадокс астронаута

Парадокс Андромеде






Експарадокс Експарадокс Експарадокс


Теорија Теорија Теорија





Табела 25


184

Табеларни преглед карактеристика преосталих парадокса времена

Парадокс светог Аугустина

Парадокс симетрије времена

Парадокс неочекиваног испитивања






Експарадокс Нема решења Експарадокс


Теорија Теорија Теорија





Табела 26


185


186

ЗАКЉУЧАК


187


188

У тези је остварен циљ постављен на почетку рада. Епистемолошки значај парадокса у физици био је познат и раније али је био недовољно јасно обрађен. Темама које су обухваћене у тези нико се није експлицитно бавио. Обрадом великог броја примера значај постојања парадокса у физици материјално је поткрепљен на начин који омогућава да се карактеризација свих одабраних парадокса сагледа на једном месту. Утврђена је структура парадокса у физици и дефинисано више врста класификација. На основама утврђене структуре парадокса направљена је и оргинална класификација. У раду је обрађен већи број познатих парадокса (тачно 51), и на том релативно великом броју примера уочене су правилности по којима су парадокси груписани. На почетку је направљен списак од око 80 парадокса, али нису сви уврштени у рад јер би у том случају теза била преопширна. Прво су биле дефинисане области физике (класична, релативистичка и квантна физика). На тај начин извршена је прва класификација парадокса у физици. Колико је познато, таква класификација парадокса у физици није до сада постојала. Према тој подели написана су и поглавља у тези. Парадокси класичне физике разматрани су са становишта њене три подобласти: механике, термодинамике и статистичке физике и електромагнетизма. Подела је могла бити и селективнија, да су, на пример, посматрани парадокси у оквирима класичне механике подељени на парадоксе: кинематике, динамике и статике. Парадокси механике флуида могли су бити разматрани са становишта парадокса статике и динамике флуида. Ово није учињено зато што би то значило проширење и онако већ прилично опширне тезе. Тези су посебно придодати парадокси времена и парадокси астрофизике. То је учињено зато што су парадокси времена и парадокси астрофизике нераздвојиво повезани са физиком. Време је феномен којим се баве скоро све научне дисциплине и области уметности и неодвојив је од физике. Астрофизика је, како и сам назив каже, физика која се бави астрономским феноменима. Сваки парадокс је третиран са четири основна становишта. До дефинисања тих становишта дошло се дуготрајном анализом, с намером да се установе заједнички чиниоци за парадоксе из различитих области физике, формиране у различитим периодима њеног развоја. Парадокси су понекад последица теоријских очекивања и спекулација, а понекад су резултат реалног физичког експеримента. Укупно је 43 парадокса класификовано да су настали услед теоријских спекулација, док је за 8 парадокса утврђено да потичу од изведеног физичког експеримента. Много чешће се парадокси утврђују пре него што дође до реализације експеримента помоћу којих се проверава теоријска поставка. Ова подела је била дискутабилна. Сви парадокси у физици настали су зато што није постојало одговарајуће објашњење које би задовољило критички принцип мњења физичара. Та објашњења понекад остају у оквирима теоријских спекулација – нема експерименталне потврде (пр. Лоренц-Фицџералдова контракција дужине). Понекад експериментални резултат негира теоријску претпоставку (пр. Радерфордов експеримент). Понекад нема смисла ни реализовати експеримент зато што је теоријска премиса заснована на парадигматичним принципима који не изискују пондерабилну проверу (пр. Шредингерова мачка). Основни класификациони принцип, у овом случају, био је начин на који је парадокс опсервабилан. Критеријум дељивости био је да: ако је парадокс само теоријски опсервабилан онда је то теоријски парадокс, а ако настаје услед експерименталних чињеница онда је експерименталан парадокс. Када се приликом мерења добију неочекивани резултати, попут ГЗК парадокса, парадокс је настао услед мерења које је оповргло теоријска очекивања. Овај парадокс је сврстан у парадокс експерименталног типа зато што је откривен захваљујући мерењу у реалном експерименту пондерабилних


189

чињеница, иако је последица нетачног теоријског објашњења. Приликом сврставања парадокса приоритет је био начин како је парадокс формиран. Да није тако чињено сваки парадокс би био теоријског типа зато што не постоји одговарајућа теорија која може да објасни разлог успостављања парадокса. Уочено је да су парадокси често мисаони експерименти. Ова идеја је праћена још од магистарског рада Фиктивни експерименти у физици, одбрањеног 2001. године, а у дисертацији је потпуно развијена и посвећено јој је цело поглавље. Постоје парадокси који могу бити чулно опсервабилни и постоје парадокси који се могу само мисаоно опсервирати. Ово, на први поглед, наличи подели на теоријске и експерименталне парадоксе, али не ради се о истој подели и треба направити јасну разлику! Сви експериментални парадокси јесу чулни, али сви чулни парадокси нису експериментални. Постоје парадокси у физици за које не треба реализација реалног физичког експеримента а чулног су карактера. На пример Клаузијусов парадокс је парадокс који се чулно опсервира и који није експерименталног типа. Није неопходно да се експеримент постави инструментално да би феномен био опсервиран. Од одабраних 19 парадокса чулно је опсервабилно док су 32 мисаони експерименти. До овакве диспропорције дошло је због парадокса релативистичке физике који су сви до једног мисаони експерименти. За поједине парадоксе у физици се може рећи да су разјашњени, али постоје и парадокси за које нема задовољавајућег објашњења. У овом случају заузет је помало резервисан став. Постоје парадокси, са аргументованим респектабилним образложењем, које многи физичари третирају као још увек неразјашњене. Нерегуларност објашњења често потиче од усвојених принципа на којима је одређено становиште у физици изграђено.295 Сама чињеница да постоји било какво решење парадокса које задовољава мњење физичара била је довољна да се парадокс прогласи експарадоксом. Однос разјашњених и неразјашњених парадокса увелико је у корист првих. У раду је заведено 42 експарадокса а 9 парадокса је још неразјашњено. Овакав резултат је очекиван зато што парадокси и настају да би били решавани. Најбитија подела која је образложена у тези јесте подела на шест типова парадокса који се јављају у физици. Дисертацију сам почео да пишем септембра 2006. године (након повратка са БПУ-6 у Истанбулу), а парадоксима се бавим још од времена писања магистарске тезе, 1996. године. Током дугогодишњег размишљања, истраживања и проверавања закључака, искристализовала се подела парадокса у физици чији је основни класификациони критеријум био њихов експресивни карактер. Шта то значи? Парадокси се јављају у форми која одређује њихов карактер. Уколико се парадокс успостваља услед идеализација реалног система или математичких апроксимација онда ће то бити парадокс идеализације. Уколико се до решења парадокса дошло изменом парадигматичних принципа, што је произвело продор у физици, онда се ради о парадоксу парадигме. Пажљив читалац може уочити дилему приликом анализе појединих парадокса: У који класификациони тип треба да се сврста посматрани парадокс? Дилема потиче од могућности да постоје парадокси који се могу сврстати у два или у више типова парадокса. У тим случајевима, након анализе одређивао се доминантни тип за дефинисање карактера

295 Постоји намера да се напише рад на тему парадокса квантне механике у зависности од врсте квантномеханичке интрепретације (идеја проф. Капора).


190

парадокса. Карактер парадокса није сталан и временом се он може изменити. Транзициони парадокси и парадокси по претпоставци могу да временом постану неки други тип по класификацији. У класификацији дефинисаној према типу парадокса анализирано је: 12 привидних парадокса, 3 парадокса идеализације, 3 хијерархијска парадокса, 6 транзиционих парадокса, 14 парадокса по претпоставци и 13 парадокса парадигме. Јасно је да Хидростатички парадокс није прави парадокс и експеримент који се изводи је демонстрационог карактера, али управо зато је он привидни парадокс, са посебном едукативном намером да се ученици науче основним законима физике. Значи, постоје нијансе у дефинисању типа парадокса и веома је битно да се гледају све класификације одједном (дате табеларно) зато што се једино тако стиче права слика о сваком парадоксу појединачно. Посебну групу одабраних парадокса чине парадокси времена који се тичу "путовања кроз време". Сви ови парадокси се заснивају на претпоставци да је такав облик путовања могућ – што није физички доказано – о чему говори Парадокс "туриста" из будућности. У раду се на једном месту могу пронаћи подаци који се тичу самих парадокса – када су настали (направљена је хронологија настанка парадокса који се појављују у раду), у којим условима су настали, ко су аутори парадокса, а код појединих парадокса постоји више образложења парадокса. Направљен је каталог парадокса у физици, који може да буде информативног карактера, али и да послужи у настави од основне школе до факултета. Табеларно су представљени сви парадокси, на више начина, према класификацијама које су коришћене приликом анализе. Ове шеме треба да помогну да се открију тајне лавиринта начина размишљања приликом формирања научних чињеница. У тези је разрађена идеја да је парадокс незаобилазан чионилац у физици – Док је физике биће и парадокса. Знање није коначно. Физика је егзактна наука која се бави реалним чулно-опсервабилним феноменима. Могућност непрецизности у физичком систему по претпоставци је знатно већа него што је то у математичко-нормативном мисаоно-апстрактном систему. Када се полази од те претпоставке и под претпоставком да су Геделове теореме неконзистентности аксиоматизованих система тачне, закључак је: Да сваки физички систем мора бити неконзистентан – а самим тим, такав систем у себи мора садржати парадоксе. То значи и да су парадокси феномени. Теза доноси један потпуно другачији увид у парадоксе који се јављају у физици. Колико је познато, начин приступа парадоксима у физици и обрада добијених података, како је урађено у овој тези, до данас нису били добијени или објављени. Највеће недоумице биле су код релативистичких парадокса, посебно код парадокса који су се тицали контракције. Феномени СТР-а се данас третирају као реални физички феномени а да нико до сада није верификовао Лоренц-Фицџералдов феномен контракције дужине. То је основни разлог зашто су сви Контракциони парадокси подведени под парадоксе по претпоставци – док се и у реалном физичком систему не потврди математичка претпоставка о контракцији дужине, која као истинита фигурира у релативистичкој физици. Намера – постављена као циљ пре четири године, да се направи колико је то могуће прецизна класификација парадокса у физици и да се на једном месту направи попис парадокса у физици по некој правилности – је постигнута, а успешност идеје може да се поткрепи и чињенично. Википедија је данас интернет енциклопедија која нема ауторитет да


191

се на њу позива када се тиче научних чињеница, али веома помаже приликом тражења одређених информација. Када сам почео са писањем рада 2006. године, у жељи да на најлакши начин сакупим што више парадокса у физици, који су доступни на интернету, пронашао сам страницу на Википедији која се тицала листе парадокса.296 Она је била веома скромна (нешто о тим поделама је писано на 48. страници) и имала је када се "скине" само 48кб (4.10.2006). Пре нешто више од годину дана иста страна када је имала 194кб (28.05.2010). Ових дана ако се то уради, иста страна има 204кб (20.07.2011). Оно што је мени посебно интересантно и што желим да нагласим је следеће: У подели парадокса начињеној 2006. године, између осталих парадокса издвајали су се само парадокси у физици (без посебних подела унутар парадокса физике) и било их је 20, и подели која се могла видети на дан 28. мај 2010. године где су парадокси у физици диференцирани на парадоксе: астрофизике, класичне механике, космологије, електромагнетизма, квантне механике релативистичке физике и термодинамике (у подели која важи за 20.07.2011. има још и парадокса оптике – који се у раду воде као парадокси електромагнетизма). Класификација парадокса представљена на старницама Википедије исувише је слична подели која је начињена у дисертацији и која је објављивана у радовима на конференцијама. Постављена је да буде доступна на увид јавности на сајту arXiv.org-а. Разлика је да су у Википедији увели космолошке парадоксе, док се у раду сви они налазе сврстани као астрофизички парадокси. На дан 28. маја 2010. број објављених парадокса на Википедији је био 40. Сви парадокси који се могу пронаћи у тези детаљно су образложени (зашто припадају одређеној класификационој подели), док су парадокси наведени у Википедији само у једној реченици образложени како гласе. Да се закључи у вези са Википедијом: Не могу да тврдим да се неко служио мојим радовима али неко је бар размишљао у истом смеру као и ја пишући ову тезу. Друга потврда о исправности идеје да треба да се ради на овај начин, је објављивање линка рада „Paradoxes of Thermodynamics and Statistical Physics“, преузетог са сајта arXiv.org-а, на страници Википедије која се тиче Парадокса топлотне смрти.297 Трећа потврда је објављивање линка истог рада на сајту Hmolpedi-e, интернет енциклопедији о људској термодинамици, на страници која се бави Мпембиним ефектом.298 Ова теза је инспиративан почетак даљег рада на тему парадокса у физици. Оно што могу да наведем да треба да следи, у наредних неколико година, то су следећи наслови: Парадокси настали услед кризе физике крајем 20. века, Парадокси истовремености, О аналогијама између неколико различитих парадокса, Класификација парадокса према Поперовим критерујумима, Класификацја парадокса према средини у којој се феномен дешава, Парадокс као начело сазнајног помака у физици, Парадокси квантне механике са становишта различитих интерпретација. Наводи ових наслова указују да аутор не мисли да је одбраном тезе завршио рад на једном недовољно истраженом пољу људског деловања и да мисли како главни посао тек треба да се уради, а да је одбрана тезе тек један корак на том путу.

296 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes 297 http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_death_paradox 298 http://www.eoht.info/page/Mpemba+effect

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_paradoxes

http://en.wikipedia.org/wiki/Heat_death_paradox

http://www.eoht.info/page/Mpemba+effect


192

ДОДАЦИ


193


194

Додатак 1: Временска евалуација парадокса у физици

− парадокси класичне механике, − парадокси термодинамике и статистичке физике, − парадокси електромагнетизма, − парадокси релативистичке физике, − парадокси квантне механике, − парадокси астрофизике, − парадокси времена.

______________________________________________________________________________ Око 570. – Анаксимендров парадокс настанка Око 450. – Зенонови парадокси Око 350. – Аристотелов парадокс точка, Аристотелов парадокс места, Мпембин ефект, Око 250. – Архимедов парадокс П.Х. __________________________________________________________________________6 (9)

400. – Парадокс светог Аугустина Око 1580. – Хидростатички парадокс 1610. – Олберсов парадокс 1752. – Даламберов парадокс _____________________________________________________________________________4 1823. – Олберсов парадокс 1832. – Фарадејев парадокс ротирајућег диска 1837. – Парадокс Бабинета 1851. – Стоксов парадокс 1865. – Клузијусов парадокс 1871. – Парадокс Максвеловог демона 1875. – Гибсов парадокс 1876. – Лошмитов парадокс реверзибилности 1877. – Максвелов парадокс привлачења 1889. – Вајтхедов парадокс 1890. – Парадокс ултраљубичасте катастрофе 1895. – Зелигеров парадокс 1896. – Болцманов парадокс, Цермелов рекурентни парадокс ____________________________________________________________________________14 1908. – Зомерфелдов парадокс 1911. – Парадокс близанаца 1917. – Толменов парадокс времена


195

1926. – Едингтонов парадокс 1927. – Парадокс расејања једног електрона на две пукотине. 1930. – Парадокс Ајнштајн-Борове кутије 1935. – Парадокс Шредингерове мачке, ЕПР парадокс 1943. – Парадокс деде 1948. – Парадокс неочекиваног испитивања 1950. – Фермијев парадокс 1959. – Парадокс Де Брољове кутије, Парадокс човека који је сопствена мајка, Парадокс Беловог свемирског брода 1961. – Парадокс сноубордера 1967. – Парадокс Андромеде 1968. – Брасов парадокс 1972. – Парадокс слабог младог сунца 1973. – Парадокс информације из црне рупе 1984. – Керолов парадокс 1988. – Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде 1989. – Суплијев парадокс 1990. – Парадокс "туриста" из будућности 1991. – ГЗК парадокс 1993. – Денијев парадокс, Парадокс суперлуминарних маказа 1999. – Парадокс Планкове дужине ____________________________________________________________________________27


196

Додатак 2: Привидни парадокси Свако црта своју слику реалности четкицом умоченом у боју прошлости. Џери Ендрус, мађионичар Изненађујућа природа парадокса служи као провокација. (Dehler и др., 2001) Привид је вид реалности. Веома је битно познавати разлоге привидности, како би објашњење привида било исправано, да се избегне збуњеност коју привид може да ствари. Парадокси у форми привида су честа појава и посебно су класификовани. Када је привид препознат он је и објашњив. Једна од основних подела парадокса је на: привидне парадоксе и стварне парадоксе. Привидни парадокси ће бити обрађени у овом одељку. Нису сви парадокси"једнако прави парадокси". Марк Сеинсбури (Richard Mark Sainsbury) прави разлику између парадокса, градира их по степену "камуфлажне реалности". Нормира их, и нумерички вреднује oд 1 до 10, при чему вредност 1 имају парадокси чија је "камуфлажна способност" мала, док са 10 вреднује оне чија интерпретација уздрмава темеље мишљења.299 Под другим се подразумевају парадокси који директно утичу на измену парадигме и тиме указују на постојање потпуно другачије принципијелне поставке (Парадокс расејања фотона на две пукотине, Парадокс Шредингерове мачке, Болцманов парадокс, Парадокс Максвеловог демона...). Под првим се подразумевају привидни парадокси. Ти парадокси често нису парадокси. Тако се зову по навици, услед наслеђене постојеће терминолошке квалификације. Тек након опсервације се даје објашњење засновано на најелементарнијем познавању физике. У овом делу се анализира посебна група парадокса названа привидни парадокси. Њихова употребна вредност је у настави физике и приликом популаризације физике. У овај тип парадокса спадају и визуелни парадокси попут троугла Роџера Пенроуза (Roger Penrose). Прави "чаробњак" за ову врсту парадокса је био холандски сликар и графичар Мауритс Корнелиус Ешер (Maurits Cornelius Escher, 1902-1972). Постављање парадокса, ученицима или студентима, у процесу образовања, као облик проблемске наставе, представља одличан концептулан начин да се процени њихова критичка способност и интуиција. Стављају се на пробу њихове могућности, кроз претпостављене примере, да се изборе са проблемском провокацијом, да дођу до одређеног решења у којим се објашњава постојање очигледних парадоксалних експерименталних података у односу на теоријске претпоставке. Парадокси у образовању имају мотивациони карактер, који дају подстрек ученицима, да сами, на основу поседућујег знања, дају одговоре који решавају парадоксе.

Закључак је крајњи исказ из уређеног скупа исказа. Сам закључак представља уређен скуп исказа.300 Пaрадокс је импликација која нарушава уређеност тог скупа. Разлози нарушавања конзистентности могу да буду различити:

299 Sainsbury, М. (1995). 300 Кaда се каже да је одређени скуп исказа уређен, подразумева се да је тај скуп конзистентан (непротивречан).


197

1. Непрецизност настала услед идеализације. 2. Груба грешка у исказу. 3. Неодговарајућа релација везе између два исказа. 4. Привид.

Појам привид је кованица састављена од две речи: при и вид, што га детерминише да се тиче нечег у вези вида али не баш јасно формулисно шта. Привид је "варљива представа о чему која не одговара стварности"301. Он може бити менталне или чулне природе. На пример, поједини математички закључци су привиди менталне природе.302 Привиди чулне природе су често визуелног карактера. Када се каже привид подразумева се да до "несугласице" долази само услед "наизглед" контрадикторног закључка. Привидни парадокси су "привидна" инкомпатибилност. Описни придев "привидна" означава да несагласност, која је условила настанак парадокса, потиче од субјективног карактера сагласности. Привидни парадокс није парадокс у смислу значења појма парадокс, како се може пронаћи у многобројним дефиницијама. Код привидних парадокса се опсервирана појава разликује од самог догађаја. Разматрањем "назови парадокса", који се у први мах чинио контрадикторним, установљава се контрадикторности нема. Милорад Млађеновић (1920-2005) га назива наводни парадокс303, али се могу пронаћи и термини пара парадокс, оптички парадокс или визуелни парадокс. Последња два имају једнако значење и представљају само подврсту привидних парадокса. Настају услед "грешке" приликом посматрања, тако да је одговарајући назив и посматрачки парадокс, који се такође може пронаћи. До настанка овог типа парадокса долази услед "перцептивне дисторзије" или како још Ирена Гонда назива "изобличење у опажању".304 Привидни парадокси су тип парадокса у смислу да привид може да буде обележје научних, уметничких, филозофских или логичких парадокса. Вид привида о коме се овде говори је психолошког карактера. Парадоксалност настаје услед менталних антиципација заснованих на постојећем искуству, на "очекивању посматрача". Ово је управо елемент на којем мађионичари заснивају своје илузије. И дански физичар Нилс Бор (Niels Henrik David Bohr, 1885-1962) се бави привидним парадоксом када каже:

"Илустративан пример који показује како се привидни парадокси могу уклонити студирањем експерименталних услова под којим се јављају комплементарни феномени такође је дат Комптоновим ефектом, чије нас је конзистентно описивање први пут суочило са озбиљним тешкоћама."305

Према разлозима који су условили настанак привида и ефекту изражајности парадокса, привидни парадокси у физици се могу разликовати на:

1. Визуелни (оптички) парадокси – се виде какви јесу а парадоксалност је у тумачењу експересије.

301 Речник српскохрватског књижевног језика, Матица Српска, Нови Сад, 1973. 302 Доказ да је 2=1. Фуснота 75. 303 Млађеновић, M. (1984). стр. 122. 304 Гонда, И. (2002). 305 Бор, Н. (1985). стр. 82-3.


198

2. Посматрачки парадокси – настају у процесу посматрања, када постоји осмишљена пасивна посматрачка намера.

Само наизглед ове две овде диференциране врсте представљају један исти тип парадокса. Основна разлика између њих је у ефекту појавности парадокса. Визуелни (оптички) парадокси настају услед илузије. За њих је јасно да не егзистирају у реалности у облику у ком се приказују. Тумачење визуелних парадокса је директно повезано са разлозима настале илузије. Ови парадокси немају посебно захтевна објашњења. Визуелни парадокси могу да буду и физички феномени. Ово су лажни парадокси – јасно су позната физичка објашњења појаве. Визуелни парадокси представљају најнижи ниво парадоксалности. Могу се разликовати:

1. Реални визуелни парадокси – су парадокси за које је јасно да не постоје на начин како се виде у реалном окружењу (попут фатаморгане).

2. Замишљени визуелни парадокси – су фикције попут Ешерових слика или Пенроузовог троугла опредметљене у визуелни доживљај.

Примери: фатаморгана, привидни прелом објекта који се делом налази у води а делом у ваздуху (кашика у чаши с водом), Пенроузов троугао... Посматрачки парадокси могу бити веома различити. То су парадокси настали приликом осмишљеног систематичног пасивног посматрања.306 Код њих није употпуности јасно одакле долази несклад између посматраног и очекиваног (субјект-посматрач није у стању да физички утиче на оно што се изучава, осим да га пасивно посматра). Може се пронаћи у Хајзенберговој (Werner Karl Heisenberg, 1901-1976) аутобиографији Физика и метафизика, да он истиче Ајнштајново мишљење приликом једне њихове дискусије. Алберт Ајнштајн (Albert Einstein, 1879-1955) наглашава како је посматрање врло комплексан процес. Сам посматрани догађај изазива одређене ефекте у мерном апарату, из којег се даље ствара чулни утисак, који иницира одређену интелектуалну реакцију субјекта. Тај пут је трајући и пролази кроз мноштво сукцесивитета који треба добро да буду познати, како се не би починила нека грешка. По Ајнштајну теорија је та која проводи кроз тај пут и која наводи на то шта треба заиста посматрати, и ако долази до одређених противречности и неконзистентности из којих се стварају парадокси, онда је то стога што:

"мада се спремамо да формулишемо нове природне законе, који се не слажу са досадашњим, ми ипак слутимо да досадашњи природни закони на путу од збивања које је предмет посматрања па до наше свести функционишу тако тачно да се можемо поуздати у њих и стога можемо говорити о опажањима"307

Примери: Клаузијусов парадокс, Хидростатички парадокс, ГЗК парадокс...

306 Када субјект није у стању да утиче на догађај, осим да га констатује. Није субјект тај који прави експерименталну ситуацију да се догађај деси, само мери ефекте на које не може утицати. 307 Хајзенберг, В. (1989). стр. 111.


199

Значај привидних парадокса у популаризацији физике Нису сви привидни парадокси употребљиви у популаризацији физике. Помоћу привидних парадокса се наговештава нека "заврзлама" која има врло једноставно објашњење. Предочавањем привидних парадокса у форми задатка, у наставном процесу се подиже активност и мотив ученика чиме се они подстичу да буду креативни и дају правилно објашњење претпостављених појава.

"Парадокс нуди потенцијално важну алатку у критичкој педагогији"308 Постављањем парадоксалне ситуације у процесу наставе ученицима се нуди изазов контраинтутивног садржаја, који треба да буде подстрек у размишљању. У образовању је врло корисно користитити се привидним парадоксима јер се помоћу њих, на посебан начин, реална ситуација упрошћава, али и компликује. Гради се ситуација која је на први поглед у супротности са очекивањем – формира се једна врста двосмислене загонетке и наизгледно неразумевање (како на парадоксе гледају Делер, Велш и Левис). Како посебно наглашавају у свом раду, употребом привидних парадокса, и не само привидних, у процесу учења развија се критичко мишљење.309 Ученици се мотивишу да самостално размишљају при чему се очекује да ће грешити (без грешака нема ни резултата), али ће истовремено и учити.

"коришћење парадокса као педагошки алат захтева да учитељ подстрекава осећај неодређености и конфузије док одржавање умешног реда омогућава ученицима да се осећају сигурним да испоље своје осујећење и дискутију супротни став."310

"Парадоксално мишљење захтева препознавање да обе перцепције могу бити једнако битне."311

Учионица је попут позоришта, предавач треба да је добар аниматор како би се ученици заинтересовали за градиво које им се предаје. Не постоји довољно интересантно градиво које се не може упропастити досадним предавањем, као што не постоји довољно досадно градиво које добар предавач не може учинити интересантним!

308Dehler, G. Е. и др. (2001). 309Dehler, G. Е. и др. (2001). 310Dehler, G. Е. и др. (2001). 311Dehler, G. Е. и др. (2001).


200

Примери привидних парадокса Одабрани су привидни парадокси из различитих области физике:

− Класичне механике (Аристотелов парадокс точка, Архимедов парадокс, Хидростатички парадокс, Денијев парадокс, Керолов парадокс),

− Релативистичке физике (Парадокс астронаута на хоризонту догађаја, Парадокс Андромеде, Парадокс маказа, Парадокс близанаца),

− Астрофизички парадокс (Парадокс слабог младог Сунца) – за који се мора нагласити да је мултидисциплинарне природе,

− Филозофски парадокс времена (Парадокс неочекиваног испитивања). Примери ће бити објашњени и анализирани. 1. Аристотелов парадокс точка312 2. Кeролов парадокс313 3. Архимедов парадокс314 4. Хидростатички парадокс315 5. Денијев парадокс316 6. Парадокс Андромеде317 7. Парадокс космонаута на хоризонту догађаја колапсирајуће звезде318 8. Парадокс маказа (Парадокс суперлуминарних маказа)319 9. Парадокс слабог младог Сунца320 10. Парадокс близанаца321 11. Парадокс неочекиваног испитивања322

312 Анализа је на страни 43-44. 313 Анализа је на страни 96-97. 314 Анализа је на страни 44-45. 315 Анализа је на страни 97-98. 316 Анализа је на страни 101-102. 317 Анализа је на страни 139-140. 318 Анализа је на страни 137-138. 319 Анализа је на страни 138-139. 320 Анализа је на страни 165-166. 321 Анализа је на страни 136-137. 322 Анализа је на страни 179-180.


201

Закључак Заједничка карактеристика свих примера привидних парадокса јесте да су разјашњени, тј. сви су експарадокси. Од једанаест одабраних привидних парадокса само су два парадокса експериманталног типа: Денијев парадокс и Хидростатички парадокс. Остали парадокси су теоријске природе. Коментар би могао бити код Парадокса близанаца, јер јасно је експериментално доказана дилатација времена.323 Парадокс близанаца је подведен под теоријски зато што у време његовог настанка није било експерименталних индикација које би могле да потврде исправност мисаоних спекулација које су до њега довеле. Слични коментари би могли да буду и код Аристотеловог парадокса точка или Архимедовог парадокса, с тим што код њих постоји унапред смишљена намера да се збуни онај коме се парадокс представља. Овакве намере су позитивне када се ради о образовању. Такође, приметно је да су само три привидна парадокса реално чулно опсервабилни: Денијев парадокс, Аристотелов парадокс точка и Хидростатички парадокс. Ово објашњење је дискутабилно што се тиче Архимедовог парадокса. Разлог је већ образложен. Привидни парадокси су настали на два начина: смишљени су с зачкољицом и намером да се изазове неверица (Аристотелов парадокс точка, Хидростатички парадокс, Архимедов парадокс, Парадокс неочекиваног испитивања) или као опсервирана појава у чијој позадини је физички препознатљив разлог који доводи до парадоксалне ситуације (Денијев парадокс, Парадокс близанаца, Парадокс маказа, Парадокс космонаута). Постављање парадокса ученицима и студентима, у процесу образовања, као облик проблемске наставе, представља одличан концептуалан начин да се процени њихова критичка способност и интуиција. Стављају се на пробу њихове могућности кроз унапред дефинисане примере, пробају да се изборе са проблемском провокацијом, и да дођу до решења којим се објашњавају очигледне парадоксалности у односу на познате теоријске претпоставке. Ученици се помоћу парадокса уводе у проблем, окупира им се пажња проблемском ситуацијом која изискује решење, а потом, објашњавањем разлога успостављања парадокса, задовољава се заинтригираност коју је парадокс изазвао. Парадокси у образовању имају мотивациони карактер, дају подстрек ученицима да сами, на основу поседујућег знања, пронађу одговоре. Привидни парадокси су погодни за коришћење у настави зато што су решени и зато што неверица и збуњеност, до које доводе у први мах, је мотивационог карактера. Литература

1. Dehler, G. E, Welsh, M. A, Lewis, M. W. (2001). Critical Pedagogy in the ‘New Paradigm’: Raising Complicated Understanding in Management Learning. Management Learning, 32 (4). p. 493-511.

2. Carroll, М. М. (1984). Singular constarints in rigid-body dynamics. Am. J. Phys. 52, р. 1010.

323 Трајање мезона у космичком зрачењу, црвени помак дефинисан атомским часовницима на различитој надморској висини (1959), кашњење атомског сата када се један стави у брз авион (Hafele, J. C. & Keating, R. 1971), дилатација времена у близини белих патуљака (1977)...


202




6. Cucić, D. (2009). Paradoxes of Thermodynamics. 7th International Conference of the Balkan Physical Union BPU7, Alexandroupolis – Greece 9-13. September 2009. (Poster presentation, Book of Abstracts p. 218)

7. Hawking, S. W. (1988). Kratka povjest vremena. Otokar Keršovani, Opatija. 8. Loy, J. (2002). Aristotle's Wheel Paradox, e-print:

http://www.jimloy.com/geometry/wheel.htm 9. Kapor, D. (2006). Dürrenmatt’s “Physicists” as a Tool in understanding the Etics of

Science. 6th International Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26 August 2006, (Poster 18-P-005, Book of Abstracts 1197)

10. Putnam, H. (1967). Time and Physical Geometry. Journal of Philosophy, 64. 11. Rietdijk, C. W. (1966). A Rigorous Proof of Determinism Derived from the Special

Theory of Relativity. Philosophy of Science, 33. 12. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press. Cambridge. 13. Schiller, C. MOTION MOUNTAIN (the adventure of physics). e-print:

www.motionmountain.net 14. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the

mind. Oxforf University Press. Oxford. 15. Walker, J. (2006). The Flying Circus of Physics, second edition. published by John Wiley

& Sons. 16. Aничин, И. В. (1995). Мерење – дискретни шарм цивилизације. e-print:

http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/Nuklearna/clanci/merenje.PDF 17. Антонић, В. (2000). ДА ЛИ ПОСТОЈЕ СТВАРИ КОЈЕ НЕ ПОСТОЈЕ: Водич за

критичко размишљање. Публикум, Београд. 18. Бор, Н. (1985). Атомска физика и људско знање. Нолит, Београд. 19. Гонда, И. (2002). Активно учење у учионици. Читалиште, бр. 20. e-print:

http://www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/342.pdf 20. Дејић, М. и Дејић, Б. (1987). Занимљиви свет математике. Нолит, Београд. 21. Диренмат, Ф. (1969). Посета старе даме. Физичари. Рад, Београд. 22. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (оптика). Београд: ИРО "Грађевинска

књига". 23. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (електромагнетизам). Институт за нуклеарне

науке "Борис Кидрич", Винча. 24. Перељман, Ј. И. (1976). Занимиљива физика. Нолит, Београд. 25. Петровић, А. (2000). Историја науке – дивна могућност за подвиг или слика

Доријана Греја. Флогистон (9), Београд. стр. 7-18. 26. Хајзенберг, В. (1989). Физика и метафизика. Нолит, Београд.



http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/Nuklearna/clanci/merenje.PDF

http://www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/342.pdf

Дра

гољ

уб Ц

уцић

- П

арад

окси

у ф

изиц

и

20

3

Таб

елар

ни п

регл

ед п

риви

дних

пар

адок

са п

о ка

ракт

ерис

тики

ма

Д

ениј

ев

пара

докс

Пар

адок

с сл

абог

мла

дог

Сун

ца

Пар

адок

с А

ндро

мед

e П

арад

окс

мак

аза

Пар

адок

с ко

смон

аута

П

арад

окс

близ

анац

а

Пар

адок

с не

очек

иван

ог

испи

тива

ња

Ари

стот

елов

па

радо

кс

точк

а

Кeр

олов

па

радо

кс

Хид

рост

атич

ки

пара

докс

A

рхим

едов

па

радо

кс

Врс

та

пара

докс

а П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

пара

докс

П

риви

дни

па

радо

кс

Реш

енос

т па

радо

кса

Екс

пара

докс

E

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Е

кспа

радо

кс

Екс

пара

докс

Изв

ор

пара

докс

а Е

кспе

рим

ент

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Теор

ија

Екс

пери

мен

т Те

ориј

ски

Мис

аоно

ст

пара

докс

а Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т М

исао

ни

експ

ерим

ент

Мис

аони

ек

спер

имен

т Ч

улна

оп

серв

ациј

а М

исао

ни

експ

ерим

ент

Чул

на

опсе

рвац

ија

Мис

аони

ек

спер

имен

т

Таб

ела

27


204

Додатак 3: Необрађени парадокси физике у тези Разни су разлози зашто поједини од доле наведених парадокса нису били увршћени у тезу, па самим тим нису били ни анализирани. Када је теза формулисана већ је постојала одабрана база парадокса и одлучено је да се парадокси у физици анализирају према областима физике. Паралелно је рађен теоријски део (Први део у тези) и провера како формулисана теоријска анализа функционише у примерима. Прошло је више од две и по године док се нису појавили први радови (Парадокси астрофизике, скраћена верзија) у којима је јавно представљено оно што је имало своју конзистентну форму и што је могло да се да на испит јавности. Један од разлога, зашто неки од доле наведених парадокса нису анализирани у тези, јесте што у моменту, док су писане одређене области (Парадокси класичне механике, Парадокси електромагнетизма...), тај је парадокс био непознат аутору. Други разлог јесте да се код појединих парадокса аутор није осећао довољно сигурним да би се упустио у њихову анализу. Та несигурност је потицала од више фактора: недовољно познавање области коју третира парадокс, недовољно литературе о поједином парадоксу, несигурност у актуелност парадокса (непостојање више извора који упућују на постојање парадокса). Број од 51 парадокса је по мишљењу аутора прилично велик да се актуелизује идеја због које је теза писана и негде је морало да се стане, па се због тога одређени број парадокса нашао у доле наведеном списку. Сигурно ће у неком наредном временском периоду и овде наведени парадокси бити анализирани, тиме овај списак обавезује. Када се и то уради стећи ће се једна потпунија слика него коју тренутно нуди ова теза.

Парадокси класичне механике: 1. Арчеров парадокс, 2. Ајнштајнов парадокс чајног листа (Парадокс листа чаја), 3. Максвелов парадокс привлачења, 4. Парадокс хидрометра у лифту (Парадокс лифта), 5. Парадокс Стевина, 6. Парадокс чигре, 7. Стоксов парадокс, 8. Вајтхедов парадокс.

Парадокси термодинамике и статистичке физике:

1. Поенкареов парадокс рекурентности, 2. ФПУ (Ферми, Паста, Улам) парадокс.

Парадокси електромагнетизма:

1. Брасов парадокс, 2. Парадокс слабљења, 3. Фарадејев парадокс, 4. Фарадејев електрохемијски парадокс, 5. Фејманов парадокс цилиндра, 6. Парадокс наелектрисања у ротирајућем систему, 7. Кулвиксов парадокс,


205

8. Онучинсов парадокс, 9. МекКена парадокс, 10. Парадокс егзистенције електричног набоја, 11. Дарвинов парадокс енергије.

Парадокси релативистичке физике

1. Еренфестов парадокс, 2. Парадокс Ајнштајнове кутије, 3. Парадокс правог угла, 4. Селеријев парадокс, 5. Шифов парадокс, 6. Парадокс Опенхајмера.

Парадокси квантне механике

1. Aјнштајнов мехур, 2. Бом-Ахаронов парадокс, 3. Фермијево златно правило, 4. Хардијев парадокс, 5. Клајнов парадос, 6. Квантни парадокс лажљивца, 7. Парадокс мерења, 8. Парадокс три кутије, 9. Парадокс Вигнеровог пријатеља.

Једно је сигурно: Овај списак није коначан! Разлог зашто неки од неанализираних парадокса у физици нису овде је: Аутор није чио за њега и није га уврстио.


206

Додатак 4: Табеларне класификације парадокса у физици а. Табеларни преглед парадокса у физици према чулном карактеру (Мисаоност парадокса)

Мисаони експеримент – 32 Чулно опсервабилан - 19 Парадокс Максвеловог демона Гибсов парадокс

Цермелов парадокс Клаузијусов парадокс Лошмитов парадокс Болцманов парадокс

Даламберов парадокс Мпемба парадокс Зомерфелдов парадокс Аристотелов парадокс точка

Керолов парадокс Денијев парадокс Архимедов парадокс Хидростатички парадокс

Парадокс Беловог свемирског брода Анаксимендров парадокс настанка Контракциони парадокси "веће" у "мање" Парадокс Бабинета

Суплијев парадокс Фарадејев парадокс ротирајућег диска Парадокс близанаца Парадокс ултра-љубичасте катастрофе

Парадокс космонаута на хоризонту догађаја црне рупе Парадокс два кондензатора Парадокс Андромеде Парадокс расејања фотона на две пукотине

Парадокс маказа Зелигеров парадокс Парадокс Де Брољове кутије Олберсов парадокс

Парадокс Ајнштајн-Борове кутије ГЗК парадокс Парадокс Шредингерове мачке Парадокс "туриста" из будућности

Парадокс Планковедужине Парадокс симетрије времена ЕПР парадокс Парадокс светог Аугустина

Вилеров парадокс Парадокс информације из црне рупе

Едингтонов парадокс Парадокс слабог младог сунца

Парадокс неочекиваног испитивања Парадокс Ахила

Парадокс дихотомије Парадокс стреле

Парадок стадиона Парадокс деде

Парадокс човека који је сопствена мајка Парадокс човека без прошлости Парадокс билијара и времеплова

Табела 28


207

б. Табеларни преглед парадокса у физици према опсервабилном карактеру (Изворност парадокса)

Реални физички експеримент – 8 Теорија - 43 Мпемба парадокс Лошмитов парадокс Гибсов парадокс Цермелов парадокс Денијев парадокс Болцманов парадокс

Хидростатички парадокс Парадокс Максвеловог демона Фарадејев парадокс ротирајућег диска Клаузијусов парадокс

Парадокс расејања фотона на две пукотине Даламберов парадокс ГЗК парадокс Зомерфелдов парадокс

Парадокс Бабинета Аристотелов парадокс точка Керолов парадокс Архимедов парадокс Парадокс ултра-љубичасте катастрофе Парадокс два кондензатора Парадокс Беловог свемирског брода Контракциони парадокси "веће" у "мање" Суплијев парадокс Парадокс близанаца Парадокс космонаута на хоризонту догађаја црне рупе Парадокс Андромеде Парадокс маказа Парадокс Де Брољове кутије Парадокс Ајнштајн-Борове кутије Парадокс Шредингерове мачке Парадокс Планковедужине ЕПР парадокс Зелигеров парадокс Олберсов парадокс Вилеров парадокс Парадокс информације из црне рупе Едингтонов парадокс Парадокс слабог младог сунца Анаксимендров парадокс настанка Парадокс Ахила Парадокс дихотомије Парадокс стреле Парадок стадиона Парадокс деде Парадокс човека који је сопствена мајка Парадокс човека без прошлости Парадокс билијара и времеплова Парадокс "туриста" из будућности Парадокс симетрије времена Парадокс светог Аугустина Парадокс неочекиваног испитивања

Табела 29


208

в. Табеларни преглед парадокса у физици према решивости (објашњивости)

Експарадокс – 42 Нерешен парадокс - 9 Аристотелов парадокс точка Болцманов парадокс

Денијев парадокс Мпемба парадокс Хидростатички парадокс Парадокс деде

Даламберов парадокс Парадокс човека који је сопствена мајка Зомерфелдов парадокс Парадокс човека без прошлости

Керолов парадокс Парадокс билијара и времеплова Архимедов парадокс Парадокс "туриста" из будућности

Парадокс Беловог свемирског брода Парадокс симетрије времена Контракциони парадокси "веће" у "мање" ГЗК парадокс

Суплијев парадокс Парадокс близанаца

Парадокс космонаута на хоризонту догађаја црне рупе Парадокс Андромеде

Парадокс маказа Парадокс Де Брољове кутије

Парадокс Ајнштајн-Борове кутије Парадокс Шредингерове мачке

Парадокс Планковедужине ЕПР парадокс

Парадокс расејања фотона на две пукотине Парадокс Бабинета

Фарадејев парадокс ротирајућег диска Парадокс ултра-љубичасте катастрофе

Парадокс два кондензатора Парадокс неочекиваног испитивања

Парадокс Ахила Парадокс дихотомије

Парадокс стреле Парадокс светог Аугустина

Парадок стадиона Вилеров парадокс

Парадокс информације из црне рупе Едингтонов парадокс

Парадокс слабог младог сунца Зелигеров парадокс Олберсов парадокс

Анаксимендров парадокс настанка Парадокс Максвеловог демона

Цермелов парадокс Лошмитов парадокс

Гибсов парадокс Клаузијусов парадокс

Табела 30

Дра

гољ

уб Ц

уцић

- П

арад

окси

у ф

изиц

и

20

9

г. Т

абел

арни

пре

глед

пар

адок

са у

физ

ици

прем

а ек

спре

сивн

ом к

арак

теру

(Врс

те п

арад

окса

) П

риви

дни

пара

докс

П

арад

окс

идеа

лиза

ције

Х

ијер

архи

јски

пар

адок

с Т

ранз

ицио

ни п

арад

окс

Пар

адок

с по

пр

етпо

став

ци

Пар

адок

с па

ради

гме

Ари

стот

елов

пар

адок

с то

чка

Дал

амбе

ров

пара

докс

М

пем

ба п

арад

окс

Пар

адок

с А

јнш

тајн

-Бор

ове

кути

је

Пар

адок

с П

ланк

ове

дуж

ине

Пар

адок

с Д

еБро

љев

е ку

тије

Кер

олов

пар

адок

с Зо

мер

фел

дов

пара

докс

П

арад

окс

инф

орм

ациј

е из

цр

не р

упе

Лош

мит

ов п

арад

окс

Пар

адок

с Бе

лово

г св

емир

ска

брод

а П

арад

окс

расе

јањ

а ел

ектр

она

на д

ве п

укот

ине

Ден

ијев

пар

адок

с П

арад

окс

два

конд

енза

тора

Е

динг

тоно

в па

радо

кс

Цер

мел

ов п

арад

окс

Кон

трак

цион

и па

радо

кси

"већ

е" у

"м

ање"

П

арад

окс

Шре

динг

еров

е м

ачке

Х

идро

стат

ички

пар

адок

с

В

илер

ов п

арад

окс

Суп

лије

в па

радо

кс

ЕП

Р па

радо

кс

Арх

имед

ов п

арад

окс

Пар

адок

с св

етог

Ауг

усти

на

ГЗК

пар

адок

с Бо

лцм

анов

пар

адок

с

Пар

адок

с бл

изан

аца

Фар

адеј

ев п

арад

окс

роти

рају

ћег

диск

а П

арад

окс

Ахи

ла

Пар

адок

с М

аксв

елов

ог

дем

она

Пар

адок

с ко

смон

аута

…

П

арад

окс

дихо

том

ије

Кла

узиј

усов

пар

адок

с

Пар

адок

с А

ндро

мед

e

Пар

адок

с ст

реле

Ги

бсов

пар

адок

с

Пар

адок

с м

аказ

а

Пар

адок

ста

дион

а Зе

лиге

ров

пара

докс

Пар

адок

с сл

абог

мла

дог

Сун

ца

П

арад

окс

деде

О

лбер

сов

пара

докс

Пар

адок

с не

очек

иван

ог

испи

тива

ња

П

арад

окс

чове

ка к

оји

је

сопс

твен

а м

ајка

П

арад

окс

сим

етри

је в

рем

ена

Пар

адок

с Ба

бине

та

П

арад

окс

чове

ка б

ез

прош

лост

и П

арад

окс

ултр

а-љ

убич

асте

ка

таст

роф

е

Пар

адок

с би

лија

ра и

вр

емеп

лова

А

накс

имен

дров

пар

адок

с на

стан

ка

Пар

адок

с "т

урис

та"

из

буду

ћнос

ти

Таб

ела

31


210

д. Табеларни преглед парадокса увршћених у тезу према свим класификационим карактеристикама

Назив парадокса



Решеност парадокса Мисаоност парадокса

Аристотелов парадокс точка Привидни парадокс Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Денијев парадокс Привидни парадокс Експеримент Експарадокс Чулно опсервабилан

Хидростатички парадокс Привидни парадокс Експеримент Експарадокс Чулно опсервабилан

Даламберов парадокс Парадокс идеализације

Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Зомерфелдов парадокс Парадокс идеализације Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Керолов парадокс Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Архимедов парадокс Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Беловог свемирског брода Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Контракциони парадокси "веће" у "мање"

Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Суплијев парадокс Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс близанаца Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс космонаута на хоризонту догађаја црне рупе

Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Андромеде Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс маказа Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Де Брољове кутије Транзициони парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Ајнштајн-Борове кутије Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Шредингерове мачке Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Планкове дужине Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

ЕПР парадокс Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс расејања фотона на две пукотине

Парадокс парадигме Експеримент Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Бабинета Привидни парадокс Експеримент Експарадокс Чулно опсервабилан

Фарадејев парадокс ротирајућег диска

Транзициони парадокс Експеримент Експарадокс Чулно опсервабилан

Парадокс ултра-љубичасте катастрофе

Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Парадокс два кондензатора

Парадокс идеализације Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан


211

Парадокс деде Парадокс по претпоставци Теорија Нерешен

парадокс Мисаони експеримент

Парадокс човека који је сопствена мајка

Парадокс по претпоставци Теорија Нерешен


Парадокс човека без прошлости Парадокс по претпоставци Теорија Нерешен


Парадокс билијара и времеплова Парадокс по претпоставци Теорија Нерешен


Парадокс "туриста" из будућности Парадокс по претпоставци Теорија Нерешен

парадокс Чулно опсервабилан

Парадокс симетрије времена Парадокс парадигме Теорија Нерешен


Парадокс неочекиваног испитивања Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс Ахила Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс дихотомије Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс стреле Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс стадиона Парадокс по претпоставци Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс светог Аугустина Транзициони парадокс Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Вилеров парадокс Транзициони парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс информације из црне рупе Хијерархијски парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Едингтонов парадокс Хијерархијски парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Парадокс слабог младог сунца

Привидни парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Зелигеров парадокс Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Олберсов парадокс Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

ГЗК парадокс Парадокс по претпоставци Експеримент Нерешен


Клаузијусов парадокс Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Парадокс Максвеловог демона

Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Цермелов парадокс Транзициони парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Лошмитов парадокс Транзициони парадокс Теорија Експарадокс Мисаони експеримент

Гибсов парадокс Парадокс парадигме Експеримент Експарадокс Чулно опсервабилан

Клаузијусов парадокс Парадокс парадигме Теорија Експарадокс Чулно опсервабилан

Болцманов парадокс Парадокс парадигме Теорија Нерешен


Мпемба парадокс Хијерархијски парадокс Експеримент Нерешен


Табела 32


212

ЛИТЕРАТУРА


213


214


2. Aharonov, Y, Botero, A, Popescu, S, Reznika, B, Tollakseng, J. (2002). Revisiting Hardy’s Paradox: Counterfactual Statements, Real Measurements, Entanglement and Weak Values. Physics Letters A, 301, Issues 3-4, p. 130-138.

3. Amelino-Camelia, G. (2000). Testable Scenario for Relativity with minimum-lenght. Phys. Lett. B 510 (2001), p. 255-263. [hep-th/0012238]

4. Amelino-Camelia, G. (2000). Planck-Length Phenomenology. Int. J. Mod. Phys. D. 10 (2001). p. 1-8. [gr-qc/0008010]

5. Amelino-Camelia, G. (2004). Phenomenology of Planck-scale Lorentz-symmetry test theories. New Journal of Physics 6, p. 188.

6. Aristotel. (1987). Fizika. SNL, Zagreb. 7. Aspect, A. (1999). Bell’s inequality test: more ideal than ever. Nature, 398, p. 189-190. 8. Aspect, A, Dalibard, J. & Roger, G. (1982). Experimental Test of Bell’s Inequalities Using

Time-Varying Analyzers. Phys. Rev. Lett., 49, p. 1804–1807. 9. Auerbach, D. (1995). Supercooling and the Mpemba effect: when hot water freezes

quicker than cold. American Journal of Physics, 63(10), p. 882-5. 10. Augustin, A. (1973). Ispovijesti. Kršćanska sadašnjost, Zagreb. 11. Lado, A. A, Boyd, N. G, Wright, P, Kroll, M. (2006). Paradox and Theorizing within the

resource-based View. Academy of Management Review 2006, Vol. 31, No. 1, p. 115–131. 12. Barbour, J. (2000). The End of Time: The Next Revolution in Our Understanding of the

Universe. A Phoenix Paperback, London. 13. Barker, S. F. (1964). Philosophy of Mathematics. Pretince-Halll, Englewood Cliffs, New

Jork 14. Barrow, J. D. (1998). IMPOSSIBILITY: The Limits of Science and the Science Limits.

Oxford University Press, Oxford. 15. Barrow, J. D. (2003). The Constants of Nature, From Alpha to Omega. Vintage, London. 16. Bekenstein, J. B. (1972). Transcendece of the Law of Baryon-Number Conversation in

Black-Hole Phyisic. Physical Review Letters, Vol 28, No. 7, p. 452-455. 17. Bekenstein, J. (1972). Black holes and the second law. Lett. Nuovo. Cim. 4, р. 737-740. 18. Bekenstein, J. B. (1973). Black Holes and Entropy. Physical Review D, Vol 3, No. 8, p.

2333-2346. 19. Bekenstein, J. B. (1980). Black-hole Thermodynamics. Physics Today 33, No. 1, p. 24-31. 20. Bell, J. S. (1964). On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox. Physics 1, p. 195-200. 21. Bell, J. S. (1987). Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge

University Press, Cambridge. 22. Bohm, D. & Aharonov, Y. (1957). Discussion of Experimental Proof for the Paradox of

Einstein, Rosen, and Podolsky. Physical Review, 108. No. 4. 23. Bohr, N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be

Considered Complete? Physical Review, 48, p. 696-702. 24. Boykin, T. B, Hite, D. and Singh, N. (2002). The two-capacitor problem with radiation.

Am. J. Phys. 70 (4), р. 415-420. 25. Brown, H. R. (2001). The orgins of length contracton: I. The Fitzgerald-Lorentz

deformation hypothesis. American Journal of Physics, 69, p. 1044-1054. 26. Buzatu, A. (2005). Black Hole Thermodynamics and Information Loss Paradox. e-print:




215

27. Carroll, М. М. (1984). Singular constarints in rigid-body dinamics. Am. J. Phys. 52, p.1010.

28. Carvallho, P. S. & Sousa, A. S. (2008). Helping students understand real capacitors: measuring efficiencies in a school laboratory. Phys. Educ. 43 (4).

29. Chaliasos, E. (2005). The Loschmidt paradox on Boltzmann’s H-theorem: a resolution. е-print: [physics/0511090.]

30. Chandrasekhar, S. (1983). On Stars, their evolution and their stability. Nobel lecture. 31. Chandrasekhar, S. (1963). The Case for Astronomy. Proceedings of the American

Philosophical Society 108, p. 1–6. 32. Chase, S. I. (1993). The Superluminal Scissors. e-print:

http://jcbmac.chem.brown.edu/scissorsHtml/invariance/relativity/relScissors.html 33. Cho, J.-H, Oh, P, Park, C. and Shin, J. (2005). String Pair Creations in D-brane Systems.

Published by Institute of Physics Publishing for SISSA. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0501/0501190v2.pdf

34. Choy, T. C. (2004). Capacitors can radiate: Further results for the two-capacitor problem. Am. J. Phys. 72, р. 662-670.

35. Clagett, M. (1967). Giovanni Marliani and the late medieval physics. AMS Press Inc., New York.

36. Clark, M. (2002). Paradoxes from A to Z. Routledge. London. 37. Coen, M. & Najgel, E. (1934). An introduction to Logic and Scientific method. George

Routledge and Sons Ltd, London. 38. Cowley, S. J. (2001). Laminar Boundary-Layer Theory: A 20th century Paradox?

Proceedings of ICTAM 2000, eds H. Aref and J. W. Philips, Kluwer. e-print: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/papers/ictam2000/short.pdf

39. Cramer, J. G. (1988). Velocity Reversal and the Arrows of Time. Foundations of Physics 18, p. 1205.

40. Crooks, M. J, Litvin, D. B. & Matthews, P. W. (1978). One-piceFaraday generator: A paradoxical experiment from 1851. Am. J. Phys. 46 (7), p. 729-731.




44. Cucić, D. (2009). Paradoxes of Thermodynamics. 7th International Conference of the Balkan Physical Union BPU7, Alexandroupolis – Greece 9-13. September 2009. (Poster presentation, Book of Abstracts p. 218)

45. De Broglie, L. (1959). L'interprétation de la mécanique ondulatoire. J. Phys. Radium, 20, p. 963-979.

46. Dehler, G. E, Welsh, M. A, Lewis, M. W. (1999). Critical Pedagogy in the ‘New Paradigm’: Raising Complicated Understanding in Management Learning. Menagment Learning, 32 (3), p. 493-511. e-print: http://www.mngt.waikato.ac.nz/ejrot/cmsconference/documents/Management%20Education/emailversioncmcpaper.pdf

47. Denny, M. W. (1993). Air and Water. Princeton: Princeton University Press.

http://jcbmac.chem.brown.edu/scissorsHtml/invariance/relativity/relScissors.html

http://arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0501/0501190v2.pdf

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/sjc1/papers/ictam2000/short.pdf




216

48. Denny, M. W. (2004). Paradox lost: answers and questions about walking on water. First published online April 8, 2004, Journal of Experimental Biology 207, p. 1601-1606. Published by The Company of Biologists 2004.

49. Deutsch, D. (1997). The Fabric of Reality. Penguin Books, London. 50. Dewan, Е. & Beran, М. (1959). Note on stress effects due to relativistic contraction. Am.

J. Phys. 27, p. 517-518. 51. Dickinson, M. H, Farley, C. T, Full R. J, Koehl M. A. R, Kram, R, Lehman, S. (2000).

How Animals Move: An Integrative View. Science, Vol. 288, April 2000, p. 100-106. 52. Dieks, D. (2006). Space and Time and Coordinates in a Rotating World. (In Rizzi, G. &

Ruggiero, M. (2004). Relativity in Rotating Frames. Kluwer, Dordrecht. p. 29-43) e-print: http://www.phys.uu.nl/igg/dieks/rotation.pdf

53. Dingle, H. (1967).The Case Against Special Relativity. Nature, Vol. 216. Issue 5111, p. 119-122.

54. Eddington, A. S. (1926). The Internal Constitution of Stars. Cambridge University Press, Cambridge.

55. Einstein, A. (1905). On The Electrodynamics of moving Bodies. e-print: http://www.fourmilab.ch

56. Einstein, A. (1920). Relativity: The Special and General Theory. e-print: http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt

57. Einstein, A. (1920). Relativity: The Special and General Theory. Methuen & Co Ltd, 58. Einstein, A, Podolsky, B. & Rosen. N. (1935). Can Quantum-Mechanical Description of

Physical Reality Be Considered Complete? Physical Review, 47, p. 777-780. 59. Faulkner, D. R. (1980). The young faint Sun paradox and the age of the solar system.

Impact (ICR) 300. 60. Feferman, S. (1996). Penrose’s Gödelian argument. Psyche 2, p. 21-32. e-print:

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/penrose.pdf 61. Feferman, S. (1996). Gödel's program for new axioms: Why, where, how and what. Gödel

’96 (P. Hajek, ed.), Lecture Notes in Logic 6, p. 3-22. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godelprogram.pdf

62. Feferman, S. (1993). Gödel’s Dialectica interpretation and its two-way stretch. Computational Logic and Proof Theory (G. Gottlob, et al., eds.), Lecture Notes in Computer Science 713. p. 23-40. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/stretch.pdf

63. Feferman, S. (2006). The nature and significance of Gödel’s incompleteness theorems. Lecture for the Princton Institute for adveted Study Gödel Centrary Program. e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godel-IAS.pdf

64. Feferman, S. (2006). Review of "Incompleteness: The Proof and Paradox of Kurt Gödel by Rebecca Goldstein". London Review of Books, Vol. 28, No. 9, e-print: http://math.stanford.edu/~feferman/papers/lrb.pdf

65. Feynman, R. P, Leighton, R. B, Sands, M. (1963). The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesle, Vol. III.

66. Field, J. H. (2004). On the Real and Apparent Positions of Moving Objects in Special Relativity: The Rockets-and-String and Pole-and-Barn Paradoxes Revisited and a New Paradox. e-print: [arXiv:physics/0403094 v2]

67. Field, J. H. (2008). Langevin’s ‘Twin Paradox’ paper revisited. e-print: [arXiv:physics.class-ph/0811.3462 v1]

http://www.phys.uu.nl/igg/dieks/rotation.pdf

http://www.fourmilab.ch/

http://www.gnu.org/licenses/fdl.txt

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/penrose.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godelprogram.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/stretch.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/Godel-IAS.pdf

http://math.stanford.edu/~feferman/papers/lrb.pdf


217

68. Fiola, T. M, Preskill, J, Strominger, A, Trivedi, S. P. (1924). Black Hole Thermodinamics and Information loss in two Dimensions. [hep-th/9403137]

69. Flamm, D. (1997). Ludwig Boltzmann – A Pioneer of Modern Physics. Paper presented at the XXth International Congress of History of Science, on July 25, 1997, in Liege, Belgium.

70. Flamm D. (1997). History and outlook of statistical physics. Paper presented at thw Conference on Creativity in Physics Education, on August 23, 1997, in Sopron, Hungary.

71. Foschini, L. (1999). Questions on the Concept of time. e-print: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9901013

72. Fowler, R. H. (1926). On Dense Matter. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Vol. 87, p. 114-122. e-print: http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1926MNRAS..87..114F

73. Franck, G. (1985). Time, Actuality, Novelty and History. e-print: http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/Franck_2001a_zeit_e.pdf

74. Franck, G. (1994). Physical Time and Intrinsic Temporality. e-print: http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/GF_1994a.pdf

75. Freedman, S. J. & Clauser, J. F. (1972). Experimental test of local hidden-variable theories. Phys. Rev. Lett. 28, p. 938.

76. Gardner, M. (1969). The Unexpected Hanging and other Mathematical Diversions. The University of Chicago Press, Chicago and London.

77. Gibbs, J. W. (1875-78), On the Equilibrium of Heterogeneous Substances. Connecticut Acad. Sci. Reprinted in The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, by Dover Publications, Inc., New York, 1961.

78. Gödel, K. (1931). Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandeter Systeme. I. Monatshefte für Mathematik und Physik 38, s. 173-98. e-print: http://www.research.ibm.com/people/h/hirzel/papers/canon00-goedel.pdf

79. Gödel, K. (1949). An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein’s field equations of Gravitation. Reviews of Modern Physics, Vol. 21, July, p. 447-450.

80. Goldstein, L. http://laurencegoldstein.net/index.html 81. Goldstein, L. (2006). Russell, Edward Lear, Plato, Zeno, Grelling, Eubulides. Paradox:


82. Goldstein, R. (2006). Incompletnes: The Proof and Paradox of Kurt Gödel. W.W. Norton & Company, New York.

83. Goodenough, J. (1995). On the Methodology of Thought Experiments. e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought

84. Greisen, K. (1966). End to the Cosmic-Ray Spectrum? Phys. Rev. Lett., 16 (17). p. 748-50.

85. Griffiths, R. B. (2002). Consistent Resolution of Some Realtivistic Quantum Paradoxes. e-print: [quant-ph/0207015]

86. Gross, D. H. E. (2002). Second Law in Classical Non-Extensive Systems. presented at the First International Conference on Quantum Limits to the Second Law, San Diego.

87. Hafele, J. C. and Keating, R. E. (1972). Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains. Science 177, р. 166.



http://articles.adsabs.harvard.edu/full/1926MNRAS..87..114F

http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/Franck_2001a_zeit_e.pdf

http://www.iemar.tuwien.ac.at/publications/GF_1994a.pdf






218

88. Hagar, A. (2007). Length Matters (I): The Einstein-Swann Correspodence and the Constructive Approach to the Special Theory of Relativity. e-print: http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00003487/01/Swann.pdf

89. Häggqvist, S. (1996). Thought Experiments in Philosophy. Doctoral dissertation, Department of Philosophy Stockholm University, Akademitryck AB, Edsbruk.

90. Hardy, L. (1992). Quantum mechanics, local realistic theories, and Lorentz-invariant realistic theories. Phys. Rev. Letter, 68, p. 2981.

91. Hawking, S. W. (1975). Particle Creation by Black Holes. Commun. Math. Phys, 43. 92. Hawking, S. W. (1988). Kratka povjest vremena. Otokar Keršovani, Opatija. 93. Hawking, S. (1999). Space and Time Wraps. Public Lectures. e-print:

http://www.havking.org.uk/index.php/lectures/63 94. Hawking, S. W. (2002). Gödel and the end of physics. Public Lectures. e-print:

http://www.havking.org.uk/index.php/lectures/91 95. Hawking, S. W. (2005). Information Loss in Black Holes. [hep-th/0507171] 96. Heisenberg, W. (1969). Det Teil und das Gance. R. Piper & Co. Verlag, München. 97. Hill, D. L. (1946). A Note of the Relativistic Problem of Uniform Rotation. Physical

Review, Vol. 69. 98. Hoffman, J. & Johnston, C. (2006). Finally: Resolution of dAlembert Paradox. In review.

e-print: http://www.femcenter.org/pub/preprints/phiprint-2006-14.pdf 99. Hoffman, J. & Johnson, C. (2006). Computational Turbulent Incompressible Flow.

Springer-Verlag Publishing. 100. Horowitz, T. & Massey, G. J. (1991). Thought Experiments in Science and Philosophy.

CPS Publications in Philosophy of Science Edited on behalf of the Center for Philosophy of Science University of Pittsburgh, Rowman & Littlefield Publishers, Inc. Savage.

101. Huang, K. (1987). Statistical Mechanics, John Wiley & Sons Inc. 2ed, New York. 102. Jaynes, E. T. (1992). The Gibbs Paradox. Smith, C. R, Erickson, G. J, Neudorfer, P. O, in

Maximum Entropy and Bayesian Methods. Editors, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Holland. p. 1-22.

103. Jeng, M. (2005). Hot water can freeze faster than cold?!? e-print: [physics/0512262] 104. Kaku, M. (2003). Is Time travel Possible? e-print:

http://www.pbs.org/wnet/hawking/mysteries/html/bioUnskaku1-1.html 105. Каpor, D. (2006). Dürrenmatt’s “Physicists” as a Tool in understanding the Etics of

Science. 6th International Conference of the Balkan Physical Union BPU6, Istanbul – Turkey 22-26. August 2006. (Poster 18-P-005, Book of Abstracts 1197)

106. Katz, J. I. (2006). When hot water freezes before cold. e-print: [physics/0604224] 107. Kell G. S. (1969). The freezing of hot and cold water. Am. J. Phys. 37, p. 564. 108. Kelly, A. G. (1998). Faraday's Final Riddle; Does the Field Rotate with a Magnet?

Monographs 5 & 6 of the Institution of Engineers of Ireland. e-print: www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/kelly_unipolar.pdf

109. Khrennikov, A. (2006). Contextualist viewpoint to Greenberger-Horne-Zeilinger paradox. e-print: [quant-ph/0309065]

110. Kitada, H. http://www.kitada.kom/ 111. Koryukin, V. (2003). Gravitational Fields and Dark Matter. [gr-qc/0303047] 112. Kosinov, N. V, Garbaruk, V. I, Polyakov, D. V. (2003). Photometric Paradox and relict

radiation – two sides of one phenomenon? e-print: http://www.scribd.com/doc/2337352/photome



http://www.havking.org.uk/index.php/lectures/63

http://www.havking.org.uk/index.php/lectures/91

http://www.femcenter.org/pub/preprints/phiprint-2006-14.pdf

http://www.pbs.org/wnet/hawking/mysteries/html/bioUnskaku1-1.html

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/kelly_unipolar.pdf

http://www.kitada.kom/

http://www.scribd.com/doc/2337352/photome


219

113. Kozyrev, A. (1967). Possibility of Experimental Study of the Properties of Time. Unpublished article. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

114. Kupervasser, O. (2009). Basic paradoxes of statistical classical physics and quantum mechanics. e-print: [arXiv: 0911.2076v5]

115. Lambiotte, R. (2004). Inelastic Gases: A paradigm for far-from-equilibrium systems. e-print: www.inma.ucl.ac.be/~lambiotte/thesis.pdf

116. Landau, L. D. & Rumer J. B. (1985). Što je teorija relativnosti. Školska knjiga, Zagreb. 117. Levich, A. P. (1995). Motivations and Problems of Studying Time. Interdisciplinary

Time Studies. Singapore, New Jersy, London, Hong Kong: World Scientific. p. 1-15. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

118. Levich, A. P. (2003). Paradigms of Natural Science and Substantial Temporology. The Nature of Time: Geometry, Physics and Perception. Eds.: R. Buccheri. M. Saniga, M. Stuckey. Kluwer Academic Publishers: Boston, Dortrecht, London. p. 427-435. e-print: http://www.chronos.msu.ru/

119. Levine, A. (1995). When Can Intuitions on Counterfactual Cases Be Trusted? e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought,

120. Lewis, C. (1895). What the Tortoise Said to Achilles. Mind 4, No. 14 (April), p. 278-280.

121. Lewis, R. C. & Tolman, G. N. (1909). The Principle of Relativity and Non-Newtonian Mechanics. Philosophical magazine, 18, p. 510-523.

122. Lintel, H. van & Gruber, C. (2005). The rod and hole paradox re-examined. Eur. J. Phys. 26, No 1, , p. 19-23.

123. Livine, E. R. & Oriti, D. (2004). About Lorentz invariance in a discrete quantum setting. Published by Institute of Physics Publishing for SISSA/ISAS. e-print: http://jhep.sissa.it/archive/papers/jhep062004050 /jhep062004050.pdf

124. Loschmidt, J. (1876). Uber den Zustand des Wärmegleichgewichtes eines Systems von Körpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft. 1. Teil, Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien Math. Naturwiss. Classe 73. р. 128–142.

125. Loy, Ј. (2002). Aristotle's Wheel Paradox. e-print: http://www.jimloy.com/geometry/wheel.htm

126. Lukács, B. (1992). On Heat Death in Past, Present or Future. Acta Climat. XXIV-XXVI, 5.

127. Madarasz-Szilagyi, R. (2005). Математичка логика и теорија скупова. e-print: http://www.im.ns.ac.yu/Personal/madaraszr/Rozi-licno/skupovi.pdf

128. Matsas, G. E. A. (2003). Relativistic Arquimedes law for fast moving bodies and the general-relativistic resolution of the “submarine paradox”. [arXiv:gr-qc/0305106 v1]

129. Matsuda, T. & Kinoshita, A. (2004). A Paradox of Two Space Ships in Special Relativity. AAPPS Bulletin, Vol. 14.

130. McDonald, K. T. (2002). A Capacitor Paradox. e-print: www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/twocaps.pdf

131. McCall, S. (2006). Philosophical Consequences of the Twins Paradox. The Ontology of Spacetime, ed. Dennis Dieks, Vol 1 of the series Philosophy and Foundations of Physics, Elsevier, p. 191-204.



http://www.inma.ucl.ac.be/~lambiotte/thesis.pdf




http://jhep.sissa.it/archive/papers/jhep062004050%20/jhep062004050.pdf


http://www.im.ns.ac.yu/Personal/madaraszr/Rozi-licno/skupovi.pdf

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/twocaps.pdf




220

133. Mita, K. and Boufaida, M. (1999). Ideal capacitor circuits and energy conservation. Am. J.Phys. 67 (8), р. 737-739.

134. Mould, S. (1998). The energy lost between two capacitors: an analogy. Phys. Educ. 33 (5).

135. Mpemba, E. B. & Osborne, D. G. (1969). Cool. Physics Education, Vol. 4, p. 172-5. 136. Myers, R. (1997). Pure states don’t wear black. [gr-qc/9705065] 137. Nawrocki, P. J. (1962). Stress effects due to relativistic contraction. Am. J. Phys. 30.

Issue 10. p. 771-72. 138. Namias, V. (1986). On an apparent paradox in the motion of a smoothly constrained rod.

American Journal of Physics, 54(5), May 1986. 139. Neumann, C. (1874) Ober die den Kraften Elektrodynamischen Ursprungs zu

zuschreiben den Elementargesetze. Abh. Math.–Phys. Kl. k. sächs. Ges. Wiss. (Lpz.) 10, р. 419-524.

140. Nоvikov, I. (1999). Notion of the Past & Can We Change It? e-print: http://www.iap.fr/eas/EAS18/time18/ontime.html

141. O'Connor, D. J. (1948). Pragmatic Paradoxes. Mind 57, р. 358–359. 142. Pankovic, V. & Krmar, M. (2009). Definite Solution of the two Capacitor Paradox. e-

print: [gen.ph 0912.0650v1] 143. Parisi, G. (2001). Planck’s Legacy to Statistical Mechanics. e-print: [cond-

mat/0101293v1] 144. Penrose, R. (2006). The Road to Reality (A Complete Guide to the Laws of the

Universe). Alfred A. Knopf, New York. 145. Petkov, V. (2006). Is There an Alternative to the Block Universe View? In D. Dieks (ed),

The Ontology of Spacetime II (Elsevier, Amsterdam 2006); "Philosophy and Foundations of Physics" Series, Vol. 1, p. 207-228. e-print: http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00002408/01/Petkov-BlockUniverse.pdf

146. Poincare, H. (1989). Znanost i hipoteza. Globus, Zagreb. 147. Potter, F. & Jargodzki, Ch. (2005). Mad about Modern Physics (Braintwisters,

Paradoxes, and Curiosities). John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. 148. Powell, R. A. (1979). Two-capacitor problem: A more realistic view. Am. J. Phys. 47 (5),

р. 460-462. 149. Prandtl, L. (1904). On motion of fluids with very little viscosity. Third International

Congress of Mathematics, Heidelberg, e-print: http://naca.larc.nasa.gov/digidoc/report/tm/52/NACA-TM-452.PDF

150. Preskill, J. (1992). Do Black Holes Destroy Information? [hep-th/9209058] 151. Preskill, J. (1994). Black holes and information: A crisis in quantum physics. e-print:

www.theory.caltech.edu/~preskill/talks/blackholes.pdf 152. Putnam, H. (1967). Time and Physical Geometry. Journal of Philosophy, 64. 153. Quine, W. V. (1962). Paradox. Scientific American, April, p. 84-96. 154. Quine, W. V. (1976). The Ways of Paradox and Other Essays (2nd Edition). Mass.:

Harvard University Press, Cambridge. 155. Rabinovitz, M. (2004). Black Hole Paradoxes. e-print: [astro-ph/0412101] 156. Ramsey, F. P. (1925). The foundations of mathematics. Proceedings of the London Math

ematical Society, Ser. II, 25, p. 338-384. 157. Reichenbach, H. (1951). The Rise of Scientific Philosophy. University of California

Press. Berkeley and Los Angeles. 158. Reichenbach, H. (1957). The Philosophy of Space and Time. Dover, New York.

http://www.iap.fr/eas/EAS18/time18/ontime.html



http://naca.larc.nasa.gov/digidoc/report/tm/52/NACA-TM-452.PDF

http://www.theory.caltech.edu/~preskill/talks/blackholes.pdf


221


160. Ricker III, H. H. (2005). Correct Solution Of The Right Angle Lever Paradox Of Special Relativity. the general science journal. e-print: http://www.wbabin.net/science/ricker12.pdf

161. Rietdijk, C. W. (1966). A Rigorous Proof of Determinism Derived from the Special Theory of Relativity. Philosophy of Science, 33.

162. Rindler, W. (1961). Length contraction paradox. Am. J. Phys. 29, p. 365-6. 163. Rizzi, G. & Ruggiero, M. (2004). Relativity in Rotating Frames. Kluwer, Dordrecht.

(Weber, T. A. Elementary Considerations of the Time and Geometry of Rotating Reference Frames, p. 139-153.)

164. Rizzi, G. & Ruggiero, M. L. (2002). Space geometry of rotating platforms: an operational approach. Found. Phys. 32, p. 1525-1556. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0207/0207104v2.pdf

165. Rovelli, C. & Speziale, S. (2003). Reconcile Planck-scale discreteness and the Lorentz-Fitzgerald contraction. Phys. Rev. D, 67, [gr-qc/0205108]

166. Ruggiero, M. L. (2003). The Relative Space: Space Measurements on a Rotating Platform. Eur. J. Phys. 24, p. 563-573. e-print: http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/0309/0309020v1.pdf

167. Sainsbury, R. M. (1995). Paradoxes. Cambridge University Press, Cambridge. 168. Schiller, C. (2007). Motion Mountain (The Adventure of Physics). Motion Mountain 20th

revision, e-print: http://www.motionmountain.net 169. Schlichting, H. (1955). Boundary Layer Theory. McGraw-Hill, New York. 170. Schneider, J. (1997). Time and the Mind Body Problem: A Quantum Perspective.

American Imago 54, p. 307. e-print: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9707056 171. Schneider, J. (1997). Time and the Mind Body Problem: A Quantum perspective.

Presented at Meeting on Psychoanalysis and Physics, New York, Dec. 1996. e-print: http://arxiv.org/abs/quant-ph/9707056

172. Scriven, M. (1951). Paradoxical Announcements. Mind 60, р. 403–407. 173. Seeliger, H. (1895). Ueber das Newton’sche Gravitationsgesetz. Astr. Nachr. 137, Issue

9. р. 129-136. 174. Selleri, F. (1990). Quantum Paradoxes and Physical Reality. Springer-Verlag, New

York. 175. Selleri, F. (1997). Noninvariant one way speed of light and locally equivalent reference

frames. Found. Phys. Lett. 10, p. 73-83. e-print: http://oldserver.ba.infn.it/~selleri/R18%20-%20FPL.pdf

176. Senir, T. B. A. (1975). Some Extensions of Babinet’s Principle. The Journal of the Acoustical Society of America, Vol. 58, Issue 2, p. 501-503. e-print: http://www.eecs.umich.edu/RADLAB/html/techreports/RL612.pdf

177. Sherwin, B. W. (1960). Some Recent Experimental Tests of the Clock Paradox. Physical Review, Vol. 120.

178. Shu-Kun, L. (1996). Gibbs paradox of entropy of mixing: experimental facts, its rejection and the theoretical consequences. Electronic Journal of Theoretical Chemistry, Vol. 1, р. 135-150.

179. Smarandache, F, Christianto, V, Yuhua, F, Khrapko, R. & Hutchison, J. (2006). Unfolding the Labyrint: Open Problems in Physics, Mathematics, Astrophysics, and Other Areas of Science. Hexis, Phoenix.

http://www.wbabin.net/science/ricker12.pdf







http://oldserver.ba.infn.it/~selleri/R18%20-%20FPL.pdf

http://www.eecs.umich.edu/RADLAB/html/techreports/RL612.pdf


222

180. Smolin, L. (2007). The TROUBLE with PHYSICS: the Rise of String Theory, the Fall of a Science, and What Comes Next. A Mariner Book Houghton Mifflin Company, New York.

181. Snider, A. C. (2001). Essential Paradox: Grounds for Debate. International Debate Education Association Conference 2001, Debate and Argumentation: Opening Minds, Borders and Societies, Prague.

182. Sommerfeld, A. (1908). Ein beitrag zur hydrodynamischen erklärung der turbulenten flüssigkeitsbewegungen. Atti del 4. Congr. Internat.dei Mat. III, Roma. p. 116-124.

183. Sorensen, R. (2003). A Brief History of the Paradox: philosophy and the labyrints of the mind. Oxford University Press, Oxford.

184. Souder, L. (1997).Trying to Get a Grip on Virtual Reality. e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought

185. Souder, L. (1997). A Way to Describe and Evaluate Thought Experiments. e-print: http://astro.ocis.temple.edu/~souder/thought

186. Spade, P. V. (2002). Thoughts, Words and Things: An Introduction to Late Mediaeval Logic and Semantic Theory. e-print: http://pvspade.com/Logic/docs/thoughts1_1a.odf

187. Supek, I. (1980). Povijest fizike. Školska knjiga, Zagreb. 188. Supplee, J. M. (1989). Relativistic buoyancy. Am. J. Phys. 57, p. 75-77. 189. Susskind, L. (1997). Black Holes and the Information Paradox. Scientific American. e-

print: www.sciam.com 190. Suter, R. B, Rosenberg, O, Loeb, S, Wildman, H. and Long, J. (1997). Locomotion on

the water surface: propulsive mechanisms of the fisher spider Dolomeds triton. J. Exp. Biol. 200, p. 2523-2538.

191. Szabo, L. E. (2004). On the meaning of Lorentz covariance. Foundation of Physics Letters 17. p. 479-496.

192. Szabo, L. E. (2010). Lorentzian theories vs. Einsteinian special relativity – a logico-empiricist reconstruction. Forthcoming in A. Maté, M. Rédei and F. Stadler (eds.), Vienna Circle and Hungary – Veröffentlichungen des Instituts Wiener Kreis. Berlin and New York: Springer.

193. Tappenden, J. (1993). The Liar and Sorites Paradoxes: Toward a Unified Treatment. The Journal of Philosophy, Vol. 90, Issue 11, p. 551-577.

194. Tartaglia, A. (1998). Is the EPR paradox a paradox? [quant-ph/9805074] 195. Tartaglia, A. (2004). Does anything happen on a rotating disk? Relativity in Rotating

Frames Edited by Guido Rizzi and Matteo Luka Ruggiero, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. p. 261-275. e-print: http://freeweb.supereva.com/solciclos/tartaglia_d.pdf

196. Terletskii, Y. P. (1968). Paradoxes in theory of Relativity. Plenum Press, New York. 197. Terrell, J. (1959). Invisibility of the Lorentz Contraction. Physical Review, Vol. 116, No

4, p. 1041-1045. 198. Thorne, K. S. (1968). Gravitational Radiation Damping. Physical Review Letters 21, p.

320-323. 199. Tyndall, J. (1868). Faraday as a Discoverer. Longmans, Green, and Co. London. 200. Veysey, J. II & Goldenfeld, N. (2007). Simple viscous flows: From boundary layers to

the renormalization group. Rev. Mod. Phys., Vol. 79, No. 3, July–September 2007. 201. Walker, J. (2006). The Flying Circus of Physics, second edition. published by John

Wiley & Sons. 202. Wapner, L. M. (2005). The Pea & the Sun: A Mathematical Paradox. AK Peters Ltd,

Wellesly, Massachusetts.



http://pvspade.com/Logic/docs/thoughts1_1a.odf

http://www.sciam.com/

http://freeweb.supereva.com/solciclos/tartaglia_d.pdf


223

203. Watson-Manheim, M. B, Chudoba, K. M & Crowston, K. (2004). The Paradox of Discontinuities and Continuities: Toward a More Comprehensive View of Virtuality. Academy of Management, New Orleans, LA. (August 6, 2004 - August 11, 2004). e-print: http://crowston.syr.edu/papers/paradox2004.pdf

204. Weber, T. A. (2003). Elementary Considerations of the Time and Geometry of Rotating Reference Frames. Fundamental Theories of Physics, Vol. 135, p. 139-154.

205. Wheeler, J. A. & Zurek, W. H. (1983). Quantum Theory and Measurement. Princeton U. Press, Princeton.

206. Weiss, M. (1995). The Rigid Rotating Disk in Relativity. e-print: http://www2.corepower.com:8080/~relfaq/rigid_disk.html

207. Weiss, M. (1995). Bell’s Spaceship Paradox. e-print: http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/spaceship_puzzle.html

208. Wilson, M. & Wilson, H. A. (1913). On the electric effect of rotating a magnetic insulator in a magnetic field. Proc. R. Soc., Ser. A 89, London, p. 99-106. e-print: http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/wilson_prsla_89_99_13.pdf

209. Witrow, G. J. (1985). Šta je vreme? Prosveta, Beograd. 210. Witrow, G. J. (1993). Vreme kroz istoriju. SKZ, Beograd. 211. Zermelo, E. (1896). Uber einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie.

Ann. Physik 57, р. 485–494. 212. Zetsepin, G. T. & Kuzmin, V. A. (1966). Upper Limit of the Spectrum of Cosmic Rays.

JTEP Letters, 4. p. 78-80. 213. Aничин, И. В. (1995). Мерење – дискретни шарм цивилизације, e-print:

http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/Nuklearna/clanci/merenje.PDF 214. Аничин, И. В. (2006). Обрада резултата мерења. Универзитет у Београду-

Физички факултет (треће издање), Београд. 215. Антонић, В. (2000). ДА ЛИ ПОСТОЈЕ СТВАРИ КОЈЕ НЕ ПОСТОЈЕ: Водич за

критичко размишљање. Публикум, Београд. 216. Aристотел. (1989). Метафизика. св. Симеон Мироточиви, Врњачка Бања. 217. Aристотел. (1987). Физика. СНЛ, Загреб. 218. Арсенијевић, М. (1986). Простор, време, Зенон. БиблиотекаТека Филозофске

студије, Београд-Загреб. 219. Арсенијевић, М. (2003). Време и времена. Дерета, Београд. 220. Аурелије Аугустин. (1973). Исповијести. Кршћанска садашњост, Загреб. 221. Баркер, С. (1973). Филозофија математике. Нолит, Београд. 222. Берберовић, Ј. (1990). Филозофија и свијет науке. Свјетлост, Сарајево. 223. Богојевић, А. (2005). Криза идеје и излаз из кризе. Млади физичар, 101. e-print:

http://scl.phy.bg.ac.rs/popularization/buducnost.ppt. 224. Богојевић, А. (2004). Парадокс. Предавање у градској кући Ниша маја 2004. e-print:

http://scl.phy.bg.ac.yu/popularization/paradox.ppt. 225. Божић, М. (2002). Преглед историје и филозофије математике. Завод за уџбенике

и наставна средства, Београд. 226. Божић, М. (2002). Улога парадокса у развоју математике. Флогистон, бр. 10,

Београд. стр. 81-101. 227. Бом, Д. (1972). Узрочност и случајност у савременој физици. Нолит, Београд. 228. Бор, Н. (1985). Атомска физика и људско знање. Нолит, Београд. 229. Борстин, Д. Џ. (2003). Свет открића. Геополитика, Београд.

http://crowston.syr.edu/papers/paradox2004.pdf


http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/spaceship_puzzle.html

http://www.physics.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/wilson_prsla_89_99_13.pdf

http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/Nuklearna/clanci/merenje.PDF

http://scl.phy.bg.ac.rs/popularization/buducnost.ppt

http://scl.phy.bg.ac.yu/popularization/paradox.ppt


224

230. Бошковић, A. (1998). Постмодернизам, антропологија и здрав разум. Социологија, Vol. 40, бр. 2, стр. 211-242.

231. Вајцзекер, К. Ф. фон. (1988). Јединство природе. Веселин Маслеша, Сарајево. 232. Гонда, И. (2002). Активно учење у учионици. Читалиште, бр. 20. e-print:

http://www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/342.pdf 233. Грибин, Џ. (1989). У трагању за Шредингеровом мачком. Просвета, Београд. 234. Грин, Б. (2009). Елегантни космос. Хеликс, Смедерево. 235. Градина, (1989). бр.11, Ниш. 236. Дејић, М. и Дејић, Б. (1987). Занимљиви свет математике. Нолит, Београд. 237. Дејић, М. (1990). Тајни свет математике. Нолит, Београд. 238. Дијем, П. (2003). Циљ и структура физичке теорије. Издавачка књижарница

Зорана Стојановића, Сремски Карловци·Нови Сад. 239. Диренмат, Ф. (1969). Посета старе даме. Физичари. Рад, Београд. 240. Жижић, Б. (1989). Курс опште физике, физичка механика. ИРО Грађевинска

књига, Београд. 241. Ивановић, Д. (1985). Историјско-филозофска питања физике. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 242. Јакшић, M. (1998). Парадокси и загонетке у економији. Чигоја штампа, Београд. e-

print: http://ns.ekof.bg.ac.yu/predmeti/rem/knjige/m-jak/paradoks/PARADOKS.PDF 243. Јанковић, Д. (2000). Конотативни аспект значења: утврђивање латентних

димензија. Психологија, 1-2, стр. 199-220. 244. Каку, М. (2005). Ајнштајнов космос. Хеликс, Смедерево. 245. Капор, Д. (1993). Један заборављени комад. Млади физичар, 48. стр. 16-18. 246. Коаре, А. (1981). Научна револуција. Нолит, Београд. 247. Коен, М. и Нејгел, Е. (1979). Увод у логику и научни метод. Завод за уџбенике и

наставна средства, Београд. 248. Kонстатиновић, Р. (1966). Проблем значења научних апстракција код Филипа

Франка. Институт друштвених наука, Београд. 249. Коплстон, Ф. (1988). Историја филозофије (Грчка и Рим). БИГЗ, Београд. 250. Кун, T. (1974). Структура научних револуција. Нолит, Београд. 251. Марић, З. (1986). Оглед о физичкој реалности. Нолит, Београд. 252. Миљковић, К. (2001). Олберсов парадокс - зашто је небо црно. e-print:

http://www.astronomija.co.yu/teorije/olbers/olbersovo.htm 253. Млађеновић, M. (1986). Развој физике (електромагнетизам). ИРО "Грађевинска

књига", Београд. 254. Млађеновић, М. (1991). Кораци открића природе. Градина, Ниш. 255. Млађеновић, М. (1989). Развој физике (IV термодинамика). Научна књига,

Београд. 256. Млађеновић, М. (1986). Развој физике (механика и гравитација). ИРО

"Грађевинска књига", Београд. 257. Млађеновић, М. (1986). Развој физике (оптика). ИРО "Грађевинска књига",

Београд. 258. Мушицки, Ђ. (1984). Увод у теоријску физику II (статистичка физика).

Природноматематички факултет Универзитета у Београду, Београд. 259. Најгел, Е. (1974). Структура науке. Нолит, Београд. 260. Окуњ, Л. Б. (1992). Физика елементарних честица. Фонд "инг. Петра и Соње

Суботић", Београд.

http://www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/342.pdf

http://ns.ekof.bg.ac.yu/predmeti/rem/knjige/m-jak/paradoks/PARADOKS.PDF

http://www.astronomija.co.yu/teorije/olbers/olbersovo.htm


225

261. Опенхајмер, Р. (1967). Наука и здрав разум. Просвета, Београд. 262. Павловић, Б. (2006). Филозофија природе. Плато, Београд. 263. Перељман, Ј. И. (1976). Занимиљива физика. Нолит, Београд. 264. Петровић, А. (2000). Историја науке – дивна могућност за подвиг или слика

Доријана Греја. Флогистон, бр. 9, Београд. стр. 7-18. 265. Пенроуз, Р. (2004). Царев нови ум. ИНФОРМАТИКА, Београд. 266. Попер, К. (1973). Логика научног открића. Нолит, Београд. 267. Поповић, Б. (1981). Зборник проблема из електромагнетике. Грађевинска књига,

Београд. 268. Простор и време данас (текстови приређени у сарадњи са Жилом Миноом),

(1987). Нолит, Београд. 269. Рајхенбах, Х. (1964). Рађање научне филозофије. Нолит, Београд. 270. Расел, Б. (1962). АБЦ теорије релативности. Савремена школа, Београд. 271. Свети Августин. (1989). Исповести. Графос, Београд. 272. Секей, Г. (1990). Парадоксы в теории вероятностей и математической

статистике. Мир, Москва. 273. Секулић, Н. (2002). Постмодернизам и крај антропологије. Социологија, Vol. 44, бр.

4, стр. 343-365. 274. Сесардић, Н. (приредио) (1986). Филозофија науке. Нолит, Београд 275. СФИН, (1989). Гравитација и космологија (Зборник радова посвећен сећању на

Ђорђа Живановића. Институт за теоријску физику, год.II бр.2, Београд. 276. Фавр, Л. (1921). Научни дух и научни метод. Напредак, Београд. 277. Фејнман, Р. (1986). Особитости физикалних закона. Школска књига, Загреб. 278. Хајзенберг, В. (1989). Физика и метафизика. Нолит, Београд. 279. Хофштетер, Д. Р. (2002). Гедел, Ешер, Бах: једна бескрајна златна нит. Просвета,

Београд. 280. Цуцић, Д. (1998). Фиктивни експеримент у физици. Флогистон бр. 8 (часопис за

историју наука), Музеј науке и технике, Београд, стр. 91-137. 281. Цуцић, Д. (2001). Фиктивни експеримент у физици. (магистарски рад) 282. Цуцић, Д. (2009). Свети Аугустин и утемељење једне парадигме. НАУКА-

РЕЛИГИЈА-ОБРАЗОВАЊЕ – Монографија, Учитељски факултет Универзитета у Београду, Вол. 21, Београд. стр. 115-125.

283. Ћирковић, М. М. (2009). Aртефакт за свемирско путовање. Хеликс, Смедерево. 284. Чевизовић, Д. (2008) Свет с друге стране кванта. Планета, бр. 30, стр. 30. 285. Шешић, Б. (1962). Логика Научна књига, Београд. 286. Шикић, З. (приредио) (1987). Новија филозофија математике. Нолит, Београд. 287. ΘΕΩΡΙΑ, (1979). часопис филозофског друштва Србије, бр. 14, Београд.