I

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

PETRA ERCEG

BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI

Završni rad

Osijek, 2015.

II

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU

ODJEL ZA FIZIKU

PETRA ERCEG

BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI

Završni rad

Predložen Odjelu za fiziku Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike

Osijek, 2015.

III

Ovaj završni rad je izrađen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Zvonka Glumca u״

sklopu Sveučilišnog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveučilišta

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. ״

IV

1. Sadržaj

1. Uvod ..................................................................................................................................................... 0

1.1. Besselove funkcije prve vrste ............................................................................................ 1

1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije ....................................................... 2

1.3. Rekurzijske relacije ....................................................................................................................... 3

1.4. Hankelove funkcije ....................................................................................................................... 4

1.5. Sferne Besselove funkcije ............................................................................................................. 5

2. Primjene Besselovih funkcija u fizici ..................................................................................................... 7

2.1. Titranje kružne membrane ............................................................................................................... 7

2.2. Potencijalna jama ........................................................................................................................... 15

2.3. Ogib na okrugloj pukotini ............................................................................................................... 19

3. Literatura ............................................................................................................................................ 24

V

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Završni rad

Odjel za fiziku

BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI

PETRA ERCEG

Sažetak

U ovom završnom radu ukratko je izložena teorija Besselovih funkcija te je kroz dva primjera iz

klasične fizike i jedan iz kvatne fizike približena njihova važnost u rješavanjima problema

realnog svijeta. U sklopu teorijske razrade funkcija, fokus je bio na onim dijelovima koji su

korišteni u primjeni na probleme, te nisu navedena sva svojstva Besselovih funkcija.

(24 stranice, 9 slika, 2 tablice)

Rad je pohranjen u knjižnici Odjela za fiziku

Ključne riječi: Besselove funkcije/ membrana/ ogib / potencijalna jama/ titranje

Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac

Ocjenjivači:

Rad prihvaćen:

VI

University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis

Department of Physics

BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI

PETRA ERCEG

Abstract

This papper has been designed with two objects in view. The first object is the theory of the

Bessel functions, which consists of the main properties that are used in the second part. The

second object is an aplication of all learned in three realistic problems of classical and quantum

physics. Papper does not give insight into all properties of Bessel functions, just the ones used in

problems.

(24 pages, 9 figures, 2 tables)

Thesis deposited in Department of Physics library

Keywords: Bessel function/ diffraction/ membrane/ oscillation/ potential gap

Supervisor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac

Reviewers:

Thesis accepted: :

0

1. Uvod

Besselove funkcije pojavile su se kao rješenje Besselove diferencijalne jednadžbe, vrlo česte u

problemima fizike, astronomije i raznih drugih prirodnih znanosti. Iako ih je prvi definirao

Daniel Bernoulli, ime su dobile po Friedrichu Wilhelmu Besselu (1784.-1846.), njemačkom

matematičaru i astronomu, koji je do te diferencijalne jednadžbe došao u jednom astronomskom

problemu. No, Bessel nije jedini koji je proučavao te funkcije. Budući da su se pojavljivale u

najrazličitijim problemima, postale su vrlo važne pa su znanstvenici sustavno krenuli proučavati

sva njihova svojstva. Na kraju je nastala čitava jedna teorija o Besselovim funkcijama koju je

1922. godine profesor G.N. Watson sustavno izložio u svojoj knjizi „A Treatise on the theory of

Bessel functions“. Ova knjiga mi je poslužila kao glavni izvor za pisanje ovog završnog rada.

Besselova diferencijalna jednadžba je oblika:

za proizvoljan realan ili kompleksan broj koji predstavlja red Besselove jednadžbe.

Najzanimljivije su one za koje je cijeli broj . Iako će i vrijednosti dati istu

diferencijalnu jednadžbu, u praksi definiramo različite Besselove funkcije za ova dva reda. Osim

kao Besselove, ove funkcije poznate su još pod imenima „cilindrične funkcije“ ili „cilindrični

harmonici“ jer se pojavljuju u rješenjima Laplaceove jednadžbe u cilindričnim koordinatama.

Budući da se radi o diferencijalnoj jednadžbi drugog reda, moraju postojati dva linearno

nezavisna rješenja. U tablici 1.1. prikazane su sve oznake i imena mogućih rješenja

diferencijalne jednadžbe u ovisnosti o okolnostima.

Tablica 1.1. Oznake i imena rješenja Besselove diferencijalne jednadžbe

Tip funkcije Prva vrsta Druga vrsta

Besselove

Modificirane Besselove

Hankelove

Sferne Besselove

Sferne Hankelove

1

1.1. Besselove funkcije prve vrste

Besselove funkcije prve vrste obično se označavaju sa . To su rješenja Besselove

diferencijalne jednadžbe oblika:

Izraz „prve vrste“ odnosi se na to da obuhvaća funkcije koje su, za pozitivnu vrijednost

regularne u Sva rješenja obične Besselove diferencijalne jednadžbe koja su linearno

nezavisna u odnosu na su neregularna u za svaki . Ona se označavaju sa i

zovu Besselove funkcije druge vrste.

Besselovu funkciju prve vrste izvest ćemo preko funkcije izvodnice koju ćemo razviti u

Laurentov red:

Koeficjenti uz definiraju Besselovu funkciju prve vrste cjelobrojnog reda Razvojem

eksponencijalne funkcije, dobiva se umnožak dva MacLaurinova reda u varijablama i

– :

Kada je , potencija , pa slijedi Besselova funkcija prve vrste nultog reda:

Nadalje uvrštavamo da je , pa čime dobivamo redom Besselove funkcije

prve vrste prvog reda i drugog reda. Tada vidimo da općenito vrijedi:

Prvih nekoliko članova dobra su aproksimacija za male vrijednosti x.

2

Slično se mogu dobiti i Besselove funkcije negativnog cjelobrojnog reda, pa slijedi:

Slika 1.1. Prikaz Besselove funkcije prve vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2.

1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije

Već smo pronašli dva rješenja Besselove jednadžbe i označili ih sa i , ali smo vidjeli

i da ne formiraju opće rješenje jer su međusobno linearno zavisna. U daljnjem rješavanju javlja

se i rješenje koje ima singularitet u ishodištu, za i koje je linearno nezavisno od .Ta

rješenja nazivaju se Besselove funkcije druge vrste ili Neumannove funkcije te se označavaju sa

ili .

Uobičajena definicija Neumannovih funkcija je preko linearne kombinacije rješenja i

oblika:

U slučaju kada je cijeli broj, funkcija je definirana sa limesom:

Neumannove funkcije su neregularne u , ali kako se povećava postaju oscilirajuće, kao

što se vidi na slici 1.2.

3

Slika 1.2. Prikaz Besselove funkcije druge vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2.

Također, postoji veza:

Neumannove funkcije u fizici su bitne za rješavanje problema za koje nije bitan singularitet u

ishodištu kao što su problemi kvantne mehanike ili elektromagnetski valovi u koaksijalnim

kablovima.

1.3. Rekurzijske relacije

Rekurzije za Besselove funkcije i njihove derivacije mogu se dobiti iz funkcije izvodnice. Ako

deriviramo parcijalno funkciju izvodnicu po varijabli :

I izjednačimo ta dva izraza:

4

Uvedimo nove varijable zbrajanja tako da sve potencije budu iste

Budući da je izraz jednak nuli samo kada je svaka zagrada zasebno jednaka nuli, rekurzija

poprima oblik:

Uvedemo li da je , dobit ćemo uobičajeni zapis:

Sličnim postupkom lako je doći i do formule za rekurziju derivacije:

1.4. Hankelove funkcije

S obzirom da smo ustanovili kako Besselove funkcije prve i druge vrste čine potpuno rješenje

Besselove diferencijalne jednadžbe, za pretpostavit je da Hankelove funkcije mogu biti samo

linearne kombinacije funkcija koje smo već pronašli. Takve funkcije imaju asimptotska obilježja

i poprilično su beskorisne u primjeni, ali su bitna u teorijskim razmatranjima zato što ih linearna

kombinacija nekad čini jednostavnijima za rješavanje.

Hankelove funkcije, ili Besselove funkcije treće vrste, su sljedeće linearne kombinacije:

5

Budući da su ove funkcije konstruirane od Besselovih funkcija prve i druge vrste, za njih vrijede

iste rekurzivne relacije.

U zaključku, Hankelove funkcije su pogodne za opisivanje gibanja valova te su korisne jer

donose nova, asimptotska obilježja Besselovih funkcija.

1.5. Sferne Besselove funkcije

Sferne Besselove funkcije pojavile su se pri rješavanju Helmholtzove jednadžbe u sfernim

koordinatama:

separacijom varijabli. Radijalna jednadžba ima oblik:

Dva linearno nezavisna rješenja ove jednadžbe zovu se sferne Besselove funkcije i koje su

povezane sa Beselovim funkcijama prvog reda i preko:

Također, javlja se i oznaka za kao sferne Neumannove funkcije

Sferne Besselove funkcije mogu biti pisane i kao:

Prvih par sfernih Besselovih funkcija prikazano je u tablici 1.2. i slikama 1.6.1. i 1.6.2.

6

Tablica 1.2. Prve 3 sferne Besselove fukcije prvog i drugog reda

Slika 1.6.1. Prikaz sferme Besselove funkcije prve vrste , za n=0,1,2

7

Slika 1.6.2. Prikaz sferme Besselove funkcije druge vrste; sferna Neumannova funkcija , za n=0,1,2

2. Primjene Besselovih funkcija u fizici

2.1. Titranje kružne membrane

Sada ćemo primjeniti prije stečeno znanje o Besselovim funkcijama na razne konkretne primjere.

Kao prvo, proučavat ćemo dvodimenzijsko titranje kružne membrane. Za mene je ovaj primjer

posebno zanimljiv jer opisuje i titranje membrane (kože) na bubnjevima, a sviranje udaraljki moj

je dugogodišnji hobi.

Polazimo od konkretno zadanog problema: imamo zadanu kružnu membranu, koja je pričvršćena

na rubu, tako da niti jedna točka njenog ruba ne može titrati, baš kao koža na dobošu1. Da bi

mogli matematički opisivati to titranje, moramo imati neki koordinatni sustav, a po logici stvari

vidimo da je polarni sustav najprikladniji.

Da bi membrana titrala, na nju moraju djelovati neke sile ili napetosti, i to na svaki njen element.

Na slici (2.1.1.) su prikazane sile na jedan takav element.

1 Doboš (eng. snare drum) – jedna od osnovnih komponenti bubnja, 2 membrane na drvenoj ili metalnoj ljusci,

naglašava udarce u nekom ritmu

8

Slika 2.1.1.Sile na element membrane

Pretpostavljamo da su napetosti na svaku stranu našeg elementa jednake. Titranje se odvija u

vremenu, pa će i funkcija ovisiti o vremenu. Pošto će membrana na nekim mjestima titrati jače, a

na nekim slabije, također će ovisiti i o koordinatama i . Uz to, uzet ćemo da je debljina

membrane Funkciju titranja označavat ćemo sa .

Slika 2.1.2. Djelovanje napetosti na liniji

9

Slika 2.1.3. Djelovanje napetosti na liniji

Slike (2.1.2.) i (2.1.3.) predstavljaju djelovanje napetosti na infinitezimalno mali element

membrane, na linijama i Kutovi su jako mali, pa možemo

aproksimirati , , što vrijedi i za ostala tri kuta. Isto tako će biti i za

, također i za ostale kutove. U to se uvjerit možemo razvijajući u red potencija,

u kojem zanemarujemo kvadratne i više potencije od . Projicirajući napetosti u međusobno

okomite osi, iz Slike (2.1.2.) dobijemo samo projekcije na os, jer se druge ukidaju, pa imamo:

Zadnji izraz dobijemo kada prvi član uglate zagrade razvijemo u red potencija i zanemarimo

članove i više, pošto su jako mali. To su napetosti koje djeluju u smjeru jediničnog vektora

.

Sličnim postupkom dobijemo za napetosti koje djeluju duž jediničnog vektora :

10

Membrana ima gustoću , pa prema Newtonovom aksiomu imamo:

gdje je

, što je kvadrat brzine.

Ova jednadžba predstavlja diferencijalnu jednadžbu gibanja naše membrane koju trebamo

riješiti. je rješenje te jednadžbe, pretpostavit ćemo da je oblika:

Uvrstimo tu pretpostavku u jednadžbu gibanja:

Da bi gornja jednadžba vrijedila, obje strane jednadžbe moraju biti konstantne. Konstantu

uzimamo negativnu, da bi dobili periodično titranje u vremenu. Separacijom varijabli dobivamo:

To je linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficjentima, čiji je karakteristični

polinom , sa rješenjima , pa će rješenje gornje jednadžbe biti:

Druga jednadžba će biti, kada supstituiramo

, oblika:

11

I u ovom slučaju pretpostavljamo rješenje oblika

I u ovom slučaju gornja jednadžba vrijedi samo onda ako su obje strane konstantne ili jednake 0.

Konstantu uzimamo negativnu kako bi dobili periodičnost u varijabli I sada dobijemo dvije

jednadžbe, od kojih je prva:

čije rješenje nađemo kao i prethodno, te glasi:

Funkcija mora biti periodična funkcija varijable perioda pa će biti cijeli broj, a

rješenje:

Nakon supstitucije druga jednadžba imat će oblik:

Ovo je Besselova diferencijalna jednadžba, čije opće rješenje glasi:

Rješenje mora biti regularno u a pošto je u toj točki beskonačno velika (jer

počinje sa , mora vrijediti . Ovisno o tome kakve vrijednosti poprima

imamo i rješenja;

Membrana je na svom rubu pričvršćena i to nam je rubni uvjet koji matematički izražavamo kao

, što je zapravo uvjet na rješenje radijalne jednadžbe R . Iz uvjeta ćemo

odrediti konstantu k, jer mora vrijediti:

R

12

Besselove funkcije mogu imati beskonačno mnogo nultočaka: pa će zbog toga

konstanta imati beskonačno mnogo vrijednosti, tj. bit će kvantizirana i poprimat će vrijednosti

gdje je

. Konstante ćemo odrediti po formuli:

Za tako određene vrijednosti konstante k, vrijedit će relacija pa će, ako uzmemo

gdje je , biti i . Dobit ćemo čvorne linije na mjestima gdje vrijedi

ta relacija, a bit će ih (m-1).

Rješenja jednadžbe gibanja neovisne o vremenu bit će ove dvije karakteristične vrste funkcija:

Iz ovoga vidimo da će biti (m-1)-na čvorna linija kružnica, i radijalnih čvornih linija, jer

rješenje može biti jedna od ovih funkcija ili u općem slučaju njihov zbroj pomnožen sa nekim

konstantama. U općem slučaju ne moramo imati radijalne čvorne linije, osim u slučaju da su

konstante kojima množimo ove funkcije tako odabrane. Opće rješenje možemo pisati na sljedeći

način:

Inače, opće rješenje bit će superpozicija svih rješenja, za sve i , tj.

Za određivanje konstanti služe nam početni uvjeti:

i

pa će biti:

13

Razvijmo ove dvije funkcije u Fourierov red kao periodične funkcije od :

gdje su

;

, i=1,2

Usporedimo li prve i druge formule funkcija i dobijemo:

Kao što vidimo, koeficijenti Fourierovog reda su funkcije varijable , razvijene u red po

Besselovim funkcijama, tj. imamo red oblika:

Da bi našli koeficijente dokažimo da funkcije

zadovoljavaju relaciju:

14

Pođimo od . Ako prvu pomnožimo sa , a drugu sa

, pa ih oduzmemo, rezultat pomnožimo sa

i integriramo od 0 do l, dobit ćemo:

Isti rezultat dobijemo i za drugi izraz, pa vidimo da je naša tvrdnja dokazana. Zato ako

pomnožimo f(r) sa i integriramo od do dobijemo sljedeće:

Primijenimo li sada taj postupak na naš problem, dobivamo konstante:

Analognim postupkom dolazimo i do formula za konstante . Tako smo odredili

sve nepoznate konstante iz rubnih i početnih uvjeta, te je naš problem potpuno određen - znamo

kako membrana titra u svakom trenutku.

15

2.2. Potencijalna jama

Sljedeći problem koji ćemo obraditi je iz kvantne mehanike. Pitamo se kako možemo opisati

gibanje čestice koja je zarobljena u nekom prostoru s potencijalom odnosno nalazi se u tzv.

potencijalnoj jami. Budući da su pokusi pokazali da čestica može probiti potencijalni bedem,

odnosno „tunelirati“, morat ćemo potražiti rješenje i izvan potencijala. Tako uvjete na česticu

definiramo u obliku:

,

gdje je širina potencijalne jame (Slika 2.2.1.).

Slika 2.2.1. Potencijalna jama

Za rješavanje ovog problema koristit ćemo valnu jednadžbu gibanja, tj .Schrӧdingerovu

jednadžbu za česticu neovisnu o vremenu:

,

gdje je masa čestice, Hamiltonijan, svojstvena funkcija operatora Hamiltonijana

(ovisi o radij-vektoru , reducirana Planckova konstanta, a položaj čestice, radij-

vektor. Jednadžbu ćemo raspisati u polarnom koordinatnom sustavu, jer je tako lakše doći do

rješenja.

16

Rješenje pretpostavljamo u obliku produkta radijalnog i kutnog dijela:

Uvrstimo taj izraz u gornju jednadžbu i dobijemo:

,

gdje je konstanta separacije, pa dobijamo dvije diferencijalne jednadžbe drugog reda; radijalnu

i kutnu:

Kutna jednadžba po varijablama ima rješenja jedino u slučaju kada je , ta

rješenja se zovu kugline funkcije i ovdje ih nećemo razmatrati.

Rješenja našeg problema tražit ćemo za negativne vrijednosti energije (E<0) te ćemo uzeti samo

ona koja su regularna u ishodištu sustava i u beskonačnosti. Uz te uvjete, radijalna jednadžba na

području unutar potencijalne jame poprima oblik:

,

Za područje izvan jame oblika je:

Sada uvedemo supstituciju i oznake za konstante:

,

te

17

Također ćemo izvršiti supstitucije te , te dobiti jednostavniji oblik diferencijalne

jednadžbe:

Rješenja ove jednadžbe su sferne Besselove, Neumanove i Hankelove funkcije;

. Odmah ćemo odbaciti Neumanovu funkciju kao rješenje jer za r=0

ima singularitet. Tako će naša rješenja za područje izvan potencijalne jame biti sferne Hankelove

funkcije, koje možemo za aproksimirati sa prvim članom asimptotskog razvoja:

Prvi izraz možemo shvatiti kao val koji putuje u smjeru povećanja polumjera, a drugi kao val

koji putuje u smjeru smanjenja polumjera.

Česticu u kvantnoj mehanici možemo shvatiti kao val tvari, odnosno njezina čestična i valna

svojstva su nedjeljiva. Ako ju gledamo kao samo val ili samo česticu, bit će ograničena

Heisenbergovim relacijama neodređenosti. Budući da je naša čestica – val sposobna pobjeći iz

jame (tunelirati), smatrat ćemo ju valom koji putuje u smjeru povećanja polumjera, pa će nam

time rješenje za slučaj kada je čestica u potencijalnoj jami biti Besselova funkcija a izvan

potencijane jame Hankelova sferna funkcija

Ta dva rješenja moraju biti jednaka u odnosno u rubu jame, kako bi bilo kontinuirano u

cijelom prostoru.

=

=

Ovakav rubni uvjet pokazuje da nisu moguće sve energije, već samo njihov diskretan niz, koji

predstavlja svojstvene vrijednosti operatora energije Hamiltonijana. Vrijednosti i su

18

konstante normiranja koje se određuju posebno za svaku funkciju čestice preko uvjeta

normiranja.

Specificirajmo ovaj problem za potencijal oblika:

Takav potencijal sa beskonačno visokim zidovima nazivamo beskonačno duboka potencijalna

jama. U tom slučaju čestica će uvijek biti „u jami“, jer neće moći probiti potencijal. Samim time

rješenje za neće postojati, odnosno bit će jednako nuli, dok je rješenje u jami:

Rješenje je smisleno samo ako je . Iz konstante proizlaze stacionarna stanja

energije, tj. svojstvene vrijednosti Hamiltonijana za česticu. S ovim ćemo završiti razmatranja o

potencijalnoj jami.

19

2.3. Ogib na okrugloj pukotini

Ako imamo izvor monokromatske svjetlosti koji šalje zrake u svim smjerovima, to ćemo širenje

svjetlosnih zraka moći prikazati kao kuglasti val koji se širi prostorom u smjeru povećanja

polumjera. Na velikoj udaljenosti od izvora svjetlosti stavimo pregradu s pukotinom, koja će

zaustavljati sve zrake osim onih koje prolaze kroz pukotinu. Pukotina će se ponašati kao novi

izvor svjetlosnih valova (Huygensov princip), u što ćemo se uvjeriti ako iza pregrade postavimo

zastor. Na zastoru će se vidjeti svjetlost od propuštenog snopa iz izvora, a okolo će se još

zamjećivati svijetle pruge konstruktivne interferencije svjetlosnih valova. Ova pojava naziva se

ogib ili difrakcija svjetlosti.

Kako bi odredili valnu funkciju na zastoru, potrebno nam je poznavati teorem koji kaže da se

valna funkcija u nekoj točki može odrediti iz njenih vrijednosti na nekoj plohi (rubu područja) na

kojoj je valna funkcija definirana. Stacionarni oblik valne funkcije vala koji se širi stalno jednako

je:

Takav oblik mora zadovoljavati valnu jednadžbu svjetlosti:

Uvrštavanjem stacionarnog rješenja u valnu jednadžbu dobijemo valnu jednadžbu amplitude,

gdje smo zamijenili

sa :

Zanima nas samo centralnosimetrično rješenje, koje ovisi samo o udaljenosti od neke čvrste

točke, pa je . Zato gornju jednadžbu prevodimo u polarni koordinatni sustav:

Tako smo dobili jednadžbu oblika čije je rješenje oblika , pa je

amplituda:

20

Opća valna centralnosimetrična funkcija glasi:

Pretpostavimo da su i rješenja amplitudne valne jednadžbe pa mora vrijediti:

i

Ako prvu jednadžbu pomnožimo sa , a drugu sa i integriramo po prostoru gdje su obje

funkcije regularne slijedi:

Ovaj integrand možemo preobraziti u:

Po Greenovom teoremu integral prelazi u plošni:

2

Ako se u volumenu integracije nalazi singularna točka gornjeg integranda, ovaj integral ne

iščezava. Zato oko tog singulariteta napravimo malu kuglu tako da područje između kugle i

vanjske plohe bude regularno za integral kako bi on mogao po njemu isčezavati. Normala

vanjske plohe ima smjer van područja, a kod kugle je situacija obratna. Ukoliko okrenemo smjer

kugline normale, iz početnog integrala dobivamo:

Za plošni integral po kugli rješenja

dobijemo:

2 sa sada je označen diferencijal plohe

21

Ako zamislimo da radijus kugle teži nuli, valna funkcija i njene derivacije ostaju regularne.

Površina kugle se smanjuje sa pa će integralu doprinos davati samo članovi koji rastu kao

. Takav se član može dobiti derivacijom:

Pa ako uvrstimo gornji izraz slijedi:

U graničnom prijelazu dobivamo:

Vidimo da vrijednost valne funkcije u nekoj točki unutar neke zatvorene plohe možemo

izračunati pomoću zadanih vrijednosti na rubnoj plohi.

Vratimo se sada na svjetlost koja dolazi od točkastog izvora, gdje je udaljenost izvora od otvora

na pregradi Kuglasti val koji se širi od izvora oblika je:

Bitna je pretpostavka da će isti kuglasti val nastati i na plohi otvora. U ovom konkretnom

slučaju, zamišljamo da je pregrada rasprostranjena u beskonačnost, pa iz naše perspektive valna

funkcija i njena derivacija iščezavaju: Vrijednost dana je integracijom

valne funkcije svjetlosti s izvora po malom otvoru koji propušta svjetlost:

Gradijent obje funkcije su derivacije po , odnosno

22

Smjer normale na plohi uzimamo od točke prema izvoru pa ćemo promijeniti predznak

normalnoj komponenti drugog gradijenta.

Sada imamo:

Kad je otvor mali, a izvor svjetlosti i točka P daleko od njega, ovu formulu možemo

pojednostaviti jer su tada izrazi

skoro konstante kao i kosinusi kutova, pa je:

Ako svjetlost na zastor pada okomito, onda je:

Potpuna valna funkcija tada je:

U slučaju kada je otvor kružnog oblika (Slika 2.3.1.) udaljenost točke od točke na zastoru

gdje tražimo intenzitet svjetlosti je dana izrazom:

Slika 2.3.1. Kružni otvor na pregradi

23

Kada je uz aproksimaciju dobijemo da je jednako:

Uvrštavanjem ovakve formule u potpunu valnu funkciju, dobit ćemo:

Ako umjesto pišemo

Ta formula poznata nam je od ranije (str.3.) ; iz rekurzivnih formula dobijemo:

pa je:

To je formula za određivanje amplitude u nekoj točki. Znamo da je intenzitet svjetlosti u nekoj

točki srazmjeran kvadratu amplitude, iz čega zaključujemo da će maksimumi i minimumi

funkcije , koja je funkcija varijable određivati najsvjetlija mjesta, dok će tamne mrlje

davati nultočke iste Besselove funkcije.

24

3. Literatura

Knjige:

Janković, Knežević-Miljanović, Diferencijalne jednačine I: zadaci sa elementima teorije (4.

print. ed.). Beograd: Beograd : Matematički fakultet

Watson, G.N., A Treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1966.,

II. izdanje

Arfken G.B., Weber H.J., Harris F.E., Mathematical Methods for Physicists, A Comprehensive

Guide, San Diego: Academic Press, 1995 , VII.izdanje