1 Predmetriˇcki prostori 1pmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/DodiplomskiStudij/...Recenzenti ovog univerzitetskog udˇzbenika: Prof.dr.sc. Mehmed Nurkanovi´c, Prof.dr.sc. Vedad

Sadrzaj

1 Predmetricki prostori 1

1.1 Prametricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Pseudometricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Ultrametricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4 Sumarni pregled geneze metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Metricki prostori 14

2.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.1 Osobine metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Pravljenje novih metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 Konstrukcija metrike na produkt prostoru . . . . . . . . . . 212.1.4 Konstrukcija metrike iz pseudometrike . . . . . . . . . . . . 232.1.5 Primjeri metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.6 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . . . . . . 352.1.7 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.8 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.1.9 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2 Neprekidnost preslikavanja na metrickim prostorima . . . . . . . . 652.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . . . . . . 652.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Bibliografija 82

Indeks pojmova 83

Popis slika 85

Predgovor

Iako mozda svako od nas ima svoju predstavu o prostoru, svima je iz svakodnev-nog zivota poznato, makar iskustveno, sta znaci prostor, a sta rastojanje. Prostoruobicajeno shvatamo kao neko mjesto gdje se odigravaju dogadaji, a pod rasto-janjem shvatamo ”najkracu” duzinu izmedu dvije tacke. Prirodno, u prostorpostavljamo i koordinatni sistem, a u okviru njega biramo tacku za koju kazemoda ”od nje pocinje sve”, koordinatni pocetak. Takode je svima dobro poznato dase rastojanje izmedu dvije tacke u prostoru koji dozivljavamo, odreduje cuvenomPitagorinom teoremom:

d2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 ,

gdje je d rastojanje, a xi,yi i zi (i ∈ 1,2), koordinate tacaka izmedu kojih mje-rimo rastojanje.Sve je ovo ”jednostavno” i dobro poznato iz svakodnevnog zivota, ali ”jednosta-van” je i prostor u kome mislimo da zivimo. To je samo jedan specijalan slucajopsteg pojma prostora i nacina mjerenja rastojanja.

Ideja o objektima koji postoje i obitavaju u nekom prostoru je od temeljnevaznosti za ljudska bica da bi razumjeli svoje okruzenje, svemir. Nije samo dasu u svakodnevnom i stvarnom zivotu ovakve pojave usko povezane s prostor-vremenom koga opisuje fizika, nego su i apstraktni pojmovi objekata rutinskioslikani, prepusteni masti, kao nesto sto postoji u konceptualnim prostorima.Ta masta je implicitna u jeziku koji koristi geometrijske i prostorne uslove zaopisivanje stvari. Pored rastojanja u fizickim prostorima, mozemo govoriti opriblizavanju tangente ka objektu, o bliskim rodbinskim vezama, o vicu koji idepredaleko, ili nekim drugim idejama u kojima koristimo pojam blizine, daljine ilirastojanja. Psihologija povezanosti izmedu mjesta, pravca, smjera i udaljenostiu fizickom prostoru, i apstraktnih ideja u nasem umu, ima velike vaznosti zarazvojne funkcije covjeka.

Posmatrajmo nekoliko primjera poznatih nam iz matematicke analize.

Primjer. Neka je f : R → R. Funkcija f je neprekidna u tacki a ∈ R ako zaproizvoljno ε > 0 postoji δ > 0, tako da je |f(x)−f(a)| < ε, kad god je |x−a| < δ.

iii

Primjer. Neka je F :R2 →R. Za L ∈R kazemo da je granicna vrijednost funkcijeF , kada se tacka X(x1,x2) priblizava tacki A(a1,a2), ako za proizvoljno ε > 0,postoji δ > 0, tako da je |F (x1,x2)−L| < ε, cim je 0 <

√

(x1 − a1)2 + (x2 − a2)2 <δ.

Primjer. Kazemo da niz (xn)n∈N konvergira ka x∗ ako za proizvoljno ε > 0 postojin ∈ N, tako da je za svako n ≥ n0, |xn − x∗| < ε.

Iskazujuci gornje cinjenice obicnim govorom, u prvom primjeru tvrdimo da jevrijednost funkcije f(x) proizvoljno blizu vrijednosti f(a), cim je tacka x dovoljnoblizu tacki a. U drugom primjeru tvrdimo da ce F (x1,x2) biti kako god hocemoblizu vrijednosti L, samo treba tacka X(x1,x2) biti dovoljno blizu tacki A(a1,a2).U trecem primjeru vidimo da su skoro svi clanovi niza proizvoljno blizu vrijednostix∗. Ocigledno da u sva tri gornja primjera nisu toliko bitna algebarska svojstvarealne prave i realne ravni, koliko cinjenica da smo u stanju mjeriti rastojanjaizmedu tacaka u datim skupovima.Ideje granicne vrijednosti i neprekidnosti koje smo izucavali u ranijim kurse-

vima Matematicke analize, a ticu se Euklidskih prostora, bitne su i u drugimprostorima, naprimjer u prostorima funkcija ili prostorima nizova. Obje ove idejevezane su za pojam blizine. Ovo cemo mnogo bolje shvatiti i razumjeti ako po-jam blizine definisemo u terminima neke funkcije rastojanja. Ovakav koncept nasdovodi do pojma metrickih prostora.Metricki prostori su specijalna vrsta topoloskih prostora. Svaki metricki prostor

moze se na prirodan nacin snabdjeti topologijom koja ovisi o metrici tog metrickogprostora. Prema tome, metricki prostori daju bogat izvor primjera u topologiji,a uz to mnoge primjene topologije u analizi su date putem metrickih prostora.Ova knjiga prvenstveno je namijenjena studentima cetvrte godine prvog ciklusa

studija matematike i u potpunosti prati silabus predmeta ”Metricki prostori” naOdsjeku matematika Prirodno-matematickog fakulteta Univerziteta u Tuzli, teje namijenjena da bude udzbenik na tom predmetu. Dakako, nadamo se dace ova knjiga biti interesantna i korisna i drugima koje se bave matematikom imatematickim istrazivanjima.U prvom poglavlju uvodi se pojam rastojanja (metrike) genezom uslova (aksi-

oma) na funkciju koja bi trebala predstavljati alat za mjerenje rastojanja meduelementima proizvoljnog skupa. Na taj nacin dati su pojmovi prametrike i pra-metrickih prostora, pseudometrike i pseudometrickih prostora, ultrametrike i ul-trametrickih prostora, a na kraju je dat i zbirni pregled geneze metrike.U drugom poglavlju definisan je pojam metrike i metrickih prostora, navedeneosnovne osobine, te slikovito date konstrukcija metrike na produkt prostoru i izvo-djenje pojma metrike iz pseudometrike. Naveden je veci broj primjera najvaznijihmetrickih prostora, koji su koristeni u drugim predmetima iz matematicke ana-lize, te objasnjen pojam ogranicenosti skupa u metrickom prostoru. Uveden jepojam potprostora metrickog prostora i ekvivalentosti metrika na istom skupu.

iv Metricki prostori

Pojam neprekidnosti i tipovi neprekidnosti su obradeni u okviru posebne sekcije,kao i pojam konvergencije u metrickim prostorima.Poglavlje 3 je posveceno pojmu kompletnosti metrickih prostora, zatim proble-matici kompletiranja metrickog prostora, kao i pojmu kategorijalnosti skupovauz navodenje veoma bitnog Baireov teorema.U cetvrtom poglavlju uveden je pojam separabilnosti metrickog prostora i nave-dene osobine separabilnih prostora.Povezanost metrickih prostora je posebno specificirana osobina metrickih pros-tora, koja je razradena u petom poglavlju, navodenjem definicije i osobina pove-zanosti, komponenti povezanosti i objasnjavanjem pojma putne povezanosti, kaoi veze putne povezanosti i povezanosti.U poglavlju 6 detaljno je obradena kompaktnost u metrickim prostorima, gdjesu u okviru posebnih sekcija uvedeni: definicija kompaktnosti i karakterizacije,neprekidnost funkcije na kompaktnim skupovima, lokalna kompaktnost i jedanspecijalni kriterij relativne kompaktnosti na prostoru neprekidnih funkcija.Poglavlje 7 je veoma vazno poglavlje u sagledavanju cijele problematike date uknjizi. Osim sto sadrzi detaljnu pripremu za formulaciju Banachovog teorema ofiksnoj tacki, dat je i veliki broj primjena ovog teorema, posebno u numerickojmatematici.Osmo poglavlje je svojevrsni dodatak teoriji metrickih prostora, buduci da sebavi pitanjem uvodenja metrike u normiranim prostorima. U posebnoim sekci-jama su obradeni Banachovi prostori (kompletni, normirani, vektorski prostori)i konveksnost u normiranim prostorima. Na kraju, u Dodatku 1, je dat primjerLp prostora koji slikovito demonstrira koristenje ranije usvojenih matematickihpojmova i metoda.

Recenzenti ovog univerzitetskog udzbenika: Prof.dr.sc. Mehmed Nurkanovic,Prof.dr.sc. Vedad Pasic i Doc.dr.sc. Amra Rekic-Vukovic, ulozili su dosta svogprofesionalnog znanja i truda, te svojim strucnim sugestijama znacajno doprinijelida ova univerzitetska knjiga u konacnici bude preglednija i sadrzajnija. Prijatnanam je duznost i cast da im izrazimo iskrenu zahvalnost na pomoci i saradnji.Zahvalni smo kolegi Doc.dr.sc. Elvisu Barakovicu na tehnickoj podrsci i saradnjiu toku izrade ove knjige.Zahvalni smo izdavacu knjige na strpljenju i profesionalno uradenom poslu.

Autori

1 Predmetricki prostori

1.1 Prametricki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pseudometricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Ultrametricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Sumarni pregled geneze metrike . . . . . . . . . . . . 13

U ovom prvom dijelu pokusat cemo doci do pojma rastojanja genezom uslova(aksioma) na funkciju koja bi trebala predstavljati alat za mjerenje rastojanja, od-nosno doci do prirodnih zahtjeva, ali takode i minimalnog broja istih, na metrikuili metricku funkciju. To ce rezultirati nizom prostora koji ”prethode” metrickimprostorima i predstavljat ce prirodan uvod ka pojmu metrickog prostora.

1.1 Prametricki prostori

U daljem sto slijedi podrazumijevat cemo da je X proizvoljan apstraktan i nepra-zan skup. Zahtjev za nepraznoscu je prirodan jer zelimo da mjerimo ”rastojanja”izmedu objekata.

Definicija 1.1

Neka je X proizvoljan skup. Ako funkcija d : X × X → R, za proizvoljnex,y ∈ X zadovoljava uslove

(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2′) x = y =⇒ d(x,y) = 0,

tada kazemo da je d prametrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d prametrika, nazivamo prametrickiprostor.

2 Metricki prostori

Primjer 1. Skup X = 0,1 je sa funkcijom definisanom na sljedeci nacin:

d(0,1) = 1 , d(1,0) = 0 , d(0,0) = 0 i d(1,1) = 0 ,

prametricki prostor. Da se u ovo uvjerimo, treba pokazati da su zadovoljeni uslovidati gornjom definicijom.

(M1) Kako vrijednost funkcije d moze biti jedino 1 ili 0, a oba ova broja su vecaili jednaka nuli, to je ovaj uslov zadovoljen.

(M2′) Ovaj uslov vrijedi jer je d(0,0) = 0 i d(1,1) = 0.

Dakle, data funkcija je prametrika na skupu X, a uredeni par (X,d) je prametrickiprostor. ♦

Kod prametrickog prostora zahtijevamo dvije najelementarnije osobine mjere-nja rastojanja, da je rastojanje njegovih elemenata nenegativno i konacno, i daje rastojanje elementa od ”samog sebe” jednako 0. Medutim, u prametrickomprostoru, kontrapozicijom uslova (M2′) imamo da ako je d(x,y) 6= 0, tada suelementi razliciti, ali ako je d(x,y) = 0, tada ne znamo u kakvom su odnosuti elementi. Drugacije receno, u prametrickom prostoru nismo u stanju sa si-gurnoscu razlikovati objekte datog skupa. Pojacavanjem uslova (M2′) dobijamomogucnost detekcije razlicitih elemenata prostora, a to rezultira i novim prosto-rom.

Definicija 1.2


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y,

tada kazemo da je d razdvajajuca prametrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d razdvajajuca prametrika, nazi-vamo razdvajajuci prametricki prostor.Jasno je da je razdvajajuca prametrika u stvari prametrika kod koje je uslov (M2′)pojacan sa obrnutom implikacijom, to jest prametrika kod koje iz cinjenice daako je rastojanje izmedu dva objekta jednako 0 (d(x,y) = 0), ta dva objekta sujedno te isto (x = y). U Primjeru 1 imamo da je d(1,0) = 0 iz cega ne slijedi 1 = 0,pa time funkcija d u tom primjeru nije razdvajajuca prametrika.Uslove prametrike mozemo pojacati i na drugi nacin.

Poglavlje 1. Predmetricki prostori 3

Definicija 1.3


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2′) x = y =⇒ d(x,y) = 0,

(M3) d(x,y) = d(y,x),

tada kazemo da je d simetricna prametrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d simetricna prametrika, nazivamosimetricno prametricki prostor. Uslov (M3) naziva se uslov simetricnosti, a odatlei naziv za funkciju d u gornjoj definiciji.

Primjer 2. Posmatrajmo skup R2. Za proizvoljne (x1,y1) i (x2,y2) iz R2 de-finisimo funkciju

d((x1,y1),(x2,y2)) =

0 , x1 = x2

|y2 − y1| , x1 6= x2(1.1)

Ova funkcija je simetricna prametrika na skupu R2. Zaista, na osnovu definicijeapsolutne vrijednosti vrijedi uslov (M1). Neka je (x1,y1) = (x2,y2), tada premadefiniciji jednakosti uredenih parova je x1 = x2 i y1 = y2. Sada je prema definicijifunkcije d, d((x1,y1),(x2,y2)) = 0, te vrijedi (M2′).Neka je x1 = x2, tada je d((x1,y1),(x2,y2)) = 0 = d((x2,y2),(x1,y1)). Neka je

x1 6= x2, tada imamo

d((x1,y1),(x2,y2)) = |y2 − y1| = |y1 − y2| = d((x2,y2),(x1,y1)).

U oba moguca slucaja zadovoljena je simetricnost odnosno uslov (M3).Prema dokazanim osobinama vrijedi da je sa (1.1) na skupu R2 definisana si-

metricna prametrika.Primijetimo da data funkcija d nije razdvajajuca prametrika. Zaista, za tacke

(1,1),(1,4) ∈ R2 vrijedi d((1,1),(1,4))=0 jer su im prve koordinate jednake, ajasno je da vrijedi (1,1) 6= (1,4), te ne vrijedi osobina (M2). ♦

Ako razdvajajucoj prametrici dodamo jos i uslov simetricnosti, odnosno ako si-metricnoj prametrici pojacamo uslov (M2′) sa obrnutom implikacijom, dobijamonovi predmetricki prostor.

4 Metricki prostori

Definicija 1.4


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(M3) d(x,y) = d(y,x),

tada kazemo da je d semimetrika ili polumetrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d semimetrika, nazivamo semime-tricki prostor.Prametrika koja ispunjava jos jedan novi zahtjev, poznat pod nazivom nejedna-kost trougla, je hemimetrika. Cesto ovaj termin nalazimo i pod imenom pseudok-vazimetrika.

Definicija 1.5

Neka je X proizvoljan skup. Ako funkcija d : X × X → R, za proizvoljnex,y,z ∈ X zadovoljava uslove

(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2′) x = y =⇒ d(x,y) = 0,

(M4) d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(z,y),

tada kazemo da je d hemimetrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d hemimetrika, nazivamo hemime-tricki prostor.

Primjer 3. Neka je X = R i neka je d : X × X → R zadata sa

d(a,b) = maxa − b,0 , a,b ∈ R .

Uslov (M1) je trivijalno zadovoljen. Ako su a,b ∈ R, takvi da je a = b, tada je

d(a,b) = d(a,a) = maxa − a,0 = 0 ,

te je i uslov (M2’) zadovoljen.

Neka su sada a,b ∈R i neka je a < b. Za proizvoljno c ∈R razmatrajmo slucajeve:


• c < a < b: Tada je d(a,c)+ d(c,b) = a − c+ 0 > 0 = d(a,b).

• a < c < b: d(a,c)+ d(c,b) = 0+ 0 = 0 = d(a,b).

• a < b < c: d(a,c)+ d(c,b) = 0+ c− b > 0 = d(a,b).

Dakle, u sva tri slucaja vrijedi: d(a,b) ≤ d(a,c)+ d(c,b).Na potpuno analogan nacin se razmatra i slucaj a > b, te zakljucujemo da vrijediosobina (M4). Time je definisana funkcija d hemimetrika na X. ♦

Razdvajajuca prametrika koja zadovoljava nejednakost trougla zove se kvazime-trika.

Definicija 1.6


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(M4) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z),

tada kazemo da je d kvazimetrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d kvazimetrika, nazivamo kvazi-metricki prostor. Situacije mjerenja rastojanja opisane kvazimetrikom su cesteu realnom svijetu. Naime, ako mjerimo razdaljinu vremenom potrebnim dapredemo od mjesta do mjesta, tada uslov (M3) ima smisla u mjestima smjestenimu ravnicarskim predjelima, ali ako je mjesto u planinskom predjelu, onda vrijemeza stici od kuce u dnu brda do kuce na vrhu brda nije isto kao od kuce sa vrhabrda do kuce u dnu brda. Isto tako, u gradovima sa sistemima ulica koje mogubiti i jednosmjerne, rastojanje od ulaza u ulicu do izlaza iz nje nije ”isto” od iz-laza do ulaza, u smislu mogucnosti prolaza kroz ulicu ako se radi o jednosmjernojulici.

Primjer 4. Posmatrajmo skup R. Za proizvoljne elemente a i b iz R definisimofunkciju sa

d(a,b) =

|a − b| za a ≤ b1 za a > b

. (1.2)

Tada je d kvazimetrika, a uredeni par (R,d) predstavlja kvazimetricki prostor.Neka su a, b i c proizvoljni elementi iz R. Provjerimo uslove kvazimetrike.

(M1) Iz definicije date funkcije vidimo da je ona uvijek pozitivna.

6 Metricki prostori

(M2) Neka je a = b. Onda je d(a,b) = d(a,a) = |a − a| = 0.Obrnuto, neka je d(a,b) = 0. Buduci da je d(a,b) 6= 1, to mora biti a ≤ b.Slijedi da je za a ≤ b, |a − b| = 0, odakle je a = b.

(M4) Treba dokazati da vrijedi

d(a,b) ≤ d(a,c)+ d(c,b). (1.3)

Moguca su tri slucaja:

1. Neka je a > b, tj. a − b > 0. S obzirom na to u kojem je polozaju c uodnosu prema a i b postoje tri mogucnosti.

Ako je c < b < a, onda je

d(a,b) ≤ d(a,c)+ d(c,b) ⇔ 1 ≤ 1+ |c− b| ,

a kako je uvijek |c− b| ≥ 0, to je zadovoljena relacija (1.3).

Ako je b < c < a, onda je

d(a,b) ≤ d(a,c)+ d(c,b) ⇔ 1 ≤ 1+ 1 ,

sto je uvijek tacno, pa opet vrijedi (1.3).

Ako je b < a < c, onda je

d(a,b) ≤ d(a,c)+ d(c,b) ⇔ 1 ≤ |a − c|+ 1 ,

a kako je |a − c| pozitivan broj, to posljednja relacija vrijedi, sto povlacitacnost relacije (1.3).

Dakle, za a > b vrijedi nejednakost trougla, neovisno o tacki c .

2. Neka je a < b, tj. a−b < 0. I u ovom slucaju, s obzirom na polozaj tackec u odnosu prema a i b, postoje tri mogucnosti.

Neka je a < b < c. Pretpostavimo suprotno, da (1.3) ne vrijedi, tj. da jezadovoljena relacija

d(a,b) > d(a,c)+ d(c,b) .

Na osnovu definicije rastojanja d je

|a − b| > |a − c|+ 1 .

Kako je a < b, a prema tome a − b < 0, to je na osnovu definicije apso-lutne vrijednosti |a − b| = −(a − b) = b − a; a analogno i |a − c| = c − a, pauvrstavanjem dobivenog u prethodnu relaciju imamo, b − a > c − a + 1, aodavde je b − c > 1, sto je u suprotnosti sa b − c < 0 (jer je b < c). Dakle,


dosli smo do kontradikcije, pa data pretpostavka ne vrijedi, tj. zadovoljenaje relacija (1.3).

Neka je a < c < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.3) ne vrijedi, tj. da jezadovoljena relacija

d(a,b) > d(a,c)+ d(c,b) .

Na osnovu definicije udaljenosti d je:

|a − b| > |a − c|+ |c− b| .

Odavde, buduci da je |a − b| = b − a, |a − c| = c− a i |c− b| = b − c, vrijedi

b − a > c− a + b − c ⇒ 0 > 0 .

Ovo je kontradikcija, tako da je nasa pretpostavka netacna, tj. i u ovomslucaju vrijedi nejednakost trougla.

Neka je c < a < b. Pretpostavimo suprotno, da (1.3) ne vrijedi, tj. da jezadovoljena relacija

d(a,b) > d(a,c)+ d(c,b) .

Na osnovu definicije udaljenosti d je |a − b| > 1 + |c − b|. Buduci da je|a − b| = b − a i |c− b| = b − c, vrijedi

b − a > 1+ b − c ⇒ c− a > 1 .

Dobivena nejednakost c − a > 1 je u suprotnosti s nejednakoscu c − a < 0(koja vrijedi zato sto je c < a).

3. Neka je a = b. Tada je d(a,b) = 0, tako da nejednakost trougla vrijeditrivijalno.

Ovime su pokazani uslovi definicije 1.6, pa je funkcija d kvazimetrika na skupuX. ♦

Primjer 5. Posmatrajmo skup N i neka je funkcija q : N×N → R definisana sa

q(n,m) =

1m

ako n < m0 ako n = m1 ako n > m

za proizvoljan izbor elemenata n i m iz N. Definisana funkcija je kvazimetrika naN. Neka su n, m i r proizvoljni elementi iz N. Treba provjeriti jesu li zadovoljeniuslovi iz Definicije 1.6.

(M1) Vrijedi da je q(n,m) ≥ 0 jer je funkcija q definisana tako da je uvijek pozi-tivna.

8 Metricki prostori

(M2) Neka je n = m. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi da je q(n,m) = 0.Obrnuto, neka je q(n,m) = 0. Tada, po definiciji funkcije q, slijedi da jen = m.

(M4) Treba ispitati u kojim se odnosima mogu naci ovi brojevi.

• Za n < m < r je q(n,m) = 1m

, a q(n,r)+ q(r,m) = 1r

+ 1.

• Za n < r < m je q(n,m) = 1m

, a q(n,r)+ q(r,m) = 1r

+ 1m

.

• Za m < r < n je q(n,m) = 1, a q(n,r)+ q(r,m) = 1+ 1.

• Za m < n < r je q(n,m) = 1, a q(n,r)+ q(r,m) = 1r

+ 1.

• Za r < m < n je q(n,m) = 1, a q(n,r)+ q(r,m) = 1+ 1m

.

• Za r < n < m je q(n,m) = 1m

, a q(n,r)+ q(r,m) = 1+ 1m

.

Prema tome, u svim mogucim slucajevima vrijedi nejednakost trougla.

Kako su zadovoljeni trazeni uslovi iz Definicije 1.6, funkcija q je kvazimetrika. ♦

1.2 Pseudometricki prostor

Hemimetricki prostor u kome vrijedi uslov (M3), koga nazivamo simetricnost,naziva se pseudometricki prostor.

Definicija 1.7


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2′) x = y =⇒ d(x,y) = 0,

(M3) d(x,y) = d(y,x),

(M4) d(x,z) ≤ d(x,y)+ d(y,z),

tada kazemo da je d pseudometrika na skupu X.

Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d pseudometrika, nazivamo pse-udometricki prostor.

Primjer 6. Neka su a = (a1,a2) i b = (b1, b2) tacke ravni R2 i neka je funkcija ddefinisana sa

d(a,b) = |a2 − b2| , (1.4)


bb

b

b

(a1,a2)

(b1, b2)

d(a,b)

(a1,y)(b1,y)

d(a,b) = 0

Slika 1.1: Primjer pseudometrike u ravni.

to jest jednaka apsolutnoj vrijednosti razlike drugih koordinata tacaka. Funkcijad je pseudometrika, a uredeni par (R2,d) je pseudometricki prostor.Neka su a = (a1,a2) , b = (b1, b2) i c = (c1, c2) iz R2. Treba provjeriti zadovoljava

li funkcija d, definisana sa (1.4), uslove iz Definicije 1.7.

(M1) Vrijedi da je d(a,b) ≥ 0 jer je po definiciji funkcija jednaka apsolutnoj vri-jednosti koja je uvijek nenegativna.

(M2′) Neka je a = b, odnosno a1 = b1 i a2 = b2. Tada je d(a,b) = |a2 − b2| = 0, teje drugi uslov pseudometrike zadovoljen.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je d(a,b) = |a2 − b2| = |b2 − a2| = d(b,a), zabilo koji izbor elemenata a i b iz R2.

(M4) Nejednakost trougla vrijedi za bilo koje a, b i c iz R2 jer je

d(a,c) = |a2 − c2| = |a2 − b2 + b2 − c2| ≤ |a2 − b2|+ |b2 − c2| = d(a,b)+d(b,c).

Prema tome, (R2,d) je pseudometricki prostor. ♦

Primjer 7. Neka je X proizvoljan neprazan skup, x0 element iz X, a X∗ skupsvih preslikavanja sa skupa X u skup R, to jest

X∗ = f | f : X → R .

Tada je za proizvoljne f i g iz skupa X∗, funkcija definisana sa

d(f,g) = |f(x0)− g(x0)| , x0 ∈ X fiksno, (1.5)

pseudometrika na X∗.Provjerimo da li je funkcija d, definisana sa (1.5), zaista pseudometrika.

(M1) Vrijedi da je d(f,g) ≥ 0 zbog definicije apsolutne vrijednosti, koja je uvijeknenegativna.

10 Metricki prostori

(M2′) Neka je f = g. Tada je f(x) = g(x) za svako x iz X. Kako ovo vrijediza svako x iz X, vrijedi i za x0, pa je f(x0) = g(x0) . Odavde je |f(x0) −g(x0)| = 0, to jest d(f,g) = 0.

(M3) Simetricnost je zadovoljena jer je

d(f,g) = |f(x0)− g(x0)| = |g(x0)− f(x0)| = d(g,f) ,

za bilo koji izbor funkcija f i g iz X∗.

(M4) Posljednji uslov koji treba dokazati vrijedi za sve funkcije f , g i h, kojeslikaju X u R jer je

d(f,h) = |f(x0)−h(x0)| ≤ |f(x0)−g(x0)|+ |g(x0)−h(x0)| = d(f,g)+d(g,h).

Data funkcija zadovoljava sve uslove iz Definicije 1.7, pa je ona pseudometrikana X∗. Primijetimo da za definisanu funkciju d nece vrijediti uslov (M2) jer izd(f,g) = 0 slijedi da se funkcije f i g poklapaju samo u tacki x0, a ne obavezno iu ostalim tackama domena. ♦

1.3 Ultrametricki prostor

Semimetrika je, kao sto cemo vidjeti nesto kasnije, funkcija koja zadovoljava vecdovoljno uslova da prirodno odrazava ono sto zelimo nazvati metrickom funkcijom.Jedan od uslova koji joj nedostaje, a koji se prirodno namece, je osobina (M4).Ovu posljednju osobinu mozemo modifikovati na razne nacine, a jedan od njih jetakav da novodobijenu funkciju nazivamo ultrametrika, koju ponekad zovemo isupermetrika ili nearhimedovska metrika.

Definicija 1.8


(M1) 0 ≤ d(x,y) < +∞,

(M2) d(x,y) = 0 ⇐⇒ x = y,

(M3) d(x,y) = d(y,x),

(M∗4) d(x,z) ≤ maxd(x,y),d(y,z),

tada kazemo da je d ultrametrika na skupu X.


Uredeni par (X,d), gdje je X neprazan skup i d ultrametrika, nazivamo ultrame-tricki prostor. Za uslov (M∗4) kazemo i da je stroga nejednakost trougla.Jedna od interesantnih cinjenica (neocekivana), a ima ih jos, vezana za ultra-metricke prostore je ta da je svaki trougao u ultrametrickom prostoru jednako-kraki, to jest za proizvoljne a,b,c ∈ X vrijedi d(a,b) = d(b,c) ili d(a,c) = d(b,c) ilid(a,b) = d(a,c). Stavise, treca (nejednaka) stranica trougla je kraca od preostaledvije (jednake).

Primjer 8. Neka je X proizvoljan skup. Sa XN (N je skup prirodnih brojeva)oznacimo skup svih beskonacnih nizova elemenata iz X. Za zadate nizove a =(a1,a2, ...) i b = (b1, b2, ...) neka je n broj koji oznacava do koje komponente senizovi poklapaju, odnosno a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn, ali an+1 6= bn+1. Ako jea1 6= b1, stavimo da je n = 0. Uzme li se sve to u obzir, funkcija definisana sa

d(a,b) =

2−k ; (∃k ∈ N0) k = mini ∈ N | ai 6= bi0 ; (∀i ∈ N) ai = bi

(1.6)

je ultrametrika na X.Neka su dati nizovi a = (a1,a2, ...), b = (b1, b2, ...) i c = (c1, c2, ...), ciji su elementi

iz X. Treba provjeriti vrijede li uslovi iz definicije ultrametrike.

(M1) Vrijedi da je d(a,b) ∈ 0,2−n (za eventualno neko n ∈ N0), a to znacid(a,b) ≥ 0 jer je eksponencijalna funkcija uvijek pozitivna.

(M2) Neka je a = b. To znaci a1 = b1,a2 = b2, ...,an = bn, . . . odnosno, za svakoi ∈ N je ai = bi, te je po definiciji d(a,b) = 0.Obrnuto, neka je d(a,b) = 0, onda je a1 = b1,a2 = b2, ...,an = bn, ..., a toznaci da je a = b.

(M3) Ako se a od b razlikuje tek na n-tom mjestu (d(a,b) = 2−n), tada se i b oda razlikuje na istom mjestu (d(b,a) = 2−n).

(M∗4) Da bi se dokazalo da vrijedi ovaj uslov pretpostavimo da je d(a,c) = 2−n, tojest da se nizovi a i c poklapaju u n prvih mjesta. Dakle, neka je

a = (a1,a2, ...,an,an+1, ...) , c = (a1,a2, ...,an, cn+1, ...) .

Takode, neka je d(a,b) = 2−m. Posmatrat cemo dva slucaja:

1. Za m < n bit ce

b = (a1,a2, ...,am, bm+1, ...bn, ...) ,

iz cega slijedi da je i d(b,c) = 2−m. Kako vrijedi da je m < n, to je i−m > −n, pa i 2−m > 2−n, te na osnovu ovoga u

d(a,c) ≤ maxd(a,b),d(b,c) ,


proizlazi da je

2−n ≤ max2−m,2−m , to jest 2−n < 2−m ,

cime je dokazano da u ovom slucaju vrijedi (M∗4).

2. Neka je sada m ≥ n. Tada je

b = (a1,a2, ...,an,an+1, ...,am, bm+1...) ,

pa je d(b,c) = 2−n. Zbog uslova m ≥ n vrijedi i 2−m ≤ 2−n, a uvrstivsi overezultate u (M∗4) imamo

d(a,c) = 2−n = max2−m,2−n = maxd(a,b),d(b,c) ,

sto je i trebalo dokazati. ♦

Ako se u gornjem primjeru definise funkcija samo sa d(a,b) = 2−n, onda ona nijeultrametrika jer nije zadovoljen uslov (M2). Zaista, za a = b ne mozemo dobitid(a,b) = 0 jer eksponencijalna funkcija nikada nije jednaka nuli.Primjer koji slijedi ilustruje primjenu ultrametrike u lingvistici, a s obzirom na

identicnost s prethodnim primjerom necemo ga obrazlagati.

Primjer 9. Neka je dat skup rijeci proizvoljne duzine (konacne ili beskonacne)u nekom alfabetu. Funkciju izmedu dvije razlicite rijeci definisimo sa 2−n, gdjen oznacava prvo mjesto u kojem se rijeci razlikuju. Funkcija koju dobijemo naovaj nacin je ultrametrika. ♦

Treba primijetiti da je u Primjeru 8 posebno razmatran slucaj kada je d(a,b) = 0,dok je taj dio u Primjeru 9 izbjegnut time sto je funkcija definisana izmedurazlicitih rijeci.

Primjer 10. Neka je X skup svih muskaraca neke familije sa zajednickim pret-kom (porodicno stablo) naprimjer, skup svih muskih sinova, unuka i praunukajednog pradjeda.

Adem

Mujo Huso

Mustafa

Amir Samir

Mehmed

Bekir


Definisimo rastojanje d(x,y) izmedu bilo koje dvije individue x i y kao brojgeneracija koje nalazimo vracajuci se unazad po stablu do pronalazenja prvog za-jednickog pretka za njih. Naprimjer, rastojanje izmedu dva brata (Amir i Samir)je 1 ili rastojanje izmedu rodaka Adema i Bekira je 3. Ovako uvedana funkcija dje ultrametrika na jednom porodicnom stablu.Ovakva vrsta metrike se koristi i u biologiji u sistematici vrsta, za karakterizacijugeneticke blizine. ♦

Neke od varijanti zamjene uslova (M4), osim ovoga sa ultrametrikom, su

d(x,y) ≤ C · (d(x,z)+ d(z,y)) , relaksirana nejednakost trougla ,

d(x,y) ≤ C ·maxd(x,z),d(z,y) , inframetricka nejednakost ,

gdje je C neka pozitivna realna konstanta.

1.4 Sumarni pregled geneze metrike

Do sad smo uveli definicije raznih funkcija koje zadovoljavaju neke uslove.Prametrika je funkcija definisana tako da zadovoljava samo uslov (M1). Doda-vanjem novog uslova (M3), simetricnosti, na vec postojeci, doslo se do definicijesimetricne prametrike. Dodavanjem uslova (M2) na uslov prametrike definisanaje razdvajajuca prametrika, a uslova (M4) hemimetrika.Dalje, zahtjevom dvaju novih uslova (M2) i (M3) na uslov prametrike dobija se

semimetrika, dodavanjem (M3) i (M4) pseudometrika, a (M2) i (M4) kvazime-trika.Radi preglednosti i lakseg uocavanja razlika izmedu navedenih prostora posma-

trat cemo tablicu iz koje mozemo vidjeti koji je od uslova u kojem prostoruzadovoljen.

Tip (M1) (M2) (M3) (M4)

Prametrika + - - -

Razdvajajuca prametrika + + - -

Simetricna prametrika + - + -

Semimetrika + + + -

Hemimetrika + - - +

Kvazimetrika + + - +

Pseudometrika + - + +

Metrika + + + +

Posljednji red u tablici predstavlja maksimum zahtjeva, ali takode i prirodnihzahtjeva za intuitivno shvatanje mjerenja rastojanja objekata, te ce o njima bitirijeci u sljedecem poglavlju. Ultrametrika je zbog svoje posebne prirode u odnosuna metriku izostavljena iz tablice.

2 Metricki prostori

2.1 Metrika i metricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Osobine metrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.2 Pravljenje novih metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.3 Konstrukcija metrike na produkt prostoru . . . . . . . . 21

2.1.4 Konstrukcija metrike iz pseudometrike . . . . . . . . . . 23

2.1.5 Primjeri metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.6 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru . . . . . . . . 35

2.1.7 Topologija metrickih prostora . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.8 Ekvivalentnost metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1.9 Potprostor metrickog prostora . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2 Neprekidnost preslikavanja na metrickim prostorima 65

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima . . . . . . . . . . . . 65

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima . . . . . . . . 74

Skup sam za sebe nema nikakvu ”strukturu”. Za proizvoljna dva skupa A i B,eventualno se mozemo pitati ”Da li je A = B” ili ”Da li je A podskup skupa B”i nista vise. Ako skupu dodamo neku strukturu, stvari postaju interesantnije.Naprimjer, ako definisemo ”operaciju mnozenja” a · b u X, koja jos zadovoljavaaksiom a · (b · c) = (a · b) · c, tada X dobija algebarsku strukturu polugrupe, sacime otvaramo citavo matematicko podrucje, ”Teoriju grupa”. Nas nece zanimatialgebarske strukture skupa. Nase interesovanje ce biti na pojmu ”blizine”, kojije u osnovi pojmova ”konvergencije” i ”neprekidnosti”.

Granicni proces jedan je od najvaznijih pojmova matematicke analize. Fakatna kome pociva ovaj pojam jeste da smo u mogucnosti mjeriti rastojanje izmeduproizvoljne dvije tacke posmatranog skupa. Stavise, veliki broj pojmova analizenije vezan za algebarska svojstva skupa nego upravo za koncept udaljenosti. Ovo

Poglavlje 2. Metricki prostori 15

nas navodi na izucavanje skupova u kojima je moguce mjeriti rastojanje izmedutacaka, to jest vodi nas ka konceptu ”metrickog prostora”, fundamentalnog pojmamoderne matematike. U svojim radovima s pocetka dvadesetog vijeka Frechet 1

koristi pojmove metrike i metrickih prostora, ali formalno uvodenje pojma me-trickog prostora je uradio Hausdorff.2

Frechet uvodi ove prostore u svojoj disertaciji Sur quelques points du calcul fon-ctionnel 1906. definisuci prostore u kojima voisinage (“blizina”) funkcija, kojuoznacava sa (a,b), ima osobine (a,b) = (b,a) ≥ 0, (a,b) = 0 ako i samo ako a = b,(a,b) tezi ka nuli ako a i b teze jedan ka drugom i relaksiranu formu nejednakostitrougla: ako (a,b) ≤ ε i (b,c) ≤ ε, onda (a,c) ≤ f(ε), gdje je limε→0+

f(ε) = 0. Pri-mijeticemo da je od samog pocetka, proucavanje metrickih prostora u kombinacijisa proucavanjem relaksirane verzije istih, koje je ocito dizajnirano za dokazivanjegranicnih vrijednosti, ali ne sasvim onako kao sto ce to biti prema Definiciji 2.1.Frechet je zelio definisati ecart des deux elements (“varijaciju od dva elementa”)koja ce zadovoljavati potpunu nejednakost trougla (a,b) ≤ (a,c) + (c,b), cinecitako metriku kao sto je u modernoj definiciji. Hausdorff ce nesto kasnije datidanas vazece ime metrische Raume, to jest “metricki prostori”. On koristi dvijenotacije, xz ≤ xy + yz i danasnju notaciju d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). U ovomvremenskom periodu Frechetovog rada, Minkowski3 razvija geometriju za opstiprostor-vrijeme entitet koga su postulirali Lorentz i Einstein, baziran na sasvimnovoj funkciji rastojanja koja dozvoljava negativne vrijednosti i koristi to za opi-sivanje rastojanja izmedu prostornih i vremenskih pravaca. Danas po imenuMinkowskog nazivamo citavu jednu klasu metrickih prostora.Metricki prostori generalizuju vazan i koristan koncept i zbog toga imaju ve-

liku primjenu u mnogim matematickim oblastima. U topologiji, svaka metrikadefinise jedinstvenu topologiju za dati prostor i takvi prostori cesto imaju inte-resantne i korisne topoloske osobine. Diferencijalna geometrija posmatra analizuu metrickim prostorima. U teoriji kodiranja, Hamming metrika igra centralnuulogu u ispitivanju kanal greske. Linearna algebra proucava normu vektora, kojaje povezana sa skalarnim produktom i kao takva generise metriku medu vekto-rima.

2.1 Metrika i metricki prostor

Iako smo neformalno pojam metrickih prostora vec uveli u prethodnoj glavi,praveci genezu uslova, sada cemo dati i formalno definiciju metrickih prostora.

1Maurice Frechet 1878–1973, francuski matematicar2Felix Hausdorff 1868–1942, njemacki matematicar3Hermann Minkowski 1864–1909, njemacki matematicar


Definicija 2.1

Neka je X proizvoljan neprazan skup. Za funkciju d : X ×X → R kazemo daje metrika ili metricka funkcija na X, ako zadovoljava sljedeca cetiri uslova,za proizvoljne x,y i z iz X:

(M1) d(x,y) ≥ 0, (nenegativnost)

(M2) d(x,y) = 0 ako i samo ako x = y, (strogost)

(M3) d(x,y) = d(y,x), (simetricnost)

(M4) d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(y,z) (nejednakost trougla).

Tada kazemo da je skup X snabdjeven metrikom d, a uredeni par (X,d)nazivamo metricki prostor. Elemente skupa X nazivamo tackama, a realanbroj d(x,y) nazivamo rastojanjem izmedu tacaka x i y.

Dakle, metricki prostor je uredeni par (X,d), koga cine skup X i na njemu uve-dena metrika d. Kratkoce radi, umjesto oznake (X,d), mi cemo za metrickiprostor skoro uvijek koristiti jednostavno oznaku X, kad god je jasno o kojoj jemetrici rijec.

Uslovi (M1)-(M4) nazivaju se aksiomi metrike, a pojedinacno to su nenegativ-nost (pozitivna definitnost) (M1), strogost (M2), simetricnost (M3) i nejednakosttrougla (M4). Uslov (M2) cesto se naziva i uslov identicnosti ili uslov nedegene-risanosti.

U prethodnom poglavlju smo vidjeli da kombinujuci ove uslove, slabeci ih ilimjenjajuci drugim, dobijamo razne vrste prostora. Tako smo imali da ukolikouslov (M2) zamijenimo slabijim uslovom, x = y onda d(x,y) = 0, za d kazemoda je pseudometrika. Ukoliko se iz aksioma ispusti uslov (M3), za d kazemo da jekvazimetrika. Ako uslov (M4) zamijenimo uslovom (M∗4), koji je jaci od uslovanejednakosti trougla jer ocigledno vrijedi

maxd(x,z),d(z,y) ≤ d(x,z)+ d(z,y) ,

d nazivamo ultrametrikom. Pri tome pod terminom ”jaci” podrazumijevamo daako je neki prostor ultrametricki, on je onda i metricki (obrat ne mora da vrijedi).Ovime je potvrdena cinjenica da su pojmovi uvedeni u prethodnom poglavlju”slabiji” od uslova za metriku i da je termin ”predmetricki prostori” opravdan.

Primijetimo da je uslov (M1) suvisan, to jest da se on moze dobiti iz preostalatri uslova metrike. Zaista, neka su x,y ∈ X proizvoljni. Tada vrijedi

0 = d(x,x) ≤ d(x,y)+ d(x,y) = 2d(x,y) ,


odakle je jasno d(x,y) ≥ 0, pa zbog proizvoljnosti izabranih elemenata imamouslov (M1).

Takode je i uslov simetricnosti ”suvisan”. Ako u (M4) umjesto z stavimo x,dobijamo nejednakost d(x,y) ≤ d(y,x). Ako jos zamjenimo mjesta x i y u nejed-nakosti trougla i stavimo da je z = y, imamo i nejednakost d(y,x) ≤ d(x,y), stosa prethodnom nejednakoscu daje uslov simetricnosti.

Dakle, metricka funkcija je u sustini opisana samo sa uslovima (M2) i (M4)te zato i nije najispravnije date uslove zvati aksiomama (aksiome moraju zado-voljavati uslov nezavisnosti), ali zbog prirodnosti zahtjeva u definiciji metrike seuobicajeno navode sva cetiri uslova.

2.1.1 Osobine metrike

Lema 2.2: Pravilo mnogougla

U svakom metrickom prostoru (X,d) vrijedi pravilo mnogougla, to jest zaproizvoljne x1,x2, ...,xn ∈ X (n ≥ 3), vrijedi

d(x1,xn) ≤ d(x1,x2)+ d(x2,x3)+ · · ·+ d(xn−1,xn) .

Dokaz : Dokaz se izvodi matematickom indukcijom, primjenom uslova (M4).

b

b

b

b

b

b

x1

x2

x3

xn−1

xn

Slika 2.1: Pravilo mnogougla

Lema 2.3

Za proizvoljne tri tacke x,y i z, metrickog prostora (X,d), vrijedi nejednakost

|d(x,y)− d(y,z)| ≤ d(x,z) .

Dokaz : Neka su x,y,z ∈ X proizvoljni. Iz uslova nejednakosti trougla imamo

d(x,y)− d(y,z) ≤ d(x,z) . (2.1)

Ako u gornjoj nejednakosti izvrsimo zamjenu mjesta elementima x i z dobijamo

d(z,y)− d(y,x) ≤ d(z,x) ,


pa mnozeci je sa −1 i koristeci simetricnost metrike imamo nejednakost

d(x,y)− d(y,z) ≥ −d(x,z) . (2.2)

Iz (2.1) i (2.2) imamo −d(x,z) ≤ d(x,y)− d(y,z) ≤ d(x,z), sto je ekvivalentno sa

|d(x,y)− d(y,z)| ≤ d(x,z) .

Ako bismo osobinu (M4) opisali sa ”zbir duzina dvije stranice trougla je uvijekveci ili jednak od duzine trece stranice”, onda gornju tvrdnju tumacimo sa ”apso-lutna vrijednost razlike duzina dvije stranice trougla je uvijek manja ili jednakaod duzine trece stranice”.

Lema 2.4

Za proizvoljne cetiri tacke x,y,z i t, metrickog prostora (X,d), vrijedi nejed-nakost

|d(x,y)− d(z,t)| ≤ d(x,z)+ d(y,t) .

Dokaz : Primijenimo li Lemu 2.2 na elemente x,y,z i t imamo

d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(z,t)+ d(t,y) ,

odakle koristeci osobinu simetricnosti dobijamo

d(x,y)− d(z,t) ≤ d(x,z)+ d(y,t) . (2.3)

Analogno vrijedi d(z,t) ≤ d(z,x)+ d(x,y)+ d(y,t) , a odavde imamo

−(d(x,y)− d(z,t)) ≤ d(x,z)+ d(y,t) . (2.4)

Iz (2.3) i (2.4) dobijamo trazenu nejednakost.

2.1.2 Pravljenje novih metrika

Kao sto je i ocekivano, a uskoro cemo to i potvrditi na konkretnim primjerima,na proizvoljnom nepraznom skupu se mogu definisati razne metrike.

Teorem 2.5

Neka je (X,d) metricki prostor. Tada su (X,d∗) i (X,d′) metricki prostori,gdje su d∗ i d′ definisane sa

x,y ∈ X , d∗(x,y) =d(x,y)

1+ d(x,y), d′(x,y) = mind(x,y),1 .


Dokaz : Pokazimo da je d∗ takode metrika na X. Za proizvoljne x,y ∈ X jeocigledno d∗(x,y) = d(x,y)

1+d(x,y) ≥ 0 jer je d metrika, pa je zadovoljen uslov (M1).

Neka je d∗(x,y) = 0. Na osnovu definicije funkcije d∗, to je ekvivalentno sacinjenicom da je d(x,y) = 0, a opet zbog toga sto je d metrika, to je ekviva-lentno sa time da je x = y, sto je uslov (M2).Simetricnost (uslov (M3)) se takode ima trivijalno jer

d∗(x,y) =d(x,y)

1+ d(x,y)=

d(y,x)

1+ d(y,x)= d∗(y,x) .

Za dokaz nejednakosti trougla, posmatrajmo funkciju f : R+ ∪ 0 → R+ ∪ 0,zadatu sa f(x) = x

1+x. Kako je f ′(x) = 1

(1+x)2 , zakljucujemo da je f ′(x) ≥ 0, za

sve x ∈ R∪ 0, pa je funkcija f rastuca na citavom domenu.

Neka su sada x,y,z ∈ X proizvoljni. Kako je d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), zbogmonotonosti funkcije f imamo

d∗(x,y) =d(x,y)

1+ d(x,y)≤ d(x,z)+ d(z,y)

1+ d(x,z)+ d(z,y)≤ d(x,z)

1+ d(x,z)+

d(z,y)

1+ d(z,y),

odakle je d∗(x,y) ≤ d∗(x,z)+ d∗(z,y), to jest vrijedi nejednakost trougla.Nejednakost trougla se moze pokazati i elementarnim putem. Neka su x,y,z ∈ X proizvoljni. Tada

imamo

d∗(x,y) − d∗(z,y) =d(x,y)

1 + d(x,y)−

d(z,y)

1 + d(z,y)

=d(x,y) + d(x,y)d(z,y) − d(z,y) − d(z,y)d(x,y)

(1 + d(x,y))(1 + d(z,y))

=d(x,y) − d(z,y)

(1 + d(x,y))(1 + d(z,y)≤

d(x,z)

(1 + d(x,y))(1 + d(z,y).

Posljednju nejdnakost imamo koristeci cinjenicu da je d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y). Vrijedi i procjena

(1 + d(x,y))(1 + d(z,y) = 1 + d(x,y) + d(z,y) + d(x,y)d(z,y)

≥ 1 + d(x,y) + d(z,y) ≥ 1 + d(x,z) . (Najednakost trougla)

Kombinujuci gornje procjene imamo d∗(x,y) − d∗(z,y) ≤ d∗(x,z), a to upravo predstavlja nejednakost

trougla za funkciju d∗.

Da je i d′ metrika, ostavljeno je pokazati citaocu za vjezbu.

Narednom tvrdnjom dajemo jedan opsti slucaj konstrukcije nove metrike odstare.

Teorem 2.6

Neka je (X,d) metricki prostor i neka je f : R → R strogo monotono rastuca,konkavna funkcija koja se anulira u 0. Tada je i f d metrika na X.


Dokaz : Buduci da je d metrika, vrijedi d(x,y) ≥ 0 za proizvoljne x,y ∈ X. Kakoje funkcija f monotono rastuca, to je (f d)(x,y) = f(d(x,y)) ≥ f(0) = 0, te f dzadovoljava osobinu (M1).Neka je (f d)(x,y) = 0, odnosno f(d(x,y)) = 0 = f(0). Zbog monotonosti funkcijef zakljucujemo da je d(x,y) = 0, sto opet znaci da je x = y. Obrnuto, ako je x = y,tada je d(x,y) = 0. a onda imamo f(0) = f(d(x,y)) = 0 to jest, (f d)(x,y) = 0,te je i uslov (M2) zadovoljen.Simetricnost je trivijalno zadovoljena jer iz d(x,y) = d(y,x) slijedi f(d(x,y)) =f(d(y,x)).Dokazimo i nejednakost trougla za preslikavanje f d. Kako je f konkavna funk-cija, to za svako λ ∈ [0,1] i proizvoljne α,β ∈ R vrijedi

f(λα + (1− λ)β) ≥ λf(α)+ (1− λ)f(β) . (2.5)

Ako sada u uslov (2.5) stavimo da je α = 0, β = a + b i λ =b

a + b, dobijamo

f(a) = f

(b

a + b·0+

a

a + b· (a + b)

)

≥ b

a + b·f(0)+

a

a + b·f(a + b) ,

odakle imamof(a) ≥ a

a + b·f(a + b) . (2.6)

Analogno prethodnom, ako u (2.5) stavimo da je α = 0, β = a + b i λ =a

a + b,

imamo

f(b) = f

(a

a + b·0+

b

a + b· (a + b)

)

≥ a

a + b·f(0)+

b

a + b·f(a + b) ,

dobijamo nejednakost

f(b) ≥ b

a + b·f(a + b) . (2.7)

Sabirajuci nejednakosti (2.6) i (2.7), zakljucujemo da vrijedi

f(a)+ f(b) ≥ f(a + b) . (2.8)

Neka su sada x,y,z ∈ X proizvoljni. Stavimo u (2.8) da je a = d(x,z), b = d(y,z).Koristeci cinjenicu da je d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(y,z) i monotonost funkcije f slijedi

f(d(x,y))+ f(d(y,z)) ≥ f(d(x,z)+ d(y,z)) ≥ f(d(x,y)) ,

sto predstavlja uslov (M4) za preslikavanje f d.

Primjer 11. Za x,y ∈ R, sa d(x,y) = |x − y| zadata je standardna euklidskametrika na R. Funkcija f : [0,+∞) → R, zadata sa f(x) = arctan(x) je strogorastuca i konkavna na [0,+∞). Kako je jos f(0) = 0, prema gornjoj tvrdnji,funkcija (f d)(x,y) = arctan |x − y| je takode metrika na R. ♦


?! Odrediti jos neke funkcije f takve da f d, gdje je d standardna metrikana R, budu metrike na R.

Teorem 2.7

Svaka konveksna kombinacija dviju metrika na nekom skupu je metrika natom skupu.

Dokaz : Neka su d1 i d2 metrike na X i λ ∈ [0,1]. Za proizvoljne x,y ∈ Xposmatrajmo konveksnu kombinaciju,

d(x,y) = λd1(x,y)+ (1− λ)d2(x,y) .

Nenegativnost, strogost i simetricnost ove funkcije su ocigledne. Pokazimo daona zadovoljava i nejednakost trougla. Neka su x,y,z ∈ X proizvoljni. Koristecicinjenicu da su d1 i d2 metrike, to jest zadovoljavaju nejednakost trougla, imamo

d(x,y) = λd1(x,y)+ (1− λ)d2(x,y)

≤ λ(d1(x,z)+ d1(y,z))+ (1− λ)(d2(x,z)+ d2(y,z))

= λd1(x,z)+ (1− λ)d2(x,z)+ λd1(y,z)+ (1− λ)d2(y,z)

= d(x,z)+ d(y,z) .

2.1.3 Konstrukcija metrike na produkt prostoru

Teorem 2.8

Neka su (Xi,di) (i = 1,2, ...,n) metricki prostori i X = X1 × X2 × ·· · × Xn.Tada je (X,d) metricki prostor, gdje je d : X × X → R zadata sa

d(x,y) = maxd1(x1,y1),d2(x2,y2), ...,dn(xn,yn) , x, y ∈ X .

Dokaz : Neka su x = (x1,x2, ...,xn) i y = (y1,y2, ...,yn) proizvoljni iz X = X1 ×X2 ×·· ·×Xn. Kako je 0 ≤ di(xi,yi) < ∞ za svako i ∈ 1,2, ...,n, to ce i maksimumtakvih brojeva biti nenegativan i konacan.Neka je

d(x,y) = 0 = maxd1(x1,y1),d2(x2,y2), ...,dn(xn,yn) .

Zbog nenegativnosti pojedinacnih metrika to je ekvivalentno sa di(xi,yi) = 0 zasvako i ∈ 1,2, ...,n, sto je opet ekvivalentno sa xi = yi za svako i ∈ 1,2, ...,nto jest, x = y.Zbog simetricnosti pojedinacnih metrika jasno je

maxd1(x1,y1), ...,dn(xn,yn) = maxd1(y1,x1), ...,dn(yn,xn) ,


odnosno d(x,y) = d(y,x) za proizvoljne x,y ∈ X.Neka su sada x = (x1,x2, ...,xn), y = (y1,y2, ...,yn) i z = (z1,z2, ...,zn) proizvoljniiz X. Za fiksno i ∈ 1,2, ...,n vrijedi

di(xi,yi) ≤ di(xi,zi)+ di(yi,zi)

≤ maxd1(x1,z1), ...,dn(xn,zn)+ maxd1(y1,z1), ...,dn(yn,zn)= d(x,z)+ d(y,z) .

Dakle, d(x,z)+d(y,z) je gornje ogranicenje za di(xi,yi), za proizvoljan i ∈ 1,2, ...,n,pa ce to biti gornje ogranicenje i za maksimum tih velicina,

maxd1(x1,y1),d2(x2,y2), ...,dn(xn,yn) ≤ d(x,z)+ d(y,z) ,

to jest vrijedi d(x,y) ≤ d(x,z)+ d(y,z).

Primjer 12. Neka je (R,d) metricki prostor, gdje je d standardna metrika naR (d(x,y) = |x − y|). Kako je Rn = R×R× ·· ·×R

︸︷︷︸

n puta

, to za x = (x1,x2, ...,xn), y =

(y1,y2, ...,yn) iz Rn, funkcija zadata sa

d∗(x,y) = max|x1 − y1|, |x2 − y2|, ..., |xn − yn|= max

1≤i≤n|xi − yi| ,

je metrika na Rn. ♦

Metriku na produktu konacno mnogo metrickih prostora mozemo uvesti i nanacin da metricku funkciju konstruisemo sa

d(x,y) =n∑

i=1

di(xi,yi) ,

gdje su x = (x1,x2, ...,xn) , y = (y1,y2, ...,yn) iz X =∏n

i=1 Xi. Dokaz da je ovometrika ostavljamo za vjezbu.Nazalost, ideju konstrukcije metrike na produkt prostoru iznesenu u Teoremu

2.8 i gornjom napomenom, ne mozemo jednostavno prenijeti ako govorimo oprebrojivom produktu metrickih prostora. Razlog za to lezi u cinjenici sto u pr-vom slucaju maksimum moramo zamjeniti supremumom, a supremum prebrojivomnogo brojeva ne mora uvijek biti konacan, dok u drugom slucaju beskonacnasuma ne mora biti konvergentna. Ipak postoje nacini konstrukcije metrike i uovim situacijama, a jedan primjer dajemo narednim tvrdenjem.


Teorem 2.9

Produkt prebrojivo mnogo metrickih prostora (Xi,di) (i ∈N) ce biti metricki

prostor ako ga snabdijemo funkcijom d :∞∏

i=1

Xi ×∞∏

i=1

Xi → R, definisanom sa

d(x,y) =∞∑

i=1

1

2imindi(xi,yi),1 , x = (xi)i∈N, y = (yi)i∈N ∈

∞∏

i=1

Xi .

2.1.4 Konstrukcija metrike iz pseudometrike

Neka je Y proizvoljan skup. Oznacimo sa X = c(Y ) skup svih konvergentnihnizova u Y . Neka su x = (xn) i y = (yn) proizvoljni nizovi u c(Y ), pri cemu jelim

n→∞xn = α i lim

n→∞yn = β. Definisimo funkciju d : c(Y ) × c(Y ) → R na sljedeci

nacin: d(x,y) = |α − β|. Ocigledno je da funkcija d zadovoljava uslove nenegativ-nosti, simetricnosti i nejednakost trougla, ali da ne zadovoljava uslov strogostivec samo uslov (M2′), te je ona pseudometrika na X. Zaista, neka je Y = R.Posmatrajmo nizove zadate opstim clanovima xn = 1 + 1

ni yn = 1 − 1

n. Kako je

limn→∞

xn = limn→∞

yn = 1, to je d(x,y) = 0, ali ocigledno x 6= y.

Definisimo sada na X relaciju

x,y ∈ X , x ∼ ydef⇔ d(x,y) = 0 .

Nije tesko pokazati da je ovako definisana relacija ∼, relacija ekvivalencije na X.Pri tome ce svaka klasa ekvivalencije sadrzavati sve one nizove koji konvergirajuka istom elementu iz X. Oznacimo sa X skup svih klasa ekvivalencija, to jestkolicnicki skup X = X/∼, u odnosu na datu relaciju.Definisimo sada d : X × X → R na nacin

[x], [y] ∈ X , d([x], [y]) = d(x,y) .

Iz osobina klasa ekvivalencija sada je jasno da ako je d([x], [y]) = 0 onda je [x] = [y],pa ce ovako definisana funkcija biti metrika na X. Time smo od pseudometrickogprostora (X,d) napravili metricki prostor (X,d).Koristeci ovaj primjer pokazuje se da se od svakog pseudometrickog prostora

moze konstruisati njemu odgovarajuci metricki prostor, sto iskazujemo narednomtvrdnjom.

Teorem 2.10

Neka je (X,d) pseudometricki prostor. Za x,y ∈ X, relacija definisana sa

x ∼ ydef⇔ d(x,y) = 0, je relacija ekvivalencije na X. Neka je X = X/∼.


Definisimo funkciju d : X × X → R na sljedeci nacin, za proizvoljne klaseekvivalencije [x], [y] ∈ X,

d([x], [y]) = d(x,y) .

Tada je (X,d) metricki prostor.

2.1.5 Primjeri metrickih prostora

Prije nego sto navedemo neke znacajnije primjere metrickih prostora, navedimodvije vazne nejednakosti. Za njihovo dokazivanje neophodno nam je sljedecepomocno tvrdenje.

Lema 2.11: Youngova nejednakost

Neka su a,b ≥ 0 i neka je za p > 1, broj q odreden tako da vrijedi 1p

+ 1q

= 1.Tada vrijedi

ab ≤ ap

p+

bq

q.

Dokaz : Postoje razni dokazi Youngove4 nejednakosti koji su analitickog, geome-trijskog, algebarskog ili nekog drugog tipa. Ovdje cemo iskoristiti jedan funkcijskidokaz.Neka je 0 < m < 1. Posmatrajmo funkcije oblika f(x) = xm, definisane za x ≥ 0.Kako je f ′′(x) = m(m−1)xm−2 ≤ 0 za svako x ≥ 0, to je za proizvoljno 0 < m < 1,funkcija f(x) konkavna, sto geometrijski znaci da se njen graf nalazi ispod tan-gente u odgovarajucoj tacki.

b

b

x = 1

1

Slika 2.2: Graf funkcije f(x) = xm (m ∈ (0,1)), sa tangentom u tacki x = 1.

Jednacina tangente na posmatranu krivu u tacki x = 1 je y = m(x − 1) + 1, pana osnovu recenog vrijedi

xm ≤ m(x − 1)+ 1 .

4William Henry Young 1863–1942, engleski matematicar


Stavimo li u gornju nejednakost da je x = ap

bq i m = 1p

dobijamo,

a

bq

p

≤ 1

p

(ap

bq− 1

)

+ 1 .

Mnozeci posljednju nejednakost sa bq

p+1 imamo

ab ≤ apbq

p+1−q

p+

(

1− 1

p

)

bq

p+1 .

Kako je 1− 1

p=

1

qi

q

p+ 1− q = 0, odnosno

q

p+ 1 = q, iz posljednje nejednakosti

dobijamo trazenu nejednakost.

Pokazuje se da ce u pokazanoj vezi vrijediti jednakost ako i samo ako vrijediap = bq.

Jedan ”cisto” algebarski dokaz Youngove nejednakosti:Neka su m i n prirodni brojevi takvi da je p = m+n

mi q = m+n

n. Stavimo da je x = ap i y = bq. Sada

imamo,ap

p+

bq

q=

xm+n

m

+y

m+nn

=mx + ny

m + n.

Koristeci se AG nejednakoscu imamo

mx + ny

m + n≥ (xm · yn)

1m+n = x

1p · y

1q = a · b .

Dakle, vrijediap

p+

bq

q≥ a · b .

Teorem 2.12: Nejednakost Holdera

Neka su ai i bi (i = 1,2, ...,n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i nekaje za realan broj p > 1, broj q definisan sa 1

p+ 1

q= 1. Tada za proizvoljan

prirodni broj n vrijedi,

n∑

i=1

|aibi| ≤(

n∑

i=1

|ai|p) 1

p(

n∑

i=1

|bi|q) 1

q

.

Dokaz : Oznacimo sa a′i =

ai(∑n

j=1 |aj |p) 1

p

i b′i =

bi(∑n

j=1 |bj |q) 1

q

(i = 1,2, ...,n).

Ocigledno vrijedin∑

i=1

|a′i|p =

n∑

i=1

|b′i|q = 1 , (2.9)


gdje p i q zadovoljavaju uslove teorema. Za svako i ∈ 1,2, ...,n, za brojeve |a′i|

i |b′i| vrijedi Lema 2.11, to jest

|a′ib

′i| ≤ |a′

i|pp

+|b′

i|qq

. (2.10)

Sumiranjem po i = 1,2, ...,n lijeve i desne strane u (2.10), dobijamo

n∑

i=1

|a′ib

′i| ≤

∑ni=1 |a′

i|pp

+

∑ni=1 |b′

i|qq

.

Sada na osnovu (2.9) slijedin∑

i=1

|a′ib

′i| ≤ 1 . (2.11)

S druge strane, iz definicije brojeva a′i i b′

i imamo

|a′ib

′i| =

|aibi|(∑n

j=1 |aj |p) 1

p(∑n

j=1 |bj |q) 1

q

,

te vrijedin∑

i=1

|a′ib

′i| =

∑ni=1 |aibi|

(∑n

j=1 |aj |p) 1

p(∑n

j=1 |bj |q) 1

q

. (2.12)

Iz (2.11) i (2.12) imamo trazenu nejednakost.

Holderova5 nejednakost jedna je od najpoznatijih matematickih nejednakosti, avise o njoj moze se naci u [13]. Specijalno, ako je p = q = 2, gornja nejednakost senaziva Cauchy-Schwarzova nejednakost. Pozitivni realni brojevi p i q koji zado-voljavaju uslov 1

p+ 1

q= 1, nazivaju se konjugovani ili spregnuti brojevi. Naredna

nejednakost, poznata kao nejednakost Minkowskog, od posebnog nam je interesajer pomocu nje cesto dokazujemo nejednakost trougla za metriku.

Teorem 2.13: Nejednakost Minkowskog

Neka su ai i bi (i = 1,2, ...,n) proizvoljni realni ili kompleksni brojevi i nekaje p ≥ 1. Tada za svako n ∈ N vrijedi,

(n∑

i=1

|ai + bi|p) 1

p

≤(

n∑

i=1

|ai|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|bi|p) 1

p

.

5Otto Holder 1859–1937, njemacki matematicar


Dokaz : Ako je p = 1 nejednakost vrijedi iz uopstene nejednakosti za modul

|a + b| ≤ |a|+ |b| .

Zato pretpostavimo da je p > 1 i neka je broj q odreden tako da bude 1p

+ 1q

= 1.Tada imamo

n∑

i=1

|ai + bi|p =n∑

i=1

|ai + bi||ai + bi|p−1

≤n∑

i=1

|ai||ai + bi|p−1 +n∑

i=1

|bi||ai + bi|p−1 .

Primjenjujuci Holderovu nejednakost na obje gornje sume na desnoj strani nejed-nakosti, dobijamo nejednakost

n∑

i=1

|ai + bi|p ≤

(n∑

i=1

|ai|p) 1

p

+

(n∑

i=1

|bi|p) 1

p

(n∑

i=1

|ai + bi|(p−1)q

) 1

q

.

Dijeleci ovu nejednakost izrazom u drugoj zagradi desne strane i koristeci cinjenicu

da je (p − 1)q = p i 1− 1

q=

1

p, dobijamo trazenu nejednakost.

Gore navedene nejednakosti Holdera i Minkowskog iskazane su za konacne sume.Vrijede i opstije tvrdnje od gore navedenih, a koje se ticu beskonacnih suma. Do-kazi ovih nejednakosti se oslanjaju na dokaze za konacne sume, samo treba voditiracuna o korektnosti prelaza na beskonacne sume u smislu kada vrijede neka pra-vila jer govoriti o beskonacnim sumama znaci voditi racuna o konvergenciji tihredova.

Teorem 2.14

Neka su (an)n∈N i (bn)n∈N nizovi realnih ili kompleksnih brojeva, 1 < p < +∞

i njemu odreden broj q takav da je 1p

+ 1q

= 1. Ako su redovi∞∑

i=1

|ai|p i∞∑

i=1

|bi|q

konvergentni, tada je i red∞∑

i=1

|aibi| konvergentan i vrijedi

∞∑

i=1

|aibi| ≤( ∞∑

i=1

|ai|p) 1

p( ∞∑

i=1

|bi|q) 1

q

.

Analogno postoji i nejednakost Minkowskog za beskonacne sume.


Teorem 2.15

Neka su (an)n∈N i (bn)n∈N nizovi realnih ili kompleksnih brojeva i 1 ≤ p <

+∞. Ako su redovi∞∑

i=1

|ai|p i∞∑

i=1

|bi|p konvergentni, tada je i red∞∑

i=1

|ai + bi|p

konvergentan i vrijedi

( ∞∑

i=1

|ai + bi|p) 1

p

≤( ∞∑

i=1

|ai|p) 1

p

+

( ∞∑

i=1

|bi|p) 1

p

.

Obje ove nejednakosti imaju i svoj integralni oblik. Naime, pod odredenimpretpostavkama o integrabilnosti funkcija x i y vrijedi

∫ b

a|x(t)y(t)|dt ≤

(∫ b

a|x(t)|pdt

) 1

p(∫ b

a|y(t)|qdt

) 1

q

,

odnosno

(∫ b

a|x(t)+ y(t)|pdt

) 1

p

≤(∫ b

a|x(t)|pdt

) 1

p

+

(∫ b

a|y(t)|pdt

) 1

p

.

Navedimo sada neke znacajnije metricke prostore.

Primjer 13. Neka je X proizvoljan skup i neka je za x,y ∈ X zadato

d(x,y) =

0 ; x = y ,1 ; x 6= y .

Funkcija d jeste metrika, koju nazivamo diskretna metrika, a odgovarajuci prostor(X,d) nazivamo diskretni metricki prostor. ♦

Primjer 14. Skup realnih brojeva R sa metrickom funkcijom

d(x,y) = |x − y| ; x,y ∈ R ,

predstavlja dobro nam poznati Euklidov prostor realne prave. ♦

Primjer 15. Sa Rn oznacavamo skup svih uredenih n-torki realnih brojeva x =(x1,x2, ...,xn), to jest

Rn = (x1,x2, ...,xn) | xi ∈ R, i ∈ 1,2, ...,n , n ∈ N .


Metriku mozemo uvesti na bezbroj nacina. Za proizvoljno p ≥ 1, funkcija dp(x,y) =(

n∑

i=1

|xi − yi|p) 1

p

je metrika na Rn. Specijalno, za p = 1 je d1(x,y) =n∑

i=1

|xi −yi|, a

za p = 2 je d2(x,y) =

(n∑

i=1

(xi − yi)2

) 1

2

. Takode specijalno imamo i da je funkcija

d∞(x,y) = max1≤i≤n

|xi − yi|, metrika na Rn.

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

(a) Metrika d2

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

(b) Metrika d1

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

(c) Metrika d∞

Ovim primjerom opravdavamo cinjenicu da je nekada neophodno koristiti defi-niciju metrickog prostora kao uredenog para jer kao sto vidimo, na istom skupuse mogu zadati razne metrike. ♦

Primjer 16. Istaknimo prostor R2 sa jos dvije specijalne metrike. Neka su tackex = (x1,x2), y = (y1,y2) iz R2 i metrika α:

α(x,y) =

|x2 − y2| ; x1 = y1

|x2|+ |y2|+ |x1 − y1| ; x1 6= y1.

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

(d) Metrika α, jednake prve koordinate

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

(e) Metrika α, razlicite prve koordinate

Neka je O = (a,b) ∈ R2 proizvoljna tacka. Tada funkcija

β(x,y) =

|x1 − y1| ; ako su x, y i O kolinearned(x,O)+ d(y,O) ; inace

,

predstavlja metriku na R2, gdje je d neka fiksna metrika na R2.


b

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

O

(f) Metrika β, tacke koolinearne sa O

b

b

b

(x1,x2)

(y1, y2)

O

(g) Metrika β, nekoolinearne tacke sa O

Prvu metriku (α) nazivamo river metrika, a drugu (β) radijalna metrika iliuobicajenije French railroad metrika. ♦

Primjer 17. Skup svih konvergentnih realnih ili kompleksnih nizova oznacavamosa c,

c =

x = (xn)n∈N | (∀n ∈ N)xn ∈ R(C) , ∃ limn→∞

xn ∈ R(C)

,

i ako definisemo funkciju

d(x,y) = supn∈N

|xn − yn| ,

gdje su x = (xn)n∈N i y = (yn)n∈N proizvoljni nizovi iz c, on postaje metrickiprostor. ♦

Primjer 18. Skup svih nula-nizova oznacavamo sa c0,

c0 =

x = (xn)n∈N | (∀n ∈ N)xn ∈ R(C) , limn→∞

xn = 0

,

i na njemu mozemo zadati metriku sa

d(x,y) = supn∈N

|xn − yn| ,

gdje su x = (xn)n∈N, y = (yn)n∈N ∈ c0 proizvoljni. ♦

Primjer 19. Za proizvoljno 1 ≤ p < +∞, sa lp(Φ) (Φ = R ili Φ =C) oznacavamoskup svih nizova (realnih ili kompleksnih) sumabilnih sa stepenom p, to jest

lp(Φ) =

x = (xn)n∈N |

∑

n∈N

|xn|p < ∞

.


Standardna metrika na datom skupu zadata je sa

d(x,y) =

∑

n∈N

|xn − yn|p

1

p

.

U daljem tekstu cemo uobicajeno koristiti oznaku lp, podrazumijevajuci iz kontek-sta da li se radi o realnim ili kompleksnim nizovima. Napomenimo da se moguposmatrati i prostori lp(X) gdje je X proizvoljan metricki prostor, naprimjerX = l2 ili X = Rn i slicno. ♦

Primjer 20. Sa l∞ oznacavamo skup svih ogranicenih nizova,

l∞ =

x = (xn)n∈N | supn∈N

|xn| < +∞

.

Standardna metrika na ovom skupu je data sa

d(x,y) = supn∈N

|xn − yn| . ♦

Primjer 21. Za Ω ⊆ C, sa B(Ω) oznacavamo skup svih ogranicenih kompleksnihfunkcija na Ω. Metriku na ovom skupu definisemo sa

d(f,g) = supt∈Ω

|f(t)− g(t)| .

Ako specijalno izaberemo da je Ω = [a,b] ⊂R, dobijamo prostor B[a,b], ogranicenihkompleksnih funkcija realne varijable. Ako je opet specijalno Ω = N, dobijamoprostor ogranicenih nizova B(N) = l∞. ♦

Primjer 22. Gornji primjer mozemo i dalje generalizovati. Naime, neka jeX neprazan skup i (Y,dY ) metricki prostor. Sa B(X,Y ) oznacavamo skup svihogranicenih preslikavanja sa domenom X i kodomenom Y . Metriku na ovomskupu mozemo uvesti na sljedeci nacin,

D(f,g) = supx∈X

dY (f(x),g(x)) ,

gdje su f,g ∈ B(X,Y ) proizvoljne. Za ispitivanje osobina metrike, u ovom pri-mjeru nam treba pojam ogranicenosti skupa, koga cemo nesto kasnije definisati.♦


Primjer 23. Za Ω ⊆ R, sa C(Ω) oznacavamo skup svih neprekidnih realnih funk-cija na Ω. Standardnu metriku na ovom skupu definisemo sa

d(f,g) = supt∈Ω

|f(t)− g(t)| .

Specijalno, ako je Ω = [a,b] dobijamo prostor neprekidnih funkcija na segmentu,C[a,b], na kome je standardna metrika data sa

d(f,g) = maxa≤t≤b

|f(t)− g(t)| . ♦

f

g

d(f

,g)

a b

b

b

f

g

d1(f

,g)

a b

Slika 2.3: Standardna metrika (lijevo) i d1 metrika na C[a,b] (desno).

Primjer 24. Iako to cesto nije moguce ili nije jednostavno, zelimo imati me-triku na skupu koja prirodno odrazava rastojanje elemenata. U tom kontekstu,standardna metrika na C[a,b] i nije bas ”najlogicnija” jer recimo za funkcijef1, f2, g ∈ C[0,1], zadate sa

f1(x) = 0 , f2(x) = 1 , g(x) =

0 ; x ∈ [0,1]\[

316 , 5

16

]

16x − 3 ; x ∈[

316 , 1

4

]

3− 16x ; x ∈[

14 , 5

16

],

standardna metrika daje, d(f1,g) = maxx∈[0,1]

|f1(x)−g(x)| = 1, ali je isto tako d(f2,g) =

maxx∈[0,1]

|f2(x)− g(x)| = 1. U smislu uslova (M2) nekako ocekujemo da su funkcije

f1 i g ”blizu” jedna drugoj (grafovi se na velikom dijelu poklapaju), a za funk-cije f2 i g ocekujemo da su mnogo ”udaljenije” (grafovi im imaju samo jednuzajednicku tacku), sto nam standardna metrika bas i ne sugerise.

Metriku na C[0,1] predstavlja i funkcija

d1(f,g) =

∫ 1

0|f(x)− g(x)|dx , f,g ∈ C[0,1] ,


b

1

b1

|3

16

|5

16

g

b

1

b1

f1

f2

Slika 2.4: d(f1,g) = d(f2,g) = 1.

a koju mozemo interpretirati kao povrsinu izmedu grafova funkcija f i g. Sadauslov (M2) izgleda nekako prihvatljivije jer sto je ta povrsina manja, grafovi funk-cija su priblizniji jedan drugom. U ovoj metrici za gore navedene funkcije vrijedid1(f1,g) = 0.125, a d1(f2,g) = 0.875, sto bolje odslikava prirodnost da je f2 ”da-lja” od funkcije g, nego je to f1. Medutim, kao sto cemo to vidjeti nesto kasnije,koju metriku biramo na nekom skupu mnogo vise zavisi od zeljenih osobina togprostora nego od ”prirodnosti” metrike.Na skupu C[a,b] metriku mozemo uvesti i sa

d2(f,g) =

(∫ b

a|f(t)− g(t)|2dt

) 1

2

.

Tada imamo prostor neprekidnih funkcija sa kvadratnom metrikom. ♦

Primjer 25. Neka je k ∈N. Sa Ck[a,b] oznacavamo skup svih k-puta neprekidnodiferencijabilnih funkcija definisanih na [a,b]. Za f,g ∈ Ck[a,b] metriku na ovomskupu uvodimo sa,

d(f,g) = supt∈[a,b]

max|f(t)− g(t)|, |f ′(t)− g′(t)|, . . . , |f (k)(t)− g(k)(t)| . ♦

Primjer 26. Skup Lebesgue integrabilnih funkcija sa p-tim stepenom nad oblastiΩ, oznacavamo sa Lp(Ω) (1 ≤ p < +∞),

Lp(Ω) =

f∣∣∣

∫

Ω|f(t)|pdt < +∞

,

a metrika je data sa

d(x,y) =

(∫

Ω|x(t)− y(t)|pdt

) 1

p

. ♦


Primjer 27. U razvoju softwarea, metrika je mjerenje odredene karakteristikeperformansi programa ili efikasnosti istih. Slicno tome, u mreznom usmjerava-nju, metrika je mjera koja se koristi za izracunavanje sljedeceg hosta za usmje-ravanje paketa. Metrika se ponekad koristi direktno, a ponekad i kao element ualgoritmu. Kljucni pojam za metriku u racunarskoj nauci je ”benchmark”. Benc-hmark je referentna tacka pomocu koje se nesto mjeri. U geodetskom ispitivanju,”Bench mark” (dvije rijeci) je trajna oznaka utvrdena na poznatoj visini koja sekoristi kao osnova za mjerenje elevacije drugih topografskih tacaka. Laborato-rije racunara cesto testiraju i uporeduju nekoliko novih racunara ili racunarskihuredaja protiv istog skupa aplikativnih programa, interakcija korisnika i konteks-tualnih situacija. Ukupan kontekst na koji se svi proizvodi mjere i uporeduju senaziva bencmark. ♦

Primjer 28. Ako je X povezana Riemannova mnogostrukost, rastojanje izmedudvije tacke te mnogostrukosti definisemo kao infimum duzina putanja (neprekidnodiferencijabilnih krivih na mnogostrukosti) koje ih povezuju. ♦

X

YA

B

Slika 2.5: Zakrivljeni prostor.

Primjer 29. Ako je G neusmjeren graf, tada na skupu cvorova tog grafa de-finisemo rastojanje kao najkraci put koji povezuje dva cvora.

u v

z

x y

1

3

2

6

10

58

4

Tako bi rastojanje od cvora y do cvora z bilo 7 (od y do x plus od x do z), a neprosto poveznica ova dva cvora (8). Rastojanje od cvora z do cvora v bi bilo 9(od z do x pa do u i na kraju do v). ♦


Primjer 30. Neka je na skupu R2 zadata funkcija

d(x,y) = |x1 − y1| , x = (x1,x2),y = (y1,y2) ∈ R2 .

Nije tesko provjeriti da funkcija d zadovoljava uslove (M1), (M3) i (M4), aline i uslov (M2). Naime, sve tacke iz R2 sa istim prvim koordinatama imaju”udaljenost” nula i pri tome moraju obavezno biti iste. Dakle, d nije metrika alije zadovoljen uslov: x = y ⇒ d(x,y) = 0, pa je (R2,d) primjer pseudometrickogprostora.

Koristeci se idejom konstrukcije metrickog prostora iz pseudometrickog prostora,uveli bismo relaciju ekvivalencije u R2, tako da su dvije tacke ekvivalentne ako isamo ako su im prve koordinate jednake. U tom slucaju bi klase ekvivalencije bilesve moguce prave vertikalne na x-osu, te bi odgovarajuci metricki prostor R2 biokolicnicki prostor ciji su elementi te prave (klase ekvivalencije). ♦

2.1.6 Ograniceni skupovi u metrickom prostoru

Sa pojmom metricke funkcije u mogucnosti smo mjeriti i ”rastojanja” izmedurazlicitih objekata zadatog skupa, a ne samo izmedu njegovih elemenata.

Definicija 2.16

Neka je x tacka metrickog prostora (X,d) i neka je skup A ⊆ X neprazan.Udaljenost tacke x od skupa A oznacavamo sa d(x,A) i definisemo sa

d(x,A) = infd(x,y)| y ∈ A .

Gornja definicija je korektna jer ako je A neprazan skup, onda je i skup d(x,y)| y ∈A neprazan i ocigledno zbog osobine (M1), ogranicen odozdo, pa infimum pos-toji.Jasno je da ako x ∈ A onda je d(x,A) = 0. Medutim, ako je d(x,A) = 0 ne morabiti x ∈ A, sto pokazuje primjer x = 0 i A = (0,1) na realnoj pravoj. Naime,

d(0,(0,1)) = infd(a,0) | a ∈ (0,1) = inf|a| | a ∈ (0,1) = 0 ,

a 0 /∈ (0,1). Ovime opravdavamo koristenje iste oznake (d) i za metriku, a iza rastojenje tacke od skupa, iako ovo drugo nije forma rastojanja kako smo todefinisali aksiomama metrike.

Primjer 31. U metrickom prostoru (R2,d2) izracunati rastojanje tacke (1,1) odskupa A = (x,y) | x2 + y2 ≤ 1.


b

b

b

b

a = (1,1)

A

(x,y)X

Rastojanje tacke (1,1) od proizvoljne tacke (x,y) ∈A u d2 metrici dato je sa

d((1,1),(x,y)) =√

(x − 1)2 + (y − 1)2 .

Naci rastojanje tacke (1,1) od skupa A znaci mi-nimizovati gornju funkciju pri uslovu da je tacka(x,y) ∈ A, to jest da vrijedi x2 + y2 ≤ 1. Ekstremifunkcije d((1,1),(x,y)) jednaki su ekstremumimafunkcije f(x,y) = (x − 1)2 + (y − 1)2.

Ocigledno je da se tacka skupa A koja je najbliza tacki (1,1) nalazi na rubuskupa, pa dakle trebamo rijesiti problem uslovne ekstremizacije

(x − 1)2 + (y − 1)2 → inf = min

x2 + y2 = 1 .

Primjenjujuci Lagrangeov metod za rjesavanje gornjeg problema dobijamo da je

trazena tacka X =(√

22 ,

√2

2

)

i da je rastojanje d((1,1),A) =√

2− 1. ♦

?! Koliko bi bilo rastojanje tacke (1,1) od skupa A = (x,y) ∈R2 | d((x,y),(0,0)) ≤1, ako je d = d1 ili d = d∞?

Lema 2.17

Neka je (X,d) metricki prostor, A,B ⊆ X i x,y ∈ X. Tada vrijedi1. d(x,y) = d(x,y), 2. Ako je ∅ 6= A ⊆ B onda je d(x,A) ≥ d(x,B).

Lema 2.18

Za proizvoljan neprazan podskup A i proizvoljne tacke x i y metrickog pros-tora (X,d) vrijedi

|d(x,A)− d(y,A)| ≤ d(x,y) .

Dokaz : Neka je ε > 0 proizvoljan realan broj. Oznacimo sa a = d(x,A) i sab = d(y,A). Na osnovu definicije infimuma skupa, postoji t ∈ A, takav da jed(y,t) ≤ b + ε. Sada na osnovu Leme 2.4, za svako s ∈ A imamo

d(x,s)− b ≤ d(x,s)− d(y,t)+ ε ≤ d(x,y)+ d(s,t)+ ε . (2.13)

Oznacimo sa

M = d(x,s)− b| s ∈ A , N = d(x,y)+ d(s,t)+ ε| s ∈ A .


Jasno je, na osnovu (2.13), da vrijedi inf M ≤ inf N . Ako u 2.13 stavimo s = t,vidimo da je broj d(x,y) + ε u skupu N , pa onda vrijedi i inf M ≤ d(x,y) + ε.Kako ovo vrijedi za proizvoljno ε > 0 to onda vrijedi i a − b ≤ d(x,y). Gornjerazmatranje mozemo u potpunosti iskoristiti zamjenjujuci mjesta tackama x i y,te vrijedi i b − a ≤ d(x,y), cime je iskazana tvrdnja dokazana.

Definicija 2.19

Neka su A i B neprazni podskupovi metrickog prostora (X,d). Rastojanjeizmedu skupova A i B oznacavamo sa d(A,B) i definisemo sa

d(A,B) = infd(x,y) | x ∈ A, y ∈ B .

Korektnost i ove definicije objasnjavamo na isti nacin kao kod rastojanja tackeod skupa. Ako se skupovi sijeku, jasno je da vrijedi d(A,B) = 0. Medutim, akoje d(A,B) = 0 to ne znaci da je presjek skupova neprazan. Naprimjer, ako je A =(0,1), a B = (1,2), tada je d(A,B) = 0 i A∩B = ∅. Ovo nam govori da definisanorastojanje izmedu skupova nije metrika na particiji od X, to jest na gore uvedennacin funkcija d : P(X ) × P(X ) → R zadovoljava samo osobine nenegativnostii simetricnosti. Rastojanje izmedu dva skupa mozemo okarakterisati i prekorastojanja tacke od skupa.

Lema 2.20

Neka je X metricki prostor. Za proizvoljne neprazne skupove A,B ⊆ Xvrijedi

d(A,B) = infa∈A

d(a,B) = infb∈B

d(b,A) .

Dokaz : Neka su a ∈ A i b ∈ B proizvoljni. Tada vrijedi

d(a,b) ≥ infb∈B

d(a,b) = d(a,B) ≥ infa∈A

d(a,B) .

Odavde onda imamo da je

infa∈A,b∈B

d(a,b) = d(A,B) ≥ infa∈A

d(a,B) .

Pretpostavimo da je infa∈A

d(a,B) < d(A,B). Tada bi morao postojati a ∈ A, takav

da je d(a,B) < d(A,B). Ovo opet znaci da je infb∈B

d(a,b) < d(A,B), pa bi opet

morao postojati b ∈ B takav da je d(a,b) < d(A,B), sto je ocigledna kontradikcija.


Definicija 2.21

Za skup A, podskup metrickog prostora (X,d), kazemo da je ogranicen iliomeden ako i samo ako je skup rastojanja medu tackama tog skupa ogranicenskup, to jest

(∃C > 0)(∀x,y ∈ A) 0 ≤ d(x,y) ≤ C .

Specijalno, ako je A = X, kazemo da je X ogranicen prostor, a za metrikukazemo da je ogranicena na X.

Primjer 32. Jedinicni krug B = (x,y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1 je ogranicen skup u(R2,d2).

b

b

b

X1

X2

1

Zaista, kako je za (x1,y1),(x2,y2) ∈ R2 rastoja-nje zadato sa

d((x1,y1),(x2,y2)) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ,

jasno je da je za proizvoljne dvije tacke iz Bnjihovo rastojanje manje ili jednako precnikukruga,

d((x1,y1),(x2,y2)) ≤ 2 . ♦

Primjer 33. Na skupu R, funkcija zadata sa d(x,y) = arctan |x − y| je metrika(pokazati) i kako je pri tome arctan(α) < π

2 za proizvoljno α ∈ R, prostor R saovom metrikom je ogranicen. ♦

Primjer 34. Neka je (X,d) proizvoljan metricki prostor. Funkcija d∗ : X ×X →R, zadata sa

d∗(x,y) =d(x,y)

d(x,y)+ 1, x,y ∈ X ,

je metrika na X (Teorem 2.5) i pri tome za proizvoljne x,y ∈ X ocigledno vrijedid∗(x,y) ≤ 1, te je (X,d∗) ogranicen prostor. ♦

Interesantnim se cini primijetiti da prakticno svaki skup mozemo uciniti ogranice-nim, birajuci za to ”pogodnu” metriku. Ali, zar je za ocekivati da je skup realnihbrojeva ogranicen!? Zato termine ”dobra”, ”pogodna” ili ”ocekivana” metrikatreba shvatiti uslovno.


Definicija 2.22

Neka je A podskup metrickog prostora (X,d). Nenegativan broj

diamA = supd(x,y)| x,y ∈ A ,

nazivamo dijametrom skupa A.

Ocigledno je da ako vrijedi diamA = +∞, da je tada skup A neogranicen, tojest u kontrapoziciji ovoga imamo naredno tvrdenje.

Lema 2.23

Skup je ogranicen ako i samo ako mu je dijametar konacan.

Primjer 35. U prostoru l2 sa standardnom metrikom, posmatrajmo skup A =en | n ∈ N, gdje je

e1 = (1,0,0, ...) , e2 = (0,1,0, ...) , . . . ,en = (0,0, ... ,1,︸︷︷︸

n−to mjesto

0, ...) .

Tada je za proizvoljne n,m ∈ N, d(en,em) =√

2, te je skup A ogranicen i stavise,diamA =

√2. ♦

Od osobina dijametra spomenimo sljedece dvije.

Teorem 2.24

Za proizvoljna dva podskupa A i B metrickog prostora (X,d) vrijedi

1. Ako je A ⊆ B onda je diamA ≤ diamB.

2. diam(A ∪ B) ≤ diamA + diamB + d(A,B).

Dokaz : 1) Ocigledno.2) Kako je d(A,B) = infd(x,y) | x ∈ A , y ∈ B, to za proizvoljno ε > 0 postoje

a′ ∈ A i b′ ∈ B, takvi da je d(a′, b′) − d(A,B) < ε. Neka su sada a ∈ A i b ∈ Bproizvoljni. Tada na osnovu relacije mnogougla vrijedi

d(a,b) ≤ d(a,a′)+ d(a′, b′)+ d(b′, b) < diamA + d(A,B)+ diamB + ε .

Kako je ovo vrijedilo za proizvoljno ε, zakljucujemo da za sve a ∈ A i sve b ∈ Bvrijedi

d(a,b) ≤ diamA + d(A,B)+ diamB .


Dakle, velicina diamA + d(A,B) + diamB predstavlja jedno gornje ogranicenjeskupa d(x,y) | x,y ∈ A ∪ B, pa vrijedi

supd(x,y) | x,y ∈ A ∪ B = diam(A ∪ B) ≤ diamA + d(A,B)+ diamB ,

sto je i trebalo dokazati.

Jasno je sada da zbog druge navedene osobine u gornjem teoremu imamo ociglednutvrdnju.

Posljedica 1. Unija konacno mnogo ogranicenih skupova je ogranicen skup.

Da bismo definisali jos jedan pojam vezan za ogranicenost skupova u metrickimprostorima, potreban nam je pojam pokrivaca skupa.

Definicija 2.25

Neka je (X,d) metricki prostor. Za familiju Ai | Ai ⊆ X, i ∈ I kazemo daje pokrivac skupa M ⊆ X, ako i samo ako vrijedi M ⊆

⋃

i∈I

Ai.

Pri tome, ako je skup indeksa I konacan, govorimo o konacnom pokrivacu, od-nosno o prebrojivom pokrivacu, ako je I prebrojiv skup.

Primjer 36. Familija (a,b) | a,b ∈ R , a < b je pokrivac skupa R, ali to jei familija (p,q) | p,q ∈ Q , p < q. Razlika izmedu ovih pokrivaca je izmeduostalog, sto je prva familija neprebrojiva, a druga predstavlja prebrojiv pokrivac.♦

Definicija 2.26

Za skup kazemo da je totalno ogranicen ako i samo ako za svako ε > 0, postojikonacan pokrivac tog skupa skupovima ciji je dijametar manji od ε.

Koristeci cinjenicu da je konacna unija ogranicenih skupova ogranicen skup,trivijalno vrijedi sljedeca tvrdnja.

Teorem 2.27

Svaki totalno ogranicen skup je i ogranicen.

U opstem slucaju obrat ovog tvrdenja ne vrijedi, kao sto to mozemo vidjetina primjeru metrickog prostora (N,d), gdje je d diskretna metrika. Jasno je daza proizvoljne n,m ∈ N vrijedi d(n,m) ≤ 1, ali ovaj skup nije totalno ogranicen.Zaista, uzmemo li da je ε = 1, ne postoji konacno mnogo skupova dijametra(duzine) manje od 1 koji bi pokrili skup N.


Teorem 2.28

Svaki ograniceni podskup euklidskog prostora Rn (n ∈N) je totalno ogranicenskup.

Dokaz : Neka je A ⊂ R ogranicen skup. Tada je diamA konacan, a time cebiti i diam(A ∪ 0) = d ∈ R+. Ako sa Id oznacimo segment [−d,d] ⊂ R, tada je

K =n∏

i=1

Id n-dimenzionalna kocka u Rn, ciji je centar u koordinatnom pocetku, a

stranica 2d.Neka je a = (a1,a2, ...,an) ∈ A proizvoljno, tada za svako i ∈ 1,2, ...,n vrijedi

|ai| ≤√

a21 + a2

2 + · · ·+ a2n = d(a,0) ≤ diam(A ∪ 0) = d ,

te je A ⊆ K. Jasno je sada da ako pokazemo totalnu ogranicenost za K, da ce tovrijediti i za skup A.

Za proizvoljno ε > 0 izaberimo k ∈ N, tako da je k > d√

nε

. Podijelimo li svaki odsegmenata Id = [−d,d] na 2k jednakih dijelova koji su opet segmenti, oznacimoih sa

Ii =

[d

k(i− 1),

d

ki

]

, i = −(k − 1),−(k − 2), ...,−1,0,1, ...,k ,

dobijamo podjelu velike kocke na sitnije kocke Ki1,i2,...,in = Ii1× Ii2

× ·· · × Iin ,kojih ukupno ima (2k)n, a koje ujedno predstavljaju konacan pokrivac kocke K.Kako je stranica svake male kocke duzine d

ki kako je

diamKi1,i2,...,in =d

k

√n < ε ,

zakljucujemo da je kocka K totalno ogranicen skup.

x

y

z

Ki1,i2,...,in

Slika 2.6: Podjela kocke u 3D.


Gornjim teoremom tvrdimo da su u konacnodimenzionalnim prostorima poj-movi ogranicenosti i totalne ogranicenosti skupa ekvivalentni. Medutim, u be-skonacnodimenzionalnim prostorima to nije tako. Naime, kako smo pokazali uPrimjeru 35 skup A = en | n ∈N jeste ogranicen jer je za proizvoljna dva razlicitaelementa tog skupa d(en,em) =

√2. Ako sada izaberemo da je ε = 1, tada ce se

u proizvoljnom skupu ciji je dijametar manji ili jednak ε nalaziti najvise jedanelement skupa A. Da bismo pokrili skup A ovakvim skupovima, njih mora bitibar onoliko koliko ima elemenata u skupu A, a ovih je prebrojivo mnogo. Dakle,u opstem slucaju ne vrijedi obrat tvrdnje u Teoremu 2.27.

Primjer 37. Posmatrajmo prostor C[0,1] sa standardnom metrikom i neka sufn : R → R zadate sa

fn(x) = max

1− 2(n + 1)2

∣∣∣∣x − 1

n

∣∣∣∣ ,0

, n ∈ N .

Jasno je da fn ∈ C[0,1] za n ∈N i nije tesko provjeriti da je za n 6= m, d(fn,fm) =1. Neka je ε = 1

2 i neka je

Ai ⊆ C[0,1] | diam(Ai) =1

2, i ∈ 1,2, ...,n

,

familija koja je konacan pokrivac skupa C[0,1]. Tada bi u svakom skupu navedenefamilije moglo biti najvise po jedna od funkcija fn (jer d(fn,fm) = 1 > ε). Kakofunkcija fn ima prebrojivo mnogo, zakljucujemo da je postojanje ovakve familijekontradiktorno. Dakle, C[0,1] nije totalno ogranicen. ♦

Teorem 2.29

Neka je M podskup totalno ogranicenog metrickog prostora (X,d). Tada jei M totalno ogranicen.

Dokaz : Neka je ε > 0 proizvoljan. X je totalno ogranicen, te postoji familija

Ai ⊆ X | diam(Ai) < ε,i ∈ 1,2, ...,n za koju je X ⊆n⋃

i=1

Ai, to jest data familija

je konacan pokrivac od X, skupovima ciji su dijametri manji od ε. Neka je sadaM ⊆ X proizvoljan. Za zadato ε ce ista familija biti konacan pokrivac i od M jer

je M ⊆ X ⊆n⋃

i=1

Ai. Dakle, M je totalno ogranicen.

Gornje smo mogli iskazati i tvrdnjom da je svaki podskup totalno ogranicenogskupa, totalno ogranicen skup.


2.1.7 Topologija metrickih prostora

Otvoreni i zatvoreni skupovi cine topoloske karakteristike skupa. Da bismo uvelitopologiju na nekom skupu, moramo odrediti sta ce biti otvoreni skupovi u njemu.U metrickim prostorima otvorene skupove ce karakterisati otvorene kugle, i kaosto cemo vidjeti, topologija ce biti indirektno odredena metrikom datog prostora.

Definicija 2.30

Neka je (X,d) metricki prostor. Za proizvoljno a ∈ X i za proizvoljno r > 0skup

B(a,r) = x ∈ X| d(a,x) < rnazivamo otvorena kugla u X sa centrom u a, poluprecnika r.Skup

K(a,r) = x ∈ X| d(a,x) ≤ rnazivamo zatvorena kugla sa centrom u a i poluprecnika r, a skup

S(a,r) = x ∈ X| d(a,x) = r

nazivamo sfera sa centrom u a, poluprecnika r.

Primjer 38. Otvorena kugla B(x0,r) na realnoj pravoj je ogranicen interval(x0 −r,x0 +r) sa centrom u x0 i duzinom 2r. S druge strane, svaki ogranicen otvo-

ren interval (a,b) na realnoj pravoj predstavlja otvorenu kuglu B

(a + b

2,b − a

2

)

.

Isto tako, zatvorene kugle na realnoj pravoj su ograniceni segmenti (zatvoreniintervali) koji sadrze vise od jedne tacke. ♦

Otvorena i zatvorena kugla kao i sfera definisane su uvedenom metrikom naskupu. To ce naravno diktirati i ”oblik” tih skupova, sto se moze ilustrativnovidjeti na primjeru prostora R2, sa metrikama d1, d2 i d∞ (Slika 2.7).

(a) Kugla u (R2,d1) (b) Kugla u (R2,d2). (c) Kugla u (R2,d∞).

Slika 2.7: Razlicite metrike, razliciti oblici kugle.


Primjer 39. Posmatrajmo R2 sa river metrikom

α(x,y) =

|x2 − y2| ; x1 = y1

|x2|+ |y2|+ |x1 − y1| ; x1 6= y1, (x1,x2),(y1,y2) ∈ R2 .

Neka su A = (a,b) ∈ R2 i r > 0 proizvoljni. Tacke iz R2 cija je prva koordinataa, koje pripadaju kugli, moraju zadovoljavati nejednacinu |y − b| < r ili sto jeekvivalentno sa b−r < y < b+r. Ukoliko je tacka (x,y) ∈R2 takva da x 6= a, tadata tacka pripada kugli ako i samo ako je

α((a,b),(x,y)) = |y|+ |b|+ |x − a| < r .

Diskutujuci gornju nejednakost po kvadrantima i po odnosu prvih koordinata (x ia) dobijamo tacke kugle B(A,r), sto je prikazano na slici 2.8. ♦

1 2−1−20

−1

−2

1

2

b A

1 2 3−10

−1

−2

1

2

b A

1 2 3−10

−1

−2

1

2

b A

1 2−10

−1

−2

1

2

3

4

b A

Slika 2.8: Oblici kugle B(A,2) u river metrici, u zavisnosti od centra A.

1 2 3−1−20

−1

−2

1

2

3

b A

1 2 3−1−20

−1

−2

1

2

3

bA

1 2 3−1−20

−1

−2

1

2

3

bA

Slika 2.9: Oblici kugle B(A,2) u radijalnoj metrici, u zavisnosti od centra A.

Primjer 40. Posmatrajmo R2 sa radijalnom metrikom,

β(x,y) =

|x1 − y1| ; x, y i O kolinearned2(x,O)+ d2(y,O) ; inace

, (x1,x2),(y1,y2) ∈ R2 .

Kugla B(A,r) imat ce jedan od oblika prikazanih na slici 2.9. ♦


?! Ispitati detaljno skupove B(A,r) za river i radijalnu metriku!

Primjer 41. U R3 sa d2 metrikom centralna kugla, kugla sa centrom u koordi-natnom pocetku, poluprecnika R je skup

B(0,R) =

(x,y,z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 < R2

,

ili u opstem slucaju, kugla sa centrom u O(p,q, l), poluprecnika R je

B(O,R) =

(x,y,z) ∈ R3 | (x − p)2 + (y − q)2 + (z − l)2 < R2

. ♦

Primjer 42. U prostoru C[0,1] sa standardnom metrikom, kugla B(f0,ε) je skupsvih neprekidnih funkcija ciji grafovi leze u ε-pojasu oko grafa funkcije f0. ♦

1

ε f0

Slika 2.10: Kugla u C[0,1] sa centrom u f0, poluprecnika ε.

Primjer 43. Neka je (X,d) diskretan metricki prostor. Kako je d diskretnametrika, to za proizvoljno x ∈ X je

B(x,1) = y ∈ X | d(x,y) < 1 = x .

Primijetimo da je tada K(x,1) = X i S(x,1) = X \x. ♦

Iz same definicije otvorene kugle, zatvorene kugle i sfere, jasno je da vrijedi,

diam(B(x,r)) = diam(K(x,r)) = diam(S(x,r)) = 2r,

te su kugle ograniceni skupovi. Zbog ove cinjenice, pojmom kugle ogranicenostskupa u metrickom prostoru mozemo izraziti veoma intuitivno.

Teorem 2.31

Neka je (X,d) metricki prostor i A ⊆ X. Skup A je ogranicen ako i samo akopostoji x0 ∈ X i r > 0 tako da vrijedi A ⊆ B(x0,r).

Pojam kugle je izuzetno vazan jer se pomocu nje definisu skoro sve topoloskekarakteristike metrickih prostora.


D

B(O,r)

O

(a) Ogranicenost figure u R2.

b

X

A

x

(b) Okolina tacke

Definicija 2.32

Neka je (X,d) metricki prostor. Za skup A ⊆ X kazemo da je okolina tackex ∈ X ako i samo ako postoji r > 0, tako da je B(x,r) ⊆ A.

Pomocu kugli definisemo i otvorene skupove, a time i topologiju metrickog pros-tora. S obzirom na to da su kugle odredene metrikom prostora, ovo ce znaciti daje topologija odredena metrikom prostora.

Definicija 2.33

Za skup G, podskup metrickog prostora (X,d), kazemo da je otvoren ako isamo ako vrijedi

(∀x ∈ G)(∃ε > 0) B(x,ε) ⊆ G .

Drugacije receno, skup G ⊆ X je otvoren u metrickom prostoru ako se mozeprikazati kao unija otvorenih kugli tog prostora. Naravno da je gornja definicijau skladu i sa topoloskom karakterizacijom otvorenog skupa kao okoline svakesvoje tacke. Od osobina otvorenih kugli neke od najvaznijih izdvajamo sljedecimtvrdenjem.

Lema 2.34

Otvorene kugle u metrickom prostoru imaju sljedece osobine:

1. x ∈ B(x,r).

2. B(x,r1)∩ B(x,r2) = B(x,minr1,r2).

3. y ∈ B(x,r) ⇒ B(y,r − d(x,y)) ⊆ B(x,r).

4. Otvorena kugla je otvoren skup.


Dokaz :

1. Neka je B(x,r) proizvoljna kugla u metrickom prostoru. Kako je d(x,x) =0 < r, prema definiciji kugle x ∈ B(x,r).

2. Neka su B(x,r1) i B(x,r2) kugle sa istim centrom i razlicitim poluprecnicima.Ako y ∈ B(x,r1)∩ B(x,r2), to y pripada objema kuglama. Ovo znaci da jed(x,y) < r1 i d(x,y) < r2, a sto je opet ekvivalentno sa d(x,y) < minr1,r2to jest, y ∈ B(x,minr1,r2).

3.

Neka je B(x,r) proizvoljna kugla i y ∈ B(x,r).Kako je d(x,y) < r, odnosno r − d(x,y) > 0, ku-gla B(y,r − d(x,y)) je dobro definisana. Nekaje sada z ∈ B(y,r −d(x,y)) proizvoljan. Tada jed(y,z) < r−d(x,y), odnosno d(x,y)+d(y,z) < r.Na osnovu nejednakosti trougla imamo d(x,z) ≤d(x,y)+ d(y,z) < r, te je z ∈ B(x,r).

ε

x

y

b

b

ε − d(x,y)

4. Prvo konstatujmo da je B(x,r) 6=∅ jer x ∈ B(x,r). Neka je sada y ∈ B(x,r)proizvoljan. Na osnovu 3. tada imamo B(y,r−d(x,y)) ⊆ B(x,r), te je kuglaB(x,r) okolina svake svoje tacke, a time i otvoren skup.

Lema 2.35

Neka je (X,d) metricki prostor, x,y ∈ X i r1,r2 > 0 (r1 > r2). Tada vrijedi:

1. Ako je d(x,y) ≥ r1 + r2, tada su kugle B(x,r1) i B(y,r2) disjunktne.

2. Ako je d(x,y) ≤ r1 − r2, tada je B(y,r2) ⊆ B(x,r1).

?! Da li vrijede obrati u tvrdnjama iskazanim u gornjoj lemi? Ako ne vrijede,navesti kontraprimjere.

?! Kako izgledaju kugle u ultrametrickim prostorima? Kako izgledaju odnosidvije kugle u ovim prostorima uzimajuci uslove gornje leme?

Otvorene kugle su otvoreni skupovi i kao sto smo to vec spomenuli, otvorenskup u metrickom prostoru se moze prikazati kao unija otvorenih kugli. Sve ovonam govori da familija svih kugli predstavlja bazu neke topologije na metrickomprostoru.


Teorem 2.36

Neka je (X,d) metricki prostor. Kolekcija τ svih otvorenih podskupova odX ima sljedece osobine.

1. ∅, X ∈ τ .

2. U,V ∈ τ onda U ∩ V ∈ τ .

3. (∀i ∈ I)Oi ∈ τ ⇒⋃

i∈I

Oi ∈ τ .

4. (∀x,y ∈ X, x 6= y)(∃U,V ∈ τ )(x ∈ U ∧ y ∈ V ∧ U ∩ V = ∅).

Familija τ koja zadovoljava osobine 1., 2. i 3. naziva se topologija na X, a akozadovoljava jos i osobinu 4., naziva se Hausdorffova topologija na X.

Primjer 44. U R sa euklidskom metrikom, skupovi(

− 1n

, 1n

)

(n ∈ N) su otvoreni

skupovi (intervali), a kako su jedini otvoreni skupovi u euklidskoj topologiji na R

intervali i njihove unije, to skup

⋂

n∈N

(

− 1

n,1

n

)

= 0 ,

nije otvoren skup. Ovime potvrdujemo da slicna osobina sa presjekom cinjenici3. Teorema 2.36 ne vrijedi. ♦

Definicija 2.37

Neka je A podskup metrickog prostora (X,d). Za tacku x ∈ X kazemo da jeunutrasnja tacka skupa A ako i samo ako postoji ε > 0 takav da je B(x,ε) ⊆ A.Skup svih unutrasnjih tacaka skupa A nazivamo unutrasnjost (interior) skupai oznacavamo ga sa Ao.

Primjer 45. Nije tesko pokazati da je unutrasnjost skupa [0,1] ⊂ R, skup (0,1).Zaista, neka je x ∈ (0,1). Kako je (0,1) otvoren skup, postoji ε > 0 takav da(x − ε,x + ε) ⊂ (0,1) ⊂ [0,1], a to upravo znaci da je x unutrasnja tacka skupa[0,1].S druge strane, 0 i 1 nisu unutrasnje tacke skupa [0,1] jer ne postoji r > 0 takavda je (−r,r) ⊂ [0,1], odnosno da je (1− r,1+ r) ⊂ [0,1]. ♦

Neke od znacajnijih osobina untrasnjosti skupa dajemo sljedecim tvrdenjem.


Teorem 2.38

Neka su A,B podskupovi metrickog prostora (X,d). Tada vrijedi:

1. Ao je otvoren skup.

2. Ao ⊆ A.

3. (Ao)o = Ao.

4. Ako je A ⊆ B, onda je Ao ⊆ Bo.

5. (A ∩ B)o = Ao ∩ Bo.

6. Ao ∪ Bo ⊆ (A ∪ B)o.

Primjer 46. Posmatrajmo u prostoru R skupove A = [0,1] i B = [1,2]. Nije teskouvjeriti se da je Ao = (0,1) i Bo = (1,2). Tada imamo da je Ao ∪Bo = (0,1)∪(1,2).Medutim, (A∪B)o = [0,2]o = (0,2), te ocigledno u sestoj osobini gornjeg teoremamoze nastupiti i stroga inkluzija. ♦

U kontekstu unutrasnjosti skupa imamo sljedecu karakterizaciju otvorenih sku-pova.

Teorem 2.39

Skup u metrickom prostoru je otvoren ako i samo ako su sve njegove tackeunutrasnje tacke, to jest ako i samo ako vrijedi A = Ao.

Naravno da se dokaz ovog tvrdenja oslanja na cinjenicu da je otvoren skup okolinasvake svoje tacke. Naime, ako je A otvoren skup, onda za svako x ∈ A postojiε > 0, tako da je B(x,ε) ⊆ A, te je x ∈ Ao. S druge strane, ako je A = Ao, toje proizvoljno x ∈ A unutrasnja tacka, te postoji ε > 0, tako da je B(x,ε) ⊆ A.Dakle, A je okolina svake svoje tacke, te je otvoren skup.

Definicija 2.40

Neka je (X,d) metricki prostor. Tacku x ∈ A ⊆ X nazivamo izolovanomtackom skupa A ako i samo ako postoji okolina tacke x u kojoj osim tacke xnema drugih tacaka iz skupa A.Prostor koji se sastoji samo od izolovanih tacaka (atoma) naziva se diskretanprostor.


Neka je (X,d) diskretan metricki prostor i neka je x ∈ X proizvoljan. Kako je xizolovana tacka, vrijedi B(x,r) = x, za neko r > 0. Otvorena kugla je otvorenskup pa zakljucujemo da su singltoni (jednoclani skupovi) u diskretnim metrickimprostorima otvoreni skupovi. Samim tim je svaki podskup diskretnog prostoraotvoren (kao unija svojih singltona), a sto znaci da u diskretnom prostoru imamodiskretnu topologiju (nismo slucajno topologiju τ = P(X) zvali diskretnom topo-logijom). Naprimjer, N kao potprostor od R je diskretan prostor.

Definicija 2.41

Tacka x ∈ X je tacka nagomilavanja skupa A ako i samo ako se u svakojokolini tacke x nalazi bar jedna tacka skupa A, razlicita od x.Skup svih tacaka nagomilavanja skupa A nazivamo izvodni skup i oznacavamoga sa A′.

Primjer 47. U opstem slucaju ne postoji stroga veza izmedu skupa i njegovogizvodnog skupa.

1. Skup A =

1, 12 , 1

3 , ...

na realnoj pravoj ima tacku 0 kao tacku nagomilava-

nja. Stavise, to je jedina tacka nagomilavanja, to jest A′ = 0. Dakle, A iA′ su disjunktni.

2. Prema poznatom teoremu iz matematicke analize, svaki realan broj je tackanagomilavanja skupa racionalnih brojeva. Dakle Q′ = R. U ovom slucaju jeskup strogi podskup svog izvodnog skupa.

3. Za proizvoljane a,b ∈ R, a < b, vrijedi, (a,b)′ = (a,b]′ = [a,b)′ = [a,b]′ = [a,b].U slucaju intervala (a,b) on je strogi podskup izvodnog skupa, a u slucajusegmenta [a,b] vidimo da je jednak izvodnom skupu.

4. U diskretnom metrickom prostoru niti jedna tacka nije tacka nagomilavanja!Specijalno, podskup Z skupa R nema niti jednu tacku nagomilavanja, te jeZ′ = ∅. ♦

Lema 2.42

Neka je (X,d) metricki prostor i A ⊆ X. Ako je x0 tacka nagomilavanjaskupa A, tada za proizvoljno ε > 0 kugla B(x0,ε) sadrzi beskonacno mnogoelemenata skupa A.

Dokaz : Pretpostavimo da za neko ε > 0 kugla B(x0,ε) sadrzi samo konacnomnogo elemenata skupa A. Neka su to elementi x1,x2, ...,xn razliciti od x0.


Oznacimo sa δ = mind(x1,x0),d(x2,x0), ...,d(xn,x0). Tada kugla B(x0,δ) nesadrzi niti jednu tacku skupa A razlicitu od x0, sto je u kontradikciji sa definici-jom tacke nagomilavanja.

Definicija 2.43

Skup je zatvoren ako i samo ako je njegov komplement otvoren skup.

Pojam zatvoren skup nije logicki suprotan pojmu otvoren skup. Naprotiv, tadva pojma su ekvivalentna jer pomocu jednog od njih definisemo drugi.

Prema definiciji zatvorenih skupova, imamo dualan stav za Teorem 2.36.

Teorem 2.44

U proizvoljnom metrickom prostoru (X,d) vrijedi

1. ∅, X su zatvoreni skupovi.

2. Ako su F1 i F2 zatvoreni skupovi onda je F1 ∪ F2 zatvoren skup.

3. Presjek proizvoljno mnogo zatvorenih skupova je zatvoren skup.

Primjer 48. U R sa euklidskom metrikom, skupovi[

0,1− 1n

]

(n ∈N) su zatvoreni

skupovi (segmenti). Kako je

⋃

n∈N

[

0,1− 1

n

]

= [0,1) ,

i pri tome [0,1) nije zatvoren skup (u euklidskoj topologiji), potvrdujemo cinjenicuiz 2. gornjeg teorema da proizvoljna unija zatvorenih skupova ne mora biti zatvo-ren skup. ♦

Teorem 2.45

Zatvorena kugla u metrickom prostoru je zatvoren skup.

Dokaz : Neka je (X,d) metricki prostor i K(x0,r) = x ∈ X | d(x,x0) ≤ r pro-izvoljna zatvorena kugla u njemu. Neka je y proizvoljan element iz (K(x0,r))c.Tada je d(y,x0) > r, te neka je r1 = d(y,x0)−r > 0. Posmatrajmo sada proizvoljanz ∈ B(y,r1). Za njega vrijedi

d(z,x0) ≥ d(y,x0)− d(y,z) > d(y,x0)− r1 = r .


Dakle, z /∈ K(x0,r), ili drugacije receno z ∈ (K(x0,r))c. Zakljucujemo da vri-jedi B(y,r1) ⊆ (K(x0,r))c, te je (K(x0,r))c otvoren skup, odnosno K(x0,r) jezatvoren skup.

Lema 2.46

Neka je O otvoren skup i F zatvoren skup u X. Tada je skup O \F otvoren,a F \O zatvoren skup u X.

Dokaz : Kako vrijedi skupovna jednakost

O \F = (X \F )∩ O ,

kao presjek dva otvorena skupa i O \ F je otvoren skup. Analogno iz F \ O =(X \O)∩ F , kao presjek dva zatvorena skupa i skup F \O je zatvoren.

Teorem 2.47

Podskup A metrickog prostora je zatvoren ako i samo ako sadrzi sve svojetacke nagomilavanja, to jest A′ ⊆ A.

Dokaz : Neka je (X,d) metricki porstor i A ⊆ X. Pretpostavimo da je A zatvo-ren. Slucajevi kada je A = ∅ i A = X ocigledno zadovoljavaju tvrdnju da sadrzesve svoje tacke nagomilavanja. Zato neka je A neprazan i razlicit od X. Tadapostoji x /∈ A, to jest x ∈ Ac, a kako je Ac kao komplement zatvorenog skupa otvo-ren skup, to postoji r > 0 tako da je B(x,r) ⊆ Ac. Medutim, to onda znaci dapostoji okolina tacke x koja nema zajednickih elemenata sa skupom A, te tackax nije tacka nagomilavanja skupa A. Dakle, niti jedna tacka iz X \A nije tackanagomilavanja skupa A odnosno, skup A sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja.Suprotno, neka A sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja. Neka je x ∈ Ac pro-izvoljna. Tada ona nije tacka nagomilavanja skupa A, pa postoji r > 0, takav daB(x,r) ∩ A = ∅. Ovo onda znaci da je B(x,r) ⊆ Ac te je Ac otvoren skup kaookolina svake svoje tacke. Time je skup A zatvoren skup.

Primjer 49.

1. Skup N je zatvoren podskup realne prave jer nema tacaka nagomilavanja.Tada je N′ = ∅ ⊂ N.

2. Skup A =

1, 12 , 1

3 , ...

nije zatvoren u R jer ne sadrzi sve svoje tacke nago-

milavanja. Naime, A′ = 0, a 0 /∈ A. ♦


Primjer 50. Skup C[a,b] sa standardnom metrikom je zatvoren podskup me-trickog prostora B[a,b] sa supremum metrikom.

Zaista, neka je (fn)n∈N niz u C[a,b] takav da konvergira ka f ∈ B[a,b]. Kakoje u pitanju uniformna konvegrencija, a svaka od funkcija fn je neprekidna, naosnovu poznatog stava iz matematicke analize je i granicna vrijednost neprekidnafunkcija, to jest f ∈ C[a,b]. Dakle, C[a,b] sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja,te je zatvoren skup u B[a,b]. ♦

Zatvorenost skupa moze se okarakterisati i sa pojmom rastojanja tacke odskupa.

Lema 2.48

Neka je (X,d) metricki prostor i A ⊆ X zatvoren skup. Tada za x ∈ X vrijedi,d(x,A) = 0 ako i samo ako x ∈ A.

Definicija 2.49

Neka je (X,d) metricki prostor i neka je A ⊆ X. Najmanji u smislu inkluzije,zatvoreni skup koji sadrzi skup A, nazivamo zatvorenje ili adherencija skupaA i oznacavamo ga sa A.

Nije tesko vidjeti da vrijedi

A =⋂

F ⊆ X| F zatvoren i A ⊆ F ,

a to je u stvari topoloska definicija zatvorenja skupa.Ranije smo pokazali da je otvorena kugla B(x0,r) otvoren skup, a zatvorena

kugla K(x0,r) zatvoren skup u metrickom prostoru. Medutim, u opstem slucajune vrijedi B(x0,r) = K(x0,r). Zaista, posmatrajmo proizvoljan neprazan skup Xsnabdjeven diskretnom metrikom d. Tada je za x ∈ X, B(x,1) = x = B(x,1),ali je K(x,1) = X. Dakle, zatvorenje otvorene kugle ne mora biti zatvorena kugla.U opstem slucaju je B(x0,r) ⊆ K(x0,r).Neke od opstih karakteristika zatvorenja dajemo sljedecim tvrdenjem.

Lema 2.50

Neka su A i B proizvoljni podskupovi metrickog prostora X. Vrijedi,

1. Zatvorenje skupa je zatvoren skup.

2. A ⊆ A.


3. (A) = A

4. A ⊂ B ⇒ A ⊆ B.

5. A ∪ B = A ∪ B.

6. A ∩ B ⊆ A ∩ B.

Lema 2.51

Neka su A i B podskupovi metrickog prostora X.

1. Ako je A ⊆ B i B zatvoren skup, tada je A ⊆ B.

2. Ako je A ⊆ B i A otvoren skup, tada je A ⊆ Bo.

Dokaz : 1. Ako je A zatvoren skup, tada je A = A i dokaz je jasan. Pretpostavimozato da A nije zatvoren skup. Tada A\A 6=∅, te postoji x ∈ A\A. Pretpostavimoda x /∈ B. Tada je x unutrasnja tacka skupa Bc jer je Bc otvoren skup. Kako jeBc ⊆ Ac, to je x unutrasnja tacka i skupa Ac, a ovo je nemoguce jer je x tackanagomilavanja skupa A.

2. Neka je x ∈ A proizvoljan. Kako je A otvoren skup, postoji ε > 0 takav da jeB(x,ε) ⊂ A. Po pretpostavci je A ⊆ B, te je B(x,ε) ⊂ B, odnosno x je unutrasnjatacka skupa B. Dakle, A ⊂ Bo.

U terminologiji tacaka nagomilavanja, a sto je skoro kao neposredna posljedicaTeorema 2.47, adherencija skupa se dobija kada skupu dodamo sve njegove tackenagomilavanja. To iskazujemo narednom tvrdnjom.

Teorem 2.52

Neka je A podskup metrickog prostora (X,d). Tada vrijedi, A = A ∪ A′.

Na osnovu definicije rastojanja tacke od skupa, imamo jos jednu interesantnukarakterizaciju adherencije skupa.

Lema 2.53

Neka je X metricki prostor i A ⊆ X proizvoljan podskup. Tada vrijedi

A = x ∈ X| d(x,A) = 0 .

Dokaz : Neka je x ∈ A = A ∪ A′. Tada, ako x ∈ A, jasno d(x,A) = 0. Zato nekaje x ∈ A′. Kako je x tacka nagomilavanja skupa A, za proizvoljno ε > 0, postoji


a ∈ A, takav da je a ∈ B(x,ε) ili ekvivalentno d(x,a) < ε. Zbog proizvoljnostiε > 0 zakljucujemo da ce infd(x,a) | a ∈ A = 0 to jest, d(x,A) = 0.Obratno, neke je za neko x ∈ X, d(x,A) = 0. To znaci na osnovu definicijeinfimuma i definicije rastojanja tacke od skupa, da za svako ε > 0, postoji a ∈ A,takav da je d(x,a) < ε. Ovo opet znaci da je B(x,ε)∩A 6=∅, to jest x ∈ A∪A′ = A.

Istaknimo ovdje jos jednu osobinu dijametra skupa ali istovremeno i osobinuadherencije skupa.

Teorem 2.54

Za proizvoljan skup A u metrickom prostoru vrijedi

diamA = diamA .

Dokaz : Kako generalno vrijedi A ⊆ A, prema Teoremu 2.24 pod 1. imamo da je

diamA ≤ diamA . (2.14)

Neka je sada ε > 0 proizvoljno i uzmimo proizvoljne x,y ∈ A. Prema Lemi 2.53,postoje x′,y′ ∈ A takvi da je d(x,x′) < ε i d(y,y′) < ε. Sada imamo,

d(x,y) ≤ d(x,x′)+ d(x′,y′)+ d(y,y′)

< 2ε+ d(x′,y′) ≤ 2ε+ diamA

Zbog proizvoljnosti x,y ∈ A zakljucujemo diamA ≤ 2ε + diamA, a opet zbogproizvoljnosti ε > 0

diamA ≤ diamA . (2.15)

Iz (2.14) i (2.15) zakljucujemo trazenu jednakost.

Teorem 2.55

Zatvorenje totalno ogranicenog skupa je totalno ogranicen skup.

Dokaz : Neka je M totalno ogranicen skup u metrickom prostoru (X,d). Zaproizvoljno ε > 0 postoji konacan skup x1,x2, ...,xn ⊂ X, takav da je

M ⊆n⋃

i=1

B

(

xi,ε

2

)

. (2.16)

Ako je M = M nemamo sta dokazivati. Zato pretpostavimo da postoji y ∈ M \M .Na osnovu Leme 2.53 mora postojati x ∈ M takav da je d(x,y) < ε

2 . Zbog (2.16)onda postoji xi ∈ x1,x2, ...,xn takav da je d(x,xi) < ε

2 . Sada imamo d(xi,y) ≤d(xi,x)+ d(x,y) < ε, a to znaci da y ∈ B(xi,ε), to jest M ⊆ ⋃n

i=1 B(xi,ε). Zbogproizvoljnosti ε zakljucujemo da je M totalno ogranicen skup.


Primjedba 2.1.1. Treba primijetiti da je u Lemi 2.50 u 5. iskazana cinjenicada je zatvorenje konacne unije skupova jednako uniji zatvorenja tih skupova. Uopstem slucaju, za beskonacno mnogo skupova to ne mora da vrijedi, sto pokazujeprimjer skupa racionalnih brojeva. Naime, vrijedi Q=

⋃

q∈Q

q. Kako je q = q

za proizvoljan singlton, to je

⋃

q∈Q

q =⋃

q∈Q

q = Q .

S druge strane je Q = R, te je⋃

q∈Q

q 6=⋃

q∈Q

q.

Isto tako, u 6. u opstem slucaju ne vrijedi jednakost sto se vidi iz narednogprimjera.

Q∩ I = ∅ = ∅ ⊂ Q∩ I = R∩R = R .

Za proizvoljnu tacku x metrickog prostora (X,d) i njenu proizvoljnu okolinuN , postoji kugla B(x,r) ⊆ N . Kako za svako r > 0 postoji n ∈ N, takav da je1n

< r, to je onda B(x, 1n

) ⊆ N . Dakle, familija B(x, 1n

) | n ∈ N cini bazni sistemokolina tacke x koji je jos i prebrojiv, te metricki prostor (X,d) zadovoljava prviaksiom prebrojivosti. Time smo u stvari pokazali sljedecu tvrdnju.

Teorem 2.56

Svaki metricki prostor zadovoljava prvi aksiom prebrojivosti.

Teorem 2.57

U proizvoljnom metrickom prostoru jednoclani skupovi su zatvoreni.

Dokaz : Zaista, neka je x0 ∈ X proizvoljan (X neka je bar dvoclan skup). Posma-trajmo skup O = X \x0. Za proizvoljno x ∈ O, je x 6= x0, te je r = d(x,x0) > 0.Posmatrajmo sada kuglu B = B(x, r

2). Ocigledno x0 /∈ B i pri tome je B(x, r2) ⊆ O.

Dakle, za proizvoljno x ∈ O, skup O je okolina tacke x, to jest O je otvoren skup,a time je x0 zatvoren skup.

U opstem slucaju topoloskog prostora, jednoclani skupovi ne moraju biti za-tvoreni skupovi. Na osnovu nam dobro poznate klasifikacije, iz gornjeg za-kljucujemo da je svaki metricki prostor T1-prostor (Prostor je T1 ako i samoako su jednoclani skupovi zatvoreni). Medutim, za metricke prostore vrijedi ijaca osobina.


Teorem 2.58

Svaki metricki prostor je T2 prostor.

Dokaz : Podsjetimo se, topoloski prostor je T2 prostor ili Hausdorffov prostor,ako se u njemu svake dvije razlicite tacke mogu separisati disjunktnim otvore-nim okolinama. Da pokazemo ovu osobinu u metrickim prostorima, dovoljnoje uzeti x,y ∈ X takve da je x 6= y, a tada je d(x,y) 6= 0, i posmatrati kugle

B(

x, d(x,y)2

)

i B(

y, d(x,y)2

)

. Za proizvoljno z ∈ B(

x, d(x,y)2

)

vrijedi d(x,z) < d(x,y)2 ,

pa imamo d(y,z) ≥ |d(x,y) − d(x,z)| >d(x,y)

2, a ovo ne znaci nista drugo nego

da z /∈ B(

y, d(x,y)2

)

. Zbog proizvoljnosti elementa z, zakljucujemo da vrijedi

B

(

x,d(x,y)

2

)

∩ B

(

y,d(x,y)

2

)

= ∅ ,

i pri tome je x ∈ B(

x, d(x,y)2

)

, a y ∈ B(

y, d(x,y)2

)

.

Koristeci Lemu 2.48 i Lemu 2.18 pokazuje se da za metricke prostore cak vrijedii osobina normalnosti (svaka dva zatvorena disjunktna skupa se mogu separisatiotvorenim disjunktnim okolinama tih skupova), sto zajedno sa osobinom T1 govorida je svaki metricki prostor T4 prostor.

2.1.8 Ekvivalentnost metrika

Ako neprazan skup X snabdijemo dvjema razlicitim metrikama d1 i d2, smis-lenim se cini postaviti pitanje da li su odgovarajuci metricki prostori (X,d1) i(X,d2) na neki odreden nacin ”ekvivalentni”? Odlican primjer za to pitanje bilibi metricki prostori (X,d) i (X,2 · d). Na neki intuitivan nacin ovi prostori su”identicni” jer se rastojanje u drugom prostoru u odnosu na prvi prostor mjerisamo u razlicitoj skali. Zakomplikujmo malo stvari i postavimo isto pitanje zaprostore (X,d) i (X,

√d). Ovo poredenje izgleda nesto suptilnije. Kako su d i

√d

uredajno identicne (rastom jedne raste i druga velicina), ipak druga metrika nijejednostavno skaliranje prve metrike. Samim tim i odgovarajuci metricki prostorise bitnije razlikuju jedan od drugoga s ove tacke gledista. U najmanju ruku imalibismo pravo reci da je veza izmedu prostora (X,d) i (X,2d) nekako cvrsca negoveza izmedu prostora (X,d) i (X,

√d).

Otvorene skupove, a samim tim i topologiju, u metrickom prostoru smo uvelikoristeci pojam otvorene kugle koju smo opet uveli preko metricke funkcije, te jeona time metricki pojam. Zato kazemo da je ta topologija na metrickom prostoruindukovana metrikom tog prostora. Kako na proizvoljnom skupu mozemo defi-nisati mnogo razlicitih metrika, postavlja se pitanje kakve su tada veze izmeduodgovarajucih indukovanih topologija?


Definicija 2.59

Neka su d1 i d2 dvije metrike definisane na X. Kazemo da su ove metriketopoloski ekvivalentne i pisemo d1 ∼ d2, ako i samo ako se topoloske struk-ture indukovane tim metrikama podudaraju, to jest ako za topologiju τ 1 na(X,d1) i topologiju τ 2 na (X,d2) vrijedi τ 1 = τ 2.

Teorem 2.60

Metrike d1 i d2 definisane na X su topoloski ekvivalentne ako i samo ako zasvako x ∈ X i za svaku kuglu B1(x,r1) u metrici d1, postoji kugla B2(x,r2)u metrici d2, tako da je B2(x,r2) ⊆ B1(x,r1) i obrnuto, ako za svaku ku-glu B2(x,r2) u metrici d2, postoji kugla B1(x,r1) u metrici d1, tako da jeB1(x,r1) ⊆ B2(x,r2).

Dokaz : Neka su na X definisane dvije metrike za koje je d1 ∼ d2 i neka je zax ∈ X, B1(x,r1) proizvoljna otvorena kugla. Tada je B1(x,r1) otvoren skup utopologiji τ 1, a zbog topoloske ekvivalentnosti metrika, ona je otvoren skup i utopologiji τ 2. Na osnovu Definicije 2.33 onda postoji kugla B2(x,r2), takva daje B2(x,r2) ⊆ B1(x,r1). Analogno se pokazuje da za kuglu B2(x,r1) u metrici d2,postoji kugla B1(x,r1) u metrici d1, tako da je B2(x,r2) ⊆ B1(x,r1).Za dokaz obratnog smjera, neka za svaku kuglu u metrici d1 postoji kugla u me-

trici d2, koja je sadrzana u njoj i obrnuto. Neka je O ∈ τ 1 proizvoljan otvoren skupu metrickom prostoru (X,d1). Tada prema Definiciji 2.33, za svako x ∈ O postojiotvorena kugla B1(x,r1), takva da je x ∈ B1(x,r1) ⊆ O. Prema pretpostavci ondapostoji i kugla B2(x,r2) u metrici d2, takva da je x ∈ B2(x,r2) ⊆ B1(x,r1) ⊆ O,za proizvoljno x ∈ O, pa zakljucujemo da je skup O otvoren i u topologiji τ 2,sto znaci da je τ 1 ⊆ τ 2. Na identican nacin se pokazuje da vrijedi i obratna in-kluzija τ 2 ⊆ τ 1, sto daje jednakost topologija, a time i topolosku ekvivalentnostposmatranih metrika.

Primjer 51. Metrike

d1(f,g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx i d(f,g) = max

x∈[a,b]|f(x)− g(x)| , f,g ∈ C[a,b] ,

nisu topoloski ekvivalentne na C[a,b].Zaista, neka su f,g ∈ C[a,b] proizvoljne. Kako je |f(x) − g(x)| ≤ max

t∈[a,b]|f(t) −

g(t)| = d(f,b), za svako x ∈ [a,b], zakljucujemo da vrijedi

d1(f,g) =

∫ b

a|f(x)− g(x)|dx ≤ (b − a)d(f,g) .


kao posljedicu ovoga imamo da ce vrijediti Bd(f,r) ⊆ Bd1(f,(b − a)r).

Neka je f0 : [a,b] → R zadata sa f0(x) = 0, za sve x ∈ [a,b]. Posmatrajmo sadakuglu Bd(f0,1). Pretpostavimo da postoji ε > 0 tako da je Bd1

(f0,ε) ⊆ Bd(f0,1).Neka je g : [a,b] → R zadata sa

g(x) =

−1ε(x − a)+ 1 ; x ∈ [a,a + ε]

0 ; x ∈ (a + ε,b].

Za ovakvu funkciju je d1(f0,g) =

∫ b

a|g(x)|dx =

ε

2, pa zakljucujemo da g ∈ Bd1

(f0,ε).

Kako je gmax = g(a) = 1, to je onda d(f0,g) = maxx∈[a,b]

|g(x)| = 1. Dakle, g /∈Bd(f0,1). Prema tome, pretpostavka o postojanju kugle Bd1

(f0,ε), koja zado-voljava Bd1

(f0,ε) ⊆ Bd(f0,1), je neodrziva. Na osnovu Teorem 2.60 metrike nisutopoloski ekvivalentne. ♦

Definicija 2.61

Za metrike d1 i d2 definisane na X koje zadovoljavaju uslov,

(∃ C1,C2 > 0)(∀x,y ∈ X) d1(x,y) ≤ C1d2(x,y) ∧ d2(x,y) ≤ C2d1(x,y) ,

kazemo da su uniformno ekvivalentne metrike.

Nije tesko pokazati da su relacije uniformne ekvivalentnosti i topoloske ekvivalent-nosti medu svim metrikama definisanim na istom skupu, relacije ekvivalencije.

Teorem 2.62

Ako su dvije metrike uniformno ekvivalentne, tada su one i topoloski ekviva-lentne.

Dokaz : Neka je B1(x0,r) proizvoljna kugla u (X,d1). Posmatrajmo kuglu

B2

(

x0,r

C1

)

=

x ∈ X | d2(x0,x) <r

C1

.

Neka je x ∈ B2

(

x0, rC1

)

proizvoljan. Tada je d2(x0,x) < rC1

, a zbog pretpostavke

d1(x,y) ≤ C1d2(x,y), zakljucujemo da mora vrijediti d1(x0,x) ≤ C1d2(x0,x) < r,

to jest x ∈ B1(x0,r). Dakle, B2

(

x0, rC1

)

⊆ B1(x0,r).

Na identican nacin se pokazuje da za proizvoljnu kuglu B2(x′,r′) u (X,d2) pos-

toji kugla B1

(

x′, r′

C2

)

, takva da je B1

(

x′, r′

C2

)

⊆ B2(x′,r′). Na osnovu Teorema


2.60, topologije indukovane ovim metrikama su jednake, a to znaci da su metriketopoloski ekvivalentne.

Na osnovu gornjeg kriterija sada mozemo pokazati ekvivalentnost ranije pome-nutih metrika d1, d2 i d∞ na Rn (n ∈ N).

b b

b

(x1,y1)

(x2,y2) Neka je n = 2, tada su spomenute metrike

d1((x1,y1),(x2,y2)) = |x1 − x2|+ |y1 − y2| ,

d2((x1,y1),(x2,y2)) =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ,

d∞((x1,y1),(x2,y2)) = max|x1 −x2|, |y1 −y2| .

Ocigledno je d1 rastojanje zbir kateta formiranog trougla, d∞ je duza od tihkateta, a d2 je hipotenuza tog trougla (euklidsko rastojanje). Pri tome vrijedi

d∞((x1,y1),(x2,y2)) ≤ 1 ·d1((x1,y1),(x2,y2))

id1((x1,y1),(x2,y2)) ≤ 2d∞((x1,y1),(x2,y2)) ,

sto prema gornjem teoremu znaci da su d1 i d∞ metrike topoloski ekvivalentne.Takode je jasno da vrijedi

d∞((x1,y1),(x2,y2)) ≤ 1 ·d2((x1,y1),(x2,y2))

id2((x1,y1),(x2,y2)) ≤

√2d∞((x1,y1),(x2,y2)) ,

to jest i metrike d2 i d∞ su topoloski ekvivalentne. Kao sto rekosmo ranije,relacija ”biti topoloski ekvivalentan” je relacija ekvivalencije, te su sve tri metriketopoloski ekvivalentne.U opstem slucaju za n ∈ N vrijede nejednakosti

d∞ ≤ d2 ≤√

n ·d∞ , d∞ ≤ d1 ≤ n ·d∞ , d2 ≤ d1 ≤√

n ·d2 .

Teorem 2.63

Za svaku metriku d na X, postoji njoj topoloski ekvivalentna metrika u kojojje X ogranicen skup.

Dokaz : Neka je (X,d) metricki prostor. Posmatrajmo funkciju d∗ : X × X → R,zadatu sa

x,y ∈ X , d∗(x,y) =d(x,y)

1+ d(x,y).


Kao sto je pokazano u Teorem 2.5, d∗ jeste metrika na X. Kako za proizvoljnex,y ∈ X vrijedi

d∗(x,y) =d(x,y)

1+ d(x,y)≤ 1 ,

zakljucujemo da je X ogranicen, odnosno d∗ je ogranicena metrika.Za proizvoljne x ∈ X i r > 0 oznacimo sa Bd∗(x,r) kuglu u metrickom pros-

toru (X,d∗). Kako je ocigledno zadovoljena nejednakost d∗(x,y) ≤ d(x,y), zaproizvoljne x,y ∈ X, to na osnovu pokazanog u dokazu prethodnog teorema, pos-toji kugla Bd(x,r), takva da je Bd(x,r) ⊆ Bd∗(x,r).S druge strane, za proizvoljnu kuglu Bd(x,r) u (X,d), jednostavno se pokazuje dakugla Bd∗(x, r

1+r), zadovoljava uslov Bd∗(x, r

1+r) ⊆ Bd(x,r). Dakle, zakljucujemo

da su topologije indukovane ovim metrikama jednake.

Primjedba 2.1.2. Primijetimo da ce i funkcija d′(x,y) = min1,d(x,y) zado-voljiti sve osobine koje zadovoljava i funkcija d∗ konstruisana u dokazu ovog te-orema.

Teorem 2.64

Neka su d1 ogranicena i d2 neogranicena metrika na X. Tada ove dvijemetrike nisu uniformno ekvivalentne.

Dokaz : Neka je d1 ogranicena, a d2 neogranicena metrika na nepraznom skupuX. Tada postoji M > 0, takav da je

(∀x,y ∈ X) d1(x,y) ≤ M .

S druge strane, kako metrika d2 nije ogranicena, za svako α > 0 postojat cexα,yα ∈ X, takvi da vrijedi d2(xα,yα) > α.Ako bi ove dvije metrike bile uniformno ekvivalentne, morao bi postojati pozitivanrealan broj C takav da bi vrijedilo d2(x,y) ≤ Cd1(x,y), za sve x,y ∈ X. Akostavimo α = CM onda bi moralo vrijediti d2(xα,yα) > α, za neke xα,yα ∈ X, aliistovremeno i

d2(xα,yα) ≤ Cd1(xα,yα) < CM = α ,

sto je ocigledno nemoguce.

Stavise, moze se pokazati da uniformno ekvivalentne metrike definisane na istomskupu, moraju biti istovremeno ili ogranicene ili neogranicene. Kao sto smoprimijetili, uniformno ekvivalentne metrike su i topoloski ekvivalentne. Medutim,u opstem slucaju obrat ne vrijedi. Naime, u Teorem 2.63 metrika d i konstruisanametrika d∗ jesu topoloski ekvivalentne, ali na osnovu Teorem 2.64 jasno je da onene mogu biti uniformno ekvivalentne jer je jedna ogranicena metrika (d∗), a druganeogranicena metrika (d).


2.1.9 Potprostor metrickog prostora

Neka je sada (X,d) proizvoljan metricki prostor i neka je Y ⊆ X. Kako d : X ×X → R i pri tome je Y ×Y ⊆ X ×X, mozemo posmatrati njenu restrikciju d|Y ×Y

kao restrikciju funkcije na podskup, koja tada ocigledno predstavlja metriku naskupu Y . Ovo cemo formalizovati sljedecom definicijom.

Definicija 2.65

Neka je (X,d) metricki prostor i Y ⊆ X. Definisimo funkciju dY : Y ×Y → R

sadY (x,y) = d(x,y) , x,y ∈ Y .

Za dY kazemo da je metricka funkcija indukovana metrikom d, a uredeni par(Y,dY ) nazivamo metrickim potprostorom prostora (X,d).

Primjer 52. Segment [0,1] shvatamo kao potprostor realne prave, prihvatajucida je rastojanje za dva elementa x,y ∈ [0,1] zadato sa d(x,y) = |x − y|, to jestpreuzimajuci metriku iz nadredenog prostora. ♦

Restrikcija metrike iz nadredenog prostora na potprostor nije jedini nacin prav-ljenja metrike na podskupu metrickog prostora. U mnogim slucajevima prirodnijeje posmatrati neku ”unutrasnju” metriku koja se u opstem slucaju ne podudarasa metrikom na prostoru.

Primjer 53. Posmatramo li jedinicnu sferu S1 u prostoru R2, naravno da mozemoposmatrati rastojanje dvije tacke na sferi kao euklidsko rastojanje u ravni, to jestrastojanje preuzeto iz nadredenog prostora R2. Tada je rastojanje izmedu bilokoje dvije tacke koje su krajevi precnika sfere, jednako 2r. Medutim, prirodnijimse namece posmatrati rastojanje dvije tacke na sferi kao kracu duzinu luka krivekoja ih spaja, koja se naziva ugaona duzina. Tako bi ugaona duzina (rastojanje)dvije tacke koje su krajevi precnika te kruznice, bilo π. Rastojanje izmedu dvasusjedna vrha pravilnog upisanog n-tougla u kruznicu je 2π

n.

Mozemo posmatrati i trodimenzionalni slucaj. Naime, S2 = X = (x,y,z) ∈R3 | d(X,O) = 1 predstavlja jedinicnu 2-sferu u prostoru R3 sa nekom standard-nom metrikom. Preuzimajuci metriku iz nadredenog prostora, udaljenost dvijutacaka na S2 mjerimo kao udaljenost tih tacaka u prostoru R3. Tako bi dija-metralno suprotne tacke imale udaljenost 2. S druge strane, poznato je (ne basi jednostavno za dokazati) da se najkraci put izmedu bilo koje dvije tacke nasferi nalazi na velikoj kruznici (kruznica odredena sa te dvije tacke i centrom O).Tako bi udaljenost izmedu dijametralno suprotnih tacaka bila l > 2. Gledajuci ovou R3, ovakva metrika ne bi bila geodezijska metrika. Medutim, definisuci rasto-janje izmedu dvije tacke na S2 kao najkraci put u S2 koji spaja te dvije tacke,


dolazimo do ”sustinske” metrike koja opisuje ono sto dozivljavaju bica koja zivena povrsi sfere. Ovakva metrika definise ”sfernu geometriju”, koja je aproksima-tivno geometrija Zemlje. ♦

bOb

X

bY potprostor metrika

geodezijska linija

Slika 2.11: Indukovana metrika i ”sustinska” metrika na sferi.

Primjer 54. Kako je svaka neprekidna funkcija na [a,b] ⊂ R i ogranicena, me-triku na C[a,b] takode preuzimamo iz B[a,b], pa kazemo da je C[a,b] potprostorod B[a,b].

Kako je C1[a,b] ⊂ C[a,b], metriku mozemo preuzeti, ali kako se pokazuje, ”bolja”metrika na C1[a,b] je zadata sa

dC1(f,g) = d(f,g)+ d(f ′,g′) ,

gdje je d standardna metrika na C[a,b]. ♦

Karakterizaciju otvorene kugle na potprostoru dajemo narednim tvrdenjem.

Lema 2.66

Neka je (X,d) metricki prostor i (Y,dY ) njegov potprostor. Za proizvoljnoy0 ∈ Y i r > 0 vrijedi BY (y0,r) = BX(y0,r) ∩ Y , gdje je BY (y0,r) otvorenakugla u Y sa centrom u y0, poluprecnika r, a BX(y0,r) otvorena kugla u Xsa centrom u y0, poluprecnika r.

Primjer 55. Ako posmatramo [0,1] kao potprostor od euklidskog prostora R,prema gornjoj lemi vrijedi

B[0,1](0,1) = BR(0,1)∩ [0,1] = (−1,1)∩ [0,1] = [0,1) ,


dok je

B[0,1]

(1

2,1

3

)

= BR

(1

2,1

3

)

∩ [0,1] =

(1

6,5

6

)

. ♦

Topologija na potprostoru, indukovana dobijenom indukovanom metrikom, oka-rakterisana je na sljedeci nacin.

Teorem 2.67

Neka je (Y,dY ) potprostor metrickog prostora (X,d).

1. Skup O ⊆ Y je otvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skup U ⊆ Xotvoren u X, tako da je O = U ∩ Y .

2. Skup V ⊆ Y je zatvoren u prostoru Y ako i samo ako postoji skupF ⊆ X zatvoren u X, tako da je V = F ∩ Y .

Dokaz : 1. (=⇒)Neka je V ⊆ Y otvoren u Y . Tada prema karakterizaciji otvorenih skupova, zasvaki x ∈ V , postoji kugla BY (x,rx) takva da je x ∈ BY (x,rx) ⊆ V . Promatrajmokuglu BX(x,rx) s istim sredistem i radijusom, ali u prostoru X. Ocito vrijediBY (x,rx) = BX(x,rx) ∩ Y . Ali skup U =

⋃

x∈V BX(x,rx) je otvoren u X (kaounija kugli u X), pa je

U ∩ Y =

(⋃

x∈V

BX(x,rx)

)⋂

Y =⋃

x∈V

(BX(x,rx)∩ Y ) =⋃

x∈V

BY (x,rx) = V .

(⇐=)

Neka je V ⊆ Y i U ⊆ X otvoren skup u X takav da je V = U ∩ Y . Tvrdimo daje V otvoren skup u Y . Kako je V ⊆ U , za svaki x ∈ V postoji kugla B(x,rx)takva da je x ∈ B(x,rx) ⊆ U . Tada je x ∈ B(x,rx) ∩ Y ⊆ U ∩ Y = V . Medutim,B(x,rx)∩ Y = BY (x,rx), dakle x ∈ BY (x,rx) ⊆ V , pa je V otvoren u Y .

Dokaz tvrdenja 2. je ostavljen za vjezbu.

Teorem 2.68

Neka je (Y,dY ) potprostor metrickog prostora (X,d).

1. Svaki podskup od Y koji je otvoren u Y , otvoren je u X ako i samoako je Y otvoren u X.

2. Svaki podskup od Y koji je zatvoren u Y , zatvoren je u X ako i samoako je Y zatvoren u X.


Dokaz : 1. Neka je svaki otvoren skup u Y otvoren i u X. Kako je svaki prostorotvoren skup u sebi, to je Y otvoren u Y , a onda je otvoren i u X.Neka je sada Y otvoren u X i neka je O proizvoljan otvoren skup u Y . Tadamora postojati otvoren skup U u X, takav da je O = U ∩ Y . Kako su i U i Yotvoreni u X i O ⊆ X, to je i O kao presjek otvorenih skupova, otvoren skup uX. Dokaz pod 2. ostavljen je za vjezbu.

2.2 Neprekidnost preslikavanja na metrickim prostorima

2.2.1 Opste napomene o preslikavanjima

Prije nego uvedemo pojam neprekidnosti preslikavanja na metrickim prostorima,podsjetimo se neke opste terminologije preslikavanja.

Definicija 2.69

Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Pod preslikavanjem skupa X u skupY podrazumijevamo proizvoljno pravilo ili zakon f kojim elementima skupaX pridruzujemo elemente skupa Y . Ukoliko svakom elementu skupa X pri-druzujemo najvise jedan element skupa Y , za preslikavanje kazemo da jejednoznacno, u suprotnom kazemo da je preslikavanje viseznacno.

U daljem sto slijedi uvijek cemo podrazumijevati jednoznacnost preslikavanja.Cinjenicu da preslikavanje f slika X u Y zapisujemo sa f : X → Y , pri cemu Xnazivamo domen preslikavanja ili podrucje originala, a Y nazivamo kodomen ilipodrucje slika. Ukoliko je E ⊆ X i F ⊆ Y , slikom skupa E u preslikavanju fpodrazumijevamo skup

f(E) = f(x) | x ∈ E = y ∈ Y | (∃x ∈ E) y = f(x) .

Predslika skupa F u preslikavanju f je skup

f−1(F ) = x ∈ X | f(x) ∈ F ,

pri cemu ovdje ni u kom slucaju ne podrazumijevamo postojanje inverznog pres-likavanja, vec samo uvodimo notaciju za one elemente skupa X cija je slika uskupu F .

Definicija 2.70

Neka f : X → Y . Za preslikavanje f kazemo da je surjektivno ili da je su-rjekcija ako i samo ako je svaki element skupa Y slika bar jednog elementaskupa X, to jest f(X) = Y .


Definicija 2.71

Neka f : X → Y . Za preslikavanje f kazemo da je injektivno ili da je injekcijaako i samo ako se razliciti elementi domena preslikavaju u razlicite elementekodomena.

Za surjektivno preslikavanje kazemo i da je ”na” preslikavanje, a za injektivno ida je ”1-1” preslikavanje.

Definicija 2.72

Za prelikavanje kazemo da je bijektivno ili da je bijekcija ako i samo ako jeistovremeno i injektivno i surjektivno.

Primjer 56. Preslikavanje idX : X → X, koje je za x ∈ X zadato sa idX(x) = x,naziva se identicko preslikavanje i primjer je bijektivnog preslikavanja.Preslikavanje i : X → Y gdje je X ⊂ Y , koje je za x ∈ X zadato sa i(x) = x, nazivase inkluzija i primjer je injektivnog, ali ocigledno ne i surjektivnog preslikavanja.♦

Definicija 2.73

Neka su f : X → Y i g : Y → Z preslikavanja. Za preslikavanje h : X → Z,zadato sa h(x) = g(f(x)) (x ∈ X), kazemo da je kompozicija preslikavanja fi g i oznacavamo ga sa h = g f .

Definicija 2.74

Neka f : X → Y . Kazemo da je preslikavanje g inverzno preslikavanje presli-kavanja f ako i samo ako g : Y → X i za sve x ∈ X i y ∈ Y vrijedi

f(g(y)) = y i g(f(x)) = x ,

to jest f g = idY i g f = idX .

Za preslikavanje za koga postoji inverzno preslikavanje kazemo da je inverzibilnopreslikavanje. O egzistenciji i jedinstvenosti inverznog preslikavanja govori namnaredno tvrdenje.


Teorem 2.75

Preslikavanje f : X → Y ima inverzno preslikavanje ako i samo ako je fbijekcija. U tom slucaju je inverzna funkcija jedinstvena i oznacavamo je saf−1, koja je i sama bijekcija.

2.2.2 Neprekidnost preslikavanja

Definicija 2.76

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori. Za preslikavanje f : X → Ykazemo da je neprekidno u tacki x0 ∈ X ako i samo ako

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(dX (x0,x) < δ ⇒ dY (f(x0),f(x)) < ε) .

Preslikavanje je neprekidno na skupu ako je neprekidno u svakoj tacki tog skupa.Opisno govoreci, preslikavanje f je neprekidno u tacki x0 ako se tacka koja je blizux0 u metrici dX , preslikava blizu tacke f(x0) u metrici dY . Neformalno govoreci,neprekidnost preslikavanja znaci da male promjene argumenta uzrokuju male pro-mjene vrijednosti preslikavanja.Ako u gornjoj definiciji uzmemo da su X = Y = R, dobijamo poznatu nam defi-niciju neprekidnosti realne funkcije realne promjenljive,

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ X)(|x − x0| < δ ⇒ |f(x)− f(x0)| < ε) .

Primjer 57. Posmatrajmo preslikavanje A : C[0,1] → C[0,1], definisano sa

Af(x) =

∫ x

0f(t)dt ,

gdje je C[0,1] prostor neprekidnih funkcija definisanih na [0,1] sa standardnommetrikom. Za proizvoljne f,g ∈ C[0,1] i proizvoljno x ∈ [0,1] vrijedi,

|Af(x)− Ag(x)| =

∣∣∣∣

∫ x

0f(t)dt −

∫ x

0g(t)dt

∣∣∣∣ ≤

∫ x

0|f(t)− g(t)|dt

≤∫ x

0maxt∈[0,1]

|f(t)− g(t)|dt = d(f,g)

∫ x

0dt ≤ d(f,g) .

Dakle,d(Af,Ag) = max

x∈[0,1]|Af(x)− Ag(x)| ≤ d(f,g) ,

pa je za proizvoljno ε > 0 dovoljno izabrati δ = ε, za koga ce onda vrijediti dakad god je d(f,g) < δ, onda je d(Af,Ag) < ε, te je preslikavanje A neprekidno naC[0,1]. ♦


Teorem 2.77

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Sljedeca tvrdenja suekvivalentna.

1. f je neprekidna na X.

2. (∀x ∈ X)(∀ε > 0)(∃δ > 0) f(B(x,δ)) ⊆ B(f(x),ε).

3. Za svaki otvoreni skup V ⊆ Y je f−1(V ) otvoren skup u X.

Dokaz : (1. ⇔ 2.)Neka je f neprekidna funkcija. Neka je x0 ∈ X proizvoljan. Tada vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0) (d(x,x0) < δ ⇒ d(f(x),f(x0)) < ε) .

Drugacije receno, vrijedi

(∀ε > 0)(∃δ > 0) (x ∈ B(x0,δ) ⇒ f(x) ∈ B(f(x0),ε)) ,

odnosno

(∀ε > 0)(∃δ > 0) (f(x) ∈ f (B(x0,δ)) ⇒ f(x) ∈ B(f(x0),ε) ,

ili u skupovnom obliku ovo znaci

f (B(x0,δ))) ⊆ B(f(x0),ε) .

(2. ⇒ 3.)Neka vrijedi iskaz 2. i neka je V proizvoljan neprazan otvoren skup u Y . Nekaje x ∈ f−1(V ) proizvoljan. To znaci da je f(x) ∈ V , a zbog otvorenosti skupa V ,postoji ε > 0, takav da je B(f(x),ε) ⊆ V . Na osnovu 2., za takav ε postoji δ > 0,tako da vrijedi

f(B(x,δ)) ⊆ B(f(x),ε) ⊆ V .

Primijenimo li poznate nam stvari iz preslikavanja, imamo

B(x,δ) ⊆ f−1 f(B(x,δ)) ⊆ f−1(V ) .

Dakle, za proizvoljan x ∈ f−1(V ), postoji kugla B(x,δ) ⊆ f−1(V ), pa je f−1(V )otvoren skup.

(3. ⇒ 2.)Neka su x ∈ X i ε > 0 proizvoljni. Tada je B(f(x),ε) otvoren skup i f(x) ∈B(f(x),ε). Na osnovu 3. je onda i f−1 (B(f(x),ε)) otvoren skup. Osim toga je


x = f−1 f(x) ∈ f−1 (B(f(x),ε)), pa zbog otvorenosti, postoji δ > 0, takav da jeB(x,δ) ⊆ f−1 (B(f(x),ε)). Iz posljednjeg onda imamo

(∀ε > 0)(∃δ > 0)f(B(x,δ)) ⊆ B(f(x),ε) .

Gornjim teoremom dajemo jednu karakterizaciju neprekidnosti preslikavanja, atreba se prisjetiti da se u opstoj topologiji upravo iskazom 3. definise ovaj pojam.Zbog bogatije strukture metrickih prostora u odnosu na topoloske prostore, idefiniciju neprekidnosti smo prilagodili toj cinjenici, s ciljem lakseg ispitivanja teosobine.

Primjer 58. Neka je (X,dX ) diskretan metricki prostor i (Y,dY ) proizvoljanmetricki prostor. Tada je svako preslikavanje f : X → Y neprekidno. Zaista,neka je x0 ∈ X proizvoljno. Za ε > 0 neka je δ < 1. Tada je BX(x0,δ) = x0, aonda je

f(BX(x0,ε)) = f(x0) ⊆ BY (f(x0),ε) ,

sto prema 2. gornjeg teorema znaci neprekidnost preslikavanja f . ♦

Naravno da karakterizacija pojma neprekidnosti ima raznih. Ovdje cemo spo-menuti jos dvije, a dokaze tih cinjenica ostavljamo citaocu za vjezbu.

Teorem 2.78

Neka su (X,dX) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan zatvoren skup F ⊆ Y , je f−1(F )zatvoren skup u X.

Teorem 2.79

Neka su (X,dX) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . f je neprekidnopreslikavanje ako i samo ako za proizvoljan A ⊆ X vrijedi f(A) ⊆ f(A).

Konstrukciju novih neprekidnih funkcija pomocu datih neprekidnih funkcija do-bijamo na osnovu sljedeca dva tvrdenja.

Teorem 2.80

Neka su f,g : X → Y neprekidna preslikavanja i neka je a ∈ R, tada su ipreslikavanja a ·f , f ± g i f ·g neprekidna preslikavanja.


Teorem 2.81

Kompozicija neprekidnih preslikavanja je neprekidno preslikavanje.

Uobicajeno sa C(X) obiljezavamo skup svih neprekidnih realnih funkcija defi-nisanih na X, gdje je X metricki prostor. Takode dogovorno umjesto C([a,b])pisemo jednostavno C[a,b], za skup svih neprekidnih funkcija definisanih na seg-mentu [a,b].

2.2.3 Uniformna i Lipschitz neprekidnost

Uvedimo jos jedan pojam vezan za metricke prostore, ali i u cvrstoj vezi saneprekidnoscu preslikavanja.

Definicija 2.82

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Za preslikavanje fkazemo da je uniformno (ravnomjerno) neprekidno ako i samo ako za svakoε > 0 postoji δ > 0, tako da za sve x ∈ X vrijedi f(BX(x,δ)) ⊆ BY (f(x),ε).

Gornju definiciju smo mogli iskazati i formalnim zapisom,

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x,y ∈ X)(dX (x,y) < δ ⇒ dY (f(x),f(y)) < ε) .

Ocigledno da fiksiranjem jedne velicine u uslovu (∀x,y ∈ X) dobijamo uslov ne-prekidnosti preslikavanja f , to jest uniformno neprekidno preslikavanje je i ne-prekidno, dok obrat u opstem slucaju ne vazi. Zaista, posmatrajmo preslikava-nje f(x) = 1

xna (0,+∞). Neprekidnost posmatrane funkcije se ima iz sljedeceg

rasudivanja. Neka su x0 ∈ (0,+∞) i ε > 0 proizvoljni. Stavimo da je a = x0

2i oznacimo sa δ = minx0 − a,εa2. Za proizvoljan x ∈ (0,+∞), takav da je|x − x0| < δ, je ocigledno x0 − x ≤ |x − x0| < x0 − a, iz cega zakljucujemo da jea < x, a time je a2 < xx0. Sada imamo

∣∣∣∣

1

x− 1

x0

∣∣∣∣=

|x0 − x|xx0

<δ

a2≤ εa2

a2= ε .

Dakle, f je neprekidna u x0. Pokazimo da f nije uniformno neprekidna na(0,+∞).Neka je ε = 1 i neka je δ > 0 proizvoljan. Izaberimo x0 = minδ,1 i neka jex = x0

2 . Tada je |x − x0| = x0

2 ≤ δ2 < δ, ali

∣∣∣∣

1

x− 1

x0

∣∣∣∣=

1

x0≥ 1 = ε .


Primjer 59. Posmatrajmo preslikavanje f : R → R, zadato sa f(x) = x1+x2 . Za

proizvoljne x,y ∈ R neka je x < y. Na osnovu teorema o srednjoj vrijednostidiferencijalnog racuna za neko t ∈ (x,y) vrijedi,

|f(x)− f(y)| = |f ′(t)| · |x − y| =

∣∣∣∣∣

1− t2

(1+ t2)2

∣∣∣∣∣· |x − y| ≤ |x − y| ,

jer je ocigledno |f ′(t)| ≤ 1. Jasno je sada da za proizvoljno izabrano ε > 0 biramoda je δ = ε, te ako je d(x,y) = |x − y| < δ onda ce biti d(f(x),f(y)) = |f(x) −f(y)| < ε. Dakle, f je uniformno neprekidno preslikavanje. ♦

Primjer 60. Posmatrajmo preslikavanje f : R → R zadato sa f(x) = x2. Neka jeε = 1 i uzmimo proizvoljno δ > 0. Izaberimo sada tacke x = 1

δ+ δ

2 i y = 1δ. Tada

je

|x − y| =δ

2< δ i |f(x)− f(y)| = |x2 − y2| > 1 .

Iz ovoga je jasno da f nije uniformno neprekidno preslikavanje na R. Medutim,ako dato preslikavanje posmatramo na proizvoljnom domenu [−a,a], onda ce zaproizvoljno izabrano ε > 0 biti dovoljno da uzmemo δ = ε

2a, tako da ce za pro-

izvoljne x,y ∈ [−a,a] za koje je |x−y| < δ, vrijediti |f(x)−f(y)| = |x+y| · |x−y| ≤2a · |x − y| < ε. Dakle, na [−a,a] (a ∈ R+) preslikavanje f(x) = x2 je uniformnoneprekidno. ♦

Razlika pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti je ta sto u pojmuneprekidnosti funkcije postojeci δ ovisi o proizvoljno izabranom ε, ali i o tacki ukojoj posmatramo neprekidnost, dok kod uniformne neprekidnosti njegov izborovisi samo o ε.Pored navedena (standardna) dva pojma neprekidnosti preslikavanja, spome-

nimo i treci koji se cesto susrece u funkcionalnoj analizi.

Definicija 2.83

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Za preslikavanje fkazemo da je Lipschitz neprekidno sa X u Y ako postoji konstanta C > 0takva da za sve x,y ∈ X vrijedi

dY (f(x),f(y)) ≤ CdX(x,y) .

Iz definicije je jasno da je C konstanta, koju nazivamo Lipschitzova konstanta,i ne smije ovisiti o izboru x,y ∈ X. Najmanju Lipschitzovu konstantu nazivamodilatacija funkcije f i oznacavamo je sa dilf . Jasno je, dilatacija funkcije koja nijeLipschitz neprekidna je +∞. Preslikavanje kod kojeg je Lipschitzova konstanta


strogo manja od 1 naziva se neekspanzivno preslikavanje o kome ce biti rijeci uzadnjem poglavlju ove knjige.

Ocigledno je svaka Lipschitz neprekidna funkcija i uniformno neprekidna, dokobrat u opstem slucaju ne vazi.

Posmatrajmo ponovo funkciju f(x) =1

x, ali sada na intervalu (a,+∞), gdje je

a > 0. Za proizvoljne x1,x2 ∈ (a,+∞), na osnovu Lagrangeovog teorema postojic izmedu x1 i x2 takav da je

1

x1− 1

x2= − 1

c2(x1 − x2) .

Izbor broja c nam garantuje da on pripada intervalu (a,+∞), te vrijedi c2 > a2,a tada je

∣∣∣∣

1

x− 1

x0

∣∣∣∣≤

1

a2|x1 − x2| .

Gornja nejednakost nam govori da za proizvoljno izabrano ε > 0, dovoljno jeizabrati δ = εa2 iz cega se onda zakljucuje uniformna neprekidnost funkcije fna (a,+∞). Medutim, iz posljednje nejednakosti zakljucujemo i da Lipschitzovakonstanta M = 1

a2 ocigledno ovisi o posmatranom intervalu (a,+∞), a samim timi o izboru elemenata x1 i x2, te ova funkcija nije Lipschitz neprekidna na (a,+∞).

Primjer 61. Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori. Svako konstantno pres-likavanje sa X u Y je Lipschitz neprekidno, a takvo je i identicko preslikavanjesa X u X. ♦

Primjer 62. Posmatrajmo preslikavanje fk : Rn → R (k ∈ 1,2, ...,n), zadatosa fk(x1,x2, ...,xn) = xk (projektivno preslikavanje ili projekcija), gdje su Rn i Rmetricki prostori sa standardnim metrikama. Za proizvoljne x = (x1,x2, ...,xn) iy = (y1,y2, ...,yn) iz Rn vrijedi,

|xk − yk| ≤√

|x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 + · · ·+ |xn − yn|2 ,

a ovo ne znaci nista drugo nego dR(fk(x),fk(y)) ≤ dRn(x,y). Dakle, fk je Lipsc-hitz neprekidno preslikavanje sa Lipschitzovom konstanotm L = 1. ♦

Primjer 63. Posmatrajmo preslikavanje f : R → R zadato sa

f(x) =

x2 sin 1x2 ; x 6= 0

0 ; x = 0 .


Pretpostavimo da je dato preslikavanje Lipschitz neprekidno i izaberimo nizovexn = (2nπ + π

2 )− 1

2 i yn = (2nπ)− 1

2 (n ∈ N). Zbog pretpostavke o Lipschitz nepre-kidnosti moralo bi postojati 0 < L < +∞ tako da za proizvoljno n ∈ N vrijedi

L ≥∣∣∣∣

f(xn)− f(yn)

xn − yn

∣∣∣∣=

(2nπ + π

2

)−1

(2nπ)− 1

2 −(2nπ + π

2

)− 1

2

= 4n

(

(2nπ)− 1

2 −(

2nπ +π

2

)− 1

2

)

.

Medutim, posljednji izraz tezi ka +∞ kada n tezi ka +∞, te je postojanje Lip-schitzove konstante L neodrzivo. Dakle, posmatrano preslikavanje nije Lipschitzneprekidno. ♦

?! Neka je (X,d) metricki prostor i A ⊆ X . Za x ∈ X , definisimo funkcijuf : X → R, f(x) = d(x,A). Da li je f Lipschitz neprekidno preslikavanje?Da li je f neekspanzivno preslikavanje?

Teorem 2.84

Neka su f,g : X → Y Lipschitz neprekidne funkcije i λ ∈ R. Tada su i f +g iλf Lipschitz neprekidne i vrijedi dil(f + g) ≤ dilf + dilg, dil(λf) = |λ|dilf .Ako su f : X → Y i g : Y → Z Lipschitz neprekidne funkcije, tada je i g fLipschitz neprekidna funkcija i vrijedi dil(g f) ≤ dilf ·dilg.

?! Dokazati Teorem 2.84!

Definicija 2.85

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Za preslikavanje fkazemo da je izometrija iz X u Y ako i samo ako vrijedi

(∀x′,x′′ ∈ X) dY (f(x′),f(x′′)) = dX(x′,x′′) .

Dakle, izometrija ”cuva” rastojanje izmedu objekata. Ako postoji izometrija izX u Y , kazemo da se X moze izometricki smjestiti ili uloziti u Y . Sa stanovistateorije metrickih prostora, to jest ako nas interesuje samo odnos izmedu objekata(udaljenost), a ne i vrsta objekata, onda ne pravimo razliku izmedu prostoraX i njegove izometricke slike f(X) ⊆ Y i prosto pisemo X ⊆ Y , a citamo ”X jeizometricki ulozen u Y ”. Primijetimo da je svaka izometrija automatski injektivnopreslikavanje, ali da ne mora biti surjekcija. Ako je izometrija i surjektivna, onda


kazemo da su prostori izometricni i pisemo X = Y (ne podrazumijevamo skupovnujednakost), a za preslikavanje kazemo da je izometrijski izomorfizam.Osim toga je svaka izometrija i Lipschitz neprekidno preslikavanje (Lipschitzovakonstanta je 1).

?! Da li je jedinicna sfera S1 sa ”ugaonim rastojanjem” iz Primjera 53 izome-tricna sa realnom pravom R1 snabdjevenom standardnom metrikom?Da li je ovakav S1 izometrican bilo kom podskupu realne ravni sa standard-nom euklidskom metrikom?

2.3 Konvergencija u metrickim prostorima

Konvergencija je jedan od osnovnih pojmova matematicke analize i kao sto cemopokazati, diktirana je metrikom zadatog prostora.

Definicija 2.86

Neka je (X,d) metricki prostor. Za niz (xn)n∈N ⊂ X kazemo da konvergiraka x0 ∈ X ako i samo ako vrijedi

d(xn,x0) → 0 (n → ∞) .

Cinjenicu da niz (xn)n∈N konvergira ka tacki x0, uobicajeno zapisujemo sa

xn → x0 (n → ∞) ili limn→∞

xn = x0 .

Ovako definisanu konvergenciju nazivamo konvergencija po metrici jer postoje ineke druge vrste konvergencija.

Lema 2.87

Neka je (xn)n∈N niz u metrickom prostoru (X,d). Sljedeca dva tvrdenja suekvivalentna.

1. limn→∞

xn = x0 .

2. Za svako ε > 0, postoji samo konacno mnogo clanova niza (xn)n∈N kojise nalaze van kugle B(x0,ε).

Primjer 64. Primijetimo da ce u metrickom prostoru sa diskretnom metrikomkonvergentni nizovi biti samo oni nizovi koji su pocev od nekog indeksa konstantninizovi. ♦


Primjer 65. Posmatrajmo prostor C[1,2] sa standardnom ”maksimum” metri-

kom. Njemu pripadaju funkcije fn(x) = (1 + xn)1

n (n ∈ N) i f(x) = x. Za pro-izvoljno x ∈ [1,2] i proizvoljno n ∈ N vrijedi,

0 ≤ fn(x)− f(x) = (1+ xn)1

n − x ≤ (xn + xn)1

n − x = x(n√

2− 1) ≤ 2(n√

2− 1) .

Dakle, d(fn,f) = maxx∈[1,2] |fn(x)−f(x)| ≤ 2( n√

2−1) → 0 ,(n → ∞), sto znacida je niz (fn)n∈N konvergentan ka funkciji f po metrici d.

Posmatrajmo sada kvadratnu metriku d2 na C[1,2],

f,g ∈ C[1,2] , d2(f,g) =

(∫ 2

1|f(x)− g(x)|2dx

) 1

2

.

Kako generalno vrijedi,

d2(f,g) =

(∫ 2

1|f(x)− g(x)|2dx

) 1

2

≤(∫ 2

1( maxt∈[1,2]

|f(t)− g(t)|)2dx

) 1

2

= d(f,g)

(∫ 2

1dx

) 1

2

= d(f,g) ,

to ce posmatrani niz biti konvergentan i u metrici d2.Kako dati funkcionalni niz nije konstantan, prema prethodnom primjeru ovaj niz

nece biti konvergentan u diskretnoj metrici. Ovim primjerom samo potvrdujemocinjenicu da konvergencija ovisi o izboru metrike na datom skupu, to jest konver-gentan niz u jednoj metrici moze biti divergentan u nekoj drugoj metrici. ♦

Primjer 66. Posmatrajmo nizove (xn)n∈N, (yn)n∈N i (zn)n∈N zadate opstimclanovima: za proizvoljno n ∈ N

xn =

(

0,0, ...,1

n,0, ...

)

, yn = (0,0, ...,1,0, ...) , zn =

(1

n,1

n,...,

1

n,0, ...

)

,

gdje su nenulti elementi nizova xn i yn samo n-te pozicije, a kod niza zn su toprvih n koordinata.Svaki od ovih nizova pripada prostoru lp, za proizvoljno 1 ≤ p ≤ +∞. Kako je

dp(xn,(0,0, ...)) = 1n

za bilo koje 1 ≤ p ≤ +∞, ocigledno je xn → (0,0, ...) kadan → ∞, u prostoru lp. Nasuprot tome, niz (yn)n∈N nije konvergentan u lp niti zajedno 1 ≤ p ≤ +∞.Kako je d∞(zn,(0,0, ...)) = 1

n→ 0 kada n → ∞, to niz (zn)n∈N konvergira ka

(0,0, ...) u prostoru l∞. Medutim, u prostoru l1 vrijedi d1(zn,(0,0, ...)) = 1, teocigledno taj niz ne moze konvergirati ka (0,0, ...) u ovom prostoru. ♦


?! Da li je niz (zn)n∈N u gornjem primjeru konvergentan u bilo kojem prostorulp za 1 < p < ∞?

Konvergencija u metrickom prostoru je diktirana metrikom tog prostora. Pro-mjena metrike moze uzrokovati i promjenu konvergencije nekih nizova tog pros-tora, ali i ne mora, sto vidimo i u Primjeru 65. Sljedecom tvrdnjom dajemouslove pod kojima nece doci do promjene konvergencije.

Teorem 2.88

Neka su d1 i d2 uniformno ekvivalentne metrike definisane na nepraznomskupu X i neka je (xn)n∈N ⊂ X proizvoljan niz. Tada, xn → x kada n → ∞ umetrickom prostoru (X,d1) ako i samo ako xn → x kada n → ∞ u metrickomprostoru (X,d2).

Dokaz : Neka su metrike d1 i d2 uniformno ekvivalentne. Tada postoje konstantec1 i c2, takve da za proizvoljne x,y ∈ X vrijedi

c1d1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ c2d1(x,y) .

Ako je niz (xn)n∈N konvergentan u metrici d1, po definiciji konvergencije, zaproizvoljni ε > 0 postojat ce n0 ∈ N takav da je d1(xn,x) < ε

c2, za sve n ≥ n0.

Zbog ekvivalentnosti metrika ce tada vrijediti

d2(xn,x) ≤ c2d1(xn,x) < ε ,

za sve n ≥ n0. Ovo upravo znaci da posmatrani niz konvergira ka istoj vrijednostii u metrici d2.Zbog simetrije tvrdnje obrat se pokazuje istovjetno.

Primijetimo da gornju tvrdnju mozemo iskoristiti za provjeru da li su dvijezadate metrike na nekom skupu ekvivalentne. Naprimjer, posmatrajmo X =R i na njemu definisane euklidska metrika i diskretna metrika. U diskretnojmetrici jedini konvergentni nizovi su konstantni nizovi (ili nizovi koji su od nekogindeksa konstantni), dok u euklidskoj metrici postoje i neki drugi nizovi kojisu konvergentni. Naprimjer, niz an = 1

nnije konstantan, a an → 0 (n → ∞).

Kontrapozicijom gornje tvrdnje zakljucujemo da euklidska metrika i diskretnametrika na R nisu ekvivalentne.

Primjer 67. Posmatrajmo ponovo prostor C[0,1] snabdjeven standardnom mak-

simum metrikom d(f,g) = maxt∈[0,1]

|f(t)−g(t)| i metrikom d′(f,g) =

∫ 1

0|f(t)−g(t)|dt.

Posmatrajmo niz sa opstim clanom fn(t) = tn i funkciju f0(t) = 0. Jasno je daove funkcije pripadaju C[0,1] i pri tome je

d(fn,f0) = max0≤t≤1

|fn(t)− f0(t)| = max0≤t≤1

|tn| = 1 ,


odnosno

d′(fn,f0) =

∫ 1

0|fn(t)− f0(t)|dt =

∫ 1

0tndt =

1

n + 1.

Ocigledno je da d′(fn,f0) → 0 kada n → ∞ to jest, fn → f0 (n → ∞) u metrici d′,ali isto tako vidimo da fn 9 f0 (n → ∞) u metrici d.Prema Teoremu 2.88 zakljucujemo da d i d′ nisu uniformno ekvivalentne metrike.♦

Takode treba primijetiti da je tvrdnja Teorem 2.88 u formi implikacije i da uopstem slucaju obrnuta implikacija nije tacna. Naime, neka je X = N i na njemudefinisane diskretna metrika d1 i metrika d2 zadata sa,

n,m ∈ N , n < m ; d2(n,m) =m−1∑

k=n

1

k.

Ocigledno je d2(n,n+1) = 1n

, za svako n ∈ N, odnosno d2(n,m) ≥ 1n

za n 6= m jerje ”najbliza” tacka elementu n bas element n + 1.Kao sto smo vec imali, u diskretnoj metrici jedini konvergentni nizovi su nizovikoji su od nekog indeksa konstantni. Neka je (xn)n∈N proizvoljan niz u X takavda xn → x0 u d2 metrici. Izaberimo ε = 1

2x0. Po definiciji konvergencije tada

postoji n0 ∈ N, takav da za sve n ≥ n0 vrijedi

d2(xn,x0) <1

2x0. (2.17)

Zbog navedene opaske, za x0 je najbliza tacka x0 +1, za koju je d2(x0 +1,x0) = 1x0

,pa iz (2.17) zakljucujemo da za sve n ≥ n0 mora biti xn = x0. Dakle, konvergentniniz (xn)n∈N je pocev od nekog indeksa konstantan, te su i u metrici d2 jedinikonvergentni nizovi oni koji su od nekog indeksa konstantni, identicno kao udiskretnoj metrici.Ako pretpostavimo ekvivalentnost ovih dviju metrika, to jest da postoje konstantec1 > 0 i c2 > 0 tako da za sve x,y ∈ X vrijedi

c1d1(x,y) ≤ d2(x,y) ≤ c2d1(x,y) ,

onda uzimajuci proizvoljno x > 1c1

i y = x + 1 bismo imali

d2(x,y) =1

x< c1 = c1d1(x,y) (x 6= y pa je d1(x,y) = 1) ,

sto predstavlja ociglednu kontradikciju. Dakle, metrike d1 i d2 nisu ekvivalentne,a ”proizvode” iste konvergentne nizove.Pomocu konvergencije sada mozemo okarakterisati zatvorene skupove, a time i

zatvorenje skupa u metrickom prostoru.


Lema 2.89

Neka je F ⊆ X zatvoren skup i neka je (xn)n∈N ⊂ F takav da limn→∞

xn = x0.

Tada x0 ∈ F .

Dokaz : Neka je F ⊆ X zatvoren skup, tada je F = F . Ako je (xn)n∈N ⊂ F takavda lim

n→∞xn = x0, onda za proizvoljno ε > 0 u kugli B(x0,ε) postoji beskonacno

mnogo tacaka posmatranog niza (to jest skupa F ), a to znaci da je x0 tackanagomilavanja skupa F , pa x0 ∈ F = F .

Ovime jos jednom potvrdujemo cinjenicu da zatvoreni skupovi sadrze sve svojetacke nagomilavanja.

Lema 2.90

Neka je A proizvoljan podskup metrickog prostora (X,d). Tada vrijedi,

A = x ∈ X | (∃(xn)n∈N ⊂ A) limn→∞

xn = x .

Jasno je da ako je postojeci niz (xn)n∈N ⊂ A, niz razlicitih tacaka takav dalim

n→∞xn = x, da je tada tacka x tacka nagomilavanja skupa A. U suprotnom, ako

je postojeci niz jedino konstantni niz, tacka x je izolovana tacka skupa.Kao posljedicu gornje leme imamo da je svaka adherentna tacka skupa A ili

tacka nagomilavanja ili izolovana tacka. To mozemo iskazati i kompletnijomkarakterizacijom zatvorenja nekog skupa. Naime, za proizvoljan skup A, tackeskupa A su:

• izolovane tacke skupa A,

• tacke nagomilavanja skupa A koje pripadaju skupu A i

• tacke nagomilavanja skupa A koje ne pripadaju skupu A.

Teorem 2.91

Konvergentan niz moze konvergirati samo ka jednoj tacki.

Dokaz : Neka je (xn)n∈N ⊂ X za koga vrijedi xn → x′ i xn → x′′ (n → ∞). Tada zaproizvoljno ε > 0, postoje n′

0,n′′0 ∈ N, takvi da je za n ≥ maxn′

0,n′′0 zadovoljeno

d(x′,xn) < ε2 i d(x′′,xn) < ε

2 . Sada za ovako izabran n, na osnovu relacije trouglaimamo

0 ≤ d(x′,x′′) ≤ d(x′,xn)+ d(xn,x′′) <ε

2+

ε

2= ε ,

Zbog proizvoljnosti izabranog ε ocigledno mora vrijediti d(x′,x′′) = 0, odnosnox′ = x′′.


Teorem 2.92

Svaki konvergentan niz je ogranicen.

Dokaz : Neka je (xn)n∈N ⊂ X i neka xn → x0 (n → ∞). Uzimajuci da je ε =1, imamo da postoji n0 ∈ N, takav da za svako n ≥ n0, vrijedi d(xn,x0) < 1.Oznacimo sa R′ = maxd(x0,x1),d(x0,x2), ...,d(x0,xn0−1). Neka je sada R =R′ + 1. Tada ocigledno vrijedi

(∀n ∈ N) xn ∈ B(x0,R) ,

to jest niz je ogranicen.

Neka je dat proizvoljan niz (xn)n∈N u metrickom prostoru (X,d) i neka je(nk)k∈N proizvoljan, strogo monotono rastuci niz prirodnih brojeva, to jest

n1 < n2 < · · · < nk < · · · .

Tada za niz (xnk)k∈N kazemo da je podniz niza (xn)n∈N i to zapisujemo sa

(xnk)k∈N ⊆ (xn)n∈N.

Lema 2.93

Ako niz (xn)n∈N konvergira ka tacki x u metrickom prostoru, tada i svakinjegov podniz (xnk

)k∈N konvergira ka x.

Dokaz : Neka za dati niz (xn)n∈N ⊂ X vrijedi xn → x, n → ∞. To znaci da zasvako ε > 0, postoji n0 ∈ N, tako da za sve n ≥ n0 vrijedi d(xn,x) < ε. Neka je(xnk

)k∈N bilo koji podniz datog niza. Tada postoji k0 ∈ N, takav da je nk0> n0,

a tada ce i za svako k ≥ k0 vrijediti d(xnk,x) < ε, sto znaci da xnk

→ x, kadak → ∞.

Odnos konvergencije niza u potprostoru i nadredenom mu prostoru iskazujemosljedecom vezom.

Teorem 2.94

Neka je (X,d) metricki prostor i Y ⊆ X i neka je (an)n∈N ⊂ Y . Tada an → a(n → ∞) u Y sa potprostor metrikom ako i samo ako an → a (n → ∞) u X.

Sada sa pojmom konvergencije u metrickim prostorima mozemo dati i dodatnekarakterizacije pojmova neprekidnosti i uniformne neprekidnosti.


Teorem 2.95

Neka su (X,dX) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Neka je x ∈ X,sljedeca tvrdenja su ekvivalentna

1. Preslikavanje f je neprekidno u x.

2. Za proizvoljan niz (xn)n∈N ⊆ X, takav da xn → x (n → ∞), vrijedif(xn) → f(x) u Y , kada n → ∞.

Ovu cinjenicu smo mogli iskazati i formulacijom da je f neprekidno preslikavanjesa X u Y ako i samo ako za proizvoljan niz (xn)n∈N ⊆ X, konvergentan u X, jeniz (f(xn))n∈N ⊆ Y konvergentan u Y i tada pisemo

limn→∞

f(xn) = f( limn→∞

xn) .

Ona predstavlja tzv. Heineovu definiciju neprekidnosti preslikavanja, za razlikuod klasicne definicije (Definicija 2.76) koju jos nazivamo i Cauchyjeva definicijaneprekidnosti.

Teorem 2.96

Metricka funkcija je neprekidna funkcija svojih argumenata.

Dokaz : Neka je (X,d) proizvoljan metricki prostor i neka su (xn)n∈N, (yn)n∈N ⊂X, takvi da xn → x0 i yn → y0 (n → ∞). Koristeci Lemu 2.4, imamo

|d(xn,yn)− d(x0,y0)| ≤ d(yn,y0)+ d(xn,x0) → 0 (n → ∞) ,

to jest

limn→∞

d(xn,yn) = d(x0,y0) .

Teorem 2.97

Neka su (X,dX ) i (Y,dY ) metricki prostori i f : X → Y . Sljedeca dva tvrdenjasu ekvivalentna:

1. Preslikavanje f je uniformno neprekidno sa X u Y .

2. Za proizvoljne nizove (xn)n∈N,(x′n)n∈N ⊆ X, takve da je lim

n→∞dX(xn,x′

n) =

0, vrijedi limn→∞

dY (f(xn),f(x′n)) = 0.

81

Negacijom uniformne neprekidnosti i koristeci osobinu 2. u gornjem teoremudolazimo do cinjenice da preslikavanje f nije uniformno neprekidno ako i samo akoza neko ε > 0, postoje nizovi (xn)n∈N,(x′

n)n∈N ⊆ X takvi da je limn→∞

dX(xn,x′n) = 0

i pri tome je za sve dovoljno velike n ∈ N, dY (f(xn),f(x′n)) ≥ ε.

Primjer 68. Za funkciju f : (0,+∞) → R, f(x) = 1x, sada jednostavno pokazu-

jemo da nije uniformno neprekidna. Dovoljno je posmatrati nizove sa opstimclanovima xn = 1

ni yn = 1

2nza koje vrijedi

limn→∞

dR(xn,yn) = limn→∞

∣∣∣∣

1

n− 1

2n

∣∣∣∣= 0 .

Tada imamo

limn→∞

dR(f(xn),f(yn)) = limn→∞

∣∣∣∣

1

xn− 1

yn

∣∣∣∣= +∞ .

Prema komentaru iza teorema zakljucujemo da f nije uniformno neprekidna na(0,+∞). ♦

Bibliografija

[1] S. Aljancic: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Beograd 1979.

[2] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie, Berlin, 1935.

[3] B. van der Berg: Metric Spaces, Lecture Notes and Exercises, School of MathematicsUniversity of Bristol, Fall 2015.

[4] W.W.L. Chen: Linear Functional Analysis, Imperial College, University of London,2008.

[5] A. Dress, K.T. Huber, V. Moulton: Metric Spaces in Pure and Applied Mathematics,Documenta Mathematica, Quadratic Forms LSU 2001. 121-139

[6] L.B. Kantorovic , G.P. Akilov: Funkcionalnij analiz, Moskva, 1977.

[7] E. Kontorovich: Baire’s Theorem and its Applications, Department of Mathematics,Bar-Ilan University, Israel

[8] A.N. Kolmogorov , S.V. Fomin: Elements of the Theory of Functions and FunctionalAnalysis, Volume 1 Metric and normed spaces, Rochester N. Y. , 1957.

[9] N. Okicic , E. Duvnjakovic: Opsta topologija, Off-set, Tuzla, 2010.

[10] I. Rogers: Introduction to Metric Spaces and Toplogical Spaces, Based on the lecturenotes of Professor David Preiss, University of Warwick, 2007.

[11] V. Runde: A Taste of Topology, Springer, Berlin Heidelberg NewYork Hong KongLondon Milan Paris Tokyo, 2005.

[12] B. Stankovic: Osnovi funkcionalne analize, Naucna knjiga, Beograd, 1975.

[13] G. Hardy , J.E. Littlewood , G. Polya: Inequalities, Cembridge Mathematical Li-brary, 1934. (first published)

[14] Z. Cerin: Metricki prostori, predavanja za istoimeni kurs, PMF Zagreb

Indeks pojmova

Bbijekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Eekvivalentne metrike

toploski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58uniformno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Hhemimetrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Iinjekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66izolovana tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49izometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Kkonvergencija niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74kvazimetrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

LLipschitz neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Lipschitzova konstanta . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Mmetricka funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16metricki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16metrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

diskretna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28, 74French railroad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30indukovana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62kvadratna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33radijalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 44river . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30, 44

Nnejednakost

Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17trougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67, 80

Ookolina tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46otvorena kugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Ppokrivac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40potprostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62prametrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

razdvajajuca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2simetricna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

preslikavanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65inverzno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66kompozicija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

prostordiskretni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28ogranicen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 60

pseudometrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8, 23

Ssemimetrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43skup

adherencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53dijametar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39izvodni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50ogranicen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38, 45otvoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46totalno ogranicen . . . . . . . . . . . . . . . . . 40unutrasnjost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


zatvoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51, 78zatvorenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 78

surjekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Ttacka nagomilavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50topologija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Uultrametrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11uniformna neprekidnost . . . . . . . . . . . . 70, 81unutrasnja tacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Zzatvorena kugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Popis slika

1.1 Primjer pseudometrike u ravni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Pravilo mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Graf funkcije f(x) = xm (m ∈ (0,1)), sa tangentom u tacki x = 1. . . . . . 24

2.3 Standardna metrika (lijevo) i d1 metrika na C[a,b] (desno). . . . . . . . . 32

2.4 d(f1,g) = d(f2,g) = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Zakrivljeni prostor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6 Podjela kocke u 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.7 Razlicite metrike, razliciti oblici kugle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.8 Oblici kugle B(A,2) u river metrici, u zavisnosti od centra A. . . . . . . . 44

2.9 Oblici kugle B(A,2) u radijalnoj metrici, u zavisnosti od centra A. . . . . 44

2.10 Kugla u C[0,1] sa centrom u f0, poluprecnika ε. . . . . . . . . . . . . . . 45

2.11 Indukovana metrika i ”sustinska” metrika na sferi. . . . . . . . . . . . . . 63

Documents

1 Predmetriˇcki prostori 1pmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/DodiplomskiStudij/...Recenzenti ovog univerzitetskog udˇzbenika: Prof.dr.sc. Mehmed Nurkanovi´c, Prof.dr.sc. Vedad