Sadrˇzaj - pmf.untz.bapmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/PDS/FFOperatoriFunkcionali.pdf · Lema 3.1.3. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i n respektivno i

Sadrzaj

3 Linearani operatori 68

3.1 Ogranicenost i neprekidnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2 Inverzni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.3 O jos dva principa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4 Zatvoreni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4 Linearni funkcionali 96

4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala . . . . . . . . . . . 974.2 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Reprezentacije ogranicenih linearnih funkcionala . . . . . . . 108

4.3.1 Konacnodimenzionalni prostori . . . . . . . . . . . . . 1084.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima . . . . . . . 110

4.4 Konjugovani prostori i refleksivnost . . . . . . . . . . . . . . . 1254.5 Konjugovani operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.6 Spektar linearnog operatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.7 Kompaktni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Bibliografija 148

i

3

Linearani operatori

3.1 Ogranicenost i neprekidnost . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Inverzni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 O jos dva principa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 Zatvoreni operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Neka su X i Y dva proizvoljna prostora. Preslikavanje A : X → Ynazivamo operator, pri cemu koristimo standardnu definiciju preslikavanja.Dakle, pod terminom operator podrazumijevamo najopstiji oblik preslika-vanja, tj. kada se podrucje originala nalazi u proizvoljnom prostoru X, apodrucje slika u proizvoljnom prostoru Y . Sa DA ⊆ X cemo oznacavatidomen preslikavanja operatora A i podrazumijevamo da je on linearan vek-torski prostor. Sa RA ⊆ Y (ili sa Rang(A)) oznacavamo podrucje slika ilikodomen operatora A. Za x ∈ X, djelovanje operatora A uobicajeno cemozapisivati sa Ax, umjesto A(x).

3.1 Ogranicenost i neprekidnost

Definicija 3.1.1. Za operator A : X → Y kazemo da je aditivan ako i samoako za proizvoljne x1, x2 ∈ DA, vrijedi

A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 .

Definicija 3.1.2. Za operator A : X → Y kazemo da je homogen ako isamo ako vrijedi

(∀x ∈ DA)(∀λ ∈ Φ) A(λx) = λAx .

Definicija 3.1.3. Za operator A : DA ⊆ X → Y kazemo da je linearanoperator ako i samo ako je on istovremeno aditivan i homogen, tj. akovrijedi

(∀x1, x2 ∈ DA)(∀λ, µ ∈ Φ) A(λx1 + µx2) = λAx1 + µAx2 .

Lema 3.1.1. Za proizvoljan linearan operator vrijede osobine:

1. A0 = 0.

68

69

UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU

2. A(−x) = −Ax.

Dokaz :

1. Iz osobina linearnog vektorskog prostora i linearnosti operatora imamo

Ax = A(x + 0) = Ax + A0 ,

a zbog jedinstvenosti neutralnog elementa za sabiranje imamo A0 = 0.

2. Koristeci gornju osobinu i linearnost operatora, imamo

0 = A0 = A(x + (−x)) = Ax + A(−x) ,

iz cega je zbog jedinstvenosti inverznog elementa za sabiranje ondaA(−x) = −Ax.

♣

Definicija 3.1.4. Neka je A : X → Y linearan operator. Skup

Ker(A) = x ∈ X| Ax = 0 ,

nazivamo jezgro operatora ili nul-prostor operatora. Skup

Rang(A) = y ∈ Y | (∃x ∈ X) f(x) = y ,

nazivamo rang operatora A.

Osobine injektivnosti i surjektivnosti lahko izrazavamo preko novouvedenihskupova. Tako imamo da je linearan operator injektivan ako i samo ako jeKer(A) = 0, a surjektivan ako i samo ako je Rang(A) = Y . Bijektivnostimamo ako je operator istovremeno i injektivan i surjektivan. Takode vrijedei sljedece osobine.

Teorem 3.1.2. Neka je A : X → Y linearan operator. Tada vrijedi:

1. Ker(A) je potprostor od X.

2. Rang(A) je potprostor od Y .

3. Ako su X i Y konacnodimenzionalni prostori onda je

dim(X) = dim(Ker(A)) + dim(Rang(A)) .

Primjer 3.1. Neka su V i W konacnodimenzionalni linearni vektorski pros-tori, pri cemu je dim(V ) = m i dim(W ) = n (m,n ∈ N). Neka je BV =v1, v2, ..., vm baza prostora V , a BW = w1, w2, ..., wn baza prostora Wi neka je F ∈ L(V,W ). Za proizvoljan vi (i ∈ 1, 2, ...,m) njegova slika

3.1. Ogranicenost i neprekidnost

70

Avi lezi u prostoru W , pa postoje jedinstveni koeficijenti a1i, a2i, ..., ani ∈ Φ,takvi da je

Fvi =

n∑

j=1

ajiwj .

Oznacimo sa A = [aij ]m×n (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) matricu koju do-bijemo tako sto svaki vektor baze BV preslikamo preslikavanjem F , a pritome jedinstveno odredene koeficijente postavimo kao kolone matrice A. Zamatricu A kazemo da je matricna reprezentacija linearnog operatora F uodnosu na baze BV i BW ili jednostavnije to iskazujemo sa time da je Amatrica linearnog operatora F .Ovo nam ustvari govori da su matrice na konacnodimenzionalnim prostorimaustvari linearna preslikavanja. Tj. vrijedi,

Lema 3.1.3. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i nrespektivno i neka su BV i BW njihove baze. Neka je F ∈ L(X,Y ) i A =[aij ]m×n. Matrica A reprezentuje linearan operator F ako i samo ako je zaproizvoljan vektor x ∈ V

Fx = A · x .

Dokaz : Neka je A = [aij ]m×n matrica linearnog operatora F . Za proizvol-jan x ∈ V neka je x = (b1, b2, ..., bm)T njegova reprezentacija u bazi BV .Tada imamo,

Fx = F

m∑

j=1

bjvj

=

m∑

j=1

bjFvj

=m∑

j=1

bj

(n∑

i=1

aijwi

)

=n∑

i=1

m∑

j=1

aijbj

wi .

Dakle, vektor Fx u bazi BW ima reprezentaciju

Fx =

m∑

j=1

a1jbj ,

m∑

j=1

a2jbj , ...,

m∑

j=1

anjbj

T

= A · x .

Obratno, neka je B matrica takva da je Fx = B · x, za sve x ∈ V i neka jeA matrica operatora F . Birajuci vektor x = (1, 0, ..., 0)T ∈ V , ocigledno jeprva kolona matrice B jednaka prvoj koloni matrice A. Analogno se utvrdujejednakost i ostalih kolona, tj. mora vrijediti B = A. ♣

Iz geometrije znamo da je rotacija linearna transformacija. Ako posma-tramo R2 kao linearan vektorski prostor neka je Rα : R2 → R2 rotacijarealne ravni za ugao α ∈ [0, 2π]. Neka je e1, e2 =

(1, 0)T , (0, 1)T

stan-

dardna baza u R2. Tada Rαe1 treba da predstavlja rotirani vektor e1 , aRαe2, rotirani vektor e2 za ugao α. Nije tesko vidjeti da vrijedi

71


α

α

e1

e2

Rαe1Rαe2

1

1

Slika 3.1: Rotacija ravni za ugao α

Rαe1 = (cos α, sin α)T , Rαe2 = (− sin α, cos α)T ,

tj. operator rotacije je reprezentovan matricom

A =

[cos α − sin αsinα cos α

]

.

Sada za proizvoljan vektor x = (x1, x2)T ∈ R2, na osnovu reprezentacije

linearnih preslikavanja u konacnodimenzionalnim prostorima imamo,

Rαx = A · x =

[cos α − sin αsin α cos α

]

·

[x1

x2

]

=

[x1 cos α − x2 sin αx1 sin α + x2 cos α

]

.

♦

Primjer 3.2. Neka je X skup svih polinoma cetvrtog stepena, definisanih na(−1, 1), tj. X =

P4(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e| a, b, c, d, e ∈ R , x ∈ (−1, 1)

i analogno Y =P3(x) = ax3 + bx2 + cx + d| a, b, c, d ∈ R , x ∈ (−1, 1)

.

Posmatrajmo preslikavanje

Du =du

dx= u′ , u ∈ X .

Ocigledno je operator D sa X u Y . Za u, v ∈ X je D(u+v) = (u+v)′ = u′+v′ = Du+Dv. Osim toga je za u ∈ X i λ ∈ Φ, D(λu) = (λu)′ = λU ′ = λDu.Dakle, D je linearan operator sa prostora X u prostor Y.Kako je izvod konstante 0, to je jezgro ovog operatora skup svih polinomanultog stepena (konstante), dakle Ker(D) 6= 0, pa operator nije injekti-van.Za proizvoljan polinom treceg stepena v(x) = P3(x) = ax3 + bx2 + cx + d,polinom

P4(x) =

∫

P3(x)dx =a

4x4 +

b

3x3 +

c

2x2 + dx + C ∈ Y ,

te vrijedi Rang(D) = Y , tj. operator je surjekcija.

♦


72

Definicija 3.1.5. Za linearan operator A : X → Y kazemo da je neprekidanu tacki x0 ∈ DA ako i samo ako za svaku okolinu V tacke Ax0, postojiokolina U tacke x0, tako da je za svako x ∈ U , Ax ∈ V .

Ako su X i Y metricki prostori, gornju definiciju iskazujemo sa

(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀x ∈ DA)(dX (x, x0) < δ ⇒ dY (Ax,Ax0) < ε) ,

a u normiranim prostorima sa

(∀ε > 0)(∃δ = δ(ε) > 0)(∀x ∈ DA)(||x − x0||X < δ ⇒ ||Ax − Ax0||Y < ε) .

Kazemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidanu svakoj tacki skupa D.Za definisanje pojma neprekidnosti mozemo koristiti i nizovnu definiciju.

Definicija 3.1.6. Za linearan operator A : X → Y kazemo da je neprekidanu tacki x0 ∈ DA ako za proizvoljan niz (xn)n∈N ⊂ X, takav da xn → x0

(n → ∞), vrijediAxn → Ax0 , (n → ∞) .

Teorem 3.1.4. Ako je aditivan operator A : X → Y neprekidan u jednojtacki domena, onda je on neprekidan na citavom domenu.

Dokaz : Neka je A : X → Y aditivan operator i neka je x0 ∈ DA tacka ukojoj je operator neprekidan. Neka je sada x ∈ DA proizvoljan. Uzmimoproizvoljan niz (xn)n∈N ⊂ DA, takav da xn → x (n → ∞). Posmatrajmoniz (xn − x + x0)n∈N ⊂ DA. Ocigledno vrijedi

xn − x + x0 → x0 , (n → ∞) ,

pa zbog neprekidnosti operatora u tacki x0 imamo

A(xn − x + x0) → Ax0 , (n → ∞) .

Na osnovu aditivnosti i osobina limesa, sada vrijedi

limn→∞

A(xn − x + x0) = limn→∞

(Axn − Ax + Ax0)

= limn→∞

Axn − Ax + Ax0

= Ax0 ,

iz cega je ondalim

n→∞Axn = Ax ,

tj. operator je neprekidan i u tacki x. Zbog proizvoljnosti x ∈ DA, za-kljucujemo da je A neprekidan na citavom skupu DA. ♣

73


Definicija 3.1.7. Neka je A : X → Y linearan operator. Kazemo da je Aogranicen linearan operator ako vazi

(∃M > 0)(∀x ∈ X) ||Ax||Y ≤ M ||x||X . (3.1)

Infimum svih mrojeva M za koje vazi (3.1) nazivamo norma operatoraA i oznacavamo je sa ||A||X→Y ili jednostavno sa ||A||, podrazumijevajucidjelovanje operatora. Linearan operator je ogranicen ukoliko mu je normakonacna i pri tome onda vrijedi

(∀x ∈ X) ||Ax||Y ≤ ||A||X→Y ||x||X .

Teorem 3.1.5. Neka je A : X → Y ogranicen homogen operator. Tadavrijedi

||A|| = supx∈X\0

||Ax||

||x||= sup

||x||≤1||Ax|| = sup

||x||=1||Ax|| .

Dokaz : Oznacimo sa

α = supx∈X\0

||Ax||

||x||.

Tada za svako ε > 0, postoji x′ ∈ X \ 0, takav da je ||Ax′|| / ||x′|| > α− ε,tj. ||Ax′|| > (α−ε) ||x′||. Na osnovu definicije norme operatora onda imamo||A|| > α − ε, za proizvoljno ε > 0, odnosno ||A|| ≥ α.Ako bi bilo ||A|| > α, tada bi za neko ε > 0 vrijedilo ||A|| − α = ε. Tada biiz α < ||A|| − ε/2 imali

||Ax||

||x||≤ α < ||A|| −

ε

2,

tj. za svako x ∈ X \ 0 bi vrijedilo

||Ax|| ≤(

||A|| −ε

2

)

||x|| .

Posljednje nije u saglasnosti sa tim da je norma operatora infimum svihbrojeva koji zadovoljavaju (3.1), pa dakle mora vrijediti

||A|| = α = supx∈X\0

||Ax||

||x||.

Zbog homogenosti operatora dalje imamo

supx∈X\0

||Ax||

||x||= sup

x∈X\0

∣∣∣∣

∣∣∣∣A

(x

||x||

)∣∣∣∣

∣∣∣∣= sup

||x||=1||Ax|| .

Ostaje jos pokazati drugu jednakost. Naime, ako posmatramo samo ele-mente koji zadovoljavaju ||x|| ≤ 1, tada imamo

||A|| = α = supx∈X\0

||Ax||

||x||≥ sup

||x||≤1

||Ax||

||x||≥ sup

||x||≤1||Ax|| .


74

Sa druge strane, kako je supremum na vecem skupu veci, to vrijedi

sup||x||≤1

||Ax|| ≥ sup||x||=1

||Ax|| = ||A|| ,

pa zakljucujemo da mora biti

||A|| = sup||x||≤1

||Ax|| .

♣

Za linearna preslikavanja vrijedi sljedeca ”lijepa” osobina.

Teorem 3.1.6. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ogranicen.

Dokaz : Neka je A : X → Y neprekidan linearan operator. Pretpostavimoda on nije ogranicen. Tada

(∀n ∈ N)(∃xn ∈ X, ||xn|| = 1) ||Axn|| > n .

Posmatrajmo sada sljedeci niz,

zn =xn

n, n ∈ N .

Za njega vrijedi

||zn|| =||xn||

n=

1

n→ 0 , n → ∞ ,

tj. zn → 0 (n → ∞). Ali tada imamo

||Azn|| =1

n||Axn|| ≥ 1 , n ∈ N ,

a to znaci da Azn 9 0 (n → ∞), sto je u suprotnosti sa neprekidnoscuoperatora.

Neka je sada A ogranicen operator, tj. ||A|| < +∞. Uzmimo proizvoljnox ∈ DA i neka je (xn) ⊂ DA, takav da xn → x (n → ∞). Zbog ogranicenostisada imamo

0 ≤ ||Axn − Ax|| = ||A(xn − x)|| ≤ ||A|| ||xn − x|| → 0 , n → ∞ .

Dakle, A je neprekidan u tacki x, pa je prema Teoremi 3.1.4, on neprekidanoperator. ♣

Teorem 3.1.7. Neka je A : X → Y linearan operator. Operator A jeneprekidan ako i samo ako ogranicene skupove iz X preslikava u ograniceneskupove u Y .

75


Dokaz : Neka je A : X → Y ogranicen linearan operator, tj.

(∀x ∈ X) ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| , (||A|| < ∞)

i neka je S ⊂ X ogranicen skup, tj.

(∃M > 0)(∀x ∈ S) ||x|| ≤ M .

Oznacimo sa S′ sliku skupa S,

S′ = Ax| x ∈ S .

Za proizvoljno y ∈ S′ tada vrijedi

||y|| = ||Ax|| ≤ ||A|| ||x|| ≤ M ||A|| = M ′ < ∞ ,

te je S′ ogranicen skup.Neka A slika ogranicene skupove u ogranicene skupove. Kako je jedinicna

kugla K = x ∈ X| ||x|| ≤ 1, ogranicen skup u X, to je i skup

AK = Ax| ||x|| ≤ 1

ogranicen u Y , a to znaci

(∃M > 0)(∀y ∈ AK) ||y|| ≤ M ,

odnosno(∃M > 0)(∀x ∈ X, ||x|| ≤ 1) ||Ax|| ≤ M .

Posljednja cinjenica nije nista drugo do ogranicenost operatora ili sto jeekvivalentno, njegova neprekidnost. ♣

U ispitivanju ogranicenosti proizvoljnog operatora A : X → Y prvo nasto-jimo pokazati da za svako x ∈ X vrijedi ||Ax|| ≤ M ||x||, za neko M > 0 (pomogucnosti najbolju aproksimaciju), cime ustvari pokazemo ogranicenostoperatora (||A|| ≤ M). Pokazati da je ||A|| = M znaci naci konkretan ele-ment x′ ∈ X, za koga je ||Ax′|| = M ||x′||. Ovo bi znacilo da je ||A|| ≥ M ,sto sa ranije pokazanim daje ukupno ||A|| = M .

Primjer 3.3. Posmatrajmo lijevi i desni shift operator na l2, tj. preslikavanjaAL : l2 → l2 i AR : l2 → l2, zadata sa

ARx = (0, x1, x2, ...) , ALx = (x2, x3, x4, ...) za x = (x1, x2, x3, ...) ∈ l2 .

Oba operatora su ocigledno linearna. Pri tome je

||ARx|| =

(∞∑

i=1

|xi|2

) 1

2

= ||x|| ,


76

a odavde je onda ||AR|| = 1. Za lijevi shift imamo

||ALx|| =

(∞∑

i=2

|xi|2

) 1

2

≤ ||x|| ,

tako da je ||AL|| ≤ 1. Ako posmatramo proizvoljan vektor x = (0, x1, x2, x3, ...) ∈l2, tada je

||ALx|| =

(∞∑

i=2

|xi|2

) 1

2

= ||x|| ,

te je ||AL|| = 1. ♦

U nesto tezim primjerima, neka je pokazana ogranicenost operatora, ||Ax|| ≤M ||x||, moguce je naci niz (xn)n∈N ⊂ X, takav da je

||Axn||

||xn||→ M , (n → ∞) ,

iz cega onda zakljucujemo da je ||A|| = M .

Primjer 3.4. Posmatrajmo operator T : L2(a, b) → L2(a, b) (a, b ∈ R, a < b),zadat sa

Tx(t) = f(t)x(t) ,

gdje je f ∈ C[a, b]. Linearnost se jednostavno pokazuje, a za ogranicenostimamo

||Tx|| =

(∫ b

a|f(t)x(t)|2dt

) 1

2

=

(∫ b

a|f(t)|2|x(t)|2dt

) 1

2

≤ maxa≤t≤b

|f(t)|

(∫ b

a|x(t)|2dt

) 1

2

.

Dakle, ||Tx||L2(a,b) ≤ ||f ||C[a,b]||x||L2(a,b), iz cega onda imamo ||T || ≤ ||f ||C[a,b].

Kako je f neprekidna funkcija na segmentu [a, b], postoji c ∈ [a, b] u kojojfunkcija uzima maksimalnu vrijednost (ne gubeci na opstosti, neka je c ∈(a, b)). Za n ∈ N, posmatrajmo funkcije

xn(t) =

1 ; |t − c| < 1

n0 ; inace

Tada imamo

||Txn||

||xn||=

n

2

(∫ c+ 1

n

c− 1

n

|f(t)|2dt

) 1

2

→ |f(c)| , (n → ∞) ,

77


zato sto je f neprekidna funkcija. Iz ovoga onda zakljucujemo da je

||T || = |f(c)| = maxa≤t≤b

|f(t)| = ||f ||C[a,b] .

♦

Skup svih ogranicenih linearnih operatora koji djeluju sa prostora X uprostor Y oznacavat cemo sa L(X,Y ). Na L(X,Y ) mozemo definisati op-eracije sabiranja i mnozenja skalarom. Neka su A,B ∈ L(X,Y ) i neka jeλ ∈ Φ. Za x ∈ X definisemo

(A + B)xdef= Ax + Bx , (λA)x

def= λAx .

Pri tome je DA+B = DA ∩ DB i DλA = DA.Neka su x, y ∈ X i λ, µ, α ∈ Φ. Tada imamo

(A + B)(λx + µy) = A(λx + µy) + B(λx + µy)

= λAx + µAy + λBx + µBy

= λ(A + B)x + µ(A + B)y ,

αA(λx + µy) = α(λAx + µAy)

= αλAx + αµAy

= λ(αA)x + µ(αA)y .

Dakle, A + B i αA su linearni operatori. Osim toga vrijedi

||(A + B)x|| = ||Ax + Bx|| ≤ ||Ax|| + ||Bx|| ≤ (||A|| + ||B||) ||x|| , x ∈ X ,

i||(αA)x|| ≤ |α| ||A|| ||x|| ,

pa zakljucujemo da su oni i ograniceni operatori, tj. A + B,αA ∈ L(X,Y ),cime smo pokazali da je L(X,Y ) linearan vektorski prostor. Sta vise, vrijedi

Teorem 3.1.8. Neka je X proizvoljan normiran prostor i Y Banachov pros-tor. L(X,Y ) je Banachov prostor.

Dokaz : Vec smo pokazali da je L(X,Y ) linearan vektorski prostor. Kakoje svaki A ∈ L(X,Y ) ogranicen operator, onda je velicina

||A|| = supx∈X\0

||Ax||

||x||, (3.2)

dobro definisana. Pri tome vrijedi:

1. 0 ≤ ||A|| = supx∈X\0||Ax||||x|| < +∞.


78

2.

||A|| = 0 ⇔ 0 = supx∈X\0

||Ax||

||x||≥

||Ax||

||x||, x ∈ X \ 0

⇔ ||Ax|| ≤ 0 , x ∈ X \ 0

⇔ ||Ax|| = 0 , x ∈ X \ 0

⇔ Ax = 0 , x ∈ X \ 0

⇔ A ≡ 0 .

3. Za λ ∈ Φ,

||λA|| = supx∈X\0

||(λA)x||

||x||= |λ| sup

x∈X\0

||(λA)x||

||λx||= |λ| sup

y∈X\0

||Ay||

||y||= |λ| ||A|| .

4. ||(A + B)x|| ≤ (||A|| + ||B||) ||x||, tj.

||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| .

Dakle, sa (3.2) je definisana norma na L(X,Y ), te je L(X,Y ) normiranprostor.Neka je sada (An)n∈N ⊂ L(X,Y ), proizvoljan Cauchyjev niz, tj. neka je

||An − Am|| → 0 , n,m → ∞ .

Tada za proizvoljan x ∈ X imamo

||Anx − Amx|| ≤ ||An − Am|| ||x|| → 0 , n,m → ∞ ,

odnosno, za svaki x ∈ X, niz (Anx)n∈N ⊂ Y je Cauchyjev niz. Zbog kom-pletnosti prostora Y , ovi nizovi su konvergentni. Oznacimo sa

A0x = limn→∞

Anx , x ∈ X .

Neka su x, y ∈ X i α, β ∈ Φ proizvoljni. Tada,

A0(αx + βy) = limn→∞

An(αx + βy)

= limn→∞

(αAnx + βAny)

= α limn→∞

Anx + β limn→∞

Any

= αA0x + βA0y ,

pa je A0 linearan operator. Iz cauchyjevosti niza (An) imamo

(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n,m ∈ N)(

n,m ≥ n0 ⇒ ||An − Am|| <ε

2

)

.

79


Ako je x ∈ X, ||x|| ≤ 1, onda za n,m ≥ n0 vrijedi

||(An − Am)x|| ≤ ||An − Am|| <ε

2.

Drzimo li n fiksnim, a pustimo da m tezi u beskonacnost, dobijamo izposljednjeg

||(An − A0)x|| ≤ε

2,

ili

sup||x||≤1

||(An − A0)x|| ≤ε

2< ε .

Dakle, za svako n ≥ n0, operator An − A0 je ogranicen, pa kako su An

ograniceni operatori, takav mora biti i operator A0, tj. A0 ∈ L(X,Y ). Osimtoga iz gornjeg imamo

(∀ε > 0)(∃n0)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ ||An − A0|| < ε) ,

sto ne znaci nista drugo nego da An → A0 (n → ∞), tj. niz (An) jekonvergentan u L(X,Y ) odnosno, L(X,Y ) je kompletan prostor. Iz svegarecenog imamo da je L(X,Y ) Banachov prostor. ♣

3.2 Inverzni operator

Neka je A : X → Y linearan operator ciji je domen DA ⊆ X i kodomenRA ⊆ Y . Ukoliko za svako y ∈ RA, jednacina y = Ax ima jedinstvenorjesenje x ∈ DA, onda kazemo da postoji inverzno preslikavanje, u oznaciA−1, preslikavanja A i zapisujemo x = A−1y. Pri tome je DA−1 = RA iRA−1 = DA. Dakle, za postojanje inverznog operatora linearnog operatoraA : DA → RA, dovoljno je da A bude injektivno preslikavanje.

Teorem 3.2.1. Ako postoji, inverzni operator linearnog operatora je i samlinearan operator.

Dokaz : Neka postoji inverzni operator i neka su y1, y2 ∈ DA−1 = RA iα, β ∈ Φ proizvoljni. Tada postoje jednoznacni x1, x2 ∈ DA, takvi da jeAx1 = y1 i Ax2 = y2, a ovo znaci i x1 = A−1y1, x2 = A−1y2. Sada imamo,

A−1(αy1 + βy2) = A−1(αAx1 + βAx2)

= A−1A(αx1 + βx2)

= αx1 + βx2

= αA−1y1 + βA−1y2 .

♣

3.2. Inverzni operator

80

Teorem 3.2.2. Ako postoji inverzni operator operatora A, onda vrijedi(A−1

)−1= A.

Teorem 3.2.3. Neka je A : X → Y linearan operator. A ima ograniceninverzan operator na RA ako i samo ako vrijedi

(∃m > 0)(∀x ∈ X) ||Ax|| ≥ m ||x|| . (3.3)

Pri tome vrijedi∣∣∣∣A−1

∣∣∣∣ ≤ 1

m .

Dokaz : Neka A ima ogranicen inverzni operator, tj. neka vrijedi

(∃M > 0)(∀y ∈ RA)∣∣∣∣A−1y

∣∣∣∣ ≤ M ||y|| .

Kako za svako y ∈ RA, postoji x ∈ DA tako da je A−1y = x, gornju cinjenicumozemo iskazati i sa

(∃M > 0)(∀x ∈ DA) ||x|| ≤ M ||Ax|| ,

odnosno stavljajuci da je m = 1M imamo

(∃m > 0)(∀x ∈ DA) ||Ax|| ≥ m ||x|| .

Neka sada vrijedi (3.3) pri cemu A : X → RA ⊆ Y . Neka je Ax = 0 za nekox ∈ X. Tada na osnovu (3.3) vrijedi

0 = ||Ax|| ≥ m ||x|| ,

a odavde je onda ||x|| = 0, te je x = 0. Dakle, A ima inverzni operatorA−1 : RA → X, pa jednacina y = Ax ima jedinstveno rjesenje x = A−1y.Na osnovu ovoga, iz (3.3) onda imamo

(∃m > 0)(∀y ∈ RA) ||y|| ≥ m∣∣∣∣A−1x

∣∣∣∣ ,

ili

(∃m > 0)(∀y ∈ RA)∣∣∣∣A−1y

∣∣∣∣ ≤

1

m||y|| .

Ovo znaci da je operator A−1 ogranicen, a osim toga, prema definicijiogranicenosti operatora, zakljucujemo i da vrijedi

∣∣∣∣A−1

∣∣∣∣ ≤

1

m.

♣

81


Lema 3.2.4. Neka je M svuda gust skup u Banachovom prostoru X. Tadase svaki nenula vektor x ∈ X moze prikazati u formi

x =

∞∑

n=1

xn ,

gdje su xn ∈ M (n ∈ N), takvi da je

||xn|| ≤3

2n||x|| , n ∈ N .

Dokaz : Neka je x ∈ X proizvoljan. Kako je M svuda gust u X, postojix1 ∈ M , takav da je ||x − x1|| ≤

||x||2 . Sada vektor x − x1 ∈ X, pa opet

zbog svuda gustosti skupa M , postoji x2 ∈ M , takav da je ||x − x1 − x2|| ≤||x||22 . Na isti nacin, postoji x3 ∈ M , takav da je ||x − x1 − x2 − x3|| ≤

||x||23

odnosno, postoji xn ∈ M , takav da je

||x − x1 − x2 − · · · − xn|| ≤||x||

2n.

Zbog nacina izbora elemenata xn ∈ M (n ∈ N), vrijedi

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣x −

n∑

k=1

xk

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣→ 0 , n → ∞ ,

tj. red∑∞

k=1 xk konvergira ka elementu x.

Pri tome vrijede sljedece ocjene normi,

||x1|| = ||x1 − x + x|| ≤ ||x1 − x|| + ||x|| ≤3

2||x|| ,

||x2|| = ||x2 + x1 − x + x − x1|| ≤ ||x2 + x1 − x|| + ||x − x1|| ≤3

22||x|| ,

ili za proizvoljno n ∈ N imamo

||xn|| = ||xn + xn−1 + · · · + x1 − x + x − x1 − · · · − xn−1||

≤ ||xn + xn−1 + · · · + x1 − x|| + ||x − x1 − · · · − xn−1||

≤3

2n||x|| .

♣

Teorem 3.2.5. (Banachov teorem o inverznom operatoru) Neka je Aogranicen linearan operator koji obostrano jednoznacno preslikava Banachovprostor X na Banachov prostor Y . Tada je i inverzni operator A−1 takodeogranicen.

3.2. Inverzni operator

82

Dokaz : Zbog pretpostavki teorema, preslikavanje A je bijektivno, pa in-verzni operator A−1 postoji. Posmatrajmo u prostoru Y skupove

Mk =y ∈ Y |

∣∣∣∣A−1y

∣∣∣∣ ≤ k ||y||

, k ∈ N .

Pretpostavimo da postoji y0 ∈ Y (y 6= 0), takav da y0 /∈ Mk, niti za jednok ∈ N. Tada bi vrijedilo

∣∣∣∣A−1y0

∣∣∣∣ > k ||y0|| za sve k ∈ N, odnosno

(∀k ∈ N) ||Ax0|| <1

k||x0|| (Ax0 = y0) .

Iz toga onda imamo da je ||Ax0|| = 0, tj. Ax0 = 0 = y0, a sto je u suprotnostisa pretpostavkom da y0 nije nula element.Dakle, vrijedi

Y =⋃

k∈N

Mk .

Zbog kompletnosti prostora Y , na osnovu Berove teoreme o kategorijama,bar jedan od skupova, neka je to Mn, je gust u nekoj kugli B. Unutar kugleB, posmatrajmo prsten

P =z ∈ B| α <

∣∣∣∣z − y′

∣∣∣∣ < β

,

gdje je 0 < α < β, a y′ ∈ Mn proizvoljan. Translirajmo prsten P , tako damu centar bude u nuli, cime dobijamo skup

P0 = z| α < ||z|| < β .

Neka je sada z ∈ P ∩ Mn, tada z − y′ ∈ P0 i pri tome vrijedi

∣∣∣∣A−1(z − y′)

∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣A−1z

∣∣∣∣+∣∣∣∣A−1y′

∣∣∣∣

≤ n(||z|| +∣∣∣∣y′∣∣∣∣)

≤ n(∣∣∣∣z − y′

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣y′∣∣∣∣)

= n∣∣∣∣z − y′

∣∣∣∣

(

1 +2 ||y′||

||z − y′||

)

≤ n∣∣∣∣z − y′

∣∣∣∣

(

1 +2 ||y′||

α

)

.

Izraz n(

1 + 2||y′||α

)

ne zavisi od z i ako stavimo da je

N = 1 + n

⌊

1 +2 ||y′||

α

⌋

,

zakljucujemo da z − y′ ∈ MN . Kako je Mn gust u B, a time i u P , to jeskup MN gust u P0.Neka je sada y ∈ Y proizvoljan nenula element. Moguce je izabrati λ ∈ Φ,

takav da je α < ||λy|| < β, tj. da je λy ∈ P0. Kako je MN gust u P0, postoji

83


niz (yk)k∈N ⊂ MN koji konvergira ka λy. Tada niz ( 1λyk)k∈N konvergira ka

y, a zbog cinjenice da 1λyk ∈ MN (k ∈ N, λ 6= 0), zakljucujemo da je MN

gust i u Y \ 0, odnosno i u Y .Neka je opet y proizvoljan nenula element iz Y . Kako je MN gust u Y , na

osnovu Leme 3.2.4, postoje yk ∈ MN (k ∈ N), takvi da je

y =∑

k∈N

yk , ||yk|| ≤3

2k||y|| .

Stavimo xk = A−1yk ∈ X (k ∈ N). Kako vrijedi

||xk|| =∣∣∣∣A−1yk

∣∣∣∣ ≤ N ||yk|| ≤

3N ||y||

2k,

to red∑

k∈Nxk konvergira ka nekom elementu x ∈ X i pri tome je

||x|| ≤∑

k∈N

||xk|| ≤ 3N ||y||

∞∑

k=1

1

2k= 3N ||y|| .

Zbog konvergencije reda∑

k∈Nxk i neprekidnosti operatora A, imamo

Ax =∑

k∈N

Axk =∑

k∈N

yk = y ,

odakle je onda x = A−1y. Sada vrijedi

∣∣∣∣A−1y

∣∣∣∣ = ||x|| ≤ 3N ||y|| ,

za proizvoljno y ∈ Y , a ovo znaci da je A−1 ogranicen operator. ♣

Stav o inverznom operatoru se uobicajeno iskazuje kao posljedica mnogopoznatije teoreme o otvorenom preslikavanju.

Teorem 3.2.6. (Princip otvorenog preslikavanja)Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A ogranicen linearan operatorkoji slika X na Y . Tada je A otvoreno preslikavanje, tj. slika otvorenogskupa u X je otvoren skup u Y .

Dakle, najjednostavnije receno, svako neprekidno, linearno i bijektivnopreslikavanje izmedu dva Banachova prostora ima meprekidno inverzno pres-likavanje.

3.3 O jos dva principa

Medu najbitna tvrdenja funkcionalne analize spadaju i sljedeca dva. To suprincip konvergencije i princip uniformne ogranicenosti.

3.3. O jos dva principa

84

Teorem 3.3.1. (Princip uniformne ogranicenosti)Neka je τ proizvoljna familija ogranicenih linearnih operatora koji djelujusa Banachovog prostora X u normiran prostor Y . Neka za svako x ∈ X,postoji konstanta M(x) > 0 (koja zavisi eventualno samo od x), tako davrijedi

(∀ T ∈ τ ) ||Tx|| ≤ M(x) .

Tada postoji konstanta M , za koju vrijedi

(∀ T ∈ τ ) ||T || ≤ M .

Dokaz : Pretpostavimo da familija τ nije ogranicena niti na jednoj kugliu X. Posmatrajmo kuglu K0 = K(0, 1

2) i kako τ nije ogranicena ni na njoj,postoji T = T1 ∈ τ i x1 ∈ K(0, 1

2), tako da je ||T1x1|| > 1.Neka je sada r1 proizvoljan, takav da vrijedi

0 < r1 < min

||T1x1|| − 1

||T1||,1

2

.

Oznacimo sa K1 = K(x1, r1). Za proizvoljan x ∈ K1 je ||x − x1|| ≤ r1 i pritome je

||T1x|| = ||T1x1 − T1(x1 − x)||

≥ ||T1x1|| − ||T1(x1 − x)||

≥ ||T1x1|| − ||T1|| ||x − x1||

≥ ||T1x1|| − ||T1|| r1

> 1 .

Dakle, za proizvoljno x ∈ K1, vrijedi ||T1x|| > 1.Polazeci sada od kugle K1 = K(x1, r1), na isti nacin utvrdujemo postojanje

operatora T2 ∈ τ i x2 ∈ K1, te kugle K2 = K(x2, r2) ⊂ K1, takvih da je

(∀x ∈ K2) ||T2x|| > 2 ,

pri cemu je r2 < 122 . Nastavljajuci ovaj postupak, dolazimo do niza op-

eratora T1, T2, ..., Tn, ... i niza kugli K0 ⊃ K1 ⊃ · · · ⊃ Kn ⊃ · · · ciji supoluprecnici r1, r2, ..., rn, ..., takvi da je rn < 1

2n (n ∈ N), i pri tome je

||Tnx|| > n , x ∈ Kn .

Na osnovu teorema o karakterizaciji kompletnosti imamo da je⋂

n∈N

Kn = x0 , za neko x0 ∈ X .

Sta vise, xn → x0 (n → ∞), gdje je (xn)n∈N niz centara konstruisanih kugli.Pri tome je za proizvoljno n ∈ N, ||Tnx0|| > n, a to je nemoguce jer smopretpostavili da za svako x ∈ X, vrijedi

||Tx|| ≤ M(x) .

85


Dakle, mora postojati kugla K(x′, r′), takva da je

||Tx|| ≤ M ′ ,

za sve x ∈ K(x′, r′) i za sve T ∈ τ .

Neka je sada x ∈ K(0, r′) proizvoljan. Tada x + x′ ∈ K(x′, r′), pa za svakoT ∈ τ imamo

||Tx|| =∣∣∣∣−Tx′ + T (x + x′)

∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣Tx′

∣∣∣∣+∣∣∣∣T (x + x′)

∣∣∣∣ ≤ M(x′) + M ′ .

Stavimo li M ′′ = M(x′) + M ′, vrijedi

(∀x ∈ K(0, r′)) ||Tx|| ≤ M ′′ ,

za svako T ∈ τ .Neka je sada x ∈ X proizvoljan (x 6= 0). Tada je x

||x||r′ ∈ K(0, r′), pa vrijedi

∣∣∣∣

∣∣∣∣T

(x

||x||r′)∣∣∣∣

∣∣∣∣≤ M ′′ ,

tj.

||Tx|| ≤M ′′

r′||x|| .

Stavimo M = M ′′

r′ , dakle vrijedi

(∀ T ∈ τ )(∀x ∈ X) ||Tx|| ≤ M ||x|| ,

a ovo upravo znaci

(∀ T ∈ τ ) ||T || ≤ M .

♣

Znamo iz matematicke analize da za funkcionalni niz mozemo posmatratidvije vrste konvergencije, konvergenciju po tackama i uniformnu konver-genciju i da je uniformna konvergencija ”jaca” od tackaste konvergencije.U opstem slucaju iz konvegrencije po tackama nemamo uniformnu konver-genciju. Princip uniformne ogranicenosti, pojednostavljeno govoreci, namkazuje da pri odredenim uslovima, familija ogranicenih linearnih operatorakoja je konvergentna po tackama, je i uniformno konvergentna. Dokazaniteorem smo mogli iskazati i u obratnoj formi, tj

Teorem 3.3.2. Ako niz (||Tn||)n∈N nije ogranicen, tada postoji x∗ ∈ X,takav da je

lim supn→∞

||Tnx∗|| = +∞ .

Ovako iskazan teorem naziva se princip rezonancije.

3.3. O jos dva principa

86

Teorem 3.3.3. (Princip konvergencije)Neka je (Tn)n∈N niz ogranicenih linearnih operatora koji djeluju sa normi-ranog prostora X u Banachov prostor Y . Ako su zadovoljeni uslovi

1. (∃M > 0)(∀n ∈ N) ||Tn|| ≤ M .

2. Postoji limn→∞ Tnx, za sve x iz skupa koji je gust u nekoj kugli pros-tora X.

Tada postoji limn→∞ Tnx, za sve x ∈ X i sa

T0x = limn→∞

Tnx

je definisan ogranicen linearan operator T0, za koga vrijedi

||T0|| ≤ lim inf ||Tn|| .

Dokaz : Neka je S skup koji je gust u nekoj kugli B(x0, r), tako da postojilimn→∞ Tnx, za sve x ∈ S.Neka su sada x ∈ K(x0, r) i ε > 0 proizvoljni. Tada postoji y ∈ S, takav

da je ||x − y|| < ε4M . Osim toga, zbog konvergencije niza (Tny)n∈N, za svako

y ∈ S, postoji N ∈ N, tako da za proizvoljne n,m ≥ N , vrijedi

||Tny − Tmy|| <ε

2.

Na osnovu svega ovoga, za n,m ≥ N , sada imamo

||Tnx − Tmx|| = ||(Tnx − Tny) + (Tny − Tmy) + (Tmy − Tmx)||

≤ ||Tn(x − y)|| + ||Tny − Tmy|| + ||Tm(x − y)||

≤ ||Tn|| ||x − y|| + ||Tny − Tmy|| + ||Tm|| ||x − y||

≤ 2M ||x − y|| + ||Tny − Tmy||

< 2Mε

4M+

ε

2= ε .

Ovo znaci da je za proizvoljno x ∈ K(x0, r), niz (Tnx)n∈N Cauchyjev, a kakose on nalazi u Banachovom prostoru Y , on je i konvergentan, tj. postoji

limn→∞

Tnx , x ∈ K(x0, r) .

Neka je sada x ∈ X proizvoljan (x 6= 0). Tada je

x0 +r

||x||x ∈ K(x0, r) ,

pa postoji

limn→∞

Tn

(

x0 +r

||x||x

)

= limn→∞

(

Tnx0 + Tn

(r

||x||x

))

.

87


Zato sto x0 ∈ K(x0, r), postoji limn→∞ Tnx0, a to onda znaci da morapostojati i

limn→∞

Tn

(r

||x||x

)

,

tj. postojilim

n→∞Tnx .

Dakle, za svako x ∈ X, postoji limn→∞ Tnx. Definisimo onda

x ∈ X , T0x = limn→∞

Tnx .

Za proizvoljne x′, x′′ ∈ X i za proizvoljne α, β ∈ Φ, vrijedi

T0(αx′ + βx′′) = limn→∞

Tn(αx′ + βx′′)

= limn→∞

(αTnx′ + βTnx′′

)

= α limn→∞

Tnx′ + β limn→∞

Tnx′′

= αT0x′ + βT0x

′′ ,

te je T0 linearan operator.Za proizvoljno x ∈ X je

||T0x|| = limn→∞

||Tnx||

= lim infn→∞

||Tnx||

≤ lim infn→∞

(||Tn|| ||x||)

= (lim infn→∞

||Tn||) ||x|| .

Iz posljednjeg vidimo da je T0 ogranicen operator, i da pri tome vrijedi

||T0|| ≤ lim infn→∞

||Tn|| .

♣

Pretpostavka o ogranicenosti operatora, tj. ||T || < ∞ za T ∈ τ nijeobavezujuca da bi supremum normi takvih operatora bio konacan. Naprim-jer, neka je I identicno preslikavanje netrivijalnog normiranog prostora X.Posmatrajmo familiju τ = nI | n ∈ N. Jasno je da τ ⊂ L(X,X), aliocigledno je sup

n∈N

||nI|| = ∞. Naravno, konsekvenca ovoga je ta da je uslov

2. u Teoremu 3.3.3 zadovoljen na skupu D = 0 koji nije gust u X.Vidimo da je bitna pretpostavka u obje teoreme kompletnost prostora, i

to u principu uniformne ogranicenosti zahtjevamo da je domen X Banachovprostor, a u principu konvergencije zahtjevamo da je kodomen Y Bana-chov prostor. Ova dva stava kada ih objedinimo, daju poznati Banach-Steinhausov stav.

3.4. Zatvoreni operator

88

Teorem 3.3.4. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je (Tn)n∈N nizogranicenih linearnih operatora koji djeluju sa X u Y . Da bi niz (Tnx)n∈N

konvergirao ka Ax za svako x ∈ X, gdje je A : X → Y ogranicen linearanoperator, potrebno je i dovoljno da su zadovoljeni uslovi

1. Niz (||Tn||)n∈N je ogranicen.

2. Postoji limn→∞ Tnx na nekom svuda gustom skupu elemenata.

3.4 Zatvoreni operator

Neka su X i Y Banachovi prostori. Sa X × Y oznacavamo Descartesovprodukt skupova X i Y . Ako na X × Y uvedemo unutrasnju i spoljasnjukompoziciju na sljedeci nacin,

• (∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ X × Y ) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),

• (∀(x, y) ∈ X × Y )(∀λ ∈ Φ) λ(x, y) = (λx, λy),

lahko se provjerava da X × Y dobija strukturu vektorskog prostora.

Na X × Y mozemo definisati i normu na sljedeci nacin

||(x, y)|| = ||x|| + ||y|| , (x, y) ∈ X × Y ,

u odnosu na koju je X × Y Banachov prostor (pokazati ove dvije tvrdnje!).

Definicija 3.4.1. Neka je A : X → Y linearan operator. Skup

GA = (x,Ax)| x ∈ DA ⊆ X × Y ,

nazivamo grafom operatora A.

Definicija 3.4.2. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A : X → Ylinearan operator. Kazemo da je A zatvoren operator ako i samo ako je GA

zatvoren skup u X × Y .

U gornjoj definiciji pod zatvorenoscu skupa GA se podrazumijeva zatvorenostskupa u odnosu na jaku topologiju na X × Y , indukovanu definisanom nor-mom na tom prostoru.

Teorem 3.4.1. Linearan operator A koji slika Banachov prostor X u Ba-nachov prostor Y je zatvoren ako i samo ako iz

1. xn → x0 (n → ∞), (xn)n∈N ⊂ DA i

2. Axn → y0,

slijedi x0 ∈ DA i Ax0 = y0.

89


Dokaz : Dokaz ostavljen citaocu za vjezbu! ♣

Definicija 3.4.3. Neka su A,B : X → Y linearni operatori. Za operatorB kazemo da je prosirenje operatora A, u oznaci A ⊂ B, ako i samo ako jeGA ⊂ GB.

Za linearan operator A kazemo da dopusta zatvorenje ako postoji zatvorenoperator A1, takav da je A ⊂ A1. Operator A1 nazivamo zatvorenjemoperatora A. Ako za proizvoljno drugo zatvorenje A2 operatora A, vrijediA1 ⊂ A2, za A1 kazemo da je minimalno zatvorenje operatora A.

Teorem 3.4.2. Da bi linearan operator A : X → Y dopustao zatvorenjeneophodno je i dovoljno da zatvorenje GA grafika GA ne sadrzi elementeoblika (0, y) za y 6= 0.

Dokaz : Neka operator A dopusta zatvorenje i neka je A1 njegovo proizvoljnozatvorenje. To znaci da je GA ⊂ GA1

i GA1je zatvoren skup. Zbog toga je

onda GA ⊂ GA1= GA1

.Neka je sada (0, y) ∈ GA. Tada je (0, y) ∈ GA1

, te je 0 ∈ DA1i A10 = y.

Kako je A1 linearan operator to mora vrijediti A10 = 0, tj. y = 0, pa GA

ne sadrzi elemente oblika (0, y), gdje je y 6= 0.

Pretpostavimo sada da GA ne sadrzi elemente oblika (0, y), y 6= 0. Oznacimosa

DA =x ∈ X| (∃y ∈ Y ) (x, y) ∈ GA

.

Skup DA je linearan vektorski prostor. Zaista, GA je linearan jer je onzatvorenje linearnog prostora GA. Neka su sada x1, x2 ∈ DA. Tada postojey1, y2 ∈ Y , takvi da je (x1, y1), (x2, y2) ∈ GA. Zbog linearnosti GA, tada je

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ∈ GA ,

a ovo opet znaci da je x1 + x2 ∈ DA.Neka je x ∈ DA i λ ∈ Φ. Tada postoji y ∈ Y , takav da je (x, y) ∈ GA, teopet imamo da je

λ(x, y) = (λx, λy) ∈ GA .

Dakle, λx ∈ DA.Sada tvrdimo da za svako x ∈ DA postoji tacno jedno y ∈ Y , tako da je

(x, y) ∈ GA. Zaista, da bar jedan y postoji, imamo na osnovu definicijeskupa DA. Pretpostavimo da postoje dva, tj. (x, y), (x, y′) ∈ GA. Zboglinearnosti skupa GA, vrijedi

(x, y) − (x, y′) = (0, y − y′) ∈ GA ,

a zbog polazne pretpostavke zakljucujemo da mora biti y = y′.Za proizvoljan x ∈ DA, oznacimo sa y = Ax onaj postojeci jedinstveni

y ∈ Y . Na taj nacin smo definisali novo preslikavanje A, za koga je domen


90

ocigledno, upravo skup DA. Lahko se pokazuje da je A linearan operator,a takode i to da je graf GA operatora A, upravo GA. Onda je GA zatvorenskup, a time je A zatvoren operator. Kako je ocigledno GA ⊂ GA = GA,jasno je da je A zatvorenje operatora A.Sta vise, neka je A1 bilo koje zatvorenje operatora A, tj. GA ⊂ GA1

, ondaje

GA = GA ⊂ GA1= GA1

,

a ovo znaci da je A ⊂ A1, odnosno A je minimalno zatvorenje operatora A.♣

Gornji teorem se moze iskazati i u sljedecoj formi

Teorem 3.4.3. Da bi linearan operator A : X → Y dopustao zatvorenjepotrebno je i dovoljno da ako vrijedi xn → 0 (n → ∞ , xn ∈ DA) i Axn → y(n → ∞), onda mora biti y = 0.

Ovaj oblik teorema nam daje nacin kako cemo izvrsiti zatvaranje operatoraako je to moguce. Naime, ako je gornji uslov ispunjen, onda definisemooperator A tako da mu je domen skup DA, svih x ∈ X za koje postoji niz(xn)n∈N ⊂ DA, tako da vrijedi

xn → x , Axn → y , (n → ∞) ,

gdje je y ∈ Y , takav da je

Ax = y = limn→∞

Axn .

Naravno, ostaje da vidimo kakva je veza izmedu neprekidnosti i zatvorenostioperatora. U dosadasnjim izlaganjima uglavnom smo posmatrali neprekidneoperatore. Medutim, i najjednostavniji primjeri (u primjenama cesti) oper-atora nisu neprekidni.

Primjer 3.5. Neka je M ⊂ l, skup svih nizova iz l koji imaju samo konacnomnogo koordinata razlicitih od nula i neka je A : M → l, zadat sa

x = (x1, x2, ..., xn, 0, 0, ...) ∈ M , Ax = (0, x1, x2, ..., xn, 0, 0, ...) .

A je linearan operator za koga je za proizvoljno x ∈ M

||Ax|| =n∑

k=1

|xk| ≤∞∑

k=1

|xk| = ||x|| ,

tj. vrijedi ||A|| ≤ 1. Dakle, A je neprekidan operator.Medutim, posmatramo li niz (xn)n∈N ⊂ M , gdje je xn = (1

2 , 122 , ..., 1

2n , 0, ...)(n ∈ N), jasno je da xn → x0 = (1

2 , 122 , ..., 1

2n , ...) (n → ∞), ali x0 /∈ M , paA nije zatvoren operator. ♦

91


Gornji primjer nam pokazuje da neprekidnost linearnog operatora ne povlacinjegovu zatvorenost. Zato iskazimo sljedecu tvrdnju, ciji dokaz je ostavljencitaocu za vjezbu.

Teorem 3.4.4. Da bi neprekidan linearan operator bio zatvoren, potrebnoje i dovoljno da je on definisan na potprostoru Banachovog prostora.

I sljedeca jednostavna tvrdnja ostavljena je citaocu za vjezbu.

Teorem 3.4.5. Ako je linearan operator A zatvoren i ako postoji inverznioperator A−1, tada je i A−1 zatvoren operator.

Sljedeci primjer nam daje preslikavanje koje jeste zatvoreno ali nije neprekidno.

Primjer 3.6. Posmatrajmo operator ddx : C1[0, 1] → C[0, 1], zadat sa

d

dxf(x) = f ′(x) .

Za posmatrani operator diferenciranja se lahko pokazuje da je on linearanoperator. Medutim, ako posmatramo niz (fn(x))n∈N ⊂ C1[0, 1], gdje jefn(x) = xn, imamo

∣∣∣∣

∣∣∣∣

d

dxfn(x)

∣∣∣∣

∣∣∣∣=∣∣∣∣nxn−1

∣∣∣∣C[0,1]

= n , n ∈ N .

Iz ovoga je ocigledno da operator diferenciranja nije ogranicen operator.Neka je (gn(x))n∈N ⊂ C1[0, 1] proizvoljan niz, takav da

gn → g0 idgn

dx→ φ , n → ∞ ,

druga od ovih pretpostavki znaci da niz izvoda (g′n)n∈N uniformno konvergiraka funkciji φ (po metrici prostora C[0, 1]). Sada za proizvoljno x ∈ [0, 1]imamo

∫ x

0φ(t)dt =

∫ x

0lim

n→∞

dgn

dt(t)dt

= limn→∞

∫ x

0

dgn

dt(t)dt ( zbog uniformne konvergencije )

= limn→∞

(gn(x) − gn(0))

= g0(x) − g0(0) .

Dakle,

g0(x) = g0(0) +

∫ x

0φ(t)dt , x ∈ [0, 1] .

Funkcija φ ∈ C[0, 1] jer je ona kao granicna vrijednost uniformno konver-gentnog niza neprekidnih funkcija i sama neprekidna. To nam onda gornjajednakost daje da je g0 ∈ C1[0, 1], a osim toga jasno je da vrijedi dg0

dx = φna [0, 1]. Ostaje nam pozvati se na Teorem 3.4.1 i konstatovati zatvorenostoperatora. ♦


92

Sljedeci teorem nam govori pod kojim uslovima ce zatvoren operator bitiogranicen i poznat je pod nazivom Banachov teorem o zatvorenom grafiku.

Teorem 3.4.6. Neka je A zatvoren linearan operator koji preslikava Bana-chov prostor X u Banachov prostor Y . Ako je skup DA skup druge kategorijeu X, onda vrijedi DA = X i A je neprekidan operator.

Dokaz : Za proizvoljan n ∈ N, posmatrajmo skupove

Xn = x ∈ DA | ||Ax|| ≤ n ||x|| .

Jasno je da vrijedi

DA =⋃

n∈N

Xn .

Kako je po pretpostavci DA skup druge kategorije u X, postoji Xn0koji je

gust u nekoj kugli K(x0, r) (r > 0).Neka je sada K(x1, r1), takva da je K(x1, r1) ⊂ K(x0, r), pri cemu je x1 ∈Xn0

. Neka je ε > 0 proizvoljan (bez umanjenja opstosti pretpostavimo daje ε < r1

2 ). Ako je y ∈ X, takav da je ||y|| = r1, tada je y + x1 ∈ K(x1, r1).Kako je Xn0

gust u K(x1, r1), postoji z ∈ Xn0, takav da je ||x1 + y − z|| < ε.

S druge strane imamo

||z|| = ||(z − x1 − y) + (x1 + y)||

≤ ||z − x1 − y|| + ||x1 + y||

≤ ε + ||x1|| + ||y||

≤r1

2+ ||x1|| + r1

< 2r1 + ||x1|| .

Takode vrijedi

||z − x1|| = ||(z − x1 − y) + y||

≥ ||y|| − ||z − x1 − y||

> r1 − ε ≥r1

2.

Kako su x1, z ∈ Xn0⊂ DA, tada i z − x1 ∈ DA, pa vrijedi

||A(z − x1)|| ≤ ||Ax1|| + ||Az|| ≤ n0 ||x1|| + n0 ||z|| = n0(||x1|| + ||z||) .

Iz svega ovoga zakljucujemo

||A(z − x1)|| ≤ n0(||x1|| + ||z||)

≤ 2n0(r1 + ||x1||)

=2n0(r1 + ||x1||)

r1

2

r1

2

≤4n0(r1 + ||x1||)

r1||z − x1|| .

93


Oznacimo sa n1 prvi prirodan broj koji nije manji od 4n0(r+||x1||)r1

. Posljednjunejednakost onda zapisujemo sa

||A(z − x1)|| ≤ n1 ||z − x1|| ,

a ovo znaci da z−x1 ∈ Xn1. Dakle, pokazali smo da za svako y ∈ X, ||y|| =

r1, postoji element iz Xn1(to je upravo element z − x1), koji proizvoljno

dobro aproksimira element y.Ako je sada y ∈ K(0, r1), tj. neka je ||y|| ≤ r1, onda za element y1 = r1

||y||y,

vrijedi ||y1|| = r1, pa prema dokazanom, postoji z1 ∈ Xn1, takav da je za

proizvoljno ε > 0||y1 − z1|| < ε .

Ovo onda znaci∣∣∣∣

∣∣∣∣y −

||y||

r1z1

∣∣∣∣

∣∣∣∣<

||y||

r1ε ≤ ε (jer

||y||

r1≤ 1) ,

a zbog homogenosti skupova Xn (tj. ako x ∈ Xn, onda i λx ∈ Xn, za

proizvoljno λ ∈ Φ) onda imamo da je za z1 ∈ Xn1, element z = ||y||

r1z1 ∈

Xn1, pa zakljucujemo da proizvoljan y ∈ K(0, r1) mozemo proizvoljno dobro

aproksimirati elementom z ∈ Xn1odnosno, Xn1

je gust u kugli K(0, r1).Pokazimo sada da je K(0, r1) ⊂ DA. Zaista, neka je x ∈ K(0, r1) proizvol-

jan. Kako je Xn1gust u K(0, r1), postoji y1 ∈ Xn1

, takav da vrijedi

||x − y1|| <r1

2.

Ovo znaci da je x − y1 ∈ K(0, r1), pa opet postoji y2 ∈ Xn1, takav da je

||x − y1 − y2|| <r1

22.

Ako ovaj postupak produzimo, dobijamo niz (yk)k∈N ⊂ Xn1za koga je

||x − (y1 + y2 + · · · + yk)|| <r1

2k, k ∈ N .

Oznacimo sa zk = y1 + y2 + · · · + yk, k ∈ N. Kako yi ∈ Xn1⊂ DA (i ∈ N),

tada i zk ∈ DA, a osim toga vrijedi

zk → x , k → ∞ .

Takode imamo

||yk|| = ||(yk + yk−1 + · · · + y1 − x) + (x − y1 + y2 + · · · + yk−1)||

≤r1

2k+

r1

2k−1

<r1

2k−2.


94

Neka su sada m,n ∈ N, n > m proizvoljni. Tada imamo

||Azn − Azm|| = ||A(zn − zm)||

= ||A(yn + yn−1 + · · · + ym+1)||

≤ ||Ayn|| + ||Ayn−1|| + · · · + ||Aym+1||

≤ n1(||yn|| + ||yn−1|| + · · · + ||ym+1||)

< n1

( r1

2n−2+

r1

2n−3+ · · · +

r1

2m−1

)

=r1n1

2m−1

(

1 +1

2+ · · · +

1

2n−m−1

)

<r1n1

2m−1.

Iz gornjeg zakljucujemo da vrijedi

||Azn − Azm|| → 0 , n,m → ∞ ,

a ovo znaci da je (Azn)n∈N Cauchyjev niz u Y i zbog potpunosti prostora Y ,on je i konvergentan. Neka je granicna vrijednost tog niza element y. Tadaimamo za niz (zk)k∈N ⊂ DA

zk → x , k → ∞

Azk → y , k → ∞ ,

pa zbog zatvorenosti operatora zakljucujemo da x ∈ DA i Ax = y, tj.pokazali smo da je K(0, r1) ⊂ DA.Opet na osnovu homogenosti skupa imamo da je za proizvoljno n ∈ N,

skup nK(0, r1) ⊂ DA, a kako je

X =⋃

n∈N

nK(0, r1) ,

imamo da je X ⊆ DA, tj. mora vrijediti X = DA.Ostaje nam jos pokazati ogranicenost operatora A.

Vidjeli smo da za proizvoljno x ∈ K(0, r1), postoji niz (zk)k∈N, zk = y1 +y2 + · · · yk (yi ∈ Xn1

, i ∈ N, ||yk|| < r1

2k−2 ), koji konvergira ka x i za koga je

Ax = limn→∞

Azn .

Odavde je ||Ax|| ≤ limn→∞ ||Azn||, i pri tome je

||Azn|| ≤ n1(||y1|| + ||y2|| + · · · + ||yn||) < 4r1n1 .

Neka je sada x ∈ X proizvoljan. Tada r1

||x||x ∈ K(0, r1), pa je na osnovupokazanog zadovoljeno

∣∣∣∣

∣∣∣∣A

(r1

||x||x

)∣∣∣∣

∣∣∣∣< 4n1r1 ,

95


tj. vrijedi||Ax|| ≤ 4n1 ||x|| .

Ovo znaci da je operator A ogranicen, a time je teorem dokazan. ♣

Sljedeca tvrdnja je direktna posljedica gornje teoreme jer je X kao Bana-chov prostor, skup druge kategorije u sebi.

Posljedica 3.4.7. Ako je A zatvoren linearan operator definisan na cijelomBanachovom prostoru X, onda je A neprekidan operator.

Sljedecu tvrdnju necemo dokazivati ali se preporucuje citaocu da je anal-izom uporedi sa ranije spomenutom teoremom o otvorenom preslikavanjujer se u literaturi cesto i ovaj teorem naziva ”teorem o otvorenom preslika-vanju”.

Teorem 3.4.8. Neka je A zatvoren linearan operator koji slika Banachovprostor X u Banachov prostor Y . Neka je RA skup druge kategorije u Y ,onda vrijedi

1. RA = Y .

2. Postoji konstanta m > 0, takva da za svako y ∈ Y , postoji x ∈ X,takav da je Ax = y i ||y|| ≥ m ||x||.

3. Ako A−1 postoji, onda je i on ogranicen operator.

4

Linearni funkcionali

4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala . . . 97

4.2 Hahn-Banachov teorem . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.3 Reprezentacije ogranicenih linearnih funkcionala 108

4.3.1 Konacnodimenzionalni prostori . . . . . . . . . . . 108

4.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima . . . . . 110

4.4 Konjugovani prostori i refleksivnost . . . . . . . 125

4.5 Konjugovani operator . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.6 Spektar linearnog operatora . . . . . . . . . . . . 135

4.7 Kompaktni operatori . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Posmatrajuci operatore, mi smo ustvari posmatrali preslikavanja sa proizvo-ljnog protora X u proizvoljan prostor Y . Ukoliko prostor Y nije proizvoljan,preciznije, ukoliko je Y = R ili Y = C, onda takvim operatorima dajemoposeban naziv.Neka je X proizvoljan linearan prostor. Preslikavanje f : X −→ R (C) nazi-

vamo funkcional. Dakle, fukcionali su specijalni operatori, pa sve iskazanoo operatorima vrijedi i za funkcionale. Tako, za funkcional f : X −→ R (C)kazemo da je aditivan, ako za proizvoljne x, y ∈ X vrijedi

f(x + y) = f(x) + f(y) ,

a ako i za proizvoljan λ ∈ Φ vrijedi

f(λx) = λf(x) ,

kazemo da je funkcional homogen. Za homogen i aditivan funkcional jed-nostavno kazemo da je linearan funkcional.I normu funkcionala definisemo kao normu operatora, stim da normu u

kodomenu zamjenjujemo sa modulom, tj.

||f || = supx∈X\0

|f(x)|

||x||= sup

||x||≤1

|f(x)|

||x||= sup

||x||=1|f(x)| .

Neki primjeri funkcionala su:Neka je a = (a1, a2, ..., an) ∈ Rn proizvoljan. Tada je sa

f(x) =

n∑

i=1

aixi , x = (x1, x2, ..., xn) ,

96

97


definisan linearan funkcional f : Rn −→ R.Posmatramo li prostor C[a, b], tada je sa

f(x) =

∫ b

ax(t)dt ,

definisan linearan funkcional f : C[a, b] −→ R. Za fiksirano t0 ∈ [a, b], sa

g(x) = x(t0)

je takode definisan linearan funkcional na C[a, b].Na prostoru lp (1 ≤ p ≤ +∞) primjer linearnog funkcionala je

f(x) = xk , x = (x1, x2, ..., xk, ...) .

Skup svih linearnih neprekidnih funkcionala, definisanih na normiranom lin-earnom vektorskom prostoru X, oznacavamo sa X∗. Dake, saglasno odgo-varajucem skupu za operatore imamo X∗ = L(X,Φ). Na osnovu Teorema3.1.8, prostor X∗ je Banachov prostor jer je Φ takav, i nazivamo ga dualni,adjungovani ili konjugovani prostor prostora X.

4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala

Neka je f : X −→ R proizvoljan linearan funkcional na linearnom prostoruX. Posmatrajmo sve elemenata x ∈ X koji zadovoljavaju

f(x) = 0 .

Skup svih ovakvih x ∈ X nazivamo jezgro funkcionala f i oznacavamo ga sa

Ker(f) = x ∈ X| f(x) = 0 .

Jezgro funkcionala je vektorski potprostor prostora X. Zaista, za x, y ∈Ker(f) i za proizvoljne λ, µ ∈ Φ imamo

f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) = 0 .

Medutim, jezgro funkcionala ne mora biti potprostor prostora X, tj. on nijeobavezno zatvoren skup. Sta vise, vrijedi

Teorem 4.1.1. Neka je X normiran prostor i f linearan funkcional na X.f je ogranicen ako i samo ako je Ker(f) zatvoren skup.

Dokaz : Neka je f ogranicen, dakle neprekidan, funkcional i neka je (xn)n∈N ⊂Ker(f), takav da xn → x (n → ∞). Tada vrijedi

f(x) = f( limn→∞

xn) = limn→∞

f(xn) = 0 ,

4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala

98

tj. x ∈ Ker(f).Obratno, neka je Ker(f) zatvoren skup. Ako je Ker(f) = X, to znaci da

je f funkcional identicki jednak 0, a kao takav je i ogranicen. Pretpostavimozato da je Ker(f) 6= X, tj. postoji x0 ∈ X \ Ker(f). Zbog zatvorenostijezgra, postoji r > 0, takav da B(x0, r) ∩ Ker(f) = ∅. Ne umanjujuciopstost, neka je f(x0) = 1 (inace bi umjesto x0 posmatrali x0

f(x0)). Neka je

sada x ∈ X proizvoljan, takav da x /∈ Ker(f). Kako je f(x) 6= 0, onda je

−x

f(x)+ x0 ∈ Ker(f) ,

a to opet znaci da

−x

f(x)+ x0 /∈ B(x0, r) .

Ova cinjenica znaci da je∣∣∣∣

∣∣∣∣

(

−x

f(x)+ x0

)

− x0

∣∣∣∣

∣∣∣∣≥ r ,

tj.||x||

|f(x)|≥ r .

Odavde sada imamo da vrijedi

|f(x)| ≤1

r||x|| ,

za svako x /∈ Ker(f), a kako ova nejednakost vrijedi trivijalno i za elementejezgra, zakljucujemo da je f ogranicen funkcional. ♣

Posljedica 4.1.2. Neka je f linearan funkcional na normiranom prostoruX. f je neogranicen funkcional ako i samo ako Ker(f) je pravi podskup odX i svuda gust u X.

Lema 4.1.3. Neka je f proizvoljan netrivijalan linearan funkcional na lin-earnom vektorskom prostoru X. Kodimenzija potprostora Ker(f) jednakaje 1.

Dokaz : Neka je x0 ∈ X, takav da x0 /∈ Ker(f), tj. f(x0) 6= 0 (takavpostoji jer je f netrivijalan). Bez umanjenja opstosti, pretpostavimo da jef(x0) = 1 (u suprotnom bi posmatrali element x0

f(x0)). Za proizvoljan x ∈ X,oznacimo sa

y = x − f(x)x0 .

Kako je f(y) = f(x − f(x)x0) = f(x) − f(x)f(x0) = 0, jasno y ∈ Ker(f).Dakle, za proizvoljan x ∈ X imamo

x = αx0 + y , gdje je y ∈ Ker(f) .

99


Tvrdimo sada da je gornja reprezentacija elementa x jedinstvena. Zaista,ako bi bilo

x = α1x0 + y1 i x = α2x0 + y2 , y1, y2 ∈ Ker(f) ,

oduzimanjem ove dvije jednakosti bi dobili

(α1 − α2)x0 = y2 − y1 .

Ako je sada α1 = α2, moralo bi biti i y1 = y2. U suprotnom, ako bi biloα1 6= α2, tada bi onda imali

x0 =y2 − y1

α1 − α2∈ Ker(f) ,

a to protivrijeci izboru elementa x0. Dakle, reprezentacija je jedinstvena.Neka su sada x1, x2 ∈ X. Tada vrijedi

x1 = f(x1)x0 + y1 , y1 ∈ Ker(f) ,

x2 = f(x2)x0 + y2 , y2 ∈ Ker(f) .

Tada jex1 − x2 = (f(x1) − f(x2))x0 + (y1 − y2) .

Iz ovoga sada vidimo da ce x1 − x2 ∈ Ker(f) ako i samo ako je f(x1) −f(x2) = 0, tj. x1 i x2 pripadaju istoj klasi ekvivalencije kolicnickog prostoraX/Ker(f) ako i samo ako je f(x1) = f(x2).Oznacimo sa ξ0 onu klasu ekvivalencije koja sadrzi element x0. Ako je sada

ξ proizvoljna klasa ekvivalencije, ona je odredena bilo kojim svojim pred-stavnikom, a na osnovu gornjeg, za predstavnika mozemo izabrati upravoelemet αx0. Ovo opet znaci da vrijedi

ξ = αξ0 ,

za proizvoljnu klasu ekvivalencije, a to ne znaci nista drugo nego da jedimenzija kolicnickog prostora X/Ker(f) jednaka 1. ♣

Ukoliko dva funkcionala imaju ista jezgra, onda su oni proporcionalni. Za-ista, neka za linearne funkcionale f i g vrijedi Ker(f) = Ker(g). Neka jex0 takav da je f(x0) = 1. Tada na osnovu dokaza gornje leme imamo zaproizvoljno x

x = f(x)x0 + y , y ∈ Ker(f) = Ker(g) .

Djelujmo funkcionalom g na x, dobijamo

g(x) = f(x)g(x0) + g(y) = f(x)g(x0) .

Ako bi sada imali da je g(x0) = 0, to bi znacilo da je funkcional g identickijednak nuli, ali onda bi zbog jednakosti jezgara i funkcional f bio identickijednak nuli, sto nije moguce zbog izbora elementa x0. Dakle g(x0) 6= 0, a to

onda znaci g(x)f(x) = g(x0), za proizvoljno x.

4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala

100

Lema 4.1.4. Neka je X linearan vektorski prostor i L njegov potprostorkodimenzije 1. Tada postoji linearan funkcional na X, takav da je Ker(f) =L.

Dokaz : Kako je kodimenzija od L u X jednaka 1, to se svaki x ∈ X mozepredstaviti na jedinstven nacin u obliku

x = αx0 + y ; α ∈ Φ , x0 ∈ X , y ∈ L .

Definisimo sada funkcional f : X −→ R, sa f(x) = α. Jednostavno se sadapokazuje da vrijedi Ker(f) = L. ♣

Neka je L potprostor prostora X, kodimenzije 1. Tada L predstavlja hiper-povrs u prostoru X. Medutim, svaka klasa ekvivalencije iz X/L takodepredstavlja hiperpovrs datog prostora i to ”paralelnu” potprostoru L. Pritome pod ”paralelnoscu” ovdje podrazumijevamo da se svaka od tih klasamoze dobiti paralelnim pomjeranjem ili translacijom potprostora L za nekivektor x0 ∈ X,

ξ ∈ X/L , ξ = L + x0 = y| y = x + x0 , x ∈ L .

Ako je x0 ∈ L, tada je ξ = L, u suprotnom, jasno je da ako x0 /∈ L, da jeξ 6= L.

Lema 4.1.5. Neka je f proizvoljan netrivijalan linearan funkcional na X.Tada je skup

H = x ∈ X| f(x) = 1 ,

hiperpovrs u prostoru X, sta vise, paralelna je potprostoru Ker(f).

Dokaz : Kao sto smo vidjeli, Ker(f) zaista jeste potprostor od X i pri tomemu je kodimenzija 1, te je i hiperpovrs. Neka je sada y ∈ H proizvoljan, tj.f(y) = 1. Kako se svaki vektor x ∈ X moze predstaviti na jedinstven nacinsa

x = αx0 + y′ , α ∈ Φ , y′ ∈ Ker(f) ,

(za neko x0 ∈ X) to isto ce vrijediti i za element y, tj. postoje jedinstveniα′ ∈ Φ i y′ ∈ Ker(f), takvi da je y = α′x0 + y′. Kako je

f(y) = α′f(x0) + f(y′) = α′f(x0) = 1 ,

zakljucujemo da mora biti

α′ =1

f(x0),

a to daje da se proizvoljan vektor y ∈ H, moze predstaviti u obliku

y =x0

f(x0)+ y′ , y′ ∈ Ker(f) .

101


Ovo ne znaci nista drugo nego da je kodimenzija od H u X jednaka 1, tj. Hje hiperpovrs, a osim toga iz posljednje jednakosti zakljucujemo da vrijedi

H = Ker(f) +x0

f(x0).

♣

Sta vise, vrijedi i obrat ovog tvrdenja.

Lema 4.1.6. Neka je H proizvoljna hiperpovrs u prostoru X, paralelnapotprostoru L ⊂ X. Tada postoji jedinstven linearan funkcional f na X,takav da je

H = x ∈ X| f(x) = 1 .

Dokaz : Neka je za neko x0 ∈ X, M = L+x0. Tada se svaki vektor x ∈ Xmoze na jednoznacan nacin predstaviti u obliku

x = αx0 + y , y ∈ L .

Stavljajuci da je f(x) = α, dobijamo trazeni funkcional jer ce u tom slucajuhiperpovrs biti odredena sa f(x) = 1. Ako bi postojao i funkcional g na X,takav da je za x ∈ H, g(x) = 1, tada bi moralo biti g(y) = 0, za y ∈ L, a tobi zbog

g(αx0 + y) = α = f(αx0 + y) ,

znacilo poklapanje funkcionala. ♣

Sa ove dvije leme smo uspostavili obostrano jednoznacno pridruzivanjeizmedu svih hiperpovrsi posmatranog prostora X i na njemu definisanihfunkcionala, sa cime smo onda dobili i geometrijsku interpretaciju linearnihfunkcionala

4.2 Hahn-Banachov teorem

U svakom Banachovom prostoru preslikavanje identicki jednako nuli, pred-stavlja jedan ogranicen linearan funkcional. Postavlja se pitanje, da li pos-toje i drugi, netrivijalni funkcionali na proizvoljnom Banachovom prostoru?Ako postoje, mogu li im se unaprijed pripisati, i u kojoj mjeri, izvjesne os-obine? Specijalno, postoji li ogranicen linearan funkcional jednak nuli nanekom pravom potprostoru Banachovog prostora, a da pri tome ne iscezavana citavom prostoru? Na sva ova pitanja egzistencije, odgovor nam dajeHahn-Banachov teorem o produzenju linearnog ogranicenog funkcionala.Bez ovog teorema, danasnja funkcionalna analiza bi bila sasvim drugacija.Prve rezultate vezane za ovaj teorem dali su Riesz i Helly na samom pocetkudvadesetog vijeka, a Hahn i Banach ce ga 1920. godine postaviti i dokazatiu danasnjem obliku (za realan slucaj), neovisno jedan od drugog.

4.2. Hahn-Banachov teorem

102

Po svojoj eleganciji i jacini, Hahn-Banachov teorem je omiljen u matemati-ckim krugovima. Neki od ”nadimaka” ovog teorema su ”Analiticka formaaksioma izbora” i ”Krunski dragulj funkcionalne analize”. Neophodan jealat u funkcionalnoj analizi, ali i u drugim oblastima matematike, kao stosu teorija upravljanja, konveksno programiranje, teorija igara, neophodan jeu dokazu egzistencije Greenove funkcije, u formulaciji termodinamike i sl.

Teorem 4.2.1 (Hahn-Banachov teorem, realan slucaj). Neka je Xrealan Banachov prostor i neka je L lineal u X. Neka je na L definisanogranicen linearan funkcional f . Tada postoji ogranicen linearan funkcionalf∗, definisan na cijelom X, takav da vrijedi

• (∀x ∈ L) f∗(x) = f(x) i

• ||f∗|| = ||f ||.

Dokaz : Neka je na L definisan ogranicen linearan funkcional f . SlucajL = X je trivijalan, zato pretpostavimo da je L pravi potprostor od X.Tada postoji x0 ∈ X, takav da x0 /∈ L. Oznacimo sa L0 lineal generisanelementom x0, tj.

L0 = x ∈ X| x = λx0 , λ ∈ R .

Neka je sada L1 = L⊕L0, koji je zbog konacne dimenzije lineala L0, takodepotprostor od X. Pokazimo kao prvo da se nas funkcional moze produzitina L1, bez promjene norme.Zbog direktne sume, svaki se element x ∈ L1 moze na jedinstven nacin

zapisati u oblikux = l + λx0 , l ∈ L , λ ∈ R .

(Za svako x, λ i l su jedinstveno odredeni.)Ne gubeci na opstosti, pretpostavimo da je ||f || = 1. Tada za proizvoljne

x, y ∈ L imamo

f(x − y) ≤ |f(x − y)|

≤ ||f || ||x − y|| = ||x − y|| = ||x − x0 + x0 − y||

≤ ||x − x0|| + ||x0 − y|| .

Zbog linearnosti funkcionala, tj. f(x − y) = f(x) − f(y), iz gornjeg za-kljucujemo da vrijedi

f(x) − ||x − x0|| ≤ f(y) + ||x0 − y|| .

Odavde, uzimajuci prvo supremum lijeve strane, a onda infimum desne,dobijamo da vrijedi

sup f(x) − ||x − x0|| | x ∈ L ≤ inf f(y) + ||x0 − y|| | y ∈ L .

103


Zbog gustosti skupa R, postoji k ∈ R, takav da je

sup f(x) − ||x − x0|| | x ∈ L ≤ k ≤ inf f(y) + ||x0 − y|| | y ∈ L .

Definisimo sada funkcional f1 : L1 −→ R, na sljedeci nacin: za x = l+λx0 ∈L1, neka je po definiciji

f1(x) = f(l) + λ · k .

Za x′ = l′ + λ′x0 i x′′ = l′′ + λ′′x0 iz L1 i α, β ∈ R, vrijedi

f1(αx′ + βx′′) = f1((αl′ + βl′′) + (αλ′ + βλ′′)x0)

= f(αl′ + βl′′) + (αλ′ + βλ′′)k

= αf(l′) + βf(l′′) + αλ′x0 + βλ′′x0

= αf1(x′) + βf1(x

′′) ,

dakle, f1 je linearan funkcional. Osim toga, kako je L ⊂ L1, to za x ∈ Limamo da je x = x + 0 · x0, a time je

f1(x) = f(x) + 0 · k = f(x) ,

pa zakljucujemo da se funkcionali f i f1 poklapaju na L, tj. f1 je produzenjefunkcionala f .Ostaje nam jos pokazati da je pri tom produzenju ocuvana norma. Neka

je x ∈ L1 proizvoljan. Tada je za jedinstvene l ∈ L i λ ∈ R, x = l + λx0,i pri tome je f1(x) = f(l) + λk. Neka je sada λ > 0. Zbog nacina izborabroja k, vrijedi

f1(x) = f(l)+λk ≤ f(l)+λ(f(y)+ ||y−x0||) = f(l)+ f(λy)+ ||λy−λx0|| ,

za proizvoljno y ∈ L. Odaberimo y tako da vrijedi λy = −l. Tada imamo

f1(x) ≤ || − l − λx0|| = ||l + λx0|| = ||x|| . (4.1)

S druge strane, ponovo zbog izbora broja k vrijedi

f1(x) = f(l)+λk ≥ f(l)+λ(f(y)−||y−x0||) = f(l)+ f(λy)−||λy−λx0|| ,

za sve y ∈ L. Odaberimo opet da je λy = −l, dobijamo

f1(x) ≥ −|| − l − λx0|| = −||l + λx0|| = −||x|| . (4.2)

Iz (4.1) i (4.2) zakljucujemo da vrijedi

|f1(x)| ≤ ||x|| , za sve x ∈ L1 .

Sve gornje je pokazano za slucaj ako je λ > 0. Ako je λ < 0, tada biposmatrali −x = l′+λ′x0, gdje je λ′ = −λ, a l′ = −l, te bi prema dokazanomimali

|f1(x)| = |f1(−x)| ≤ || − x|| = ||x|| .


104

Ako je na kraju λ = 0, tada je x ∈ L, pa zbog poklapanja funkcionala vrijedi

|f1(x)| = |f(x)| ≤ ||f ||||x|| = ||x|| .

Iz svega recenog zakljucujemo da za svako x ∈ L1 vrijedi |f1(x)| ≤ ||x||, tj.

||f || ≤ 1 . (4.3)

S druge strane opet, zbog definicije norme funkcionala i osobina supremumaimamo

||f1|| = supx∈L1\0

|f1(x)|

||x||≥ sup

x∈L\0

|f1(x)|

||x||= sup

x∈L\0

|f(x)|

||x||= ||f || = 1 ,

tj. vrijedi||f1|| ≥ 1 . (4.4)

Iz (4.3) i (4.4) zakljucujemo da vrijedi

||f1|| = 1 ,

te smo dobili produzenje funkcionala bez promjene norme.Posmatrajmo sada familiju z, svih produzenja funkcionala f bez promjene

norme. Na osnovu gore pokazanog, z 6= ∅. U z uvedimo sljedecu relaciju,za f1, f2 ∈ z

f1 f2 ⇔ f2 je produzenje funkcionala f1.

Trivijalno se pokazuje da je sa uvedenom relacijom, z parcijalno uredenskup. Pokazimo sada da su u z ispunjeni uslovi za primjenu Zornove leme.Neka je z0 proizvoljan lanac u z (svi elementi u z0 su medusobno uporediviuvedenom relacijom). Oznacimo sa

L′ =⋃

i∈I

Li ,

gdje su Li (i ∈ I) lineali na kojima su definisani funkcionali fi ∈ z0 i kojipredstavljaju prosirenja lineala L. Kako je z0 lanac, to je za proizvoljnefi, fj ∈ z0 ili fi fj ili fj fi, a to onda znaci da za odgovarajuce linealevrijedi ili Li ⊆ Lj ili Lj ⊆ Li. Koristeci ovo, lahko dokazujemo da je L′

lineal u X i da je L ⊆ L′, a takode za svako i ∈ I je Li ⊆ L′.Definisimo sada funkcional f0 : L′ −→ R na sljedeci nacin: za proizvoljnox ∈ L′, postoji i ∈ I, takav da je x ∈ Li, i stavimo

f0(x) = fi(x) .

Neka je x ∈ L′ proizvoljan i neka je i ∈ I onaj za koga je x ∈ Li. Ako je Lj

neki drugi lineal koji sadrzi x, tada za odgovarajuce funkcionale vrijedi

fi fj ili fj fi .

105


Neka je recimo fi fj. Ovo onda znaci da je funkcional fj prosirenjefunkcionala fi, a onda se njihove vrijednosti poklapaju na Li, tj.

f0(x) = fi(x) = fj(x) ,

te vrijednost funkcionala f0 ne ovisi o tome koji od funkcionala biramo negosamo o x, pa je f0 dobro definisan funkcional.Ako su x, y ∈ L′ proizvoljni, tada postoje Li i Lj takvi da je x ∈ Li iy ∈ Lj, ali pri tome zbog uredenosti lanca, jos vrijedi npr. Li ⊆ Lj . Dakle,x, y ∈ Lj, a kako je on lineal, to mamo

f0(x + y) = fj(x + y) = fj(x) + fj(y) = f0(x) + f0(y) .

Na slican nacin se pokazuje da za proizvoljno λ ∈ R, vrijedi

f0(λx) = λf(x) .

Dakle, f0 je linearan funkcional.

Kako je za proizvoljan f ∈ z, ||f || = 1, tada je za proizvoljno x ∈ L′

|f0(x)| = |fi(x)| ≤ ||x|| ,

odnosno ||f0|| ≤ 1. S druge strane imamo

||f0|| = supx∈L′\0

|f0(x)|

||x||≥ sup

x∈Li\0

|f0(x)|

||x||= sup

x∈Li\0

|fi(x)|

||x||= ||fi|| ,

za proizvoljno i ∈ I, a to znaci ||f0|| ≥ 1. Dakle, vrijedi

||f0|| = 1 .

Iz svega navedenog zakljucujemo da je f0 prosirenje funkcionala f , bez prom-jene norme, ali takode i prosirenje svakog od funkcionala fi ∈ z0. Dakle,

(∀fi ∈ z0) fi f0 ,

a sto ne znaci nista drugo do da lanac z0 ima bar jedno gornje ogranicenje.Zbog proizvoljnosti lanca, a na osnovu Zornove leme, zakljucujemo da u z

postoji maksimalan element, oznacimo ga sa f∗. Kao prvo, imamo da jef∗ prosirenje funkcionala f , bez promjene norme, a kao drugo ostaje namvidjeti da je ovaj funkcional definisan na citavom X.Kad to ne bi bilo, tj. Df∗ ⊂ X, postojao bi z ∈ X, takav da z /∈ Df∗ .Tada bi funkcional f∗, na osnovu prvog dijela dokaza, mogli prosiriti bezpromjene norme na lineal

L∗1 = Df∗ ⊕ L1 ,


106

gdje je L1 = x ∈ X| x = λz , λ ∈ R. Medutim, ovo bi znacilo da f∗ nijemaksimalan element u z, pa prema tome ova mogucnost otpada, tj. moravrijediti

Df∗ = X ,

cime je teorem dokazan. ♣

Hahn-Banachov teorem je jedna ”ogromna” teorema, a to potvrduju imnoge posljedice, tj. tvrdnje koje se dokazuju koristeci ovaj teorem. Micemo ovdje navesti samo neke od njih.

Teorem 4.2.2. Neka je x0 proizvoljan nenula element prostora X. Tadana X postoji linearan funkcional f∗, takav da vrijedi

• ||f∗|| = 1.

• f∗(x0) = ||x0||.

Dokaz : Neka je 0 6= x0 ∈ X proizvoljan. Posmatrajmo lineal

L = x| x = λx0 , λ ∈ Φ .

Definisimo f : L −→ Φ, na sljedeci nacin, za x = λx0 ∈ L

f(x) = λ||x0|| .

Za x′, x′′ ∈ L i a, b ∈ Φ, imamo

f(ax′+bx′′) = f(aλ′x0+bλ′′x0) = f((aλ′+bλ′′)x0) = (aλ′+bλ′′)||x0|| = af(x′)+bf(x′′) ,

te je f linearan funkcional. Dalje imamo

||f || = supx∈L\0

|f(x)|

||x||= sup

λ∈Φ

|λ||x0|||

||λx0||= 1 .

Iz same definicije funkcionala vidimo da je zbog x0 = 1 · x0

f(x0) = ||x0|| .

Pozivajuci se sada na Hahn-Banachov teorem, dati funkcional f mozemoproduziti na citav prostor do funkcionala f∗, koji ima istu normu kao i f(tj. vrijedi prva osobina) i pri tome se poklapa sa funkcionalom f na L (tj.vrijedi druga trazena osobina). ♣

Teorem 4.2.3. Neka je X Banachov prostor i neka je L pravi potprostorod X. Neka je x0 ∈ X \ L. Tada postoji ogranicen linearan funkcional f∗

na X, takav da vrijedi

• ||f∗|| = 1.

107


• f∗(x0) = d = d(x0, L).

• (∀x ∈ L) f∗(x) = 0.

Dokaz : Neka je x0 ∈ X \ L. Posmatrajmo skup

L1 = x ∈ X| x = λx0 , λ ∈ Φ .

L1 je jednodimenzionalan potprostor od X, te je potprostor i

L′ = L ⊕ L1 ,

i pri tome se onda svaki x ∈ L′, na jednoznacan nacin moze zapisati u obliku

x = l + λx0 , l ∈ L , λ ∈ Φ .

Definisimo na L′ funkcional f0 sa

f0(x) = f0(l + λx0) = λd ,

gdje je d udaljenost elementa x0 od potprostora L, tj. d = d(x0, L). Ociglednoza x ∈ L vrijedi f0(x) = 0, a takode i f0(x0) = d. Izracunajmo normu ovogfunkcionala.

||f0|| = supx∈L′

|f0(x)|

||x||= sup

l∈L, λ∈Φ

|f0(l + λx0)|

||l + λx0||

= supl∈L, λ∈Φ

|λd|

||l + λx0||= sup

l∈L, λ∈Φ

d

||x0 + lλ ||

= d supl′∈L

1

||x0 + l′||=

d

inf l′∈L ||x0 + l′||

=d

d= 1 .

Ostaje nam samo primjeniti Hahn-Banachov teorem i utvrditi postojanjeovakvog funkcionala na citavom prostoru. ♣

Sljedeca posljedica cesto se naziva teorem o postojanju dovoljnog brojaneprekidnih funkcionala.

Teorem 4.2.4. Neka je X Banachov prostor i neka su x, y ∈ X. Ako zasvaki f ∈ X∗ vrijedi f(x) = f(y), tada je x = y.

Dokaz : Ako je x 6= y, onda je x − y 6= 0, pa na osnovu prve posljedice,postoji f ∈ X∗, takav da je f(x−y) = ||x−y||. Ovo znaci da je f(x) 6= f(y),pa kontrapozicijom imamo iskazanu tvrdnju. ♣

Ovaj teorem smo mogli iskazati i u ekvivalentnom obliku: Ako je f(x) = 0za sve f ∈ X∗, onda je x = 0.

4.3. Reprezentacije ogranicenih linearnih funkcionala

108

4.3 Reprezentacije ogranicenih linearnih funkcionala

4.3.1 Konacnodimenzionalni prostori

Teorem 4.3.1. Neka je X konacnodimenzionalan vektorski prostor dimenz-ije n nad poljem Φ. Neka je e1, e2, . . . , en baza od X i neka su a1, a2, . . . , an

proizvoljni elementi iz Φ. Tada postoji jedinstven linearan funkcional f :X −→ Φ takav da vrijedi

f(ei) = ai , (i = 1, 2, . . . , n) .

Dokaz : Neka je X konacnodimenzionalan vektorski prostor dimenzije n,nad poljem Φ i neka je e1, e2, . . . , en njegova baza. Svaki vektor x ∈ X najedinstven nacin se moze prikazati kao linearna kombinacija vektora baze

x =

n∑

i=1

ξiei .

Neka su ai (i = 1, 2, . . . , n), dati elementi iz Φ. Za proizvoljan vektor x =n∑

i=1

ξiei ∈ X, definisimo funkcional f : X −→ Φ sa

f(x) = ξ1a1 + ξ2a2 + . . . + ξnan .

Vektore baze prostora X mozemo prikazati kao uredene n-torke:

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0)

e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0)

e3 = (0, 0, 1, . . . , 0, 0)

...

en−1 = (0, 0, 0, . . . , 1, 0)

en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1) ,

pa je ocigledno f(ei) = ai za i = 1, 2, . . . , n.Dokazimo da je funkcional f linearan. Neka su λ, µ ∈ Φ proizvoljni i neka

su x, y ∈ X, sa reprezentacijama x =

n∑

i=1

ξiei i y =

n∑

i=1

ηiei. Tada je

f(x) = ξ1a1 + ξ2a2 + . . . + ξnan i f(y) = η1a1 + η2a2 + . . . + ηnan .

Kako je X linearan vektorski prostor, to je λx + µy ∈ X, pa je njegovareprezentacija

λx + µy = (λξ1 + µη1)e1 + (λξ2 + µη2)e2 + . . . + (λξn + µηn)en .

109


Na osnovu definicije funkcionala f je

f(λx + µy) = (λξ1 + µη1)a1 + (λξ2 + µη2)a2 + . . . + (λξn + µηn)an

= λ(ξ1a1 + ξ2a2 + . . . + ξnan) + µ(η1a1 + η2a2 + . . . + ηnan)

= λf(x) + µf(y) .

Dakle, definisani funkcional f je linearan.Ostaje da pokazemo jedinstvenost funkcionala f . Pretpostavimo da su f ig dva linearna funkcionala iz X∗, takva da je

f(ei) = ai i g(ei) = ai , i = 1, 2, ..., n .

Neka je x =n∑

i=1

ξiei proizvoljan vektor iz X. Zbog linearnosti funkcionala

f i g imamo

f(x) = f(ξ1e1 + ξ2e2 + . . . + ξnen)

= ξ1f(e1) + ξ2f(e2) + . . . + ξnf(en)

= ξ1a1 + ξ2a2 + . . . + ξnan

= ξ1g(e1) + ξ2g(e2) + . . . + ξng(en)

= g(ξ1e1 + ξ2e2 + . . . + ξnen)

= g(x) ,

a ovo znaci da su f i g jednaki funkcionali. ♣

Navedeni teorem nam ustvari govori da je reprezentacija linearnog funkcionalaf : X −→ Φ na konacnodimenzionalnom prostoru X data sa

f(x) =n∑

i=1

ξiai , (4.5)

gdje je x =n∑

i=1

ξ1ei ∈ X i a1, a2, . . . , an ∈ Φ

Reprezentacija linearnog funkcionala f na konacnodimenzionalnom vek-torskom prostoru se moze prikazati i u matricnom obliku. Neka je x ∈ Xproizvoljan vektor konacnodimenzionalnog prostora X. Prikazimo ga u ob-liku matrice formata ”n × 1”,

x =

ξ1

ξ2...

ξn

.

Sa ”a” oznacimo matricu vrstu ”1 × n”,

a = [a1 a2 . . . an] ,


110

gdje su a1, a2, . . . , an dati skalari iz Φ. Proizvod ovih matrica definise lin-earan funkcional na X, tj.

f(x) = [a1 a2 . . . an]

ξ1

ξ2...

ξn

, (4.6)

f(x) = a1ξ1 + a2ξ2 + . . . + anξn .

Primjer 4.1. Preslikavanje f : R3 −→ R, zadato sa f(x) = 2ξ1 − ξ2 + 4ξ3, jelinearan funkcional.

Neka su x =

3∑

i=1

ξiei i y =

3∑

i=1

ηiei dva proizvoljna vektora iz R3. Tada je,

prema definiciji preslikavanja f ,

f(x) = 2ξ1 − ξ2 + 4ξ3 ,

f(y) = 2η1 − η2 + 4η3 .

Sa e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) oznacimo vektore baze prostoraR3. Odavde, na osnovu Teorema 4.3.1, vidimo da je f(e1) = 2, f(e2) =−1, f(e3) = 4.Neka su λ, µ ∈ R proizvoljni. Tada je

λx + µy = λξ1e1 + λξ2e2 + λξ3e3 + µη1e1 + µη2e2 + µη3e3

= (λξ1 + µη1)e1 + (λξ2 + µη2)e2 + (λξ3 + µη3)e3 ,

pa je

f(λx + µy) = f ((λξ1 + µη1)e1 + (λξ2 + µη2)e2 + (λξ3 + µη3)e3)

= (λξ1 + µη1)f(e1) + (λξ2 + µη2)f(e2) + (λξ3 + µη3)f(e3)

= 2(λξ1 + µη1) − (λξ2 + µη2) + 4(λξ3 + µη3)

= λ(2ξ1 − ξ2 + 4ξ3) + µ(2η1 − η2 + 4η3)

= λf(x) + µf(y) .

Kako ovo vrijedi za proizvoljne vektore x, y ∈ R3 i proizvoljne skalare λ, µ ∈R, zakljucujemo da je dato preslikavanje f linearan funkcional na R3 . ♦

4.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima

Teorem 4.3.2. Ogranicen linearan funkcional f na prostoru `p, (1 < p <+∞) ima reprezentaciju

f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi ,

111


gdje je x = (ξi)i∈N ∈ `p, y = (ηi)i∈N ∈ `q,(

1p + 1

q = 1)

, pri cemu je ‖f‖ =

‖y‖`q. Funkcionalom f na `p, tacka y ∈ `q je jednoznacno odredena.

Dokaz : Neka je 1 < p < +∞. Za proizvoljan x = (ξi)i∈N ∈ `p, vrijedi

∑

i∈N

|ξi|p < +∞ i norma u `p je definisana sa ‖x‖ =

(∞∑

i=1

|ξi|p

) 1

p

.

Za x = (ξi)i∈N ∈ lp i y = (ηi)i∈N ∈ lq (1p + 1

q = 1 i 1 < p < ∞), izraz

∞∑

i=1

ξiηi

uvijek ima smisla jer na osnovu Holderove nejednakosti vrijedi

∞∑

i=1

ξiηi ≤

(∞∑

i=1

|ξi|p

) 1

p(

∞∑

i=1

|ηi|q

) 1

q

= ||x||lp ||y||lq < +∞ .

Posmatrano kao funkcija od x ∈ lp, on definise funkcional f na lp, cija selinearnost jednostavno pokazuje, a ogranicenost slijedi iz

|f(x)| ≤ ||y||lq ||x||lp .

Pokazimo i obrat, tj. da svaki ogranicen linearan funkcional na lp imanavedenu formu sa datim osobinama. Sa en oznacimo niz ciji su svi clanovi,izuzev n-tog jednaki nuli, a n-ti clan je jednak 1, tj.

en = (0, 0, 0, . . . , 1︸︷︷︸

n−clanova

, 0, . . .) (n ∈ N) .

Ocigledno je en ∈ `p i pri tome vrijedi ‖en‖ = 1 (n ∈ N). Sada za x =(ξi)i∈N ∈ `p i proizvoljno n ∈ N imamo da je

n∑

i=1

ξiei = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, 0, 0 . . .) ,

pa je

x −

n∑

i=1

ξiei = (0, 0, 0, . . . , 0, ξn+1, ξn+2, . . .) .

Odavde je∥∥∥∥∥x −

n∑

i=1

ξiei

∥∥∥∥∥

=

(∞∑

i=n+1

|ξi|p

) 1

p

,

i pustajuci da n → +∞, imamo

∞∑

i=n+1

|ξi|p → 0, tj. ‖x −

n∑

i=1

ξiei‖ → 0.

Dakle, red

∞∑

i=1

ξiei je konvergentan u `p i vrijedi x =

∞∑

i=1

ξiei.


112

Neka je f ogranicen linearan funkcional na `p. Funkcional f je neprekidan,pa iz konvergencije

n∑

i=1

ξiei −→ x, (n → ∞) ,

slijedi

f

(n∑

i=1

ξiei

)

−→ f(x), (n → ∞) .

Koristeci linearnost funkcionala f tada je

f

(n∑

i=1

ξiei

)

=

n∑

i=1

ξif(ei) ,

tj.n∑

i=1

ξif(ei) −→ f(x) (n → ∞) .

Dakle, red∞∑

i=1

ξif(ei) konvergira i suma mu je jednaka f(x):

f(x) =

∞∑

i=1

ξif(ei) . (4.7)

Zbog proizvoljnosti elementa x ∈ `p, zakljucujemo da (4.7) vrijedi za svex ∈ `p. Oznacimo sa ηi = f(ei) (i ∈ N), imat cemo da je

f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi , (4.8)

sto je ustvari reprezentacija proizvoljnog funkcionala f ∈ `∗p. Na ovaj nacinsmo proizvoljnom funkcionalu f ∈ `∗p pridruzili niz y = (ηi)i∈N, gdje jeηi = f(ei), za i ∈ N. Iz ogranicenosti funkcionala f imamo

|f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖`p. (4.9)

Pokazimo sada da je y ∈ `q, gdje je1

p+

1

q= 1.

Posmatrajmo proizvoljno ali fiksirano k ∈ N i stavimo da je

xk = (ξi)i∈N , ξi =

|ηi|

q−1 sgn(ηi), i = 1, 2, . . . , k0, i > k

, (4.10)

Pri ovakovom izboru vektora imamo

f(xk) =

n∑

i=1

ξiηi =

n∑

i=1

|ηi|q−1 sgn(ηi) · |ηi| sgn(ηi) =

n∑

i=1

|ηi|q .

113


Iz (4.9), (4.10) i konjugovanosti brojeva p i q imamo da je

n∑

i=1

|ηi|q ≤ ‖f‖

(n∑

i=1

∣∣∣|ηi|

q−1 sgn(ηi)∣∣∣

p) 1

p

= ‖f‖

(n∑

i=1

|ηi|pq−p

) 1

p

,

tj.n∑

i=1

|ηi|q ≤ ‖f‖

(n∑

i=1

|ηi|q

)1− 1

q

. (4.11)

Mnozenjem izraza (4.11) sa

(n∑

i=1

|ηi|q

) 1

q−1

dobijamo da je

(n∑

i=1

|ηi|q

)1

q

≤ ‖f‖ < +∞ .

Na ovaj nacin smo pokazali da je niz parcijalnih suma

(n∑

i=1

|ηi|q

)

n∈N

poz-

itivnog reda∞∑

i=1

|ηi|q ogranicen odozgo brojem ‖f‖q, pa je taj red konver-

gentan i vrijedi∞∑

i=1

|ηi|q ≤ ‖f‖q < +∞ .

Ovim smo pokazali da je niz y = (ηi)i∈N ∈ `q i da je

(∞∑

i=1

|ηi|q

) 1

q

≤ ‖f‖ ,

tj.‖y‖ ≤ ‖f‖ . (4.12)

Iz reprezentacije funkcionala f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi, imamo da je

|f(x)| =

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

ξiηi

∣∣∣∣∣≤

∞∑

i=1

|ξi| |ηi| .

Na osnovu Holderove nejednakosti imamo da je za svaki x ∈ `p

|f(x)| ≤

(∞∑

i=1

|ξi|p

) 1

p

·

(∞∑

i=1

|ηi|q

) 1

q

,


114

pri cemu je1

p+

1

q= 1.

Znaci|f(x)| ≤ ‖x‖‖y‖, (∀x ∈ `p) .

Iz ovoga dalje imamo

|f(x)|

‖x‖≤ ‖y‖, (∀x ∈ `p, ‖x‖ 6= 0) ,

pa je

‖f‖ = supx∈`p,‖x‖6=0

|f(x)|

‖x‖≤ ‖y‖ ,

tj.‖f‖ ≤ ‖y‖ . (4.13)

Iz (4.12) i (4.13) zakljucujemo da je ‖f‖ = ‖y‖.Pokazimo jos da je funkcionalom f ∈ `∗p element y ∈ `q jednoznacno

odreden. Pretpostavimo suprotno, tj. pretpostavimo da postoji jos jednatacka y′ = (η′i)i∈N ∈ `q razlicita od y odredena funkcionalom f . To znaci daje

f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi =

∞∑

i=1

ξiη′i (∀x ∈ `p) ,

pa za x = en imamo f(en) = ηn = η′n, za svako n ∈ N, tj. y = y′, sto jesuprotno pretpostavci da je y 6= y′.Dakle, funkcionalom f ∈ `∗p element y ∈ `q je jednoznacno odreden. ♣

Teorem 4.3.3. Ogranicen linearan funkcional f na prostoru `1 ima reprezentaciju

f(x) =∞∑

i=1

ξiηi ,

gdje je x = (ξi)i∈N ∈ `1, y = (ηi)i∈N ∈ `∞ i pri tome je ‖f‖ = ‖y‖.Funkcionalom f ∈ `∗1 jednoznacno je odreden element y ∈ `∞.

Dokaz : Neka je x = (ξi)i∈N ∈ `1 proizvoljan. Tada je

∞∑

i=1

|ξi| < +∞ i

‖x‖ =

∞∑

i=1

|ξi|.

Za x = (ξi)i∈N ∈ l1 i y = (ηi)i∈N ∈ l∞, izraz

∞∑

i=1

ξiηi uvijek ima smisla jer

vrijedi∞∑

i=1

|ξiηi| ≤ supi∈N

|ηi|

∞∑

i=1

|ξi| = ||y||l∞ ||x||l1 < +∞ .

115


Kao funkcija od x ∈ l1, ovo je ocigledno jedan linearan funkcional na l1, azbog posljednje nejednakosti, tj.

|f(x)| ≤ ||y||l∞ ||x||l1 ,

on je i ogranicen.Pokazimo i obrat. Posmatrajmo vektore (ei)i∈N ⊂ l1 (vektori standardne

baze). Za x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, ξn+1, . . .) ∈ `1 i fiksno n ∈ N, imamo da je

n∑

i=1

ξiei = (ξ1, ξ2, . . . , ξn, 0, 0, . . .) ,

pa je

x −n∑

i=1

ξiei = (0, 0, . . . , 0, ξn+1, ξn+2, . . .) ,

odnosno ∥∥∥∥∥x −

n∑

i=1

ξiei

∥∥∥∥∥

=

∞∑

i=n+1

|ξi| .

Pustimo li da n → ∞, to ce∞∑

i=n+1

|ξi| → 0, tj.

∥∥∥∥∥x −

n∑

i=1

ξiei

∥∥∥∥∥−→ 0 .

Znaci, red∞∑

i=1

ξiei je konvergentan u `1 i vrijedi

x =

∞∑

i=1

ξiei .

Neka je f linearan ogranicen funkcional na `1, tj. f ∈ `∗1. Na osnovuneprekidnosti funkcionala f imamo da konvergencija

n∑

i=1

ξiei −→ x, (n → ∞) ,

povlaci konvergenciju

f

(n∑

i=1

ξiei

)

−→ f(x), (n → ∞) .

Koristeci linearnost funkcionala f , dalje je za fiksno n ∈ N

f

(n∑

i=1

ξiei

)

=

n∑

i=1

ξif(ei) .


116

Pustimo li da n → ∞ imat cemo da je

f(x) =

∞∑

i=1

ξif(ei) .

Uvedimo oznaku ηi = f(ei) za i ∈ N. Tada proizvoljan funkcional f ∈ `∗1ima oblik

f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi, (4.14)

sto je ustvari reprezentacija funkcionala f na l1.Posmatrajmo sada tacku y = (ηi)i∈N, gdje je ηi = f(ei),za svaki i ∈ N.

Pokazimo da y ∈ `∞, tj. da je y element prostora svih ogranicenih nizova`∞.U tom cilju, posmatrajmo niz tacaka xn = (ξn

i )i∈N ∈ `1, (n ∈ N), gdje je

ξni =

sgn(ηn), i = n

0, i 6= n.

Za niz tacaka xn, (n ∈ N) imamo da je ‖xn‖ = 1 i f(xn) = sgn(ηn) ·ηn = |ηn|Koristeci sada ogranicenost funkcionala f , imamo da je za svaki n ∈ N

|f(xn)| ≤ ‖f‖ · ‖xn‖ ,

|ηn| ≤ ‖f‖ < +∞, (∀n ∈ N) .

Time je isupn∈N

|ηn| ≤ ‖f‖ < +∞ .

Odavde najprije slijedi da je y = (ηn)n∈N ∈ `∞, te

‖y‖`∞ ≤ ‖f‖ . (4.15)

Iz ogranicenosti funkcionala f , za svaki x ∈ `1 imamo:

|f(x)| =

∣∣∣∣∣

n∑

i=1

ξiηi

∣∣∣∣∣≤

n∑

i=1

|ξi| |ηi| ≤ supn∈N

|ηi|

∞∑

i=1

|ξi| = ‖y‖`∞‖x‖`1 ,

pa slijedi da je

‖f‖ ≤ ‖y‖`∞ . (4.16)

Sada iz (4.15) i (4.16) zakljucujemo da je

‖f‖ = ‖y‖`∞ .

Pokazimo jos jedinstvenost tacke y ∈ `∞. Pretpostavimo suprotno, tj.

pretpostavimo da postoje dvije razlicite tacke y1 = (η(1)i )i∈N i y2 = (η

(2)i )i∈N

117


iz `∞ takve da je za proizvoljno x = (ξi)i∈N ∈ `1 funkcional f ∈ `∗1 imareprezentaciju

f(x) =

∞∑

i=1

ξiη(1)i =

∞∑

i=1

ξiη(2)i .

Tada bismo za x = en imali

f(en) = η(1)n = η(2)

n , (∀n ∈ N) ,

tj. y1 je jednako y2 po svim koordinatama, sto je suprotno pretpostavci daje y1 6= y2. Dakle, funkcionalu f ∈ `∗1 jednoznacno je pridruzen elementy ∈ `∞. ♣

Teorem 4.3.4. Ogranicen linearan funkcional f na prostoru c0 ima reprezentaciju

f(x) =∞∑

i=1

ηiξi ,

gdje je y = (ηi)i∈N ∈ `1 i ‖f‖ = ‖y‖.Funkcionalom f ∈ c∗0 tacka y ∈ `1 jednoznacno je odredena.

Dokaz : Neka je x = (ξi)i∈N ∈ c0 i y = (ηi)i∈N ∈ `1. Tada izraz∞∑

i=1

ξiηi

ima smisla, jer je

∞∑

i=1


|ξi| ·

∞∑

i=1

|ηi| = ‖x‖c0 · ‖y‖` < +∞ .

Posmatran kao funkcija od x ∈ c0, izraz

∞∑

i=1

ξiηi definise jedan funkcional f

na c0, tj.

f(x) =

∞∑

i=1

ξiηi .

Pokazimo njegovu linearnost. Neka su x1, x2 ∈ c0 i α, β ∈ R (ili C) proizvoljni.Posmatrajmo

f(αx1 + βx2) =∞∑

i=1

(

αξ(1)i + βξ

(2)i

)

ηi .

Kako su α, β, ξi, ηi ∈ R (ili C), za svaki i ∈ N to vrijedi zakon distribu-


118

tivnosti, pa je

f(αx1 + βx2) =∞∑

i=1

(

αξ(1)i ηi + βξ

(2)i ηi

)

=

∞∑

i=1

αξ(1)i ηi +

∞∑

i=1

βξ(2)i ηi

= α

∞∑

i=1

ξ(1)i ηi + β

∞∑

i=1

ξ(2)i ηi

= αf(x1) + βf(x2) .

Znaci, funkcional f je linearan za proizvoljne x1, x2 ∈ c0, pa je, zbog njihoveproizvoljnosti linearan na cijelom prostoru c0.

Pokazimo sada ogranicenost funkcionala f na c0. Posmatrajmo

|f(x)| =

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

ξiηi

∣∣∣∣∣≤

∞∑

i=1


|ξi|

∞∑

i=1

|ηi| ,

|f(x)| ≤ ‖x‖c0‖y‖` < +∞ .

Kako je |f(x)| ≤ ‖f‖‖x‖ za svaki x ∈ c0 i na osnovu pokazanog |f(x)| < +∞,imamo da je

‖f‖ ≤ ‖y‖` . (4.17)

Dakle, pokazali smo da za svaki x ∈ c0 i y ∈ ` izraz f(x) =∞∑

i=1

ξiηi pred-

stavlja linearan ogranicen funkcional f na c0.

Obrnuto, pretpostavimo da je f proizvoljan ogranicen linearan funkcionalna c0. Tada je sa

x =∞∑

i=1

ξiei ,

dat jedinstven prikaz elementa x ∈ c0, gdje su en (n ∈ N) standardni vektori

baze. Za fiksno n ∈ N oznacimo xn =n∑

i=1

ξiei i posmatrajmo izraz

x −n∑

i=1

ξiei =∞∑

i=n+1

ξiei .

Tada je∥∥∥∥∥x −

n∑

i=1

ξiei

∥∥∥∥∥

=

∥∥∥∥∥

∞∑

i=n+1

ξiei

∥∥∥∥∥

= supi>n

|ξi| .

119


Pustimo li da n → ∞ to ce supi>n

|ξi| −→ 0 tj. xn −→ x. Zbog neprekidnosti

funkcionala f imamo da f(xn) −→ f(x) kada n → ∞, tj.

f(x) = f

(∞∑

i=1

ξiei

)

,

a zbog linearnosti

f(x) =

∞∑

i=1

ξif(ei) .

Stavimo li da je ηi = f(ei), za svaki i ∈ N, dobijamo da je

f(x) =∞∑

i=1

ξiηi ,

sto je ustvari reprezentacija funkcionala f na c0. Na ovaj nacin smo proizvoljnomfunkcionalu f ∈ c∗0 pridruzili element

y = (η1, η2, . . . , ηi, . . .) , ηi = f(ei) , (i ∈ N) .

Pokazimo sada da je y ∈ `. Posmatrajmo

|f(x)| =

∣∣∣∣∣

∞∑

i=1

ξiηi

∣∣∣∣∣≤

∞∑

i=1

|ξi| |ηi| ≤ supi∈N

|ξi|

∞∑

i=1

|ηi| .

Kako je x ∈ c0, to je ‖x‖c0 = supi∈N

|ξi|, pa imamo da je

|f(x)| ≤∞∑

i=1

|ηi| ‖x‖c0 .

Posmatrajmo niz tacaka xn = (ξni )i∈N ∈ c0 takav da je

ξni =

sgn(ηi), i ≤ n

0 i > n, (n ∈ N) .

Odavde je ocigledno ‖xn‖ = sup0<i≤n

|ξi| = 1, pa je

f(xn) =n∑

i=1

sgn(ηi) · ηi =n∑

i=1

|ηi| , (∀n ∈ N) .

Kako je f ogranicen, to je |f(xn)| =

n∑

i=1

|ηi| < +∞ za svako n ∈ N, pa je i

∞∑

i=1

|ηi| < +∞, sto znaci da je y = (ηi)i∈N ∈ `1, tj. ‖y‖`1 =

∞∑

i=1

|ηi|. Sada


120

imamo da je za svaki x ∈ c0, |f(x)| ≤ ‖y‖`‖x‖c0 , tj.

|f(xn)| =

n∑

i=1

|ηi| ≤ ‖f‖ · ‖xn‖ = ‖f‖ · 1 ,

odnosnon∑

i=1

|ηi| ≤ ‖f‖ .

Pustajuci n → ∞ imamo da je

∞∑

i=1

|ηi| ≤ ‖f‖, sto je ekvivalentno sa

‖y‖`1 ≤ ‖f‖ . (4.18)

Iz (4.17) i (4.18) zakljucujemo da je

‖f‖ = ‖y‖.

Ostaje jos da pokazemo jedinstvenost elementa y ∈ `1. Pretpostavimo

suprotno, tj. pretpostavimo da postje dva razlicita elementa y1 = (η(1)i ) i

y2 = (η(2)i ) iz `1 za koje proizvoljan funkcional f na c0 ima reprezentaciju

f(x) =∞∑

i=1

ξiη(1)i =

∞∑

i=1

ξiη(2)i .

Ako uzmemo da je x = ei imat cemo da je za svako i ∈ N f(ei) = η(1)i = η

(2)i ,

pa su y1 i y2 jednaki po svim koordinatama, sto je suprotno pretpostavci.Znaci, funkcionalom f ∈ c∗0 element y ∈ `1 je jednoznacno odreden. ♣

Teorem 4.3.5. Ogranicen linearan funkcional f na C[a, b] ima reprezentaciju

f(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) ,

gdje je x(t) ∈ C[a, b], g(t) funkcija ogranicene varijacije na [a, b] koja seanulira u tacki t = a i pri tome je

‖f‖ = V ba (g) .

Primjedba 4.3.1. Funkcional f na C[a, b] ne odreduje jednoznacno funkcijuogranicene varijacije g.

Dokaz : Bez umanjenja opstosti, posmatrajmo prostor C[0, 1]. Neka je g(t)funkcija ogranicene varijacije na [0, 1]. Tada postoji Riemann-Stieltjesov

121


integral

∫ 1

0xdg, za svaku neprekidnu funkciju x, pa ima smisla posmatrati

funkcional f definisan sa

f(x) =

∫ 1

0x(t)dg(t) .

Njegova linearnost je ocigledna, a ogranicenost se ima na osnovu sljedeceg.

|f(x)| =

∣∣∣∣

∫ 1

0x(t)dg(t)

∣∣∣∣≤

∫ 1

0|x(t)| dg(t) ≤ max

0≤t≤1|x(t)|

∫ 1

0dg(t)

= V 10 (g) · ‖x‖ < +∞ .

Znaci, funkcional f je i ogranicen. Odavde slijedi i da je

‖f‖ ≤ V 10 (g) . (4.19)

Obrnuto, pretpostavimo da je f proizvoljan linearan, ogranicen funkcionalna C[0, 1]. Pokazimo da postoji funkcija g ∈ V [0, 1] sa g(0) = 0, tako da je

f(x) =

∫ 1

0x(t)dg(t).

Kako je svaka neprekidna funkcija i bitno ogranicena, tj.

x ∈ C[0, 1] =⇒ x ∈ M [0, 1] ,

i kako su norme iste ‖x‖C[0,1] = ‖x‖M [0,1], to mozemo prostor C[0, 1] posma-trati kao potprostor prostora M [0, 1]. Na osnovu Hahn-Banachove teoreme,na M postoji ogranicen linearan funkcional f∗ takav da je:

1. f∗(x) = f(x) za x ∈ C[0, 1],

2. ‖f∗‖M = ‖f‖C .

Neka je 0 < t ≤ 1. Stavimo da je

yt = yt(u) =

1, 0 ≤ u < t0, t < u ≤ 1

.

Kolekcija funkcija yt | t ∈ [0, 1] lezi u M [0, 1]. Pomocu ovako uvedenekolekcije i funkcionala f∗ definisimo funkciju

g(t) =

f∗(yt), 0 < t ≤ 1

0, t = 0.

Iz same definicije funkcije g vidimo da je g(0) = 0. Pokazimo da je g funkcijaogranicene varijacije na [0, 1]. Posmatrajmo podjelu segmenta [0, 1]

π : 0 = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = 1,


122

i stavimo

εk = sgn [g(tk) − g(tk−1)] , k = 1, 2, . . . , n .

Tada je

n∑

k=1

|g(tk) − g(tk−1)| =

n∑

k=1

[(g(tk) − g(tk−1)] · εk

= [g(t1) − g(t0)] ε1 +

n∑

k=2

[(g(tk) − g(tk−1)] · εk

= f∗(yt1) · ε1 +

n∑

k=2

[f∗(ytk) − f∗(ytk−1

)]· εk

= f∗

(

yt1ε1 +n∑

k=2

(ytk − ytk−1)εk

)

≤ ‖f∗‖ · ‖yt1ε1 +n∑

k=2

(ytk − ytk−1)εk‖ .

Kako su ytk ∈ M [0, 1], za svako k = 1, 2, . . . , n, to je yt1ε1+

n∑

k=2

∣∣ytk − ytk−1

∣∣ εk

vektor iz M [0, 1], pa je njegova norma:

‖yt1ε1+

n∑

k=2

(ytk−ytk−1)εk‖ = sup

0≤u≤1ess

∣∣∣∣∣ε1yt1(u) +

n∑

k=2

[ytk(u) − ytk−1

(u)]εk

∣∣∣∣∣

.

Da bismo izracunali ovu normu, posmatrajmo u na podsegmentima [t0, t1], [t1, t2],. . . , [tn−1, tn]. Kako je

y1(u) =

1, za u ∈ [0, t1]0, za u /∈ [0, t1]

,

i

ytk(u) − ytk−1(u) =

1, za u ∈ [tk−1, tk]0, za u /∈ [tk−1, tk]

, k = 2, 3, . . . , n ,

to za svako u ∈ [0, 1] imamo da je

∣∣∣∣∣ε1yt1(u) +

n∑

k=2

[ytk(u) − ytk−1

(u)]εk

∣∣∣∣∣≤ 1 .

Znaci

‖yt1ε1 +n∑

k=2

[ytk(u) − ytk−1

(u)]εk‖ ≤ 1, (∀n ∈ N) .

123


Pustimo li n → ∞, imat cemo:

V ba (g) =

∞∑

k=1

|g(tk) − g(tk−1)| ,

i

‖yt1ε1 +

∞∑

k=2

[ytk(u) − ytk−1

(u)]εk‖ ≤ 1 .

To znaci da je:

V ba (g) ≤ ‖f∗‖M

Han-Banach︷︸︸︷= ‖f‖C . (4.20)

Dakle, g je funkcija ogranicene varijacije na [0, 1] i iz (4.19) i (4.20) slijedida je

‖f‖ = V ba (g) .

Ostaje jos da pokazemo da je reprezentacija funkcionala f data sa

f(x) =

∫ 1

0x(t)dg(t) (∀x ∈ C[0, 1]) .

Neka je x ∈ C[0, 1] proizvoljan. Stavimo da je

zn(u) = x(t1)yt1(u) +

n∑

k=2

x(tk) [ytk(u) − ytk−1(u)] .

Tada je

zn(u) − x(u) =

x(t1) − x(u), u ∈ [t0, t1]

x(tk) − x(u), u /∈ (tk−1, tk], k = 2, 3, . . . , n .

Kako je x neprekidna na [0, 1] i [0, 1] kompaktan skup, to je x uniformnoneprekidna funkcija na [0, 1], pa

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(m(π) < δ ⇒ |zn(u) − x(u)| < ε) ,

gdje je m(π) duzina maksimalnog podsegmenta podjele π

m(π) = max1≤k≤n

|tk − tk−1| .

Drugim rijecima, ako za niz podjela, m(π) → 0 kada n → ∞, tada zn → xu smislu metrike u M .Zbog neprekidnosti funkcionala f∗ na M imamo da f∗(zn) −→ f∗(x), (n →∞) tj.

limn→∞

f∗(zn) = f∗(x) ,


124

a kako je x ∈ C[0, 1] to je, na osnovu Hahn-Banachovog stava

f∗(x) = f(x), tj. f(x) = limn→∞

f∗(zn) .

Sada na osnovu definicije funkcije g i linearnosti funkcionala f∗ imamo:

f∗(zn) = f∗

(

x(t1)yt1 +

n∑

k=2

x(tk)[ytk − ytk−1

]

)

= x(t1)f∗(yt1) +

n∑

k=2

x(tk)[f∗(ytk) − f∗(ytk−1

)]

= x(t1)g(t1) +

n∑

k=2

x(tk) [g(tk) − g(tk−1)]

=

n∑

k=1

x(tk) [g(tk) − g(tk−1)] ,

pa je

f(x) = limn→∞

n∑

k=1

x(tk) [g(tk) − g(tk−1)] .

Zbog neprekidnosti funkcije x i ogranicene varijacije funkcije g na [a, b],egzistencija Riemann-Stieltjesovog integrala je obezbijedena, tj.

f(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) .

♣

Kao sto je spomenuto u primjedbi prije dokaza, funkcionalom f na C[a, b]nije jednoznacno odredena funkcija ogranicene varijacije g, takva da je

f(x) =

∫ b

ax(t)dg(t) ,

a objasnjenje za to lezi u cinjenici sto Riemann-Stieltjesov integral ima istuvrijednost za funkcije koje se razlikuju na skupu mjere 0. Dakle, ako jeg1(t) = g2(t) za svako t ∈ (a, b) \ E, a g1(t) 6= g2(t) na E, pri cemu jem(E) = 0, tada je

∫ b

ax(t)dg1(t) =

∫ b

ax(t)dg2(t) .

Teorem 4.3.6. Ogranicen linearan funkcional f na Lp(a, b) (1 < p < +∞)ima reprezentaciju

f(x) =

∫ b

ay(t)x(t)dt ,

125


gdje je y ∈ Lq(a, b),1

p+

1

q= 1 i pri tome je

‖f‖ = ‖y‖ .

Funkcionalom f na Lp, funkcija y u Lq jednoznacno je odredena.

Teorem 4.3.7. Ogranicen linearan funkcional f na prostoru L(a, b) imareprezentaciju

f(x) =

∫ b

ax(t)y(t)dt ,

gdje je y ∈ L∞(a, b) i ‖f‖ = ‖y‖L∞.

Funkcionalom f na L funkcija y ∈ L∞(a, b) jednoznacno je odredena.

Dokazi posljednje dvije teoreme mogu se naci u [1].

4.4 Konjugovani prostori i refleksivnost

Kao sto smo vidjeli u sekciji o linearnim operatorima, sa L(X,Y ) oznacavalismo skup svih ogranicenih linearnih operatora sa prostora X u prostor Y .Na osnovu Teorema 3.1.8, pod pretpostavkom da je Y banachov prostor,taj prostor je sam za sebe Banachov. Kada posmatramo sva ogranicenalinearna preslikavanja kod kojih je kodomen Y = R ili Y = C, zbog cinjeniceda je R (ili C) kompletan prostor, prostor L(X,Φ) (Φ = R ili Φ = C) jeBanachov prostor i za njega cemo koristiti oznaku X∗, a nazivamo ga dualni,konjugovani ili adjungovani prostor prostora X.Naravno da bi smo sada mogli posmatrati, za zadati Banachov prostor X, i

skup svih neprekidnih funkcionala definisanih na X∗, tj. skup (X∗)∗ = X∗∗,u kome linearne operacije i normu mozemo uvesti na prirodan nacin, i sakojima on takode predstavlja jedan Banachov prostor. Slicno bi smo moglirazmisljati i formirati prostore X∗∗∗, X∗∗∗∗ itd. Nama je ovde od interesaposebno prostor X∗∗ koga nazivamo drugi dualni ili adjungovani prostorprostora X.Na osnovu teorema o reprezentaciji linearnih ogranicenih funkcionala smo

vidjeli naprimjer, da je dualni prostor prostora c0 jednak prostoru l1, tj.c∗0 = l1, u smislu algebarske i metricke izomorfnosti. Takode je l∗1 = l∞,l∗p = lq (1

p + 1q = 1). Praveci druge duale ovih prostora mozemo zakljuciti

sljedece veze, c∗∗0 = l∗1 = l∞ ili l∗∗p = l∗q = lp (1p + 1

q = 1). U smislu algebarskei metricke izomorfnosti, prvi primjer nam govori da je c0 ⊂ c∗∗0 , a drugi daje lp = l∗∗p . Sljedecim teoremom dajemo generalnu vezu izmedu prostora inegovog drugog duala.

Teorem 4.4.1. Proizvoljan Banachov prostor X se moze algebarski i izometri-cki uloziti u X∗∗, tj. vrijedi

X ⊆ X∗∗ .

4.4. Konjugovani prostori i refleksivnost

126

Dokaz : Neka je X proizvoljan Banachov prostor i x ∈ X proizvoljanfiksan element. Pomocu njega definisimo preslikavanje Fx : X∗ → Φ, saFx(f) = f(x). Da je Fx funkcional, jasno je jer je f ∈ X∗. Za proizvoljnef, g ∈ X∗ i λ, µ ∈ Φ je

Fx(λf + µg) = (λf + µg)(x) = λf(x) + µg(x) = λFx(f) + µFx(g) ,

te je to i linearno preslikavanje. Dalje, za proizvoljno f ∈ X∗ imamo

|Fx(f)| = |f(x)| ≤ ||x|| · ||f || ,

iz cega zakljucujemo da je Fx i ogranicen funkcional, sta vise

||Fx|| ≤ ||x|| . (4.21)

Na osnovu svega imamo da je Fx ∈ X∗∗. Na osnovu jedne od posljedicaHahn-Banachove teoreme, izaberimo funkcional f0 ∈ X∗, takav da je ||f0|| =1 i f0(x) = ||x||. Tada imamo

|Fx(f0)| = |f0(x)| = ||x|| ,

a to na osnovu definicije norme funkcionala nam govori da vrijedi

||Fx|| ≥ ||x|| . (4.22)

Iz (4.21) i (4.22) zakljucujemo da je ||Fx|| = ||x||.Na ovaj nacin smo svakom x ∈ X pridruzili Fx ∈ X∗∗, te je jasno da

elemenata u X∗∗ nema manje nego sto je elemenata u X. Osim toga, ovimpridruzivanjem smo takode definisali jedno preslikavanje, oznacimo ga saT0 : X → X∗∗, zadato sa T0x = Fx. Neka su x, y ∈ X i λ, µ ∈ Φ proizvoljni.Kako je

Fλx+µy(f) = f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) = λFx(f) + µFx(f) ,

tada jeT0(λx + µy) = Fλx+µy = λFx + µFy .

Dakle, T0 je linearno preslikavanje, pa je T0 algebarski izomorfizam izmeduX i X∗∗. Osom toga, na osnovu ranije pokazanog imamo da je

||T0x|| = ||Fx|| = ||x|| ,

te je T0 i izometrija. Kako ne pravimo razliku izmedu nekog Banachovogprostora i njegove linearne izometricke slike, to vrijedi

X = T0(X) ⊆ X∗∗ ,

cime je tvrdnja dokazana. ♣

127


Definicija 4.4.1. Ukoliko za neki Banachov prostor vrijedi T0(X) = X∗∗

(odnosno X = X∗∗), tada kazemo da je X refleskivan prostor.

Operator T0 uveden u dokazu gornje teoreme se naziva prirodno ili kanon-sko preslikavanje prostora X u prostor X∗∗. Taj pojam preciziramo iz ra-zloga da ako za neko drugo preslikavanje T : X → X∗∗ vrijedi T (X) = X∗∗,to ne mora znaciti refleksivnost prostora X.

Teorem 4.4.2. Svaki potprostor refleksivnog Banachov prostora je takoderefleksivan.

Dokaz : Neka je L potprostor refleksivnog Banachovog prostora X. Oznacimosa L⊥ skup svih funkcionala iz X∗ koji se anuliraju na L, tj.

L⊥) f ∈ X∗ ||(∀x ∈ L) f(x) = 0 .

Ovakav skup se naziva anihilator ili anulator skupa L, za koga se lahkopokazuje da predstavlja potprostor od X∗, za proizvoljan L ⊆ X.Posmatrajmo sada X∗

/L⊥ i neka je [f ] proizvoljan element tog skupa (klasa

ekvivalencije). Za proizvoljna dva elementa g1, g2 iz te klase, na osnovudefinicije kolicnickog prostora X∗

/L⊥ je g1 − g2 = l ∈ L⊥, tojest vrijedi

(∀x ∈ L) g1(x) − g2(x) = l(x) = 0 . (4.23)

Definisimo sada funkcional fL na L, na sljedeci nacin,

fL(x) = g(x) ,

gdje je g proizvoljan funkcional iz [f ]. Specijalno, mozemo staviti da jeg = f . Dakle, fL je po definiciji, suzenje na L bilo kojeg funkcionala iz klase[f ]. Na osnovu (4.23), zakljucujemo da je fL dobro definisan. Takode jejasno da je fL linearan funkcional, pri cemu je

|fL(x)| = |g(x)| ≤ ||g|| · ||x|| ,

za proizvoljan x ∈ L, gdje je g bilo koji funkcional iz [f ]. Prelaskom nainfimum u posljednjoj nejednakosti, vodeci racuna o definiciji norme nakolicnickom prostoru, dobijamo

(∀x ∈ L) |fL(x)| ≤ ||[f ]|| · ||x|| .

Dakle, fL je i ogranicen, tj. fL ∈ L∗, pri cemu je

||fL|| ≤ ||[f ]|| .

Ovako uveden funkcional fL je definisan na L pa na osnovu Hahn-Banachoveteoreme mozemo ga produziti do funkcionala f0, bez promjene norme, defin-isanog na citavom prostoru, tj. f0 ∈ X∗ i ||f0|| = ||fL||. Uzimajuci u obzir


128

da klasa [f ] sadrzi sve funkcionale iz X∗ cija se suzenja na na L poklapajusa fL, onda zakljucujemo da je f0 ∈ [f ]. Dakle,

||[f ]|| = inf ||g|| | g ∈ [f ] ≤ ||f0|| = ||fL|| .

Ovo zajedno sa ranije dobijenom nejednakoscu znaci da vrijedi ||fL|| =||[f ]||. Mi smo dakle svakom elementu [f ] ∈ X∗

/L⊥ na gore opisan nacin

pridruzili funkcional fL ∈ L∗, pri cemu je ||fL|| = ||[f ]||. Time smo ust-vari definisali izometricko preslikavanje sa X∗

/L⊥ u L∗, tj. definisali smo

preslikavanje A0 : X∗/L⊥ → L∗ sa

A0([f ]) = fL .

Za [f ], [g] ∈ X∗/L⊥ proizvoljne je

A0([f ] + [g])(x) = A0([f + g])(x) = (f + g)L(x) = fL(x) + gL(x)

= A0([f ])(x) + A0([g])(x) ,

tj. A0([f ] + [g]) = A0([f ]) + A0([g]). Na slican nacin se pokazuje da zaproizvoljne [f ] ∈ X∗

/L⊥ i λ ∈ Φ, vrijedi A0(λ[f ]) = λA0([f ]). Dakle, A0 je

izometricki izomorfizam sa X∗/L⊥ u L∗.

Za proizvoljan fL ∈ L∗ mozemo izvrsiti njegovo prosirenje, bez promjenenorme, na citav X. Ako sa [f ] oznacimo onu klasu iz X∗

/L⊥ kojoj pripada

f , jasno je da vrijediA0([f ]) = fL ,

a sto ustvari znaci da je A0 surjektivno preslikavanje. Zbog svega navedenogmozemo pisati

L∗ = X∗/L⊥ ,

i u daljem necemo praviti razliku izmedu klase [f ] i njegove slike fL u pres-likavanju A0.Neka je sada F ∈ L∗∗ proizvoljan i za proizvoljno f ∈ X∗ stavimo

TF (f) = F ([f ]) .

Neka su f1, f2 ∈ X∗ i λ, µ ∈ Φ. tada je

TF (λf1 + µf2) = F ([λf1 + µf2]) = F (λ[f1] + µ[f2]) = λF ([f1]) + µF ([f2]) ,

dakle, TF je linearno preslikavanje. Osim toga je

|TF (f)| = |F ([f ])| ≤ ||F || · ||[f ]|| ≤ ||F || · ||f || ,

za proizvoljno f ∈ X∗, pa je TF i ograniceno preslikavanje, tj. TF ∈ X∗∗.Kako je X refleksivan prostor, postoji element xF ∈ X, takav da vrijedi

TF (f) = f(xF ) ,

129


za proizvoljan f ∈ X∗. Sada tvrdimo da taj xF mora biti u L. Zaista, usuprotnom bi postojao f0 ∈ X∗, takav da je f0(xF ) 6= 0 i za sve x ∈ L,f0(x) = 0. Druga od pretpostavki bi znacila de je f0 ∈ L⊥ te bi klasa [f0]bila nula-element u X∗

/L⊥ = L∗. kako je F linearan funkcional na L∗, to bi

moralo biti F ([f0]) = 0, a sto bi opet dovelo do toga da je

0 6= f0(xF ) = TF (f0) = F ([f0]) = 0 .

Dobijena kontradikcija daje da mora biti xF ∈ L.Neka je sada fL proizvoljan element iz L∗ i [f ] jednoznacno odredena klasa

iz X∗/L⊥ za koju je A0([f ]) = fL. Koristeci cinjenicu L∗ = X∗

/L⊥ , tada je

F (fL) = TF (f) = f(xF ) = fL(xF ) .

Dakle, za svako F ∈ L∗∗ mozemo naci xF ∈ L, takav da je

F (fL) = fL(xF ) ,

za sve fL ∈ L∗, a to i odreduje refleksivnost potprostora L. ♣

Teorem 4.4.3. Banachov prostor je refleksivan ako i samo ako je njegovdual refleksivan prostor.

Dokaz : Neka je X refleksivan Banachov prostor i neka je T ∈ X∗∗∗

proizvoljan. Oznacimo kao i ranije sa Fx (x ∈ X) funkcional na X∗, definisansa

Fx(f) = f(x) .

Iz refleksivnosti prostora X imamo da za svaki F ∈ X∗∗, postoji x ∈ X,takav da je F = Fx. Definisimo sada funkcional f0 na sljedeci nacin,

f0(x) = T (Fx) .

Jasno je da je f0 linearan. Pri tome je

|f0(x)| = |T (Fx)| ≤ ||T || · ||Fx|| = ||T || · ||x|| ,

te je on i ogranicen, tj. f0 ∈ X∗. Tada za proizvoljan Fx ∈ X∗∗ imamo

T (Fx) = f0(x) = Fx(f0) ,

a zbog proizvoljnosti T ∈ X∗∗∗, zakljucujemo refleksivnost prostora X∗.Neka je sada X∗ refleksivan. Ako X nije refleksivan, onda je X ⊂ X∗∗,

tj. postoji funkcional F0 ∈ X∗∗ koji nije jednak niti jednom funkcionalu Fx

(x ∈ X). kako je skup svih funkcionala Fx (x ∈ X) potprostor prostora X∗∗

(jer je taj skup slika prostora X u prirodnom preslikavanju prostora X uX∗∗), to postoji T ∈ X∗∗∗, takav da je T (F0) 6= 0 i T (Fx) = 0 za x ∈ X.


130

Zbog refleksivnosti prostora X∗ postoji f0 ∈ X∗ takav da je ||T || = ||f0|| iT (F ) = F (f0) za proizvoljno F ∈ X∗∗. Na osnovu druge pretpostavke ondaimamo

0 = T (Fx) = Fx(f0) = f0(x) ,

za proizvoljno x ∈ X, te je dakle f0 nula-funkcional, a to bi se onda protiviloprvoj pretpostavci da je ||T || = ||f0||. Dakle, X mora biti refleksivan prostor.♣

Teorem 4.4.4. Neka je X Banachov prostor. Ako je X∗ separabilan, ondaje i X separabilan prostor.

Dokaz : Neka je f∗i ∈ X∗ | i ∈ N svuda gust skup u X∗. Lahko se

pokazuje da tada funkcionali dobijeni sa

fi =f∗

i

||f∗i ||

, i ∈ N ,

cine svuda gust skup na jedinicnoj sferi u X∗. Kako je

||fi|| = sup||x||=1

|fi(x)| = 1 , i ∈ N ,

to za proizvoljan i ∈ N, postoji element xi, takav da je

||xi|| = 1 i |fi(xi)| >1

2.

Oznacimo sa L lineal u X generisan skupom xi| i ∈ N. L je ociglednoseparabilan jer skup svih linearnih kombinacija elemenata xi (i ∈ N) sakompleksno-racionalnim koeficijentima je prebrojiv i svuda gust u L.Pretpostavimo da je L 6= X. Tada postoji x0 ∈ X \L, a na osnovu posljediceHahn-Banahove teoreme, postoji i f0 ∈ X∗, takav da je ||f0|| = 1, f0(x0) 6= 0i f0(x) = 0 za sve x ∈ L. Kako funkcionali fi cine svuda gust skup najedinicnoj sferi u X∗, postoji fi0 , takav da je

||f0 − fi0 || <1

2.

Kako je njemu odgovarajuci xi0 iz L, imamo

1

2< |fi0(xi0)| = |fi0(xi0) − f0(xi0)| ≤ ||fi0 − f0|| · ||xi0 || <

1

2.

U gornju kontradikciju nas je dovela pretopstavka de je L 6= X, pa daklemora biti L = X, a to po definiciji znaci da je X separabilan prostor. ♣

Da obrat gornje teoreme ne vazi uvjeravamo se primjerom prostora l1.Naime, l1 jeste separabilan, ali njegov dual l∗1 = l∞, kao sto smo to vidjeli usekciji o separabilnosti, nije separabilan prostor.

131


4.5 Konjugovani operator

Neka su X i Y Banachovi prostori i A ∈ L(X,Y ). Neka je domen oparatoraA (DA) skup svuda gust u X. Za proizvoljan funkcional g ∈ Y ∗ definisimopreslikavanje

f(x) = g(Ax) , x ∈ DA .

Ocigledno je f dobro definisano za svako x ∈ DA jer je Ax ∈ Y . Kako jeg ∈ Y ∗ jasno je da je f funkcional. Za proizvoljne x1, x2 ∈ DA i λ, µ ∈ Φ je

f(λx1 + µx2) = g(A(λx1 + µx2)) = g(λAx1 + µAx2)

= λg(Ax1) + µg(Ax2) = λf(x1) + µf(x2) ,

te je f linearan. Takode vrijedi

|f(x)| = |g(Ax)| ≤ ||g|| · ||Ax|| ≤ ||g|| · ||A|| · ||x|| ,

tj. on je i ogranicen funkcional (zbog ogranicenosti funkcionala g i operatoraA). Kako je DA svuda gust u X, operator A mozemo bez promjene normeproduziti na citav prostor, a time i funkcional f . Jednostavnosti radi, tajproduzeni funkcional oznacimo ponovo sa f . Dakle, na gore opisan nacinmi smo svakom funkcionalu na Y pridruzili jedan (tacno jedan) funkcionalna X, te smo na taj nacin definisali jedno preslikavanje.

Definicija 4.5.1. Neka su X,Y Banachovi prostori i A ∈ L(X,Y ). Pres-likavanje A∗ : Y ∗ → X∗, definisano sa

A∗g(x) = f(x) = g(Ax) , g ∈ Y ∗ , f ∈ X∗ ,

nazivamo konjugovani, adjungovani ili dualni operator operatora A.

U gornjoj definiciji smo definisali konjugovani operator ogranicenog oper-atora. Medutim, to smo mogli uciniti i za proizvoljan linearan operator,ali tada se oblast definisanosti konjugovanog operatora moze bitno suzitiu odnosu na Y ∗, moze se cak sastojati jedino iz trivijalnog funkcionala naY , bez obzira sto je domen operatora svuda gust u X. U slucaju da jeA ogranicen operator definisan na X, tada je domen konjugovanog opera-tora citav Y ∗, sto cemo u daljem podrazumijevati, osim ako drugacije nenaglasimo.

Teorem 4.5.1. Za A ∈ L(X,Y ) je A∗ ∈ L(Y ∗,X∗) i pri tome vrijedi||A∗|| = ||A||.

Dokaz : Neka je A ∈ L(X,Y ). Za proizvoljne g1, g2 ∈ Y ∗ i λ, µ ∈ Φ imamo

A∗(λg1 + µg2)(x) = (λg1 + µg2)(Ax) = λg1(Ax) + µg2(Ax)

= λA∗g1(x) + µA∗g2(x) = (λA∗g1 + µA∗g2)(x) ,

4.5. Konjugovani operator

132

cime je pokazana linearnost operatora A∗.Kako je vec pokazano, vrijedi

|A∗g(x)| ≤ ||A|| · ||g|| · ||x|| ,

za svako x ∈ X, pa zakljucujemo da vrijedi

||A∗g|| ≤ ||A|| · ||g|| ,

tj.||A∗|| ≤ ||A|| . (4.24)

Neka je sada ε > 0 proizvoljan i x0 ∈ X, takav da je ||x0|| = 1 i ||Ax0|| ≥||A||−ε. Prema jednoj od posljedica Hahn-Banachove teoreme mozemo nacig0 ∈ Y ∗ takav da je ||g0|| = 1 i g0(Ax0) = ||Ax0||. Tada imamo

||A∗|| = sup||g||=1

||A∗g|| ≥ ||A∗g0|| = sup||x||=1

|A∗g0(x)|

≥ |A∗g0(x0)| = |g0(Ax0)| = ||Ax0|| ≥ ||A|| − ε .

Zbog proizvoljnosti ε, zakljucujemo

||A∗|| ≥ ||A|| . (4.25)

Iz (4.24) i (4.25) zakljucujemo jednakost normi. ♣

Primjer 4.2. Neka je Ad : l2 → l2 desni shift operator, tj. za x = (xi)i∈N ∈ l2

Adx = (0, x1, x2, ...) .

Na osnovu reprezentacije linearnih ogranicenih funkcionala na l2, za g ∈ l2onda imamo

g(Adx) =∞∑

i=1

(Adx)iηi =∞∑

i=2

xi−1ηi =∞∑

i=1

xiηi+1 , y = (ηi)i∈N ∈ l2 .

Dakle, A∗d = Al, konjugovani operator desnog shift operatora je lijevi shift

operator, tj. operator sa djelovanjem

Alx = (x2, x3, ...) , x = (xi)i∈N ∈ l2 .

♦

Primjer 4.3. Neka je K(s, t) neprekidna funkcija na kvadratu(s, t)| 0 ≤ s ≤ 1 , 0 ≤ t ≤ 1, pri cemu je za q > 1

∫ 1

0

∫ 1

0|K(s, t)|qdt ≤ M , za svako s ∈ [0, 1] .

133


Definisimo preslikavanje A : Lp[0, 1] → Lq[0, 1] (1p + 1

q = 1), sa

Ax(s) =

∫ 1

0K(s, t)x(t)dt .

Zbog pretpostavljene neprekidnosti jezgra K, preslikavanje je dobro defin-isano i ocigledno linearno. Osim toga vrijedi

∫ 1

0|Ax(s)|qds ≤

∫ 1

0ds

(∫ 1

0|K(s, t)||x(t)|dt

)q

≤

∫ 1

0ds

(∫ 1

0|K(s, t)|qdt ·

(∫ 1

0|x(t)|pdt

) q

p

)

,

pa je

||Ax|| ≤

(∫ 1

0

∫ 1

0|K(s, t)|qddtds

) 1

q

·

(∫ 1

0|x(t)|pdt

) 1

p

≤ M1

q ||x||Lp

te je A i ogranicen operator.Odredimo sada konjugovani operator A∗. Proizvoljan funkcional g na

prosotoru Lq[0, 1] ima reprezentaciju

g(y) =

∫ 1

0y(s)x0(s)ds ,

gdje je x0 ∈ Lp[0, 1], element jednoznacno pridruzen funkcionalu g. Podefiniciji konjugovanog oparatora, tada je

A∗g(x) = g(Ax) =

∫ 1

0Ax(s)x0(s)ds =

∫ 1

0

(∫ 1

0K(s, t)x(t)dt

)

x0(s)ds

=

∫ 1

0x(t)

(∫ 1

0K(s, t)x0(s)ds

)

dt .

Dakle, dobili smo neki funkcional f na Lp[0, 1], a opet zbog reprezentacijefunkcionala je njemu jednoznacno pridruzeni element dat sa

y0(t) =

∫ 1

0K(s, t)x0(s)ds ∈ Lq[0, 1] .

Zbog identifikacije prostora Lp i L∗q , posljednjom jednakoscu je definisan

konjugovani operator, tj.A∗g = f ,

gdje smo poistovjetili funkcional g sa njemu pridruzenim elementom x0 ∈Lp i takode funkcional f smo poistovjetili sa njemu pridruzenom elementuy0 ∈ Lq. Pri tome A∗ preslikava dakle L∗

q = Lp u L∗p = Lq. ♦

4.5. Konjugovani operator

134

Teorem 4.5.2. Konjugovani operator proizvoljnog operatora je uvijek zatvorenoperator.

Dokaz : Neka je A : X → Y proizvoljan linearan operator. Neka je(gn)n∈N ⊂ DA∗ , za koga vrijedi

gn → g0 i A∗gn → f0 , n → ∞ ,

gdje su g0 ∈ Y ∗ i f0 ∈ X∗. Tada za svako x ∈ DA imamo

gn(Ax) → g0(Ax) i gn(Ax) = A∗gn(x) → f0(x) n → ∞ .

Ali ovo onda znaci da je za proizvoljno x iz domena operatora A, f0(x) =g0(Ax), pa je i g0(Ax) ogranicen funkcional (jer je f0 takav), te je g0 ∈DA∗ . Iz istog identiteta zakljucujemo i da je A∗g0 = f0, cime je zatvorenostoperatora A∗ dokazana. ♣

Teorem 4.5.3. Ako je A ∈ L(X,Y ) onda je A∗∗ = (A∗)∗ ∈ L(X∗∗, Y ∗∗).Operator A∗∗ je prosirenje operatora A, tj. A ⊆ A∗∗ i pri tome je ||A∗∗|| =||A||.

Dokaz : Kao sto smo vec pokazati (Teorem 4.5.1), ako je A ogranicenoperator, tada je i A∗ ogranicen sa Y ∗ u X∗. Ali tada je na osnovu istog iA∗∗ = (A∗)∗ ogranicen operator sa X∗∗ u Y ∗∗ i pri tome je ||A|| = ||A∗|| =||A∗∗||.

Treba jos pokazati da je A∗∗ prosirenje oparatora A. Neka je Fx funkcionaliz X∗∗ takav da je za proizvoljan f ∈ X∗

Fx(f) = f(x) ,

gdje je x proizvoljan fiksan element iz X. Tada je za g ∈ Y ∗

(A∗∗Fx)(g) = Fx(A∗g) = (A∗g)(x) = g(Ax) = FAx(g) ,

fdje je FAx onaj funkcional iz Y ∗∗ za koga je FAx(g) = g(Ax), za svakog ∈ Y ∗. Dakle,

A∗∗Fx = FAx .

Kako ne pravimo razliku izmedu x i Fx (takode ni izmedu Ax i FAx), gornjujednakost mozemo pisati sa

A∗∗x = Ax , za proizvoljno x ∈ X ,

cime je teorem dokazan. ♣

135


4.6 Spektar linearnog operatora

Rjesavanje mnogih problema svodi se na nalazenje inverznog preslikavanjadatom preslikavanju odredenog tipa. Zbog toga je i posebno interesovanjeza inverzna preslikavanja, njihovo postojanje, ispitivanje njihovih domena ikodomena. Neka je A linearan operator koji djeluje sa Banachovog prostoraX u X.

Definicija 4.6.1. Za operator A kazemo da je inverzibilan ako postoji op-erator B = A−1 takav da vrijedi A B = B A = I, gdje je I identickopreslikavanje i tada za operator B kazemo da je inverzni operator operatoraA.

U konacnodimenzionalnim prostorima uslov AB = I je dovoljan za za-kljucak da je operator A invertibilan i da je B = A−1, a razlog je taj sto suu konacnodimenzionalnim prostorima linearna preslikavanja odredena ma-tricama i sto nam uslov det(A) 6= 0 obezbjeduje postojanje inverzne matrice.U beskonacnodimenzionalnim prostorima stvari su drugacije. Naime, posluzimose primjerom lijevog i desnog shift operatora na l2. Za x = (xn)n∈N ∈ l2neka su AR : l2 → l2 i AL : l2 → l2 definisani sa

ARx = (0, x1, x2, ...) i ALx = (x2, x3, ...) .

Za x ∈ l2 sada imamo

(AL AR)x = AL(ARx) = AL(0, x1, x2, ...) = (x1, x2, ....) = x ,

tojest, AL AR = I. Ali

(AR AL)x = AR(ALx) = AR(x2, x3, ...) = (0, x2, x3, ....) 6= x ,

odnosno Ar AL 6= I, te je jasno da ova dva operatora jedan drugom nisuinverzni.Sljedecu jednostavnu tvrdnju ostavljamo bez dokaza.

Lema 4.6.1. Ako su A i B inverzibilni operatori tada je takav i operatorA B i vrijedi

(A B)−1 = B−1 A−1 .

Navedimo jos dvije jednostavne, ali korisne tvrdnje.

Lema 4.6.2. Neka je A ogranicen linearan operator sa Banachovog prostoraX u X, za koga je ||A|| < 1. Tada operator I −A ima inverzni operator kojije ogranicen i definisan na cijelom X. Pri tome vrijedi

(I − A)−1 =

∞∑

i=0

Ai .

4.6. Spektar linearnog operatora

136

Dokaz : Posmatrajmo red∞∑

i=0

Ai . (4.26)

Njegovi clanovi su elementi Banachovog prostora L(X,X). Kako vrijedi

||Ai|| ≤ ||A|| · ||Ai−1|| ≤ ||A|| · ||A|| · ||Ai−2|| ≤ · · · ≤ ||A||i , i = 0, 1, 2, ...

i zbog ||A|| < 1, zakljucujemo da red (4.26) apsolutno konvergira, a time jeon i konvergentan u L(X,X), te je i njegova suma u L(X,X), tj. njegovasuma je ogranicen linearan operator sa X u X. Kako vrijedi

(I − A)

∞∑

i=0

Ai =

∞∑

i=0

Ai − A ·

∞∑

i=0

Ai

=∞∑

i=0

Ai −∞∑

i=0

Ai+1

=

∞∑

i=0

Ai −

∞∑

i=1

Ai = I ,

i na slican nacin (∞∑

i=0

Ai

)

(I − A) = I ,

zakljucujemo da je I − A invertibilan i da vrijedi jednakost

I − A =∞∑

i=0

Ai . ♣

Lema 4.6.3. Neka je A inverzibilan operator i neka je B operator takav daje ||A − B|| < 1

||A−1||. Tada je i B inverzibilan operator.

Neka su sada A linearni operator koji djeluje sa Banachovog prostora X uX, I identicko preslikavanje na X, λ fiksan kompleksni broj, y ∈ X zadatelement prostora X i x trazeni element iz X. Posmatrajmo jednacinu

(A − λI)x = y . (4.27)

Jasno je da ce posmatrana jednacina imati rjesenje ako i samo ako y ∈Rang(A−λI). Mozemo postaviti i mnoga druga pitanja u vezi ove jednacine:koliko ce biti rjesenja, da li rjesenja neprekidno ovise o y, da li postojiinverzno prelikavanje (A−λI)−1, sta je domen, a sta kodomen preslikavanjaA − λI i kako oni uticu na egzistenciju rjesenja itd. Naprimjer, ako jeoperator (A − λI)−1 neprekidan i definisan na cijelom X onda jednacina(4.27) ima jedinstveno rjesenje za proizvoljan y ∈ X, koje je dato sa x =(A−λI)−1y i pri tome to rjesenje neprekidno zavisi o y. Sva gore postavljenapitanja i razmisljanja nas navode na uvodenje novih pojmova bitnih za to.

137


Definicija 4.6.2. Neka je A linearan operator sa banachovog prostora X uX i λ kompleksan broj. Kazemo da je λ regularna tacka operatora A akopostoji inverzni operator (A − λI)−1 operatora A − λI, koji je ogranicen idefinisan na svuda gustom skupu u X.Skup svih regularnih tacaka operatora A nazivamo rezolventni skup operatorai oznacavamo ga sa ρ(A).

Definicija 4.6.3. Neka je ρ(A) rezolventni skup linearnog operatora A.Skup σ(A) = C \ ρ(A) nazivamo spektar operatora A (C kompleksna ra-van).

Na osnovu Leme 4.6.3 lahko se pokazuje da je rezolventni skup otvoren.Zaista, neka je λ ∈ C regularna tacka operatora A. To znaci da postoji (A−λI)−1 i neka je ||(A−λI)−1|| = M . Posmatrajmo sada kuglu B(λ, 1

2M ) ⊂ C.Za proizvoljno µ ∈ B(λ, 1

2M ) imamo

||A− λI − (A−µI)|| = ||λI −µI|| = |λ−µ| <1

2M<

1

M=

1

||(A − λI)−1||.

Na osnovu Leme 4.6.3 zakljucujemo da je i A− µI invertibilan operator, teje i µ regularna tacka operatora A. Dakle, rezolventni skup je okolina svakesvoje tacke te je i otvoren skup. Dakle vrijedi,

Teorem 4.6.4. Rezolventni skup je otvoren, a spektar operatora je zatvorenskup.

Osim toga, za rezolventni skup vrijedi i sljedeca jednostavna, a korisnatvrdnja.

Teorem 4.6.5. Neka je A ∈ L(X,X) i neka je λ ∈ C takav da je ||A|| < |λ|.Tada je λ regularna tacka operatora A.

Dokaz : Neka je ||A|| < |λ|, tada je∣∣∣∣ 1λA∣∣∣∣ < 1. Na osnovu Leme 4.6.2

operator I− 1λA je takode invertibilan, a time je i operator A−λI = −λ(I−

1λA) invertibilan. ♣

Definicija 4.6.4. Za tacku λ ∈ σ(A) kazemo da je tacka neprekidnog spek-tra operatora A ako postoji operator (A − λI)−1, koji je definisan na svudagustom skupu i nije ogranicen operator.Skup svih tacaka neprekidnog spektra operatora A oznacavamo sa σc(A).

Definicija 4.6.5. Za tacku λ ∈ σ(A) kazemo da je tacka rezidualnog spektraoperatora A ako postoji operator (A − λI)−1, koji nije definisan na svudagustom skupu.Skup svih tacaka rezidualnog spektra operatora A oznacavamo sa σr(A).


138

Definicija 4.6.6. Za tacku λ ∈ σ(A) kazemo da je tacka punktualnog(tackastog ili diskretnog) spektra operatora A ako operator (A − λI)−1 nepostoji.Skup svih tacaka punktualnog spektra operatora A oznacavamo sa σp(A).

Na osnovu datih definicija je jasno da su rezolventni skup i spektar opera-tora disjunktni skupovi, ρ(A) ∩ σ(A) = ∅ i pri tome je ρ(A) ∪ σ(A) = C.Takode je jasno i da su skupovi σc(A),σr(A) i σp(A) disjunktni i da je svakiod njih podskup od σ(A). Pri tome je σ(A) = σc(A) ∪ σr(A) ∪ σp(A).

Definicija 4.6.7. Kompleksan broj λ nazivamo svojstvena ili karakteristicnavrijednost operatora A ako postoji nenula element x ∈ X takav da vrijedi

Ax = λx .

Vektor x pridruzen na ovaj nacin svojstvenoj vrijednosti λ nazivamo svo-jstveni ili karakteristicni vektor operatora A.

Na osnovu definicije punktualnog spektra, ako λ ∈ σp(A) tada ne postoji(A−λI)−1, a kako je to linearan operator, to znaci da postoji x ∈ X, x 6= 0,takav da je (A − λI)x = 0. Dakle, ako je λ tacka punktualnog spektra,tada postoji 0 6= x ∈ X, takav da je Ax = λx, tojest λ je svojstvenavrijednost operatora A, pa mozemo reci da punktualni spektar operatoracine upravo svojstvene vrijednosti tog operatora. Cinjenicu o pripadnostikompleksnog broja λ punktualnom spektru mogli bi smo izraziti i cinjenicomda je Ker(A−λI) 6= ∅. Pri tome dimenziju prostora Ker(A−λI) nazivamovisestrukost svojstvene vrijednosti λ.Ukoliko posmatramo linearan operator na konacnodimenzionalnom pros-

toru X situacija je poprilicno jednostavna. Naime, ako postoji (A − λI)−1,to znaci da je preslikavanje A−λI bijekcija. Tada je (A−λI)(X) = X pa jeinverzni operator (A−λI)−1 definisan na svuda gustom skupu. Pri tome sulinearna preslikavanja na konacnodimenzionalnim prostorima neprekidna paje (A− λI)−1 i ogranicen operator. Dakle, ako je X konacnodimenzionalanprostor, linearan operator A − λI ili ima ogranicen inverzni operator ili gauopste nema, a to znaci da proizvoljan kompleksan broj λ ili pripada rezol-ventnom skupu ili punktualnom spektru operatora A (kontinualni i rezidu-alni spektri su prazni skupovi).Za proizvoljno λ ∈ C koja je regularna tacka operatora A, postoji op-

erator (A − λI)−1. Dakle, svakom λ ∈ ρ(A) mozemo pridruziti opera-tor R(A,λ) = (A − λI)−1 koji se naziva rezolventom operatora A, a kojipredstavlja preslikavanje sa ρ(A) u L(X,X). Za rezolventu vrijedi sljedecetvrdenje.

Teorem 4.6.6. Neka je A ∈ L(X,X) i neka su λ, µ ∈ ρ(A). Tada vrijedi

R(A,λ) − R(A,µ) = (λ − µ)R(A,λ)R(A,µ) . (4.28)

139


Dokaz : Pretpostavimo da ρ(A) nije prazan skup i neka su λ, µ ∈ ρ(A).Za svako x ∈ X je R(A,λ)x,R(A,µ)x ∈ DA. Oznacimo sa

B = R(A,λ) − R(A,µ) ,

tada je Bx = R(A,λ)x − R(A,µ)x, za svako x ∈ X. Tada vrijedi

(A − µI)Bx = (A − µI)R(A,λ)x − (A − µI)R(A,µ)x

= ((A − λI) + (λ − µ)I)R(A,λ)x − x

= (λ − µ)R(A,λ)x .

Ako i na lijevu i na desnu stranu posljednje jednakosti djelujemo opera-torom R(A,µ), dobijamo

R(A,µ)(A − µI)Bx = (λ − µ)R(A,µ)R(A,λ)x ,

tojest imamo jednakost

B = (λ − µ)R(A,µ)R(A,λ) ,

ili drugacije napisano

R(A,λ) − R(A,µ) = (λ − µ)R(A,µ)R(A,λ) . (4.29)

Primjenjujuci simetricno sve gornje na operator B = R(A,µ) − R(A,λ),imali bi

R(A,µ) − R(A,λ) = (µ − λ)R(A,λ)R(A,µ) . (4.30)

Sabiranjem jednacina (4.29) i (4.30) dobijamo jednakost

R(A,λ)R(A,µ) = R(A,µ)R(A,λ) ,

koja zajedno sa (4.29) daje trazenu jednakost (4.28). ♣

Jednakost (4.28) se naziva rezolventna jednacina. Ona nam izmedu osta-log govori da je rezolventa operatora neprekidna funkcija po λ ∈ ρ(A), au dokazu gornje teoreme smo pokazali da dvije rezolvente istog operatorakomutiraju za proizvoljne dvije regularne tacke tog operatora.

Ranije smo pokazali da je rezolventni skup operatora, otvoren skup i uposljednjoj teoremi smo pretpostavili da je rezolventni skup neprazan. Pokazimosada da je ta pretpostavka bila opravdana.

Teorem 4.6.7. Neka je A ∈ L(X,X). Tada su ρ(A) i σ(A) nepraznipodskupovi kompleksne ravni.


140

Dokaz : Neka je λ ∈ C, takav da je ||A|| < |λ|. Tada je || 1λA|| = 1|λ| ||A|| <

1, pa prema Teoremi 4.6.2 operator I − 1λA ima inverzni operator (definisan

na X) i pri tome vrijedi

(I −1

λA)−1 =

∞∑

i=0

1

λiAi .

Odavde onda slijedi da i operator A − λI ima ogranicen inverzni operatordefinisan na X, i da je pri tome

(A − λI)−1 = −1

λ

∞∑

i=0

1

λiAi = −

∞∑

i=0

1

λi+1Ai ,

a ovo znaci da svaki kompleksan broj λ, za koga je ||A|| < |λ|, pripada skupuρ(A). Kako razmatramo ogranicene operatore, ovo znaci da je rezolventniskup neprazan, a na osnovu odnosa rezolventnog skupa i spektra operatora,zakljucujemo da spektar σ(A) mora lezati u krugu ciji je poluprecnik jednak||A||.

pretpostavimo sada da je σ(A) = ∅. Tada je ρ(A) = C, te je rezolventaR(A,λ) definisana na cijeloj kompleksnoj ravni. Neka je |λ| > 2||A||. Kakoje

R(A,λ) = −

∞∑

i=0

1

λi+1Ai ,

to onda imamo

||R(A,λ)|| ≤1

|λ|

∞∑

i=0

1

|λ|i||A||i ≤

1

|λ|

∞∑

i=0

||A||i

|λ|i

<1

2||A||

∞∑

i=0

(1

2

)i

= C1 .

Dakle, cim je |λ| > 2||A||, onda je ||R(A,λ)|| ≤ C1. Kako je rezolventaneprekidna funkcija, na osnovu relacije

|||R(A, lambda)|| − ||R(A,µ)||| ≤ ||R(A,λ) − R(A,µ)|| ,

zakljucujemo da je i realna funkcija ||R(A,λ)|| neprekidna po λ ∈ ρ(A).Time je ona i ogranicena na ogranicenom skupu, tj. vrijedi

||R(A,λ)|| ≤ C2 , |λ| ≤ 2||A|| .

Stavljajuci da je C = max C1, C2 zakljucujemo da vrijedi

||R(A,λ)|| ≤ C ,

141


za sve λ ∈ C. Neka je sada x0 6= 0 i f ∈ X∗ proizvoljan. Posmatrajmofunkciju definisanu sa φ(λ) = f(R(A,λ)x0). Ona je definisana na cijelojkompleksnoj ravni i tamo je ogranicena jer vrijedi

|φ(λ)| = |f(R(A,λ)x0)| ≤ ||f || · ||R(A,λ)|| · ||x0|| ≤ C||f || · ||x0|| ,

za proizvoljno λ ∈ C.Neka je sada λ 6= µ (λ, µ ∈ C). Tada imamo

φ(λ) − φ(µ) = f(R(A,λ)x0) − f(R(A,µ)x0)

= f((R(A,λ) − R(A,µ))x0)

= f((λ − µ)R(A,λ)R(A,µ)) .

Zato vrijediφ(λ) − φ(µ)

λ − µ= f(R(A,λ)R(A,µ)x0) .

Kako je rezolventa neprekidna funkcija, zakljucujemo da vrijedi

φ(λ) − φ(µ)

λ − µ→ f(R2(A,µ)x0) , λ → µ .

Dakle, funkcija φ(λ) ima izvod u cijeloj kompleksnoj ravni, te je dakle cijelafunkcija, a kako je i ogranicena, prema poznatom stavu iz teorije funkcijakompleksne promjenljive ona je konstanta. Za proizvoljno λ ∈ C je prematome

φ(λ) = f(R(A,λ)x0) = K (K = const) .

Iz ranije dobijene veze

R(A,λ) = −

∞∑

i=0

1

λi+1Ai ,

zakljucujemo da pustanjem da λ tezi u beskonacnost, mora vrijediti ||R(A,λ)|| →0, te onda imamo

0 ≤ |K| = |f(R(A,λ)x0)| ≤ ||f || · ||R(A,λ)|| · ||x0|| → 0 , λ → ∞ ,

iz cega onda mora biti K = 0. To onda znaci da za proizvoljan funkcionalf ∈ X∗ i proizvoljno λ ∈ C, vrijedi f(R(A,λ)x0) = 0, pa preme jednoj odposljedica Hahn-Banachove teoreme zakljucujemo da mora biti R(A,λ)x0 =0. Kako R(A,λ) ima inverzni operator A − λI, zakljucujemo da mora bitix0 = 0, sto se naravno protivi nasem izboru elementa x0.Dobivena kontradikcija pokazuje da spektar ogranicenog operatora ne moze

biti prazan skup, cime je teorem dokazan. ♣

Kao sto smo vec mogli vidjeti, spektar linearnog operatora A se nalazi ukrugu poluprecnika ||A||. Medutim, taj se rezultat moze i pojacati. Naime,


142

vec smo imali da vrijedi 0 ≤ ||An|| ≤ ||A||n za proizvoljno n ∈ N, a to ondaznaci da vrijedi i 0 ≤ n

√

||An|| ≤ ||A||, za n ∈ N proizvoljno. Dakle, niz( n√

||An||)n∈N je ogranicen odozgo i neka je rA supremum skupa vrijednostitog niza. Za proizvoljno ε > 0, na osnovu definicije supremuma, postojiprirodan broj n0, takav da je

n0

√

||An0 || < rA + ε . (4.31)

Neka je sada n ≥ n0, tada mozemo pisati n = mn0 + q, za neke nenegativnecijele brojeve m i q, pri cemu je 0 ≤ q < n0. Tada imamo

n√

||An|| = n√

||Amn0+q|| ≤ n√

||Aq|| · ||Amn0 || ≤ n√

||A||q · ||An0 ||m

≤ n√

||A||q · n√

||An0 ||m

< n√

||A||q · n√

((rA + ε)n0)m

= n√

||A||q · n√

(rA + ε)mn0+q · n√

(rA + ε)−q

= n

√(

||A||

rA + ε

)q

· (rA + ε) .

Kako je 0 ≤ q < n0, to vrijedi

n

√(

||A||

rA + ε

)q

→ 1 , (n → ∞) ,

pa postoji n1 = n1(ε) takav da je

n

√(

||A||

rA + ε

)q

· (rA + ε) < rA + 2ε .

Dakle, za proizvoljno n ≥ n1 vrijedi

n√

||An|| < rA + ε ,

te zbog proizvoljnosti ε zakljucujemo da je posmatrani niz konvergentan ida je pri tome

n√

||An|| → rA , n → ∞ .

Posmatrajmo sada red

−

∞∑

k=0

Ak

λk+1, (4.32)

i kao sto smo to pokazali ranije, on konvergira ako konvergira brojni red

∞∑

k=0

||Ak||

|λ|k,

143


a ovaj je opet konvergentan (na osnovu Cauchyjevog korijenog kriterija) akovrijedi

limk→∞

k

√

||Ak||

|λ|k< 1 .

Posljednje je ekvivalentno sa uslovom

rA = limk→∞

k

√

||Ak|| < |λ| .

Dakle, ako je rA < |λ| tada je red (4.32) konvergentan (u L(X,X)) i pred-stavlja operator (A − λI)−1, a to znaci da je λ ∈ ρ(A). Odavde je jasno dase onda spektar σ(A) mora nalaziti u skupu |λ| ≤ rA.

Velicinu rA uvedenu na gornji nacin, nazivamo spektralni radius operatoraA. Pri tome je jasno da je rA ≤ ||A||, a konkretnim primjerima se mozepokazati da je moguce da bude rA < ||A||.

Sada cemo napraviti poredenje izmedu spektra linearnog operatora A ispektra njemu konjugovanog operatora.

Teorem 4.6.8. Neka je A ∈ L(X,X) zatvoren operator. Tada vrijedi

σ(A) = σ(A∗) .

Jasno je da na osnovu jednakosti iz gornje teoreme imamo i jednakostρ(A) = ρ(A∗). Takode vrijedi,

Teorem 4.6.9. Neka je A ∈ L(X,X) zatvoren operator.

1. Ako je λ ∈ σp(A), tada je ili λ ∈ σp(A∗) ili λ ∈ σr(A

∗).

2. Ako je λ ∈ σp(A∗), tada je ili λ ∈ σp(A) ili λ ∈ σr(A).

4.7 Kompaktni operatori

Definicija 4.7.1. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A : X →Y linearan operator. Za operator A kazemo da je kompaktan ili potpunoneprekidan ako on svaki ogranicen skup preslikava u relativno kompaktanskup u Y .

Gornju definiciju smo mogli iskazati i u ekvivalentnoj formi, preko konver-gencije.

Definicija. Za linearan operator A : X → Y kazemo da je kompaktan akose iz svakog ogranicenog niza (xn)n∈N ⊂ DA moze izdvojiti podniz (xnk

)k∈N,takav da je niz (Axnk

)k∈N konvergentan.

4.7. Kompaktni operatori

144

Svaki kompaktan operator je i neprekidan operator. Zaista, kako je svakirelativno kompaktan skup ogranicen, to onda kompaktan operator ograniceneskupove slika u ogranicene skupove, pa na osnovu Teoreme 3.1.7 on je ineprekidan.

Obrat u opstem slucaju ne vrijedi. Tacnije, na konacnodimenzionalnimprostorima su neprekidnost i kompaktnost linearnih preslikavanja ekviva-lentni pojmovi. Naime, ako je X konacnodimenzionalan prostor i A : X → Ylinearan i neprekidan operator, tada je i A(X) konacnodimenzionalan pot-prostor u Y . Kako su linearna preslikavanja na konacnodimenzionalnimprostorima neprekidna, to A preslikava ogranicene skupove u X u ograniceneskupove u A(X), a na konacnodimenzionalnim prostorima ograniceni skupovisu relativno kompaktni, te je A kompaktan operator. U beskonacnodimen-zionalnim prostorima neprekidan operator ne mora biti kompaktan. Dato vidimo, posmatrajmo proizvoljan beskonacnodimenzionalan prostor X iidenticko preslikavanje I : X → X. Kako je ovo preslikavanje ociglednoograniceno (||I|| = 1), ono je zbog linearnosti i neprekidno. U X postojibeskonacno mnogo linearno nezavisnih vektora x1, x2, ..., xn, .... Oznacimosa Xn (n ∈ N) lineal generisan vektorima x1, x2, ..., xn. Jasno je tada davrijedi Xn ⊆ Xn+1 i da je Xn pravi potprostor od X za svako n ∈ N. Naosnovu Rieszove leme mozemo konstruisati niz vektora (yn)n∈N, takvih daje

yn ∈ Xn , ||yn|| = 1 i d(yn,Xn−1) ≥1

2.

Jasno je da je ovaj niz ogranicen u X, te je i njegova slika ogranicen skup.Kako za proizvoljne n,m ∈ N, n 6= m vrijedi ||yn − ym|| ≥ 1

2 , jasno je da iztog niza ne mozemo izdvojiti konvergentan podniz, pa prema tome taj skupnije relativno kompaktan, a time ni identicko preslikavanje nije kompaktanoperator.

Teorem 4.7.1. Neka je (An)n∈N niz linearnih kompaktnih operatora sa Xu Y i neka An → A0 kada n → ∞. Tada je i A0 kompaktan operator.

Dokaz : Neka je ε > 0 proizvoljan. Na osnovu konvergencije niza opera-tora, postoji n0 ∈ N, takav da je

||An0− A0|| <

ε

2.

Zbog kompaktnosti operatora An0, skup An0

(B(0, 1)) je relativno kompak-tan skup u Y , te postoji konacna ε

2 -mreza tog skupa i neka se ona sastoji odelemenata y1, y2, ..., yN . Za proizvoljno y ∈ A0(B(0, 1)) neka je x ∈ B(0, 1)onaj za koga je y = A0x i neka je yk0

element mreze za koga je

||An0x − yk0

|| <ε

2.

145


Tada imamo

||y − yk0|| = ||A0x − yk0

|| ≤ ||A0x − An0x|| + ||An0

x − yk0||

< ||A0 − An0|| · ||x|| +

ε

2

<ε

2· ||x|| +

ε

2≤

ε

2+

ε

2= ε .

Ovim smo pokazali da je skup y1, y2, ..., yN takode i konacna ε-mreza zaA0(B(0, 1)), a zbog proizvoljnosti ε zakljucujemo da je A0(B(0, 1)) relativnokompaktan skup.Dakle, operator A0 preslikava jedinicnu kuglu (ogranicen skup) u ogranicenskup, a to je dovoljno za zakljucak da ce A0 biti kompaktan operator. ♣

U gornjoj teoremi smo koristili konvergenciju po normi (uniformnu kon-vergenciju) niza operatora. Ako tu konvergenciju zamjenimo jakom konver-gencijom niza operatora (Za niz (An)n∈N kazemo da jako konvergira ka A0,ako za svako x ∈ X vrijedi Anx → A0x (n → ∞)), tada tvrdnja ne mora davrijedi. Naime, neka je X = Y = l2 i neka su en (n ∈ N) standardni vektoribaze prostora l2. Tada za proizvoljno x ∈ l2 vrijedi

x =∞∑

i=1

xiei , xi ∈ Φ .

Posmatrajmo projekciona preslikavanja Pn definisana sa

x ∈ l2 , Pnx =n∑

i=1

xiei .

Zbog konacne dimenzionalnosti slike ovih operatora to su kompaktni opara-tori za svako n ∈ N. Osim toga ocigledno vrijedi

Pnx =n∑

i=1

xiei →∞∑

i=1

xiei = x ,

za proizvoljno x ∈ l2, tj. niz operatora (Pn)n∈N konvergira jako ka identickomoperatoru I, za koga smo vec pokazali da nije kompaktan operator.

Teorem 4.7.2. Ako je A : X → X kompaktan operator i ako je B : X → Xogranicen operator, tada su operatori A B i B A kompaktni.

Dokaz : Neka je S ogranicen skup u X. Tada je zbog ogranicenosti op-eratora B, skup B(S) ogranicen, a onda je zbog kompaktnosti operatoraA, skup A(B(S)) relativno kompaktan u X. Dakle, operator A B slikaogranicen skup u relativno kompaktan skup, te je on kompaktan operator.Na slican nacin se pokazuje kompaktnost i drugog navedenog operatora. ♣

4.7. Kompaktni operatori

146

Teorem 4.7.3. Neka je A : X → Y kompaktan operator i dim(X) = ∞.Ako postoji inverzni operator A−1, tada on nije neprekidan.

Dokaz : Neka je A : X → Y kompaktan operator i neka je X beskonacnodi-menzionalan prostor. Ako pretpostavimo da A−1 postoji i da je neprekidan,tj. ogranicen, tada bi prema prethodnoj teoremi i operator A A−1 = I biokompaktan, a kao sto smo vec pokazali, identicki operator nije kompaktan.♣

Teorem 4.7.4. Rang svakog kompaktnog operatora je separabilan prostor.

Dokaz : Neka je A : X → Y kompaktan operator. Kako je za proizvoljann ∈ N kugla Bn = B(0, n) ogranicen skup, na osnovu kompaktnosti opera-tora je A(Bn) relativno kompaktan skup, a na osnovu Teorema ?? on je iseparabilan. Pri tome je ocigledno

Rang(A) =

∞⋃

n=1

A(Bn) ,

te je rang operatora separabilan kao prebrojiva unija separabilnih skupova.♣

Kompaktnost operatora se prenosi na konjugovani operator, sto iskazujemosljedecim tvrdenjem.

Teorem 4.7.5. Linearan operator je kompaktan ako i samo ako je njemukonjugovan operator kompaktan.

Dokaz : Neka je A : X → Y kompaktan operator. Tada je Rang(A) sepa-rabilan skup, ali takav je onda i Rang(A) ⊆ Y . Neka je sada (gn)n∈N ⊂ Y ∗,takav da je ||gn|| ≤ M , za svako n ∈ N. Ne umanjujuci opstost, neka jeM = 1.Posmatrajmo djelovanje funkcionala gn (n ∈ N) na Rang(A). Kako jeRang(A) separabilan Banachov potprostor, to iz niza (gn)n∈N mozemo izd-vojiti podniz (gnk

)k∈N koji slabo konvergira ka nekom funkcionalu g0 naRang(A), tj.

gnk(y) → g0(y) , k → ∞ ,

za svako y ∈ Rang(A). Jednostavnosti radi podrazumijevacemo da ovovrijedi i za sam niz,

gn(y) → g0(y) , n → ∞ , y ∈ Rang(A) . (4.33)

Jasno je da ||g0|| ≤ 1. Na osnovu Hahn-Banachovog teorema, prosirimofunkcional g0 na citav Y ne mijenjajuci mu normu. Opet jednostavnostiradi, taj prosireni funkcional oznacimo sa g0.Neka je sada ε > 0 proizvoljan. Zbog kompaktnosti operatora A, skup

147


A(B(0, 1)) je relativno kompaktan u Y , pa za njega postoji ε3 -mreza. Neka

tu mrezu cine elementi y1, y2, ..., yN , za koje uvijek mozemo tvrditi (takoih mozemo izabrati) da su iz skupa A(B(0, 1)), a time onda za svako i =1, 2, ..., N postoji xi ∈ X, tako da je yi = Axi. Zbog 4.33 i kako je elemenatayi konacno mnogo, mozemo odrediti prirodan broj n0 = n0(ε), takav da zasve i = 1, 2, ..., N vrijedi

|gn(yi) − g0(yi)| <ε

3,

cim je n ≥ n0. Neka je sada x proizvoljan element iz B(0, 1). Tada za svakoi = 1, 2, ..., N imamo

|A∗gn(x) − A∗g0(x)|

≤ |A∗gn(x) −A∗gn(xi)|+ |A∗gn(xi)− A∗g0(xi)|+ |A∗g0(xi)−A∗g0(x)|

= |gn(Ax) − g0(Axi)| + |gn(Axi) − g0(Axi)| + |g0(Axi) − g0(Ax)|

= |gn(y) − gn(yi)| + |gn(yi) − g0(yi)| + |g0(yi) − g0(y)| ,

gdje je y = Ax ∈ A(B(0, 1)). Neka je sada yi0 onaj element iz skupay1, y2, ..., yN za koga je ||y−yi0|| < ε

3 . Tada iz gornjih nejednakosti imamoza n ≥ n0

|A∗gn(x) − A∗g0(x)| ≤ ||gn|| · ||y − yi0|| + |gn(yi0) − g0(yi0)| + ||g0|| · ||yi0 − y||

<2ε

3+ |gn(yi0) − g0(yi0)|

<2ε

3+

ε

3= ε .

Dakle, za proizvoljan x ∈ B(0, 1), cim je n ≥ n0 vrijedi |A∗gn(x)−A∗g0(x)| <ε, odakle je onda

||A∗gn − A∗g0|| ≤ ε .

Na osnovu svega zakljucujemo da

A∗gn → A∗g0 , n → ∞ ,

te je operator A∗ kompaktan.Neka je sada A∗ kompaktan operator. Tada je prema vec dokazanom i

operator A∗∗ = (A∗)∗ kompaktan. Kako je na osnovu Teorema 4.5.3 A ⊆A∗∗, to je i A kompaktan operator. ♣

Bibliografija

[1] S. Aljancic: Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Beograd 1979.

[2] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie, Berlin, 1935.

[3] D. Kurepa : Teorija skupova, Skolska knjiga, Zagreb, 1951.

[4] A.N. Kolmogorov , S.V. Fomin : Elements of the Theory of Func-tions and Functional Analysis, Volume 1 Metric and normed spaces,Rochester N. Y. , 1957.

[5] L.B. Kantorovic , G.P. Akilov : Funkcionaljnij analjiz, Moskva, 1977.

[6] B. Stankovic : Osnovi funkcionalne analize, Naucna knjiga, Beograd,1975.

[7] G. Hardy , J.E. Littlewood , G Polya : Inequalities, Cembridge Math-ematical Library, 1934. (first published)

[8] Z. Cerin : Metricki prostori, predavanja za istoimeni kurs, PMF Zagreb

[9] G.H. Hardy , J.E. Littlewood , G. Polya : Inequalities , London: Cam-bridge University Press, 1952.

148

149


Dodatak 1: Grcki alfabet

α A alfa

β B beta

γ Γ gama

δ ∆ delta

ε E epsilon

ζ Z zeta

η H eta

θ, ϑ Θ teta

ι I jota

κ K kapa

λ Λ lambda

µ M mi

ν N ni

ξ Ξ ksi

o O omikron

π Π pi

ρ P ro

σ Σ sigma

τ T tau

υ Υ ipsilon

φ, ϕ Φ fi

χ X hi

ψ Ψ psi

ω Ω omega

Documents

Sadrˇzaj - pmf.untz.bapmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/Bihac/PDS/FFOperatoriFunkcionali.pdf · Lema 3.1.3. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i n respektivno i