Îndrumar de laborator - shiva.pub.roshiva.pub.ro/new/wp-content/uploads/2013/04/sisteme_neliniare_si... · 3 3.3 Breviar al procedurilor de calcul ..... 43

CCăălliinn SSOOAARREE SSeerrggiiuu SStteelliiaann IILLIIEESSCCUU IIooaannaa FFĂĂGGĂĂRRĂĂŞŞAANN,, NNiiccoolleettaa AARRGGHHIIRRAA IIuulliiaa DDUUMMIITTRRUU

Îndrumar de laborator

EDITURA CONSPRESS

2013

Copyright © 2013, Editura Conspress

EDITURA CONSPRESS este recunoscută de

Consiliul Naţional al Cercetării Ştiinţifice din Învăţământul Superior

Lucrare elaborată în cadrul proiectului: "Reţea naţională de centre pentru dezvoltarea programelor de studii cu rute flexibile şi a unor instrumente didactice la specializarea de licenţă şi masterat, din domeniul Ingineria Sistemelor"

Descrierea CIP a Bibliotecii Naţionale a României Sisteme neliniare şi eşantionate : îndrumar de laborator / Călin Soare, Sergiu Stelian Iliescu, Ioana Făgărăşan, .... – Bucureşti : Conspress, 2013 Bibliogr. ISBN 978-973-100-281-1

I. SOARE, CĂLIN II. ILIESCU, SERGIU STELIAN III. FĂGĂRĂŞAN, IOANA IV. ARGHIRA, NICOLETA V. DUMITRU, IULIA

004

Colecţia Carte universitară

CONSPRESS B-dul Lacul Tei nr 124, sector 2

cod 020396, Bucureşti Tel: (021) 242 2719 / 300; Fax: (021) 242 0781

1

Prefață

Un rol deosebit în convergența și dezvoltarea Societății Informaționale și a celei bazate

pe Cunostințe îl are domeniul Ingineriei Sistemelor.

Acest domeniu vizează dezvoltarea și implementarea într-o concepție sistemică a

echipamentelor, sistemelor de comunicații și proceselor din diferite domenii de activitate.

O componentă importantă a Ingineriei Sistemelor constă în analiza și proiectarea

sistemelor numerice. Intelegerea problematicii sistemelor numerice este posibila doar pornind

de la reprezentarea sistemelor continue si particularitatile sistemelor discrete.

Lucrarea de față, în viziunea autorilor, se constituie într-o colecție minimal de notiuni teoretice

si aplicative in domeniul sistemelor neliniare si esantionate necesare studenților la orele de

aplicații. Aplicatiile au ca obiectiv aprofundarea cunostintelor prin efectuarea de modelari si

simulari. Se urmareste intelegerea avantajelor si dezavantajelor modelarii sistemelor dinamice

cu esantionare, discrete si neliniare, cunoasterea proprietatilor structurilor de reglare

automata, intelegerea metodelor de proiectare si acordare a regulatoarelor de diferite tipuri,

analiza in timp si frecventa a sistemelor dinamice, aspecte din practica inginereasca la punerea

in functiune a unui SRA..

Lucrarea nu ar fi fost posibil de editat fără sprijinul sustinut al doamnei Maricica Dinu,

autorii multumindu-i pe această cale pentru profesionalismul de care a dat dovadă in

tehnoredactarea materialului.

Autorii

2

Cuprins

1. Elemente de teoria reglarii automate ................................................................................................... 5

1.1 Proces. Sistem. Comanda si reglare. Sistem de reglare automata ............................................... 5

1.1.1 Procese si sisteme ................................................................................................................. 5

1.1.2 Descrierea sistemelor liniare continue în domeniul frecvenţei. Funcţia de transfer. .......... 8

1.1.3 Sistem in circuit deschis si inchis. Comanda si reglare........................................................ 10

1.2 Structuri de sisteme de reglare automată .................................................................................. 11

1.2.1 Tipologia caracteristica sistemelor ..................................................................................... 13

1.3 Aplicatii practice .......................................................................................................................... 13

1.3.1 Reprezentarea unui sistem în Matlab ................................................................................. 13

1.3.2 Analiza răspunsului în timp al sistemelor dinamice ............................................................ 14

1.3.3 Performanţele regimului dinamic şi staţionar .................................................................... 15

1.3.4 Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer. .......................................................... 18

1.3.5 Criterii de stabilitate ........................................................................................................... 20

1.3.6 Chestiuni de studiat ............................................................................................................ 24

2. Sisteme cu esantionare. ...................................................................................................................... 27

2.1 Discretizarea marimilor analogice. Reglarea numerica .............................................................. 27

2.2 Comportarea unui sistem intre intervalele de esantionare........................................................ 30

2.3 Metode de descriere. Reprezentari ale buclei de reglare digitala .............................................. 34

2.3.1 Ecuatii cu diferente finite .................................................................................................... 36

2.3.2 In spatiul starilor. ................................................................................................................ 37

3. Metode de evaluare a transformatelor Z ........................................................................................... 39

3.1 Breviar teoretic ........................................................................................................................... 39

3.1.1 Transformata Z . Discretizarea functiilor definite pe R cu un suport pe R+ ....................... 39

3.1.2 Sisteme discrete .................................................................................................................. 42

3.2 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 43

3

3.3 Breviar al procedurilor de calcul ................................................................................................. 43

3.4 Chestiuni de studiat .................................................................................................................... 46

4. Calculul transformatelor Z inverse ...................................................................................................... 48

4.1 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 48

4.2 Breviar al procedurilor de calcul ................................................................................................. 48

4.2.1 Metoda seriilor de puteri .................................................................................................... 48

4.2.2 Metoda fractiilor simple ..................................................................................................... 48

4.2.3 Metoda formulei de inversiune .......................................................................................... 49

4.2.4 Exemple ............................................................................................................................... 49

5. Funcţia de transfer în Z. Algebra funcţiilor de transfer în Z ................................................................ 51

5.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 51

5.2 Breviar de calcul .......................................................................................................................... 51

5.3 Mod de lucru ............................................................................................................................... 52

5.4 Chestiuni de studiat. ................................................................................................................... 54

6. Utilizarea MATLAB în analiza sistemelor cu eşantionare. ................................................................... 55

6.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 55

6.2 Breviarul procedurilor de calcul. ................................................................................................. 55

6.3 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 59


7. Utilizarea SIMULINK pentru analiza sistemelor discrete .................................................................... 62

7.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 62

7.2 Breviar teoretic. .......................................................................................................................... 62

7.2.1 Mod de lucru. ...................................................................................................................... 63

7.2.2 Chestiuni de studiat. ........................................................................................................... 65

8. Analiza stabilitatii sistemelor liniare cu esantionare .......................................................................... 67

8.1 Scopul lucrarii .............................................................................................................................. 67

8.2 Breviarul procedurilor de calcul .................................................................................................. 67

8.2.1 Criteriul Schur – Cohn ......................................................................................................... 67

4

8.2.2 Utilizarea transformatei W ................................................................................................. 68

8.2.3 Utilizarea transformatei r .................................................................................................. 69


9. Metode de liniarizare pentru sisteme dinamice neliniare .................................................................. 71

9.1 Breviar de calcul .......................................................................................................................... 71

9.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 72


10. Analiza planară a sistemelor neliniare ............................................................................................ 78

10.1 Scopul lucrării. ............................................................................................................................. 78

10.2 Scurt breviar teoretic. ................................................................................................................. 78

10.3 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 79


11. Evaluarea stabilităţii regimurilor periodice în sisteme neliniare. ................................................... 83

11.1 Breviar teoretic. .......................................................................................................................... 83

11.2 Mod de lucru. .............................................................................................................................. 84


12. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Krasovski ............................................................ 89


12.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 90


13. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Eisermann .......................................................... 92


13.2 Mod de lucru ............................................................................................................................... 92


14. Bibliografie ...................................................................................................................................... 96

5

1. Elemente de teoria reglarii automate

1.1 Proces. Sistem. Comanda si reglare. Sistem de reglare automata

1.1.1 Procese si sisteme

Procesul şi sistemul, noţiuni fundamentale în fizică, îşi găsesc o explicaţie şi încadrare

riguroasă la nivelul termodinamicii, disciplină care se ocupă cu studiul relaţiilor dintre diversele

forme ale energiei. De obicei, principiile termodinamicii sunt formulate referitor la un anumit

sistem (fizic) bine definit. Un sistem termodinamic este un ansamblu care poate interacţiona cu

mediul înconjurător cel puţin pe două căi, dintre care una trebuie să fie un transfer de căldură.

Unui astfel de sistem i se poate delimita un interior, conţinând un număr oarecare de corpuri

macroscopice cu o structură (fizică) continuă, şi un exterior. Starea unui astfel de sistem se

descrie printr-un set de parametri (fizici) ce caracterizează situaţia din interior şi interacţiunile cu

exteriorul. Se numeşte proces fizic (macroscopie) tranziţia unui sistem termodinamic dintr-o

stare în alta.

Într-un limbaj tehnic aplicativ prin noţiunea de sistem (tehnic) se înţelege un ansamblu de

elemente componente fizico-tehnice, care acţionează unele asupra altora într-un mod bine

determinat (figura 1).

INTERIORUL

SISTEMULUI

Su S2

Su S1

Su S3

MEDIU

EXTERIOR

SISTEMULUI

Limita sistemului

cu exteriorul

Ee1

E 34E 33

E 32E 31

E e3

E e2

E 23

E 22

E 21E 13

E 12

E 11

SISTEM

Fig..1. Sistem (tehnic): Eij – element constituant al sistemului; Su Sk - subsistemul k

Un exemplu de sistem (tehnic) este sistemul electroenergetic (SEE). Acesta este constituit din

elemente generatoare de energie electrică, transformatoare, linii electrice, transport şi echipamente de

distribuţie a energiei electrice. Aceste elemente sunt grupate zonal constituind subsistemele unui SEE.

Referitor la un SEE dat, de exemplu SEE românesc, acestui SEE i se poate asocia un interior şi un

exterior, delimitarea dintre aceste zone, făcându-se printr-o graniţă (figura 2).

6

În acelaşi sens, procesul industrial, ca ansamblu de fenomene de natură complexă, concepute, de regulă,

de către om cu o destinaţie funcţională precisă, explicitează transformările masice şi / sau de energie şi de

informaţii.

Vom asocia unui proces industrial o reprezentare de tipul celei din figura 3, în care s-au notat prin

Ei fluxurile de energie, materii prime, materiale şi informaţii (introduse) transmise procesului, respectiv

prin Ee fluxurile de energie, materiale, produse finite sau informaţii extrase din proces.

. . . .

INTERIOR

MEDIUL EXTERIOR

Element din mediul

exteriorLimita sistemului fata

de mediul exterior

Su EE1Su EE2

Su EEi

Fig. 2. Sistem electroenergetic (SEE): Su EEi subsistemul electroenergetic “i”

u

v

y x z

Proces industrial Ei Ee

v

y x z

Proces industrial

u

Ee Ei

a) b)

Fig. 3 – Reprezentarea unui proces industrial sub formă de schemă bloc

Sistem cu mai multe intrări şi mai multe ieşiri (MIMO);

Sistem cu o intrare şi o ieşire (SISO)

Pentru un sistem cu o intrare şi o ieşire cu mai multe stări, sistemul (2.16) se rescrie

sub forma:

T

T

x Ax bu ev

y c x

z d x

(1)

7

unde nx este vectorul de stare, u este comanda, v perturbaţia, y mărimea

măsurată, z mărimea de calitate, iar matricile nxnA , , , , nb c d e .

Ecuaţiile (1) definesc modelul sistemic al procesului din figura 3.b) a cărui realizare tehnică

este prezentată în figura 4; prin m s-a notat mărimea de execuţie. Se poate constata că,

principalele subsisteme componente ale unui proces sunt: EE - elementul de execuţie, P -

procesul propriu-zis, T - traductorul.

EE P Tu m z

y

a)

EA(M) OR ES C/APh wu m z y

b)

Fig. 4 - Realizarea tehnică a sistemului dinamic descris de ecuaţiile (2.23):

a) EE – elementul de execuţie, P – procesul propriu-zis, T – traductor;

b)EA(M) – element de actionare (motor); OR – organ de reglare; ES – element sensibil;

C/A – convertor / adaptor

8

1.1.2 Descrierea sistemelor liniare continue în domeniul frecvenţei.

Funcţia de transfer.

În studiul proceselor (tehnice) se apelează de multe ori la utilizarea transformatei Laplace, o

transformare de tip integral ce permite o rezolvare mai uşoară a ecuaţiei sau ecuaţiilor

diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi într-o ecuaţie sau sistem de ecuaţii algebrice (figura

5).

Fig.5. Schema de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale prin transformata Laplace

Se defineşte o transformată Laplace directă

0

( ) ( ) stF s f t e dt

L ( )f t

(2)

şi o transformată Laplace inversă

1( ) ( )

2

a j

st

a j

f t F s e dsj

L ( )F s

(3)

cu f(t) – funcţia original, F(s) – funcţia imaginară şi s=+j – variabila complexă

În abordarea proceselor (tehnice) funcţia original este în mod obişnuit o funcţie de tipul

t . Variabila complexă s pe de altă parte conţine frecvenţa (pulsaţia) , ceea ce ne permite să

spunem că funcţia imaginară F(s) este o funcţie frecvenţială. În acest mod transformata Laplace

directă, transformă domeniul timp în domeniul frecvenţă şi acţiunea se petrece invers în cazul

transformatei Laplace inverse (figura 5)

Ecuaţii diferenţiale

Ecuaţii algebrice Soluţii

Soluţii

Transformata

Laplace directă

L

Transformata

Laplace inversa

L-1

t

s

9

Domeniul imagine

s

Funcţia de transfer

Repartiţia poli-

zerouri

Locul rădăcinilor

Domeniul timp

t

Funcţia treaptă

Funcţia pondere

Criterii integrale

Condiţii între

argumente

t

t

s

t 0

0

0

Domeniul frecvenţăj

Reprez. în frecvenţa

Diagrama Nyquist

Diagrame Bode

L-1L

F-1F

Fjs

10

1.1.3 Sistem in circuit deschis si inchis. Comanda si reglare

În activitatea curentă ne întâlnim cu echipamente şi instalaţii care au fost concepute şi

realizate pentru a îndeplini un scop bine determinat.

De exemplu, un schimbător de căldură abur-apă este destinat să încălzească apa la o

temperatură prestabilită cu ajutorul aburului. Sau un motor electric ce antrenează o sarcină (de

exemplu, benzile rulante sau un ascensor) trebuie să se rotească cu o turaţie bine determinată şi

constantă. De asemenea apa într-un bazin de înot trebuie să rămână la un nivel constant pentru ca

acesta să fie funcţional.

Temperatura, turaţia sau nivelul sunt nişte mărimi, pe care le numim mărimi de ieşire, ce

trebuiesc menţinute la nişte valori dorite prestabilite indiferent de influenţele (perturbaţiile)

exterioare.

În relaţia operator uman – proces (instalaţie tehnologică, parte fixată, sistem supus

automatizării) distingem două funcţii interdependente între ele. Această dublă relaţie se numeşte

dirijare sau conducere.

Atât funcţia de informare cât şi cea de acţionare – comandă prezintă un aspect calitativ şi un

aspect cantitativ.

În cazul funcţiei de informare a operatorului uman asupra modului cum funcţionează

procesul aspectul calitativ este realizat prin funcţia de semnalizare iar aspectul cantitativ prin

cea de măsură.

Funcţia de acţionare sub aspect calitativ se exprimă prin funcţia de comandă iar sub aspect

cantitativ prin funcţia de reglare.

Având în vedere că subiectul acestei lucrări se circumscrie funcţiei de acţionare-comandă

dorim să precizăm într-un limbaj tehnic accesibil cele două aspecte ale acestei funcţii:

Comanda constă în influenţarea unei mărimi de ieşire de către una sau mai multe

mărimi pe baza specificaţiei dependenţei fenomenologice intrare – ieşire.

Reglarea este o acţiune prin care o mărime ce o dorim controlată (reglată) şi care

reprezintă mărimea de ieşire din instalaţie, este comparată permanent cu o altă

mărime, reprezentând mărimea de valoare dorită (sau de referinţă). Rezultatul

acestei comparaţii va conduce la aducerea ieşirii la referinţa prescrisă.

Atâta timp cât această conducere se efectuează de către om, ea se numeşte neautomată

(impropriu “manuală”). Dacă aceste funcţii se desfăşoară fără intervenţia omului, conducerea va

fi automată iar sistemul care descrie la nivel de model elementul ce realizează aceste funcţii,

sistem compensator sau dispozitiv automat.

Ansamblul format din sistemul compensator şi proces se numeşte sistem automat sau

sistem de reglare automată.

11

RA EE TPyr

+ _

u m

v

z y

Echipamente de automatizare

Subsistemele unui SRA:

RA = regulator automat

EE = element de executie

T = traductor

P = procesul propriu-zis

(instalatia tehnologica,

partea fixata)

Marimi:

y = masura

yr= referinta

= eroare

u = comanda;

m = executie;

z = calitate;

v = perturbatie

Intrare sau

element de masura

SRA

SCA

Dispozitiv de

comandaEE P

Echipamente de automatizare

uu' m y

v

SSCCAA

aaccţţiiuunnee îînn cciirrccuuiitt ddeesscchhiiss

aaccţţiioonneeaazzaa nnuummaaii aassuupprraa ppeerrttuurrbbaaţţiiiilloorr

ccuunnoossccuuttee

nnuu ssuunntt pprroobblleemmee ddeeoosseebbiittee îînn cceeeeaa ccee

pprriivveessttee ssttaabbiilliittaatteeaa aannssaammbblluulluuii

SSRRAA

aaccţţiiuunnee îînn cciirrccuuiitt îînncchhiiss

ssee ppooaattee aaccţţiioonnaa aassuupprraa ttuuttuurroorr

ppeerrttuurrbbaaţţiiiilloorr

ppooaattee ddeevveennii iinnssttaabbiillăă cchhiiaarr ddaaccăă yyrr şşii vv

ssuunntt mmăărrggiinniittee

Comparaţie între un sistem de comandă automată (SCA) şi un sistem de reglare automată

(SRA)

1.2 Structuri de sisteme de reglare automată

RA EE P Tyr u m z

+

++

v

y

Principalele subsisteme ale unui sistem de reglare automată

Sistemul de reglare automată (SRA) este un sistem în conexiune inversă care îşi decide

comportamentul faţă de mărimile externe (exogene) pe baza mărimii de eroare, , generate în

mod automat, cu scopul expres al anulării acesteia.

12

Spre deosebire de SRA care îşi explicitează funcţionalitatea prin anularea mărimii de eroare,

sistemele de conducere prezintă funcţii multiple şi mai complexe, inclusiv cea de reglare

automată.

SRA se pot clasifica după obiectivul final al funcţiei de reglare în:

sisteme de urmărire (servosisteme);

sisteme de rejecţie a perturbaţiilor (sisteme cu referinţă fixă).

Îndeplinirea funcţiei de reglare nu se face numai pe seama mărimii de eroare, dar când este

posibil, şi pe baza măsurării directe a perturbaţiilor, dacă acest lucru este posibil. Elaborarea

comenzii în această variantă este interesantă, în special, în rejecţia perturbaţiilor, în aşa numita

reglare cu acţiune directă (feedforward).

+Hc (s) H(s)

Hr (s)

+

u yyr

v

SC P

.

Schema funcţională bloc a unui SRA

Subsisteme unui SRA: SC - compensatorul după eroare, P - procesul (constituit din

element de execuţie, procesul propriu-zis şi traductor).

Mărimile reprezentative ale unui SRA sunt: - eroarea, u - comandă, m - mărimea de

execuţie, z - mărime de calitate, y - mărimea măsurată.

13

1.2.1 Tipologia caracteristica sistemelor

1

2

3

4

5

6

7

Sisteme liniare Sisteme neliniare

Sisteme cu parametrii concentrati

Sisteme cu parametrii distribuiti

Sisteme invariabile in timp

Sisteme variabile in timp

Sisteme continnue in timp

Sisteme discrete in timp

Sisteme deterministe

Sisteme stochastice

Sisteme stabile

Sisteme instabile

Sisteme cauzale

1.3 Aplicatii practice

1.3.1 Reprezentarea unui sistem în Matlab

Un sistem poate fi descris din consolă în felul următor:

a) sub forma unei funcţii de transfer în consola, ”Hs=tf(num,den)”, unde Hs este numele

variabilei care descrie funcţia de transfer, iar num şi den sunt vectorii care conţin coeficienţii

numărătorului şi ai numitorului funcţiei de transfer.

14

Exemplu:

>> Hs = tf([1],[1 1])

Transfer function:

1

-----

s + 1

b) sub forma unei funcţii de transfer (poli-zerouri) în consola, ”Hs=zpk(z,p,K)”, unde z şi p

reprezintă vectorii care conţin zerourile şi polii sistemului, iar K factorul de amplificare.

Exemplu:

>> Hs = zpk([],[1 -2], 4)

Zero/pole/gain:

4

-----------

(s-1) (s+2)

1.3.2 Analiza răspunsului în timp al sistemelor dinamice

Funcţia de transfer a unui sistem, exprimată prin termeni tip, are forma generală:

n

i

iiq

mii

n

n

n

n

m

m

m

m

sa

as

sb

b

a

b

asasasa

bsbsbsb

su

sysH

1

1 0

0

0

01

1

1

01

1

1

.1.

.1

....

...

)(

)()(

0

(1.1)

Factorizând polinoamele de la numărător la numitor în funcţie de rădăcinile simple sau complexe

şi de ordinul de multiplicitate, obţinem:

l

ll

k

k

j

jj

i

i

q sTsTsT

sTsTsT

s

K

su

sysH

)1..(.)1.(

)1..()1.(

.)(

)()(

22

22

(1.2)

unde K este factorul de amplificare, iar Tconstanta de timp.

Zerourile unei functii de transfer sunt solutiile polinomului de la numaratorul functiei de

transfer.

Polii functiei de transfer reprezinta zerourile polinomului de la numitorul functiei de transfer.

Se defineste tipul functiei de transfer prin numarul polilor in origine ai functiei de transfer.

15

Ordinul funcţiei de transfer – ordinul ecuaţiei diferenţiale din care s-a obţinut prin

transformata Laplace în condiţii iniţiale nule funcţia de transfer. Pentru sistemele fizic realizabile

(n > m), ordinul coincide cu gradul polinomului de la numitorul funcţiei de transfer.

1.3.3 Performanţele regimului dinamic şi staţionar

Performanţele regimului dinamic sunt descrise prin indici sintetici de calitate ce caracterizează

răspunsul indicial al sistemului:

a) suprareglajul

y y

y y

st

st st

max 1

(1.3)

unde pentru sistemul de ordinul doi:

21e

(1.4)

b) timpul primului maximsau de atingere a abaterii maxime a mărimii de ieşire in regim

tranzitoriu tσ;

c) durata regimului tranzitoriu tt definita prin timpul ce se scurge din momentul aplicării

excitaţiei (intrarea) pe canalul de referinţa si pînă cind ieşirea intra într-o bandă de

( )%2 5 y s ;

unde pentru sistemul de ordinul doi:

3...4t

n

t

(1.5)

d) indicele de oscilaţie reprezintă variaţia relativă a amplitudinilor a două depăşiri

succesive de acelaşi semn a valorii de regim staţionar:

1 2

1

2

11

(1.6)

în care 1 şi 2 sunt primele două depăşiri ale valorii de yst.

iar pentru sistemul de ordinul doi:

2

2

11 e

(1.7)

Aprecierea acestor indici de calitate se face pe baza răspunsului indicial al SRA, deci a funcţiei

de transfer în circuit închis.

Performanţele regimului staţionar:

a) eroarea staţionarăεs- valoarea erorii de reglare în regim staţionar (neperturbat,

stabilizat)

16

st s s

rt s s sy s H s lim lim lim( ) ( ) ( ) ( )

0 0 (1.8)

st K ( ) [%];1 100 dacă K st 1 0 (1.9)

b) răspunsul indicialreprezintă răspunsul unui sistem liniar atunci când intrarea este de tip

treaptă (ce se poate considera, datorită liniarităţii, de amplitudine unu - treapta unitară).

Elementul de întârziere de ordinul 1

Din ecuaţia diferenţială de mai jos:

)()()(

tubtyadt

tdya 001

(1.10)

obţinem funcţia de transfer, aplicând transformata Laplace:

1 0 0( ) ( ) ( )a s y s a y s b u s 1)(

)()(

Ts

K

su

sysH

(1.11)

unde T = a1/a0[s], T>0 esteconstanta de timp, iar K = a0/b0 factorul de amplificare.

În Figura1.1. este reprezentat răspunsul indicial al sistemului de ordinul 1 când factorul de

amplificare K ia valoarea de 0.5.

Răspunsul indicial al sistemului de ordinul 1

0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tt tt T

εst

17

Elementul de întârziere de ordinul 2

Ecuaţia diferenţială caracteristică sistemului de ordin doi este:

2

2 1 0 02

( ) ( )( ) ( )

d y t dy ta a a y t b u t

dt dt

(1.12)

Funcţia de transfer obţinută aplicând transformata Laplace expresiei (1.12) este:

22

2

2)(

)()(

nn

n

ss

K

su

sysH

(1.13)

Pentru K=1 H sT s Ts s s

n

n n

( )

1

2 1 22 2

2

2 2

(1.14)

în care 0 , 1/ , 0,1nT T

se numesc constanta de timp, pulsaţie naturală, respectiv

factorul de amortizare.

Când intrarea este treaptă (unitară) se deduce:

y s H s u s

s s s

n

n n

( ) ( ) ( )

2

2 22

(1.15)

şi se obţin următoarele regimuri tipice:

a) Regim neamortizat (=0)

a) Regim subamortizat ( )0 1 este răspunsul tipic al sistemului de ordinul II.

b) Regim critic 1

c) Regim supra amortizat 1

Structura acestor răspunsuri este cea din fig.1.2.

Răspunsurile indiciale ale sistemului de ordinul 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t[s]

y(t)

zita=0

zita=0.5

zita=1

zita=2

u(t)

18

1.3.4 Reprezentarea în frecvenţă a funcţiilor de transfer.

Regulile generale de trasare a caracteristicilor semilogaritmice sunt prezentate pe exemplul

următor:

0. Se factorizează cu coeficienţi reali numărătorul şi numitorul lui H(s) - în general, acest lucru

este datdin start.

H ss s

s s s s s( )

( . )( )

( . )( )

3200 0 2 5

0 4 1 8 16002 2

(1.16)

1. Elementele ce compun funcţia de transfer se aduc la o formă ce evidenţiază termenii tip

(constantele de timp).

H ss s

s s s s s

s s

s s s s s

( )* . * ( )( . )

( . )( )

( )( . )

( . )( )

3200 0 2 5 1 5 1 0 2

1600 0 4 11

1600

1

2001

2 1 5 1 0 2

0 4 11

1600

1

20012 2 2 2

2. Se identifică elementele standard ce compun funcţia de transfer şi se determină parametrii

necesari trasării:

pulsaţiile de frângere (inversul constantelor de timp identificate la punctul 1)

factorii de amortizare pentru elementele de ordinul 2.

element de anticipare de ordinul 1 Ha = 1+5s; T1=5; t1= 1/T1=0.2

Ha = 1+0.2s; T2=0.2; t2= 1/T2=5

= 3dB

element de întârziere de ordinul 2

H ss s

TT

T

dB

I t

t dB

( ).

; ; ; . .

( ) lg lg .

1

0 4 11

11 2 0 4 0 2

20 2 20 0 4 8

2 3 33

3

3

H s

s s

TT

T

dB

I t

t dB

( ) ; ; ; .

( ) lg lg .

1

1

1600

1

2001

1

40

140 2

1

20001

20 2 20 0 2 14

24 4

44

4

3. Partea de joasă frecvenţă a caracteristicii este o dreaptă cu panta (-q 20 dB/dec) trecând

prin punctul de coordonate (=1, KdB = 20 lgK)

K = 2; KdB = 20 lg K = 20 lg 2 = 20 0.3 = 6 dB

q = 1 =>- 20 dB/dec

19

4. Considerând pulsaţiile de frângere ordonate crescător, se prelungeşte panta de joasă frecvenţă

până la cea mai mică pulsaţie de frângere t1.

5. Cunscând tipul elementului standard cu pulsaţia de frângere t1, se calculează panta

rezultantă pe următoarea pulsaţie de frângere, ş.a.m.d.

6. Ca verificare, panta asimptotei de înaltă frecvenţă trebuie să rezulte de (-e 20 dB/dec).

a) CARACTERISTICA EXACTÃ AMPLITUDINE – PULSAŢIE

Caracteristica exactă amplitudine-pulsaţiese obţine corectând caracteristica asimptotică

amplitudine - pulsaţie cu erorile făcute prin aproximarea respectivă. Acestea sunt de 3dB (în

pulsaţiile de frângere) la elementele standard de ordinul 1 şi la elementele de ordinul 2 se

calculează cu relaţia 2lg20)(

dBt

b) CARACTERISTICA FAZÃ – PULSAŢIE

Trasarea acestei caracteristici se face analitic pe baza expresiei funcţiei sau cu şabloane de

trasare a caracteristicilor standard componente.

Cu schimbarea de variabilă s=jω, funcţia de transfer H(s) a unui sistem se poate scrie:

H(j )=|H(j )|ej

=|H(j )|ej H jarg ( )

=H(j )+jImH(j )=U()+jV() (1.17)

Din scrierea sub formă complexă a lui H(s), relaţia (1.17), se deduce expresia:

f arctgH j

H j( )

Im ( )

Re ( )

care arată dependenţa de pulsaţia fazei . Pentru sistemul descris de

funcţia de transfer (3) rezultă imediat:

f qii

m

jj

n

( ) '

1 1

02

(1.18)

Aşadar după trasarea caracteristicilor fază-pulsaţie ale elementelor componente prin sumare se

obţine caracteristica fază-pulsaţie a funcţiei de transfer considerate.

Caracteristicile amplitudine-pulsaţie exacte şi faza pulsaţie pentru H(s) definit prin relaţia (1.16)

sunt reprezentate în Figura 1.3.

20

Caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

Reprezentările în frecvenţă a funcţiilor de transfer sunt folosite la aprecierea stabilitaţii

sistemelor descrise de aceste funcţii.

1.3.5 Criterii de stabilitate

Aprecierea stabilităţii se poate face direct calitativ prin criteriul Routh-Hurwitz şi Cremer-

Leonard-Mihailov sau apelând la analiza frecvenţială prin criteriile Nyquist și Bode.

1.3.5.1 Criteriul Routh-Hurwitz

Fie polinomul caracteristic:

1

0 1 .....n n

A ns c s c s c (2.1)

complet şi cu toţi coeficienţii pozitivi.

Condiţia necesară şi suficientă ca rădăcinile lui A s să aibă partea reală strict negativă

este ca toţi determinanţii principali ai matricei Hurwitz să fie strict pozitivi:

21

1 3 5

0 2 4

1 1

1 3

1 3

0 2 2

0 2

1

0

00

0 00

0 0 0

0

n

n

c c c

c c cD c

c cD c c

c c Dc c

c

(2.2)

Dacă un minor pe diagonală 0iD atunci rezultă că sistemul este instabil, nemaifiind

necesară calcularea tuturor determinanţilor matricei Hurwitz.

Exemplu:

Se consideră un sistem definit printr-o funcţie de transfer de tipul 23

1)(

ss

ssH

. Se

dorește studierea stabilităţii acestui sistem cu ajutorul criteriului de stabilitate Routh-Hurwitz.

Astfel, se determină polinomul caracteristic 3 2 1A s s s s și se verifică dacă toţi

coeficienţii polinomului caracteristic sunt >0.

Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, se alcătuieşte matricea Hurwitz, după care se

calculează minorii pe diagonalã.

3

1 1 0

1 1 0 0

0 1 1

D

Rezolvarea acestei probleme utilizând comenzile MATLAB se realizează în modul următor:

>>num=[1 1];

>>den=[1 1 0 0];

>>H=tf(num,den);

Transfer function:

s + 1

---------

s^3 + s^2

% determinarea polinomului caracteristic

>>X=1+H

Transfer function:

s^3 + s^2 + s + 1

-----------------

s^3 + s^2

%matricea Hurwitz

>>D1=[1 1 0;1 1 0;0 1 1]

22

D1 = 1 1 0

1 1 0

0 1 1

%calcularea determinantului

>>det(D1)

ans =

0

Pentru acest exemplu determinantul matricei Hurwitz 3 0D indică un sistem la limita de

stabilitate.

1.3.5.2 Criteriul Cremer-Leonard-Mihailov

Un sistem definit prin ecuaţia sa caracteristică este asimptotic stabil dacă şi numai dacă

locul de transfer (hodograful) al ecuaţiei caracteristice pentru o variaţie a lui ω (0,+∞)

determină o variaţie a unghiului de fază de 2

*

n în sens pozitiv (anti orar), unde n este gradul

ecuaţiei caracteristice.

Dacă una din aceste condiţii nu este satisfăcută sistemul este instabil.

a0

n=0

Re P(j)

Im P(j)

n=2

n=3

n=4

Sistem stabil

Im P(j)

Re P(j)

n=5

=0

n=3

a0

n=2

Sistem instabil

1.3.5.3 Criteriul Nyquist generalizat:

Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca locul de transfer

(hodograful) lui Hb(s) să înconjoare punctul critic (-1,j0) în sens trigonometric de atâtea ori câţi

poli are Hb(s) în interiorul conturului Nyquist atunci când ( , ) .

23

1.3.5.4 Criteriul Nyquist simplificat:

Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca hodograful lui HO(s) să nu

înconjoare punctul critic (-1,j0) (se consideră Hb(s) stabil) atunci când ( , ) .

Exemplu:

Pentru studierea stabilităţii cu ajutorul criteriului Nyquist se foloseşte funcţia Matlab

>> nyquist(num,den)

Reprezentarea hodografuuil sau a locului de transfer

Din grafic se poate observa că hodograful lui Hb(s) nu înconjoară punctul critic (-1,j0)

conform criteriului de stabilitate NYQUIST SIMPLIFICAT sistemul este stabil.

1.3.5.5 Criteriul Bode

Acest criteriu analizează stabilitatea SRA, evaluând rezerva de stabilitate a acestuia.

Rezerva de stabilitate a unui SRA se evaluează prin două mărimi caracteristice din

caracteristicile semilogaritmice ale lui Hb(s):

- marginea de amplitudine (rezerva de stabilitate în modul): m H jdB b dB ( ) (2.3)

- marginea de fază (rezerva de stabilitate în fază): 180ot( ) (2.4)

24

unde t este pulsaţia de tăiere, iar pulsaţia la care sistemul Hb(s) are o fază egală cu .

Criteriul Bode reprezintă transpunerea în scara logaritmică a criteriului Nyquist simplificat. El se

exprimă astfel: Condiţia necesară şi suficientă ca un SRA să fie stabil este ca reprezentarea fază-

pulsaţie să intersecteze axa într-un punct situat după intersecţia cu aceeaşi axă a reprezentării

amplitudine pulsaţie (deci >t).

Exemplu:

Pentru studierea stabilităţii cu ajutorul criteriului Bode se foloseşte funcţia Matlab

>> bode(num,den)

Dacă se dorește și afișarea marginei de amplitudine și de faza se folosește comanda:

>>margin(num,den).

Reprezentarea caracteristicilor amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie

Intersecţia reprezentării amplitudine-pulsaţie cu axa 0 se notează cu ωt şi se numeşte

pulsaţie de tăiere. Intersecţia reprezentării fază-pulsaţie cu axa de -180° se notează şi se

numeşte pulsaţie la o fazã de 180 .

Din grafic se poate observa că t>π (margini de amplitudine și de fazã negative) şi deci

în acest caz avem un sistem instabil.

1.3.6 Chestiuni de studiat

ωt

ωπ

25

1. Afişaţi răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul I, utilizând comenzi la nivelul

consolei Matlab. Vizualizaţi răspunsul sistemului (1.11) la o intrare de tip treaptă,

implementând o diagramă bloc în Simulink. Observaţi ce se intâmplă cu eroarea staţionară a

sistemului si cu durata regimului tranzitoriu. Consideraţi

a) K=1 şi T=2

b) K=1şi T=4

c) K=1şi [0.1,2]T

Indicaţie. Folosiţi blocurile Step, Transfer Fcn şi Scope.

2. Scrieţi un fişier script care să traseze, în cadrul aceleiaşi figuri, răspunsul indicial al

sistemului reprezentat prin funcţia de transfer (1.11), pentru o gamă de valori ale lui T din

intervalul [0.1; 3]. Factorul de amplificare va fi considerat egal cu 1.

Rezolvare. Pentru a forma un fişier script nou (extensia „.m”), se alege comanda File / New / M-

file din meniul Matlab-ului. În fereastra care se va deschide, introduceţi următoarele linii de

comandă:

figure

hold on

for i=0.1:0.5:3,

Hs = tf([1],[i 1]);

step(Hs);

end

hold off

Salvaţi fişierul cu numele de „script1.m”, închideţi fereastra care-l conţine şi apelaţi-l din

consolă prin numele său. Veţi obţine un grafic ca cel alăturat.

Care dintre grafice este răspunsul sistemului pentru T=3? Justificaţi!

3. Considerându-se sistemul de mai jos

pssH s

2)(

,

trasaţi răspunsul la treaptă unitară pentru ];[ 22p . Când este sistemul stabil (are ieşirea

mărginită) şi de ce?

4. Afişaţi răspunsul indicial al sistemului de întârziere de ordinul 2, utilizând comenzi la nivelul

consolei Matlab. Vizualizaţi răspunsul sistemului (1.14) la o intrare de tip treaptă,

implementând o diagramă bloc în Simulink. Observaţi ce se intâmplă cu performanţele de

regim tranzitoriu şi staţionar ale sistemelor reprezentate.

Păstrând constante valorile pentru K=2 şi T=1 modificaţi valoarea factorului de amortizare

precum în cazurile următoare:

a) 0

26

b) 0.5

c) 1

d) 2

Indicaţie. Folosiţi blocurile Step, Transfer Fcn şi Scope.

5. Urmărind regulile generale ale trasării caracteristicilor semilogaritmice să se traseze

caracteristicile amplitudine-pulsaţie şi fază-pulsaţie pentru sistemul definit prin funcţia de

transfer de mai jos: H ss s sb ( )

( . )( . )( )

100

01 0 8 5. Să se verifice forma caracteristicilor cu

ajutorul funcţiilor Matlab.

Indicaţie. Utilizaţi funcţia bode(num,den).

6. Urmărirea stabilitaţii următoarelor sisteme, caracterizate de funcţiile de transfer în circuit

deschis, cu ajutorul criteriilor învăţate:

H sk

s s sb ( )( . )( . )( )

1

01 0 8 5 k1=100 k1=5

H sk

s s sb ( )( )( )

2

3 13 k2=1000 k2=10

Indicaţie. Utilizaţi funcţiile: bode(num,den), nyquist(num,den).

7. Se dă ecuaţia caracteristică a unui sistem automat de gradul patru:

4 3 2

4 3 2 1 0 0a s a s a s a s a

Coeficienţii ecuaţiei au următoarele valori:

9

4 2 10a ; 5

3 2 10a ; 3

2 3 10a ; 1

1 1,3 10a ; 0 100a

Să se determine stabilitatea sistemului cu ajutorul criteriilor Routh-Hurwitz şi Cremer-

Leonard-Mihailov.

8. Se dă un sistem definit prin funcţia de transfer:

5 4 3 2

1( )

5* 8* 10* 7* 6bH s

s s s s s

Să se determine stabilitatea sistemului cu ajutorul criteriului Routh-Hurwitz.

27

2. Sisteme cu esantionare.

2.1 Discretizarea marimilor analogice. Reglarea numerica

REGLARE NUMERICA (DIGITALA)

Introducere

Un sistem numeric consta dintr-un proces analogic condus de un regulator numeric/calculator

numeric (CPU, Memorie, Module I/E, CAN, CAD). Un astfel de sistem il numim DDC.

Avantajele reglarii numerice:

Reglarea esantionata

O bucla de reglare numerica consta in reglarea unui proces continuu printr-un CAN, care

interogheaza marimea masurata/reglata numai in momente de timp aflate la distanta constanta

numita perioada de esantionare T.

O bucla de reglare numerica este formata din doua subsisteme: un element liniar invariant in

timp (2) si un element ce are o functionare discreta (1).

1 2+

-

1924 Renidr, Grdina

1948/1958 Oldenburg, Sartorins, Zypkin

Modul de functionare a unei bucle digitale de reglare.

CANALGORITM

DE REGLARE

NUMERICCNA

SISTEM

CONTINUU

PROCES( )y t

t ( )u t

t

( )y t

t

ry0TT

( )cH z

T

28

Unitatede

control

• Unitate

aritmetica si

logica

• Memorie

CNA

CAN0

MUX

DMUX

CALCULATOR NUMERIC

H

ND (NI)

Qi

Qe

FCV

I/PFT1

LT

FT2

!!! Discretizarea unei marimi analogice consta in esantionarea in timp si in cuantizarea in

amplitudine.

Acest proces are loc intr-un CAN reprezentat sub forma de schema bloc mai jos.

tkT kT

yj(kT)

Exemple (dupa Reuter M. si altii 2002). Daca consideram o marime analogical ce variaza in

domeniul 10 .V c c si consideram ca avem un CAN pe 16 bti = 15+1, atunci valoarea unei

cuante este de:

15

100,305

2

VmV

Pentru a calcula functia de transfer a dispozitivului de esantionare consideram caracteristica de

raspuns al acestuia:

t

1

29

1 1 1

1Ts

sT

ex

eH s e

s s s

iar in frecventa

1 j T

ex

eH j

j

dar

cos sinj Te T j T

si daca

22

TT

atunci

2

2 2 22

sin1 21 1

2 22 2 2

T T Tj j j T

j

ex

Te e e

H j TeT T T

j jT T

La frecvente joase 1T elemental de extrapolare se poate aproxima prin:

2

Tj

exH j Te

Prin esantionare cu perioada T se mareste timpul mort global, ceea ce conduce la micsorarea

rezervei de faza si deci si a stabilitatii.

Exemplu:

O bucla de reglare analogical cu un regulator PID are o rezerva de faza 45 la o pulsatie de

taiere de 110t s .

Se inlocuieste regulatorul PID analogic cu un PID numeric cu 0,05T s .

Sa apreciem noua rezerva de stabilitate.

Datorita lui T timpul mort se modifica la 0,5 0,025T s in faza proprie a elementului in timp

mort va fi:

t

si in conditiile in care 110s

t

t t

sau

30

014,3t t

Rezerva/marginea de faza pentru bucla numerica va fi:

045 14,3 30,7digital t

ceea ce arata ca stabilitatea s-a inrautatit.

1. Dispozitivul de esantionare/esantionatorul introduce o intarziere (timp mort) care poate

atinge T/2. Cuantizarea in amplitudine poate fi realizata atat de fier incat efectul ei sa fie

neglijat.

2. O proprietate foarte importanta a unui sistem discret este acela ca aparitia semnalului

esantionat intr-un sistem continuu liniar nu modifica liniaritatea.

Urmare a celor de mai sus este faptul ca tratarea teoretica a sistemelor liniare discrete este

analoaga cu cea a sistemelor liniare continue (netede).

2.2 Comportarea unui sistem intre intervalele de esantionare

Fie:

u y

cu ( )

( )( )

y zH z

u z

in conditiile in care fie u, fie y pot sa nu fie marimi esantionate.

Pentru a putea utiliza pe ( )H z in astfel de situatii va trebui sa introducem dispozitive de

esantionare ipotetice, dupa caz, pe intrare si/sau iesire.

Este de mentionat ca o altfel de maniera de tratare a problemei nu schimba cu nimic structura

fizica a sistemului.

Utilizarea trasformatei Z poate conduce totusi, asa cum s-a mai amintit, la o reducere a calitatii

de informatie dintr-un semnal.

31

y

t

t

y

t

y

Atunci cand se calculeaza-1z se obtin valorile

semnalului la momentele de esantionare

0, ,2T T

In aceasta situatie putem avea functii diferite

care sa corespunde aceleiasi functii in Z .

Pot sa apara astfel de oscilatii ascunse. Aceste

oscilatii apar cand partea imaginara a polilor

este un multiplu intreg de pulsatii de

esantionare.

Trebuie sa analizam ce se intampla intre doua

momente de esantionare.

Metode de studiu:

a) Dispozitiv de esantionare fictiv

Se introduce un dispozitiv esantionar cu o alta perioada de esantionare T’ decat a dispozitivelor

aflate in sistem T, de obicei T’<T.

*( )u r( )H s

T '

T T

*y s( )y s

Se ia

' '

' '

2 ' 2

2

( ) ( )2

( ')

( ') ( ') ( ) ( ') ( ')

T s

Ts T s

TT y z y z

z e

z e e z

y z H z u z H z u z

32

b) Metoda transformatei z modificata (Barker)

Consta in introducerea unui timp mort in serie cu functiile de transfer pe calea directa:

*u( )H s

T

T

*y

u ys

e

y

T 2T ty

t

Pentru marimea data ( ), (2 ), (3 )y T y T y T se

obtin alte marimi:

( 2), (2 ), (3 )y T y T y T

Seria

2

, 32 2

T

T Ty y

Fie

0

0

( ) ( )

*( ) ( ) ( )k

T

y t y t T

y t T y kT T u t kT

i) intreg

0

1 1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

k

k

y z y kT T z

y z y kT T z y z

y z z y z

33

ii) fractionar intereseaza pentru a vedea comportarea in intervalul de esantionare.

Se alege

0 1m

si se noteaza

1 m .

In consecinta

*

0

0

* 1

0

* *

* 1

0

1

0

( ) ( 1) ( )

( )

( ) ( , )

( ) ( , )

( , )

( )

( , )( , )

( )

k

k

k

k

k

k

k

y z y kT m T u t kT

y z z y kT mT z

y kT y kT m

y kT y t m

y t m z y k m T z

y t z y k m T z

y z mH t m

u z

Care defineste functia de transfer in z modificata.

34

2.3 Metode de descriere. Reprezentari ale buclei de reglare digitala

Se vor discuta urmatoarele reprezentari:

HR(s) H(s)+

-

yr yu

HR(s) H(s)+

-

yr u

Bucla analogica a) Bucla cvasicontinua

Element cu

timp mort

y

H(s)+

-

yr ukk oHR(s)

yk

Dispozitiv

de esantionareExtrapolator

1 1 1, ,k k k ku f u

2 1 1, ,k k k ky f y u u

b) Bucla discretizata

exH s

H(z)+

-

yr uk( )z oHR(z)

( )u z

ExtrepolatorRegulator cu

dispozitiv

de esantionare

c) Bucla discreta reprezentata prin

transformata z.

HH z

i) Descriere cvasicontinua

Daca consideram un proces ce poate fi asimilat cu un sistem de tipul PTnavand un raspuns

in timp de tipul din figura de mai jos si daca perioada de esantionare T este foarte mica in

raport cu constanta de timp a procesului (a partii fixate) Tf atunci bucla de reglare poate fi

tratata la fel in continuu, cu observatia ca se mai adauga un element cu timp mort cu

0,5T . In practica se utilizeaza 0,1T

35

y

t

T

0

Tf

Alegerea perioadei de esantionare

Daca T este mai mica decat constanta de timp de intarziere proprie a procesului Tfatunci

se poate folosi relatia

0,5T

aceasta perioada de esantionare ne fiind permisa sa fie aleasa mai mare datorita introducerii unei

instabilitati puternice a buclei de reglare, ca urmare a existentei unui timp mort apreciabil.

Pe de alta parte T nu trebuie sa fie nici prea mica deoarece sistemul

compensator/regulator este solicitat excesiv si numai cu ajutorul unor microprocesoare speciale

s-ar putea rezolva aceasta supraincarcare.

Tot odata aceasta T (frecventa de lucru) este limitata de largimea benzii de utilizare.

In practica la alegerea lui T se tine cont de marimile caracteristice procesului (vezi tabelul

de mai jos)

Marimi din proces

determinate

experimental

Numar de esantionari in

domeniul unei perioade de

timp

Perioada de esantionare T

, 10fT 2 5 0,2 0,5

95t 10 20 950,05 0,1 t

fT 10 si mai mult 0,1 fT

Nota: t95este durata de timp ce se scurge din momentul aplicarii treptei pe intrare si pana se

atinge 95% din valoarea stationara a marimii masurate/reglate.

36

ii) Descrierea discreta in domeniul timp.

2.3.1 Ecuatii cu diferente finite

In cazul sistemelor discrete, avand in vedere ca marimea analogica sufera o operatie de

esantionare rezulta ca semnalul discret poate fi reprezentat printr-o serie de numere:

0 1 2

( ) (0), ( ), (2 ), ( )

, k

y kT y y T y T y kT

y y y y

cu 0k si ( ) 0f kT pentru 0k

Urmatoarele relatii sunt echivalente:

( ) ( ) ky kT y k y

Daca consideram un sistem continuu ce este esantionat atat pe intrare cat si pe iesire sincron cu o

perioada T, se pune problema ce relatie exista intre sirurile u kT si y kT ?

Dupa cum se stie sistemul continuu este descries intrare-iesire de o ecuatie diferentiala si

solutionarea ei inseamna sa facem o rezolvare numerica. Procedura cea mai simpla este

procedura Euler. De exemplu:

u kT y kT

u y prin ecuatie diferentiala

Valoarea numerica (cea mai simpla rezolvare este cea a lui Euler)

0

0

0

1limt kTx x

f kT f k Tf x f xdf

dt x x T

2

2 2

2 1 2t kT

f kT f k T f kd f

dt T

respectiv ( ) ky t dt T y

In acest fel ecuatiile diferentiale se transforma in ecuatii cu diferente finite.

Numim ecuatie cu diferente, acea ecuatie, care realizeaza relationarea intre seria esantionata a

marimii de intrare ( )u kT si seria esantionata a marimii de iesire ( )y kT .

37

1 1 0 0( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )n na y k n a y k n a y k a y k b u k

Ecuatia se rezolva prin recursivitate sau „clasic” (solutie homogena si particulara).

Rezolvare prin recursivitate

Solutia este sirul

0 1 2

1 1 0 0

, , ,

1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )

k

n

n

y y y y

y k n a y k n a y k a y k b u ka

Conditiile initiale ( ) 0y n pentru 0,1,2,n cu 0k sunt nule iar pentru intrare

1 0 1 2 00, k Mu u u u u u

Prima valoare pentru iesire pentru 1k se calculeaza astfel

1 2 1 1 0 0 0

1(1 ) ( ) ( 1) (1)n n

n

y n a y n a y n a y a y b ua

Solutia se obtine numai pe cale numerica.

Similar ca in cazul sistemelor continue unde se defineste raspunsul cauzal la impuls unitar

(functie pondere), pentru sistemele discrete se defineste pentru o intrare de tip impuls

discret , secventa Kronecker

1 0

0 0d

pentru ku k k

pentru k

sise introduce ca in continuu notiunea de secventa pondereh(k) iar pe baza acesteia, pentru

sisteme discrete se poate calcula:

0

.y k u h k

numita suma de convolutie.

2.3.2 In spatiul starilor.

Similar ca in continuu, in discret se poate scrie:

01 0d d

d d

x k A x k B u k x x

y k C x k D u k

unde:

d

d

d

d

C C

D D

A I SA

B SB

38

cu 1

nn

n

TS T A

n

care constituie o serie infinita.

Rezolvarea ecuatiei pentru sistemul discreteste urmatoarea:

1

1

0

0

( ) ( )k

k j k

d d d

j

x k k x A B u j cu k A

11

dk zI A z Z

1 0dk A k cu I

Recursiv obtinem definitia exacta a functiei de transfer

1

d d d d

y zH z C zI A B D

u z

si unde se defineste ecuatia caracteristica det 0dS z P z zC A

Prin teorema intarzierii obtinem:

1 1

1 0 11 ... ...n n

n ny z z z u z z z

de unde se poate defini functie de transfer inz:

1

1

1

0

...

1 ...

n

o n

n

n

y z z zH z

u z z z

acest raport y z u z fiind determinat in conditii initiale nule.

39

3. Metode de evaluare a transformatelor Z

3.1 Breviar teoretic

3.1.1 Transformata Z . Discretizarea functiilor definite pe R cu un suport pe

R+

Fie o functie discreta :f si nula pentru valori negative careia ii asociem seria de

puteri ale lui z-1

.

2

2

1

10

21 210 zczcczfzff

Daca seria este convergenta, R > 0 raza a.i. seria este absolut convergenta in Rz

Seria defineste o functie de variabila complexa z numita transformata Z

(directa) a lui f

1 20 1 2 ...F z f t f f z f z Z

Aplicatie

Fie f t t 1

Atunci,

11

1...1

1

21

z

z

zzzzF

1

zt

z

Z 1

*

Daca F (z), recuperarea lui f(t) se face prin transformata Z inversa.

1 11

2

tf t F z F z z dz tj

Z

Teoremele de baza ale transformatei Z sunt formulate similar ca la transformata Laplace.

Pentru principalele teoreme in transformata Za se vedea tabela de mai jos.

Nr.

crt Proprietatea sau teorema Formularea matematica

1. Proprietatea de liniaritate

( )

; ,

f t g t f t g t

F z G z

Z Z Z

40

2. Teorema divizarii in

complex t z

a f t Fa

Z

3. Teorema anticiparii

(intarzierii) , 0Z f t z F z

4. Teorema derivarii

parametrice

, ,

,,

k k

k k

Daca F z a f t a atunci

d F z a df t a

da da

Z

Z

5. Teorema valorii initiale 0

0t z

f lim f t lim F z

6. Teorema valorii finale 1

1zt

f lim f t lim z F z

Fie :f (cu suportul in ) si luam un numar h > 0, numit pas de discretizare.

Definim :df functia discretizata( cu suport in ) a lui f prin egalitatea

df t f th t

Operatia de discretizare consta in aceea ca functia discretizata ia esantioane la diverse

momente de timp si le aseaza pe multimea numerelor intregi: pentru a redefini functia

continua se face o extrapolare .

( )t t

t

df

t

df

t1h 2h 3h 1h 2h 3h 1h 2h 3h

Functia discretizata fd a unei functii continue f

si redefinirea ei ca functie continua pe portiuni df

Se demonstreaza ca,

1

2

c j

d d sh

c j

zF z f t F s ds

j z e

Z

41

Aplicatie

1. Fie f t t 1 cu t

22

0 0

1 1 1

2 1

j

d sh sh shj is s

z z d z hzF z ds rez

j s z e s z e ds z e z

2. Sa se faca transformata z a functiei

2

1

asssy

si sa se calculeze y (t)

Se descompune

22

1

as

C

as

B

s

A

ass

si se identifica

aC

aB

aA

1;

1;

122

de unde

222

111111

asaasasasy

atat tea

eaa

ty 111

22

Va rezulta:

22 2

1 1 1

1

aT

aTaT

z z zTey z

a z a z e a z e

sau

aT

aT

aT ez

zTe

a

z

ezaz

z

azy

11

1

12

3. Fiind dat

attety

sa se calculeze y (z)

42

Se aplica teorema derivarii parametrice

, at

a

y t y t a ea

Z Z

11 ...at anT n aT

aT

ze e z e z

z e

Z

3.1.2 Sisteme discrete

Fie ( , , )TA b c sistemul continuu

, n

T

x Ax but x

y c x

si sistemul discret:

1

,

d d

T

d

t A t b t

t c t t

unde introducem

0; ;

hAh A

d d dA e b e b d c c

Sistemul discret (Ad, bd,T

dc ) se numeste:

- discretizantul pe stare cu pasul h al sistemului neted ( A, b, cT) daca pentru:

1. n

2. 0 0 ,x t u th t

avem

, , , 0t x th t y th t x si u

- discretizantul intrare – iesire cu pasul h al sistemului neted (A, b, cT) daca pentru:

1. 0 0 , 0 0nx R (eventual )n

2. ,t u th t

avem

,t y th t

Rezulta ca un sistem neted este activat de o functie etajata, cu pasul constant h, atunci

discretizantul reproduce prin esantionare comportarea intrare – iesire a acestuia.

43

Discretizantul intrare – iesire este echivalent cu schema

, , TA b c

( )u t

t1 2 30

( )u t

th 2h h 2h t

( )y t

, , T

d dA b c

0xDispozitiv de

esantionare

CNA CAN

( )u t

t1 2 30

Schema de discretizare intrare-iesire

La fel cum in neted avem

bAsIcsH T 1

si in discret se poate defini functia de transfer

dd

T

dd bAzIczH1

Se arata ca, Hd (z) se poate obtine din H (s) prin relatia

1 1

2

c j

d shc j

H s H sz zH z ds

z s j s z e

Z

Observatie

Relatia de mai sus ne da functia de transfer a unui sistem provenit din discretizarea unui sistem

neted.

3.2 Scopul lucrarii

Transformata Z este una din principalele proceduri de analiza si sinteza a sistemelor

dinamice liniare discrete. Lucrarea isi propune prezentarea principalelor metode de determinare a

transformatelor Z. In partea finala a lucrarii este prezentata metoda de evaluare a transformatei Z

utilizand calculul simbolic.

3.3 Breviar al procedurilor de calcul

Transformata Z pentru un semnal , 0u t t este definita astfel:

0

n

n

U z u nT Z

unde t nTu nT u t

44

T – perioada de esantionare

N – tactul de esantionare

i). Cea mai simpla metoda pentru evaluarea transformatei Z este cea pornind de la definitie,

prin sumarea termenilor unei serii cu numar infinit de termini.

Exemplificam procedura in cazul unei functii exponential , 0atf t e t

auTf uT e si

1

0 0

nauT n aT

n n

F z e Z e Z

Expresia reprezinta suma termenilor unei progresii geometrice cu ratia 1aTe Z . In

conditia 1 1aTe Z seria este convergenta si

1

1

1 aT aT

Zf z

e Z Z e

ii). In cazul in care cunoastem transformata Laplace a functiei f t

( )f s L f t

si in cazul in care aceata este o forma practica rationala cu poli simpli reali putem aplica metoda

descompunerii in fractii simple.

1 2

1 2

... u

n

AA Af s

s a s a s a

Daca tinem cont de rezultatul prezentat in exemplu precedent

1 aT

aT

ZZ Z e

s a Z e

Transformata Z se obtine imediat

11 1

1

1 1... ...n na T anT

n

Z ZZ A Z A A

s a s a Z e Z e

Metodele prezentate sunt metode simplu de aplicat in cazul unor functii elementare. Pe

caz general este recomandat ca transformata Z sa fie determinate utilizand metoda rezidurilor.

Daca lim 0s

f s

1.

1

1

s

Tsref la poliilui F s

f z rez F sZ e

In cazul in care

N sF s

P s are numai poli simpli

F

10

1

1

p

T nn

N nz

P n z e

45

Pentru exemplificare consideram functia sin , 0f t t t pentru care 2 2F s

s

. Polii lui

f (s) sunt complex conjugate 2 2 0 1,2s s j

Functia reprezentand transformata Laplace pentru functia analizata

2 2

N sF s

P s s

asigura 1 2P s s .

Transformata Z cautata va fi:

1,2

1.

1 1 2

1

1

1 1 sin

2 1 2 1 2 cos 1

Tsref lapolii s

j t j T

F z rez F sz e

z T

j z e j z e z z T

Prin urmare

sin

sin2 cos 1

z tZ t

z z t

Calculul se simplifica daca tinem cont de urmatorul rezultat. Daca consideram functia

( )F s are doi poli complexi conjugate si atunci

2 2 1 1 1

1 1

1 2 1 2

1 1 1 1Re

1 2 1 2 1 cos sin

1 sin 1 1 cos

2 1 2 cos 2 1 2 cos

Ts j Tref la

j

fs z e j z e j z t j t

z t z tj

z t z z t z

1 1 1

1 2 1 2 1 2

1 sin 1 1 cos sin( ) 2Re

2 1 2 cos 2 1 2 cos 1 2 cos

z t z t z tF z j

z t z z t z z t z

Simplificari in evaluarea transformatelor Z sunt facilitate de utilizarea teoremelor legate

de transformata Z.

Teorema deplasarii in complex.

Daca ( ), 0f t t are transformata Z functia ( )F z atunci ( ) ( )Fat aTZ e f t F ze

Ca exemplu, consideram evaluarea transformatei Z pentru functia sinate t . Cunoscand

tranformata Z a functiei sin t (vezi exemplul precedent)

2 2 2 2 2

sin sin sinsin

2 cos 1 2 cos 1 2 cosat

at atat

at at at at

z ze

z t ze t ze tZ e t

z z t z e ze t z ze t e

46

Teorema deplasarilor in real.

Daca functia de timp ( ), 0f t t este Laplace tramnsformabila cu transformata Laplace

( )F s atunci pentru n N si

1

0

( ) ( )

( ) ( ) ( )

n

nn k

k

Z f t nT z F z

Z f t nT z F z f kt z

Ca exemplu ce propunem calculul transformatei Z pentru ( )( ) s t Tf t e cunoscand

transformata Z pentru ste

( ) 1 1 1s t T st

T T

zZ e z Z e z

z e z e

Teorema derivarii partiale.

Daca ( , )F z a este transformata Z a functiei ( , )f t a unde a este o variabila independent

sau o constanta, atunci

( , ) ( , )Z f t a F z aa z

Astfel, stabilitatea transformatei Z pentru functia atte poate fi facuta astfel

2

atat at at

aT aT

z TzeZ te Z e Z e

a a a z e z e

3.4 Chestiuni de studiat

1. Sa se determine transformata Z pentru functia:

0f t t pentru t

0,atf t te pentru t a

sin 0, ,atf t e t t a

cos 0, ,atf t e t pentru t a

cos 0, ,atf t e t pentru t a

2. Sa se calculeze transformata Z pentru

10

1 2f s

s s s

pentru o perioada de esantionare T = 1 sec

47

3. Sa se calculeze transformata Z pentru

2 2

bf s

s a b

pentru o perioada de esantionare T.

4. Sa se calculeze transformata Z pentru functia

1

2 2

2 2

1

2 1

K T sf s

s T s T S

unde 1

1 22 sec , 0.782sec, 1.3sec, 0,832K T T si o perioada de esantionare T = 0.1 sec.

5. Sa se calculeze transformata Z pentru functia

20.1 0.4 0.024 0.4

sf s

s s s s

Pentru o perioada de esantionare T = 1 sec.

48

4. Calculul transformatelor Z inverse

4.1 Scopul lucrarii

Lucrarea prezentata in continuare isi propune prezentarea principalelor metode prin care

se realizeaza revenirea in timp pentru o functie ( )f z cunoscuta. In cazul transformatei Z se

realizeaza o corespondenta biunivoca in ( )F z si *( )f t si prin urmare transformata Z inversa

permite ca pe baza lui ( )f z sa stabilim cu exactitate secventa ( ), 0,1,2..f KT K

4.2 Breviar al procedurilor de calcul

4.2.1 Metoda seriilor de puteri

Ideea metodei este foarte simpla si porneste de la mdul de definire a transformatei Z.

Pentru functia ( )f t , z – transformabila

0

( ) ( ) k

K

F z f kt z

Se procedeaza la dezvoltarea functiei ( )F z intr-o serie de puteri negative (principal

impartire a numaratorului la numitorul functiei ( )F z ) 1

0 1( ) n

nf z A A z A z

si identificand obtinem

( ) nf KT A

Ca exemplu propunem determinarea transformatei Z inverse pentru functia

2

1( )

1

at

at at

e zf z

z e z e

Efectuand impartirea numaratorului la numitorul lui ( )F z obtinem dezvoltarea

1 2 2 3 3( ) 1 1 1at at atf z e z e z e z

Prin urmare ( ) 1 KaTf KT e

4.2.2 Metoda fractiilor simple

Pentru cazul in care ( )F z este o fractie rationala a carui numitor admite numai radacini

simple reale se poate aplica urmatoarea procedura: se dezvolta in fractii simple rationale ( ) /F z z

( )f z A B C

z z a z b z c

si imediat

( )z z z

f z A B Cz a z b z c

Rezulta imediat

49

( ) KaT KbT KcTf KT Ae Be Ce

Ca exemplu ne propunem stabilirea transformatei Z inverse pentru:

1( )

1

at

at

e zf z

z z e

Obtinem

( ) 1 1

1 aT

f z

z z z e

si imediat

( )1 aT

z zF z

z z e

Elementar, imediat rezulta

( ) 1 aKTf KT e pentru K N

4.2.3 Metoda formulei de inversiune

Pentru functia ( )f z propusa pot fi determinate valorile ( )f KT cu ajutorul relatiei

1( )

1

at

at

z ef z

z z e

Conform formulei de inversiune propuse

111

( )2 1

at

K

at

z ef KT z dz

j z z e

Unde este un cerc care cuprinde polii lui ( )f z situati in 1z si aTz e .

Integrala de contur poate fi evaluate utilizand teorema reziduurilor 1( ) ( ) Kf KT rez F z z

Referitor la polii lui 1( ) nf z z . Introducand expresia lui ( )f z

1

.

1,

1( ) 1

1aT

aT

K aKT

aTref la

z z e

z ef KT rez z e

z z e

4.2.4 Exemple

1. Să se determine transformata Z inversă pentru semnalul:

1

1

aT

aT

z eX z

z z e

Folosim metoda descompunerii în fracţii elementare pentru z

zX.

50

aTaT

aT

ez

B

z

A

ezz

e

z

zX

11

1

Calculul elementar al coeficienţilor A şi B permite descompunerea:

aTez

z

z

zzX

1

Prin urmare:

,1,01 keTkx Tka

2. Să se rezolve problema precedentă (exemplul 6) prin metoda dezvoltării în serie

de puteri.

Procedăm la dezvoltarea în serie de puteri negative prin împărţire nelimitată şi

obţinem:

1 2 2

2

11 1

1

aT

aT aT

aT aT

e zX z e z e z

z e z e

Prin identificare obţinem imediat aTaT eTxeTxx 212,1,00

3. Să se rezolve problema propusă în exemplu 6 utilizând integrala de inversiune.

Aplicăm formula integrală:

x k ×T( ) =1

2 ×p × j×

z 1- e-aT( )z -1( ) × z - e-aT( )

× zk-1dz = Re zz × 1- e-aT( )z -1( ) × z - e-aT( )z=1

z=e-aT

å × zk-1 =1- e-akT

G

ò

Chestiuni de studiat.

1.Să se determine 4,3,2,1,0, kTkx pentru semnalul a cărui transformată Z este

232

zz

zzX

2. Să se determine forma generală pentru eşantioanele semnalului din problema

anterioara.

3. Să se determine 4,3,2,1,0, kTkx pentru semnalul a cărui transformată Z

este zzz

zzzX

5.05.1

1223

23

51

5. Funcţia de transfer în Z. Algebra funcţiilor de transfer în Z

5.1 Scopul lucrării.

Un important deziderat în analiza si sinteza sistemelor liniare discrete este stabilirea

comportătrii sistemului discret ca răspuns la aplicarea unor mărimi externe cu caracter

determinist. O metodă comodă în a determina astfel de evoluţii este metoda transformatei Z cu

ajutorul funcţiei de transfer în Z.

In aceasta lucrare vom reprezenta noţiunea de funcţie de transfer în Z şi modalitaţile de

echivalare a diverselor conexiuni ale subsistemelor în cadrul liniar.

5.2 Breviar de calcul

Structura elementara care permite stabilirea unui echivalent pentru configuratii mai

complexe este prezentata in figura 1.

( )H s ( )xt

( )x t *( )x t

*( )y t

( )y t

Figura 1.

( )x t - semnal de intrare

*( )x t - semnal de intrare

eşantionat

*( )x s - transformata

Laplace a

semnalului de

intrare eşantionat

( )y t - semnal de ieşire

*( )y t - semnal de ieşire eşantionat

*( )y s - transformata Laplace a semnalului de ieşire eşantionat

Dependenta intrare – iesire pentru o astfel de structura este:

sXsHsY

sau în transformată Z

zXzHzY

în care

( ) ( )H z Z H s

O structură foarte des întâlnită este cea care utilizează un extrapolator de ordin zero (vezi

figura2).

52

( )exH s ( )xt

( )x t *( )x t ( )y t( )H s

Figura 2.

Pentru o astfel de structură

zUzHzY

în care

1 ( )( ) (1 )

H sH z z Z

s

5.3 Mod de lucru

Stabilirea unei funcţii de transfer echivalentă pentru o configuraţie complexă se face din

aproape în aproape, folosind relaţia de bază anterior prezentată.

Procedura va fi prezentată pe un exemplu concret, şi anume structura reacţie inversă (vezi

figura 3).

1( )H s

( )xt

*( )x t( )y t

2( )H s

*( )t( )refy t

-

+

1y

Figura 3.

* * *

1

* * *

1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ref ref

y s H s s

t y t y t si t y t y t

Pe de alta parte

*

1 2 1 2

** *

1 1 2

** * *

1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ref

y s H s y s H s H s s

y s H s H s s

s y s H s H s s

Deci

* *

*

1 2

1( ) ( )

1 ( ) ( )refs y s

H s H s

si prin urmare

53

1 2

1( ) ( )

1 ( )refz y z

H H z

Este important de a face urmatorea precizare:

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )H H z Z H s H s H z H z

Transformata Z a mărimii de ieşire se obţine în forma:

11

1 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( )ref

H zy z H z z y z

H H z

Exemplu de calcul.

Se consideră un sistem de reglare automată a cărui structură este prezentată în figura de

mai jos (vezi figura 4):

y*

( )refy t

-

+

1secT 0

1( )

STeH s

s

1

1( )

( 1)H s

s s

Figura 4.

Funcţia de transfer in Z pe legătura directă este:

1 11

2

( ) 1( ) (1 ) (1 )

( 1)

H sH z z Z z Z

s s s

Prin descompunere în fracţii elementare obţinem:

2 2 2

1 1 1 1

( 1) 1 ( 1) 1 T

Tz z zZ Z

s s s s s z z z e

In aceste condiţii

2 1 2

1 0.3678 0.2644( )

( 1) 1 1.3678 0.3678

z z z z zH z

z z z z e z z

Funcţia de transfer globală va fi:

0 2

( ) 0.3678 0.2644( )

1 ( ) 0.6322

H z zH z

H z z z

Pentru o referinţă de tip treaptă unitate 1( ) ( )refy t u t şi pentru care

( )1

ref

zy z

z

obţinem transformata Z a răspunsului indicial:

54

0 2

(0.3678 0.2644)( ) ( ) ( )

( 1)( 0.6322)ref

z zy z H z y z

z z z

Prin dezvoltare in serie de puteri negative obtinem:

1 2 3 4 5( ) 0.3678 1.4 1.4 1.147 ...y z z z z z z

si deci:

(0) 0; ( ) 0.3678; (2 ) 1; (3 ) 1.4; (4 ) 1.4 .y y T y T y T y T etc

5.4 Chestiuni de studiat.

P1. Să se determine funcţia de transfer in Z globală pentru structurile mai jos

prezentate:

Perioada de eşantionare este .sec1T iar funcţiile de transfer

1

1,

121

ssH

ssH

P2.Să se determine funcţia de transfer globală a sistemului cu eşantionare şi să

se determine răspunsul indicial al sistemului.

1( )H s

( )xt

T

y

2( )H s

( )refy t

-

+

T

Perioada de eşantionare este .sec1T iar funcţiile de transfer

1

1,

121

ssH

ssH

Să se determine funcţia de transfer globală a sistemului cu eşantionare şi să se

determine răspunsul indicial al sistemului.

1( )H s

( )xt

y

2( )H s

refy

-

+

T

55

6. Utilizarea MATLAB în analiza sistemelor cu eşantionare.


Scopul principal al acestei lucrări este de a prezenta facilităţile oferite de utilizarea

calculatorului în analiza şi sinteza sistemelor cu eşantionare. În acest sens în lucrare sunt

prezentate sintaxa principalelor instrucţiuni conţinute de MATLAB şi destinate analizei

sistemelor cu eşantionare.

6.2 Breviarul procedurilor de calcul.

În cadrul acestui subpunct vor fi prezentate sintaxa principalelor instrucţiuni conţinute în

MATLAB şi destinate analizei sistemelor cu eşantionare.

Pentru introducerea modelelor discrete pot fi utilizate următoarele instrucţiuni:

sys1 = tf(num,den,Ts)

sys2 = zpk(z,p,k,Ts)

sys3 = ss(a,b,c,d,Ts)

Astfel , pentru un sistem cu funcţia de transfer în Z de forma:

2

4 4

3 2 1 2

z zH z

z z z z

şi o perioadă de eşantionare .sec1T vom intruduce de la tastatură

>> num=[1 -4];

>> den=[1 3 2];

>> sys1=tf(num,den,1)

Transfer function:

z - 4

----------------

z^2 + 3 z + 2

Sampling time: 1

Pentru cel de al doilea mod de introducere a modelului introducem de la tastatură:

>> T=1;

>> sys2=zpk(4,[-1 -2],1,T)

Zero/pole/gain:

(z-4)

---------------

(z+1) (z+2)

Sampling time: 1

56

Cel de al treilea tip de introducere a modelului impune introducerea datelor la

nivel de stare. Procedăm astfel:

>> a=[-3 -1;2 0];

>> b=[2;0];

>> c=[0.5 -1];

>> d=0;

>> sys3=ss(a,b,c,d,1)

a =

x1 x2

x1 -3 -1

x2 2 0

b =

u1

x1 2

x2 0

c =

x1 x2

y1 0.5 -1

d =

u1

y1 0

Sampling time: 1

Discrete-time model.

Matlab permite conversia imediată continuu-discret sau discret-continuu. Astfel

instrucţiuneasysd =c2d(sys,T) realizează conversia sistemului continual sys în sistemul discret

sysd cu extrapolator de ordin zero şi perioadă de eşantionare T.

s

e Ts1

1

1

ss

Figura 1. Sistemul ce urmează a fi discretizat.

Pentru realizarea echivalentului discret introducem de la tastatură:

>> num=1;

57

>> den=[1 1 0];

>> T=1;

>> sysc=tf(num,den)

Transfer function:

1

-------

s^2 + s

>> sysd=c2d(sysc,T)

Transfer function:

0.3679 z + 0.2642

----------------------

z^2 - 1.368 z + 0.3679

Sampling time: 1

Pentru conversia discret-continuu utilizăm instrucţiunea d2c. Astfel pentru cazul anterior

prezentat introducem de la tastatură:

>> sys=d2c(sysd)

Transfer function:

-6.791e-016s+1

--------------------------------

s^2 + s + 2.22e-015

Pentru evaluarea şi plotarea răspunsului indicial pentru un sistem discret putem utiliza

următoarele instrucţiuni:

DSTEP(A,B,C,D,IU) trasează răspunsul indicial pentru sistemul liniar discret

x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]

y[n] = Cx[n] + Du[n]

pentru o treaptă aplicată pe intrarea IU. Numărul de puncte de evaluare se alege automat.

DSTEP(NUM,DEN) trasează răspunsul indicialpentru sistemul liniar discret

caracterizat prin funcţia de transfer în Z G(z) = NUM(z)/DEN(z)

58

DSTEP(A,B,C,D,IU,N) sau DSTEP(NUM,DEN,N) trasează răspunsul indicial

pentru N puncte impuse.

[Y,X] = DSTEP(A,B,C,D,...)

[Y,X] = DSTEP(NUM,DEN,...)

întoarce valorile răspunsului pe ieşire şi stare.

Dacă dorim răspunsul indicial pentru sistemul caracterizat de funcţia de transfer în Z

37.037.1

26.037.02

zz

zzH

introducem de la tastatură

>> num=[0.37 0.26];

>> den=[1 -1.37 0.37];

>> dstep(num,den,50)

Obţinem graficul prezentat în figura 2

Figura 2. Răspuns indicial.

Pentru evaluarea şi plotarea evoluţiei pentru intrări oricare se utilizează DLSIM.

DLSIM(A,B,C,D,U) trasează răspunsul în timp pentru sistemul discret

x[n+1] = Ax[n] + Bu[n]

y[n] = Cx[n] + Du[n]

0 10 20 30 40 50 0

10

20

30

40

50 Step Response

Time (sec)

Amplitude

59

pentru secvenţa de intrare U. Matricea U trebui să aibă atâtea coloane câte intrări avem.

Fiecare linie din U corespunde unei noi valori de timp.

DLSIM(A,B,C,D,U,X0) utilizată pentru cazul existenţei unor valori iniţiale.

DLSIM(NUM,DEN,U) trasează răspunsul în timp pentru un sistem discret caracterizat prin

funcţia de transfer în Z

G(z) = NUM(z)/DEN(z)

[Y,X] = DLSIM(A,B,C,D,U)

[Y,X] = DLSIM(NUM,DEN,U)

întoarce valorile în ieşire şi stare.

6.3 Mod de lucru.

Se consideră un sistem de reglare automată a cărui schemă este prezentată în figura de

mai jos (vezi figura 1).

s

e Ts1

1

1

ss

tyref ty

Perioada de eşantionare este .sec1T Se cere să se determine răspunsul indicial al

sistemului prezentat.

Pentru soluţionarea problemei propuse înscriem subrutina script ex1.

% Exemplu 1

% Introducem datele sistemului continual.

numc=1;

denc=[1 1 0];

sysc=tf(numc,denc)

T=1;

% Se determina functia de transfer in Z pentru sistemul

% in circuit deschis.

sysd=c2d(sysc,T)

% Stabilim functia de transfer in Z pentru sistemul in

% circuit inchis.

sys0=feedback(sysd,1)

% Stabilim raspunsul indicial

step(sys0)

În urma rulării subrutinei ex1 obţinem următoarele rezultate:

Transfer function:

1

-------

s^2 + s

60

Transfer function:

0.3679 z + 0.2642

----------------------------

z^2 - 1.368 z + 0.3679

Sampling time: 1

Transfer function:

0.3679 z + 0.2642

----------------------

z^2 - z + 0.6321

Sampling time: 1

Răspunsul indicial al sistemului în circuit închis este prezentat în figura 3.

Figura 3. Răspunsul indicial al sistemului în circuit închis.


1) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare având structura prezentată în

figura 4.

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 5 10 15 20 250

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

61

s

e Ts1 3

12

ss

srefy

y

T

Figura 4. Schema bloc a sistemului 4.1.

Pentru sec1T şi sec2T să se determine

Funcţia de transfer în Z în circuit deschis

Funcţia de transfer în Z în circuit închis

Răspunsul indicial al sistemului considerat.

2) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare prezentat în figura 5.

s

e Ts1refy

y

sec1T )3(1 sss

K

Figura 5. Schema bloc a sistemului 4.2

Pentru 2K .şi 5K să se determine:




3) Se consideră sistemul de reglare automată cu eşantionare prezentat în figura 6

s

e Ts1refy

y

sec1T )3(1 sss

K

5.0

2.0

z

z

sec1T

Figura 6. Schema bloc a sistemului 4.3

Pentru 2K .şi 5K să se determine




62

7. Utilizarea SIMULINK pentru analiza sistemelor discrete


Pachetul MATLAB-SIMULINK conţine în librăria obiectelor orientate în simularea

sistemelor dinamice o serie de blocuri necesare simulării sistemelor discrete. În cadrul acestei

lucrări vom prezenta câteva blocuri necesare studiului sistemelor cu eşantionare precum şi

parametrizarea acestora. Utilizând aceste blocuri vom prezenta o serie de exemple de simulare a

sistemelor discrete.

Facem remarca că vom considera elementele de bază în programarea SIMULINK

cunoscute din aplicaţiile privind simularea sistemelor continuale.

7.2 Breviar teoretic.

În cadrul acestui breviar ne vom rezuma la prezentarea principalelor blocuri conţinute în

biblioteca SIMULINK necesare simulării sistemelor cu eşantionare. Blocurile menţionate pot fi

accesate din Simulink/Discrete.

Poate cel mai important bloc utilizat pentru simularea sistemelor cu

eşantionare este extrapolatorul de ordin zero

( Zero-Order Hold ) cu pictograma prezentată în figura1.

Figura 1. Fereastra de setare a blocului Zero-Order Hold.

Singurul parametru ce trebuie setat este perioada de eşantionare.

Un al doilea bloc în ordinul importanţei este blocul care permite

simularea funcţiilor de transfer în Z (Discrete Transfer Fcn)

având pictograma prezentată în figura alăturată.

63

Figura 2. Setarea parametilorblocului Discrete Transfer Fcn.

În figura 2 este prezentată fereastra de dialog pentru setarea parametrilor blocului

Discrete Transfer Fcn. După cum putem urmări direct este necesar să se introducă numărătorul

şi numitorul funcţiei de transfer în Z precum şi perioada de eşantionare (Sample Time).

7.2.1 Mod de lucru.

Vom prezenta în continuare modul de analiză utilizând SIMULINK pe o problemă

concretă analizată anterior (vezi lucrarea 5) şi soluţionată cu instrucţiuni introduse de la tastatură.

Este vorba de un sistem de reglare automată a cărui schemă este prezentată în figura 3.

Analiza impune determinarea răspunsului indicial pentru o perioadă de eşantionare T=1sec.

s

e Ts1

1

1

ss

tyref ty

Figura 3. Schema bloc a sistemului analizat.

Pentru început vom face simularea cu ajutorul funcţiilor de transfer în Z. Am stabilit în

lucrarea mai sus amintită (vezi lucrarea 5) funcţia de transfer în circuit deschis:

3678.03678.1

2644.03678.02

zz

zzHb

Pe baza acestei funcţii de transfer realizăm modelul de simulare prezentat în figura 4.

64

Figura 4. Schema de simulare.

Prin simulare obţinem graficul din figura 5.

Figura 5. Graficul răspunsului indicial.

De fapt graficul obţinut reprezintă extrapolarea printr-un extrapolator de ordin zero a

răspunsului cert obţinut cu ajutorul transformatei Z .

Evoluţia reală a sistemului dinamic analizat, care să ofere informaţii certe şi între tacte de

eşantionare, poate fi obţinută pe schema de simulare prezentată în figura 6.

Figura 6. Simularea la nivel continual.

Evoluţia reală a răspunsului indicial este prezentată în figura 7.

Step Scope

0.3678z+0.2644

z -1.3678z+0.36782

Discrete

Transfer Fcn

Zero-Order

Hold

1

s +s2

Transfer FcnStep Scope

65

Figura 7. Curba reală de răspuns indicial.

7.2.2 Chestiuni de studiat.

P1. Se consideră sistemul de reglare automată prezentat în figura 8:

s

e Ts1 3

12

ss

srefy

y

T

Figura 8. Schema considerată pentru P1

Să se realizeze schema de simulare SIMULINK pentru sistemul considerat.

Pentru sec2T şi sec5T să se vizualizezerăspunsul indicial al sistemului

considerat.


s

e Ts1refy

y

sec1T )3(1 sss

K



66

Pentru 2K şi 5K să se vizualizeze răspunsul indicial al sistemului

considerat.


s

e Ts1refy

y

sec1T )3(1 sss

K

5.0

2.0

z

z

sec1T



Pentru 2K şi 5K să se vizualizeze răspunsul indicial al sistemului

considerat.

67

8. Analiza stabilitatii sistemelor liniare cu esantionare

8.1 Scopul lucrarii

In lucrare vor fi prezentate principalele metode si modul lor de aplicare pentru analiza

stabilitatii sistemelor dinamice liniare cu esantionare.

8.2 Breviarul procedurilor de calcul

Analiza se va face pe un sistem de reglare cu o singura marime de intrare caracterizat

printr-o functie de transfer in circuit inchis 0

( )( )

( )

P zH z

Q z fractie rationala in z. Conditia ca

sistemul in circuit inchis sa fie intern asymptotic stabil este ca polii lui 0 ( )H z sa fie situati in

interiorul cercului de raza unitate deci ( )i iz R z o sa asigure 1 1,..iz i n .

8.2.1 Criteriul Schur – Cohn

Daca ( )Q z (ecuatia caracteristica) este de forma: 1

1 1 0( ) n n

n nQ z a z a z a z a

unde 0 1, , , na a a sunt coeficienti reali sau complexi criteriul Schur – Cohn poate fi formulat in

felul urmator:

Un sistem cu esantionare este stabil daca si numai daca succesiunea determinatilor Schur

– Cohn 1 2, , , n are n schimbari de semn. Determinantul Schur – Cohn K este definit

astfel

0 1 1

1 0 2

2 1 0

1 1 1 0

0 1 1

1 0 2

2 1 3

1 2

0 0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

n n n K

n n K

K K K n

K

n K

n n K

n n n K

n K n K n n

a a a a

a a a a

a a a

a a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

68

unde 1,2,K n iar Ka este conjugatul complex a lui Ka . Daca coeficientii polinomului sunt

reali atunci determinantii sunt simetrici.

Daca nu este satisfacuta conditia de alternanta de semn, cel putin o radacina este in afara

cercului de raza unitate si sistemul este instabil.

Spre exemplificarea aplicarii criteriului consideram sistemul a carui ecuatie caracteristica

este 2( ) 2 3 2 0Q z z z

Coeficientii ecuatiei caracteristice sunt 2 1 02, 3, 2a a a iar determinantii Schur -

Cohn vor fi

0 2

1

2 0

0 0 1

1 0 2

2

2 0 1

2 0

2 20

2 2

0 2 0 2 3

0 3 2 0 2144

0 2 0 2 3

0 3 2 0 2n

a a

a a

a a a

a a a

a a a

a a a

Succesiunea determinantilor Schur – Cohn va fi 1, 0, -144 si admite o singura schimbare

de semn. Cum conform criteriului, pentru stabilitate sunt necesare doua schimbari de semn

rezulta ca sistemul este instabil.

Utilizarea unei schimbari de variabila av b

zcv d

cu v o noua variabila complexa, pentru

o convenabila alegere pentru coeficientii a, b, c si d permit transformarea cercului de raza unitate

din planul z in semiplanul stang al variabilei v.

8.2.2 Utilizarea transformatei W

Pentru cazul 1, 1, 1a b c d obtinem transformate W in forma 1

1

Wz

W

.

Schimbarea de variabila propusa transforma interiorul cercului de raza unitate din planul

z in semiplanul stang al variabilei W. Conditia de locatie in interiorul cercului de raza unitate se

modifica in conditia de locatie in semiplanul stang al variabilei W ce poate fi stabilita cu ajutorul

criteriului Hurwitz.

Spre exemplu, consideram un sistem de reglare pentru care ecuatia caracteristica este 3 2( ) 5 2 3 1 0Q z z z z

Facem schimbarea de variabila 1

1

Wz

W

si obtinem ecuatia transformata

3 2 3 3 2( ) 5(1 ) 2(1 ) (1 ) 3(1 ) (1 ) 5 13 11 11 0Q z W W W W W W W W

Determinantul Hurwitz asociat ecuatiei va fi

69

3

1

13 11 0

5 11 0

0 13 11

13 0

H

H

2

13 1188 0

5 11H

3

13 11 0

5 11 0 968 0

0 13 11

H

Prin urmare conform criteriului Hurwitz sistemul analizat este stabil.

8.2.3 Utilizarea transformatei r

Daca in relatia generala facem 1, 1 1a b c si d obtinem transformata r

1

1

rz

r

Ca si transformata W, transformata r transforma interiorul cercului de raza unitate din

planul z in semiplanul stang al variabilei r. Conditia de stabilitate prin care urmaream ca

radacinile ecuatiei caracteristice sa fie situate in interiorul cercului de raza unitate din planul z se

transforma in conditia de apartenenta la semiplanul stang al variabilei r. In continuare analiza va

fi facuta cu ajutorul criteriului Hurwitz.

Ca exemplu consideram un sistem de reglare cu esantionare pentru care ecuatia

caracteristica este 3 2( ) 6 8 1 0Q z z z z

Aplicand transformata r

1

1

rz

r

obtinem

3 2 2 3 3 2( ) 1 6 1 1 8 1 1 1 14 4 14 4 0Q r r r r r r r r r r

Determinantul Hurwitz va fi

3

1

2

3

4 4 0

14 14 0

0 4 4

4 0

4 40

14 14

0

H

H

H

H

Prin urmare sistemul analizat este instabil.

70


1. Sa se determine valorile lui K pentru care sistemul de reglare discret avand functia de transfer

in circuit inchis

0

( ) ( 0,05)( 1,065)( ) ( )

1 ( ) ( 1)( 0,135)( 0,0185)

H z K z zH z cu H z

H z z z z

este stabil.

2. Sa se determine pentru ce valori ale coeficientului de amplificare K sistemul in circuit inchis

0

( ) ( 0,983)( 0,86)( ) ( )

1 ( ) ( 1)( 0,997)( 0,51)

H z K z zH z cu H z

H z z z z

este stabil.

3. Determinate pentru ce valori ale coeficientului de amplificare K sistemul de reglare automata

cu esantionare avand functia de transfer in circuit inchis

4.

0

( ) ( 0,934)( 0,922)( ) ( )

1 ( ) ( 1)( 1,0067)( 0,51)

H z K z zH z cu H z

H z z z z

este stabil.

5. Sa se construiasca domeniul de stabilitate in coordinate aT si K

a pentru un sistem de

reglare automata discret a carui structura este prezentata in figura de mai jos.

1 STe

s

+

T-

2 ( )

K

s s a

6. Sa se construiasca domeniul de stabilitate si instabilitate in coordinate aT si K

a pentru

sistemul cu esantionare din figura de mai jos.

1 STe

s

+

T-( )( 0,1)

K

s a s

71

9. Metode de liniarizare pentru sisteme dinamice neliniare

9.1 Breviar de calcul

In lucrare este prezentată o procedură relativ simplă de aproximare a comportării dinamice a unui

sistem dinamic neliniar printr-un sistem liniar. Procedura poartă numele de liniarizare în jurul unei soluţii

de echilibru si va fi prezentată în cele ce urmează.

Se consideră un sistem dinamic neliniar caracterizat în forma:

uxgty

uxftx

,

, (1)

Cu soluţia de echilibru ( x0, u0) astfel ca:

0,

0,

00

00

uxg

uxf (2)

Dezvoltăm funcţiile neliniare f şi g în serie Taylor în jurul soluţiei ( x0, u0) si reţinem din dezvoltare

primii doi termeni. In acest mod sistemul (1) poate fi caracterizat aproximativ în forma :

0000

0000

0

0

0

0

0

0

0

0

,

,

uuu

gxx

x

guxgty

uuu

fxx

x

fuxftx

uuxx

uuxx

uuxx

uuxx

(3)

Introducem următoarele notaţii:

000 ,, ytytututxtxt (4)

Introducând notaţiile (4) în (3) şi ţinând cont de condiţiile de echilibru nominal (2) obţinem:

tu

gt

x

gt

tu

ft

x

f

dt

xd

uuxx

uuxx

uuxx

uuxx

o

0

0

0

0

0

00

0

(5)

72

Dacă notăm

0 0 0 0

0 0 0 00

, , ,x x x x x x x xu u u u u u u u

f f g gA B C D

x u x u

obţinem sistemul dinamic liniar de forma

Sistemul liniar (7) poate fi rezolvat simplu iar soluţia aproximativă finală va fi de forma

0

0

ytty

xttx

(8)

9.2 Mod de lucru

In continuare vom prezenta modul de aplicare a metodei de liniarizare propusă pe o

instalaţie relativ simplă. Este vorba de un rezervor cilindric alimentat in partea superioară cu un

debit masic tqi iar fluidul din rezervor este evacuat liber în atmosferă cu un debit tqe .

Suprafaţa rezervorului este constantă A [m2], iar înălţimea fluidului în rezervor este h(t)

[m]. Fluidul este evacuat în atmosferă printr-o mică conductă cu aria secţiunii eA [m2]. Notăm de

asemeni 2

1 / mNp presiunea de fluid la baza rezervorului şi 2

2 / mNp presiunea fluidului la

ieşirea din conducta de evacuare.

tqi

th

tqe

1p 2p

Fig. 1. Schema de principiu a instalaţiei tehnologice.

t A t B t

t C t D t

(7)

73

Dacă notăm KghAm cantitatea de fluid din rezervor , o primă condiţie de

echilibru poate fi remarcată în forma:

i e

dmq t q t

dt (9)

sau imediat

dt

dm=

dt

hAd =

dt

dhA

dt

dhA

(10)

şi cum fluidul este considerat incompresibil

dt

dm=

dt

dhA (11)

Vom nota cu ev viteza de evacuare a fluidului iar debitul de evacuare va fi :

sec/KgvAq eee (12)

Bilanţul energetic într-o unitate de volum la baza rezervorului (q = q1 = q2) in care q1 si q2

sunt debitele de intrare si ieşire în unitatea de volum la baza rezervorului va fi:

2121

2

2

2

1212

0 ppq

zzgqvvq

uuq

(13)

u1 = u2 energia fluidului la intrarera si ieşirea celulei considerate

z1 = z2 inalţimea fluidului în secţiunea 1 şi 2.

1 2v v

hgphgpppvv aae 222

212

(14)

Prin urmare

hgAqdt

dhA ei 2 (15)

Definim “rezistenţa hidraulică” ca raportul dintre variaţia nivelului din rezervor şi

variaţia debitului de fluid evacuat

hgA

h

vA

hhR

eee

2 (16)

De asemeni definim “capacitatea hidraulică” a rezervorului ca raport între variaţia

cantităţii de lichid înmagazinat supra variaţia de nivel:

Ah

hAC

(17)

74

Astfel modelul matematic al instalaţiei considerate devine

1 1i

dh th t q t

dt R h C C

(18)

Modelul corespunde unei ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinal 1. Pe un astfel de model,

dinamica obiectului este dificil de analizat datorita faptului ca nu ştim să obţinem o soluţie

generală pentru ecuaţia diferenţială considerată.

Din acest motiv, problema se soluţionează pe baza unei aproximări obţinută prin

liniarizare în vecinatatea unui punct de echilibru nominal. Astfel, pentru cazul analizat,

considerăm un punct de echilibru caracterizat printr-un debit de intrare constant qi0 = constant ce

asigura un nivel ho = constant in rezervor.

0 0 0

0

1 1i o o ih q sau h R h q

R h C C (19)

Considerăm că faţă de situaţia de echilibru apare o perturbaţie a debitului de alimentare.

0i iq t q qi t (20)

care în ipoteza admisă a unui caracter conservativ pentru sistemul neliniar analizat generează o

variaţie a nivelului în forma:

0ih t h h t (21)

Ţinand cont de ecuaţia (18)

0

1(

o

i i

d h hf h q q t

dt C

(22)

unde:

hgA

Ah

Ah

gAh

ChRhf ee

2121

(23)

Dezvoltăm hf în serie Taylor în jurul lui h0 si din dezvoltare reţinem primii termeni

hh

hfhfhf

hh

0

0 (24)

Cu aceasta aproximare, caracterizarea sistemului se face prin ecuaţia:

00

1 1h h

f hd hf h h qio qi t

dt h C C

(25)

Din condiţia de echilibru în condiţii nominale

0

1f h qio

C

Ecuaţia ce guvernează sistemul devine:

75

tq

Ath

hg

g

A

A

dt

hdi

e

1

2 0

(26)

De data asta, dinamica sistemului în variaţii este caracterizată printr-o ecuaţie diferenţială

liniară. Prin soluţionare obţinem th şi h(t) = h0 + th .

Pe baza celor doua modele matematice prezentate obţinem cu usurinţă schemele de

simulare pentru comportarea instalaţiei prezentate. Considerăm că procesul este caracterizat de

următorii parametri tehnologici:

mhmAmA

mg

mKg

Kgqq

e

ei

5;05.0;5

sec/10

/600

sec/300

0

22

2

3

00

Pentru introducerea datelor si calculul coeficienţilor care intră în structura ecuaţiilor

diferenţiale realizăm un fişier script:

qi0=300;

ro=600;

g=10;

A=5;

Ae=0.05;

h0=5;

K1=(Ae/A)*sqrt(g/(2*h0));

K2=1/(ro*A);

K3=(Ae/A)*sqrt(2*g);

In figura 2 este prezentată schema de simulare a sistemului liniarizat

Fig.2 Schema de simulare a procesului liniarizat.

t1

To Workspace1

y1

To Workspace Step

1 s

Integrator

K1

Gain1

K2

Gain

5

Constant

Clock

76

Schema de simulare a sistemului neliniar este prezentata in figura 3.

În primul caz considerăm o variaţie a debitului de intrare de 10% din debitul nominal.

Prin simulare obtinem variatia in timp a nivelului prezentata in figura 4

L

O a doua simulare o realizăm pentru o variaţie a mărimii de intrare de 50% faţă de debitul

de intrare nominal. Variaţia nivelului este prezentată în figura 5.

0 100 200 300 400 500 6005

5.5

6

6.5

timp

niv

el

Fig 4. Raspunsul sistemului liniarizat si

neliniar pentru o variatie de 10%.

Sistem liniarizat

Sistem neliniar.

Fig 3 Schema de simulare a procesului neliniar.

t2

To Workspace1

y2

To Workspace

sqrt

Math Function

1 s

Integrator

K3

Gain1

-K-

Gain

450

Constant

Clock

77

Fig. 5

O simplă analiză a simulărilor efectuate ne arată că o bună aproximare se obţine pentru

cazul în care regimul perturbat este mai apropiat în raport cu regimul nominal.


1. Pentru instalaţia considerată să se scrie un fişier funcţie care să permită stabilirea dependenţei

hi0 in raport cu debitul de intrare qi0 pentru parametrii gAe ,, fixaţi.Utilizând acest fişier să se

traseze graficul dependenţei 00 ii qfh ℎ = 𝜋𝑟2

2. Să se refacă analiza prezentată în cadrul lucrării, pentru o instalaţie similară la care eA =

0,03m2.

0 100 200 300 400 500 6005

6

7

8

9

10

11

12

timp

niv

el

Fig 5. Raspunsul sistemului liniarizat

si neliniar pentru o variatie de 50%.

Sistem liniarizat

Sistem neliniar

78

10. Analiza planară a sistemelor neliniare


Obiectivul principal al acestei lucrări este de a prezenta principalele probleme legate de

analiza planară a sistemelor neliniare. Vor fi prezentate metode legate de trasarea traiectoriilor de

stare pentru sisteme neliniare, proceduri de stabilire a punctelor de echilibru şi de stabilire a

caracterului acestor puncte obţinute prin liniarizarea în jurul acestor puncte.

10.2 Scurt breviar teoretic.

Se consideră un sistem dinamic neliniar caracterizat la nivel de stare prin sistemul de

ecuaţii diferenţiale:

2122

2111

,

,

xxftx

xxftx

.

Punctele de echilibru se obţin la anularea simultană 0,0 21 xx deci prin soluţionarea

sistemului de ecuaţii algebrice:

0,

0,

212

211

ee

ee

xxf

xxf

Sistemul liniarizat în jurul unui punct de echilibru va fi de forma:

t

txxJ

t

tee

2

1

21

2

1 ,

unde ee xtxtxtxt 222111 ,

şi

ee xxee

x

f

x

f

x

f

x

f

xxJ21 ,

2

2

1

2

2

1

1

1

21 ,

Caracterul punctelor singulare este dat de valorile proprii ale ecuaţiei caracteristice

ee xxJIS 21 ,det

Caracterizarea punctelor singulare se va face exact ca în cazul sistemelor liniare de

ordinul doi.

Prin soluţionarea sistemului de ecuaţii diferenţiale obţinem soluţiile

201022201011 ,,,,, xxtxtxxxtxtx . Prin eliminarea timpului obţinem traiectoria de stare

0,, 21 cxxg , unde c este o constantă dependentă de condiţiile iniţiale. Trasarea traiectoriilor

79

de stare pentru mai multe condiţii iniţiale formează portretul de stare (planul stărilor sau planul

fazelor).

Locul geometric pentru care 01 x sau 02 x sunt curbe definite nulcline.

Locul geometric al punctelor pentru care

.1

2 constdx

dx

poartă numele de izocline.

10.3 Mod de lucru.

În continuare vom prezenta modalitate stabilirii câtorva elemente specifice analizei

planare. Considerăm sistemul dinamic

2

122

21

2

11

xxtx

xxxtx

Punctele de echilibru se obţin soluţionând sistemul algebric:

0

0

2

12

21

2

1

xx

xxx

Obţinem punctele de echilibru 0,0 21 ee xxO

şi 1,1 21 ee xxA

. Iacobianul se

obţine în forma:

12

2,

1

121

2

2

1

2

2

1

1

1

21x

xxx

x

f

x

f

x

f

x

f

xxJ

Pentru punctul 0,0O

10

000,0J

şi

1,0110

00,0det 21

JI

.

Singularitatea este de tip nod stabil.

Pentru 1,1A iacobianul este

12

111,1J

şi

jJI

2,1

2 112

111,1det

.

Singularitatea este de tip centru.

80

Pentru trasarea traiectoriilor de stare în lucrare am utilizat subrutina matlab pplane6.m În

figura 1 este prezentat portretul de stare pentru sistemul analizat

Figura 1. Portretul de stare.

Pentru a determina nulclinele soluţionăm:

00 21

2

11 xxxx cu soluţiile 211 ,0 xxx .

00 2

122 xxx şi deci 2

12 xx (parabolă)

x ' = x2 - x y

y ' = - y + x2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

81

Figura 2. Nulclinele asociate sistemului analizat.

În figura 2 sunt prezentate nulclinele sistemului analizat.

Pentru trasarea izoclinelor vom ţine cont de modul de definire a acestora:

.,

,

211

212

1

2 constxxf

xxf

dx

dx

sau în cazul considerat

cxxxcxcxcxxxcxx

xxx

12

2

1

2

1221

2

12

12

21

2

1 1

şi prin urmare

cx

xcx

1

2

12

1

Pentru 1c ecuaţia izoclinelor va fi 11 x sau 02 x . În figura 3 sunt prezentate

izoclinele pentru 1c .

x ' = x2 - x y

y ' = - y + x2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x

y

82

1x

2x

Figura 3. Izoclinele pentru c=1.


Se consideră sistemul dinamic neliniar caracterizat pe stare sub forma :

3

21

xxy

yxx

1. Să se determine punctele singulare.

2. Să se aprecieze caracterul punctelor singulare.

3. Utilizând pplane să se traseze traiectoriile de stare.

83

11. Evaluarea stabilităţii regimurilor periodice în sisteme neliniare.

11.1 Breviar teoretic.

În general un regim periodic se consideră stabil dacă este îndeplinită condiţia de

stabilitate asimptotică (în mic) în raport cu un regim periodic de forma 0sin ,Tx t A t adică

txttxtx Ttt

limlim

sau

lim 0t

t

unde t reprezintă o mică variaţie în jurul lui Tx t .

In urma modului de definire impus, problema evaluării regimurilor poate fi redusă la

studiul stabilitaţii soluţiei de echilibru a unui sistem de ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi

periodici. Din păcate în perioada actuală lipsesc metode care să permită evaluarea efectivă a

stabilitaţii soluţiei triviale pentru sisteme cu coeficienţi periodici. Din acest motiv, în majoritatea

cazurilor pentru evaluarea existenţei unor regimuri autooscilante se apelează la o serie de metode

aproximative.

Prezentăm în continuare o astfel de metodă bazată pe metoda funcţiei de descriere.

Considerăm o structură de sistem de reglare automată neliniar, decompozabil într-un bloc

liniar cu funcţia de transfer sH şi un bloc neliniar caracterizat prin funcţia de descriere

AjN ,

.

0refy ty tx tu sH AjN ,

În acest mod soluţia periodica tAtxT sin este stabilă dacă punctual de pe

inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat pentru A A cu 0A este în interiorul

hodografuluişsi pentru 0A în exteriorul hodografului.

Prin urmare, practic este necesar să evaluăm intersecţia dintre hodograful părţii liniare si

inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat. Pe hodograf vom stabili pulsaţia de oscilaţie

iar pe inversa funcţiei de descriere cu semn schimbat stabilim amplitudinea de oscilaţie.

84

11.2 Mod de lucru.

In continuare vom prezenta o aplicaţie referitoare la utilizarea metodei funcţiei de

descriere pentru caracterizarea regimurilor de autooscilaţii ale unui sistem de reglare automată

neliniar. Se consideră cazul unui sistem decompozabil într-un bloc liniar si unul neliniar

caracterizat printr-o neliniaritate fără memorie.

Schema bloc a sistemului este prezentată în figura 1.

B

B

C

C

111

1

431

2

sTsTsTs

sTKsH

0refy

Fig.1 Schema bloc a sistemului analizat.

Partea liniară este caracterizată de funcţia de transfer

2

1 3 4

1

1 1 1

K T sH s

s T s T s T s

în care 1

1 2 3 42sec, 1sec, 0,5sec, 0,1sec, 50secT T T T K

Blocul neliniar este un amplificator cu saturaţie cu B=2, C=2. Este o neliniaritate fără

memorie cu carcateristică simetrică (v. fig.2)

B

BC

C

Figura 2. Neliniaritatea amplificator cu saturaţie.

Problema propusă este de a aprecia dacă sistemul prezintă regimuri de funcţionare

autooscilante si dacă există un asemenea regim să se determine amplitudinea şi pulsaţia de

autooscilaţie.

Soluţionarea problemei propuse implică stabilirea unei intersecţii dintre hodograful

funcţiei de transfer H j cu inversul funcţiei de descriere cu semn schimbat (conform

breviarului de calcul). Prin urmare dacă ANjANAN IR

cu 0AN I existenţa unor

oscilaţii implică

85

1H

N A

unde am considerat jH j H e

Pentru soluţionare, s-a folosit utilitarul MATLAB. Astfel pentru introducerea valorilor

parametrilor si structurarea sistemică a obiectului liniar s-a folosit următorul set de instrucţiuni:

>> K=50;T1=2;T2=1;T3=0.5;T4=0.1;

>> num=K*[T2 1];

>> den=conv(conv([1 0],[T1 1]),conv([T3 1],[T4 1]));

>> sys=tf(num,den)

Figura 3. Hodograful părţii liniare.

Hodograful părţii liniare trebuie să aibă o reprezentare cât mai clară în zona pulsaţiilor

care asigură intersecţia graficului cu axa reală. Prin testări successive am stabilit ca domeniu

interesant de variaţie a pulsaţiilor 3 5 . Setul de instrucţiuni pentru trasarea hodografului va

fi:

w=3:0.1:5;

nyquist(sys,w)

-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

System: sys

Real: -2.99

Imag: 0.00131

Frequency (rad/sec): -3.83

Nyquist Diagram

Real Axis

Imagin

ary

Axis

86

Figura 4.Graficul funcţiei de descriere.

Hodograful sistemului este prezentat in figura 3. Fixăm mouse-ul pe intersecţia dintre

hodograf si axa reală şi cu “clik” obţinem valorile care asigură intersecţia cu axa reală

;

83.3,0Im,99.2Re HH

Blocul neliniar este o caracteristică de tip amplificator cu saturaţie (v. fig.2) cu parametrii

B = 2, C = 2.

0

1arcsin2

2

2

__

AN

A

C

A

C

A

C

C

BAN

ANjANAN

I

R

IR

Pentru evaluarea valorilor funcţiei de descriere şi a valorilor inversului funcţiei de

descriere cu semn schimbat realizăm următoarea substrutină de evaluare (funcţia “jojo”)

function [y,p]=jojo(x)

p=(2/pi)*(asin(2./x)+(2./x).*sqrt(1-(2.^2)./(x.^2)));

y=-1./p;

Pe baza datelor obţinute pentru variaţia 2 20A obţinem graficul funcţiei de descriere

prezentat în figura 4.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Amplitudinea intrarii (A)

Functia d

e d

escriere

.

Functia de descriere.

87

Graficul inversului funcţiei de descriere cu semn schimbat este prezentat in figura 5.

Figura 5. Graficul inversei funcţiei de descriere.

Urmează să determinăm intersecţia dintre hodograf si graficul funcţiei de descriere cu

semn schimbat. In cazul analizat, graficul funcţiei de descriere cu semn schimbat se reduce la o

dreaptă suprapusă axei reale. Trasarea acestei drepte nu ridică nici un fel de problemă dar este

ineficientă deoarece la punctual eventualei intersecţii nu cunosc valorile A pentru care cele două

curbe se intersectează. In teoria clasică se recomandă utilizarea unor şabloane asociate graficului

funcţiei de descriere cu semn schimbat marcată în valori ale amplitudinii A şi care se suprapun

hodografului.

Actualmente, evităm aceastş metodă grafo-analitică, şi soluţionăm problema evaluării

amplitudinii A soluţionând direct ecuaţia

1.H

N A Inscriem subrutina “bobo”

function y=bobo(x)

p=(2/pi)*(asin(2./x)+(2./x).*sqrt(1-(2.^2)./(x.^2)));

y=1./p-2.99;

şi soluţionăm ecuaţia cu:

fzero(‘bobo’,6)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

Inversul functiei de descriere

cu semn schimbat.

Amplitudinea intrarii (A).

Invers

ul fu

nctiei de d

escriere

cu s

em

n s

chim

bat

88

Astfel obţinem A=7.52.

Pentru a verifica rezultatele obţinute, realizăm o schemă de simulare a instalaţie analizat

Schema de simulare va fi realizata prin metode cunoscute. Blocul liniar a fost descompus

pentru a permite initializarea sistemului.


1. Se va reface analiza prezentată în cadrul punctului “Mod de lucru” pentru o neliniaritate uşor

modificată în sensul B = 3, C = 2.

2. Se consideră acelaşi sistem, la care blocul neliniar este un releu tripoziţional ideal (vezi figura 6).

B

B

C

C

Figura 6. Neliniaritatea de tip releu tripoziţional ideal.

Pentru C = 0,5, B = 2 să se evalueze existenţa unor regimuri autooscilante şi să se determine

parametrii de autooscilaţie.

2. Să se refacă analiza prezentată pentru o aceeaşi parte liniară în cazul în care neliniaritatea este

un releu ideal tripoziţional cu caracteristica statică prezentată în figura 5.

B

B

C

C

2

3

C

B

num(s)

den1(s)

Transfer Fcn

t

To Workspace1

y

To WorkspaceSaturation

1

s

Integrator

0

Constant

Clock

89

12. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Krasovski

Metoda Krasovski constituie o aplicaţie a teoremei Liapunov de apreciere a stabilităţii

sistemelor neliniare bazată pe teorema Krasovski .


Pentru început prezentăm teorema Krasovski care constiuie elementul fundamental al

metodei.

Teorema [N.N. Krasovski]. Condiţia suficientă de stabilitate asimptotică globală pentru

un sistem dinamic caracterizat în forma:

nn

n

n

xxxf

xxxf

xxxf

xfx

....,

....................

...,

...,

21

212

211

(1)

cu f(0)=0 .unde funcţiile if sunt continue şi diferenţiabile în raport cu toate argumentele este

existenţa unei matrici simetrice pozitiv definite B astfel ca valorile proprii ale matricei

TJBJB să satisfacă:

0,1___

cunii

MatriceaJreprezintăiacobianul lfuncţiei f (x):

n

nn

n

x

f

x

f

x

f

x

f

J

..........

....................

........

1

1

1

1

(2)

Dacă considerăm ca functie V(x) (funcţie Liapunov).

fBfxV T (3)

atunci derivata în virtutea sistemului va fi

TT TdV

f BJ BJ f f Cfdt

(4)

Se poate arăta că dacă expresia (4) este negativ definită atunci sistemul (1) este global

asimtotic stabil. Prin urmare, elementele constitutive ale matricei B trebuie alese astfel ca

matricea C prezentată în (4) sa fie negativ definită.

90

12.2 Mod de lucru

Pe baza elementelor prezentate putem schiţa urmatoarea procedură de lucru:

1) Determinăm caracterizarea la nivel de stare a instalaţiei analizate

2) Impunem forma literală de catacterizare a matricei B.

3) Calculăm matricea C pe baza. relaţiei (4).

Pentru a prezenta efectiv modul de aplicare a acestei tehnici vom relua un

exempluanterior.

1

1

s 2

1

s f

0refy ty

Figura 1.Schema bloc a sistemului analizat.

Neliniaritatea este o funcţie continuă şi derivabilă crescătoare cu f(0) = 0.Conform

schemei propuse, am stabilit în cadrul lucrării mai sus menţionate modalitatea obţinerii

modelului matematic în forma:

3 2 0x x x f x (5)

Dacă notăm 1 2,x x x x obţinem modelul la nivel de stare:

1 2 1 1 2

2 2 1 1 2 1 2

,

3 2 ,

x x f x x

x x x f x f x x

(6)

Iacobianul asociat modelului (2) va fi

1 1

1 2

2 2

1 2

1

0 1

2 3

f f

x xJ

f fdf

x xdx

(7)

Conform algoritmului propus evaluăm matricea C

2221

1211

1

12221

1211

31

2032

10

bb

bbdx

df

dx

dfbb

bbJBJBC

T

91

2212

1

22112212

1

22112212

1

1212

6223

23

bbdx

dfbbbb

dx

dfbbbb

dx

dfbb

(8)

pentru alegerea

2221

1211

bb

bbB cu 2

12221111 0 bbbb (9)

Pentru o alegere b11 = 8, b12 = 2, b22 = 1 care asigură condiţiile (9), matricea C devine

1 1

1

2 2

2

dt dt

dx dxC

dt

dx

(10)

Notam mdx

df

1

şi condiţia ca C sa fie o matrice negativ definită se reduce la condiţia ca

matricea 2 2

2

m m

m

să fie pozitiv definită

Prin urmare

2

2 2 0

4 4 0

m

m m

Sistemul este global asimptotic stabil dacă 82.482.0 m şi deci dacă

82.482.0 dx

df .


Se consideră sistemul dinamic neliniar a cărui structură este prezentată în figura 2.

Funcţia f este continuă şi derivabilă şi poate fi aproximată în forma xxf 3 .

s

1

2

1

s f

0refy ty


Să se determine utilizând metoda Krasovski restrcţiile asupra funcţiei neliniare pentru ca

sistemul în circuit închis să fie stabil Liapunov.

92

13. Generarea funcţiilor Liapunov utilizând metoda Eisermann

O metodă simplă pentru generarea funcţiilor Liapunov constă în utilizarea formelor

patratice generalizate. Bazată pe o asemenea procedură este şi metoda Eisermann pe care o vom

prezenta în continuare


Metoda Eisermann propune funcţia Lipunov asociată sistemului analizat ca formă

cuadratică generalizată. Metoda propune o tehnică pentru stabilirea acelor valori numerice ce

asigură ca V(x) şi

dt

xdV să asigure condiţiile impuse de teorema Liapunov. In mare, metoda

impune parcurgerea următoarelor etape:

elementul neliniar se aproximează printr-o dependenţă liniară;

se determină coeficienţii formei cuadratice astfel ca V (x) să fie funcţie Liapunov

pentru sistemul liniarizat

cu xV stabilit în punctual în punctul precedent intervenim în sistemul neliniar si

impunând ca si pentru acest caz 0dV dt stabilim limitări ale neliniaritătii astfel ca

sistemul sa fie global asimptotic stabil.

In sectiunea “Mod de lucru” vom prezenta un exemplu concret de aplicare a metodei

propuse.

Metoda prezentataă este o metoda simplă, aplicabilă şi pentru sisteme cu mai multe

blocuri neliniare . Ea este aplicabilă cu success sistemelor la care neliniaritătile se abat în mică

masură faţă de forma liniară.

13.2 Mod de lucru

Considerăm sistemul automat neliniar a cărui schemă echivalentă este prezentată în figura de

mai jos (vezi figura 1)

Neliniaritatea m f x asigură 0 0f si din alura grafică putem deduce posibilitatea

unei aproximari liniare in forma 2m x .

1

1

s 2

1

s f

0refy ty

z m

Fig.1. Schema bloc a sistemului analizat.

Blocurile liniare ce intră în compunerea sistemului, în notaţiile impuse pot fi caracterizate

simplu în forma:

93

z + z = e

y + 2y =m

e = -y

Ţinând cont că ,m f z obţinem elementar ecuatţa diferenţială ce caracterizează

comportarea sistemului neliniar (pentru 0)refy în forma

023 xfppp (1)

Similar procedurilor din liniar vom nota x1= p si x

2= p , pentru care caracterizarea

sistemului neliniar la nivel de stare va fi:

1 2

2 1 2 12 3

x x

x x x f x

(2)

Introducem vectorul Txxx 21 si matricea simetrică B (cu dimensiunea sistemului)

2221

1211

bb

bbB

(3)

Functia 1 2,V x x asociată sistemului se propune ca functie cuadratică

2 2

1 2 11 1 12 1 2 22 2, 2TV x x x Bx b x b x x b x

Pentru ca functia să fie pozitiv definită este necesar ca

11

2

11 22 12

0

0

b

b b b

(4)

Derivata în virtutea sistemului va fi

222211212121112

2

1

1

21 22,

xxbxbxxbxbxx

Vx

x

V

t

xxV

(5)

Pentru sistemul liniarizat, derivata în virtutea sistemului va fi:

212221122212111 3422 xxxbxbxxbxbdt

dV (6)

Relaţia (6) se bazează pe aproximarea neliniarităţii în forma 11 2 xxf .

Prin urmare

2 2

12 1 12 22 11 1 2 22 12 28 2 3 4 2 3dV

b x b b b x x b b xdt

(7)

Pentru o alegere 11 12 22

15, 1

2b b si b pentru dV

dtobţinem expresia

2 2

1 2 1 28 0 , 0dV

x x x xdt

(8)

şi

94

2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

1, 5 2 0 , 0

2V x x x x x x x x

(9)

Prin urmare funcţia 1 2,V x x (9) este funcţie Liapunov pentru sistemul liniarizat. In

cazul sistemului neliniar iniţial, considerând funcţia xBxxxV T 21, ,derivata în virtutea

sistemului va fi

1212221122212111 3222 xfxxxbxbxxbxbdt

dV

(10)

Ţinând cont de valorileijb stabilite pe modelul liniarizat, derivata în virtutea sistemului

neliniari va fi:

1 12 2

1 1 2 2

1 1

2 2 2f x f xdV

x x x xdt x x

(11)

Derivata in virtutea sistemului poate fi pusă în forma:

TdVx Cx

dt

(12)

unde C este de forma:

2 2 12

1 12

mm

Cm

(13)

unde am notat 1

1

f xm

x

Prin urmare pentru ca 0dVdt este necesar ca matricea C să fie pozitiv definită. Prin

urmare

2

2 2 0

2 2 1 02

m

mm

Solutionand sistemul de inecuatii obtinem conditia

0,928 12.928m

Pentru cazul propus, ţinand cont de notaţia introdusă 1

1

f x f xm

x x , obţinem

condiţionarea pentru ca sistemul sa fie global asimptotic stabil

0 12.928f x x

care fixează o condiţionare sectorială de forma prezentată în figura 2.

95

x

xf

xxf 928.12

Figura 2. Neliniaritatea sectorială


Se consideră sistemul dinamic neliniar a cărui structură este prezentată în figura 2.

Funcţia este continuă şi derivabilă şi poate fi aproximată în forma .


Să se determine utilizând metoda Eisermann restrcţiile asupra funcţiei neliniare pentru ca

sistemul în circuit închis să fie stabil Liapunov.

f xxf 3

s

1

2

1

s f

0refy ty

96

14. Bibliografie

1. ADAMY, J – Nichtlineare Regelungen, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

2. GIBSON, J.E. – Sisteme automate neliniare, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1967

3. UNBEHAUER, H – Regelungstechnik I, II, 12 Auflage, Verlag

Vieweg,Braunschweig/ Wiesbaden, 2002

4. DUMITRACHE, I – coordonator Automatica,Vol 1, Ed. Academiei Rpmana,

Bucuresti, 2009.

Documents

Îndrumar de laborator - shiva.pub.roshiva.pub.ro/new/wp-content/uploads/2013/04/sisteme_neliniare_si... · 3 3.3 Breviar al procedurilor de calcul ..... 43