-Nacelo

/I!' I , .znanstvenostl

Zdravko Kurnik, Zagreb

Osnovni cilj n'astave matematike, koji sepostavlja pred svakog ucenika, ne smije bitipuko usvajanje gradiva propisanog progra-mom i stjecanje znanja koja se temelje sarnona nizu pravila, formula i umijeta rjesavanjajednostavnih standardnih zadataka. Danas sepred nastavu matematike postavlja kao prio-ritetni sljedeei problem:

Problem razvoja stvaralaCkog mislje-nja i stvaralaCkih sposobnosti ucenika.

Suvremena metodika nastave matemati-

ke pruiarazne mogucnosti za rjesavanje ovogproblema. Prvu mogucnost nastavnik mate-matike moZe naCi vet u temeljnim idejama ismjernicama na osnovu kojih izvodi nastavu.To su nacela nastave matematikc.

U osnovnoj i srednjoj skoli uspostavljaju,,'Iseova nacela: I

Nacelo primjcrcnosti, nacclo zornosti,nacclo interesa, svjesnosti i aktivnosti, na-cclo sistematicnosti i postupnosti, nacclotrajnosti znanja, vjcstina i navika, naceloindividualizacije, nacelo odgojnosti nasta-vc, nacelo problcmnosti, nacelo znanstve-nosti.

Sva su nacela podjednako vain a, jer iz-raiavaju bitna polazista nastave matematike.

102

Zato ih treba u nastavi matematike i podjed-nako uvaiavati i primjenjivati. Ona se uskopovezana. Nije rijedak slucaj da se ostvari-vanjem jednog nacela ostvaruje i neko drugonacelo. Osnovna znacajka svakog nacela sa-driana je vec u samom nazivu nacela i onasu nastavnicima matematike uglavnom jasna.ledno nacelo ipak cesto izaziva nedoumicu:nacelo znanstvenosti. Sto znaci znanstve-

nost nastave matematike? CiIj ovog clanka ijest da pobIize opise to znacenje.

Nacelo znanstvenosti nastave ma-

tcmatike sastoji se u nuznom skladunastavnih sadrbja i nastavnih metodas jcdne strane i zahtjeva i zakonitostimatcmatike kao znanosti s druge stra-ne. To znaci da nastavnik matematikc

trcba uccnike upoznavati 5 onim cinjc-nicama i u njihovom misljcnju formi-rati one matcmatickc pojmove koji sudanas znanstvcno potvrdcni. Nastavamatcmatike mora biti takva da omogu-cuje daljnja produbljivanja i prosiriva-nja gradiva i prirodan nastavak mate-matickog obrazovanja na visoj razini.

M~ 13,2002

Pogledajmo najprije vezu glavnih oblikamisljenja i nacela znanstvenosti.

Primjer 1. Pojmovi i poucci., 1) Pri obradi matematickih pojmova na-

stavnik ostvaruje nacelo znanstvenosti ako

pravilno provodi proces formiranja pojma(opaianje, predodzba 0 pojmu, formiranjepojma) i pridriava se osnovnih pravila kojamora zadovoljavati definicija pojma (prim-jerenost, minimalnost sadriaja, sazetost, pri-rodnost, prikladnost, primjenjivost, suvreme-nost).

2) Pri obradi poucaka nastavnik ostva-ruje nacelo znanstvenosti ako svoje ucenikenauCi ispravno i precizno formulirati poucak,jasno razlikovati pretpostavku od tvrdnje po-ucka, formuIirati obrat poucka, formulirati

suprotnu tvrdnju, te ako postigne razumije-vanje metodike dokazivanja poucaka.

3) Ucenici ponekad ne razlikuju defini-cije pojmova i poucke. To se vidljivo ocitujeu njihovim pokusajima da i definicije dokazu.Pogledajmo recenice:

Paralelogram je cetveroku/ kojemu sunasuprotne s/ranice paralelne.

Paralelogram je cetveroku/ kojemu sunasupro/ne s/ranice sukladne.

Za ucenike obje su recenice vrlo slicne inije cudo ako ih oni u prvi trenutak i slicnorazmatraju i prihvacaju. Medutim, prva reee-nica je uobicajena definicija paralelograma,pa se ne dokazuje, a drug a reeenica je tadapoucak i on se treba dokazati. Moguce je ida se drug a reeenica uzme za definiciju para-lelograma, doduSe manje prikladnu zbog ne-sklada s terminom paralelogram, tada se onane dokazuje, a prva recenica u tom slucaju jepoucak ion se treba dokazati.

Nastavnik matematike moze primjere-nim formulacijama poboljsati razumijevanjeopisanih razlika. lasnim razIikovanjem defi-nicija i poucaka ostvaruje se takod:er naceloznanstvenosti.

* * *

H~ 13, 2002

Ponekad se nacelo znanstvenosti ostva-

ruje i u dogovoru 0 znacenju nekog pojma,veIicine ili objekta i objasnjenju razloga zaS-

to se taj dogovor uvodi.

Primjer 2. Dogovorne definicije.'1) Broj 1. le Ii I prost broj ili nije?

Broj I formalno zadovoljava definiciju pros-tog broja: on je djeljiv sarno sa I i sa samimsobom. Medutim, broj I se ipak ne ukljucu-

je u skup prostih brojeva. ledan od razlogadogovora da I nije prosti broj nalazimo uosnovnom teoremu aritmetike po kojem sesvaki prirodni broj, razIicit od l, moze najedinstven nacin napisati u obliku umnoskaprostih faktora. Kad bismo uzeli da je I pro-sti broj, taj teorem, bez dOdatnih uvjeta, nebi vrijedio. U tom slucaju imali bismo, naprimjer, za broj 2002 ove rastave na prostefaktore

2002 == 2.7 . II . 13 = I . 2.7 . II . 13== I . I . 2 . 7 . II . 13 itd.

Dakle, rastav ne bi bio jedinstven. Tako bibilo za svaki prirodni broj.

2) Prazan skup 0. Prazan skup je skupkoji ne sadrii nijedan element. Ovo znace-nje praznog skupa ne bi imalo puno smislakad ne bi za to postojao ozbiljan znanstvenirazlog. Njega nalazimo u operaciji presjekskupova. Zahtjev da presjek A n B bilo ko-ja dva skupa A i B bude skup, a to znaCi ipresjek disjunktnih skupova, vodi do potrebeuvod:enja pojma prazan skup.

3) ao. == I. U skolskoj matematici ova se

jednakost cesto uvodi bez objasnjenja. A toobjasnjenje je jednostavno. Ono proizlazi izpravila za dijeljenje potencija jednakih baza:d" : d' == d,,-n. Za m == n lijeva stranajednakosti ocito je jednaka l, a desna aD Dabi pravilo vrijedilo i u tom slucaju, stavlja seda je ao. == 1.

* * *

vet smo naglasili vainost za suvremenunastavu matematike uske povezanosti mate-matike kao nastavnog predmeta i matema-

103

,,'I'

tike kao znanosti.. Usporedimo poblize radnastavnika matematike i rad matematicara-znanstvenika.

Rad znanstvenika u mnogo cemu se ra-zlikuje od rada nastavnika matematike u raz-redu. No postoje i neke zajednicke znacajke.Znanstvenik u procesu spoznaje primjenjujeposebna sredstva - znanstvene metode is-traiivanja. One su mu potrebne za dobivanjenovih tvrdnji, njihova dokazivanja i dovode-nja u vezu s vee poznatim cinjenicama i teo-njama.

Nastavnik matematike u nastavnom pro-cesu pomaZ~ucenicima da otkrivaju i spozna-ju nove matematicke istine. Do tih spoznajamoZe se doci na razne nacine. Posebno je va-zno otkrivanje puta k sarnostalnom stvaralac-kom radu ucenika. Zato su znanstvene meto-de vaZne i za suvremenu nastavu matematike

i zato su one predmet izucavanja u suvreme-noj metodici nastave matematike. Kreativannastavnik, birajuci pogodne probleme i prim-jenjujuci te metode, moZe ucenike osposobitizarad koji je vrlo blizak istraZivackom ra-

I dd',1radu znanstYenika. Mnogo je nastavnihmatematickih saddaja za takvu primjenu. Unjima se moZe u punoj mjeri ostvariti naceloznanstvenosti.

Osnovne metode znanstvenog istraZiva-nja jesu:

Analiza i sinteza, apstrakcija i konk-retizacija, indukcija i dedukcija, generali-zacija i specijalizacija, analogija.

Ueenike treba postupno i primjereno na-uCiti analizirati, sintetizirati, konkreti-zirati, apstrahirati, inducirati, deducira-ti, generalizirati, specijalizirati, uocavatianalogije, bez obzira hoce Ii se oni kasnijeozbiljnije baviti matematikom ili ne. Mate-maticki nacin misljenja dragocjena je steee-vina matematickog obrazovanja, primjenjivai u mnogim drugim djelatnostima. Naglasakje na rijeeima postupno i primjereno. Akose znanstveni postupci primjereno i pravilnoprimjenjuju. s nuinim osjeeajem za tezinumaternatickih saddaja i matematickog naci-

104

na misljenja, :. $~atematicke spo-sobnosti svakog pojedinog ucenika, moze seocekivati da ce nastava matematike biti usp-jeSna. U protivnom, ucenici ce imati znatnihpoteskoca pri svladavanju nastavnog gradivai oni s vremenom mogu steci pogresan do-jam da je matematika teZi predmet nego stoto ona uistinu jest. Na zalost, ce~lOse u udz-benicima matematike, a onda kao posljedicai u nastavnom procesu, ne poklanja dovoljnopozomosti na pravilnost primjene znanstve-nih postupaka. Za obrade nekih matematic-kih sadIiaja moze se cak ustanoviti da su stog gledista pogresne. Time je povrijedenonacelo znanstvenosti.

Pravilnost primjene znanstvenih postu-paka ilustrirat cemo ukratko s nekoliko jed-nostavnih i karakteristicnih .primjera obradematematjckih sadIiaja.

su zakljucci dobiveni analogijom, ana krajuje izvedena generalizacija. Time je pokaza-no kako se pravilno primjenjuje indukcija.Znanstvenost u ovom primjeru ostvaruje se utome sto se u njemu razmatra primjeren brojposebnih slucajeva koji misljenje ucenika naprirodan naCin vode do trazene generalizaci-je.

~

I

II

2) Visinajednakokracnog trokuta. For-

mule v = ~aJ], v = ~V4bZ - aZ za dulji-2 2nu v visine jednakostranicnog, odnosno jed-nakokracnog trokuta, izraZenu pomocu dulji-n'a a i b njegovih stranica, dobivaju se prim-jenom Pitagorina poucka.

Ako se najprije izvodi formula v =~aJ], formula v = ~V4bz - aZ je, kao sto2 2znamo, njezina generalizacija i nju je nakontoga potrebno izvesti na analog an naCin.

Ako se najprije izvodi formula v =I I-v4bz - aZ, onda formulu v = -aJ] ni-2 2je potrebno analogno izvoditi. BuduCi da jejednakostranican trokut posebna vrsta jedna-kokracnog trokuta, druga se formula dobivaiz prethodne opee formule zamjenom velici-ne b sa a. tj: specijalizacijom.

Pozeljno je da se u nastavi primjenjujuoba nacina izvodenja. Promjena metoda radajedna je od osobina kreativnog ucitelja ma-tematike. Svoju kreativnost ovdje on mozeiskoristiti da ucenike jos jednom poduci stosu to generalizacija i specijalizacija.

3) A-G nejednakosL Izreka:Ako su a i b pozitivni realni brojevi, onda

aritmeticKu i geometrijsku sredinu tih brojevapovezuje nejednakost

a+b r-;-- > vab.2 -

Da bismo dokazali ovu nejednakost, po-lazimo od nje i iz nje izvodimo redom nejed-nakosti a + b > 2.;;;b, a + b - 2.;;;b > 0,(va)z+( Vb)z-:::'2vaVb ::::0, (va-VbJ2 ::::

o.

Primjer 3. Iz nastavnih programa.1) Zbroj Kif svih unutarnjih kutova

mnogokuta. Pri obradi ove nastavne jedi-nice u sedmom razredu osnovne skole tre-

ba krenuti od u prethodnom razredu spoz-natih cinjenica. Prva od tih cinjenica je iz-reka 0 zbroju svi unutarnjih kutova troku-ta: K3 = 180°. Druga cinjenica je izreka0 zbroju svih unutarnjih kutova cetverokuta:K4 = 360° = 2 . 180°. Dalje treba za zb-roj svih unutamjih kutova peterokuta izvestiformulu Ks = 540° = 3 . 180°, za zbroj svihunutamjih kutova sesterokuta izvesti formuluK6 = 720° = 4 . 180°, a zatim treba nave-

sti ucenike da zakljuce da je za sedmerokutK7 = 5. 180°, za osmerokut Ks = 6. 180°itd. Slijedi usporedivanje formula.Tek nakonsvih ovih koraka ucenici bi trebali biti misa-

ono pripremljeni za iskazivanje opec izreke:Zbroj Kif svih unutarnjih kutova mnogo-

kuta sa 11stral1ica dal1je fonnulom

Kif = (11 - 2) . 1800.

Analizirajmo opisani postupak. Prvadva koraka su predznanje ucenika i pocetniinduktivni zakljucci, treei i cetvrti korak sudva nova induktivna izvoda, peti i sesti korak

Je Ii ovo dokaz? Nije. Ovo je sarno ana-liza kojom smo otkrili tek pocetni korak do-

~ 13,2002

.

~ 13,2002

kaza, ociglednu nejednakost (va - Vb)Z ::::

o. Sam dokaz izgleda ovako:

(va-/bf::::o

=* (va)Z + (Vb)Z - 2va . .Jb ::::0

=* a +b - 2.;;;b ::::0

=* a + b ::::2.;;;b

a+b r-;-=* - > vab.2 -

Ucenici trebaju iz ovog i slicnih prim-jera shvatiti da analiza nema snagu dokaza

. tvrdnji, vee da njena primjena vodi tek do ot-

krivanja nacina dokazivanja tvrdnji. Za do-kazivanje se primjenjuje sintcza.

4) Pravila. Vazni dijelovi nastavnoggradiva su razliCitapravila za brojeve kojaucenici trebaju pamtiti i primjenjivati. Nji-hova obrada cesto nije primjerena i u skladus nacelom znanstvenosti. .

Uzmimo kao primjer pravilo .;;;b =va. Vbza drugi korijen iz umnoska dvaju po-zitivnih brojeva a, b i zadatak da se izracunavrijednost V256 . 484 . 729. Ako je razma-trano sarno pravilo za dva broja, svi ucenicinisu spremni za Ijesavanje zadatka primje-nom pravila. Nastavnik je obradu skratio zajedan vaZan korak, sto kod ucenika moze po-remetiti misaoni proces. Zato je potreban tajkorak, a to znaci pravilo iz metodickih razlo-ga i uskladu s nacelom znanstvenosti najprijeanalogijom prosiriti za vise od dva broja, patek onda prijeei na primjenu. Analogijom sepravilo prosiruje za tri i cetiri broja ovako:

~ = v(ab)c = .;;;b. .,fC= va . Vb . .,fC,

vabcd = v(abc)d = ~..,jd=va..jjj..,fC..,jd

Na temelju prvog prosirenja ucenici bibez teskoca trebali rijesiti gomji zadatak:V256 .484 . 792 = v'256. v'484 . v'792= 16.22.27 = 9504.

105

Nakon analogije ucenici su sada misao-no blizu fonnuliranja sljedeee opCe izreke:

Neko. je n prirodni broj veCi od J iai, az,..., an pozitivni realni brojevi. Tadavrijedi jednakost

yalaZ'" an = vIa!' ..;a2 . . .. . va;..

U nastavi ova jednakost moze se izreci ibez uporabe oznaka:

Kvadratni korijen iz umnosko. pozitivnih

brojeva jednak je umnosku kvadratnih kori-jaw iz pojedinih faktora.

I'Ili Ovaj primjer pokazuje kako se primje-nom nacela znanstvenosti skladno povezujui dopunjuju indukcija, analogija i gcncrali-zacija.

5)Jednadzbexz-2 = O,xz+l = O. Na

prvi pogled to mogu izgledati sarno kao jed-nostavni primjeri kvadratnih jednadzbi. Me-dutim. tim jednadzbarna moze se dati dubljiznanstveni smisao i one u nastavi matematike

zato igraju vainiju ulogu.

JednadZba xZ - 2 = 0 daje duljinu di-

jagonale kvadrata kojemu je duljina strani-ce jednaka 1. Ona nema Ijesenje u skupuracionalnih brojeva Q. BuduCi da rjesenje,-/2. ocito postoji. to zahtjev da ta jednadzbaima IjeSenje u nekom skupu brojeva dobraje motivacija potrebe prosirenja skupa raci-onalnih brojeva Q i uvodenja skupa realnihbrojeva R. Osim toga, ovdje se pojavljuju inekadruga vaina pitanja: Ijesavanje kvadrat-ne jednadZbe, uvodenje pojma drugog korije-na, iracionalnost broja -/2 i indirektni dokazsvodenjem na kontradikciju.

JednadZbaxz+ I = 0 najjednostavniji je

primjer kvadratne jednadzbe koja nema rje-"IiSenja u skupu I-e.alnihbrojeva R, jer je kvadrat

realnog broja uvijek nenegativan. Zahtjev dasvaka kvadratna jednadzba ima rjesenja u ne-kom skupu brojeva daje motivaciju potrebeprosirenja skupa realnih brojeva R i uvode-nja skupa kompleksnih brojeva C.

6) Matematika u nastajanju je konkretnai induktivna znanost, a sarna matematika je

106

apstraktna i deduktivna znanost. Ta cinjeni-ca govori sve 0 tome koliko su i za nastavumatematike vazne cetiri znanstvene metode

istrazivanja: konkretizacija, indukcija, ap-strakcija idedukcija

** *

Na kraju ovog opisa nacela znanstveno-sti i njegove primjene u nastavi matematikejos sarno jedna napomena. Nastavnik mate-matike ne mora biti znanstvenik da bi u na-

stavi pravilno i primjereno primjenjivao na-celo znanstvenosti i znanstvene metode. To

se u nastavi maternatike namece sarno po se-bi. RjeSavanje svakog problema ima nestootkrivalacko i stvaralacko. Zato je potrebnosarno da nastavnik u svojim ucenicima razvi-ja radoznalost duha, sklonost za sarnostalanumni rad i da im ukazuje na putove do novihotkrica. Kreativan nastavnik matematike u

kreativnoj nastavi ima velike izglede da kodsvojih ucenika razvije kreativne osobine.

Literatura

[I] I. Gusic, Tri razine obrade ma/ema/ic"kihpojmo-va, Maternatika i skala 8 (2001),111-118.

[2) I. Gusic, Slrucnosl u nilS/avima/emalike, Paucak7 (2001), 5-14.

[3] Z. Kurnik, Analiza, Maternatika i skala 2 (1999),54-64.

[4] Z. Kurnik, Analogija, Matematika i skala 3(2000), 101-109.

[5] Z. Kurnik, Generalizacija, Matcmatika i skala 4(2000), 147-154.

[6) Z. Kurnik, lndukcija. Matematika i skala 5(2000), 197-203.

[7] Z. Kurnik, Suvremena melodika i nas/ava male-malike, Zbornik radava I. kangrcsa nastavnikarnatematike Republike Hrvatske, Zagreb 2000,187-201.

[8] Z. Kurnik. Apslrakcija, Matcmatika i skala 6(2000), 11-15.

[9] Z. Kurnik, Poucak ifi /eorem, Matematika i skala8 (2001),101-105.

[10] Z. Kurnik, Dokaz, Maternatika i skala 9 (2001),149-155.

[11] Z. Kurnik, Malemalicke sposobnosli, Maternati-ka i skala 10 (2001),195-199.

[121 Z. Kurnik. Malemalicki pojam, Matematika iskala II (2001),8-16.

[13] Z. Kurnik, Melodika uvodenja novih pojmova,Matematika i skala 12 (2001), 55-59.

~. 13,2002