Na Logicki Pogon Podrijetlo Ideje Racunala

Embed Size (px)

Citation preview

Bi bl i oteka42 Izdava: Naklada Jesenskii Turk Za izdavaa:MioNejami Urednik biblioteke: Ognjen Strpi Prijevod:Ljerka Vuki i Ognjen Strpi Slog: Palatina 10.5/12 pt (1pjDebian) Dizajn naslovnice: Boesauvaj Tisak: ZRINSKI d.d., akovec LL O1.b:9 1b9:Z9LPV1b, NurtnPa lO_k QO_On QOUr]etlOUe]emunulu_Nur1m LuV5_ - Z_reD.PuklUa|e5en5k urk, ZJ. - DlOteku9Zr]eVOUU]el Ln_ne5OlLO_C.- DlO_rul]u.- uzuOL kOmQ]utOr- lO_IkeO5nOVe1. mutemutku lO_ku~ QOVt]e5IbP VbJ-ZZZ-1J-www.jesenski-turk.hr Nalogikipogon podrijetloidejeraunala Martin Davis Naklada Jesenski i Turk Zagreb, 2003. Izvornik: Martin Davis,Enginesof Logic,W. W.NortonandCompany,NewYork,2001. Copyright2000byMartinDavis Copyrightzahrvatskoizdanje NakladaJesenskiiTurk Sadraj Predgovor Uvod13 Leibnizovsan15 Leibnizova divna ideja17 Pariz19 Hannover .26 Univerzalna karakteristika.28 Bool epretvaralogikuualgebru35 Teak ivot Georgea Boolea35 Algebra logike Georgea Boolea47 Boole i Leibnizov san.54 Frege:odvelikogotkriadobeznaa57 Fregeov Begriffschrift64 Frege smilja formalnu sintaksu.69 Zato je pismoBertranda Russellabilo tako razorno?71 Frege i flozofija jezika 73 Frege i Leibnizov san.74 4Cantor:zaobilaznicomkrozbeskonanost77 Inenjer ili matematiar .79 Beskonanih skupova imaraznih veliina82 Cantorova potraga za beskonanim brojevima88 Dijagonalna metoda .93 Depresija i tragedija. 97 Presudnabitka?99 Hi l bertstieupomo103 Rane Hilbertove pobjede. .. . . .105 Ususret novom stoljeu. . . . . . . . .110 Kroneckerov duh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Metamatematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Konani slom. . . . . . . 124 GOdelremetiplanove129 Povratak Kroneckerovog duha. . . . . . . . . . . . . . . 133 Neodluivi iskazi.137 Kurt GOde!, programer....................143 Konferencija u KOnigsbergu.145 Ljubav i mrnja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Hilbertova presuda........154 Tuan kraj jednog udaka.160 Turing stvarasvenamjenskoraunal o163 Dijete Imperija. .. .164 Hilbertov Entscheidungsproblem. . . . . . . . . . . . . .170 Turingova analiza postupka izraunavanja. . . .172 Turingovi strojevi u pogonu. . . .176 Turing primjenjuje Cantorovu dijagonalnu metodu . . . .182 Nerjeivi problemi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Turingov univerzalni stroj189 Alan Turing na Princetonu. Rat Alana Turinga. ..192 ..............6 Stvaranjeprvihuniverzal ni hraunala203 Tko je izumioraunalo?. . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 John von Neumann i fakultet Moore. . . . . . . . . . . . 206 ACE Alana Turinga... . 215 Eckert, von Neumann i Turing ... . . . . . . . . . 218 Zahvalna nacija nagrauje svog junaka. . . . . . 221 NakonLeibnizovogsna227 Raunala, mozak i um....................229 Epilog 237 Biljeke 239 Bi bl iografija271 Kazal o283 Predgovor Temuoveknjigeineidejekojesu omoguile stvaranjemodernihraunalailjudikojisuteidejerazvijali.Netomnakonto sam zavrio doktorat iz matematike logike na Sveuilitu Princeton, u proljee 1951.godine, predavao sam na Sveuilitu Illinois. Predavanja susetemeljilana Turingovim zamislima.Naistom sveuilitu radio je i sam Turing jedno desetljee prije mene. Moja predavanjajepohaaojedanmladimatematiarkojimeupozorio da se u ulicinasuprotuionice upravo konstruiraju dva stroja zakojajebiouvjerendasunastalanaosnovuTuringovihzamisli. Ubrzo sam poeo pisatiprograme za ta prva raunala. Pola stoljeasamseprofesionalnobaviovezomizmeuapstraktnih logikih idejakoje stojeu pozadini modernihraunalainjihove realizacije. Raunala su pedesetihgodina bilaogromnai jedva su mogla stati u sobu. Danas su to moni strojevi koji mogu izvesti zauujui broj razliitih zadataka, no logika koja stoji u njihovoj pozadini nije se promijenila. Ona se razvila iz radova nekolicine mislilaca kroz nekolikostoljea.Uovoj u knjiziispriatinjihove ivotne priei objasniti dio njihovih razmiljanja.Prie su same po sebi zanimljive, no nadam se da itatelji nee samo uivati u njima, ve da e nakon toih proitaju boljerazumjetitosezbivaunutar raunala, a i da e barem malo vie cijeniti apstraktno miljenje. Punoljudimijepomoglodanapiemovuknjigu.Zaklada JohnSimonmijepruilafinancijskupotporuupoetkuistraivanja. Patricia Blanchette, Michael Friedman, Andrew Hodges, Lothar KreiseriBenson Mates velikoduno su sa mnom podijelilisvojestrunoznanje. Tony Sale je biomojvodiuBletchley Parku,gdje jeuDrugom svjetskom ratu Turing deifriraotajne njemake vojne poruke. Eloise Segal mi je pomogla da izbjegnem neke zamke u objanjavaju odreenihproblema.Ona je predano iitavala knjigu, ali naalost nije doivjela njezino izdavanje. Supruga Virginia uporno mi je branila da budem nejasan. Sherman Steinjepaljivo proitao rukopis, predloio razna poboljanja i primijetiomnogepogreke.UprevoenjusumipomogliEgon BOrger, William Craig,Michael Richter, Alexis Manaster Ramer, Wilfried Sieg i Franois Treves. Svojim komentarima pomogli su i Harold Davis, Nathan Davis, Jack Feldman, Meyer Garber, Dick i Peggy Kuhns i Alberto Policriti. Ed Barber, moj urednik u izdavakoj kui W. W. Norton velikoduno je sa mnom podijelio svoje poznavanje pripovjedakogstilauengleskomjezikuizasluan je za mnoga poboljanja utompogledu.Harold Rabinowitz me upoznao sagentomAlexom Hoytom kojimi je puno pomogao. Ovim elim samo zahvalititim ljudima, ane umanjiti svojuodgovornost za nedostatke knjige. Ispravke i komentare itatelji mi mogu slati na adresu davis@eipye. com. Martin Davis Berkeley, 2. sijenja 2000. Napomena uz ovo izdanje. Knjiga je u tvrdom uvezu trebala izai pod naslovom The Universal Computer i kad je bila pred tiskanjem, Julio Gonzales Cabillion i John McCarthy su me upozorili na nekoliko greaka koje sam jo stigaoispraviti. Zahvaljujem im iao mi je to je bilo prekasno da im se zahvalim u predgovoru. Kad je knjiga izala, Connie Holmes me upozorila da je jedan ulomak, za koji sam mislio da je savreno jasan, zapravo dvosmislen. Connie sam upoznao na krstarenju Nilom, a greku sam stigao ispraviti. Hvala Connie. Uvod Ako bi seispostaviloda temeljnalogikastrojaproizvedenog za izraunavanjediferencijalnihjednadbi odgovaralogicistroja koji radiraune u robnoj kui, smatrao bih to najudnijom koincidencijoms kojom sam se ikadasusreo. -Howard Aiken, 1956.1 Vratimo sesadaanalogijiteoretskihraunalnihstrojeva . . .Moguejepokazatidasamojedan jediniosobitstrojtakvevrste moe obavljati zadatke svih njih.Zapravo, onmoe sluiti kao model bilo kojeg drugog stroja. Taj osobiti stroj moemo nazvati univerzalnim strojem. -Alan Turing, 1947.2 U jesen 1945, na Elektrotehnikom fakultetu Mooreu Philadelphiji zavravalo se konstruiranje ENIAC-a, gigantskog raunskog stroja stisuamavakuumskihcijevi.Grupa strunjaka redovito sesastajalakakobi raspravljalaoplanuzanjegovanasljednika EDVAC-a. Tjedni su prolazili, a sastanci su postajali sve zaotreniji. Strunjacisu se dijeliliu dvije grupeo kojima se poelo govoriti kao o "inenjerima" i"logiarima". Voditelj inenjera John PresperEckertbiojespravomponosannasvojapostignuas ENIAC-om.Smatraloseda je nemogueda15,000vrelihvakuumskih cijevi raditako dugo koliko je potrebno da postignu bilo toupotrebljivo.Pa ipak,uzupotrebupaljivih,konzervativnih konstrukcijskih principa, Eckertu je to genijalno uspjelo. Vrhunac je bio kad je, na Eckertovonezadovoljstvo, vodeilogiar grupe, eminentni matematiar John von Neumann, pustio uopticajnacrt izvjetaja o EDVAC-u. U njemu nije bilo puno konstrukcijskih detalja te je izlagao strukturufundamentalnoglogikog raunala. Do dan-danas ona se zove von Neumannova arhitektura. Iako konstrukcijskitour de frce,ENIAC jelogikibioveoma zbrkan. Von Neumannova poznavanje logike, i ono to je nauio od engleskog logiara Alana Turinga, omoguili su mu da shvati kako je raunalni stroj zapravo logiki stroj. On je nastao na osnovu proienih uvida koje je znaajan broj logiara razvijao stoljeima. Danas, kadraunalna tehnologija napreduje takozadivljujuom brzinomikadsedivimoistinskiznaajnimdostignuimainenjera, lako je previdjeti logiare ije ideje su toomoguile.Ovo je knjiga o njima. lLeibnizovsan PlaninskopodrujeHarz,smjetenojugoistonoodnjemakog grada Hannovera, bogato je rudnim ilama. Tamo se ruda vadila jo od sredine desetog stoljea. esto se dogaalo da se u dubljim dijelovima rudnika pone nakuplja ti voda. Iskapanje su u takvim sluajevima omoguavale pumpe koje su tu vodu zadra vale. U sedamnaestom stoljeu pumpe su se snabdijevale vodenim kolom, pa bi se u zimskom periodu kada rijeke smrznu unosno vaenje rude moralo obustaviti. Od1680.do1685.godineupraviteljirudnikaplanineHarz bili su u estom sukobu s jednim potpuno beznadnimrudarom. Njemu jetadabilotridesetakgodina,azvaoseGeorg Wilhelm Leibniz. Leibniz je tamo doao da uvede vjetrenjae kao dodatni izvor energije koji bi omoguio rudnicima da rade tijekom cijele godine. On je dotad ve bio postigao mnogo. Ne samo da je doao do veihmatematikihotkria,stekao jeslavuikaopravnik,a mnogo je pisao iofilozofskim iteolokimpitanjima.ak je kao diplomat doao na dvor Louisa XIV, u pokuaju da uvjeri francuskog Kralja Sunca da je bolje provoditi vojne akcije u Egiptu nego na podrujima Nizozemske i Njemake.1 O nezgodamakoje je s vjetrenjaamaimao jedan melankolini panjolac pisao je Cervantes sedamdesetak godina prije. Za razliku od Don Quijotea, Leibniz je patio od neizljeivog optimizma. Onimakojisubiliogorenizbogoiglednihnedaausvijetu, Nalogikipogon Leibniz je odgovarao da je Bog, sveznajui o svimmoguim svjev tovima,nepogreivostvorio najboljisvijet koji jeuopemogue stvoriti i da je sve zle elemente naeg svijeta na najbolji mogui nav in uravnoteio s dobrima. No, Leibniz je u rudarskom projektu planine Harz na kraju doivio neuspjeh. U svom optimizmu nije predvidioda e strunirudarski inenjeri biti neprijateljski rasv poloeni prema novajlijikojiih eli nauiti njihovuposlu.Osim toga, zanemario je nepouzdanost vjetra i injenicu da je potrebno odreeno vrijeme da se novi stroj uhoda. No, najnevjerojatniji dio njegova optimizma odnosio se na ono to je zamislio zaraditi od toga projekta. Leibniz je imaovizijuiznenaujueg dosega iveliine.Notav cijakojujerazvioza diferencijalniiintegralniraun(kojomse jouvijeksluimo),omoguila je da sekompliciranoraunanje izvodi bez mnogo razmiljanja. Kao da notacija sve napravi sama. U Leibnizovoj viziji neto slino bilo je mogue napraviti za cjelokupno ljudsko znanje. Sanjao je o enciklopedijskom, univerzalnom umjetnom matematikom jeziku kojim bi semoglo izraziti svako podruje znanja, o pravilima izraunavanja koja bi otkrila sve logike veze meu izraenim iskazima. Konano, sanjao je o strojevimakojimoguobavljatiizrauneiosloboditium zakreativnomiljenje.Uza sav svojoptimizam,Leibniz je znao da taj san ne moe pretvoriti u zbilju sam. No, vjerovao je da bi mali broj sposobnihljudi,kojibizajednoradiouznanstvenojakademiji, mogao za nekoliko godina dostii velik dio toga sna. Od projekta planine Harz Leibniz je zapravo elio zaraditi novac kojim bi financiraotakvu akademiju. Voltaireov dr. Panglossiz Candideashvaasvijetnaovakav"leibnizovski" nain. PoglavljeLleibnizovsan Leibnizovadivnaideja Leibniz je roen1646.uLeipzigu.Njemaka je tada bilapodijeljena u valjda tisuu zasebnih, politiki poluautonomnih jedinica, i opustoena ratom koji je trajao gotovo tri desetljea. Tridesetogodinji rat zavrio je tek 1648. godine. Usprkos tome to su u njemu sudjelovalegotovo sve glavne evropske sile, voen je uglavnom na njemakom tlu. Leibnizov otac, profesor filozofije na Sveuilitu u Leipzigu, umro je kad je djetetu bilo svega est godina. Iako su se njegovi uitelji tome protivili, Leibniz je u osmoj godini dobio pristup oevoj biblioteci i ubrzo je teno itao latinske tekstove. Predodreen da postane jedan od najveihmatematiarasvih vremena, prviuvod u matematike ideje dobio je od uitelja koji nisuninasluivalidanegdjedrugdjeuEvropimatematikazapravo preinaujeiztemelja.U Njemakojtogadobaak je ielementarna euklidska geometrija bila napredni predmet koji se uio samo na akademskom nivou. Njegovi su gauiteljiu ranim djeakimgodinama pak uveli u Aristotelov sustav logike star dvije tisue godinaita je temaprobudilanjegovmatematikitalent i strast.Fasciniran Aristotelovom podjelom pojmova u strogo odreene "kategorije", Leibniz je doao do onoga to e kasnije nazvati svojom "divnom idejom": pokuati pronai posebnu abecedu, iji elementi ne bi predstavljalizvukove, nego pojmove. Jezik koji se temeljinatakvojabecedi trebaobi omoguitida sesimbolikim raunom odrei koje su reenice napisane u tom jeziku istinite, i kojelogikevezepostojemeunjima.Leibniz je ostaoopinjen arima Aristotela i vrsto se drao ove vizije do kraja ivota. Tema Leibnizovogdiplomskog rada,kojeg je napisao na Sveuilitu u Leipzigu, bila je upravo Aristotelova metafizika. Njegov se magistarskirad na istom Sveuilitu bavio vezom izmeu flozofijeiprava.Oitoprivuen istudiranjemprava,doao jeido drugog magisterija, ovaj put iz pravne znanosti ito s radom koji Nalogikipogon GottfriedWilhelmLeibniz Poglavljel.Leibnizovsan je naglasak stavio na koritenje sistematske logike u pravnoj problematici. Leibnizov prvi pravi doprinos matematici razvio se iz njegovog Habilitationsschrita(neto kao druga doktorska disertacijau Njemakoj) iz filozofije. Kao prvi korak prema divnoj ideji abecede pojmova, naveo je potrebuda se pobrojerazliiti naini kombiniranja tih pojmova. Toga je dovelo do sistematine studije problemasloenih kombinacija sastavljenih od osnovnih elemenata, prvo u Habilitationsschritu, a onda i u opsenijoj monografiji De Arte Combinatoria. 2 Leibnizjenastaviostudiratipravo,idoktorskudisertacijuiz pravnogpodruja obranio jenaSveuilituuLeipzigu.Temaje bilatipino"leibnizovska":koritenjerazumaupravnommiljenju kod sluajeva kojisu preteki da bi ih se rijeilo uobiajenimmetodama.Fakultet u Leipzigu iz nejasnih je razloga odbio prihvatitidisertacijupaju jeLeibnizpredstavionaSveuilitu Altdorf, blizu Nirnberga. Tamo je disertacija primljena s odobravanjem. U dvadeset i prvoj godini i sa zavrenim formalnim obrazovanjem,Leibnizsesuoiosuobiajenimproblemommladog strunjaka: kako napraviti karijeru. Pariz Kako je bionezainteresiran za karijerusveuilinog profesorau Njemakoj,Leibnizjeslijediosvojujedinualternativu,aona je bila pokuati nai bogatog i plemenitog pokrovitelja. Naao ga je u baronu Johannu von Boineburgu, neaku elektora Mainza, koji ga jezaposliona modernizacijipravnogsustavazasnovanog na rimskom graanskom pravu. Ubrzo je Leibnizimenovan sucem PrizivnogodjelaVrhovnog suda.Okuaoseiudiplomatskim spletkama, ukljuujui i propali pokuaj da uiee na izbor novog kralja Poljske i posebno mu povjeren zadatak na dvoru Louisa XIV TridesetogodinjiratFrancuskujeuinio"supersilom"na Nalogikipogon evropskom kontinentu. Mainz, gradi smjeten na obalama Rajne, bio je za vrijeme rata okupiran. Zato su njegovi graani jako dobro razumjelikoliko je vanopreduhitritineprijateljskevojneakcije istogasuodravalidobrevezesFrancuskom.Upravosuzato Boineburg iLeibniz smislili plan da uvjere Louisa XIV i njegove savjetnike u to kako je puno bolje da objekt njihovih vojnih nastojanja bude Egipat.Najvaniji povijesniuinak ovog prijedloga -u biti istog onog koji je Napoleona doveo do vojne katastrofe vie od stoljea kasnije - bilo je to to je Leibniz doao u Pariz. Leibniz je 1672. stigao u Pariz kako bi podupro plan o Egiptu i kako bi pomogao urediti neke Boineburgove financijske poslove. Noprijekrajagodine,iznenadasedogodila katastrofa. Stigla je vijestda je Boineburg umroodsranog udara.Iakoje nastavio vritinekeusluge za obitelj Boineburg, Leibniz jeostao bez pouzdanog izvoraprihoda.Usprkostome,uspio je ostatiuParizu joetiriiznimnoproduktivnegodine.Utomperiodudvaput je nakratko boravio u Londonu.3 Pri prvom posjetu1673.godine jednoglasno je izabran u londonsko Kraljevsko drutvo na osnovu toga to je uspio izloiti raunalni stroj koji moe izvesti etiri osnovnearitmetikeoperacije.Iako je Pascal konstruiraostrojkoji moe zbrajatii oduzimati, Leibnizov je bio prvi koji je mogao jo mnoitiidijeliti:Taj stroj je zapravo bilajednaveomadomiljata spravicakojajekasnijepostalapoznatakao"Leibnizovkota". esto je koriten i u raunskim strojevima dvadesetog stoljea. O svom stroju Leibniz je pisao: I sada, kad konano smijemo pohvaliti stroj, moemo rei da e on biti koristan svima kojise bave raunanjem, a to su, kao to znamo, knjigovoe, upravnici posjeda, trgovci, nadzorici,ge-"BlaisePascalroenje19.lipnja1623.uClermont-FerranduuFrancuskoj. Jedan jeodosnivaamatematike teorije vjerojatnosti. Biojeplodanmatematiar, fiziar i filozof religije. Oko1643.konstruirao je i izgradio raunalni stroj koji mu je donio poprilino slavu.Umro je 1662.godine. Poglavljel.leibnizovsan ografi,pomorci,astronomi.. .No,ograniimose na upotrebu u znanosti.Staregeometrijskeiastronomsketablicemoguseispraviti te napraviti nove pomou kojih moemo mjeriti sve vrste krivuljai oblika. . .isplatise proiriti velike pitagorejsketablice to jemoguevie:tablicukvadrata, kubovaiostalihpotencija itablicekombinacija,varijacijaiprogresijasvihvrsta, . . .Osim toga,astronomizasigurovieneemorativjebatistrpljivost kojaimjedosadbilapotrebnazaraunanjem . . . .Jernijedostojno vrsna ovjeka da kao rob gubi vrijeme u raunanju koje se pouzdano moe prepustiti bilo kome tko se slui strojem.4 Iako je njegov stroj poznavao samo jednostavnu aritmetiku, Leibniz je shvatioireznaenjemehanizacijeizraunavanja.Godine 1674.opisao je strojkojimoe rijeitialgebarskejednadbe.Godinu dana kasnije usporedio je logiko rasuivanje s mehanizmom i tako se pribliio cilju: svesti rasuivanje na neku vrstu raunanja i na koncu izgraditi stroj koji takve izraune moe izvesti.5 Kad mu je bilo dvadeset iest godina, Leibniz je upoznao velikognizozemskogznanstvenikaChristiaanaHuygensa,kojije tada ivio u Parizu. To je bio presudan dogaaj u njegovu ivotu. etrdesettrogodinji Huygens je tada ve bio otkrio Saturnove prstene i izmislio sat s njihalom. Jo nije uslijedio njegov najznaajniji doprinos, valna teorija svjetlosti.Huygensova koncepcija - da se svjetlost sastoji od valova poput onih koji se ire jezerom kad se u nj bad kameni - direktno se suprotstavljala velikoj Newtonovoj teorijipokojojje svjetlostsastavljenaodrojaodjelitihesticau oblikutaneta."Huygens je Leibnizu dao popis literature koji mu je omoguio da brzonadomjestinedostatak znanja izpodruja suvremenihmatematikih istraivanja.Ubrzo je iLeibniz poeo znaajnije doprinositi znanosti. 'lako je Huygensovo miljenje s vremenom postalo opeprihvaeno, dolazak kvantne fizike u dvadesetom stoljeu pokazao je da su iNewton i Huygens bili u pravu. Svaki je otkrio jedno bitno obiljeje svjetlosti. Nalogikipogon Dvasu otkriabila presudna za nagli razvojmatematikihistraivanja u sedamnaestom stoljeu: l.Sistematiziranajetehnikasluenjaalgebarskimizrazima (uglavnom srednjokolska algebra). Ta je mona tehnika gotovo jednaka onoj kojom se danas sluimo. 2.Descartes i Ferma t su pokazali da se geometrija moe svesti naalgebruakodecimalnizarezprikaemopomoupara brojeva. Mnogi matematiari su pomou ove nove tehnike poeli rjeavati dotad nereive probleme. Velik dio te tehnike ukljuivao je limese. To znai da su reavali problem koristei pribline vrijednosti za traeni odgovor, koje se sustavno sve vie pribliavaju traenom odgovoru.Ideja je bila ne zadovoljiti se nisa kojom odreenom priblinom vrijednou, nego "ii do limesa" da bi se dobilo tono rjeenje. Primjerkojituidejumoepojasniti jeovajprikaz jednogod Leibnizovih ranih rezultata, na kojeg je bio vrlo ponosan: Na lijevoj strani znaka "=" je poznati broj (koji se pojavljuje u formulama za povrinu kruga:Na desnoj strani je ono to zovemo beskonani niz.Pojedinani brojevikojise naizmjeninododajui oduzimajunazivajuselanovimaniza.Tokice( )znaedase nizbeskonanonastavlja.Potpunibeskonanimodelsastojise od razlomaka sbrojnikomli uzastopnim neparnim brojevima koji se naizmjenino dodaju ioduzimaju, kao nazivnicima.Kako izgleda potpuni beskonani model trebali bismo zakljuiti na osnovu konanog dijela koji je prikazan.Nakon tooduzmemot, 'brojzapravo je povrina krugaradijus.! . brojlanova 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 Poglavljel.Leibnizovsan zbrojna8 decimalnih mjesta 0.76045990 0.78289823 0.78514816 0.78537316 0.78539566 0.78539792 0.78539816 TablicapriblinihvrijednostizaLeibnizovniz dodat emoi, zatim oduzetif, i tako dalje.No je li zaista mogueizvestineogranienbrojzbrajanjaioduzimanja?Zapravo nije. No, ako ponemo od poetka, a prekinemo u bilo kojem trenutku,dobit emo priblinu vrijednost do "istinitog"odgovora. Ta priblina vrijednost postaje to preciznija to vie lanova ukljuujemo. Zapravo, tonost pribline vrijednosti ovisi o tome koliko lanova elimoukljuiti.Utablici jetoprikazanozaLeibnizove nizove.Akoukljuimo10,000,000lanovadobivamovrijednost kojaodgovaraistinitojvrijednostij, tojest0.7853981634 . . .,na osam decimalnih mjesta. Leibnizovniznaposebno jednostavan nain povezujebrojn (povrina kruga) i uzastopne neparne brojeve. On pokazuje jednu vrstu problema koji se mogu rijeiti koritenjem limesa-to su problemi odreivanja povrina ispod krivulja.Druga vrsta problema kojemoemo rijeitikoristeilimese je tono odreivanje brzine odreene promjene, kao to je promjena brzine tijela koje se kree. 'BrojanipodacikojisetiuLeibnizovanizazadobivenisupisanjemi putanjemu pogon programa uPascaluna PC 486raunaluna 33MHz.Za rjeavanjezadatka sa 100,000 lanova trebalo je 50 sekundi, azazadatak sa 10,000,000 lanovaosamminuta.Nakon dvijegodine programjeponovno puten upogon nastrojuPentium 200MHz ivremenasu sesmanjilana 4, odnosno 40 sekundi! Nalogikipogon Posljednjih mjeseci1675.godine pa sve do kraja njegova boravka u Parizu, Leibniz je doao do niza prijelomnih koncepcijskih i raunskih otkria u koritenju limesa. Ona se nazivaju Leibnizovim "pronalaskom diferencijalnog rauna": l. Leibniz jeuvidiodasu problemiodreivanjapovrinai izraunavanja brzina promjenaparadigmatski,u smisluda mnoge razliite vrste problema moemo svesti na jedan od ova dva tipa.* 2.Primijetio je, nadalje, da su matematike operacije potrebne za izraunavnje reenja za probleme ova dva tipa, zapravo i1verzne(obrnute) jednadrugoj,istokaotosuoperacije zbrajanja i oduzimanja (ili mnoenja i dijeljenja) meusobno inverzne.Danassuoveoperacijepoznatekaoi1tegracija, odnosno dierenciranje,ainjenicada su one obrnute jedna drugojsadranajeu"osnovnomteoremudiferencijalnog rauna". 3.Leibniz je razvio odgovarajui sustav simbola (upravo ta notacija se koristi i danas) za ove operacije, I za integrale i d za diferencijale.+ Doao je i do matematikih pravila potrebnih za izvoenje integrala i diferencijala u praksi. Uzeta zajedno, ova su otkriaupotrebu limesa pretvorilaod metodedostupnesamonekolicinistrunjakaujasnutehnikukoju tisue ljudi mogu nauitiiz udbenika.6 Ono to je najvanijeza temu nae knjige jest to da je ovaj uspjeh uvjerio Leibniza koliko je vano izabrati odgovarajue simbole i pronai pravila za sluenje njima. Simboli I i d ne predstavljaju zvukove bez znaenja poput Takosupronalaenjecentragravitacijeivolumenaproblemiprvogtip