1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 1

Tehnološko-metalurški fakultetMODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESADr Nikola Nikačević

kabinet 255, nikacevic@tmf.bg.ac.rshttp://elektron.tmf.bg.ac.rs/mod

CILJEVI KURSA1. Postavnjanje jednostavnijih matematičkih modela za osnovne operacije i uređaje u hemijskom inženjerstvu - povezivanje gradiva iz različitih predmeta i novo gradivo2. Numeričko rešavanje postavljenog modela -izbor metoda, programskog paketa, kreiranje programa, simulacije i analiza rezultata3. Prepoznavanje i razumevanje primenjenog pristupa i nivoa detaljnosti za postojeći složeniji model – priprema za dalje stručno usavršavanje

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 2

POHAĐANJE I POLAGANJE• Struktura ispita: dva kolokvijuma uz MATLAB po 30 poena ( 60) i završni ispit – teorijski test od 40 poena• Dodatne aktivnosti: domaći zadaci i teorijski testovi• Uslov za dobijanje potpisa: min. 20 poena zbirno nakolokvijumima + prisustvo na svim vežbama (jedanizostanak dozvoljen) + prisustvo na 70% predavanja• Uslov za izlazak na završni ispit: min. 15 poena pokolokvijumu• Za studente koji dobiju potpis, a ne osvoje po 15 poena na kolokvijumima, biće organizovani popravnikolokvijumi (u 4 roka – jun, jul, septembar i oktobar)• Položen završni ispit: min. 20 poena

MODEL ?• Reč model potiče od latinske reči modus, što znači mera.• “Umanjena slika planiranog ili postojećeg objekta” (Webster New World Dictionary).• “Matematički ili fizički sistem koji podleže specifičnim pravilima, a koristi se za razumevanje fizičkih, bioloških i društvenih sistema sa kojima je u određenoj analo-giji” (McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms).

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 3

MODELFizički

• Analiza fizičkih svojstava na manjem modelu i relacije sa većim objektom – analiza sličnosti.

Matematički• Skup matematičkih izraza koji opisuju objekat i mogu da predvide njegovo ponašanje

ESxTvt

TCmRz

cvtc

Rzp

iiizi

)(

MATEMATIČKI MODEL• Uprošćeni, približan opis sistema / objekta! nivo detaljnosti opisa ? tačnost opisa?

“Koji je model najbolji? Onaj koji je najjednosta-vniji, ali ne suviše jednostavan”(Albert Einstein)

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 4

PRETPOSTAVKE MODELASvaki model je zasnovan na određenim pretpostavkama koje:

• pojednostavljuju matematički model;• zavise od ciljeva date analize;• moraju biti realistične i ne unositi dodatne greške u dati model;• su zasnovane na teoriskim osnovama, eksperimenalnim saznanjima, iskustvu i osećaju inženjera.

MATEMATIČKA ODREĐENOSTZa jednoznačno rešenje mod. neophodna je matematička određenost problema:

... neodređen (često u praksi)... određen... preodređen (saglasan ili ne)

JP nnf Broj stepeni slobode Broj promenjivih

Broj nezavisnihjednačina

000

f

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 5

REŠAVANJE MODELAAnalitičko:

• primenom matema-tičke teorije, korišće-njem teorema i zako-nomernosti;• algebarski i jednosta-vniji diferencijalni proračuni;• ograničen na jedno-stavne probleme;• tačniji rezultat.

Numeričko:• primenom numeričkih metoda;• korišćenjem digitalnih računara;• često upotrebom gotovih programskih paketa;• mogućnost rešavanja složenih problema;• tačnost zavisi od (preciznosti) numerike.

TAČNOST MODELA• Najadekvatnije poređenjem rešenja modela sa odgovarajućim eksperimentima;• Tačnost modela se najčešće kvantifikuje pomoću srednje greške (apsolutna, relativna, razlika kvadrata, standardna devijacija i dr.);• Model se može verifikovati i na osnovu fizičke konzistentnosti (proverom zakona o održanju mase i energije, eliminacijom zbog fizički nemogućih rezultata, na pr. negativna temperatura, zapremina i dr.);• Način verifikacije modela i interpretacije greške zavisi od ciljeva modela i načina rešavanja;• Adekvatnost modela zavisi i od utroška računarskog vremena i resursa.

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 6

UZROCI GREŠKI MODELA• Pogrešne, nerealistične pretpostavke;• Prevelika simplifikacija problema;• Pogrešna matematička formulacija problema;• Pogrešne vrednosti konstanti / ulaznih podataka;• Obabir neadekvatne numeričke metode;• Pogrešan redosled procedura / naredbi u algoritmu;• Velika tolerancija u numeričkoj metodi.

CILJEVI MODELOVANJA• Opis prirodnih pojava u cilju boljeg razu-mevanja i planiranja eksperimenata;• Predviđanje vrednosti fizičkih i hemijskih veličina;• Predviđanje ponašanja sistema u cilju:

– projektovanja uređaja i postrojenja,– ispitivanja postojećih uređaja i optimizacije rada,– upravljanja procesima i kontrolisanja neželje-nih događaja.

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 7

PRIMERI UPOTREBE MODELAModeli mogu da rezreše probleme iz različ-itih oblasti značajnih za hemijsku industriju

• Marketing: Ako je cena proizvoda porasla, koliko će potražnja opasti?• Nabavka: Ako postoji više izvora sirovina i više postrojenja, kako rasporediti sirovine po postrojenjima?• Sinteza: Koji procesi su neophodni za proizvodnju željenog proizvoda?• Projektovanje: Koji tipovi uređaja i kojih dimenzija su neophodni za produkciju proizvoda?

PRIMERI UPOTREBE MODELA• Proizvodnja: Koji operativni uslovi će dati maksimalni prinos proizvoda?• Upravljanje: Kako se izlazna veličina može održavati na željenoj vrednosti pomoću manipulativne promenjive?• Bezbednost: Ako se dogodi otkaz uređaja kako će to uticati na operatera i ostalu opremu?• Životna sredina: Koliko će trajati razgradnja opasnog otpada u zagađenom zemljištu?

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 8

OSNOVNE OPERACIJEHemijska reakcija– brzina hemijske reakcije,– hemijska ravnoteža, entalpija,– selektivnost,– kataliza.Prenos toplote i mase– molekulski i/ili turbulentni prenos,– brzine prenosa, koeficijenti prenosa.Dinamika strujanja / kretanja– koeficijent trenja, mesni otpori, – lokalne i srednje brzine strujanja,– pad pritiska,– slika (patern) strujanja,– način kontakta faza.

međufazna površinafluks

A

Gas TečnostpA pAi

CAi CA

UREĐAJI U HEMIJSKOJ INDUSTRIJI – 1Hemijski reaktori

– protočni cevni (snop cevi),– protočni sa mešanjem,– šaržni,– katalitički sa nepokretnim ili pokretnim slojem,– mikroreaktori.

Separatori– apsorpcione kolone sa slojem / podovima,– destilacione / rektifikacione kolone,– ekstrakcione kolone, – adsorpcione / hromatografske kolone,– membranski uređaji.

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 9

UREĐAJI U HEMIJSKOJ INDUSTRIJI – 2 Razmenjivači toplote– cevni (snop cevi i omotač),– pločasti,– kondenzatori, isparivači, ribojleri.Mehanički separatori– cikloni, skruberi,– elektrostatički precipitatori,– filteri.Uređaji za transport– pumpe, kompresori, ventilatori,– pneumatski transporteri,– cevovodi, ventili.Merna i regulaciona oprema

SLOŽENI PROCESNI SISTEMIHemijski procesi se najčešće odvijaju u više uređaja koji su uzajamno povezani integralna analiza složenih sistema

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 10

PRISTUPI U MODELOVANJU – 11. Empirijski

– Zasnovani na eksperimentalnoj analizi,– Najčešće nisu teorijski zasnovani, – Dosta pouzdani u ispitivanom intervalu,– Nepouzdani za ekstrapolacije,– Oblik: empirijske korelacije dobijene regresijom eksperimentalnih podataka.2. Fundamentalni– Zasnovani na fizičkim i hemijskim principima,– Teorijski opisuju sistem,– Predviđaju ponašanje sistema za različite uslove,– Oblik: diferencijalne ili algebarske jednačine dobijene na osnovu bilansa i brzine procesa.

PRISTUPI U MODELOVANJU – 23. Populacioni

– Zasnovani na bilansima populacije,– U hem. inženjerstvu se koriste za opisivanje realnog strujanja u uređajima,– Dobijaju se na osnovu teorijske (ali stohastičke) analize i eksperimenata sa obeleženom supstancom.– Oblik: funkcije starosne raspodele – unutrašnja, raspodela zadržavanja i dr.4. Stohastički– Zasnovani na teoriji verovatnoće,– Koriste se za sisteme u kojima se veličine menjaju nepredvidljivo, slučajno,– Izlazne veličine nisu jednoznačno određene ulazom,– Oblik: funkcije verovatnoće i statistike.

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 11

KLASIFIKACIJA MODELA – 1Stacionarni

Sa raspoređenim parametrima

Nestacionarni

Sa nagomilanim parametrima

0, tXX 0,

tXX

0, zXX0,

zXX

KLASIFIKACIJA MODELA – 2Linearni

Kontinualne promenjive

Nelinearni

Diskretne promenjive)()()( 2121

21xbFxaFbxaxF

bxaxy

)exp(

21xy

xxy

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 12

KLASIFIKACIJA MODELA – 3

Otvoreni, protočni sistemi Zatvoreni, šaržni sistemi

Algebarske Diferencijalne Integralne21

21ax

xxy baxdtdx 2 dxxxy )exp(

IZGRADNJA / RAZVOJ MODELA – 1 1. Formulacija problema

Definisanje ciljeva i željenih ishoda, detekcija procesnih zahteva i potencijalnih problema.2. Analiza problema

Prikupljanje podataka i ranijih iskustava,podela sistema u podsisteme, postavljanje primarnih veza između elementa i promenjivih.3. Usvajanje pretpostavki modela

Odabir i provera pretpostavki, analiza u cilju postavljanja što je moguće manjeg br. jednač.

1. UVOD - MATEMATIČKI MODELI

MODELOVANJE I SIMULACIJA PROCESA 13

IZGRADNJA / RAZVOJ MODELA – 2 4. Postavljanje jednačina modela

Definisanje veza između promenjivih i parame-tara u matematičkoj formulaciji, provera određenosti i konzistentnosti modela. 5. Prikupljanje neophodnih podataka

Obezbeđenje tačnih vrednosti konstanti.6. Odabir numeričkih metoda i formiranje algoritma

Izbor optimalnog, detaljnog algoritma sa metodama za rešavanje postavljenog problema

IZGRADNJA / RAZVOJ MODELA – 3 7. Simulacija programa

Izvršavanje programa, generisanje rezultata.8. Analiza i interpretacija rezultata

Odabir reprezentativnih rezultata, poređenje sa eksperimentima, detekcija uzroka greške.9. Poboljšanje i korekcija modela

Ispravke u pretpostavkama ili/i u modelu ili/i u algoritmu i ponovne simulacije.10.Primena modela