Modeli u odlucivanju

Teorija odlu civanjapredavanja 2010.

LavoslavCaklovic

SVEUCILIŠTE U ZAGREBU, PMF MATEMATI CKI ODJEL

E-mail address: [email protected]

Sadržaj

Poglavlje 1. Odlucivanje uz jaku nesigurnost 51. Umjesto uvoda 62. Slaba preferencija 153. O mjerenju 194. Izmjerivost. Racionalna teorija odlucivanja 215. Zadaci 276. Stablo odlucivanja 297. Teorija izbora 31

Poglavlje 2. Logika i psihologija odlucivanja 491. Može li se mišljenje modelirati? 492. Škola dobrog mišljenja 593. Uloga emocija u odlucivanju 74

Poglavlje 3. Hijerarhijsko odlucivanje 891. Hijerarhijska struktura odluke 892. Metoda svojstvenog vektora 913. Metoda potencijala 102

Bibliografija 117

3

POGLAVLJE 1

Odlucivanje uz jaku nesigurnost

0.1. Cetiri kriterija.

0.2. Socijalni aksiomi.

0.3. Diskusija.

5

6 1. ODLUcIVANJE UZ JAKU NESIGURNOST

1. Umjesto uvoda

1.1. Ekvivalentne zamjene.Zamjena dogadaja je jednostavna tehni-ka donošenja odluke u problemima s više atributa (kriterija) koji nemajuutocište u formalnoj relaciji preferencije. Tehnikucemo ilustrirati na slje-decem primjeru.

PRIMJER1.1. Advokatska firma želi iznajmiti novi ured zbog poveca-nog obujma posla. Nakon eliminacije velikog broja potencijalnih lokacijakoje nisu zadovoljavale osnovne zahtjeve ostalo ih je u užem izboru samopet. Direktor firme pri donošenju odluke obraca pažnju na pet kriterija,zvatcemo ih atributi, koje utjecu na finalnu odluku. To su:

• udaljenost od centralnog ureda (izraženo u minutama);• blizina klijenata (izraženo u postotku klijenata koji žive u blizini

ureda);• opremljenost ureda, mjereno na skali s tri nivoa:

A – sve pogodnosti,B – telefon i faks,C – bez pogodnosti;

• velicina ureda mjereno u kvadratnim stopama;• visina mjesecnog najma izraženo u dolarima

Procjena svakog ureda prema atributima dana je u tablici 1.1. Konzultant

a b c d e

udaljenost 45 25 20 25 30

klijenti 50 80 70 85 75

opremljenost A B C A C

velicina 800 700 500 950 700

najam 1850 1700 1500 1900 1750

TABLICA 1.1. Procjena lokacija prema atributima.

u donošenju odluke dao je, na temelju te tablice, preferencije za svaki odatributa nezavisno od ostalih atributa. Preferencije rastu s brojem bliskihklijenata, nivoom opremljenosti i velicinom, a padaju s vecom cijenom iudaljenošcu.

Tehnicki naziv za ured je alternativa. Reci cemo da je alternativax do-minirana s alternativomy ako jey jednako prihvatljiva kaox ako ne i boljaza sve atribute dok je strogo preferirana bar za jedan atribut. Dominiranealternative ocito nisu kandidati za izbor najbolje lokacije.

1. UMJESTO UVODA 7

- U ovom primjeru je ocito alternativae je dominirana alternativomb, pa prema tome alternativue možemo izbaciti iz natjecanja. Toje jedini slucaj "ciste" dominacije u tabeli.

- Alternativad je prihvatljivija oda za svaki kriterij osim po cijeninajma po kojem je alternativaa prihvatljivija jer je 50 $ jeftinija.Cini se ipak da je taj nedostatak od 50 $ kompenziran i prvagnut uostalim atributima, udaljenost (20 min), klijenti (35 %), i velicina(150 kv. stopa), tako da alternativua takoder možemo izbaciti izutrke za prvo mjesto.

U borbi za prvo mjesto ostale su dakle alternativeb, c i d:

b c d

udaljenost 25 20 25

klijenti 80 70 85

opremljenost B C A

velicina 700 500 950

najam 1700 1500 1900

TABLICA 1.2. Reducirana tabela.

Prirodan put za nastavak je odredivanjeekvivalentnih zamjena. Pri-mijetimo da sve alternative, osimc, imaju jednako vrijednu udaljenost.Možemo pitati konzultanta, imajuci u vidu alternativuc, koliki gubitak uatributuklijenti može kompenzirati prednost od 5 min u atributuudalje-nost. Traži se dakle hipoteticka alternativac′ za koju je vrijednost atributaudaljenostjednaka 25 i svi ostali atributi su jednako vrijedni kao i kodc osim u atributuklijenti. Pronalaženje ekvivalentne zamjene (eng. trade

c c’

udaljenost 20 25klijenti 70 70+δ

opremljenost C C

velicina 500 500

najam 1500 1500

TABLICA 1.3. Ekvivalentna zamjena.

off) igra kljucnu ulogu u teoriji odlucivanja i u praksi je to najdelikatniji


trenutak kojem treba obratiti dovoljno pažnje. Ako se atributi mjere na dis-kretnoj skali, što ovog trenutka nije slucaj, može se desiti da ekvivalentnuzamjenu nije moguce odrediti.

Pretpostavimo da je odgovor konzultantaδ = 8, tada suc i c′ jednakovrijedne alternative i tablica 1.1 se zamijeni ekvivalentnom tablicom 1.4.U toj, ekvivalentnoj tabeli, alternative se ne razlikuju po prvom atributu

b c’ d

udaljenost 25 25 25

klijenti 80 78 85

opremljenost B C A


najam 1700 1500 1900

TABLICA 1.4. Ekvivalentna reducirana tabela.

pa ih prema njemu ne možemo razlikovati. Stoga nema smisla uvažava-ti taj atribut i možemo ga brisati iz tabele što daje novu tabelu 1.5. U

b c’ d

klijenti 80 78 85

opremljenost B C A


najam 1700 1500 1900

TABLICA 1.5. Ekvivalentna reducirana tabela II.

novoj reduciranoj tabeli nema slucaja dominacije i prinudeni smo tražitinove ekvivalentne zamjene. Prvo moramo odrediti alternativu kojoj na-lazimo ekvivalentnu zamjenu, neka to budec′, a zatim atribute s kojimacemo ’trgovati’. Jedan od ta dva atributace biti neutraliziran i izbaceniz razmatranja u ovom ili možda sljedecem koraku. Konzultant se odlucioza neutralizaciju atributaopremljenosts kompenzacijama u atributunajam.Zašto? Razlog je u tome što je mjerna skala atributaopremljenostdiskretnai ekvivalentne zamjene je lakše naci na kontinuiranoj skali (cijena). Tabli-ca ekvivalentnih zamjena je: Slobodno možemo zaboraviti ulogu atributaopremljenostu daljnjem odlucivanju i brisati drugi redak tabele. Ako toucinimo onda je ocito da je alternativac′′ dominirana alternativomb. Nova

1. UMJESTO UVODA 9

b c” d’

klijenti 80 78 85

opremljenost B B Bvelicina 700 500 950

najam 1700 1750 1800

TABLICA 1.6. Ekvivalentna reducirana tabela III.

b d’

klijenti 80 85

velicina 700 950

najam 1700 1800

TABLICA 1.7. Ekvivalentna reducirana tabela IV.

tabela bez alternativec′′ i atributaopremljenostje tabela 1.7 Na nesrecu,u novoj tabeli nema slucajeva dominacije pa moramo tražiti ekvivalentnezamjene. Imajuci u vidu aternativub i atribut velicina, pitamo konzultantakoliki je ekvivalent povecanog najma mjesecno kako bi velicinu uredabpovecali za 250 kvadratnih stopa. Grubi odgovor je 250 $ i suoceni smos novom tabelom 1.8. Atributvelicinasada možemo izbaciti kao kriterij

b’ d’

klijenti 80 85

velicina 950 950

najam 1950 1800

TABLICA 1.8. Ekvivalentna reducirana tabela V.

u donošenju odluke. Ucinimo li to, onda je jasno dad′ dominira u od-nosu nab′. Nakon takve analize preporuceno je da se unajmi uredd kaonajpovoljniji izbor.

Sumirajmo kljucne korake u rješavanju gornjeg primjera. Konacnapreporuka je bila da treba iznajmiti uredd. To znaci da imamo razlogavjerovati da je uredd preferiran u odnosu na ostale. Ako relaciju preferen-cije oznacimo s≻ to znaci da jed ≻ a i d ≻ b i d ≻ c i d ≻ e. Kakosmo logicki došli do tog zakljucka? Na temelju podataka iz prve tabele,


koristeci dominiranost po svim atributima zakljucili smo b ≻ e i d ≻ a.Nakon što smo odredili ekvivalenciju nekih zamjena zakljucili smo, opetkoristeci domoniranost, da jeb ≻ c′′, gdje jec′′ bio konstruiran tako da jeindiferentanu odnosu nac′, a c′ je bio konstruiran tako da je bio indife-rentan u odnosu nac. Simbolicki pisano,c ∼ c′ i c′ ∼ c′′ gdje relacija∼oznacava indiferentnost. Nakon toga smo konstruiralid′ koji je indiferen-tan u odnosud, tj. d ∼ d′ i alternativub′ koja je indiferentnab tj. b ∼ b′.Nakon toga smo zakljucili, opet koristeci dominiranost da jed′ preferiranou odnosu nab′ tj. d′ ∼ b′. Dakle, ono što znademo je:

d ≻ a, b ≻ e,

c′′ ∼ c′, c′ ∼ c, b ≻ c′′

d ∼ d′, b ∼ b′, d′ ≻ b′.

Ako želimo biti konzistentni u zakljucivanju onda zahtjevamo od gornjihrelacija da budu tranzitivne, dakle lako se vidi da posljednji redak implicirad ≻ b. Kako jeb ≻ e onda je id ≻ e. Ostaje još pokazati da jed ≻ c.Iz drugog retka zakljucujemo da jeb ≻ c, a kako jed ≻ b onda je zbogtranzitivnosti id ≻ c što smo i htjeli dokazati.

Ovaj primjer zaslužuje nekoliko komentara. Kao prvo, broj alternati-va i atributa je relativno malen i nije trebalo tražiti mnogo ekvivalentnihzamjena. Prigovor takvoj proceduri je taj bismo je trebali ponoviti ako naj-bolju alternativu izbacimo iz konkurencije zbog nekog razloga, na primjerako tražimo drugu alternativu po važnosti, ili ako naknadno dodamo novualternativu. Osim toga, ova tehnika ne uvažava ’nepreciznost’ u odrediva-nju ekvivalentnih zamjena i moglo bi se desiti da male pogreške u procjeniizbace neku drugu alternativu kao optimalnu.

Prvi korak u izgradivanju modela odlucivanja bio bi formalizacija ko-raka iz gornjeg primjera. Poteškoca u odredivanju ekvivalentnih zamjenaleži u nemogucnosti mjerenja atributa ponudenih alternativa. To je po-sebno teško uciniti u situaciji kad oni nisu ’nezavisni’. Nezavisnost smointuitivno pretpostavili u našem primjeru.

1.2. Mjerenje duljine. U ovom primjerucemo opisati jednostavnusituaciju mjerenja, a to je mjerenje duljine štapova. Mjerenja u socijalnimznanostima predstavljaju poseban problem i oni kojima je dana ta moguc-nost, kao fizicarima na primjer, ne razmišljaju o tehnickim i filozofskimpitanjima koje iz te mogucnosti proizlaze, barem ne u kontekstu Newtono-ve fizike.

Pretpostavimo da na raspolaganju imamo nekoliko ravnih krutih štapo-va i želimo odrediti duljinu svakog od njih. Prvi i najjednostavniji pokušajmjerenja bio bi da ih objesimo na horizontalan strop i usporedimo položa-je donjih krajeva štapova. Moguce su dvije situacije: ili su donji krajevi,

1. UMJESTO UVODA 11

za dva odabrana štapa, poravnati ili je jedan od njih dulji. Eksperimentsugerira da uvedemo relaciju∼ u prvom i≻ slucaju na sljedeci nacin:

r ≻ r′ ako je štapr dulji od r′,

r ∼ r′ ako su štapovir i r′ jednako dugacki.

Ako duljinu smatramo kvalitetom štapa koja je mjerljiva onda je za oce-kivati da su relacije∼ i ≻ tranzitivne i dar ∼ r′ & r′ ≻ r′′ povlacir ≻ r′′. Iako izgledaju prirodni, to su prilicno jaki zahtjevi icesta je situ-acija u praksi da su oni narušeni, narocito ako je mjerenje loše obavljeno,a kvaliteta koju mjerimo je približno jednako zastupljenja u oba objektakoja usporedujemo. Ti su zahtjevi idealizacija onoga što ocekujemo odsavršenog mjerenja, a to jekonzistentnost.

U ovom smo trenutku još uvijek daleko od instrumenta koji mjeri du-ljinu štapa. Medutim, ove su informacije dovoljne da svakom štapu pridje-limo broj tako da usporedivanje tih brojeva u potpunosti reflektira eksperi-mentalni rezultat dobiven usporedivanjem. Ako je ispunjen zahtjev konzis-tentnosti onda je moguce konstruirati funkcijuΦ, teorem 2.3 na str. 16, kojace svakom štapu pridjeliti numericku vrijednost na nacin da je zadovoljenosljedece:

r ≻ r′ ⇔ Φ(r) > Φ(r′)

r ∼ r′ ⇔ Φ(r) = Φ(r′).

Ako je eksperiment skup ili neizvediv onda je poznavanje takve funkcijedragocjeno jer objedinjuje sve rezultate dobivene eksperimentom.

Sljedeci važan korak prema konstrukciji mjere koju bismo zvali ’du-ljina’ štapa je spoznaja da je moguce formirati nove štapove spajanjempostojecih nadovezujuci ih u jedan, ali duži štap. Nazovimo taj proceskonkatenacijai oznacimo ga kružicem◦. Imajuci ’duljinu’ u primisli oce-kujemo od funkcijeΦ da je invarijantna na komutativnost i asocijativnostkonkatenacije, tj. dar ◦ s ima istu duljinu kao is ◦ r, a (r ◦ s) ◦ t imaistu duljinu kao ir ◦ (s ◦ t). Je li moguce izracunati duljinu štapa nasta-log konkatenacijom ako je poznata duljina svakog pojedinog štapa. Dru-gim rijecima ne želimoponavljati eksperiment s konkaterniranim štapomvec želimoimati mogucnostizracunavanja duljine konkateniranih štapova.Najjednostavnije jeprihvatiti, imajuci u vidu bogato iskustvo u mjerenjuduljine da je

Φ(r ◦ r′) = Φ(r) + Φ(r′).

Gornja pretpostavka je dodatni zahtjev na prirodu kvalitete (objekata) kojumjerimo. To je ujedno i dodatni zahtjev na ishod eksperimenta usporedi-vanja koji nužno moraju bitikompatibilnis konkatenacijom, tj.

r ≻ r′ & t ∼ t′ =⇒ r ◦ t ≻ r′ ◦ t′.


Cest je slucaj u praksi da su i ti zahtjevi narušeni, no mi bismo i dalje htjeliimati teoriju koja bi rekonstruirala funkcijuΦ.

Primijetimo da nas želja za racunanjem duljine konkateniranih štapovavodi u apstraktnu konstrukciju dovoljno bogate struktureciji jedan, i tokonacan dio,cine naši polazni objekti. Imajuci u vidu želju da rezultatmjerenja bude broj, ta apstraktna struktura mora biti dovoljno bogata daima strukturu koja je na neki nacin bliska strukturi realnih brojeva. To suucinili von Neumann i Morgenstern i o tomece kasnije biti govora.

Evo jednostavnog primjera. Pretpostavimo da imamo pet štapovar1, r2,r3, r4, r5 i da zbog nedostatka prostora možemo konkatenirati najviše dvaštapa i da, još k tome, nisu moguce baš sve konkatenacije. Osim toga, pret-postavimo da ne postoji mogucnost repliciranja pojedinih štapova, tako dakonkatenacija štapa sa samim sobom takoder nije izvediva. Pretpostavimoda su rezultati usporedivanja duljine konkateniranih štapova sljedeci:

r1 ◦ r5 ≻ r3 ◦ r4 ≻ r1 ◦ r2 ≻ r5 ≻ r4 ≻ r3 ≻ r2 ≻ r1.

Naš je problem konstruirati funkcijuΦ za kojuce racun duljine konkateni-ranih štapova biti u skladu s eksperimentom. U sljedecoj tablici dane su trimoguce takve funkcije.

Φ Φ′ Φ′′

r1 14 10 14

r2 15 91 16

r3 20 92 17

r4 21 93 18

r5 28 100 29

Sve tri funkcije jednako dobro reflektiraju eksperiment usporedivanja ne-konkateniranih štapova, jer su kompozicijeΦ′ ◦ Φ−1 i Φ′′ ◦ Φ−1 strogorastuce. Medutim, samo prva i treca su u skladu s konkatenacijom jer jeΦ(r1 ◦ r5) = 110 a Φ(r3 ◦ r4) = 185 što nije u skladu s eksperimentomr1 ◦ r5 ≻ r3 ◦ r4.

Od ovakvih numerickih reprezentacija duljine imamo ogranicenu ko-rist. Izazivajucovjeka da predvida duljinu konkatenacije koju nije mogaoizvršiti. Tako na primjer, mogli bismo zakljuciti da jer2 ◦ r3 ∼ r1 ◦ r4 jerje Φ(r2)+Φ(r3) = 15+20 = 14+21 = Φ(r1)+Φ(r4), a kad bi umjestoΦ koristili Φ′′ dobili bismo zakljucakr2 ◦ r3 ≻ r1 ◦ r4.

U cemu smo pogriješili? Što je to što još nismo uocili a implicitno jesadržano u svakom mjerenju? To je postojanje standardnog ilietalon metrakoji služi kao jedinica za mjerenje, oznacimo ga ss0. Zatim pretpostavlja-mo da moguce uciniti dovoljan broj kopijas1, s2, . . . ods0. Imamo dakle

s0 ∼ s1, s0 ∼ s2, s0 ∼ s3, . . .

1. UMJESTO UVODA 13

Dogovorimo se takoder da je duljina ods0 jednaka 1. Koristeci s0 i nje-gove kopije možemo bez sumnje odrediti duljini svakog pojedinacnog ikonkateniranog štapa na sljedeci nacin. Prvo odredimostandardne nizoveduljinen kojecemo oznaciti s S(n) = s1◦s2◦· · ·◦sn, to su složeni objektinastali konkatenacijomn savršenih kopija standardnog metras0. Mjernaduljina odS(n) je tocnon.

Uzmimo sada proizvoljan štapr i usporedimo ga sa standardnim nizo-vima: S(1), S(2), . . . Dva su moguca slucaja. Postoji standardni nizS(k)tako da jer ∼ S(k), u tom slucaju je mjerni brojΦ(r) = k, ili postojedva uzastopna nizaS(k − 1) i S(k) takva da jer ≻ S(k − 1) i S(k) ≻ r.To znaci da jeΦ(r) takav da jek − 1 < Φ(r) < k. Cini se da smo ugabuli jer još uvijek nismo tocno odrediliΦ(r). Kako nastaviti dalje? Toovisi o tehnologiji pravljenja savršenih kopija. Pretpostavimo da je mo-guce napraviti savršenu kopiju, ne samo etalon metra, nego i bilo kojegdrugog štapa. Ako je to tako onda možemo replicirati štapr i napravitiniz savršenih kopijar1, r2, . . . tog štapa. Kao i ranije sada usporedujemor1 ◦ r2 sa standardnim nizovimaS(1), S(2), . . . i možemo odrediti vrijed-nostΦ(r1 ◦ r2) = 2Φ(r) unutar intervala duljine 1. To drugim rijecimaznaci da možemoΦ(r) odrediti unutar intervala duljine1/2. Ponavljaju-ci isti postupak za konkatenacijur1 ◦ r2 ◦ · · · ◦ rn možemo odreditiΦ(r)unutar intervala duljine1/n, dakle s proizvoljnom tocnošcu. Govorenomatematickim rjecnikom možemo konstruirati konvergentan nizciji je li-mes jednakΦ(r).

Pretpostavka da je moguce savršeno replicirati bilo koji objekt je jakitehnološki zahtjev. Ako to nije moguce, izlaz možemo potražiti u usitnja-vanju standardnog metra i pravljenju savršenih kopija njegovih dijelova.Matematicki aparat koji je u pozadini mjernog procesa gore opisanog, ba-ziran je na teoriji uredenih grupa i lijepo je opisan u knjizi [22].

Korisno je gore opisani proces imati na umu kod složenijih mjerenjau socijalnim znanostima na primjer. Osnovni koraci su, ponovimo to jošjednom, sljedeci:

• relacije≻ i ∼ koje izražavaju eksperimentalnecinjenice uspore-divanja objekata,

• operaciju konkatenacije◦ koja dozvoljava konstrukciju složenihobjekata,

• konzistentnost≻, ∼ i ◦,• mogucnost izrade savršenih kopija pojedinih objekata za izgrad-

nju standardnih nizova.

U prethodnom primjeru izbora lokacije za novi ured tražili smo ekvi-valentne zamjene. U tom procesu izjednacavali smo ’duljinu’, možda je


bolje u ovom slucaju reci važnost, intervala preferencije za razlicite atribu-te. Prisjetimo se kako smo odredili alternativuc′: izjavili smo da interval[25, 20] za atributudaljenostima istu ’duljinu’ kao interval[70, 78] za atri-butklijenti.

Zamislimo sada alternativuf koja bi bila identicna alternativic osimpo vrijednosti atributaklijenti koja iznosi 78% na primjer. Ponovno može-mo pitati koliko povecanje u postotku klijenatace kompenzirati gubitak od5 minuta uudaljenosti. Usporedujemo dakle, sljedece dvije alternative utablici:

f f’

udaljenost 20 25

klijenti 78 78+δ

opremljenost C C

velicina 500 500

najam 1500 1500

Pretpostavimo da je odgovor dace za vrijednostδ = 10 alternativef i f ′

biti indiferentne. To znaci da interval[25, 20] u atributuudaljenostima istuduljinu kao i interval[78, 88] u atributuklijenti. Sada znamo da intervali[70, 78] i [78, 88] imaju istu ’duljinu’ pa smo u slicnoj situaciji kao kododredivanja standardnih nizova samo što smo to postigli koristeci drugiatribut u ulozi posrednika.

1.3. Preferencijalna zavisnost kriterija. Pogledajmo još jedan pri-mjer, ovaj puta se radi o ocjenjivanju ucenika. Ocjenjivanje je posebnoteško modelirati jer tu dolazi do izražaja efekt interakcije medu kriterijimakoji narušava aditivnost kriterija kakvu smo imali do sada. Evo primjeraza ilustraciju.

PRIMJER 1.2. Cetiri ucenika su pristupila ispitima iz fizike, matema-tike i ekonomije i rezultati tih ispita dani su u sljedecoj tablici:

F M E

a 18 12 6

b 18 7 11

c 5 17 8

d 5 12 13

Svaki redak u gornjoj tablici predstavlja sve ocjene tog studenta-retka,ka-žemo da je to njegovprofil, a cijela tablica je skup profila. Uobicajentehnika donošenja zajednicke ocjene za sve kriterije je racunanje srednje

2. SLABA PREFERENCIJA 15

ocjene po formuli

o =n

∑

i=1

wioi,

gdje jen broj kriterija (parcijalnih ocjena) s težinamaw1, . . . , wn,∑n

i=1 wi =1 i oi parcijalna ocjena studenta na temelju kriterijaci. Srednje ocjene stu-denataa, b su jednake i iznose 12, a isto tako su jednake i srednje ocjenestudenatac, d i iznose 10.

Pogledajmo sada kako razmišlja nastavnik, donosilac odluke. Napo-menimo još da je maksimalna moguca ocjena 20 i da je prag prolaznosti10. Tablica sugerira da studentea i b rangiramo ispred sudenatac i d.Studentc je podbacio u dva predmeta i razumno ga je staviti na dno lis-te. Studenta ima veci zbroj ocjena iznad praga od studentab pa nastavniksmatra da bi studentaa trebalo rangirati ispredb. Slijedeci istu nit raz-mišljanja studentd je bolji od studentac jer ima ocjene iz matematike iekonomije iznad praga dok studentc ima samo jednu takvu ocjenu. Stogaje razumno studentad rangirati ispredc. Rezultat ovakvog razmišljanja jerangiranje

a < b < d < c.

Gornje rangiranje nije u skladu s metodom srednje ocjene što se vidiiz sljedeceg razmatranja. Oznacimo težine kurseva swF , wM i wE .

• Ako je srednja ocjena oda veca nego srednja ocjena odb onda jenužnowM > wE . Zaista,

18wF + 12wM + 6wE > 18wF + 7wM + 11wE ⇒ wM > wE ,

• ako je srednja ocjena odd veca nego srednja ocjena odc onda jenužnowE > wM . Zaista,

5wF + 12wM + 13wE > 5wF + 17wM + 8wE ⇒ wE > wM ,

što vodi na kontradikciju.

Aritmeticka sredina je dobar primjer metode koja ima odražava svoj-stvopreferencijalne nezavisnostikriterija. Preciznije:

ako dva studentska profila imaju istu vrijednost ocjenepo nekom kriteriju onda se promjenom težine tog krite-rija ne može promijeniti odnos preferencija u ukupnomporetku izracunatom na temelju svih kriterija.

2. Slaba preferencija

DEFINICIJA 2.1. Binarna relacija< na skupuS je:

• refleksivna ako jea < a,• potpuna ako jea < b ili b < a,


• simetricna akoa < b =⇒ b < a,• antisimetricna akoa < b =⇒ b 6< a,• tranzitivna akoa < b & b < c =⇒ a < c,

za svakoa, b, c ∈ S. Za uredajnu relaciju kažemo da jeslaba preferen-cija ako potpuna i tranzitivna. Za zadanu slabu preferenciju< definiramorelacijustroge preferencije≻

a ≻ b ako i samo akoa < b & b 6< a

i relaciju indiferencije∼

a ∼ b ako i samo akoa < b & b < a.

ZADATAK 2.2. Dokazati da:

• ∼ je relacija ekvivalencije• a ≻ b & b ∼ c =⇒ a ≻ c,• a ∼ b & b ≻ c =⇒ a ≻ c,

za svea, b, c ∈ S.

Relacija slabe preferencije na nekom skupu alternativa izražava raci-onalnu strukturu osobnih preferencija donosioca odluke. Donosilac odlu-ke, kad izražava svoje osobne preferencije na velikom skupu alternativamože biti i nekonzistentan u smislu da njegove preferencije nisu tranzi-tivne. Ako te preferencije shvatimo kao usmjeren graf onda je inkonzis-tentnost ekvivalentna egistenciji pozitivnih/negativnih ciklusa u tom grafu.Sljedeci teorem govori o važnosti tranzitivnosti osobnih preferencija za nji-hovu numericku reprezentaciju.

TEOREM 2.3 (Savage, 1954).Neka je< relacija slabe preferencije naskupuS. Tada postoji funkcijaV : S → R koja je u skladu s relacijom tj.

(2.1) x < y ⇔ V (x) ≥ V (y).

DOKAZ . Definirajmo

V (x) = #S(x)

gdje je# oznaka za broj elemenata skupa iS(x) = {y ∈ S | x < y} . Tadaje V tražena funkcija. Pretpostavimo da jex < y. Tada jeS(y) ⊆ S(x)i skupoviS(x) i S(y) su jednaki ako jex ∼ y, a S(y) je strogi podskupod S(x) ako jex ≻ y jer tadaS(y) sigurno ne sadrži elementx. Time jedokazana nejednakostV (x) ≥ V (y).

Obratno, pretpostavimo da jeV (x) ≥ V (y) i x 6< y. To znaci da jey ≻x pa je prema prethodnoj tvrdnjiV (y) > V (x) što vodi na kontradikciju.

¤

2. SLABA PREFERENCIJA 17

FunkcijaV iz teorema je jedna ordinalna skala na kojoj smo izmjerilielemente skupaS i svaku funkcijuV koja je u skladu sa slabom preferen-cijom nazivamoordinalnom funkcijom vrijednosti. Funkcija vrijednostinije jedinstvena što se vidi iz sljedeceg teorema.

TEOREM2.4. Neka jeV funkcija vrijednosti naS. Tada jeW funkcijavrijednosti naS ako i samo ako jeW = h ◦ V gdje jeh : R → R strogorastuca funkcija.

DOKAZ . Pretpostavimo da jeh : R → R strogo rastuca funkcija iW = h ◦ V . Tada je

x < y ⇔ V (x) ≥ V (y) ⇔ h ◦ V (x) ≥ h ◦ V (y)

zbog monotonosti odh, što dokazuje uskladenost slabe preferencije i funk-cije W . Obratno, neka suW, V dvije funkcije vrijednosti naS. Tvrdimoda postoji strogo rastuca funkcija takva da jeW = h ◦ V . Definirajmo

h(V (x)) = W (x), ∀x ∈ S.

Funkcijah je definirana na skupuV (S) s vrijednostima uR. Tvrdimoda je strogo rastuca. U tu svrhu pretpostavimo da jeV (x) < V (y). ZboguskladenostiV i slabe preferencije ja taday ≻ x. Sad iskoristimocinjenicuda jeW funkcija vrijednosti što dajeW (y) > W (x) i dokazuje strogumonotonost odh. Jedino preostaje dokazati da se funkcijah sa skupaV (S)može proširiti na cijeli skup realnih brojeva tako da stroga monotonostostane sacuvana. Taj detalj ostavljamocitaocu. ¤

ZADATAK 2.5. Zamislimo situaciju u kojoj je skupS prebrojiv. Da lii tada vrijede teoremi 2.3 i 2.4?

U primjeru 1.2 vidjeli smo da srednja vrijednost nije uvijek dobar na-cin za rangiranje kandidata. S tom napomenom u vidu, ispitivac je uzeo uobzir profil svakog kandidata i usporedivao je profile, a ne pojedine ocje-ne. Njegovo je razmišljanje bilo više intuitivnog karaktera. Pokušajmoga malo više formalizirati na nacin da konstruiramo relaciju dobivenu izusporedivanja po parovima na skupu profila

P = {π(a), π(b), π(c), π(d)}.

Sve takve preferencije možemo slikovito prikazati usmjerenim grafom, v.sliku 1 u kojem strelicaπ(a) →−π(b) znaci da profilπ(b) preferiramo uosnosu na profilπ(a). Ekvivalenciju, u grafu, oznacavamo dvosmjernomstrelicomπ(a)−↔−π(b). Po dogovoru smatramo da jeπ(a)−↔−π(a) zasvaki profil π(a), ali to necemo u grafu posebno oznacavati. Na temeljutakvog usmjerenog grafa treba donijeti rang listu kandidata ako je to uopce


π(a)

π(b) π(c)

π(d)

SLIKA 1. Graf preferencija

moguce. Inkonzistentnost se ocituje u postojanju usmjerenog ciklusa ugrafu, npr. u gornjem grafu je prisutan usmjeren ciklus

π(a) →−π(b) →−π(c) →−π(a).

Postojanje usmjerenih ciklusa narušava tranzitivnost relacije i nije mogucekonstruirati funkciju vrijednosti prema teoremu 2.3 koja bi bila uskladenas relacijom. Jedan nacin modeliranja takvog problema koji bi opravdaonastavnikovo rangiranje je pomocu ’fuzzy’ integrala. Drugi jednostavnijinacin je pomocu metode potencijala kojucemo kasnije objasniti.

2.1. Tablicni zapis preferencija. Preferencije donosioca odluke naskupu alternativaS predstavljaju relaciju koja nije nužno relacija slabepreferencije. Preciziranje te relacije u praksi se naziva usporedivanjem uparovima jer se za svaki par alternativa precizira kojoj se alternativi dajeprednost, ili se iskazuje njihova ekvivalentnost. Te se preferencije moguzapisati u matrici ili tablici preferencija na sljedeci nacin. Jednostavnostiradi oznacimoS = {1, 2, . . . , n}. Tada u matrici preferencijaR pišemo

rij =

{

×, ako jei < j

©, ako jej < i

Ocito je rii = ©× za svakii ∈ S jer je i < i i

rij = rji = ©× ako i samo ako jei ∼ j.

Prema teoremu 2.3, ako je< relacija slabe preferencije onda je vrijednostfunkcije vrijednostiV (i) jednaka broju× u i-tom retku.

Tablica preferencija iz primjera s ocjenama 1.2 je dana u tabeli 2.1.Primijetite da je na dijagonali tablice©× jer je relacija slabe preferencijerefleksivna, tj.p < p za svakip ∈ P.

3. O MJERENJU 19

π(a) π(b) π(c) π(d)

π(a) ©× © × ©×

π(b) × ©× © ©

π(c) © × ©× ©

π(d) ©× × × ©×

TABLICA 2.1. Tablicni zapis relacije iz slike 1.

3. O mjerenju

U apstraktnom smislu mjerenje na skupuS je funkcija koja svakomelementu skupaS pridjeljuje neku numericku vrijednost. Uvriježeni ter-min za numericku vrijednost obilježja kojeg mjerimo je statistika. Lju-di elementima skupaS pridjeljuju obilježja (kvalitetu) i onda ta obilježjamjere. Tako na primjer, za svakog ucenika iz nekog razreda možemo mje-riti njegovu visinu, težinu ili prosjecan uspjeh iz matematike. Uocavanjemjednog obilježja elemenata skupaS i mjerenjem istog omogucavamo ana-lizu tog obilježja racunanjem raznih statistika kao i usporedbe razlicitihskupova na temelju izracunatih statistika.

U odlucivanju je proces mjerenja nešto otežan jer mjerenje nije nitidirektno niti egzaktno. Primjer direktnog mjerenja je mjerenje fizikalnihvelicina kao što je mjerenje širine stola, mase nekog objekta ili zapremnineneke posude, gdje direktno usporedujemo dvije velicine iste kvalitete.

Mjerenje sile je nešto složenije jer nju mjerimo dinamometrom ko-ji mjeri relativno produljenje opruge i zatim, uvažavajuci fizikalni odnosizmedu sile i relativnog produljenja elasticne opruge, izbacuje iznos iz-mjerene sile. Drugim rijecima, mjerimo jednu fizikalnu velicinu i zatimizracunavamo drugu. To izracunavanje je ugradeno u instrument i jedinošto treba uciniti je dobro ga baždariti tj. odrediti mjernu skalu. U pozadi-ni donošenja odluke je slican proces. Mi usporedujemo dvije alternative ijednoj od njih dajemo prednost(A < B).

Ako nije još sasvim jasno zbogcega je rangiranje alternativa indirektnoonda se vratimo na pocetak i prisjetimo se našeg cilja. Cilj nam je rangi-rati alternative ali ih ne možemo direktno mjeriti nego tocinimo tako daih usporedujemo prema nekom obilježju. Mjerimo intenzitet preferencije azatim racunamo rang ili vrijednost objakata pomocu neke metode. Direk-tno mjerenje uocenog obilježja, npr. zadovoljstvo kupnjom ili odredivanje


razine nezadovoljstva poslom je na prvi pogled teško izvedivo. Prihvatlji-vije je dati preferencije jednoj od dviju kupovina ili usporediti koji od dvauzroka nezadovoljstva na poslu ima veci utjecaj na psihicko stanje.

3.1. Kvantitativna smislenost. Funkcija vrijednosti definirana u te-oremu 2.3 naziva se još iordinalna funkcija ili ordinalna skala. Teorem2.4 tvrdi da je ordinalna skala jedinstvena do na kompoziciju sa strogo ras-tucom funkcijom. Slobodnije receno, strogo rastuce funkcije su dozvoljenetransformacije ordinalne skale. Sljedeca lema pokazuje da pri manipulira-nju s ordinalnom skalom moramo biti vrlo oprezni i ne donositi zakljuckena temelju nedozvoljenih manipulacija.

LEMA 3.1. Nejednakost izmedu aritmetickih sredina nije invarijant-na na strogo rastuce transformacije. Drugim rijecima, ako jeV ordinalnafunkcija onda

n∑

i=1

λiV (ai) ≥n

∑

i=1

µiV (ai)

ne povlaci da za svaku strogo rastucu funkcijuh vrijedin

∑

i=1

λih(V (ai)) ≥

n∑

i=1

µih(V (ai)),

gdje jeλi, µi ≥ 0 i∑n

i=1 µi = 1,∑n

i=1 λi = 1.

Dokaz leme ostavljamocitaocu. U knjizi French [?] mogu se naciinteresantni primjeri iz svakodnevnog života kao i dokaz leme.

Gornja lema sugerira da se uvede pojamkvantitativne smislenostine-ke tvrdnje.

DEFINICIJA 3.2. Za neku tvrdnju koja ukljucuje skalu kažemo da jekvantitativno smislena ako njezina vrijednost istinitosti ne ovisi o dozvo-ljenoj transformaciji skale.

Prethodna lema zakljucuje da tvrdnja:

Srednja ordinalna vrijednost jedne grupe objekata jeveca od srednje ordinalne vrijednosti druge grupe obje-kata.

nije kvantitativno smislena. To znaci da za ordinalne skale nema smisla us-poredivati njihove srednje vrijednosti. Za omjernu, intervalnu i apsolutnuskalu medutim, to ima smisla. Ako jeV ordinalna skala ih strogo rastucatransformacija tada je jedina kvantitativno smislena tvrdnja:

V (a) ≥ V (b) ⇔ h(V (a)) ≥ h(V (b)).

4. IZMJERIVOST. RACIONALNA TEORIJA ODLUCIVANJA 21

3.1.1. Klasifikacija skala.Poznavajuci skup dozvoljenih transforma-cija, skale možemo klasificirati na sljedeci nacina:

Ordinalna skala: Dozvoljene transformacijecine skup strogo ras-tucih funkcija. Ordinalna funkcija vrijednosti je jedan primjerordinalne skale.

Intervalna skala: Dozvoljene transformacijecine skup svih pozi-tivnih afinih transformacija. To su transformacije oblika

h(t) = αt + β, α > 0, t ∈ R.

Primjer takve skale je izmjeriva funkcija vrijednosti, aditivna funk-cija vrijednosti i potencijal. Temperatura se mjeri intervalnomskalom ako zaboravimo apsolutnu nulu.

Omjerna skala: Dozvoljene transformacijecine skup svih transfor-macija slicnosti. To su transformacije oblika

h(t) = αt, α > 0.

Primjer takve skale je linearna funkcija vrijednosti, mjerenje te-žine takoder spada u tu vrstu skale.

Apsolutna skala: Jedina dozvoljena transformacija je identiteta, tj.h(t) = t, ∀t ∈ R. Primjer takve skale je vjerojatnost na nekomskupu.

3.2. Kvalitativna smislenost. Neka tvrdnja može biti kvantitativnosmislena ali je i dalje ’besmislena’ za korisnika ako ne odražava neki kva-litativni, substancijalni smisao. To prvenstveno znaci da tvrdnja koja nas-toji biti kvalitativno smislena mora prvo biti kvantitativno smislena. Takona primjer, za potencijalX definiran nacvorovima usmjerenog grafa raz-lika potencijala ima kvantitativni smisao ali ako je ta razlika takva da je uskladu s nekom relacijom slabe preferencije onda tvrdnja

X(a) ≥ X(b), α = (b, a) ∈ A

postaje kvalitativno smislena jer odražava jedan kvalitativni odnos meducvorovima, a to je prisutan uredaj slabe preferencije. Razlika izmedu kvan-titativne i kvalitativne smislenosti je vrlo subtilna i najbolje ju je pojasnitiprimjerom.

4. Izmjerivost. Racionalna teorija odlucivanja

U osnovi konstrukcije funkcije vrijednosti je relacija slabe preferenci-je. Na prvi pogled izgleda razumno reci da donosilac odluke preferiraa uodnosu nab više nego nego što preferirac u odnosu nad ako i samo akoje više spreman odustati odb u zamjenu zaa nego odustati odd u zamjenuzac.


Oznacimo s (a ← b) prihvacanjea u zamjenuza b ili krace zamje-na. Donosilac odluke sada ima dvije relacije slabe prefferencije s kojimase mora suociti, jedna je relacija<na objektima, a druga je relacija<enazamjenama. Svaka relacija za sebe generira funkciju vrijednosti s napome-nom da je prva definirana na skupu objekata, a druga na skupu zamjena.Nas interesira njihova uskladenost, odnosno odgovor na pitanje je li mogu-ce naci takvu funkciju vrijednostiv na skupu objekataS koja zadovoljava:

a<b ⇔ v(a) ≥ v(b)(4.1)

(a ← b)<e(c ← d) ⇔ v(a) − v(b) ≥ v(c) − v(d).(4.2)

Takvu funkciju, ako postoji, zvaticemoizmjerivomfunkcijom vrijednosti.Ocito je v ordinalna funkcija vrijednosti, dok (4.2) zahtijeva da je razlikav(a) − v(b) ordinalna funkcija vrijednosti na skupu zamjena uskladena s<e.

TEOREM 4.1. Sljedeci aksiomi su nužni i dovoljni za egzistenciju iz-mjerive funkcije vrijednosti:

Aksiom 4.1.1. (Slabi uredaj) Relacija<je relacija slabe preferencije naskupu objekata, a relacija<eje relacija slabe preferencije na skupuzamjena.

Aksiom 4.1.2. (Uskladenost< i <e) ∀a, b ∈ S

a<b ⇔ (a ← b) ⇔ <e(c ← c) ∀c ∈ S.

Aksiom 4.1.3. (Inverzija)∀a, b, c, d ∈ S

(a ← b)<e(c ← d) ⇔ (d ← c)<e(b ← a).

Aksiom 4.1.4. (Konkatenacija)∀a, b, c, d, e, f

(a ← b)<e(d ← e)

(b ← c)<e(e ← f)

}

=⇒ (a ← c)<e(d ← f).

Aksiom 4.1.5. (Rješivost)∀b, c, d ∈ S ∃a ∈ S tako da je

(a ← b) ∼e (c ← d).

∀b, c ∈ S ∃a ∈ S tako da je

(b ← a) ∼e (a ← c).

Aksiom 4.1.6. (Arhimedovost) Svaki strogo omedeni standardni niz je ko-nacan.

DOKAZ . bit ce ¤


4.0.1. Jedinstvenost izmjerive funkcije vrijednosti.Ordinalna funkci-ja vrijednosti jedinstvena je do na strogo rastuce transformacije, v. teorem2.3. Izmjeriva funkcija zadovoljava više zahtjeva od ordinalne pa je za oce-kivati da klasa dozvoljenih transformacija bude manja. Jedno je ocigledno,ako jeφ(t) = αt + β, α > 0, onda je kompozicijaφ ◦ v takoder izmjerivafunkcija vrijednosti jer je

v(a) − v(b) ≥ v(c) − v(d) ⇔ α(

v(a) − v(b) ≥ v(c) − v(d))

⇔ φ(v(a)) − φ(v(b)) ≥ φ(v(c)) − φ(v(d))

i ocigledno je zadovoljen zatjev (4.2) za kompozicijuφ◦v. Pitanje je vrijedili obrat. Sljedeci primjer pokazuje da to nije istina.

PRIMJER 4.2. Neka jeS = {a, b, c} i pretpostavimo da vrijedi:

a ≻ c ≻ b ≻ c; (a ← c) ≻e (a ← b) ≻e (b ← c).

Tada suv(a) = 10, v(b) = 3, v(c) = 0 i w(a) = 12, w(b) = 4, w(c) =0 izmjerive funkcije vrijednosti povezane strogo rastucom funkcijomφ(10) =12, φ(3) = 4, φ(0) = 0 koja nije afina transformacija gorjeg tipa jer

12 − 4

10 − 36=

3 − 0

4 − 0.

Sljedeci teorem pokazuje da jedinstvenost izmjerive funkcije do na po-zitivnu afinu transformaciju zahtijeva izvjesno bogatstvo skupaS.

TEOREM 4.3. Pretpostavimo da je ispunjen zahtjev slabe rješivosti:∀a, b, c ∈ S ∃x ∈ S tako da je

(x ← c) ∼e (a ← b).

Tada je izmjeriva funkcija vrijednosti jedinstvena do na pozitivnu afinutransformaciju. Drugim rijecima, ako suv i w dvije izmjerive funkcijevrijednosti onda postoje realni brojeviα > 0 i β tako da je

w(a) = αv(a) + β ∀a ∈ S.

4.1. Kvalitativna i kvantitativna smislenost. Neka jeS zadani ko-nacan skupv : S → R i λ, µ ∈ Rn. Lako se vidi da

n∑

i=1

λiv(ai) ≥n

∑

i=1

µiv(ai)

ne implicira da je za svaku strogo rastucu funkcijuφ,n

∑

i=1

λiφ(v(ai)) ≥n

∑

i=1

µiφ(v(ai)).


Posljedica toga je da srednja vrijednost ordinalne funkcije vrijednostinije invarijantna na rastuce transformacije skale. Drugim rijecima, kvan-titativne operacije s ordinalnim vrijednostima nisu smisleni pokazatelji nakojima se mogu bazirati bilo kakvi zakljucci. Iz gornjecinjenice možemoizvesti još jedan zakljucak, a taj je da uredaj medu razlikama ordinalnihvrijednosti takoder nije sacuvan, drugim rijecima:

v(a1) − v(a2) ≥ v(a3) − v(a4)

ne implicira da je za svaku strogo rastucu funkcijuφ,

φ(v(a1)) − φ(v(a2)) ≥ φ(v(a3)) − φ(v(a4)).

Ta je tvrdnja specijalan slucaj prethodne ako specificiramo

λ1 = 1; λ2 = 1 i λi = 0 za prostale vrijednosti indeksai;

µ3 = 1; µ4 = 1 i µi = 0 za prostale vrijednosti indeksai.

Ovdje je zgodan trenutak da se objasni pojamkvalitativne i kvanti-tativne smislenosti neke tvrdnje. Tvrdanja je kvantitativno smislena akoje invarijantna na dozvoljene transformacije skale. Za ordinalnu funkci-ju vrijednosti dozvoljene transformacije su kompozicije sa strogo rastucimfunkcijama. Usporedivanje aritmetickih sredina dviju ordinalnih funkcijavrijednosti nije kvantitativno smisleno. Kvalitativna smislenost je funda-mentalniji pojam. Ona zahtijeva od donosioca odluke da jasno razumijekvalitativne odnose izražene relacijama< i <e na primjer. Sljedeci pri-mjer pokazuje važnost razumijevanja odnosa medu zamjenama.

PRIMJER4.4. Pretpostavimo da jeS = {a, b, c, d} skup sljedecih sce-narija:

a – savršenog ste zdravlja i dobili ste 50000 kn na lotub – savršenog ste zdravlja i dobili ste 49999 kn na lotuc – lošeg ste zdravlja, bez bolova. Nemate neka velika ocekivanja

od života. Niste dobili dobitak na lotu.d – umirete s teškim bolovima, ostalo vam je još 48 sati života.

Vecinace se složiti da je skok u ’kvaliteti življenja’ veci na zamjeni(c ← d)nego u zamjeni(a ← b). Ocigledno je dakle(c ← d)<e(a ← b). Aliako pitamo koju bi zamjenu najradije odabrali ljudi uglavnom odgovara-ju: (a ← b), što je posljedica njihove fiksiranosti na stanje, tj. oni bi radijezavršili u stanjua nego u stanjuc.

To je tipicna greška da ljudi kod usporedivanja zamjena usporedujurezultat zamjene, a ne same zamjene. Vidi takoder zadatak 5.1.


4.2. Deskriptivni modeli odlucivanja. U našem izlaganju micemouglavnom opisivati kako bi ’racionalan’ donosilac odluke trebao odlucivati.Sociolozi i psiholozi proucaju i deskriptivne modele tj. kako ljudi donoseodluke u stvarnosti, gdje i u kojoj mjeru odstupaju od normativnog modelai pokušavaju objasniti zašto je to tako. Deskriptivni modeli se doista razli-kuju od normativnih koji su naš glavni interes. Ovdjecemo ukratko opisatineke od tih modela i uputiti zainteresiranogcitaoca na literaturu iz tog po-drucja. Mi cemo kratko opisati dva osnovna tipa descriptivnih modela,jedan baziran napoluuredaju s drugi baziran nastohastickojpreferenciji.

4.2.1. Poluuredaj i intervalni uredaj. Empiricki gledano jedan od glav-nih problema u odlucivanju je intranzitivnost relacije indiferencije∼. Toje posljedica neodlucivosti donosioca odluke da razlikuje situacije karak-terizirane bliskim vrijednostima nekih parametara. Tako na primjer, ako ukavu dodamo žlicicu šecera osjetiticemo razliku u slatkoci, ako dodamojedno zrno šecera toce biti znatno teže. Ako sv oznacimo koncentraci-ju šecera u kavi ondace donosilac odluke moci kvalitativno razlikovati tekoncentracije ako se dovoljno razlikuju numericki tj.

(4.3) a P b ⇔ v(a) > v(b) + δ

za neku konstantuδ > 0. Ako je razlika koncentracija manja onda jeindiferentan tj.

(4.4) a I b ⇔ v(b) − δ ≤ v(a) ≤ v(b) + δ

Ovo je samo primjer i motivacija za definiciju aksiomatske definicije polu-uredaja.

DEFINICIJA 4.5. RelacijuP nazivamopuluuredajemako zadovoljavasljedece zahtjeve

Aksiom 4.5.1. P je antirefleksivna, tj.∀a ∈ S a ÁP a.

Aksiom 4.5.2. ∀a, b, c, d ∈ S

(a P b & b P c) =⇒ ili a P d ili d P c ili oboje.

Aksiom 4.5.3. ∀a, b, c, d ∈ S

(a P b & c P d) =⇒ ili a P d ili c P b ili oboje.

Aksiom 4.5.4. (KonzistentnostI i P ) ∀a, b ∈ S

a I b ⇔ a ÁP b i b ÁP a.

Nije sasvim jasno što aksiomi 4.5.1–3 govore pa je dobro ilustrirati tona kvantitativnoj reprezentaciji. Neka sua, b, c takvi da jea P b & b Pc. Intervali [v(b), v(a)] i [v(c), v(b)] oba imaju duljinu koja je veca odδ.Prema aksiomu 4.5.2 ne postoji tockav(d) na udaljenosti manjoj odδ od


v(a) i v(c). Da bi razumjeli što tvrdi aksiom 4.5.3 pretpostavimoa P b ic P d. Tada jev(a) > v(b) + δ i v(c) > v(d) + δ. Dvije su mogucnostisada,v(a) ≥ v(c) ili v(c) ≥ v(a) (ili obje). Tada

v(a) ≥ v(c), v(c) > v(d) + δ =⇒ v(a) > v(d) + δ ⇔ a P d

v(c) ≥ v(a), v(a) > v(b) + δ =⇒ v(c) > v(b) + δ ⇔ c P b.

PROPOZICIJA4.6. Ako P i I zadovoljavaju zahtjeve4.5.1–4onda jePantisimetricna i tranzitivna, aI je simetricna i refleksivna.

DOKAZ . Dokazujemo tranzitivnost relacijeP. Pretpostavimo da jea P b & b P c. Prema aksiomu 4.5.2, ako specificiramod = c, onda jea P c ili c P c ili oboje. Kako je mogucnostc P c iskljucena zbog aksioma4.5.1 to jea P c što dokazuje tranzitivnost odP.

Antisimetricnost relacijeP. U suprotnom jea P b & b P a pa premaaksiomu 4.5.3 slijedia P a ili b P b što je u suprotnosti s aksiomom 4.5.1.

Simetricnost relacijeI slijedi direktno iz njene definicije, dok je njenarefleksivnost direktna posljedica aksioma 4.5.1. ¤

TEOREM 4.7. Aksiomi 4.5.1–4su nužni i dovoljni za kvantitativnureprezentaciju(4.3) i (4.4)uz pretpostavku da jeS konacan skup.

DOKAZ . Vidi, Roberts [31]. ¤

Koncept poluuredaja može se i oslabiti naintervalni uredaj. To je ure-daj koji koji zadovoljava aksiome 4.5.1 i 4.5.3; dakle, nema zahtjeva dazadovoljava aksiom 4.5.2. Poluuredaj je intervalni uredaj ali obrnuto nevrijedi. Kvantitativna reprezentacija intervalnog uredaja je sljedeca: pos-toje dvije funkcijev i δ takve da jeδ(a) > 0 ∀a ∈ S i

a P b ⇔ v(a) ≥ v(b) + δ(b).

Oba uredaja opisuju istu ideju, tj. dva objekta se razlikuju ako je jedandovoljno bolji od drugoga, s tim da jeδ konstanta kod poluuredaja i ovisio b kod intervalnog uredaja. Detaljnije o intervalnom uredaju može se naciu knjizi Fishburn [14] i Roberts [31].

4.2.2. Stohasticka preferencija.Ako vam je ponuden izbor izmedubanane i jabuke u više navrata hocete li uvijek birati bananu ilicete kat-kad birati bananu a katkad jabuku ovisno o raspoloženju. Za vecinu ljudinema pravila i to je situacija koja inspirira drugu klasu descriptivnnih mo-dela,stohasticki modelpreferencije.

Svakom paru objekata izS ovaj model pridružuje vjerojatnostpab ko-ja se interpretira kao naklonost donosioca odluke da izaberea ako mu jeponuden izbor izmedu a i b. Tako na primjer, ako jepab = 0.6 onda jetime izražena spremnost donosioca odluke da u 60% slucajeva izaberea,

5. ZADACI 27

ako mu je ponuden izbor izmedu a i b. Pri tome je razumno zahtijevati dada se izbor jedne od ponudene dvije alternative mora izvršiti tj.

pab + pba = 1,

uz dogovorpaa = 12 . Pitanje je da li u pozadini zadanih vjerojatnosti

pab | a, b ∈ S stoji neka struktura. Ako je vjerojatnostpab ≥ 12 onda tu

informaciju možemo interpretirati kao preferiranje alternativea u odnosuna alternativub od strane donosioca odluke. Razumno je definirati relaciju

a < b ⇐⇒ pab ≥1

2

i pitati se za njenu tranzitivnost. Ako su preferencije donosioca odlukedovoljno strukturirane onda, v. teorem??, onda postoji kvantitativna re-prezentacija stohasticke preferencije u obliku

pab =V (a)

V (a) + V (b)

za neku realnu funkcijuV na skupu alternativa. Tada jeV (a) ’apsolutnaprihvatljivost oda’, a pab ’relativna prihvatljivost oda’ u ozborua ili b.Odlican pregled probabilistickih modela dan je u knjizi Roberts, [31].

5. ZADACI

ZADATAK 5.1. Ponuden vam je na izbor rucak u finom restoranu ili,kao alternativa, dvije karte za kazalište. Vi ste neodlucni i osoba koja vamto nudi daje i vašu omiljenucokoladu kao ekstra ponudu na karte. Dasu u pitanju karte i karte scokoladom vi biste naravno odabrali karte scokoladom. Jeste li i dalje neodlucni, diskutirajte nastalu situaciju.

5.1. Qualifications. It is said that the day you feel a dispassion (ne-pristran) for the mundane pleasure of life, and a yearning (žudnja) forspi-ritual life, you should take sannyasa. And the day you awaken to a highersense for discrimination (razlikovanje), you should become a karma san-nyasin. Discrimination and dispassion are two jewels which every spiritualaspirant should try to cultivate.

Just as there is higher and lower discrimination, there is higher andlower dispassion. Lower dispassion results in detachment towards externallife, external pleasures. Out of that arises a higher dispassion which isdetachment towards the inner emotions, such as like and dislike, joy andsorrow, and all the dualities of life.

Lower discrimination is that faculty which determines our sense of tas-te, touch, smell, sound and sight. For instance, we discriminate between


certain foods, certain music, certain films. We prefer certain people, situ-ations, events and circumstances, according to our level of discrimination.One person may prefer to spend most of his spare time listening to satsangor reading books on yoga and higher philosophy, while another may preferto watch television or go to a party.

Some may discriminate between foods they eat and only take thosewhich are conductive to their health, while others will eat just anything.This is lower discrimination for, after all, even an animal has discriminationfor food. If you give him food which is alien (strana) to his nature, he willsimply sniff at it and turn his head away. Each person chooses accordingto his level of discrimination. This lower discrimination, if experiencedin daily life, ultimatively gives rise to higher discrimination. Man has theinherent power to reason. It is this faculty which distinguishes him fromanimals, plants and other living creatures, and it is this which leads him tohigher discrimination.

Higher discrimination arises out of self-study and self analysis. At ti-mes, you try to asses your values, principles and motivation in life. It iswhen you begin to realize that the purpose of life is far deeper and noblerthan just eating, sleeping and procreating, that you are ready for karmasan-nyasa. Then you begin to reassess and re-evaluate your contribution tolifeand to your own growth, and you find that it is severely lacking (nestašica,manjak). You find that your extrovert nature has inhibited (sprijeciti) theinfinite potential of your inner being.

Ordinarily you act on the basis of the senses which feed you informa-tion, and according to your likes and dislikes, you respond. But there isanother faculty within you, which is the source of indirect knowledge orintuition. And this is the basis of higher discrimination. If you are able totap this source, you will have unearthed (pronaci, išcešrkati, otkriti) an ex-tremely valuable asset (imovina, vrijednost). Then, no mater who or whatyou are, you will shine in your particular area of life.

6. STABLO ODLUCIVANJA 29

6. Stablo odlucivanja

Stablo odlucivanja koristimo kad treba odabrati jednu od mogucih ak-cija (poteza) u riskantnim situacijama. Mnoge poslovne odluke upadaju utu kategoriju. Na primjer, proizvodac mora prvo proizvesti proizvod da biprecizno znao kakva je potražnja. Advokat mora izabrati izmedu parnice ivanparnicne nagodbe. Burzovni mešetar mora odluciti da li da kupi dioni-ce ne; po kojoj cijenice ih prodati to unaprijed ne može znati. U svim timsituacijama donosilac odluke je suocen s rizicnom odlukom jer nije u sta-nju pecizno predvidjeti buduce okolnosti koje utjecu na njen ishod. I bezobzira na to donosilac odluke ima neko znanje o tome koje su moguce situ-acije i ucestalost njihovog pojavljivanja. Ta se informacija može iskoristitiza izbor opcije koja ima najvece ocekivanje povoljnog dobitka. Stablo od-lucivanja uzima u obzir sve pojedinosti i jednostavno je za razumijevanje.Dijagram ilustriran na slici 2 nazivamo stablo odlucivanja. Cita se s lijeva

SLIKA 2. Stablo odlucivanja

na desno.Cvor sasvim lijevo nazivamo korijenom stabla ilicvorom odluke(eng. root); oznacavamo ga kvadraticem. Grane koje izlaze izcvora odlukepredstavljaju moguce alternative. Samo jednu od njih je moguce odabrati.Nazvali smo ihopcija_1 i opcija_2 . Svaka opcija ima svoju vrijed-nost (cisti dobitak ili ulog) koji su posljedice izbora te opcije. Te brojeveupisujemo iznad crte i lijevo od sljedecegcvora. Vrijednost prve opcije je−100 što znaži da toliko iznose troškovi izbora te opcije. Vrijednost drugeopcije iznosi 300 i to jecisti dobitak ako odaberemo tu opciju.

Cvorove prikazane kružicima nazivamocvorom izborašto izražavamogucnost izbora daljnjih opcija iz togcvora. U primjeru je samo jedan


takavcvor. Iz izbornogcvora idu nove grane i svakoj od njih je pridruženavjerojatnost njenog izbora. Postotak desno od izbornogcvora je vjero-jatnost grane izražena u postocima.Cvor druge opcije nije izboran nego

SLIKA 3. Izbornicvor.

je terminalan ili krajnji cvor. Isplata pridružena terminalnomcvorujednaka jecistom dobitku umanjenom za izbor grane koja vodi do togcvora. Isplata na terminalnomcvoru ishod_1 kod prve opcije iznosi500 − 100 = 400 što je razlika izmedu cistog dobitka i troškova izboragraneopcija_1 .

Odluka se provodi tako da se svakoj grani koja izlazi iz korijena pri-druži neka vrijednost i onda se odabere ona grana koja ima povoljniju vri-jednost. Opciji dva pridružena je vrijednost isplate 300 na njenom termi-nalnomcvoru. Vrijednost prve opcije, koja vodi na izbornicvor, izracunaticemo tako da racunamo ocekivanu vrijednost svih opcija koje izlaze iz togcvora uvažavajuci vjerojatnosti tih opcija. Prema tome, vrijednost prve op-cije jednaka je

0.60 · 400 + 0.40 · 600 = 480

i zapisana je ispod troškova za tu opciju.Kod složenijih stabala

7. TEORIJA IZBORA 31

7. Teorija izbora

Grupno odlucivanje je najsloženiji oblik donošenja odluke. U principuse ono ne razlikuje od vešekriterijske odluke osim u organizaciji hijerarhijei redosljedu izvodenja pojedinih koraka u odlucivanju.

Pocetkom grupnog odlucivanja, i odlucivanja uopce, može se smatratiBordina kritika pravila vecine kod izbora za Francusku akademiju znanos-ti 1784. godine. Vec sljedece godine Condorcet nalazi zamjerke Bordinojmetodi i od tada ne prestaju prepiske i rasprave o metodama sve do sredineprošlog stoljeca kad se Teorija odlucivanja formira kao matematicka disci-plina. Umjesto da pronalaze nove metode matematicari su poceli zasnivatikriterije (aksiome) koje bi ’pravedna’ procedura za odlucivanje trebala za-dovoljavati s naglaskom na ’demokraciju’. Demokraticnost je došla podupitnik kad je Keneth Arrow (1951) dokazao svoj poznati ’impossibilityteorem’.

7.1. Pravilo vecine. Promatrajmo primjer u kojem 23 glasaca trebaizabrati jednog od tri kandidata na temelju javnog/tajnog izjašnjavanja sva-kog glasaca o njegovom izboru. Pretpostavimo da je 9 glasaca izabralokandidataa, 6 glasaca glasalo je zab i 8 glasaca zac. Ako prihvatimo pra-vilo da je pobjednik onaj od kandidata koji je dobio najviše glasova ondaje toa.

Pogledajmo taj izbor iz druge perspektive. Vecina1 glasaca, njih6 +8 = 14 bi radije vidjelo nekog drugog kao pobjednika umjestoa. Ta pri-mjedba dovodi u sumnju pravednost gornjeg izbora i Borda predlaže meto-du koja se bazira na sumi rangova, kasnije nazvana po njemu. On predlažeda svaki glasac na glasacki listic ispiše svoju rang listu kandidata na nacinkao što je to ucinjeno u tablici 7.1. U tablici smo vec organizirali rangi-ranja po broju jednakih: 5 glasaca dalo je poredaka < b < c, 4 glasacaporedaka < c < b itd. Broj od 9 prvih mjesta dobio je kandidata, 6 prvihmjesta dobio je kandidatb i 8 prvih mjesta dobio je kandidatc kao što smovec ranije ustanovili. Bordino pravilo je jednostavno: za osvojeno prvo

1. mjesto a a b b c

2. mjesto b c a c b

3. mjesto c b c a a

Broj glasaca 5 4 2 4 8

TABLICA 7.1. Grupni profil glasanja.

1Pod vecinom podrazumijevamo podskup od 51% glasaca ili više.


mjesto, na svakom glasackom listicu, kandidat dobiva 2 boda, za osvojenodrugo mjesto dobiva 1 bod i 0 bodova za posljednje mjesto. Da je bilonkandidata onda bi osvojeni bodovi bilin−1 za prvo mjesto,n−2 za drugoitd. Suma bodova za svakog kandidata je

Kandidat Bodovi

a 2 · (5 + 4) + 1 · 2 = 20

b 2 · (2 + 4) + 1 · 8 = 25

c 2 · 8 + 1 · (4 + 4) = 24

što jednoznacno odlucuje o Bordinom pobjedniku, to jeb. Primjenom Bor-dinog pravila, prijašnji pobjednika je sada pao na posljednje, trece mjesto.Napomenimo da Bordino pravilo dozvoljava da dva ili više kandidata za-uzimaju isti rang na glasackom listicu.

Detaljnija analiza rezultata glasovanja u tablici 7.1 ukazuje da vecinaglasaca, njih 12, bi radije dac bude na prvom mjesto umjestob. To jenavelo Condorcet-a (1785) da predloži metodu baziranu na kolektivnomusporedivanju u parovima. Njegov je prijedlog da se promatra brojv(x, y)glasaca koji u svojim glasackim listicima preferirajux u odnosu nay. Ka-žemo da jex društveno preferiranpremay ako je

v(x, y) ≥ v(y, x).

U našem primjeru jev(b, a) = 14, v(c, b) = 12 i v(c, a) = 12. U prethod-nim usporedbama u parovima,c u svakom slucaju ima vecinu glasova zasebe, više od 50%, i poredak socijalne preferencije je

c ≻ b ≻ a.

Kandidatac nazivamoCondorcetovim pobjednikom. Graf socijalne prefe-rencije ne daje uvijek Condorcetovog pobjednika, tako na primjer za profilgrupe dan u sljedecoj tabeli graf socijalne preferencije ima ciklus i takvase situacija nazivaEffet Condorcetili Condorcetov efekt.

a b b c

c a c b

b c a a

3 1 1 2

TABLICA 7.2. Condorcetov efekt.


7.2. Medijan. Primjer u tablici 7.2 pokazuje da Condorcetova proce-dura ne daje uvijek pobjednika. Kemeny (1959) je postavio jedan modelgrupne odluke zasnovan na varijacionom pristupu. Da bismo ga opisaliformalizirajmo malo našu diskusiju.

Grupu donosilaca odluke oznacimo sG = {1, . . . , n} i pretpostavimoda svaki odclanova grupe donosi svoj uredaj slabe preferencije<i, i ∈ Gna konacnom skupu alternativaA. Problem grupne odluke2 sastoji se utome da se traži uredaj slabe preferencije<G na skupu alternativa kojicemo zvatikonsenzusom3 i koji kao ulazne podatke koristi sve relacije<i,i ∈ G. Uredenun-torku slabih preferencijaπ = (<1, . . . ,<n) nazivamoprofilom grupe, a konsensus je funkcijaCA : π 7→<G,

CA : PnA → PA

definirana na skupu svih mogucih profila u skup svih slabih preferencijaPA na skupu alternativaA.

Za zadani grupni profilπ = (ρ1, . . . , ρn) linearnih uredaja naA, Ke-menyjev medijanje takav linearan uredajρ koji minimizira sumu

n∑

i=1

δ(ρ, ρi),

gdje jeδ(ρi, ρj) = #(ρi ∪ ρj) − #(ρi ∩ ρj) udaljenost simetricne razlikemedu relacijama. Kemenyjev medijan uredaj uvijek postoji za razliku odCondorcetovog pobjednika.

Kemenyjev medijan je u uskoj vezi s Condorcetovim pravilom što sevidi iz sljedece diskusije. Ako je kardinalni broj grupe donosioca odlukeG neparan onda je Condorcetovo pravilo, oznacimo ga sC, definirano s:

xC(π)y ⇔ v(x, y) ≥ v(y, x)

ili, što je ekvivalentno

⇔ v(x, y) > (#G)/2.

Za ocekivati je dace broj neslaganja svakog luka u Condorcetovom grafus profilom grupe biti minimalan upravo zbog pravila vecine. Možda je

2u žargonu ’procedure donošenja grupne odluke’3Ostali nazivi su: ’grupna odluka’, ’socijalna preferencija’, ’statut’.


razumljivije ako to izrazimo formulom

#G∑

i=1

δ(ρ, ρi) =

#G∑

i=1

∑

xρyx¬ρiy

1 +

#G∑

i=1

∑

x¬ρyxρiy

1

=

#G∑

i=1

∑

xρyyρix

1 +

#G∑

i=1

∑

x¬ρyxρiy

1

=∑

xρy

v(y, x) +∑

x¬ρy

v(x, y)

= 2∑

xρy

v(y, x).

Tada jeC(π) jedinstveno rješenje problema minimizacije

minρ∈PA

#G∑

i=1

δ(ρ, ρi).

U slucaju da je kardinalni broj grupeG paran može se desiti, kao što smo tovidjeli u prethodnom primjeru, da Condorcetov pobjednik ne postoji, dokmedijan postoji ali nije jedinstven. Ostavljamocitaocu da sam provjerinavedene tvrdnje.

Veza izmedu medijana i Condorcetovog pravila uocena je uclankuBarbut [1] (1967). Kemenyjev medijan vezan je takoder uz poznatifeed-back arc set problem(FAS) koji je NP -potpun, v. Karp (1972) [?]. Jedandrugi pokušaj da se spasi Condorcetova procedura je prikazana uknjiziDogson [?] (1976), v. takoder Barthélémy [?] (1989).

7.3. Taktizirano glasovanje. Pogledajmo ješ jedan primjer situacijegdje pravilo vecine omogucava taktiziranje kod izbora kji se vrše u ’dvakruga’. Pretpostavimo da grupaG ima tri clana i da su individualne pre-ferencije dane sljedecom tablicom. Pravilo vecine vodi na intranzitivnu

a b c

b c a

c a b

1 1 1

relaciju odnosno ciklus pa nema pobjednika. U praksi se, medutim, pravi-lo vecine rijetko kad koristi na cijelom skupu alternativa. Primjer su izboriu dva ili više krugova kao štocemo sada vidjeti. Pretpostavimo da se u


prvom krugu bira izmedu alternativaa i b, a zatim izmedu c i pobjedni-ka u prvom krugu. Takav postupak vodi, u skladu s gornjim glasackimpreferencijama, nac kao pobjednika:

a

b

}

→ a

c

}

→ c.

Da smo u prvom krugu birali izmedu b i c imali bismo za pobjednikaa:

b

c

}

→ b

a

}

→ a.

A da smo zapoceli sa i c onda bi pobjednik biob:

c

a

}

→ c

b

}

→ b.

Pobjednik dakle ovisi o tome tko je biran u prvom krugu. Ima još jednazabrinjavajuca situacija u ovom problemu. Pretpostavimo da prvi glasaczna kakve su preferencije drugih glasaca. Tada je moguc sljedeci scenario:Ako se u prvom krugu bira izmedu a i b tada prvi glasac može predvidjetidace na kraju biti izabranc pa on može sakriti svoje prave namjere i glasatiproracunato s preferencijamab ≻1 a ≻1 c. Tada je konacni izborb:

a

b

}

→ b

c

}

→ b.

To pokazuje da prvi igrac taktiziranjem može sprijeciti da c, njegov najlo-šiji izbor, bude izabran. Pravilo vecine ga nagoni da laže i taktizira kako bipostigao svoje ciljeve.


7.4. Arrowljev teorem.

A democracy cannot exist as a permanent formof government. It can exist only until the vo-ters discover they can vote themselves large-sse (defined as a liberal gift) out of the pu-blic treasury. From that moment on, the ma-jority always votes for the candidate promi-sing the most benefits from the public tre-asury, with the result that democracy alwayscollapses over a loose fiscal policy, always tobe followed by a dictatorship.

Alexander Fraser Tyler(1747–1813)

U stvarnom životu pravila za formiranje grupne odluke razlikuju seod slucaja do slucaja. Do sada smo vidjeli Bordino pravilo, Condorceto-vo pravilo, metoda potencijala je nešto opcenitija i njezina restrikcija naPn

A je takoder jedna grupna odluka. Odlucivanje za ’Pjesmu Eurovizije’provodilo se, koliko je autoru ovog teksta poznato, po nekoj varijanti Bor-dine metode. Novinari u Hrvatskoj svake godine biraju najboljeg sportaša,a vinokusci odreduju koje ce vino na sajmu vina dobiti zlatnu medalju.Bez obzira na raznolikost metoda matematicari su izdvojili nekoliko pravi-la (aksioma) koja koje bi svaka grupna odluka trebala zadovoljavati. Jedanod aksioma koji smo vec implicitno ukljucili je:

A1: Slabi uredaj Svaka relacija<i, i ∈ G, i grupni konsenzus<G suuredaji slabe preferencije na skupu alternativaA.

Drugi aksiom je takoder vec implicitno ukljucen

A2: Univerzalnost domene.Podrucje definicije odC je cijeli skupPnA.

Condorcetovo pravilo ne zadovoljava ovaj aksiom što se vidi izprimjera u tablici 7.2 gdje graf socijalne preferencije nije slaba prefe-rencija, ima ciklus.

Sljedeci aksiom ne treba posebno komentirati.

A3: Netrivijalnost.(i) GrupaG ima bar dvaclana.

(ii) SkupA ima bar tri alternative.


A4: Binarna ovisnost Neka suA i A′ dva skupa alternativa i{a, b} ⊂A ∩ A′ tj. alternativea i b su u oba skupa. Pretpostavimo da su profiliπ ∈ PA i π′ ∈ PA′ takvi da je

a <i b ⇔ a <′i b

b <i a ⇔ b <′i a.

tj. da svakiclan grupe preferiraa u odnosu nab (ili obratno) neovis-no o ostalim alternativama. Tada od grupne odluke zahtijevamo dazadovoljava:

a <G b ⇔ a <′G b

b <G a ⇔ b <′G a.

A5: Stroga preferencija. Ako za svakii ∈ G vrijedi a ≻i b onda jea ≻G

b.

A6: Ne diktatorstvu. Ne postojii ∈ G tako da je<G=<i.

Aksiomi 1–6 predstavljaju ’razumne zahtjeve’ koji se ocekuju od jedne’razumne’ i ’demokratske’ procedure za donošenje grupne odluke.Sljedeciteorem tvrdi da takva procedura ne postoji i u tom smislu svaka glasackashema, bez obzira kako suptilna bila, krije u sebi ’iracionalno’ i ’nede-mokratsko’ grupno ponašanje pa je svojevremeno taj teorem oneraspolo-žio, blago receno, sve zaljubljenike u zapadnu demokraciju. Godine 1972.Kenneth Arrow dobio je Nobelovu nagradu iz ekonomije.

TEOREM 7.1. Ne postoji grupni konsensusCA : PnA → PA koji zado-

voljava aksiome A1–A6.

Prije nego li dokažemo teorem istaknimo da on ne tvrdi da svaki kon-senzus krši bar jedan aksiom vec da je svaki konsenzus potencijalno ne-pravedan u smislu da postoj bar jedna individualna preferencija<i koja ceonemoguciti konstrukciju funkcijeCA.

Definirajmo još pojam odlucivog skupa kojicemo koristiti u dokazuteorema.

DEFINICIJA 7.2. PodskupM ⊆ G je odluciv za ureden paralternativa(a, b) ako

a ≻i b, ∀i ∈ M

b ≻i a, ∀i /∈ M⇒ a ≻G b.

Drugim rijecima podgrupaM ima sposobnost da njena koherentnost upreferencijama za alternativea i b ima ’snagu da isforsira’ isto grupno miš-ljenje unatoc suprotnim mišljenjima svih ostalihclanova grupe koji nisu uM .


DEFINICIJA 7.3. PodskupM ⊆ G je minimalni odluciv podskupakoje odluciv za bar jedan par(a, b) i takav da za svaki drugi par(c, d) nepostoji pravi podskup odM koji je odluciv za taj par.

DOKAZ . Dokaz provodimo u dvije faze. Prvocemo dokazati da mini-malni odlucivi podskup mora biti jednoclan skup, a zatimcemo dokazatida je on nužno diktator.

Neka jeM minimalni odlucivi podskup i odluciv za par(a, b). Pret-postavimo daM sadrži više od jednog elementa i neka jeg jedan od njih.Oznacimo N = M \ {g} i M ′ = G \ M . Odaberimo individualne prefe-rencije za alternativea, b, c kao u sljedecoj tablici.

{g} N M ′

1. a c b

2. b a c

3. c b a

U tablici, u drugom stupcu na primjer, oznaka znaci da vrijedic ≻i a ≻i bza svakii ∈ N .

Prema aksiomu A3 grupni konsenzus postoji bez obzira na preferencijena ostalim alternativama, a zbog aksioma A4 te preferencije ne utjecu nagrupni konsenzus naa, b, c. Ocito vrijedi da jea ≻G b jer je M odlucivskup za par(a, b). Takoder jeb <G c jer bi u suprotnomN bio odlucivskup za par(c, b). Kako je grupna odluka slabi uredaj zbog A1 to zbogtranzitivnosti vrijedia ≻G c. Pogledamo li pažljivije odabrane uredaje utablici, vidimo da samog zahtjevaa ≻g c što znaci da je jednoclan skup{g} odluciv za par(a, c) što je u kontradikciji s minimalnošcu odM . Jedininacin da izbjegnemo kontradikciju je prihvatiti daM bude jednoclan skup.

Sadacemo dokazati da jeg, koji je odluciv za(a, b) diktator, tj.<G=<g.Prvocemo dokazati daa ≻g d ⇒ a ≻G d za svakid 6= b. Odaberimo sadsljedeci odnos medu alternativama

{g} G \ {g}

1. a b

2. b d

3. d a.

Pošto je{g} odluciv za(a, b) to impliciraa ≻G b. S druge strane, svicla-novi grupe preferirajub u odnosu nad pa to moraciniti i grupni konsenzuszbog aksioma A5. Zbog tranzitivnosti konsenzusa je sadaa ≻G d što smoi htjeli dokazati. Takoder vrijedi i a <g d ⇒ a <G d što je trivijalnaposljedica upravo dokazanog.


Sljedeci korak je dokazati dac ≻g d ⇒ c ≻G d zac 6= a. U tu svrhupromatrajmo ovakav odnos medu alternativamaa, d, c u kojem jedinogzahtijevac ≻G d:

{g} G \ {g}

1. c d

2. a c

3. d a.

Prema A5 slijedi

c ≻G a.

Od ranije imamo

a ≻G d,

pa zbog tranzitivnosti

c ≻G d,

što se i htjelo dokazati. Još je jedino preostalo dokazati dac ≻g a ⇒ c ≻G

a. U tu svrhu pogledajmo takav odnos medu alternativamac, d, a u kojemjedinog zahtijevac ≻G a:

{g} G \ {g}

1. c d

2. d a

3. a c.

Prema prethodnom je

c ≻G d.

Zbog A5 je

d ≻G a,

pa zbog tranzitivnosti

c ≻G a,

što dokazuje traženu implikaciju. Time smo dokazali da vrijedi implikacijax ≻g y ⇒ x ≻G y što dokazuje diktatorstvo odg i u kontradikciji je saksiomom A6. Zakljucak, grupni konsenzus koji zadovoljava A1–A6 nepostoji. ¤


7.5. Potraga za demokracijom.

Democracy: the belief in freedom and equ-ality between people, or a system of gover-nment based on this belief, in which poweris either held by elected representatives or di-rectly by the people themselves.

Cambridge InternationalDictionary of English

Arrowljev teorem ima daleko vecu primjenu nego što se to na prvi po-gled cini. Neki ce prigovoriti da je vecina procedura glasanja takva daglasac nije obavezan dati slabu preferenciju na skupu alternativa, kao štoto pretpostavka teorema zahtijeva, vec se samo traži da predloži svoj naj-bolji izbor. Arrowljev teorem odnosi se i na takve procedure, nacin na kojise formira grupna preferencija nije uopce važan u dokazu pa takve situaci-je gdje je jedan dio informacija naprosto zanemaren predstavljaju legalneprocedure. Teorem vrijedicak i kad glasaci ne znaju da glasaju kao što jeto situacija kod ’kupovanja glasova’.

Potraga za demokracijom okomila se na pretpostavke teorema tj. naaksiome A1–A6 pokušavajuci ih diskreditirati. Diskutiraticemo svaki odpokušaja da se aksiomi pokažu neadekvatnim ili prezahtjevnim. Zapocni-mo s aksiomom A6 koji onemogucava diktatorstvo.

Taj aksiom ne samo da onemogucava vidljivog nego i nevidljivog dik-tatora i to bez obzira da li pojedinac (ne)zna da je diktator ili to (ne)znaju iostali clanovi grupe.

Aksiom A5 (stroga preferencija) je univerzalno prihvacen. Ako sva-ki pojedinac iz grupe preferiraa u odnosu nab onda bi to trebalaciniti igrupna odluka. Aksiom koji smo mi prihvatili to zahtijeva za strogu prefe-renciju. Jaca verzija aksioma koja zahtijevaju to isto ali za slabu preferen-ciju je kontroverznija i takoder razmatrana. Štoviše, može se pokazati daisti rezultat kao i Arrowljev vrijedi i bez aksioma A5 (Wilson, [?]) — onzasigurno nije razlog nepostojanja grupne odluke.

Aksiom netrivijalnosti A3 nije potrebno posebno komentirati. Teškoda se može tvrditi da skup od jednogclanacini grupu. Što se tice zahtjevada broj alternativa bude najmanje tri taj je zahtjev posve opravdan jer semože pokazati da za dvije alternative jednostavno pravilo vecine zadovo-ljava sve ostale aksiome.

Aksiom A1 koji zahtjeva da sve relacije budu relacije slabog uredajacini se na prvi pogled prezahtjevan. Praksa pokazuje da su ljudi rijetko


kad ’racionalni’ u smislu da njihove preferencije bude tranzitivne, a nijecest slucaj dacak nisu u stanju usporediti niti sve parove. Ima li smislataj aksiom oslabiti? Ako bi i dokazali egzistenciju grupne odluke s takooslabljenim zahtjevom onda bi ispalo da samo iracionalni pojedinci mogubiti ’demokraticni’. Nemogucnost i dalje implicitno ostaje prisutna:

Što se univerzalnosti domene tice, aksiom A2, on je u dokazu teoremaodigrao kljucnu ulogu. Možda bi sužavanjem domene grupnog konsenzu-sa ipak omogucili ’demokratsku’ grupnu odluku. Prihvacanje tog aksiomaje ujedno i pitanje gradanskog suvereniteta. Moralo bi se dozvolitisva-ko individualno mišljenje bez ikakve restrikcije. Postojecisto pragmaticnirazlozi protiv tog aksioma. Pojedinci se udružuju u grupe i donose miš-ljenje zato jer imaju neki zajednicki interes. Stoga su njihove individualnepreferencije korelirane baš zbog tog zajednickog interesa. Obrazloženjatog tipacine se prilicno demagoška i teško je vjerovati da bi društvene gru-pe sukobljene po pitanju nekih socijalnih prava pristale na restrikciju svojihzahtjeva.

Jedan od nacina na koji se pokušavalo zaobici taj aksiom su preferen-cije s ’jedinstvenim maksimumom’ ali takve preferencije nemaju baš nekisocijalni smisao, v. takoder diskusiju u French [?].

Aksiom koji zslužuje nešto više pažnje je A4 (binarna ovisnost). Ori-ginalni Arrowljev teorem pretpostavlja sljedeci aksiom

A4’: Nezavisnost o irelevantnim alternativama Pretpostavimo da su ne-ke od alternativa uklonjene iz skupa alternativaA. Tada, ako niti jedanclan grupe nije promijenio svoje preferencije medu preostalim alterna-tivama, tada grupna preferencija na novom skupu alternativa mora bitiista kao i stara.

Dokazaticemo, v. poglavlje 7.6, da je aksiom A4 posljedica aksioma neza-visnosti irelevantnih alternativa, a kako dokaz Arrowljevog teorema koris-ti ’nezavisnost irelevantnih alternativa’ preko binarne ovisnosti ondasmopretpostavili samo A4. Štoviše ti su aksiomi ekvivalentni.

Aksiom A4 je najkontroverznija pretpostavka u cijeloj teoriji odluciva-nja. Evo jednog primjera koji ne govori u prilog tog aksioma. Dva prijate-lja, Ivo i Mate, razmišljaju o tome da li da skuhajucaj ili kavu . Umjestoda jednostavno izraze svoje preferencije u vezi s problemom oni su si dalitruda i svaki od njih je rangirao sedam pica:

kava ≻1 pivo ≻1 mlijeko ≻1 limunada ≻1 cokolada ≻1 cola≻1 caj

caj ≻2 kava ≻2 pivo ≻2 mlijeko ≻2 limunada ≻2 cokolada≻2 cola

Iako su interesi u konfliktu jer je ’kava ≻1 caj ’ i ’ caj ≻2 kava ’ svatko’razuman’ce reci da bi grupni interes trebao biti


kava ≻G caj .

Za Matu jecaj prvi izbor, akava drugi. kava je prvi izbor za Ivu dokmu jecaj posljednji na listi. Ostala pica, njih pet, za Ivu imaju veci priori-tet odcaja i manji prioritet od kave što nudi zakljucak da snaga preferencije’kava ≻1 caj ’ i snaga preferencije ’caj ≻2 kava ’ nisu jednake. Tih petalternativa je stoga bilo ralevantno kod donošenja grupne preferencije.Ak-siom A4 ovdje nije poštovan.

Stvari nisu sasvim takve kako se na prvi pogledcini. Ako vec uvažava-mo snagu preferencije onda je moguca i situacija kao na slici 4 gdje su Ivoi Mate predložili svoje preferencije na nekoj skali (više je bolje). Sasvimjemoguce da sada grupna preferencija bude na stranicaja jer secini da Ivoima male razlike u preferencijama dok mate izuzetno preferiracaj i izgledane mari za ostalo. Ovdje se implicitno pretpostavlja da i Ivo i Mate mjeresvoje preferencije na istoj skali. Ovaj primjer inicira lavinu pitanja i svakood njih je suštinskog karaktera.

Kao prvo,cini se da aksiom A4 onemogucava bilo kakav pojam snagepreferencije u proceduru zakljucivanja. Drugo, izbor mjerne skale možepredstavljati ozbiljan problem. U stvarnosti svaki donosilac odluke za-mišlja svoju mjernu skalu i trebalo bi osmisliti neki test ili proceduru radiprovjere uskladenosti tih skala.

Cak i da sviclanovi grupe savršeno uskladeno koriste jednu te istuskalu postoji još jedna zbunjujuca situacija. Prisjetimo se, na trenutak,konstrukcije intervalne skale na temelju relacije slabe preferencije i relaci-je slabe preferencije na zamjenama, teorem??na str.??. U toj konstrukcijivažnu ulogu su imale hipoteticke alternative, mi smo ih nazivali igrama, skojima smo proširili skup alternativa jer je za interpolaciju funkcije vrijed-nosti izvan konacnog skupa nužno imati dovoljno mnogo elemenata. Ta jeideja jasna i razumljiva i navela je von Neumanna i Morgensterna na spo-menutu konstrukciju. Ako pretpostavimo aksiom binarne ovisnosti, ondate hipoteticke alternative ne bi smjele biti relevantne za grupnu odluku, pastoga ni snaga preferencije, kao posljedica dobivene mjerne skale, takoderne bi smjela biti relevantna. Naš primjer, naprotiv, kazuje sasvim suprot-no. U cemu je problem? Pa što, rekao bi netko sa strane, ako odbacimoaksiom A4. Što se tada mijenja? U hiperbolickoj geometriji postoje vi-še paralela sa zadanim pravcem kroz zadanu tocku pa se nitko oko togapreviše ne uzbuduje. Situacija je slicna ovoj samo je u pitanju EuklidovV aksiom a ne aksiom A4. Problem uopce nije mali kako možda izgledana prvi pogled. Razne ’škole odlucivanja’ sukobljuju se vec desetljecimaopovrgavajuci argumente jedni drugima.


Ivo

kava −

pivo −

mlijeko −

lumunada −

cokolada −

cola −

caj −

−

−

−

−

−

Mate

caj −

−

−

−

−

−

kava −

pivo −

mlijeko −

lumunada −

cokolada −

cola −

SLIKA 4. Preferencije s težinom

Cini se da je u pozadini tog sukoba nerazjašnjenost pojma ’hipoteticka’alternativa. Problem odluke je prisutan ako postoji problem izbora iz za-danog skupa alternativa. To su ’realne’ ili ’moguce’ alternative. U procesuodlucivanja realna je mogucnost da se promijene ciljevi ili ukljuce nove al-ternative u razmatranje ali još uvijek imamo posla s realnim alternativama,onemogu biti izabrane. Hipoteticke alternative su pomocnog karaktera ipojavljuju se u trenutku kad donosilac odluke vrši konstrukciju funkcijevrijednosti. One mu pomažu da profini svoje preferencije i relevantne suza konstrukciju funkcije vrijednosti. Ako želimo zadržati aksiom A4 ondaga treba zahtjevati samo sa realne alternative.

Dopustimo li mogucnost da svakiclan grupe konstruira svoju izmje-rivu funkciju vrijednosti tada se ponovno aktualizira pitanje egzistencijegrupne funkcije vrijednosti u duhu Arrowljevog teorema. Odgovor je pot-vrdan.

TEOREM7.4. Neka suv1, . . . , vn izmjerive funkcije vrijednosticlano-va grupeG = {1, . . . , n}. Neka jeV : Rn → R diferencijabilna funkcijasa strogo rastucim derivacijama. Tada relacija<G definirana s

a <G b ⇔ V (v1(a), . . . , vn(a)) ≥ V (v1(b), . . . , vn(b))

zadovoljava sljedeca svojstva:i) Slaba preferencija.<G je slaba preferencija.

ii) Netrivijalnost.<G je definirana za svaki skup alternativa.iii) Univerzalnost domene.<G je definirana za svakun-torku funk-

cija vrijednosti(v1, . . . , vn).


iv) Binarna ovisnost. Uredaj na paru (realnih) alternativa ne ovisi oostalim alternativama.

v) Stroga preferencija. Ako za svakogclana grupei vrijedi vi(a) >vi(b), tada jevG(a) ≻ vG(b).

vi) Ne diktatorstvu. Ne postojiclan grupei takav da vrijedivi(a) >vi(b) ⇒ vG(a) ≻ vG(b).

DOKAZ . i) Relacija<G je slaba preferencija jer je definirana prekouredaja na skupu vrijednosti funkcijeV (v1(·), . . . , vn(·)).ii) Ocito.iii) Ocito.iv) Ocito.v) Pošto su se sve parcijalne derivacije pozitivne, funkcijaV je rastuca usvakoj varijabli, pavi(a) > vi(b) za svaki indeksi ocito povlaci4

V (v1(a), . . . , vn(a)) > V (v1(b), . . . , vn(b)).

vi) Pretpostavimo da za par alternativaa, b clan 1 grupe daje prednostalternativia, npr.

v1(a) = v1(b) + δ1

gdje jeδ1 pozitivan. Mi cemo pokazati da, bez obzira na vrijednost odδ1,nije nužnoa <G b, što znaci da1 nije diktator. Isti argument nam možeposlužiti kao dokaz da niti jedanclan grupe nije diktator.

Po pretpostavci je∂V∂vk

> 0 za svakok. Pretpostavimo daclank grupepreferirab u odnosu naa,

vk(b) = vk(a) + δk

a svi ostali su indiferentni tj.vj(a) = vj(b) za svakij razlicit od1, k. Tadaje

V (v1(b), . . . , vn(b)) − V (v1(a), . . . , vn(a))

=∂V

∂v1(−δ1) +

∂V

∂vkδk + clanovi višeg reda

> 0,

zaδ1 dovoljno malo i

δk =

[

1 +∂V∂v1

∂V∂vk

]

· δ1,

što znaci da preferencija prvogclana može biti prevagnuta s preferencijomk-tog clana. ¤

4Primjetite da je za ovu tvrdnju dovoljno da je bar jedna parcijalna derivacija pozitiv-na, a ostale nenegativne.


Isti dokaz teorema prolazi i u slucaju da su samo dvije parcijalne de-rivacije strogo pozitivne, a ostale nenegativne. Interesantno je da je u tomslucaju moguca ’diktatorska koalicija’, v. [?, Problem 8.8.7].

Koliko je vrijedan gornji rezultat? Pretpostavke teorema su prilicnozahtjevne jer se traži da funkcijevi, i ∈ G budu izmjerive funkcije na (is-tom) skupu alternativa. Zbog jedinstvenosti izmjerive funkcije, do na pozi-tivnu afinu transformaciju, to znaci da mjerne jedinice skaleclanova grupemoraju biti usporedive. Drugim rijecima, smisleno je postaviti pitanje je liclan grupei ’jednako (više, manje) preferira’ alternativua u odnosu nabkao i clanj alternativuc u odnosu nad. Takva interpersonalna usporedbamora biti moguca i ako to nije moguce uciniti onda je slaba korist od te-orema. Do sada, uz mnoge pokušaje, to nije nikome pošlo za rukom. Viditakoder diskusiju u knjizi French [?, str. 298].

Važno je takoder uociti da teorem uspostavlja samo slabu grupnu pre-ferenciju i ne tvrdi da jeV (v1(·), . . . , vn(·)) izmjeriva funkcija vrijednostinego (samo) ordinalna funkcija vrijednosti.

Pogledajmo još samo samo kakve sve funkcijeV zadovoljavaju uvjetteorema. To može biti suma komponenata ili aritmeticka sredina. Istotako, ako suvi pozitivne funkcije, što se lako može postici dodavanjemkonstante, onda to može biti i geometrijska sredina (s težinama ili bez) ilineka druga sredina.

7.6. Još o socijalnim aksiomima.

LEMA 7.5. Aksiom binarne ovisnosti posljedica je aksioma nezavis-nosti o irelevantnim alternativama.

DOKAZ . Pretpostavimo da<i, i = 1, . . . , n; A i <′i, i = 1, . . . , n; A′

zadovoljavaju hipoteze aksioma A4. Zanemarimo li u skupuA sve alter-native osima, b i u skupuA′ sve alternative osima, b tada prema aksiomunezavisnosti o irelevantnim alternativama (dva puta primjenjeno) dobijemo

a <G b ⇔ a <′G b

b <G a ⇔ b <′G a

što dokazuje aksiom A4. ¤

Vrijedi i obrat:

LEMA 7.6. Aksiom nezavisnosti o irelevantnim alternativama poslje-dica je aksioma binarne ovisnosti.

DOKAZ . Pretpostavimo da vrijedi A4 i neka jeA′ nastao iz skupaAbrisanjem nekih alternativa. Tada primjenimoA4 na svaki par alternativaa, b iz A′. ¤


Sljedeca dva aksioma pokazuju se jednako interesantnima i važnimakao i aksiomi u pretpostavci Arrowog teorem. Pokazaticemo njihov odnosprema aksiomoma A1–A4.

Aksiom pozitivne asocijacije socijalne i individualne vrijednosti. Pretpostavimoda za profilπ = (<1, . . . ,<n) i grupnu odluku<G vrijedi a ≻G b zapar alternativaa, b ∈ A. Pretpostavimo daclanovi grupe promjenesvoje preferencije tako da:

i) preferencije koje ne ukljucujua ostaju nepromjenjene;ii) preferencije koje ukljucuju a mogu biti promijenjene u korista,

tj. c ≻i a može biti promijenjeno ua <i c, a a <i c može bitipromijenjeno ua ≻i c.

U tom slucaju za grupnu odluku na novom profilu vrijedi i daljea ≻G

b.

Aksiom gradanskog suvereniteta.Za svaki par alternativaa, b ∈ A pos-toji profil π takav da jea ≻G b.

LEMA 7.7. Aksiom pozitivne asocijacije socijalne i individualne vri-jednosti, aksiom gradanskog suvereniteta i aksiom binarne relevantnostipovlace aksiom stroge dominacije A4.

DOKAZ . Pretpostavimo da jea ≻i b, ∀i = 1, . . . , n. Prema aksiomugradanskog suvereniteta postoji profilπ = (<1, . . . ,<n) takav da jea ≻G

b. Sada promijenimo relacije<i na sljedeci nacin:

a ≻i b ne mijenjamo;a <i b promijenimo ua ≻i b;b <i a promijenimo ua ≻i b.

Prema aksiomu pozitivne asocijacije socijalne i individualne vrijednostigrupna odluka za novi profil i dalje drži da jea ≻G b. S druge strane, noviprofil i polazni profil se podudaraju na parua, b pa prema aksiomu binarnerelevantnosti grupna odluka za oba profila daje isti odnos za taj par, a tojea ≻G b. ¤

PRIMJER 7.8. Bordina metoda zadovoljava sve aksiome Arrowljevogteorema osim aksioma binarne ovisnosti A4.

Promatrajmo sljedeci grupni profil nad alternativamaA = {a, b, c, d}za grupu sudacaG = {s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7}.

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

1. a b c a b c a

2. b c d b c d b

3. c d a c d a c

4. d a b d a b d


Broj bodova za svaku alternativu, racunat po Bordinoj metodi, je

a 4 + 1 + 2 + 4 + 1 + 2 + 4 = 18

b 3 + 4 + 1 + 3 + 4 + 1 + 3 = 19

c 2 + 3 + 4 + 2 + 3 + 4 + 2 = 20

d 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 13,

što pokazuje da jec pobjednik. Eliminiramo li alternativud iz konkurencijei ponovno provedemo racun dobijemoa kao pobjednika,

a 3 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 = 15

b 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 = 14

c 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 1 = 13,

što pokazujemo da grupni poredak izmedua i c ovisi o ostalim alternativa-ma, pa nije zadovoljen aksiom nezavisnosti o irelevantnim alternativama.Zbog ekvivalencije tog aksioma i aksioma A4 nije zadovoljen niti aksiomA4 što se i željelo pokazati5.

Ostavljamocitaocu za vježbu da sâm dokaže da Bordina metoda zado-voljava ostale aksiome.

5Konstruirajte primjer koji direktno pokazuje da aksiom binarne ovisnosti nijezadovoljen.

POGLAVLJE 2

Logika i psihologija odlucivanja

1. Može li se mišljenje modelirati?

Ne razumijemo kako um radi — niti približ-no onako dobro kao što razumijemo kako ra-di tijelo, a zasigurno ne dovoljno dobro da bistvorili utopiju ili izlije cili nesrecu.

S. Pinker, psiholog

U ovom poglavlju daticemo kratki prikaz onog dijela psihologije kojiopisuje nacine donošenja odluka, tj. descriptivnim aspektom odlucivanja.Postoji i drugi aspekt, tzv. normativni aspekt u kojem se proucavaju pra-vila kako bi ljudi trebali donositi odluke. Devijacije izmedu toga kako seljudi ponašaju i kako bi se, u ovom kontekstu, trebali ponašati zaokupljajupsihologe posljednjih pedeset godina, posebno nakon radova von Neuman-na i Morgensterna sredinom prošlog stoljeca [39]. Napomenimo samo daje Daniel Kahneman god. 2002 dobio Nobelovu nagradu iz ekonomije zaistraživanja vezana uz odlucivanje, posebno na zasnivanju i razvoju tzv.Prospect theory[21]. Ta teorija objašnjava razloge devijacija izmedu nor-mativnog i deskriptivnog ponašanja ljudi u sferi odlucivanja. Moderne me-tode u marketingu i socijalnoj psihologiji bazirane su i ujedno služe kaoeksperimentalno polje za tu teoriju.

1.1. Ciljno mišljenje.

Inteligencija je mogucnost postizanja ciljevausprkos zaprekama uz pomoc odluka doneše-nih na temelju racionalnih (istini–podložnih)nacela.

S. Pinker (psiholog)

49

50 2. LOGIKA I PSIHOLOGIJA ODLUCIVANJA

Da bi bolje razumjeli tehnike donošenja odluke, kao što je hijerarhijskimodel na primjer, nije na odmet raspraviti o tome što je to mišljenje kaojedna od funkcija mozga i što podrazumijevamo pod mišljenjem s ciljemili ciljnim mišljenjem.

Mišljenje je prema Petzu [28] nejednoznacan termin, koji pokriva raz-li cite pojave. U širem smislu, ukljucuje svaki kognitivni proces obradeideja, predodžbi, slika, simbola i pojmova. Stoga u okvir mišljenja ulazerazliciti procesi od asociranja, sjecanja i maštanja, preko stjecanja pojmo-va, do logickog rezoniranja (rasudivanja) i stvaralackog mišljenja.

Dva su obilježja zajednicka svim ovim varijetetima mišljenja. Prvo,misaoni procesi u prikriveni, implicitni procesi koji se ne mogu neposred-no opažati. O njihovu postojanju zakljucujemo na temelju introspektivnogiskaza opažanika ili na temelju nekog ponašanja koje upucuje na implicit-no mišljenje (npr. na temelju toga što je neki složeni problem uspješnoriješen). Drugo, misaoni procesi su simbolicni procesi; obilježava ih upo-treba simbola koji predstavljaju objekte i dogadaje. Kada promatramo nekiobjekt mi nemoramo ništa misliti; ali ako želimo opisati naše promatranje,u trenutku kad se ono ne odvija, mi moramo prijeci na simbolicki plan,koji je svojstven misaonim procesima. Na taj nacin u našem su mišljenjuprisutni zapamceni i zamišljeni sadržaji, a ne samo aktuelno perciprani;sadržaj mišljenja nadilazi neposrednu razinu percipirane datosti.

Kada simbol odražava opca i bitna obilježja neke klase sadržaja zajed-nickih svojstava nazivamo ga pojmom. Pojam je produkt misaonih procesa,ali on je i pretpostavka mišljenju; bez pojmova ne bi bilo moguce apstrak-tno mišljenje. Pojmovi se u mišljenju prožimaju s predodžbenim slikamai rijecima, koje su oblik postojanja pojmova. Mišljenje je zato usko pove-zano i s govorom; osim što je sredstvo komunikacije, govor predstavlja isustav simbola i pravila, koji olakšavaju mišljenje.

Mišljenje predstavlja najsloženiji vidcovjekove psihicke aktivnosti,vid po kojem secovjek i ponajviše razlikuje od ostalih živih bica. Nje-govu fiziološku osnovu tvore složeni procesi u živcanom sustavu, osobitou sivoj kori velikog mozga. Kao složena psihicka aktivnost odražavanjaopcih i bitnih svojstava pojava, mišljenje je oblik posrednog spoznavanjastvarnosti. Mišljenje se razvilo krozcovjekovo prakticno djelovanje i do-prinosi njegovoj uspješnijoj prilagodbi u svijetu.

U fazi izgradnje matematickog modela nekog procesa ljudi uocavajuobjekte, i njima pridružene varijable, koji sudjeluju u tom procesu i uoca-vaju odnose medu tim varijablama. Sama potreba za modelom vec nosiu sebi i neku predstavu o tome kakvi bi odnosi medu varijablama trebalibiti. Detalji i opravdanje dodatnih heuristka (pretpostavki) nužnih za funk-cionalnost modela zahtjevaju eksperimentalnu provjeru i potvrdu. Ono što

1. MOžE LI SE MIŁLJENJE MODELIRATI? 51

je pri tome važno istaknuti je da funkcionalnost modela ne ovisi o kvali-tativnim svojstvima objekatacije odnose želimo1 modelirati vec samo onjihovim medusobnim odnosima (u modelu). U tom smislu je matematikaapstraktna znanost jer isti nodel može biti primjenjen na razne realne situ-acije. U tom smislu je matematika i besmislena jer ne daje odgovore napitanje ’zašto’ vec ’kako’.

U modeliranju procesa donošenja odluke, ako slijedimo gornju misao,potrebno je nabrojiti sve elemente, sudionike odlucivanja. Mi cemo ih na-zivati imenima iz svakidašnjeg života i stoga implicitno sugeriramo i nji-hove odnose jer svaki takav pojam unosi u model i neko naše iskustvo.Štose mentalnih procesa tice iskustva su individualna, a model koji gradimo jetranspersonalan i u tom smislu je civilizacijsko dostignuce. Kad govorimoo odnosu medu varijablama u modelu, ne znaci da ti odnosi moraju nužnobiti izraženi formulama. Formula je samo jedan tip matematickog objekta,drugi su relacije, skupovi, funktori, strukture. . .

Model mišljenja koji ovdje izgradujemo nazivaticemo, prema Baro-nu [3], search-inference okvir. Mišljenje zapocinje kad smo u nedoumicikako djelovati, u što vjerovati ili žto željeti. U tim situacijama cilj razmiš-ljanja je oslobadanje tih nedumica, tih sumnji. Odluka koje prethodi nekojakciji je posljedica razmišljanja, izbor osobnih ciljeva i formiranje uvjere-nja takoder. Elementi odlucivanja su:ciljevi, mogucnosti(za postizanje tihciljeva) teuvjerenja

Mogucnosti: ili alternative predstavljaju razne puteve (nacine) pos-tizanja ciljeva. Pretpostavljamo, jednostavnosti radi, da se te mo-gucnosti medusobno iskljucuju2.

Cilj: služi za procjenu mogucnosti, pa ih možemo shvacati i kaostandarde za procjenu. Drugi naziv za cilj je kriterij, svrha iliobilježje koje je zajednicko za dvije ili više alternativa.

Razlikujemo ciljeve za razmišljanje i osobne ciljeve koji suusvojeni vec u ranom djetinjstvu. Odreden dio osobnih ciljevaprisutan je u svakom razmišljanju dok je veci dio njih irelevantan,za konkretan proces razmišljanja.

Uvjerenje: ima dvojako znacenje. S jedne strane je to naznaka ukojoj mjeri neka mogucnost ispunjava zadani cilj. To možemoshvatiti i kao uvjerljovost postizanja cilja. Drugo znacenje ne

1Nije baš sasvim tako jer kvalitativna svojstva objekata jesu uzrok takvih odnosa, aliza model nisu više bitna. Bitna su za interpretaciju.

2Ostavimo po strani pitanje egzistencije takvih mogucnosti. Za pocetak želimoobjasniti osnovni princip kojegcemo kasnije poboljšavati i prilagodavati specijalnimsituacijama.


odnosi se samo na jednu mogucnost i ne treba ga miješati s teži-nom ili preferencijom koju pridjeljujemo mogucnosti. Uvjerenjeje prije svega sposobnost razlucivanja, uocavanja razlicitosti, me-du mogucnostima i ono je u službi ciljeva. Uocena razlika medumogucnostima ima to veci utjecaj na konacnu odluku koliko suvažniji nadredeni ciljevi.

Drugi naziv za uvjerenje je: stav, dokaz, dogma. Uvjerenjeje katkada obojeno emocijama što znaci da su emocije takoderjedan od elemenata u donošenju odluke.

REZIMIRAJMO:Razmišljanje s ciljem(goal–directed thinking) je spoznajni proces kojinam pomaže pri:

• donošenju odluke u zadovoljavanju osobnih ciljeva,• usvajanju uvjerenja koje su akcije efikasnije,• prihvacanju ciljeva uskladenim s našim višim ciljevima, ukljucu-

juci i zadovoljstvo vlastitim životom.

Ono se može opisati kao zakljucivanje temeljeno na: alternativama, uvje-renjima i ciljevima. Odnos elemenata u odlucivanju možemo prikazati ski-com. Uvjerenje (U) utjece na težinu mogucnosti (M) ali u službi ciljeva

wM ← M

wM ← M

U

U

U

C C

SLIKA 1. Uzorak ciljnog mišljenja.

(C). Pri tome neki ciljevi mogu promijeniti poredak važnosti alternativa(manje je bolje). Opisani proces nazivamo još i mišljenjem o mogucnos-tima. Kraj takvog razmišljanja je odluka koja prethodi ostvarivanju jedneod mogucnosti — akciji. Opisana struktura misaonog procesa je uzorakkoji može biti prepoznat i u složenijem misaonom procesu kao na primjeru kasnije opisanoj situaciji u kojoj i ciljevi postaju predmet mišljenja, v.poglavlje 1.1.1.


Ciljevi, alternative i uvjerenja u procesu odlucivanja nisu stalni. Akouvjerenje u razlicitost dviju mogucnosti nije dovoljno snažno potražitice-mo novo obilježje zajednicko tim alternativama i pokrenuti novi misaonipostupak za vrednovanje, sada novih, ciljeva s ciljem postizanja uocljivijerazlike medu alternativama. U tom sekundarnom misaonom procesu noviciljevi postaju mogucnosti za evaluaciju u odnosu na više ciljeve. Pri tomese preispituju i uvjerenja i novi ciljevi s tim da se ne iskljucuje mogucnostponovnog ukljucivanja nekih starih mogucnosti koje smo ranije izbacili izrazmatranja kao nebitne ili smo ih identificirali s nekom od postojecih.

U potrazi za sekundarnim ciljevima kao u gornjoj situaciji, isto kao iu procesu razlikovanja alternativa, miprosudujemo. Nismo puno pogrije-šili ako prosudivanje shvatimo kao tehniku ili primjenu odredenog skupapravilacije (ne)korektnosti možemo i ne moramo biti svjesni3. Pravila ko-jima se rukovodimo u prosudivanju su dio našeg bica bilo da su urodena ilinaucena. Otkrivanje tih pravila je takoder jedan od zadataka teorije odlu-civanja, v. poglavlje 2.3.3.

Evo jednog prakticnog primjera u kojem se traži stan. Mogucnostisu stanovi na raspolaganju. Oni mogu biti prisutni u našoj svijesti i prijenego li razmišljanje pocne, a mogu biti dodani i tokom same potrage zaodlukom, npr. iz oglasa u novinama. Ciljevi su razni aspekti po kojima sestanovi razlikuju i služe za vrednovanje stanova: cijena najma, udaljenostod škole ili radnog mjesta, sigurnost kvarta, kvaliteta izrade. Najviši cilj jeimati krov nad glavom4. Na temelju uvjerenja i stavova vršimo prosudbei dajemo prednosti nekim stanovima. Uvjerenja mogu biti u formi jednos-tavnih izjava kao: "Najam je 500 kn", a može biti i gomila argumenata,izmišljenih scenarija ili primjera. Snaga uvjerenja ne daje automatski teži-nu odredenom stanu vec radije povecava diferenciranost izmedu stanova.Prednost nekom stanu kontrolira donosilac odluke ovisno o važnosti ciljevakojima služe pojedina uvjerenja.

1.1.1. Potraga za uvjerenjima.Ciljevi kao predmet mišljenja su sva-kodnevna pojava i ovdjecemo spomenuti neke od tih situacija. Osnovniuzorak mišljenja s ciljem, shematski prikazan slikom 1, str. 52 je i ovdjeprisutan.

1.1.2. Medicinska dijagnoza.U postavljanju dijagnoze neke bolesticilj je otkriti od cega pacijent boluje. Simptomi su prisutni i traže se uzroci.Alternative su sada uzroci bolesti, a znakovi bolesti su kriteriji po kojimarazlikujemo uzroke. Ovdje treba biti oprezan, i ne miješati uzroke bolesti

3Cesta je uzrecica, ako ne razumijemo neciju odluku: "Preispitaj malo svoju logiku"4Znacenje tog cilja je individualno. Za nekoga je to šator ili kamp prikolica. Ovisno

o tome skup alternativa može sadržavati razlicite elemente. U izboru alternativa koristimose i metodom eliminacije.


s bolestima odnosno njihovim posljedicama. Alternative nisu bolesti negouzroci bolesti. Kao rezultat odluke dobiticemo, u najboljem slucaju, nekidominantni skup uzroka koje možemo ili ne prepoznati kao uzroke nekebolesti.

Ovdje je potraga za dokazima samo djelomicno pod kontrolom lijec-nika jer ne može pacijenta pitati: "Dajte mi bar neke dokaze da se radi ociru na želucu". Pacijent nije svjestan ni što su pravi znakovi bolesti, onseeventualno može žaliti na neki sekundarni znak, a kamoli da još povezujeuzroke i posljedice u tako složenom problemu.

Dijagnoza kvarova tehnickih uredaja je istog tipa s tom razlikom što jebroj alternativa konacan.

1.1.3. Znanstvena istraživanja.Dobar dio naucnih metoda svodi se natestiranje hipoteza o prirodi nekog fenomena. Dokazi su ovdje promatranjai eksperimenti. Pasteur je na primjer zakljucio da su uzrocnici nekih bo-lesti bakterije nakon što je ustanovio da kuhanje kontaminiranih predmetasprecava širenje bolesti — eksperiment. Takoder ih je promatrao i krozmikroskop.

Za razliku od dijagnoze ovdje je situacija jednostavnija jer je potraga zadokazima manje-više pod kontrolom ali se ciljevi mijenjaju. Rješavanjemjednog problema može se naci odgovor na nešto sasvim drugo. U potraziza dokazima znanstvenik je u slicnoj poziciji kao i lijecnik, nema komupostaviti pitanje: "Daj mi rezultat koji podupire moju hipotezu".

Uzmimo kao primjer najnovija istraživanja iz evolucione biologije M.Profet [30] o mucnini u prvim mjesecima trudnoce. Smatra se da je to po-sljedica djelovanja hormona, ali zašto bi hormoni uzrokovali povracanje iaverziju na hranu radije nego npr. hiperaktivnost ili agresivnost. Frojdov-sko objašnjenje da je to je posljedica averzije prema muževima i nesvjesnaželja da žena oralno pobaci fetus je takoder nezadovoljavajuce.

Profet je pretpostavila da postoji neka korist od tako reduciranog uno-sa hrane u organizam. Funkcija povracanja je sprecavanje unošenja tok-sina koje organizam izbacuje prije nego udu u stomak i ucine kakvu štetufetusu. Na taj nacin organizam buduce majke štiti fetus od štetnog djelova-nja toksina. Odrastao organizam razvio je sistem onemogucavanja štetnogdjelovanja toksina dok fetus, organizam u vrlo delikatnom razvoju to nije.Pocetak trudnoce je vrlo osjetljiva razvojna faza ploda kad mu je potrebnastabilna okolina za razvoj.

Koja su sve opravdanja za tu hipotezu? Ne ulazimo u detalje jesu liniže navedena opravdanja prihvatljiva ili ne vec želimo istaknuti struktururazmišljanja u potrazi za argumentima. Uz tu hipotezu potrebna je bar jošjedna, a to mogu biti i sve dosadašnje poznate hipoteze. Znanstvene istine5

5Znanstvena istinitost neke tvrdnje je relativan pojam i vremenskicesto ogranicen.


koje govore u prilog hipotezi su sinteza stotinjak nezavisnih istraživanja.Navedimo neke od njih:

(1) Biljni toksini koje odrasli toleriraju mogu uzrokovati oštecenjeploda i pobacaj. Osim toga, jetra fetusa još nisu razvijena i uno-šenje toksina može narušiti djetetov hormonalni sustav;

(2) Mucnine pocinju u trenutku kad se organi embrija pocinju formi-rati i kad je embrio najranjiviji na teratogene (oštecenja uzrokova-na kemikalijama), u tom trenutku embrio ima umjerenu potrebuza hranom;

(3) Mucnine prestaju u trenutku kad su organi embrija vec formiranii kad pocinje rasti potreba za hranom;

(4) Trudnice selektivno izbjegavaju jako zacinjenu kao i novu hranu;(5) Ženin osjet mirisa se pojacava u tom periodu i vraca se opet na

normalu nakon što smetnje prestaju;(6) Žene s pojacanim simptomima u manjoj mjeri radaju defektnu

djecu.

Uvjerljivo opravdanje znanstvene hipoteze je strukturirano kao mišljenje sciljem. Za svaki dokaz koji govori u prilog jednoj od hipoteza potrebnoje vidjeti govori li on u prilog drugoj hipotezi i u kojoj mjeri. Za svakuhipotezu potrebno je naci argumente koji govore njoj u prilog kao i one kojije opovrgavaju. Ako hipoteze nemaju zajednicka opravdanja kao kriterijeonda moraju imati neki viši zajednicki smisao (sekundarni cilj). Ako setakvi ciljevi ne mogu naci onda je pitanje radi li se o hipotezama istihpojava.

1.1.4. Ucenje iz vlastitog ponašanja.U mnogim životnim situacijama— u socijalnim kontaktima, na poslu, u školi, u porodici — ucimo kakonaše ponašanje utjece na druge i nas same. Takvo ucenje u vecini situacijadešava se i bez razmišljanja. U pozadini našeg djelovanja je traženje situ-acije, nazovimo je eksperiment, koji ima za posljedicu preispitivanje našihuvjerenja. Mogucnosti su ovdje razne akcije koje možemo poduzeti. Ci-ljevi su dvojaki: ucenje o situaciji i postizanje trenutacnog zadovoljstva ilinagrade.

Primjer ucenja iz ponašanja, koje je od velike važnosti u odgoju i obra-zovanju, je ucenje o postupcima u samim misonim zadacima — na primjer,u potrebi uocavanja razloga zažto bismo mogli imati krivo prije nego štozakljucimo da imamo pravo.

Posljedice takvog ucenja iz ponašanja su uvjerenja što je najbolje zapostizanje raznih ciljeva u raznim situacijama. Ta uvjerenja dalje koristi-mo u pravljenju planova, scenarija i usvajanje osobnih ciljeva za kasnijeodluke. Na primjer, ludi koji koji uocavaju da su omiljeni u društvu kad


pricaju viceve, mogu usvojiti kao cilj razvijanje te osobine i traženje mo-gucnosti da je pokazuju.

1.1.5. Hijerarhijska struktura.U ciljnom razmišljanju ljudski um tra-ži uvjerenje (dokaz) potpomognuto kriterijima da odredi koja je mogucnostnajuvjerljivija. Hijerarhijska struktura ovakvog razmišljanja predstvaljenaje slikom 2, s mogucnostima ili alternativama na dnu hijerarhije. Glavnicilj je na vrhu hijerarjije, zatim slijede podciljevi, kriteriji. . . svi elementi

Alternative

Podciljevi (Kriteriji)

Cilj

SLIKA 2. Hijerarhija ciljnog razmišljanja.

odlucivanja grupiraju se u nivoe koji su linearno uredeni. Hijerarhija jestrukturno i funkcionalnostabilna; strukturno, jer omogucava dodavanjei oduzimanje pojedinih elemenata a da se ne naruši cijela organizacija, afunkcionalno jer omogucava protok iformacija odozgo prema dolje. U pra-vilu se konkretniji elementi odlucivanja nalaze pri dnu hijerarhije, dok seopcenitiji i neodredeniji nalaze pri vrhu. Širina utjecaja jednog nivoa jesamo do njenog susjeda, tj. nivoa ispod. Elementi iz istog nivoa nemajuutjecaja jedni na druge.

Procedura rangiranja zapocinje od cilja kao kriterija s rangom 1. Zasvaki element vec rangiranog nivoa, kao kriterij, rangiraju se elementi ni-žeg nivoa sve dok i posljednji nivo ne bude rangiran. Pododlukomna skupuodn alternativa podrazumijevamo nenegativnu funkcijuw, nazivamo je joši rangiranje, sa svojstvom

∑ni=1 wi = 1.

Hijerarhijsku struktura kao model koriste mnoge metode odlucivanja,a najviše je korištena u Saatijevoj AHP metodi (Analytic Hierrarchy Pro-ces), [32]. AHP metoda (sa svojim varijantama) jedna je od najkorištenijihmetoda odlucivanja. Glavni je razlog njena fleksibilnost i prilagodenostvelikoj vecini korisnika putem vrlo dobro napisanog softveraExpert Cho-ice. Mana metode jest ta da korisnik mora usporediti sve alternative što jevremenski i mentalno zahtjevno za korisnika. U posljednje vrijeme rastebroj clanaka koji osporavaju njenu afikasnost ali to ne obeshrabruje njezinekorisnike.

1.2. Priroda racionalnosti.


Ako kršenje zakona formalne logike vodi vjec-nom zadovoljstvu, ondacemo to kršenje sma-trati racionalnim (uz pretpostavku da svi teži-mo vjecnom zadovoljstvu).

Jonathan Baron, psiholog

Autor gore navedene izreke u svojoj knjiziThinking and Decidingpo-jam racionalno razmišljanjeoznacava bilo koju vrstu razmišljanja kojenajbolje pomaže ljudima u ispunjavanju njihovih ciljeva. S prakticnog sta-novišta to je beskorisna definicija jer ljudi ni sami nisu sigurni što je zanjih dobro a što nije, a ta se kvalifikacija odnosi i na njihove ciljeve. S for-malnog gledišta se pak postavlja pitanje kako usporediti ’efikasnost’ dvijumetoda, odnosni koja od njih ’bolje pomaže’ u ostvarenju ciljeva. Teško dase gornja izreka može shvatiti kao definicija racionalnosti iz jednostavnograzloga što obuhvaca preširoko podrucje ljudske aktivnosti. Možda je boljena nju gledati kao na uputu u kom smjeru treba gledati kod formalizacijeljudskog mišljenja.

Nije nerazumljivo što su ljudi, u težnji da proniknu u strukturu misli,prvo proucavali one ljudske aktivnosti koje su vec same po sebi strukturi-rane, kao što je govor, pisani tekst, odlucivanje u sportu ili ekonomiji. Tusu ciljevi jasni i iskristalizirani tokom dugog vremenskog perioda upraž-njavanja tih aktivnosti. Struktura govora i pisma podredene su što jasnijemprenošenju informacije. U tom smislu treba gledati i nove prodore u ma-tematickoj logici motivirane razvojem kompjutorske tehnologije. U sportui ekonomiji postoje jasna pravila što se smije ili što se želi. Govorna ipisana komunikacija medu ljudima su usko grlo u prenošenju informaci-ja i struktura jezika podredena je mediju koji služi za komunikaciju. Istose može reci i za komunikaciju medu strojevima. Misaone strukture ko-je omogucavaju takvu komunikaciju slobodno možemo zvatilinearnim ilisekvencijalnim.

Komunikacijacovjeka sa samim sobom je nešto posve drugo. Infor-macije i cuvstvacuvamo kao simbole i za procesiranje simbola u mozgunije ih potrebno pretvarati u rijeci ili neke druge artikulirane pojave. Do-nošenje vrlo složenih odluka može trajati nevjerojatno kratko i cilj teorijeodlucivanja je razumijevanje upravo tih procesa. Brzina širenja elektric-nih impulsa medu neuronima je vrlo mala i ne igra nikakvu ulogu u brzinidonošenja odluka. Ono što je ocito važno je struktura i organizacija togprocesa


Konstrukcijasearch–inference okviraukljucuje potragu za mogucnos-tima, uvjerenjima i ciljevima. Potraga i zakljucivanje moraju bitikorektniu smislu da nisu pod utjecajima drugih faktora osim ciljeva za razmišljane.Dobar donosilac odluke koristi najbolje metode zaljucivanja ocemuce bitigovora u sljedecem poglavlju. U okvir moraju biti ukljucene sve moguc-nosti; kakva je korist od odluke ako smo zanemarili neku od mogucnostibilo zbog površnosti ili iz neznanja da i ta mogucnost vodi ka ispunjenjunaših ciljeva. Isto je i s uvjerenjima. Nije dobro koristiti svoja uvjerenja nanacin da se favoriziraju mogucnosti koje su vec same po sebi jake. Timestvaramo predrasude i onemogucavamo druge aspekte koji možda ne go-vore u prilog favoriziranih mogucnosti. Drugim rijecima jako je važno bitiotvoren i spreman promijeniti svoju misaonu strukturu ako se to pokažepotrebnim.

Racionalnost se odnosi na metode koje koristimo u mišljenju a ne nazakljucke do kojih dolazimo. Racionalnost nije isto što i preciznost, a ira-cionalnost nije isto što i greška. Mi možemo koristit izvanredne metode idoci do katastrofalnih zakljucaka ili koristiti slabe metode i, uz srecu, docido ispravnih zakljucaka. Isto tako može se govoriti i o racionalnosti soci-jalnih institucija i citavih zajednica. Kriterij je, kao i kod pojedinaca, da lione donose kolektivne odluke koji zadovoljavaju ciljeve njihovihclanova.

Kao što je vec ranije receno racionalnost ne iskljucuje emocije. Emoci-je su samo neka vrsta uvjerenja. Loš osjecaj o izboru može biti i argumentprotiv. To je ujedno i signal da treba nastaviti potragu za novim uvjere-njima. Racionalnost nije sebicnost. Moralni ciljevi, ukljucujuci i brigu zatude osjecaje, su ciljevi koje je pohvalno usvojiti kao naše vlastite.Cestje prigovor da racionalni ljudi nisu sretni. Sreca cesto ukljucuje samoza-varavanje. Ako pobliže ispitamo necija uvjerenja mogli bismo otkriti dadoticni i nije tako uspješan, kompetentan ili voljen kao što misli.

Istraživanja i naše vlastito iskustvo pokazuju da ljudi ne slijede u pot-punosti normativne principe. Da li to znaci da je greška u modelu ili za topostoje neki drugi razlozi? U sljedecem poglavlju analiziraticemo razlogetakvog ljudskog ponašanja na izabranim primjerima. Zaista postoje situ-acije u kojima ljudi ispadaju racionalni, iako secini da to nisu i obratno.Cilj teorije odlucivanja nije da kvalificira da li je nešto dobro ili loše vecda razumije otkrije zbogcega ljudi smatraju da jeA bolje odB i kakve suposljedice tog izbora.


2. Škola dobrog mišljenja

Nije pitanje misle li strojevi, pitanje jecine lito ljudi.

B. F. Skinner (bihejviorist)

2.1. Formalna logika. Mnogi autori uzimaju formalnu logiku kaonormativni model mišljenja. U svakodnevnom rijecniku sinonimi za ’lo-gicno’ su ’racionalno’ ili ’razumno’. Obrazovanje je prihvatilo logiku kaoosnovu za izgradnju znanstvene misli. Pojmovi kao što su premisa, kon-tradikcija ili implikacija vec su dio svakodnevnog rjecnika.

U normativnom modelu mišljenja logika ima centralno mjesto. Ovdjenam nije cilj razvijati logicko mišljenje vec ukazati potrebu za njim. Os-novni i najvažniji pojam u logici sudova je pojam ’istinitosti’. Svi smo usrednjoj školiculi za semanticke tablice, neki su ih uzeli kao nešto prirodnoi prihvatljivo, a neki u njih sumnjaju još i dan danas jer su ih naucili na-pamet. One nam omogucavaju, zajedno s pravilima izvoda da provjerimovrijednost istinitosti suda (logicke formule), v. Vukovic [41].

Sud intuitivno shvacamo kao izjavu koja može biti istinita ili lažna(ne oboje) i jedan od zadataka formalne logike je proucavanje operacija nasudovima i odredivanje nacina za provjeru njihove istinitosti. Prije negoli i formalno definiramo pojam istinitosti i interpretacije zadržimo se joštrenutak na intuitivnom nivou.

2.1.1. Valjanost forme zakljucivanja.Pravilo ili formu zakljucivanjaoznacavamo

P1, P2, . . . , Pn |= Q

gdje sudoveP1, P2, . . . , Pn nazivamopretpostavkamaili premisama, aQzakljuckomili konkluzijom. Gornji zapiscitamo:Q je logicna posljedicaod P1, P2, . . . , Pn. Forma zakljucivanja jevaljana ako je zakljucak istinitkad god su premise istinite.

Definicija valjanosti ne kaže da premise moraju biti istinite i da zaklju-cak mora biti istinit. Evo primjera:

Svi psi imaju šest nogu.Predsjednik je pas.|= Predsjednik ima šest nogu.

Psi, bar oni kakve mi znamo, nemaju šest nogu niti je Predsjednik pas.Valjanost forme i dalje je prisutna, jer ona zahtijeva da, ako se ’kojim slu-cajem desi’ da su premise istinite onda zakljucak mora biti istinit. Ono što


formu zakljucivanjacini valjanom je njezina forma, zato kod provjere va-ljanosti nekog zakljucivanja ne gledamo sadržaj nego formu. Formaliziranizapis gornjeg primjera je:

Svi P suQ.x je P .|= x je Q

i u tom zapisu stoje apstraktne varijable umjesto sudova.2.1.2. Modus ponens.Forma zvanamodus ponensje specijalna for-

ma6 zakljucivanja. U literarnom smislumodusje manifestacija ili forma,ponensznaci potvrdivanje. Modus ponens bismo mogli prevesti kao formapotvrdivanja i njen je oblik:

Ako P ondaQ, P |= Q

ili simbolicki pisano,

P → Q, P |= Q

Argumenata zašto je modus ponens prihvatljiva forma ima više nego ovaknjiga slova. U intuitivnom pristupu logici se ta forma zakljucivanja uzimakao valjana forma.

Interesantna je prica od Lewis Carroll [6] u kojoj kornjaca izaziva Ahi-la i prisiljava ga da snagom logike prihvati njene argumente7. Na kraju Ahilodustaje jer ga mudra kornjaca uvlaci u beskonacnu regresiju sve slabijih islabijih argumenata.

2.1.3. Logika sudova.Osnovne logicke operacije (bulovski veznici)sa sudovima su sljedece binarne operacije:

∧ konjunkcija (i)

∨ disjunkcija (ili)

→ implikacija (ako. . . onda)

↔ ekvivalencija (ako i samo ako)

i unarna opreacija

negacija (ne).

U logici sudova polazimo od nekih osnovnih sudova kojecemo zvatipropozicijske varijable. Uz pomoc bulovskih veznika i pomocnih oznaka,zareza i zagrade, gradimo složene sudove ililogicke formule. Pri tome je:

– svaka propozicijska varijablaP, Q je formula ili atomarna (ne-djeljiva) formula;

6Srodna forma joj jemodus tollensili negacijska forma.7http://www.wikipedia.org/wiki/Modus ponens


– Ako suP i Q formule tada su i(P ∧ Q), (P ∨ Q), (P → Q),(P ↔ Q) i ( P ) formule;

– nove formule se grade od ’starih’ uz upotrebu konacnog brojaveznika.

Ta pravila definirajusintaksu logike sudova i ona nam nacin na koji segrade sudovi.

Semantika8 se, u logickom kontekstu, bavi istinitošcu formula i na-vedena sintakticka pravila odreduju kao prvi korak semantike odredivanjevrijednosti istinitosti formula ’duljine jedan’, tj. formula nastalih iz pro-pozicijskih varijabli upotrebom jednog veznika. To se može kompaktnozapisati pomocusemanticke tablice

P Q P P ∧ Q P ∨ Q P → Q P ↔ Q

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

DEFINICIJA 2.1. Svaku funkcijuI : {P, Q, R, . . .} → {0, 1} defini-ranu na skupu propozicijskih varijabli s vrijednostima u dvoclanom skupu{0, 1} nazivamointerpretacijom.

Sljedeci korak je proširiti interpretacijuI na skup svih formula logi-ke sudova. To je moguce uciniti koristeci semanticku tablicu indukcijompo duljini formule, v. Vukovic [41]. Sada možemo i formalno definirativaljanost forme zakljucivanja.

DEFINICIJA 2.2. Forma zakljucivanjaP1, P2, . . . , Pn |= Q je valjanaako je I(Q) = 1 za svaku interpretacijuI za koju jeI(Pi) = 1, i =1, . . . , n.

Na kraju ovog odjeljka dokažimo da je modus ponens valjana for-ma zakljucivanja. Treba dokazati da je za svaku interpretacijuI za kojusu premise istinite i zakljucak istinit. Neka jeI interpretacija za koju jeI(P → Q) = 1 i I(P ) = 1. Iz definicije interpretacije logickog veznika→ u semantickoj tablici tada slijediI(Q) = 1 što se i htjelo dokazati.

8semanticos , grc. znacenje


2.2. Poteškoce u logickom rezoniranju.

Onaj razum koji krivoprosuduje o stvarima,ne zna dobro rasuditišto je pravo, što pogrešno,ni što treba uciniti,a što pak ne uciniti —takav razum naziva sestrasnimili rajasicnim9.

Bhagavad Gıta, XVII, 31

U tehnickom smislu formalna logika se ne odnosi na racionalnost op-cenito nego u zakljucivanju o istinitosti neke tvrdnje iz istinitosti drugihtvrdnji baziranoj na formi, a ne na sadržajima tvrdnji. Analiziraticemo ne-koliko primjera pogrešnog zakljucivanja u svakodnevnom životu i vidjetida su poteškoce uglavnom psihološke naravi.

2.2.1. Poteškoce s modus ponens.U primjeru koji slijedi dana je jednaforma zakljucivanja koje secesto zamjenjuje s modus ponens.

PRIMJER 2.3. Cak je strastveni biciklist i redovito na posao ide bicik-lom. Svakog dana, pri dolasku na posao, portir zabilježi vrijeme njegovogdolaska na posao kao i vrijeme odlaska. Tokom niza godina portir je usta-novio da kad pada kišaCak ne dolazi biciklom na posao i zakljucio da:

Ako pada kiša,Cak ne koristi bicikl.Jednog danaCak je došao autobusom i portir je zakljucio:

Danas jeCak došao autobusom.Znaci da pada kiša.

Kako je portireva kucica u unutrašnjosti velike hale koja služi kao parki-ralište on nije primjetio da je tog dana padao snijeg. Njegov je zakljucakocito bio kriv. Što je tu krivo? Formalizirajmo portirev zakljucak:

P → Q, Q |= P .UmjestoP i Q stoje njegovi sudovi.

Koji su razlozi lošeg zakljucivanja u primjeru? Jedan od njih je jevrlo vjerojatno dvosmislenost rijeci ako u svakodnevnom govoru. Njenouvjetno znacenje, kao u izjavi"akoP ondaQ", znaci da jeQ istinito ako jeP istinito i ne iskljucuje se mogucnost da jeQ istinito akoP nije istinito.Njenobiuvjetnoznacenje iskljucuje mogucnost da jeQ istinito kadP nije

9rajas , skt. aktivnost.


istinito. Matematicari u tom slucaju govore ’ako i samo ako’ dase istakne biuvjetno znacenje.

U svakodnevnom govoru iz konteksta se može naslutiti o kojem sesmislu termina’ako’ radi. Pretpostavimo da ja kažem: "Pocet cu vika-ti ako ne zašutiš." Vicete biti vrlo vjerojatno iznenadeni ako ja pocnemvrištati iako ste vi zašutili. U toj recenici ’ako’ nosi biuvjetno znacenje.Bez obzira na znacenje, uvjetno ili biuvjetno, u izjavi:"Ako P ondaQ i Pje istinito," možemouvijek zakljucitiQ.

Da ’portireva forma’ zakljucivanja nije valjana vidi se i iz sljedecegrazmatranja. U formalnom, kao i u intuitivnom pristupu sud(P → Q) jeistinit ako jeQ istinit. Pretpostavimo li da postoji bar jedan istinit sudQ ipretpostavimo li da je ’portireva forma’ valjana onda je svaki sudP istinit.Zaista,P → Q, Q |= P .

2.2.2. Poteškoce s logikom sudova.

PRIMJER 2.4. U svakodnevnom zakljucivanju cesto možemo susrestisljedecu konstrukciju:

Covjek može biti znanstvenik.Znanstvenik može biti astronaut.|= Marko može biti astronaut.

Dobar donosilac odluke, medutim, traži argumente za i argumente protivneke mogucnosti. Ako nade primjer kad pravilonije primjenjivoonda jenašaokontraprimjer. Pokušajmo li s vrijednostima zaP , Q i R:

P = muškarac,Q = znanstvenik/ca,R = žena,

dobivamo apsurdan zakljucak da muškarac može biti žena.

Stoga zakljucujemo da pravilo nije univerzalno primjenjivo, tj. nije va-ljana forma zakljucivanja. Evo još jednog kontraprimjera za model rezoni-ranja u primjeru 2.4.

A je desno odB.B je desno odC.|= A je desno odC.

Izgleda da je ovdje sve OK! A sad se zapitajmo što znaci ’biti desno od’.Što akoA, B, C sjede za okruglim stolom?

2.2.3. Poteškoce s kvantifikatorima.Osim u prethodna dva primjera,s logikom sudova ljudi izgleda da nemaju vecih poteškoca. Intuitivno za-kljucivanje kojim se služimo u svakodnevnom zakljucivanje izgleda da jetu dovoljno. Stvari nisu tako jednostavne kad se upletu kvantifikatori kaošto su:svaki, neki, postoji,. . ..


PRIMJER 2.5. Grupi studenata ponuden je sljedeci logicki zadatak: Usobi se nalaze arheolozi, biolozi i šahisti. Svi biolozi su šahisti. Niti jedanod arheologa nije biolog.

Vecina studenata je zakljucila da niti jedan arheolog nije šahista, štonije korektan zakljucak. Niti jedan student nije zakljucio da neki šahistinisu arheolozi, što je valjan zakljucak.

PRIMJER 2.6.

Niti jedanA nije B.Svi B-ovi suC-ovi.? — Zakljucak — ?

Mnogi ce zakljuciti: "Niti jedanA nije C", što je krivi zakljucak. Psi-hologiju zanimaju razlozi takvog (krivog) zakljucivanja.

Evo nekih objašnjenja za krivo zakljucivanje u gornjim primjerima:

– Ljudi cesto ’izokrenu’ jednu od premisa, v. Chapman (1959) [8].Ako premisa kaže:"Svi A-ovi su B-ovi" onda on automatskishvaca i "Svi B-ovi su A-ovi" , što je krivo jer"neki B-ovi nemoraju bitiA-ovi." Neka istraživanja govore u prilog toj hipote-zi. Ceraso i Provitera [7] (1971) su reducirali dobar dio krivihodgovora postavljanjem jasnog pitanja u kojem umjesto"Svi A-ovi suB-ovi" stoji: "Svi A-ovi suB-ovi, ali nekiB-ovi mogu nebiti A-ovi".

– Greške u zakljucivanju nisu logicke greške vec posljedica nera-zumijevanja i krive interpretacije, Henle [17] (1962). Ljudi raz-mišljaju o istinitosti premisa, a ne o formi zakljucivanja. Onizapravo odbijaju riješiti logicki zadatak jer njihov mentalni sklopne prihvaca sve mogucnosti kao input. Tipicni primjer tog feno-mena je dan u Scribner [33, str. 490] (1977) u kojem je farmeruiz plemena Kpelle (zap. Afrika) postavljeno sljedece pitanje:

Svi pripadnici Kpelle plemena uzgajaju rižu.G. Smith ne uzgaja rižu.Je li on pripadnik plemena Kpelle?

Odgovor:Ne poznajem nikakvog g. Smitha. Nisam ga nikad upoz-nao.

Pitanje:Ali razmislite o tvrdnji još jednom.

O:Kad bih ga poznavao, mogao bih odgovoriti na pitanje.Pošto ga ne poznam osobno ne mogu ništa o njemu reci.

P:


Ali poslušajte svoj vlastiti razum.O:

Ako poznajete osobu i ako dode pitanje o njoj tada mo-žete odgovoriti na pitanje. Ali ako osobu ne poznatetada je teško bilo što reci o njoj.

U ovom razgovoru ispitanik odbija prihvatiti premise kao osnovuza razmišljanje.

Scribner predlaže kao dobru vježbu za formalizirano mišlje-nje obicnu aritmetiku. Ako djetetu postavimo pitanje:"Janicaima tri olovke i dobije još dvije"odgovor na pitanje:"Kolikoolovaka sada ima Janica?"sigurno nece biti: "Oprostite, ali jaJanicu ne poznam."

2.2.4. Poteškoce s negacijom implikacije.Još jedna prepreka u korek-tnom zakljucivanju su predrasude i ljudska sklonost da uocavaju situacijekoje ih potvrduju, a ne opovrgavaju. Tipican primjer koji se prepricavau literaturi konstruirao je psiholog Peter Wason, [42], sa željom da ispitakako obicni ljudi negiraju hipoteze.

PRIMJER 2.7. Cetiri karte su položene na stol i svaka od njih ima najednoj strani broj, a na drugoj slovo.

D F 3 7

Koje je karte dovoljno okrenuti da bi ispitali istinitost tvrdnje:Ako kartaima slovo D na jednoj strani onda ima broj 3 na drugoj strani.

Korektan odgovor jeD i 7 . Vecina ispitanika izabrala je kartuD

ili karte D i 3 . Karta 3 je irelevantna, a7 je kljucna karta jer ako jeD na suprotnoj strani onda pravilo nije istinito. Tocne odgovore dalo je

izmedu 5 i 10 posto ispitanika. Iz njihovih odgovora se ne može zakljucitida su oni interpretirali "Ako D onda 3" kao "Ako D onda 3 i obratno" jerbi u tom slucaju okrenuli svecetiri karte.

U konkretniim životnim situacijama ljudi korektno zakljucuju u vecempostotku nego u ovom apstraktnom primjeru. Iskustvo ih uci da primjenju-ju usvojene modele u onim situacijama koje suceste u nihovom životu, au slicnim situacijama zakljucuju po analogiji. Na primjeru barmena kojine smije prodavati pivo osobama od 18 godina to se lijepo vidi. Pitanjeje kogace provjeravati: osobu koja pije pivo, osobu koja pije Coca Colu,dvadesetipetgodišnjaka ili petnaestgodišnjaka. Vecina korektno zakljucujeda treba provjeriti onoga koji pije pivo i petnaestgodišnjaka.


Ispitivanja su takoder pokazala, Leda Cosmides, [9], da ljudi korektnozakljucuju ako je implikacija u obliku ugovora. Kršenje ugovora je situ-acija ekvivalentna postojanju varalice u baru. U ovoj situaciji gotovo dai nema pogrešaka jer je otkrivanje kršitelja ugovora vezano uz financijskudobit i osobni interes.

Ljudi izgleda da imaju ugraden mentalni modul za otkrivanje varalica,zakljucuje S. Pinker, [29, str. 337]. Taj modul izgleda da ima "logiku" kojaje obojena osobnim ciljevima i interesima. Evo primjera kako taj modulradi. Promatrajmo sljedecu implikaciju: "Ako zaposlenik dobiva penzijuznaci da je radio deset godina. Tko krši pravilo?" S tocke gledišta zaposle-nika tražitcemo radnika s dvanaest godina staža bez penzije; s tocke gledi-šta poslodavca tražiticemo one koji su penziju dobili nakon osam godinastaža. Kad se formalna logika i logika otkrivanja varalice podudaraju ljudidjeluju poput logicara. Psiholozi evolucionisti isticu da je postojanje takvihmentalnih modula posljedica iskustva baziranih na osobnim ciljevima, a neposljedica genetskog nasljeda. To se posebno lijepo vidi u kreiranju men-talnog modela za matematiku koji isljucivo ovisi o obrazovnom sistemu inastavniku matematike. Mnogi isticu da su djeca u SAD lošije obrazovanaod djece u drugim industrijski razvijenim zemljama upravo zbog nebrigedruštva za obrazovanje. Ako nastavnik kreira okuženje u kojem je ucenikpotaknut na samostalno vježbanje, "drill" i na interaktivnu komunikaciju snastavnikom tadace moci razviti mentalne matematicke koncepte za kojeje, u historijskom smislu, potrebno i više tisuca godina.

2.3. Potraga za racionalnošcu. Formalna logika, bez obzira na nje-nu normativnu važnost u donošenju zakljucaka, gotovo da se i ne koristi usvakodnevnom životu. Jedan od razloga je taj što je za logicko zakljuci-vanje potreban trening ili bar neka vrsta formalnog obrazovanja, a drugi ješto su premise u svakodnevnom životu, na temelju kojih bi trebali donijetizakljucak, nejasno formulirane ilicak nepoznate. Osim toga, svojim osob-nim stavovima i emocijama,cak i ako su premise sasvim odredene i jasne,ljudi izbjegavaju logican zaljucak vodeni necim ’što je jace od njih samih’.Poteškoce su više psihickog nego formalnog karaktera.

2.3.1. Mentalni modeli.Formalna logika, po svojoj prirodi, nije pot-puna teorija mišljenja. Pošto se bavi samo zakljucivanjem nije u stanjuobjasniti uzroke grešaka u zakljucivanju i dati upute kako ih otkloniti. Raz-matranje logickih problema i analiza ljudskih postupaka pri njihovom rje-šavaju je dobar primjer koji govori u prilog strukturiranog mišljenja o ko-jem smo vec govorili, a to je ciljno mišljenje. Johnson–Laird i dr. ([18],[20], [19]) je svojim ispitanicima zadavao hipoteticke silogizme10, zapravo

10Hipoteticki silogizam je valjana formaP → Q, Q → R |= P → R.


samo premise, i promatrao kako ljudi donose zakljucak na temelju danihpremisa. Njegov je zakljucak da ljudi kreiraju mentalne modele (primjere)koji opravdavaju njihov zaljucak. Pažljivi mislilacce potražiti alternativnimentalni model, kontraprimjer11, u kojem njegov zakljucak nije istinit i akoga ne nade zakljucuje da je zakljucak korektan. Vrlo malo ispitanika poku-šava naci i treci alternativni model koji bi potvrdio ili opovrgnuo njegovuformu zakljucivanja.

PRIMJER 2.8. Evo jednostavnog primjera:

Svi umjetnici su društvenjaci.Svi društvenjaci su spavalice (jer kasno liježu).

Da bi donijeli zakljucak na temelju danih premisa mi zamišljamo nekuvrstu mentalnog modela. Zamišljamo nekoliko osobaU (umjetnika) i ne-koliko osobaD (društvenjaka) i ustanovimo na primjer da je

U = (D)

gdje zagrada znaci da neki od društvenjaka nisu umjetnici. Zatim zamiš-ljamo drugi mentalni model i zakljucimo da je

D = (S)

gdje (S) u zagradi znaci znaci da neki od spavalica iz našeg modela ni-je društvenjak. Pokušavamo li naci neki drugi mentalni model ustanoviticemo da ga ne možemo baš tako jednostavno naci i donijeti zakljucak:

Svi umjetnici su društvenjaciSvi društvenjaci su spavalice|= Svi umjetnici su spavalice

Istraživanje takoder pokazuje da ljudima predstavljaju poteškocu onisilogizmi u kojima je izokrenut redoslijed premisa. Tako na primjer ljudinece imati poteškoca donijeti bilo kakav zakljucak na temelju premisa:

Neki A je BSvi B suC

dok ce imati poteškoca s premisama:

Neki B je ASvi B suC

U sljedecem, malo težem primjeru,

Neki A suBNeki B suC

11Kontraprimjer nije ništa drugo nego konstrukcija ili model jedne interpretacije zakoju zakljucak, u formi zakljucivanja, nije istinit iako su premise istinite.


ispitanici su dali više primjera. Najcešci je onaj u kojem su zakljucivali dasu neki odA-ovaB-ovi i da suneki od tihB-ovaC-ovi što je greška. Onikoju su išli dalje u potrazi za modelima došli su do sljedeceg modela

(A) = B(B) = C

koji vodi na zakljucak da oniA-ovi koji su B-ovi ne moraju nužno bitiC-ovi pa je konacan zakljucak da se ništa suvislo ne može zaljuciti o veziizmeduA-ova iC-ova, što je korektan zakljucak.

Što pokazuju ovi primjeri? Kao prvo, izgleda da ljudi a priori prihva-caju više mogucnosti, bilo kao kandidata za rješenje problema ili kao putka konacnom rješenju, a zatim nalaze dodatne argumente ili za eliminacijuili za prihvacanje svake od mogucnosti.

U prilog mentalnih modela govori i istraživanje Galotti, Baron i Sabini[15]. Njihovi ispitanici su bili podvrgnuti rješavanju niza logickih pro-blema. U pocetku je vrijeme rješavanja bilo ograniceno, a nakon toga jeomoguceno svakom ispitaniku da ispravi svoj zakljucak ako smatra da nijekorektan. Dobri rješavaci su trošili u prosjeku dvostruko više vremena narješavanje od loših jer su provjeravali svoje zakljucke na više mentalnihmodela. Oni su takoder cešce korigirali svoje zakljucke koje su donijeliu prvoj fazi kad je vrijeme bilo ograniceno jer je za pronalaženje novihmentalnih modela ipak potrebno vrijeme.

2.3.2. Formalizacija svakodnevnog zaljucivanja.Jedan pokušaj for-malizacije zakljucivanja u svakodnevnom životu dao je Toulmin [36]. Os-novna struktura zakljucka, prikazana shematski na slici, imacetiri osnovnaelementa:podatak, tvrdnju, razlogi pozadinu.

PODATAK → TVRDNJA

RAZLOG

POZADINA

Na primjer, u recenici:

"Pietro je rodeni Sicilijanac. Sigurno ima crnu kosu,"

podatak(cinjenica) je da je Pietro roden na Siciliji. Zakljucakje da imacrnu kosu. Razlogovdje nije eksplicitno iskazan, a mogao bi biti: "SviSicilijanci imaju crnu kosu,"Pozadinaje opravdanje za takav razlog i uovom slucaju bi pozadina mogla biti: "Svi Sicilijanci koje sam vidio imalisu crnu kosu."


Primijetimo rijec ’sigurno’ koja prethodi zakljucku. Toulmin ju je na-zvaokvalifikator jer potencira, sugerira, prihvacanja zakljucka. Kvalifika-tor implicitno unosi i mogucnost ne prihvacanja zakljucka pod izvjesnimokolnostima. Te su okolnosti nepovoljne za zakljucak i ne govore njemuu prilog. Toulmin ih nazivarebuttal što bismo mogli prevesti kaoopovr-gavanje. U ovom slucaju to bi mogla biticinjenica da su Pietrovi roditeljistranci. Proširena forma gornjeg zakljucka je:

"Pietro je rodeni Sicilijanac. Kako Sicilijanci uglavnomimaju crnu kosu, što sam zakljucio iz vlastitog proma-tranja, to sigurno i Pietro ima crnu kosu, osim ako muroditelji kojim slucajem nisu stranci."

PODATAK → KVALIFIKATOR , TVRDNJA

RAZLOG REBUTTAL

POZADINA

Primijetite daopovrgavanjepocinje s rijeci ’osim’. Drugi moguci kvalifi-katori su: ’vjerojatno’, ’ocito’,. . .

Toulminov formalizam je specijalni oblik hijerarhijske strukture o ko-joj smo vec govorili. Podatakodgovarauvjerenju. Ako je mogucnostsugerirana uvjerenjem tada slobodno možemo identificiratitvrdnju i mo-gucnost. Ako kvalifikator nije potreban znaci da je uvjerenje dovoljno zaprihvacanje mogucnosti i razmišljanje tu prestaje. Ako je kvalifikator po-treban tada u razmatranje ulaze druge mogucnosti. Toulmin uvažava drugemogucnosti samo kroz rebuttal, dok hijerarhijska struktura mišljenja mo-gucnosti smatra (kvalitativno) ravnopravnima. U Toulminovoj strukturiciljnije istaknut. Uvedenjem novihrazlogaza istu tvrdnju znacilo bi uvode-nje novihciljeva, a time i novihmogucnosti. Ovisno o razlozimatvrdnje-mogucnostimogu imati vecu ili manju ’težinu’. Iako predstavlja poopcenjelogickih formi zakljucivanja Toulminov je pristup ogranicen u smislu da sebavi zakljucivanjem a ne potragom za mogucnostima.

Razlozi mogu biti specificni za odredena podrucja kao što su: zakono-davstvo i državne službe, znanost, ljudsko ponašanje opcenito ili održava-nje odedenih sistema, aparata i naprava. U tablici 2.1 dana je klasifikacija12

razloga prema Voss i dr. [40, Vol. 1, str. 213].

12Ovo je nešto preradena klasifikacija i nije identicna izvornoj.


Tip razloga Definicija tipa Primjer

Meta Zasnovan na metoda-ma rješavanja proble-ma

Rješavanje problema zahtijevaodredivanje uvjeta na parametre.Za funkcionalnu jednadžbu u ma-tematici to bi znacilo odredivanjepodrucja definicije i vrijednos-ti za transformacije kojima jepodvrgnuta varijabla.

Logicki Zasnovan na logic-kom razmišljanju icommon sense

Ako je pristup neefikasan trebalobi potražiti novi.

Zakonski Zasnovan na zakon-skim uredbama i sud-skoj praksi

Presuda bi mogla biti poništena navišestepenom sudu jer nije poštiva-na procedura u prikupljanju dokaz-nog materijala.

Psihološki Zasnovan na opcimprincipima ljudskogponašanja

Ljudi bolje i više rade ako su moti-virani.

Analogni Zasnovani na pozna-vanju funkcioniranjadrugog slicnog siste-ma

U Latinskoj Americi, seljaci nala-ze ekstra legalne nacine za dodatnuzaradu. To je vjerojatno istina i zaHrvatsku.

TABLICA 2.1. Klasifikacija razloga prema Vossu.

2.3.3. Mentalni modul za vjerojatnost.O mentalnom modulu za ma-tematiku i modulu za otkrivanje varalice bilo je ranije govora13. Uz ta dvamodula posebno je važan modul za vjerojatnost koji ima kljucnu ulogu udonošenju odluke što je i glavna tema ove knjige. Njimecemo se detaljnijepozabaviti.

Ljudi vole predvidati buduce dogadaje. Ako se neki dogadaj vec po-navljao u prošlosti tada u tom sljedu dogadanja oni pokušavaju pronacizakonitosti i na temelju njih predvidjeti buducnost. Vjerojatnost je priruc-na, intuitivno jasna icesto jedina moguca tehnika. Osnivaci teorije vjero-jatnosti, kao i osnivaci formalne logike, vjeruju da su samo formaliziralizdrav razum (eng. common sense).Cesto se dogada da taj zdrav razumgovori suprotno od onoga što ljudi odluce. Razlog tome leži u psihološkoj

13Vidi odjeljak 2.2.4 na str. 66


obojenosti odluke koja je više projekcije njihovih želja a može biti i pos-ljedica krive interpretacije pojma vjerojatnosti. Evo nekoliko primjera izsvakidašnjeg života koje su sakupili matematicar Amos Tverski i psihologDaniel Kahneman.

• (Porez na budale) Ljudi uplacuju loto i ostale igre na srecu uogromnim novcanim iznosima. Oni možda nisu svjesni da orga-nizator mora osigurati izvjesnu dobit i da igrac u prosjeku moraizgubiti.

• Strah od aviona je veci nego strah od automobila iako statistikagovori da je postotak poginulih/unesrecenih u cestovnom prome-tu daleko veci. Isto se tako boje i nuklearne energije iako je brojstradalih od ugljena daleko veci.

• (Kockareva zabluda) Mnogi su uvjereni da ako je kuglica na rule-tu šest puta za redom pala ne crveno polje da je sedmi putdužnapasti na crno iako kuglica nema memoriju.

• (Vjerojatnost bolesti) Sljedeci problem je zadan studentima i osob-lju Harvardske medicinske škole: "Test za ispitivanje bolesticijaje pojavnost 1/1000 ima lažno pozitivnu procjenu od 5% što zna-ci da u 5% slucajeva test sugerira bolest iako je osoba zdrava.Koja je vjerojatnost da osoba koja ima pozitivan test boluje od tebolesti? Najcešci odgovor je bio 0.95 iako je korektan odgovor0.0196. Pretpostavljamo da jeP (BT ) = P (B) tj. da nema lažnonegativnih nalaza na testu14.

Rješenje lako nademo pomocu Bayesove formule. Neka jeBdio bolesne populacije,Z dio zdrave populacije iP vjerojatnost.Zadano jeP (B) = 1/1000, P (T/Z) = 0.05, aP (B/T ) se traži.Tada je

P (B/T ) =P (BT )

P (BT ) + P (ZT )=

1

1 + P (ZT )P (BT )

= 0.0196.

Jedan od uzroka pogreške je taj što ljudi krivo interpretirajupojamlažno pozitivna procjenakao postotak pozitivnih rezultatana testu koji dolazi od zdrave populacije umjesto postotka zdravihljudi na kojima je test pozitivan. Najveci je problem što ljudiignoriraju vjerojatnostP (B) = 0.001 koja im kazuje da se radi

14Praksa pokazuje da to nije istina i da svaki test ima i lažno pozitivne i lažnonega-tivne nalaze. Medutim, lako se pokaže da u slucaju kad jeP (BT ) < P (B) onda je

1

1 + P (ZT )P (BT )

<1

1 + P (ZT )P (B)

što znaci da je vjerojatnost bolesti, u slucaju kad test ima lažno negativnih nalaza, manjaod izracunate.


o rijetkoj bolesti pa misle da je malo vjerojatnacak i za osobus pozitivnim testom. To je zabluda tipa: "Ako zebra ima prugeonda je životinja s prugama zebra." Ispitivanja su pokazala damnogi lijecnici plaše svoje pacijente ako imaju pozitivan test zarijetke bolesti.

• (Stereotip) "Sanja ima 31 godinu, neudata je, bistra i bez dlake najeziku. Završila je filozofiju na Sveucilištu u Zagrebu. Kao stu-dent bila je žestoki borac za pravdu i sudionik antiratnih demons-tracija. Kolika je vjerojatnost da je Sanja bibliotekarka? Kolikaje vjerojatnost da je Sanja bibliotekarka i borac za ženska prava?"Cešci su odgovori da je Sanja bibliotekarka i borac za ženska pra-va nego da je Sanja bibliotekarka, što nije moguce jer je vjerojat-nost presjeka dva skupa manja ili jednaka vjerojatnosti svakog odskupova kojicine presjek.

Socijalni psiholozi zakljucuju da ljudski um nije u stanju do-seci zakone vjerojatnosti, iako su univerzalni. Um može procesi-rati vrlo malo informacija i umjesto da "izracunava teoreme" onkoristi stecena pravila. Jedno od pravila je: "Onocega se sjecamje vjerojatnije da se desi." Sjecam se strašne avionske nesreceprije deset godina, stoga su letovi jako opasni. Drugo je pravilo:"Ako je nešto (netko) bliže stereotipu veca je vjerojatnost da spa-da u tu kategoriju." Sanja je po opisu bliža bibliotekarki borcu zaženska prava nego bibliotekarki.

Zablude koje navode Kahneman i Tversky su medu najprovokativni-jima u psihologiji. Gotovo nevjerojatno zvuci da nekoliko triliona sinapsiu mozgu nije u stanju isprocesirati jednu Bayesovu formulu. Kako biloda bilo, ljudsko razmišljanje nije tako glupo kako to izgleda u prethodnimprimjerima. Kockareva zabluda je zabluda samo u kockarnici i rijetko jezabluda u životu. Kockarska mašina je savršeno napravljen stroj koji gene-rira dogadaje neovisno o povijesti15 i od covjeka koji voli predvidati lakonapravi budalu. Zakljuciti da jecovjek u zabludi na temeljukockareve za-bludeje jednako krivo kao reci da su ljudske ruke loše napravljene jer nisuu stanju napraviti avion.

Vjerojatnost kao broj pridružen nekom dogadaju, koji ima smisla samokao procjena subjektivne pouzdanosti, je danas uvriježen nacin komunici-ranja: sutrace padati kiša s vjerojatnošcu 30%, Hajdukce u finalu kupapobijediti Dinamo s vjerojatnošcu 60%. Ljudski um je razvio osjecaj zavjerojatnost kao relativnu frekvenciju na dugu stazu, a ne kao broj kojipokazuje pouzdanost jednog jedinog dogadaja. Vjerojatnost, kao matema-ticka disciplina, je zapoceta u 17 st., a upotreba postotaka je došla kasnije,

15U vjerojatnosti se takvo nešto naziva generator slucajnih brojeva.


nakon francuske revolucije i uvodenja metrickog sistema i prvobitno sekoristila samo kao izraz za kamatne stope i visinu taksi. Sam pojamvje-rojatno naši su preci doživljavali iskustveno kao mjeru ocitovanja nekogdogadaja na temelju pojavljivanja istog u prošlosti. Poteškoca kod donoše-nja odluke je li pacijent bolestan kao i u problemu stereotipa (što je Sanja)leže takoder i u lošoj formulaciji zadatka koji ne odgovara intuitivnoj pre-dodžbi vjerojatnosti kao frekvenciji. Postoji samo jedna Sanja i ona jebibliotekarka ili nije bibliotekarka. "Vjerojatnost da je ona bibliotekarka"nije izracunljiva. Pogledajmo iste probleme ali drugacije formulirane. Je-dan od tisucu Evropljana ima specificnu bolest, pedeset od tisucu zdravihljudi ima pozitivan test. U uzorku od tisucu ljudi, koliko test-pozitivnihboluje od te bolesti? Stotinu ljudi odgovara Sanjinom opisu, koliko ih jebibliotekara, koliko ih je bibliotekara i feministica? Na ovako formuliranapitanja vecina ljudi—cak do 92%—daje ispravan odgovor.

U posljednje vrijeme ucestalost HIV-a, virusa AIDS-a, van rizicne sku-pine je 0.01%, a lažno pozitivnih testova je 0.01%. Uz takvu preciznosttesta, izgled pacijenta da ima AIDS (uz pozitivan test) je velik. Pogledaj-mo problem s druge strane. Od 10 000 ljudi van rizicne skupine ocekujemoda je jedan zaražen HIV-om. Od preostalih 9 999 ljudi još jedan ima pozi-tivan test. Dakle, imamo dva s pozitivnim testom. Ako ste vi jedan od njihonda je šansa 50-50 da imate AIDS. Ovako formulirane probleme bolje ra-zumiju i lijecnici i pacijenti kao i sudionici drugih tipova odlucivanja kaošto su sudske presude, na primjer.

Shvacanje vjerojatnosti kao relativne frekvencije, s druge strane, pos-taje besmisleno ako se radi o pojedinim slucajevima. Kakvog smisla imaracunati relativnu frekvenciju ako ne znamo odcega. Richad von Mises,pionir teorije vjerojatnosti dao je lijep primjer. U uzorku americkih ženaizmedu 35 i 50 godina, kod 4 od 100 njih razvije se rak dojke u periodu odgodine dana. Znaci li to da gda Smith, 49 godišnja lady ima 4% šanse daoboli od raka dojke u sljedecih godinu dana? Nema odgovora. Pretposta-vimo da u uzorku žena od 45 do 90 godina, u koji spada gda Smith, 11 od100 oboli od raka dojke unutar godine dana. Da li je šansa gde Smith daoboli od raka dojke sada 4% ili 11%? Pretpostavimo da je i njena majkaimala rak dojke, a 22 od 100 žena izmedu 45 i 90 godinacija je majkaimala rak dojke oboljeva od iste bolesti. Da li je njena šansa 4%, 11%ili 22%? Ona je i ovisnik o cigareti, ima dvoje djece, grckog je porijek-la. . . Ako postoje samo dvije žene na svijetu i jedna ima rak dojke može lise reci da gda Smith ima 50% šanse da oboli od raka dojke? U granicnomslucaju klasa koja u svemu opisuje gdu Smith je ona sama. U jednoclanomskupu relativna frekvencija gubi svaki smisao.


Ova filozofska rasprava o znacenju vjerojatnosti nije akademska i utje-ce na naše odluke. Godine 1995. odvjetnik branitelj na jednom sudskomprocesu za ubojstvo je izjavio da medu muževima koji tuku svoje supru-ge, samo 1/1000 ide tako daleko da je i ubije. U pismucasopisuNature,jedan je statisticar istaknuo da medu muževima koji tuku svoje suprugeiciju je suprugu netko ubio, više od 50% ih je ubojica. Primjer gde Smithnije matematicka tvrdnjakoja je lažna ili istinita i oni koji traže odgovornisu u zabludi. Odluke i predvidanja o pojedinacnim dogadajima ne možeizracunati racunalo. One moraju biti analizirane vaganjem dokaza, ispiti-vanjem uvjerljivosti argumenata, jasnijim sagledavanjem uz pomoc nekedruge formulacije i svim ostalim tehnikama koje mi smrtnici koristimo zapredikciju nepoznate buducnosti.

Psiholog Gigerenzer je predložio "psihološko poimanje" vjerojatnostikaostupanj uvjerljivosti, jamcevinu, predocene informacije. Takva defini-cija vjerojatnosti nalazi se i u nekim rjecnicima a koristi se i u sudnici.

3. Uloga emocija u odlucivanju

Iz uma, iskljucivo iz njega izvire zadovolj-stvo, sreca, smijeh i šala, jednako kao i našatuga, bol i jad.

Hippocrates

Emocije su zasigurno jedan od važnijih aspekata spoznaje koji je do-brim djelom bio ignoriran od strane "spoznajnih, kognitivnih znanosti" da-našnjeg vremena. O prirodi emocija u psihologiji se raspravlja vec cijelostoljece. Formalna debata pocinje pitanjem Williama Jamesa: Bježimo liod medvjeda jer smo uplašeni ili smo uplašeni jer trcimo? James sugerirada smo uplašeni jer trcimo i samo je upola u pravu.

Psihološka rasprava o emocijama se fokusirala na pitanje što uzrokujesubjektivna stanja naše svijesti koja zovemoosjecajiili emocionalna iskus-tva. Teorije emocionalnog iskustva uglavnom se razlikuju po tome kolikorazlicitih emocionalnih stanja postoji i grupiraju ih u nekoliko kategorijaovisno o tome kako ih interpretiraju:teorije povratne sprege, centralne,teorije pobudei spoznajne teorije. Iako vrlo razlicite u pristupima svakaod tih teorija pretpostavlja da je emocionalno iskustvo posljedica ranijegemocionalnog procesa. Feedback teorija i teorija pobude pretpostavljajuda mozak detektira emocionalno znacajne dogadaje i na poticaj proizvodiodgovarajuci odgovor koji zatim služi kao signal za odredivanje sadržajaemocionalnog iskustva. Centralne i teorije kognitivne (spoznajne) procjene

3. ULOGA EMOCIJA U ODLUCIVANJU 75

pretpostavljaju da je emocionalno iskustvo zasnovano na prethodnoj pro-cjeni situacija; te procjene tada odreduju sadržaj iskustva.

Iako razlicite, sve te teorije ukazuju na isti mehanizam — sistem pro-cjene koji odeduje je li neka situacija potencijalno štetna ili korisna za po-jedinca. Pošto su te procjene prethodnica svjesnog emocionalnog iskustvaznaci da to moraju nužno biti nesvjesni procesi. Ti procesi su zanemare-na polovica u Jamesovom razmatranju, tj. mi bježimo od medvjeda jer našmozak signalizira da bi medvjed mogao biti opasan.

Današnje teorije o emocijama uglavnom se slažu da one izgraduju mo-can sistem koji utjece na zapažanja, ucenje i racionalno donošenje odlukakojeg nazivamomotivacija. Motivacija i emocija služe kao filteri koji vodezapažanja i utjecu na procjenu važnosti zapažene informacije, Buck [5].Nestabilna stanja se javljaju u svakom sistemu za procesiranje informacijakad nema dovoljno sredstava (nacina) da se zadovolje sadašnji i viši ciljevi.To se može desiti ne samo na nivou ciljeva nego i na svim ostalim nivo-ima jer ciljevi utjecu na ponašanje sistema i izbor akcije. Sistem mora bitiu stanju prepoznati ta emociji slicna stanja (eng. emotion-like) ili ucinitineki kompromis u izvršavanju zadataka. Stoga je važno razumjeti utjecajemocija na donošenje odluka, kako za razumjevanje ljudskog ponašanjatako i za potporu zakljucivanja automata i njihove autonomije.

U cemu sa današnji znanstveni pogledi na emocije slažu? Što se filo-zofskog pristupa tice, teorije o emocijama trebale bi uvažiti u obzir sljedecekarakteristike emocija:

(1) emocije su uglavnom svjesnog karaktera;(2) one ukljucuju više iskrivljenih tjelesnih manifestacija nego bilo

koje drugo svjesno stanje;(3) podložne su promjenama u intenzitetu, tipu i širini objekata koje

ukljucuju . . .(4) bije ih glas da su emocije u suprotnosti s racionalnošcu;(5) igraju izuzetno važnu ulogu u odredivanju kvalitete života poje-

dinca;(6) znacajno doprinose definiranju naših ciljeva i prioriteta;(7) imaju kljucnu ulogu u regulaciji društvenog života;(8) imaju centralnu ulogu u odreživanju životnih i moralnih stavova.

Ovdje necemo opisivati neuralne osnove emocija,citaoca upucujemonaclanak Emotional Circuits, LeDoux i dr. [13] ako ga to zanima, vec ce-mo dati kratki pregled trenutacnih spoznaja o prirodi emocija i razmatratineke pokušaje koji su doveli do racunalne implementacije aspekata emoci-ja.

3.1. Emocionalni krug, LeDoux. LeDoux koristi pojam emocional-no procesiranje za nacin na koji nam naš mozak omogucava da preživimo,


ostanemo zdravi, nalazimo hranu ili partnera. Tvrdi da mora postojati krugizmedu ulaznog i izlaznog sistema koji prevodi informacije iz okoline uspecificne odgovore kad dode do odredene vrste pobude. Emocija možebiti definirana kao proces kojim naš mozak može odrediti ili izracunati vri-jednost pobude i predložiti da se nešto poduzme nakon toga.

Informacija prihvacena od našeg senzornog aparata dakle aktivira emo-cionalni krug koji vrednuje znacaj pobude i aktivira odgovor. Taj krug seaktivira samo na odgovarajucu ulaznu pobudu, a ta detekcija ulaznog sig-nala i reakcija kruga dešavaju se na podsvjesnom nivou, automatski. Po-kretanje emocionalnog odgovora odvija se na dva nacina: brzo, tj. direktnood talamusa do amygdale ili sporo, na nacin da je informacija procesiranaprvo u moždanoj kori i zatim proslijedena amygdali.

Aktiviranje emocionalnog kruga ima dvije posljedice. Jedna je auto-matski programiran odgovor, na primjer bijeg ispred medvjeda, a drugaje aktiviranje ciljno orijentiranog sistema zasnovanog na iskustvu ili do-nošenje trenutacne odluke. Na primjer, ako smo gladni možemo doci dohrane na razlicite nacine od kojih niti jedan nije nužna posljedica iskazanepotrebe za hranom.

Iako je LeDouxova teorija emocionalnog iskustva zasnovana na pro-ucavanju straha, može poslužiti i kao opca teorija koja je primjenjiva za svevrste emocionalnog iskustva: ljutnju, veselje, mržnju ili ljubav. U emoci-onalno nabijenim situacijama pojavljaju se još i druge pobude (zvuk, njuh,svjetlo) koje su takoder važne i odreduju kontekst emocije. Kontekst je


psihološki koncept, neka vrsta usputne memorije o raznim faktorima kojiodreduju emocionalnu situaciju.

3.2. Hipoteza o tjelesnim pokazateljima, Damasio.Jedna od poz-natijih hipoteza o prirodi emocija je hipoteza o tjelesnim pokazateljima(Somatic Marker Hypothesis) koja tvrdi da odluke donešene u situacijamakoje mogu biti potencijalno štetne ili pak povoljne, a slicne su prethod-nim iskustvima, uzrokuju tjelesnu reakciju koja obilježuje ishod. Kada seslicna situacija opet pojavi, tjelesni pokazateljce signalizirati opasnost ilipovoljnost. Stoga, ako je negativni tjelesni pokazatelj vezan uz odredenbuduci ishod on služi kao poziv na uzbunu i oprez kod poduzimanja tak-ve akcije. Ako je pak pozitivni tjelesni pokazatelj vezan uz taj ishod ondaje on poticaj i podupire takvu akciju. Glavni zagovornik tog pristupa jeA. Damasio [11] koji definira emocijukao poremecaj stanja skupa varija-bli ljudskog tijela, uzrokovan nekom situacijom ili mislima. Te varijableukljucuju, na primjer, krvni pritisak, aktivnost endokrinih žljezda, mišicneparametre. . . S druge strane,osjecaj, prema Damasiju, je asocijacija emo-cionalnog iskustva s mentalnom slikom situacije koja ju uzrokuje. Više otome pogledaj na str. 81.

3.3. Limbicki sistem. Limbicki sistem nije struktura vec nakupinanervnih puteva smješenih duboko unutar moždane polutke (po jedna u sva-koj, dakle dvije ukupno),ciji su glavni dijeloviamygdalai hippocampus.Gledajuci iz današnje znanstvene perspektive, od svih moždanih centaraamygdala je najuže povezana s emocijama, LeDoux [26]. To je najvažni-ja komponenta mrežne strukture koja obraduje emocionalne informacije.Osim povezanosti s moždanom korom, bijelom materijom i ’brainstem’dobro je povezan i sa autonomnim nervnim istemom kao i sa endokrinimžlijezdama. Osnovna mu je zadaca kontrola i izražavanje raspoloženja i


emocija, procesiranje i smještavanje kratke memorije te kontrola apetita iemocionalnih odgovora na hranu. Što se emocija tice, funkcija ove struktu-re je u pridjeljivanju važnosti emocionalnoj pobudi. Jednostavnije receno,svaka nova pobuda se obradi u amygdali koja objavljuje ostatku mozga radili se o necem ugodnom ili pak opasnom po organizam.

3.3.1. Kako amygdala zna što je dobro a što loše po organizam?Pre-programirani obrasci ponašanja su zapisani u neuralnoj mreži koja jeizgra-dena u vrijeme razvoja nervnog sistema i mogu se smatrati nasljednima, naprimjer obrambene reakcije, seksualni nagoni i dr. To su one emocije kojeje Damasio [10] nazvao primarnim emocijama. Sekundarne emocije svat-ko za sebe usvaja tokom života, to je njegovo iskustvo. Pobude koje suu principu neutralne poprimaju neki karakter, postaju emocionalno oboja-ne. To nastaje stoga jer povezujemo objekte i situacije s kojima dolazimou kontakt s primarnim emocijama. Rezultat toga je da svaka kombinacijapodražaja u nekom trenutku posjeduje odreden emocionalan naboj koje jemanje više svjestan.

3.3.2. Kako amygdala organizira odgovor na emocionalni podražaj?Struktura takvog odgovora je dobro proucena, narocito u slucaju straha.Izvor tih odgovora leži u centralnoj jezgri amygdale i može se podijeliti unajmanjecetiri tipa, Damasio [10], LeDoux [24]:

• odgovori koji utjecu na ponašanje• automatski odgovori• lucenje endokrinih žlijezda• opce promjene u nacinu procesiranja informacija u mozgu.

Razjasnimo to na primjeru. Zamislimo situaciju u kojoj smo suoceni sfizickom agresijom. Možemo izabrati izmedu bježanja i suocavanja s agre-sorom. Odgovori amygdale koji utjecu na ponašanje, to su oni najvidljiviji,su popraceni nizom fizioloških promjena koje dozvoljavaju organizmu dapojaca cirkulaciju krvi i mobilizira energiju potrebnu za bijeg ili borbu. Istotako, krvni pritisak i puls se povecavaju i pripremaju organizam za akciju.To su automatski odgovori jer ih regulira vegetativni nervni sistem. U istovrijeme pojacava se izlucivanje adrenalina u krv, jedne vrsta hormonalnesupstance, kao i mobilizacija metabolita potrebnih za proizvodnju energi-je. I na kraju, dešavaju se opce promjene u radu nervnog sistema u smisluoptimizacije nervnog sistema za slucaj opasnosti: izoštrava se percepci-ja, ubrzava se brzina procesiranja, . . . Neke od ovih rekcija su vidljive, aneke ostaju nezamjecene. Interesantno je da sve te promjene mogu ostatinezapažene od strane samog subjekta. U tom slucaju on/ona nije u stanjupovezati te reakcije sa situacijom koja ih je uzrokovala.

Lanac dogadanja pokrenut odgovorom amygdale na poticaj nije jošzaustavljen na nacin kako smo opisali. Promjene se dešavaju na tjelesnim


organima i zamijecene su od strane mozga putem nervnih vlakana koji noseinformacije iz periferije u centralni nervni sistem. Na primjer, ubrzano ku-canje srca, crvenilo ili bljedilo lica, znojenje, . . . to su organske promjene ione nisu nezamjetljive za mozak koji neprestano prima informacije o stanjucijelog organizma. Time se zatvara krug signala potaknutih emocionalnimvrednovanjem pobude i mozak otkriva što su posljedice emocionalne reak-cije koju je sam pokrenuo.

Mnogi smatraju da taj feedback nije toliko bitan ali da može biti odvažnosti samo u ekstremnim slucajevima; to medutim nije tako. Ovaj tokinformacija od periferije ka mozgu o stanju svih dijelova organizma je sta-lan i bez zastoja. Veci dio vremena mi ga ne zamjecujemo, odnosno nismoga svjesni, uzimamo ga zdravo za gotovo i doživljavamo ga kao pozadi-nu našeg mentalnog života. Damasio ga nazivatjelesni krajolik. Krajolikkoji je uvijek prisutan i u stalnoj promjeni. Arterije se kontrahiraju, žli-jezde izlucuju svoje izlucevine, otkucaji srca slabe ili se ubrzavaju, jednjakse grci, neki dijelovi tijela se pune krvlju dok drugi presušuju. Promjeneu tom tjelesnog krajoliku posljedice su emocionalnih podražaja, a mozakmožemo zamisliti kao stalnog promatraca koji ih prati i zapisuje. Ne samoda mozak registrira te promjene nego je doslovce preplavljen hormonskimizlucevinama ovisno o emocionalnim promjenama.

Opisali smo kako se formira emocionalno iskustvo, ne samo kao pro-cess vrednovanja pobude u centralnom nervnom sistemu, ne samo krozprimarne i tjelesne reakcije pomocu kojih nervni sistem odgovara na tovrednovanje nego i kroz nacin na koji mozak percipira te primarne i tje-lesne reakcije nakon što su se desile. Za one koji vole sistematizaciju,spomenuti procesi se mogu grupirati u tri razlicite kategorije LeDoux [25]:

• vrednovanje pobude• izražavanje emocije• iskustvo tjelesnih promjena.

To iskustvo tjelesnih promjena je ono što Damasio nazivaosjecanjai razli-kuje ga od ostalih dijelova emocionalnog iskustva. Govoreci Damasiovimrjecnikom, osjecanja su ništa drugo nego percepcija tjelesnog krajolika.

Vratimo se na trenutak na svjesnost vlastitih emocija. Pridruživanjevrijednosti odredenom poticaju može se odvijati bez naše svijesti o tome.Uglavnom jesmo svjesni svojih emocija, ali u mnogim slucajevima i ni-smo. Dešava secak da tjelesne reakcije na emocionalni sadržaj proteknubez svjesnog zapažanja. To ovisi ne samo o genetskim faktorima vec i osvijesti o vlastitom tijelu koju smo razvili u djetinjstvu i adolescenciji. Dje-ca smo civilizacije koja ne pridaje dovoljnu pažnju osluškivanju vlastitogtijela i mnogi pojedinci žive svjesni život odijeljen od tijela i tjelesnih is-kustava, a u ekstremnim slucajevima postoji istinska podijeljenost izmedu


pshickih iskustava i tjelesnih senzacija. Moguc je i sljedeci slijed dogada-nja: afektivni karakter pobude nije svjesno registriran ali je subjekt svjestantjelesnih reakcija, znojenja, probavnih smetnji. . . U tom slucaju tijelo samogovori da se nešto važno dogada bez poznavanja uzroka tim promjenamai upozorava nas da sami odredimo uzrok. Ako su te tjelesne reakcije jakeili pak dugotrajne mogu se pojaviti ozbiljni poremecaji u radu pojedinihorgana poznatim pod nazivom psihosomatske bolesti. Emocije koje nisusvjesne i ne nalaze pogodan izlaz na neki drugi nacin manifestiraju se utijelu i, što je paradoksalno, subjekt doživljava tjelesni poremecaj kao ne-što vanjsko, nešto što on/ona ne prepoznaje i uzrok je njegovih problema ipatnje.

3.4. Emocije i odlucivanje. Najprimitivniji organizmi ne moraju do-nositi neke kompleksne odluke zbog jednostavnosti njihovog repertoaraponašanja. To su uglavnom genetski programirani procesi. Što je organi-zam razvijeniji ovim urodenim mehanizmima ponašanja pridružuje se vecasposobnost spoznavanja okoline i mogucnost interakcije s tom okolinom.

Sposobnosti koje je razvio ljudski mozak (moždana kora) posebno suzanimljive. Ona sakuplja informacije o prošlim dogadajima na nacin daprošla iskustva ostavljaju trag u mozgu kojice utjecati, ne posve odrediti,buducu odluku. Ta ista moždana kora omogucava kreiranje modela bu-duce stvarnosti u obliku slika. Te se slike generiraju iz zapisa o prošlomiskustvu, znanju o svijetu i nacinu kako on funkcionira stecenom kroz is-kustvo. Tu sposobnost imaginacije nazivamomemorija buducnostijer jeuglavnom bazirana na memorijskim zapisima. Podrucje mozga koje pove-zuje te više funkcije za planiranje je prednji režanj, kojeg znanstvenici uposljednje vrijeme pocinju bolje razumijevati. Tijekom evolucijskog pro-cesa sve ove složenije sposobnosti za obradivanje informacije morale su seintegrirati u vec postojece osnovne funkcije koje su ostale nepromijenjene.Imajuci emocije u vidu, amygdala i ostatak limbicke strukture sacuvali suprvobitnu ulogu koju su imali i kod prvih sisavaca, a to je da pridruže po-dražaju emocionalnu važnost i da pokrenu odgovarajuce odgovore u skladus tom prosudbom. Ono što amygdala danas ima na raspolaganju, služeci sekompjutorskom metaforom, je veca baza podataka koju mora konzultirati usvom procesiranju. Bez obzira na iznijansiranost i kompleksnost moždanekore kod ljudi zadatak svih tih razmatranja amygdale je ostala ista: uvažitiili odbaciti.

Što se tice odlucivanja u svakodnevnom životu izgleda da kljucnu ulo-gu ima prednji režanj moždane kore. On sam ima trecinu ukupnog vo-lumena mozga što nije slucaj kod otalih životinjskih vrsta, kodcimpanze17%, a kod macke samo 3%. Mnogi testovi pokazuju da jecovjek sposo-ban jako dobro rješavati testove inteligencije ili zadatke umjetno kreirane


u laboratoriju, a da istovremeno ima velikih poteškoca u rješavanju život-nih problema.Cini se da teorijsko i apstraktno razmišljanje ili rješavanjeumjetno kreiranih zadataka ne garantira i dobru sposobnost socijalne adap-tacije i razumno donošenje odluka u osobnom životu. Ovdjecemo iznijetisamo neke od argumenata koji su naveli Damasia na zakljucak o važnostiprednjeg režnja u odlucivanju. To je prekrasno opisano u njegovoj knjiziDescartes’ Error[11].

3.4.1. Hipoteza o tjelesnim pokazateljima.Damasiovo objašnjenje na-cina donošenja odluka zasnovano je na hipotezi o tjelesnim pokazateljima(Somatic Marker Hypothesis). Na neurobiološkom nivou ti markeri proiz-laze iz suradnje izmedu prednjeg režnja i primitivne strukture amygdale iostalih limbickih podrucja vezanih s njom. Strogo racionalni procesi nisujedini odgovorni za vecinu odluka koje donosimo u svakodnevnom životujer nisu sposobni donijeti brzi i odgovarajuci odgovor na postavljen pro-blem. Cisto racionalno rješenje mnogih problema s kojima se susrecemozahtijeva enormno mnogo vremena za razmatranje svih mogucih situaci-ja i predlaganje rješenja kao i za racunanje svih troškova i prednosti kodusporedivanja hipotetickih situacija. Usporednocuvanje svih rezultata iz-racunavanja kojecinimo za vecinu naših odluka zahtijevalo bi memorijskikapacitet i vrijeme s kojima naprosto ne raspolažemo. To ipak ne znacida racionalni procesi nisu prisutni, oni su svesrdno potpomognuti drugimmehanizmima emocionalne prirode.

Što se dogada kad smo suoceni s izborom jedne izmedu mnoštva al-ternativa? Sjetimo se samo nedavnih odluka koje smo donijeli ili kojece-mo donositi u buducnosti. Sve te odluke mogu biti vrlo vrlo razlicite, naprimjer: izbor zaposlenja, izbor životnog partnera ili lijecnika, gdjecemoprovesti godišnji odmor ili na koji nacin doci do stana. Naravno da u sva-koj od gornjih odluka važnu ulogu imaju racionalni elementi, na primjerfinancijski troškovi, ali osnovni faktor u odluci predstavljaju emocije.

Na koji to nacin emocije utjecu na odluku? Hipoteza o tjelesnim poka-zateljima to objašnjava ovako: suocena s više mogucnosti izbora, prednjamoždana kora koristi svoju sposobnost vizualizacije raznih scenarija kaoposljedicu svake pojedine odluke. To su uglavnom slike ili fragmenti slikakoji sadrže ne samo opisne elemente situacije nego služe i kao skica za iza-zivanje emocionalnih reakcija koje bi ta situacija izazvala u nama, a ujednoukljucuju i (pred)iskustvo instinktivnih i tjelesnih reakcija vezanih uz emo-ciju. Upravo te fizicke promjene Damasio nazivatjelesni pokazatelji, jerza tu zamišljenu situaciju, kandidata za realnost realnost, one generirajuizgled tjelesnog krajolika kao dio moguceg emocionalnog iskustva. Pro-mjena tjelesnog krajolika može biti pozitivna, ugodna, ili negativna akoprobudi neprijatne senzacije. Posljedice takvog oznacavanja dozvoljavaju


mozgu da brzo i efikasno eliminiraju akcije koje ostaju, da tako kažemo,nisko rangirane na tom emocionalnom ispitu. Za one akcije koje su ozna-cene kao pozitivne otvorena je mogucnost za ponovno preispitivanje prijekonacnog izbora. Takva procedura odvija se brzinom koju nije mogucepostici strogo racionalnim proracunima. Treba naglasiti da se tjelesno oz-nacavanje mogucih izbora prezentiranih putem scenarija ne odvija uvijekna svjesnom nivou, no to ga ne sprecava da se postigne efekt potreban zadonošenje odluke.

Karakteristika opisanog mehanizma je da omogucava sasvim osobneprocjene prezentiranih scenarija. To nisu apstraktne simulacije dobrih i lo-ših strana moguceg rješenja, vec radije ’isprobavanje haljina’ ako smijemopovuci takvu paralelu, koristeci pri tome vrlo fine procjene i uvažavajucinašu vlastitu osobnost i iskustvo. Pacijenti s ozljedama prednjeg režnja ustanju su rješavati probleme koji zahtijevaju apstraktnu inteligenciju vrlodobro, ali nisu u stanju baratati sa situacijama koje zahtijevaju povezivanjes osobnom emocionalnom poviješcu i njeno stavljanje u kontekst. Upravokod osobnih odluka oni pokazuju svoju nesposobnost jer je komunikacijaizmedu prednjeg režnja i limbicke strukture prekinuta. Takvi pacijenti suprisiljeni koristiti obilje resursa koje zahtijevajucisto racionalni mehaniz-mi, a oni su neprikladni za rješavanje vecine teških problema u stvarnomživotu.

Više i detaljnije o tome može se naci u knjizi Damasio, Descartes’Error u kojoj je detaljno razvijen ovaj univerzalni model za ljudske emo-cije. Damasio je odbacio Dekartovski dualizam tijelo–um koji je oštetioznanstvene pokušaje da razumiju ljudsko ponašanje i razvio novu teorijuna vlastitim neuropsihološkim eksperimentima. Njegova je pretpostavkada je ljudsko znanje skup dostupnih predstava (slika) sacuvanih u mozgu.Misao shvaca kao proces koji ureduje i rukuje tim predstavama.

Jedna od tih predstava je naše vlastito tijelo, bazirana na podacima (in-formacijama) dobivenih od centralnog i perifernog nervnog sistema. Emo-ciju shvaca kao kombinaciju mentalnih vrijednostnih procesa, jednostavnihi složenih, s raspoloživim odgovorima na te procese, na primjer izraz lica.Emocije ne trebaju misaoni proces, one se automatski odvijaju. To su os-novni mehanizmi potrebni za održavanje života.

Damasio razlikuje emociju od osjecaja (eng. feeling). Osjecaj je men-talna predodžba (percepcija) stanja tijela. Osjecaj je prepoznavanje da senešto dešava, dok je emocija vizuelni efekt tog dogadaja. Emocije su tje-lesnog, a osjecaji su mentalnog karaktera. Emocije prethode osjecajima imogu se smatrati njihovim pokretacima. Osjecaj možemo shvacati i kaotrajnu memoriju emocija. To znaci da osjecaji pomažu održavanju životuna ’dugu stazu’.


Neurološki mehanizmi emocija i osjecaja kod ljudi su evoluirali i ra-zvili situacijama prilagodena ponašanja koja ne zahtjevaju svjesno razmiš-ljanje. Dalmasio tvrdi da vremenski zahtjevni procesi racionalnog razmiš-ljanja cesto umanjuju šansu za preživljavanje u situaciji kad je potrebnatrenutacna odluka upravo zbog ranije spomenute zahtjevnosti za memorij-ske kapacitete i vremenski su spori.

3.5. Rizik. Iako je odlucivanje pod rizikom centralna tema u teorijiodlucivanja, modeli odlucivanja pod rizikom su uglavnom ignorirali važ-nost emocija. Dok su neki teoreticari proucavali utjecaj emocija doživlje-nih nakon odluke, vrlo malo pažnje je posveceno utjecaju emocija proživ-ljenih za vrijeme procesa donošenja odluke. Ljudi dvojako reagiraju narizik: procjenjuju ga racionalno i reagiraju na njega emocionalno. Iakomedusobno isprepletene; kognitivna procjena uzrokuje emocije i emocijeutjecu na procjenu, te reakcije imaju razlicite ’determinants’. Kognitivneprocjene rizika su osjetljive na vrijednosti varijabli u odlucivanju, na vjero-jatnosti i na poželjnost (atraktivnost) alternativa. Emocije mogu biti i jesuposljedice kognitivnih procjena ali se isto tako pojavljuju bez ili uz mi-nimalno svjesno procesiranje informacija. Na primjer, ljudi proživljavajustrahove i bez poznavanja uzroka tim strahovima. Za razliku od kognitiv-nih procjena emocionalne reakcije su osjetljive na jasnocu pridruženih impredstava, bliskost u vremenu i na mnoge druge varijable koje igraju po-svezanemarivu ulogu u kognitivnim procjenama. Posljedica spomenutihrazlika je da ljudi doživljavaju neslaganje izmedu proživljavljenog strahauvjetovanog odredenom rizicnom situacijom i kognitivnom procjenom pri-jetnje uzrokovane tim rizikom.

Loewenstein [27] razlikuje dvije vrste emocija:ocekivane(eng. anti-cipated) ipredodredene(eng. anticipatory). Ocekivane emocije su sastavnidio ocekivane posljedice odluke. To su emocije koje ocekujemo dace naspreplaviti nakon proživljavanja posljedice odluke. To nisu emocije koje sudoživljene u trenutku donošenja odluke. Možemo ih shvacati kao implicit-ne emocije vezane uz mogucu posljedicu odluke. Predodredene emocije sutrenutacne ’visceralne’ reakcije (strah, nemir, strava) na rizicnu ili nedefi-niranu situaciju.

Dok su se znanstvenici iz podrucja odlucivanja fokusirali uglavnom naproucavanje tih implicitnih emocija, znanstvenici izvan tog podrucja, naprimjer iz socijalne psihologija i neuroznanosti, poceli su izucavati ulogupredodredenih emocija kod donošenja odluke. Dugo se smatralo da emo-cije i strasti imaju razarajuci utjecaj na donošenje odluke. Tek u posljed-nje vrijeme istice se važnost emocije kao informatickog inputa u odluci iopisuju se posljedice odluka kod kojih su emocije blokirane. Na primjer,


Somatic Marker Hypothesistvrdi da je normalno donošenje odluke vode-no tjelesnim reakcijama na relativnu poželjnost alternativa. Kao potvrdutakvoj tvrdnji Bechara i dr. [4] i Damasio [11] pokazuju da neke neurolo-ške abnormalnosti blokiraju takve tjelesne reakcije što znacajno oslabljujedonošenje odluke u riskantnoj situaciji. Istraživanja Wilson i dr. [43] teWilson i Schooler [44] dokazuju da kvaliteta odluke pada kada se sma-njuje afektivi udio u njenom donošenju i kad je donosilac odluke prisiljensistematski uvažavati sveza i sve protiv. Razlog tome je što su affektiv-ne reakcije na podražaj brže nego kognitivne evaluacije, vidi LeDoux[23]i Bargh [2]. Takvi trenutacni odgovori osiguravaju životinjama i ljudimabrzo i sirovo analiziranje mogucih reakcija na prijetnju ili podražaj i omo-gucava gotovo trenutnu reakciju.

Na podrucju klinicke, socijalne i kognitivne psihologije došlo se dospoznaje o dva kvalitativno razlicita nacina procesiranja informacija. Slo-man [35] na primjer, razlikuje asocijativno procesiranje informacija koddonošenja odluke od onog koje je podvrgnuto pravilima. Pravilima pod-vrgnuto procesiranje poštuje formalna pravila logike i dokaza i odvija sena svjesnoj razini. Asocijativno procesiranje je spontanije i zasnovanojena principu slicnosti i vremenskoj bliskosti i što je slicnost izmedu dva kon-cepta veca to smo skloniji prenositi obrasce zakljucivanja iz jednog u dru-gi. Kako asocijativno procesiranje nije rukovodeno svjesnim procjenamato je vrlo teško sprijeciti njegov utjecaj na rasudivanje i odlucivanje. Slo-man pronalazi primjere rasudivanja i kategoritacije iz svakodnevnog životau kojima ljudi dolaze do konfliktnih odgovora procesirajuci informacije naoba spomenuta nacina. Mnogi primjeri pokazuju da asocijativno procesira-nje kontekstualnih informacija utjece na prosudbu subjektivne vjerojatnos-ti cak i u situacijama kad su numericke procjene tih vjerojatnosti egzaktnoizracunljive.

Loewenstein [27] integrira ove dvije potke shvacanja emocija, jednukoja pokazuje da emocije odluku hrane podacima i drugu koja pokazuje daemocionalni odgovori na riskantnu situaciju pokazuju znacajnu razliku odkognitivne evaluacije u teorijski konceptrisk-as-feelinghipotezu, kako juje sam nazvao. Emocionalne reakcije i kognitivne evaluacije uglavnom suuskladene i kao takve moduliraju zakljucivanje i donošenje odluke. Medu-tim, predodredene emocionalne reakcije katkada odudaraju od kognitivnihevaluacija i, kada se se to desi, onda pokazuju dominantan utjecaj na po-našanje. Risk-as-feeling hipoteza pokušava objasniti kako i kada takveemocionalne razlike odudaraju od kognitivne procjene rizika i objašnjavakako te reakcije utjecu na ponašanje.

Klasican pristup utjecaju emocija na odlucivanje pretpostavlja da suljudi sposobni procijeniti žestinu i vjerojatnost moguce posljedice izbora


SLIKA 3. Klasican model odluke.

i integrirati tu informaciju preko neke vrste racuna baziranog na ocekiva-noj koristi u konacnu odluku. Oslobodene emocije u trenutku donošenjaodluke nisu integrirane u sam proces. U tom smislu teoreticari (klasica-ri) odlucivanja pretpostavljaju, implicitno ili eksplicitno, da je donošenjeodluke u svakodnevnoj pa i u riskantnoj situaciji svjesna aktivnost.

Na slici 3 prikazana je shema klasicnog pristupa upotpunjenog s oceki-vanim emocijama kao nadopunom ocekivanih situacija. Donoslilac odlukekod usporedivanja mogucih ishoda promatra i ocekivane emocije vezaneuz te usporedbe i koristi ih u procjeni preferencija tih ishoda. U risk-as-

SLIKA 4. Risk-as-feelings model odluke.

feeling modelu, slika 4, pretpostavlja se da je odgovor na riskantnu situaci-ju, ukljucujuci i odlucivanje, djelomicno i rezultat direktnog emocionalnogutjecaja koji ne ide preko prednjeg režnja a ukljucuje i osjecanja kao što subriga, strah, strava ili tjeskoba.


Risk-as-feelings hipoteza pretpostavlja da ljudi procjenjuju rizicne al-ternative na svjesnom nivou, kao u tradicionalnom modelu, na temelju vje-rojatnosti i poželjnosti pridruženih im posljedica. Takve kognitivne pro-cjene imaju afektivne posljedice, emocionalna stanja, koje opet povratnoutjecu na te procjene. Istodobno, ta emocionalna stanja usko su povezana sfaktorima, kao neposrednost rizika na primjer, koji ne utjecu na kognitivnuprocjenu rizika a takoder su ’obojana’ vjerojatnostima i izlaznim vrijed-nostima na nacin koji se razlikuje od onog na koji te varijable ulaze u kog-nitivnu evaluaciju. Kao što je prikazano na slici 4 ponašanje je odredenomeduigrom ovih,cesto puta konfliktnih, stanja u rizicnoj situaciji. Primi-jetimo da je termin ’odluka’ na slici 3 zamijenjen terminom ’ponašanje’ naslici 4. Ta zamjena termina posljedica je opažanja da vecina emocionalnopokrenutih i s rizikom povezanih ponašanja ne odgovara terminu odluka usmislu u kojem se termin odluka inace koristi.

3.6. Emocije i umjetna inteligencija. Istraživanja na podrucju umjet-ne inteligencije daju važnost emocijama, ili emociji slicnim stanjima, kaoosnovu za proširenje autonomije inteligentnih sistema. Inteligentni siste-mi u svom zakljucivanju uzimaju informaciju kao gotovucinjenicu, bilodjelomicno, unutar neke vjerojatnostne strukture, bilo potpuno ako je nji-hovo zakljucivanje zasnovano na formalnoj logici, i koriste je kao osnovuza daljnje razmišljanje. To razmišljanje može dovesti do ’viših uvjerenja’i omogucava izbor ciljeva, planova i ponašanja. Najcešce se to svodi naizbor jednog od alternativnih odgovora koji su ugradeni u sistem ili ih jesistem prihvatio u procesu ucenja. Izbor je baziran na raspoloživim in-formacijama koristeci ugradenu mjere slicnosti medu njima ili na a priorizadanom rangiranju alternativnih ponašanja.

Inteligencija sistema proizlazi iz njegove interakcije s korisnikom, po-sebno u situacijama kad su sistemski ciljevi i namjere u konfliktu. Takvainterakcija takoder je jedan od sistemskih ciljeva, bilo eksplicitan ili impli-citan i može biti neispunjena ako sistem nije u stanju izvesti odgovarajucepostupke, za što mu je opet potrebna odredena autonomija. Kakvu ulogu usvemu tome imaju emocije?

Inkompatibilni ciljevi, nedovoljna uvježbanost ili nedostatak sredstavaza pokretanje akcije glavni su uzroci nestabilnosti ne samo kod inteligent-nih sistema vec i kod ljudi. U takvoj situaciji povecava se rizik od pogrešneodluke jer sistem nije u stanju nositi se s takvom situacijom. Jedna mo-gucnost za povecanje autonomije sistema je ugraditi racunarski anlogonemocije u samu srž sistema. To povecava stupanj autonomije sistema jermu daje mogucnost vrednovanja ciljeva i sredstvo za izbor akcije i regu-liranje vlastitog ponašanja. Ta emocijalna jezgra mu takoder omogucava


da prepozna prolazna, sporedna kao i postojana, trajna stanja. Arhitek-tura racunarske tehnologije ide u takve specificnosti da definira primarne,sekundarne i tercijarne emocije, v. Sloman [34] i Davis [12], za tehnickurealizaciju takvih sistema.

3.7. Motivacija, ucenje. napisati

POGLAVLJE 3

Hijerarhijsko odlu civanje

Ciljevi i vrijednosti su pojmovi u kojima men-talno zahvacamo naše iskustvo. To su iredu-cibilni pojmovi i koncepti višeg nivoa se de-finiraju pomocu njih.

S. Pinker (psiholog)

1. Hijerarhijska struktura odluke

Hijerarhijska struktura, kracehijerarhija , je matematicki model cilj-nog razmišljanja. Svi elementi odlucivanja grupiraju se u nivoe koji sulinearno uredeni. U najvišem nivou nalaze seciljevi, jedan ili više njih,zatim podciljevi,kriteriji , podkriteriji. . . i na dnu hijerarhije su razni sce-nariji (opcije) ili alternativekoje želimo rangirati. Elemente odlucivanjakoji imaju zajednicki kriterij nazivamo još i njegovimlistovima djecomakriterij je njihov korijen ili roditelj. Primjeri kriterija u praksi su:

– u sportu: opci dojam, složenost vježbe, preciznost, originalnost(vježbaca);

– kod izbora zaposlenika: kvalificiranost, znanje (stranog jezika,. . . ), radni staž;

– kod kupnje kuce: udaljenost od tramvajske stanice, cijena, starostkuce, mogucnost dobivanja kredita.

U pravilu se konkretniji elementi odlucivanja nalaze pri dnu hijerarhije,dok se opcenitiji i neodredeniji nalaze pri vrhu. Širina utjecaja jednognivoa je samo do njenog susjeda, tj. nivoa ispod1. Elementi iz istog nivoanemaju utjecaja jedni na druge.

1To nije baš sasvim tocno. Moguce je da neki elementi odlucivanja imaju kriterije izraznih nivoa ali je važno da su sva djeca iz istog nivoa.

89

90 3. HIJERARHIJSKO ODLUcIVANJE

C13

C24

C31

C42

Q12AQ12D Q22 Q2 Q3 Q4 Q18A Q18F Q18GQ18H Q18I

Comp 1 . . . Comp 95 . . . Comp 190

O1 O2 O3 O4 O5 O6 O7 O8 O8 O10 O11

SLIKA 1. Hijerarhijska struktura

Ima puno argumenata za takav nacin provodenja odluke u praksi i uorganizaciji društva, životnih struktura, vojske. U svakodnevnom životubrojanje novcanica, na primjer, organiziramo tako da ih podijelimo u grupepo vrstama novcanica i izbrojimo novcanice u svakoj grupi. U slucajugreške lakše je ponovno brojati novcanice u jednoj grupi nego ponavljaticijeli postupak od pocetka. U ciljeve i kriterijecesto stavljamo iatributetako da se hijerarhija koristi i u višeatributnom odlucivanju. Hijerarhija jestrukturnoi funkcionalnostabilna. Strukturno, jer omogucava dodavanjei oduzimanje pojedinih elemenata a da se ne naruši cijela organizacija, afunkcionalno jer omogucava protok iformacija odozgo prema dolje.

Na slici 1 imamocetiri nivoa icetiri cilja u prvom nivou. Ti ciljevi nisusvi jednako važni i njihova relativna važnost je 3, 4, 1, 2 respektivno.

Postavlja se pitanje kako se odreduju elementi odlucivanja i kako seorganizira hijerarhija. To je na granici umjetnosti i znanosti. Jedno je inte-resantno, iskustvo pokazuje da bez obzira na hijerarhiju, rangiranje nijeta-ko osjetljivo kako secini na prvi pogled ali ono što je važnije od hijerarhijeje (in)konzistentnost. O inkonzistentnosti ulaznih podatakace kasnije bitigovora i ako se ona pokaže velika onda treba redefinirati hijerarhiju. Višeo hijerarhijskim modelima i aksiomatskom pristupu hijerarhijskoj strukturimože se naci u Saaty [32].

2. METODA SVOJSTVENOG VEKTORA 91

Posebnu ulogu u hijerarhijskoj odluci ima vrhunski kriterij ilicilj . Ulingvistickom smislu cilj je nešto što želimo postici, neštocemu težimo.Sredstva za ostvarenje cilja, alternative, stoje nam na raspolaganju ali ni-su sva jednako efikasna. Neka sredstva su ogranicena, recimo u vremenu,druga nisu pouzdana, treca su na raspolaganju uz odredene ustupke. Onase razlikuju i ono pocemu se razlikuju nazivamo zajednickim imenomkri-terij(i) ili atributi. Ono što procesom odlucivanja želimo postici je analizi-rati sposobnost, potencijal svakog moguceg sredstva koje nas vodi ka ciljui rangirati ih prema tim sposobnostima. Takav nacin razmišljanja u psiho-logiji se nazivaciljnim razmišljanjem i jedna od funkcija uma je upravotakvo razmišljanje u svakodnevnom zadovoljavanju naših potreba. Pri to-me alternative mogu biti i sekundarni ciljevi, a jednako tako i argumentikojima uvjeravamo sebe i ostale u njihovu važnost. Zbog svega recenogcilj je u hijerrahijskom odlucivanju uvijek prisutan i u njega donosilac od-luke implicitno ugraduje svoje iskustvo, pacak i zadovoljstvo vlastitimživotom. Alternativni naziv za cilj jekontekst odlukekojeg je u pojedinimsituacijama lakše odrediti, ali ne nosi u sebi smisao stremljenja koji imatermin cilj.

1.1. Procedura donošenja odluke u hijerarhiji. Procedura odluci-vanja u hijerarhiji je sljedeca: Težina ciljeva u prvom nivou mora biti zada-na. Ako je cilj samo jedan onda mu pridjelimo težinu 1. Donosilac odlukerangira elemente po nekoj metodi u nivou ispod i ponavlja proces dok po-sljednji nivo ne bude rangiran. Najvažnija procedura u rangiranju nivoaje konsenzus koji se provodi za sve kriterije tog nivoa. Opisaticemo dvijemetode za rangiranje, Saatyjevumetodu svojstvenog vektora[32] i metodupotencijala[37]. Konstrukcija konsenzusa u principu je neovisna o metodiiako metoda sugerira i konsenzus.

U grupnoj odluci svakiclan grupe definira svoju hijerarhiju napravise konsensus na nivou alternativa. To ima smisla narocito ako se donosiociodluke ne slažu oko izbora kriterija. Jedan drugi razlog koji govori u prilogtakvog modela grupnog odlucivanja je mogucnost mjerenja ’udaljenosti’medu odlukamaclanova grupe, v.Caklovic [?] i diskusiju u poglavlju??.Ako se pokaže daclanovi grupe imaju uskladena mišljenja što se tice ran-giranja alternativa, onda nema potrebe inzistirati na usaglašavanju stavovaoko izbora kriterija.

2. Metoda svojstvenog vektora

2.1. Konzistentnost.Rezultate usporedivanja po parovima možemoorganizirati u matricu. Ako je u igrin alternativa onda možemo uciniti naj-višen2 usporedbi. Rezultat usporedbei-te alternative sj-tom izražavamopozitivnim brojema(i, j) koji iskazuje preferenciju jedne od alternativa.


Tako na primjer, ako jea(i, j) = 5 to znaci da je i-ta alternativa 5 putavažnija za donosioca odluke odj-te na mjernoj skali u njegovoj mentalnojslici. Prirodno je pretpostaviti da jea(i, i) = 1,∀i = 1, . . . , n. Nadalje, dabi se smanjio broj usporedbi pretpostavljamo da je

a(i, j) = a(j, i)−1 – reciprocnost

jer je u tom slucaju dovoljno uciniti(

n2

)

− n usporedbi. MatricuA =a(i, j), i = 1, . . . , n s takvim svojstvom nazivamoreciprocnamatrica.

DEFINICIJA 2.1. Reci cemo da je matricaA konzistentna ako je

(2.1) a(i, j)a(j, k) = a(i, k) za svakoi, j, k = 1, . . . , n.

Konzistentnost izražava dosljednost i preciznost donosioca odluke uusporedivanju. Broja(i, j) izražava “težinu” alternativei mjerenu na skali,nazovimo jej-ta skala, u kojoj je “težina” alternativej jednaka 1. U takvojinterpretaciji jea(j, j) = 1 prirodan zahtjev. Zahtjev (2.1) je zahtjev naproporcionalnostk-te i j-te skale i faktor proporcionalnosti iznosi upravoa(j, k).

TEOREM2.2. Pozitivna matricaA je konzistentna ako i samo ako pos-toje pozitivni brojeviwi > 0, i = 1, . . . , n tako da vrijedi

(2.2) a(i, j) =wi

wj.

DOKAZ . Jednakost (2.2) evidentno povlaci (2.1). Obratno, neka vrije-di (2.1). Definirajmo

wi =a(i, j)

a(s, j), za fiksnos.

Tada je

a(i, j) =a(i, k)

a(j, k)=

a(i, k)

a(s, k)·a(s, k)

a(j, k)=

wi

wj.

¤

Svaka konzistentna matricaW je produkt jednostupcane matrice

w =

w1

...

wn

i jednoretcane matrice

1

w=

[

1

w1

1

w2. . .

1

wn

]

,


tj.

W =

w1

...

wn

[

1

w1

1

w2. . .

1

wn

]

.

Ocito je da su svi stupci odW proporcionalni pa je rang matrice jednak 1.Odavde slijedi:

(1) Nula je svojstvena vrijednost odW kratnostin − 1,(2) a provjerom se vidi da jew je jedinistveni (do na faktor) svojstve-

ni vektor odW kratnosti 1 sa svojstvenom vrijednošcun.

TEOREM 2.3. Pozitivna reciprocna matricaA je konzistentna ako isamo ako je njena maksimalna, po modulu, svojstvena vrijednostλmax =n.

DOKAZ . Neka jeA pozitivna reciprocna matrica iλmax maksimalna,po modulu, svojstvena vrijednost odA i w svojstveni vektor. Tada je

Aw = λmaxw∑

j

aijwj = λmaxwi, i = 1, . . . , n

ako gornju jednakost skalarno pomnožimo s1wi

i zbrojimo, dobivamo

nλmax =∑

i

∑

j

aijwjwi−1

=∑

i6=j

aijwjwi−1 +

∑

i

aii.

nλmax− n =∑

1≤i<j≤n

(aijwjwi−1 + a−1

ij wiwj−1).

Zagrada na desnoj strani u gornjem izrazu je oblikax + 1x

> 0 i poprimajednistveni minimum zax = 1. Dakle,

(2.3) nλmax− n ≥ 2 ·

(

n

2

)

= n2 − n.

Ako je A konzistentna tj. vrijedi (2.1) onda jeA = W i λmax = n.Obratno, ako vrijediλmax = n tada u gornjoj nejednakosti stoji jednakosti svaki sumand poprima svoju majmanju vrijednost tj.

aijwjwi−1 = 1 za i, j = 1, . . . , n,

što smo i htjeli dokazati. ¤


2.2. Mjera inkonzistentnosti. Prirodno se namece ideja da se svoj-stveni vektor koji pripada svojstvenoj vrijednostiλmax matriceA uzmekao vektor rangova za elemente odlucivanja na svakom nivou hijerarhije.Još samo ostaje pitanje kako izracunati taj vektor.

Iz formule 2.3 vidimo da jeλmax ≥ n za svaku reciprocnu matricui λmax = n ako i samo ako je matrica konzistentna. Prema tome razli-ku λmax − n možemo uzeti kao mjeru odstupanja reciprocne matrice odkonzistentnosti. Što je taj broj manji to su mjerenja dobivena usporediva-njem po parovima preciznija. Iz nekih razloga kao mjera se uzimaindekskonzistentnosti

CI :=λmax− n

n − 1.

S korisnicke strane bilo bi zgodno imati neku gornju granicu dopustiveinkonzistentnosti ulaznih podataka. Jedan od nacina je da se generiranjemslucajnih AHP matrica (dimenzijen) generira distribucija odCI i izracunaocekivanjeMCI te distribucije. Zatim se racuna

CR(n) =CI

MCIi ako jeCR < 0.1 ulazni podaci se smatraju konzistentnima. U tablici 2.1izracunate su srednje vrijednosti slucajne varijableRCI u ovisnosti o redumatriceA.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MCI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

TABLICA 2.1. Srednja vrijednost odCI.

2.3. Perronov teorem.

TEOREM 2.4 (Perron2, 1907). Neka jeA pozitivna matrica.• TadaA ima prostu pozitivnu svojstvenu vrijednostλmax koja je

veca po modulu od svih ostalih svojstvenih vrijednosti odA.• Pripadni svojstveni vektor ima pozitivne komponente i jedinstven

je do na množenje pozitivnim brojem.• λmax ima min-max karakterizaciju

λmax = maxx≥0

min1≤i≤n

(Ax)i

xi(2.4)

= minx≥0

max1≤i≤n

(Ax)i

xi.(2.5)

2Oskar Perron, 1880 – 1975, njemacki matematicar.


Svojstveni vektorw iz Perronovog teorema nazivamoPerronovim vek-torom a pripadnu svojstvenu vrijednostPerronovim korijenom. Za dokazteorema potrebno je uvesti nekoliko oznaka i pojmova i dokazati niz po-mocnih tvrdnji. Za pocetak promatrajmo parcijalnu relaciju uredaja naRn

definiranu sx ≤ y ⇐⇒ xi ≤ yi i = 1, . . . , n.

Skup svih nenegativnih vektora je konusRn+. Nadalje,

0 < x ⇐⇒ 0 < xi i = 1, . . . , n.

Ako je A nenegativna matrica tada je ocito

0 ≤ x =⇒ 0 ≤ Ax

što znaci da je nenegativan konus invarijantan na operator množenja matri-comA kojegcemo, jednostavnosti radi, oznaciti istim slovomA. Posljedi-ca gornje nejednakosti jest daA cuva uredaj tj.

x ≤ y =⇒ Ax ≤ Ay.

Neka je sadaa ∈ Rn, 0 < a pozitivan vektor i

Ba = {x ∈ Rn | −a < x < a}

interval odreden vektoroma. Ba je otvoren konveksan skup i pripadnifunkcional Minkowskog3

||x||a = inf{t > 0 | x ∈ tBa}

je norma naRn. Specijalno, ako jea vektorcije su sve komponente jednake1, onda je to max-norma. Nije teško vidjeti da je||a||a = 1 i da je pripadnaoperatorska norma odA definirana s

||A||a = sup||x||a≤1

||Ax||a

jednaka||A||a = ||Aa||a.

LEMA 2.5. Neka jeA > 0 matrica s pozitvnim elementima i0 ≤w svojstveni vektor odA. Tada je0 < w (strogo pozitivan) i pripadnasvojstvena vrijednost je pozitivna.

DOKAZ . Zbog netrivijalnostiw je 0 < Aw = λw odakle slijedi tvrd-nja. ¤

LEMA 2.6. Neka je0 < w svojstven vektor odA.i) (maksimalnost) Ako jeλ > 0 pripadna svojstvena vrijednost.

Tada jeλ jednaka spektralnom radijusu odA tj.

λ = ρ(A).

3U literaturi se još naziva i baždarnom funkcijom (eng.gauge).


ii) (jedinstvenost)w je jedinstven do na množenje pozitivnim bro-jem.

DOKAZ . i) || · ||w jer norma jer je0 < w. Sada je

||A||w = ||Aw||w = λ||w||w = λ,

odnosnoλ = ρ(A) jer jeρ(A) ≤ ||A|| za svaku normu|| · ||.

ii) Pretpostavimo da jeu svojstveni vektor za istu svojstvenu vrijednostλi da je∀α > 0, u 6= αw. Promatrajmozt = tu + (1 − t)w. Tada postojit ∈ R takav da je0 ≤ zt netrivijalan i da mu je bar jedna komponentajednaka nuli (leži na rubu konsaRn

+). Kako je

Azt = λzt

takoder nenegativan svojstveni vektor to je0 < zt što je u suprotnosti sizborom odt. Dakle,u = αw za nekiα > 0 što dokazuje jedinstvenostsvojstvenog vektora. ¤

LEMA 2.7 (Egzistencija pozitivnog svojstvenog vektora).Matrica Aposjeduje svojstveni vektorcije su sve komponente vece od nule.

DOKAZ . Za svaki nenegativan vektorx ≥ 0 postoji brojλ > 0 takoda je

(2.6) Ax ≥ λx.

Jedan takavλ je

λ(x) := mini

(Ax)i

xi.

Zbog kompaktnosti jedinicne sfere postoji jedinicni vektorw > 0 na kojemse postiže maksimum s desne strane u (2.6) tj.

λ(w) = maxx≥0

mini

(Ax)i

xi.

Ocito je λ(w) > 0 i w je svojstven vektor odA za svojstvenu vrijednostλ(w). U suprotnom jeAw > λ(w)w pa zay = Aw vrijedi Ay > λ(w)yodnosnoλ(y) > λ(w) što je u suprotnosti s konstrukcijom odλ(w).

Istim razmišljanjem zakljucujemo da postojiµ > 0 tako da je

(2.7) µx ≥ Ax.

Jedan takavµ je

µ(x) := maxi

(Ax)i

xi.

Zbog kompaktnosti jedinicne sfere postoji jedinicni vektoru > 0 na kojemse postiže maksimum s desne strane u (2.7) tj.

µ(u) = minx≥0

maxi

(Ax)i

xi


i da jeµ(u) svojstvena vrijednost odA i u pripadni svojstveni vektor. Zbogjedinstvenosti, lema (2.6), jeµ(u) = λ(w) i u = w do na množenje pozi-tivnim brojem. ¤

2.4. Racunanje Perronovog korijena u praksi. U daljnjem tekstuvektorcije su sve komponente jednake 1 oznaciti cemo se. Pozitivnu ma-tricu S u kojoj je suma komponenata svakog retka jednaka 1 nazivamostohastickom po recima. Ocito je Se = e. Matricu T u kojoj je sumakomponenata svakog stupca jednaka 1 nazivamostohastickom po stupci-ma. Ocito jeeτT = eτ . Nadalje, standardnim simpleksom uRn nazivamoskupΣ := {ξ | ξ > 0,

∑ni=1 ξi = 1}.

Nekoliko sljedecih teorema odnose se na stohasticke matrice i uvod suu glavni teorem ovog odjeljka, teorem 2.10, kojice nam omoguciti racuna-nje svojstvenog vektora odA pomocu formule (2.10) i posljedice 2.12.

LEMA 2.8. Neka jeT stohasticka matrica po stupcima.

i) Tada postoji jedinstveniv ∈ Σ takav da jeTv = v.ii) Ako je µ ∈ σ(T ), µ 6= 1 tada je|µ| < 1.

iii) ∀x ∈ Σ

limn→+∞

Tnx = v.

DOKAZ . i) Prema Perronovom teoremu postojiv > 0 i λ > 0 takoda jeTv = λv. Slobodno možemo pretpostaviti da je

∑ni=1 vi = 1. Tada

je produktTv ∈ Σ, jer jeTv konveksna kombinacija stupaca odT , odakleslijedi λ = 1. Jedinstvenost odv je posljedica leme 2.6.

ii) PotprostorY := e⊥ svih vektora koji su okomiti nae je invarijantannaT . Dovoljno je dokazati da je svaka svojstvena vrijednost od restrikcijeT |Y manja, po apsolutnoj vrijednosti, od 1.

Ako postoji y ∈ Y, Ty = y onda postojiα > 0 tako da je vektorξ := v + αy ∈ Σ. No tada jeTξ = ξ što se protivi jedinstvenosti pozi-tivnog svojstvenog vektora. Isto tako, ako postoji kompleksna svojstvenavrijednostµ ∈ σ(T |Y ) i |µ| = 1, tada je restrikcija odT na odgovarajucidvodimenzionarni korijeni potprostorYµ rotacija pa postojiy ∈ Yµ tako daje ξ := v + αy u unutrašnjosti odΣ aTξ = v + αTy na rubu odΣ. Zbogstroge pozitivnosti matricnih elemenata odT slika T (Σ) je u (relativnoj)unutrašnjosti odΣ što vodi na kontradikciju. Dakle,|µ| < 1.

iii) Dati cemo dva dokaza ove tvrdnje. Jedan koristicinjenicu da je spek-tralni radijus infimum shih operatorskih normi matrice a drugi je elemen-tarniji i koristi samo Jordanovu formu matrice.

Prvi dokaz:Za x, y ∈ Σ je razlikax − y element prostoraY := e⊥ kojije invarijantan naT . Zaista,ξ ∈ Y =⇒ eτTξ = 0 jer je eτT = eτ .


Nadalje, restrikcijaT |Y : Y → Y je kontrakcija u nekoj normi jer je,prema prethodnom, spektralni radijusρ(T |Y ) < 1.

Drugi dokaz: Oznacimo Y := e⊥. Y je invarijantan potprostor zaT .Pretpostavimo, za pocetak, da jeT |Y = µI + J (kompleksna) Jordanovaforma preslikavanja i|µ < 1|. Tada je zam > n,

Smξ = (µI + J)mξ = µm

(

I +J

µ

)n

ξ

gdje jen red matrice. Sada je ocito Smξ → 0 zam → +∞. U slucaju darestrikcijaS|Y ima više od jedne svojstvene vrijednosti Jordanova formaje direktna suma od konacno blokova gornjeg tipa pa vrijedi isti zakljucak.

¤

LEMA 2.9. Neka jeS stohasticka matrica po recima. Tada postojiv ∈ Σ takav da je

i) vτS = vτ ,ii) limn→+∞ Sn = evτ .

DOKAZ . Tardnja i) je posljedica teorema (2.8) jer jeSτ stohastickapo stupcima. Za dokaz ii) odaberimoξ ∈ Σ i primijenimo teorem (2.8) ii).Tada je

limn→+∞

ξτSn = vτ ,

odnosno

limn→+∞

Sn = limn→+∞

e ξτSn = evτ .

¤

Uvedimo još pojamlijevog svojstvenog vektoraod A. To je vektory 6= 0koji zadovoljava

yτA = µyτ

za nekuµ 6= 0 dokdesni svojstveni vektorx odA zadovoljava

Ax = µx

za nekuµ 6= 0. Ako je µ = ρ(A) onda se lijevi i desni svojstveni vektorinazivajuglavnim lijevimi glavnim desnimsvojstvenim vektorom.

LEMA 2.10. Neka jeA > 0 i λ Perronov korijen odA. Tada je

(2.8) limn→+∞

(

A

λ

)n

= wvτ

gdje jew glavni desni svojstveni vektor odA i v glavni lijevi svojstvenivektor odA koji zadovoljavajuvτw = 1.


DOKAZ . Neka jeAw = λw. Oznacimo D := diag(w1, . . . , wn)matrica s komponentama vektoraw na dijagonali. Tada jew = De i

D−1

(

A

λ

)

De = e.

Gornja jednakost kazuje da je matricaS := D−1(

Aλ

)

D stohasticka porecima pa prema teoremu 2.9 i) postojiξ ∈ Σ takav da je

(2.9) ξτS = ξτ i limn→+∞

Sn = eξτ .

Sada je

limn→+∞

(

D−1

(

A

λ

)

D

)n

= e ξτ ,

limn→+∞

D−1

(

A

λ

)n

D = e ξτ ,

odnosno

limn→+∞

(

A

λ

)n

= DeξτD−1 = w vτ ,

gdje jevτ = ξτD−1. Sada je ocito da jev lijevi glavni svojstveni vektorjer je, zbog (2.9)

ξτD−1 A

λD = ξτ

odnosno

vτA = λ vτ

i

vτw = ξτD−1De = ξτe = 1.

Time je teorem u potpunosti dokazan. ¤

LEMA 2.11. Neka je0 < a proizvoljan vektor i

xn :=Ana

||Ana||a, n ∈ N.

Tada je

limn→+∞

xn = α w

gdje jeα = 1‖w‖a

.


DOKAZ . Definicionu relaciju zaxn možemo zapisati i na sljedeci na-cin

∥

∥

∥

∥

(

A

λ

)n

a

∥

∥

∥

∥

a

xn =

(

A

λ

)n

a,

odakle prema teoremu 2.10

(2.10) limn→+∞

xn =w (vτa)

‖w (vτa)‖a=

w

‖w‖a.

¤

POSLJEDICA2.12.

limn→+∞

Ane

eτAne= α w, za nekoα > 0.

DOKAZ . Izraz u nazivniku je 1-norma odAne, dok || · ||e sada postajemax-norma. Dakle,

zn :=Ane

||Ane||1

=Ane

||Ane||e·||Ane||e||Ane||1

=xn

‖xn‖1−→

w

‖w‖1.

¤

Posljedica 2.12 sugerira metodu za aproksimativno racunanje svoj-stvenog vektoraw i Perronovog korijena. Odaberemo proizvoljan pozi-tivan vektor, najcešce je toe, stavimox1 = Ae i racunamo nizxn+1 =Axn, n ≥ 1 s tim da vektorxn normiramo prije racunanja sljedece iteraci-je.

LEMA 2.13. Neka jeA > 0 i µ svojstvena vrijednost odA razlicita odλ = ρ(A). Tada je|µ| < λ.

DOKAZ . Ax = µx =⇒ Anx = µnx i(

Aλ

)

x =(

µλ

)

x. Zbog (2.8)postoji limes

(2.11) limn→+∞

(µ

λ

)n

x = w(vτx)

pa je nužno∣

∣

µλ

∣

∣ ≤ 1. Još treba vidjeti da je|µ| < λ. Zaµ = λeiθ gornjilimes ne postoji što je u suprotnosti s (2.8). Dakle,|µ| < λ, što se i htjelodokazati. ¤

POSLJEDICA 2.14. Glavni lijevi svojstveni vektor okomit je na svakidesni svojstveni vektor razlicit od glavnog. Glavni desni svojstveni vektorokomit je na svaki lijevi svojstveni vektor razlicit od glavnog.


DOKAZ . Neka jeAx = µx desni svojstveni vektor odA i |µ| < λ.Iz formule (2.11) zakljucujemo da jew(vτx) = 0. Zbogw > 0 je sadavτx = 0. ¤

LEMA 2.15. Svojstvena vrijednostλ = ρ(A) je algebarske kratnosti1, tj. ne postoji vektoru ∈ Rn takav da je(A−λI)2u = 0 i (A−λI)u 6= 0

DOKAZ . Pretpostavimo da takavu postoji. Tada jew = (A − λI)udesni glavni svojstveni vektor zbog jedinstvenosti istog. Sada je

Au = λu + w,

A

λu = u +

w

λ,

(

A

λ

)n

u =

(

A

λ

)n−1

u +w

λ, ∀n ∈ N.

U limesu, premi lemi (2.10), lijeva strana i prvi sumand na desnos stranikonvergiraju premaw pa je nužnow

λ= 0. No to je u suprotnosti scinjeni-

com da jew > 0. ¤

2.5. Brouwerov teorem. Spomenimo još i poznati Brouwerov4 te-orem, bez dokaza, o egzistenciji fiksne tocke neprekidnog preslikavanjakoji je, historijski gledano, nastao kasnije od Perronovog. U literaturi galjudi cesto koriste za dokaz egzistencije Perronovog korijena.

TEOREM 2.16 (Brouwer).Neka jeΣ = {ξ ∈ Rn |∑

ξi = 1} if : Σ → Σ neprekidno preslikavanje. Tada postoji tocka x ∈ Σ koja jefiksna tocka tog preslikavanja tj.

f(x) = x.

Ako je A pozitivna matrica i ako u Brouwerovom teoremu stavimo

φ(x) :=Ax

‖Ax‖1

onda je jasno da je fiksna tockax od φ svojstven vektor odA i ‖Ax‖1 jepripadna svojstvena vrijednost.

U Perronovom teoremu rijec je o linearnom preslikavanju što je dale-ko jaci zahtjev nego samo neprekidnost koju zahtijeva Brouwerov teorem.Stoga je za ocekivati da se Perronov teorem može dokazati elementatnijimsredstvima što je i ucinjeno.

4Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881–1966, Holandski matematicar i filozof.


3. Metoda potencijala

3.1. Potencijal potpunog grafa.Kod usporedivanja u parovima, do-nosilac odluke, za svaki par alternativa jednoj od njih daje preferencijuiliih proglašava jednako preferiranima (indiferentnima).

Za razliku od metode svojstvenog vektora koja koristi reciprocnu pozi-tivnu matricu kao nacin organiziranja ulaznih podataka metoda potencijalaih organizira u graf preferencije. To je usmjerni graf s težinama u kojemje svakoj preferenciji pridjeljen i nenegativni broj, intenzitet preferencije,na nekoj skali. Cilj donosioca odluke je ukljuciti u svoju odluku ne samopreferencije nego i njihov intenzitet.

PRIMJER 3.1. Pretpostavimo da imamocetiri alternative i da je dono-silac odluke dao preferencije kao na slici 2. PreferencijiB < A dan jeintenzitet nula što drugim rjecima znaci da je takoder i A < B, odnosnoda je donosilac odluke indiferentan kad su u pitanju te dvije alternative. Utom slucaju je svejedno u kojem smjeru je orijentirana strelica.

A

B C

D

0

2

4

1

1

3

SLIKA 2. Graf preferencije.

Cilj donosioca odluke je alternativama pridjeliti brojeve kojice odraža-vati njihovu ’vrijednost’ i ujedno dati rangiranje. Jedan moguca proceduraje sljedeca. . .

. . . strelicuB1

−→D možemo interpretirati kao da je s te-kuceg racuna (u banci) alternativiB uzeta jedna kuna iprebacena na tekuci racun alternativeD. Isto je takoDsvojecetiri kune dao alternativiA itd. Nakon što je zavr-šio proces ’darivanja’ izracunamo saldo na racunu svakealternative.

Jednostavnosti radi pretpostavimo da je u samom pocetku saldo na sva-kom racunu iznosio nula kuna. To znaci da ce nakon darivanja neki biti u

3. METODA POTENCIJALA 103

’minusu’ a neki u ’plusu’. Za graf na slici 2 taj saldo iznosi

X

A 6

B 2

C −4

D −4

Ovako definirana funkcija saldo, u daljnjem tekstupotencijal i u ozna-ci X, postoji uvijek bez obzira na to da li je relacija preferencije tranzitivnaili ne. U ovom primjeru ordinalna funkcija vrijednosti, u smislu teorema2.3, ne postoji jer je u grafu prisutan ciklusC → B → D → C kojinarušava tranzitivnost.

PITANJE.Da li potencijalX i ordinalna funkcija vrijednostiV , ako takva postoji,daju isto rangiranje, tj. da li postoji strogo rastuca funkcijah : R → R

takva da jeX = h ◦ V ?Evo jednog primjera prije nego li odgovorimo na postavljeno pitanje.

PRIMJER 3.2 (Inkonzistentnost slabe preferencije i potencijala). Grafna slici 3 lijevo predstavlja relaciju slabe preferencije

C < B < A

i (njoj) pridružena funkcija vrijednostiV , dana u tablici 3.1 uskladena je stom relacijom Desni graf razlikuje se od lijevog po tome što su preferen-

A

B C

A

B C

1

1

4

SLIKA 3. Potencijal i funkcija vrijednosti.

cijama pridjeljene težine. Potencijal izracunat iz tih težina jeX i dan je utablici 3.1 na str. 104. Ocito je daX nije u skladu sa slabom preferencijomjer bi inaceV i X odredivali jednak poredak alternativa.


V X

A 1 −5

B 2 3

C 3 2

TABLICA 3.1. Inkonzistentnost potencijala i slabe preferencije.

Ovaj primjer sugerira zakljucak da postoje situacije kad postoji i funk-cija vrijednostiV i potencijalX koji nije u skladu sa slabom preferencijom.Da li je to ujedno i odgovor na postavljeno pitanje? Procitajmo pitanje jošjednom.

Na funkciju vrijednostiV i na potencijal treba gledati kao na dvijerazlicite metode. Pravo pitanje je što daju te dvije metode kad se primjenena isti graf, a ne na dva razlicita grafa kao što je to u prethodnom primjeru.Lijevi graf dobije se od desnog zanemarivanjem intenziteta preferencije.Nakon toga smo metodu funkcije vrijednosti primjenili na lijevi graf, ametodu potencijala na desni graf. StupacX i stupacV u tablici 3.1 sudobiveni razlicitim metodama primjenjenim na razlicitim grafovima i stoganije neocekivano da daju razlicito rangiranje.

Ako želimo usporediti dvije metode onda ih moramo primjeniti na is-tom grafu. Korektan postupak je sljedeci: Graf pridružen relaciji slabe pre-ferencije možemo pretvoriti u graf s težinama tako da svakoj preferencijipridružimo težinu 1. Time uvažavamocinjenicu da je preferencija kvalita-tivna (substancijalna) kategorija, a ne kvantitativna kao što je to intenzitetpreferencije. Na takvom grafu možemo sada racunati i potencijal i funkcijuvrijednosti. Sada je ocito da je saldo zax ∈ S

(3.1) X(x) = #{y ∈ S | x ≻ y} − #{y ∈ S | y ≻ x}.

TEOREM3.3. Ako relaciji slabe preferencije< na skupuS pridružimousmjeren graf s težinama na gore opisani nacin onda je potencijalX : S →R pridružen tom grafu funkcija vrijednosti.

DOKAZ . Iz formule (3.1) slijedi da je

X(x) = 2V (x) − #[x] − #S

gdje je[x] oznaka za klasu ekvivalencije odx tj.

[x] := {y ∈ S | y ∼ x}.


Ako je y ∼ x tada je evidentno[x] = [y] i V (x) = V (y) što povlaciX(x) = X(y). Neka je sadax ≻ y, tj. x < y i x 6∼ y. Tada je

X(x) − X(y) = V (x) − V (y) + V (x) − #[x] − (V (y) − #[y])

> V (x) − #[x] − (V (y) − #[y])

= #{z ∈ S | x ≻ z} − #{z ∈ S | y ≻ z}

što zbog tranzitivnosti relacije≻ i x ≻ y povlaci nejednakost

X(x) − X(y) ≥ 0.

Time smo dokazali da

(3.2) x < y ⇒ X(x) ≥ X(y).

Još preostaje dokazati implikacijuX(x) ≥ X(y) ⇒ x < y. Pretpostavimoli, suprotno tvrdnji, da implikacija nije istinita, tada postojex, y ∈ S takvida jeX(x) ≥ X(y) i y ≻ x. Zbog (3.2) je sadaX(y) ≥ X(x), a kako jey 6∼ x to jeX(y) > X(x) što je u kontradikciji s pretpostavkom. Time suimplikacija, a ujedno i teorem, dokazani. ¤

3.2. Veza izmedu potencijala X i toka F . Ono što je potrebno zadaljnju analizu i teoriju je kompaktniji zapis veze izmedu potencijala i to-ka koji ce biti moguce poopciti. Radi jednostavnijeg zapisa pretpostavimoda je skup alternativaS = {1, . . . , n} i da je graf preferencije potpun, tj.ima

(

n2

)

lukova. Ako jei < j onda je definiran lukα = (i, j), od manjepreferirane alternative prema vecoj, a odgovarajuci intenzitet preferencijeoznacimo sFα. Skup svih lukova oznacimo sA. PotencijalXi za alter-nativu i definirali smo kao sumu svih uplata i isplata na njen tekuci racuntj.

(3.3) Xi =∑

j

F(i,j) −∑

j

F(j,i).

Gornju formulu za potencijal možemo pojednostaviti ako uvedemo matricutokaF definiranu na sljedeci nacin

Fij =

{

F(i,j), ako(i, j) ∈ A

−F(j,i), ako(j, i) ∈ A.

Ako još stavimo da je po definicijiFii = 0 za svakoi = 1, . . . , n ondaje matricaF antisimetricna. Gornja formula za potencijal se sada svodi naracunanje sume elemenata ui-tom retku matriceF . Pokazuje se boljim ko-ristiti formulu za potencijal u kojoj se racuna srednja vrijednost elemenata


u retku matriceF . Razlog tomece kasnije biti jasan. Dakle,

(3.4) Xi =1

n

n∑

j=1

Fij ,

Iz formule (3.4) slijedi da je potencijalX (za potpuni graf preferencija)aritmeticka sredina stupaca matrice tokaF .

3.3. Konzistentnost toka.

Inkonzistentnost je više od nedostatka tranzi-tivnosti. Ona navodi na zakljucak da nikakvaoptimizacijska procedura ne stojicak ni izanajjednostavnijih izbora koje ljudicine i dauniformnost tržišnog ponašanja ljudi moždaizvire iz principa koji su potpuno drugacijeprirode od opcenito prihvacenih.

Grether and Plott, 1979.

U lingvistickom smislu biti konzistentan znaci biti u skladu (sa svojimpostupcima), biti nekontadiktoran. U terminima grafa preferencija to znacida za cikluse u usmjerenom grafu s težinama poput ovog na slicu 4 vrijedi

i

j

k

α

β

γ

SLIKA 4. Konzistentan ciklus.

relacijaFβ + Fγ = Fα. Takvu preciznost je teško postici posebno ako seradi o subjektivnim procjenama za intenziteteFα, Fβ , Fγ . Opcenito govo-reci tok F smatraticemokonzistentnimako je za svaki ciklus grafa suma(algebarskih) komponenata toka duž ciklusa jednaka nuli. Ako je lukαukljucen u ciklus onda u sumu ulaziFα, ako je−α ukljucen u ciklus ondau sumu ulaziFα. Preciznije, ako jey =

∑

i yiαi ciklus, tada jeyi = ±αi


ovisno o tome je li orijentacija lukaαi u skladu s orijentacijom ciklusa ilinije. Tok je konzistentan ako i samo ako je za svaki ciklusy

k∑

i=1

yiFαi= 0.(3.5)

ili, što je ekvivalentno, da je skalarni produkt

yτF = 0.

Posebno zanimljivo u metodi potencijala je da ona nudimjeru inkonzi-stentnosti, a to je broj koji ukazuje koliko je dani tok ’daleko’ od inkon-zistentog toka. Opcenito govoreci, mjera inkonzistentnosti je brojµ(F)pridružen ulaznim parametrima, u ovom slucaju je to tokF , koji je jed-nak nuli ako i samo ako jeF konzistentan tok u gornjem smislu, (v. teorem3.4). Cilj svake teorije koja ima takvu mjeru je odrediti granicnu vrijednostprihvatljivostiµ∗ > 0 sa svojstvom da tok smatramo ’prihvatljivim’ ako jeµ(F) ≤ µ∗. Granica prihvatljivostiµ∗, naravno, ovisi o broju alternativa.Za geometrijski smisao konzistentnosti vidi poglavlje 3.7.

3.4. Nužan i dovoljan uvjet za konzistentnost.Nužan i dovoljanuvjet za konzistentnost toka je direktna posljedica definicije(3.5).

TEOREM 3.4. Tok F je konzistentan ako i samo ako jeF linearnakombinacija stupaca matrice incidencijeA pridruženog grafa preferencije,odnosno ako i samo ako postojiX ∈ Rn tako da je

(3.6) AX = F .

DOKAZ . ZbogyτF = 0 je tokF okomit na svaki ciklusy pa je oko-mit i na potprostor generiran ciklusima, a to je jezgra transponirane matriceAτ . Ova posljednja tvrdnja je posljedica teorema o rangu i dekompozicije

(3.7) R(A) ⊕ N(Aτ ) = Rm.

OrtogonalnostF ⊥ N(Aτ ) ima za posljedicuF ∈ R(A) što se i htjelodokazati.

Obratno, pretpostavimo da jeAX = F za nekiX ∈ Rn. Tada za svakiciklus y ∈ N(Aτ ) vrijedi, zbog dekompozicije (3.7),yτF = yτAX = 0što dokazuje tvrdnju. ¤

3.5. Potencijal nepotpunog grafa.Jednadžba (3.6) odreduje poten-cijal ako i samo ako jeF konzistentan. Ako taj uvjet nije ispunjen onda imasmisla tražiti najbolju aproksimaciju odF u prostoru stupaca matriceA.Jedan od nacina da se to napravi jest naci minimum kvadraticne funkcije

(3.8) Q(y) =1

2(y −F)τ (y −F)


uz uvjety ∈ R(A). Ekvivalentan uvjet jeyτz = 0 za svakiz ∈ N(Aτ )što je posljedica ortogonalne dekompozicije (3.7). Minimizacija funkci-je, pogotovo ako se radi o uvjetnoj minimizaciji, nije nimalo lak zadatak.Ovdje imamo dvije pogodnosti, jedna je da je funkcija koju minimiziramokvadraticna, a druga da su uvjeti linearni.

TEOREM 3.5. Tockay ∈ R(A) je tocka minimuma restrikcijeQ∣

∣

R(A)

ako i samo ako postojiz ∈ N(Aτ ) i X ∈ Rn tako da vrijedi

(3.9) y ⊕ z = F , y = AX.

DOKAZ . Oznacimo M := R(A) i pretpostavimo da jey tocka mini-muma restrikcijeQ

∣

∣

M. To znaci da je

Q(y) ≤ Q(y + tv) ∀t ∈ R i ∀v ∈ M

odakle slijedi

limt→0

1

t{Q(y + tv) − Q(y)} = Q′(y)v ≥ 0.

Zamjenomv s−v u gornjoj nejednakosti zakljucujemo da je

(3.10) Q′(y)v = 0, za svakiv ∈ M.

Primijetimo da je dosadašnji racun proveden za bilo koju diferencijabilnufunkciju Q. Specificiramo li sada da jeQ kvadraticna funkcija dana for-mulom (3.8) tada je derivacija odQ jednakaQ′(y) = yτ − Fτ pa gornjuformulu možemo zapisati u obliku

(y −F)τv = 0, za svakiv ∈ M,

što zbog dekompozicijeN(Aτ ) ⊕ R(A) = Rm implicira da jey − F ∈N(Aτ ). Tada postojiX ∈ Rn i z ∈ N(Aτ ) tako vrijedi (3.9).

Obratno, pretpostavimo da vrijedi (3.9). Za dokaz tvrdnje dovoljno jedokazati nejednakostQ(y + tv) ≥ Q(y) za svaki realni brojt ∈ R i svakiv ∈ M . U tu svrhu racunamo

Q(y + tv) =1

2(y + tv −F)τ (y + tv −F)

=1

2(y −F)τ (y −F) +

1

2t2vτv + t(y −F)τv

= Q(y) +1

2t2vτv,

jer jey −F ⊥ M , što dokazuje traženu nejednakost. ¤

POSLJEDICA 3.6. Tocka y ∈ R(A) je tocka minimuma restrikcijeQ

∣

∣

R(A)ako i samo ako postojiX ∈ Rn tako da jey = AX i

(3.11) AτAX = AτF .


DOKAZ . Pomnožimo li jednadžbu (3.9) sAτ dobije se jednadžbaAτAX =AτF jer jez ∈ N(Aτ ). Obratno, ako vrijedi (3.11) onda jeAτ (AX−F) =0 što znaci da jeAX −F ∈ N(Aτ ) i vrijedi (3.9) zay = AX. ¤

Jednadžbu (3.11) nazivamo normalnom jednadžbom koja je pridruženajednadžbiAX = F . Sada možemo definirati pojam normalnog integralazadanog tokaF koji je centralni pojam u teoriji potencijala.

DEFINICIJA 3.7. Neka jeF ≥ 0 zadani nenegativni tok definiran nalukovima usmjerenog grafa.PotencijalodF je rješenje jednadžbeAX =F ako jeF ∈ R(A) ili jednadžbeAτAX = AτF akoF 6∈ R(A). U obaslucaja zahtjevamo

∑

i Xi = 0 zbog jedinstvenosti.

Uvjet∑

i Xi = 0 zaslužuje komentar. MatricaA, ako je graf povezan,ima jednodimenzionalnu jezgru generiranu vektorom 1cije su sve kom-ponenete jednake 1. Ako graf ima više komponenata povezanosti tada jejezgra odA tolike dimenzije koliki je broj komponenata povezanosti. Utom slucaju, umjesto zahtjeva

∑

i Xi = 0 zahtjevaticemo da je rješenjeX normalne jednadžbe (3.11) okomito na karakteristicnu funkciju svakekomponente povezanosti. U daljnjem tekstu pretpostavljamo da je graf po-vezan.

3.6. Lapaceova matrica grafa.Ako je A matrica incidencije grafaonda matricuAτA nazivamo Laplaceovom matricom grafa i možemo jejednostavno izracunati. Izvan dijagonale, tj. zaj 6= k

(AτA)jk =

{

−1. ako suj, k susjednicvorovi,

0, inace.

To se najbolje vidi ako direktno pomnožimoAτ i A. j-ti redak odAτ jej-ti stupac odA; ako jej 6= k i postoji luk odcvoraj do cvorak onda je

x1

x2 x3

x4α1

α2

α3

α4

α5

SLIKA 5. Nepotpun graf.


produktj-tog i k-tog stupca jednak−1, inace je taj produkt jednak nuli.Na glavnoj dijagonali matricni elementi su pozitivni

(AτA)kk = broj susjednihcvorova odk.

Kao primjer za ilustraciju uzmimo mrežu scetiri nodalne varijable i petlukova na slici 5. Njegova matrica incidencijeA i matricaAτA su

A =

−1 1 0 0

−1 0 1 0

0 −1 1 0

−1 0 0 1

0 −1 0 1

, AτA =

3 −1 −1 −1

−1 3 −1 −1

−1 −1 2 0

−1 −1 0 2

.

MatricaAτA je simetricna ali nije pozitivno definitna jerA ima netrivijal-nu jednodimenzionalnu jezgru.

Interesantno je prouciti Laplaceovu matricu za potpun graf. Tada svakicvor u grafu iman−1 susjeda i Laplaceova matrica ima svuda na dijagonalibroj n − 1, dok su ostali matricni elementi jednaki−1. U tom slucajuje potencijal jednostavno izracunati i to na sljedeci nacin. Svakom retkunormalnog sistema jednadžbi (3.11) pribrojimo uvjet

∑

i Xi = 0 i dobiticemo ekvivalentan sistem jednadžbi s dijagonalnom matricom jednakomnI. Rješenje tog sistema je

n · Xi = (AτF)i, i = 1, . . . , n.

Pogledamo li malo pažljivije desnu stranu gornjeg sistema uocit cemo da je(za fiksnii) desna strana dobivene jednadžbe upravo razlika izmedu ulaz-nog i izlaznog toka ucvoru i što smo ranije nazvali saldo, v. jednadžbu(3.3) na str. 105. To znaci da je potencijal potpunog grafa jednak srednjojvrijednosti stupaca matrice tokaF pridružene tokuF kao u formuli (3.4).

3.7. Inkonzistentnost. Geometrijski smisao.Kao i u slucaju potpu-nog grafa tokF smatramo konzistentnim ako vrijediAX = F za nekiX ∈ Rn. U slucaju daF nije konzistentan tada kao mjeru inkonzistent-nosti možemo sam kut izmedu tokaF i njegove aproksimacijeAX ili broj

(3.12) µ(F) =‖AX −F‖

‖F‖

gdje jeX potencijal odF i ‖ · ‖ euklidska norma.AX je najbolja aproksi-macija odF u prostoruR(A) i gornja mjera je sinus kuta izmedu vektoraF i tog prostora. Što je taj kut veci to znaci da su procjene intenzitetapreferencija u grafu lošije. Specijalno, svaki ciklus koji se pojavljuje u


grafu povecava komponentu odF koja je okomita naR(A) i time pove-cava inkonzistentnost. Razlog tome je taj što je prostorN(Aτ ) generiranciklusima, v. formulu (3.7).

Proces rangiranja metodom potencijala na zadanom skupu alternativazapocinje utvrdivanjem grafa preferencije, odredivanjem njegove matriceincidencijeA, mjerenjem nenegativnog toka preferencijeF i racunanjemnormalnog integralaX. Dobiveni potencijalX ne mora nužno biti funkcijavrijednosti, ali jest ako je unimodularni graf preferencije slaba preferencija.Takoder je ocito, što je posljedica teorema 3.4, da konzistentan tok gene-rira potencijal koji je funkcija vrijednosti. Formulirajmo to kao posebnutvrdnju.

TEOREM3.8. PotencijalX pridružen nenegativnom tokuF je funkci-ja vrijednosti ako je tok preferencijaF konzistentan.

DOKAZ . Ako jeF ∈ R(A) i X potencijal odF onda je ocito AX =F prema posljedici 3.6. No tada je za svaki lukα = (a, b)

(AX)α ≥ 0 ⇔ Xa ≥ Xb ⇔ Fα ≥ 0 ⇔ a < b,

a to pokazuje da jeX funkcija vrijednosti. ¤

Obrat teorema nije istinit što se vidi iz sljedeceg primjera. U primjeru

3.2 na str. 103 promijenimo težinu preferencijeA4

−→B naA2

−→B, doktežine ostalih preferencija ostavljamo kakve jesu. Novi tok nije konzis-tentan ali je novi potencijal funkcija vrijednosti što se vidi iz tablice 3.2.Funkcija vrijednostiV ostala je ista.

V X

A 1 −2

B 2 1

C 3 2

TABLICA 3.2. Inkonzistentan tok generira funkciju vrijednosti.

Gornji kontraprimjer otvara sljedeci problem:

ZADATAK 3.9. Naci dovoljan uvjet naF da bi njegov potencijal bilafunkcija vrijednosti.

Pažljiviji citalacce odmah prigovoriti da je definicija konzistentnostitoka,F ∈ R(A), prestroga. Prigovor je na mjestu sa kvalitativne (substan-cijalne) gledišta. Trenutacni odgovor na prigovor je da zato imamo mjeru


inkonzistentnosti toka koja mjeri njegovu udaljenost od skupa konzistent-nih tokova. Ovisno o gornjoj granici prihvatljive inkonzistentnostiµ∗ (v.diskusiju u 3.3) možemo biti manje ili više strogi što se tice prihvacanjaodluke.

To još nije odgovor na postavljeno pitanje kako oslabiti pojam inkon-zistentnosti. Razuman pristup bio bi sljedeci: Ako graf preferencije gene-rira uredaj slabe preferencije i nije konzistentan onda možemo reci da jeF slabo konzistentan. Ako je F slabo konzistentan to još uvijek ne zna-ci da je njegov potencijal funkcija vrijednosti što se vidi iz primjera 3.2.Druga mogucnost je umjesto potencijala uzme neki hibrid kojice ujedinitii svojstva potencijala i biti uskladen s relacijom preferencije. Takav hibridpostoji i nazivamo gaordinalnim potencijalom odF , v. V. Šego[?].

3.8. Analiza primjera 1.2. Ovdje cemo sugerirati nekoliko nacinakako se može modelirati razmišljanje donosioca odluke u primjeru 1.2 (str.14) pomocu metode potencijala.

3.8.1. Direktan pristup.U direktnom pristupu koristiticemo kao ulaz-ne podatke one iz tablice u na str. 14. Matrica toka je, pošto sad nemamosubjektivne procjene vec egzaktne podatke, odredena razlikama zadanihvrijednosti. To znaci da je komponenta matrice tokaF na mjestuab jedna-ka

Fab = (18 − 18) + (7 − 12) + (11 − 6) = 0 − 5 + 5 = 0,

a na mjestu ac

Fac = 18 − 5 + (12 − 17) + (6 − 8) = 13 − 5 − 2 = 6.

Izracunamo li komponente toka za ostale parove dobije se matrica toka ipotencijalX u pretposljednjem stupcu prema formuli (3.4):

a b c d X SO

a 0 0 6 6 3 9

b 0 0 6 6 3 9

c −6 −6 0 0 −3 7.5

d −6 −6 0 0 −3 7.5

U krajnjem desnom stupcu (SO) smo zapisali srednju ocjenu dobivenu iztablice na str. 14. Vidimo da niti potencijal niti srednja ocjena ne razlikujustudentaa od b niti studentac od studentad. U cemu je onda prednostmetode potencijala? U ovako strukturiranom modelu njena prednost nijemogla doci do izražaja. Primjer samo vodi na zakljucak da u modelimagornjeg tipa gdje možemo racunati srednju vrijednost i potencijal i srednja


vrijednost daju isto rangiranje. Taj je zakljucak sasvim u redu jer je poten-cijal za potpuni graf dobijemo kao srednju vrijednost stupaca matrice tokaF .

3.8.2. Subjektivan pristup.Analiziramo li tok misli ocjenjivaca (do-nosioca odluke) u primjeru 1.2 doci cemo do grafa preferencija medu pro-filima kao na slici 6. Tu smo uvažili konstataciju da su preferencije oda i

π(a)

π(b) π(c)

π(d)

4

4

1 1

4

4

SLIKA 6. Subjektivne preferencije iz primjera 1.2.

b u odnosu nac i d jednake težine i to u korista i b. Malu prednost imadu odnosu nac i istu toliku a u odnosu nab. Matrica toka i potencijal su

a b c d X

a 0 1 4 4 2.25

b −1 0 4 4 1.75

c −4 −4 0 −1 −2.25

d −4 −4 1 0 −1.75

što daje poredak

a < b < d < c

kao i u primjeru 1.2.3.8.3. Nepotpuni podaci.Iskoristimo ješ jednu mogucnost metode da

dozvoljava nepotpun graf preferencije. Crtkane strelice predstavljaju ’za-

boravljene’ preferencije iz potpunog grafa. Preferencijaπ(c)4

−→π(a) da-

je odnos izmedu klasa, a preferencijeπ(b)1

−→π(a) i π(c)1

−→π(d) dajuodnose unutar svake klase. Takav model daje sljedece rezultate u tablici3.3. Inkonzistentnost toka iznosiµ(F) = 0 jer nema ’suvišnih’ podataka.

3.8.4. Uvodenje novih kriterija.Interakciju kriterija kao u primjeru1.2 zvaticemokoalicijom. Jedan od nacina modeliranja takvih problemadan je uclanku Grabish [16] i to tehnikom fuzzy logike. Ovdjecemo datidva modela koristeci metodu potencijala. U svakom od modela uvode se


π(a)

π(b) π(c)

π(d)

1 14

SLIKA 7. Nepotpune preferencije iz primjera 1.2.

X w

a 2 0.593

b 1 0.296

c -2 0.037

d -1 0.074

TABLICA 3.3. Nepotpuni podaci.

novi kriteriji. U prvomcemo uvesti kriterijeFM , ME, FE koji predstav-ljaju koalicije od po dva kriterija.Snaga koalicijeje suma bodova svakogclana koalicije. Smatramo da je koalicija ’labava’ ako je njena snaga ispod20 bodova5. U slucaju labave koalicije naprosto necemo uvažavati njenusnagu tj. broj bodova i praviti se kao da ne postoji taj podatak. Nova tabli-ca, s proširenim skupom kriterija, je tablica 3.4. U njoj je sa zvjezdicom(∗) oznacena labava koalicija. U drugom retku tablice su dane relativne

5Ovdje se ocito vidi utjecaj praga prolaznosti koji iznosi 10 bodova za ljestvicu 1–20.

F M E FM ME FE

5 5 5 2 2 2

a 18 12 6 30 ∗ 24

b 18 7 11 25 ∗ 29

c 5 17 8 22 25 ∗

d 5 12 13 ∗ 25 ∗

TABLICA 3.4. Koalicija kriterija.


težine pojedinih kriterija. Težine kriterija smo odredili tako da svi kriterijiimaju jednake težine i sve koalicije imaju jednake težine s tom razlikom štosu težine koalicija manje jer smatramo da bi njihov utjecaj trebao biti malaperturbacija u odnosu na rangove koje bi dobili bez koalicija6. Rezultatirangiranja pomocu metode potencijala su

PM – rang

a 0.286

b 0.281

d 0.221

c 0.212

što je prilicno u skladu s razmišljanjem iz primjera 1.2.3.8.5. Oscilacija kao kriterij. Neki nastavnici smatraju da je dobro

uvesti novi kriterij ’varijacija ocjena’. Razmišljanje u primjeru 1.2 sugerirada za dva studenta s istim zbrojem bodova bolji je onajcije ocjene manjevariraju. Kao mjeru oscilacije uzetcemo najjednostavniju, a to je razlikaizmedu najveceg i najmanjeg podatka. U tom slucaju tablica izgleda

F M E V

4 4 4 1

a 18 12 6 12

b 18 7 11 11

c 5 17 8 12

d 5 12 13 8

gdje jeV oznaka za varijaciju. U drugom retku tablice zapisali smo težinekriterija, a težinu varijacije kao kriterija uzeli smo da jecetiri puta manja uodnosu na težinu kriterija iz istog razloga kao i ranije za koaliciju. Istakni-mo da se manja varijacija smatra boljom. Rezultati rangiranja su sada:

rang

b 0.298

a 0.297

d 0.204

c 0.200

Uvodenjem kriterija ’oscilacija’ uspjeli smo postici dad bude bolje rangi-ran negoc ali ne i daa bude bolje rangiran odb jer b ima manju oscilaciju

6U primjeni teorije potencijala na egzaktne podatke uvodi se novi parametar FN ,’flow–norm’, kojeg smo odredili tako da je jednak za sve kriterije i ima vrijednost 2. ZadefinicijuFN v. Caklovic [38].


ocjena. Sama oscilacija kao dodatni kriterij ocito nije dovoljna za objaš-njenje ispitivacevog nacina razmišljanja.

3.9. Primjer grupne odluke.

PRIMJER 3.10. Na takmicenju iz matematike bila su 4 zadatka. Ko-misija je odredila jednak broj bodova za svaki exercise. Nakon takmicenjauoceno je da su neki zadaci teži od ostalih pa je svakiclan komisije za-moljen da, nezavisno od ostalih, odredi graf preferencija (težine) u odnosuna svaki od sljedecih kriterija: ’Teorijska složenost’ (TS), ’Racunska slo-ženost’ (RS), ’Logika’ (L). Ako je za rješavanje zadatka nužno nekopred-znanje u formi teorema ondace TS-komponenta zadatka biti dominantna,ako je za rješavanje zadatka potrebna vještina u racunanju ili programi-ranju ondace RS-komponenta zadatka biti dominantna, a ako nije nužnopoznavanje teorije i nema racuna vec se zahtjeva povezivanje ili se tra-ži neka struktura onda je L-komponenta dominantna. Svaki ocjenjivac jeodredivao i važnost kriterija i težinu exercisea usporedivanjem u parovimapo vlastitoj procjeni. Rezultati grupne odluke, temeljene na teoriji poten-cijala, prikazani su u tablici 3.5 U tablici su prikazani sljedeci podaci (od

Težina u postocima

exercise Clan A Clan B Clan C Clan D Grupa

1 16.8 15.9 13.8 21.2 17.7

2 24.0 8.7 23.1 23.7 19.5

3 32.8 16.6 25.2 34.6 27.7

4 26.4 58.8 38.0 20.5 35.1

TABLICA 3.5. Grupna odluka.

lijeva na desno):

• rangovi svakogclana komisije prema gornjim kriterijima izraženiu postocima;

• grupni konsenzus.

Na pitanje slažu li se sa svojom odlukomclanovi su odgovorili: "Uglav-nom da", a na pitanje da li se slažu s grupnom odlukom odgovor je bio neštopozitivniji.

Bibliografija

1. M. Barbut, Médians, Condorcet et Kendall, Mathématiques et Sciences Humaines(1980), no. 69, 5–13.

2. J. A. Bargh,Automatic and conscious processing of social information, vol. 3, pp. 1–43, Hillsdale, NJ, Erlbaum, 1984.

3. J. Baron,Thinking and deciding, ambridge Univ. Press, 1994.4. A. Bechara, H. Damasio, D. Tranel, and A. R. Damasio,Deciding advantageously

before knowing the advantageous strategy, Science (1997), no. 275, 1293–1295.5. Ross Buck,Human motivation and emotion, Wiley.6. L. Carroll,What the Tortoise Said to Achilles, Mind, n.s., no. 4, 278–280.7. J. Ceraso and A. Provitera,A sources of error in syllogistic reasoning, Cognitive Psyc-

hology, no. 2, 400–410.8. L. J. Chapman and J. P. Chapman,Atmosphere effect reexamined, J. of Experimental

Psychology, no. 58, 220–226.9. L. Cosmides,Deduction or Darwinian algorithm? An explanation of the "elusive"

content effect on the Wason selection task, Ph.D. thesis, Dept. of Psych., Harvard,1985.

10. A. R. Damasio,Toward a Neurobiology of Emotion and Feeling: Operational Concep-ts and Hypotheses., The Neuroscientist (1995), no. 1, 19–25.

11. Antonio Damasio,Descartes’ error: Emotion, reason and the human brain, Macmil-lan, 1996.

12. D. N. Davis, Minds have personalities - Emotion is the core, ht-tp://www.cs.bham.ac.uk/ axs/aisb2000/papers/darryl.paper.pdf.

13. J-M. Fellous, J. L. Armony, and J. E. LeDoux,Emotional Circuits, The Handbok ofBrain Theory and Neural Networks (M. A. Arbib, ed.), 2003.

14. P. C. Fishburn,Utility theory for decision making, John Wiley, 1970.15. K. M. Galotti, J. Baron, and J. Sabibi,Individual differences in syllogistic reasoning:

Deduction rules or mental models, J. of Experimental Psych., no. 115, 16–25.16. Michel Grabisch,The application of fuzzy integrals in multicriteria decision making,

European Journal of Operational Research89 (1996), no. 3, 445–456.17. M. Henle,On the relation between logic and thinking, Psychological Review, no. 69,

366–378.18. P. N. Johnson-Laid,Mental models: Towards a cognitive science of language, inferen-

ce and consciousness, Cambridge, Mass., Harvard Univ. Press., 1983.19. P. N. Johnson-Laid and B. G. Bara,Syllogistic inference, Cognition (1984), no. 16,

1–61.20. P. N. Johnson-Laid and M. Steedman,The psychology of syllogisms, Cognitive Psyc-

hology (1978), no. 10, 64–99.21. Daniel Kahneman and Amos Tversky,Prospect theory: An analysis of decision under

risk., Econometrica47 (1979), 263–291 (English).

117

118 BIBLIOGRAFIJA

22. D. H. Krantz, R. D. Luce, P. Suppes, and A. Tversky,Foundations of measurements,vol. 1: Additive and polinomial representations, Academic Press, New York, 1971.

23. J. LeDoux,The emotional brain, Simon & Schuster, New York, 1996.24. J. E. LeDoux,Emotion: Clues from the Brain, Annual Review of Psychology, no. 46,

209–235.25. , The neurobiology of emotion, Mind and Brain. Dialogues in cognitive neuros-

cience (J. E. LeDoux and W. Hirst, eds.), Cambridge University Press, 1986, pp. 301–354.

26. , Emotion and the Amygdala, The Amygdala: Neurobiological Aspects ofEmotion, Memory and Mental Dysfunction (J. P. Aggleton, ed.), Wiley–Liss, 1992,pp. 339–351.

27. G. F. Loewenstein, E. U. Weber, C. K. Hsee, and N. Welch,Risk as Feelings, Psycho-logical Bulletin (2001), no. 2, 267–286.

28. Boris Petz,Psihologijski rjecnik, Prosvjeta, Zagreb, 1992.29. Steven Pinker,How the Mind Works, Penguin, London, 1997.30. M. Profet,Protecting Your Baby-To-Be: Preventing Birth Defects in the First Trimes-

ter, Perseus Publishing, 1995.31. F. S. Roberts,Measuremenr theory, Addision Wesley, 1979.32. T. L. Saaty,The analytic hierarchy process, RWS Publications, Pittsburg, 1996.33. S. Scribner,Modes of thinking and ways of speaking: Culture and logic recinsidered,

Thinking: Readings in cognitive science (New York) (P. N. Johnson-Laird and P. C.Wason, eds.), Cambridge Univ. Press, 2003, pp. 483–500.

34. A. Sloman,Architectural requirements for human-like agents both natural and artifi-cial, Benjamins Publishing, Dautenhahn, K., 1999.

35. S. A. Sloman,The empirical case for two systems of reasoning, Psychological Bulletin(1996), no. 119, 3–22.

36. S. E. Toulmin,The uses of argument, Cambridge Univ. Press, 1958.37. L. Caklovic, Decision making via potential method.38. LavoslavCaklovic and Vedran Šego,Potential Method applied on exact data, Pro-

ceedings of KOI 2002 (Kristina Šoric, Tihomir Hunjak, and Rudolf Scitovski, eds.),Croational Operational Research Society, Trogir, Croatia, October 2-4.2002, pp. 237–248.

39. John von Neumann and Oskar Morgenstern,Theory of games and economic behavior.1st paperback ed. (Repr. of 3rd ed. H/C)., Princeton, New Jersey: Princeton UniversityPress. XX, 641 p. $ 13.00 , 1980 (English).

40. J. F. Voss, S. W. Tyler, and L. A. Yengo,Individual differences in the solving of socialscience problems Vol. 1, Individual differences in cognition (R. F. Dillon and R. R.Schmeck, eds.), Academic Press, New York, 1983, pp. 205–232.

41. M Vukovic, Matematicka logika 1, Sveucilište u Zagrebu, Matematicki odjel, Zagreb,1999.

42. P. Wason,Reasoning, New horizons in psychology (B. M. Foss, ed.), London, Penguin,1966.

43. T. D. Wilson, D. J. Lisle, J. W. Schooler, S. D. Hodges, K. J. Klaaren, and S. J. LaFle-ur, Introspecting about reasons can reduce post-choice satisfaction, Personality andSocial Psychology Bulletin19 (1993), 331–339.

44. T. D. Wilson and J. W. Schooler,Thinking too much: Introspection can reduce thequality of preferences and decisions, Journal of Personality and Social Psychology60(1991), 181–192.

Documents

Modeli u odlucivanju