Modele równowagi rynku kapitałowego -

CAPM i APT

1

Elton, Gruber, Brown, Goetzmann (2007) Modern portfolio theory and investment analysis, John Wiley and Sons. (rozdz. 13-16 [, 5, 7])

Campbell, Lo, MacKinlay (1997) The econometrics of financial markets, Princeton University Press. (rozdz. 5, 6)

Francis J.C., Inwestycje, Analiza i zarządzanie (2000) WIGPress, Warszawa

2

Literatura

Analiza portfelowa Markowitza

Model CAPMModel wyceny aktywów kapitałowych –Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Model APTTeoria arbitrażu cenowego - Arbitrage Pricing Theory (APT)

3

Plan prezentacji

Markowitz (1952) „Portfolio selection”, Journal of Finance, March 1952 s. 89

Odchylenie standardowe (wariancja) – miarą ryzyka.

Zależność między stopą zwrotu a ryzykiem.

Dywersyfikacja portfela – obniżenie ryzyka portfela bez wpływu na wysokość stopy zwrotu poprzez połączenie w portfelu aktywów, które nie są ze sobą doskonale dodatnio skorelowane.

4

Teoria portfelowa –trochę historii

Pojedynczy walor lub kombinacja walorów, która charakteryzuje się:

1) Maksymalną oczekiwaną stopą zwrotu wśród portfeli o tym samym ryzyku.

2) Minimalnym poziomem ryzyka wśród portfeli o takiej samej oczekiwanej stopie zwrotu.

5

Portfel efektywny iiRE );(

E(R)

σ

Granica efektywna dla 2 aktywów(współczynnik korelacji <1)

6

Wypukłość granicy efektywnej(względem osi E(R))

E(R)

σ

Zbiór możliwości inwestycyjnych a granica efektywna

7

Wypukłość granicy efektywnej(względem osi E(R))

Możliwość zaciągania i udzielania pożyczek przy stopie wolnej od ryzyka Rf - powstaje liniowy zbiór możliwości inwestycyjnych:

0

8

Linia rynku kapitałowego

fp RwREwRE )1()()(

);cov()1(2)1()var( 2222ffp RRwwwwR

wp

E(R)CML

Rf

σ

LINIA RYNKU KAPITALOWEGO – Capital Market Line – najwyżej położoną linią - kombinacje portfela rynkowego oraz depozytu (pożyczki) przy stopie wolnej od ryzyka.

9

Linia rynku kapitałowego

Ryzyko całkowite =Ryzyko dywersyfikowalne(zmienność specyficzna)+Ryzyko niedywersyfikowalne (zmienność systematyczna)

Racjonalni inwestorzy powinni się skupić na zdywersyfikowanych portfelach, ponieważ dzięki dywersyfikacji ryzyko całkowite jest mniejsze.

10

Ryzyko całkowite – całkowita zmienność stopy zwrotu

Portfele na linii CML:

Ryzyko dywersyfikowalne tych portfeli =0.

Ryzyko niedywersyfikowalne można zmniejszać poprzez zmniejszenie dźwigni finansowej (udziału pożyczki w portfelu).

Charakteryzują się korelacją =1 (liniowy zbiór możliwości inwestycyjnych).

11

Linia rynku kapitałowego

Model wyceny aktywów kapitałowych

Capital Asset Pricing Model

12

CAPM

Autorzy CAPM (niezależnie)

◦ Sharpe (1964)◦ Lintner (1965)◦ Mossin (1966)

13

Model CAPM

Linia charakterystyczna dla i-tego waloru:

β – mierzy reakcję stopy zwrotu z i-tego waloru na zmianie stopy zwrotu portfela rynkowego.

Szacowanie:

β – miarą ryzyka systematycznego, niedywersyfikowalnego

14

Linia charakterystyczna

)()( Miii REaRE

titMiiti RaR ,,,

)var();cov(ˆ

M

Mii R

RR

Ryzyko systematyczne Ryzyko niesystematyczne

15

Podział ryzyka całkowitego)var()var()var()var( iMii RaR

)var()var()var( 2iMii RR

)var()var(

)var()var(1

2

i

i

i

Mi

RRR

221

E(Ri) SML

RM

Rf

1 βi

Rf – stopa wolna od ryzyka, stopa portfela o zerowym β Linia SML – Security Market Line

16

Model CAPM – model wyceny dóbr kapitałowych współczynnik kierunkowy

iM

fMfi

RRRRE

)(

ifMfi RRRRE ][)(

1M

Interpreptacja

(Oczekiwany zwrot)=(cena czasu)+(cena ryzyka)x(wielkość ryzyka)

Wszyscy inwestorzy utrzymują identyczny portfel ryzykownych aktywów – portfel rynkowy (market portfolio)

17

ifMfi RRRRE ][)(

Brak kosztów transakcyjnych

Brak podatku dochodowego

Aktywa finansowe nieskończenie podzielne

Wszystkie aktywa są na sprzedaż

Pojedynczy inwestor nie jest w stanie zmienić ceny instrumentu finansowego (konkurencja doskonała)

Krótka sprzedaż dozwolona

18

Założenia CAPM

Nieograniczona możliwość pożyczania po stopie procentowej bez ryzyka

Inwestorzy podejmują decyzje wyłącznie na podstawie wartości oczekiwanych zwrotów i odchyleń standardowych swoich portfeli

Inwestorzy są homogeniczni w swoich oczekiwaniach dotyczących: ◦ stóp zwrotu, odchyleń standardowych, korelacji między

instrumentami w danym okresie◦ okresu oceny inwestycji (horyzont inwestycyjny)

19

Założenia CAPM (c.d.)

1.Regresje oparte na szeregach czasowych:

2. Regresja oparta na danych przekrojowych:

20

Estymacja CAPM

iii uBAR

titMiiti RaR ,,,

][ fM

f

RRB

RA

Relacja między stopą zwrotu i ryzykiem dla każdego instrumentu

Odpowiednia miara ryzyka dla każdego instrumentu

Pozwala wyliczyć oczekiwaną stopę zwrotu (szacowanie kosztu kapitału, ocena portfela inwestycyjnego, analiza zdarzeń)

21

Zastosowania CAPM

Opodatkowanie zysków Krótka sprzedaż niedozwolona Heterogeniczne oczekiwania

Niemożliwe pożyczanie po stopie wolnej od ryzyka:

„zero-beta CAPM” Wielookresowy CAPM, Multi-beta CAPM, „Consumption-oriented CAPM”, itp.

22

Rozszerzenia CAPM

iZMZi RRRR )(

Model rynkowy prawdziwy w każdym okresie

Beta stabilny w czasie

Model CAPM prawdziwy w każdym okresie

23

Założenia do testowania

titMiiti RaR ,,,

tiitftMtfti uRRRR ,,,,, )(

Im wyższe ryzyko (beta), tym wyższe stopy zwrotu

Stopy zwrotu liniowo związane z „betą”

Brak dodatkowego zwrotu za ryzyko dywersyfikowalne (niesystematyczne, nierynkowe)

Odchylenia od równowagi losowe, nie pozwalają uzyskać nadzwyczajnych zysków

24

Hipotezy do testowania

Sharpe, Cooper (1972)◦ oszacowali „bety” dla kilkuset akcji (60 miesięcy

danych), model rynkowy ◦ w każdym roku (1931-67) dzielili akcje na 10 grup

o podobnych „betach” Wynik:

◦ utrzymywanie portfeli z większymi „betami” daje w długim okresie wyższe stopy zwrotu

◦ liniowa zależność między „betą” i zwrotami

25

Testy empiryczne CAPM

iiR 75,1254,5

Lintner / powtórzone przez Douglasa (1968)◦Model rynkowy, roczne szeregi czasowe

(1954-1963), „beta” dla 301 spółek◦Drugie równanie:

Oczekiwane wartości:

Wyniki: a1 za duże, a2 za małe, a3 za duże, CAPM nie działa

26

Testy empiryczne CAPM

ieiii SaaaR 2321

0 ),(lub),(lub 321 aRRRRaRRa ZMFMZF

Miller, Scholes (1972)◦ Model do testowania CAPM przy pomocy

szeregów czasowych powinien mieć postać:

◦ Sprawdzić czy zależność między zwrotami i „betą” liniowa;

◦ Heteroskedastyczność składnika losowego zakłóca wyniki testów;

◦ Błędy oszacowań „bety” w pierwszym równaniu zaniżają parametr przy „becie” w drugim, wariancja reszt skorelowana z „betą”;

◦ Dodatnia skośność zwrotów wariancja reszt skorelowana ze zwrotami z portfela.

27

Testy empiryczne CAPM

itiFtMtFtit eRRRR )(

Black, Jensen, Scholes (1972):◦ 5 lat danych, wybór 10 portfeli na następny rok

zgodnie z wartościami „bet”, przesunięcie o rok okna 5 lat, itd…. (w sumie 35 lat danych)

◦ Obliczone zwroty z 10 portfeli za kolejne lata jako szeregi czasowe, szacowane „bety” portfeli

◦ Wyniki: nadzwyczajne stopy zwrotu z portfeli silnie skorelowane z rynkowymi, ale stałe różne od 0.

28

Testy empiryczne CAPM

itFtMtiiFtit eRRRR )(

Testy empiryczne CAPM c.d.

◦ Jeśli prawdziwy model „zero beta” to

stałe ujemne dla dużych „bet” i dodatnie dla małych „zero beta” CAPM prawdziwy

◦ regresja nadzwyczajnych zwrotów względem „bety”

„zero beta” CAPM prawdziwy

)1)(( iFZi RR itMtiiZit eRRR )1(

29

98,0,01080,000359,0 2 RRR iFi

Fama, MacBeth (1973)◦ „bety” z 20 portfeli oszacowanych w modelach

szeregów czasowych◦ Regresja: dane przekrojowe, dla każdego miesiąca

z lat 1935-1968

◦ Oczekiwane:

30

Testy empiryczne CAPM

iteititittit SR 32

210

0)ˆ(,0)ˆ(,0)ˆ( 123 ttt EEE

Testy empiryczne CAPM c.d.

◦ Jeśli to sprawdza się standardowy czy „zero beta” CAPM?

◦ Sprawdza się wszystkie parametry po czasie czy „fair game”?

Wyniki:

„zero beta” CAPM raczej niż standardowy CAPM

0)ˆ(,0)ˆ( 23 tt EE )ˆ(),ˆ( 10 tt EE

31

0)ˆ(,0)ˆ( 33 tt jaautkorelacE 0)ˆ(,0)ˆ( 22 tt jaautkorelacE

FtFMt RERRE )ˆ(,)ˆ(0 01

0)( itjaautkorelac

Ryzyko stopy procentowej Ryzyko utraty siły nabywczej Ryzyko niedotrzymania zobowiązań Ryzyko płynności Ryzyko związane z zarządzaniem Itd..

32

Czynniki wpływające na ryzyko całkowite

Teoria arbitrażu cenowego

Arbitrage Pricing Theory

Stephen Ross, (1976) ”The Arbitrage Pricing Theory of Capital Asset Pricing” Journal of Economic Theory, Dec. 1976 s.334-360

33

APT

Model jednoczynnikowy:

Model wieloczynnikowy:

beta – współczynnik wrażliwości - mierzy wrażliwość stopy zwrotu na dany czynnik ryzyka F

34

Liczba czynników ryzyka systematycznego

titMiiti RaR ,,,

titkiktitiiti FFFaR ,,,22,11, ...

Model wieloczynnikowy (funkcja generująca stopy zwrotu w modelu APT):

Model APT:

- premia za ryzyko, (rynkowa cena ryzyka),

jest dodatkową stopą zwrotu dla obarczonego ryzykiem waloru o βj=1.

35

Model APT

titkiktitiiti FFFaR ,,,22,11, ...

kikiiiRE ...)( 22110

j?0 fR

I etap:

◦ Analiza czynnikowa – jednoczesne szacowanie „β” (ładunki czynnikowe) i „F” – czynniki nie są z góry znane

◦ Regresja szeregów czasowych – czynniki są z góry określone

II etap:◦ Szacowanie modelu APT na podstawie danych

przekrojowych:

36

Estymacja modelu APTtitkiktitiiti FFFaR ,,,22,11, ...

ikikiii uR ...22110

Czynniki ryzyka:

◦ Wszystkie czynniki są niezależne;

Reszty:

◦ Reszty dla wszystkich walorów są niezależne;

Czynniki są niezależne od nieobjaśnionych przez model reszt :

37

Analiza czynnikowa - założenia

jidlaFFE ji ,0)(

0)]([ jji FFeE

eiii eVareE )(,0)(

0)( , tjFE

jidlaeeE ji ,0)(

0)]([ , jtj FEFE

(Nieoczekiwane) Zmiany stóp procentowych Zmiany stopy inflacji Zmiany PKB Zmiany indeksu rynkowego Zmiany nachylenia krzywej dochodowości

38

Przykładowe czynniki ryzyka

„Prawo jednej ceny” – natychmiastowe niwelowanie różnic w cenach/stopach zwrotu tych samych aktywów.

Stopy zwrotu każdego instrumentu kształtują się zależnie od czynników ryzyka.

Portfel arbitrażowy – (non-money-investment assumption)

39

Założenia APT

APT Każdy portfel i inaczej reaguje na Fj

Każdy czynnik Fj oddziałuje na więcej portfeli

Czynniki F nie są zdefiniowane z góry (analiza czynnikowa)

40

Roll, Ross (1980)◦ 42 grupy po 30 akcji, dzienne dane 1962-1972◦ Analiza czynnikowa: 5,6 czynników, 3 czynniki

ważne.

Dhrymes, Friend, Gultekin (1984)◦ 3 czynniki dla 15 akcji, 7 dla 60 akcji

41

Testy empiryczne APT

Brown, Weinstein (1983) testują:◦ czy stała jest identyczna w grupach◦ czy „lambdy” identyczne w grupach dla ustalonej

stałej◦ czy „lambdy” i stała identyczne w grupach

Dhrymes, Friend, Gultekin (1984)◦ Stała identyczna lub nie w zależności od metody

grupowania akcji

42

Testy empiryczne

Connor, Korajczyk (1986):◦ asymmetric principle component analysis:

5 czynników lepiej wyjaśnia wyższe stopy zwrotu z małych firm i efekt stycznia niż CAPM

Elton, Gruber (1982)◦ W Japonii CAPM nie działa (małe spółki mają

niższe stopy zwrotu), APT jako standard

43

Testy empiryczne

Chen, Roll, Ross (1986)

Z góry ustalone czynniki: inflacja, struktura terminowa stóp procentowych, premia za ryzyko, produkcja przemysłowa

◦ Czy skorelowane z „F” z analizy czynnikowej (Roll, Ross), czy „F” wyjaśniają stopy zwrotu?

◦ Tak, tak.

44

Testy empiryczne – czynniki z góry ustalone

Modele równowagi Liczba założeń Liczba czynników ryzyka Estymacja

45

APT i CAPM – podobieństwa i różnice

Dziękuję za uwagę!

46