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Proyecto Alianza de Matemáticas y Ciencias
del Turabo (AMCT)
Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,
“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.
Marlio Paredes, Ph.D.
27 de febrero de 2010
Año académico, 2009-2010
Modelamiento matemático y solución de
problemas verbales
Parte I
Objetivos:
Representar algebraicamente y gráficamente
relaciones cuantitativas.
Interpretar las representaciones algebraicas y
graficas de una relación cuantitativa.
Traducir entre representaciones (moverse de
una representación a las otras) equivalentes de
una situación matemática o del mundo real.
Objetivos:
Analizar situaciones matemáticas y del
mundo real para determinar que tipo de
representación es la más adecuada para
modelarse.
Construir ecuaciones o sistemas de
ecuaciones cuando sea necesario para
modelar una situación matemática o del mundo
real.
Este taller responde a los siguientes
estándares y expectativas
A.MO.7.5.5 Representa relaciones cuantitativas
gráficamente e interpreta el significado de una parte
específica de la gráfica.
A.PR.7.6.4 Establece conexiones y traduce entre
representaciones equivalentes de relaciones lineales,
incluyendo gráficas, tablas, ecuaciones y expresiones
verbales para resolver problemas.
A.MO.7.7.1 Representar situaciones matemáticas y del
mundo real que utilice ecuaciones lineales de la forma
ax + b = c, donde a, b, c son expresadas como
fracciones, decimales o enteros.
G.TS.7.12.4 Interpreta y resuelve situaciones usando
escalas, incluyendo aquellas basadas en rectas
numéricas, dibujos, modelos, mapas y gráficas.
A.PR.8.3.1 Representa patrones lineales por medio de
tablas, gráficas, sucesiones, expresiones verbales,
expresiones simbólicas, ecuaciones y funciones de la
forma ƒ(x) = ax + b.
A.RE.8.3.4 Identifica y traduce entre representaciones
equivalentes de expresiones lineales, ecuaciones,
inecuaciones y sistemas de ecuaciones, por medio de
representaciones verbales, tablas, gráficas y símbolos.
A.MO.8.5.1 Construye una ecuación o inecuación
lineal para modelar una situación del mundo real,
usando una variedad de métodos y representaciones.
A.CA.8.8.1 Generaliza patrones lineales o sucesiones
aritméticas utilizando reglas verbales y expresiones
simbólicas tales como ak y ax + b.
Un modelo matemático
es la descripción
matemática de una
situación real.
En la elaboración de un
modelo se hacen
algunos supuestos y se
consideran algunas
simplificaciones de la
realidad.
Modelos Matemáticos
En ciencias aplicadas, un Modelo matemático
es uno de los tipos de modelos científicos, que
emplea algún tipo de formulismo matemático
para expresar relaciones, proposiciones
sustantivas de hechos, variables, parámetros,
entidades y relaciones entre variables y/o
entidades u operaciones, para estudiar
comportamientos de sistemas complejos ante
situaciones difíciles de observar en la realidad.
Modelo matemático
El significado de Modelo matemático en matemática
fundamental, sin embargo, es algo diferente. En concreto
en matemáticas se trabajan con modelos formales. Un
modelo formal para una cierta teoría matemática es un
conjunto sobre el que se han definido un conjunto de
relaciones que satisfacen las proposiciones derivadas del
conjunto de axiomas de la teoría. La rama de la
matemática que se encarga de estudiar sistemáticamente
las propiedades de los modelos es la teoría de modelos.
Modelo matemático
El termino de modelización matemática es
utilizado también en diseño gráfico cuando se
habla de modelos de los objetos en 2D o 3D.
Modelo matemático
Determinista: Se conoce de manera puntual la
forma del resultado ya que no hay incertidumbre.
Además, los datos utilizados para alimentar el
modelo son completamente conocidos y
determinados.
Clasificación de los
modelos
Estocástico: Probabilístico, que no se conoce el
resultado esperado, sino su probabilidad y existe
por tanto incertidumbre.
Modelos heurísticos: (del griego euriskein 'hallar,
inventar'). Son los que están basados en las
explicaciones sobre las causas o mecanismos
naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
Clasificación de los
modelos
Modelos empíricos: (del griego empeirikos relativo
a la 'experiencia'). Son los que utilizan las
observaciones directas o los resultados de
experimentos del fenómeno estudiado.
El Modelo de Fibonacci
Es imposible saber cuando y donde se
formuló el primer modelo matemático de
un fenómeno biológico, pero el mas
antiguo que aparece en la literatura es el
propuesto por Leonardo de Pisa.
Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci
(que significa hijo de Bonacci), nació en la ciudad italiana
de Pisa y vivió de 1170 a 1250.
Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajaba como
representante de la casa comercial italiana más importante
de la época, en el norte de África.
Si alguien coloca una pareja de conejos en un sitio
rodeado por paredes, ¿cuántas parejas de conejos
generará la pareja inicial durante un año si se supone que
cada mes una nueva pareja es engendrada por cada
pareja que a partir de su segundo mes deviene
productiva?
El Modelo de Fibonacci
Leonardo escribió en su famoso
libro sobre la aritmética Liber
abacus el siguiente problema:
El Modelo de Fibonacci
En este enunciado se pueden
reconocer los elementos de un
modelo matemático moderno. En
efecto, se menciona explícitamente
cuales son los supuestos o hipótesis
en los que se basan las afirmaciones:
- El hecho de que los conejos estén rodeados de
paredes nos dice que la población se encuentra
aislada, que no hay emigración, inmigración,
depredación, competencia, etc.
El Modelo de Fibonacci
- Se especifica la dinámica que
provocara cambios en la magnitud
de la población; es decir, la
dinámica que la rige (''...cada mes
una nueva pareja es
engendrada...'')
Comenzamos con una única pareja de
conejos (macho y hembra).
El Modelo de Fibonacci
Cada pareja madura de conejos produce una
única nueva pareja de conejos (macho y hembra)
cada temporada de crianza.
Cada pareja de conejos
(macho y hembra) madura
(puede reproducirse) pasado
un mes.
En cada fila se representan
las parejas de conejos por
temporadas.
Las parejas maduras son
las de color negro.
El Modelo de Fibonacci
Esto da lugar a la famosa sucesión de Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……..
Una manera, matemáticamente
mas formal, de describir esta
situación es la siguiente:
,3,2,1,11 tNNN ttt
El Modelo de Fibonacci
Si denotamos por Nt el número de parejas (macho y
hembra) de conejos al principio de cada temporada y por t
la correspondiente temporada, entonces la población de
conejos se describe por la siguiente “ecuación en
diferencias” (recurrencia):
Movimiento Browniano
En la primera mitad del siglo XIX, el biólogo
inglés Robert Brown (1773-1858) estudiaba el proceso
de fecundación de una planta cuando percibió un
movimiento oscilatorio extremadamente rápido y
cambiante en los granos de polen de la flor cuando
estos se encontraban suspendidos en agua. Brown
pensó que se trataba de una Manifestación de vitalidad
del polen.
Twenty seconds of a measured random walk trajectory for a
micrometer-sized ellipsoid undergoing Brownian motion in water.
The ellipsoid orientation, labeled with rainbow colors, illustrates
the coupling of orientation and displacement and shows clearly
that the ellipsoid diffuses faster along its long axis compared to
its short axis. (Image courtesy of University of Pennsylvania)
En 1905, Einstein publicó la formalización y
explicación teórica del mismo fenómeno. Dicha
teoría se llama Movimiento Browniano y la
formulación matemática de Einstein es la base de
las teorías matemáticas contemporáneas de difusión
y caminatas aleatorias, y además es parte central de
la teoría de probabilidad.
Movimiento Browniano
La Teoría de Catástrofes
La embriología inspiró al matemático francés
René Thom (1923 – 2002) para desarrollar la
Teoría de las Catástrofes.
Embriología: Conrad Hal Waddington
(1905 – 1975)
Esta teoría describe los cambios “repentinos” que ocurren
en un sistema sin perjuicio de su estabilidad o continuidad;
expresado con otras palabras, que el sistema consigue
mantenerse gracias a una maniobra de subsistencia.
Como ejemplos de los mismos, Thom menciona el
interruptor de la luz, la ebullición del agua, la
transformación repentina del maíz en maíz tostado, etc.
La Teoría de Catástrofes
La clave de la teoría está en los
puntos de inestabilidad interna
o estructural. Se trata de
puntos de bifurcación y por lo
tanto de puntos críticos.
Algoritmos Genéticos
La versión matematizada de dicha hipótesis hoy en día es
llamada Algoritmos Genéticos.
Los algoritmos genéticos, denominados originalmente “planes
reproductivos”, fueron desarrollados por John Henry Holland
en los años 1970.
La hipótesis darwiniana de evolución
por selección natural inspiró una
revolución en la ciencia de la
computación, generando lo que hoy se
llama Computación Evolutiva.
Algoritmos Genéticos
Hoy los algoritmos genéticos son una herramienta de uso
corriente en diferentes disciplinas del conocimiento, tales como
ingeniería de transporte, economía, ingeniería industrial,
sistemas de información, ingeniería electrónica, ingeniería
eléctrica, entre muchas otras.
Los Algoritmos Genéticos (AGs) son
algoritmos de búsqueda basados en los
mecanismos de la selección natural
(supervivencia del más apto) y los
principios de la genética.
Redes Neuronales
A finales del siglo XIX se logró
una mayor claridad sobre el
funcionamiento del cerebro
debido a los trabajos de
Santiago Ramón y Cajal (1852 –
1934) en España y Charles Scott
Sherrington (1857 – 1952) en
Inglaterra.
El primero trabajó en la anatomía de las neuronas y el segundo
en los puntos de conexión de las mismas o sinapsis. Se estima
que en cada milímetro del cerebro hay cerca de 50.000 neuronas,
conteniendo en total más de cien mil millones de neuronas y
sinapsis en el sistema nervioso humano.
Redes Neuronales
Las redes neuronales como su
nombre lo indica pretenden
imitar a pequeñísima escala la
forma de funcionamiento de las
neuronas que forman el
cerebro humano.
El desarrollo de las redes neuronales tiene mucho que ver con
la neurofisiología, no en vano se trata de imitar a una neurona
humana con la mayor exactitud posible. Entre los pioneros en el
modelado de neuronas se encuentra Warren McCulloch (1898 –
1969) y Walter Pitts (1923 – 1969).
Redes Neuronales
En este artículo se propuso un modelo matemático de neurona, en el
cual cada neurona estaba dotada de un conjunto de entradas y
salidas. Cada entrada está afectada por un peso. La activación de la
neurona se calcula mediante la suma de los productos de cada
entrada y la salida es una función de esta activación. La principal
clave de este sistema se encuentra en los pesos de las diferentes
entradas.
McCulloch y Walter Pitts
publicaron en 1943 el
importante artículo: "A Logical
Calculus of Ideas Immanent in
Nervous Activity"
El Modelo Malthusiano
El reverendo Thomas Robert
Malthus (1766 – 1834) propuso
en su escrito An Essay on the
Principle of Population (1798), el
siguiente modelo sobre el
crecimiento de la poblacion:
Imaginemos que tenemos una población de cierta
especie (consideraremos que tenemos un número
bastante alto de individuos) y p(t) es el número de
individuos de dicha especie en el momento t.
El Modelo Malthusiano
Supongamos que la población
está aislada, o sea, no hay
emigración ni inmigración.
El modelo de Malthus establece que la velocidad con que
crece la población es proporcional a la población total, esto
es:
p’(t) = k p(t).
La solución de esta ecuación es: p(t) = Aekt.
El Modelo Malthusiano
Según estimaciones del Departamento de Comercio de Estados
Unidos, la Tierra estaba habitada en 1965 por 3.34 x 109
personas. Según estudios realizados durante varios años, se
cree que el índice de crecimiento es de un 2% anual, o sea k =
0,02. Entonces la evolución de la población mundial es:
)1965(02.0910343 te. p(t)
El Modelo Malthusiano
La ecuación nos predice para el
año 1989 una población mundial
de 5.39 x 109 que se acerca
bastante a la cantidad estimada
que fue de 5.18 x 109.
Para el año 2004 la ecuación predice una población de 7.29 x 109 y
la cifra fue de 6.45 x 109.
Los modelos matemáticos se usan en
diferentes áreas del conocimiento:
Biología
Química
Física
Economía
Ingeniería
.
.
.
Modelado mediante ecuaciones
Ejemplo 1: Una compañía que renta automóviles
cobra 30 dólares al día más 15 centavos de dólar por
milla al rentar un automóvil. Helen renta un automóvil
por por dos días y su cuenta es de 108 dólares.
¿Cuántas millas recorrió?
En palabras Algebraicamente
Cantidad de millas recorridas x
Costo de la cantidad de millas
recorridas 0.15x
Costo por los días de uso del
automóvil 2(30)
Planteamiento del modelo
Costo de las millas
recorridas +
Costo por los
días de uso =
Costo
total
0.15x + 2(30) = 108
0.15x + 60 = 108
0.15x = 108 – 60 0.15x = 48
x = 15.0
48x = 320
Solución:
Comprobamos la solución:
0.15(320) + 60 = 48 + 60 = 108
Helen recorrió 320 millas con su auto rentado
Pasos para modelar con ecuaciones
1. Identificar la variable o variables: identifique la
cantidad o cantidades que el problema le pide
determinar.
2. Expresar la información dada en el problema
en términos de la variable o las variables: lea
con cuidado cada oración del enunciado del
problema y exprese todas las cantidades
mencionadas en términos de la variable o
variables que definio en el paso 1.
4. Resuelva la ecuación y compruebe su respuesta:
Resuelva la ecuación, verifique la respuesta y
exprésela como una oración que responda la
pregunta hecha en el problema.
Pasos para modelar con ecuaciones
3. Plantear el modelo: Encuentre en el planteamiento
del problema el hecho que relaciona las expresiones
encontradas en el paso 2.
Ejemplo 2: Mary hereda 100,000 dólares y los invierte
en dos certificados de depósito. Uno de los certificados
paga el 6% y el otro paga 4.5% de interés anual simple.
Si Mary gana en total 5025 en un año, ¿cuánto dinero
ha invertido en cada certificado de depósito?
1. Identificamos la variable:
x = cantidad invertida al 6%
100,000 – x = cantidad invertida al 4.5%
2. Expresamos la información dada en términos
de la variable:
En palabras Algebraicamente
Cantidad invertida al 6% x
Cantidad invertida al 4.5% 100,000 – x
Interés ganado al 6% 0.06x
Interés ganado al 4.5% 0.045(100,000 – x)
3. Planteamos el modelo (ecuación):
Interés ganado
al 6% +
Interés ganado
al 4.5% =
Ganancia
total
0.06x + 0.045(100,000 – x) = 5025
4. Resolvemos la ecuación:
0.06x + 4,500 – 0.045x = 5025
0.06x + 0.045(100,000 – x) = 5025
0.015x + 4,500 = 5025
0.015x = 5025 – 4,500
0.015x = 525
x = 015.0
525= 35,000
5. Comprobamos la respuesta:
0.06(35,000) + 0.045(100,000 – 35,000) = 2,100 + 0.045(65,000)
= 2,100 + 2,925
= 5,025
Mary invirtió 35,000 dólares al 6% y los restantes
65,000 dólares al 4.5%
Alianza de Matemáticas y Ciencias del Turabo (ACMT)
Este Proyecto es sufragado con fondos del Programa Título II-B, “No Child Left Behind”,
“Math and Science Partnership” del Departamento de Educación.
EJERCICIOS
Año académico, 2009-2010
