Mikro II: Oligopol

Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski)

1 / 31

Oligopol

Wst ↪ep

G lowny obszar zainteresowania to porownanie cen, ilosci orazefektywnosci poszczegolnych struktur rynkowych.

Poznalismy zachowanie ga l ↪ezi dzia laj ↪acych w innych strukturachrynkowych:

doskona la konkurencjamonopolkonkurencja monopolistyczna

Teraz czas na oligopol.

2 / 31

Oligopol

Wybor strategii.

Klasyfikacja:

brak zmowy

gra sekwencyjna

przywodztwo ilosciowe - Stackelbergprzywodztwo cenowe - pomini ↪ete

gra jednoczesna

ustalanie produkcji - Cournotustalanie ceny - Bertrand

zmowa

3 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). I

Lider ustala wielkosc produkcji przed nasladowc ↪a, nasladowcawybieraj ↪ac swoj ↪a wielkosc produkcji y2 zna wielkosc produkcji lideray1 - asymetria. Nasladowca po zaobserwowaniu wielkosci produkcjilidera wybiera swoj ↪a produkcj ↪e, kieruje si ↪e maksymalizacj ↪a zysku.Problem nasladowcy:

maxy2

[p(y1 + y2)y2 − c(y2)]

Rozwi ↪azanie tego problemu daje funkcj ↪e reakcji nasladowcyy2 = R2(y1). Patrz Rysunek 27.1

4 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). II

Poniewaz lider moze sobie tez rozwi ↪azac problem nasladowcy, to znafunkcj ↪e reakcji nasladowcy. Znaj ↪ac j ↪a bierze t ↪a wiedz ↪e pod uwag ↪emaksymalizuj ↪ac zysk. Problem przywodcy (lidera)

maxy1

[p(y1 + R2(y1)qy2

)y1 − c(y1)]

Rozwi ↪azanie tego problemu daje nam wielkosc produkcji lidera y1,co razem z funkcj ↪a reakcji daje wielkosc produkcji nasladowcy y2 i latwo tez policzyc cen ↪e i zyski. Zauwaz, ze w rownowaga sk lada si ↪eze strategii dla obydwu graczy (a nie ich akcji). Czym rozni si ↪estrategia od akcji. Strategia musi przewidywac jakie akcje graczepowinni podj ↪ac w kazdym mozliwym stanie swiata, ktory mozewyst ↪apic w trakcie gry. Poniewaz lider rusza si ↪e pierwszy jegostrategia to po prostu wybor wielkosci produkcji, natomiast

5 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). III

poniewaz nasladowca rusza si ↪e drugi to jego strategia musiuwzgl ↪edniac kazd ↪a mozliw ↪a decyzj ↪e lidera (stan swiata) a zatemstrategia nasladowcy jest funkcj ↪a (tutaj nazwan ↪a funkcj ↪a reakcji).

Definicja.

Rownowaga Stackelberga sk lada si ↪e ze strategii dla lidera yL orazstrategii dla nasladowcy RN(yL), spe lniaj ↪acych(i) yL rozwi ↪azuje problem lidera.(ii) yN = RN(yL) rozwi ↪azuje problem nasladowcy dla kazdego yL.

6 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). IV

Interpretacja graficzna. Jezeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dlawygody, ze zyski s ↪a zero), wowczas problem nasladowcy przyjmujepostac

π2(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y2

= ay2 − by1y2 − by22

a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay2):

y2 =a

2b− 1

2y1

Patrz Rysunek 27.1

7 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). V

Podobnie lider (firma 1) rozwi ↪azuje

π1(y1) = [a− b(y1 + R2(y1))]y1

= ay1 − by21 − by1y2

Podstawiaj ↪ac pod R2(y1) otrzymujemy

π1(y1) = [a− b(y1 +a

2b− 1

2y1)]y1

= [a− b(1

2y1 +

a

2b)]y1

= ay1 −b

2y2

1 −a

2y1

=a

2y1 −

b

2y2

1

8 / 31

Oligopol

Przywodztwo ilosciowe (model Stackelberga). VI

aby znalezc wielkosc produkcji maksymalizuj ↪ac ↪a zysk policzymypochodn ↪a ze wzgl ↪edu na y1 :

a

2− by1 = 0

rozwi ↪azuj ↪ac ze wzgl ↪edu na y1 otrzymujemy

y1 =a

2b

Rownowaga Stackelberga: strategia firmy 1 y1 = a2b oraz strategia

firmy 2 y2 = a2b −

12y1. Patrz Rysunek 27.2

9 / 31

Rysunek: Funkcja reakcji oraz linie jednakowego zysku.

powrot powrot

Rysunek: Rownowaga Stackelberga i Cournot.

powrot powrot

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). I

Kazda firma ustala wielkosc swojej produkcji przy danymprzypuszczeniu (jest to przypyszczenie a nie wiedza) co do wielkosciprodukcji drugiej firmy. Niech y1 b ↪edzie wyborem firmy 1 a y e2 niechb ↪edzie przypuszczeniem 1 (z ang. belief) firmy 1 co do wielkosciprodukcji firmy 2. Firma 1 w oparciu o swoje przypuszczenie co dowielkosci produkcji firmy 2, rozwi ↪azuje problem

maxy1

p(y1 + y e2 )y1 − c(y1)

Rozwi ↪azanie tego problemu daje nam funkcj ↪e reakcji firmy 1:y1 = R1(y e2 ). Podobnie wygl ↪ada problem firmy 2

maxy2

p(y e1 + y2)y2 − c(y2)

ktorego rozwi ↪azanie daje nam funkcj ↪e reakcji firmy 2: y2 = R2(y e1 ).12 / 31

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). II

Definicja.

Rownowaga Cournot sk lada si ↪e ze strategii dla kazdej firmy (y1, y2),gdzie yi , i ∈ {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej produkcjifirmy j (drugiej firmy).

Zatem w rownowadze musi zachodzic

y1 = R1(y2)

y2 = R2(y1)

13 / 31

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). III

Interpretacja graficzna. Jezeli mamy liniowy popyt (i przyjmiemy dlawygody, ze koszty s ↪a zero), wowczas firma 2 rozwi ↪azuje

π2(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y2

= ay2 − by1y2 − by22

a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay2):

a− by1 − 2by2 = 0

y2 =a

2b− 1

2y1

a linia jednakowego zysku jest dana rownaniem

ay2 − by1y2 − by22 − π2 = 0

Patrz Rysunek 27.1

14 / 31

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ilosci (model Cournot). IV

Podobnie firma 1 rozwi ↪azuje

π1(y1, y2) = [a− b(y1 + y2)]y1

= ay1 − by21 − by1y2

a funkcja reakcji ma postac (po wyliczeniu pochodnej ze wzgl ↪edu nay1):

a− 2by1 − by2 = 0

y1 =a

2b− 1

2y2

Patrz Rysunek 24.2

1W podr ↪eczniku jest to t lumaczone jako oczekiwanie, niestety nie jest to dobret lumaczenie. W j ↪ezyku angielskim uzywa si ↪e teorio growo poj ↪ecia belief, a nieexpectation. Zatem nalezy w polskim tez rozrozniac pomi ↪edzy przypuszczeniem aoczekiwaniem. S ↪a to inne poj ↪ecia, chociaz wydaj ↪a si ↪e podobne.

15 / 31

Oligopol

Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. I

Porownanie doskona lej konkurencji, oligopolu i monopolu.

Przypuscmy, ze mamy n jednorodnych firm w danej ga l ↪ezi, wowczasY = y1 + y2 + ...+ yn. Wraz ze wzrostem ilosci firm marza spada iw nieskonczonosci jest rowna kosztowi krancowemu. Wiemy, ze w

16 / 31

Oligopol

Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. II

optimum MR = MC . W warunkach gry Cournot przychod firmyi = 1, 2, .., n, Ri = p(Y )yi = p(y1 + ...+ yi + ..+ yn)yi . Wowczas

MR = p′(y1 + ..yi + ...+ yn)yi + p(y1 + ..yi + ...+ yn)

= p(Y ) + p′(Y )yi

= p(Y ) +dp

dYyi

= p(Y )

[1 +

1

p(Y )

dp

dYyiY

Y

]= p(Y )

[1−

yiY

−dYdp

pY

]

= p(Y )

[1− si|εp|

]

17 / 31

Oligopol

Wiele firm w warunkach rownowagi Cournot. III

gdzie si = yiY − udzia l firmy i w rynku, |εp| − elastycznosc cenowa

popytu. Podstawiaj ↪ac do warunku MR = MC

p(Y )

[1− si|εp|

]= MC

Jezeli na rynku dzia la jedna firma si = 1, wowczas ten warunek taksamo jak monopolisty. Wraz ze wzrostem liczby firm si malejezatem marza firmy i µi = 1[

1− si|εp |

] maleje i poniewaz si →n→∞

0 to

µi →n→∞

1. Zatem rownowaga Cournot sytuuje si ↪e pomi ↪edzy

doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem. Ponadto oligopol w sytuacjizarowno rownowagi Cournot jak i Stackelberga jest nieoptymalny.

Obserwacja: Zauwaz, ze jezeli mamy duz ↪a liczb ↪e firm (w sytuacjigry Cournot) to rownowaga doskonale konkurencyjna jest bliskimprzyblizeniem zachowania na tym rynku.

18 / 31

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). I

W poprzednim modelu ustalilismy, ze firmy konkuruj ↪a ilosciowo.Tutaj przyjmiemy rozwazymy podobn ↪a sytuacj ↪e gdy firmy konkuruj ↪acenowo. Dla uproszczenia koszty krancowe s ↪a sta le i takie same wewszystkich firmach MC = c, a koszty sta le wynosz ↪a zero FC = 0.

Definicja.

Rownowaga Bertranda sk lada si ↪e ze strategii dla kazdej firmy (p1, p2),gdzie yi , i ∈ {1, 2}, maksymalizuje zysk firmy i przy danej cenie firmy j(drugiej firmy).

19 / 31

Oligopol

Jednoczesne ustalanie ceny (model Bertranda). II

Rownowaga pi = c. Sk ↪ad ten wynik, przypuscmy, ze firma 2 ustalacen ↪e na poziomie p2 > c. Wowczas jest optymalnym dla firmy 1ustalic cen ↪e p1 = p2 − ε, gdzie ε jest dowolnie ma l ↪a liczb ↪a, wowczasfirma 1 przejmuje ca ly popyt. Firmy b ↪ed ↪a tak sobie nawzajemobnizac ceny, az dojd ↪a do pi = MC , gdy obnizenie ceny ponizej MCoznacza ujemne zyski.

W rownowadze Bertranda otrzymujemy t ↪a sam ↪a wielkosc produkcji icen ↪e jak w doskona lej konkurencji. Alokacja w rownowadzeBertranda jest Pareto efektywna.

20 / 31

Oligopol

Zmowa. I

Firmy operuj ↪ace na danym rynku zmawiaj ↪a si ↪e i podejmuj ↪a wspolniedecyzj ↪e ile produkowac tak aby zmaksymalizowac wspolne zyski.

Problem maksymalizacji zysku ma postac

max(y1,y2)

p(y1 + y2)(y1 + y2)− c1(y1)− c2(y2)

Niech yKi oznacza produkcje firmy i w warunkach kartelu, wowczaszyski obydwu firm wynosz ↪a

πK1 (yK1 , yK2 ) = p(yK1 + yK2 )y1 − c1(yK1 )

πK2 (yK1 , yK2 ) = p(yK1 + yK2 )yK2 − c2(yK2 )

21 / 31

Oligopol

Zmowa. II

gdzie πKi − zyski firmy i w warunkach kartelu. Rozwi ↪azuj ↪ac problemmaksymalizacji zysku kartelu otrzymujemy (liczymy pochodne po y1

i y2)

p′(y1 + y2)(y1 + y2) + p(y1 + y2) = MC1(y1) (27.1)

p′(y1 + y2)(y1 + y2) + p(y1 + y2) = MC2(y2) (27.2)

Zauwaz, ze w sytuacji zmowy kartelowej pojawia si ↪e pokusa odejsciaod niej. Przyjmijmy (bez utraty ogolnosci), ze firma 1 trzyma si ↪eumowy a firma 2 rozwaza czy powinna si ↪e trzymac umowy czyzdewiowac. Wowczas

π2(y1, y2) = p(y1 + y2)y2 − c2(y2)

22 / 31

Oligopol

Zmowa. III

zatem przy ustalonym y1 = yK1

∂π2(yK1 , y2)

y2= p′(y1 + y2)y2 + p(y1 + y2)−MC2(y2)

poniewaz, chcemy policzyc czy op laca si ↪e firmie 2 zdewiowac zprodukcji w warunkach kartelu yK2 obliczymy wartosc tej pochodnejw punkcie (yK1 , y

K2 ):

∂π2(yK1 , yK2 )

y2= p′(yK1 + yK2 )yK2 + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )

23 / 31

Oligopol

Zmowa. IV

Podstawiaj ↪ac z (27.2) otrzymujemy:

∂π2(yK1 , yK2 )

y2= p′(yK1 + yK2 )(yK2 + yK1 − yK1 ) + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )

= p′(yK1 + yK2 )(yK2 + yK1 ) + p(yK1 + yK2 )−MC2(yK2 )

− p′(yK1 + yK2 )yK1

= −p′(yK1 + yK2 )yK1 > 0

(zauwaz p′(·) < 0).

Zatem zwi ↪ekszaj ↪ac produkcj ↪e ponad poziom wyznaczony przez kartelkazda firma zwi ↪eksza swoj zysk.

24 / 31

Oligopol

Strategie Kar I

Poniewaz firmy maj ↪a bodzce do wy lamywania si ↪e z umowykartelowej potrzebna jest strategia kar. Potrzebujemy wowczas grypowtarzalnej (czyli przysz losci).

Rozwazmy duopol z lozony z dwoch identycznych firm.

Niech πm b ↪edzie zyskiem gdy obie firmy trzymaj ↪a si ↪e umowy, a πczyskiem Cournot, zauwaz πm > πc . Rozwazmy strategi ↪e: ”Trzymamsi ↪e umowy w okresie 0, jezeli do momentu t (w l ↪acznie) trzyma les si ↪eumowy to w okresie t + 1 tez trzymam si ↪e umowy, jezeli domomentu t kiedykolwiek z lama les umow ↪e to ja ci ↪e karz ↪e produkuj ↪acna poziomie Cournot”. Niech 1

1+r b ↪edzie dyskontem czasowym

25 / 31

Oligopol

Strategie Kar II

zysku (a r− stop ↪a procentow ↪a). Wowczas wartosc obecna wyp lat zpowyzszej strategii wynosi

πm+πm

1 + r+

πm(1 + r)2

+... = πm+πm

1+r

1− 11+r

= πm+πm

1+r1+r−1

1+r

= πm+πmr

Natomiast wartosc obecna z dewiacji z powyzszej strategii (niech πdoznacza zysk gdy dewiuj ↪acej firmy gdy druga firma trzyma si ↪eumowy, zauwaz πd > πm) wynosi

πd +πc

1 + r+

πc(1 + r)2

+ ... = πd +πcr

26 / 31

Oligopol

Strategie Kar III

Kiedy dewiacja si ↪e nie op laca? Gdy

πd +πcr< πm +

πmr

co po przekszta lceniach daje

r <πm − πcπd − πm

Czyli dewiacja si ↪e nie op laca jezeli r jest wystarczaj ↪aco ma le, czyli1

1+r wystarczaj ↪aco duze co oznacza, ze wystarczaj ↪aco duzo liczymysi ↪e z przysz losci ↪a. Zatem z powyzsz ↪a strategi ↪a kar kartel mozeokazac si ↪e stabilny. Inne podobne strategie, ktore daj ↪a podobnywynik, to karanie przez krotszy okres np. 1 okres lub kilka okresow.

27 / 31

Oligopol

Porownanie rozwi↪

azan.

Bertrand produkuje tyle co konkurencja doskona la (i jest efektywny),oligopol produkuje pomi ↪edzy doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem.Monopol produkuje najmniej i najdrozej.

28 / 31

Oligopol

Podsumowanie.

Rozne typy oligopolu (Cournot, Stackelberg, Bertrand)

Rozne struktury daj ↪a rozne ceny i produkcji.

Miesci si ↪e pomi ↪edzy doskona l ↪a konkurencj ↪a a monopolem.

Lektura: Varian, rozdzia l 27. bez 27.3-4

29 / 31

Oligopol

Pytania sprawdzaj↪

ace I

Zdefiniuj rownowag ↪e Cournot dla przypadku dwoch firm. Zapiszproblem obydwu firm dla liniowej funkcji popytu i zerowych kosztow.Zilustruj rownowag ↪e na rysunku.

Zdefiniuj rownowag ↪e Stackelberga dla przypadku dwoch firm. Zapiszproblem nasladowcy i lidera dla liniowej funkcji popytu i zerowychkosztow. Zilustruj rownowag ↪e na rysunku.

Zdefiniuj rownowag ↪e Betranda dla przypadku dwoch firm, ktoremaja sta ly i tak ↪a sam ↪a funkcj ↪e kosztow (zerowe koszty sta le i kosztkrancowy rowny c). Znajdz rownowag ↪e, wyjasnij mechanizm dojsciado tej rownowagi. Czy alokacja w rownowadze Betranda jestefektywna?

30 / 31

Oligopol

Pytania sprawdzaj↪

ace II

Wyjasnij czy mozliwa jest zmowa w modelu jednookresowym,wyt lumacz intuicyjnie? A w modelu z nieskonczonym horyzontemczasowym?

Scharakteryzuj sytuacj ↪e rynkow ↪a w modelu Cournot wzgl ↪edemmonopolu i doskona lej konkurencji. Jak wygl ↪ada sytuacja wprzypadku zawi ↪azania kartelu.

31 / 31