Método_de_Kani

141Volumen 11, Nº 44, septiembre 2007. pp 141-149

ANÁLISIS DE CUALQUIER TIPO CONVENCIONAL DEESTRUCTURAS PARA EDIFICIOS CON NODOS

INDESPLAZABLES UTILIZANDO UN MODELO DE REDNEURONAL ARTIFICIAL

Pinto Mindiola, Lácides García Cerezo, Alfonso

Resumen: Un modelo de red neuronal artificial es utilizado para calcular los momentos rotacionales extremosy definitivos en una estructura para edificios de varios pisos con nodos indesplazables. Esto se logra con elentrenamiento no- supervisado de la red. La estructura se formará, de manera que, todos los nodos rotaránun ángulo y asumiendo que el efecto de las fuerzas axiales sobre las barras de la estructura es nulo. Losmomentos extremos finales Mik y Mki se determinan calculando las diferentes componentes Mík y M´ki

separadamente, esto se logra utilizando un algoritmo auto – supervisado. Se elige un modelo de red neuronalapropiado para la estructura proporcionando a la red los parámetros físicos- estructurales, para suentrenamiento, a través de un algoritmo no- supervisado. El modelo es evaluado con el uso del método delas aproximaciones sucesivas para el análisis estructural desarrollado por el Dr. Ing. G. Kani. En general, elnuevo enfoque da mejores resultados comparado con los métodos tradicionalmente utilizados para el análisisestructural. La comparación con el metodo de Kani muestra que el modelo ANN ejecuta mejor los resultados.

Palabras clave: Red Neuronal Artificial/ Modelo/Análisis Estructural/Algoritmo.

STRUCTURAL ANALYSIS OF ANY TYPE OFCONVENTIONAL BUILDING FRAME WITH FIXED

JOINTS USING ARTIFICIAL NEURAL NETWORK MODEL

Abstract: An artificial neural network model is used to calculate the rotational end moment and fixed endmoment induced at the ends an artificial neural network model is used for the analysis of any typeconventional building frame of several level with fixed joints under the action of the given loading in termsof the end moments for any member, the frame will deform so that any node i rotates through an angle τI. Atthe same time, no lateral sway will be produced. The final end moments Mik and Mki are determined byfinding out the different components Mìk and M`ki separately it is achieved using a self-supervisedalgorithm. Assuming the effect of axial lengths of the bars of the structure is not altered. Choosing anappropriate neural network model and providing frame parameters to that network for training purpose areaddressed by using unsupervised algorithm. The model is evaluated by using the Kani`s method. In general,the new approach gives better results compared to several commonly used methods of structural analysis. Thecomparison with the Kanis’method shows that the ANN model performs best the results.

Keywords: Artificial Neural Network/Model/Structural Analysis/Algorithm.

Manuscrito finalizado en Ciudad Guayana, Venezuela el 2007/05/17, recibido el 2007/06/19, en su forma final (aceptado) el 2007/07/15. El MSc. LácidesRafael Pinto Mindiola es Coordinador del Dpto. de Postgrado en la Universidad Nacional Experimental Politécnica “Antonio José de Sucre” (UNEXPO),Vicerrectorado Puerto Ordaz, telf. 0286 8085512 correo electrónico [email protected]. El Dr. Alfonso García Cerezo es catedrático de la Universidadde Málaga Director del Departamento de Ingeniería de Sistemas y Automática, telf. (00) (34) 952132775, (00) (34) 670949495, correo electró[email protected].

I. INTRODUCCIÓN

En las pasadas décadas de los años treinta y cincuenta, selogró un gran avance en el entendimiento del análisisestructural de pórticos para edificios de varios pisos. Enla evolución de la ciencia de las estructuras, el mayortrabajo realizado se ha dado en el análisis de las diferentesclases de estructuras. La importancia de este tópico seorigina en la tremenda influencia que ha tenido sobre la

ingeniería la necesidad de desarrollar grandes y complejasestructuras.

En mayo de 1930 se publicó un artículo titulado “Distribuciónde Momentos en los Extremos Fijos de las EstructurasContinuas”, un método totalmente nuevo para el análisis deestructuras. Cross fue aclamado como un hombre que resolvióuno de los problemas más espinosos en la ingenieríaestructural. Su enfoque fue extremadamente práctico [1].

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Volumen 11, Nº 44, septiembre 2007 pp 141-149

El enfoque de Kani (1930s) está basado en los métodos de lasaproximaciones sucesivas y en la distribución de momentospara expresar el efecto de las rotaciones y desplazamientosnodales. El método iterativo de análisis de estructurasdesarrollado por G. Kani, viene a ser extremadamentesatisfactorio para el análisis de cualquier estructuraconvencional para edificios de varios pisos bajo cualquiercondición de cargas dada. Kani propuso extender este métodoa las estructuras con columnas continuas a través de variospisos con sólo ligeras modificaciones [Structural EngineeringArchive].

Los enfoques de Cross y Kani (1930s) basados en los métodosde las “aproximaciones sucesivas” y la “distribución demomentos”, descartan las complejas relaciones matemáticas ypor el contrario se apoyan en simplicidades aritméticas.

Es erróneo suponer que un método de aproximacionessucesivas sea un método aproximado. Esencialmente,un método aproximado, es aquel que proporciona comosu nombre lo indica, valores aproximados, mientras quelos métodos de aproximaciones sucesivas arrojanresultados con la precisión deseada por el calculista[2].

Del enfoque matricial, existe la creencia que en los comienzosde los 1930s, una persona que trabajaba en la industria de lasavionetas de Gran Bretaña o Alemania fue la primera queformuló la matriz de rigidez o de flexibilidad.

El enfoque del análisis estructural con la aplicación dematrices tuvo las más grandes contribuciones de cuatroprotagonistas: Collar, Duncan, Argyris y Turner. Entre 1934 y1938 los dos primeros publicaron los primeros artículos con larepresentación y terminología para los sistemas matricialesque son utilizados hoy. En el año 1930 Collar y Duncanformularon la aeroelasticidad discreta en forma matricial. Losprimeros dos artículos y el primer libro sobre el tópicoapareció en el mundo estructural entre 1934 y 1938. Elsegundo avance que se realizó en el análisis estructuralmatricial apareció en los años 1954 y 1955 cuando el profesorArgyris sistematizó una unificación formal de los Métodos delas Fuerzas y de los Desplazamientos utilizando los teoremasde energía dual. Este trabajo sistematizó el concepto deensamblaje del sistema de ecuaciones estructurales a partir desus componentes elementales [3].

M. Turner propuso en el año 1959 el Método Directo de lasRigideces para el Análisis Estructural, y logró los cambiosmás dramáticos: un método bastante general y muy eficientede la implementación computacional del entonces incipiente,Método de los Elementos Finitos [3].

La teoría de la elasticidad es una teoría que ha estadodisponible para todos los diferentes enfoques requeridos delanálisis estructural, pero requiere de un conocimiento

relativamente avanzado en el área de las matemáticas.

En la Fig. 1 se muestra un pórtico de tres niveles que permitiráilustrar acerca de la capacidad del modelo de red neuronalpropuesto en este trabajo.

Fig. 1 Problema Estructural Propuesto

Una red neuronal artificial es un dispositivo de procesamientode un algoritmo, o de un hardware efectivo, cuyo diseño fueinspirado en el sistema biológico del cerebro de los humanosy sus componentes. Existe una variedad de modelos de redesneuronales y procedimientos de aprendizaje. El aprendizajede las redes neuronales incluye el ajuste de los pesos ytendencias de las conexiones. El éxito de las aplicaciones delas redes neuronales no- supervisadas en la solución decualquier problema, depende fundamentalmente delentrenamiento de la red y de la eficiencia del algoritmo deaprendizaje. En este artículo utiliza un algoritmo, que estáasociado de tal manera al modelo de red que ambosconstituyen un todo esencial para el éxito del proceso.

Este artículo evalúa un enfoque de las redes neuronales en elanálisis de estructuras reticuladas de varios pisos utilizando unalgoritmo auto- supervisado que se apoya en los parámetros físicosde la estructura propuesta. El objeto del estudio es calcular losmomentos rotacionales extremos y definitivos en una estructurareticulada de varios pisos con nodos indesplazables. Varias pruebasfueron hechas, para diseñar la arquitectura conveniente del modelode red. El modelo fue entrenado con los factores de distribuciónde momentos seleccionados sobre las bases de las consideracionesteóricas del equilibrio estático de la estructura. El modelo de redneuronal artificial, ofrece una flexibilidad extrema ya que permitela variación de los tipos de cargas, el desplazamiento horizontal delos nodos, cambio de las secciones de los miembros y enconsecuencia, tolera igualmente las modificaciones de losmomentos de inercia de las barras. Para ello, no es necesariomodificar el modelo, sino volver al entrenamiento de la redneuronal, previo ajuste de algunos parámetros del algoritmo.

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Pinto, L., García A. Análisis de cualquier tipo convencional de estructuras para edificios con nodos indesplazables

El enfoque neuronal es tolerante a fallas, por ser correctivo, estopermite calificarlo como un “método con eliminación automáticade errores” a medida que la red aprende. La comprobación de losresultados que se obtienen después de realizar los productos ysumas de unos pocos valores puede hacerse con facilidad extremaen cualquier elemento de procesamiento o nodo y en cualquiercapa de neuronas, sin que para ello se requiera de los servicios deexpertos en ingeniería estructural.

El artículo presenta la definición de redes neuronales, laarquitectura de la red, la fase de aprendizaje de la red, elentrenamiento de la red, la comparación con el método deKani y la evaluación del modelo

II. DESARROLLO

1. Redes neuronales artificiales

Axioma “los nodos de una estructura reticulada son inteligentes. Enconsecuencia, todo nodo es capaz de distribuir las influencias de lascargas actuantes directamente sobre él, en forma automática,proporcionalmente a la rigidez de cada una de las barras queconcurren en el mismo”

Una red neuronal artificial (ANN) es un sistema deprocesamiento de información que opera sobre unasentradas para extraer información y produce salidascorrespondientes a la información extraída. Las redestambién son conocidas como “modelos conexionistas”,“modelos de procesamiento distribuidos en paralelo”,“sistema neuromórfico”, cuyos diseños son análogos a lasneuronas biológicas, base de su inspiración. Las redes sonbien conocidas como enfoques de aplicaciones para lapredicción, procesamiento de base de datos, control de

procesos industriales, clasificación de patrones, etc. Laalimentación hacia adelante, es una característica muyespecial de las redes neuronales multi-capa, cuyasconexiones alimentan exclusivamente las entradas desdelas capas más bajas hasta las capas más altas. En otraspalabras, las conexiones de los pesos ponderados y de lastendencias alimentan las actividades desde la capa deentrada hasta la capa de salida con sentido hacia delante. Elaprendizaje de las redes neuronales artificiales comprendeel ajuste de los pesos y tendencias de las conexiones. Eléxito de una aplicación de entrenamiento auto- supervisadode una red neuronal sobre cualquier problema, depende delentrenamiento adaptativo de la red neuronal con suficienterango de los datos y el rango de las condiciones.

2. Arquitectura de la red

Un modelo de red neuronal artificial es un sistema compuestode muchos procesadores simples, cada uno de ellos contieneuna memoria local. Los elementos de procesamiento estánconectados por conexiones unidimensionales, “completamenteconectados”, “parcialmente conectados”, o “localmenteconectados”, cuya función está determinada por la conexióntopológica y las fuerzas de conectividad. Cada capa tiene supropia matriz de los pesos W, su propio vector tendencia b, unvector de entrada neta n y un vector de salida a.

La Fig. 2 muestra la red multi-capa alimentada hacia adelante,incluyendo las capas ocultas. El vector de entrada x contienelas entradas a las neuronas de la capa de entrada L1

representando un conjunto de parámetros (x1, x2, x3)T. Lassalidas de las neuronas en esa capa no están normalizadas ytampoco escaladas. La capa de salida L4 tiene dos neuronascon un vector de salida (a1, a2,)T.

Fig. 2. Modelo de red multi-capa alimentada hacia adelante

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Las salidas de los elementos de procesamiento (neuronas) deuna capa son transferidas a las neuronas en la siguiente capaa través de las conexiones que amplifican o inhiben talessalidas a través de los factores de ponderación. Con excepciónde los elementos de la capa de entrada, la entrada a cada unode los elementos de procesamiento es la suma de la salidaponderada del nodo correspondiente de la capa que precede ysu tendencia. Todos los elementos de procesamiento en unacapa pueden variar, todos los elementos de procesamiento enuna capa tienen la misma función de transferencia.

El modelo de red neuronal artificial lineal propuesto, tiene cuatrocapas de neuronas. Cada una de las capas se nombra así, laprimera es la capa de entrada L1, que consta de tres neuronas,una segunda capa L2 (capa oculta) que contiene tres, nodos(neuronas), una tercera capa L3 (capa oculta), que posee treselementos de procesamiento, y una cuarta capa llamada de salidaL4 que tiene dos unidades (neuronas). Cada elemento deprocesamiento es activado en conformidad con su umbral y elargumento de su función de transferencia (entrada neta).

Neural network object:Arquitectura:Numinputs: 1Numlayers: 4Bias Connect: [1; 1; 1; 1]Input Connect: [1; 0; 0; 0]Layer Connect: [4x4 Boolean]Output Connect: [0 0 1 1]Target Connect: [0 0 0 0]

La Fig. 3 muestra una neurona que simula un elemento deprocesamiento típico de la red neuronal artificial. La neuronaejecuta el cálculo de una suma de productos, utilizando la entrada,el escalar peso de conexión y el umbral de la neurona multiplicadopor uno, limitada por la función de activación. La entrada neta y lasalida hasta y desde la i- ésima neurona de la L-ésima capa son:

Fig. 3 Un elemento de procesamiento ajustable

(1)

(2)

Donde fi= función de activación (función de transferencialineal). Esta función de transferencia representa una función

de umbral, en la cual un nivel de umbral es logrado. La entradaneta y la salida de las j-ésima neurona es igualmente tratadacomo en las ecuaciones (1) y (2).

3. Fase de aprendizaje

En la fase de aprendizaje de la red, se representa un vector x cuyascomponentes son los factores de distribución de la capa de nodosde la entrada que se presenta a la red como vector de entrada. Lospesos y tendencias del sistema son ajustados para minimizar elerror. Una vez que este ajuste ha sido conseguido, se somete la reda otro proceso de iteración, y así sucesivamente. Finalmente, la redaprende. La salida actual at no será el valor deseado, si:

(3)y el error,

(4)

La salida de la i-ésima neurona de la L-ésima capa en lak-ésima iteración, es:

(5)

La salida de la i-ésima neurona de la L-ésima capa en la(r+1)-ésima iteración es:

(6)

Particularmente, está representada por una función lineal

(7)

pero es la entrada xj a la i–ésima neurona y esel peso, por lo tanto, , y en consecuencia,

(8)

siendo la variación de la salida en dos iteracionescontinuas y donde sirve como un valor de umbral.

4. Conexión sináptica entre neuronas

La conectividad del modelo de red neuronal permite que cada unode los procesadores de un nivel se comunique con su respectivaneurona del próximo nivel. En otras palabras, cada elemento deprocesamiento de una capa determinada está conectado a suneurona correspondiente en la siguiente capa con peso excitatorioy una tendencia. Esto es, de topología “localmente conectado”,resultando para cada capa una matriz de los pesos diagonal.


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Las conexiones sinápticas en el modelo ANN están reforzadaspor medio de un entrenamiento auto- supervisado, esto es,aprendizaje sin un supervisor del proceso. Durante el procesode entrenamiento, a la red se le presenta un vector en la capade entrada. En el modelo de red neuronal, el algoritmo para elreforzamiento de la sinapsis está determinado haciendo usodirecto de los parámetros físicos del modelo estructural. Elalgoritmo está esencialmente soportado con el criterio de laobtención del mejor desempeño que otros enfoques delanálisis estructural. El reforzamiento de las conexionessinápticas es ejecutado desde las capas más superficiales hastalas más profundas, siempre alimentadas hacia adelante. Porejemplo, el reforzamiento de la entrada sináptica de la L-ésima capa es ejecutada después de completar elreforzamiento de la (L-1)-ésima capa.

5. Algoritmo de la red

Utilizando el procedimiento del algoritmo, la red calcula y en la red para el vector de entrada en cada iteración. Este

procedimiento se repite para todas las iteraciones durante elentrenamiento, para todos y cada uno de los pesos ponderadosy las tendencias de esa iteración. Una vez que las correccionesa los pesos y tendencias son realizadas, las salidas sonnuevamente evaluadas del modo que lo requiere el modelopropuesto.

Las discrepancias entre las salidas actuales y los valores delas salidas esperadas resultan de la evaluación de los pesos ycambios en las tendencias. Después de complementar laiteración durante el proceso de entrenamiento, un nuevoconjunto de pesos ponderados y tendencias se obtiene y conellos otra vez, evaluadas nuevas salidas, como siempre conalimentación hacia delante, hasta cuando se obtenga latolerancia de un error específico. El software para este artículofue escrito en el Toolbox para Redes Neuronales del Matlab yaplicado en un PC convencional.

El algoritmo estudiado se puede enmarcar en cuatro descriptores:1. Tipo de ecuación: cálculo algebraico simple, tales comoproductos y sumas. 2. Conexión topológica: modelo de redque se caracteriza por una topología localmente conectada conmatriz diagonal, para cada capa. 3. Esquema deprocesamiento: los nodos de la red se actualizan dependiendocompletamente de la iteración previa. 4. Modo detransmisión sináptica: el modelo de cálculo general para lared está en los valores neuronales multiplicados por los pesossinápticos y sumados a la tendencia.

6. Selección de los parámetros estructurales

Las variables más pertinentes en el análisis estructural sony que son respectivamente, los momentos deempotramiento perfecto en los nodos i, k y los momentos de

fijación ( y ) respectivamente en lasjuntas i y k bajo la acción de las cargas externas suponiendoque los extremos permanecen completamente fijos. Elmomento en el i-ésimo nodo debido a la rotación del nodoes llamado el momento rotacional en el i-ésimoextremo debido a la rotación (en radianes) del extremo i,

es en forma similar llamado el momentorotacional en el i–ésimo extremo debido a la rotación (en

radianes) del extremo k, además es el factor de

distribución para el miembro i-k donde es la rigidez del

miembro i-k y la suma de las rigideces de todas las

barras que acceden al i–ésimo nodo. Estos parámetros sonreprensados dimensionalmente en varios estudios previos. LaTabla I muestra un resumen de los parámetros dimensionalesfrecuentemente utilizados, que generalmente, son usados enlas investigaciones de los problemas del análisis estructural.Kani (1935) aplicó el concepto de “las aproximacionessucesivas” y a partir de este conocimiento, dedujo un grupode ecuaciones pragmáticas para dar solución a problemasestructurales de una alta hiperestaticidad, a partir delprincipio de superposición de efectos como se ilustra en laFig. 4.

Tabla I. Momentos extremostotales - variables relevantes

Fig. 4 Superposición de efectos miembro i – k


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El examen de las ecuaciones convencionales presentadas delmomento externo ayuda a seleccionar los parámetros parautilizar fundamentalmente los parámetros medibles para evitarde esta manera, el uso de cualquier fórmula, lo cual puedeafectar la precisión de los resultados. El desarrollo final de lasexpresiones para el momento total en el i- ésimo y k-ésimoextremos son:

(9)

(10)

Donde los momentos Mik y Mki son los momentos extremosfinales del miembro i- k dados por las ecuaciones de lapendiente de deflexión.

En el análisis estructural desarrollado en este modelo de red neuronal,los momentos extremos finales Mik y Mki son determinadosencontrando las diferentes componentes M ik y M ki separadamente ysumando a ellos los términos expresados según el caso por lasexpresiones (9) y (10). Las componentes del momento extremo finalserán consideradas positivas en el sentido de las manecillas del reloj.

7. Entrenamiento de la red y verificación de los resultados

El entrenamiento de la red fue procesado esencialmente teniendoen cuenta los cuatro parámetros que intervienen en las ecuaciones

(9) y (10) y los factores de distribución

como las variables más pertinentes. Los factores de distribución correspondientes a las vigas entre la primera y segunda capas de

neuronas (nodos) de la estructura se corresponden con el vector deentrada a la red ( , , ), que son los factores de distribucióncorrespondientes a la primera capa de nodos. Los momentosrotacionales M´11, M´12 y M´13 constituyen las componentes delvector de salida de la primera capa de la red. La capa de entradacontiene tres neuronas, mientras la capa de salida contiene dos.Entre las capas de entrada y de salida existen otras dos capasllamadas ocultas que contienen un número adecuado de elementosde procesamiento. La red fue entrenada con siete iteraciones,suficientes para obtener una salida cuya tolerancia de error satisfacelas expectativas planteadas. Los números de unidades (neuronas)en las capas ocultas y los parámetros ajustables, pesos y tendenciasfueron determinados con el número de nodos de la estructura, losfactores de distribución y los momentos rotacionales en losextremos. Los resultados fueron obtenidos como se dijo más arribadespués de siete iteraciones del modelo ANN.

Una comparación entre el modelo ANN presentado y elmétodo de Kani fue ejecutado sobre 15 nodos de la estructura,incluyendo los nodos de empotramiento de las columnasentierra. Una relación de discrepancia fue utilizadapara la comparación nodo a nodo donde CN es el valor de losmomentos calculados por el modelo de red y Ck es elcalculado con las aplicaciones del método de lasaproximaciones sucesivas del Doctor G. Kani. El valor de lamedia y la desviación estándar σ son

y

respectivamente. El análisis es mostrado en las Tablas II y III.Puede concluirse de las tablas que el modelo ANN propuesto arrojalos mismos resultados que el método del ingeniero G. Kani.

TABLA II: Momentos rotacionales en los extremos – nodos indesplazables

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8. Procedimiento numérico

El procedimiento explicado arriba, es mejor ilustradoresolviendo la estructura mostrada en la Fig. 1, que estácargada en forma bastante compleja. Las rigideces Kik de losdiferentes miembros están indicadas sobre el diagrama.

Los factores de distribución para los momentosrotacionales son calculados con la ayuda de la ecuación

Los factores de distribución de los nodos 1, 2 y 3 son lascomponentes del vector de entrada a la red.

Los momentos de empotramiento perfecto para los diferentesmiembros cargados como se muestra en la Fig. 1, son calculadoscon el uso de las fórmulas estándares disponibles en cualquiermanual de la ingeniería estructural. Los valores

son encontrados sumando los empotramientos perfectos de todaslas barras que actúan en el i-ésimo nodo. Habiendo completadoestos cálculos preliminares, puede darse comienzo alentrenamiento. La red fue inicializada con tres parámetros(factores de distribución de las vigas) como vector de entrada ylos momentos rotacionales debido a la rotación del extremocomo la salida de la primera capa.

Los cálculos comienzan en la capa de entrada y continuaronde capa en capa en secuencia hasta la salida. Todos estoscálculos son ejecutados en fracciones de segundos. Despuésde 6 o 7 iteraciones ejecutadas como se explicó arriba, senotará que existen pequeños o ningún cambio en los valoresde dos iteraciones consecutivas de cálculos en los respectivosnodos. Los cálculos se detienen y los valores de la últimaiteración se toman como los correctos. Los valores previos delas salidas pueden ser observados posteriormente paracomprender mejor el proceso de aprendizaje del modelo dered propuesto. Para una mejor claridad del proceso de cálculo,estos valores finales han sido indicados separadamente en laTabla IV.

TABLA III. Precisión de las fórmulas para los momentos rotacionales extremos en CADA NODO

TABLA IV: Momentos extremos finales en miembros – nodos indesplazables

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9. Comparación con el método de Kani

Una comparación entre el modelo ANN presentado y elmétodo de Kani fue ejecutado sobre los mismos resultados

nodo por nodo. Una relación de discrepancia

fue utilizada para la comparación, donde CN es el momentorotacional en el extremo o salida de la red y CK es el resultadoobtenido a través del método de Kani. El valor de la media

de la discrepancia y la desviación estándar σ son

y

respectivamente. El análisis de las fórmulas de los momentosrotacionales se muestra en la Tabla III. Análogamente, sucedecon los momentos extremos finales mostrados en la Tabla V.


TABLA V. Precisión de las fórmulas para los momentos totales extremos en cada nodo

10. Evaluación del modelo

Un grupo de 15 nodos fueron utilizados para la verificacióndel modelo. Los nodos fueron seleccionados de los cálculos deun pórtico de 3 niveles. Los momentos rotacionales Mík y M´ki

fueron calculados utilizando las formulas derivadas delmétodo de las aproximaciones sucesivas de G. Kani. Losmomentos finales en los extremos Mik y Mki son determinadosencontrando las componentes Mík y M´ki separadamente yadicionando las dos momentos de empotramiento perfecto

y según el caso.

Comparando los resultados nodo a nodo por el métodoiterativo de aproximaciones sucesivas del Dr. Ingeniero Kani,los resultados obtenidos en el presente estudio sonconsistentes. Al realizar los cálculos a través del momentorotacional cercano al extremo i, Mík para cualquier miembroi – k expresado en términos del momento de empotramientoperfecto y del momento rotacional extremo Mki comosigue:

Donde es la suma algebraica de todos losmomentos de empotramiento que actúan en el i – ésimo nodoy es el factor de distribución correspondiente al miembroi – k dado por la expresión:

La comparación con el otro método muestra que el modeloANN cálcula los mismos valores prácticamente para los 15nodos de la estructura. Se supone que el modelo ANN produceuna significativa economía de cálculo para diferentes nodos.

III. CONCLUSIONES

1. Las redes neuronales artificiales pueden ser utilizadas conventajas, para extender el modelo ANN a la solución deproblemas más complejos y además pueden ser utilizadasen la solución de vigas continuas sobre soportes elásticos.

2. El modelo de ANN tiene la preferencia sobre el métodode Kani, por las siguientes razones:2.1 Los modelos ANNs son más rápidos por su paralelismo

masivo, aún operando sobre los PCs convencionales.2.2 El modelo ANN es construido con el solo uso del

modelo estructural. En otras palabras, la arquitecturade la red es sencillamente determinable.

2.3 Muchos ingenieros pueden calcular los momentosrotacionales Mík y M´ki utilizando el ANN sinconocimiento exhaustivo de la teoría del análisisestructural, con tal que ellos conozcan los parámetrosfísico- estructurales que intervienen en la operacióndel modelo ANN.

2.4 Es un método exacto, auto-correctivo de

Puede concluirse después de un análisis sencillo de las Tablas II y III que los resultados obtenidos a través de ambos enfoquesprácticamente coinciden.

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aproximaciones sucesivas.2.5 Tiene rápida convergencia 2.6 Permite comprender claramente el fenómeno físico –

estructural2.7 El modelo de diseño neuronal es fácil de recordar2.8 Se requiere de un reducido número de operaciones

por capa de neuronas con el uso de muy poco tiempode computación.

IV. REFERENCIAS

(1) Eaton, L. K. “Hardy Cross and the Moment DistributionMethod” Revista Journal, Vol. 3 nª 3 (summer 2001), May2007. http://nexus journal.com, consultado May 2007

(2) Kani,G. Konrad Wittwer Verlag, 5th ed. EnglishTranslation published by F. Ungar & Co., New York 1956.

(3) A Historical outline of Matrix Structural Analysis; A Playin –three Acts, C.A. Felippa. www.colarado.edu/Felipa.d/Fconsultado April 2007.

(4) Freeman, J.A and Skapura, D. M. Neural NetworksAlgorithms, Applications, and Programming Techniques,Addison – Wesley Publishing Company, Inc. 1992, p55.

(5) Published by AFCA INTERNACIONAL, DARPANEURAL NETWORK STUDY, USA, book of congresscataloging in Publication Data, 1988, p. 131 – 133.

(6) Thadani, B. N. “An Iteration Method of Frame analysis”,Indian Concrete Journal, May 1956. p8 -10

(7) Thadani, B. N., “Analysis of Continuous Beams on Elasticup ports”, Civil Engineering & Public Works Review,December 1958, January 1959. p 4 – 5.

(8) Thadani, B. N. Solution of Complex Multi – StoreyedStructure A. M. I. Struct. E, June 1959. Revista p25.

(9) Wikipedia, the free encyclopedia. www.wikipedia.comconsultado April 2007.

V. APÉNDICE

Notación

= son los momentos de empotramiento perfectoinducidos en los extremos de los miembros bajo la acción delas cargas externas, suponiendo que los extremos estáncompletamente fijos en posición y dirección;

= es la suma algebraica de todos los momentosde empotramientos perfecto que actúan en el i – ésimo nodo;

τi , τk = rotación en el extremo i y k respectivamente;

= es un factor de distribución para el miembro i - k;

Mík = es el momento rotacional en el extremo i debido a larotación τi ;

M´ki = es el momento rotacional en el extremo k debido a larotación τk;

Mik , Mk = son los momentos extremos totales ejercidos sobrelos extremos i y k respectivamente;

fi = función de activación correspondiente a la i–ésimaneurona.

ai = variable que representa la salida de i- ésima neurona

L1, L2, L3, L4 = nombres de las capas de la red,respectivamente

Wij = pesos ponderados de las conexiones de la red entre la j–ésima neurona de la L–ésima y la i–ésima neurona de la(L+1)–ésima capa.

bi= valor de tendencia de i–ésima neurona

xj= variable que representa la salida de la j–ésima neurona

Subíndicesi, j, k = sub-índices enteros y positivos


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