Metodo grafico PL

repaso ejemplo. Problema de la Dieta. Solucion Geometrica.

Investigacion de Operaciones I

Universidad Centroccidental Lisandro AlvaradoDecanato de Ciencias y Tecnologa

Departamento de Matematica

Exito es ...Conocer su proposito en la vida,

crecer para alcanzar su maximo potencial, ysembrar semillas que beneficien a los demas.

30 de octubre de 2010Docente: Lic.Raquel Quintana.

Quien tiene un sueno conoce a lo que tiene que renunciar con el proposito de avanzar


Contenido

1 repaso

2 ejemplo.

3 Problema de la Dieta.

4 Solucion Geometrica.

Docente: Lic.Raquel Quintana.



REPASO

La Investigacion de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocadahacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el metodocientfico para resolver problemas.La Investigacion de Operaciones tiene sus races en operacionesmilitares de la Segunda Guerra Mundial; su posterior aplicacion enel campo de los negocios, creacion de bases teoricas y el desarrollode la computadora permitio que esta nueva disciplina fueseincluida como asignatura en las universidades a partir de la decadade los 50.

Los modelos matematicos son la base del analisis cuantitativo.Un modelo es una representacion simplificada de un sistema de lavida real, de una situacion o de una realidad.




REPASO

La Investigacion de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocadahacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el metodocientfico para resolver problemas.La Investigacion de Operaciones tiene sus races en operacionesmilitares de la Segunda Guerra Mundial; su posterior aplicacion enel campo de los negocios, creacion de bases teoricas y el desarrollode la computadora permitio que esta nueva disciplina fueseincluida como asignatura en las universidades a partir de la decadade los 50.Los modelos matematicos son la base del analisis cuantitativo.

Un modelo es una representacion simplificada de un sistema de lavida real, de una situacion o de una realidad.




REPASO

La Investigacion de Operaciones es una ciencia gerencial, enfocadahacia la toma de decisiones gerenciales, basada en el metodocientfico para resolver problemas.La Investigacion de Operaciones tiene sus races en operacionesmilitares de la Segunda Guerra Mundial; su posterior aplicacion enel campo de los negocios, creacion de bases teoricas y el desarrollode la computadora permitio que esta nueva disciplina fueseincluida como asignatura en las universidades a partir de la decadade los 50.Los modelos matematicos son la base del analisis cuantitativo.Un modelo es una representacion simplificada de un sistema de lavida real, de una situacion o de una realidad.




REPASO

Programacion Lineal es una tecnica cuantitativa ampliamenteaplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizarlos recursos escasos de la mejor manera posible.El Modelo de Programacion Lineal es un modelo matematico convariables de decision, coeficientes y/o parametros, restricciones yuna Funcion Objetivo.

Es determinstico porque todos los datos relevantes utilizados, sonconocidos. Es lineal porque las restricciones y el objetivo sonfunciones lineales. La contribucion de cada variable al valor totaldel objetivo y al lado derecho de cada restriccion es proporcional alvalor de la variable. Es aditivo porque los terminos de susrestricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). Lacontribucion de cada variable es independiente del valor de lasotras variables. Es divisible porque las variables de decision puedenaceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar valoresfraccionales, sera preferible usar Programacion Lineal Entera.




REPASO

Programacion Lineal es una tecnica cuantitativa ampliamenteaplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizarlos recursos escasos de la mejor manera posible.El Modelo de Programacion Lineal es un modelo matematico convariables de decision, coeficientes y/o parametros, restricciones yuna Funcion Objetivo.Es determinstico porque todos los datos relevantes utilizados, sonconocidos. Es lineal porque las restricciones y el objetivo sonfunciones lineales. La contribucion de cada variable al valor totaldel objetivo y al lado derecho de cada restriccion es proporcional alvalor de la variable. Es aditivo porque los terminos de susrestricciones y objetivo pueden sumarse (o restarse). Lacontribucion de cada variable es independiente del valor de lasotras variables. Es divisible porque las variables de decision puedenaceptar valores fraccionales. En caso de no aceptar valoresfraccionales, sera preferible usar Programacion Lineal Entera.




REPASO

La region factible para una PL, es el conjunto de todos los puntosque satisfacen las limitaciones y las restricciones de signos del PL.Para un problema de minimizacion, una solucion optima es unpunto con el valor de la funcion objetivo mas pequeno en la regionfactible.




Ejemplo:(TAHA pag. 20 n 5)

OilCo construye una refinera para elaborar cuatro productos:diesel, gasolina, lubricantes y combustible para aviones. Lasdemandas (en barriles/dia) de esos productos son 14,000, 30,000,10,000 y 8000, resp. Iran y Dubai tienen contrato para enviarcrudo a OilCo. Debido a las cuotas de produccion que especifica laOPEP la nueva refinera puede recibir al menos el 40 % de crudode Iran, y el resto de Dubai.OilCo pronostica que estas cuotas dedemanda y de crudo permaneceran estables durante los 10 anossiguientes. Las distintas especificaciones de los dos crudosdeterminan dos proporciones distintas de productos: un barril decrudo de Iran rinde 0.2 barril de diesel, 0.25 barril de gasolina, 0.1barril de lubricantes y 0.15 barril de combustible para avion. losrendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1,0.6,0.15 y 0.1 resp. OilCo necesita determinar la capacidad mnima dela refinera, en barriles de crudo por da.




El Problema de la Dieta.

El problema de la dieta consiste en determinar las cantidades dedistintos nutrientes que deben ingerirse asegurar ciertascondiciones de nutricion y minimizar el coste de compra de losnutrientes. De modo mas preciso, supongase que se conocen loscontenidos nutritivos de ciertos alimentos, sus precios y la cantidadmnima diaria de nutrientes aconsejada. El problema consiste endeterminar la cantidad de cada alimento que debe comprarse desuerte que se satisfagan los mnimos aconsejados y se alcance unprecio total mnimo. Los cuatro elementos que intervienen en elproblema de la dieta son:




1 Datos:

m: el numero de nutrientes.n: el numero de alimentos.aij : la cantidad mnima del nutriente i en una unidad delalimento j .bi : la cantidad mnima del nutriente i aconsejado.cj : el precio de una unidad del alimento j

2 Variables:xj : la cantidad del alimento j que debe adquirirse.




1 Datos

2 Variables

3 Restricciones:

nj=1

aijxj bi , i = 1, ...,m

xj 0; j = 1, ..., n4 Funcion a minimizar:

El problema de la dieta se esta interesado en minimizar elprecio de la dieta

z =nj

cjxj

donde cj es el precio unitario del alimento j .




Solucion Geometrica.

Describiremos un procedimiento geometrico para resolver unproblema de programacion lineal.

Min x1 3x2S.a

x1 + x2


Clase 3

Max 30x1 + 100x2

S.ax1 + x2 = 0

Esta x1 = 2, x2 = 3 en la region factible.? Esta x1 = 4, x2 = 3en la region factible.?




Conjuntos Convexos y punto extremo.

Definicion

Un conjuto de puntos S es un conjuto convexo si el segmento derecta que une cualquier par de puntos en S esta totalmentecontenido en S .

Definicion

Para cualquier conjunto convexo S , un punto P en S es un puntoextremo si para cada segmento de recta que esta completamenteen S y contiene al punto P, este es un punto terminal delsegmento de recta.




El procedimiento para realizar el Metodo Grafico, para obtener lasolucion del modelo consiste en graficar la Funcion Objetivo con unvalor arbitrario dentro de la region solucion. Luego se desplazaparalelamente en la direccion que incremente su valor (siesta maximizando) o decrezca su valor (si esta minimizando). Elpunto o los puntos extremos que toque esa Funcion Objetivo antesde salir totalmente fuera de la region de soluciones posiblesdeterminaran el optimo, o solucion del modelo.




Solucion optima UNICA




Un modelo tiene solucion optima UNICA cuando solo unacombinacion de variables proporciona el mejor valor para elobjetivo; se reconoce en el grafico porque un unico punto extremoprovee el mejor valor del objetivo o un unico punto extremo limitael valor de la recta objetivo.Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCION NO ACOTADO ySOLUCION DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones devariables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menosuna combinacion de variables que le proporciona un valor finito. Sereconocen en el grafico porque la region de soluciones posibles esabierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo quelimita el valor del objetivo.




Soluciones optima finitas alternativas




Un modelo tiene soluciones optimas ALTERNAS cuando mas deuna combinacion de variables proporciona el optimo valor delobjetivo. Se reconoce en el grafico porque mas de un puntoextremo proporciona el optimo valor del objetivo o mas de unpunto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivoal desplazarse dentro de la region solucion cae paralelamente sobrealguna restriccion antes de salir totalmente de la region solucion.




solucio infactible

Un modelo NO TIENE SOLUCION POSIBLE cuando no hayalguna combinacion de variables que satisfaga todas lasrestricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentesen el modelo. Se reconocen en el grafico porque no existe ningunaregion comun para todas las restricciones.




Ejemplo 1

Max 6x1 + 2x2

S.a3x1 + x2 = 0




Verdadero/falso

Para que un PL sea no acotado, la region factible del PL debeser no acotada.

Todo PL con una region factible no actada tiene una solucionoptima no acotada.




Ejemplo.

Max x1 + x2

S.ax1 + x2 = 5

x1, x2 >= 0




PROXIMA CLASE ANALISIS DE SENSIBILIDAD.



repasoejemplo.Problema de la Dieta.Solucin Geomtrica.

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