Programación Lineal:

Método Gráfico

IO1 R. Delgadillo 2

Método Gráfico.

Introducción

Gráfica de las restricciones

Región factible

Gráfica de la Función Objetivo

Solución Óptima

Ejemplos

IO1 R. Delgadillo 3

Introducción

Un problema de programación Lineal, puede ser resuelto por:

Método gráfico

Método análitico

IO1 R. Delgadillo 4

Introducción

El Método gráfico:

Utiliza la geometría plana

Es fácilmente comprensible

Da una idea clara de lo que sucede al resolver un problema lineal.

Permite visualizar alguna propiedades de la Programación Lineal

Tiene limitaciones respecto al número de variable ( a lo mas 3)

IO1 R. Delgadillo 5

Introducción

La Métodologia que sigue el Método Gráfico es:

Gráfica de la región factible

Diseño de la función objetivo

Desplazamiento de la función objetivo en dirección del incremento (ó decremento) del valor de la F.O.

IO1 R. Delgadillo 6

Gráfica de las restricciones

Una restricción es una limitación al modelo de programación lineal

Una restricción viene dada por una desigualdad

El gráfico de una restricción está dado por el gráfico de las desigualdades que representa la restricción.

IO1 R. Delgadillo 7

Gráfica de las restricciones

Procedimiento para graficar una desigualdad (restricción) :

Gráfique la igualdad: convierta la desigualdad en igualdad y grafique esta recta.

Escoja un punto de ensayo: Elija un punto que no pertenezca a la recta.

Evalue el primer miembro de la expresión: sustituya el punto de ensayo en el primer miembro de la desigualdad

IO1 R. Delgadillo 8

Gráfica de restricciones

Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad: Si el punto de ensayo satisface la

desigualdad, entonces la desigualdad está representada por la recta y todos los puntos de la parte del plano en la que se encuentra el punto de ensayo.

Si en punto de ensayo no satisface la desigualdad, entonces la recta y todos los puntos del plano que no están del lado del punto de ensayo satisfacen la desigualdad.

IO1 R. Delgadillo 9

Gráfica de restricciones

Graficar: 2x +4y >= 4

2

1

(0,0)

2x + 4y = 4 Área que satisface la desigualdad

Punto de ensayo

IO1 R. Delgadillo 10

Gráfica de restricciones

Graficar: 2x +4y >= 4

5x + 10y <= 20

2

1

(0,0)

4

2

Área que satisface las dosrestricciones

IO1 R. Delgadillo 11

Región Factible

Al graficar todas las resticciones se generará un área delimitada por las mismas, a esta región se le conoce como región factible

Región factible ó conjunto factible:

Es el conjunto de todos los valores no negativos de las variables de decisión que satisfacen todas las restricciones simultáneamente

IO1 R. Delgadillo 12

Diseño de la Función Objetivo

La representación gráfica de la función objetivo será la gráfica de un contorno

Un Contorno (isocuanta) de una función f de dos variables es el conjunto de todos los pares(x1,x2) para los cuales f(x1,x2) toma un valor constante especifico.

Cuando f es la función de utilidad se le denomina recta de isoutilidad, y si es de costos, recta de isocostos.

IO1 R. Delgadillo 13

Diseño de la Función Objetivo

Los contornos de una función lineal forman una familia de rectas paralelas

Ejemplo: Supóngase que estamos vendiendo dos productos.

La utilidad por unidad del producto 1 es $2 y del producto 2 es $4.

Esto es la función de utilidad es:

F(x1,x2)= 2 x1 + 4 x2

IO1 R. Delgadillo 14

Diseño de la Función Objetivo

Si queremos graficar todas las combinaciones de cantidades de producto 1 y 2 para tener una utilidad igual a 10

=> f(x1,x2)= 2 x1 + 4 x2 = 10

IO1 R. Delgadillo 15

Diseño de la Función Objetivo

5

2.52 x1 +4 x2 = 10

2 x1 +4 x2 = 20

10

5

15

7.52 x1 +4 x2 = 30

IO1 R. Delgadillo 16

Diseño de la Función Objetivo

En resumen:

El gráfico de la F.O. es el gráfico de una igualdad

Los contornos de una función lineal forman una familia de rectas paralelas

El desplazamiento de la F.O forma una familia de rectas paralelas (contornos de la F.O).

IO1 R. Delgadillo 17

Solución Óptima

Solución óptima: Es un punto de la región factible con mayor valor de la F.O. (problema de Máximo) ó con menor valor de la F.O. (problema de Mínimo)

La solución óptima se consigue por el desplazamiento de la F.O. En dirección de su mejor valor. (mejor es mayor o menor)

IO1 R. Delgadillo 18

Ejemplo

Resolver gráficamente el siguiente modelo de programación lineal

F.O. Max 2x1 + 7x2

sujeto a:

3x1 + 4x2 <= 12

x1 + 8x2 <= 8

6x1 + x2 <= 15

x1, x2 >= 0

IO1 R. Delgadillo 19

Ejemplo

0 1 2 3

0

1y

x

: 3.0 x + 4.0 y = 12.0

: 1.0 x + 8.0 y = 8.0

: 6.0 x + 1.0 y = 15.0

Payoff: 2.0 x + 7.0 y = 9.6

Optimal Decisions(x,y): ( 2.4, 0.7)

: 3.0x + 4.0y <= 12.0

: 1.0x + 8.0y <= 8.0

: 6.0x + 1.0y <= 15.0

IO1 R. Delgadillo 20

Ejercicios

Graficar el siguiente modelo de programación lineal.

F.O. Max 5A + 6B

s.a: 3A + 5B <= 30

2A + 3B <= 12

A + 5B >= 15

4A + B <= 8

A, B >= 0

IO1 R. Delgadillo 21

Ejercicios

Graficar el siguiente modelo de programación lineal.

F.O. Max 3A + 7B

s.a: 6A + 11B <= 66

2A + B <= 10

0.5A + 0.4B >= 6

A + B >= 4

A, B >= 0

IO1 R. Delgadillo 22

Ejercicios

Graficar el siguiente modelo de programación lineal.

F.O. Max 12A + 10B

s.a: 6A + B <= 6

9A + 4B <= 18

2A + 5B <= 20

A + B <= 1

A, B >= 0