Dada una ecuacin f(x) = 0, podemos

transformarla, de alguna manera, en otra equivalente del tipo x = g(x) para alguna funcin g. En este caso se tiene que: a es raz de f(x) = 0 f(a) = 0 a = g(a) a es raz de x = g(x).

Un nmero a tal que a = g(a) se dice

un punto fijo de la funcin g. Cundo una funcin g tiene un punto fijo, y si lo tiene, cmo encontrarlo?

Si g es una funcin continua en [a, b] y g(x) [a,

b] para todo x [a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si adems, g(x) existe para todo x [a, b], y |g(x)| K < 1 para todo x [a, b], K constante, entonces g tiene un nico punto fijo x [a, b]. La sucesin {xn}, con n definida, se encuentra mediante la frmula de iteracin: xn=g(xn-1), n=1,2,3..

Un punto fijo de una funcin, g es un nmero p tal que

g(p)=p. El problema de encontrar las soluciones de una ecuacin f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una funcin h(x) son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de encontrar las soluciones de una ecuacin f(x)=0, podemos definir una funcin g con un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo, f(x)=x-g(x). En forma inversa, si la funcin g tiene un punto fijo en, p entonces la funcin definida por f(x)=x-g(x) posee un cero en p.

El mtodo de punto fijo inicia con una aproximacin inicial

X0 y Xi+1=g(Xi) genera una sucesin de aproximaciones la cual converge a la solucin de la ecuacin f(x)=0. A la funcin g se le conoce como funcin iteradora. Se puede demostrar que dicha sucesin converge siempre y cuando |g(x) g(b), se debe demostrar que la funcin g(x) es decreciente, esto es, g(x) 0 para todo x [a, b]

Para verificar la propiedad

g(x) existe para todo x [a, b], y |g(x)| K < 1 para todo x [a, b] Se puede utilizar el siguiente procedimiento Evaluar g(x) en los extremos del intervalo [a,b] Si g(a) o g(b) son mayores a 1, entonces g(x) no tiene un nico

punto fijo. Si g(a) > g(b), se debe demostrar que la funcin g(x) es decreciente, esto es, g(x) 0 para todo x [a, b]

EjemploUsando el mtodo de punto fijo vamos a aproximar la solucin de la ecuacin X3+4X2-10=0 dentro del intervalo [1,2]. Lo primero es buscar una funcin g(x) adecuada x3+4X2-10=0 x2(x+4)=10 x= Y claramente elegimos como funcin iteradora a

g(x)=adems observe que

Para toda x [1,2], lo cual garantiza que la sucesin que vamos a construir va a ser convergente.

1.

En la celda A5 escribimos aproximacin inicial, en este caso 2.

nuestra

2.

En la celda A6 escribimos la frmula que calcular las aproximaciones: =raiz(10/(A5+4))

3. Por ltimo arrastramos la celda A6 para generar las restantes aproximaciones.

Una desventaja potencial del mtodo de punto fijo es que la eleccin de la funcin iteradora g(x) no siempre es fcil.

Algoritmo

Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de, f(x)=cos x-x f(x) comenzando con Xo=0 y hasta que |Ea|