Metode Numerik Meet 1 Error

5/8/2018 Metode Numerik Meet 1 Error - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/metode-numerik-meet-1-error 1/41

Metode Numerik

By

Yuwono Marta Dinata



Meet 1

� Outline :

± Perkenalan

±

Sistem Nilai ± Referensi

± Pendahuluan



� www.blog.stikom.edu/yuwono

� Yuwono MD

� Solo, 14 Juni 1981

� Sulung

Perkenalan



� UTS : 30 %

� UAS : 30 %

� Resume : 6 %� Tugas : 12 %

� Quiz : 12 %

� Keakifan : 10 %

Sistem Nilai



Referensi

�Subekti, Irwan. Metode Numerik, edisi JurusanT.Informatika - ITS

� Munir, Renaldi. Metode Numerik, Informatika

Bandung.A

gustus 2003.� Munif, Abd.Cara praktis penguasaan dan

penggunaan metode Numerik, edisi 1.PT.

Guna Widya, 1995.

� Soehardjo. Analisa Numerik.ITS ITATS

� Triatmodjo, Bambang. Metode Numerik, Beta

Offset.1996



Pendahuluan

� Mata kuliah semester 3

� Kredit : 3 sks

� Tujuan :

± memahami konsep dasar numerik

± Kelebihan dan kekurangan masing2 metode

numerik

± Mencari akar2 persamaan ± Menyelesaikan persoalan SPL

± Mahasiswa dapat membuat formula dari data2 yg

ada

�



Topik

� Peraturan kuliah, silabus/materi

� Pendekatan kesalahan

� Error

� Angka signifikan

� Akurasi dan presisi



Topik

� Metode mencari akar2 SPL

± Metode Bisection

±

Metode Regula Falsi ± Metode Newton Rapson

± Metode Secant



Topik

� Interpolasi :

± Interpolasi Linear

±

Interpolasi Kuadrat� Regresi :

± Regresi Linear

± Regresi Tak Linear

� Interpolasi Polynomial Newton

� Interpolasi Lagrange



Topik

� Integrasi numerik

� Integrasi numerik trapesium banyak bias

�Eliminasi gauss

� Program C++



Pendahuluan

Metode

Numerik Teknik

Operasi

Aritmatika



Problem

Masalah-masalah Model



ErrorError

�� Walaupun kita berusaha untukWalaupun kita berusaha untukmemperoleh jawaban eksak, namunmemperoleh jawaban eksak, namun jawaban demikian jarang diperoleh jawaban demikian jarang diperolehsecara numerissecara numeris

�� Pada tiap langkah penyelesaianPada tiap langkah penyelesaianmasalah, dari formulasi hinggamasalah, dari formulasi hingga

komputasi numerisnya,komputasi numerisnya, error error dandanketidakpastian dapat terjadiketidakpastian dapat terjadi



Proses Problem Solving

Berlangsung dalam tahap:Berlangsung dalam tahap:

Perumusan secara tepat dari modelPerumusan secara tepat dari modelmatematis dan model numerismatematis dan model numeris

Penyusunan metode untukPenyusunan metode untukpemecahan masalah.pemecahan masalah.

Penerapan metode untukPenerapan metode untukmenghitung dan mencari jawaban.menghitung dan mencari jawaban.



Dalam perumusan modelDalam perumusan modelbiasanya dilakukan:biasanya dilakukan:

�� IDEALISASIIDEALISASI�� APROKSIMASIAPROKSIMASI



�� IDEALI S AS I: IDEALI S AS I: ± ±MENGANGGAP IDEALMENGANGGAP IDEAL

± ±

TIDAK MENGENAL KETIDAKPASTIANTIDAK MENGENAL KETIDAKPASTIAN ± ± KURANG SESUAI DENGAN REALITAKURANG SESUAI DENGAN REALITA



APROKS IMAS I: APROKS IMAS I:

Dapat dilakukan dengan caraDapat dilakukan dengan caraPendekatan atau penyederhanaanPendekatan atau penyederhanaanperumusan masalahperumusan masalah

Solusi pendekatan terhadap solusiSolusi pendekatan terhadap solusi

eksakeksak

Gabungan dari keduanyaGabungan dari keduanya

Pendekatan dilakukan sedemikianPendekatan dilakukan sedemikianrupa shg hanya halrupa shg hanya hal--hal penting sajahal penting sajayang dimasukkan dalam model.yang dimasukkan dalam model.



Pada umumnya metodePada umumnya metodenumeris tidak mengutamakannumeris tidak mengutamakandiperolehnya jawaban yangdiperolehnya jawaban yangeksak, namun mengusahakaneksak, namun mengusahakanperumusan metode yangperumusan metode yangmenghasilkan jawabanmenghasilkan jawabanpendekatan yang dapatpendekatan yang dapatditerima berdasarditerima berdasarpertimbangan praktis, tetapipertimbangan praktis, tetapicukup dapat memberikan solusicukup dapat memberikan solusiatas persoalan yang dihadapi.atas persoalan yang dihadapi.



Program (Program (softwaresoftware) yang) yangistimewa tidak dapatistimewa tidak dapatmenggantikan pilihan metodemenggantikan pilihan metodeyang buruk, danyang buruk, dan

Program (Program (softwaresoftware) yang buruk) yang burukdapat merusak metode yangdapat merusak metode yang

baikbaik



�� PenggunaanPenggunaan softwaresoftware yang siapyang siappakai tetap menuntutpakai tetap menuntut

pengetahuan akan tujuan danpengetahuan akan tujuan dankemampuan dan keterbatasankemampuan dan keterbatasan

softwaresoftware tersebut, serta apakahtersebut, serta apakahsesuai dengansesuai dengan

kasus/permasalahan yangkasus/permasalahan yangdihadapi.dihadapi.



Penyelesaian secara numeris hanyaPenyelesaian secara numeris hanya

memberikan nilai perkiraan yangmemberikan nilai perkiraan yangmendekati nilai eksak darimendekati nilai eksak dari

penyelesaian analitispenyelesaian analitis

Berarti dalam penyelesaian numerisBerarti dalam penyelesaian numeris

tsb terdapattsb terdapat error error terhadap nilaiterhadap nilai

eksakeksak

JenisJenis Error Error



1.1. Asumsi Asumsi--asumsi y ang asumsi y ang di gunakan unt uk mengubah di gunakan unt uk mengubah

per ist i wa real ke d alam mod el per ist i wa real ke d alam mod el matemat ismatemat is

2.2. K esalahan ar i t mat i k d an K esalahan ar i t mat i k d an programmi ng programmi ng

3.3. K et id ak past i an d alam d ataK et id ak past i an d alam d ata

4.4. d ll .d ll .

Asal dariAsal dari error error ::



Error dapat terbagi atas 3 jenisError dapat terbagi atas 3 jenis

1.1.E rror E rror Bawaan (Inheren)Bawaan (Inheren)

2.2.Error Pemotongan (Error Pemotongan (tr uncat i on tr uncat i on error error ))

3.3.E rror E rror PembulatanPembulatan ((round round--off off

error error ))

4.4.E rror E rror PemrogramanPemrograman



1. E rror Bawaan (Inheren)

Merupakan kesalahan dari nilai data.

Dapat terjadi karena salah menyalin data,salah membaca skala,

Kesalahan karena kurangnya pengertianatau pemahaman mengenai data yangdiukur

Kadang disebut juga sebagai error

eksperimen jika terjadi saat eksperimen.



2. Error Pemotongan2. Error Pemotongan((tr uncat i on error tr uncat i on error ))

Pengantar:Pengantar:

E rror E rror inheren berhubunganinheren berhubungan

dengandengan error error pada data,pada data,sedang duasedang dua error error yang lainyang lainberhubungan denganberhubungan dengan error error

yang disebabkan oleh carayang disebabkan oleh carapelaksanaan prosedurpelaksanaan prosedurnumeris.numeris.



�� E rror E rror pemotongan terjadipemotongan terjadikarena tidak dilakukannyakarena tidak dilakukannya

hitungan sesuai denganhitungan sesuai denganprosedur matematis yangprosedur matematis yangbenarbenar

��

Sebagai contoh suatu prosesSebagai contoh suatu prosestak berhingga diganti dengantak berhingga diganti denganproses berhingga.proses berhingga.



3. E RROR3. E RROR PEMBULATAN PEMBULATAN ((round round--off error off error ))

Terjadi karena tidakTerjadi karena tidakdiperhitungkannya beberapa angkadiperhitungkannya beberapa angkaterakhir dari suatu bilangan,terakhir dari suatu bilangan,

Bilangan dibulatkan pada posisi keBilangan dibulatkan pada posisi ke--nndengan membuat semua angka didengan membuat semua angka disebelah kanannya menjadi nol.sebelah kanannya menjadi nol.

Contoh:Contoh:

8632574 dibulatkan menjadi 86330008632574 dibulatkan menjadi 8633000

3,1415926 dibulatkan menjadi 3,143,1415926 dibulatkan menjadi 3,14



Error PemrogramanError Pemrograman

E rror E rror pemrograman dapat terjadipemrograman dapat terjadisaat penerapan metode ke dalamsaat penerapan metode ke dalam

softwaresoftware /program. /program.

Untuk itu program harus dibuatUntuk itu program harus dibuatseteliti mungkin untukseteliti mungkin untuk

menghindarkan kesalahan dan perlumenghindarkan kesalahan dan perlu

dilakukan pemeriksaan sebelumdilakukan pemeriksaan sebelumaplikasi real.aplikasi real.



Perambatan Error Perambatan

Error

1.1. BagaimanaBagaimana error error padapada

suatu titik dalamsuatu titik dalamperhitunganperhitungandirambatkan???dirambatkan???

2.2. ApakahApakah error error bertambahbertambahatau berkurang setelahatau berkurang setelahpelaksanaan operasi???pelaksanaan operasi???

Persoalan Utama:



Penjumlahan dan penguranganPenjumlahan dan pengurangan

Jika kita mempunyai dua bilangan Jika kita mempunyai dua bilangan pendekatan pendekatan

x x aa dan y dan y aaDengan nilai sebenarnya x dan y,Dengan nilai sebenarnya x dan y,

MasingMasing--masing errornya emasing errornya e x x dan edan ey y ..

MakaMaka x + y = (x x + y = (x aa + y + y aa ) + (e ) + (e x x + e+ ey y ) )

Error dalam penjumlahanError dalam penjumlahan

ee x+y x+y

= (e= (e x x

+ e+ ey y

) )



E rror dalam penguranganE rror dalam pengurangan

ee x x--y y = (e= (e x x -- eey y ) )

Akan tetapi baik e Akan tetapi baik e x x maupun emaupun ey y dapat dapat bernilai positif maupun negatif, danbernilai positif maupun negatif, danerror mutlak terbesar:error mutlak terbesar:

|e|e x x--y y | = |e| = |e x x | + |e| + |ey y ||

Dengan cara yang samaDengan cara yang sama



�� Jika dinyatakan dalamJika dinyatakan dalam error error relatif maka:relatif maka:

¹¹ º ¸©©

ª¨

¹¹

º ¸©©

ª¨

!

!

a

y

aa

a

a

x

aa

a

aa

y x

ye

y x y

xe

y x x

y xen penjumlahaerror



Contoh 1

x =x = TT y = 22/7y = 22/7

xxaa = 3,1416= 3,1416 yyaa = 3,1429= 3,1429

Hitunglah xHitunglah x--xxaa, rel e, rel exx, y, y--yyaa, rel e, rel eyy, (x, (x--y),y),

(x(xaa yyaa), dan selisihnya.), dan selisihnya.



x x xxaa == --7,35 7,35 xx 1010--66

R el (eR el (exx) ) == --7,35 7,35 xx 1010--66 / /TT == --2,34 2,34 xx 1010--66

yy yyaa == --4,29 4,29 xx 1010--55

R el (eR el (eyy) ) == --4,294,29xx1010--55 /(22 /7) /(22 /7) == --1,361,36 xx 1010--55

(x (x y) y) (x(xaa yyaa) )

==--0,0012645 0,0012645 ((--0,0013)0,0013)

= 3,55 x 10= 3,55 x 10--55

R el (xR el (xaa yyaa) =) = --0,0280,028



Maka meskipunMaka meskipunerror error untukuntuk

perhitunganperhitunganmenggunakanmenggunakan(x(xaa yyaa) kecil) kecil

namunnamun error error relatif relatif nya cukupnya cukupbesar.besar.



2.4.2 Perkalian2.4.2 Perkalian

x . y = (xa + ex) . (ya + ey)

= xaya + xaey + yaex + exey

Jika dianggap error exey diabaikan

maka

x . y } xaya + xaey + yaex

exy } xaey + yaex



error error relatif dapat dicari denganrelatif dapat dicari dengan

Jika Rel(eJika Rel(exx)) .. Rel(eRel(eyy) << 1) << 1Maka (xMaka (xaa .. yyaa) = Rel(e) = Rel(exx) + Rel(e) + Rel(eyy))

)Rel()Rel()Rel()Rel(

)(Rel

y x y x

y x y xaaaa

eeee xy

ee

y

e

x

e

xy

y x xy y x

y!

!

!



2.4.3 Pembagian2.4.3 Pembagian

ya

xa

e y

e x

y

x

!



�� Faktor dalam kurung dapat diuraikanFaktor dalam kurung dapat diuraikan

dalam bentuk deretdalam bentuk deret

�� Dengan mengalikan dan membuangDengan mengalikan dan membuangsemua bentuk perkalian atau pangkatsemua bentuk perkalian atau pangkatyang lebih besar dari pada 1 pada eyang lebih besar dari pada 1 pada exx

dan edan eyy, didapat, didapat

¹¹

º

¸

©©

ª

¨¹¹

º

¸©©ª

¨

! ...1.

2

a

y

a

y

a

xa

y

e

y

e

y

e x

y

x

y

a

a

a

x

a

a e y

x

y

e

y

x

y

x.

2}



SehinggaSehingga

y

a

a x

a

y x e y

xe

ye ..

1

2/}



Documents

Metode Numerik Meet 1 Error