Analisa Numerik 1

Chapra, Steven C; Canale, Raymond P; Metode Numerik Untuk

Teknik, dengan penerapan pada komputer pribadi; UI Press, 1991.

Referensi :

Company, WS Dorn and Mc Cracken; Numerical Methods with

fortran IV; Case Study; John Wiley & Son, 1972

ANALISA NUMERIK

Analisa Numerik 2

Prosedur rumit

Metode numerik

Prosedur lebih mudah

Kesalahan/error

Masalah matematika

Metode analitis

Komputer

Tidak terselesaikan

BAB I PENDAHULUAN

Analisa Numerik 3

Metode numerik melibatkan suatu pendekatan (aproksimasi) sehingga

akan timbul kesalahan (error) yang meliputi :

• kesalahan pembulatan (round-off error)

• kesalahan pemotongan (truncation error)

Misal speedometer mobil menunjukkan angka antara 48 dan 49 km/jam

Kecepatan mobil tersebut mungkin adalah 48,6 atau 48,7 km/jam

Hal ini karena keterbatasan speedometer dimana hanya dua digit angka

pertama yang dapat dipakai secara meyakinkan

Tidak dapat dikatakan dengan pasti bahwa mobil bergerak dengan

kecepatan 48,7642 km/jam

Angka signifikan : digit tertentu yang dapat dipakai secara meyakinkan

PENDEKATAN DAN KESALAHAN

ANGKA SIGNIFIKAN

Analisa Numerik 4

Beberapa angka nol tidak selalu termasuk angka signifikan karena mereka

diperlakukan sekedar menempatkan sebuah titik desimal, misal

0,00001845; 0,0001845; 0,001845 semua memiliki empat angka signifikan

Jika angka nol dipakai di bagian ekor bilangan besar, tidak jelas berapa

banyak nol yang signifikan. Misal 45.300 dapat memiliki 3, 4 atau 5 angka

signifikan tergantung apakah harga nol telah diketahui dengan yakin

Ketidakpastian ini dapat diatasi dengan notasi ilmiah :

4,53 x 104 memiliki 3 angka signifikan

4,530 x 104

4,5300 x 104

memiliki 4 angka signifikan

memiliki 5 angka signifikan

Akurasi mengacu pada dekatnya angka pendekatan atau pengukuran

terhadap harga sebenarnya Inakurasi atau ketidak akuratan didefinisikan

sebagai simpangan sistematis dari kebenaran

AKURASI DAN PRESISI

Analisa Numerik 5

• Jumlah angka signifikan yang menyatakan suatu besaran

Presisi mengacu pada :

• Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat ukur

Kesalahan pemotongan dihasilkan sewaktu aproksimasi digunakan untuk

menyatakan suatu prosedur matematika eksak, sedangkan

Kesalahan pembulatan dihasilkan bila angka-angka aproksimasi

digunakan untuk menyatakan angka-angka pasti

Hubungan antara hasil eksak dan aproksimasi :

Harga sebenarnya = pendekatan + kesalahan

Sehingga kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan

antara yang sebenarnya dan aproksimasi :

Et = harga sebenarnya - aproksimasi

DEFINISI KESALAHAN

Analisa Numerik 6

Et menyatakan harga pasti dari kesalahan dan subscript t menunjukkan

kesalahan sebenarnya. Untuk memperhitungkan besaran yang dievaluasi

dengan menormalisasikan kesalahan terhadap harga sebenarnya :

sebenarnya harga

kesalahan fraksional relatifKesalahan

Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :

%100sebenarnya harga

sebenarnyakesalahan

t

Alternatif untuk menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran

terbaik dari harga sebenarnya terhadap aproksimasi itu sendiri :

%100iaproksimas

iaproksimaskesalahan a

Analisa Numerik 7

Dimana subscript a menunjukkan bahwa kesalahan dinormalisasi

terhadap sebuah harga aproksimasi. Tetapi dalam aplikasinya penentuan

taksiran kesalahan tanpa adanya harga sebenarnya yang telah diketahui,

sehingga dipakai metode iterasi dengan suatu aproksimasi sekarang

berdasarkan aproksimasi sebelumnya.

%100iaproksimas

iaproksimaskesalahan a

Kesalahan relatif dalam bentuk prosen :

Tingkat kesalahan dapat bertanda positip atau negatip. Positip jika

aproksimasi lebih kecil dari harga sebenarnya, demikian sebaliknya.

Untuk itu diberlakukan harga absolut yang dibandingkan dengan

toleransi praspesifikasi sehingga komputasi diulangi sampai :

sa kasipraspesifi eransiadalah tol dimana a

Analisa Numerik 8

Kesalahan-kesalahan juga dapat dihubungkan dengan jumlah angka

signifikan pada pendekatan, sehingga dapat dijamin bahwa hasilnya

adalah betul hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.

%105,0 2

s

n

Keterbatasan komputer menyimpan sejumlah angka signifikan selama

perhitungan. Misal jika menyimpan 7 angka maka p = 3,141592

Pembulatan yang dilakukan pada perhitungan manual juga

menghasilkan kesalahan sehingga dipakai aturan pembulatan

Aturan pembulatan :

5,6723 5,67 3 angka signifikan

10,406 10,41 4 angka signifikan

KESALAHAN PEMBULATAN

Analisa Numerik 9

KESALAHAN PEMOTONGAN Kesalahan yang dihasilkan dari penggunaan suatu aproksimasi

pengganti prosedur matematika eksak

Yaitu jumlah kesalahan pemotongan dan kesalahan pembulatan

Untuk mengurangi kesalahan pemotongan dilakukan dengan mengurangi

langkah prosedur matematisnya.

Untuk mengurangi kesalahan pembulatan dilakukan dengan menambah

jumlah angka signifikan

Kesalahan juga dapat disebabkan oleh :

• Kekeliruan yang disebabkan kegagalan fungsi (malfunction) komputer

• Kesalahan formulasi karena model matematis yang tidak sempurna

• Ketidakpastian data

KESALAHAN NUMERIK TOTAL

Analisa Numerik 10

Metode Akolade adalah metode yang menggali fakta bahwa fungsi

berdasar jenisnya akan berubah tanda di sekitar suatu harga akar. Dalam

hal ini dibutuhkan dua tebakan awal untuk akar. Terdiri dari :

Dalam problem matematika banyak dijumpai persamaan :

f(x) = ax2 + bx + c = 0

Dengan rumus kuadratik untuk mencari akar persamaan :

a

acbbx

2

42

• metode grafik

• metode bagi dua

• metode posisi salah atau palsu

• metode inkremental dan penentuan tebakan awal

BAB II METODE ALOKADE

Analisa Numerik 11

Yaitu metode penyelesaian suatu fungsi f(x) = 0 dengan menggambarkan

grafik fungsi tersebut dan mengamati dimana fungsi memotong sumbu x,

yang memberikan pendekatan kasar akarnya.

1.0

1.0

f(x)

57.0Akar

Misal pendekatan dari f(x) = e-x – x. Harga-harga dihitung :

x f(x)

0.0 1.000

0.2 0.619

0.4 0.270

0.6 - 0.051

0.8 - 0.351

1.0 - 0.632

Grafiknya :

Terlihat bahwa f(x) berganti tanda pada

kedua sisi yang berlawanan dari akar

2.1. METODE GRAFIK

Analisa Numerik 12

Dari grafik terlihat fungsi memotong sumbu x di antara 0.5 dan 0.6.

Diambil taksiran kasar 0.57. Keabsahannya diuji dengan memasukkan

harga taksiran ke persamaannya.

f(0.57) = e-0.57 – 0.57 = -

0.0045

mendekati nol

Harga sebenarnya jika dihitung secara numerik adalah 0.56714329

Keuntungan metode grafik :

• menyediakan taksiran kasar

• memahami sifat-sifat fungsi untuk menghindari kesalahan pemahaman

Kerugiannya :

• kurang presisi

• keterbatasan pada kondisi khusus, misalnya permasalahan akar ganda

dan fungsi-fungsi diskontinu

Analisa Numerik 13

Pada umumnya, jika f(x) riil dan kontinu dalam interval dari xl hingga

xu, serta f(xl) dan f (xu) berlainan tanda yakni f(xl) f(xu) < 0 maka

terdapat sekurang-kurangnya satu akar riil di antara interval tersebut.

Metode bagi dua, disebut juga pemotongan biner (binary chopping),

pembagian dua (interval halving) atau metode Bolzano, menggunakan

cara membagi interval menjadi dua bagian. Kalau suatu fungsi berubah

tanda pada interval, maka harga fungsi di tengahnya dievaluasi.Letak

akar ditentukan berada di tengah-tengah sub interval. Proses ini diulangi

dengan memperhalus perolehan taksiran (memperkecil interval).

Metode bagi dua ini merupakan teknik yang cukup baik untuk

menentukan akar-akar, tetapi proses yang harus dilalui cukup panjang.

Tetapi dibanding dengan metode grafik, hasil yang diperoleh menjadi

lebih baik.

2.2. METODE BAGI DUA

Analisa Numerik 14

Langkah 2 : Taksiran pertama akar xr ditentukan oleh : 2

ulr

xxx

Langkah 3 : Evaluasi letak akar dengan :

a. Jika f(xl) f(xr) < 0, akar terletak pada sub interval pertama,

maka xu = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.

b. Jika f(xl) f(xr) > 0, akar terletak pada sub interval kedua,

maka xl = xr, dan lanjutkan ke langkah 4.

c. Jika f(xl) f(xr) = 0, akar = xr, hentikan komputasi

Langkah 4 : Hitung taksiran baru akar dengan : 2ul

r

xxx

Langkah 5 : Putuskan apakah taksiran baru cukup akurat. Jika ya

hentikan komputasi, jika tidak kembali ke langkah 3.

Langkah 1 : memilih taksiran terendah xl dan tertinggi xu untuk akar

agar fungsi berubah tanda sepanjang interval. Periksa dengan

menerapkan persamaan f(xl) f(xu) < 0.

Algoritma metode bagi dua

Analisa Numerik 15

Contoh : Tentukan akar dari f(x) = e-x – x dengan metode bagi dua

Solusi : Dari metode grafik, akar terletak antara 0 dan 1. Interval awal

dapat dipilih xl = 0 dan xu = 1. Taksiran awal akar :

5,02

10 rx

Lalu kita hitung :

f(0) f(0,5) = (1) (0,10653) = 0,10653

Harga akar sebenarnya adalah 0,56714329…. sehingga kesalahannya :

Et = 0,56714329 – 0,5 = 0,06714329

Atau dalam bentuk relatif :

%8,11%10056714329,0

06714329,0

t

Yang lebih besar dari nol, dan tidak terjadi perubahan tanda pada

intervalnya. Karena itu akar terletak antara x = 0,5 dan 1.

Analisa Numerik 16

Batas bawah diganti dengan xl = 0,5 dan dilakukan iterasi kedua :

75,02

15,0 rx %2,32t

Iterasi diulangi untuk taksiran akar yang lebih baik. Misal iterasi ketiga :

f(0,5) f(0,75) = - 0,030 < 0

Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,75 :

xu = 0,75 625,02

75,05,0 rx %2,10t

f(0,5) f(0,625) = - 0,010 < 0

Karena itu akar terletak antara 0,5 dan 0,625 :

xu = 0,625 5625,02

625,05,0 rx %819,0t

Iterasi ke empat :

Proses ini diulangi lagi untuk mendapatkan taksiran yang lebih baik

Analisa Numerik 17

Metode ini mengembangkan metode grafik dan bagi dua. Hal ini dilakukan

dengan menggabungkan titik-titik dengan sebuah garis lurus. Perpotongan

garis dengan sumbu x menyatakan sebuah taksiran perbaikan dari akar.

Penempatan kembali kurva dengan garis lurus memberikan suatu “posisi

salah” dari akar-akar. Metode posisi salah (method of false position) atau

regula falsi (bahasa Latin) juga dinamakan metode interpolasi linier.

f(x) f(xu)

f(xl)

xr

xl

xu

x

Perpotongan garis lurus dengan

sumbu x dapat ditaksir :

ur

u

lr

l

xx

xf

xx

xf

Atau diselesaikan menjadi :

)()( ul

ulu

urxfxf

xxxfxx

2.3. METODE POSISI SALAH ATAU PALSU

Analisa Numerik 18

Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode posisi salah.

Solusi : dimulai dengan tebakan awal xl = 0 dan xu = 1.

Iterasi pertama :

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 0 f(xu) = - 0,63212 6127,0

)63212,0(1

)10(63212,01

rx

Kesalahan relatif sebenarnya dapat ditaksir oleh :

%0,8%10056714329,0

6127,056714329,0

t

Iterasi kedua dengan f(xl) f(xu) = - 0,0708. Akar terletak di sub interval

pertama dan xr menjadi batas atas untuk iterasi berikutnya, xu = 0,6127.

xl = 0 f(xl) = 1

xu = 0,6127 f(xu) = - 0,0708

xr = 0,57219

%89,0t

Iterasi tambahan dapat dilakukan untuk mendapat taksiran yang lebih baik.

Analisa Numerik 19

Metode ini didasarkan pada formula yang membutuhkan sebuah harga

tunggal dari x, atau dua harga yang tidak perlu mengurung akar.

Pokok bahasan dalam metode ini :

1. Iterasi Satu Titik Sederhana

2. Newton – Raphson

3. Secant

4. Akar Ganda

Metode ini mengatur kembali fungsi f(x) = 0 sedemikian sehingga x

berada di ruas kiri persamaan :

x = g(x)

Transformasi ini dapat dikerjakan dengan manipulasi aljabar atau dengan

penambahan sederhana x ke kedua ruas persamaan semula. Misal

x2 – 2x + 3 = 0 dimanipulasi menjadi x = (x2 + 3)/2

BAB III METODE TERBUKA

3.1. ITERASI SATU TITIK SEDERHANA

Analisa Numerik 20

Dengan memberikan satu tebakan awal pada akar xi, persamaan x = g(x)

dapat digunakan untuk menghitung taksiran baru xi+1, seperti dinyatakan

oleh rumus iterasi :

xi+1 = g(xi)

Dengan taksiran kesalahan :

%100

1

1

i

iia

x

xx

Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode iterasi satu titik

sederhana

Solusi : fungsi dipisahkan secara langsung dan dinyatakan dalam bentuk :

ix

iex

1

Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iterasi ini diterapkan

untuk mendapatkan :

Analisa Numerik 21

%t

%aIterasi, i

xi

0

0

100,000

1

1,000000

76,300

100,00

2

0,367879

35,100

171,8

3

0,692201

22,100

46,90

4

0,500473

11,800

38,30

5

0,606244

6,890

17,40

6

0,545396

3,830

11,20

7

0,579612

2,200

5,90

8

0,560115

1,240

3,48

9

0,571143

0,705

1,93

10

0,564879

0,399

1,11

Terlihat bahwa iterasi memberikan taksiran yang lebih mendekati harga

akar sebenarnya (0,56714329), dengan tingkat kesalahan semakin rendah

Analisa Numerik 22

Metode ini banyak digunakan dan merupakan interprestasi geometrik

(metode alternatif yang didasarkan pada deret Taylor).

f(x)

f(xi)

Kemiringan = f '(xi)

0x

i+1x

ix

xi - x

i+1

f(xi) - 0

Turunan pertama pada xi adalah

ekuivalen terhadap kemiringan :

1

'0

)(

ii

i

i xx

xfxf

Yang dapat dirubah menjadi :

)('1

i

i

ii xf

xfxx

Yang disebut formula Newton -

Raphson

3.2. METODE NEWTON - RAPHSON

Analisa Numerik 23

Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Newton – Raphson

dengan tebakan awal x0 = 0.

Solusi : turunan pertama fungsi tersebut adalah f’(x) = -e-x – 1, yang

dapat disubstitusikan bersama ke formula Newton – Raphson :

11

ixi

ix

ii e

xexx

Dimulai dengan tebakan awal x0 = 0, persamaan iteratif ini dapat

digunakan untuk menghitung :

Iterasi, i

xi

t %

0

0

100

1

0,500000000

11,8

2

0,566311003

0,147

3

0,567143165

0,000022

4

0,567143290

< 10-8

Terlihat bahwa pendekatan

ini konvergen secara lebih

cepat ke akar sebenarnya.

Kesalahan relatif berkurang

lebih cepat daripada metode

sebelumnya

Analisa Numerik 24

Metode ini kadang berlaku kurang baik pada kondisi tertentu, misalnya

kasus akar ganda. Bahkan seringkali juga mengalami kesulitan (fungsi

konvergen secara perlahan) dalam menangani suatu akar sederhana.

Contoh : Tentukan akar positip dari f(x) = x10 – 1 menggunakan metode

Newton – Raphson dengan tebakan awal x = 0,5.

Solusi : formula Newton – Raphsonnya :

9

10

110

1

i

i

iix

xxx

Iterasi, i

xi

0

0,5

1

51,65

2

46,485

3

41,8365

4

37,65285

5

33,887565

Hasil perhitungan :

Terlihat bahwa setelah taksiran kasar

pertama, teknik tersebut konvergen

pada akar sebenarnya, tetapi terjadi

secara perlahan

Kelemahan metode Newton - Raphson

Analisa Numerik 25

Metode Newton – Raphson juga mengalami kesulitan pada evaluasi

turunan fungsi karena pada beberapa kasus, turunan fungsi sulit dilakukan.

Untuk itu fungsi didekati dengan suatu diferensiasi terbagi hingga.

f(x)

f(xi)

f(xi-1

)

xi-1

xi

x

ii

ii

i xx

xfxfxf

1

1')(

)(

Persamaan ini disubstitusikan ke

formula Newton – Raphson :

)()(

))((

1

1

1

ii

iii

i xfxf

xxxfx

Persamaan ini adalah formula

metode Secant. Metode ini

memerlukan dua taksiran awal.

3.3. METODE SECANT

Analisa Numerik 26

Contoh : Tentukan akar f(x) = e-x – x dengan metode Secant, taksiran

awal x-1 = 0 dan x0 = 1.

Solusi : Iterasi pertama : x-1 = 0 f(x-1) = 1,0000

x0 = 1 f(x0) = - 0,63212

6127,0)63212,0(1

)10(63212,01

1

x |t| = 8,0 %

Iterasi kedua : x0 = 1 f(x0) = -0,63212

x1 = 0,6127 f(x1) = - 0,07081

|t| = 0,58 %

Kedua taksiran

sekarang berada pada

ruas akar yang sama x2 = 0,56384

Iterasi ketiga : x1 = 0,6127 f(x1) = -0,07081

x2 = 0,56384 f(x2) = - 0,00518

|t| = 0,0048 % x3 = 0,56717

Terlihat bahwa iterasi semakin mendekati harga sesungguhnya 0,56714329

dengan tingkat kesalahan yang rendah

Analisa Numerik 27

Sebuah akar ganda berhubungan dengan suatu titik dimana sebuah fungsi

menyinggung sumbu x. Misalnya dari persamaan :

f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3 = (x - 3)(x - 1)(x - 1)

Terdapat akar ganda karena satu harga x membuat kedua suku berharga nol.

Atau akar tripel dari persamaan :

f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 10x + 3 = (x - 3)(x - 1)(x - 1)(x – 1)

Pada kasus ini metode Newton – Raphson dimodifikasi menjadi :

iii

ii

iixfxfxf

xfxfxx

"'

'21

Contoh : Tentukan akar f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3 dengan metode

Newton – Raphson standar dan modifikasi dengan taksiran awal x0 = 0.

3.4. AKAR GANDA

Analisa Numerik 28

Solusi : turunan pertama fungsi adalah f’(x) = 3x2 – 10x + 7, dengan

metode standar :

7103

3752

23

1

ii

iii

iixx

xxxxx

Yang dapat diselesaikan secara iterasi untuk :

i

xi

t %

0

0

100,0

1

0,428571429

57,0

2

0,685714286

31,0

3

0,832865400

17,0

4

0,913328983

8,7

5

0,955783293

4,4

6

0,977655101

2,2

Hasil di atas konvergen secara linier ke arah harga sebenarnya yaitu 1,0.

Analisa Numerik 29

Untuk metode yang dimodifikasi, turunan kedua adalah f”(x) = 6x –10,

dan hubungan iterasinya adalah :

)106)(375()7103(

)7103)(375(2322

223

1

iiiiii

iiiii

iixxxxxx

xxxxxxx

Yang dapat diselesaikan secara iterasi untuk :

i

xi

t %

0

0

100

1

0,105263158

11

2

1,003081664

0,31

3

1,000002382

0,00024

Hasilnya konvergen secara kuadratik.

Analisa Numerik 30

Kita juga dapat memakai kedua metode ini untuk mencari akar tunggal

pada x = 3. Dengan tebakan awal x0 = 4, diperoleh hasil :

i

Standar, t

Modifikasi, t

0

4 (33 %)

4 (33 %)

1

3,4 (13 %)

2,636363637 (12 %)

2

3,1 (3,3 %)

2,820224720 (6,0 %)

3

3,008695652 (0,29 %)

2,961728211 (1,3 %)

4

3,000074641 (2,5 x 10-3 %)

2,998478719 (0,051 %)

5

3,000000006 (2,0 x 10-7 %)

2,999997682 (7,7 x 10-5 %)

Terlihat bahwa kedua metode konvergen dengan cepat, dengan metode

standar yang lebih efisien.

Analisa Numerik 31

Metode ini menggunakan teknik eliminasi (menghilangkan) yang tidak

diketahui pada suatu persamaan aljabar linier simultan yang memiliki

bentuk umum :

a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = c1

a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = c2

an1x1 + an2x2 + … + ann xn = cn

Metode ini menuntut pemahaman tentang matrik dan operasinya,

misalnya tentang determinan, minor-minornya, dan lain-lain.

BAB IV ELIMINASI GAUSS

Analisa Numerik 32

Yaitu metode untuk menyelesaikan persamaan simultan yang berjumlah

3. Termasuk di dalamnya metode grafik, aturan Cramer dan eliminasi

yang tidak diketahui.

Dimisalkan dua persamaan umum sebagai berikut :

a11x1 + a12x2 = c1 a21x1 + a22x2 = c2

Kedua persamaan dapat diselesaikan untuk x2 :

12

11

12

112

a

cx

a

ax

22

21

22

212

a

cx

a

ax

Persamaan-persamaan tersebut dalam bentuk garis lurus. Garis-garis ini

dapat digambarkan di koordinat cartesian dengan x1 sebagai absis dan

x2 sebagai ordinat. Harga-harga x1 dan x2 pada perpotongannya

menyatakan solusinya.

4.1. PENYELESAIAN PERSAMAAN BERJUMLAH SEDIKIT

4.1.1. Metode Grafik

Analisa Numerik 33

Contoh : gunakan metode grafik untuk menyelesaikan :

3x1 + 2x2 = 18 - x1 + 2x2 = 2

Solusi : penyelesaian persamaan di atas untuk x2 :

x2 = (-3/2)x1 + 9 x2 = (1/2)x1 + 1

8

6

4

2

0

X2

2 4 6 X1

3X1 +

2X2 = 18

-X 1 + 2X 2

= 2

Solusi :

x1 = 4; x

2 = 3

Perpotongan dua garis terjadi pada x1 = 4

dan x2 = 3, yang merupakan solusinya

Hasil ini dapat diuji dengan memasukkan

harga-harga ini ke persamaan awal, yaitu :

3(4) + 2(3) = 18

- 4 + 2(3) = 2

3x1 + 2x2 = 18

- x1 + 2x2 = 2

Hasil-hasilnya ekuivalen terhadap

ruas kanan persamaan

Untuk sistem persamaan simultan yang terdiri dari 3 persamaan maka

diperlukan sistem koordinat tiga dimensi untuk solusi grafiknya.

Analisa Numerik 34

Aturan ini menyatakan bahwa setiap yang tidak diketahui dalam sistem

persamaan aljabar linier dapat dinyatakan sebagai suatu fraksi dari dua

determinan, penyebut D dan pembilang yang diperoleh dari D, dengan

mengganti kolom dari koefisien-koefisien yang tidak diketahui dengan

konstanta-konstanta c1, c2, … , cn. Misalnya, x1 dapat dihitung sebagai :

D

aac

aac

aac

x 33323

23222

13121

1

Contoh : gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan :

0,3x1 + 0,52x2 + x3 = - 0,01

0,5x1 + x2 + 1,9x3 = 0,67

0,1x1 + 0,3x2 + 0,5x3 = - 0,44

4.1.2. Aturan Cramer

Analisa Numerik 35

Solusi : determinan D dapat ditulis sebagai :

0022,0

5,03,01,0

9,115,0

152,03,0

D Sehingga :

9,140022,0

5,03,044,0

9,1167,0

152,001,0

1

x 5,290022,0

5,044,01,0

9,167,05,0

101,03,0

2

x

8,190022,0

44,03,01,0

67,015,0

01,052,03,0

3

x

Aturan ini tidak praktis untuk banyak

persamaan karena kesulitan perhitungan

determinan secara manual.

Analisa Numerik 36

Metode ini dilakukan dengan cara mengalikan persamaan-persamaan

dengan konstanta agar satu yang tidak diketahui akan dieliminasi

sewaktu kedua persamaan digabungkan. Hasilnya adalah sebuah

persamaan tunggal yang dapat diselesaikan untuk yang tidak diketahui

selebihnya. Harga ini dapat dimasukkan ke dalam persamaan awal

untuk menghitung variabel lainnya.

Ditinjau dua persamaan :

a11x1 + a12x2 = c1 dikalikan a21 menjadi a11a21x1 + a12a21x2 = c1a21

a21x1 + a22x2 = c2 dikalikan a11 menjadi a21a11x1 + a22a11x2 = c2a11

Dilakukan pengurangan untuk mengeliminasi x1 agar memenuhi :

a22a11x2 – a12a21x2 = c1a21

4.1.3. Eliminasi Yang Tidak Diketahui

Analisa Numerik 37

Persamaan tersebut dapat diselesaikan menjadi :

21122211

1212112

aaaa

cacax

Solusi ini dimasukkan ke persamaan awal untuk mendapatkan :

21122211

2121221

aaaa

cacax

Kedua solusi ini secara langsung mengikuti aturan Cramer :

21122211

212221

2221

1211

222

121

1aaaa

caac

aa

aa

ac

ac

x

21122211

211211

2221

1211

221

111

1aaaa

acca

aa

aa

ca

ca

x

Analisa Numerik 38

Contoh : gunakan eliminasi yang tidak diketahui untuk menyelesaikan :

3x1 + 2x2 = 18

- x1 + 2x2 = 2

Solusi :

4)1(2)2(3

)2(2)18(21

x

3)1(2)2(3

18)1()2(32

x

Bandingkan solusi di atas dengan contoh pada metode grafik.

Eliminasi yang tidak diketahui dapat dikembangkan untuk sistem lebih

dari dua atau tiga persamaan. Tetapi akan terjadi kesulitan perhitungan

jika dilakukan secara manual.

Analisa Numerik 39

Metode eliminasi Gauss naif tidak mencegah kondisi-kondisi yang dapat

mengakibatkan kesalahan perhitungan, misalnya pembagian dengan nol.

Tinjau lagi persamaan simultan berbentuk umum :

a11x1 + a12x2 + … + a1n xn = c1

a21x1 + a22x2 + … + a2n xn = c2

an1x1 + an2x2 + … + ann xn = cn

Langkah 1 : Eliminasi ke depan dengan membagi persamaan pertama

dengan koefisien yang tidak diketahui pertama. Langkah ini disebut

normalisasi dan dimaksudkan untuk membuat koefisien berharga 1.

Langkah 2 : Substitusi ke belakang dengan mengalikan persamaan yang

telah dinormalisasi dengan koefisien pertama dari persamaan kedua.

Kedua langkah diulangi untuk penyelesaian selanjutnya.

4.2. ELIMINASI GAUSS NAIF

Analisa Numerik 40

3333231

2232221

1131211

caaa

caaa

caaa

333

22322

1131211

""

'''

ca

caa

caaa

x3 = c3”/a33”

x2 = (c2’ – a23’x3)/a22’

x1 = (c1 – a12x2 – a13x3)/a11

Eliminasi ke depan

Substitusi ke belakang

Analisa Numerik 41

Contoh : gunakan eliminasi Gauss untuk menyelesaikan :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4

Gunakan 6 angka signifikan selama perhitungan.

pers. 1

pers. 2

pers. 3

Solusi :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85 dibagi 3 (koef. pertama)

x1 – 0,333333x2 – 0,0666667x3 = 2,61667 dikali 0,1 (koef. kedua)

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3 pers. 2

0,1x1 – 0,033333x2 – 0,0066667x3 = 0,261667

hasil

pengurangan

7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617

pers. 1

pers. 4

Analisa Numerik 42

x1 – 0,333333x2 – 0,0666667x3 = 2,61667 dikali 0,3 (koef. ketiga)

hasil

0,3x1 – 0,999999x2 – 0,02x3 = 0,785

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4 pers. 3

pengurangan

-0,19x2 + 10,02x3 = 70,615 pers. 5

7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617 pers. 4

hasil

-0,19x2 + 0,007924x3 = 0,528444

-0,19x2 + 10,02x3 = 70,615

dibagi 7,033333

dikali –0,19

pengurangan

10,012x3 = 70,0843

x3 = 7,00003

Analisa Numerik 43

Hasil perhitungan x3 disubstitusikan ke persamaan 4 :

7,033333x2 – 0,293333x3 = -19,5617

7,033333x2 – 0,293333(7,00003) = -19,5617

x2 = -2,5

Hasil perhitungan x2 dan x3 disubstitusikan ke persamaan 1 :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

3x1 – 0,1(-2,5) – 0,2(7,00003) = 7,85

x1 = 3,00

Hasil perhitungan dapat dibandingkan dengan solusi eksak, dimana terjadi

sedikit kesalahan karena pembulatan :

x1

x2

x3

Gauss

3 -2,5 7,00003

Eksak

3

-2,5

7

Analisa Numerik 44

1. Pembagian dengan nol. Hal ini mungkin terjadi pada suatu sistem

persamaan dimana salah satu koefisien (misal koefisien x1 pada

persamaan pertama) berharga nol.

2. Kesalahan pembulatan, seperti terlihat pada contoh sebelumnya.

3. Sistem kondisi timpang, dimana perubahan kecil pada koefisien

akan berakibat perubahan besar pada solusinya.

Perbaikan dapat dilakukan dengan :

1. Penggunaan angka signifikan lebih banyak.

2. Pemutaran atau pengaturan kembali persamaan untuk memudahkan

perhitungan

3. Penskalaan, jika menghadapi masalah teknik yang berhubungan

dengan besaran yang bernilai tinggi.

4. Penerapan faktor koreksi

4.3. KELEMAHAN METODE ELIMINASI

Analisa Numerik 45

3333231

2232221

1131211

caaa

caaa

caaa

*100

*010

*001

3

2

1

c

c

c

Metode ini adalah variasi eliminasi

Gauss. Perbedaanya adalah sebuah

yang tidak diketahui dieliminasikan

dari setiap persamaan lainnya daripada

hanya dari persamaan berikutnya.

Tidak perlu dilakukan substitusi ke

belakang untuk mendapatkan

solusinya. Bentuk matriknya adalah :

*

*

*

33

22

11

cx

cx

cx

BAB V GAUSS-JORDAN, MATRIKS

INVERSI DAN GAUSS-SEIDEL

5.1. METODE GAUSS-JORDAN

Analisa Numerik 46

Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk menyelesaikan

persamaan yang sama :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4

Solusi : dirubah dalam bentuk matriks :

4,71102,03,0

3,193,071,0

85,72,01,03

Normalisasi baris pertama dengan membagi dengan elemen pivot, 3 :

4,71102,03,0

3,193,071,0

61667,20666667,00333333,01

Analisa Numerik 47

Suku x1 dieliminasikan dari baris kedua dengan mengurangkan 0,1 kali

baris pertama dari baris kedua. Dengan cara yang sama, mengurangkan

0,3 kali baris pertama dari baris ketiga akan mengeliminasi suku x1 dari

baris ketiga :

6150,700200,10190000,00

5617,19293333,000333,70

61667,20666667,00333333,01

Selanjutnya normalisasikan baris kedua dengan membaginya dengan

7,00333 sehingga didapat :

6150,700200,10190000,00

79320,20418848,010

61667,20666667,00333333,01

Analisa Numerik 48

Reduksi suku x2 dari persamaan pertama dan ketiga memberikan :

0843,700200,1000

79320,20418848,010

52356,20680629,001

Baris ketiga dinormalisasikan dengan membaginya dengan 10,0120 :

00003,7100

79320,20418848,010

52356,20680629,001

Suku x3 direduksi dari persamaan pertama dan kedua, memberikan :

00003,7100

50001,2010

00000,3001

Analisa Numerik 49

Metode ini menerapkan metode Gauss-Jordan dengan menggunakan

prinsip operasi matriks inversi.

100

010

001

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

[A] [I]

1

33

1

32

1

31

1

23

1

22

1

21

1

13

1

12

1

11

100

010

001

aaa

aaa

aaa

[A]-1 [I]

5.2. METODE MATRIKS INVERSI

Analisa Numerik 50

Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan dengan menggunakan matriks

inversi untuk menyelesaikan persamaan yang sama :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4

Dapatkan solusi dengan mengalikan [A]-1 dengan vektor di ruas kanan

[C] = [7,85 -19,3 71,4]

Solusi : perluas matriks koefisien dengan sebuah matriks koefisien :

100102,03,0

0103,071,0

0012,01,03

][

A

Analisa Numerik 51

Gunakan a11 sebagai elemen pivot, normalisasikan baris pertama dan

gunakan untuk mengeliminasi x1 dari baris-baris lainnya :

100999999,00200,10190000,00

010333333,0293333,003333,70

00333333,00666667,00333333,01

Selanjutnya a22 digunakan sebagai elemen pivot dan x2 dieliminasi dari

baris-baris lainnya :

10270142,010090,00121,1000

0142180,000473933,00417061,010

0004739329,0333175,0068057,001

Akhirnya a33 digunakan sebagai elemen pivot dan x3 dieliminasikan dari

baris-baris lainnya :

Analisa Numerik 52

0998801,000269816,00100779,0100

00418346,014223,00051644,0010

00679813,000492297,0332489,0001

Sehingga inversi matriksnya :

0998801,000269816,00100779,0

00418346,0142293,00051644,0

00679813,000492297,0332489,0

][ 1A

Inversi dikalikan matriks ruas kanan untuk mendapatkan solusi :

x1 = 7,85(0,332489)-19,3(0,00492297)+71,4(0,00679813) = 3,00041181

x2 = 7,85(-0,0051644)-19,3(0,142293)+71,4(0,00418346) = -2,48809640

x3 = 7,85(-0,0100779)-19,3(0,00269816)+71,4(0,0998801) = 7,00025314

Analisa Numerik 53

Metode ini menggunakan cara iteratif. Misal ditinjau sekumpulan n

persamaan [A][X] = [C].

Jika semua elemen diagonal tidak nol, persamaan pertama diselesaikan

untuk x1, persamaan kedua untuk x2, dan seterusnya menurut :

11

131321211

a

xaxaxacx nn

22

232312122

a

xaxaxacx nn

33

323213133

a

xaxaxacx nn

nn

nnnnnn

na

xaxaxacx

11,2211

5.3. METODE GAUSS SEIDEL

Analisa Numerik 54

Selanjutnya proses solusi dimulai dengan tebakan awal untuk setiap harga

x. Cara paling mudah adalah memberi semua harga x dengan nol dan

dimasukkan ke persamaan pertama untuk mendapatkan harga x1 = c1/a11.

Contoh :, gunakan eliminasi Gauss-Jordan dengan menggunakan matriks

inversi untuk menyelesaikan persamaan yang sama :

3x1 – 0,1x2 – 0,2x3 = 7,85

0,1x1 + 7x2 – 0,3x3 = -19,3

0,3x1 – 0,2x2 + 10x3 = 71,4

Ingat bahwa solusi sebenarnya adalah x1 = 3, x2 = -2,5 dan x3 = 7.

Harga baru ini bersama dengan harga-harga nol lainnya dimasukkan ke

persamaan kedua untuk x2. Proses ini dilakukan sampai persamaan ke n.

Setelah itu kembali ke persamaan pertama dan mengulangi seluruh

prosedur sampai solusinya konvergen dan cukup dekat dengan harga

sebenarnya. Hal ini dicek dengan menghitung tingkat kesalahan.

Analisa Numerik 55

Solusi : selesaikan tiap persamaan untuk yang tidak diketahui pada

diagonal :

3

2,01,085,7 321

xxx

7

3,01,03,19 312

xxx

10

2,03,04,71 213

xxx

Dengan menganggap bahwa x2 dan x3 adalah nol, x1 dapat dihitung :

616666667,23

85,71 x

Harga ini bersama x3 = 0 dipakai untuk menghitung x2 :

794523810,27

)616666667,2(1,03,192

x

Analisa Numerik 56

Iterasi pertama diselesaikan dengan memasukkan harga-harga x1 dan x2

untuk menghitung x3 :

005609524,710

)794523810,2(2,0)616666667,2(3,04,713

x

Iterasi kedua dilakukan dengan harga-harga baru sehingga didapat :

x1 = 2,990556508

x2 = -2,499624684

x3 = 7,00029081

|t = 0,31 %

|t = 0,015 %

|t = 0,0042 %

Terlihat bahwa solusinya semakin konvergen terhadap hasil

sebenarnya. Iterasi tambahan dapat dilakukan untuk mendapatkan

hasil lebih baik.

Analisa Numerik 57

Formula ini adalah perencanaan integrasi numerik yang paling umum,

didasarkan pada strategi penggantian sebuah fungsi yang rumit atau

data yang ditabulasikan dengan beberapa fungsi aproksimasi yang

mudah diintegrasikan :

b

c n

b

c dxxfdxxfI )()(

Dimana fn(x) adalah sebuah polinomial berbentuk :

fn(x) = a0 + a1 + … +an-1xn-1 + anx

n

Metode ini terdiri dari bentuk tertutup dan terbuka, dimana dalam

bentuk tertutup data-data awal dan akhir dari batas integrasi telah

diketahui, sedangkan dalam bentuk terbuka batas-batas integrasi

diperluas di luar batas data yang disediakan.

BAB VI FORMULA INTEGRASI

NEWTON COTES

Analisa Numerik 58

Aturan ini adalah formula pertama integrasi tertutup Newton-Cotes,

yang bersesuaian dengan kasus polinomial orde pertama :

b

a

b

a dxxfdxxfI )()( 1

Sebuah garis lurus dapat dinyatakan sebagai :

)()()(

)()(1 axab

afbfafxf

Luasan di bawah garis lurus ini adalah suatu taksiran harga integral f(x)

antara batas-batas a dan b :

dxaxab

afbfafxf b

c

)(

)()()()(1

6.1. ATURAN TRAPESIUM

Analisa Numerik 59

Hasil integrasinya adalah aturan trapesium berikut :

2

)()()(

bfafabI

Secara geometrik aturan trapesium

adalah ekuivalen dengan aproksimasi

luas trapesium di bawah garis lurus f(a)

dan f(b). Luas trapesium adalah tinggi

dikali rata-rata alas. Tetapi dalam kasus

ini, tinggi dan alas posisinya terbalik,

sehingga :

f(x)

f(a)

f(b)

xa b

alas

alas

tinggi

lebar

tinggi

tinggi

I = lebar x tinggi rata-rata

= (b-a) x tinggi rata-rata

Dimana tinggi rata-rata sama dengan

rata-rata harga fungsi pada titik-titik

ujung, atau [f(a) + f(b)]/2

Analisa Numerik 60

Kesalahan ini dapat dijelaskan secara grafis. Misal integrasi numerik

dari persamaan f(x) = 0,2 + 25x – 200x2 + 675x3 –900x4 + 400x5, dari

a = 0 sampai b = 0,8.

Solusi : harga-harga fungsi :

f(0) = 0,2

Gambar grafiknya :

f(x)

0,4

0,80 x

f(0,8) = 0,232

Taksiran integral

kesalahan Terlihat bahwa kesalahan

yang terjadi sangat besar

karena luas di bawah garis

lurus mengabaikan porsi

penting integral di atasnya.

6.1.1. Kesalahan Aturan Trapesium

Analisa Numerik 61

Aturan ini dikembangkan untuk

memperbaiki akurasi dengan cara membagi

interval integrasi dari a ke b menjadi

sejumlah segmen dan menerapkan metode

tersebut ke setiap segmen. Semakin banyak

segmennya, semakin baik hasilnya.

f(x)

x

f(x)

xx0

x2

x1

x3

x0

x2

x1

x3

x5

x4

Bentuk umum solusi integralnya :

n

xfxfxfabI

n

ini

2

)()(2)()(

1

10

lebar tinggi rata-rata

6.2. ATURAN TRAPESIUM SEGMEN BERGANDA

Analisa Numerik 62

Aturan ini menggunakan aturan trapesium dengan segmentasi yang

lebih halus dan polinomial dengan orde yang lebih tinggi. Hal ini

dilakukan dengan memberikan titik tambahan antara f(a) dan f(b) dan

menghubungkan ketiga titik dengan parabola.

f(x)

x

Gambar di samping adalah aturan

Simpson 1/3. Jika kurva dihubungkan

dengan 4 titik maka berlaku luas di

bawah persamaan kubik yang

mengikuti aturan Simpson 3/8.

6.2.1. Aturan Simpson 1/3. Aturan Simpson 1/3 merupakan integrasi tertutup Newton-Cotes kedua,

yang melibatkan polinomial orde kedua.

6.3. ATURAN SIMPSON

Analisa Numerik 63

Persamaan umum aturan Simpson 1/3 :

210 43

xfxfxfh

I

6

4 210 xfxfxfabI

Atau dapat pula dinyatakan sebagai :

dimana h = (b – a)/2

dimana a = x0, b = x2 dan x1 = (b+a)/2 adalah titik tengah antara a dan b.

Seperti halnya aturan trapesium, aturan ini dapat diperbaiki dengan

penerapan segmen yang lebarnya sama yaitu h = (b – a)/n.

lebar tinggi rata-rata

6.3.1. Aturan Simpson 1/3 Segmen Berganda

Analisa Numerik 64

Persamaan umumnya :

n

xfxfxfxf

abI

n

in

n

jji

3

)()(2)(4)(

)(

1

5,3,1

2

6,4,20

lebar tinggi rata-rata

Aturan ini merupakan formula integrasi tertutup ketiga Newton-Cotes

yang melibatkan polinomial orde ketiga.

Persamaan umumnya :

)(338

33210 xfxfxfxf

hI

dengan h = (b - a)/3

6.3.1. Aturan Simpson 3/8 Segmen Berganda

Analisa Numerik 65

8

)(33 3210 xfxfxfxfabI

Atau dapat pula dinyatakan sebagai :

lebar tinggi rata-rata

f(x)

x0

Dalam aplikasinya kita sering

dihadapkan pada kondisi yang

tidak ideal seperti segmen-segmen

yang berukuran tidak sama

Permasalahan ini dapat diatasi

dengan penggunaan beberapa

metode secara bersama-sama.

Aturan 1/3

Aturan 3/8

Aturan 1/3

6.4. INTEGRASI DENGAN SEGEMN TIDAK SAMA

Analisa Numerik 66

f(x)

x0

f(x)

x0

Aturan Trapesium memiliki tingkat

kesalahan yang cukup tinggi.

Kuadratur Gauss memperbaiki metode

ini dengan jalan menempatkan dua

buah titik pada kurva integrasi secara

bijaksana. Dari dua buah titik ini

didapat sebuah garis lurus dengan

luasan di bawahnya yang dapat

mengimbangi tingkat kesalahan.

Persamaan umumnya :

)(2

)(2

bfab

afab

I

Yang ekuivalen dengan aturan

trapesium

Trapesium

Kuadratur

Gauss

6.5. KUADRATUR GAUSS