MAKALAH ANALISA NUMERIK

MAKALAH ANALISA NUMERIKINTERPOLASI

Disusun Oleh:Esky Yanurdin(3334111335)Gita Marla Hera P.(3334090555)Ichwansyah Nur(3334110703)M. Ero Cahyo Nugroho(3334110159)Murti Handayani(3334111212)Novan Hakiki(3334111178)

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASAJln. Jendral Sudirman Km.03 Cilegon. Banten.Juni 2013

KATA PENGANTARPuji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan rahmat dan hidayah-Nyalah sehingga makalah yang berjudul INTERPOLASI (Interpolasi Linear, Kuadratik, dan Polinomial) dapat tersusun dan selesai tepat pada waktunya.Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada pihak-pihak yang terkait yang telah membantu penyusunan makalah ini. Akhirnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Juga kemungkinan kesalahan cetak tak dapat dihindarkan. Karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan penyusun. Demikianlah, mudah-mudahan makalah ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya.

Cilegon, Juni 2013

Penyusun

DAFTAR ISI

HalamanHALAMAN JUDUL..iKATA PENGANTAR...iiDAFTAR ISI...iii

BAB I PENDAHULUAN1.1 Interpolasi Linear11.2 Interpolasi Kuadratik..21.3 Interpolasi Polinomial.3BAB II ANALISA PERHITUNGAN2.1 Perhitungan Interpolasi Linear....42.2 Perhitungan Interpolasi Kuadratik..82.3 Perhitungan Interpolasi Polinomial.12BAB III KESIMPULAN3.1 Kesimpulan..19

DAFTAR PUSTAKA.20

BAB IPENDAHULUAN

Nama lain untuk interpolasi adalah. tweening. Melakukan interpolasi berarti menyisipkan di antara dua bagian yang berbeda atau memperkirakan nilai dari suatu fungsi antara dua nilai yang telah diketahui. Pada komputer grafik, interpolasi digunakan untuk menggabungkan beberapa efek yang ingin dilakukan pada suatu obyek. Interpolasi adalah suatu metode yang digunakan untuk mengetahui nilai dari sesuatu yang berada didalam sebuah interval (diantara dua buah titik yang segaris).Dibawah ini salah satu contoh dari interpolasi:

Pada makalah kali ini, yang akan kami bahas adalah mengenai interpolasi linear, interpolasi kuadratik dan interpolasi polinomial.

1.1 Interpolasi LinearBentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data dengan garis lurus.tekhnik ini dinamakan interpolasi linear,dilukiskan secara grafis pada gambar diatas dengan memakai segitiga-segitiga sebangun sehingga diperoleh:= , yang dapat disusun ulang menjadi:=f)+(x-)Cara penulisan (x) menunjukkan bahwa ini adalah polinom interpolasi orde pertama (interpolasi lanjar).Perhatikan bahwa disamping menyatakan kemiringan garis yang menghubugkan titik-titik, bentuk [f()-f()]/() adalah hampiran (aproksimasi) beda hingga terbagi dari turunan pertama.Umumnya semakin kecil selag diantara titik-titik data, semakin baik hampirannya.Algoritma Interpolasi1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x0,y0) dan (x1,y1)2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari3) Hitung nilai y dengan : = f) + (x-)4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

1.2 Interpolasi KuadratikMenentukan titik-titik antara 3 buah titik dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat 3 titik yang diketahui: P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3).

Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik:Y = Y1 + Y2 + Y3 Algoritma Interpolasi Kuadratik:1) Tentukan 3 titik P1, P2 dan P3 dengan koordinatnya masing-masing(x1,y1), (x2,y2),dan(x3,y3).2) Tentukan titik x dari titik yang akan dicari3) Hitung nilai y dengan:Y = Y1 + Y2 + Y3 4) Tampilkan nilai titik yang terbaru

1.3 Interpolasi PolinomialAdalah sebuah metode untuk menaksir (mengestimasi) nilai di antara titik- titik data yang tepat. Persamaan polinomial adalah persamaan aljabar yang hanya mengandung jumlah dari variabelxberpangkat bilangan bulat (integer). Bentuk umum persamaan polinomial ordernadalah:f(x) =a0+a1x+a2x2+ +anxnProsedur seperti dijelaskan diatas dapat digunakan untuk membentuk polinomial orderndari (n+ 1) titik data. Bentuk umum polinomial ordernadalah:fn(x) =bo+b1(xx0) + +bn(xx0)(xx1) ... (xxn1)Seperti yang dilakukan interpolasi linier dan kuadrat, titik-titik data dapat dilakukan dengan evaluasi koefisienb0,b1,...,bn. Untuk polinomial ordern, diperlukan (n+ 1) titik datax0,x1,x2,...,xn. Dengan menggunakan titik-titik data tersebut, maka persamaan berikut digunakan untuk mengevaluasi koefisien b0,b1,...,bn.b0=f(x0) b1=f[x1,x0] b2=f[x2,x1,x0]bn=f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0]Dengan definisi fungsi berkurung ([.]) adalah pembagian beda hingga.Misalnya, pembagian beda hingga pertama adalah:f[xi,xj] = Pembagian beda hingga kedua adalah:f[xi,xj,xk] =Pembagian beda hingga kenadalah:f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0] = Bentuk pembagian beda hingga tersebut dapat digunakan untuk mengevaluasi koefisien-koefisien dalam persamaan (1.8) sampai persamaan (1.11) yang kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (1.7) untuk mendapatkan interpolasi polinomial ordern.fn(x) =f(x0) +f[x1,x0](xx0) +f[x2,x1,x0](xx0)(xx1) + + f[xn,xn 1, ...,x2,x1,x0](xx0)(xx1) (xxn 1) BAB IIANALISA PERHITUNGAN

2.1 Perhitungan Interpolasi Lineara. Menghitung Interpolasi Linear suatu dataContoh soalDiketahui pertumbuhan bakteri dalam tubuh manusia setiap detiknya:X (waktu dlm s)1015202530F(x) (jumlah bakteri)1323825748441425Berapakah jumlah bakteri yang tumbuh pada selang waktu 28,5 detik? Carilah dengan menggunakan interpolasi linear!Jawaba. Langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan membuka program Matlab dan memasukkan Listing pada lembar M-File, sebagai berikut:

b. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:Dengan menggunakan matlab, kita dapat mengetahui interpolasi pada 23 adalah sebesar 736

c. Cara kedua adalah dengan memasukkan Listing pada lembar kerja M-File, seperti berikut.

d. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:Dengan menggunakan matlab, kita dapat mengetahui interpolasi pada 23 adalah sebesar 736

e. Untuk membuat grafiknya, kita masukkan Listing seperti berikut.

Sehingga akan menghasilkan grafik sebagai berikut.

f. Setelah kita mengetahui nilai interpolasi pada x=23 menggunakan Matlab, maka selanjutnya kita mencari nilai interpolasi pada x=23 dengan cara perhitungan manual menggunakan metode interpolasi linear.

2.2 Perhitungan Interpolasi Kuadratika. Menghitung Interpolasi Kuadratik suatu dataContoh soalDiketahui pertumbuhan bakteri dalam tubuh manusia setiap detiknya:X (waktu dlm s)1015202530F(x) (jumlah bakteri)1323825748441425Berapakah jumlah bakteri yang tumbuh pada selang waktu 28,5 detik? Carilah dengan menggunakan interpolasi kuadratik!Jawaba. Langkah pertama yang kita lakukan adalah dengan membuka program Matlab dan memasukkan Listing pada lembar M-File, sebagai berikut:

b. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:

Dengan menggunakan Matlab kita mendapatkan hasil Interpolasi pada x=23 sebesar 726.64

c. Cara kedua adalah dengan memasukkan Listing pada lembar kerja M-File, seperti berikut.

d. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:Dengan menggunakan Matlab kita mendapatkan hasil Interpolasi pada x=23 sebesar 726.64



f. Setelah kita mengetahui nilai interpolasi pada x=23 menggunakan Matlab, maka selanjutnya kita mencari nilai interpolasi pada x=23 dengan cara perhitungan manual menggunakan metode interpolasi linear.

2.3 Perhitungan Interpolasi Polinomiala. Menghitung Interpolasi Polinomial suatu data Contoh Soal:Suatu data diketahui sebagai berikut:X = 26101418 Y =1050130250410Hitunglah interpolasi pada X=4 dengan metode Newton dan Metode Lagrange!Jawaba. Langkah permata yang kita lakukan adalah dengan membuka program matlab dan memasukkan Listing dengan metode Lagrange pada lembar M-File, sebagai berikut.

b. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:Dengan menggunakan Matlab kita mendapatkan hasil Interpolasi pada x=4 sebesar 25

c. Cara kedua adalah dengan memasukkan Listing dengan metode Newton Gregory pada lembar kerja M-File, seperti berikut.

(lanjutan)

d. Kemudian kita klik tombol Run Listing, sehingga pada command windows akan muncul:Dengan menggunakan Matlab kita mendapatkan hasil Interpolasi pada x=4 sebesar 25



f. Setelah kita mengetahui nilai interpolasi pada x=4 menggunakan Matlab, maka selanjutnya kita mencari nilai interpolasi pada x=4 dengan cara perhitungan manual.BAB IIIKESIMPULAN

3.1 KesimpulanBerdasarkan dari analisa perhitungan yang telah dibuat, maka dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut.1. Interpolasi didefinisikn sebagai cara untuk mengestimasi nilai dari fungsi yan diberikan oleh kelompok data.2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus.Misal diberikan dua buah titik () dan (), polinom yang menginterpolasikan dua buah titik ini ialah:=f)+(x-) 3. Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari 3 buah titik yaitu P1(),p2(), dan p3() . Polinom yang digunakan untuk persamaan ini ialah:(x)=4. Interpolasi polinomial adalah sebuah metode untuk menaksir (mengestimasi) nilai di antara titik- titik data yang tepat. Bentuk umum polinomial ordernadalah:fn(x) =bo+b1(xx0) + +bn(xx0)(xx1) ... (xxn1)5. Berdasarkan hasil dari perbandingan antara perhitungan manual dengan perhitungan menggunakan program Matlab, di dapat hasil yang sama, baik dengan menggunakan interpolasi linear, kuadratik, maupun dengan interpolasi polinomial.6. Matlab sangat memudahkan perhitungan yang melibatkan matriks dengan dilengkapi fitur pengolahan, analisis data dan pembuatan grafik.7. Bahasa pemrograman Matlab lebih sederhana dibandingkan bahasa pemrograman lainnya, karena tidak memerlukan inisialisasi untuk setiap variabel.

DAFTAR PUSTAKA

Away, A. 2010. Matlab Progamming. Bandung: Informatika Bandung.Korps Asisten Laboratorium Sistem Pengaturan dan Komputer. 2008. Modul Tutorial dan Praktikum Sistem Pengaturan dan Komputer. Indralaya: Universitas Sriwijaya.Mastering Matlab web site: http://www.eece.maine.edu/mm. Diakses pada tanggal 30 Mei 2013, pukul 16.50http://lightnearby.files.wordpress.com/2013/05/modul-matlab.pdf. Diakses pada tanggal 30 Mei 2013, pukul 16.53

Documents

MAKALAH ANALISA NUMERIK