PENYELESAIAN NUMERIK DAN ANALISA KESTABILAN

PADA MODEL EPIDEMIK SEIR DENGAN PENULARAN PADA PERIODE LATEN

Oleh: Labibah Rochmatika (12 09 100 088)

Dosen Pembimbing:Drs. M. Setijo Winarko M.SiDrs. Lukman Hanafi, M.Sc

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Latar Belakang

Perlu adakebijakan

Malaria, pertusis dll

Masainkubasi

EpidemikSEIR

Analisa Stabilitasdan Solusi Numerik

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan Masalah

• Bagaimana menentukan bilangan reproduksidasar (Ro)sebagai tolak ukur atau nilai ambangterjadi atau tidaknya epidemik?

• Bagaimana menentukan titik setimbang untukmenentukan tipe kestabilan?

• Bagaimana penyelesaian numerik dari model epidemik SEIR dengan menggunakan metode Runge-Kutta?

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Batasan Masalah

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

• Model yang dikaji adalah model SEIR

dengan memperhatikan adanya

penularan pada periode laten

• Diasumsikan bahwa tiap kelas terjadi

kematian alami.

• Transmisi yang terjadi adalah

transmisi horizontal.

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Besar kecilnya R0 dapat

menunjukkan adanya penyebaran

penyakit menular.

Kestabilan titik setimbang dapat

menunjukkan syarat-syarat

terjadinya endemik.

Tujuan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Manfaat dari tugas akhir ini adalah• Adanya pengetahuan bagi peneliti mengenai dinamika penyebaranpenyakit bertipe SEIR denganmemperhatikan adanya penularanpenyakit pada periode laten.• Sebagai rujukan bagi penelitian selanjutnya.• Sebagai bahan pertimbangan bagi pihak terkait dalam menangani penyebaran penyakit menular tipe SEIR.

Manfaat

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Model Epidemik SEIR

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Bilangan Reproduksi Dasar

jika Ro < 1 maka terjadi titik kesetimbangan bebas penyakit jika Ro > 1 maka terjadi titik kesetimbangan endemik

Bilangan reproduksi adalah parameter yangdigunakan untuk mengetahui tingkat penyebaransuatu penyakit.

menyatakan banyaknya rata-rata individu infektif sekunder akibat tertular individu infektif primer yang berlangsung di dalam populasi susceptible

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Titik Kesetimbangan

Pandang persamaan diferensial

Jika memenuhi dan . Sehingga titik

setimbang yang dihasilkan berupa fungsi konstan dan

untuk

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

(1)

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Linearisasi

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Linearisasi

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Stabil Asimtotik LokalKestabilan asimtotik lokal merupakan kestabilan dari sistem linier atau kestabilan dari linierisasi sistem tak linier. Kestabilan lokal pada titik kesetimbanganditentukan oleh tanda bagian realnya.

Definisi 1 :Jika adalah matriks yang berukuran maka vektor tak-nol dinamakan vektor karakteristik dari jika memenuhi : Untuk skalar disebut nilai karakteristik dari dan dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Lanjutan...

• Stabil Asimtotik Lokal

Teorema 1:Titik setimbang stabil asimtotis jika dan hanya jika nilai karakteristik matriks

mempunyai tanda negatif pada bagian real-nya dan tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai karakteristik mempunyai tanda positif pada bagian realnya.Kesimpulan &

Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Kestabilan Routh-HurwitzKriteria kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metodeuntuk menunjukkan kestabilan sistem denganmemperhatikan koefisien dari persamaan karakteristiktanpa menghitung akar-akar karakteristik secaralangsung.Jika diketahui suatu persamaan karakteristik dengan ordeke-n sebagai berikut :

Kemudian susun koefisien persamaan karakteristikmenjadi : . . .

. . .

. . .

. . .

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Lanjutan...

• Kestabilan Routh-Hurwitz

Dengan

Sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real nilaieigen negatif jika dan hanya jika elemen-elemen padakolom pertama memiliki tanda yang sama.

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Tinjauan Pustaka

• Metode Runge Kutta

Metode Runge-Kutta merupakan metode langkah tunggalyang lebih teliti dibandingkan metode euler. Integrasinumerik dengan metode Runge-Kutta dinyatakan sebagaiberikut:

Dengan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Metode Penelitian

Menarik kesimpulan dan saran sertamenyusun laporan tugas akhir

Studi Literatur

Mengkaji model SEIR

Menentukan titik kesetimbangan danmenentukan bilangan reproduksi dasar

Menganalisis stabilitas titik setimbang

Menginterpretasikan model dengan menggunakan metode Runge-KuttaKesimpulan &

Saran

Daftar Pustaka

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Gambar 4.1 Diagram kompartemen model epidemik tipe SEIR

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan

1. Keterbatasan penyelesaian

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

2. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

3. Titik Kesetimbangan Endemik

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

4. Bilangan Reproduksi Dasar

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

5. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

6. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan

Salah satu nilai eigen dari persamaan adalah -1, nilai eigen yang lain

dicari dengan menggunakan Routh Huwirtz. Nantinya kolom pertama

memiliki tanda yang sama, yaitu positif. Maka dapat disimpulkan

titik setimbang endemik bersifat stabil

asimtotik lokal.

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

6. Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan Endemik

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Daftar Pustaka

Analisis dan Pembahasan

Salah satu nilai eigen dari persamaan adalah -1, nilai eigen yang lain

dicari dengan menggunakan Routh Huwirtz. Nantinya kolom pertama

memiliki tanda yang sama, yaitu positif. Maka dapat disimpulkan

titik setimbang endemik bersifat stabil

asimtotik lokal.

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Simulasi numeriknya menggunakan software MATLAB dengan memberikan nilai awal : S(0)=40, E(0)=15, I(0)=25, R(0)=20 dan nilai parameter sebagai berikut:

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

7. Simulasi numerik dengan menggunakan metode rungge kutta orde 4

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Pada simulasi keempat diatas grafik tidakmencerminkan perilaku sistem. sehingga dapat

disimpulkan sistem tidak stabil pada rentang waktu .

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Variasi nilai input yang diberikan akan berpengaruh

terhadap output dari simulasi yang dilakukan.

Namun, tidak semua parameter memiliki tingkat

kesensitivan yang sama. Sehingga diperlukan adanya

analisa sensitivitas terhadap setiap parameter tersebut.

8. Analisa Sensitivitas

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Analisis & Pembahasan

Analisis dan Pembahasan

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Jadwal Kegiatan

Kesimpulan & Saran

Kesimpulan

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Jadwal Kegiatan

Kesimpulan & Saran

Kesimpulan

Daftar Pustaka

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Kesimpulan & Saran

Saran

Daftar Pustaka

Pada tugas akhir ini hanya mengkajianalisa stabilitas lokal saja. Diharapkan pada

penelitian selanjutnya akan ditambahkan dengan analisa stabilitas global,

serta dilakukan pengendalian optimal untuk model epidemic SEIR.

Analisis & Pembahasan

Rumusan &Batasan Masalah

Latar Belakang

Tujuan & Manfaat

Tinjauan Pustaka

Metode Penelitian

Jadwal Kegiatan

[1] Guihua Li, Zhen Jin.(2005). “Global Stability of SEIR epidemic model with infectious forse in latent, infected and immune period”.Chaos, Solitons and Fractals. Hal 1177-1184

[2] Priyandoko Bagus.(2009).”Analisis kualitatif dan bifurkasi pada model epidemik tipe SEIR dengan transmisi vertikal”.Tugas akhir jurusan matematika ITS.

[3] Rusdi Wahyudi,dkk.(2012).”Kestabilan Model Epidemik SEIR dengan Waktu Tunda”.Tugas Akhir jurusan MatematikaUniversitas Hasanuddin.

[4] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). “Some epidemiological models with nonlinear incidence”. J Math BiolVol 29.Hal 271.

[5] Gao LQ, Hethcote HW.(1992).”Disease transmission models with density-depent demographics”. J Math Biol. 30:717.

[6] Hethcote HW, van den Drissche P.(1991). “Some epidemiologicalmodels with nonlinear incidence”. J Math Biol. 29:271.

[7] Derrick WR, van den Drissche P.(1993).” A disease transmitionmodel in a non constant population”. J Math Biol. 31: 495.

[8] Nedelman J. (1985).”Introductory review. Some new thoughtsabout some old malaria models”. Math Biosci. Hal. 15-32.

Daftar Pustaka

Kesimpulan & Saran

Daftar Pustaka