40
METODE NUMERIK STMIK WIDYADHARMA JURUSAN TEKNIK PERANGKAT LUNAK NURI SIMARONA, ST TIKK 412

Metode Numerik 1

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Bahan kuliah metode numerik untuk mahasiswa

Citation preview

Page 1: Metode Numerik 1

METODE NUMERIK

STMIK WIDYADHARMAJURUSAN TEKNIK PERANGKAT LUNAK

NURI SIMARONA, ST

TIKK 412

Page 2: Metode Numerik 1

MATERI PERKULIAHAN:

PENDAHULUAN METODE NUMERIK

Pengertian Metode Numerik

Pendekatan dan Kesalahan

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Secant Metode Iterasi Titik Tetap Metode Newton – Raphson

SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Eliminasi Gauss Gauss-Jordan. Iterasi Gauss-Seidel

PENCOCOKAN KURVA Regresi Kuadrat Terkecil Interpolasi

INTEGRASI NUMERIK Integrasi Newton-Cotes Integrasi Kuadratur Gauss

Persamaan Diferensial Metode Satu Langkah Metode Langkah Ganda

Page 3: Metode Numerik 1

Referensi: Chapra Steven C., Canale Raymond P.,

Metode Numerik Untuk Teknik: Dengan Penerapan pada Komputer Pribadi, penerjemah: S. Sardy dan pendamping: Lamyarni I.S., Cetakan 1, Universitas Indonesia (UI-Press), Jakarta, 1991

Steven E. Pav., Numerical Methods Course Notes Version 0.11 (UCSD Math 174, Fall 2004), Department of Mathematics, MC0112, University of California at San Diego, La Jolla, CA 92093-0112.

Page 4: Metode Numerik 1

Pendahuluan

Manfaat Metode Numerik Sanggup menangani sistem persamaan yang besar, tidak

linier serta geometri rumit yang tidak biasa terjadi dalam praktek keteknikan dan sering kali tidak memungkinkan untuk diselesaikan secara analitis.

Dasar pengetahuan untuk menggunakan program aplikasi komputer yang mencakup metode numerik.

Mengoptimalkan penggunaan kalkulator (prakomputer) dan komputer (pemrograman) dalam mencari solusi permasalahan matematika yang rumit.

Pemahaman tentang pengendalian kesalahan pendekatan dalam kalkulasi numerik.

Metode Numerik adalah suatu metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah matematika melalui pengoperasian aritmatika secara iteratif.

Page 5: Metode Numerik 1

Angka SignifikanAngka-angka atau digit berarti yang dapat digunakan dengan meyakinkan dan dapat diandalkan.

Misal:

0,00144 ( 3 angka signifikan) 0,0010408 (5 angka signifikan)12,500 (3 atau 5 angka signifikan ?)1,26 x 105 (3 angka signifikan)1,260 x 104 (4 angka signifikan)1,2600 x 104 (5 angka signifikan)

Page 6: Metode Numerik 1

Angka s ign ifi kan akan member ikan k r i te r ia untuk mer inc i seberapa keyak inan k i ta mengena i has i l -has i l pendekatan da lam metode numer ik

Angka s ignifi kan member ikan pengabaian dar i angka s ignifi kan s isa untuk besaran spes ifi k yang t idak b isa d inyatakan secara eksak karena keterbatasan jumlah d ig i t yang mampu dis impan komputer

Dua implikasi penting angka signifikan dalam metode numerik

Page 7: Metode Numerik 1

Akurasi dan PresisiPresisi Jumlah angka

signifikan yang menyatakan suatu besaran.

Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat yang mengukur suatu perilaku fisik tertentu.

Akurasi : dekatnya sebuah angka pendekatan atau pengukuran terhadap harga sebenarnya yang hendak dinyatakan.

Inakurasi (bias) : Simpangan sistematis dari kebenaran.

Kesalahan komputasi numerik terjadi jika tidak akurat dan tidak presisi dalam melakukan taksiran.

Page 8: Metode Numerik 1

KESALAHAN (GALAT atau ERROR)

Ada 3 macam kesalahan dasar1.Kesalahan bawaan (inheren)2.Kesalahan pemotongan (Truncation Error)3.Kesalahan pembulatan (Round-off Error)

Kesalahan numerik timbul dari penggunaan pendekatan (aproksimasi) untuk menyatakan operasi dan besaran matematika yang pasti.

Page 9: Metode Numerik 1

Kesalahan bawaan (Inheren)Terjadi akibat kekel iruan dalam menyal in data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fi sik dari data yang diukur.

Kesalahan Pemotongan (Truncation Error)Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik

Kesalahan Pembulatan (Round-off Error) Akibat pembulatan angka Komputer hanya menyimpan sejumlah

tertentu angka signifikan selama kalkulasi.

Page 10: Metode Numerik 1

Penyelesaian secara numerik suatu persamaan matematis hanya memberikan aproksimasi yang mendekati harga eksak (sebenarnya/pasti) dari penyelesaian analitis.

Hubungan harga eksak dan aproksimasi:

Harga eksak = aproksimasi + Kesalahan

Kesalahan numerik adalah setara terhadap ketidakcocokan antara yang sebenarnya dan aproksimasi, sehingga

Et = Harga eksak – aproksimasi

Dimana, Et = kesalahan mutlak

Page 11: Metode Numerik 1

Definisi kesalahan mutlak memiliki kelemahan karena tidak memperhitungkan tingkat/orde besar dari nilai yang diperiksa, misalnya kesalahan 1 cm akan sangat berarti pada pengukuran panjang sekrup dari pada pengukuran panjang jembatan. Normalisasi kesalahan terhadap harga eksak, He digunakan kesalahan relatif, yaitu

Kesalahan mutlakKesalahan relatif = =

Harga eksak

Kesalahan relatif dapat dikalikan dengan 100% sehingga didefinisikan sebagai Persentase kesalahan relatif, εt,

t

e

E

H

t 00t

e

E100

H

Page 12: Metode Numerik 1

Alternatif yang selalu dipakai dalam menormalisasi kesalahan dengan menggunakan taksiran terbaik dari harga yang sebenarnya terhadap kesalahan aproksimasi itu sendiri, yaitu

Dimana: εa = Persentase kesalahan harga aproksimasi.

Kesalahan aproksimasiεa = x 100%

aproksimasi

Page 13: Metode Numerik 1

Dengan persamaan εa kita menentukan taksiran kesalahan tanpa pengetahuan mengenai harga eksak. Dalam metode numerik tertentu digunakan pendekatan iterasi untuk meminimalkan kesalahan, jadi suatu aproksimasi yang baru dibuat berdasarkan aproksimasi sebelumnya, yaitu:

aproksimasi baru – aproksimasi lamaεa = x 100% aproksimasi baru

Page 14: Metode Numerik 1

Dalam komputasi persentase kesalahan dilakukan secara berulang hingga memenuhi:

a s

Dengan memperhatikan jumlah angka signifikan pada aproksimasi, maka ada jaminan bahwa hasilnya adalah benar hingga sekurang-kurangnya n angka signifikan.

εs = ( 0,5 x 10 2 - n )%

Page 15: Metode Numerik 1

Soal:1. Berapa jumlah angka signifikan disetiap bilangan berikut?

a. 84,0 c. 70,0 e. 0,00460b. 70 d. 0,04600 f. 8,0 x 103

2. Bulatkan bilangan-bilangan berikut sampai tiga angka signifikan.

a. 8,755 c. 0,368124 x 102 e. 0,999500

b. 4.225,0002 d. 5,445 x 103

3. Lakukan operasi hitung berikut dan tuliskan hasilnya dalam jumlah angka signifikan yang benar.a. 0,00423 + (25,1 x 10-3) + (10,322 x 10-2)b. (7,7 x 10-5) – (5,409 x 10-6) + (7,0 x 10-4)c. (8,38 x 105) x ( (6,9 x 10-5)d. 87.619 / (0,00871 x 99.999)e. (58,6 (12 x 10-6) – (208 x 10-6) (1,801)) / (468,94 x 10-6)

Page 16: Metode Numerik 1

4. Perluasan Deret Maclaurin untuk cos x adalah:

untuk menaksir cos (π/3). Setelah setiap suku baru ditambahkan, hitung persentase kesalahan aproksimasi dan eksak. Gunakan kalkulator untuk menentukan harga eksaknya. Tambahkan suku-suku sampai harga mutlak dari taksiran kesalahan aproksimasi di bawah kriteria kesalahan untuk memastikan sampai dua angka signifikan.

2 4 6 8x x x xf (x) 1

2! 4! 6! 8!

Page 17: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Metode BiseksiMetode Regula FalsiMetode SecantMetode Iterasi Titik TetapMetode Newton – Raphson

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Page 18: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Penentuan Akar : f(x) = 0 mempunyai paling sedikit satu

akar dalam interval [a,b] jika:f(x) kontinyu pada [a,b].f(a).f(b) < 0, yaitu f(x) berubah tanda

pada [a,b].

Definisi Akar :

f(x) = 0

Page 19: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

METODE BISECTIONThe bisection method is a root-finding algorithm which works by repeatedly dividing an interval in half and then selecting the subinterval in which a root exists. Kelebihan: Konvergen,

mudah untuk dibuat program, dan tingkat kesalahan kecil.

Kekurangan: Konvergensi bersifat linier, menghasilkan satu akar saja dalam perhitungan, dan ambat dalam proses perhitungan.

Page 20: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode Bisection:

1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka signifikan, εs.

2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.

3. Hitung nilai m = (a+b)/2.4. Jika l εa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan,

dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.

5. Jika f(a) x f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m.6. Kembali ke langkah 3.  

Page 21: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritma metode bagi dua (modifikasi):1. Tentukan dua titik, misalnya a1

dan b1 dengan a1 < b1 dan kedua nilai fungsi berlainan tanda

2. Tentukan titik tengah c1 dan hitung εs . c1 adalah titik pendekatan awal.

3. Hitung εa 4. hitung f(cn), jika f(cn) = 0 atau εs < lεa l

maka stop5. hitung sn+1 = sn / 26. jika f(cn ) < 0, maka cn+1 =cn + sn+1 7. jika f(cn ) > 0, maka cn+1 =cn - sn+1

8. Kembali ke langkah 4

2

2

n nn

n nn

a bc

b as

Page 22: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritmanya sama seperti metode Bisection, kecuali mengganti penentuan m dengan rumusan :

METODE REGULA FALSI (INTERPOLASI LINIER)

(b a).f (b)m b

f (b) f (a)

Page 23: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Regula Falsi1. Tentukan a, b, dan persentase kesalahan angka

signifikan, εs.2. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, berhenti

karena pada selang yang diberikan tidak terdapat akar persamaan.

3. Hitung nilai

4. Jika lεa l < εs, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya.

5. Jika f(a).f(m) < 0, maka b = m; jika tidak, a = m.6. Kembali ke langkah 3.  

(a b).f (b)m b

f (a) f (b)

Page 24: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Contoh:Tentukan akar-akar real dari

2( ) 0,874 1,75 2,627f x x x (a)Secara grafik(b)Menggunakan tiga iterasi dari metode

bagi dua untuk menentukan akar tertinggi. Lakukan tebakan awal dengan xl

= 2,9 dan xu = 3,1. Hitung

kesalahan taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt setelah setiap iterasi.

(c)Menggunakan metode posisi salah dengan εs

sesuai dengan tiga angka signifikan untuk menentukan akar terendah.

Page 25: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Solusi dengan metode grafik

Page 26: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

ixi xl

f(xi) f(xl) m f(m) f(xi)*f(m)

1 2,9 3,1 0,35166-0,34714 3 0,011 0,003868

2 3 3,1 0,011 -0,34714 3,05 -0,16588 -0,001825

3 3 3,05 0,011 -0,16588 3,025 -0,0769 -0,000846

Solusi metode bagi dua dengan tiga iterasi

Page 27: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m) f(a)*f(m) Ea Et

1 -1,50 -0,50 -

1,9645 1,5335 -0,94 0,2152 -0,4227 0,00% 6,16%

2 -1,50 -0,94 -

1,9645 0,2152 -0,99 0,0245 -0,0482 5,58% 0,62%

3 -1,50 -0,99 -

1,9645 0,0245 -1,00 0,0027 -0,0054 0,62% -0,01%

4 -1,50 -1,00 -

1,9645 0,0027 -1,00 0,0003 -0,0006 0,07% -0,08%

5 -1,50 -1,00 -

1,9645 0,0003 -1,00 0,0000 -0,0001 0,01% -0,08%

Solusi dengan metode regula falsi

Page 28: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Soal:Tentukan akar real dari ln x = 0,5

(a)Secara grafik(b)Menggunakan tiga iterasi dari metode

bagi dua dengan tebakan awal dengan xl

= 1 dan xu = 2. Hitung kesalahan

taksiran εa dan kesalahan sebenarnya εt

setelah setiap iterasi.(c)Menggunakan tiga iterasi metode posisi

salah dengan tebakan awal yang serupa pada (b).

Page 29: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Page 30: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

METODE NEWTON-RAPHSON

Newtons method is an iterative method for root finding. That is, starting from some guess at the root, x0 , one iteration of the algorithm produces a number x1 which is supposed to be closer to a root; guesses x2 , x3 , …, xn follow identically.

1 '

( )

( )n

n nn

f xx x

f x

Page 31: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Newton-Raphson1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan

3. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop.

4. Kembali ke langkah 2.

1 '

( )

( )n

n nn

f xx x

f x

Contoh:Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Bisection, Regula falsi dan Newton-Raphson dengan ketelitian 3 angka signifikan.

Page 32: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Solusi :f(x) = x4 + 4x3 + 1

Solusi metode bagi dua:Solusi metode posisi salah:Solusi metode Newton_Raphson:

Page 33: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m)f(a)*f(m

) Ea

1 -1,00 0,00 -2,0000 1,0000 -0,50 0,5625 -1,1250100,00

%

2 -1,00 -0,50 -2,0000 0,5625 -0,75-0,3711 0,7422 33,33%

3 -0,75 -0,50 -0,3711 0,5625 -0,63 0,1760 -0,0653-

20,00%

4 -0,75 -0,63 -0,3711 0,1760 -0,69-0,0764 0,0284 9,09%

5 -0,69 -0,63 -0,0764 0,1760 -0,66 0,0550 -0,0042 -4,76%

6 -0,69 -0,66 -0,0764 0,0550 -0,67-0,0094 0,0007 2,33%

7 -0,67 -0,66 -0,0094 0,0550 -0,66 0,0231 -0,0002 -1,18%

8 -0,67 -0,66 -0,0094 0,0231 -0,67 0,0069 -0,0001 0,58%

9 -0,67 -0,67 -0,0094 0,0069 -0,67-0,0012 0,0000 0,29%

10 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0069 -0,67 0,0029 0,0000 -0,15%

11 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0029 -0,67 0,0008 0,0000 0,07%

12 -0,67 -0,67 -0,0012 0,0008 -0,67-0,0002 0,0000 0,04%

Page 34: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

i a b f(a) f(b) m f(m) f(a)*f(m)

Ea

1-

1,00 0,00-

2,0000 1,0000 -0,33 0,8642 -1,7284 100,00%

2-

1,00 -0,33-

2,0000 0,8642 -0,53 0,4709 -0,9417 37,63%

3-

1,00 -0,53-

2,0000 0,4709 -0,62 0,1827 -0,3654 14,23%

4-

1,00 -0,62-

2,0000 0,1827 -0,65 0,0611 -0,1222 4,82%

5-

1,00 -0,65-

2,0000 0,0611 -0,66 0,0194 -0,0388 1,54%

6-

1,00 -0,66-

2,0000 0,0194 -0,67 0,0060 -0,0121 0,48%

7-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0060 -0,67 0,0019 -0,0038 0,15%

8-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0019 -0,67 0,0006 -0,0012 0,05%

9-

1,00 -0,67-

2,0000 0,0006 -0,67 0,0002 -0,0004 0,01%

Page 35: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

i x f(x) f '(x) Ea

1 -1 -2,0000 8,0000 100%

2 -0,75 -0,3711 5,0625 -33,33%

3 -0,6767 -0,0298 4,2555 -10,83%

4 -0,6697 -0,0003 4,1805 -1,05%

5 -0,6696 0,0000 4,1798 -0,01%

Review

Page 36: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Metode Secant(modifikasi Metode Newton-Raphson)

'' 1

1

( ) ( ) ( )( ) n n nn

n n n

f x f x f xf x

x x x

11

1

( )( ) ( )

n nn n n

n n

x xx x f x

f x f x

Untuk aproksimasi ke-n diperoleh

Page 37: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Algoritma Metode Secant

1. Tentukan f(x)’, x0, dan εs 2. Hitung xn+1 dengan persamaan

3. Hitung εa, jika l εa l < εs, maka xn+1 sebagai hasil dan stop.

4. Kembali ke langkah 2.

Contoh:Cari akar real dari persamaan f(x) = x4 + 4x3 + 1 ; [-1, 0] dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 3 angka signifikan.

11

1

( )( ) ( )

n nn n n

n n

x xx x f x

f x f x

Excel

Page 38: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Metode Titik Tetap (Fixed Point )

jikaf(x) = x – g(x) = 0makax = g(x)

Untuk aproksimasi xn

1( )n nx g x TIBTI

A

Page 39: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Soal Latihan:

Tentukan akar real dari ln x = 0,5dengan metode Newton-Raphson dan metode secant dengan ketelitian 2 angka signifikan.

Page 40: Metode Numerik 1

NURI SIMARONA, ST

Solusi Soal Latihan TI B

i x f(x) f '(x) Ea1 1,0 -0,5000 1,0000 100%2 1,5 -0,0945 0,6667 33,33%3 1,6 -0,0042 0,6091 8,64%4 1,6 0,0000 0,6065 0,42%

i x f(x) Ea0 1,0 -0,500 -1 2,0 0,193 -2 1,7 0,043 16%3 1,6 -0,005 5%4 1,6 0,000 0%