MEHATRONIKA - titan.fsb.hrtitan.fsb.hr/~jpetric/Predavanja/HVU/MEHATRONIKA_HVU_(I dio).pdf · proizvodnih procesa, što podrazumijeva znanje osnovnih pojmova iz mehatronike, poznavanje

23.10.2018.

1

MEHATRONIKAStudij vojnog inženjerstva

šk. god. 2018./2019.

NASTAVNICI:

prof.dr.sc. Joško Petrić

prof.dr.sc. Željko Šitum

prof. dr.sc. Davor Zorc

prof. dr.sc. Danijel Pavković

dr.sc. Mihael Cipek

dr.sc. Mario Hrgetić

Juraj Benić

Katedra za strojarsku automatiku

Zavod za robotiku i automatizaciju proizvodnih sustava

FSB UniZG

PREDAVANJA I VJEŽBE:

HVU dr. Franjo Tuđman, srijeda 10.55 – 12.35, (136/58amf)

FSB, Katedra za strojarsku automatiku, srijeda 15.15 – 17.40,

sjeverna zgrada, 1. kat (prostorija A-308)

SADRŽAJ I CILJEVI:

3 CJELINE:� Upravljanje i regulacija (JP, MC)� Hidraulika i pneumatika te servosustavi (ŽŠ, JB)� Mikroprocesori i obrada signala (DZ, DP, MH)

Ciljevi:• Upoznavanje s modeliranjem, analizom i sintezom mehatroničkih sustava. • Steći osnovna znanja i vještine o analizi i sintezi mehatroničkih proizvoda ili

proizvodnih procesa, što podrazumijeva znanje osnovnih pojmova iz mehatronike, poznavanje osnova modeliranja i upravljanja mehaničkim sustavima, te poznavanje osnovnih elemenata nekog mehatroničkog sustava.

• Upoznavanje s hidrauličkim i pneumatskim sustavima, njihovim značajkama te praktičnom primjenom u industriji i vojnom inženjerstvu.

• Uče se metode i praktična rješenja digitalnog upravljanja pomoću mikroprocesora, s osvrtom na elemente digitalne regulacije, mikroračunala, sklopova za povezivanje, senzora i aktuatora, te vremenski diskretnih (digitalnih) algoritama upravljanja.

• Cilj kolegija također je popratiti teoretsko gradivo s predavanja brojnim vježbama na eksperimentalnim laboratorijskim sustavima.

SADRŽAJ I CILJEVI:Tj. Predavanje Vježbe

1. Uvod u mehatroniku, povijesni osvrt Upoznavanje s mehatroničkim primjerima: samobalansirajuće vozilo kao

primjer.

2. Matematički modeli tehničkih sustava pogodni za upravljanje i regulaciju. Prijenosna funkcija, algebra blokova, model u Matlab/Simulinku.

3 Analiza sustava u vremenskom području. Odzivi na standardne pobudne funkcije. Osnovna svojstva odziva. Stupanj

prigušenja i vremenska konstanta.

4. Osnovni regulatori, pitanje stabilnosti i točnosti. PID regulator, analiza stabilnosti i točnosti regulacijskog sustava.

5. Uvod u hidrauliku i pneumatiku, prednosti i nedostaci hidrauličkih i

pneumatskih sustava. Osnovne značajke klasične hidraulike i pneumatike.

Osnovni elementi i izvedbe hidrauličkih i pneumatskih sustava.

Upoznavanje sa simbolima hidrauličkih i pneumatskih shema.

6. Proporcionalni hidraulički i pneumatski sustavi. Osnovni elementi i njihove

značajke.

Upravljanje hidrauličkih i pneumatskih sustava pomoću

proporcionalnih ventila.

7. Kolokvij 1.

8. Servohidraulika - osnovne značajke. Tipovi servoventila. Regulacija položaja, brzine i sile hidrauličkih i pneumatskih sustava

(demonstracija rada).

9. Pravci razvoja suvremenih hidrauličkih i pneumatskih sustava. Upravljanje robotskih sustava s hidrauličkim i pneumatskim pogonom.

10. Struktura mikroprocesora, dijelovi mikroračunala i instrukcijski set Industrijski programabilni logički kontroleri (PLC-i)

Siemens porodice S7-200/300/1200

11. Koncepcije ulazno/izlaznog prijenosa, ulazno/izlazni sklopovi Izvršavanje upravljačkog koda u asinkronom ciklusu (scan cycle) i vremenski

prekid.

12. A/D i D/A pretvornici, senzori i sklopovi za prihvat signala, aktuatori Primjeri logičkog upravljanja, sekvencijalnog upravljanja i regulacije

dinamičkog sustava primjenom mikrokontrolera.

13. Uvod u digitalno vođenje, struktura digitalnog sustava upravljanja (DSU), uzorkovanje

kontinuiranog signala i Z transformacija. Digitalni PID regulator.

Analiza signala i sustava upravljanja u vremenski-diskretnom području,

primjena Z transformacije za analizu sustava upravljanja.

14. Ponavljanje i nadopune gradiva. Ponavljanje i nadopune gradiva.

15. Kolokvij 2.

PREDAVANJA I VJEŽBE:

Elementi za formiranje zaključne ocjene su:

aktivnost na nastavi, izrada samostalnih zadataka, položen pismeni ispit (ili dva kolokvija koja zamjenjuju pismeni ispit) i usmeni završni ispit

Elementi formiranja ocjene su sljedeći:

• 10 % konačne ocjene čini sudjelovanje u nastavi, uključujući tu sudjelovanje u vježbama, izrada praktičnih radova i eksperimenata;

• 35 % 1. kolokvij

• 35 % 2. kolokvij

• (alternativa: 70 % ocjene pismeni ispit)

• 20% znanje pokazano na završnom (usmenom) ispitu.

23.10.2018.

2

1. dio: UPRAVLJANJE I REGULACIJA

Ishodi učenja:

• razumjeti načela upravljanja i regulacije tehničkih sustava

• izraditi model mehaničkog sustava u obliku pogodnom za upravljanje i regulaciju

• analizirati mehanički sustav u vremenskoj i frekvencijskoj domeni

Sadržaj predavanja:

• Uvod u mehatroniku, povijesni osvrt

• Matematički modeli tehničkih sustava pogodni za upravljanje i regulaciju

• Analiza sustava u vremenskom području

• Osnovni regulatori, pitanje stabilnosti i točnosti


Literatura:

• Interni nastavni materijal za predmet: http://titan.fsb.hr/~mcipek/http://titan.fsb.hr/~jpetric/Predavanja/

• J. Petrić: „Automatska regulacija – uvod u analizu i sintezu”, FSB, 2012., http://titan.fsb.hr/~jpetric/Udzbenici/

Dodatno (tko želi znati više):

• D. Majetić, D. Brezak, J. Kasač: „Zbirka zadataka iz teorije automatskog upravljanja”, skriptarnica FSB, 2016.

• T. Šurina: „Automatska regulacija”, Školska knjiga, Zagreb, 1991.

• W.S. Levine „The Control Handbook: Control Systems Fundamentals”, CRC Press, 2011.

• G.C. Goodwin i dr. „Control System Design”, 2000


Dodatno:

Control tutorials for Matlab: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/

UVOD U MEHATRONIKU: Povijesni osvrt

• 1969., Tetsuo Mori, Yaskawa Electric Co., Japan, aplikacija za zaštićeni znak

(trademark): „Riječ mehatronika („mechatronics“) sastavljena je od „mecha“ što

dolazi od mehanizma i „tronics“ od elektonike. Drugim riječima, tehnologije i razvijeni

proizvodi sadržavati će sve više i više elektronike unutar mehanizama, koji će se

prožimati, tako da će biti nemoguće reći gdje jedan počinje, a drugi završava.“

• Tada se radilo o elektromehaničkim sustavima i servo-sustavima, ne uključujući

složenije vođenje ili računala (automatska klizna vrata, automatska garažna vrata, i sl.)

• Izraz mehatronika ne pobuđuje veću pažnju do početka 80-tih

• 1971. Intel 4004 μp, zatim 8008, paralelno se razvijaju μc, još su vrlo skupi

• 80- tih izraz se polako popularizira, pogotovo u Europi i Japanu, a manje u SAD

(Yaskawa ne produžava prava na zaštićeni znak)

• 1993. g., prvi studij mehatronike na Hochschule Bochum, zatim Kiel, Augsburg, itd.

• 90-tih, časopisi i konferencije pod okriljem IEEE, ASME, IFAC, itd.

UVOD U MEHATRONIKU: Povijesni osvrt

• Kraj 70-tih: Japansko društvo za promicanje strojogradnje (JSPMI) svrstalo je mehatroničke proizvode u četiri kategorije:

– Class I: Prvenstveno mehanički proizvodi s uključenom elektronikom radi poboljšanja funkcionalnosti (NC alatni strojevi, pogoni s varijabilnom brzinom gibanja)

– Class II: Tradicionalni mehanički proizvodi sa značajno unaprijeđenim funkcijama pomoću elektronike (šivaći strojevi, automatizirani proizvodni sustavi)

– Class III: Proizvodi koji zadržavaju funkcionalnost tradicionalnog mehaničkog, ali unutarnji mehanizam je zamijenjen elektronikom (digitalni sat)

– Class IV: Proizvodi projektirani sinergijskom integracijom mehanike i elektronike (fotokopirni strojevi, inteligentne perilice i sušilice, fotoaparati, automatske pećnice)

UVOD U MEHATRONIKU: Definicije

• Časopis „Mechatronics“, IFAC: „Mehatronika je sinergijska kombinacija precizne mehanike, elektroničkog upravljanja i sustavnog razmišljanja prilikom projektiranja

proizvoda i proizvodnih procesa. Odnosi se na projektiranje sustava, uređaja i

proizvoda koji bi na taj način trebali postići optimalnu ravnotežu između osnovne

mehaničke konstrukcije i njegovog sveukupnog vođenja.

• Prof. Rizzoni, Ohio State: „Mehatronika je sjecište tradicionalnih metoda

projektiranja sa primjenom senzora, aktuatora, mikroprocesora i softvera. Na taj

način postiže se veća fleksibilnost proizvoda ili procesa, lako se reprogramiraju ili

preoblikuju, a može se primjeniti automatsko prikupljanje podataka i nadzor.“

• Prof. Tomizuka, Berkeley (ex urednik IEEE/ASME Trans. of Mechatronics):

„Mehatronika u stvari nije ništa novo nego dobra praksa u projektiranju. Osnovna

ideja je primijeniti nove metode vođenja da bi se podigao nivo svojstava nekog mehaničkog uređaja. Sloboda u projektiranju se povećava, a rezultati mogu biti

znatno bolji ako se imaju na umu i drugi načini mimo uobičajenog, čisto

mehaničkog pristupa.“

23.10.2018.

3


• Prof. Bolton: „Mehatronički sustav nije samo brak između električnog i

mehaničkog sustava, a također je više nego sustav vođenja; to je potpuna

integracija svega toga.“

• Prof. Auslander, Berkeley: “Bilo koji sustav u kojem upravljate snagom ili

prilagođavate snagu je kandidat za vođenje računalom. Naime, za bilo koju

mehaničku komponentu može se pitati što je njena svrha? Da li prenosi

snagu? Ili je njena uloga upravljanje i koordinacija (usklađivanje) snage? Ovu

drugu funkciju općenito mnogo efikasnije (jednostavnije, jeftinije i

fleksibilnije) obavljaju računala, softver i elektronika“


Neki popularni grafički izrazi za mehatroniku:

UVOD U MEHATRONIKU: Primjene• Automobili danas: prava riznica mehatronike

• Zakonski zahtjevi (potrošnja, emisija, sigurnost) vs. zahtjevi kupaca (performanse, cijena) –nametnute velike promjene, većina rješenja su upravo vezana uz mehatroniku.

• W.F. Powers, iz Forda – „u 20 g. automobili su 10 puta čišći i 2 puta efiksaniji zahvaljujući ponajviše distribuiranom vođenju temeljenom na μp“

• Motor management (senzori tlaka, masenog protoka zraka, lambda-sonde, podešavanjaventila, zaklopki, egr, ...)

UVOD U MEHATRONIKU: Primjene

• Zamislimo ono što nam je već uobičajeno:

• e-zaklopka (ETC, drive-by-wire) - konstrukcija (nema sajle), funkcionalnost(tempomat, ograničenje brzine, brzina vrtnje praznog hoda, međugas, ..)

Chrysler „Auto-pilot”, Chrysler Imperial 1958.(Cruise control, izum Ralpha Teetora iz 1948.)

e-zaklopka

UVOD U MEHATRONIKU: Primjene• Poznati akronimi: ABS, TCS, ESP, ...

• Zamislimo steer-by-wire sustav (legislativa ne dozvoljava) – konstrukcijske slobode

(nema stupa - sigurnost, upravljač lijevo, desno, vani?!, ..) – problemi veliki (sigurnost,

vjerna emulacija opterećenja ruku)

• Zamislimo hibridno ili el. vozilo - konstrukcijski utjecaji (smještaj baterija, smještaj

dodatnih pogona naprijed, nazad, u kotačima, dodatna masa i njen utjecaj na ovješenje);

funkcionalni utjecaji – (bezbroj, pitanje kočenja - npr. puna baterija, kako će kočiti

generator, itd… rješenje veća baterija, dakle veća masa, veći prostor, veća skupoća;

pitanje smještaja motora u kotačima, različitim momentima može se vrtiti vozilo, ali

neovješene mase se povećavaju, hlađenje,..)

• Dakle ako svaki ovaj proizvod zamislite bez integracije s vođenjem i elektronikom – to je

naprosto drugi proizvod, gledajući ga i s funkcionalnog, ali i konstrukcijskog aspekta


• Segway Personal Transporter – primjer proizvoda koji je “prava mehatronika”, jer bez nje ne bi ni postojao!

– “self-balancing transportation-device”, 2001.g., porijeklo od iBOT-a

z

y

x

valjanje

skretanje

naginjanje

23.10.2018.

4


• Aktuatori - dva istosmjernaservomotora bez četkica koji susmješteni unutar kotača s prijenosom preko reduktora.

• Baterije – Li-Ion

• Senzori – 5 žiroskopa (mjerepromjenu orijentacije koristećiCoriolisov efekt, izvedeni su kaoMEMS-ovi (micro electro-

mechanical system) savibrirajućim prstenom (vibrating

ring rate-gyroscope))

• Upravljanje – više umreženihmikroprocesora

UVOD U MEHATRONIKU: Povratna veza

• Zašto je kod projektiranja naprednih mehaničkih (dinamičkih) sustava jako

važno promatrati konstrukciju i vođenje (upravljanje i regulaciju) cjelovito?

• Povratna veza (regulacija) – čvrsta veza s mehanikom, puno prije

mehatronike i elektronike

• Korijeni automatske regulacije vezani su uz mehaniku i općenito

strojarstvo

– stari vijek (pra-počeci: vodeni sat, uljne lampe, ..)

– srednji vijek (satni mehanizam verge-and-foilot, ..)

– novi vijek (regulatori temperature, ..)


• Napredak mehanike i strojarstva općenito je dosta vezan uz povratnu vezu, regulaciju (automatsku)

• Neke prekretnice:

– Wattov regulator brzine, 1788. g., (flyball governor)


Neke prekretnice, Wattov regulator brzine:


Neki primjeri: TORPEDO


Neki primjeri: TORPEDOTorpedo se usmjerava pomoću žiroskopa (10). Žiroskop je tijelo koje se vrti velikom brzinom oko svoje osi, te nastoji zadržati osovinu uvijek u istom početnom smjeru. Osovina žiroskopa (7) u torpedu je zglobom (8) učvršćena na rudo (9) vertikalnog kormila (1). Torpedo se (na brodu, podmornici, avionu) usmjeri prema cilju, aktivira (zavrti) se žiroskop (11) i tek onda ispali prema meti. Ako torpedo na svojoj putanji skrene, npr. u lijevo, za neki kut α uslijed ustrajnosti osovina žiroskopa će ostati usmjerena prema cilju ali će pomoću zgloba (8) zakrenuti rudo (9) kormila (1) u lijevo od uzdužne osi torpeda. Kormilo (1) će otići u desno jer je na torpedu učvršćeno zglobom (12) što će izazvati (uslijed kretanja torpeda prema naprijed) skretanje torpeda u desno sve dok se ponovno ne usmjeri prema cilju. Kada je torpedo ponovno usmjereno prema cilju odnosno početnom položaju, osovina zvrka (7) postavit će se u uzdužnu os torpeda. U uzdužnu os torpeda postavit će se i rudo (9), a time i kormilo (1) te će torpedo nastaviti prema unaprijed određenom smjeru kojeg kontrolira žiroskop.

23.10.2018.

5


Neki primjeri: Statički nestabilni borbeni zrakoplovi

Cp ispred Cg, dinamika slična inverznom njihalu

Grumman X-29


• Što omogućava povratna veza (neka zadivljujuća svojstva!):

– Može napraviti dobar sustav od loših elemenata

– Sustav može biti neosjetljiv na vanjske poremećaje i promjene karakteristika svojih elemenata

– Može stabilizirati nestabilan sustav

– Može stvoriti neko poželjno ponašanje sustava (npr. linearno ponašanje sustava iz nelinearnih komponenti)


• Postoje neka temeljna ograničenja onoga što se može postići povratnom vezom, a vezana su uz konstrukciju te uz smještaj aktuatora i senzora!

• Pitanje stabilnosti tj. nestabilnosti!

• Drugim riječima, “blato” je zadano i ne može se ukloniti nego samo premjestiti (“control design”). “Blata” ima više ako je sustav nestabilan (desni polovi) ili ako ima nule u desnom dijelu Gaussove ravnine!

• O čemu ovisi smještaj polova i nula? Prvenstveno o konstrukciji, odnosno o smještaju i broju senzora i aktuatora!

• Zato je važno (pri zahtjevnijim primjenama) cjelovito promatrati sve! (Npr., štap inv. njihala treba biti dug tj. za Segway: sniziti težište, povećati kotače, ...). To je upravo mehatronika!

Ilustracija (G.Stein “Respect the unstable”)

UPRAVLJANJE I REGULACIJAUvod

Što je povratna veza, kako djeluje?

• Automatska regulacija po definiciji je automatsko održavanje željenog stanja nekog procesa ili mijenjanje tog stanja po određenom zakonu, bez obzira na djelovanje vanjskih i unutarnjih poremećaja.

• To se postiže pomoću povratne veze, koja omogućava usporedbu izmjerene vrijednosti neke veličine reguliranog procesa sa njenom željenom vrijednosti (referencijom), te se na temelju razlike tih dviju veličina odlučuje kako proces usmjeriti.


• Što je povratna veza, kako djeluje?

• “Srce svakog sustava automatske regulacije jest ideja povratne veze” (A. Isidori)

• Ideja povratne veze ?

Usporediti aktualni rezultat sa željenim i djelovati na temelju njihove razlike!

• Povratna veza jednostavni je princip koji pokriva sve principe regulacije u prirodi (npr. rast živih organizama, tjelesna temperatura, tlak, zatim ravnoteža, gibanje, odziv na stres, ....)



• Proces se usmjerava upravljanjem tokom energije ili tvari. Skica navedenoga „zatvorenog kruga“ ili regulacijske petlje dana je na slici:

23.10.2018.

6



• Povratna veza (engl. feedback) temeljni je pojam automatske regulacije.

• Varijabla koju se želi regulirati mjeri se, i šalje se nazad u uređaj namijenjen vođenju. Pri tom se uspoređuje željena i stvarna vrijednost, na temelju njihove razlike djeluje neki regulacijski zakon, koji šalje naredbu izvršnom uređaju da bi se smanjila razlika između željene i stvarne vrijednosti. To zovemo regulacijom.

• Napomena: regulaciju dijelimo na čvrstu i slijednu.


Upravljanje vs. regulacija

• Upravljanje je postupak pri kojem jedna ili više ulaznih veličina utječu na jednu ili više izlaznih veličina nekog procesa prema zakonitostima svojstvenim upravljanom procesu. Pri tom se upravljanje odvija u „otvorenom krugu“.

• To znači da, za razliku od regulacije, kod upravljanja nema povratne veze koja će omogućiti usporedbu željene i stvarne vrijednosti, niti će se proces usmjeravati na temelju njihove razlike. Stoga nema mogućnosti popravljanja upravljačke odluke na temelju promatranja odvijanja procesa.


• Upravljanje vs. regulacija


Upravljanje vs. regulacija

UPRAVLJANJE REGULACIJA

Otvoreni krug Zatvoreni krug

Planiranje Reagiranje po događaju

Nije otporan na pogreške modela niti na poremećaje

Otporan na pogreške modela i na poremećaje

Nema rizika nestabilnosti Rizik nestabilnosti


Upravljanje vs. regulacija: Primjeri

• Toster

• Podešavanje temperature vode(npr. termostatska glava)

https://www.mathworks.com/videos/understanding-control-systems-part-1-open-loop-control-systems-123419.html

https://www.mathworks.com/videos/understanding-control-systems-part-2-feedback-control-systems-123501.html

https://www.youtube.com/watch?v=cuIZQ1Ged74 (termostatska glava)


Upravljanje i regulacija: vođenje

• Vođenje procesa općenitiji je pojam koji obuhvaća i upravljanje i regulaciju

• U pravilu je vođenje povezano uz upravljanje i regulaciju složenijih sustava uz pomoć računala.

• Pojam vođenje se koristi kada je obuhvaćeno upravljanje i regulacija, ali i kada nije izričito određeno na koji se od ta dva postupka misli. Dakle, vođenje se može smatrati hrvatskim pojmom općenitog engleskog pojma control. (prof. Božićević, Glasnik hrv. Akademije tehničkih znanosti, 2001. )

23.10.2018.

7

UPRAVLJANJE I REGULACIJA

Poopćeni blok dijagram automatske regulacije

r(t) – referentna veličina, ili referencija (nazivna veličina - čvrsta regulacija; vodeća veličina - slijedna regulacija. Referentna veličina (engl. reference input) je vanjski signal primjenjen na sustavu automatske regulacije na komparatoru.

y(t) – regulirana veličina. Često se kaže samo izlaz. Regulirana veličina (controlled variable ili controlled output, ili najčešće samo output) predstavlja izlaznu veličinu reguliranog procesa.

e(t) – regulacijsko odstupanje, ili regulacijska pogreška. Regulacijsko odstupanje (actuating signal, ili error signal) je razlika između referentne i regulirane veličine, koja ulazi u regulacijski uređaj i potiče njegovo djelovanje.

u(t) – postavna veličina. Postavna veličina (control signal ili manipulated variable) je signal koji predstavlja izlaz iz regulacijskog uređaja, i ulaz u proces.

d(t) – poremećajna veličina. Poremećajna veličina (disturbance) je ulazni signal koji ima neželjeni utjecaj na reguliranu veličinu.


Poopćeni blok dijagram automatske regulacije

• Regulacijski uređaj (controller) – dio sustava automatske regulacije koji generira postavnu veličinu koja će djelovati na regulirani proces. Regulacijski uređaj ili regulator obično sadrži pojačalo, nekakvo vremensko djelovanje, te komparator. U širem smislu regulator uz to može obuhvatiti i generator referentne veličine, te razne elemente za obradbu signala (npr. filtere, analogno-digitalnu i digitalno-analognu konverziju, itd.).

• Objekt regulacije ili proces (process, plant) – obuhvaća sustav, podsustav ili proces čija veličina (ili veličine) je predmet regulacije.

• Negativna povratna veza i komparator (comparator) – osnovna funkcija povratne veze, usporedba željene i stvarne vrijednosti veličine koju se želi regulirati obavlja se komparatorom. Prirodno je stoga da povratna veza ima negativnu vrijednost.


Poopćeni blok dijagram automatske regulacije s postavnim i

mjernim članom

Izvršni član - sastoji se od postavnog pogona, (npr. elektromotor) i postavnog člana (npr. ventil) –

Mjerni član – sastoji se od mjernog osjetila i pretvarača

n(t) – mjerni šum

UPRAVLJANJE I REGULACIJANeke definicije

• Sustav (system): kombinacija komponenti koje djeluju zajedno da bi ostvarili funkciju koja se ne može ostvariti pojedinačnim djelovanjem. Skup fizičkih elemenata i sklopova koji su povezani međusobnim djelovanjem.

• Signal je fizička veličina koja se mijenja s vremenom.

• Analiza sustava bavi se odnosima među signalima koji mogu biti bilo kakve fizičke veličine koje se mijenjaju s vremenom.

• Proces je općenito skup aktivnosti kojima se ulazni elementi transformiraju u izlazne elemente sa specifičnim svojstvima, a sama transformacija određena je parametrima i ograničenjima.

• Promatranje odnosa ulaza i izlaza, odnosno pobude i odziva, odnosno uzroka i posljedice (kauzalnost) bitna je tema ovog kolegija


VRSTE SUSTAVA:

vremenski nepromjenjivi – vremenski promjenljivi

parametri su konstantni (invarijantni) , odnosno mijenjaju se tijekom vremena (varijantni)

linearni – nelinearni

Mogu se opisati linearnom diferencijalnom jednadžbom, odnosno nelinearnom d.j.

s koncentriranim parametrima – s raspodijeljenim parametrima

Opisani običnim d.j. (lumped), odnosno parcijalnim d.j. (beskonačnog reda) (distributed)


VRSTE SUSTAVA:

kontinuirani – diskretniVarijable se mijenjaju kontinuirano po vremenu (opisuju se diferencijalnim j.), odnosno promjene sustava dešavaju se (ili mjere) u diskontinuiranim vremenskim trenucima (opisani su jednadžbama diferencija)

deterministički – nedeterministički – stohastičkiNema neizvjesnosti u varijablama sustava (det.), odnosno za istu pobudu sustav ima isti odziv; sustav koji se pri jednakim uvjetima različito ponaša (nedet.); pojedinim varijablama sustava pridaju se mjere vjerojatnosti kako bi se odredilo ponašanje (stohastički)

jednovarijabilni (SISO) – multivarijabilni (MIMO)Jedan ulaz i jedan izlaz opisuju sustav (SISO), odnosno više ulaza i/ili više izlaza opisuju sustav (MIMO)

23.10.2018.

8

UPRAVLJANJE I REGULACIJAOsnovni zahtjevi

OSNOVNI ZAHTJEVI PRI REGULACIJI

• stabilnost

• točnost

• brzina ( ili kvaliteta) odziva

• robusnost

UPRAVLJANJE I REGULACIJAKratki povijesni osvrt

• Rana faza (protok, vrijeme, temperatura, brzina)

• Počeci (do II svj. rata) – parni strojevi, mlinovi, avioni, brodovi, procesna industrija, telekomunikacije, osnove teorije (koje i danas koristimo!)

• II svjetski rat – naglo širenje u industriju, obrazovanje , organizacije (okupljanje ljudi iz raznih područja, te iz teorije i prakse! – početak sustavnog mišljenja)

• 60-te – zahtjevne primjene (svemirska istraživanja, i sve ostalo), počinje era digitalnog računala

• Nova faza – ugrađeno (embedded) vođenje, mreže, biologija, fizika –autonomija i distribucija, eksplozija primjena

• Najnovije doba – Internet revolucija, Industrija 4.0, prožimanje virtualnog i fizičkog

MATEMATIČKI MODELI DINAMIKE Uvod

• Poznavanje sustava – preduvjet vođenja

• Poznavanje sustava – predstavljeno je modelom

• Model – matematički, ali i kvalitativni, te statistički

• Model dinamike sustava namijenjen vođenju: opisuje vezu između uzroka i posljedica promjena stanja sustava u vremenu

• Model omogućava analizu dinamike sustava (ponašanje) i sintezu vođenja

• “Control oriented model” – kompaktan

• Linearni vremenski invarijantni sustavi – opisuju se linearnim d.j. s konstantnim koeficijentima


• Diferencijalne jednadžbe su jednadžbe s nepoznatim funkcijama, nezavisnim varijablama i derivacijama nepoznatih funkcija (ili njihovim diferencijalima). [Kraut]

obične (1 nez. var.) i parcijalne (više nez. var.)s koncentriranim parametrima (lumped) ili raspodijeljenimred najviše deriv. ili diferencijala u d.j. jest red d.j.red jednadžbe (broj integratora) – predstavlja kašnjenja

• Integral d.j.- jedna ili više jednadžbi koje povezuju nepoznate fkc. i njihove derivacije dobivene iz tih jednadžbi (dobiva se integriranjem). Integral koji eksplicitno izražava nepoznatu fkc. s nezavisnim varijablama je rješenje d.j. Rješenje d.j. je funkcija (npr. rješenje algebarske jedn. je broj ili skup brojeva).


• Modeliranje dobiveno teoretskim ili analitičkim putem (jednadžbe održanja mase, energije i impulsa te fizikalni ili kemijski zakoni)

• Modeliranje dobiveno eksperimentalnim putem

• Kombinacije (verifikacija, parametriranje)


• MODEL SAŽETO:

Model - apstraktni prikaz fizičkog svijeta

• Model se koristi za analizu i projektiranje vođenja (sintezu)

• Može se dobiti korištenjem fizičkih (i inih) zakona (analitičkim putem) ili eksperimentima

• Svrha modela određuje formu modela i nivo apstrakcije

(dovoljno kompleksan, ali ne više od toga)

23.10.2018.

9


• MODEL SAŽETO:

statički vs. dinamički

statički dinamički

Odziv reagira trenutno na pobudu Odziv ima neko kašnjenje

Odnos dan izrazom se ne mijenja Odnos se mijenja (npr. ovisno o p.u.)

Opisano algebarskim jednadžbama Opisano diferencijalnim jednadžbama

MATEMATIČKI MODELI DINAMIKE

Primjer: mehanički translatorni sustav

• 3. Newtonov zakon (suma primjenjenih sila jednaka je silama koje im se suprostavljaju)

MA B

DK

xA(t)

xB(t)

f(t)

)( BAK xxKff −==A:dt

dxD

dt

xdMfff BB

DMK +=+=2

2

B:


Primjer: mehanički translatorni sustav

• f označava vanjsku silu koja djeluje na točku A; fK, fM i fD su sile opružnog djelovanja, sila inercije i sila prigušenja; sa x su označeni pomaci u točkama A i B; a K, M i D označavaju konstantu krutosti opruge, masu i konstantu viskoznog prigušenja amortizera.

• Ovaj sustav je drugog reda, sa dva spremnika energije, gdje masa u gibanju čuva kinetičku energiju, a opruga potencijalnu. Tijekom gibanja, potaknutim vanjskom silom f ili pohranjenom energijom unutar sustava (na što ukazuju početni uvjeti u modelu), energija prelazi iz jednog oblika u drugi, gubeći se prigušenjem.

• Omjeri mase, elastičnosti i prigušenja određuju kakav će biti oblik tih prijelaza.

MA B

DK

xA(t)

xB(t)

f(t)


Iz prethodne 3 jednadžbe mogu se dobiti 3 prijenosne funkcije:

KsDsM

KsDsM

sF

sXsG A

)()(

)()(

2

2

1+

++==

KsDsM

K

sX

sXsG

A

B

++==

22)(

)()(

sDsMsF

sXsG B

+==

2

1

)(

)()(


Prethodne prijenosne funkcije možemo prikazati slijedećim blok

dijagramima:

FG1 G2

XBXA

FG

XB

PRIJENOSNA FUNKCIJA

• Prijenosna funkcija (transfer function) jedan je od nekoliko osnovnih pojmova svojstvenih automatizaciji, i općenito teoriji sustava. Prijenosna funkcija povezuje ulaz i izlaz nekog sustava ili elementa, odnosno uzrok i posljedicu promjena, te tako predstavlja dinamičko ponašanje sustava ili nekog pojedinog elementa.

• Prijenosna funkcija zamjenjuje klasično rješavanje diferencijalne jednadžbe. Iako je matematička teorija na kojoj se temelji prijenosna funkcija dosta složena, njeno korištenje je razmjerno jednostavno, i nije uvjetovano poznavanjem te teorije. To je svakako jedan od razloga njene široke primjene i popularnosti. Ipak, potrebno je poznavati njena ograničenja odnosno njeno područje primjene.

23.10.2018.

10

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Prijenosna funkcija načelno je povezana uz područje linearnih vremenski invarijantnih sustava. Ona se temelji na operatorskom računu, odnosno preslikavanju funkcije na funkciju. Na taj način je engleski fizičar Heaviside krajem 19. stoljeća pojednostavnio rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi, ali bez čvrstih matematičkih dokaza. Kasnije je na temelju Laplaceove transformacije ta metoda matematički dokazana, te se za nju i koristi taj naziv – Laplaceova transformacija.

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Dana je linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima u slijedećem obliku:

y(t) je izlazna veličina, x(t) je ulazna veličina, dok su ak i bk pripadajući koeficijenti, pretpostavka je da su realni brojevi. Sustav je dan povezanošću između ulazne i izlazne veličine opisane diferencijalnom jednadžbom.

Gornja d.j. je n-tog reda, pa se i za sustav kojeg ona predstavlja kaže da je n-tog reda. U pravilu je n ≥ m (ali može biti iznimaka).

)()(

...)()(

)()(

...)()(

011

1

1

011

1

1

txbdt

tdxb

dt

txdb

dt

txdb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

++++=

=++++

−

−

−

−

−

−

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Uvodi se transformacija, tako da funkcija x(t) postaje X(s), odnosno y(t) postaje Y(s). Derivacija se zamjenjuje operatorom s, odnosno integracija se zamjenjuje sa 1 / s .

Napomena: Operator preslikava funkciju na funkciju, dok funkcija

preslikava brojeve na brojeve.

)()(

sXsdt

tdx≡

)(1

)( sXs

dttx ≡∫

)()( 2

2

2

sXsdt

txd≡ )(

1)(

2sX

sdttx ≡∫∫

)()(

sXsdt

txd n

n

n

≡

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Prethodna D.J. transformiranjem postaje:

)()(...)()(

)()(...)()(

011

1

011

1

sXasXsbsXsbsXsb

sYasYsasYsasYsa

mm

mm

nn

nn

++++=

=++++

−−

−−

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Dakle, diferencijalna jednadžba postala je algebarska jednadžba, što njeno rješavanje čini znatno lakšim. Međutim, važno je uočiti da rješenje alg. j. neće biti funkcija vremena t, odnosno neće biti u vremenskom području nego u području operatora s.

Operator s je kompleksna varijabla, ili kompleksna frekvencija, stoga rješenje je u području kompleksne varijable. (Dakle, frekvencijsko područje).

Prijelaz u vremensko područje ponovno zahtijeva transformaciju koja se zove obrnutom ili inverznom

Laplaceovom transformacijom.

PRIJENOSNA FUNKCIJADefinicija

Prethodnu algebarsku jednadžbu u s području možemo izraziti kao omjer izlazne (Y) i ulazne (X) veličine:

Gornji izraz predstavlja prijenosnu funkciju sustava, koja se obično označava sa G(s) (ponegdje također H(s)).

011

1

011

1

...

...

)(

)()(

asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

nn

nn

mm

mm

++++

++++==

−−

−−

23.10.2018.

11

PRIJENOSNA FUNKCIJADefinicija

Dakle, prijenosna funkcija G(s) nekog sustava jest transformirani omjer

izlazne i ulazne funkcije uz početne uvjete jednake nuli: G(s) = Y(s) / X(s)

Iz pojma transformirani uočava se da je prijenosna funkcija povezana uz područje kompleksne varijable s. Osim toga, može se uočiti da prijenosna funkcija opisuje dinamiku sustav samo povezujući utjecaj pobude na izlaznu veličinu, a isključuje utjecaj pohranjene energije u sustavu, pošto su početni uvjeti po definiciji jednaki nuli.

Red prijenosne funkcije je red polinoma njenog nazivnika n. Članovi u nazivniku predstavljaju kašnjenja u sustavu (broj integracija), dok članovi u brojniku predstavljaju ponašanje sustava s obzirom na pobudu. U pravilu je red polinoma nazivnika prijenosne funkcije veći ili jednak redu polinoma njenog brojnika (n ≥ m), uz moguće iznimke.

PRIJENOSNA FUNKCIJA

Karakteristična jednadžba, polovi i nule

Vrijednosti s = pi za koje je polinom nazivnika prijenosne funkcije jednak nuli zovu se polovi prijenosne funkcije, ili polovi sustava kojeg prijenosna funkcija predstavlja. Za te vrijednosti kompleksne varijable, ili kompleksne frekvencije s prijenosna funkcija poprima beskonačne iznose (dijeljenje nulom).

Vrijednosti s = zi za koje je polinom brojnika prijenosne funkcije jednak nuli zovu se nule prijenosne funkcije. Za te vrijednosti kompleksne varijable s prijenosna funkcija biti će jednaka nuli. Drugim riječima, za te vrijednosti s izlaz iz sustava biti će jednak nuli, bez obzira kakva pobuda djeluje na ulazu.

K je omjer b0 / a0 i predstavlja pojačanje prijenosne funkcije. Kako je to pojačanje pri kompleksnoj frekvenciji s = 0, često se naziva DC gain (direct current).

( )

( )∏

∏

=

=

−

−

=n

i

i

m

i

i

ps

zs

KsG

1

1)(

PRIJENOSNA FUNKCIJAKarakteristična jednadžba, polovi i nule

Dakle, polovi prijenosne funkcije rješenja su jednadžbe koja nastaje kada se nazivnik prijenosne funkcije izjednači sa nulom. Takva jednadžba naziva se karakteristična jednadžba:

To je ista karakteristična jednadžba koju treba riješiti kada se traži opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe koja opisuje sustav uz pobudu jednaku nuli. Njeno rješenje, odnosno korijenovi odgovaraju polovima (klasično rješenje diferencijalne jednadžbe analizira se kasnije).

Karakteristična jednadžba, odnosno polovi i nule vrlo su važni pojmovi u automatizaciji. Poznavajući broj i smještaj polova, te nula (prikazanih u Gaussovoj ravnini) može se znati mnogo o svojstvima linearnog vremenski invarijatnog sustava, poput stabilnosti i brzine odziva.

0... 011

1 =++++ −− asasasa

nn

nn

PRIJENOSNA FUNKCIJALaplaceova transformacija

Operacija Laplaceove transformacije vremenske funkcije dana je nepravim integralom:

gdje je s kompleksna varijabla (ili kompleksna frekvencija):

σ predstavlja realni dio a ω imaginarni dio kompleksne varijable.

Simbolička oznaka Laplaceove transformacije: operator ℒ, dok je inverzna transformacija ℒ(^-1).

∫∞

−=

0

)()( dtetfsFst

ωσ js +=

PRIJENOSNA FUNKCIJALaplaceova transformacija

• Zaobilazno je lakše:

PRIJENOSNA FUNKCIJALaplaceova transformacija: tablica transformacija

23.10.2018.

12

PRIJENOSNA FUNKCIJALaplaceova transformacija:

• Transformacija operacija

• Derivacije

• Integracije

• Teoremi:

• Teorem linearnosti

• Teorem prigušenja

• Teorem pomaka

• Teorem početne vrijednosti

• Teorem konačne vrijednosti

• Teorem konvolucije

BLOK DIJAGRAMI

Rašireni oblik prikazivanja modela sustava su blok dijagrami. Pojedini elementi, ili dijelovi sustava povezuju se međusobno i prikazuju na slikoviti način. Ako blokovi predstavljaju prijenosne funkcije dijelova sustava, te ako se tok signala označi odgovarajućom varijablom, onda je riječ o strukturnom blok dijagramu, koji čini model sustava. Pri sastavljanju sveukupnog modela poštuju se pravila operacija među blokovima.

Funkcionalni odnosi među elementima nekog sustava također se često prikazuju grafički pomoću blokova, no oni se obično crtaju ležernije, bez strogih matematičkih pravila. Takvi blok dijagrami zovu se funkcionalni.

GX Y

BLOK DIJAGRAMIAlgebra blokova

• Točke račvanja i zbrajanja signala

• Algebra blokova:

• Serijska veza

• Paralelna veza

• Povratna veza

(jedinična pov. veza)

BLOK DIJAGRAMIAlgebra blokova

• Pravila algebre blokova

METODA PROSTORA STANJA

• Metoda prostora stanja način je prikaza i analize matematičkog modela sustava u vremenskom području.

• Prijenosna funkcija (ili njen grafički prikaz pomoću strukturnog

blok dijagrama) nalazi se u području kompleksne varijable,

odnosno kompleksne frekvencije.

• Brojna ograničenja koja se pojavljuju uslijed neizravne analize

diferencijalnih jednadžbi kod prijenosne fkc. moguće je prevladati metodom prostora stanja. Npr. multivarijabilni sustavi, nelinearni

sustavi ili sustavi s vremenski promjenljivim parametrima.

Optimalne metode odabira parametara regulatora prikladne su

opisu sustava metodom prostora stanja.


• Metoda prostora stanja koristi zapis diferencijalne jednadžbe n-tog reda kao n diferencijalnih jednadžbi 1. reda, odnosno pišu se kao takozvani normalni sustavi prvog reda.

• Isto tako ako postoji simultane diferencijalne jednadžbe koje su ukupno n-tog reda, zapisuju se kao n diferencijalnih jednadžbi 1. reda.

• Koristi se standardni oblik upisivanja parametara u matrice, te se s njima računa pravilima matričnog računa.

• Razvoj i primjena metode prostora stanja naročito potaknuta sve širom uporabom računala u drugom dijelu prošlog stoljeća, pa se uz tu metodu često vezuje pridjev moderna, iako i njena teorijska osnova potječe iz 19. stoljeća.

• Upoznavanje sa metodom prostora stanja zahtijeva poznavanje osnovnih operacija matričnog računa (zbrajanje i množenje matrica)

23.10.2018.

13


Odabirom takozvanih varijabli stanja, kojih ima n, model se pretvara u n diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Varijable stanja upisuju se u vektor stanja x, ulazne varijable upisuju se u vektor ulaza u, dok se izlazne varijable upisuju u vektor izlaza y. Matrice koeficijenata sustava, ulaza, izlaza i prijenosa, koje se označavaju sa A, B, C i D povezuju navedene vektore i tvore zapis matematičkog modela u obliku prostora stanja:

)()()(

)()()(

ttt

ttt

uDxCy

uBxAx

+=

+=&

x(t) – vektor stanja, dimenzija [n]u(t) – vektor ulaza, dimenzija [m]y(t) – vektor izlaza, dimenzija [p]A – matrica sustava, dimenzija [n x n]B – matrica ulaza, dimenzija [n x m]C – matrica izlaza, dimenzija [p x n]D – matrica prijenosa, dimenzija [p x m]

ANALIZA SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJUStandardne pobudne funkcije

• Za potrebe analize sustava važno je imati osnovicu za usporedbu različitih sustava. Jedan vrlo prihvaćen način usporedbe je promatranje odziva dinamičkih sustava na ulazne pobude koje su standardne.

• STANDARDNE POBUDNE FUNKCIJE:

• Impulsna

• Odskočna

• Nagibna

• Parabolna

• Standardna pobudna funkcija u širem smislu može se navesti općenito red potencija koji se koristi ponekad za analitički izračun nekih odziva, te sinusna funkcija koja se kao pobuda koristi za analizu u frekv. području

• Postoji niz drugih funkcija koje se mogu koristiti kao pobude, ali su prisutnije u drugim područjima poput npr. teorije signala, pa se ovdje posebno ne spominju.


• Odskočna funkcija (step function) ili jedinični odskok (unit step function): najčešće se označava sa u(t), a prema O. Heavisideu koji ju je često koristio naziva se ponekad i Heavisideova funkcija.

Laplaceova transformacija odskočne fkc. odgovara transformaciji integracije:

L { } )(1

)( sUs

tu =

u(t)

t0

1

≥

<≡=

0za1

0za0)()(

t

ttutf

• Odziv sustava na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcijezove se prijelazna funkcija, a često se označava sa h(t).

• Napominje se da kod praktične, eksperimentalne primjene odskočne funkcije, nije moguće ostvariti njen idealni, teoretski oblik. No, važno je da skok bude dovoljno brz, što znači da je skok funkcije znatno kraći od promjena sustava na koji se odskočna funkcija primjenjuje. Mjera brzine promjene nekog sustava jest njegova vremenska konstanta (ili vremenske konstante). Odskočna funkcija bi trebala dostići jediničnu vrijednost u vremenu barem 5 puta kraćem od vremenske konstante ispitivanog sustava. Ista napomena važi i za eksperimentalnu primjenu impulsne funkcije.



Nagibna funkcija (ramp function): predstavlja umnožak varijable vremena t i jedinične odskočne funkcije u(t), pa semože nazvati i jediničnim nagibom: t u(t)

f(t)

t0

1

45°

≥

<≡

0za

0za0)(

tt

ttf

Laplaceova transformacija nagibne funkcije:

L { } )(1

)(2

sFs

tf =


Parabolna funkcija, ili jedinična parabola, dana je umnoškom nagibne funkcije i vremenske varijable: t2u(t).

f(t)

t0

≥

<≡

0za

0za0)(

2 tt

ttf

Laplaceova transformacija:

L { } )(1

)(3

sFs

tf =

23.10.2018.

14


Derivacijom odskočne funkcije dobiva se impulsna funkcija (impulse function), koja prema tome ima vrijednost 0 u svakom trenutku, osim u trenutku t = 0, kada je njena amplituda beskonačna.

Impulsna funkcija ili jedinični impuls još se naziva i Diracova delta funkcija, prema P. Diracu koji je uveo u teorijsku fiziku, a označava se sa δ(t).

t0

( )tδ

⟩

=∞

⟨

≡=

0za0

0

0za0

)()(

t

tza

t

ttf δ

ANALIZA SUSTAVA U VREMENSKOM PODRUČJUStandardne pobudne funkcijeImpulsna funkcija nalazi veliku primjenu u analizi raznih sustava. Kako je primijenjeni impuls vrlo kratak, dobiveni odzivi odgovaraju praktički odzivima na pohranjenu unutarnju energiju u sustavu (dakle na početne uvjete). Laplaceova transformacija impulsne funkcije iznosi jedan:

L { } )(1)( st ∆⋅=δ

Imajući na umu definiciju prijenosne funkcije, odakle slijedi da je odziv u području kompleksne varijable Y(s) = G(s) X(s). Kako je u

slučaju impulsne funkcije kao pobude X(s) = 1, može se zaključiti da

odziv na pobudu u obliku impulsne funkcije u vremenskom području odgovara prijenosnoj funkciji u području kompleksne varijable s.

Odziv na pobudu u obliku impulsne funkcije naziva se težinska funkcija, i obično se označava sa g(t). Ona na neki način određuje

“težinu” kojom pojedini impuls pridonosi vrijednosti odziva.

Rješenje diferencijalnih jednadžbi

• Diferencijalne jednadžbe dobivene modeliranjem opisuju dinamički sustav. No odnosi ulaza i izlaza sustava tada su opisani implicitno, to jest ulaz i izlaz međusobno su povezani diferencijalnom jednadžbom. Analiza jednog sustava u pravilu traži njeno eksplicitno rješenje, odnosno da varijabla izlaza bude izražena samo kao funkcija ulazne i vremenske varijable. Dif. jedn. se rješavaju egzaktnim analitičkim metodama ili numeričkim metodama.

• Poznavanje egzaktnih analitičkih metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi u pravilu nije nužno za rješavanje tehničkih problema u automatizaciji. Međutim, važno je za dublje razumijevanje analize i sinteze dinamičkih sustava koje se različitim metodama rabe u automatizaciji, jer to je usko povezano sa ključnim pojmovima u automatizaciji.

• Također, ponašanje različitih fizikalnih sustava prikazuje se unutar univerzalnog matematičkog okvira.

Rješenje diferencijalnih jednadžbiKlasično rješenje

• Klasično rješenje obične linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima sastoji se od komplementarne funkcije i partikularnog integrala.

• Opće rješenje diferencijalne jednadžbe uz pobudu jednaku nuli naziva se komplementarna funkcija.

• Općenito diferencijalna jednadžba dana je u obliku:

)()()(

...)()(

011

1

1 txtyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

n

n

nn

n

n =++++−

−

−

gdje u okvirima automatizacije značenje y(t) jest odziv sustava ili izlaz, a x(t) pobuda ili ulaz.Ako se uvede operator diferenciranja D, a pobuda x(t) je jednaka nuli, dobiva se homogena jednadžba:

0)()...( 011

1 =++++ −− tyaDaDaDa

nn

nn


Do konačnog rješenja dolazi se pretpostavkom rješenja u obliku eksponencijalne funkcije: treKty =)(

y(t) uvrštava se u homogenu j. Kako eksponencijalna funkcija nije nula čitavo vrijeme (osim u trivijalnom slučaju), da bi se zadovoljila homogena jednadžba, slijedi da je njen polinom jednak nuli:

0... 011

1 =++++ −− ararara

nn

nn

Gornja algebarska jednadžba naziva se karakteristična jednadžba, a njeno rješenje su korijeni sustava ri , ili vlastite vrijednosti. Tako se opće rješenje homogene diferencijalne jednadžbe, odnosno komplementarna funkcija sastoji od n izraza ako su korijeni realni i različiti. Također, korijeni se mogu ponavljati ili mogu biti kompleksni brojevi.

tri

ieK


•

23.10.2018.

15


• Komplementarna funkcija nekada se naziva i prijelaznim odzivom (transient response) diferencijalne jednadžbe. Ovisi samo o sustavu samome, a ne i o pobudi (pobuda = 0). To će se moći povezati s analizom stabilnosti linearnog sustava, koja se odnosi također na sami sustav, ne vodeći računa o pobudi.

• Partikularni integral je posebno rješenje nehomogene diferencijalne jednadžbe(dakle, pobuda ≠ 0). Ono predstavlja bilo koje rješenje koje zadovoljavakompletnu diferencijalnu jednadžbu, a nije sadržano u komplementarnojfunkciji. Dok za komplementarnu funkciju postoje razrađene metode, to nijetako za partikularni integral, koji ovisi i o pobudnoj funkciji koje mogu poprimitimnogo različitih oblika. Postoje metode za rješavanje nehomogenediferencijalne jednadžbe poput Cauchyeve metode ili metode varijacijekonstanti, te operatorske metode.

• Partikularni integral naziva se i stacionarnim rješenjem (steady state) diferencijalne jednadžbe, koje ovisi i o pobudi i o sustavu. Analiza točnosti sustava, odnosno analiza stacionarne pogreške, također propituje i pobudu i sustav.

Primjer klasičnog rješenja – mehanički sustav

Potrebno je izračunati gibanje xB(t), ako je pobuda (gibanje xA(t)) u obliku jedinične odskočne funkcije u(t).

Rješenje se sastoji od komplementarne funkcije koje određuje prijelazni odziv i partikularnog integrala koje određuje stacionarno stanje:

ABBB xKxK

dt

dxD

dt

xdM =++

2

2

piBkfBB xxx ,, +=


Najprije se može odrediti rješenje koje će se odnositi na stacionarnostanje. Pošto je pobuda konstanta, odziv xB će dostići neku fiksnustacionarnu vrijednost (za stabilan sustav). Ako je xB konstanta, onda ćebrzina i ubrzanje biti jednaki nuli. Uvrštavajući ubrzanje i brzinu nula ud.j. sustava, slijedi da je partikularni integral:

1, ===⇒= uxxxKxK ApiBAB

Prijelazni odziv rješava se ako se pretpostavi rješenje homogene jednadžbe u obliku eksponencijalne funkcije. Karakteristična jednadžba tada izgleda slijedeće:

02 =++ KrDrM


Radi jasnijeg prikaza, koeficijenti iz kvadratne jednadžba često se pišu izraženi pomoću neprigušene vlastite frekvencije ωn i stupnja prigušenja ζ, pa kvadratna jednadžba postaje ( ω=√K/M; ζ =D/(2√MK) ):

02 22 =++ nn rr ωωζ

Korijeni r1 i r2 sustava dobivaju se rješavanjem kvadratne jednadžbe:

122,1 −±−= ζωωζ nnr

Prijelazni odziv ovisi o tome je li stupanj prigušenja ζ veći od 1 (slučaj a),

jednak 1 (slučaj b), ili manji od 1 (slučaj c). Ovisno o tome korijeni r1,2 su

realni ili kompleksni brojevi.


a) ζ > 1, korijeni su realni i različiti:trtr

kfB eKeKx 2121,

−− +=

b) ζ =1, korijeni su realni i jednaki (r1 = r2 = - ζ ωn):

ttkfB

nn etKeKxζωζω −− += 21,

c) ζ < 1, korijeni su konjugirano-kompleksni par:

)1sin( 22

1, KteKx nt

kfBn +−= − ζωζω

što se može napisati i kao: )sin(1, φωζω += −teKx d

tkfB

n


Ukupno rješenje suma je komplementarne funkcije i partikularnog integrala. Kako je partikularni integral jednak jedinici, rješenje je:

kfBB xx ,1+=

gdje komplementarna funkcija poprima jedan od oblika dana u slučaju a), b) ili c).

Za jednoznačno rješenje potrebno je, osim pobude, poznavati i trenutačno stanje sustava, odnosno početne uvjete. Konstante integracije K1 i K2

određuju se iz početnih uvjeta, i to tako da se početni pomak xB (t = 0) uvrsti u prethodni izraz, odnosno početna brzina dxB/dt (t = 0) se uvrsti u derivaciju prethodnog izraza.

Primjer cjelokupnog rješenja za slučaj c), kada je ζ < 1, je slijedeći:

)cos1sin(

1

1 12

2ζζω

ζ

ζω−

−+−

−

−= te

x n

t

B

n

Uvrštavanjem brojčanih podataka za neprigušenu vlastitu frekvenciju ωn i stupanj prigušenja ζ može se odrediti pomak xB u točki B u svakom trenutku t.

23.10.2018.

16

ZNAČAJKE DINAMIČKOG SUSTAVAStupanj prigušenja

Definiranje stupnja prigušenja i neprigušene vlastite frekvencije može se vidjeti na primjeru mehaničkog sustava sa masom, prigušenjem i oprugom, čija karakteristična jednadžba je:

02 =++ KrDrM

Rješenje karakteristične jednadžbe može biti konjugirano-kompleksni par:

djM

DMKj

M

Dr ωσ ±=

−±−=

2

2

2,14

4

2

Prijelazni odziv u slučaju rješenja sa konjugirano-kompleksnim parom jest oscilacijski:

)sin(1, φωσ += teKx dt

kfB


Oscilacijski prijelazni odziv:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tK eσ⋅

sin( )tdK e tσ ω ϕ⋅ ⋅ +


• Realni dio dan je sa σ (sigma) i predstavlja eksponent od e.

• Vlastita prigušena frekvencija ωd (damped natural frequency) jefrekvencija oscilatornog dijela koji proizlazi iz konjugirano-kompleksnog para.

• D predstavlja konstantu prigušenja (viskoznog) u sustavu. U slučaju kada su rješenja karakteristične jednadžbe r1 i r2 jednaka (kada je brojnik pod korijenom = 0) kaže se da konstanta prigušenja ima kritičnu vrijednost Dkr:

KMDkr 2=

Stupanj prigušenja ζ (zeta, damping ratio) definiran je kao omjer aktualne i kritične konstante prigušenja:

KM

D

D

D

kr 2==ζ


Prijelazni odzivi prema stupnju prigušenja mogu se podijeliti na:

0 < ζ < 1 korijeni su konjugirano-kompleksni parovi, odziv jeprigušeno oscilacijski, tj. odziv je prigušena

sinusoida (underdamped)

ζ > 1 korijeni su realni, odziv je aperiodski (overdamped)

ζ = 1 korijeni su jednaki i realni, odziv je granično aperiodski

ζ = 0 odziv su neprigušene oscilacije

ζ < 0 odziv su raspirene oscilacije (sustav je nestabilan)

Prikazi nekoliko normaliziranih odziva (kao funkcija ωnt) na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije za različite stupnjeve prigušenja:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

XB

n tω ⋅

ς = 0.23ς = 0.5ς = 0.75ς = 1ς = 2

ς = 0


Karakteristična jednadžba iz prethodnog može se podijeliti sa koeficijentom K, a zatim napisati u takozvanom standardnom obliku kvadratne jednadžbe pomoću ωn i ζ (umjesto koeficijenata označenih sa npr. M, K i D):

222

2

2 2121

1 nnnn

rrrrrK

Dr

K

Mωωζ

ω

ζ

ω++=++=++

Neprigušena vlastita frekvencija ωn (undamped natural frequency) definirana je kao frekvencija kontinuiranih oscilacija odziva ako je konstanta prigušenja D jednaka nuli:

M

Kn =ω

Slučaj kada je D = 0, odnosno stupanj prigušenja ζ = 0, znači da prijelazni odziv trajno oscilira (sinusoida konstantne amplitude).

ZNAČAJKE DINAMIČKOG SUSTAVANeprigušena vlastita frekvencija

23.10.2018.

17

ZNAČAJKE DINAMIČKOG SUSTAVANeprigušena vlastita frekvencija

Rješenja karakteristične jednadžbe mogu se napisati kao:

22,1 1 ζωζωωσ −±−=±= nnd jjr

Prijelazni odziv za prigušeno oscilacijski slučaj dan pomoću ωn i ζ postaje:

)1sin()sin(2

11 φζωφω ζωσ +−=+ −teKteK n

td

tn

Iz gornjeg izraza može se uočiti da povećanje umnoška ωn i ζ (tj. σ) ubrzava smirivanje oscilacija.

ZNAČAJKE DINAMIČKOG SUSTAVAVremenska konstanta

Sustav prvog reda uz pobudu jednaku nuli dan je homogenom dif. jedn.:

0)()(

=+ tydt

tdyτ

Koeficijent τ u ovom slučaju može se nazvati vremenskom konstantom, a imat će jedinicu vremena (sekunda).

Klasičnim rješenjem difer. jedn. korijen karakteristične jednadžbe je r = - 1 / τ, a prijelazni odziv prethodne dif. jedn. u obliku je eksponencijalne funkcije:

teKty τ

1

)(−

=


Prijelazni odziv sustava prikazan je na slici uz početnu vrijednost K(koja je u ovom slučaju jednaka 1):

τ τ2 τ3

1

0,368

y(t)

t

Im

Re

τ

1−=r


• Za vrijeme jednog intervala vremenske konstante τ, odziv se smanjuje na 0.368puta manju vrijednost od početne, pošto je e-1 = 0.368. Tako bi se, na primjer, za 5vremenskih konstanti odziv smanjio na 0.3685 svoje početne vrijednosti, odnosnoimao bi 0.68 % početne vrijednosti. Bio bi dakle, praktički nula (stoga se čestouzima 5 vremenskih konstanti kao mjera dovoljno bržeg, odnosno dovoljno sporijegsustava kada je to potrebno). Napomena: teoretski, odziv nikada neće dostići nulu,no to nema praktične važnosti!

• Može se i drugim riječima definirati: vrijednost vremena kada se eksponent iznad eizjednači sa –1 zove se vremenska konstanta sustava.

• ako se promatra odziv na jediničnu odskočnu funkciju, tada je vremenska konstantavrijeme potrebno da odziv sustava poprimi 0.632 puta konačne vrijednosti (tavrijednost dobiva se iz 1 - e-1).

• U slučaju prigušeno oscilacijskog slučaja odziva vremenska konstanta odgovararealnom dijelu odziva σ, odnosno umnošku ωn i ζ.

• Važno je uočiti da što je korijen (pol) udaljeniji od ishodišta, to je vremenskakonstanta kraća, a odziv sustava je brži.

nωζστ

11==

Ponavljamo: rješenje d.j.

ABBB xKxK

dt

dxD

dt

xdM =++

2

2

02 =++ KrDrM 02 22 =++ nn rr ωωζ

122,1 −±−= ζωωζ nnr

djM

MKDj

M

Dr ωσ ±=

−±−=

2

2

2,14

4

2

Karakteristična jedn.

Rješenje karakteristične.j. (kvadratna j.)

Ponavljamo: rješenje d.j.

a) ζ > 1, korijeni su realni i različiti:trtr

kfB eKeKx 2121,

−− +=

b) ζ =1, korijeni su realni i jednaki (r1 = r2 = - ζ ωn):

ttkfB

nn etKeKxζωζω −− += 21,

c) ζ < 1, korijeni su konjugirano-kompleksni par:

)1sin( 22

1, KteKx nt

kfBn +−= − ζωζω

što se može napisati i kao: )sin(1, φωζω += −teKx d

tkfB

n

23.10.2018.

18

Prikazi nekoliko normaliziranih odziva (kao funkcija ωnt) na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije za različite stupnjeve prigušenja:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

XB

n tω ⋅

ς = 0.23ς = 0.5ς = 0.75ς = 1ς = 2

ς = 0

Ponavljamo: rješenje d.j. Ponavljamo: stupanj prigušenja i vlastita nepr. i prig. frekvencija

M

Kn =ω

KMDkr 2=

Stupanj prigušenja ζ (zeta, damping ratio) definiran je kao omjer aktualne i kritične konstante prigušenja:

KM

D

D

D

kr 2==ζ

222

2

2 2121

1 nnnn

rrrrrK

Dr

K

Mωωζ

ω

ζ

ω++=++=++

Odavde imamo te relacije:

Ponavljamo: vremenska konstanta

0)()(

=+ tydt

tdyτ

Klasičnim rješenjem d.j. korijen karakteristične jednadžbe je r = - 1 / τKoeficijent τ u ovom slučaju može se nazvati vremenskom konstantom, a imati će jedinicu vremena (npr. sekunde).

teKty τ

1

)(−

=

τ τ2 τ3

1

0,368

y(t)

t

Im

Re

τ

1−=r

Ponavljamo

Rješenja karakteristične jednadžbe mogu se napisati kao:

22,1 1 ζωζωωσ −±−=±= nnd jjr

U slučaju prigušeno oscilacijskog slučaja odziva vremenska konstanta odgovara realnom dijelu odziva σ, odnosno umnošku ωn i ζ:

nωζστ

11==

Značajke sustava prikazane u Gaussovoj ravnini

• Prethodno definirani stupanj prigušenja ζ i neprigušena vlastita frekvencija ωn značajke su koje određuju ponašanje dinamičkog sustava.

• Te se značajke mogu pokazati u Gaussovoj ravnini (kompleksna ravnina). Točke u ravnini predstavljaju korijene karakteristične jednadžbe, odnosno polove prijenosne funkcije, pa kompleksna ravnina dobiva naziv i s-ravnina (po operatoru s)

dω

Im

Re

β

βω

σζ cos==

nn

ω

σ


Ovisnost odziva o smještaju polova sustava

23.10.2018.

19


Ovisnost odziva o smještaju polova sustava

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVI

• Složeniji dinamički sustavi u pravilu se daju rastaviti na jednostavnije elemente, odnosno članove, što olakšava njihovo proučavanje.

• Osnovni dinamički članovi svrstavaju se prema tome kako pobuda djeluje na njih, pa postoje proporcionalni, integralni i derivacijski članovi, i označavaju se kao P, I i D.

• Osim toga, članovi se dijele i prema kašnjenju, odnosno broju integracija koje treba provesti da bi se dobila izlazna veličina. To odgovara broju spremnika energije, pa su osnovni članovi nultog, prvog ili drugog reda (npr. proporcionalni član P0, P1 ili P2).

• Uz to se pojavljuje član sa mrtvim vremenom, koji se ne može svrstati po prethodnim kriterijima. Taj član naziva se i transportnim članom.

• Složeniji članovi, ili oni višeg reda, mogu se prikazati kao kombinacije osnovnih članova.

• Dodaje se da je svrstavanje po članovim svojstvenije njemačkoj literaturi, uz

nešto drugačije označavanje (npr. P1 označava se sa PT1 gleid), dok se u

američkoj ne susreće tako često.

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIProporcionalni član nultog reda - P0

x(t)a

b

y(t))()()( txKtx

a

bty P==

PKsX

sYsG ==

)(

)()(

x(t), y(t)

t0

1x

yKp

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIProporcionalni član prvog reda - P1

A B

DK

xA(t) xB(t)

)()()(

txtxdt

tdx

K

DAB

B =+

)1)(()()/( tDK

AB etxtx−−=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.5

1

1.5

t

Xa(t), Xb(t)

D/K

0.632 Xb

Xa

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIProporcionalni član prvog reda - P1

• Odziv P1 člana ne može imati oscilacije, pošto nema izmjena energije među spremnicima, kojih ima samo jedan. U ovom primjeru to je opruga. Sa slike se vidi da odziv kasni, a kašnjenje ovisi o karakteristici opruge, te o otporu koji pruža prigušnik.

• Prijenosna funkcija P1 člana općenito se može dati sa:

1)(

)()(

+==

s

K

sX

sYsG P

τ

Primjeri P1 člana su električni krug sa serijski spojenim otpornikom i kondenzatorom (RC), zatim jednostavan sustav prijelaza topline sa usredotočenim parametrima.

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIProporcionalni član drugog reda - P2

• Primjeri su mehanički sustav s masom, prigušenjem i oprugom,prikazan, te električni sa otpornikom, svitkom i kondenzatorom (RLC),koji su opisani u poglavlju o matematičkom prikazu tehničkih sustava.

• Sustavi su opisani diferencijalnom jednadžbom 2. reda. Odzivi takvog sustava mogu biti oscilacijski ili aperiodski, ovisno o stupnju prigušenja sustava.

• Odzivi na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

XB

n tω ⋅

ς = 0 .23ς = 0 .5 ς = 0 .75ς = 1 ς = 2

ς = 0

23.10.2018.

20

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIProporcionalni član drugog reda - P2

Prijenosna funkcija P2 člana općenito se može dati sa:

222)(

)()(

nn

P

ss

K

sX

sYsG

ωωζ ++==

Stupanj prigušenja ζ i neprigušena vlastita frekvencija ωn ovise o omjerima parametara sustava.

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIIntegralni član(ovi) - I0 , I1

• Kod integralnog člana odziv sustava ovisi o integralu pobude, a označava se kao I član. Može biti nultog reda (bez kašnjenja), dakle I0, ali može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd. Tada se označava sa I1, I2, ..

• Primjer integralnog člana jest istosmjerni elektromotor sa kutnimpomakom osovine kao izlaznom varijablom. Ako se pretpostavi da jestruja armature konstanta, onda je kutna brzina osovine elektromotoraproporcionalna naponu izvora u0 (uz konstantni pomak za iznos R i/K).

• Ako je kutni pomak (zakret) θ osovine izlazna varijabla, onda je veza sa naponom izvora kao ulaznom varijablom dana putem njegovog integrala:

∫= dttuKt i )()( 0θ

To predstavlja I0 član, koji je isključivanjem kašnjenja pretpostavljen kao idealan. I1 član uključuje kašnjenje zbog momenta tromosti rotora i induktiviteta:

∫=+ dttuKtdt

tdi )()(

)(0θ

θτ

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIIntegralni član(ovi) - I0 , I1

Odziv I0 i I1 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije:

1

1

Ki

τ

uo

0, Iθ

1, Iθ( ) ( )ttu θ,0

t

Prijenosne funkcije:

s

K

sX

sYsG i

I ==)(

)()(0 )1()(

)()(1

+==

ss

K

sX

sYsG i

Iτ

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIDerivacijski član(ovi) - D0 , D1• Kod derivacijskog člana odziv sustava ovisi o derivaciji pobude, a

označava se kao D član. Kao i I član, može biti nultog reda (bez kašnjenja), što se označava sa D0. Može imati kašnjenje prvog reda, drugog reda, itd., a tada se označava sa D1, D2,

• Primjer derivacijskog člana može biti generator istosmjerne struje. To je preslikani problem istosmjernog elektromotora. Dakle, vrtnjom osovine generatora inducira se napon u električnom krugu. Ako se pretpostavi da je struja magnetiziranja konstanta, inducirani napon biti će proporcionalan broju okretaja, odnosno kutnoj brzini osovine. Ako je inducirani napon u izlazna varijabla, a ako se kao pobuda (ulazna varijabla) promatra zakret osovine θ, međusobna veza je operacija derivacije:

dt

tdKtu d

)()(

θ=

To predstavlja idealan derivacijski član zanemarivanjem kašnjenja uslijed momenta tromosti rotora i induktiviteta. D1 član uključuje kašnjenje:

dt

tdKtu

dt

tdud

)()(

)( θτ =+

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIDerivacijski član(ovi) - D0 , D1

Odziv D0 i D1 člana na pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije:

1

τ

θ

1, Du

( ) ( )ttu θ,

t

τdK

0, Du

Prijenosne funkcije:

sKsX

sYsG dD ==

)(

)()(0

1)(

)()(1

+==

s

sK

sX

sYsG d

Dτ

OSNOVNI DINAMIČKI ČLANOVIČlan s mrtvim vremenom - τ m

• Član s mrtvim vremenom pojavljuje se kada se materijal ili energija fizički premještaju, stoga se koristi i drugi naziv, transportni član, a označava se sa τ m.

• Primjer člana s mrtvim vremenom jest transportna traka za neki rasuti materijal. Od trenutka utovara do trenutka istovara određene cjeline materijala proći će neko vrijeme, koje se naziva mrtvim vremenom(dead time, transportation lag), a označava se τ m. Ono ovisi o brzini gibanja materijala i dužini transportnog sredstva.

l

m

lvτ

=

23.10.2018.

21


Veza izlazne varijable y i ulazne x člana s mrtvim vremenom može se izraziti slijedećim:

)()( mtxty τ−=

x(t), y(t)

t0

y(t)

x(t)1

mτ

Prema teoremu pomaka Laplaceove transformacije, transformacija neke vremenske funkcije pomaknute za vrijeme τ m jest , stoga je prijenosna funkcija člana s mrtvim vremenom slijedeća:

sme

sX

sYsG

τ−==)(

)()(

Odziv na pobudu u obliku odskočne funkcije:


Često procesi prijenosa materijala ili energije sadrže i obično kašnjenje prvog reda sa vremenskom konstantom τ, pa se općenitije mogu izraziti prijenosnom funkcijom člana s mrtvim vremenom i kašnjenjem prvog reda:

1)(

)()(

+

−==

s

sme

sX

sYsG

τ

τ

Odziv prethodnog člana pobudu u obliku jedinične odskočne funkcije jest:

x(t), y(t)

t0

y(t)

x(t)1

mτ

0,632

τ

ZAHTJEVI KOD VREMENSKOG ODZIVA

Osnovna svojstva odziva na odskočnu funkciju

• Da bi se odredili zahtjevi kod vremenskog odziva, može se koristiti pobuda u obliku odskočne funkcije (nije univerzalno pravilo, ali zahtjevi se najčešće definiraju upravo kao svojstva odziva na takvu pobudu)

• Na primjeru P2 definirati će se svojstva odziva:

190%

10%

Mp

%1±

tr t

p

ts

t

h(t)e

0

ZAHTJEVI KOD VREMENSKOG ODZIVA─ tr vrijeme porasta (rise time) – najčešće označava vrijeme potrebno daodziv sustava poraste od 10% do 90% svoje konačne vrijednosti.

─ ts vrijeme smirivanja (settling time) – označava vrijeme potrebno da seprijelazni dio odziva smanji na neku malu vrijednost, tako da odziv poprimigotovo ustaljenu vrijednost u stacionarnom stanju. Neka mala vrijednost možebiti različito pretpostavljena, ovdje je ± 1% (može biti i do ± 5%).

─ tp vrijeme maksimalnog prebačaja (peak magnitude time) – označavavrijeme maksimalnog prebačaja.

─ Mp maksimalni prebačaj (peak magnitude) – označava prebačaj odziva upostocima.

─ e0 trajno regulacijsko odstupanje (steady-state error) – predstavljaregulacijsku pogrešku u stacionarnom stanju.

Vremena imaju vremenske jedinice, dok su Mp i e0 dani najčešće u postocima. Uz navedena svojstva može se dodati i mrtvo vrijeme sustava τm, svojstveno sustavima reda višeg od dva.

Napominje se da zahtjevi mogu biti i drugačije definirani, pa je prilikom određivanja svojstava dinamičkog sustava potrebno obratiti pažnju i na definiranje samih svojstava.

ZAHTJEVI KOD VREMENSKOG ODZIVASvojstva odziva dana položajem polova

• Prethodno su dana svojstva kojima se može definirati odziv sustava. Sada će se ta svojstva povezati sa položajem polova sustava u Gaussovoj ravnini (neprigušena vlastita frekvencija ωn i stupanjprigušenja ζ ) .

• Napomena: dane veze vrijede samo ograničeno (sustav sa konjugirano-kompleksnim parom polova i bez konačih nula), ali ipak općenito daju dobar uvid o povezanosti vremenskog odziva i položaja polova sustava.

6.006.0

1

6.4

8.1

≤≤−≈

≈

≈

ζζ

ωζ

ω

zaM

t

t

p

ns

nr

Za željena svojstva odziva, iz prethodnog se dade pronaći gdje trebaju biti smješteni polovi sustava da bi se tražena svojstva postigla (ili nadmašila): )1(6.0

6.4

8.1

p

sn

rn

M

t

t

−≥

≥=

≥

ζ

ωζσ

ω

Vremenske jedinice su sekunde, a vrijednosti ωn i σ su rad/s.

ZAHTJEVI KOD VREMENSKOG ODZIVASvojstva odziva dana položajem polova

Prethodne nejednadžbe mogu se nacrtati u Gaussovoj ravnini. Presjek sva tri uvjeta (osjenčano sivom) predstavlja rješenje (naime, polovi smješteni u sivoj zoni predstavljali bi sustav koji bi imao svojstva odziva prema zahtjevima, ili bolje od njih):

nω

Re

Im

σ

ζ1sin−

23.10.2018.

22

REGULATORI

otvoreni vs. zatvoreni krug

RGR Go

Y

RGR Go

Y

-

a)

b)

REGULATORI

• Djelovanje poremećaja D i šuma V u krugu

RGR Go

Y

RGR Go

Y

-

a)

b)

D

D

V

REGULATORI

• može se uočiti da se kod upravljanja sa GR(s) ne može utjecati na poremećaj.

• kod povratne veze mehanizam smanjivanja djelovanja poremećaja na odziv jednak je kao kod smanjivanja utjecaja promjena na objektu regulacije. Dakle povećanjem |GOGR|, smanjuje se utjecaj poremećaja. Znači da je u slučaju otklanjanja poremećaja prednost zatvorenog kruga nad otvorenim.

• Ipak, potrebno je razmotriti i utjecaj mjernog šuma kod povratne veze. Toga nema kod otvorenog kruga, naprosto zato što se pretpostavlja da se ništa ne mjeri, jer to je svojstveno otvorenom krugu. Utjecaj šuma jest:

)()()( sDsGsY Oa =

)()()(

)()( sD

sGsG

sGsY

OR

Ob

+=

1

( ))()()()(1

)()()( sVsR

sGsG

sGsGsY

OR

ORb −⋅

+=

REGULATORI

• Dakle, mjerni šum pojavljuje se na odzivu preko iste prijenosne funkcije kao i ulazna veličina. Stoga će se smanjenje utjecaja šuma odraziti i na ulazni signal istim mehanizmom. Kako mjerni signal nikada u praksi nije idealan, pojačanje regulatora, ako ničim drugim, uvijek je ograničeno kvalitetom mjernog signala.

• U ovom poglavlju sljedeći su važni naglasci glede povratne veze:

─ Odziv u zatvorenom krugu manje je osjetljiv na promjene parametara sustava od odziva otvorenog kruga. Što je veće pojačanje regulatora, osjetljivost je manja.

─ U zatvorenom krugu može se utjecati na djelovanje poremećaja, za razliku od otvorenog kruga. Što je veće pojačanje regulatora, djelovanje poremećaja se smanjuje.

─ Kvaliteta mjernog signala ograničava pojačanja regulatora.

REGULATORI

U idealnom slučaju, neki regulator bi trebao zadovoljiti sljedeće zahtjeve:

1. Zatvoreni krug mora biti stabilan.

2. Utjecaj poremećaja treba biti minimalan.

3. Odziv na promjene vodeće veličine treba biti brz i ravnomjeran.

4. Odziv u stacionarnom stanju treba biti točan.

5. Potrebno je izbjeći pretjeranu aktivnost izvršnih organa.

6. Sustav regulacije treba biti što je moguće manje osjetljiv na promjene unutar kruga, te na nepreciznosti modela.

REGULATORI

R GR GoY

-

a)

b)

RGR

Go

Y-

R1Go2

Y1

-

c)

GR2 Go1GR1-

Y2R2

Smještaj regulatora unutar zatvorenog kruga:

a) u direktnoj vezi,

b) u povratnoj vezi

c) kaskadni regulator

23.10.2018.

23

REGULATORI

• Razlike se mogu uočiti na brojnicima prijenosne funkcije zatvorenog kruga.

• Teško se mogu dati neka opća načela glede pitanja smještaja regulatora, odnosno kada koji koristiti. To može ovisiti o vrsti sustava vođenja (da li je mehanički, hidraulički ili električni), o pitanjima regulacijskih uređaja i senzora koje se koriste, te o prethodnim iskustvima.

• Kaskadni regulator (c) ima vanjsku petlju sa regulatorom GR1 (master) koji daje nazivnu vrijednost unutarnjoj petlji sa ragulatorom GR2 (slave). Takva regulacija koristi se kada treba izolirati dinamiku jednog dijela upravljačkog sustava od drugog dijela cjelokupnog sustava. Naime, na taj način se može djelovati na neku promjenu u sustavu prije nego bi se djelovalo ako te interne petlje ne bi bilo, i tako se poboljšavaju svojstva sustava regulacije. To je određena alternativa unaprijednom upravljanju, ali tada treba poznavati, odnosno mjeriti poremećajne veličine.

)()()()(

)()(

)()(1

)()()(

sGsGsGsG

sGsG

sGsG

sGsGsG

brObrRnaOnaR

brObrR

OR

ORa

+=

+=

)()()()(

)()(

)()(1

)()(

sGsGsGsG

sGsG

sGsG

sGsG

brObrRnaOnaR

brOnaR

OR

Ob

+=

+=

REGULATORI

Unaprijedna veza (feedforward - FF )

)()(1

)()()(

)(

)(

sGsG

sGsGsG

sD

sY

OR

OFFD

+

+=

REGULATORI

Da bi se moglo uspješno ukloniti djelovanje poremećaja, potrebno je:

─ Mjeriti poremećajne veličine.

─ Kvaliteta upravljanja unaprijednom vezom ovisi o kvaliteti modela sustava. Štoviše, potrebno je poznavati također kako se sustav odazivlje na promjene poremećajnih veličina (u primjeru dano sa GD(s)).

Gore navedeno svakako predstavlja nedostatke unaprijedne veze.

No, i povratna veza ima nedostataka:

─ Radnja ispravljanja pogreške ne događa se prije nego se pogreška u izlaznoj varijabli dogodi. Stoga nije moguće idealno vođenje, u kojem uopće ne bi bilo razlike između izlazne varijable i željene vrijednosti.

─ Regulacija sustava sa dugim vremenskim konstantama ili mrtvim vremenom može dati nezadovoljavajuće rezultate.

─ Ako se izlazna varijabla ne može mjeriti, regulacija se ne može primijeniti (za ovu tvrdnju zanemaruje se pojam estimatora kod sustava sa više varijabli).

Stoga uspješno vođenje vrlo često objedinjava unaprijednu i povratnu vezu.

REGULATORI

• Dani su osnovni regulatori kojima se djeluje na regulacijsku pogrešku:riječ je o proporcionalnom (P), integralnom (I) i derivacijskom (D) regulatoru, gdje se I ili D regulator rijetko susreću samostalno, ali svojom kombinacijom tvore svugdje prisutni proporcionalno-integralno-derivacijski (PID) regulator.

• Česte su i kombinacije proporcionalno-integralnog (PI) i proporcionalno-derivacijskog (PD) regulatora. Ponegdje se ti regulatori vezuju uz pojam idealni, jer podrazumijevaju idealnu mogućnost izračuna derivacije i integrala regulacijske pogreške, svojstvenu primjeni digitalnih algoritama regulacije.

• Regulatori mogu biti sastavljenih od nekoliko umreženih elektroničkih (čak i pneumatskih ili mehaničkih) elemenata, koji aproksimiraju PD, PI ili PID djelovanje, a tada je često svojstven naziv lead (predvodeći), lag(zaostajući), odnosno lead-lag (predvodeći-zaostajući) regulator. Ti nazivi ukazuju na prirodu regulacijskih djelovanja, gdje se derivacijskim dijelom regulatora odgovara na tendenciju, trend regulacijske pogreške. Integralnim dijelom odgovara se na kumulativnu (zaostalu) vrijednost

pogreške tijekom nekog vremena.

REGULATORI

• Najosnovniji regulator: dvopoložajni (on-off)

<

>=

0za

0za

min

max

eu

euu

REGULATORI

Proporcionalno (P), derivacijsko (D) i integralno (I) djelovanje regulatora

RGR Go

Y

-

E U

∫=

=

=

t

ti

p

dp

p

dtteT

Ktu

dt

tdeTKtu

teKtu

0

)()(

)()(

)()(

sT

KG

sTKG

KG

i

pIR

dpDR

pPR

=

=

=

_

_

_

Pripadajuće prijenosne funkcije

23.10.2018.

24

REGULATORI

• Pojačanjem proporcionalnog djelovanja Kp ubrzava se odzivzatvorenog kruga (smanjuje vrijeme porasta tr), no pri tom se smanjujestupanj prigušenja ζ (za sustave drugog ili višeg reda) i tako povećavamaksimalni prebačaj odziva.

• Derivacijsko regulacijsko djelovanje reagira na tendenciju kretanjaregulacijske pogreške, odnosno njen trend, te time općenitopoboljšava stabilnost zatvorenog sustava. U kombinaciji saproporcionalnim, odnosno proporcionalno-integralnim djelovanjemsmanjuje maksimalni prebačaj i skraćuje vrijeme smirivanja odziva ts.

• Glavna svrha integralnog regulacijskog djelovanja je poboljšanjetočnosti zatvorenog kruga, to jest potpuno uklanjanje ili baremsmanjivanje trajne regulacijske pogreške. Ipak, to ide na teretugrožavanja stabilnosti sustava, odnosno povećanja prebačaja, tedužeg vremena smirivanja odziva zatvorenog sustava.

REGULATORI

• Proporcionalno-integralno-derivacijski (PID) regulator, ili njegove reducirane inačice poput proporcionalno-derivacijski (PD) ili proporcionalno-integralnog (PI) regulatora, svugdje su prisutne u svijetu automatizacije. Čak i vrlo složeni, napredni upravljački algoritmi, u pravilu sadrže osnovne elemente djelovanja PID regulatora. Ova kombinacija regulacijskih djelovanja svojim kompromisom često može dati prihvatljivu kvalitetu odziva. To jest, odziv će biti dovoljno brz i točan, sa dopustivim oscilacijama (prebačajem).

dt

tdeTKdtte

T

KteKtu dp

t

ti

pP

)()()()(

0

++= ∫

Kp je pojačanje proporcionalnog djelovanja, Td derivacijsko vrijeme ili

vremenska konstanta derivacije, a Ti integralno vrijeme ili vremenska

konstanta integracije. Umnožak KpTd ponegdje se označava sa Kd (pojačanje

derivacijskog djelovanja), odnosno Kp/Ti sa Ki (pojačanje integralnog

djelovanja).

REGULATORI

PID regulator:

EK

P

U

sTi ⋅

1

⋅d

T s

++= sT

sTKG d

iPPIDR

11_

REGULATORI

Primjer implementacije PID regulatora na digitalnom računalu:

−

∆+

∆++= ∑

=−

n

k

nnd

ki

nPn eet

Te

T

teKuu

1

1)(

t

ee

dt

de

tedtte

nn

t

t

n

k

k

∆

−≈

∆≈

−

=∫ ∑

1

10

)(

REGULATORI

PID, ilustracija djelovanja:

ry

REGULATORI


r

y

e

23.10.2018.

25

REGULATORI


r

y

REGULATORI


ry

K

REGULATORI


r

y

K D

REGULATORI


K y

r

e0

D

M

REGULATORI


K y

r

e0

D

M

a

b

Mv

V1

a

b

V2

K y

r

e0

D

M

a

b

Mv

V1

a

b

V2

REGULATORI

Načela podešavanja parametara PID regulatora

1. Za simulaciju jednostavnijih slučajeva mogu se slijediti ove smjernice: Iz odziva u otvorenom krugu odrediti što se treba popraviti.

2. Dodaje se P djelovanje radi poboljšanja brzine odziva (vremena porasta).

3. Dodaje se D djelovanje radi smanjenja oscilacija odziva (maks. prebačaja).

4. Dodaje se I dio radi uklanjanja trajnog regulacijskog odstupanja.

5. Podešavaju se parametri regulatora dok se ne dobije željeni odziv zatvorenog kruga.

++= sT

sTKG d

iPPIDR

11_

23.10.2018.

26

Tipične upute praktičnog podešavanja PID regulatora su sljedeće:

1. Uklanja se D i I djelovanje postavljanjem Td na minimalnu, a Ti na maksimalnu moguću vrijednost.

2. Kp se postavlja na neku malu vrijednost, a zatim se postupno povećava malim korakom do trenutka kada se pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

3. Kp treba smanjiti na polovinu vrijednosti.

4. Ti se smanjuje malim koracima dok se ponovno ne pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

5. Ti se postavlja na tri puta veću vrijednost.

6. Td se povećava malim koracima dok se ne pojavi odziv ravnomjernih oscilacija konstantne amplitude.

7. Td se postavlja na jednu trećinu te vrijednosti.

REGULATORI

Načela podešavanja parametara PID regulatoraSTABILNOST

• Za stabilnost sustava može se reći da je njegovo najvažnije svojstvo. Naime, ono je preduvjet ostalih važnih svojstava, poput točnosti ili brzine odziva, jer bez stabilnosti ostala pitanja postaju bespredmetna. Svojstvo stabilnosti nije svojstveno samo sustavima sa povratnom vezom.

• Razmatranje stabilnosti u ovom poglavlju odnosi se na linearne sustave

STABILNOSTDefinicija stabilnosti

• Stabilnost sustava može se opisati na više načina. Stabilan sustav može se smatrati onaj koji započinjanjem rada u blizini svoje radne točke, zauvijek i ostaje u njenoj okolini. Može se još reći, stabilan sustav je onaj čiji izlaz ostaje pod kontrolom cijelo vrijeme.

• Navedene tvrdnje potrebno je i formalno, matematički definirati.

• Postoji više matematičkih definicija stabilnosti. Često se koristi definicija ograničena pobuda – ograničeni odziv, to jest BIBO (bounded input – bounded output), ili ulazno-izlazna stabilnost koja kaže:

Stabilan sustav je onaj koji daje ograničeni odziv na bilo koju ograničenu pobudu, uvjetno stabilan sustav je onaj koji daje ograničeni odziv na neke, ali ne sve, ograničene pobude, a nestabilan sustav je onaj koji daje neograničen odziv na svaku ograničenu pobudu različitu od nule.

STABILNOST

Ograničena i neograničena pobuda:

Udio u definiranju stabilnosti linearnih sustava ima i pitanje ograničene i neograničene pobude. Njihovo definiranje povezano je sa definicijom ograničenog i neograničenog signala: ograničeni signal jest onaj čija vrijednost (magnituda) nikada ne prelazi neku pretpostavljenu konačnu vrijednost. Odnosno signal x(t) ograničen je onda i samo onda ako postoji konstanta Mx takva da je |x(t)| ≤ Mx za -∞ < t < ∞.

STABILNOST

Primjer neograničenog i ograničenog signala dan je slijedećim izrazima:

gdje su X0 i τ konstante, a u(t) je jedinična odskočna funkcija.

)()( 0 tut

Xtxτ

=)()(cos)( 0 tutXtx ω=

t

x(t)

OXMx

τ

Ograniceni

Neograniceni

TOČNOST

• Jedna od važnih osobina sustava sa povratnom vezom svakako je njegova točnost.

• Svojstva dinamičkog sustava koja su se razmatrala prethodno, vezana su uz prijelazne pojave. Točnost sustava, ili njeno naličje, trajno regulacijsko odstupanje, vezane su uz stacionarno stanje dinamičkog sustava, od nosno vrijeme kada prijelazne pojave nestanu. U literaturi na engleskom jeziku uglavnom se susreće pojam trajnog regulacijskog odstupanja ili pogreške (steady-state error), a rjeđe točnosti sustava (accuracy).

• Uz točnost može se povezati partikularni integral (stacionarno rješenje) diferencijalne jednadžbe. Za analizu točnosti sustava, osim sustava samog važna je i pobuda. Za različite pobudne funkcije isti sustav imati će različita trajna regulacijska odstupanja. To je ono što razlikuje analizu točnosti od analize stabilnosti, gdje pobuda ne utječe na rješenje o tome da li je sustav stabilan ili ne.

• Pri tom treba imati na umu da analiza točnosti vrijedi samo za stabilne sustave!

23.10.2018.

27

TOČNOSTAnalitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja

Na primjeru zatvorenog kruga sa jediničnom povratnom vezom mogu se dati upute za analitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja,

ili trajne regulacijske pogreške.

RG

OY

-E

)()(1

)()(

)(1

)(

)(

)()( sR

sG

sGsY

sG

sG

sR

sYsG

o

o

o

o

+=⇒

+==

)()(1

1)()()( sR

sGsYsRsE

o+=−=

• Trajno regulacijsko odstupanje e0 definira se kao razlika između nazivne i izlazne veličine kako t → ∞. Dakle, da bi se trajno regulacijsko odstupanje izračunalo pomoću izraza s prethodne stranice, koji je u s području, koristi se teorem konačne vrijednosti. Teorem predstavlja jedno od niza svojstava Laplaceove transformacije.

• Teorem konačne vrijednosti glasi:

)(lim)(lim0

sFstfst →∞→

=

Primjena teorema daje izraz za trajno regulacijsko odstupanje:

)(1

)(lim)(lim)(lim

000

sG

sRssEstee

osst +===

→→∞→

TOČNOSTAnalitičko izračunavanje trajnog regulacijskog odstupanja

Documents

MEHATRONIKA - titan.fsb.hrtitan.fsb.hr/~jpetric/Predavanja/HVU/MEHATRONIKA_HVU_(I dio).pdf · proizvodnih procesa, što podrazumijeva znanje osnovnih pojmova iz mehatronike, poznavanje