1

ELEKTROTEHNIKA I ELEKTRI ČNI

STROJEVI

LITERATURA:

A - ELEKTROTEHNIKA: Essert, Walter: Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1990. C - ELEKTRIČNI STROJEVI I POGONI: Skalicki, Grilec: Električni strojevi i pogoni, FSB Zagreb, 2005. LABORATORIJSKE I AUDITORNE VJEŽBE: Vježbe iz elektrotehnike, elektronike i električnih strojeva,

skripta FSB, 2008.

A – OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

SADRŽAJ:

Električna svojstva tvari Elektrostatika Istosmjerne struje Elektromagnetizam Prijelazne pojave Izmjenične struje i trofazni sustav

2

ELEKTROTEHNIKA I ELEKTRONIKA - Z

LITERATURA:

A - ELEKTROTEHNIKA: Essert, Walter: Osnove elektrotehnike, SNL Zagreb, 1990. B - ELEKTRONIKA: Grilec, Zorc: Osnove elektronike, Školska knjiga Zagreb, 2002. LABORATORIJSKE I AUDITORNE VJEŽBE: Vježbe iz elektrotehnike, elektronike i električnih strojeva,

skripta FSB, 2008.

A – OSNOVE ELEKTROTEHNIKE

SADRŽAJ:

Električna svojstva tvari Elektrostatika Istosmjerne struje Elektromagnetizam Prijelazne pojave Izmjenične struje

3

I. ELEKTRI ČNA SVOJSTVA TVARI

Atom Bohrov model

jezgra, ljuske

- staze elektrona su kvantizirane

- apsorbiranje ili emitiranje energije

promjena staze Nabojska ravnoteža atoma

Q0 = 1,6 * 10 -19 [C]

mp = 1,67 * 10 -27 [kg]

me = 9,11 * 10 -31 [kg]

4

Vanjski energetski utjecaji 1. uzbuñeni atom – neutralan

elektron apsorbira energiju

elektron emitira energiju

Iznos emitirane energije:

h – Planckova konstanta h = 6,623 * 10-34 [Js]

f – frekvencija zračenja [Hz]

Wp – razina energije više kvantne staze [J]

Ws – razina energije niže kvantne staze [J]

Elektroni u zadnjoj ljusci (valentni elektroni) su najslabije

vezani za jezgru i o njima najviše ovise kemijska i električna

svojstva tvari. Gubitkom elektrona dobije se ionizirani atom.

2. ionizirani atom – poremećena nabojska ravnoteža

Rad ionizacije H : 2,17 * 10-18 [J]

Ioni, «elektronski plin» električna struja

s

p

J

h * f = W p - Ws

5

Svojstva vodi ča, izolatora i poluvodi ča

Valentni elektroni sudjeluju u voñenju struje

Vodiči :

metali: ionska rešetka + slobodni elektroni

elektroliti: spontana disocijacija, anioni (-), kationi(+)

ionizirani plin: struju vode pozitivni ioni i elektroni

Izolatori :

Potrebna je velika energija za ionizaciju

Čvrsta atomska veza (kovalentna)

Poluvodi či :

Energija ionizacije Ge 0,75 eV

Si 1,2 eV

1 eV = 1,6 * 10-19 [J]

4 elektrona u vanjskoj ljusci.

6

Si

Si

Si

SiSi

Generiranje parova elektron – šupljina ( 1012 : 1 )

Vlastita vodljivost poluvodiča je mala i ovisna o temperaturi,

povećava se 3 i 5 valentnim primjesama.

II. ELEKTROSTATIKA

Elektrostatika razmatra statička nabijena tijela

Okolina nabijenog tijela – posebno stanje prostora

Električno polje Ev

je vektorsko polje sila [V/m]

Linije polja – silnice Osnovni efekt električkog polja: sila na naboj

Sila Fv

na naboj Q koji se nalazi u električnom polju Ev

Fv

= Q ⋅ Ev

[N]

7

Fv

Fv

Ev

Q

Ev

Zakon toka

Gustoća naboja dA

dQD =

2m

As

+Q

+Qi-Qi

-Q

dA

dQ

Ev

Ev

8

dADQA∫=

D opisuje influencijsko djelovanje, ovisi i o smjeru te

poprima vektorski karakter: Dv

je kolinearan sa Ev

.

Dv

= vektor ( gustoće ) elektičnog pomaka

Za zatvorene plohe – zakon toka

Nabijene paralelne ploče: A

QD = (homogeno polje!)

Nabijena kugla:

Q

R R0

Dv

Adv

QAdDA

=∫vv

9

∫ =A

QAdDvv

simetrija (D=konst.)!

QdADA

=∫ ∫ =A

RdA 24π

Za R = R0 204 R

QD

π=

Za R < R0 D = 0 jer je Q = 0 unutar kugle.

Zakon omjera i dielektri čka konstanta

ε=E

Dv

v

Za vakuum: 12

0 10854,8 −⋅== εε

m

F

Dielektrička konstanta za neku tvar: rεεε ⋅= 0

m

F

Elektri čni potencijal

+QA

B

WA

WB

WC

s

dllll sdvαααα

Ev

sdFdWv

v

= sdEQdWv

v

=

24 R

QD

π=

10

∫∞

=A

dsQEW αcos ∫∞

−=A

A dsEQW αcos

∫ ∫−=−== dsEEdlVQ

WsA

A [ ]V električki potencijal

dl

dVE −=

Ekvipotencijalne linije ( plohe ): WA, WB, WC

Razlika potencijala = napon UAB = VA - VB

Potencijalna energija naboja

Iz ∫−= αcosdsQEW i ∫−= αcosdsEV dobivamo

potencijalna energija naboja Q u točki s potencijalom V Razlika potencijala – napon

A B

VA VB

ds

d

DEvv

,

dvije paralelne ploče = homogeno polje!

QVW = [ ]J

11

+Q -Q

d

-+U

DEvv

,

ε

[ ]VdEdsEUVVB

A

ABBA ∫ ===− αcos

=m

V

d

UE

Rad naboja pri kretanju u homogenom polju

∫=B

A

dsQEW αcos ∫=B

A

dsEU αcos

1eV = 1,6 • 10-19 [J]

Kondenzatori

ε⋅== EA

QD dEU ⋅=

Ud

AAEADQ ⋅⋅=⋅⋅=⋅= εε

Kapacitet [ ]Fd

AC ⋅= ε UCQ ⋅=

Simbol kondenzatora:

Jedinice: pFnF, µF, ( 10-6 F, 10-9 F, 10-12 F )

Svojstvo akumulacije naboja (nabijanje i izbijanje)

[ ]JUQW =

12

PARALELNI SPOJ KONDENZATORA

Isti napon na kondenzatorima U = U1 = U2 = U3

Q1 = C1U Q2 = C2U

Q3 = C3U Qp = CpU

Qp = Q1 + Q2 + Q3

UCCC ⋅++=⋅ )(U Cp 321

SERIJSKI SPOJ KONDENZATORA

Isti tok naboja kroz sve kondenzatore

Qs = Q1 = Q2 = Q3

1

11 C

QU =

2

22 C

QU =

3

33 C

QU =

S

SS C

QU = uz U = U1 + U2 + U3

3

3

2

2

1

1

C

Q

C

Q

C

Q

C

Q

S

S ++=

+

-

UC1 C2 C3

Q1 Q2 Q3

+++

∑= nC CP

+ U

C1 C2 C3

Q1 Q2 Q3

+++

-

U1 U2 U3

∑=nS CC

11

13

MJEŠOVITI SPOJEVI KONDENZATORA

SSP CCC 21 ||=

PS CCC )(1 −−=

SCC =

ENERGIJA NABIJENOG KONDENZATORA

duCdQ ⋅=

duuCudQdW ⋅⋅=⋅=

[ ]∫ =⋅⋅=

U

JCU

duuCW0

2

2

+ U

C1

C2 C3

-

C4 C5

C1S

C2S

C1 Cp C

+ U- + U

-

Cp

14

III. ISTOSMJERNA STRUJA

Struja: usmjereno gibanje naboja

trenutni iznos – označavanje malim slovima

- za struju je neophodno: električko polje i slobodni naboji

Smjer struje je po definiciji smjer električnog polja

Za trajnu struju

potrebno je trajno polje ( napon ) iz izvora napona.

Idealni naponski izvor Idealni strujni izvor

Efekti elektri čne struje:

- zagrijavanje vodiča – Joulova toplina

- stvaranje magnetskog polja

- prijenos tvari u elektrolitima

- svjetlosno zračenje pri prolazu kroz plin

dt

dQi =

[ ]At

QI =

15

Ohmov zakon

U napon na krajevima vodiča

R otpor vodiča, G vodljivost, ρρρρ specifični otpor materijala

A I

llll

+ -U

∫ ⋅==−=B

A

BA lEdlEVVU

I R

U-+

→ proporcionalnost

napona i struje

otpor je konstanta za

većinu materijala

I

U

R1

R2

RIUR

UI

A

lR

RG

⋅==

== ρ1

16

TEMPERATURNA OVISNOST ELEKTRI ČNOG OTPORA

Povećanje otpora R s temperaturom izražava se pomoću

temperaturnog koeficijenta otpora - α .

Povećanje otpora:

( ) CRR o20000=−⋅⋅=∆ ϑϑϑαϑ

Ukupni iznos otpora Rϑ kod 0ϑϑ >

( )[ ]

( ) [ ]Ω∆⋅+⋅⋅=

−+=∆+=

ϑαρ

ϑα

ϑ

ϑϑϑ

1

20100

AR

RRRR

l

ELEKTRIČNI IZVORI

1. KEMIJSKI – kemijska energija pretvara se u električku

(galvanski elementi i akumulatori)

2. GENERATORI – mehanička radnja

(princip elektromagnetske indukcije)

3. TERMOELEMENTI – toplinska energija

4. FOTOELEMENTI – svjetlosna energija

17

ELEKTROKEMIJSKE POJAVE

Elektrolit

+ -

METALNE ELEKTRODE + ELEKTROLIT + NAPON U

ELEKTROLITI: otopine soli i kiselina – dogaña se

spontana elektrolitička disocijacija. Prolaz struje preko:

(+) kationa – vodik (H+) i atomi metala

(-) aniona – kisik (O--) i ostaci kiselina

Primjena:

- GALVANOSTEGIJA: oplemenjivanje površine radi

zaštite ili ukrasa

- GALVANOPLASTIKA: nanošenje tanke presvlake od

metala na površinu

- DOBIVANJE I ČIŠĆENJE METALA: izvodi se u

elektrolitskim kupkama

- IZRADBA IZVORA EMS: galvanskih elemenata i

akumulatora (ponovo punjivih elemenata)

18

FARADAYEVI ZAKONI ELEKTROLIZE

govore o taloženju tvari na elektrodama

I. zakon

aaaa – elektrokemijski ekvivalent

⋅⋅= −

Askg

n

Aa 8100365,1

A – atomska masa

n – valencija tvari

Q – naboj

G - masa

II. zakon

[ ]kgQaG ⋅=

2122

11

2

1

2

1 QQuznA

nA

a

a

G

G===

19

PRIMARNI GALVANSKI ELEMENTI

A) Leclancheov element

U= 1,5V

B) Alkalna baterija

elektrolit je kalijev hidroksid

U= 1,5V, – veći kapacitet

Naboj Q [Ah] = I * t (“kapacitet”)

SEKUNDARNI GALVANSKI ELEMENTI Olovni akumulator (U= 2V)

422 2 SOHPbPbO ++ −+

pun

prazan

OHPbSOPbSO 244 2++ −+

MnO 2

C

Zn

Amonijev klorid

NH4Cl

MnO2

KOH

Zn

H2SO4

PbO

2Pb

AK

Trošilo

20

Vrste akumulatora: olovni (2V), Ni-Cd (1.2V), NiMH (1.2V) ,

Li-ion (3.6V)

Svojstva baterija: radni napon, kapacitet, samopražnjenje,

energija/ volumen, energija/ težina, broj ciklusa

JEDNOSTAVNI STRUJNI KRUG

izvor

trošilo R

sklopka

-pojednostavljena shema:

E R UT=IR

I

TTi UQEQ ⋅=⋅ Ti QQ =

naponapadRIR

EIRIEUE T −⋅=→⋅==

Realno UT < E zbog otpora izvora RU i otpora vodova RV

21

KIRCHHOFFOVI ZAKONI (K.Z.)

- element: izvor, otpornik, kondenzator

- stezaljke elemenata: 2

- čvorište: spoj ≥ 3 stezaljke

- grana: veza 2 čvorišta pomoću elementa

- serijski spoj elemenata: po 2 stezaljke spojene

- paralelni spoj elemenata: > 1 grana izmeñu 2 čvorišta

- mreža: skup čvorišta i grana

- petlja: zatvorena linija

I K. Z. za čvorište

∑ = 0I

54321 IIIII ++=+

II K. Z. za bilo koju petlju

∑ ∑ ⋅= RIE

I1

I2

I3

I4

I5

22

Primjer: rješavanje mreža

Zadano:

E1, E2, R1, R2, R

I1, I2, I = ?

a) primjena I K.Z. na jednom čvorištu

1. pretpostavljaju se smjerovi struja

2. ∑ = 0I (1. jednadžba)

b) 2x primjena II K.Z. za dvije petlje

1. smjer obilaženja petlje (po volji)

2. smjer djelovanja EMS (prema obilaženju)

3. predznak padova napona (prema struji)

4. ∑ ∑ ⋅= RIE (2x 2. i 3. jednadžba)

5. interpretacija predznaka struje

I1 + I2 - I = 0

I1R1 - I2R2 = E1 – E2

I2R2 + IR = E2

E1 E2

R1 R2

R

I1

I2

I

I1I2

I

23

SPAJANJE OTPORNIKA

Serijski spoj (ista struja kroz sve elemente):

R1 R2

U

R3

U2U1 U3I

U

RS

I

Ω . Z.: U1=IR1 U2=IR2 U3=IR3

II K.Z. : U = I ( R1 + R2 + R3 )

U = I RS

RS = R1 + R2 + R3

Paralelni spoj (isti napon na svim elementima):

I

R1R2R3

I3 I1I2

U RP U

I

I K.Z. : I = I1 + I2 + I3

Ω . Z. : 1

1 R

UI =

22 R

UI =

33 R

UI =

32 R

U

R

U

R

U

R

U

P

++=!

∑=i

iP GG

∑=i

iS RR

∑=i iP RR

11

24

Vanjska karakteristika realnog naponskog izvora

( ) ?IfU =

URIEU ⋅−=

1=+

UR

EI

E

U

Struja kratkog spoja:

UK R

EI =

U

I

U

I

RU

E

I

U

I

U

E

IK

idealni izvor napona

25

a) prazni hod EU,I ==→ 0

b) normalni pogon EURI U ≈→≈> 00,

c) normalni pogon EURI U <→>> 00,

d) kratki spoj 0=+ VT RR

UK R

EIU == ,0

Osigurači štite u slučaju kratkog spoja

REALNI STRUJNI KRUG

RT

E

I

U UT

RU

2VR

2VR

22VV

V

RRR += , TT UIR = , UIRE U =−

TVU IRIRIRE ++= (II K.Z.)

TVU RRR

EI

++=

26

SPAJANJE IZVORA EMS

SERIJSKI SPOJ IZVORA:

R1 R2 R3 Rn

E

I

E2 EnE1E3

nEEEEE ++++= K321 (daje veći napon)

nIIIII ===== K321 (struja je ista)

niU RRRRRuzRnR =====⋅= K321

PARALELNI SPOJ (jednakih) IZVORA:

E1 E2 En

I1 I2 In

I

E

nIIIII ++++= K321 (daje veću struju)

nEEEEE ===== K321 (naponi trebaju biti isti)

nii

U RRRRRuzn

RR ====== K321

27

DJELITELJ NAPONA (POTENCIOMETAR)

ILI:

ATB

TBekv RRR

RRE

R

EI

++⋅

==.

( )TB

TBTBT RR

RRIRRIU

+⋅⋅=⋅= ||

koristi se za regulaciju snage na trošilu

MJERENJE NAPONA I STRUJE

Instrument s pomi čnim svitkom i trajnim magnetom Računanje i/ ili mjerenje:

I, U, R, P …….

Galvanometar skala, kazaljka, otklon α

Mjerno područje max α

Primjer: Ig = 3mA, Rg = 20 Ω

Ug = IgRg = 60 mV

E

RA

RB RTUT

I

E R

RT

x=0

x=1

RgIg

Ug=RgIgG

28

Mjeri napon ili struju

Mjerenje struje

kAA KKµ

A

I

RA 0

AMPERMETAR SE SPAJA SERIJSKI U STRUJNI KRUG

Mjerenje napona

IV 0

Univerzalni instrument ima više područja za mjerenje

napona i struje (istosmjerno/ izmjenično) te mjerenje otpora

VOLTMETAR SE SPAJA PARALELNO U STRUJNI KRUG

AI

RA,UAU RT

V

RTRV

VU

IV

IT

29

4132 RRRR ⋅=⋅

MJERENJE OTPORA

Metode:

U-I metoda, Omometar, izvorom konstantne struje, W. most

Wheatstone most

21

2

RR

RUU A +

=

43

4

RR

RUU B +

=

+−

+⋅==−

43

4

21

2

RR

R

RR

RUUUU ABBA

Izmeñu A i B spoji se galvanometar, zatim se promjenom

jednog od otpora postigne ravnoteža

RAD I SNAGA ISTOSMJERNE STRUJE

[ ]JUQW ⋅= Rad

R1

R2

R3

R4

A BU

→→= ravnotežaUAB 0

→⋅= tIQ [ ]JtIUW ⋅⋅=

30

t

WP = Snaga

Pomoću Ω - zakona na otporniku

[ ]

[ ]WR

URIP

JtR

UtRIW

22

22

=⋅=

⋅=⋅⋅=

Korisnost električkih ureñaja:

PT – korisna snaga trošila

PG – snaga gubitaka

Pretvorba električne energije:

- mehanički rad (motori)

- toplina (Jouleova toplina)

- kemijska energija (akumulator, proizvodnja aluminija,..)

- svjetlosna energija (rasvjeta), itd…

[ ]WIUP ⋅=

GT

T

Utrošeno

Korisno

PP

P

P

P

+==η

31

IV. ELEKTROMAGNETIZAM

Naboj u gibanju stvara naročito stanje prostora

magnetsko polje

Osnovni učinci magnetskog polja:

1) sila na naboj u gibanju

2) elektro-magnetska indukcija

Jakost magnetskog polja Hr

= polje sila [ ]mA

desni!

I

H

I

I

Ulazi u ravninu

Iz ravnine premapromatraču

32

∫ ∑=l

IldHvv

Zakon protjecanja

Zakon protjecanja

21 IIldHl

−=∫vv

0

1

=∫l

ldHvv

Polje ravnog vodi ča

I1 I2

lr

d

l

Hr

l1

dl1

I

H

Rx

H

llll

33

=m

A

x

IH

π2

Polje izvan vodi ča

Simetrija (H = konstanta)

Polje unutar vodi ča

homogena

struje, gustoću

aprotjecanj z.2

2

2

ππ

π

xJI

R

IJ

IxH

Rx

x

x

⋅=

=

=⋅<

∫ =⋅→= → IxHIdlH π2

Rx >

Rx

Ix

Hx

llll

⋅=m

A

R

xIH

22π

34

H

xR

m

A

[ ]m

R

I

π2

Polje prstenastog svitka

∫ ⋅=

=

NIHdl

lRπ2

Polje je homogeno

Nehomogeno polje postoji kod ravne zavojnice:

R

N

H

I

llll

⋅=m

A

l

NIH

35

Magnetska indukcija B

[ ]

=⋅=2m

VsTHB

vv

µ permeabilitet

HBvakuumvv

⋅= 0µ:

=

= −

Am

Vs

m

H70 104πµ

za bilo koja tvar: HB r

vv

⋅⋅= 0µµ

∫ ∫==ΦA A

dABAdB αcosvv

magnetski tok

llll

A

Bv

Av

d

αααα

36

samo za homogeno polje (B= konstanta):

[ ]

AB

WbAB

Φ=

⋅=Φ= :0α

Magnetski tok Φ je ukupni tok silnica kroz neku površinu,

magnetska indukcija B je gustoća toka

Magnetsko polje nastaje u:

- vodičima – zbog gibanja naboja (unutar i izvan vodiča)

- izolatorima – zbog posmačnih struja

- kod trajnih magneta – zbog elementarnih struja

- zemljinoj kugli (polovi N S)

37

Djelovanje magnetskog polja - sila na naboj u gibanju, npr. sila na vodič kroz koji teče

struja (primjena u elektromotorima)

- pojava elektro-magnetske indukcije – inducira se napon

ako se vodič giba u stalnom magnetskom polju ili je pod

utjecajem promjenjivog magnetskog polja (primjena u

generatorima i transformatorima)

1. Sila na naboj u gibanju

αsinBvQF ⋅⋅=

Pravilo lijeve ruke

)( BvQFv

vv

×=

B

Fv

Q+ α Bv

Fv

vv

38

Sila na vodi č protjecan strujom

t

lvtIQ =⋅= ,

αsin⋅⋅⋅= BlIF

2. Elektro-magnetska indukcija

Sila na naboj:

)( BvQFv

vv

×=

Grupiranje naboja

- elekt. polje (inducirano):

BvE

EQFv

vv

vv

×=⋅=

e= inducirani napon (EMS)

B

I

F

BlIFvvv

×=

F

Bv

β

α

l

+

-

βα

βαβ

cossin

cossincos

lBveFF

l

uQEQF

BvQFF

=→′′=′

⋅=⋅=′′

⋅=⋅=′

39

Pravilo desne ruke:

B

lv

Inducirana EMS promjena magnetskog toka

BlvlBve =⋅×=vv

v

)(

Površina A se smanjuje za

ldxdA =

tok se mijenja za

BdAd −=Φ

→==Φ−

−=−=Φ→

evlBdt

d

dtvlBdxlBd

lBvevv

v ⋅×= )(

iiii

A

llll

B

dx

[ ]Vdt

de

Φ−=

40

Mogućnosti za indukciju napona:

- gibanje vodiča

- gibanje magnetskog polja (vodič miruje)

- promjena iznosa toka (vodič i polje miruju)

Lenz-ovo pravilo – smjer inducirane struje uvijek je takav

da se suprotstavlja uzroku koji ju je proizveo.

Struja što bi je potjerao napon e stvara dodatni magnetski

tok koji je suprotan primarnoj promjeni toka ,Φd pa ju

želi kompenzirati.

Samoindukcija

- induciranje EMS zbog promjene vlastite struje (toka)

Koeficijent samoindukcije:

D

llll

iiii

e N

A

dt

di

l

ANe

l

iNHHB

ABdt

dNe

s

s

⋅−=

=⋅=

⋅=ΦΦ−=

2µ

µ

dt

diLes ⋅−=

see =

==A

sVH

l

ANL

2µ

41

Magnetska energija zavojnice

za stvaranje polja dtiedW ⋅=

[ ]∫∫∫⋅====

ITT

JIL

diiLdtdt

diiLdteiW

0

2

00 2

Meñuindukcija – magnetska veza dvaju zavojnica

dt

diM

dt

di

l

ANNe 1121

2 −=⋅−= µ

meñuinduktivitet

Primjena meñuindukcije - transformacija napona:

llll

A

iiii1111

llll1N1

iiii2222

llll2N2

µµµµ

td

d 1111ΦΦΦΦ

l

iNH

HB

ABdt

dNe

111

11

11

122

=

⋅=⋅=Φ

Φ−=

µ

[ ]Hl

ANNM 21µ=

42

Induciranje harmoni čkog napona

za 0=ϕ kroz svaki zavoj prolazi mφ

dlBABm =⋅=φ

za tωϕ =

tmm ωφϕφφ coscos ==

)sin( tdlBNeNdt

de ωωφ −−=→−=

[ ]VtEtdlBNe m ωωω sinsin ==

dt

dNe

dt

dNe

122

111

Φ−=

Φ−=

2

1

2

1

N

N

e

e =

N

d

llll

B

ωωωω

ϕϕϕϕ

( )φφφφtdt

d

zavojaN

dlA

ϕϕω →=

⋅=

43

Magnetska svojstva tvari

U elektrostatici vektori: DiEr→

U magnetizmu vektori: HiBrv

Vakuum:

⋅== −

m

H

H

B 700 104πµµ

Ostale tvari: rH

B µµµ 0==

- vakuum i nemetali: 1=rµ

- dijamagnetski materijali: ( )99990

1

,:Cur <µ

- paramagnetski materijali: ( )000021

1

,:Alr >µ

- feromagnetski materijali: ( )K,,, NiCoFer 1>>µ

kod feromagnetskih materijala rµ je velik ali zavisi o:

iznosu polja H, prethodnom magnetiziranju, temperaturi

afrekvencijT

f

periodT

1

2

=

=ωπ

T

Em

[ ]Ve

[ ]st

44

Krivulja (prvog) magnetiziranja Fe materijala

Više teorija za objašnjenje feromagnetskih svojstava:

- teorija elementarnih magneta

- teorija domena

Elementarne kružne struje u kristalnoj strukturi tvore

slučajno orijentirana polja koja se pod djelovanjem

vanjskog polja usmjeruju. Kad su sva polja domena već

usmjerena na isti način nastupa zasićenje.

0 1 2 3 4

1

B

H

Fe-Si lim

permaloy

lijevano željezo

[ ]T

m

A310

Hv

45

Krivulja histereze feromagnetskog materijala

Struja i stvara polje:

Za povećanje indukcije za dB treba uložiti rad:

lAdBH

N

lHi

ABdt

de

dtiedW ⋅⋅=⋅=

⋅=

=

== φ

φ

Po jedinici volumena ( )VlA =⋅

dBHV

dWdW ==1

Za jedan ciklus proñe se čitava petlja histereze – utrošena

energija proporcionalna je površini petlje histereze:

iiii e

N

llll

A

~

H

Hc

Br

B

H

dB

l

NiH

⋅=

46

= ∫ 31 m

JdBHW

.

Ukupni gubici: [ ]WmBfkP mh ⋅⋅⋅= 21

PRIJELAZNE POJAVE

Obuhvaćaju dogañaje u strujnom krugu od ukapčanja do

stacionarnog stanja.

Ukapčanje R-L spoja

Konačna vrijednost I= E/R

E

S

R

Les

i(t)

ICitza

CIi

C

Ii

tL

R

C

Ii

CtL

RIi

dtL

R

dt

di

R

LiI

IR

ERiR

dt

diLE

iReE

tL

R-

tL

R-

s

−=→==+=

=−

−=−

+−=−

−=

⋅=−

=⋅=−

⋅=+

∫

0;0

e

e

exp/ln

ln)ln(

/I-i

di

varijabli

separacija/

,:/

i

t

0,63I

Lττττ

I

47

[ ]AeIit

L

R

−⋅=

−1

vremenska

konstanta

za Iit L ⋅=→= 630,τ

za Iit L ≈→⋅≥ τ5

Iskapčanje R-L spoja

Po Lenzovom zakonu zavojnica generira takav es da se protivi smanjenju struje Može se pokazati da je:

[ ]sR

LL =τ

−⋅=

−L

t

eIi τ1

E

S

R

L

i(t)

es

R

LeIi L

t

L =⋅=−

ττ ;

i

t

0,37I

Lττττ

I

48

Ukapčanje R-C spoja

Kondenzator se poste-

peno nabija na napon E

preko otpornika R.

CRCR duCdQdt

dQiRiuuuE ⋅==⋅=+= ;;:supst.|

dobije se:

Cττττ = vremenska

konstanta

E

S

R

CuC

uR

i(t)

R

uEiuERi C

C

−=−=⋅

E

t

0,63E

Cττττ

uc

CRC ⋅=ττττ

−⋅=

−⋅=

−−C

t

RC

t

C eEeEu τ11

49

Iskapčanje R-C spoja

Konedenzator se

izbija preko otpor-

nika.

UCQdt

dQiRiuuu RCR ⋅==⋅=+= ,,:supst.|0

dobije se:

Cττττ = vremenska

konstanta

E

S

R

CuC

uR

i(t)

CReEeEu C

t

RC

t

CC ⋅=⋅=⋅=

−−ττ

E

t

0,368E

Cττττ

uc

50

( )/2cos121

sin/sin 2 xxtEe m −== ω

V. IZMJENI ČNE STRUJE

tEe m ωsin=

fT

ππω 22 ==

Efektivna vrijednost izmjeni čne struje E

daje isti toplinski efekt kao istosmjerna struja

TR

EW ⋅=

2

Posebno za sinusni napon:

e

Em

t

T

ER

Re

∫⋅=T

dteT

E0

21

∫=T

dtR

eW

0

2

51

Dobije se: Instrumenti baždareni su na efektivne vrijednosti Efektivne vrijednosti pišu se bez indeksa!

mm E

EE 7070

2,==

Faza i razlika faza

0=== etEe m 0, tzasinω tω fazni kut ili faza KKK °°° 7203600

vrijeme 0, T, 2T, …

( ) ( )

0zaa

sin0zasin

==

−==−=

it

IittIi mm

ωϕ

ϕϕω

Struja i zaostaje za kut ϕ prema naponu e ϕ : razlika faza ili fazni pomak

[ ] [ ]AI

IVE

E mm

22== ;

e

Em

t

E

52

e,iEm

e

i

i′

tωϕϕ ′ ππ2

( )ϕω ′+′= tIi m sin' - struja prethodi naponu za ϕ ′

Metode ra čunanja s harmoni čkim veli činama

1. grafička

2. vektorska

3. simbolička

4. analitička

• -Kirchhoffovi zakoni vrijede za trenutne vrijednosti i za

vektore/ kompleksne brojeve

• -Ohmov zakon ZU

I = za impedancije i za trenutne

vrijednosti na otporu

Primjer zbrajanja: ( )111 sin ϕω += tEe m

( )222 sin ϕω += tEe m

53

a) grafička metoda

e = e1 + e2

e1

e2

e

tω1ϕϕ2ϕ

)sin( 1 ϕϕω ++= tEe m ϕimE se odrede mjerenjem

b) vektorska metoda

ϕimE se odrede mjerenjem ϕϕω ++ 1t

2ϕω +t

1ϕω +t

ϕEm1

Em2

Em

54

Uobičajena pojednostavljenja:

1. efektivne vrijednosti umjesto maksimalnih

2. promatra se jedan trenutak

3. jedna od veličina je referentna (tj. u apscisi za t = 0)

4. zbrajanje trokutima vektora umjesto paralelogramom

5. označavanje vektora velikim slovima sa strelicom

c) simbolička metoda - primjenom kompleksnog broja za

prikaz vektora

( ) ϕϕϕ ϕ ∠==+⋅=+= ZZejZjXR jsincosZ

Zbrajanje:

2E

1E

E

2ϕϕ

|ZZZZ|=Z

ϕ Re

Im

R

X

ϕϕ

ϕ

sincos

argument

modul

1122

2

⋅=⋅=

=

+==

−=−=

ZXZRR

Xarctg

XRZ

jj

Z

( ) ( )212121

222111

XXjRR

jXRjXR

++++++

===

ZZ

ZZ

55

Re

i

Množenje i dijeljenje je lakše s oblikom ϕ∠Z

( )

212

1

22

11

2

1

2121221121

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−∠=∠∠

=

+∠=∠⋅∠=⋅

Z

Z

Z

Z

ZZZZ

Z

Z

ZZ

U simboličkoj metodi isti su oblici rezultata (zakona) kao

kod istosmjerne struje (Ohmov i Kirchhoffovi zakoni).

Jednostavni izmjeni čni strujni krug a)

Nema pomaka faze izmeñu napona i struje!

u

i

( )

R

EI

R

EI

tIR

tE

R

ei

Rie

mm

mm

z

==

===

⋅= Ω

ωωsin

sin

iznosetrenutneza

I ε

0=ϕ

56

Les

e

ib)

Struja zaostaje za naponom za 90 stupnjeva!

- idealna zavojnica!

c)

( )

( )

[ ]AtIi

otporX

tX

Ei

tL

Ei

diLdttE

dt

diLeee

m

L

L

m

m

m

s

−=

→

−=→

−=

=

=−=+

∫

2sin

induktivni

2sin

cos

/sin

00

πω

πω

ωω

ω

mL

m

L

IX

E

XfLL

=

== πω 2

u

i

Im

ε

e

i

C

+=

+=

==

==

2

21

πω

πω

ω

ωω

ω

tIi

t

C

Ei

tCEdt

dQi

tCECeQ

m

m

m

m

sin

sin

cos

sin

57

Usporedba:

Otpornik: otpor radni−⋅=→= RRIEIR

Em

m

Zavojnica: otpor jalovi−⋅=→= LLmL

m XXIEIX

E

Kondenzator: otpor jalovi−⋅=→= CCmC

m XXIEIX

E

Serijski RLC spoj

mC

m

C

IX

E

XC

=

=ω

1 Im

ε

RI

EL

C

LL IXE =

IRER =

CC IXE =

ϕ

I

ECL XX >

58

Ohmov zakon za izmjeni-

čnu struju

( )22CLS XXRZ −+= impedancija serijskog spoja

Napon prethodi struji (zbog CL XX > ) za:

R

Xarctg

RC

Larctg

E

EEarctg

R

CL =−

=−= ωω

ϕ

1

Za CL XX =

CLCL

⋅=→= 11 ω

ωω

serijska rezonancija

444 3444 21

S

22

Z

1

−+⋅=C

LRIEω

ω

2

222 1

⋅−+=

CILIRIE

ωω

LC EE =

EER = I

59

Paralelni RLC spoj

impedancija paralelnog

RLC spoja

R

XL

E

XC

IR

IL

IC

pZ

EI =

ϕR

EI R =

E

CC X

EI =

LL X

EI =

2

2

111

1

−+

=

CL

P

XXR

Z

2

2

22222

111

)(

−+⋅=

−+

=−+=

CL

CLCLR

XXREI

X

E

X

E

R

EIIII

−=−

=−= CL

arctgR

R

EC

E

L

E

arctgI

IIarctg

R

CL ωω

ωωϕ 11

60

Paralelna rezonancija:

Serijski RLC spoj (simboli čka metoda)

( )CL

CCCCCC

LLLLLL

RR

XXjIIR

jEjIXXIXI

jEjIXXIXI

ERIRI

s −+=⋅

−=−=−∠⋅=⋅−∠⋅∠=⋅=

==∠⋅=∠⋅∠=⋅=

∠=∠⋅=⋅∠=⋅=

ZJ

XJ

XJ

RJ

220

220

000

ππ

ππ

ε

εε

LCXX CL

1== ω

R L C

JJJJ

ZsZsZsZs

ε ε

JJJJ

Cε

ϕ

Lε

ε

Rε JJJJ

sZ⋅= Jε CLR εεεε ++=

.. ZΩ ... ZKII

61

R

L

C

JJJJR

JJJJL

JJJJC

εJJJJ

trokut impedancije

Za: 0>→> ϕCL XX : napon prethodi struji

(induktivni karakter spoja)

0<→< ϕCL XX : struja prethodi naponu

(kapacitivni karakter spoja)

Za: 0=→= ϕCL XX : Rs =Z

serijska rezonancija

LCC

L11 =→= ω

ωω

Paralelni RLC spoj (simboli čka metoda)

( )CL XXjRs −+=Z

( )22CLs XXRZ −+=

R

XXarctg

E

EEarctg CL

R

CL −=

−=ϕ

R

jXL

-jXC

ϕ

ZZZZs

εRR

ε=J

LL

X

ε=J

CC

X

ε=J

pZZZZ

ε=J

ϕ

62

Paralelna rezonancija:

CLR JJJJJJJJJJJJJJJJ ++=

CL jXjXRp

−++== εεεε

ZJJJJ

−+

=−

++=

LC

CL

XXj

R

pjXjXRp 111

11111Z

Z

22111

1

−+

=

LC

p

XXR

Z

R

XXarctg

I

IIarctg CL

R

CL

1

11 −=−=ϕ

RZLC

XX

p

CL

=

=→= 1ω

63

Snaga izmjeni čne struje

( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )[ ]

[ ] Tperiodu u Radcos

/2coscos

coscos21

2

/coscos21

sinsin/

sin2

sin2

0

JTIEW

dttEIdW

dtttttEIdW

dtiedW

tIi

tEe

T

⋅⋅⋅=

−−=

−+−+−⋅=

+−−=

⋅⋅=−=

=

∫

ϕ

ϕωϕ

ϕωωϕωω

βαβαβα

ϕωω

prosječna snaga:

[ ] snaga radnacos WIEPT

WP ϕ⋅⋅==

Faktor snage, radna, jalova i prividna snaga

IE ⋅ prividna snaga

ϕcos faktor snage

[ ][ ][ ] prazna snaga, jalova sin

snaga prividna

prava snaga, radna cos

VARIEP

VAIEP

WIEP

Q

S

ϕ

ϕ

⋅=⋅=

⋅=

64

trokut snage:

22

QS PPP +=

trenutna snaga:

0 1cos za =→= ϕϕ

tIEp ωϕϕ 2900 sincos ⋅⋅−=°== , za

prosječna snaga P = 0

ϕ

PS

P

PQ

( )[ ]ϕωϕ −−⋅⋅== tIEdt

dWp 2coscos

t

e

i

p

ϕcos⋅⋅= IEP

[ ]tIEp ω2cos1−⋅⋅=

t

e

i p+ +

--

65

Za istu radnu snagu P, pri većem kutu ϕ raste PQ, PS, te

struja I. Time rastu gubici u vodovima.

Popravak cosϕ kompenzacija

Problemi distribucije električne energije

plaća se

ne plaća se

3280950

95018

,),(arccos

,cos

==°

tg

Dodaje se kondenzator paralelno induktivnom trošilu radi

popravka cosϕ

ϕ EIR

IIL

PQ

P

PS

°=18ϕP,W

PPQ %8,32≤

66

Dodatak 1

TROFAZNI SUSTAV

Prednosti: - ušteda bakra za vodove - konstantan dotok energije - rotirajuće magnetsko polje

Simetri čni trofazni sustav - jednaki naponi

- jednake razlike faza

°==

===

1203

2321

πα

ffff EEEE

( )

−=

−=

=

3

4sin2

3

2sin2

sin2

3

2

1

πω

πω

ω

tEe

tEe

tEe

f

f

f

αα

α

Ef3

Ef2

Ef1

67

Nevezani trofazni sustav Generator se sastoji od tri nezavisna statorska namota razmaknuta °120

R1(Z1)

R3(Z3)R2(Z2)

e3

e2

e1

i1

i3

i2

6 vodiča!

Uz: R1= R2= R3 i1+ i2+ i3=0 (Z1= Z2= Z3)

Uz:

( )

−−=

−−=

−=

3

42

3

22

2

3

2

1

πϕω

πϕω

ϕω

tIi

tIi

tIi

f

f

f

sin

sin

sin

1321

321

ϕϕϕϕ ===

=== ffff IIII

( ) 03

4sin

32

sinsin2

321

=

−−+

−−+−=

=++=

πϕωπϕωϕω tttIi

iiii

f

( ) βαβαβα sincoscossinsin −=−

68

Dokaz tvrdnje: i1+ i2+ i3 a) grafički za

t

i i1 i2 i3

02

T T

b) vektorski: 0≠ϕ

I1+ I2+ I3=0

∑ ==

t svaki za 0

0

i

ϕ

I3+I2

I3

I1

I2

E1

E2

E3

ϕ

69

Vezani trofazni sustav a) Zvijezda spoj

e1

e3

e2

b) Trokut spoj

e1

e3

e2

Uobičajeno: generator spojen u

trošila spojena u ili

70

Nulvodi č

R1 R2

R3

e1

e3

e2

i3

i1

i2

i0

0

R0

0V ′0V

0′

( )

321

00

0321321

00000

321321

00

0

Trošilo

fff EEE

VV

iiiiiii

RVVVV

RRRRRR

≠≠′≠

=−++=++≈′≅′=

≠≠==

nulvodičabez

nonesimetričsimetrično

71

Fazne i linijske veli čine

U namotajima generatora induciraju se fazni naponi i

njima teku fazne struje.

E – linijski napon

I – linijska struja

Ef – fazni napon

If – fazna struja

Na otporima trošila

postoje fazni naponi i

njima teku fazne struje

22

222

3

)120cos(2

f

ffff

EE

EEEEE

=

°−+=

I

I

I

If

Ef If

Ef If

Ef IfA

C

B

E

EE

1fE2fE

3fE

B

A

C

E

1fE

2fE

3fE

°120

fE⋅= 3E

72

Zvijezda Trokut

f

f

II

EE

=

= 3

f

f

II

EE

3=

=

Snaga trofaznog sustava

( )

−−=

−−=

−=

=

=

==

++=

3

4sin2

3

2sin2

sin2

3

4sin

3

2sin

sin2sin

3

2

1

3

2

1

332211

πϕω

πϕω

ϕω

tIi

tIi

tIi

πωt-Ee

πωt-Ee

ωEωtEe

ieieiep

f

f

f

mf

mf

fmf t

snaga trenutna

ff I,E

ff I,E

73

( ) ( )( )( ) βαβαβα

βαβαβα

sinsincoscoscos

coscossinsin

+=−

+−−=2

1

ϕcos3 ff IEp= trenutna snaga p ne ovisi o vremenu!

[ ][ ] veličine linijske

veličine fazne

WUIP

WIEP ff

ϕ

ϕ

cos3

cos3

=

=

<kraj dijela A>

10.7.2011