Mehanika tla – VEŽBA 10 1 · Mehanika tla – VEŽBA 10 5 opterećeno dodatnom spoljašnjom silom aktivnog pritiska Ea na vertikali 1-1 (B-D): Kako sada klizni krug prolazi samo

Mehanika tla – VEŽBA 10

1

STABILNOST KOSINA

U inženjerskoj praksi se za analizu stabilnosti kosina tradicionalno primenjivao determi-nistički pristup, zasnovan na metodi granične ravnoteže. Problem granične ravnoteže se svodi na određivanje odnosa između raspoložive smičuće čvrstoće i prosečnog smičućeg napona (mobilisane čvrstoće) koja je potrebna da hipotetičko klizno telo održi u ravnoteži. U determinističkoj analizi se neodređenost (nepouzdanost) ulaznih veličina ne uzima u obzir, već se vrednosti parametara tla, opterećenja i geometrije kosine unose kao poznate, konstantne veličine. Međutim, računska analiza stabilnosti kosina može se tačnije izvršiti primenom probabilističkih metoda modeliranja, umesto determinističkih. Probabilistički koncept u analizi stabilnosti kosina omogućuje da se uzme u obzir neodređenost ulaznih parametara i da se kvantifikuje verovatnoća pojave loma u kosini (nivo rizika). Umesto jedne (determinističke) vrednosti ulaznog podatka, primenjuje se raspodela verovatnoće za opis raspona mogućih vrednosti svakog parametra i verovatnoće njihove pojave. Evrokod 7 tretira prostornu promenljivost i neodređenost svojstava tla kao značajne za geo-tehničke analize stabilnosti i preporučuje da se ti uticaji uvedu u proračune primenom statističkih i probabilističkih metoda (Onisiphorou, 2011). Jedan od načina da se to uradi je primena karakterističnih vrednosti parametara tla, koje proističu iz statistike na osnovu velikog obima in-situ i laboratorijskih ispitivanja (Davidović, 2014). Prilikom proračuna prema Evrokodu 7 koriste se proračunske (projektne) vrednosti parametara tla, opterećenja i uticaja. Ove vrednosti se određuju tako što se stvarni parametri tla redukuju (umanjuju), dok se opterećenja i uticaji uvećavaju odgovarajućim parcijalnim faktorima sigurnosti. Na ovaj način je ceo proračun na strani sigurnosti, pri čemu parcijalni faktori sigurnosti obezbeđuju „pokrivanje“ nepouzdanosti ulaznih podataka. Proračunske vrednosti svih veličina prema Evrokodu imaju indeks d (=Design), dok se svi parcijalni faktori sigurnosti u Evrokodu označavaju grčkim slovom gama (γ). Svaki parcijalni koeficijent sigurnosti ima i odgovarajući indeks, koji pokazuje na koju veličinu se odnosi. Evrokod 7 predviđa da se analiza stabilnosti kosine može proveriti na tri različita načina (projektna pristupa). Svakom projektnom pristupu odgovara određen set parcijalnih faktora sigurnosti za opterećenja, otpornost i parametre materijala. Prema predlogu našeg nacionalnog aneksa za Evrokod 7, deo 1, za dokaz graničnih stanja kod stabilnosti kosina koristi se projektni pristup 3. Analiza stabilnosti kosina se prema Evrokodu 7 sprovodi i dokazuje na sledeći način:

d dT R

tj. proračunska vrednost (nepovoljnih) dejstava Td mora biti manja od proračunske vrednosti (povoljnih) otpornosti Rd.


2

Parcijalni faktori sigurnosti za projektni pristup 3 prikazani su u sledećoj tabeli:

γ projektni pristup 3

Parametar na koji se odnosi

γG 1.00 Stalno opterećenje γQ 1.30 Povremeno opterećenje γφ’ 1.25 Ugao unutrašnjeg trenja za efektivne napone γc’ 1.25 Kohezija za efektivne napone γcu 1.40 Nedrenirana kohezija γγ 1.00 Zapreminska težina tla γR,e 1.00 Opšta stabilnost kosina

Proračunske vrednosti dejstava moraju se odrediti uzimajući u obzir prirodu i trajanje opterećenja. Generalno, opterećenja mogu biti stalnog ili povremenog karaktera. Kako su parcijalni faktori sigurnosti različiti za opterećenja stalnog i povremenog karaktera, neophodno je da pravilno poznajemo i definišemo prirodu opterećenja koja uvodimo u proračun. Stalna opterećenja prema Evrokodu imaju indeks G, a povremena opterećenja imaju indeks Q. Važno je napomenuti da se navedeni parcijalni faktori sigurnosti za stalna i povremena opterećenja (γG, γQ) odnose na proračun geotehničkih dejstava (dejstava u tlu), a ne dejstava na konstrukcije. Proračunska vrednost dejstva usled kojeg dolazi do klizanja mase tla (Td) se određuje kao suma momenata svih nepovoljnih spoljašnjih sila oko centra kliznog kruga O. U najopštijem slučaju, uvek prisutno spoljašnje opterećenje je sila sopstvene težine, koja je po prirodi STALNO OPTEREĆENJE, pa se proračunska vrednost nepovoljnih dejstava u najopštijem može odrediti na sledeći način:

, ,

,

d O G G i i G G i ii i

d G G i ii

T M W x W x

T W x

gde je:

γG Parcijalni faktor sigurnosti za stalna opterećenja (geotehnička dejstva) WG,i Sopstvena težina lamele (i) xi Krak sopstvene težine lamele (i) u odnosu na centar kliznog kruga

Prema metodi lamela, proračunska otpornost lamele na klizanje može se odrediti prema sledećem izrazu, koji važi za svaku lamelu:

, , ,, , , ,

, ,

tantand i d i d i i

d i d i d i d i iR e R e

N c l RR R N c l


3

gde je:

Nd,i’ proračunska vrednost efektivne normalne sile na donju ivicu lamele (i) cd,i', ϕd,i’ proračunske vrednosti parametara smičuće čvrstoće u dnu lamele (i) li dužina donje ivice lamele (i) ,R e parcijalni faktor sigurnosti za opštu stabilnost kosine

R poluprečnik kliznog kruga Ukupna otpornost kosine na klizanje može se odrediti kao suma otpornosti na klizanje za svaku lamelu:

,,

tand d i d d di iR e

RR R N c l

Za analizu stabilnosti mase vodom zasićenog sitnozrnog tla u nedreniranim uslovima može se primeniti ϕu=0 metoda. U tom slučaju je kohezija jednaka nedreniranoj koheziji cu, a ugao unutrašnjeg trenja je jednak nuli. U ovom slučaju se ukupna otpornost kosine na klizanje može odrediti prema sledećem izrazu:

,, ,

tan0 tan 0

ud d d d u d

i iu u R e R e

c c R RR N c l c l

gde je cu,d proračunska vrednost nedrenirane kohezije tla. Ukoliko je nedrenirana kohezija konstantna duž čitavog kliznog kruga, izraz se može dodatno pojednostaviti:

, ,,

, , ,

,

,

u d u dd u d

i iR e R e R e

u

u dd

R e

Rc Rc LRR c l l

c Const

Rc LR

gde je L dužina kružnog luka kružno-cilindrične klizne površi. U nastavku su prikazana tri primera analize stabilnosti kosina primenom ϕu=0 metode. Kao i u slučaju analize potpornih zidova, ovde će se razmatrati samo ravanski problemi, pod pretpostavkom ravnog stanja deformacije. Analiza se zato može izvršiti na nivou poprečnog preseka.


4

1. Nasip od krupnozrnog materijala izgrađen je na sloju meke gline. Ispitati stabilnost nasipa analizom kliznog kruga datog na skici. Pretpostaviti da na vertikali 1-1 deluje sila aktivnog zemljanog pritiska u horizontalnom pravcu. REŠENJE: Pre početka analize, potrebno je proveriti da li je moguće primeniti ϕu=0 metodu. Da bi ova metoda mogla da se primeni, potrebno je da ceo pretpostavljeni klizni krug prolazi kroz tlo u nedreniranim uslovima, sa parametrima cu i ϕu=0. U ovom slučaju, pretpostavljeni klizni krug možemo prikazati na sledeći način:

Deo kliznog kruga B-C prolazi kroz tlo u dreniranim uslovima, što u najopštijem slučaju znači da ϕu=0 metoda ne bi mogla da se primeni za rešavanje ovog zadatka. Međutim, radi pojednostavljenja proračuna, eksplicitno je u tekstu zadatka zahtevano da se uticaj kliznog tela iznad NPV zameni dejstvom sile aktivnog pritiska koja deluje horizontalno na vertikalu 1-1. Ovim se eksplicitno pretpostavlja da je nepovoljno dejstvo sopstvene težine kliznog tela iznad NPV jednako nepovoljnom dejstvu sile aktivnog pritiska na vertikali 1-1. Prema uslovima zadatka, problem se sada svodi na analizu stabilnosti kliznog tela A-B-D, kod kojeg klizni krug A-B sada prolazi samo kroz tlo u nedreniranim uslovima, i koje je


5

opterećeno dodatnom spoljašnjom silom aktivnog pritiska Ea na vertikali 1-1 (B-D):

Kako sada klizni krug prolazi samo kroz tlo u nedreniranim uslovima, metoda ϕu=0 može da se primeni. Analiza se dalje svodi na određivanje i upoređivanje proračunskih vrednosti nepovoljnih dejstava Td i otpornosti kosine na klizanje Rd. 1. Proračunska vrednost nepovoljnih dejstava Td U ovom slučaju, nepovoljna dejstva (dejstva koja dovode do rušenja kosine) su momenti oko centra kliznog kruga (tačka O), usled sledećih sila:

Sila sopstvene težine kliznog tela (UVEK PRISUTNA, STALNO OPTEREĆENJE) Sila aktivnog pritiska na vertikali 1-1 (takođe STALNO OPTEREĆENJE)

Proračun ovih sila se izvodi primenom proračunskih vrednosti parametara tla. 1.1 Proračunske vrednosti parametara tla:

' '

'

tan ' tan 30tan 0.462 arctan 0.462 24.79

1.25d d

31818 /

1.00d kN m

2,

1812.86 /

1.4u

u dcu

cc kN m

1.2. Sila sopstvene težine kliznog tela Kao u slučaju analize stabilnosti potpornih zidova, sila sopstvene težine se određuje kao površina figure tela Ai pomnožena odgovarajućom zapreminskom težinom tla. Za proračun se koristi proračunska vrednost zapreminske težine tla (γd=γ/γγ):

Wi = Ai γd Prilikom određivanja sile sopstvene težine, proračun se može pojednostaviti tako što se iz proračuna eliminišu delovi figure koji su simetrični u odnosu na osu koja prolazi kroz centar


6

kliznog kruga. Rezultanta ovih figura nalazi se u osi simetrije, pa prolazi kroz centar kliznog kruga i time ne proizvodi nikakav nepovoljni momenat (tj. krak te sile jednak je nuli). U ovom slučaju možemo sa skice zaključiti da je kružni odsečak ispod NPV simetričan u odnosu na osu koja prolazi kroz centar kliznog kruga (jer tačke A i B leže na istoj horizontali, pa je trougao ABO jednakokraki trougao). Sila sopstvene težine se onda može odrediti kao površina pravouglog trougla ABD, pomnožena zapreminskom težinom tla iznad NPV. Položaj sile sopstvene težine prikazan je i kotiran na sledećoj skici:

1

9 3 18 243 /2GW kN m xW = 1.5 m

1.3. Sila aktivnog pritiska Sila aktivnog pritiska određuje se potpuno isto kao u slučaju analize stabilnosti potpornih zidova (Vežba 9), pa će se ovde prikazati u skraćenom obliku:

1 sin ' 1 sin 24.79

0.4091 sin ' 1 sin 24.79

da

d

K

' 2 ' 'a v a a va aK c K K p p

13 22.09 33.14 /

2aE kN m

Krak sile aktivnog pritiska zEa možemo odrediti iz trougla ABO. Visina ovog trougla je:

2 22 2 2 9

8 6.6142 2

1.0 5.614aE

ABh R h m

z h m


7

1.4. Proračunske vrednosti dejstava Kako su sila sopstvene težine i sila aktivnog pritiska po prirodi STALNA opterećenja, proračunska vrednost njihovog nepovoljnog dejstva Td određuje se sa parcijalnim faktorom sigurnosti za stalna dejstva γG:

1.00 243 1.5 33.14 5.614 550.55 /

ad G O G G W a Ei

d

T M W x E z

T kNm m

2. Proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd Proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd određuje se prema sledećem izrazu:

,

,

u dd

R e

Rc LR

gde je: R Poluprečnik kliznog kruga cu,d Proračunska vrednost nedrenirane kohezije L Dužina kružnog luka γR,e Parcijalni faktor sigurnosti za opštu stabilnost kosine

Proračun u ovom slučaju svodi se na određivanje dužine kružnog luka L, koju možemo odrediti prema izrazu:

180

RL

, gde je α zahvaćeni ugao kružnog luka.

Zahvaćeni ugao kružnog luka možemo odrediti iz trougla ABO:

4.5sin 0.5625 arcsin 0.5625 34.23

2 2

68.46

8 68.469.56

180 180

R

RL m

Proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd:

,

,

8 12.86 9.56983.53 /

1.00u d

dR e

Rc LR kNm m

Kontrola stabilnosti: Td < Rd Stabilnost kosine je zadovoljena (Td < Rd)


8

2. Za klizni krug na skici odrediti potrebnu veličinu opterećenja q u nožici kosine, tako da bude zadovoljen uslov opšte stabilnosti u skladu sa EC7. U proračunu pretpostaviti pojavu pukotine dubine Hc. Parametri tla: γz=21kN/m3, ϕu=0, cu=20kN/m2

REŠENJE: Na početku analize treba proveriti da li je moguće primeniti ϕu=0 metodu. Sa skice se vidi da klizni krug u potpunosti prolazi kroz tlo koje je u nedreniranim uslovima, što je neophodan uslov za primenu ϕu=0 metode. U ovom primeru nepoznato opterećenje q u nožici kosine deluje POVOLJNO, tako što smanjuje ukupna nepovoljna dejstva Td (momente spoljašnjih sila). Nepoznato opterećenje q figuriše u veličini Td i odredićemo ga iz opšteg uslova stabilnosti Td < Rd. 1. Proračunske vrednosti parametara tla

3,

2121 /

1.00z

z d kN m

2,

2014.29 /

1.4u

u dcu

cc kN m

2. Proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd Potrebno je sa skice odrediti poluprečnik kliznog kruga R i dužinu kružnog luka L. Na sledećoj skici prikazana je osnovna geometrija razmatrane kosine, koja se može odrediti direktno sa crteža:


9

Trouglovi OAG i OGC su jednakokrako-pravougli trouglovi (visina OG=7 m), pa su uglovi ovih trouglova 45/45/90°. Hipotenuza ovih trouglova je poluprečnik kliznog kruga R. Odatle imamo: α1 = α2 = 45°.

2 27 7 7 2 9.90R AO m Ugao α3+α4=45° (dopuna do pravog ugla GOH). Za nastavak proračuna potrebno je odrediti dubinu pukotine Hc. Dubina pukotine u nedreniranom tlu može se odrediti prema sledećem izrazu:

,

,

2 2 14.291.361

21u d

cz d

cH m

Sada možemo odrediti ugao α4 iz trougla OEH:

4 4

3 4

1 2 3

1 1.361 1sin 0.2385 arcsin 0.3175 13.80

7 245 31.20

7 2 45 45 31.220.94

180 180 180

cHHE

ROE

RRL m


,

,

7 2 14.29 20.942962.25 /

1.00u d

dR e

Rc LR kNm m


1

3. Proračunska vrednost nepovoljnih dejstava Td Nepovoljna dejstva Td su momenti sledećih spoljašnjih sila:

Sila sopstvene težine kliznog tela (UVEK PRISUTNA, STALNO OPTEREĆENJE) Sila usled hidrostatičkog pritiska vode u pukotini (STALNO OPTEREĆENJE) Sila usled opterećenja q (STALNO OPTEREĆENJE, POVOLJNO DEJSTVO)

3.1. Sila sopstvene težine kliznog tela Prilikom određivanja sile sopstvene težine, proračun se može pojednostaviti tako što se iz proračuna eliminišu delovi figure koji su simetrični u odnosu na osu koja prolazi kroz centar kliznog kruga. U ovom slučaju možemo sa skice zaključiti da je kružni odsečak ispod NPV simetričan u odnosu na osu koja prolazi kroz centar kliznog kruga. Položaj elementarnih figura i komponentalnih sila sopstvene težine prikazan je i kotiran na sledećoj skici. Deo kružnog luka CE možemo aproksimirati pravom linijom.

Za dalji proračun neophodno je da odredimo dužinu horizontalnog dela kliznog tela (deo DF). Ova dužina može se odrediti iz katete pravouglog trougla OEH:

2 2 2

2 2 2 22 27 1 7 1 49 2 1.361 1 9.614

2.614

c c

OH HE R

DF H R DF R H m

DF m

Komponentalne sile sopstvene težine: Komponentalne sile sopstvene težine dobijaju se množenjem površine elementarnih figura zapreminskom težinom tla γz,d. S obzirom da se figure nalaze iznad NPV, proračun se vrši sa punom, a ne sa potopljenom vrednošću zapreminske težine tla.


1

1,

112 6 21 756 /

2GW kN m trougao BCD xW1 = 3.0 m

2, 2.614 1.361 21 74.71 /GW kN m pravougaonik IEFD xW2 = 8.307 m

3,

12.614 4.639 21 127.33 /

2GW kN m trougao IEC xW3 =7.871 m

3.2. Sila usled hidrostatičkog pritiska vode u pukotini Ukoliko se u tlu pojavi vertikalna pukotina i ispuni se vodom, u pukotini se javlja hidrostatički pritisak vode pw = Hc γw. Rezultanta hidrostatičkog pritiska Pw deluje u težištu dijagrama:

1.361 9.807 13.34

11.361 13.34 9.08 /

2

w c w

w

p H kPa

P kN m

zPw = 1.907 m

3.3. Sila usled opterećenja q Sila usled nepoznatog opterećenja q deluje u težištu dijagrama. Dejstvo ove spoljašnje sile je POVOLJNO, jer smanjuje vrednost spoljašnjih nepovoljnih momenata Td.

xq = 6.0 m 3.4. Proračunske vrednosti nepovoljnih dejstava Td Kako su sve sile po prirodi STALNA opterećenja, proračunska vrednost njihovog nepovoljnog dejstva Td određuje se sa parcijalnim faktorom sigurnosti za stalna dejstva γG, kao moment svih sila oko centra kliznog kruga O:

1, 1 2, 2 3, 3 2

1.00 756 3.0 74.71 8.307 127.33 7.871 13.34 1.907 2 6 3916.27 12

wd O G G W G W G W w P qi

d

T M W x W x W x P z q x

T q q

Izjednačavanjem sa Rd i rešavanjem po q, dobijamo vrednost nepoznatog opterećenja q:

3916.27 12 2962.25 3770.81 2962.25 12

3770.81 2962.2567.38

12

d dT R

q q

q kPa

q = 67.38 kPa


1

3. Ispitati stabilnost nasipa analizom kliznog kruga datog na skici. Pretpostaviti da na vertikali 1-1 deluje aktivni pritisak tla u horizontalnom pravcu. Parametri tla su dati na skici.

REŠENJE: Na početku analize treba proveriti da li je moguće primeniti ϕu=0 metodu. Kao u primeru 1, radi pojednostavljenja proračuna, eksplicitno je u tekstu zadatka zahtevano da se uticaj kliznog tela iznad NPV zameni dejstvom sile aktivnog pritiska koja deluje horizontalno na vertikalu 1-1. Ovim se eksplicitno pretpostavlja da je nepovoljno dejstvo sopstvene težine kliznog tela iznad NPV jednako nepovoljnom dejstvu sile aktivnog pritiska na vertikali 1-1. Problem se sada svodi na analizu stabilnosti kliznog tela A-B-C-D, kod kojeg klizni krug sada prolazi samo kroz tlo u nedreniranim uslovima, i koje je opterećeno dodatnom spoljašnjom silom aktivnog pritiska Ea na vertikali 1-1 (C-D):


1

1. Proračunske vrednosti parametara tla

' '

'

tan ' tan 42tan 0.720 arctan 0.720 35.77

1.25d d

32020 /

1.00d kN m

211,

2517.86 /

1.4u

u dcu

cc kN m

222,

107.14 /

1.4u

u dcu

cc kN m

2. Proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd S obzirom da nedrenirana kohezija nije konstantna, proračunska vrednost otpornosti na klizanje Rd određuje se prema sledećem izrazu:

, 1, 1 2, 2, ,

1, 1 2, 2,

d u d u d u diR e R e

d u d u dR e

R RR c l c L c L

RR c L c L

gde su L1 i L2 dužine kružnih lukova kroz slojeve 1 (CI) i 2 (CL). Na sledećoj skici prikazana je osnovna geometrija razmatrane kosine, koja se može odrediti direktno sa crteža:

’ Trouglovi OAE i OED su jednakokrako-pravougli trouglovi (visina OG=6.5 m), pa su uglovi ovih trouglova 45/45/90°. Hipotenuza ovih trouglova je poluprečnik kliznog kruga R. Odatle imamo:


1

2 26.5 6.5 6.5 2 9.19R AO m

α1 + α2 = 90° Ugao α2/2 možemo odrediti iz pravouglog trougla OFI:

2 22

1 2

6.5 2 8.5cos 0.925 arccos 0.925 22.38 44.76

2 26.5 2

90 45.24

OI

ROF

Dužine kružnih lukova:

11

22

6.5 2 45.247.26

180 180

6.5 2 44.767.18

180 180

RL m

RL m


1, 1 2, 2,

6.5 217.86 7.26 7.14 7.18 1663.17 /

1.00d u d u dR e

RR c L c L kNm m

3. Proračunska vrednost nepovoljnih dejstava Td U ovom slučaju, nepovoljna dejstva (dejstva koja dovode do rušenja kosine) su momenti oko centra kliznog kruga (tačka O), usled sledećih sila:

Sila sopstvene težine kliznog tela (UVEK PRISUTNA, STALNO OPTEREĆENJE) Sila aktivnog pritiska na vertikali 1-1 (takođe STALNO OPTEREĆENJE)

3.1. Sila sopstvene težine kliznog tela Prilikom određivanja sile sopstvene težine, proračun se može pojednostaviti tako što se iz proračuna eliminišu delovi figure koji su simetrični u odnosu na osu koja prolazi kroz centar kliznog kruga. Položaj elementarnih figura i komponentalnih sila sopstvene težine prikazan je i kotiran na sledećoj skici. Na skici je osenčen simetrični deo kliznog tela koji možemo eliminisati iz proračuna.


1

Komponentalne sile sopstvene težine:

1,

14 3 20 120 /

2GW kN m trougao xW1 = 3.5 m

2, 2 4 20 160 /GW kN m pravougaonik xW2 = 5.5 m

3.2. Sila aktivnog pritiska:

1 sin ' 1 sin 35.77

0.2621 sin ' 1 sin 35.77

da

d

K

' 2 ' 'a v a a va aK c K K p p

1

4 20.96 41.92 /2aE kN m

zEa = 5.167 m

3.3. Proračunske vrednosti nepovoljnih dejstava Td Kako su sve sile po prirodi STALNA opterećenja, proračunska vrednost njihovog nepovoljnog dejstva Td određuje se sa parcijalnim faktorom sigurnosti za stalna dejstva γG, kao moment svih sila oko centra kliznog kruga O:

1, 1 2, 2

1.00 120 3.5 160 5.5 41.92 5.167 1516.60 /

ad O G G W G W a Ei

d

T M W x W x E z

T kNm m


1

Kontrola stabilnosti:

Td < Rd

Ne postoji opasnost od klizanja kosine ZBIRKA: zadaci 10.4, 10.7, 10.8, 10.9 NAPOMENA: U Zbirci zadataka iz osnova mehanike tla (Poglavlje 10) se analiza stabilnosti kosina sprovodi računajući faktor sigurnosti za pretpostavljenu kliznu površ (klizni krug). S obzirom da je primena standarda za Evrokodove postala obavezujuća, analizu stabilnosti kosina ϕu=0 metodom je potrebno sprovoditi u skladu sa ovde prikazanim postupkom.

Documents

Mehanika tla – VEŽBA 10 1 · Mehanika tla – VEŽBA 10 5 opterećeno dodatnom spoljašnjom silom aktivnog pritiska Ea na vertikali 1-1 (B-D): Kako sada klizni krug prolazi samo