a) Castiglijanova metoda:

Reakcije u osloncima:

Momenti savijanja:

Izraunavanje progiba u toki C:

Ope rjeenje:

Numerko rjeenje:

Izraunavanje nagiba u toki D:

Ope rjeenje:

Numeriko rjeenje:

b) Vereaginova metoda:

U ovoj metodi integriranje se svodi na mnoenje povrine momentnog dijagrama (fiktivne sile) s ordinatom jedininog momentnog dijagrama ispod teita te povrine (fiktivne sile).Ovaj nain rjeavanja predstavlja Vereaginovu metodu, prema kojoj se progib i nagib na mjestu djelovanja jedinine sile Fi = 1, odnosno jedininog sprega sila Mi = 1, raunaju na osnovi ovih izraza:

(1)

Gdje su MTF i MTM ordinate jedininih momentnih dijagrama koji pripadaju jedininoj sili

Fi = 1, odnosno jedininom spregu sila Mi = 1. Znak pokazuje da treba uzeti zbrojeve umnoaka lijevo i desno od presjeka u kome djeluje jedinina sila odnosno jedinini spreg.

Ope rjeenje:

Numeriko rjeenje:

Zadatak 2:Kruna ploa polumjera R i debljine h uklijetena je po rubu i optereena kontinuiranim optereenjem q kao na slici. Skicirati raspodjelu radijalnog i cirkularnog momenta, te odrediti maksimalni progib i maksimalna normalna naprezanja.Zadano: q = 0,02 MPa, R = 350mm, h = 20mm, E = 80GPa, = 0.3.

Ovom zadatku optereenje je isto kao i u priloenom zadatku za ovaj tip krune ploe, pa e i izrazi za popreni silu biti isti, a time i diferencijalna jednadba savijanja. Ope rjeenje u ovom je sluaju:

Budue da je (R) = 0, biti e da je konstanta integracije jednaka

pa konaan izraz za kut glasi

Progib moemo dobiti na sljedei nain:

d = to nakon sreivanja integracije daje sljedee:

=

Rubni uvjet (R) = 0 daje da je , pa za progib je sljedea formula

=

Maksimalni progib nastaje u sredini ploe i iznosi

max = Kada uvrstimo i sredimo formulu dobit emo sljedee:

U sredini ploe gubi se razlika izmedu cirkularnog i radijalnog smjera i, pa je za r = 0

Na rubu ploe je r = R, pa je

Ploa optereena istovremeno jednoliko kontinuirano i momentom Mo po rubuZamislimo da je ploa prema slici optereena jednolikimo optereenjem q i nepoznatim momentom Mo po rubu. Veliinu tog momenta odredit emo iz uvjeta da je nagib na rubu jednak 0.

Pa e nagib na rubu ploe iznositi

= - (1)U prvom je lanu predznak minus jer Mo djeluje suprotno nego u primjeru koji je priloen u zadataku

Prema izrazu kut iznosi

Veliina h3/12 predstavlja moment tromosti jedinine irine poprenog presjeka pa uvedemo li oznaku dobivamo sljedee:

Maksimalne vrijednosti normalnih naprezanja jevljaju se u gornjoj i donjoj povrini ploe , tj. za z = +/- h/2 i iznose:

rmax = , max =

D =

max = =

Na sredini ploe najvei je moment i stoga su i naprezanja a to glasi za uvjet da je r = 0

=

rmax = =

max = = (sredina ploe)

Na rubu ploe formula za moment glasi za uvjet da je r = R

max (ukljetenje)

max

Zadatak 3.Za sfernu kupolu polumjera R i debljine h, optereenu teinom po jedinici debljine q, skicirati raspodjelu membranskih sila i odrediti maksimalna normalna naprezanja.

Zadano: q = 0,02 kN/m = 20 N/m, R = 1500 mm = 1.5 m, h = 20 mm, = 90

Oznaka za meridijansku silu je

Oznaka za cirkularnu silu je Poto je ova sferna kupola optereene vlastitom teinom onda vrijedi

Slika prikazuje sfernu kupolu optereenu vlastitom teinom: a) Zadana kupolab) ravnotea konanog dijela kupole

Uvjet ravnotee konanog dijela ljuske iznad paralele glasi

Pa slijedi da je N:

(1)

Poto je infinitenzimalno mala, pa vrijedi (sin/2). Kako je r1 = r2sin zanemarujui male veliine vieg reda, pa slijedi da je

(2)

Kada uvrstimo u (1) jednadbu broj (2) dobijemo

(3)

Raspodjela membranskih sila u sfernoj kupoli

Izrazi (1) i (3), daju raspodjelu membranskih sila u sfernoj kupoli optereenoj vlastitom teinom. Vidimo da je meridijandska sila uvijek tlana i raste s porastom kuta , dok cirkularna sila opada s porastom kuta . Cirkularna sila je tlana do = 51,8 a daljnim porastom ona postaje vlana.

Ako je materijal kupole krhak tj. ima malu vlanu vrstou, visinu kupole treba ograniiti tako da je < 51,8. Membranska naprezanja e se pojaviti samo ako su rubni uvjeti takvi da oslonci prenose silu u pravcu tangente na meridijan kao to je prikazano na slici.Oito je da u rotirajuoj ljuski vlada jedoosno stanje naprezanja, to znai da postoji samo cirkularno naprezanje koje iznosi:

=

Uvrtavanjem u formulu 1 rezultat za i uvrtavanjem u formulu 3 rezultat zaispadaju sljedei:

Na vrh ploe normalna naprezanja su sljedea:

Na ukljetenjima normalna naprezanja su sljedea:

cos 0 = 1cos 10 = 0.9876cos 20 = 0.95105cos 30 = 0.89100cos 40 = 0.80901cos 51.8 = 0.686833cos 60 = 0.58778cos 70 = 0.45399cos 80 = 0.30901cos90 = 0

Proraun za 10 a ostali stupnjevi su prikazani na tablici:

=

Kut:

Meridijanska sila

[N/m]

Cirkularna sila

[N/m]

0-15-15

10-15.094-14.534

20-15.466-12.724

30-16.077-9.903

40-16.988-5.994

51.8-18.536-0.015

60-205

70-22.35412.093

80-25.56120.351

90-3030

Cirkularno naprezanje iznosi:

==

Meridijansko naprezanje iznosi:

II. Teorijsko pitanje

Statiki neodreene tapne konstrukcije

Statiki neodreene konstrukcije su one konstrukcie kod kojih pri analizi tapnih konstrukcija nije mogue odrediti reakcije veza, odnosno unutranje sile u presjecima samo iz statikih uvjeta ravnotee. Za analizu ovih konstrukcija, osim statikih uvjeta ravnotee, treba razmatrati i deformiranje pojedinih dijelova konstrukcije, te uspostaviti neophodne dopunske jednadbe odnosno uvjete deformiranja.

Stupanj statike neodreenosti konstrukcije predstavlja razliku broja neovisnih nepoznatih reakcija veza i unutarnjih sila u presjecima i broja neovisnih statikih uvjeta ravnotee promatrane konstrukcije. Statika neodreenost moe biti vanjska, unutarnja ili vanjska i unutarnja. Ako se reakcije veza kao vanjske sile ne mogu odrediti samo pomou uvjeta ravnotee, takva je konstrukcija izvana statiki neodreena. Konstrukcija je iznutra statiki neodreena ako, uz poznate reakcije veza, nije mogue odrediti unutranje sile u svim presjecima konstrukcije samo iz statikih uvjeta ravnotee.

Na slici 1. prikazane su neke nosive konstrukcije izvana statiki neodreene. Kod svih tih konstrukcija prekobrojne nepoznate vanjske sile su reakcije u osloncima.

Slika 1. Izvana statiki neodreene nosive konstrukcije: a) jedanput statiki neodreena greda, b) dva puta statiki neodreen okvir, c) dva puta statiki neodreena reetka

Slika 2. Iznutra statiki neodreene nosive konstrukcije: a) dva puta iznutra statiki neodreena reetka, b) tri puta statiki neodreen zatvoreni ravninski okvir (petlja),c) vanjske i unutarnje sile petlje

Slika 2. pokazuje primjere iznutra statiki neodreenih nosivih konstrukcija, koje su izvana statiki odreene. Reetkasti nosa, slika 2. a), dva puta je iznutra statiki neodreen jer ima dva prekobrojna tapa, odnosno dvije prekobrojne unutarnje sile. Kod jednostrukog zatvorenog ravninskog okvira (petlja), slika 2. b), nije mogue odrediti komponente unutarnjih sila, iako su poznate sve vanjske sile. Naime, ako se okvir presjee na jednom mjestu, na tom e mjestu djelovati tri prekobrojne unutarnje sile N, Q i M, slika 2. c), to znai da je ova petlja iznutra tri puta statiki neodreena.

Mnoge nosive tapne konstrukcije mogu imati jednu ili vie ravnina simetrije. Ako su simetrine konstrukcije statiki neodreene i optereene simetrino ili antimetrino (suprotan predznak optereenja s razliitih strana simetrale), tada se broj statiki prekobrojnih veliina smanjuje a time i stupanj statike neodreenosti. Naime, u presjeku simetrije neke simetrine konstrukcije pojavljuju se komponente unutranjih sila, koje takoer mogu biti simetrine i antimetrine. Simetrine komponente su normalna sila N i momenti savijanja Mx i My, koje uzrokuju normalno naprezanje az, slika 3. a). Poprene sile Qx i Qy te moment uvijanja Mt, koji uzrokuju tangencijalna naprezanja xxx i tzy jesu antimetrine komponente, slika 3. b).

Slika 3. Unutranje sile: a) simetrine komponente, b) antimetrine komponente

Slika 4. Simetrina konstrukcija: a) i b) optereena simetrino, c) i d) optereena antimetrino

Poto samo simetrine komponente istovremeno zadovoljavaju uvjet simetrije i princip akcije i reakcije, moe se zakljuiti sljedee:Ako je simetrina konstrukcija optereena simetrino, antimetrine komponente unutarnjih sila u presjeku simetrije jednake su nuli. Ako je simetrina konstrukcija optereena antimetrino, onda su simetrine komponente unutranjih sila u presjeku simetrije jednake nuli.Na slici 4. a), prikazana je simetrina konstrukcija koja je optereena simetrino. Iako je ta konstrukcija izvana tri puta statiki neodreena, u presjeku simetrije se pojavljuju samo dvije nepoznanice N i M, slika 4. b), pa se uvjetno moe rei da je konstrukcija samo dva puta statiki neodreena. Ista konstrukcija optereena antimetrino prikazana je na slici 4. c). U tom sluaju u presjeku simetrije pojavljuje se samo jedna nepoznanica Q, slika 4. d), to znai da je konstrukcija uvjetno jedanput statiki neodreena.Pri rjeavanju statiki neodreenih konstrukcija, statikim uvjetima ravnotee pridodaje se onoliko dopunskih uvjeta deformiranja koliki je stupanj statike neodreenosti konstrukcije. U jednadbama ravnotee nepoznanice su sile, a u jednadbama deformiranja nepoznanice su pomaci odnosno produljenja. Tome treba pridodati i jednadbe koje povezuju pomake (produljenja) sa silama. Dvije su metode rjeavanja ove skupine jednadbi, pa moemo rei da postoje dvije osnovne metode rjeavanja statiki neodreenih konstrukcija: metoda sila i metoda pomaka. U metodi sila pomaci se eliminiraju, pa se u konanom sustavu jednadbi kao nepoznanice pojavljuju sile. U metodi pomaka iz sustava jednadbi eliminiraju se sile, pa se kao nepoznanice pojavljuju pomaci. S metodom sila smo se ve upoznali u nauci o vrstoi i to pri rjeavanju statiki neodreenih tapova optereenih osnovnim optereenjima. U daljnjem izlaganju ovu emo metodu rjeavanja primijeniti na statiki neodreene tapne konstrukcije.Na poetku analize zadane statiki neodreene konstrukcije metodom sila, najprije treba odrediti stupanj statike neodreenosti te odabrati osnovnu (zamjensku) konstrukciju, koja mora biti statiki odreena.

Slika 5. Ravninska nosiva konstrukcija: a) jedanput statiki neodreen nosa, b), c) i d) primjeri odgovarajuih osnovnih (statiki odreenih) nosaaSlika 5. pokazuje neke mogue osnovne nosae sa statiki nepoznatom prekobrojnom veliinom X.

Za odreivanje prekobrojnih veza u statiki neodreenim konstrukcijama, moemo primijeniti drugi Castiglianov teorem. Kao primjer, razmotrimo statiki neodreenu konstrukciju prikazanu na slici 6.

Slika 6. Statiki neodreena konstrukcija: a) tri puta statiki neodreen okvirni nosa,b) osnovni (statiki odreen) okvirni nosa

Budui da konstrukcija ima dva oslonca u obliku ukljetenja, nepoznatih reakcija je est a samo su tri nezavisna uvjeta ravnotee. Prema tome, okvirni nosa na slici 6. a) je tri puta statiki neodreen. Osnovnoj konstrukciji, koja je statiki odreena, dodajmo prekobrojne reakcije veza kao statiki nepoznate veliine. Odaberimo npr. tri reakcije u osloncu D kao prekobrojne, oznaimo ih s velikim slovima X i razmatrajmo kao poopene sile (dvije sile i spreg sila). U ovom sluaju, statiki nepoznate sile su X1, X2 i X3, slika 6. b).Poopeni pomaci (dva duinska i kutni) u pravcima nepoznatih sila jednaki su nuli, pa prema drugom Castiglianovom teoremu, izraz vrijedi:

Te tri dopunske jednadbe predstavljaju uvjete deformiranja, koji zajedno s tri uvjeta ravnotee omoguuju da se odredi svih est nepoznatih reakcija veza.Ova metoda je opa i moe se primijeniti pri rjeavanju svake statiki neodreene nosive konstrukcije. Ako je konstrukcija n puta statiki neodreena, energiju deformiranja U takvog sustava moemo izraziti kao funkciju n statiki nepoznatih sila u osloncima Xi i poznatih vanjskih sila Fi. Sve te sile moemo smatrati poopenim silama (sile i spregovi), pa vrijedi:

Ako oslonci ne doputaju pomake u pravcima statiki nepoznatih sila, parcijalna derivacija energije deformiranja po bilo kojoj nepoznatoj sili jednaka je nuli, tj.:

Izraz predstavljaja teorem o minimumu energije deformiranja koji glasi: Ako su u linearno elastinoj konstrukciji pomaci koji odgovaraju statiki nepoznatim silama jednaki nuli, tada te sile imaju vrijednosti za koje je energija deformiranja minimalna.