Goran Turkalj - Mehanika i Elementi Konstrukcija

Zavod za tehničku mehaniku, Tehnički fakultetSVEUČILIŠTE U RIJECI

MEHANIKA I ELEMENTI KONSTRUKCIJA

(2+1)

• Predavanja: prof. dr. sc. GORAN TURKALJ, dipl. ing.• Vježbe: asist. Edin Merdanović, dipl. ing.


Literatura:• Brnić, J.: Statika, Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, Rijeka,

2004. • Brnić, J., Turkalj, G.: Nauka o čvrstoći I, Sveučilište u Rijeci,

Tehnički fakultet, Rijeka, 2004.• Brnić, J.: Mehanika i elementi konstrukcija, Školska knjiga,

Zagreb, 1993.• Beer, F. P., Johnston, E. R. Jr.: Vector Mechanics for Engineers:

Statics, McGraw-Hill, New York, 1988.• Nash, W.: Strength of Materials, McGraw-Hill, New York, 1998.• Gere, J. M.: Mechanics of Materials, Brooks/Cole–Thomson

Learning, Belmont, CA, 2004.


VRSTA AKTIVNOSTI

ECTSiISHODI UČENJA

SPECIFIČNA AKTIVNOSTMETODA

PROCJENJIVANJABODOVI MAX.

Pohađanje nastave 1 1-9

Prisutnost studenata.80 % = 1 bod81-85 % = 2 boda86-90 % = 3 boda91-95 % = 4 boda96-100 % = 5 bodova

Evidencija prisutnosti na predavanjima i vježbama.

5

Laboratorijske vježbe 0.5 6, 8, 9

Izrada 3 laboratorijske vježbe.

5 vj. × 5 bova = 15 bodova

Bodovi se dodjeljuju temeljem aktivnosti na vježbama. Student mora sakupiti minimalno 10 bodova.

15

Kontrolne zadaće 1.5 1-6

2 kontrolne zadaće. Na svakoj zadaći student rješava 5 zadatka.

Svaki zadatak nosi 5 bodova. 50

Završni ispit 1 7-9 Pismeni ispit. Student rješava 6 zadatka.

Svaki zadatak nosi 5 bodova. Student mora sakupiti minimalno 15 bodova.

30

UKUPNO 4 100


UVOD

Mehanika:

1. Zadatak, uloga i podjela mehanike

grč. mehane = stroj, naprava

ime mehanika koristi se tek od Galilea (1564-1642)

W. J. M. Rankin: znanost o mirovanju, gibanju i silama

Sir Isaac Newton: Matematički principi prirodne filozofije (1687)


Podjela mehanike:

prema stanju mirovanja:

statikakinematikadinamika

prema svojstvima tijela:

mehanika krutih ili nedeformabilnih tijelamehanika čvrstih ili deformabilnih tijelamehanika fluida (plinova i tekućina)

MEHANIKA KONTINUUMA}

prema metodama rješavanja:

eksperimentalna mehanikaanalitička mehanikanumerička mehanikagrafostatika


prema primjeni:

statika konstrukcijastabilnost konstrukcijadinamika strojeva i konstrukcija (teorija vibracija)mehanika lomamehanika tla i stijena

KONTINUUM = NEPREKINUTA SREDINA

fluidi:

idelani ili neviskozni fluidrealni ili viskozni fluid

Podjela kontinuuma:

tijela:

idelano ili apsolutno kruto tijelorealno ili čvrsto tijelo


Mehanika čvrstih ili deformabilnih tijela:

teorija elastičnosti

teorija plastičnosti

teorija viskoelastičnosti

teorija viskoplastičnosti

REOLOGIJA REOLOŠKI MODELI

linearno-elastičnaopruga

linearni viskozniprigušivač

frikcijski model(Saint-Venantov model)

Eσ ε=d

dt

εσ η=

Tσ σ≤

σ

σ

σ

σ

σ

σ


Teorija elastičnosti (elastomehanika):

razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovanadjelovanjem vanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u elastičnompodručju

problemi se rješavaju egzaktno → parcijalne diferencijalnejednadžbe

Nauka o čvrstoći (Otpornost materijala) → pretpostavke oraspodjeli deformacije i naprezanja

deformacija i neprezanje međusobno su vezani, ali ne ovise ovremenu

linearna i nelinearna teorija


linearna teorija elastičnosti:

mali pomaci i deformacijelinearno elastičan (Hookeov) materijal

1

σ

ε

E

0

const.Eσ

ε= =


nelinearna teorija elastičnosti:

veliki (konačni) pomaci pri deformiranju tijela (geometrijskanelinearnost)nelinearno elastičan materijal (materijalna nelinearnost)

t

d const.

dE

σ

ε= ≠

Et

1

σ

ε0


Teorija plastičnosti (plastomehanika):

razmatra pomake, deformaciju i naprezanja uzrokovana djelovanjemvanjskog opterećenja na čvrsto tijelo u plastičnom području, tj. upodručju trajnih (nepovratnih, plastičnih) deformacija

T – granica tečenja, granica plastičnosti

trajna

deformacija

σ

ε0

σT T


Teorije viskoelastičnosti i viskoplastičnosti:

uspostavljaju zakone nastanka i razvoja deformacije kontinuumaovisne o tijeku vremena, a uzrokovane termičkim, kemijskim i drugimutjecajimapuzanje → porast deformacije pri konstantnom naprezanju iliopterećenjurelaksacija→ smanjenje naprezanja pri konstantnoj deformaciji


MEHANIKA I ELEMENTI

KONSTRUKCIJA

Mehanika

krutih tijela

STATIKA

Mehanika

čvrstih tijela

NAUKA O

ČVRSTOĆI


STATIKA

• slaganje sila i svođenje sustava sila na najjednostavniji oblik

• određivanje uvjeta ravnotežesustava sila koji djeluje na kruto tijelo


NAUKA O ČVRSTOĆI

• stvaranje računskih metoda za procjenu čvrstoće, krutosti i stabilnosti konstrukcije

• proučavanje procesa deformiranja i razaranja tijala te utvrđivanje ovisnosti između:

• opterećenja• deformacije• naprezanja


Svaka materijalna točka (tijelo) ostaje u stanju mirovanja ilijednolikog pravocrtnog gibanja sve dok sustav sila koji djeluje na nju(njega) ne promjeni to stanje.

(zakon inercije)

1. Newtonov zakon:

temeljni zakoni mehanike

2. Newtonovi zakoni


Brzina promjene količine gibanja materijalne točke (tijela) pointenzitetu, pravcu i smjeru jednaka je sili koja na nju djeluje.

Ubrzanje je proporcionalno sili što djeluje na materijalnu točku(tijelo), a zbiva se u smjeru djelovanja sile.

( )d

dm F

t=v

��

d d

d d

mm F

t t+ =

vv

�

��

d d0,

d d

ma

t t= =

v�

�

m a F=�

�

2. Newtonov zakon:


Dvije materijalne točke djeluju jedna na drugu silama istihintenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova.(zakon akcije i reakcije)

1m

2m

2m

1m

F�

F�

3. Newtonov zakon:


3. Koordinatni sustavi

Descartesov (Cartesiev) pravokutni koordinatni sustav:

x

y

z

x

y

z

N( , , )x y z


Cilindrični koordinatni sustav:

x

y

z

N( , , )r zϕ

ϕ

r

z

cos

sin

x r

y r

z z

ϕ

ϕ

=

=

=


Sferni koordinatni sustav:

x

y

z

N( , , )ρ ϕ ψ cos cos

sin cos

sin

x

y

z

ρ ϕ ψ

ρ ϕ ψ

ρ ψ

=

=

=

ϕ

ρ

ψ


Polarni koordinatni sustav:

x

y

N( , )r ϕcos

sin

0

x r

y r

z

ϕ

ϕ

=

=

=ϕ

r


4. Operacije s vektorima

Vektor:

x

y

z

a�

xa�

za�

ya�

x y z x y za a a a a i a j a k= + + = + +

��

{ }x x

y y

z z

a a

a a a a

a a

= = = =

a�


Intenzitet vektora:

2 2 2

x y za a a a a= = + +�

Transponirani vektor:

{ } { }T

x y za a a a a= =


Jedinični vektor:

2 2 2

x y z 1a a a a a= = + + =�

1, 1, 1i i j j k k= = = = = =��

( ), ,x y z i j k⊥⇒ ⊥��

{ } { } { }1 0 0

0 , 1 , 0

0 0 1

i i j j k k

= = = = = =

��


Zbrajanje vektora:

{ } { } { } { }x x x

y y y

z z z

ili

c a b

a b c a b c c c a b

c a b

+

+ = + = = = + +

⇒�

� �

a�

b�

c�

a�

b�

c�

Pravilo trokuta Pravilo paralelograma


Oduzimanje vektora:

{ } { } { } { }x x x

y y y

z z z

ili

d a b

a b d a b d d d a b

d a b

−

− = − = = = −

⇒

−

� �

�

a�

b�

d�

b−�


Skalarni produkt (engl. dot product, inner product):

a�

b�

( ), cosa b a b ab θ⋅ = =� �

� �

θ

cosb θ

VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

a b b a⋅ = ⋅� �

� �

{ } { }T

x x y y z za b a b a b a b= + +


Vektorski produkt (engl. cross product):

, , sina b a b c c c ab θ × = = = =

� �

� � � �

{ }x y z z y

y z x x z

z x y y x

c a b a b

c c c a b a b

c a b a b

−

= = = − −

�

( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

i j k

a b a a a a b a b i a b a b j a b a b k

b b b

× = = − + − + −

��

� ��

NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

b a a b c× = − × = −� �

� � �

c�

a�

b�

θ

c−�


Mješoviti produkti:

( ) ( ) ( )a b c b a c c a b× × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅� � �

� � � � � �

x y z

x y z

x y z

a a a

a b c b b b

c c c

× ⋅ =�

� �

Skalarno-vektorski produkt:

Vektorsko-vektorski produkt:

a�

b�

c�

a b c V× ⋅ =�

� �


Tenzorski ili dijadski produkt (engl. tensor product,outer product):

NE VRIJEDI ZAKON KOMUTATIVNOSTI

{ }{ } [ ]x x y x z x

T TT

x y y y z y

x z y z z z

ili

a b a b a b

b a b a T a b a b a b

a b a b a b

⊗ = = =

T

�

�

T – tenzor drugoga reda

( )T

b a a b⊗ = ⊗� �

� �

{ }{ } [ ]x x x y x z

T

y x y y y z

z x z y z z

ili

a b a b a b

a b a b T a b a b a b

a b a b a b

⊗ = = =

T

�

�


5. Aksiomi statike

Slobodno je tijelo pod djelovanjem dviju sila u ravnoteži onda ako tedvije sile leže na istom pravcu i istog su intenziteta, ali suprotnogasmjera.

Aksiom I:

1F�

2F�

1 2F F=� �


Djelovanje sustava sila na tijelo ne mijenja se dodavanjem ilioduzimanjem jednog ili više uravnoteženih sustava sila.

Aksiom II:

1F�

F�

2F�

F�

3F�


1F�

2F�

4F�

AB

3F�

3F�

3F�

Sila je klizeći vektor!

Pomicanjem sile po pravcu ne narušava se njezino djelovanje na kruto tijelo!


BA

F�

F�

1l

BA

F�

F�

2l

Čvrsto (deformabilno) tijelo:

Pri razmatranju procesa deformiranja tijela, potrebno je poznavati položaj hvatišta sila!


Aksiom III:

2F�

RF�

R 1 2F F F= +� � �

1F�

2F�

RF�

1F�

2F�

Pravilo trokutaPravilo paralelograma

Rezultanta dviju sila koje djeluju u nekoj točki tijela određena je po intenzitetu, pravcu i smjeru prema pravilu paralelogramaili pravilu trokuta.


Aksiom IV:

Dva tijela djeluju jedan na drugoga silama istih intenziteta i pravaca, a suprotnih smjerova (treći Newtonow zakon).


6. Osnovni pojmovi statike

Slobodno tijelo

y

x

z

ϕz ϕy

ϕx

v

w

u

Apsolutno kruto tijelo

Ravnoteža


Sila = mehaničko djelovanje jednog tijela na drugo

F�

intenzitet (N) pravac

smjer


x

y

z

xF�

zF�

yF�

x y z x y zF F F F F i F j F k= + + = + +

��

F�

α β

γ

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =

2 2 2

x y zF F F F= + +

( ) ( ) ( )2 2 2

cos cos cosF F F Fα β γ= + +

Intenzitet sile:

Prostorni slučaj:

{ }x

y

z

cos

cos

cos

F F

FF F F

FF

α

β

γ

= = =

�


x

y

xF�

yF�

x y x yF F F F i F j= + = +� � � � �

{ } x

y

cos cos

cos sin

F F FF F

F F F

α α

β α

= = = =

�

F�

α

β

2 2sin cos 1α α+ =

( ) ( )2 22 2

x y cos sinF F F F Fα α= + = +

Intenzitet sile:

Ravninski slučaj:


Sustav sila

1F�

2F�

3F�

iF�

nF�

• kolinearni• kolinearni• konkurentni• paralelni• opći (proizvoljni)

RAVNINSKI

PROSTORNI( )1 2 3 n

, , , ,F F F F� � � �

…


Ekvivalentni sustav sila

( ) ( )1 2 3 n 1 2 3 m, , , , , , , , , n mF F F F S S S S≈ ≠

� � � ��

… …

Rezultanta sustava sila

( )1 2 3 n R, , , ,F F F F F≈� � � � �

…

RF R=� �

R RF F R= =�

i n

R i

i 1

x xF F

=

=

=∑i n

R i

i 1

y yF F=

=

=∑i n

R i

i 1

z zF F

=

=

=∑


TRANSLACIJU

ROTACIJU

Sila svojim djelovanjem na tijelo uzrokuje njegovu:

moment sile:• za točku• za os

spreg sila


Moment sile za točku

α

n

O

FM�

B

O h

( )R

A

O,F

M r F r F = × = � � �

� �

O OsinF F

M M r F α= =�

sinr hα =

O

FM Fh=

O OAB2F

M = ∆

r�

F�

Smjer vektora momenta “PRAVILO DESNE RUKE”

O(Nm)F

M

O – pol momenta


O

FM�

r�

F�

x

y

z

r x i y j z k= + +��

�

x y zF F i F j F k= + +

��

A

OO

x y z

F

i j k

M r F x y z

F F F

= × =

��

� �

�

( ) ( ) ( )O z y x z y x

FM y F z F i z F x F j x F y F k= − + − + −

��


O

A

F�

r�

x

y

( )R

O

FM+

O

A

F�

r�

x

y

( )R

O

FM−

Pozitivan i negativan moment:


Moment sile za os

u

F

uM�

ϕ

O

O

FM�

r�

n

A

F�

B

1u u= =�

x

y

z

O

FM r F= ×� �

�

O O cos (Nm)F F F

uM u M M ϕ= ⋅ =�

�

( )F F

u uM M u=�

�

ili

O

F F

uM u M u r F= ⋅ = ⋅ ×� �

� � �

cos cos cosu u u

u i j kα β γ= + +��

�

x y z

cos cos cosu u u

F

uM u r F x y z

F F F

α β γ

= ⋅ × =�

� �


u ≡ xz y

x y z

1 0 0F F

u xM M x y z y F z F

F F F

= = = −o o o0 ; 90 ; 90

u u uα β γ= = =

u ≡ yx z

x y z

0 1 0F F

u yM M x y z z F x F

F F F

= = = −o o o90 ; 0 ; 90

u u uα β γ= = =

u ≡ zy x

x y z

0 0 1F F

u xM M x y z x F y F

F F F

= = = −o o o90 ; 90 ; 0u u uα β γ= = =

O

F F F F

x y zM M i M j M k= + +

��


u

F

uM�

O h

( )R

(R)r�

(R)F�

r�

A

F�

B

(R)

O (R)

FF

uM M F h= =


Sprega sila

n

M�

O

h

( )R

( ),

O

F FM Fa F a h= − + +

F�

F�

a

,

O

F FM M Fh= =

1n n= =�

M M n=�

�

≡ dvije antiparalelne sile

M – moment sprega (Nm)

M h – krak sprega


( )R

M+

( )R

M−

h

F�

F�

h

F�

F�

Pozitivan i negativan moment sprega:


Svojstva sprega sila:

djelovanje sprega se ne mijenja njegovim pomicanjem po pravcusila sprega (II. aksiom statike);

djelovanje sprega se ne mijenja njegovim pomicanjem po krakusprega;

spreg sila moguće je po volji pomicati u ravnini djelovanjasprega, ali pod uvjetom da sile u spregu ne mijenjaju svojmeđusobni položaj;

spreg sila moguće je nadomjestiti drugim spregom uz uvjet dasu im momenti i rotacija jednaki:

spregove sila koji djeluju u istoj ravnini možemo zbrajati:

i n

i

i 1

M M=

=

=∑

1 1 2 2 ...M Fh F h F h= = = =


Redukcija sile ≡ paralelni pomak sile u promatranu točku

BA

F�

( )R

h

BA

F�

( )R

F�

F�

h

II. aksiom statike

BA

( )R

F�

h

M

B

FM M F h= =


Superpozicija (zbrajanje) sile i sprega

BA

( )R

F�

hBA

( )R

F�

h

Mh

F=

A

F�

( )R

M M

B

FM

i B0F

M M M= − =∑

B

FM F h M= =


7. Vrste veza, reakcije veza

SLOBODNO TIJELO

MEHANIČKE VEZE

NESLOBODNO TIJELO

NESLOBODNO TIJELO

OSLOBAðANJE VEZA

SLOBODNO TIJELO

OPTEREĆENJE VEZA = sile kojima tijelo djeluje na veze

REAKCIJE VEZA = sile kojima veze djeluju na tijelo


Vrste veza:

idealna (glatka) površina

1F�

2F�

3F�

A

n

t

1F�

2F�

3F�

A

n

t

NF�

NF −�

normalna komponenta


NAF�

A

B

NBF�


realna (hrapava) površina

1F�

2F�

3F�

A

n

t

NF�

µ

µ − koeficijentfaktor ( ) trenja

Fµ

�

Fµ −�

sila trenja klizanja

1F�

2F�

3F�

A

n

t

REAKCIJE OSLONCA

OPTEREĆENJE OSLONCA

A

n

tNF�

Fµ

�

0 1µ< <

KM

KM − spreg trenja kotrljanja

KM


F�

µ

G�

, grF Fµ≤

, gr

N

tanF

F

µϕ =

tijelo miruje(statičko trenje)

RF�

G� grF

�

NF�

, grFµ

�

Fµ

�

NF�

ϕ

R N , grF F Fµ= +� � �

ϕ − kut trenja

, grF Fµ> tijelo klizi(kinematičko trenje)

Trenje klizanja: GRANIČNI SLUČAJ


RF�

ϕϕ

NF�

, grFµ

�

grF�

G�

STOŽAC TRENJA

RF�

grF�

, grFµ

�


, gr T NF F Fµ µ= =

Coulombovi zakoni suhog trenja:

Granična vrijednost sile trenja:

Sila trenja ima pravac tangente u točki dodira iusmjerena je suprotno od smjera u kojem aktivne siležele pokrenuti tijelo.

Intenzitet sile trenja ne ovisi o veličini dodirnih površina.

µ − statičkofaktor trenja klg izanja

Gibanje (klizanje):

NF Fµ µ′= ⋅

µ′ − kinematičkfaktor trenja kliz og anja µ µ′ ≤

tanµ ϕ=


vrsti materijala dodirnih ploha

stupnju hrapavosti

vlažnosti

temperaturi

veličini normalnog tlaka između dodirnih ploha

relativnoj brzini klizanja (v):

µ ′

v

µnpr. metal-metal

suhe kočne obloge-metal

0

Faktor trenja ovisi o:


Trenje kotrljanja:

µ

NF�

Fµ

�

F�

G�

R

O

0 0Fµµ = ⇒ =nema kotrljanja

(klizanje) glatka

podloga

T N0; F F Fµ µ≠ ≤ =kotrljanje

(bez klizanja) T0; F Fµ ≠ >kotrljanje &

klizanje

Fµ

F Fµ=

POGONSKI (OBRTNI) SPREG

R

PM FR=

P 0M =nema trenja kotrljanja

A


NF�

G�

R

O

SPREG TRENJA KOTRLJANJA

m ( m)f − koeficijent ( ) trenja kotrljanja, krak

NF G=

G

f

K NM F f=

h R≈

Fµ

F Fµ=

POGONSKI SPREG

PM Fh F R= ≈

P KM M≤tijelo miruje

P KM M>tijelo se kotrlja

NF�

Fµ

�

F�

G�

RF�

h

NF�

G�

Fµ

�

A A

KM

F�

A µ

f

A'


uže

G�

A

BF�

B

A

B

G�

A

B

G�

G�

A

G�

BF�

S�

S�

S�

S�

S�

B

A

BF G=��


štapovi

AF�

1F�

G�

2F�

A B

BF�


pomični i nepomični oslonac

B By BzF F F= +� � �

1F�

2F�

ByF�

BzF�

y

z

A

POMIČNI OSLONAC

B

NEPOMIČNI OSLONACAF

�


uklještenje

A Ay AzF F F= +� � �

1F�

2F�

z

y

AyF�

AzF�

AM


radijalni ležaj

π

30

nω =

MT ili Mm – moment trenja (Nm)

ω – kutna brzina (s-1):

n – broj okretaja u minuti (min-1)

y

F1

A

AyF

B

F

Fx

zAxF

F3

2

xM

Ax

z

AyF

presjek B-B

y

T


radijalno-aksijalni ležaj

AxFAyF

M

FAz

T

M

F

x

AFAx

1

AzF

z

FBx

B

FAy

F3

y

By

F2

F

T


kuglasti zglob

x

Ay

AxF

FAz

A

F

y

z

Documents

Goran Turkalj - Mehanika i Elementi Konstrukcija