MEHANIKA FLUIDA dio 3

Željko Andreić – Mehanika fluida P3 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 3

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

[email protected]

http://rgn.hr/~zandreic/


Kratki sadržaj:

1. Euler-ova jednadžba

2. mjerenje tlaka

3. Hidrostatske sile na ravne plohe


Čestica fluida u gibanju

x

y

z

dy

dx

dz

s

v


Čestica fluida u gibanju 2

Brzina čestice opisana je sa

Krećemo od II. Newton-ovog aksioma:

Koji primijenimo na elementarnu česticu:



Ubrzanje rastavimo na prostorni i vremenski dio:

Prvi član se zove lokalno ubrzanje. Ako on postoji gibanje je nestacionarno!

Drugi član se zove konvektivno ubrzanje. On potjeće od strujanja fluida kao cjeline.



Uzrok gibanja fluida su sile koje na njega djeluju. To mogu biti:

tlak - djeluje uvijek okomito na plohu čestice

masene sile - sile proporcionalne masi na koju djeluju (sila teža, inercione sile i sl.)

viskozne sile - sile unutarnjeg trenja fluida

elastične sile - posljedica stlačljivosti fluida



masa te čestice je

I na nju djeluje neka masena sila koja proizvodi ubrzanje:

Masena sila je proporcionalna masi, pa je opisujemo ubrzanjem am koje ona proizvodi.

Opet gledamo malu česticu fluida:



Za silu težu je:

pa je:



x

y

z

dy

dx

dz

F

1

2

p1

p2

Fx



Pogledajmo sad ravnotežu sila u x-smjeru za česticu fluda sa prethodne slike:

Tlak ćemo kao i prije razviti u Taylor-ov red:

a masu čestice napisati kao umnožak volumena i gustoće:



amx je ubrzanje masene sile, a ax ubrzanje čestice fluida. Preslagivanjem, uz činjenicu da je:

nalazimo x-komponentu Euler-ove jednadžbe:



Na isti način došli bismo i do preostale dvije komponente:



Euler-ovu jednadžbu možemo zapisati i vektorski:


Euler-ova jednadžba u kvazi-1D slučaju:

x

z s

a

as

dsao


Euler-ova jednadžba u kvazi-1D slučaju 2

Položaj čestice opisujemo putem prevaljenim po krivulji s!Oprez: ubrzanje ne mora biti u smjeru puta s!Euler-ova jednadžba sad postaje:

am je komponenta ubrzanja u smjeru krivulje s.


kvazi-1D Euler-ova jednadžba za fluid u polju sile teže

x

z s

g

ds

g cos(α)α

g sin(α)


kvazi-1D Euler-ova jednadžba za fluid u polju sile teže 2

Ubrzanje sile teže djeluje vertikano prema dolje:

pa Euler-ova jednadžba postaje:

Diferencijal brzine opet rastavljamo na lokalni i konvektivni dio:



Uz:

dobijamo:

Kako je:



ili, u integralnom obliku:

dolazimo konačno do kvazi-1D Eulerove jednadžbe:


Statika fluida

A Euler-ova jednadžba postaje:

Fluid miruje, pa je:


Statika fluida 2

ili, raspisano po komponentama:


Statička Euler-ova jednadžba za polje sile teže

Po dogovoru ubrzanje sile teže pokazuje u smjeru -z osi:

odnosno:

pa Euler-ova jednadžba prelazi u:


Statička Euler-ova jednadžba za polje sile teže 2

Kako je jedina promjena u z-smjeru, ovo postaje:



Nakon formalne integracije dolazimo do integralnog oblika E.j.:

Da bi riješili ovaj integral, moramo znati ρ(z). Za nekompresibilnu tekućinu ρ=konst. pa nalazimo

z=0 na površini tekućine, a konst. integracije je vanjski tlak pv.



Da se izbjegne negativni predznak, koristi se dubina h=-z:

pazi: h se u stvari mjeri od površine tekućine prema dnu!!!

Ovo je jednadžba hidrostatske ravnoteže. Vanski tlak najčešće je atmosferski tlak pa. U tom slučaju uglavnom se koristi relativni tlak (mjeren prema pa):


koordinatni sustavi 1

x

z

0

g

-z



x

-h

g

0

+h



+z

g

0 0

Češći način izbjegavanja negativog predznaka je postavljanje referentne ravnine (ishodišta) u ili ispod najniže točke problema koji proučavamo. z tada ima samo pozitivne vrijednosti.

z0



Da se ne mučimo s razlikom zo-z uvodimo veličinu h:

pa izraz za hidrostatski tlak postaje:

h se mjeri od površine tekućine prema dolje!h je ujedno visina stupca tekućine iznad promatrane točke!U obje interpretacije h je pozitivan!


Pascal-ov zakon

+h

0 0

g T1

T2

pv

h1h2


Pascal-ov zakon 2

Tlakovi u proizvoljno odabranim točkama T1 i T2 su:

a razlika im je:

U T1 promijenimo tlak za pT1, u T2 se zbog toga promijeni tlak za pT2.


Pascal-ov zakon 3

Pascal-ov zakon: promjena tlaka u nekoj točci tekućine prenosi se kroz cijeli volumen tekućine u istom iznosu.

a razlika tlakova postaje:

Tekućina miruje, pa se ta razlika ne smije promijeniti! Mora dakle biti:

Tlakovi u točkama T1 i T2 su sada:


Mjerenje tlaka - barometar:

hpa pa

1 Bar = 105 Pa

1 Bar = 1000 mBar

pat=101 325 Pa

1 mBar = 100 Pa

pat=1 013 mBar


Mjerenje tlaka - barometar 2:

Atmosferski tlak opada sa visinom:

Za male visine (z<<H) je:

Tlačna skala visine: H=7,4 km

Svakih 7,4 m visine tlak se smanjuje za 1 mBar!


Mjerenje tlaka - piezometar:

pa

h

p

h

pa


Mjerenje tlaka - piezometar 2:

Piezometarski tlak:(relativni tlak)

Apsolutni tlak:


Mjerenje tlaka - manometar:

h

pa

p


Mjerenje tlaka - manometar 2:

h2

pa

h1

p


Mjerenje tlaka - bourdon manometar:


Mjerenje tlaka - bourdon manometar 2:


Mjerenje tlaka - membranski manometar:

membrana

graničnik

prijenosnik

senzor naprezanja

električni vod

kučište


Sile hidrostatskog tlaka

Sile koje nastaju kao posljedica djelovanja statičkog tlaka fluida na tijela unutar ili oko fluida.

Kod plinova je zbog male gustoće doprinos hidrostatskih sila zanemariv.

Zato je tlak plina u otvorenoj posudi jednak okolnom (najčešće atmosferskom) tlaku, a tlak plina u zatvorenoj posudi je svugdjejednak.


Hidrostatska sila na dno otvorene posude

A

h

dno = ravna, horizontalna ploha. Tlak odozgo je:

p

pa

pa

pa dakle djeluje sa svih strana jednako pa se poništava, a na dno posude djeluje relativni tlak:

to je apsolutni tlak!

Tlak odozdo je


Hidrostatska sila na dno otvorene posude 2

rezultantna sila na dno je dakle:

Zapamtimo: kod otvorenih posuda pa djeluje sa svih strana jednako pa se u izrazu za silu poništava!


Hidrostatska sila na dno zatvorene posude

A

h

F

pu

pa

odozgo djeluje ukupni tlak:

odozdo djeluje atmosferski tlak:

njihova razlika je:


Hidrostatska sila na dno zatvorene posude 2

pa je rezultatntna sila na dno jednaka

Zapamtite: kod zatvorenih posuda imamo dvije mogućnosti računa:a. pu je apsolutan, svi tlakovi moraju biti apsolutni! b. pu je relativan, svi tlakovi moraju biti relativni (mogući negativni predznaci)!


Hidrostatski paradoks

A1

h

F1 F2

F1<F2 a vaga je u ravnoteži (m1=m2)!

m1 m2

m1=m2

A2


Hidrostatska sila na ravne bočne stijenke

α

da=dxdy

dF

y

x

h

F

H

pa

pa


Hidrostatska sila na ravne bočne stijenke 2

sila koja djeluje na element površine da je:

ravna ploha -- normale na sve dA su u istom smjeru pa dF zbrojimo:



no,

pravokutna ravna ploha širine l:

pa je:



ili, rješeno do kraja,

l je dužina plohe u x-smjeru, ymax njena širina u y-smjeru,

pa je:

površina plohe je A=lymax , a y-koordinata težišta



je dubina težišta, pa je:

Tražimo još hvatište hidrostatske sile:

horizontalni smjer: simetrija,

Sila na ravnu kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ploha stoji ukoliko težište plohe ostaje na istoj dubini!



y-kordinata: ploha je u ravnoteži u y-smjeru!

Tražimo moment sile na plohu: moment na usku traku širine dy oko hvatišta sile je:

Ukupni moment mora isčeznuti pa je:



uz

Rješenje ovog integrala je:

i sreñivanje nalazimo:

Hvatište tlačne sile je ispod težišta plohe!!!



α

y

x

H

FFv

Fh

α



Tlačna sila je okomita na plohu, pa su njene komponente:

Asin(α) je površina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, pa je Fh jednaka umnošku tlaka u težištu plohe i površine vertikalne projekcije plohe.

htAcos(α) je volumen tekućine iznad plohe, pa je Fv jednaka težini tekućine iznad te plohe.



Ako je ploha proizvoljnog oblika, svi gornji zaključci vrijede i dalje, ali je rješavanje integrala nešto složenije. Koordinate hvatišta tlačne sile sad postaju:



je tzv. centripetalni moment prema osima x i y, a

je moment tromosti (inercije) za os x.

Za najčešće oblike ove veličine su tabelirane!

Documents

MEHANIKA FLUIDA dio 3