MECANIQUE rationnelle kadi ali.pdf

FFa

MECANIQUERATIONNELLE

Cours&exercicesrsolus

Rappels sur les Vecteurs, Les Torseurs, Statique des Solides, Gomtrie des Masses, Cinmatique du Point et du Solide,

Cintique et Dynamique des Solides

A. KADI

U N I V E R S I T E M H A M E D B O U G A R A - B O U M E R D E S

10,zz

O

A

L

L/2

R

21,xx

0y

0x

2z

C

CLASSES PREPARATOIRES AUX GRANDES ECOLES

TRONC COMMUN DES UNIVERSITES (TCT)

SCIENCES TECHNIQUES (ST) semestre 3 (LMD)

Cet ouvrage est destin aux tudiants de deuxime anne des classes prparatoires aux grandes coles et aux tudiants du tronc commun de technologie des universits ainsi que les tudiants du semestre 3 des sciences techniques du systme LMD. Il contient des chapitres de cours et des exercices rsolus la fin de chaque chapitre. Les solutions sont souvent dtailles et permette ltudiant de complter sa comprhension du cours et faire soit mme son valuation. Les deux premiers chapitres traitent les outils mathmatiques notamment les torseurs utiliss pour simplifier lcriture des quations de la mcanique. Le chapitre trois dcrit lquilibre statique des solides et les diffrentes liaisons entre les solides et les quations qui les rgissent. Le chapitre quatre est consacr la gomtrie des masses donc aux centres dinertie et aux tenseurs dinertie des solides. Savoir utiliser le thorme de Huygens permet de rsoudre un bon nombre de problmes en mcanique des solides et vibrations. Les chapitres cinq, six et sept traitent la cinmatique du point matriel et la cinmatique du solide indformables ainsi que les contacts entre les solides. Le maniement des angles dEuler et leur assimilation sont indispensables pour la comprhension de la mcanique des solides. Les chapitres huit et neuf dcrivent la cintique et les thormes fondamentaux de la dynamique et le principe de laction et de la raction. Le dernier chapitre traite la dynamique des solides en mouvements de rotation autour dun axe et de leur quilibrage statique et dynamique. De nombreux exercices rsolus dans cet ouvrage montrent aussi la manire dont il faut utiliser les thormes gnraux de la mcanique et combien il est important de faire un bon choix des repres pour la dtermination des lments cinmatiques et cintiques des solides. La mcanique est la science qui dcrit les lois des mouvements et de lquilibre. Elle est la base du dimensionnement des mcanismes, des machines, des structures, des ouvrages et autres ralisations de lhomme. Jespre que le lecteur ayant utilis louvrage pourra la fin, en utilisant les torseurs des actions mcaniques et les diffrentes liaisons, crire les quations de mouvement dun mcanisme quelconque et rsoudre le problme. Je tiens remercier, toutes celles et ceux qui voudrons me faire parvenir leurs critiques, remarques ainsi que leurs suggestions afin damliorer le contenu de cet ouvrage.

Lauteur Email : [email protected]

Prface

Quand Ali KADI ma amicalement demand dcrire la prface de cet ouvrage, je nai pas hsit rpondre affirmativement. Loccasion qui mest donc offerte me permet de madresser directement aux tudiants, aux enseignants et ingnieurs concerns par cet ouvrage. Elle me permet aussi de tmoigner toute ma reconnaissance lauteur qui nous a offert, l, un ouvrage fort intressant traitant dun domaine cl des sciences de lingnieur, savoir la cinmatique et dynamique des solides indformables o chaque cours est suivi dune srie dexercices corrigs. Louvrage est structur en chapitres complmentaires les uns des autres, traitant en dtail de la gomtrie des masses jusqu la dynamique des solides en passant par les thormes fondamentaux de la dynamique et du principe de laction et de la raction. Il sadresse aussi bien aux tudiants des deux premires annes des universits, aux tudiants des classes prparatoires aux grandes coles, ainsi quaux enseignants et ingnieurs. Chacun en trouvera ce dont il a besoin. Ltudiant, pour approfondir ses connaissances et aller au-del des concepts vus aux cours. Lenseignant, pour amliorer sa source de savoir. Lingnieur pour en faire une rfrence indispensable. Louvrage propos intgre un lment nouveau : lapproche mthodologique de rsolution de problmes. Corollaire dune dizaines dannes de travail universitaire effectue par lauteur, lapproche est construite avec le souci constant de proposer des exercices corrigs difficult croissante, permettant la matrise graduelle des principes directeurs du cours. Enfin, lheureuse ide davoir inclut au dbut de louvrage une slection des principaux outils mathmatiques connexes la comprhension de la science mcanique, ne peut que renforcer la notorit de cet ouvrage.

Professeur Kamel BADDARI

Doyen de la facult des sciences Universit de Boumerds

Algrie

UMBB Boumerds, Facult des sciences, Dpartement de physique

Cours exercices, Mcanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3

15

A.KADI

CHAPITRE I

LES OUTILS MATHEMATIQUES



16

ou

A.KADI

LES OUTILS MATHEMATIQUES

La modlisation de lespace rel, considr dans le cadre de la mcanique classique comme

tant trois dimensions, homogne et isotrope suppose lintroduction doutils mathmatiques

tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous prsenterons les

rappels et lensemble des oprations mathmatiques sur les vecteurs. Nous dvelopperons

aussi ltude sur les torseurs qui sont des outils mathmatiques trs important en mcanique

classique, notamment en mcanique des solides. Lutilisation des torseurs en mcanique

permet de simplifier lcriture des quations relatives aux grandeurs fondamentales de la

mcanique.

1. Oprations sur les vecteurs

Dans tout ce qui suit, on sintressera lensemble E des vecteurs V de lespace usuel. E est

un espace Euclidien trois dimensions.

2. Dfinition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrmit

A ; il est dfini par :

- son origine ; O

A - sa direction ;

- son sens ;

- son module.

Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V

OA

3. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs :

- Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donns mais la droite support et le

point dapplication (origine du vecteur) ne sont pas connues ;

- Vecteur glissant : le point dapplication (origine du vecteur) nest pas fix ;

- Vecteur li : tous les lments du vecteur sont dtermins ;

- Vecteur unitaire : cest un vecteur dont le module est gal 1.



17

A.KADI

4. Composantes dun vecteur

Considrons une base de lespace 3R note : . Cette base est orthonorme

si : e

),,,( 3210= eeeOR

==

ji si 0ji si 1

ji e

1e

2e

3e

La base est dite directe si un observateur se plaant

lextrmit du vecteur e verra le vecteur tourner vers le

vecteur e dans le sens contraire des aiguilles dune montre.

0R

3

1e

2

Dans cette base un vecteur V de composantes ( scrirait :

3),, Rzyx ++= 321 ezeyexV

Les quantits relles x, y, z sont appeles composantes du vecteur V dans la base

3R .

La notation adopte est la suivante : V

=zyx

R0

+=

321 aaa

5. Loi de composition interne : Somme vectorielle

La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que :

1

2

321 , RVV

nous avons W 321 RVV

Soit ( les composantes du vecteur V do : V et

les composantes du vecteur V do : V

),,

1

++= 3322111 eaeaea

),,( 321 bbb

2

++= 3322112 ebebebLe vecteur somme est dfini par la relation :

+++++=+= 33322211121 )()()( ebaebaebaVVW

Llment neutre ou vecteur nul, est not : )0,0,0(0 =

5.1 Proprits de la somme vectorielle

- la somme vectorielle est commutative : V ; +=+ 1221 VVV



18

A.KADI

- la somme vectorielle est associative : ;

++=+

+ 321321 VVVVVV

- llment neutre est dfini par : ; =+ VV 0

- A tout vecteur correspond un vecteur oppos not tel que : V

V =

+ 0VV

5.2 Multiplication par un scalaire

Si est un nombre rel et un vecteur, leur produit est un vecteur. VR , ========> 3 RV 3RVW =

Le vecteur est colinaire au vecteur . W

V

Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur

scrirait :

V

++= 332211 eaeaeaVW

332211 ++= eaeaeaW

La multiplication dun vecteur par un scalaire vrifie les proprits suivantes :

a) Distribution par rapport laddition des scalaires : ; +=+ VVV 2121 )(

b) Distribution par rapport la somme vectorielle : ; +=+ 2121 )( VVVV

c) Associativit pour la multiplication par un scalaire : = VV 2121 )(

6. Combinaison linaire des vecteurs

Soit les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et n ,........,, 321 des

nombres rels. Les vecteurs sont aussi des

vecteurs de lespace

nnii VVVVV ..................,.........,, 332211

3R ainsi que leur somme dfini par : W

=++++= ni

iinn VVVVVW .............332211

Le vecteur est appel combinaison linaire des vecteurs : W

nVVVV ...,.........,, 321

6.1. Dpendance et indpendance linaire entre les vecteurs 6.1.1. Dfinition

On dit que les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213R sont linairement



19

A.KADI

indpendant si et seulement si, ils vrifient la relation suivante : entrane que = 0n

iii V

tous les i sont nuls. =++++= 0.............332211 nnn

iii VVVVV 01 = , 02 = , .. 0=n

Si les i ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linairement dpendant entre eux. 6.1.2. Proprits sur lindpendance des vecteurs

a) Un vecteur est lui seul un vecteur linairement indpendant ; V

b) Dans un systme de vecteurs linairement indpendants, aucun dentre eux ne peut tre un

vecteur nul ;

c) Dans un ensemble de vecteurs indpendants, tout sous ensemble prlev sur ces vecteurs

forme un systme de vecteurs indpendants.

6.1.3. Proprits sur la dpendance des vecteurs

Si n vecteurs sont dpendants entre eux alors, au moins lun dentre eux est une combinaison

linaire des autres. Soit les n vecteurs : de lespace

ni VVVVV ..................,.........,, 3213R et

n ,........,, 321 des nombres rels, si ces vecteurs sont linairement dpendants la relation :

= 0n

iii V

Implique quil existe des i non nuls, de telle sorte que la relation puise scrire : =++++ 0.............332211 nn VVVV qui donne par exemple :

+++= nn VVVV .............332211

+++= nn VVVV .............1

33221

1

On dit alors que dpend linairement des vecteurs :

1V

nVVV .........,........., 32

Remarque :

a) Si sont linairement indpendant, alors les vecteurs

le sont aussi quel que soit les vecteurs

nVVVV .........,.........,, 321

,...,,.........,.........,,

2

1321

+

+

nnn VVVVVV ,...,,

2

1

+

+ nn VV



20

A.KADI

Dans un ensemble de vecteurs linairement indpendants, chaque vecteur est une

combinaison unique des autres vecteurs.

b) Soit W et U deux vecteurs indpendants: = ni

ii V = ni

ii V

Lgalit entre les deux vecteurs indpendants est quivalente n galits entre les nombres

rels : Si W = V ii =

7. Produit scalaire de deux vecteurs

On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et V une loi de composition externe qui

associe aux deux vecteurs, un scalaire (nombre rel) not : V tel que :

1

2

21 V

RVVRVV 2132 ,1

)cos( 2,12121

= VVVVVV ; le rsultat dun produit scalaire est un scalaire.

Le produit scalaire est nul, si :

Les deux vecteurs sont orthogonaux ; Lun des vecteurs est nul. 7.1 Proprits du produit scalaire

a) linarit : 2 12 1

+

+ =

WVWVWVV

=

WVWV

b) symtrie par rapport aux vecteurs : V donc : V si V

= VWW 0> V 0

Le produit scalaire est une forme linaire symtrique associe aux vecteurs V et W .

7.2 Expression analytique du produit scalaire

Considrons une base b de lespace 3R note : b . Cette base est orthonorme si : ),,( 321= eee

==

ji si 0ji si 1

ji ee

1e

2e

3e

La base b est dite directe si un observateur se plaant lextrmit

du vecteur e verra le vecteur e tourner vers le vecteur

3

1

2e

dans le sens contraire des aiguilles dune montre.



21

A.KADI

Soient deux vecteurs et . Leurs expressions dans cette base sont :

1V

2V ++= 3322111 eaeaeaV ++= 3322112 ebebebV

Le produit scalaire des deux vecteurs est donn par :

33221133221133221121 bababaebebebeaeaeaVV ++=

++

++=

7.3. Norme ou module dun vecteur

On appelle norme ou module dun vecteur , not : V

V la racine carre positive du produit

scalaire du vecteur par lui-mme.

== 2VVVV

Nous avons en particuliers : = VV

++ 212121 VVVVVV : appel ingalit triangulaire.

7.4. Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont dits orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

Si

= 0 WVWV

Si trois vecteurs non nuls sont orthogonaux deux deux, ils sont alors linairement

indpendant et ils constituent une base orthogonale dans 3R .

7.5. Base orthonorme

Une base est dite orthonorme si les vecteurs qui la constituent sont perpendiculaires deux

deux et si leurs normes sont gales 1. Si est orthonorme nous avons alors : ),,( 321= eeeb

021 =

ee , , 031 =

ee 032 =

ee

12111 ==

eee , , 12222 ==

eee 12333 ==

eee



22

A.KADI

8. Produit vectoriel de deux vecteurs

Le produit vectoriel de deux vecteurs V et V de lespace

1

2

3R est un vecteur W

perpendiculaire V et V , dfini par :

1

2

== nVVVVVVW ,sin 212121

ou : est un vecteur unitaire perpendiculaire V et V n

1

2

1V

2V

W

n

Le produit vectoriel est nul si :

- Les deux vecteurs sont colinaires ;

- Lun des vecteurs, est nul.

8.1. Proprits du produit vectoriel

a) Le module du produit vectoriel est gal laire du paralllogramme form par V et V ;

1

2

b) Le produit vectoriel est distributif gauche et droite pour la somme vectorielle :

)( 2121 +=+ WVWVWVV

+=+ 2121 )( VWVWVVW

c) Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un nombre rel :

) ( )( = WVWV

) ( ) = WVWV

d) Le produit vectoriel est antisymtrique (anticommutatif)

= 1221 VVVV

Si on applique cette proprit au produit vectoriel dun mme vecteur, nous aurons :

== 0) ( VVVV

On dduit partir de cette proprit que : deux vecteurs non nuls sont colinaires si et

seulement si leur produit vectoriel est nul.

Si alors

21 // VV = 0 21 VV

En effet si on peut crire : 21 // VV = 21 VV

== 0) ( 2221 VVVV



23

A.KADI

8.2. Produit vectoriel des vecteurs unitaires dune base orthonorme

Si est orthonorme nous avons : ),,( 321= eeeb

Sens direct : e , e , e = 321 ee

= 132 ee = 213 ee

Sens oppos : , e , = 312 eee

= 123 ee = 231 eee

8.3. Expression analytique du produit vectoriel dans une base orthonorm direct

Le produit vectoriel de deux vecteurs de composantes respectives dans une base

orthonorme direct R:

21 et VV

=

1

1

1

1

ZYX

R

V et

=

2

2

2

2

ZYX

R

V

=

=

2121

2121

2121

2

2

2

1

1

1

21 XYYXZXXZYZZY

ZYX

ZYX

VV

8.4. Produit mixte

On appelle produit mixte de trois vecteurs V pris dans cet ordre, le nombre rel dfini

par : V

321 ,, VV

321 VVLe produit mixte est donc un scalaire gal au volume

3V

1V

2V

du paralllpipde form par les trois vecteurs.

Le produit mixte est nul, si :

- les trois vecteurs sont dans le mme plan ;

- deux des vecteurs sont colinaires ;

- lun des vecteurs, est nul.

On montre facilement que, dans une base orthonorme directe, le produit mixte est un variant

scalaire par permutation circulaire direct des trois vecteurs car le produit scalaire est

commutatif:

=

=

132213321 VVVVVVVVV



24

32,1 ,VVV

13,221,332,1 ,,, VVVVVVVVV

A.KADI

Remarque :

Une notation simplifie, dans laquelle les oprateurs napparaissent pas, est adopte dans ce

cas pour faciliter lcriture des quations vectorielles :

321 VVV est quivalent

nous avons alors :

=

=

8.5. Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs respectifs V est un vecteur W exprim

par la relation : W . Le vecteur W est perpendiculaire au vecteur V et au

vecteur form par le produit : V , il est donc dans le plan form par les vecteurs

. Le vecteur W peut scrire : W

32 1 ,, VV

= 321 VVV

1

32 V

32 et VV += 32 VbVa

Nous pouvons prsenter cette relation autrement par identification des scalaires a et b, on

obtient :

= 321231321 )( )( VVVVVVVVV

Il faut faire attention lordre des vecteurs car le produit vectoriel nest pas commutatif.

Pour retenir cette formule, il est plus simple de lcrire sous la forme :

)( )(

= BACCABCBA

9. Projection des vecteurs

9.1. Projection orthogonale dun vecteur sur un axe

Soit V un vecteur quelconque, et ( ) un axe de lespace dfini par son vecteur unitaire u .

La projection orthogonale du vecteur V est la composante V de ce vecteur du cet axe.

u

u

V

uV

= uuVVu )(



25

A.KADI

9.2. Projection orthogonale dun vecteur sur un plan

Soit V un vecteur quelconque, et ( ) un plan de lespace dfini par la normale . La

projection orthogonale du vecteur V est la composante V dans le plan.

n

Le vecteur V a deux composantes lune dans le plan et lautre perpendiculaire au plan. On a

ainsi : V

== nnV( VV V

nV

n

V

V

(

n )

)( )(

Qui scrit aussi sous la forme : V

= nnVVnn

On retrouve la relation du double produit vectoriel

entre les vecteurs V et : V

n )( = nVn

10. Division vectorielle

Si , on dit que = WVX X est le rsultat de la division vectorielle de W par V

i) ne doit pas tre un vecteur nul ; V

ii) et V doivent tre orthogonaux W

Sil existe une solution particulire , alors elle est la forme

0X = WVX 0

En remplaant cette valeur dans lexpression on obtient : = WVX

= WVWV )( = WWVVVVW )()( Comme V alors V ; on obtient :

W 0= W

=WVVW )( 21V=

Nous avons aussi : cette expression montre que le

vecteur ( est parallle V , dans ce cas nous pouvons crire que :

= VXVX 0 = 0)( 0 VXX

)0 XX

= VXX )( 0 avec IR ou += VXX 0

finalement :

+= V

VWVX 2



26

A.KADI

11. Rgle des sinus dans un triangle Soit un triangle quelconque ABC nous pouvons tablir une relation entre les trois cts et les

trois angles du triangle.

C

B A E

D

Dans les triangles ABD et CBD , nous avons :

ABDB=sin et

BCDB=sin

do : sinsin BCAB = On dduit :

sinsin ABBC =

De mme pour les triangles AEC et BEC , nous avons :

ACEC=sin et

BCEC= )sin( do sin)sin(sin BCBCAC ==

On dduit : sinACBC =

sin

On dduit finalement une relation appele rgle des sinus dans un triangle:

sinAC

sinsin== ABBC

12. Oprateurs et vecteurs

12.1 Oprateur gradient dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR

On dfini loprateur vectorielle not :

+

+= k

zj

yi

x comme tant la drive dans

lespace suivant les trois directions des vecteurs unitaires.

Le gradient dun scalaire U est dfini comme tant la drive vectorielle suivant les trois

directions respectives par rapport aux variables : x, y, z . kji ,,

+

+= k

zUj

yUi

xUzyxgradU ),,( ou UUgrad

=

Exemple :

yzzxxyU 523 += : zyxU 23 =

, zxyU 53 += , yx

zU 52 +=

++++= kyxjzxizyzyxgradU )52()53()23(),,( Le gradient dun scalaire est un vecteur.



27

A.KADI

12.2 Oprateur divergence dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR

La divergence dun vecteur est dfinie comme tant le produit scalaire ++= kVjViVV zyx

de loprateur :

+

+= k

zj

yi

x par le vecteur ; not :

V

= VVdiv

zV

yV

xVkVjViVk

zj

yi

xVdiv zyxzyx

++

=

++

+

+= )(

La divergence dun vecteur est un scalaire.

12.3 Oprateur rotationnel dans un repre orthonorm ),,,(kjiOR

Le rotationnel dun vecteur est dfinie comme tant le produit ++= kVjViVV zyx

vectoriel de loprateur :

+

+= k

zj

yi

x par le vecteur ;

V

= VVrot ;

++

+

+= kVjViVk

zj

yi

xVrot zyx)(

Le rotationnel dun vecteur est aussi un vecteur.

Sous la forme matricielle nous aurons :

=

=

yV

xV

xV

zV

zV

yV

V

V

V

z

y

xVrot

xy

zx

yz

z

y

x

)(

Remarque :

Si f est un champ scalaire et et A

B deux vecteurs quelconques, les relations suivantes

sont vrifies :

- += gradfAAfdivAfdiv )( ;

- , avec = AAdivgradArotrot )()( 2

2

2

2

2

2

zyx +

+= ;

- ; )( ))( += Arot fAgradfAfrot

- ; = 0)( gradfrot

- ; 0)( ( = Arotdiv- )()() (

= BrotAArotBBAdiv



30

A.KADI

EXERCICES ET SOLUTIONS

Exercice 01 :

Deux points A et B, ont pour coordonnes cartsiennes dans lespace : A(2,3,-3), B(5,7,2)

Dterminer les composantes du vecteur ainsi que son module, sa direction et son sens.

AB

Solution :

Le vecteur est donn par :

AB ++=+= iiiOAOBAB 543

Son module : 50543 222 =++=AB Sa direction est dtermine par les angles ),,( quil fait avec chacun des axes du repre. Ses angles se dduisent par le produit scalaire du vecteur par les vecteurs unitaires du

repre orthonorm :

AB

),(= iAB : cos.1.ABiAB = 424.0

503cos ===

ABiAB = 89.64

),(= jAB : cos.1.ABjAB = 565.0

504cos ===

ABjAB = 54.55

),(= kAB : cos.1.ABkAB = 707.0

505cos ===

ABkAB = 99.44

son sens : comme le produit scalaire du vecteur avec les trois vecteurs unitaires est

positif alors, il a un sens positif suivant les trois axes du repre.

AB

k

A

B

i

j



31

151 =

A.KADI

Exercice 02 :

La rsultante de deux forces et est gale 50 N et fait un angle de 30 avec la

force . Trouver le module de la force et langle entre les deux forces.

1F 2

F

151 NF =

2F

Solution :

R = 50 N ; V ; N = 30 , n ous avons : += 21 FFRDans le triangle rectangle: ACD rectangle en D, nous avons :

222 DCADAC += cos21 FFBDABAD +=+=

sin2FDC =

On obtient alors : cos2)sin()cos( 212221222212 FFFFFFFR ++=++=cos2 2122212 FFFFR ++= (1)

Nous avons aussi :

sin sin

sin sin

22

F CDFCD

R CDR

CD

==

== (2) sinsin 2FR =

et R

FFR

AD coscos 21 +== 2

1coscos (3) F

FR =

en remplaant lexpression (3) dans (1), on aboutit :

)cos(2cos2 112

22

12

121

22

21

2 FRFFFF

FRFFFFR ++=

++=

do : )cos(2 112

12

2 FRFFRF =

NxF 44,44)1530cos50(1521550 222 ==

Lexpression (3) nous donne : 566,050

1530cos50cos == = 528,55

2F

1F

A

C

D B

R



32

A.KADI

Exercice 03 :

Soient les vecteurs suivants : et ++= kAjAiAU 3211

++= kBjBiBU 32121) Calculer les produits scalaires : , , , 221121

UUUUUU

On donne : , , += kjiV 521

+= kjiV 5.75,132 ++= kjiV 453

2) Calculer ; et 2121

VVVV

3) Sans faire de reprsentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du

vecteur par rapport ; 2

V 1V

4) Calculer les produits suivants et ; ) ( 321

VVV ) ( 321

VVV

5) Dterminer la surface du triangle form par les vecteurs

32 et VV

Solution :

1) , , 33221121 BABABAUU ++=

23

22

2111 AAAUU ++=

23

22

2122 BBBUU ++=

2) 455,375,16 21 ==

VV

=

+

=

=

000

335,15,15,75,7

5,75,13

55,1

2 21 VV

3) Comme le produit vectoriel des deux vecteurs est nul, alors ils sont parallles

= 0 21 VV // 21

VV

De plus leur produit scalaire est ngatif , alors les vecteurs sont

parallles et de sens opposs

45 21 =

VV

21 et VV

4) 05,225,40635,45,405,31

51

2

145

5,75,13

51

2) ( 321 ==

=

= VVV

on peut retrouver ce rsultat par la mthode vectorielle :

Nous avons soit // 21

VV 32 = VVW , calculons

3

2

WV

WV

WV1



33

A.KADI

WVVVWV 1212 // et 0 1 =

WV

V

=

=

=

5,1125,166

198

5,45,405,31

51

2

145

5,75,13

51

2) ( 321 VV

V ++= kjiVV 5,112166198) ( 321

5) La surface du triangle form par les vecteurs V est donne par la moiti du

module du produit vectoriel des deux vecteurs :

32 et V

Nous avons : alors : += k,ji,VV 545,40531 32

50,51)54(5,40531 22232 =++=

,,VV

2V

3V

75,25250,51

2

32

==

=

VVS

cest la demi surface du paralllogramme :

Exercice 04 :

Soient les vecteurs : += kiU 62 , V , , ++= kzjyi8

et

et

+= kjiP 243 ++= kjyiQ 122

1) Dterminer y et z pour que les vecteurs U soient colinaires ; V

2) Dterminer la valeur de y pour que les vecteurs soient perpendiculaires; QP et

Solution :

1) Si U sont colinaires alors:U V

= 0 V

=

+

=000

2482

68

602

y

zy

zy

==

240

zy

2) Si sont perpendiculaires alors : QP et 0 = QP

0 12

2

24

3 0

=

= yQP 02446 =+ y 29=y



34

A.KADI

Exercice 05 :

Trouvez le volume dun paralllpipde dont les cots sont les vecteurs : U tel que : , , ,QP

+= jiU 62 , , 53 += kjP , += kjiQ 24

Solution :

Le volume dun paralllpipde est un scalaire positif. On doit utiliser une opration

vectorielle dont le rsultat est un scalaire positif : cest le module du produit mixte des trois

vecteurs : ) (

= QPUv

223025 3

526

062

2

41

530

062

) ( =+=

=

=

QPU ;

2222) ( === QPUv

Exercice 06 :

La trajectoire dun mobile dans un repre orthonorm directe est donne par les

quations paramtriques suivantes : ,

),,,(kjiOR

24tx = )3

(43tty = , 33 ttz +=

Montrer que le vecteur vitesse V fait un angle constant avec laxe oz. Quelle est la valeur de

cet angle.

Solution :

xVyV

xyV

zV

V

k

j

i

La vitesse du mobile est donne par : V

+==

== )

)1(31(4 8

2

2

tVtV

tV

z

y

x

Nous avons en effet :

z

yx

z

xy

VVV

VV

tg22 +==

)1(316321664

)1(3)1(1664

2

242

2

222

tttt

ttt

tg +++=+

+=



35

A.KADI

34

)1(3)1(4

)1(3)1(16

)1(3)12(16

2

2

2

22

2

22

=++=+

+=+++==

tt

tt

ttt

tg

34=tg = 13,53 la valeur de langle est bien constante.

Exercice 07 :

La ligne daction dune force de 800 N , passe par les points et

dans un repre orthonorm. Dterminer les composantes de cette force

F

74,2022,1

A

61,022,10

B

Solution :

Nous avons :

= ABuABAB AB

ABuAB

= vecteur unitaire port par la ligne daction.

74,2

13,222,122,1)13,2()22,1()22,1(

13,222,122,1 222

+=++

+== kjikjiABABu AB

+= kjiu AB 777,0445,0445,0

La force scrira : F

)6,621356356)777,0445,0445,0(800 +=+== kjikjiuFF AB

Les composantes de la force sont ainsi connues suivant les trois axes du repre.

Exercice 08 :

Soit un repre orthonorm direct dans lespace vectoriel Euclidien ),,,( 321eeeOR 3R trois

dimensions dans le corps des nombres rels. Soit un axe passant par le point O et de

vecteur unitaire tel que : , et un vecteur quelconque

),( uO

u

=

3

2

1

uuu

u

=

3

2

1

VVV

V



36

A.KADI

On note u un plan orthogonal laxe ),( uO

1) Calculer les produits scalaires suivants : ;

VuVVuu , ,

2) Dterminer les composantes du vecteur dans le repre ; En

dduire dans cette base la matrice reprsentant loprateur produit vectoriel not :

;

= VuW ),,,( 321eeeOR

[ ]uu * =

3) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur laxe

; En dduire la matrice

uV

V

),( uO [ ]Pu reprsentant loprateur projection orthogonale sur

laxe ; ),( uO

4) Trouver lexpression du vecteur : projection orthogonale du vecteur sur le plan V

V

u ; En dduire la matrice [ reprsentant loprateur projection orthogonale sur sur le plan

]uu ;

5) Dterminer lexpression de la distance d dun point

zyx

R

P laxe ; En dduire

lexpression matricielle reprsentant la distance au carre : dans le repre R.

),( uO

2d

Solution :

1) Calcul des produits scalaires :

, , 2322

21 uuuuu ++=

2

32

22

1 VVVVV ++=

332211 VuVuVuVu ++=

2) dans le repre = VuW ),,,( 321

eeeOR

, sous forme matricielle lexpression scrira :

=

==

1221

3113

2332

3

2

1

3

2

1

VuVuVuVuVuVu

VVV

uuu

VuW

=

3

2

1

12

13

23

00

0

VVV

uuuu

uuW

= V

uuuu

uuW

00

0

12

13

23



37

A.KADI

[ ] = VuW * avec : [ ] oprateur produit vectoriel.

=

00

0*

12

13

23

uuuu

uuu

3) Expression du vecteur , projection de sur laxe dans R

uVV ),(

uO

Nous avons :

= uuVVu

( ) ( )

++++=++=

= 332211332211332211 eueueuVuVuVuuVuVuVuuuVVu

( ) ( ) ( ) ++++++++= 332323213123322221211331221121 eVuVuuVuueVuuVuVuueVuuVuuVu ( ) [ ][ ] =

= VuuVuuu

uuu

T 3213

2

1

Nous avons donc : [ ] [ ][ ] ( )

=

==

233231

322221

312121

321

2

2

1

uuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuu

uuu TP

4) Expression du vecteur , projection de sur le plan V

V )( orthogonal u

Le vecteur a deux composantes, lune perpendiculaire au plan elle est porte par laxe

et lautre dans le plan

V

)( )( .

Nous avons alors :

+

=+= VuuVVVV u

=

= uuVVuuuuVVV , on retrouve la forme du double produit

vectoriel do : . Le produit vectoriel est anticommutatif, alors :

, ce qui donne :

= uVuV

[ ] == VuVuuV * [ ] [ ] =VuuV **

mais nous savons que : [ ] on a finalement : [ uu T ** = ][ ] [ ] [ ][ ]{ } [ ] === VuVuuVuuV PTT ****



38

=+ =+ =+]

A.KADI

avec [ ] [ ][ ]TP uuu **=Dveloppons cette expression :

[ ] [ ][ ]

+++

=

==

22

213231

3223

2121

312123

22

12

13

23

12

13

23

00

0

00

0**

uuuuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuu

uuuu

uuuuu TP

sachant que : u alors : u , u , u 12322

21 =++ uu 212322 1 uu 222321 1 uu 232221 1 uu

La matrice [ scrira : Pu

[ ]

=

=233231

322221

312121

233231

322221

312121

100010001

11

1

uuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuu

uP

[ ] [ ] [ ][ ]Tp uuu = 1 or nous avons [ ] [ ][ ]TP uuu **= [ ][ ] [ ] [ ][ ]TT uuuu = 1** finalement : [ ][ ] [ ][ ] [ ]1 ** =+ TT uuuu 5) Expression de la distance d du point P laxe ),(

uO

= HPd

H

O

)(

u

P

Calculons le produit vectoriel : OP u

Le vecteur a pour composantes :

OP

== zyx

R

rOP

=

+= uHPuHPOHuOP

dHPuHPuHP === 90sin

nous avons alors :

= uOPuOPd 2 nous allons utiliser la rgle du produit mixte afin de dvelopper

cette expression.



39

A.KADI

=

=

= OPuOPuuOPuOPuOPuOPd ,,,,2

qui scrit sous forme :

=

= OPuOPuOPuOPu ,,

= Vud 2 avec

= OPuOPV

Daprs ce que lon a vu prcdemment, nous pouvons crire :

=

00

0*

xyxz

yzr

[ ][ ]( )

==

=

= urruurruuOPOPuOPuOPudT

**)((2

or nous avons [ ] [ ]Trr ** =

[ ][ ]( ) [ ] ==uIuurrud O

TT

T

**2 avec [ ][ ]( ) [ ]OT Irr =**

[ ]

+++

=22

22

22

yxyzxzyzzxxyxzxyzy

IO

en faisant intervenir la masse du solide, nous obtenons une matrice de la forme :

[ ]

+++

=

SSS

SSS

SSS

dmyxyzdmxzdm

yzdmdmzxxydm

xzdmxydmdmzy

J

)(

)(

)(

22

22

22

0

qui est une matrice trs particulire que lon retrouvera dans les chapitres sur la cintique et

la dynamique des solides.

Elle est appele matrice dinertie du solide.



40

A.KADI

Exercice : 09

Rsoudre lquation vectorielle : o sont deux vecteurs non nuls. = bxa ba et

Solution :

Lquation nadmet de solution que si sont orthogonaux. Soit (ba et ) un plan

contenant les vecteurs , alors le vecteurs est perpendiculaire ce plan xa et

b )( .

On cherche dabord une solution particulire avec un vecteur tel que : soient

deux vecteurs perpendiculaires entre eux :

0x

0et xa

0 00 =

xaxa

Alors on a aussi : Multiplions vectoriellement gauche cette quation par le

vecteur , on obtient :

0 = bxa

a 0

=

baxaa 00

=

baaaxxaa

200

aabxbaaax

==

nous avons ainsi : en faisant la diffrence entre ces deux quations, nous

==

0bxa

bxa

obtenons la solution gnrale : x

=

= 0 0 00 xxaxaxa

Comme le produit vectoriel est nul alors alors do :

0 // xxa 0 = axx

On a finalement : 0 += axx 2

+= aa

abx

Reprsentation gomtrique :

a

0x

b

a x



41

A.KADI

Exercice : 10

On dispose de deux forces lune de 9 N lautre de 7 N . Comment doit-on les disposer pour

obtenir une rsultante de : 16 N ; 11,40 ; 3 N

Exercice 11 :

Calculer la surface du triangle ABC, o les sommets ont pour coordonnes dans un repre

orthonorm : )4 ,2 ,3( , )2 ,2 ,2( , )2 ,3 ,1( CBA Exercice 12 :

Dterminer la rsultante des trois forces concourantes au point : )3,2,2(A

+= kjiF 5,271 ; ; += kjiF 522

++= kjiF 433Calculer :

21 FF , 21 FF ,

+ 21 FF

En dduire le module, la direction et le vecteur unitaire port par la rsultante

Que peut-on dire de et .

1F

3F

Exercice 13 :

Soit le systme dquations vectorielles dans un repre orthonorm direct ,

dterminer les deux vecteurs tels que :

),,,(kjiOR

Yet X

==+

(2)

(1)

2

1

VYX

VYX avec

+=++=

kjiV

kjiV

2158

247

2

1

On multiplie vectoriellement gauche lquation (1) par le vecteur X puis on applique la

rgle de division vectorielle quon vient de voir dans lexercice (09). =

+ 1VXYXX , on remplace cette expression dans lquation (2)

do : on dduit daprs ce que lon a vue dans lexercice (9) que :

= 1VXYX = 21 VVX

121

12

+= V

VVVX

+++

= kjiX 247

247

2158

691 247

1372

38

691

+++

= kji



42

A.KADI

++

++

+= kjiX 269

137469

276938

On dduit Y facilement par :

269

137469

276938 2471

+

+

+

++== kjiiiiXVY

)1(269137)1(4

692)1(7

6938

++

++

+= kjiY

Exercice 14 :

Dans un repre orthonorm on donne trois points A, B, C de lespace ayant pour

coordonnes : , , . Soit

),,,(kjiOR

)4,3,1(A )2,4,1( B )1,1,0(C )( un plan dfini par ces trois points et la normale celui-ci.

n

Dterminer les composantes du vecteur dans le plan += kjiV 43 )( et suivant la

normale ce plan.

Solution :

Le vecteur scrirait : V

+= VVV n O et )( nV )(

V

Le vecteur unitaire est perpendiculaire au plan et aussi aux vecteurs n

BCACAB ,,

Alors : , , 0= ABn 0= ACn 0= BCnNous avons : , ,

+= kjiAB 62 = kjiAC 32 += kjiBC 33

Soit +=

=

== kiACABW 515

5015

321

612

Le vecteur est perpendiculaire au deux vecteurs donc aussi au vecteur ,

alors il est perpendiculaire au plan

W

ACAB et

BC

)( form par ces trois vecteurs. On dduit le vecteur

unitaire normal au plan )( par : 106

515

+== kiWWn



43

A.KADI

On peut vrifier facilement :

0303062106

515 ==

+

+=

kjikiABn

0151532106

515 ==

+=

kjikiACn

0151533106

515 =+=

+

+=

kjikiBCn

La composante, du vecteur, suivant la normale au plan scrirait :

=

+

+=

= nnkikjinnVVn 106

65515106143

=

+==

kikinVn 325975106

1106

51510665

10665

La composante dans le plan )( se dduit par :

+=

+== kjikikjiVVV n 996571061325975

106143

Exercice 15 :

Dterminer lexpression gnrale des vecteurs orthogonaux aux vecteurs :

et . En dduire les vecteurs unitaires port par .

W

++= kjiV 321 += kjiV 532

W

Exercice 16 :

Soient trois vecteurs libres ; montrer quil vrifient la relation suivante : WVU , ,

=

+

+

0 UWVVUWWVU

Solution :

On utilise la formule de dveloppement du double produit vectoriel.

=

VUWWUVWVU



44

A.KADI

=

UWVVWUVUW

=

WVUUVWUWV

La somme des trois termes donne :

=

+

+

=

+

+

0

WVUVWUUVWVUWUWVWUV

WVUUVWUWVVWUVUWWUV

Comme le produit scalaire est commutatif alors : =

+

+

0 WVUUUVWWUWVV

Exercice 17 :

Soient deux forces et faisant chacune respectivement un angle de 25 et 35 avec

la rsultante

1F

2F

R qui a une valeur de 400 N . Dterminer les modules des deux forces.

Solution :

B

A

35 25

35

2F

1F

R

C

Utilisons la rgle des sinus :

sin35sin25sinACABBC ==

=+= 120)3525(180 or nous avons : , et 1FAB = 2FBC = RAC = Do : NRF 195

120sin25sin 2 == et NRF 265

120sin35sin 1 ==

Exercice 18 :

Soit , Q += ktjtitP 32 752 += ktjtit 2104 23

1) Vrifier les relations suivantes : dtQdPQ

dtPdQP

dtd

+=

dtQdPQ

dtPdQP

dtd

+=



45

A.KADI

2) Calculer les produits suivants : et

QPP

QPP

Soit un vecteur ; quelle est la valeur de += kjtiU 2 pour que le vecteur soit

perpendiculaire

U

P .

3) Dterminer le volume du paralllpipde form par les vecteurs QPU ,, ;

4) Dterminer la composante de sur laxe Q passant par les points A(0,0,1) et B(1,2,1)

Exercice 19 :

Soit f un scalaire et trois vecteurs quelconques, vrifier les relations suivantes : CBA , ,

1)

+= gradfAAfdivAfdiv )( ;

2) += ArotfAgradfAfrot )(

3) ; ) () (

= BACCABCBA

4) = AAdivgradrotArot )()( ;

5) ; 0)( =gradfrot

6) = 0) Arotdiv(

7)

= rotBArotABBAdiv )(

Solution :

1) )()()()( zyx fAzfA

yfA

xAfdiv

++

=

zfA

yfA

xfA

zA

yA

xAf zyxz

yx

+

++

+

+=

=

+ gradfAAfdiv

2)

+

+

+

=

=

=

yfA

yA

fxfA

xA

f

zfA

xAf

zfA

zAf

zfA

zA

fyfA

yAf

yfA

xfA

xfA

zfA

zfA

yfA

fA

fA

fA

z

y

xAfrot

xx

yy

zz

xx

yy

zz

xy

zx

yz

z

y

x

)(



46

A.KADI

+

+

+

=

yfA

xfA

yA

xA

f

zfA

zfA

xA

zAf

zfA

yfA

zA

yAf

xyxy

zxzx

yzyz

= + ArotfAgradf

3)

=

=

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

CBCBCBCBCBCB

AAA

CCC

BBB

AAA

CBA

( ) ( )( ) (( ) ( )

=yzzyyzxxzx

xyyxxyzzyz

zxxzzxyyxy

CBCBACBCBACBCBACBCBACBCBACBCBA )

++++++

=zzzzzzyzyzyyzxxxzx

yyyyyyxyxyxxzxzxzz

xxxxxxzxzxzzxyyyxy

CBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBACBA

( ) ( )( ) (( ) (

++++++++++++

=zzyyxxzzzyyxxz

zzyyxxyzzyyxxy

zzyyxxxzzyyxxx

BABABACCACACABBABABACCACACABBABABACCACACAB ))

) () (

= BACCAB

4)

=

=

zA

yA

yxA

zA

x

yA

xA

xzA

yA

z

xA

zA

zyA

xA

y

yA

xA

xA

zA

zA

yA

z

y

xrotArot

yzzx

xyyz

zxxy

xy

zx

yz

)(

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= AAdivgrad

Azyxz

Ay

Ax

Az

Azyxz

Ay

Ax

Ay

Azyxz

Ay

Ax

Ax

zzyx

yzyx

xzyx

)(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



47

A.KADI

5) =

=

=

=

= 0000

)(22

22

22

yxf

yxf

xzf

xzf

zyf

zyf

xf

yyf

x

zf

xxf

z

yf

zzf

y

zfyfxf

z

y

x fgradrot

Dune autre manire : =

== 0)( ff fgradrot

6)

==

yA

xA

xA

zA

zA

yA

z

y

xAArotdiv(

xy

zx

yz

)

+

+

=

yA

xA

zxA

zA

yzA

yA

xxyzxyz

0222222

=

+

+

=yz

Axz

Axy

Azy

Azx

Ayx

A xyzxyz

Dune autre manire :

= AArotdiv( ) soit les vecteurs sont perpendiculaires au

vecteur rsultat

= BA Aet B . Nous avons alors :

= BArotdiv( )

Comme do : B 0 = B 0) = Arotdiv(

7)

=

xyyx

zxxz

yzzy

BABABABABABA

z

y

xBAdiv

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy BABAzBABAyBABAx ++=



48

A.KADI

+

+

=y

Ax

AB

xA

zAB

zA

yAB xyzz

xy

yzx

y

Bx

BA

xB

zBA

zB

yBA xyzz

xy

yzx

= rotBArotABBAdiv )(

Exercice 20 :

Soit un vecteur exprim dans un repre orthonorm . ++= kzjyixr ),,,( kjiOR

1) Calculer et ( ) rgrad

r

grad 1 ;

2) Si U(r) est un champ scalaire symtrie sphrique, montrer que est un

vecteur radial ;

( )(rUgrad )

3) Calculer et en dduire que pour un champ lectrique Coulombien : )(rdiv

rrkE

= on a

; = 0Ediv

4) Montrer que 01 =

r

avec 0r ;

5) Calculer

rrot

Solution :

1) Nous avons : ( )21222222 zyxzyxr ++=++= et ( ) 212221 ++= zyxr

( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++=++= kzyxzjzyxyizyxxkzrjyrixrrgrad 21

22221

22221

222

( ) rr

zyx

kzjyix

=++++=

21

222



49

A.KADI

+

+

=

k

rzj

ryi

rxrgrad 1111

( ) ( ) ( ) ++++++= kzyxzjzyxyizyxx 232222322223222 ( ) 323222 r

r

zyx

kzjyix

=++++=

2) ( )

+

+

=

++

= kzr

rrUj

yr

rrUi

xr

xrUk

zrUj

yrUi

xrUrUgrad )()()()()()()(

rr

rrUk

zrj

yri

xr

rrU

=

+

+

= )()(

3) 3=+

+=

++

+

+=

zz

yy

xxkzjyixk

zj

yi

xrdiv

4) 13.111 333

+=

=

=

rgradr

rrrdiv

rgraddiv

r

+

+

+= krz

jry

irx

rr 3333

1113.1

nous avons : 562

33

3.3.11rx

rx

rr

xr

rrrx==

=

de mme pour y et z : 535331 , 31r

zrzr

yry

=

=

alors, nous obtenons :

03333.13333.11 33535553 =+=+=

+++=

rr

rrrr

ir

zir

yirxr

rr

5) =

=

=

=

0000

yx

xy

xz

zx

zy

yz

z

y

x

z

y

xrrot

Car x , y , z : sont des variables indpendantes



51

A.KADI

CHAPITRE II

LES TORSEURS



52

A.KADI

LES TORSEURS

Les torseurs sont des outils mathmatiques trs utiliss en mcanique. Lutilisation des

torseurs dans ltude des systmes mcaniques complexes est trs commode car elle facilite

lcriture des quations vectorielles. Une quation vectorielle reprsente trois quations

scalaires et une quation torsorielle est quivalente deux quations vectorielles donc six

quations scalaires. Nous verrons dans les prochains chapitres quatre types de torseurs

diffrents : le torseur cinmatique, le torseur cintique, le torseur dynamique et le torseur des

actions.

1. Moment dun vecteur par rapport un point

Le moment dun vecteur V dorigine B ( glissant ou li) par rapport un point A est

AM

gal au produit vectoriel du vecteur

position par le vecteur V .

AB

Remarque :

Or nous avons : VBC // = 0) VBC =+== VABVBCABVACVM A )()(

Il scrit : = VABVM A )(

Le tridre form respectivement par les

vecteurs ( est direct. ) , ,

AMVAB

V

)(VM A

A

B )(

Le moment au point A est indpendant

de la position du vecteur V sur laxe

. En effet nous avons :

)( +== VBCABVACVM A )()(

V

)(VM A

A

B )(C



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A.KADI

Le moment est perpendiculaire au plan form par les vecteurs . )(VM A

VAB et

La distance AB est souvent appele bras de levier.

2. Moment dun vecteur par rapport un axe

Le moment dun vecteur V par rapport un axe )(

VM

)( dfini par un point A et un

vecteur unitaire u , est gal la projection du moment sur laxe ( .

)(VM A )

= uuVMVM A )()(

3. Les torseurs 3.1. Dfinition

Un torseur que nous noterons [ est dfini comme tant un ensemble de deux champs de vecteurs dfinis dans lespace gomtrique et ayant les proprits suivantes :

]T

a) Le premier champ de vecteurs fait correspondre tout point A de lespace un vecteur R

indpendant du point A et appel rsultante du torseur [ ]T ; b) Le second champ de vecteur fait correspondre tout point A de lespace un vecteur

qui dpend du point A. Le vecteur est appel moment au point A du torseur [ .

AM

AM ]T3.2. Notation

La rsultante R et le moment rsultant au point A , constituent les lments de

rduction du torseur au point A.

AM

Soit R la rsultante des n vecteurs glissants : V appliqus

respectivement aux points : . Nous pouvons dfinir partir de ce

systme de vecteurs deux grandeurs :

nVVV .....,.........,, 321

nBBBB ......,.........,, 321

- La rsultante des n vecteurs : ; =

=n

iiVR

1

- Le moment rsultant en un point A de lespace est donn par : =

=n

iiiA VABM

1

Le moment par rapport laxe est

indpendant du point A.

V

)(VM A

A

B

)(

VM

)(



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A.KADI

Les deux grandeurs constituent le torseur dvelopp au point A associ au systme de

vecteurs donns. On adopte la notation suivante : [ ]=

A

AMRT

Remarque : Un torseur nest pas gal un couple de vecteur, mais il est reprsent au point

A par ses lments de rduction.

4. Proprits des vecteurs moments 4.1. Formule de transport des moments

Connaissant le Torseur [ ] en un point A de lespace nous pouvons

dterminer les lments de rduction de ce mme torseur en un autre point C de lespace.

=

==

=

n

iiiA

ii

A

VABM

VRT

1

Le moment au point C sexprime en fonction du moment au point A , de la rsultante R et

du vecteur CA . Nous avons en effet :

=

=

=

=

=

=

+=+=+==n

iii

n

ii

n

iii

n

ii

n

iii

n

iiiC VABVCAVABVCAVABCAVCBM

111111)(

+= AC MRCAM

+= RCAMM AC

Cette relation trs importante en mcanique permet de dterminer le moment en un point C en

connaissant le moment au point A.

4.2. Equiprojectivit des vecteurs moments

Les vecteurs moments au point A et

AM

CM

au point C ont la mme projection sur la droite AC :

ACM AA

AM

R

R

CM

C

ACM C

On dit que le champ des vecteurs moments,

est quiprojectif.

+= RCAMM AC



55

A.KADI

La projection du vecteur moment sur laxe CA revient faire le produit scalaire avec le

vecteur un facteur multiplicatif prs. Nous avons par la formule de transport :

CA

+= RCAMM AC

Multiplions cette relation scalairement par le vecteur .

CA

)(

+=+= RCACAMCARCAMCAMCA AAC

or est un vecteur perpendiculaire alors : RCA CA 0) ( = RCACA

on obtient finalement :

= AC MCAMCA ou

= CAMCAM AC Le produit scalaire est commutatif.

Cette expression exprime que les projections des vecteurs moments sur la droite

CA sont gales.

AC MM et

5. Oprations vectorielles sur les torseurs 5.1. Egalit de deux torseurs Deux torseurs sont gaux (quivalents), si et seulement si, il existe un point de lespace en

lequel les lments de rduction sont respectivement gaux entre eux. Soient deux torseurs

et [ tel que : [ ]1T ]2T [ ] [ ]PP TT 21 = gaux au point P, cette galit se traduit par deux galits vectorielles : [ ] [ ]PP TT 21 =

==

2

1

21

PP MM

RR

5.2. Somme de deux torseurs

La somme de deux torseurs et [ ]1T [ ]2T est un torseur [ ]T dont les lments de rduction sont respectivement la somme des lments de rduction des deux torseurs.

PMR et

[ ] [ ] [ ]PPP TTT 21 += [ ]

+=+==

2

1

21

PPP

PMMM

RRRT



56

A.KADI

5.3. Multiplication dun torseur par un scalaire

Si [ ] [ ]PP TT 1 = [ ] avec

===

1

1

PP

PMM

RRT

IR

5.4. Torseur nul

Le torseur nul, not [ ]0 est llment neutre pour laddition de deux torseurs. Ses lments de rduction sont nuls en tout point de lespace.

[ ]

===

3

0 0 0IRPM

R

P

6. Invariants du torseur 6.1 Dfinition

On appelle invariant dun torseur [ ] toute grandeur indpendante du point de lespace o elle est calcule.

PT

6.2 Invariant vectorielle dun torseur

La rsultante R est un vecteur libre, indpendant du centre de rduction du torseur, elle

constitue linvariant vectorielle du torseur [ ]PT

6.3 Invariant scalaire dun torseur ou automoment Linvariant scalaire dun torseur donn, est par dfinition le produit scalaire des lments de

rductions en un point quelconque de ce torseur.

Le produit scalaire est indpendant du point A. Nous avons vu prcdemment la

formule de transport : ; en faisant le produit scalaire de cette relation

par la rsultante

AMR

+= RCAMM AC

R , on obtient :

+= RRCAMRM AC

+= R RCA R MRM AC

= RMRM AC



57

A.KADI

on voit bien que le produit scalaire, des deux lments de rduction dun torseur, est

indpendant du point o est mesur le moment.

7. Axe central dun torseur 7.1. Dfinition Soit un torseur donn de rsultante non nulle. Laxe central ( ) est dfini par lensemble des points P de lespace tel que le moment du torseur en ce point, soit parallle la rsultante.

P avec = RM P IR Laxe central dun torseur est parallle la droite support de la rsultante du torseur :

Dmonstration :

Soient P et P deux points de laxe central, nous pouvons crire : = RM P et car les deux moments sont parallles

= ' ' RM P R

et nous avons aussi par la formule de transport :

' ' += RPPMM PP

' ' += RPPRR ') ' ( = RPPR

Par dfinition le vecteur rsultat de RPP' est perpendiculaire 'PP et R ou nul.

La seule possibilit ici est, quil soit nul, alors dans ce cas : == 0 'et ' RPP

= 0 ' RPP : do laxe central est parallle la rsultante du torseur. // ' RPPNous allons montrer aussi que laxe central est le lieu des points ou le module du moment

PM du torseur est minimum.

Soit P un point appartenant laxe central et soit A un point quelconque de lespace

nappartenant pas laxe central. Nous pouvons crire par la formule de transport :

+= RAPMM PA

on dduit alors :

+

+= RAPMRAPMM PPA 2 222

or nous avons : = RM P



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A.KADI

+

+= RAPRRAPMM PA 2 222

2222 >

+= PPA MRAPMM

Quel que soit P appartenant laxe central le moment en ce point est minimum.

7.2. Symtrie du champ des moments dun torseur

Soit un repre orthonorm direct dont laxe vertical est confondu avec laxe

central du torseur dfini au point O par : [ ] ),,,(

zyxOR

),()(= zO

OO

===

zMMzRRT O

On dfini un autre repre local orthonorm direct en un point A quelconque de lespace tel

que laxe Oz reste confondu : tel que ),,,(zvuAR )

= zvu

Laxe rencontre laxe en un point C. ),(uA ),(

zO

On pose et CA do OA = zhOC = uL +=+= uLzhCAOC

Par la formule de transport nous pouvons crire :

)( ++=+= uLzhzRzMOARMM OOA

+= vL R zMM OA

z

2

AM

1

AM

AM

v

CM

R

OM A2

A1A

C

O

z

uy

)(x



59

A.KADI

Daprs cette relation, on constate que les vecteurs moments autour de laxe central sont

situs dans le plan . ),(zv

- Si L = Cte alors : ; OOA MuzRLzzMzM =+=

- Le module du moment est constant si L = Cte :

AM22 )()( RLMM OA +=

On remarque que les vecteurs moments situs une mme distance L de laxe central sont

tangents au cylindre de rvolution de mme axe

)()( .

On constate aussi que lorsque le point A o est mesur le moment se dplace le long de laxe

, le moment en ce point fait des rotations. Nous avons alors ),(uC

- pour est parallle 0=L AM

z

- pour est orthogonal laxe L AM

z

On constate donc une torsion du moment lorsque le point A sloigne de laxe central du

torseur, cest de l que vient lorigine du mot torseur.

7.3. Equation vectorielle de laxe central Soit O lorigine des coordonnes dans un repre orthonorm et )( laxe central dun

torseur [ . Nous avons : ]T )(P = RM P // RM P = 0 RM P Et += RPOMM OP 0

=+= RPORMRMR OPEn utilisant la proprit du double produit vectoriel, on aboutit :

=+ 0) ( )( 2 PORRRPOMR O

) ( )( 2

= PORRMRROP O ) (

22

+= R

R

OPR

R

MROP O

) (

22

+= R

R

OPR

R

MROP O



60

A.KADI

Le premier terme de cette quation est indpendant du point P, on peut le noter comme tant

un vecteur

=

20

R

MROP O et le second terme dpend du point P car cest un vecteur

parallle R . On pose =

2

) (

R

OPR do : 0 += ROPOP

Laxe central du torseur passe par le point dfini partir de O par lquation : [ ]T 0P

=

20

R

MROP O et parallle R donc au vecteur unitaire :

=

R

Ru .

7.4. Pas du torseur

Nous savons que pour tout point P de laxe central nous avons : = RM P

Le produit scalaire de cette expression par linvariable vectorielle R donne :

= RRRM P do :

= 2

R

RM P

Comme le produit est linvariant scalaire du torseur, la valeur

RM P est indpendante du point P. est appele Pas du torseur elle nest dfinie que si : 0R

8. Torseurs particuliers 8.1. Glisseur

8.1.1. Dfinition Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

nul. Cette dfinition peut se traduire par : [ ]T est un glisseur [ ]

==

R avec

P RMTI P0

,0

On sait que linvariant scalaire est indpendant du point P o il est calcul. Comme la

rsultante nest pas nulle alors on peut dire que : un torseur est un glisseur, si et seulement si,

il existe au moins un point en lequel le moment du torseur est nul.



61

A.KADI

8.1.2. Moment en un point dun glisseur

Soit [ un glisseur donn. Il existe au moins un point o le moment du glisseur est nul. Soit A ce point, nous pouvons crire : ,

]T = 0 AM

Par la formule de transport le moment en un point P quelconque scrit : += APRMM AP

= APRM P Cette relation exprime le vecteur moment en un point P quelconque dun glisseur dont le

moment est nul au point A.

8.1.3. Axe dun glisseur

Soit [ un glisseur donn et A un point quelconque tel que : , ]T = 0 AMCherchons lensemble des points P pour lesquels le moment du torseur est nul :

Si ; cette relation montre que le vecteur 0 =PM

= 0 APR AP est colinaire la

rsultante R .

Lensemble des points P est dtermin par la droite passant par le point A et de vecteur

unitaire parallle la rsultante R .

Cette droite est appele axe des moments nul du glisseur ou axe du glisseur. Elle reprsente

laxe central du glisseur.

Un torseur de rsultante non nulle est un glisseur, si et seulement si, son invariant scalaire est

nul.

8.2. Torseur couple

8.2.1. Dfinition Un torseur non nul est un torseur couple, si et seulement si, sa rsultante est nulle.

Cette dfinition se traduire par : est un torseur couple [ ]T

=

0 :que tel 0

PMPR



62

=

A.KADI

8.2.2. Proprits du vecteur moment Le moment dun torseur couple est indpendant des points de lespace o il est mesur.

Nous avons : V tel que : 21 V ==+= 1221 0 VVVVR

Le moment en un point A quelconque de lespace est donn par :

1V

2V

P

Q

(S)

H

=+= 1121 VAQVAPVAQVAPM A == 111 VQPVAQVAPM A

On voit bien que le moment au point A est indpendant

du A. on va montrer quil est aussi indpendant des points P et Q.

En effet nous avons : =+== 111 )( VHPVHPQHVQPM A

H est la projection orthogonale du point P sur la droite support du vecteur .

2 V

En ralit le moment dun torseur couple ne dpend que de la distance qui spare les deux

droites supports des deux vecteurs, il est indpendant du lieu o il est mesur.

8.2.3. Dcomposition dun torseur couple

Soit [ un torseur couple dfini par : [ ] . Ce torseur couple peut tre dcompos ]CT =

MTC

0

en deux glisseurs [ et [ tel que : ]1T ]2T [ ] [ ] [ ]21 TTTC += o les deux glisseurs sont dfinis comme suit : [ ]

+==+=

quelconquepoint un est o

0

2

1

21

PMMM

RRTPP

C

Les invariants des deux glisseurs sont nuls: ; 0

1

11 ==

RMI P 0

2

22 ==

RMI PIl existe une infinit de solution quivalente un torseur couple.

Le problme est rsolu de la manire suivante :

a) on choisis un glisseur [ en se donnant : ]1T- la rsultante du glisseur : ;

1R



63

A.KADI

- laxe du glisseur, dfini par un point tel que : )( 1 1P ),()( 111= RP

b) Le glisseur est dfini alors par : [ ]2T- sa rsultante ;

= 12 RR- son axe est dtermin facilement car il est parallle )( 2 )( 1 ; il suffit alors de

connatre un point de cet axe. Le point est dtermin par la relation suivante : 2P 2P = MPPR 211

Cette relation dtermine la position du point de faon unique. 2P

9. Torseur quelconque

9.1. Dfinition Un torseur est quelconque, si et seulement si, son invariant scalaire nest pas nul.

[ ]T est un torseur quelconque 0PMR

9.2. Dcomposition dun torseur quelconque

Un torseur quelconque peut tre dcompos dune infinit de faon en la somme dun

torseur glisseur [ et dun torseur couple[ ]T

]1T [ ]2T . Nous procdons de la manire suivante :

a) Choix du point P

On choisit un point P o les lments de rduction du torseur [ ]T sont connus : [ ] =

PMRT

Le choix du point P dpendra du problme rsoudre, on choisit le point le plus simple

dterminer. Une fois que le choix est fait, la dcomposition du torseur quelconque est unique.

b) Construction du glisseur [ ] 1T- la rsultante gale la rsultante du torseur quelconque : , avec son axe qui passe

par le point P dj choisi ;

= RR1

- Le moment est nul sur cet axe : = 0 1PM



64

A.KADI

Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]

===

0

1

11

PM

RRT

c) Construction du torseur couple [ ]2T - la rsultante est nulle : ,

= 02R

- Le moment du torseur couple est gal au moment du torseur quelconque: = PP MM

2

Le glisseur aura pour lments de rduction : [ ]1T [ ]

===

2

22

0

PP MM

RT

On obtient ainsi [ ] [ ] [ ]21 TTT += En chaque point choisi initialement nous pouvons faire cette construction. Tous les glisseurs

obtenus auront la mme rsultante. Ils diffrent par leurs axes mais gardent la mme direction

car ils sont tous parallles laxe portant la rsultante du torseur quelconque.

10. Tableau rcapitulatif sur les torseurs

Elments de rduction au point A Construction minimum Type de torseur 0R

= 0 AMR Un vecteur li unique

Torseur glisseur

= 0R 0AM

Deux vecteurs lis formant un couple

Torseur couple

0 AMR

Un vecteur li + 2 vecteurs lis formant un couple

Torseur quelconque

= 0R = 0AM

Vecteurs nuls

Torseur nul



65

A.KADI

EXERCICES ET SOLUTIONS

Exercice : 01

Dans un repre orthonorm , deux points A et B ont pour coordonnes : ),,,(kjiOR

A(2, 2, -3) et B(5, 3, 2) ; Dterminer :

1) Le moment du vecteur glissant par rapport au centre O du repre ;

AB

2) Le moment du vecteur glissant par rapport la droite

AB )( passant par le point O et le point C(2, 2, 1)

Solution :

1) Le moment du vecteur par rapport au point O est donn par :

AB

=

=

== kjiABOAM O 41913

419

13

513

322

;

2) Moment du vecteur par rapport au point la droite

AB )( dfinie par le point O et le

vecteur unitaire tel que : u

++=++++==

kjikjiOCOCu 22

31

14422

3

16 )4 3826(31

122

31

419

13

==

=

= uuuuuMM O ;



66

A.KADI

Exercice : 02

Soient les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre

orthonorm et lis respectivement au points

++= kjiV1 += kjV 22

= jiV3),,,(

kjiOR )0,2,1( ),2,0,1( , )2,1,0( CBA

1) Construire le torseur [ ] associ au systme de vecteurs ; OT 321 ,, VVV2) En dduire lautomoment ;

3) Calculer le pas du torseur ;

4) Dterminer laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.

Solution :

1) Les lments de rduction du torseur [ ]OT sont : La rsultante :

+=++= kjVVVR 3321Le moment au point O :

3

2

1

++= VOCVOBVOAM O

=

+

+

=

+

+

=

121

322

122

121

01

1

221

210

201

111

210

OM

2) Lautomoment : 53223 ==

+== kjikjMRA O

3) Pas du torseur : 105

315

222=

+==

RMRp O

4) Equation vectorielle de laxe central :

Si laxe est un axe central alors : )( )( P = RM P

Son quation vectorielle est donne par :

+= R

RMROP O 2 avec IR



67

A.KADI

++

++=

+

=

+

= kjiOP 3

101

103

21

310

13

5

101

310

121

310

101

Si alors :

=zyx

R

OP

0

21=x ; +=

103y et 3

101 +=z

Do : 131093

101

1033

101 +=++=

++= yyyz

Laxe central est une droite dans un plan parallle au plan (yOz) situ 21=x et

dquation : 13 += yz

Exercice : 03

Soit le torseur [ dfini par les trois vecteurs ; , dfinis dans un repre orthonorm respectivement au points

A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ; et le torseur [ ] o et

.

]OT1 += kjiV 7321 = kjiV 32 += kjiV 823 ),,,(

kjiOR

=

20

22

M

RT O ++= kjiR 322

+= kjiM 723201) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]OT1 , conclusion; 2) Dterminer le pas et laxe central du torseur [ ]OT2 ; 3) Calculer la somme et le produit des deux torseurs ; 4) Calculer lautomoment du torseur somme .

Solution :

1) Elments de rduction du torseur: [ ]

++=++==

321

1

32111

VOCVOBVOAM

VVVRTO

O

0 3211 =++= VVVR



68

A.KADI

+=

=

+

+

=

+

+

= jiM O 6

061

01

2

301

370

821

100

11

3

010

732

001

1

[ ]

+===

jiM

RTO

O6

0

1

11

2) Pas et axe central du torseur [ ]OT2

Pas du torseur : 711

142123

914

72332

22

222 =+=++

+

++==

kjikji

RMRP

Axe central du torseur :

+= 22

2

22 RR

MROP

+++

=

+

=

+

=

3

21145

21413

312

7513

141

312

723

312

141OP

3) Somme et produit des deux torseurs

a) Somme des deux torseurs :

[ ] [ ] [ ]

+=+=++=+==+=

kjiMMM

kjiRRRTTTOOO

OOO782

32

2

1

2121

b) Produit des deux torseurs :

[ ] [ ] 25 723 32 12 21 2

2

1

121 =

+

++=+=

=

kjikjiMRMRM

R

M

RTT OOOO

OO

4) Automoment du torseur somme :

17782 32 =

+

++== kjikjiMRF O



69

A.KADI

Exercice : 04

On considre les points A(0, 1, 1), B(0, 1, -1), C(1, 1, 1) et D(0, 2, -1) dans un repre

orthonorm . Dterminer : ),,,(kjiOR

1) Les lments de rduction du torseur associ aux vecteurs et

AC

BD ;

2) Laxe central du torseur vectoriellement et analytiquement.

Exercice : 05

Soit A un point de lespace dans un repre orthonorm , avec ),,,(kjiOR

= kjiOA9

1294

921 et un vecteur dont laxe passe par le point A .

Soit [ un torseur dfini au point O par ses lments de rduction et tel que :

++= kjiV 331]02T 2R 20M

[ ]

++=++==

kjM

kjiRT

)323()92(

3)4(

20

202

1) Dterminer les lments de rduction du torseur [ ]01T dont la rsultante est le vecteur ; 1V2) Pour quelle valeur de les deux torseurs sont gaux ; 3) En dduire le pas et laxe central du torseur [ ]02T pour cette valeur de . 4) Calculer le produit des deux torseurs pour 2= Solution : 1) Elments de rduction du torseur [ ]01T ; do [ ]

=++==

33

110

101

VOAM

kjiVT

=

== 3/11

110

313

9/129/49/21

110 VOAM

[ ]

=++==

kjM

kjiVT)3/11(11

33

10

101

2) Les deux torseurs sont gaux si leurs lments de rductions sont gaux.

[ ] [ ]

===

2010

210201

MM

RVTT

++=++=++

kjkj

kjikji

)323()92(

31111

3)4(33



70

A.KADI Cette galit est vrifie pour : 1= 4) Pas et axe central du torseur pour [ ]02T 1= .

Le torseur scrit : [ ]

=++==

kjM

kjiRT)3/11(11

33

20

202

Pas du torseur : 03

111133191

22

2022 =

++==

kjkjiRMRP

Axe central du torseur : Cest lensemble des point P tel que :

+= 22

2

202 RR

MROP

++

=

+

=

3

19331911

357

110

313

3/11110

313

191OP

si (x, y, z) sont les coordonnes du point P alors : nous aurons les trois quations scalaires:

31933 ,

1911 , 3

57110 +=+== zyx

le point P dcrit la courbe : 5738532 =++ zyx

5) Produit des deux torseurs pour 2=

Pour 2= le torseur [ scrit : ]02T [ ]

=++==

32013

622

20

202 kjM

kjiRT

[ ] [ ] 7 12 21 2

2

1

121 =+=

=

OOOO

OO MRMVM

R

M

VTT



71

A.KADI

Exercice : 06

Soient deux torseurs et [ dfinis au mme point A par leurs lments de rduction dans un repre orthonorm :

[ ]AT1 ]AT2),,,(

kjiOR

[ ]

=++==

kjiM

kjiRTA

A74

223

1

11 et [ ]

++===

kjiM

kjiRTA

A74

223

2

22

1) Dterminer laxe central et le pas du torseur [ ]AT1 ; 2) Dterminer lautomoment du torseur [ ]AT1 , montrer quil est indpendant du point A ; 3) Construire le torseur [ ] [ ] [ ]AAA TbTaT 21 += avec IRba et ; 4) Quelle relation doivent vrifier a et b pour que le torseur [ ]AT soit un torseur couple ; 5) Montrer que le torseur couple est indpendant du point ou on le mesure ; 6) Dterminer le systme le plus simple de vecteurs glissants associs au torseur somme :

[ ] [ ]AA TT 21 +Solution :

1) Axe central et Pas du torseur [ ]AT1Axe central : Il est dfini par lensemble des points P tel que :

+= 121

11 RR

MROP A

++

=

+

=

+

=

2

175

21713

31712

223

51312

171

223

71

4

223

171OP

Pas du torseur [ : ]AT1 172874223

171

21

111 =

++==

kjikjiRMRP A

2) Automoment du torseur [ : ]AT1 287422311 = ++=

kjikjiMR A



72

)

A.KADI

Lautomoment est indpendant du point A. En effet, daprs la formule de transport nous

pouvons crire : += 1RABMM BA

+= 1111 RABRMRMR BA

= BA MRMR 11 , on voit bien quil est indpendant du point A.

3) [ ] [ ] [ ]AAA TbTaT 21 += [ ]

+=+==

AAA

AMbMaM

RbRaRT21

21

[ ]

+=++==

kbajbaibaM

kbajbaibaRTA

A)(7)()(4

)(2)(2)(3

1

4) Condition pour que [ ] soit un torseur couple : ATil faut que la rsultante soit nulle : baR == 0Le moment dans ce cas sera gal :

=+= iaibaM A 8)(415) Le moment dun torseur couple o les rsultantes ont le mme module mais de

sens opposes et appliques aux points quelconque A et B scrit :

21 , RR

+= 21 ROBROAM A ( 11

+= ROBROA

+== 11 RHABHRBAA

BH

1R

2R

=== 211 RAHRAHRHA

Le moment dun couple est indpendant de la distance entre les points A et B , il dpend

uniquement de la distance qui spare les deux droites supports des rsultantes. Cette distance

est appele bras de levier.



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A.KADI

6) Systme simple de vecteurs glissants associs au torseur somme : [ ] [ ]AA TT 21 + Le torseur somme [ ] est donn par : [ ] AT

===

iMRT

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MECANIQUE rationnelle kadi ali.pdf