Mécanique Rationnelle II

FACULTE POLYTECHNIQUE DE MONS

Service de Mecanique Rationnelle,

Dynamique et Vibrations

Notes de cours a l’intention

des etudiants de 2e

Bachelier

Mecanique Rationnelle II

— Notes de cours —

Prof. Calogero CONTI, Prof. Serge BOUCHER

Septembre 2007

Table des matieres

1 Grandeurs cinetiques 1

1.1 Definition des grandeurs cinetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Le torseur des reactions d’inertie ~R(−ma), ~M(−ma)O . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Le torseur des quantites de mouvement ~P , ~LO . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 L’energie cinetique T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Theoremes generaux de la cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Relation entre la resultante des reactions d’inertie et la resultante desquantites de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Relation entre le moment des reactions d’inertie et le moment cinetique . 6

1.2.3 Relation entre les resultantes des deux torseurs cinetiques et le mouvementdu centre de gravite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Theoreme de Koenig - Mouvement d’un systeme mecanique autour de son centrede masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Expression des torseurs cinetiques relatifs au centre de gravite G dans lemouvement par rapport au repere de Koenig . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1.1 Torseur des quantites de mouvement au centre de gravite G/Sk 8

1.3.1.2 Torseurs des reactions d’inertie au centre de gravite G/Sk . . . . 9

1.3.2 Theoremes de Koenig (ou theoremes de transport) . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Proprietes d’inertie d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1 Tenseur d’inertie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.2 Matrice d’inertie en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.3 Moments d’inertie par rapport a une droite et produits d’inertie par rap-port a deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.4 Proprietes de variance tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.5 Inertie de solides a masse repartie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.6 Signification du moment d’inertie en relation avec la projection du momentcinetique sur l’axe de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.7 Rayon de giration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.8 Proprietes d’inertie centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

i

TABLE DES MATIERES ii

1.4.9 Tenseur d’inertie de solides homogenes de forme geometrique simple . . . 16

1.4.9.1 Circonference homogene, par rapport a l’axe Oz passant par soncentre O ou coque cylindrique circulaire homogene, par rapporta son axe Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.9.2 Sphere homogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.9.3 Parallelepipede rectangle, plaque plane et barre par rapport ades axes passant par leur centre de gravite O et paralleles auxcotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.9.4 Cylindre et disque par rapport a leur axe Oz, et a deux axesperpendiculaires a celui-ci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.10 Transposition des proprietes d’inertie en un autre pole - Theoreme desaxes paralleles (ou theoreme de Steiner) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.11 Transposition des proprietes d’inertie a d’autres directions - Variance ten-sorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5 Exercices a resoudre sur la notion d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.1 Tenseur d’inertie d’un systeme disque + cylindre . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.2 Disque en rotation non aligne par rapport a son axe . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3 Axes principaux d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.3.1 Proprietes d’un axe principal central . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Solide dynamiquement de revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 Relation entre moments d’inertie mecanique et geometrique . . . . . . . . . . . . 28

1.8 Cas plan de la cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9 Methodes de determination du torseur des reactions d’inertie et de l’energiecinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.1 Resultante des reactions d’inertie ~R(−m~a)S/s . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.9.2 Moment ~M(−m~a)O des reactions d’inertie au point O . . . . . . . . . . . . 30

1.9.2.1 Derivation du moment cinetique au meme point O . . . . . . . . 31

1.9.2.2 En passant par le centre de gravite G et le theoreme de Koenig . 32

1.9.2.3 En passant par un autre point point P mieux adapte pour l’ex-pression du moment des reactions d’inertie . . . . . . . . . . . . 33

1.9.3 Energie cinetique T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9.3.1 S’il existe un point O tel que sa vitesse instantanee soit nulle . . 33

1.9.3.2 Methode generale basee sur le theoreme de Koenig . . . . . . . . 34

1.10 Cinetique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.11 Tests de comprehension sur l’inertie et les grandeurs cinetiques . . . . . . . . . . 37

1.11.1 Tige en rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.11.2 Plaque tournant autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.11.3 Moto roulant sans glisser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Cours de Mecanique Rationnelle II Prof. C. Conti, Prof. S. Boucher

TABLE DES MATIERES iii

1.12 Exercices a resoudre sur les notions de grandeurs cinetiques . . . . . . . . . . . . 40

1.12.1 Transmission par roues dentees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.12.2 Plaque en rotation - Conditions d’equilibrage d’un solide en rotation au-tour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.12.3 Rotation autour d’un axe vertical, du bati d’une foreuse en fonctionnement- Manifestation du couple gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Theoremes generaux de la dynamique 42

2.1 Principe fondamental de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.1 Principe fondamental en repere galileen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.1.2 Principe fondamental en repere non galileen . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.3 Principe fondamental en repere geocentrique . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.4 Principe fondamental par rapport a des axes lies a la terre . . . . . . . . . 50

2.1.4.1 Direction du vecteur ~g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.4.2 Grandeur du vecteur gravite ~g et de l’attraction terrestre ~H parunite de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.1.4.3 Difference entre jour solaire et jour sideral . . . . . . . . . . . . 53

2.1.5 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontaleen rotation. Resolution en appliquant le principe fondamental de la dyna-mique - Equilibre des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2 Principe de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.1 Application du principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . 57

2.2.1.1 Rappels de mecanique analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.1.2 Methodologie d’application du principe des puissances virtuelles- Demonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.2 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontale enrotation - Resolution par application du principe des puissances virtuelles 60

2.3 Conditions initiales - Etat dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Theoremes generaux de la Dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4.1 Theoreme de la quantite de mouvement et theoreme du centre de masse . 62

2.4.1.1 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.2 Theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4.2.1 Exemple - Equation du mouvement d’un solide en rotation per-manente autour d’un axe fixe Oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4.3 Quelques corollaires et interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4.4 Exercices en application des theoremes generaux de la dynamique . . . . 66

2.4.4.1 Mouvement d’une barque dont un passager se deplace . . . . . . 66

2.4.4.2 Mouvement d’un disque sur lequel se deplace un animal . . . . . 66


TABLE DES MATIERES iv

2.5 Theoreme de l’energie cinetique (ou theoreme des forces vives) . . . . . . . . . . 66

2.5.1 Expression du theoreme de l’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.5.2 Application du theoreme de l’energie cinetique dans le cas d’un systemeconservatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.5.2.1 Cas de liaisons sans perte et independantes du temps . . . . . . 69

2.5.2.2 Cas de forces appliquees derivant d’une energie potentielleindependante du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.5.2.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.2.4 Formulation pour un systeme conservatif . . . . . . . . . . . . . 72

2.5.2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.5.3 Exercice en application du theoreme de l’energie cinetique . . . . . . . . . 74

2.5.3.1 Mouvement d’un motocycliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2.5.4 Comparaison avec le premier principe de la Thermodynamique . . . . . . 74

2.6 Cas plan de la dynamique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.7 Invariance des theoremes generaux et generalisation du theoreme du momentcinetique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.8 Tests de comprehension sur les theoremes generaux de la dynamique . . . . . . . 78

2.9 Exercices sur les theoremes generaux de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.9.1 Poulie roulant sur un plan horizontal grace a deux ergots . . . . . . . . . 81

2.9.2 Mouvement d’un systeme roue et tige glissant avec frottement . . . . . . 82

2.9.3 Mouvements d’un carrousel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.9.4 Appontage d’un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3 Vibrations des Systemes Mecaniques a un degre de liberte 85

3.1 Mouvement libre d’un systeme a 1 degre de liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.1 Equation differentielle du mouvement libre d’un systeme a 1 degre de liberte 85

3.1.1.1 Mouvement horizontal d’une masse glissant sans perte soumisea des forces elastiques et d’amortissement . . . . . . . . . . . . . 85

3.1.1.2 Mouvement vertical d’une masse ponctuelle soumise a des forceselastiques et d’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.1.2 Rappels sur la resolution d’une equation differentielle homogene a coeffi-cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.3 Lois du mouvement libre d’un systeme lineaire vibrant amorti a 1 degrede liberte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.1.3.1 Cas d’un systeme non amorti ξ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.1.3.2 Cas general d’un systeme amorti ξ > 0 . . . . . . . . . . . . . . 90

3.1.3.3 Analyse detaillee de l’evolution correspondant a une loi du mou-vement pseudo-periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93


TABLE DES MATIERES v

3.1.4 Determination experimentale du degre d’amortissement . . . . . . . . . . 95

3.1.4.1 Si le systeme oscille autour de zero . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1.4.2 Deuxieme methode : en determinant directement le decrementlogarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.1.4.3 Si le systeme n’oscille pas autour de 0 . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.1.4.4 Influence du frottement sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.1.5 Aspects energetiques en mouvement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.1.5.1 Bilan energetique dans le cas d’un systeme amorti . . . . . . . . 102

3.1.5.2 Bilan energetique dans le cas d’un systeme non amorti . . . . . 104

3.2 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte . . . (cas general) . . . . . . . 104

3.2.1 Equation differentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.2.2 Linearisation de l’equation differentielle du mouvement lorsque le systemeest soumis a des forces elastiques non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.2.3 Rappels sur la resolution d’une equation differentielle lineaire a coefficientsconstants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.2.3.1 Integrale generale - Integrale particuliere . . . . . . . . . . . . . 106

3.2.3.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2.3.3 Solution generale de l’equation non homogene . . . . . . . . . . 107

3.2.3.4 Principaux types d’excitation f(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte . . . (excitation harmonique) 108

3.3.1 Solution globale en transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Reponse harmonique - Courbe d’am-plification dynamique G1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.3.3 Interpretation de l’evolution frequentielle des reponses harmoniques enamplitude et en phase - Aspects physiques et mathematiques . . . . . . . 116

3.3.4 Interpretation de l’evolution frequentielle des reponses harmoniques enamplitude et en phase - Visualisation dans le plan complexe . . . . . . . . 116

3.3.5 Aspects energetiques du comportement d’un systeme mecanique amortisoumis a une excitation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.5.1 Energie developpee par la force d’excitation harmonique durantun cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.3.5.2 Egalite sur un cycle entre l’energie dissipee par l’amortisseur etl’energie fournie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.3.5.3 Energie dissipee par l’amortisseur durant un cycle . . . . . . . . 120

3.3.6 Reponse dans le cas particulier (theorique) ou l’amortissement est nul . . 121

3.4 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte . . . (excitation par balourd) 122


3.4.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Courbe de gain G2 . . . . . . . . . . . 123


TABLE DES MATIERES vi

3.4.3 Force dynamique transmise au sol - Courbe de transmissibilite T . . . . . 125

3.5 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte . . . (excitation par la base) . 128


3.5.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Courbe de transmissibilite T . . . . . . 129

3.6 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte (excitation periodique) . . . 131

3.6.1 Rappels sur la decomposition en series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 131

3.6.2 Etude de la reponse de regime lorsque l’excitation est periodique . . . . . 133

3.6.3 Application a la dynamique des systemes mecaniques : importance dudomaine frequentiel pour les vibrations mecaniques . . . . . . . . . . . . . 134

3.6.4 Application en metrologie : reproduction d’un signal d’entree . . . . . . . 135

3.7 Reponse indicielle d’un systeme mecanique lineaire a un degre de liberte . . . . . . 136


3.7.2 Utilisation de la reponse indicielle en metrologie . . . . . . . . . . . . . . 138

3.7.3 Utilisation de la reponse indicielle pour la determination de la reponse aune excitation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3.8 Reponse impulsionnelle des systemes a un degre de liberte (ou reponse balistique) 140


3.8.1.1 Utilisation de la reponse impulsionnelle pour la determination aune excitation quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.8.2 Relation entre reponse impulsionnelle z(t) et reponse indicielle g(t) . . . . 143

3.9 Systemes du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.9.1 Equation differentielle du mouvement - Reduction a l’ordre 1 . . . . . . . 143

3.9.2 Reponse en mouvement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

3.9.3 Reponse indicielle d’un systeme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 144

3.9.4 Reponse harmonique d’un systeme du premier ordre . . . . . . . . . . . . 146

3.10 Capteurs d’acceleration et de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.10.1 Principe d’un accelerometre piezoelectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.10.2 Caracteristique frequentielle d’un accelerometre . . . . . . . . . . . . . . . 148

3.10.3 Les capteurs de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.10.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3.10.3.2 Caracteristique frequentielle d’un capteur de vitesse . . . . . . . 151

3.11 Mouvements pendulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.11.1 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.11.2 Pendule compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.11.3 Systemes mecaniques dont l’equation du mouvement est identique a celledu pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


TABLE DES MATIERES vii

3.12 Exemples de formulation des equations du mouvement pour des systemes a un ddl156

3.12.1 Disque oscillant autour d’un axe vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.12.2 Table vibrant horizontalement excitee par un balourd en rotation . . . . . 158

3.13 Raideur equivalente pour differents systemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

3.14 Tests de comprehension sur les theoremes generaux de la dynamique . . . . . . . 161

3.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.15.1 Vibrations subie par un cycliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.15.2 Stabilisation d’une plate forme sur un bateau . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.15.3 Exercice : appontage d’un avion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4 Percussions — Gyroscopie — Equilibrage 167

4.1 Percussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.1.1 Choc entre deux solides : hypotheses de la mecanique rationnelle . . . . . 167

4.1.2 Applications des theoremes generaux de la dynamique a la phase de choc 168

4.1.2.1 Theoreme de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . 168

4.1.2.2 Theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.1.3 Definition du vecteur percussion et equations d’equilibre dans le cas d’unepercussion unique sur un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.1.4 Cas des percussions multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.1.5 Centre des percussions et percussion sur un pendule compose . . . . . . . 172

4.1.6 Definition du coefficient de restitution et aspects energetiques . . . . . . 175

4.1.6.1 Determination du coefficient de restitution. Rebond d’une bille . 176

4.1.6.2 Evolution temporelle du rebond d’une bille . . . . . . . . . . . . 177

4.1.6.3 Interpretation energetique du coefficient de restitution . . . . . . 178

4.1.7 Validite de la theorie des percussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.2 Equilibrage d’un solide autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.2.1 Equations d’equilibre dynamique d’un solide en rotation autour d’un axefixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

4.2.2 Caracteristiques d’equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.2.2.1 Equilibrage statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.2.2.2 Equilibrage dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.2.2.3 Equilibrage parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.2.3 Theoreme fondamental de l’equilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.2.3.1 Definition du vecteur balourd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.2.3.2 Theoreme de base de l’equilibrage . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.2.4 Realisation de l’operation d’equilibrage d’un rotor . . . . . . . . . . . . . 184


TABLE DES MATIERES viii

4.2.4.1 Relation entre balourds d’equilibrage et vibrations induites . . . 184

4.2.4.2 Determination des coefficients d’influence . . . . . . . . . . . . . 186

4.2.4.3 Verification de l’hypothese de linearite et comportement lineairemoyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.3 Gyroscopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.3.1 Les conditions definissant l’approximation gyroscopique . . . . . . . . . . 188

4.3.2 Equations differentielles du mouvement d’un gyroscope . . . . . . . . . . 189

4.3.2.1 Equations d’Euler : mouvement d’un solide autour d’un pointfixe O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4.3.2.2 Mouvement d’un gyroscope autour d’un point de son axe . . . . 190

4.3.2.3 Comparaison de l’effet d’un moment perturbateur sur un solideen rotation ou non . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.3.2.4 Quelques applications exploitant la stabilite d’un gyroscope . . . 193

4.3.3 Couple gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4.3.3.1 Reactions d’inertie dues a la combinaison de deux rotations . . . 193

4.3.3.2 Theoreme de la quantite de mouvement . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3.3.3 Theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3.4 Exemples d’effets dus au couple gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3.4.1 Inertie gyroscopique d’un gyroscope dans une valise . . . . . . . 197

4.3.4.2 Avion monoreacteur en virage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3.4.3 Efforts supplementaires dus a la rotation des paliers d’un rotor . 198

4.3.5 Resume des effets gyroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.3.6 Exemple d’application : le compas gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.3.6.1 Influence de la rotation de la terre sur un gyroscope . . . . . . . 199

4.3.6.2 Principe du compas gyroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

5 La dynamique du point materiel et ses applications . . . 202

5.1 Les lois de Kepler et ses applications aux mouvements des planetes (et des satellites)202

5.1.1 Equations d’equilibre de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.1.2 Application du theoreme du moment cinetique . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.1.2.1 Premier cas : si la projection selon l’axe Oz du moment en O estnulle a tout instant : MOz(t) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.1.2.2 Deuxieme cas : Cas de forces centrales telles que le moment aupoint O est nul a tout instant : ~MO(t) = ~0 . . . . . . . . . . . . 206

5.1.3 Etablissement des equations du mouvement pour une masse ponctuellesoumise a une force centrale en l’absence de pertes . . . . . . . . . . . . . 208

5.1.3.1 Expression de l’energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 208


TABLE DES MATIERES ix

5.1.3.2 Expression de l’energie cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.1.3.3 Resolution des equations differentielles du mouvement . . . . . . 209

5.1.3.4 Vitesse de satellisation et vitesse de liberation . . . . . . . . . . 210

5.1.3.5 Periode de revolution d’un satellite sur sa trajectoire elliptique . 211

5.1.4 Cas particulier d’un mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.1.4.1 Vitesse de satellisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

5.1.4.2 Periode de revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.1.5 Mise en orbite d’un satellite artificiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

5.2 Quelques effets de la rotation de la terre sur des masses en mouvement a la surfacede la terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.2.1 Principe fondamental par rapport a des axes lies a la terre - Rappel . . . 215

5.2.2 Cas de la chute d’une masse ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

5.2.3 Cas d’un tir horizontal d’un projectile ou d’une balle . . . . . . . . . . . . 217

5.2.4 Oscillation sans perte d’un pendule : pendule de Foucault . . . . . . . . . 218

6 Elements de mecanique des milieux continus . . . 223

6.1 Elasticite lineaire - Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.2 Deformations infinitesimales en un point d’un solide deformable - Tenseur desdeformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6.2.1 La notion de milieu continu et de point materiel . . . . . . . . . . . . . . 224

6.2.2 Deplacement et deformation dans un milieu continu deformable . . . . . . 225

6.2.3 Les tenseurs F, gradient de deformation et G, gradient de deplacement . . 226

6.2.3.1 Tenseur F, gradient de deformation (relation entre ~de et ~dE) . . 226

6.2.3.2 Tenseur G, gradient de deplacement (relation entre ~du et ~dE) . 227

6.2.3.3 Relation entre le tenseur F , gradient de deformation et le tenseurG, gradient de deplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.2.3.4 Decomposition cartesienne du tenseur G, gradient de deplacement228

6.2.4 Tenseur symetrique ε des deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.4.2 Interpretation des termes de la diagonale de la matrice desdeformations ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.2.4.3 Interpretation des elements hors diagonale de la matrice desdeformations ε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

6.2.4.4 Interpretation du tenseur des deformations ε - Raisonnementgeometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6.2.5 Proprietes des valeurs propres et directions propres de la matrice desdeformations ε. - Dilatations principales et directions principales . . . . . 234

6.2.5.1 Determination des dilatations et directions principales . . . . . . 234


TABLE DES MATIERES x

6.2.5.2 Proprietes des dilatations principales . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2.6 Tenseur antisymetrique Ω - Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2.7 Deformations planes et cercle de Mohr associe au tenseur de deformation 239

6.2.7.1 Etat plan de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.2.7.2 Determination des directions propres du tenseur desdeformations ε dans un cas plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.2.7.3 Cercle de Mohr relatif au tenseur des deformations . . . . . . . . 240

6.2.8 Transformation volumique et invariant de la transformation . . . . . . . . 242

6.2.9 Quadrique associee au tenseur symetrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.2.10 Recapitulation des principaux outils permettant de decrire la deformationen un point d’un solide deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6.2.11 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.2.11.1 Distorsion simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.2.11.2 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.2.11.3 Extension simple suivant les axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.3 Contraintes dans un milieu continu - Tenseur des contraintes Σ . . . . . . . . . . 248

6.3.1 Forces agissant sur un milieu continu. Contrainte en un point . . . . . . . 248

6.3.1.1 Convention de notation pour les contraintes σij . . . . . . . . . . 249

6.3.1.2 Application de la loi fondamentale de la mecanique a un tetraedretrirectangle elementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

6.3.1.3 Signification des termes de la matrice representative du tenseurdes contraintes Σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.3.1.4 Symetrie du tenseur des contraintes Σ . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.3.2 Equations differentielles exprimant l’equilibre dynamique d’un milieucontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

6.3.3 Contraintes en un point P et directions principales . . . . . . . . . . . . . 254

6.3.4 Autres proprietes du tenseur des contraintes Σ . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.3.5 Etat plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.3.6 Cercle de Mohr du tenseur des contraintes Σ . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.3.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6.3.7.1 Traction uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

6.3.7.2 Cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.4 Solide elastique lineaire isotrope - Relations entre contraintes et deformations . . 260

6.4.1 Deformations infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.4.2 Solide elastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

6.4.3 Relation reliant les contraintes en fonction des deformations pour un solideelastique lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262


TABLE DES MATIERES xi

6.4.4 Relation reliant les contraintes en fonction des deformations pour un solideelastique lineaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.4.5 Relation reliant les deformations en fonction des contraintes pour un solideelastique lineaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.4.6 Essai de traction - Module d’Young et nombre de Poisson . . . . . . . . . 264

6.4.7 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.4.7.1 Etat de contrainte hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.4.7.2 Cisaillement pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.4.8 Capteurs de deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.4.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

6.4.9.1 Caracterisation de la deformation d’un milieu continu . . . . . . 269

6.4.9.2 Deformation d’une eprouvette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.4.9.3 Deformations d’un carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

6.4.9.4 Utilisation d’une jauge de contrainte de type ”rosette a 3 jauges” 271

6.4.9.5 Utilisation d’une jauge de contrainte de type ”rosette a 3 jauges” 271

6.4.9.6 Contraintes et deformations a la surface d’un solide elastiquehomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271


Chapitre 1

Grandeurs cinetiques

L’enseignement devrait etre ainsi :celui qui le recoit

le recueille comme un don inestimablemais jamais comme une contrainte penible.

Albert Einstein

La Dynamique utilise des grandeurs physiques particulieres, appelees grandeurs cinetiques,qui sont des combinaisons de grandeurs cinematiques (deplacements, vitesses, accelerations) etde grandeurs liees aux masses d’un systeme et a leur repartition dans l’espace (centre de masse,tenseur d’inertie,...)1.

1.1 Definition des grandeurs cinetiques

1.1.1 Le torseur des reactions d’inertie ~R(−ma), ~M(−ma)O

Un systeme discret est constitue par un ensemble de points materiels et/ou de solidesindeformables, relies entre eux par des liaisons cinematiques et/ou par des elements de forces. Lesliaisons cinematiques peuvent etre des liaisons articulees (rotoıdes, prismatiques ou spheriquespar exemple) ou des liaisons de contact (glissement ou roulement sans glissement par exemple).Les elements de force sont des elements generant des forces agissant sur le systeme (ressorts,amortisseurs ou actuateurs par exemple).

En statique, les equations d’equilibre d’un point materiel et d’un solide s’expriment sousla forme suivante :

1. pour un point materiel P , une condition d’equilibre suffit (Fig. 1.1) : la conditionnecessaire et suffisante pour qu’un point materiel soit en equilibre est que la resultante ~Rde toutes les forces ~Fi s’appliquant sur ce point materiel P soit nulle.

~R =∑

i

~Fi = ~0 (1.1)

1Il est important de remarquer que les relations qui seront etablies en cinetique seront definies par rapport aun repere quelconque alors qu’en dynamique, les relations entre forces et mouvements ne seront vraies que parrapport a certains reperes particuliers, dits galileens

1

CHAPITRE 1. GRANDEURS CINETIQUES 2

PF

F

FR=0

1

2

3

_

_

__

Fi

__

Fig. 1.1 – Equilibre statique d’un point materiel.

F1

_F

2

_

F3

_

Fi

_

S

o

A

A

A

A

1

i

2

3

Mo=0_ _

R=0_ _

Fig. 1.2 – Equilibre statique d’un solide.

2. pour un solide S, deux conditions d’equilibre sont necessaires (Fig. 1.2) : les conditionsnecessaires et suffisantes pour qu’un solide soit en equilibre sont les suivantes :

(a) la resultante ~R de toutes les forces ~Fi s’appliquant sur le solide S est nulle ;

(b) le moment resultant ~Mo par rapport a un pole O quelconque, de toutes les forces ~Fis’appliquant sur le solide S est nulle.

~R =∑

i

~Fi = ~0 (1.2)

~MO =∑

i

−→OAi ∧ ~Fi = ~0 (1.3)

En dynamique, lorsqu’un systeme mecanique est hors equilibre statique, les forces quiagissent sur lui induisent un mouvement. Comme on le verra plus loin, le mouvement d’unelement ponctuel de masse mα intervient dans les equations d’equilibre du systeme par l’in-termediaire de sa reaction d’inertie −mα~aα. La reaction d’inertie d’un element correspond al’oppose du produit de sa masse par son acceleration.

En dynamique, les equations d’equilibre s’expriment de la facon suivante par rapport a unrepere galileen (ou assimile) :

1. pour un point materiel P , une condition d’equilibre suffit : la condition necessaire etsuffisante d’equilibre dynamique d’un point materiel est que la somme de la resultante



Fig. 1.3 – Equilibre dynamique d’une masse ponctuelle

~R des forces s’appliquant sur ce point materiel P et de la reaction d’inertie −m~aP/s soitnulle, par rapport a un repere s galileen ou assimile.

~R−m~aP/s = ~0 (1.4)

la reaction d’inertie correspondant a l’oppose du produit de la masse du point materiel etde son acceleration.

Fk

_

Fi

_

S

oMo_

R

_

M(-ma)o

_

R(-ma)

- m"

_a"

o

_

kAA"

Fig. 1.4 – Torseur des forces appliquees (~R, ~M0) et torseur des reactions d’inertie (~R(−ma),~M(−ma)O

)

2. pour un solide S, deux conditions sont necessaires : les conditions necessaires et suf-fisantes d’equilibre dynamique d’un solide S, considere comme un ensemble de massesponctuelles elementaires α de masse mα, sont les suivantes :

(a) la somme de la resultante ~R des forces appliquees sur le solide S et de la resultantedes reactions d’inertie ~R(−ma) est nulle ;

(b) la somme du moment resultant ~Mo par rapport a un pole O quelconque des forcesappliquees sur le solide S et du moment resultant des reactions d’inertie ~M(−ma)O estnulle.

~R+ ~R(−ma) = ~0 (1.5)

~MO + ~M(−ma)O = ~0 (1.6)



avec ~R(−ma) =∑

α−mα~aα et ~M(−ma)O =∑

α

−→OAα ∧ (−mα~aα)

Les grandeurs cinetiques correspondant aux reactions d’inertie elementaires forment le tor-seur des reactions d’inertie (~R(−ma), ~M(−ma)O)

1.1.2 Le torseur des quantites de mouvement ~P , ~LO

Lorsqu’il s’agira de determiner le torseur des reactions d’inertie, il sera opportun de passerpar un autre torseur, le torseur des quantites de mouvement, dont la grandeur de base pour unelement da massemα est le produitmα~vα de la masse par la vitesse ~vα. La quantite de mouvementetant proportionnelle a la vitesse, la reaction d’inertie etant proportionnelle a l’acceleration, ilfaudra s’attendre a ce que le passage d’un torseur a l’autre passe par une operation de derivation.La quantite de mouvement ~P est definie de la facon suivante :

Fig. 1.5 – Torseur des quantites de mouvements

1. pour un point materiel P , la quantite de mouvement ~P associee a un point materiel P , demasse m et de vitesse ~vP/s vaut :

~P = m~vP/s (1.7)

2. pour un solide S, si on assimile le solide S a un ensemble de particules elementaires, lescomposantes du torseur des quantites de mouvement sont (Fig. 1.5) :

(a) la quantite de mouvement ~PS/s, correspondant a la resultante des quantites de mou-vements elementaires ;

(b) le moment cinetique ~LOS/s par rapport a un pole O quelconque, ce moment cinetiquecorrespondant au moment de toutes les quantites de mouvement elementaires parrapport au pole O.

En resume,

~P =∑

α

mα~vα (1.8)

~LO =∑

α

−→OAα ∧mα~vα (1.9)

Les grandeurs cinetiques correspondant a la quantite de mouvement et au moment cinetiqueforment le torseur des quantites de mouvement (~P , ~LO)



1.1.3 L’energie cinetique T

Certaines methodes (qui seront decrites plus loin) visant a exprimer les equations du mouve-ment d’un systeme mecanique exploitent un bilan energetique plutot qu’un equilibre des forces.Dans ces methodes, le mouvement est pris en compte par l’intermediaire de l’energie cinetiqueT .

A"

1/2 m"

v"

2

Fig. 1.6 – Energie cinetique

L’energie cinetique T est definie de la facon suivante :

1. pour un point materiel P , l’energie cinetique T associee a une particule P de masse mse deplacant a la vitesse ~vP/s s’exprime par :

T =1

2mv2

P (1.10)

2. pour un solide S, que l’on assimile a un ensemble de particules elementaires α, l’energiecinetique associee a ce solide S s’exprime par :

T =1

2

∑

α

mαv2α (1.11)

La grandeur cinetique correspondant a l’energie cinetique correspond au scalaire T .

1.2 Theoremes generaux de la cinetique

Ces theoremes expriment d’une part, les relations entre torseurs des reactions d’inertie ettorseurs des quantites de mouvements et d’autre part, la relation entre la resultante de ces deuxtorseurs et le mouvement du centre de gravite.

Dans la mesure ou l’element de base du torseur des reactions d’inertie est proportionnela l’acceleration et que d’autre part, l’element de base du torseur des quantites de mouvementest proportionnel a la vitesse, il faut s’attendre a ce que les elements du torseur des reactionsd’inertie puissent etre obtenus a partir de la derivee par rapport au temps des elements dutorseur des quantites de mouvement. Si cette relation est vraie comme on le verra dans la suitepour la resultante des deux torseurs, elle ne l’est pas necessairement dans tous les cas pour lesmoments en un pole O quelconque.



1.2.1 Relation entre la resultante des reactions d’inertie et la resultante desquantites de mouvement

La relation entre resultante des reactions d’inertie et resultante des quantites de mouvementdecoule directement de la definition de ces deux grandeurs cinetiques. En effet,

~PS/s =∑

α

m~vαS/s (1.12)

~R(−ma)S/s =∑

α

−m~aαS/s =∑

α

−md~vαS/s

dt=∑

α

−d~mvαS/s

dt(1.13)

D’ou :

~R(−ma)S/s = −d~PS/s

dt(1.14)

La resultante des reactions d’inertie est egale a l’oppose de la derivee par rapport au tempsde la resultante des quantites de mouvement.

1.2.2 Relation entre le moment des reactions d’inertie et le moment cinetique

Considerons un pole O pouvant se deplacer a la vitesse ~vO/s par rapport au repere fixe s.

La definition du moment cinetique ~LOS/s permet d’ecrire que :

~LOS/s =∑

α

~OAα ∧mα~vαS/s (1.15)

La derivation par rapport au temps ainsi que la definition du centre de gravite G du solideconduit a :

d~LOS/s

dt=∑

α

~OAα ∧mα

d~vαS/s

dt+∑

α

d ~OAαdt

∧mα~vαS/s (1.16)

d~LOS/s

dt=∑

α

~OAα ∧mα~aαS/s +∑

α

(~vαS/s − ~vO/s) ∧mα~vαS/s (1.17)

d~LOS/s

dt= − ~M(−ma)OS/s +

∑

α

~vαS/s ∧mα~vαS/s −∑

α

~vO/s ∧mα~vαS/s (1.18)

d~LOS/s

dt= − ~M(−ma)OS/s − ~vO/s ∧

∑

α

mα~vα/s (1.19)

d~LOS/s

dt= − ~M(−ma)OS/s − ~vO/s ∧m~vGS/s (1.20)

Pour un pole O quelconque, le moment des reactions d’inertie et le moment cinetique d’unsysteme mecanique sont lies par la relation suivante :

~M(−ma)OS/s = −d~LOS/s

dt− ~vO/s ∧m~vGS/s (1.21)

Remarquons que le dernier terme de l’equation (1.21) est nul si :

~vO/s ∧m~vGS/s = ~0 (1.22)



donc en pratique, si l’une des conditions suivantes (que nous appellerons par la suite conditionsI) est respectee, a savoir :

si ~vO/s = ~0 (1.23)

ou si ~vGS/s = ~0 (1.24)

ou si ~vO/s //~vGS/s (1.25)

Si l’une des conditions I est respectee, la relation entre moment des reactions d’inertie etmoment cinetique prend la forme simplifiee suivante :


dt(1.26)

1.2.3 Relation entre les resultantes des deux torseurs cinetiques et le mou-vement du centre de gravite

La resultante des reactions d’inertie est definie par :

~R(−ma)S/s =∑

α

−mα~aαS/s (1.27)

La position du centre de gravite G d’un systeme mecanique est definie a partir de la sommeponderee des coordonnees vectorielles ~eα des masses elementaires mα constituant ce systeme,les facteurs de ponderation etant les masses relatives elementaires associees a ces coordonneesvectorielles. D’ou, si ~eG est la coordonnee vectorielle du centre de gravite G et m la masse totaledu systeme, on a :

~eG =

∑

αmα~eαm

(1.28)

Apres double derivation par rapport au temps, on obtient :

~aGS/s =

∑

αmα~aαS/s

m(1.29)

La resultante des reactions d’inertie d’un systeme de masse m est egale a la reaction d’inertiede la masse du systeme localisee en son centre de gravite :

~R(−ma)S/s = −m~aGS/s (1.30)

La resultante des quantites de mouvement peut quant a elle etre determinee en ex-ploitant la definition du centre de gravite :

~PS/s =∑

α

mα~vαs = m~vGS/s (1.31)

La resultante des quantites de mouvement d’un systeme de masse m est egale a la quantitede mouvement de la masse du systeme localisee en son centre de gravite :

~PS/s = −m~vGS/s (1.32)



sxy

z

XkXk

Zk

Yk

SkG

O

Fig. 1.7 – Repere de Koenig Sk en translation par rapport au repere s.

1.3 Theoreme de Koenig - Mouvement d’un systeme mecaniqueautour de son centre de masse

Etudier le mouvement d’un systeme mecanique autour de son centre de masse G, c’estl’etudier par rapport a un repere Sk = GXkYkZk centre en G et dont les axes ont des directionsfixes (en pratique paralleles) par rapport au repere initial s. Ce repere Sk est appele repere deKoenig. Le repere de Koenig Sk est donc en translation permanente par rapport au repere debase s :

~ωSk/s = 0 (1.33)

1.3.1 Expression des torseurs cinetiques relatifs au centre de gravite G dansle mouvement par rapport au repere de Koenig

1.3.1.1 Torseur des quantites de mouvement au centre de gravite G/Sk

La resultante des quantites de mouvement est nulle dans le mouvement relatif par rapportau repere de Koenig.

~PS/Sk= m~vGS/Sk

= ~0 (1.34)

Le torseur des quantites de mouvement se reduit donc a un couple en repere de Koenig. Lemoment cinetique absolu par rapport au repere s s’exprime par

~LGS/s =∑

α

−→GAα ∧mα~vαS/s (1.35)

Si on applique la composition des vitesses et si on tient compte du fait que le repere Sk est entranslation permanente par rapport a s, on obtient

~vαS/s = ~vαS/Sk+ ~vαSk/s = ~vαS/Sk

+ ~vGSk/s = ~vαS/Sk+ ~vGS/s (1.36)

D’ou :

~LGS/s =∑

α

−→GAα ∧mα(~vαS/Sk

+ ~vGS/s) =∑

α

−→GAα ∧mα~vαS/Sk

+∑

α

−→GAα ∧mα~vGS/s (1.37)

– Le premier terme du second membre represente le moment cinetique relatif par rapportau repere de Koenig Sk :

~LGS/Sk=∑

α

−−→GAα ∧mα~vαS/Sk

(1.38)



– Le second terme du second membre est nul. En effet,

∑

α

−→GAα ∧mα~vGS/s =

∑

α

mα−→GAα ∧ ~vGS/s (1.39)

Or ∑

α

mα−→GAα = ~0 (1.40)

En effet, la position par rapport a un pole P du centre de gravite G d’un ensemble demasses mα localisees en Aα peut etre trouve par la relation classique suivante :

−−→PG =

∑

αmα−→PAα

∑

αmα(1.41)

Des lors, si on prend pour pole le point G lui-meme, on a

−−→GG = ~0 =

∑

αmα−→GAα

∑

αmα(1.42)

D’ou : ∑

α

mα−→GAα = ~0 (1.43)

Le moment cinetique absolu au centre de gravite G par rapport au repere s est egal aumoment cinetique relatif au centre de gravite G par rapport au repere de Koenig Sk

~LGS/s = ~LGS/Sk(1.44)

1.3.1.2 Torseurs des reactions d’inertie au centre de gravite G/Sk

La resultante des reactions d’inertie est nulle dans le mouvement relatif par rapport aurepere de Koenig.

~R(−ma)S/Sk= −m~aGS/Sk

= ~0 (1.45)

Le torseur des reactions d’inertie se reduit donc a un couple en repere de Koenig. Le momentdes reactions d’inertie absolu par rapport au repere s s’exprime par

~M(−ma)GS/s =∑

α

−→GAα ∧ (−mα~aαS/s) (1.46)

Si on applique la composition des accelerations et si on tient compte du fait que Sk est entranslation permanente par rapport a s, on obtient

~aαS/s = ~aαS/Sk+ ~aαSk/s + 2~ωSk/s ∧ ~vαS/Sk

= ~aαS/Sk+ ~aGSk/s = ~aαS/Sk

+ ~aGS/s (1.47)

D’ou :

~M(−m~a)GS/s =∑

α

−→GAα ∧

(−mα(~aαS/Sk

+ ~aGS/s))

(1.48)

=∑

α

−→GAα ∧ (−mα~aαS/Sk

) +∑

α

−→GAα ∧ (−mα~aGS/s) (1.49)



– Le premier terme du second membre represente le moment des reactions d’inertie parrapport au repere de Koenig

~M(−m~a)GS/Sk=∑

α

−→GAα ∧ −mα~aαS/Sk

(1.50)

– Le second terme du second membre est nul. En effet,

∑

α

−→GAα ∧ −mα~aGS/s = −

∑

α

mα−→GAα ∧ ~aGS/s = ~0 (1.51)

car ∑

α

mα−→GAα = ~0 (1.52)

Le moment des reactions d’inertie absolu au centre de gravite G par rapport au repere s estegal au moment des reactions d’inertie relatif au centre de gravite G par rapport au repere deKoenig Sk :

~M(−m~a)GS/s = ~M(−m~a)GSk/s (1.53)

1.3.2 Theoremes de Koenig (ou theoremes de transport)

Ces theoremes permettent de passer d’une grandeur relative (/Sk) avec le centre de graviteG pour pole, a la grandeur absolue (/s) avec un point quelconque O pour pole. Ils s’enoncentcomme suit :

pour la determination du moment cinetique, du moment resultant des reactions d’inertie etde l’energie cinetique, la grandeur absolue(/s, avec O pour pole) est egale a la grandeur relative(/Sk, avec G pour pole), augmentee de la grandeur correspondante que la masse aurait si toutela masse etait concentree au centre de masse G.

~LOS/s = ~LGS/Sk+−−→OG ∧m~vGS/s

~M(−ma)OS/s = ~M(−ma)GS/Sk +−−→OG ∧ (−m~aGS/s)

TS/s = TS/Sk+

1

2mv2

GS/s

Les demonstrations sont assez directes :

– pour le moment cinetique, la relation du changement de pole du point O au centre degravite G pour le torseur des quantites de mouvement implique que

~LOS/s = ~LGS/s + ~P ∧ −−→GO (1.54)

Or, le moment cinetique absolu au centre de gravite G par rapport au repere s est egaleau moment cinetique relatif au centre de gravite G par rapport au repere de Koenig Sk :

~LGS/s = ~LGS/Sk(1.55)

D’ou :~LOS/s = ~LGS/Sk

+−−→OG ∧m~vGS/s (1.56)

– pour le moment des reactions d’inertie, la relation du changement de pole du pointO au centre de gravite G pour le torseur des reactions d’inertie implique que

~M(−m~a)OS/s = ~M(−m~a)GS/s + ~R(−ma)Λ ~GO (1.57)



Or, le moment des reactions d’inertie absolu au centre de gravite G par rapport au reperes est egale au moment des reactions d’inertie relatif au centre de gravite G par rapportau repere de Koenig Sk :

~M(−m~a)GS/s = ~M(−m~a)GS/Sk(1.58)

D’ou :~M(−m~a)OS/s = ~M(−m~a)GS/Sk +

−−→OG ∧ −m~aGS/s (1.59)

– pour l’energie cinetique, par definition, on a :

T =1

2

∑

α

mαv2αS/s (1.60)

Si on applique la composition des vitesses et si on tient compte du fait que le repere Skest en translation permanente par rapport a s, on obtient :

~vαS/s = ~vαS/Sk+ ~vαSk/s = ~vαS/Sk

+ ~vGSk/s = vαS/Sk+ ~vGS/s (1.61)

D’ou

TS/s =1

2

∑

α

mαv2αS/s =

1

2

∑

α

mα(~vαS/Sk+ ~vGS/s)

2 (1.62)

=1

2

∑

α

mαv2αS/Sk

+1

2

∑

α

mαv2GS/s +

1

2

∑

α

mα2~vαS/Sk~vGS/s (1.63)

=1

2

∑

α

mαv2αS/Sk

+1

2Mv2

GS/s + ~vGS/s∑

α

mα~vαS/Sk(1.64)

Le premier terme du second membre represente l’energie cinetique relative par rapport aurepere de Koenig :

TS/Sk=

1

2

∑

α

mαv2αS/Sk

(1.65)

Le dernier terme du second membre est nul. En effet, la position par rapport a un pole Pdu centre de gravite d’un ensemble de masses mα localise en Aα peut etre trouvee par larelation suivante :

−−→PG =

∑

αmα~PAα

∑

αmα(1.66)


−−→GG = ~0 =

∑

αmα−→GAα

∑

αmα(1.67)

D’ou : ∑

α

mα−→GAα = ~0 (1.68)

Si on derive cette relation, on obtient

∑

α

mα~vαS/Sk = ~0 (1.69)

D’ou,

TS/s = TS/Sk+

1

2Mv2

GS/s (1.70)



1.4 Proprietes d’inertie d’un solide

1.4.1 Tenseur d’inertie en un point

Le tenseur d’inertie en un point O definit la relation existant entre d’une part, le momentcinetique ~LOS/s et le vecteur rotation ~ωS/s, lorsque le point O est un point dont la vitesse estnulle dans le mouvement du solide S par rapport au repere s. On va montrer qu’il s’agit d’unerelation tensorielle ayant la forme generale suivante :

~LOS/s = ΦO~ωS/s si ~vOS/s = ~0 (1.71)

ΦO etant le tenseur d’inertie en O.

Fig. 1.8 – Torseur des quantites de mouvement

En effet, d’apres la definition generale du moment cinetique en un point O, celui-ci corres-pond a la somme des moments par rapport au point O des quantites de mouvements elementaires(Fig. 1.8) :

~LOS/s =∑

α

−→OAα ∧mα~vαS/s (1.72)

si ~vαS/s est la vitesse du point Aα correspondant a la masse mα.

Si le point O est un point situe sur l’axe de rotation du mouvement de S/s (lorsque celui-ciexiste), c’est-a-dire si la condition suivante est respectee

~vOS/s = ~0 (1.73)

(condition que nous noterons par la suite ”condition II”).

La vitesse~~vαS/s s’exprime par :

~vαS/s = ~vOS/s + ωS/s ∧−→OAα = ~ωS/s ∧ ~OAα (1.74)

On a donc :~LOS/s =

∑

α

−→OAα ∧mα~vαS/s =

∑

α

−→OAα ∧mα(~ωS/s ∧

−→OAα) (1.75)

~LOS/s =∑

α

mαOA2α~ωS/s −mα(

−→OAα.~ωS/s)

−→OAα (1.76)

Le premier terme du second membre est parallele au vecteur rotation ~ωS/s tandis que lesecond terme ne lui est pas necessairement parallele.



A toute rotation instantanee ~ωS/s passant par le point fixe O, on peut associer le moment

cinetique ~L0S/s qui ne lui est pas necessairement parallele. Cette application tensorielle estrepresentee par le tenseur d’inertie ΦO de S au point O.

~LOS/s = ΦO~ωS/s (1.77)

Il s’agit d’une application tensorielle respectant la propriete de linearite :

~LO(λ′~ω′ + λ′′~ω′′) = λ′~LO(~ω′) + λ′′~LO(~ω′′ (1.78)

Le tenseur d’inertie ΦO est symetrique : on verifie aisement en effet que :

~ω′ΦO~ω′′ = ~ω′′ΦO~ω

′ (1.79)

Le tenseur ΦO est donc egal a son tenseur transpose

ΦO = ΦTO (1.80)

1.4.2 Matrice d’inertie en un point

Par rapport a une base de vecteurs orthonormes Oxyz, cette relation tensorielle fait ap-paraıtre la matrice [ΦO] representative du tenseur d’inertie dans ce repere :

~LOS/s

= [ΦO]~ωS/s

(1.81)

Sous forme projetee, on a :

[ΦO] =

ΦOxx ΦOxy ΦOxz

ΦOyx ΦOyy ΦOyz

ΦOzx ΦOzy ΦOzz

(1.82)

Cette matrice d’inertie est symetrique puisque le tenseur ΦO est symetrique :

ΦOij = ΦOji (1.83)

les elements de cette matrice etant notes ΦOij , et specifiant les elements du tenseur d’inertie enO correspondant a la ligne i et a la colonne j.

1.4.3 Moments d’inertie par rapport a une droite et produits d’inertie parrapport a deux droites

Afin de preciser la signification physique de chacun des termes de la matrice d’inertie, onpeut developper la relation 1.76, en decrivant par (LOx ; LOy ; LOz), les projections du moment

cinetique ~LO, par (xα ; yα ; zα), celles du vecteur−→OAα, et par (ωx ; ωy ; ωz), les projections du

vecteur rotation ~ω.

LOxLOyLOz

=∑

α

mα(x2α + y2

α + z2α)

ωxωyωz

− (xαωx + yαωy + zαωz)

xαyαzα

(1.84)



D’ou,

LOxLOyLOz

=

∑

αmα(y2α + z2

α) −∑αmαxαyα −∑αmαyαzα−∑αmαxαyα

∑

αmα(x2α + z2

α) −∑αmαxαzα−∑αmαyαzα −∑αmαxαzα

∑

αmα(x2α + y2

α)

ωXωYωZ

(1.85)

On peut ainsi expliciter les termes de la matrice d’inertie par :

[ΦO]/xyz =

IOxx −IOxy −IOxz−IOxy IOyy −IOyz−IOxz −IOyz IOzz

(1.86)

avecIOxx

2 : moment d’inertie / axe Ox : IOxx =∑

αmα(y2α + z2

α) =∑

αmαd2(α,Ox)

IOyy : moment d’inertie / axe Oy : IOyy =∑

αmα(x2α + z2

α) =∑

αmαd2(α,Oy)

IOzz : moment d’inertie / axe Oz : IOzz =∑

αmα(y2α + y2

α) =∑

αmαd2(α,Oz)

IOxy : produit d’inertie / axes Ox et Oy : IOxy =∑

αmαxαyαIOxz : produit d’inertie / axes Ox et Oz : IOxz =

∑

αmαxαzαIOyz : produit d’inertie / axes Oy et Oz : IOyz =

∑

αmαyαzα

Les dimensions des moments et des produits d’inertie sont celles du produit d’une masse parle carre d’une distance [ML2], donc en kg.m2 en unite S.I.

Le moment d’inertie IOii = ΦOii est le moment d’inertie de S relativement a l’axe Oi etrepresente physiquement la somme des masses multipliees par le carre de la distance a l’axe Oi :

IOii =∑

α

mαd2(α,Oi) (1.87)

Le produit d’inertie IOij = −ΦOij est le produit d’inertie de S relativement aux axe Oi etOj et represente physiquement la somme des masses multipliees par les deux distances (prisesavec leur signe) aux deux axes consideres :

IOij =∑

α

mαiαjα (1.88)

L’interet de ce produit d’inertie sera explicite plus loin, principalement dans le cadre del’equilibrage dynamique d’un solide en rotation autour d’un axe.

1.4.4 Proprietes de variance tensorielle

On peut montrer que le terme T (i, j) d’une matrice [T ] representative d’un tenseur T peutetre obtenu en faisant le produit scalaire entre le vecteur ~ui et le vecteur T~uj , ce dernier corres-pondant a la transformation du vecteur ~uj par le tenseur T 3.

2Comme le moment d’inertie ne depend pas du point sur la droite, on le note parfois Iii au lieu de IOii3Ainsi par exemple, pour le terme (1,1), on a

T11 = ~uxT~ux = ~uxT [T ]~ux = 1; 0; 0

2

4

Txx Txy Txz

Tyx Tyy Tzy

Tzx Tyz Tzz

3

5

2

4

100

3

5 = T11 (1.89)



On a donc

IOxx = ~uxΦO~ux IOyy = ~uyΦO~uy IOzz = ~uzΦO~uz (1.90)

IOxy = −~uxΦO~uy IOxz = −~uxΦO~uz IOyz = −~uyΦO~uz (1.91)

1.4.5 Inertie de solides a masse repartie continue

L’extension de la definition des moments et produits d’inertie a des solides ou la masse estrepartie de facon continue peut aisement etre realisee en passant a l’integration sur le volume :

IOxx =

∫ ∫ ∫

Vρ(y2 + z2)dV (1.92)

IOyy =

∫ ∫ ∫

Vρ(x2 + z2)dV (1.93)

IOzz =

∫ ∫ ∫

Vρ(x2 + y2)dV (1.94)

IOxy =

∫ ∫ ∫

VρxydV (1.95)

IOxz =

∫ ∫ ∫

VρxzdV (1.96)

IOyz =

∫ ∫ ∫

VρyzdV (1.97)

1.4.6 Signification du moment d’inertie en relation avec la projection dumoment cinetique sur l’axe de rotation

Le moment cinetique ~LO du solide S en rotation instantanee de vecteur ~ω autour d’un axepassant par le point O (~vOS/s = ~0) s’exprimant par

~LOS/s = ΦO~ωS/s (1.98)

devient apres projection sur la base Oxyz :

LOx = +IOxxωx − IOxyωy − IOxzωz (1.99)

LOy = −IOxyωy + IOyyωy − IOxzωz (1.100)

LOz = −IOxzωz − IOxzωz + IOzzωz (1.101)

Par rapport a un axe quelconque Od passant par O oriente par le vecteur unitaire ~ud, lemoment d’inertie IOdd s’exprime par

IOdd =∑

α

mαd2(α,d) = ~udΦO~ud (1.102)

d(α,d) etant la distance entre l’element de masse mα et la droite Od.

Si le solide est en rotation autour de l’axe Od (~ω = ω~ud), le moment cinetique s’exprime par

~LO = ΦOω~ud (1.103)

Si on s’interesse a la projection de ce moment cinetique sur l’axe de rotation Od, on a :

LOd = ~ud~LO = ~udΦOω~ud = ω~udΦO~ud = ωIdd (1.104)



soitLOd = Iddω (1.105)

Lorsqu’un solide tourne autour d’un axe, le moment d’inertie Idd par rapport a cet axeapparaıt comme la caracteristique du solide qui relie lineairement la grandeur de la rotation ala projection du moment cinetique sur l’axe.

1.4.7 Rayon de giration

Le rayon de giration iOdd est la distance a laquelle il faudrait concentrer toute la masse (soiten un point, soit sur une circonference, soit sur une coque cylindrique) pour obtenir un momentd’inertie identique. Le rayon de giration iOdd est donc tel que

IOdd = Mi2Odd (1.106)

D’ou :

iOdd =

√

IOddM

(1.107)

Le rayon de giration a les dimensions d’une longueur, un ordre de grandeur de sa bornesuperieure pouvant en etre estime (le rayon de giration est inferieur a la distance maximaleseparant un element de matiere du solide de l’axe considere).

1.4.8 Proprietes d’inertie centrales

Les caracteristiques d’inertie ramenees au centre de gravite d’un solide sont appelees lescaracteristiques d’inertie centrale.

1.4.9 Tenseur d’inertie de solides homogenes de forme geometrique simple

La demarche classique pour determiner les proprietes d’inertie des solides de formegeometrique simple consiste a transformer la sommation discrete a la base de la definition desmoments et produits d’inertie en une integrale triple sur l’ensemble du volume. Toutefois danscertains cas simples, il est possible de les determiner directement

1.4.9.1 Circonference homogene, par rapport a l’axe Oz passant par son centre Oou coque cylindrique circulaire homogene, par rapport a son axe Oz

Dans ces deux cas, toute la masse se situe a une distance R de l’axe Oz. Si M est la massedes solides consideres, on a

IOzz = MR2 (1.108)

1.4.9.2 Sphere homogene

Le moment d’inertie est identique par rapport a n’importe quelle droite Od. Si on considerela base orthonormee Oxyz, on a donc

IOxx = IOyy = IOzz = IOdd (1.109)



Or

IOdd = IOxx =∑

α

mα(y2α + z2

α) (1.110)

IOdd = IOyy =∑

α

mα(x2α + z2

α) (1.111)

IOdd = IOzz =∑

α

mα(x2α + y2

α) (1.112)

En faisant la somme de ces trois moments d’inertie, on obtient :

3IOdd = 2∑

α

mα(x2α + y2

α + z2α) = 2

∑

α

mαr2α (1.113)

rα etant la distance de l’element α au centre O de la sphere.

On a donc :

IOdd =2

3

∑

α

mαr2α (1.114)

Si on passe a l’integration en prenant pour element de volume une coque spherique de rayonr et d’epaisseur dr, (donc de volume elementaire egal a 4πr2dr), on a

IOdd =2

3

∫ R

0ρ4πr2r2dr =

2

3ρπ

∫ R

04r4dr =

2

3ρπ4

R5

5=

2

5

4

3ρπR5 =

2

5MR2. (1.115)

Le moment d’inertie d’une sphere par rapport a n’importe quel axe passant par son centres’exprime donc par

IOdd =2

5MR2 (1.116)

1.4.9.3 Parallelepipede rectangle, plaque plane et barre par rapport a des axespassant par leur centre de gravite O et paralleles aux cotes

z

y

x

a

b

c

O

Fig. 1.9 – Parallelepipede rectangle

La matrice representative du tenseur d’inertie d’un parallelepipede rectangle homogene peutetre determinee dans le systeme d’axes paralleles aux aretes, en son centre de gravite O, la massevolumique ρ etant constante et les cotes valant respectivement a, b et c.



On peut montrer4 que le tenseur d’inertie associe au parallelepipede prend la forme suivante :

[ΦO]/xyz = m

b2+c2

12 0 0

0 a2+c2

12 0

0 0 a2+b2

12

(1.117)

Chaque moment d’inertie s’obtient en multipliant le 12-eme de la masse par la somme des carresdes deux aretes de la face coupee par l’axe considere.

z

y

x

a

b

O

Fig. 1.10 – Plaque rectangulaire

La plaque rectangulaire (de dimension a x b) peut etre consideree comme un parallelepipederectangle dont une des dimensions est tres petite par rapport aux deux autres. Si les axes Oxet Oy sont choisis parallelement aux bords de la plaque rectangulaire passant par son centre degravite O, le tenseur d’inertie se reduit alors a :

[ΦO]/xyz = m

b2

12 0 0

0 a2

12 0

0 0 a2+b2

12

(1.118)

z

y

x

LO

Fig. 1.11 – Poutre rectiligne

Une poutre, de longueur L et de masse M, peut etre consideree comme un parallelepipederectangle dont deux des dimensions sont negligeables par rapport a la troisieme. Si on choisit

4voir seances d’exercices



l’axe Ox selon l’axe de la poutre, le tenseur d’inertie se reduit alors a :

[ΦO]/xyz = m

0 0 0

0 L2

12 0

0 0 L2

12

(1.119)

1.4.9.4 Cylindre et disque par rapport a leur axe Oz, et a deux axes perpendicu-laires a celui-ci

z

y

x

O

R

H

Fig. 1.12 – Cylindre

La matrice representative du tenseur d’inertie associe au cylindre homogene peut etredeterminee en son centre de gravite O, dans le systeme d’axes particuliers tel que Oz soit portepar l’axe du cylindre, les axes Ox et Oy etant situe dans le plan equatorial perpendiculaire al’axe du cylindre. Le cylindre, de rayon R et de hauteur H, a une masse volumique ρ constante.

On peut montrer (voir seances d’exercices) que la matrice d’inertie au centre du cylindres’exprime par :

[ΦO]/xyz = m

R2

4 + H2

12 0 0

0 R2

4 + H2

12 0

0 0 R2

2

(1.120)

Pour un cylindre, l’inertie axiale IA = M R2

2 et l’inertie equatoriale IE = M(R2

4 + H2

12 )

z

y

x

OR

Fig. 1.13 – Disque



Un disque, de rayon R, peut etre considere comme un cylindre dont l’epaisseur est supposeenegligeable par rapport a son rayon. Si les axes OX et OY sont dans le plan du disque en soncentre geometrique O, le tenseur d’inertie se reduit alors a :

[ΦO]/xyz = m

R2

4 0 0

0 R2

4 0

0 0 R2

2

(1.121)

Pour un disque, l’inertie axiale IA = mR2

2 et l’inertie equatoriale IE = R2

4 La figure 1.14 illustreles resultats obtenus

2

5M R

2

4M R

2

12+ H

2( )

12M a

2

12+ b

2( )

o o

o

a

b

H

R

aI E =

2M R

2IA

=

SPHERECYLINDRE

PARALLELIPIPEDE

Fig. 1.14 – Principaux moments d’inertie des solides de forme simple

1.4.10 Transposition des proprietes d’inertie en un autre pole - Theoremedes axes paralleles (ou theoreme de Steiner)

zy

x

zy

xG

S

P

Fig. 1.15 – Theoreme des axes paralleles

Il peut etre utile de transposer les proprietes d’inertie en differents points selon des directions



paralleles entre elles. Si O est un point quelconque et si G est le centre de gravite du solide S,on considere les deux systemes d’axes Oxyz et GXY Z dont les axes sont paralleles entre eux.

Si un element de masse mα a les coordonnees (xα ; yα ; zα) par rapport au repere Oxyz, lemoment d’inertie IOxx s’exprime par :

IOxx =∑

α

mα(y2α + z2

α) (1.122)

D’autre part, si cet element de masse mα a les coordonnees (Xα ; Yα ; Zα) par rapport au repereGxyz, le moment d’inertie IGxx s’exprime par :

IGxx =∑

α

mα(Y 2α + Z2

α) (1.123)

Or, on sait que −→OAα =

−−→OG+

−→GAα (1.124)

Et doncxα = xG +Xα yα = yG + Yα zα = zG + Zα (1.125)

D’ou :

IOxx =∑

α

mα(y2α + z2

α) =∑

α

mα

((yG + Yα)2 + (zG + Zα)2

)(1.126)

=∑

α

mα(y2G + 2yGYα + Y 2

α + z2G + 2zGZα + Z2

α)

=∑

α

mα(y2G + z2

G) + 2yG∑

α

mαYα + 2zG∑

α

mαZα +∑

α

mα(Y 2α + Z2

α)

= m(y2G + z2

G) + 2yG∑

α

mαZα + 2zG∑

α

mαYα + IGxx

Or : ∑

α

mαZα = 0 et∑

α

mαYα = 0 (1.127)

En effet, rappelons que la position par rapport a un pole P du centre de gravite G d’unensemble de masses mα localisees en Aα peut s’exprimer par la relation classique suivante :

−−→PG =

∑

αmα−→PAα

∑

αmα(1.128)


−−→GG = ~0 =

∑

αmα−→GAα

∑

αmα(1.129)

D’ou : ∑

α

mα−→GAα = ~0 (1.130)

Et : ∑

α

mαXα = 0∑

α

mαYα = 0∑

α

mαZα = 0 (1.131)

D’ouIOxx = IGxx +m(y2

G + z2G) = IGxx +md2

(Ox,Gx) (1.132)



d(Ox,Gx) etant la distance entre les axes Ox et Gx.

Une demonstration analogue peut etre effectuee pour les produits d’inertie, par exemplepour IOxy.

Si un element de masse mα a les coordonnees (xα, yα, zα) par rapport au repere Oxyz, lemoment d’inertie IOxy s’exprime par :

IOxy =∑

α

mαxαyα (1.133)

D’autre part, si cet element de masse mα a les coordonnees (Xα, Yα, Zα) par rapport au repereGxyz, le moment d’inertie IGxy s’exprime par :

IGxy =∑

α

mαXαYα (1.134)

D’ou :

IOxy =∑

α

mαxαyα =∑

α

mα(xG +Xα)(yG + Yα) (1.135)

=∑

α

mα(xGyG + xGYα + yGXα +XαYα

= mxGyG + 2xG∑

α

mαYα + yG∑

α

mαXα + IGxy

Comme∑

αmαZα = 0 et∑

αmαYα = 0, on obtient

IOxy = IGxy +mxGyG (1.136)

xG et yG etant les coordonnees du centre de gravite G dans le systeme d’axe Oxyz.

En conclusion, si G est le centre de gravite du solide S et O un point quelconque,

– Le moment d’inertie au point O dans la direction i est egal au moment d’inertie au centrede gravite G dans la meme direction i augmente du moment d’inertie par rapport a Oiqu’aurait le systeme si toute sa masse etait ponctuelle au centre de gravite :

IOii = IGii +md2(Gi,Oi)

i = X,Y, Z (1.137)

d(Gi, Oi) etant la distance separant les axes i des deux reperes.

– Le produit d’inertie au point O dans les directions i et j est egal au produit d’inertie aucentre de gravite G dans les direction i et j augmente du produit d’inertie, par rapportaux axes Oi et Oj, qu’aurait le systeme si toute sa masse etait ponctuelle au centre degravite :

IOij = IGij +mxixj i, j = X,Y, Z i 6= j (1.138)

Remarquons que le theoreme des axes paralleles concerne un point quelconque et le centrede gravite et que deux utilisations successives sont donc utiles (en utilisant le centre de gravite)lorsque l’on veut passer du pole quelconque O a un autre pole quelconque O′.



1.4.11 Transposition des proprietes d’inertie a d’autres directions - Variancetensorielle

Lorsque la matrice du tenseur d’inertie d’un solide est connue dans un repere et qu’on desirel’obtenir dans un repere oriente differemment, tout en restant au meme pole, on applique lesproprietes de variance tensorielle du tenseur d’inertie.

z

y

x

O

Z

_d

u Y

X

Fig. 1.16 – Variance tensorielle

En effet, le moment d’inertie par rapport a un axe oriente ~ud s’exprime par :

IOdd = ~udΦO~ud (1.139)

Cette expression qui aboutit a la valeur scalaire IOdd a partir d’une operation vectorielle ettensorille, peut etre projetee sur n’importe quel repere.

Si le tenseur d’inertie ΦO est connu dans le repere Oxyz, l’inertie IOdd s’exprime dans cerepere Oxyz par :

Iodd = ~udT/xyz [ΦO]/xyz ~ud/xyz (1.140)

ou ~ud/xyz represente la projection de ~ud dans le repere Oxyz.

Cette propriete peut etre appliquee pour n’importe quel vecteur ~ud, et en l’occurence pourles vecteurs unitaires du nouveau repere. On obtient donc :

IOXX = ~uXΦO~uX = ~uXT/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uX/Oxyz (1.141)

IOY Y = ~uY ΦO~uY = ~uY T/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uY /Oxyz (1.142)

IOZZ = ~uZΦO~uZ = ~uZT/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uZ/Oxyz (1.143)

En ce qui concerne les produits d’inertie, un raisonnement similaire donne :

IOXY = −~uXΦO~uY = ~uXT/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uY /Oxyz (1.144)

IOXY = −~uXΦO~uZ = ~uXT/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uZ/Oxyz (1.145)

IOY Z = −~uY ΦO~uZ = ~uY T/Oxyz [ΦO]/Oxyz ~uZ/Oxyz (1.146)



z z

y

y

x

xO

R

h

rd

G

Fig. 1.17 – Systeme disque et cylindre

1.5 Exercices a resoudre sur la notion d’inertie

1.5.1 Tenseur d’inertie d’un systeme disque + cylindre

Determiner la matrice du tenseur d’inertie du solide de la Fig. 1.17 construit a partir d’undisque de rayon R et de masse M et d’un cylindre de rayon r, de hauteur h et de masse m. Lecylindre est fixe a une distance d du centre du disque.

Solution

[ΦO]/xyz =

M R2

4 +m(r2

4 + h2

3 + d2)

0 0

0 M R2

4 +m(r2

4 + h2

3

)

−mdh20 −mdh2 M R2

2 +m(r2

2 + d2)

(1.147)

1.5.2 Disque en rotation non aligne par rapport a son axe

Determiner le tenseur d’inertie associe au disque de la figure 1.18 dans le repere Oxyz.L’axe OZ du disque fait un angle α avec l’axe Oz (les directions OX et OY sont dans le plandu disque).

Solution

[ΦO]/xyz = m

R2

4 0 0

0 R2

4 (1 + sin2 α) −R2

4 cosα sinα

0 −R2

4 cosα sinα R2

4 (1 + cos2 α)

(1.148)

1.5.3 Axes principaux d’inertie

Un axe est dit axe principal d’inertie en O lorsque, si le solide est mis en rotation autour decet axe, le moment cinetique est parallele au vecteur rotation.

Supposons que Ox soit une direction principale en O. Cela signifie que si ~ω = ω~ux, ~LO estparallele a Ox et Loy = Loz = 0



zy

O

Z

Y

X=x

Fig. 1.18 – Disque dont l’axe fait un angle α avec la direction Oz

oo

X Y

Z

Fig. 1.19 – Solide tournant autour de l’axe Ox

Comme le moment cinetique ~LO = ΦO~ω, on a donc :

LOxLOyLOz

=

IOxx −IOxy −IOxz−IOxy IOyy −IOyz−IOxz −IOyz IOzz

ω00

(1.149)

Comme LOy et LOz doivent etre nuls, cela signifie que :

LOy = −IOxyω = 0 ce qui implique que IOxy = 0 (1.150)

LOz = −IOxzω = 0 ce qui implique que IOxz = 0 (1.151)

Des lors, si Ox est principal en O, les deux produits d’inertie qui s’y rapportent sont nuls :IOxy = 0 et IOxz = 0.

Inversement, si les deux produits d’inertie qui se rapportent a une direction sont nuls, ladirection est principale. En effet, si IOxy = 0 et IOxz = O, on a :

~LO = ΦOω~uX = IOxx~ux − IOxy~uy − IOxz~uz = IOxxω~ux (1.152)

~LO etant parallele a ~ux, cette direction est donc principale en O.

La condition necessaire et suffisante pour qu’un axe Oi soit principal d’inertie est que lesdeux produits d’inertie IOij et IOik qui s’y rapportent soient nuls.



Si le vecteur unitaire ~n est dirige suivant une direction principale en O, ~LO est parallele aω~n. On a donc

ΦOω~n = µω~n (1.153)

µ etant un scalaire. D’ou :ΦO~n = µ~n (1.154)

La recherche des directions principales du tenseur d’inertie O s’apparente a la recherche desdirections propres et valeurs propres de la matrice [ΦO] du tenseur d’inertie en O.

Rappelons que dans le cas general, ces directions et valeurs propres peuvent etre trouveesen cherchant le vecteur ~n et le scalaire µ tels que

[ΦO]~n = µ~n (1.155)

D’ou([ΦO] − µ[I])~n = ~0 (1.156)

Ce systeme d’equations algebriques homogenes n’admet une solution non triviale autre que~n = ~0 que si

det([ΦO] − µ[I]) = 0 (1.157)

Les µi, racines de cette equation, sont les 3 valeurs propres (i=1, 2 et 3). On a donc :

Ii = µi (1.158)

Ii etant les moments d’inertie principaux.

Pour chaque Ii, la resolution de

([ΦO] − Ii[I])~n∗i = ~0 (1.159)

permet de determiner les vecteurs propres ~n∗i , dans un premier temps a une constante mul-tiplicative pres (puisque le systeme precedent est un systeme d’equations lineaires algebriqueshomogenes dont le determinant est nul).

Les vecteur ~n∗i trouves peuvent ensuite etre rendus unitaires en les divisant par leur norme :

~ni =~n∗i|n∗i |

(1.160)

Les axes principaux d’inertie au point O sont donc les directions propres du tenseur d’inertieΦO. Le triedre forme par ces axes est dit principal d’inertie en O. Dans ce triedre, la matrice dutenseur d’inertie a la forme diagonale suivante :

[ΦO] =

I1 0 00 I2 00 0 I3

(1.161)

I1, I2 et I3 etant les moments d’inertie principaux.



1.5.3.1 Proprietes d’un axe principal central

Les axes principaux et les moments d’inertie principaux relatifs au centre de masse G sontqualifies de centraux.

Un axe principal central est principal en tous ses points. En effet, soit Gx, un axe principalcentral et soit O, un point quelconque de cet axe.

Comme Gx est principal, IGxy = 0 et IGxz = 0

Pour que Ox soit principal, il faudrait que IOxy = 0 et IOxz = 0. Or, si on applique letheoreme des axes paralleles,

IOxy = IGxy +mxGyG et IOxz = IGxz +mxGzG (1.162)

Or, G etant sur l’axe OxyG = 0 et zG = 0 (1.163)

D’ouIGxy = 0 et IGxz = 0 (1.164)

et la direction Ox est principale pour tout point O d’un axe principal central.

1.6 Solide dynamiquement de revolution

Un solide est dynamiquement de revolution si deux de ses moments d’inertie principauxcentraux sont egaux.

Si G est le centre de gravite et si Gx et Gy sont les deux directions pour lesquelles lesmoments d’inertie principaux sont egaux, on a

IGxx = IGyy = IE (1.165)

Si IA est l’autre moment d’inertie principal, on a :

IGzz = IA (1.166)

On peut demontrer que le moment d’inertie par rapport a n’importe quelle droite comprise dansle plan XY vaut egalement IE . En effet, pour une droite Gd quelconque faisant l’angle α avecla direction GX, on a

IOdd = ~udΦO~ud = ~udT [ΦO]~ud = cosα, sinα, 0

IE 0 00 IE 00 0 IA

cosαsinα

0

(1.167)

= IE cos2 α+ IE sin2 α = IE (1.168)

Un solide dynamiquement de revolution est ainsi caracterise par– un moment d’inertie axial IE selon n’importe quelle direction du plan des directions prin-

cipales centrales de moments d’inertie egaux,– par le moment d’inertie IA pour la direction principale perpendiculaire a ce plan.Des exemples classique de solides dynamiquement de revolution sont le cylindre, l’el-

lipsoıde,...



1.7 Relation entre moments d’inertie mecanique et geometrique

En resistance des materiaux, on fait usage de moments et produits d’inertie geometrique desurface planes. Ainsi par exemple, la rigidite en flexion d’une poutre est egale a E.I, E etant lemodule d’Young et I, le moment d’inertie geometrique de la section de la poutre.

En pratique, on definit le moment d’inertie d’une figure plane par rapport a l’axe Ox parexemple, comme la somme de chaque element de surface pondere par le carre de la distance al’axe Ox :

IgeomOxx =∑

α

Sαy2α (1.169)

Le moment d’inertie mecanique de cette meme surface, (de masse m et de masse volumique ρ)par rapport a l’axe Ox, est egale a la somme de chaque element de masse pondere par le carrede la distance a l’axe :

ImecaOxx =∑

α

mαy2α (1.170)

Or, un element de masse mα = ρSα, si Sα est l’element de surface.

D’ou :ImecaOxx =

∑

α

mαy2α =

∑

α

ρSαy2α = ρ

∑

α

Sαy2α = ρIgeomOxx (1.171)

Le moment d’inertie geometrique se rapportant a une section plane est egal au momentd’inertie mecanique de la plaque pesante correspondante, qui aurait une masse volumique uni-taire (ρ = 1).

On peut ainsi facilement en deduire l’inertie geometrique d’une section circulaire :

ImecaE = MR2

4= ρπR2R

2

4=πρR4

4→ IgeomE =

πR4

4(1.172)

Pour une section rectangulaire de base B et de hauteur H, on a :

IgeomE = MH2

12= ρBH

H2

12→ IgeomE =

BH3

12(1.173)

1.8 Cas plan de la cinetique

On dit qu’il y a cas plan en cinetique du solide si lorsque le solide est en mouvement plan,les torseurs cinetiques sont plans (a savoir, resultante dans le plan et moment perpendiculaireau plan).

Considerons un solide S en mouvement plan par rapport au repere s. Soit Oxy le plan danslequel se meut son centre de masse, l’axe Z etant perpendiculaire a ce plan. le mouvement etantplan, le vecteur rotation est perpendiculaire au plan : ~ω = ω~uz.

La resultante des torseurs des quantites de mouvement ~PS/s et la resultante des reactionsd’inertie R(−m~a)S/s sont situes dans le plan du mouvement car elles correspondent a la resultantede quantites de mouvement ou de reactions d’inertie elementaires elle-memes paralleles au planxy :

~PS/s =∑

α

mα~vα = m~vGS/s (1.174)



G P

zz

Fig. 1.20 –

~R(−m~a)S/s =∑

α

mα~aα = m~aGS/s (1.175)

En repere de Koenig, le mouvement de S est une rotation permanente autour de l’axe fixeGz, a la vitesse angulaire ~ω = ω~uz.

Le moment cinetique relatif en G peut etre determine a partir de ~LG = ΦG~ω. D’ou :

~LG = −IGxzω~ux − IGyzω~uy + IGzzω~uz (1.176)

Pour que le torseur des quantites de mouvement soit plan , il faut que ~LG soit dirige suivant l’axeGz, donc pratiquement que IGxz = 0 et IGyz = 0, Il faut donc que Gz soit direction principalecentrale.

Cette condition suffit egalement pour assurer que le torseur des reactions d’inertie soitegalement plan.

En effet, l’expression vectorielle du moment des reactions d’inertie au centre de gravite est

~M(−ma)GS/Sk= −

d~LGS/Sk

dt= −ΦG(

d~ωS/Sk

dt)SK

− ~ωS/Sk∧ ΦG ~ωS/Sk

(1.177)

D’autre part, le repere de Koenig est en translation par rapport au repere de base s :

~ωSK/s = ~0 (1.178)

La relation precedente s’applique donc egalement par rapport au repere de base s car lesderivees par rapport a deux reperes en translation l’un par rapport a l’autre sont identiques.D’ou :

~M(−m~a)GS/SK= −ΦG

(d~ωS/s

dt

)

s

− ~ωS/s ∧ ΦG ~ωS/s (1.179)

ce qui conduit a

M(−m~a)Gx =dω

dtIGxz − ω2IGyz (1.180)

M(−m~a)Gy =dω

dtIGyz + ω2IGxz (1.181)

M(−m~a)Gz = −dωdtIGzz (1.182)



Pour que les composantes suivant x et y soient nulles, il faut egalement que IGxz et IGyz = 0.

On peut egalement montrer que si on etudie le mouvement du solide dans le plan du mouve-ment passant par le centre de gravite G, en n’importe quel point de ce plan, les produits d’inertiese rapportant a l’axe z sont nuls tous deux. En effet, en un point P de ce plan, on a :

IPxz = IGxz +mPGxPGz = 0 car PGz = 0 (1.183)

IPyz = IGxz +mPGxPGz = 0 car PGz = 0 (1.184)

Les torseurs cinetiques sont donc plans en n’importe quel point de ce plan des que l’axe Gzest principal central.

En conclusion, il y a cas plan de la cinetique d’un solide si d’une part, le solide est enmouvement plan, et si d’autre part, l’axe Gz perpendiculaire au plan au centre de gravite estun axe principal central.

1.9 Methodes de determination du torseur des reactions d’iner-tie et de l’energie cinetique d’un solide

1.9.1 Resultante des reactions d’inertie ~R(−m~a)S/s

En pratique, deux methodes peuvent etre utilisees pour determiner la resultante desreactions d’inertie d’un solide indeformable. La premiere se base sur l’acceleration du centre demasse, la seconde sur la variation de la quantite de mouvement.

– Si on passe par l’acceleration du centre de masse, la resultante des reactionsd’inertie est definie par :

~R(−ma)S/s = −m~aGS/s(1.185)

– Si on passe par la vitesse du centre de masse, la resultante des quantites de mou-vement peut etre determinee a partir de :

~PS/s =∑

mα~vαs = m~vGS/s(1.186)

Et la resultante des reactions d’inertie peut etre determinee par :

~R(−m~a)S/s =d~PS/s

dt(1.187)

1.9.2 Moment ~M(−m~a)O des reactions d’inertie au point O

Plusieurs approches peuvent etre utilisees pour determiner le moment des reactions d’inertiepar rapport a un pole O quelconque :

– La premiere approche exploite la relation generalisee entre moment des reactions d’inertieen O et variation du moment cinetique en O.

– La seconde s’appuie sur le theoreme de Koenig en passant par le centre de gravite G dusolide : elle decompose le moment des reactions d’inertie en distinguant le mouvement parrapport au centre de gravite et le mouvement propre du centre de gravite.

– Une troisieme approche s’appuie sur le passage par un autre point plus adapte pourexprimer ce moment et l’exploitation du changement de pole pour le torseur des reactionsd’inertie.



1.9.2.1 Derivation du moment cinetique au meme point O

Dans cette methode, il est necessaire d’utiliser d’une part, la relation entre le moment desreactions d’inertie en O et le moment cinetique en O, et d’autre part, de determiner le momentcinetique ~LOS/s.

Rappelons que la relation generalisee entre le moment des reactions d’inertie en O et lavariation du moment cinetique en O pour un pole O quelconque s’exprime par :

~M(−m~a)OS/s = −d~LOS/s

dt− ~vO/s ∧m~vGS/s (1.188)

Le dernier terme de cette equation est nul si :

~vO/s ∧m~vGS/s = ~0 (1.189)

donc en pratique, si l’une des conditions suivantes (appelees conditions I) est respectee, a savoir :

si~vO/s = ~0 (1.190)

ou si~vGS/s = ~0 (1.191)

ou si~vO/s //~vGS/s (1.192)


~M(−m~a)OS/s = −d~LOS/s

dt(1.193)

Rappelons d’autre part, que le moment cinetique est lie par la relation tensorielle suivanteavec le vecteur rotation pour autant que le pole O se trouve sur l’axe de rotation :

~LoS/s= ΦO ~ωS/s si ~vOS/s = ~0 (1.194)

Cette deuxieme condition est appelee la condition II.

Si les deux conditions I et II sont verifiees, le moment des reactions d’inertie en O est alorsegal a la variation du tenseur d’inertie applique au vecteur vitesse angulaire :

~M(−m~a)S/s = −(dΦO~ωS/s

dt

)

s

(1.195)

Cette derivee etant prise par rapport a un observateur lie au repere s fixe, le tenseur ne peutgeneralement pas sortir de l’operateur derivation, dans la mesure ou pour un observateur fixe,ce tenseur n’est pas constant, la repartition des masses etant variable pour cet observateur fixe).La repartition des masses est toutefois constante pour un observateur qui serait lie au solidelui-meme. Il est donc indique de passer par un observateur lie au solide S en appliquant lacomposition des derivees, ce qui conduit a :

~M(−m~a)S/s = −(dΦO~ωS/s

dt

)

S

− ~ωS/s ∧ ΦO ~ωS/s (1.196)

Or, la derivation du vecteur rotation entre deux solides est identique que l’on derive par rapporta l’un ou l’autre des deux solides concernes par la rotation. En effet, la composition des rotationsdonne dans ce cas :

(d~ωS/s

dt

)

S

=

(d~ωS/s

dt

)

s

+ ~ωS/s ∧ ~ωS/s︸︷︷︸

0

=

(d~ωS/s

dt

)

s

(1.197)



Si les conditions I et II sont verifiees, le moment des reactions d’inertie s’exprime par :

~M(−m~a)S/s = −ΦO

(d~ωS/s

dt

)

s

− ~ωS/s ∧ ΦO ~ωS/s (1.198)

Cette derniere expression se simplifie en cas plan : en effet, le vecteur rotation est dans cecas perpendiculaire au plan. Il est dirige dans la direction z qui est une direction principale. Ledeuxieme terme de l’expression precedente s’annule dans la mesure ou si le vecteur est dirigeeselon une direction principale, il est parallele au moment cinetique. et de ce fait, les produitsd’inertie contenant z sont nuls.

En cas plan, si les conditions I et II sont respectees, le moment des reactions d’inerties’exprime donc dans ce cas par :

~M(−m~a)S/s = −IOzzdωS/s

dt~uz (1.199)

IOzz etant le moment d’inertie au point O dans la direction z.

1.9.2.2 En passant par le centre de gravite G et le theoreme de Koenig

Afin de dissocier le mouvement du centre de gravite et par rapport au centre de gravite, onpeut definir le repere de Koenig Sk associe au solide S de la facon suivante :

1. l’origine du repere de Koenig Sk correspond au centre de gravite G du solide S.

2. le repere de Koenig Sk suit le solide S dans son mouvement mais ses axes restent constam-ment paralleles aux axes du repere de base s.

Le theoreme de Koenig permet de diviser le moment des reactions d’inertie en deux contri-butions :

~M(−m~a)OS/s = ~M(−m~a)GS/SK+ ~OG ∧ −m~aGS/s (1.200)

.

– le premier terme correspond au moment des reactions d’inertie dans le mouvement derotation autour du centre de gravite G par rapport au repere de Koenig SK ;

– le second terme correspond au moment des reactions d’inertie qu’aurait le systeme sitoute la masse etait ponctuelle au centre de gravite (contribution du mouvement propredu centre de gravite).

Le moment des reactions d’inertie relatif par rapport au repere de Koenig peut etre determinede facon systematique. En effet, le repere de Koenig est lie au centre de gravite G. On a donc

~vGS/Sk= ~vG/Sk

= ~0 (1.201)

Les conditions I et II sont donc toujours respectees au point G dans le mouvement parrapport au repere de Koenig. On a donc :

~M(−m~a)GS/Sk= −

d~LGS/Sk

dt= −ΦG

(d~ωS/Sk

dt

)

Sk

− ~ωS/Sk∧ ΦG ~ωS/Sk

(1.202)

D’autre part, le repere de Koenig est en translation par rapport au repere de base s :

~ωS/Sk= ~0 (1.203)



La relation precedente s’applique donc egalement par rapport au repere de base s car lesderivees par rapport a deux reperes en translation l’un par rapport a l’autre sont identiques.

Au centre de gravite G, dans le mouvement par rapport au repere de Koenig Sk, le momentdes reactions d’inertie relatif s’exprime toujours par :

~M(−ma)GS/Sk= −ΦG

(d~ωS/s

dt

)

s

− ~ωS/s ∧ ΦG ~ωS/s (1.204)

qui, en cas plan, se ramene a :

~M(−ma)GS/Sk= −IGzz

dωS/s

dt~uz (1.205)

1.9.2.3 En passant par un autre point point P mieux adapte pour l’expression dumoment des reactions d’inertie

Si on passe par un point P , la relation generale de changement de pole permet de d’ecrirela relation entre les moment des reactions d’inertie au point O et au point P :

~M(−ma)oS/s= ~M(−ma)PS/s

+ ~R(−m~a) ∧−−→PO (1.206)

La passage par un autre point P est dans certains cas indique si en ce point, le moment desreactions d’inertie s’exprime plus facilement par exemple si en ce point, les conditions I et II ysont simultanement verifiees.

1.9.3 Energie cinetique T

Si un solide S est en mouvement par rapport au repere s, on peut exprimer son energiecinetique en passant par l’une des deux methodes suivantes.

1.9.3.1 S’il existe un point O tel que sa vitesse instantanee soit nulle

Si le pole O est sur l’axe instantane de rotation de S par rapport a s, on a

T =1

2

∑

α

mαv2αS/s =

∑

α

mα~vαS/s~vαS/s (1.207)

Le point O etant fixe dans le mouvement de S par rapport a s, on a :

~vαS/s = ~vOS/s + ~ωS/s ∧ ~OAα = ~ωS/s ∧ ~OAα (1.208)

D’ou

TS/s =1

2

∑

α

mα~vαS/s(~ωS/s ∧−→OAα) (1.209)

Si on applique une permutation circulaire au produit mixte du dernier membre, on obtient :

TS/s =1

2

∑

α

mα~ωS/s(−→OAα ∧ ~vαS/s)) =

1

2~ωS/s

∑

α

−→OAα ∧mα~vαS/s (1.210)



La somme apparaissant dans le dernier membre est le moment cinetique en O. D’ou :

TS/s =1

2~ω~LOS/s (1.211)

Comme le point O est tel que ~vOS/s = ~0, le moment cinetique s’exprime par rapport au vecteurrotation en passant par le tenseur d’inertie ΦO :

~LOS/s = ΦO~ωS/s (1.212)

L’energie cinetique du solide S en mouvement par rapport au repere s s’exprime par

TS/s =1

2~ωS/sΦO~ωS/s si ~vOS/s = ~0 (1.213)

ce qui en cas plan, se ramene a

TS/s =1

2IOzzω

2S/s si ~vOS/s = ~0 (1.214)

1.9.3.2 Methode generale basee sur le theoreme de Koenig

On sait par le theoreme de Koenig applique a l’energie cinetique que l’energie cinetiqueabsolue(/s) est egale a l’energie cinetique relative (par rapport au repere de Koenig Sk), aug-mentee de la grandeur correspondante que la masse aurait si toute la masse etait concentree aucentre de masse G.

TS/s = TS/Sk+

1

2Mv2

G (1.215)

Or, dans le mouvement par rapport au repere de Koenig, le point G est un point fixe, puisque

~vGS/Sk = ~0 (1.216)

D’ou

TS/Sk=

1

2~ωS/Sk

ΦG~ωS/Sk(1.217)

Comme le repere de Koenig est en translation par rapport a s, ~ωS/s = ~ωS/Sk, et

L’energie cinetique du solide S en mouvement par rapport au repere s s’exprime par

TS/s =1

2~ωS/sΦG~ωS/s +

1

2Mv2

G (1.218)

ce qui en cas plan, se ramene a

TS/s =1

2IGzzω

2S/s +

1

2Mv2

G (1.219)

1.10 Cinetique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe

Considerons un solide S en rotation permanente autour de l’axe fixe Oz par rapport aurepere s (O etant un point de l’axe).



Les vecteurs rotation et acceleration angulaire s’expriment par :

~ω = ω~uz (1.220)

d~ω

dt~uz (1.221)

La resultante des quantites de mouvement devient :

~P = m~vGS/s = m(ω~uz ∧ ~OG) (1.222)

Comme ~vOS/s = ~0, le moment cinetique s’exprime par :

~LO = ΦOωS/s (1.223)

z

X

x

yY

O

G G

z

o

Si on projette ces relations sur une base O XYZ liee a S, OX faisant l’angle α avec l’axe Oxde la base fixe Oxyz (ω = dα

dt ) et OZ coıncidant avec Oz, on obtient

~PS/sT = (−MωYG,+MωXG, 0) (1.224)

~LOS/sT = (−IOXZω,−IOY Zω,+IOZZω) (1.225)

La resultante des reactions d’inertie s’exprime par :

~R(−m~a) = −M~aGS/s = −M(dω

dt~uz∧ ~OG+ω~uzΛ(∧~uzΛ ~OG)) = M(

dω

dt~uz∧ ~G′G−ω2 ~G′G) (1.226)

si G′ est la projection de G sur l’axe de rotation.

Si on projette ces relations sur une base OXY Z liee a S, on obtient

~R−m~aT = (+Mdω

dtYG +Mω2XG,−M

dω

dtXG +Mω2YG, 0) (1.227)

M(−m~a)OT = (+

dω

dtIGXZ − ω2IGY Z ,+

dω

dtIGY Z + ω2IGXZ ,−

dω

dtIGZZ) (1.228)

La resultante des reactions d’inertie est nulle si et seulement si le centre de masse G est situesur l’axe de rotation (YG = 0, XG = 0)

Le moment des reactions d’inertie en O s’annule si les produits d’inertie relatif a l’axe Zs’annulent (IGXZ=0 IGY Z = 0), donc si l’axe de rotation est principal d’inertie en O.



Le torseur des reactions d’inertie sera equivalent a zero si l’axe de rotation est principalcentral.

Dans ces conditions, sur le plan des efforts transmis pas le solide en rotation a ses paliers,les efforts dynamiques sont equivalents a zero et les efforts supportes par les paliers sont lesmemes que dans le cas statique, meme si le rotor tourne. On dira dans ce cas que le rotor estparfaitement equilibre.

Des lors, la condition pour qu’un solide soit parfaitement equilibre est que le centre degravite se trouve sur l’axe (equilibrage statique) et que l’axe soit une direction principale centrale(equilibrage dynamique).

Les produits d’inertie jouent de ce fait un role important dans les conditions d’equilibraged’un solide puisque l’egalite a 0 des produits d’inertie concernant l’axe de rotation assurentun equilibrage parfait, pour autant que le rotor soit deja prealablement statiquement equilibre(centre de gravite sur l’axe).



1.11 Tests de comprehension sur l’inertie et les grandeurscinetiques

1.11.1 Tige en rotation autour d’un axe

Une tige AB tourne a vitesse constante autour de l’axe Oz, O etant le centre de gravite dela tige qui fait un angle β avec l’axe Oz (Fig. 1.21). Repondre par vrai ou faux aux propositionssuivantes 5

Fig. 1.21 – Tige en rotation autour d’un axe

Proposition faux vrai

1. Il s’agit d’un cas cinematiquement plan.

2. Le produit d’inertie Ioxz est nul.

3. La direction Oz est principale.

4. La resultante des reactions d’inertie est nulle.

5. Le moment des reactions d’inertie en O est dirige suivantl’axe Y negatif

6. Il s’agit d’un cas cinetiquement plan

7. Le centre de gravite etant sur l’axe, les effets dynamiquesinduits lors de la rotation sont inexistants

8. La matrice d’inertie en O/xyz est une matrice diagonale

9. Le moment cinetique est dirige suivant l’axe z positif

10. Meme si la vitesse de rotation est constante, l’accelerationlineaire au point A n’est pas nulle

5Il vous est fortement conseille d’essayer de repondre a ce type de tests sur le site http ://elear-ning.student.fpms.ac.be



1.11.2 Plaque tournant autour d’un axe

Une plaque en forme de L tourne autour de l’axe Ox. Une masse m peut osciller le longd’une glissiere solidaire de la plaque et dirigee selon la direction perpendiculaire a Ox (Fig.7.1.b). Repondre par vrai ou faux aux questions suivantes6 :

Fig. 1.22 – Plaque en rotation autour d’un axe


1. Le centre de gravite du solide S est sur l’axe OX.

2. Le produit d’inertie Ioxy du solide S est nul.

3. Le produit d’inertie Ioxz du solide S est nul.

4. Le solide S est parfaitement equilibre.

5. L’acceleration de Coriolis de la masse m en B est dirigeeselon les Z positifs.

6. L’acceleration d’entraınement de la masse m en B est dirigeesuivant les Y positifs.

7. Si la liaison masse - glissiere est sans perte, cela signifie queFlBx = 0 et FlBz = 0.

8. La reaction d’inertie relative de la masse vaut ω2AB.

9. La masse m est stabilisee dans une position donnee lors dela rotation a vitesse constante ω autour de l’axe X.

10. La puissance developpee par les forces de liaison en B estnulle, la liaison etant sans perte.




1.11.3 Moto roulant sans glisser

Un motocycliste roule sans glisser a la vitesse v avec un acceleration a. L’ensemble motosans les roues + motocycliste sera considere comme un meme solide unique S, de masse M dede centre de gravite G, situe a une hauteur H (Fig. 1.23). Chaque roue est caracterisee par samasse m, son rayon de giration central i et son rayon r. ω est la vitesse de rotation des rouesde la moto. Repondre par vrai ou faux aux questions suivantes7 :

Fig. 1.23 – Moto roulant sans glisser.


1. Pour la roue avant, la vitesse de rotation ~ω = +v/r~uz.

2. Pour la roue avant, la vitesse de rotation ~ω = −vr~uz.3. Pour le cadre, la resultante des reactions d’inertie = −ma~ux.4. Pour le cadre, le moment des reactions d’inertie en C = ~0.

5. Pour la roue arriere, le moment des reactions d’inertie en A= +mi2a/r~uz.

6. Pour la roue arriere, le moment cinetique en A =mi2ω~uz.

7. Pour les deux roues, la resultante des reactions d’inertie = ~0.

8. Pour la roue avant, le moment d’inertie en D suivant l’axe z= m(1 + i2/r2).

9. Pour la roue avant, le moment cinetique en D = mi2v/r~uz.

10. Pour l’ensemble de la moto, la resultante des quantites demouvement =(M + 2m)v~ux.




1.12 Exercices a resoudre sur les notions de grandeurscinetiques

1.12.1 Transmission par roues dentees

Determiner la reaction d’inertie et le moment des reactions d’inertie de la roue S dans sonmouvement par rapport au bati s. La roue dentee S(centre C, rayon r) roule sans glisser enM sur la roue dentee s (centre O, rayon R). La bras S∗ tourne en O par rapport a s, la roueS tournant en C par rapport a S∗ (Fig. 1.24). L’evolution de l’angle du bras θ(t) est supposeeconnue.

Fig. 1.24 – Transmission par roue dentee avec roulement exterieur par rapport a une rouecentrale fixe

Solution

~R(−ma)S/s = mθ(R+ r)~uX +mθ2(R+ r)~uY (1.229)

~M(−ma)oS/s = −m(R+ r)(R+3r

2)θ~uZ (1.230)

1.12.2 Plaque en rotation - Conditions d’equilibrage d’un solide en rotationautour d’un axe

Determiner le torseur des reactions d’inertie en O d’une plaque rectangulaire S homogenetournant a vitesse constante ~ω = ω~uX autour d’une de ses diagonales OX, les proprietesgeometriques et d’inertie de la plaque etant connues (Fig. 1.25).

Solution

~R(−m~a)S/s = ~0 (1.231)

~M(−ma)OS/s = IoXY ω2~uZ (1.232)

~uZ etant perpendiculaire a la plaque.

1.12.3 Rotation autour d’un axe vertical, du bati d’une foreuse en fonction-nement - Manifestation du couple gyroscopique

Le cylindre S tourne autour de l’axe AB a vitesse constante ~ωS/S′ = ~ωR = ωR~uX′ . Lespaliers A et B appartiennent au solide S′ en rotation constante ~ωS′/s = ~ωE = ωE~uZ par rapport



Fig. 1.25 – Plaque en rotation autour de sa diagonale

au repere fixe s. Le point O correspond a l’intersection des axes Z et X ′. Le centre de gravitedu cylindre S correspond au point o (Fig. fig7.1).

Determiner le tenseur des reactions d’inertie en O du solide S dans son mouvement parrapport a s.

Fig. 1.26 – Schema de rotation du bati d’une foreuse en fonctionnement

Solution

~R(−m~a)S/s = ~0 (1.233)

~M(−ma)OS/s = −IA ωS/S′ωS′/s~uY ′ (1.234)

Cette derniere expression est un cas particulier de l’expression generale donnant le couple gyro-scopique, a savoir ~Cg = IA(~ωR∧~ωE), ~ωR etant la vitesse angulaire relative et ~ωE etant la vitesseangulaire d’entraınement.


Chapitre 2

Theoremes generaux de ladynamique

La meilleure facon d’apprendreest de resoudre des problemes

Arthur Koestler, Le cri d’Archimede

La Dynamique porte sur l’etude du mouvement des systemes mecaniques soumis a desactions appelees forces. Elle se preoccupe de la relation entre mouvements et forces alors que laCinematique se borne a decrire les mouvements.

L’enonce des lois de la Dynamique fait appel aux notions d’espace, de temps et de massequ’il est utile de preciser.

– L’espace est suppose homogene et isotrope : aucun point, aucune direction n’est privilegieede sorte que les dimensions d’un solide rigide ne peuvent dependre ni de sa position, nide son orientation . C’est l’espace euclidien a 3 dimensions de la geometrie classique.

– Le temps est homogene, sans origine privilegiee. Il est defini de facon a respecter leprincipe de causalite : ”Lorsque les memes conditions se presentent en 2 lieux differentset a 2 instants differents, les memes phenomenes se produisent, transportes seulementdans l’espace et le temps”. Si ce principe n’etait pas respecte, dans un meme intervallede temps mesure a partir d’instants initiaux differents, les memes causes produiraientdes effets inegaux. Le temps doit donc s’ecouler a cadence reguliere. L’horloge definiea partir du mouvement de rotation diurne de la terre par rapport aux etoiles satisfaitsuffisamment a ce critere1.

– La masse est une mesure de la quantite de matiere d’un corps. La masse totale d’uncorps se conserve ; on peut admettre qu’un corps de masse m se scinde en 2 parties demasse m1 et m2, mais la masse totale m = m1 + m2 doit etre conservee. D’autre part,une masse ne peut disparaıtre en un point a un certain instant pour reapparaıtre ailleursen un autre instant : les deplacements materiels sont continus.

1L’espace et le temps sont des variables absolument distinctes et ne peuvent pas en eux-memes etre des causesde mouvements.

42

CHAPITRE 2. THEOREMES GENERAUX DE LA DYNAMIQUE 43

2.1 Principe fondamental de la Dynamique

2.1.1 Principe fondamental en repere galileen

Rappelons que les principes fondamentaux de la Mecanique classique definis en statique sont :

– l’independance des effets des force : des forces ~Fi agissant sur un meme pointmateriel M ont le meme effet qu’une force unique ~R =

∑

i~Fi egale a leur somme

vectorielle. Il en decoule le principe de superposition vectorielle des forces qui permetd’appliquer l’algebre vectorielle a l’etude des forces.

– le principe d’inertie : la vitesse d’un point materiel ne peut varier ni en grandeur,ni en direction, sans l’intervention d’une force. Si un point materiel n’est sollicite paraucune force, il se meut d’un mouvement rectiligne uniforme.

– le principe de l’egalite de l’action et de la reaction.

Le principe fondamental de la Dynamique s’enonce comme suit (Fig. 2.1) :

Si ~R est la resultante des forces agissant sur un point materiel P de masse m, il existe unrepere d’espace absolu s et une horloge absolue par rapport auxquels le mouvement du pointmateriel P , repond a l’equation :

~R = m ~aP/s (2.1)

PF

F

FR

1

2

3

_

_

__

Fi

_

xy

z

s

Fig. 2.1 – Mouvement d’une masse ponctuelle soumise a ensemble de forces ~Fi

Il s’agit d’un principe de nature experimentale : toutes les consequences de ce principe,utilise dans le cadre de la Mecanique classique, sont verifiees par l’experience.

Le principe fondamental de la Dynamique contient le principe d’inertie : si la masse ponc-tuelle en P est isolee (c’est-a-dire infiniment distante de tout autre element materiel et soumisea aucune force), son acceleration est nulle et son mouvement est rectiligne et uniforme. En effet,si la resultante ~R = ~0, l’acceleration ~a = ~0 et la vitesse ~v = d~a/dt est constante.

Le repere d’espace absolu, note s, est appele le repere galileen. Il s’agit d’une repere lieaux etoiles fixes. Les etoiles dessinent pour nous un solide stellaire apparemment invariablequoiqu’elles soient animees de vitesses considerables, etant donne les distances enormes qui nousen separent. Une bonne image en est donnee par un triedre joignant le centre de masse dusysteme solaire (voisin du centre de masse du soleil) a trois etoiles (triedre de Copernic).



Ces principes de la Mecanique classique constituent les lois de Newton.

Les limites de la Mecanique classique (ou newtonienne ou galileenne) sont les suivantes :

– limitation due aux grandes vitesses : les principes precedents ne sont verifies quelorsque la vitesse v reste petite par rapport a la vitesse c de la lumiere, sinon on entredans le cadre de la mecanique relativiste2 (cf cours de Physique Generale) ;

– limitation due au grand nombre de particules : lorsqu’un systeme comporte untres grand nombre de particules, on ne s’interesse qu’aux ”proprietes moyennes” de cesysteme (par exemple l’energie cinetique moyenne des particules d’un gaz qui permettrad’introduire la notion de temperature). Ces etudes font l’objet de la mecanique statistique(cf cours de Thermodynamique) ;

– limitation due aux petites dimensions : le mouvement d’une particule evoluantdans un milieu presentant des dimensions caracteristiques de l’ordre de grandeur de lalongueur d’onde associee (longueur d’onde de de Broglie) λ = h/(mv), est du ressort dela mecanique ondulatoire (cf cours de Physique Generale)3.

Remarquons que la masse est introduite en Mecanique par deux lois independantes :

– la loi de gravitation universelle qui etablit que la force d’attraction F entre deuxcorps de masse m1 et m2 est proportionnelle a leur masse et inversement proportionnelleau carre de la distance d entre elles (masse gravitationnelle ou masse pesante) :

F = γm1m2

d2(2.2)

γ etant une constante universelle egale a 6.6710−11m3kg−1s−2.

– le principe fondamental de la Dynamique qui definit la masse comme le rapportconstant entre la force et l’acceleration produite par rapport a un repere galileen s (masseinerte) :

~R =∑

i

~Fi = m~a/s (2.3)

Des experiences precises (experience de Eotvos) ont conduit a la verification de l’egalite desmasses inertielle et gravitationelle (avec un ecart relatif eventuel de l’ordre de < 10−10).

2.1.2 Principe fondamental en repere non galileen

Considerons un repere S en mouvement par rapport au repere galileen s (Fig. 2.2). Si ~R estla resultante des forces exercees sur le point materiel P de masse m, on a :

~R = m ~aP/s (2.4)

~aP/s etant l’acceleration absolue (/s) de P .

2La relation ~R = ddt

(m~v) = d~pdt

(theoreme de la quantite de mouvement), equivalente en Mecanique classiqueou m est invariable, est plus generale, car elle s’applique encore en Mecanique relativiste ou m est variable.

3h est la constante de Planck egale a 6.62610−34J.s



PF

F

FR

1

2

3

_

_

__

Fi

_

_- m a

P/s

xy

z

s

XY

Z

S

Fig. 2.2 – Masse ponctuelle soumise a un ensemble de forces ~Fi, en mouvement par rapport aun repere non galileen

Le theoreme de composition des accelerations permet d’ecrire :

~R = m ~aP/S +m ~aPS/s +m ~aC (2.5)

faisant intervenir l’acceleration relative ~aP/S , l’acceleration d’entraınement ~aPS/s ainsi quel’acceleration de Coriolis ~aC = 2 ~ωS/s ∧ ~vP/S .

On ne peut donc pas affirmer que ~R = m ~aP/S par rapport a un repere S quelconque.

En effet :~R−m ~aPS/s −m ~aC = m ~aP/S (2.6)

En consequence, pour traiter un probleme de Dynamique par rapport a un repere S nongalileen, on peut supposer qu’il s’agit d’un repere galileen, a condition d’ajouter aux forces agis-sant reellement sur le point deux forces fictives : la reaction d’inertie d’entraınement (−m ~aPS/s)et la reaction d’inertie de Coriolis (−m ~aC).

Tous les theoremes etablis en repere galileen subsisteront donc en repere non galileen, acondition d’ajouter les forces fictives de reaction d’inertie aux forces reelles.

D’autre part, il existe une infinite de reperes galileens ou reperes inertiels : ce sont tous lesreperes en translation rectiligne et uniforme par rapport au repere absolu defini initialement.Tous ces reperes sont equivalents en Mecanique classique.

En effet, les accelerations d’entraınement ~aPS/s et de Coriolis ~aC sont nulles si le repere Sest en translation rectiligne et uniforme. En effet,

– si ~ωS/s = ~0, l’acceleration de Coriolis ~aC est nulle,– si le repere S est en translation rectiligne et uniforme, la vitesse d’entraınement ~vPS/s est

constante et l’acceleration ~aPS/s est nulle.

2.1.3 Principe fondamental en repere geocentrique

On appelle repere geocentrique SG un repere de Koenig lie au centre O de la terre, entranslation par rapport au repere galileen absolu s (on peut considerer SG comme un triedre



Fig. 2.3 – Repere geocentrique lie au centre de la terre

OXGYGZG joignant le centre O de la terre a trois etoiles, qui garde donc ses axes paralleles aurepere galileen s au cours du mouvement de la terre).

Considerons un point materiel P , de masse m, au voisinage de la terre. Il est soumis auxeffets suivants :

– la force de gravitation due a la terre, notee ~FTerre ;– les forces de gravitations dues aux autres corps celestes que la terre, notee ~RAutres ;– d’autres forces ~Fi autres que ces forces de gravitation, et dont la resultante sera notee ~R.

On a donc par rapport au repere galileen s :

~R+ ~FTerre + ~RAutres = m~aP/s (2.7)

En appliquant la composition des accelerations, l’acceleration absolue ~aP/s du point Ppar rapport au repere galileen s peut etre developpee en passant par le repere intermediairegeocentrique SG :

~aP/s = ~aP/SG+ ~aPSG/s + 2 ~ωSG/s

∧ ~vP/SG(2.8)

Le repere geocentrique SG etant en translation permanente, son acceleration de Coriolis estnulle :

~aC = 2 ~ωSG/s ∧ ~vP/SG= ~0 (2.9)

Si on passe par le point O, centre de la terre, et compte tenu du fait que le repere SGest en translation permanente par rapport a s, l’acceleration d’entraınement ~aPSG/s est egale al’acceleration absolue du centre O de la terre :

~aPSG/s = ~aOSG/s = ~aO/s (2.10)

Le principe fondamental applique au mouvement du point P donne donc :

~R+ ~FTerre + (~RAutres −m~aO/s) = m~aP/SG(2.11)



Le troisieme terme entre parentheses combine l’effet des autres astres et de la reactiond’inertie due au mouvement du centre de la terre par rapport au repere galileen s. Il convientde l’expliciter pour en estimer l’ordre de grandeur.

– Resultante ~RAutres des effets d’attraction des autres astresAfin d’expliciter l’effet d’attraction des corps celestes, considerons l’un d’entre eux α (lalune par exemple), de masse Mα et de centre Oα. Ce corps exerce sur le point P la force

~Fα = γ m Mα

−−→POαPO3

α

(2.12)

Les forces de gravitation dues aux autres corps celestes que la terre deviennent

~RAutres =∑

α

γ m Mα

−−→POα

PO3α

(2.13)

– Acceleration ~aO/s du centre O de la terreL’acceleration au centre O de la terre peut etre explicitee en considerant que le centrede masse O de la terre se meut comme si toute sa masse MT y etait concentree en etantsoumise a l’action de la resultante des forces agissant sur la terre et provenant des autresastres (cf theoreme du centre de masse - section 2.4.1). En effet, l’equilibre dynamique dela terre soumise a l’effet des autres astres s’exprime par :

∑

α

γ MT Mα

−−→OOα

OO3α

= MT~aO/s (2.14)

L’acceleration du centre O de la terre par rapport au repere galileen s s’exprime par :

~aO =∑

α

γ Mα

−−→OOα

OO3α

(2.15)

L’equation d’equilibre dynamique du point P devient donc :

~R+ ~FTerre +∑

α

γ mMα (

−−→POα

PO3α

−−−→OOα

OO3α

) = m ~aP/SG(2.16)

L’effet combine d’attraction du aux autres astres ~RAutres et de la reaction d’inertie −m~aO/sdue au mouvement du centre de la terre se ramene a une somme de termes

−−→∆Fα explicitant la

contribution de chaque astre α :

~R+ ~FTerre +∑

α

−−→∆Fα = m ~aP/SG

(2.17)

avec :−−→∆Fα = γ mMα (

−−→POα

PO3α

−−−→OOα

OO3α

) (2.18)

On peut estimer l’ordre de grandeur de cette contribution ∆Fα se rapportant a un astre αpour un point P situe a la surface de la terre. Pour un astre α donne, soit dα = OOα, la distanceentre le centre O de la terre et le centre Oα de l’astre considere (Fig. 2.4). Si RT est le rayonterrestre, ce terme sera :



Fig. 2.4 – Distance terre - astre α

– maximum positif si POα, distance entre le point P considere et le centre Oα de l’astre,est la plus petite possible, donc lorsque P en P ′ tel que si P ′Oα = dα −RT , les points O,P ′ et Oα etant alignes selon le vecteur unitaire ~uOOα .

– maximum negatif si POα, distance entre le point P considere et le centre Oα de l’astre,est la plus grande possible, donc lorsque P en P ′′ tel que si P ′′Oα = dα + RT , les pointsP ′′, O, et Oα etant alignes selon le vecteur unitaire ~uOOα .

Ces forces sont donc repulsives par rapport au plan diametral de la terre, perpendiculaire a ladroite joignant le centre de la terre a l’astre agissant.

Pour la premiere configuration (P en P ′), on a donc,

(−−→P ′Oα

P ′O3α

−−−→OOα

OO3α

)

=1

P ′O2α

~uOOα − 1

OO2α

~uOOα (2.19)

En grandeur, on obtient

1

(dα −RT )2− 1

d2α

=1

d2α

(

1

(1 − RTdα

)2− 1

)

=1

d2α

(1 +2RTdα

− 1 + · · · ) ∼ 2RTd3α

(2.20)

L’ordre de grandeur au point P = P ′ de la contribution de l’astre α vaut :

∆Fα = γ mMα (1

P ′O2α

− 1

OO2α

) ∼ γ m Mα 2RTd3α

(2.21)

La constante universelle γ intervenant dans la loi d’attraction universelle, peut etre expliciteeen exprimant l’attraction de la masse m par la masse MT de la terre :

FTerre = γm MT

R2T

∼ m g (2.22)

Cette force d’attraction est pratiquement egale comme on le verra plus loin au poids mg, getant la gravite.

On en deduit que la constante universelle γ s’exprime par

γ =FTerreR

2T

mMT∼ gR2

T

MT(2.23)



L’ordre de grandeur au point P = P ′ de la contribution de l’astre α par rapport a la forced’attraction FTerre due a la terre s’exprime donc par :

∆FαFTerre

=∼ 2mα

mT(RTdα

)3 (2.24)

En P ′, cette contribution est positive (selon le vecteur unitaire ~uOOα , donc dirigee vers l’astrede O vers Oα.

En P ′′, on pourrait montrer par un developpement similaire que cette contribution a lememe ordre de grandeur tout en etant negative, donc dirigee vers l’oppose de l’astre, donc deOα vers O.

Sachant que le rayon de la terre RT = 6378 km, les ordres de grandeurs suivants s’appliquentdans le cas de la lune :

– dα, distance du centre de la terre au centre de la lune = 380 000 km,– mα/MT , rapport des masses entre la lune et la terre = 1/80

D’ou :F

m g= 2

1

80(

1

60)3 ∼ 1.1610−7 (2.25)

On pourrait montrer de maniere identique que l’influence du soleil vaut environ la moitie decelle de la lune.

La force maximum sur P , due a l’attraction de l’ensemble des corps celestes et de la reactiond’inertie due au mouvement du centre de la terre, est de l’ordre de 10−6 de la force d’attrac-tion terrestre (pratiquement le poids m~g de la masse). En premiere approximation, ces termespourront donc etre negliges et la loi (2.17) pourra s’ecrire :

−→R + ~FTerre = m ~aP/SG

(2.26)

~aP/SGetant l’acceleration par rapport au repere geocentrique SG.

En conclusion, on peut considerer qu’un repere geocentrique est galileen, a condition denegliger l’effet des forces de gravitation exercees par les corps celestes autres que la terre.

Fig. 2.5 – Effet de la lune sur les marees



Cette approximation est acceptable lorsque l’effet des autres astres peut etre considerecomme negligeable, ce qui n’est pas le cas par exemple pour le phenomene des marees. Lesmarees sont dues a l’action de la force due aux autres astres sur les masses d’eau des oceans.Ces forces etant repulsives par rapport au plan diametral de la terre, perpendiculaire a la droitejoignant le centre de la terre a l’astre agissant, il y a de ce fait deux marees par jour (Fig. 2.1.3).Le phenomene reel est tres complexe et depend de la rotation du champ de forces par rapporta la terre, de l’inertie des masses d’eau, du profil des cotes, ...

2.1.4 Principe fondamental par rapport a des axes lies a la terre

Fig. 2.6 – Repere ST lie a la terre

Placons-nous dans le cas ou on neglige l’effet d’attraction des autres astres de maniere apouvoir admettre que le repere geocentrique SG est galileen (Fig. 2.6). On a donc :

~R+ ~FTerre = m ~aP/SG(2.27)

Si on applique la composition des accelerations en prenant le repere ST lie a la terre commerepere intermediaire, l’equation du mouvement de la masse ponctuelle en P par rapport aurepere geocentrique SG est :

~R+ ~FTerre = m(~aP/ST+ ~aPST /SG

+ ~aC) (2.28)

ou– ~aP/ST

est l’acceleration de P par rapport a la terre,– ~aPST /SG

est l’acceleration d’entraınement due au mouvement de rotation de la terre surelle-meme.

– ~aC est l’acceleration de Coriolis s’exprimant par

~aC = 2 ~ωST /SG∧ ~vP/ST

(2.29)

~vP/STetant la vitesse relative du point P par rapport a la terre.



D’ou~R+ ~FTerre −m~aPST /SG

−m~aC = m~aP/ST(2.30)

Les termes ~FTerre −m~aPST /SGrepresentent la somme combinee de la force de gravitation

due a la terre et de la force fictive de reaction d’inertie due au mouvement relatif par rapportau repere geocentrique. Ils correspondent par definition au poids m~g :

m~g = ~FTerre −m~aPST /SG(2.31)

La force d’attraction ~FTerre due a la terre s’exprime par :

~FTerre = γ m MT

−−→OP

OP 3 = m ~H (2.32)

~H etant le rapport entre la force d’attraction et la masse consideree :

~H =~FTerrem

(2.33)

L’acceleration relative par rapport au repere geocentrique peut etre explicitee a partir dumouvement du repere ST lie a la terre en rotation par rapport au repere geocentrique SG, cette

rotation uniforme−→Ω s’effectue autour de l’axe sud-nord :

~ωST /SG= Ω ~uSN (2.34)

~uSN etant le vecteur unitaire selon l’axe sud-nord.

Fig. 2.7 – Terre en rotation autour de son axe Nord-Sud

Si on passe par le point P ′, pied de la perpendiculaire abaissee de P sur l’axe de rotationde la terre (Fig. 2.7), on a

~aPST /SG= ~aP ′ST /SG

+d~ωST /SG

dt∧−−→P ′P − ω2

ST /SG

−−→P ′P = −Ω2

−−→P ′P (2.35)

D’ou :

m~g = ~FTerre −m~aPST /SG= m ~H −m~aPST /SG

= m( ~H + Ω2−−→P ′P ) (2.36)



Le vecteur ~g est donc defini par :

~g = ~H − ~aPST /SG= ~H + Ω2

−−→P ′P (2.37)

~H representant l’effet d’attraction de la terre par unite de masse ( ~H = ~FTerre/m), ~aPST /SG

etant l’acceleration d’entraınement due a la rotation de la terre sur elle-meme.

2.1.4.1 Direction du vecteur ~g

Les proprietes du vecteur gravite ~g peuvent etre decrites en considerant le cas statique d’unemasse m suspendue a un fil (fil a plomb).

La masse est dans ce cas en equilibre relatif par rapport a la terre. Dans ce cas, l’accelerationrelative ~aP/ST

par rapport a la terre est nulle. La vitesse relative ~vP/STpar rapport a la terre est

egalement nulle, ce qui conduit a une reaction d’inertie due a l’acceleration de Coriolis nulle :

~vP/ST= 0 → ~aC = 2 Ω ~uSN ∧ ~vP/ST

= ~0 (2.38)

Si ~R = ~T est la tension dans le fil, on a donc :

~T +m ~H −m~aPST /SG= ~0 (2.39)

~T +m ~g = ~0 (2.40)

La tension dans le fil est opposee au poids. La direction du fil est celle du vecteur ~g, doncde la verticale locale en P , le plan horizontal local etant le plan normal a ~g ; g est l’accelerationde la pesanteur en P .

2.1.4.2 Grandeur du vecteur gravite ~g et de l’attraction terrestre ~H par unite demasse

– L’attraction gravitationnelle par unite de masse ~H est dirige vers le centre de la terre.– La reaction d’inertie d’entraınement −m~aPST /SG

est perpendiculaire a l’axe de rotationSud-Nord de la terre et est centrifuge ; ce terme est nul au pole et maximum a l’equateur.En un point P de latitude φ, l’acceleration centripete ~aPST /SG

a pour grandeur

Ω2 P ′P = Ω2 RT cosφ

ou RT est le rayon terrestre.Puisque Ω = 1 tour/jour = 2 π/86164 rad/s et RT = 6 378 km, on obtient4 :

Ω2 P ′P = 0.034 cosφ (m/s2) (2.41)

– Au pole, la gravite g vaut 9.83 m/s2. Comme ~aPST /SGest nul au pole, la gravite g = H,

et l’attraction terrestre par unite de masse H y vaut egalement 9.83 m/s2 ;– A l’equateur, la gravite g vaut 9.78 m/s2. Le vecteur ~H et les vecteur −~aPST /SG

sontopposes ; l’attraction terrestre par unite de masse H vaut donc 9.81 m/s2 a l’equateur. Lavariation de H de l’equateur au pole resulte de l’aplatissement de la terre.

4Il s’agit ici du jour sideral et non du jour solaire (voir remarque)



En conclusion, le mouvement d’un point materiel P au voisinage de la terre s’ecrit, parrapport a un repere ST lie a la terre :

~R+m ~g + (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(2.42)

~R representant la resultante des forces autres que le poids et autres que les forces attractivesdues aux corps celestes, et Ω etant le vecteur rotation de la terre.

Les forces de Coriolis (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) sont souvent negligeables, Ω etant tres petit et

la vitesse ~vP/STpar rapport a la terre generalement limitee, sauf dans certains phenomenes

specifiques (pendule de Foucault, deviation des projectiles, · · · ).A titre d’exemple, si ~vP/ST

est perpendiculaire a ~Ω et vaut 103 m/s (3 600 km/h), le rapportentre la reaction d’inertie due a l’acceleration de Coriolis et le poids vaut :

∣∣∣2 m ~Ω ∧ ~v

∣∣∣ /m g = 1, 5 % (2.43)

Si la reaction d’inertie due a l’acceleration de Coriolis est negligee, il reste :

~R+m ~g = m ~aP/s (2.44)

En conclusion, pour les phenomenes observes a la surface de la terre, celle-ci peut etreconsideree comme un repere galileen, a condition de

– remplacer l’attraction de la terre sur un element de matiere par son poids,– de ne pas tenir compte de l’attraction des autres astres,– de negliger la reaction d’inertie liee a l’acceleration de Coriolis.

2.1.4.3 Difference entre jour solaire et jour sideral

Le jour solaire est la duree entre 2 passages consecutifs du Soleil dans le plan meridien d’unobservateur terrestre, la duree du jour solaire moyen est fixee a 24 h.

Fig. 2.8 – Difference entre jour solaire et jour sideral

Si on represente par S∗, le solide imaginaire reliant le centre du soleil au centre de la terre(Fig. 2.8), la vitesse de rotation angulaire correspondant au jour solaire (note j) s’exprime par

ωT/S∗ =2π

1j(2.45)

Le jour sideral, repere par rapport aux etoiles fixes ou au repere galileen, correspond a laduree entre deux passages consecutifs d’une etoile (par exemple : la polaire) dans le plan meridien



du meme observateur. La vitesse de rotation angulaire correspondant au jour sideral s’exprimedonc par rapport au repere galileen s par :

ωT/s =2π

TS(2.46)

TS etant la duree du jour sideral.

Si on applique la composition des rotations, on a donc que :

ωT/s = ωT/S∗ + ωS∗/s (2.47)

ωS∗/s est la vitesse de rotation correspondant a la periode de rotation de la terre autour dusoleil, a savoir 365, 256 jours solaires.

D’ou

2π

TS=

2π

1j+

2π

365, 256j=

2π

1j(1 +

1

365, 256) =

2π

1j(366, 256

365, 256) =

2π

1j 365,256366,256

(2.48)

Le jour sideral vaut donc le jour solaire (24h = 86400 s) multiplie par le facteur365.256/366.256, a savoir 86164 s = 23h 56min 4 s.

2.1.5 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontaleen rotation. Resolution en appliquant le principe fondamental de ladynamique - Equilibre des forces

Fig. 2.9 – Masse glissant sans perte sur une tige tournant a vitesse angulaire constante dans unplan horizontal

Un moteur fait tourner la tige d dans le plan horizontal Oxy, autour de O, a une vitesse ωconstante imposee a priori. Le point M , de masse m, peut glisser sans perte sur la tige d (Fig.2.9).

A l’instant t = 0, la tige d coıncide avec l’axe Ox et le point M est a une distance r0du point fixe O, au repos relatif sur la tige d (r(0) = 0). On recherche la loi du mouvement



OM = r(t) ainsi que la puissance fournie par le moteur en appliquant le principe fondamentalde la dynamique.

Si on prend comme systeme, la masse ponctuelle en M , celle-ci est soumise a l’action :– du poids m~g,– de la force de liaison ~Fℓ exercee par la tige d sur la masse m.

L’equation d’equilibre dynamique de la masse coulissante en M par rapport au repere fixe ss’exprime par :

m~g + ~Fℓ = m~aM/s (2.49)

Recherchons les composantes de chacun de ces vecteurs dans le repere tournant de projections5 constitue par les vecteurs unitaires ~ur (selon la direction de la droite d), ~uz (selon la verticale)et ~uθ (perpendiculaire a la droite d dans le plan horizontal).

Pour la gravite m~g, les projections sont (0 ; 0 ; -mg).

Pour la force de liaison ~Fℓ, la liaison etant sans perte, la puissance developpee par les deuxforces de liaison opposees en M est nulle pour tout mouvement virtuel licite donne a la liaison :

P = ~Fℓ ~vvP/s + (−~Fℓ) ~vvP d/s = ~Fℓ (~vvP/s − ~vvP d/s) = 0 ∀ M.V.L. (2.50)

En appliquant la composition des vitesse, on obtient

P = ~Fℓ (~vvP/s + ~vvP s/d) = ~Fℓ ~vv P/d (2.51)

Comme la vitesse virtuelle relative par rapport a la tige d s’exprime par

~vvP/s = rv ~ur (2.52)

les composantes de la forces de liaison Fℓ (Fℓr;Fℓθ;Fℓz) sont telles que

P = Fℓ ~vvP/d = (Fℓr, Fℓθ, Fℓz)

rv00

= Flrrv = 0 ∀ rv (2.53)

Si la liaison est sans perte, la composante radiale Fℓr de la force de liaison doit donc etre nulle.La force ~Fℓ a donc pour composantes (0 , Fℓθ, Fℓz) dans le repere (~ur, ~uθ, ~uz).

La reaction d’inertie −m~aM/s peut etre exprimee a partir de la composition des accelerations,en prenant la tige d comme repere intermediaire :

~aM/s = ~aM/d + ~aMd/s + ~aC (2.54)

avec– ~aM/d = r ~ur, l’acceleration relative,– ~aMd/s = −m ω2 r ~ur, l’acceleration d’entraınement correspondant a l’acceleration

centripete dans un mouvement de rotation a vitesse angulaire constante,– ~aC = 2~ωd/s ∧ ~vM/d = 2 ω r ~uθ, l’acceleration de Coriolis.

5Il est important de signaler que si l’equilibre dynamique doit etre exprime par rapport a un repere galileen,le systeme de projection peut ne pas etre galileen.



Les composantes de la reaction d’inertie −m~aM/s sont donc

(−m r +m ω2 r ;−2 m ω r ; 0) (2.55)

La projection sur la base formee par le repere (~ur, ~uθ, ~uz) aboutit aux equationsdifferentielles :

r − ω2 r = 0 (2.56)

Fℓθ − 2 m ω r = 0 (2.57)

Fℓz −m g = 0 (2.58)

La solution de la premiere equation differentielle, pour les conditions initiales r(0) = r0 etr(0) = 0, est :

r = r0 cosh(ω t) (2.59)

Fℓθ = 2 m ω2 r0 sinh(ω t) (2.60)

La puissance reelle developpee par la force de liaison ~Fℓ vaut :

Prℓ/s = ~Fℓ · ~vM/s (2.61)

Or, la vitesse absolue /s s’exprime par

~vM/s = ~vM/d + ~vMd/s = r~ur + ωr~uθ (2.62)

D’ou :

P = (0, Fℓθ , Fℓz)

rωr0

= Fℓθ ω r = 2 m ω3 r02 cosh(ω t) sinh(ω t) (2.63)

Cette puissance est 6= 0 : c’est celle fournie par le moteur imposant la liaison rheonome.

2.2 Principe de d’Alembert

Soit ~Faα, la resultante des forces directement appliquees et ~Fℓα, la resultante des forces deliaison en action sur l’element materiel Mα, de masse mα, faisant partie d’un systeme mecaniqueconstitue de N elements (Fig. 2.10).

Par rapport a un repere galileen s, les equations du mouvement du systeme s’ecrivent :

~Faα + ~Fℓα = mα ~aα/s (α = 1, · · · , N) (2.64)

~aα/s etant l’acceleration de Mα par rapport au repere galileen s.

Si on pose ~F ∗α = −mα ~aα egale a la reaction d’inertie de Mα, les equations deviennent :

(~Faα + ~F ∗α) + ~Fℓα = 0 (α = 1, · · · , N) (2.65)

c’est-a-dire que tout se passe comme si, a chaque instant t, le systeme etait en equilibre statiquesous l’action des forces directement appliquees, y compris les reactions d’inertie ~Faα + ~F ∗

α et desforces de liaison ~Fℓα. Par abus de langage, on dira qu’a tout instant, les forces reelles et lesreactions d’inertie assurent l’equilibre dynamique du systeme.



Fig. 2.10 – Ensemble de masses ponctuelles mα soumises a des sollicitations ~Fα

Le principe de d’Alembert exprime que pour etablir les equations d’un systeme mecaniqueen mouvement, il suffit d’appliquer les methodes de la statique en ajoutant les reactions d’inertieaux forces reelles agissant sur le systeme.

Le principe de d’Alembert ne contient evidemment rien de plus que le principe fondamentalde la Mecanique duquel il est directement deduit. Il permet simplement d’interpreter ce derniercomme une equation d’equilibre.

Du principe de d’Alembert, on peut immediatement deduire les theoremes de la Dynamiquesuivants :

1. Une condition necessaire, mais pas suffisante en general, d’equilibre dynamique d’unsysteme est que le torseur des forces exterieures agissant sur le systeme, y compris letorseur des reactions d’inertie, soit equivalent a zero, c’est-a-dire

~Re + ~R(−m~a)/s = 0 (2.66)

−→M eO +

−→M (−m~a)O/s = 0 (2.67)

quel que soit le pole O.

2. La condition necessaire et suffisante d’equilibre dynamique d’un solide est que le torseurdes forces exterieures agissant sur ce solide, y compris le torseur des reactions d’inertie,soit equivalent a zero.

3. Principe des puissances virtuelles : la condition necessaire et suffisante d’equilibre dyna-mique d’un systeme dans la configuration qu’il occupe a l’instant t, est que la puissancevirtuelle elementaire de toutes les forces en action sur le systeme, y compris les reactionsd’inertie, soit nulle pour tout mouvement virtuel licite imagine a partir de cette position(idem pour les travaux virtuels).

2.2.1 Application du principe des puissances virtuelles

Le principe des puissances virtuelles peut etre applique pour obtenir les equations du mou-vement d’un systeme holonome a n degres de liberte, que celui-ci soit scleronome ou rheonome.



2.2.1.1 Rappels de mecanique analytique

Un mouvement virtuel est le passage de la configuration ~q a la configuration ~q+ ~δq, sansvariation du temps. Ce mouvement sera dit licite, si les liaisons sont respectees. Un mouvementvirtuel licite (note MV L) est un mouvement imagine respectant les liaisons.

Si un accroissement arbitraire δqi de tous les parametres qi du systeme entraıne un mouve-ment virtuel licite, le systeme est dit holonome. Si au contraire, l’accroissement n’est arbitraireque pour un certain nombre de parametres, le systeme est dit non holonome. En d’autrestermes pour les systemes holonomes, le nombre de parametres est le nombre minimum necessairepour decrire le systeme.

Le systeme est dit scleronome si aucun des parametres de configuration du systeme nedepend explicitement du temps. Si au moins un des parametres depend explicitement du temps, lesysteme est alors dit rheonome(Notons que les parametres de configuration dependent toujoursimplicitement du temps a cause de la dynamique du systeme).

Il est essentiel de remarquer que les mouvements virtuels sont hors du temps reel, c’est-a-direqu’ils sont imagines a partir de la configuration du systeme a l’instant t considere. Le temps reelt est bloque durant les mouvements virtuels. En d’autres termes, le probleme est ramene a unprobleme de statique dans la configuration occupee en t, les forces, les reactions d’inertie et lesliaisons etant celles existant a l’instant t.

Rappelons qu’une liaison rheonome est une liaison qui depend explicitement du temps.Dans le mouvement virtuel licite, une liaison rheonome est ainsi bloquee dans la configurationqu’elle possede a l’instant t . Elle sera dite sans perte au sens vu en Statique, a savoir quela puissance developpee par les deux forces opposees de liaison est nulle pour tout mouvementvirtuel licite. Ainsi, un point astreint a glisser sans perte sur une surface mobile sera soumis aune force de liaison normale a la surface : la puissance virtuelle de cette force sera nulle pourtout mouvement virtuel licite du point, la surface etant bloquee dans la position qu’elle occupea l’instant t considere6.

2.2.1.2 Methodologie d’application du principe des puissances virtuelles -Demonstration

Considerons un systeme mecanique holonome decrit par les parametres de configurationq1, q2, . . . , qn formant le vecteur

~q =

q1q2...qn

Considerons un torseur de forces ~Fα agissant sur les elements materiels Aα de masse mα

(α = 1, · · · , N) d’un systeme mecanique (ces forces pouvant etre des forces appliquees Faα, desforces de liaison Fℓα ou les reactions d’inertie −mα~aα).

6Si la liaison est rheonome, les vitesses reelles n’appartiennent pas a l’ensemble des vitesses virtuelles. Il estdonc possible que la puissance reelle de la force de liaison ne soit pas nulle, alors que la liaison est sans perte etque la puissance virtuelle developpee par les deux forces de liaison opposees est toujours nulle. Dans ce cas, laliaison en elle-meme ne dissipe pas d’energie lors de son fonctionnement, sous forme de chaleur par exemple, maisle dispositif qui la fait varier avec le temps de maniere predeterminee, produit ou consomme une certaine energiequi peut etre introduite dans le systeme mecanique par l’intermediaire des forces de liaison.



La puissance virtuelle developpee par ce torseur vaut :

PvF =N∑

α=1

~Fα · ~vvα (2.68)

La vitesse ~vvα, qui represente la vitesse virtuelle du point Aα dans un mouvement virtuellicite, peut etre reliee a la vitesse des parametres de configuration (qv1, . . . , qvn) (ou vitessesgeneralisees) par :

~vvα =n∑

j=1

∂ ~fα∂qj

qvj (2.69)

si ~eα = ~fα(q1, · · · , qn, t) determine la position des elements Aα du systeme par rapport a unpole 0, en fonction des parametres de configuration q1, . . . , qn et du temps t si le systeme estrheonome7.

D’ou :

Pv =N∑

α=1

~Fα ·n∑

j=1

∂ ~fα∂qj

qjv =n∑

j=1

(N∑

α=1

~Fα · ∂~fα∂qj

)qvj (2.70)

Chacun des coefficients des vitesses generalisees est appele la composante generalisee Qjcorrespondant a la coordonnee generalisee qj :

Qj =N∑

α=1

~Fα · ∂~fα∂qj

(2.71)

Pv =n∑

j=1

Qj qvj (2.72)

Si Q(−m~a)j , Qaj et Qℓj sont les composantes generalisees respectivement des torseurs desreactions d’inertie, des forces appliquees et des forces de liaison, la puissance virtuelle totale detoutes les forces en action sur le systeme, y compris les reactions d’inertie, vaut :

Pv = Pv(−m~a) + Pva + Pvℓ =n∑

j=1

(Q(−m~a)j +Qaj +Qℓj) qvj (2.73)

Le systeme est en equilibre dynamique si et seulement la puissance virtuelle Pv = 0, quellesque soient les vitesses ~vα licites. Or, puisque le systeme est suppose holonome, toutes les vitesses~vα licites seront obtenues en faisant varier arbitrairement les vitesses generalisees qvj a partir dela configuration actuelle. On doit donc avoir

Pv = 0 ∀ qvj (2.74)

SoitQ(−m~a)j +Qaj +Qℓj = 0 j = 1, · · · , n. (2.75)

7La vitesse virtuelle est la meme, que le systeme soit rheonome ou scleronome, puisque le mouvement virtuelest imagine a temps t bloque. La vitesse reelle pour un systeme rheonome serait differente et vaudrait :

~vvα =

nX

j=1

∂ ~fα

∂qjqjv +

∂ ~fα

∂t



Si les liaisons du systeme sont sans perte, la puissance developpee par les forces de liaisonest nulle pour tout mouvement virtuel licite

Pvℓ = 0 ∀ ~vα ou ∀ qvj si le systeme est holonome (2.76)

Dans ce cas,Qℓj = 0 j=1..n (2.77)

Les equations de mouvement du systeme deviennent :

Q(−m~a)j +Qaj = 0 (2.78)

On obtient ainsi n equations du mouvement du systeme : un systeme a n degres de libertepossede n equations de mouvement8.

Les equations precedentes constituent la base de la Dynamique Analytique (cours detroisieme Bachelier — option mecanique). On demontrera notamment que les composantesgeneralises des reactions d’inertie peuvent etre obtenues de facon assez directe en fonction del’energie cinetique T du systeme.

2.2.2 Exemple : masse ponctuelle glissant sans perte sur une tige horizontaleen rotation - Resolution par application du principe des puissancesvirtuelles

On reprend l’exemple precedent du moteur faisant tourner la tige d dans le plan horizontalOxy, autour de O, a la vitesse ω constante). La vitesse ω est imposee a priori. Le point M , demasse m, peut glisser sans perte sur la tige d (Fig. 2.2.2).

A l’instant t = 0, la tige d coıncide avec l’axe Ox et le point M est a une distance r0 du pointfixe O, au repos relatif sur la tige d (r(0) = 0). On recherche la loi du mouvement OM = r(t)en appliquant la methode des puissances virtuelles. Si le systeme choisi est la masse m en M ,cette masse est soumise a l’action :

– du poids m~g,– de la force de liaison ~Fl exercee par la tige d sur la masse m.

L’expression du principe des puissances virtuelles donne :

Pv = m~g · ~vvM/s + ~Fℓ · ~vvM/s + (−m~aM/s) · ~vvM/s = 0 ∀ MV L (2.79)

Le mouvement virtuel licite est le mouvement obtenu a temps t bloque. Dans la configurationexistant a l’instant t, on a :

~vvM/s = vv ~ur = rv ~ur (2.80)

Pv = (0, 0,−mg)

vv00

+(0, Fℓ θ , Fℓ z

vv00

+(−m r+m ω2 r ,−2 m ω r, 0)

vv00

= 0 ∀ MV L

(2.81)

8Dans le cas de la Statique, Q(−m~a)j = 0 , et on retrouve les n conditions d’equilibre statique d’un systeme an degres de liberte



Fig. 2.11 – Masse glissant sans perte sur une tige tournant a vitesse angulaire constante dansun plan horizontal

Pv = (−m r +m ω2 r) vv = 0 ∀ vv. (2.82)

ce qui impliquer − ω2 r = 0 (2.83)

On retrouve l’equation du mouvement, mais on ne peut cependant pas determiner Fℓθ.

Pour obtenir Fℓθ, il faut l’exterioriser en coupant la liaison ; dans ce cas, M possede 2 degresde liberte. La vitesse virtuelle licite devient :

~vv = vvr ~ur + vvt ~uθ (2.84)

vvr = rv et vvt etant arbitraires.

Dans ce cas, M est en equilibre dynamique ssi

Pv = (0; 0;−mg)

vvrvvt0

+(0, Fℓ θ , Fℓ z)

vvrvvt0

+(−m r+m ω2 r ,−2 m ω r, 0)

vvrvvt0

= 0 ∀ MVL

(2.85)Pv = (−m r +m ω2 r) vvr + (Fℓ θ − 2 m ω r )vvt = 0 ∀ vvr et vvt (2.86)

ce qui implique

r − ω2 r = 0 (2.87)

Fℓ θ = 2 m ω r (2.88)

2.3 Conditions initiales - Etat dynamique

Les forces s’exercant sur les elements M d’un systeme mecanique peuvent dependre de leurspositions (forces exercees par un ressort, forces de gravitation, · · · ), des vitesses (resistance



du milieu ambiant, force exercee par un champ magnetique sur une charge electrique, forcesgyroscopiques, · · · ), et du temps (force appliquee variant selon une loi imposee a priori). Mais,dans aucun phenomene physique, il n’existe de force reelle dependant des accelerations ou dederivees superieures a 2 par rapport au temps (quoiqu’on puisse concevoir des servomecanismesqui produisent artificiellement de telles forces).

Le principe fondamental applique aux N elements materiels constituant un systememecanique soumis a l’action de forces “naturelles”, conduira donc a un systeme de N equationsdifferentielles vectorielles de la forme :

mα ~aα = ~Rα (~e1, . . . , ~eN ; ~v1, . . . , ~vN ; t) (2.89)

Pour obtenir une solution determinee de ce systeme, il faut connaıtre les conditions initiales,c’est-a-dire les positions ~eα0 et les vitesses ~vα0 des points du systeme a l’instant t = t0, considerecomme instant initial. Les ~eα0 et ~vα0 caracterisent l’etat dynamique du systeme a l’instant to.

Physiquement, les equations differentielles permettent de determiner en t0 + dt l’etat dy-namique infiniment voisin de celui existant en t0 et, de proche en proche, l’etat dynamique atout instant. De cette maniere, on peut considerer le mouvement du systeme comme une suitecontinue d’etats dynamiques.

Les idees precedentes sont conformes au determinisme scientifique admis dans toute la Phy-sique classique : “La connaissance de toutes les conditions initiales, en t = t0, et des actionsregissant un phenomene pour t > t0 , determine completement l’evolution de ce phenomene ”.

2.4 Theoremes generaux de la Dynamique

Nous avons demontre a la section precedente (2.1) que des conditions necessaires, mais nonsuffisantes en general, d’equilibre dynamique d’un systeme mecanique sont :

~Re + ~R(−m~a) = 0 (2.90)

~MeO + ~M(−m~a)O = 0 (2.91)

∀ le pole O, et par rapport a un repere galileen s (ou assimile).

Ces relations permettent de decrire le mouvement “global” du systeme.

Jointes aux equations de la Cinetique, elles donnent des relations equivalentes, mais misessous une forme qui permet de donner bien souvent une meilleure interpretation physique desphenomenes, relations appelees theoremes generaux de la Dynamique.

2.4.1 Theoreme de la quantite de mouvement et theoreme du centre de masse

De ~Re+ ~R(−m~a) = 0 et des theoremes de la Cinetique, on deduit immediatement, par rapporta un repere galileen s, le theoreme de la quantite de mouvement et le theoreme du centre demasse.

Le theoreme de la quantite de mouvement exprime que la resultante des forces exterieuresagissant sur un systeme mecanique est egale a la derivee par rapport au temps de la resultantedes quantites de mouvement.



En effet, on sait que la resultante des reactions d’inertie est egale a la derivee de la resultantedes quantites de mouvement :

~R(−ma) =d~P

dt(2.92)

D’ou :d~P

dt= ~Re (2.93)

La forme integree du theoreme de la quantite de mouvement peut etre obtenue en passanta la forme differentielle et en l’integrant :

d~P = ~Re dt (2.94)

~P2 − ~P1 =

∫ t2

t1

~Re(t) dt (2.95)

~P12 =∫ t2t1

~Re dt est appelee l’impulsion du systeme entre les instants t1 a t2.

Le theoreme du centre de masse exprime que le centre de masse d’un systeme se meut commesi toute la masse y etait concentree, et toutes les forces y etaient transportees.

En effet, on sait que la resultante des reactions d’inertie est egale a l’oppose du produit dela masse par l’acceleration du centre de masse du systeme considere.

~R(−m~a) = −M~aG (2.96)

D’ou :~Re = M ~aG (2.97)

Ce theoreme du centre de masse (ou le theoreme de la quantite de mouvement qui lui estequivalent) permet de scinder les problemes de Dynamique en deux parties : dans une premiereetape, on determine le mouvement du centre de masse, et ensuite le mouvement des diversesparties du systeme “autour du centre de masse”.

2.4.1.1 Cas particuliers

– Si toutes les forces exterieures sont paralleles a un plan π, la composante de ~P normale ace plan reste constante :si Rez = 0, Pz = Cte = PzO et vGz = Cte = vGzO.

– Si toutes les forces exterieures sont paralleles a une droite d, la composante de ~P normalea cette droite reste constante :si Rex = Rey = 0, Px = PxO = Cte et Py = PyO = Cte,ou vGx = Cte = vGxO et vGy = Cte = vGyO .

2.4.2 Theoreme du moment cinetique

De ~MeO + ~M(−m~a)O = 0 et des theoremes de la Cinetique, on peut deduire le theoremedu moment cinetique par rapport a un repere galileen s.

Le theoreme du moment cinetique exprime que le moment des forces exterieures par rapporta un pole O est egal a la derivee par rapport au temps du moment cinetique en O, ce pole O etantfixe (ou de facon plus generale, tel que les conditions I vues precedemment soient respectees).



En effet, pour un pole O quelconque, le moment des reactions d’inertie et le moment cinetiquesont lies par la relation suivante :


dt− ~vO/s ∧ m~vGS/s (2.98)

Remarquons que le dernier terme de (2.98) est nul si :

~vO/s ∧ m~vGS/s = ~0 (2.99)

donc en pratique, si l’une des conditions suivantes (conditions I) est respectee, a savoir :

si ~vO/s = ~0 (2.100)

ou si ~vGS/s = ~0 (2.101)

ou si ~vO/s //~vGS/s (2.102)



dt(2.103)

D’ou, le theoreme du moment cinetique :

d~LOS/s

dt= ~MeO (2.104)

O etant un pole fixe (ou un pole tel qu’une des conditions I soit respectee) par rapport au reperegalileen s (ou assimile).

La forme integree du theoreme du moment cinetique peut etre obtenue en passant a la formedifferentielle et en l’integrant :

d~LOS/s = ~MeO dt (2.105)

~LO2 − ~LO1 =

∫ t2

t1

~MeO(t) d (2.106)

2.4.2.1 Exemple - Equation du mouvement d’un solide en rotation permanenteautour d’un axe fixe Oz

Considerons un solide S pouvant tourner autour de l’axe fixe Oz.

Le theoreme du moment cinetique exprime au point fixe O sur l’axe donne :

d~LOdt

= ~MeO (2.107)

Apres projection sur l’axe Oz, on obtient :

dLOzdt

= MeOz = MaOz +MℓOz (2.108)

(MℓOz = 0, si la liaison est sans perte).



Or, LOz = IOzz ωz, avec IOzz = Cte (axe permanent).

Donc,

IOzzdωzdt

= IOzzd2α

dt2= MeOz (2.109)

α etant l’angle dont tourne S autour de Oz.

Rappelons que pour un point de masse m astreint a se deplacer sur un axe fixe Oz, laprojection de la loi fondamentale sur cet axe donne :

md2z

dt2= Rez (2.110)

Rez etant la resultante projetee sur l’axe Oz des forces agissant sur le point.

On remarque l’analogie de forme entre la loi exprimant le mouvement d’un solide en rotationautour d’un axe fixe et celle exprimant le mouvement d’un solide en translation le long d’un axefixe : a la masse correspond le moment d’inertie, a la force le moment d’une force, au deplacementrectiligne un deplacement angulaire.

2.4.3 Quelques corollaires et interpretation

– Les deux theoremes generaux peuvent s’enoncer sous la forme globale suivante : lesderivees, par rapport au temps, des composantes du torseur des quantites de mouvement(prises par rapport a un pole O fixe (ou respectant les conditions I) /s galileen) sontegales aux composantes du torseur des forces exterieures.

– Pour faire varier le torseur des quantites de mouvement, il faut necessairement exercerdes forces exterieures sur le systeme.

– La resultante des quantites de mouvement varie entre deux instants si l’integrale de laresultante des forces exterieures au systeme est differente de 0.

– Le moment cinetique en un point O, fixe ou respectant l’une des conditions I, varie entredeux instants si l’integrale du moment des forces exterieures par rapport au pole O estdifferent de 0.

– Si on considere un systeme mecaniquement isole, donc tel que

~Re = 0 et ~MeO = 0 (2.111)

On peut en deduire que

~P = M~vG =−−→Cte et ~LO =

−−→Cte (2.112)

La quantite de mouvement et le moment cinetique d’un systeme isole ne peuvent etremodifies. Les forces interieures ne peuvent les faire varier. Le mouvement du centre demasse d’un systeme isole doit etre rectiligne et uniforme.Remarque importante : dans un systeme tournant, il est possible par le seul jeu des forcesinternes de produire des rotations d’ensemble (le systeme tourne d’un bloc, sans rotationrelative d’un element par rapport a un autre). Dans un systeme en translation, il estimpossible d’obtenir un mouvement d’ensemble sans faire intervenir des forces exterieures.Il est par exemple impossible de mettre un vehicule en mouvement sans variation de masseou sans appui sur l’exterieur.



– Si les lignes d’action de toutes les forces exterieures sont coplanaires avec une droite d, lacomposante du moment cinetique par rapport a cette droite reste constante :si MeOz = 0, alors LOz = Cte = LOz(0).

2.4.4 Exercices en application des theoremes generaux de la dynamique

2.4.4.1 Mouvement d’une barque dont un passager se deplace

Fig. 2.12 – Une adaptation libre de la promenade en barque de Monet

Sur une barque de masse M pouvant glisser sans perte sur l’eau, un passager de masse mse deplace de l’avant vers l’arriere en parcourant une distance L par rapport a la barque (Fig.2.4.4.1). Montrer que la barque reculera d’une distance

∆X = − m

M +mL (2.113)

2.4.4.2 Mouvement d’un disque sur lequel se deplace un animal

Un disque horizontal, de masse M et de rayon R, peut tourner sans perte autour d’unaxe vertical Oz. Un chien de masse m se deplace en effectuant un trajet circonferentiel sur laperipherie (Fig. 2.13). Si l’angle parcouru sur le disque est appele α, et si l’angle de rotation dudisque est β par rapport a une direction fixe, montrer que

∆β = − mR2

MR2/2 +mR2∆α (2.114)

2.5 Theoreme de l’energie cinetique (ou theoreme des forcesvives)

2.5.1 Expression du theoreme de l’energie cinetique

La derivee par rapport au temps de l’energie cinetique d’un systeme est egale a la puissancetotale developpee par toutes les forces en action sur le systeme (l’energie cinetique et la puissanceetant definies par rapport a un repere galileen s).



Fig. 2.13 – Mouvement d’un disque sur lequel se deplace un animal

Considerons un ensemble de masses ponctuelles en Aα de masse mα (α = 1, · · · , N) soumisea des forces ~Fα.

L’energie cinetique T s’exprime par

T/s =N∑

α=1

1

2mαv

2α/s (2.115)

Apres derivation, on obtient

dT

dt=

N∑

α=1

mα · ~vα · d~vαdt

=N∑

α=1

~vα ·mα ~aα (2.116)

Or, l’equation d’equilibre dynamique appliquee a chaque masse α donne

~Fα = mα~aα (2.117)

D’oudT

dt=∑

~Fα · ~vα = Ptot (2.118)

Le theoreme de l’energie cinetique s’exprime donc par :

dT

dt= Ptot = Pi + Pe = Pa + Pℓ (2.119)

la puissance totale pouvant etre consideree comme la somme des puissances developpees par lesforces exterieures (Pe) et interieures (Pi), ou bien comme la somme des puissances developpeespar les forces appliquees (Pa) et des forces de liaison (Pℓ).

La forme integree du theoreme de l’energie cinetique peut etre obtenue en passant a la formedifferentielle et en l’integrant entre deux instants t1 et t2 :

dT = Ptot dt (2.120)

T2 − T1 =

∫ t2

t1

Ptot dt (2.121)



Sous forme differentielle, on a :

dT = Ptot dt = δWtot = δWi + δWe (2.122)

(δW signifiant que la forme differentielle δW - travail elementaire - n’est pas a priori unedifferentielle totale exacte), et sous forme integree :

T2 − T1 = Wtot 12 = Wi 12 +We 12 = Wa 12 +Wℓ 12 (2.123)

c’est-a-dire que l’accroissement de l’energie cinetique du systeme pendant un certain ac-croissement de temps est egal au travail total fourni par toutes les forces reelles, tant interieuresqu’exterieures, directement appliquees ou de liaison, pendant cet intervalle de temps.

On peut aussi exprimer le theoreme de l’energie cinetique sous la forme suivante :

La puissance de toutes les forces en action sur le systeme, y compris les forces de reactiond’inertie, est nulle a tout instant.

En effetdT

dt=∑

α

~Fα · ~vα =∑

α

(−mα ~aα) · ~vα = −P(−m~a)

= Ptot = Pi + Pe = Pa + Pℓ (2.124)

soitPi + Pe + P(−m~a) = Pa + Pℓ + P(−m~a) = 0 (2.125)

Cette derniere relation ne doit pas etre confondue avec le principe des puissances virtuelles ;elle en constitue un cas particulier si le systeme mecanique est scleronome, puisque alors lechamp de vitesses reelles fait partie de l’ensemble des champs de vitesses virtuelles licites, cequi n’est pas vrai si le systeme est rheonome. Par ailleurs, on a deja fait remarquer que pour unsysteme rheonome, la puissance reelle developpee par des forces de liaisons sans perte pouvaitetre non nulle, alors que la puissance virtuelle de ces forces est toujours nulle.

Par rapport a un repere non galileen, le theoreme de l’energie cinetique s’ecrit :

dT

dt= Pi + Pe + P(−m~a)e

(2.126)

puisque la puissance des forces de Coriolis est toujours nulle (~v · (−2 m ~ω ∧ ~v) = 0).

Remarquons finalement que, lorsque le systeme est deformable (Pi 6= 0), le theoreme del’energie cinetique fournit une equation independante de celles etablies a partir des theoremesgeneraux precedents.

2.5.2 Application du theoreme de l’energie cinetique dans le cas d’un systemeconservatif

Un systeme sera dit conservatif si :– les liaisons sont sans pertes et independantes du temps,– les forces appliquees derivent d’un potentiel independant du temps.



Fig. 2.14 – Contact ponctuel entre deux solides S1 et S2, eux-meme en mouvement par rapportau repere s

2.5.2.1 Cas de liaisons sans perte et independantes du temps

Une liaison est dite sans perte si la puissance virtuelle developpee par les forces de liaisonest nulle pour tout champ de vitesses virtuelles licites.

La puissance reelle developpee par les forces de liaison n’est identiquement nulle que si lesliaisons sont sans perte et independantes du temps.

En effet, prenons par exemple le cas d’un contact ponctuel entre deux solides S1 et S2, eux-meme en mouvement par rapport au repere s. La paire de forces opposees de liaison au contactest egale au produit de la force par la vitesse relative. En effet,

Pic = ~FℓS1/S2· ~vMS2/s + ~FℓS2/S1

· ~vMS1/s = ~FℓS1/S2· (~vMS2/s − ~vMS1/s) (2.127)

= ~FℓS1/S2· ~vMS2/S1

= −f∣∣∣−→F ℓn

∣∣∣ |~vg| ≤ 0 (2.128)

La paire de forces de contact ne peut que dissiper de l’energie.

Dans le cas d’un contact sans perte, la puissance dissipee par les deux forces opposees deliaison est nulle : Pic = 0, donc si f = 0 (roulement et glissement sans frottement) ou si ~vg = 0(roulement sans glissement).

Il est toutefois important de remarquer que chacune des forces de liaison de la paire peutdevelopper une puissance differente de zero, puisque par exemple pour la puissance PFℓS1/S2

developpee par la force ~FℓS1/S2par rapport au repere s, on a :

PFℓS1/S2/s = ~FℓS1/S2· ~vMS2/s

(2.129)

Ainsi par exemple, si S2 roule sans glisser sur S1 en M , S1 etant lui-meme en mouvement,S1 fournit a S2 la puissance ~FℓS1/S2

· ~vMS2/set S2 fournit a S1 la puissance opposee.

On dira que la liaison est sans perte mais dependante du temps, si le systeme choisi etant l’undes deux solides concernes, la liaison fournit une puissance par le biais du mouvement provenantde l’autre solide.

En pratique, une liaison sans perte sera dite independante du temps,– soit si les deux solides concernes par la liaison sans perte sont a l’interieur du systeme

considere,



– soit si lorsque seul un des deux solides concernes par la liaison sans perte est a l’interieurdu systeme considere, l’autre solide intervenant au niveau du contact sans perte etant fixe.

Des lors, si toutes les liaisons sont sans perte et independantes du temps, la puissance desforces de liaison sera nulle : Pℓ = 0.

Si toutes les liaisons du systeme sont sans perte et independantes du temps, alors le theoremede l’energie cinetique se simplifie car Pℓ = 0 :

dT

dt= Pa (2.130)

et ne fait plus intervenir que les forces directement appliquees.

Exemple : equation du mouvement d’un solide S en rotation autour de l’axe fixe Oz etsoumis a l’action du torseur de forces (~R, ~Meo).

dT

dt= Pa + Pl = Pa = ~Re · ~vO + ~ω · ~MeO = ωz MeOz (2.131)

Or,

T =1

2IOzz ωz

2 (2.132)

donc,

IOzz ωzdωzdt

= ωz MeOz (2.133)

soit

IOzzdωzdt

= IOzzd2α

dt2= MeOz (2.134)

2.5.2.2 Cas de forces appliquees derivant d’une energie potentielle independantedu temps

Un torseur de forces ~Fα s’exercant sur les points Mα (~eα) est dit deriver d’une energiepotentielle generalisee pouvant dependre explicitement du temps si

V = V (x1, y1, z1; · · · ; xN , yN , zN ; t)

Les composantes des forces ~Fα peuvent etre deduite de l’energie potentielle par

~Fα = −−−→gradα V = −(

∂V

∂xα~ux +

∂V

∂yα~uy +

∂V

∂zα~uz) (2.135)

La vitesse elementaire ~vα/s par rapport au repere galileen s, dans le mouvement reel, s’ex-prime par

~vα/s =d~eαdt

=dxαdt

~ux +dyαdt

~uy +dzαdt

~uz (2.136)

Au cours du mouvement reel, la puissance developpee devient

P =N∑

α=1

~Fα · ~vα/s = −N∑

α=1

∂V

∂xα

dxαdt

+∂V

∂yα

dyαdt

+∂V

∂zα

dzαdt

(2.137)



D’autre part, l’energie potentielle etant une fonction explicite du temps, donc fonction de xα,yα, zα et du temps t, on obtient :

dV

dt=

N∑

α=1

(∂V

∂xα

dxαdt

+∂V

∂yα

dyαdt

+∂V

∂zα

dzαdt

)

+∂V

∂t(2.138)

de sorte que

P = −dVdt

+∂V

∂tdt 6= −dV

dt(2.139)

Il devient impossible d’interpreter l’energie potentielle V comme une reserve d’energie dupoint de vue strictement mecanique. La variation dV/dt du potentiel par rapport au temps estegale a la puissance mecanique - P fournie par le systeme plus la variation propre ∂V/∂t produitepar un certain phenomene physique qui comporte une certaine energie capable de se transformeren energie potentielle mecanique.

2.5.2.3 Exemples

1. Ressort soumis a une variation de temperature

Considerons un ressort OM , attache au point fixe O, dont la temperature varie avec letemps : sa longueur naturelle Lo et sa raideur k sont fonctions de la temperature, donc dutemps t, et

V =1

2k(t) [L(t) − Lo(t)]

2 =1

2k(t) [

√

x2(t) + y2(t) + z2(t) − Lo(t)]2 = V (x, y, z; t)

(2.140)

Supposons qu’a l’instant t∗ , le ressort soit completement detendu (L(t∗) = Lo(t∗)) et qu’a

partir de cet instant, on fixe le point M , de sorte que la longueur L(t) reste constante.Si l’on choisit V (x∗, y∗, z∗; t∗) = 0 (puisque V est defini a une constante pres), il estpossible qu’a un instant ulterieur t > t∗, V (x∗, y∗, z∗; t) soit 6= 0 : le ressort n’est pluscompletement detendu quoique le point M n’ait pas bouge. Le potentiel du ressort avarie alors qu’aucun travail mecanique n’a ete echange en M . La longueur naturelle etla raideur ont varie suite a l’echauffement et de l’energie thermique a pu se convertiren energie potentielle ou inversement. Il devient impossible d’etablir un bilan purementmecanique des energies mises en jeu dans le systeme etudie. Il est necessaire de faire appela la Thermodynamique.

Il est egalement impossible de fixer le zero d’une telle energie potentielle d’un point de vuestrictement mecanique, car elle n’est definie en fait qu’a une fonction arbitraire de t pres :si V (x, y, z; t) satisfait aux relations precedentes, V ∗ = V (x, y, z; t) + f(t) y satisfaitaussi, quelle que soit f(t).

2. Ressort dont l’une des extremites appartient au systeme considere et l’autreextremite n’appartenant pas au systeme est soumise a un mouvement impose.

Le point M appartenant a un systeme mecanique, est relie au point A par un ressortlineaire (k, Lo), A et M pouvant glisser sur l’axe Ox (Fig. 2.15).

Le mouvement en A est impose : OA = xA(t) (liaison rheonome).

Si x(t) est le deplacement absolu de M , l’energie potentielle du ressort vaut a chaqueinstant

V =1

2k [x− xA(t) − L0]

2 (2.141)



Fig. 2.15 – Masse oscillant sans perte sur un plan horizontal

et la force que le ressort exerce sur le point M est

FR = −∂V∂x

= −k (x− xA − L0) (2.142)

Le systeme mecanique recoit en M , de la part du ressort, la puissance P

P = FRdx

dt= −k (x− xA − L0)

dx

dt(2.143)

tandis que la variation du potentiel du ressort vaut

dV

dt= k (x− xA − L0)

dx

dt− k (x− xA − L0)

dxAdt

= −P + FRdxAdt

(2.144)

La puissance FRdxAdt que fournit la liaison rheonome en A est d’une part fournie au systeme

en M (P ) et est d’autre part accumulee sous forme d’energie potentielle dans le ressort(dVdt )9.

2.5.2.4 Formulation pour un systeme conservatif

Dans le cas general, le theoreme de l’energie cinetique s’exprime par

dT

dt= Ptot = Pℓ + Pa (2.145)

Rappelons qu’un systeme est conservatif si :– ses liaisons sont sans perte et independantes du temps, ce qui conduit a une puissance

developpee par les forces de liaison nulle :

Pℓ = 0 (2.146)

– si toutes les forces directement appliquees derivent d’une energie potentielle generaliseeindependante du temps, ce qui implique que la puissance des forces appliquees

Pa = −dV/dt (2.147)

9Le concept de mouvement impose par exemple pour l’autre extremite doit etre compris comme etant unmouvement provenant de l’exterieur du systeme considere, quelle que soit son origine. En effet, par rapport ausysteme considere, a savoir la masse decrite par le parametre de configuration x, l’energie potentielle du systemedepend non seulement de x, mais aussi de l’evolution de xA(t), qui peut soit etre impose explicitement, soitprovenir de la dynamique du systeme.



Dans ce cas, un bilan energetique purement mecanique est possible et le theoreme de l’energiecinetique donne :

dT

dt= Pa = −dV

dt(2.148)

oud(T + V )

dt= 0 (2.149)

soitT + V = T0 + V0 = E = Cste. (2.150)

L’energie mecanique totale E, somme de l’energie potentielle et de l’energie cinetique, resteconstante au cours du temps.

La relation T + V = Cte permet d’obtenir immediatement la seule equation de mouvementde systemes conservatifs a un seul degre de liberte.

2.5.2.5 Exemples

1. Systeme vis-ecrou sans perte

Considerons un systeme vis-ecrou de pas p, sans perte. L’axe Oz de la vis est fixeet est incline de α sur la verticale. La masse de l’ecrou est M et son inertie axiale estI = M i2. On demande l’equation du mouvement de l’ecrou soumis a l’action de son poids.

Le systeme est conservatif et possede un degre de liberte.

T =1

2I ω2 +

1

2M z2 =

1

2M [1 + (

2πi

p)2] z2 =

1

2M∗ z2 (2.151)

V = M g xaltitude = M g z cosα (2.152)

d

dt(T + V ) = M∗ z z +M g z cosα = 0 (2.153)

soit

z = − M

M∗ g cosα = − g cosα

1 + (2πip )2

(2.154)

Le mouvement est uniformement accelere, vers le bas.

2. Solide de revolution roulant sans glisser sur un plan incline fixe.Le solide de revolution S (massem ; centre C ; rayon de giration axial i ; rayon de roulementr) roule sans glisser sur le plan incline Ox, sous l’action de son poids ; x est l’abscisse dupoint de contact M .Le systeme est conservatif et possede un seul degre de liberte.

T =1

2m (i2 + r2)

x2

r2(2.155)

V = −m g sinαx (2.156)

de ddt (T + V ) = 0, on deduit la loi du mouvement uniformement accelere de S :

x =g sinα

1 + ( i2

r2)

(2.157)



Fig. 2.16 – Solide de revolution roulant sans glisser sur un plan incline fixe

Le theoreme de l’energie cinetique ne permet evidemment pas de calculer la reaction deliaison ~Rℓ du plan incline sur le solide. Connaissant la loi du mouvement, on peut alorsrechercher ~Rl a l’aide du theoreme du centre de masse :

m x =m g sinα

1 + ( i2

r2)

= Rℓx +m g sinα (2.158)

m y = 0 = Rℓy −m g cosα (2.159)

donc

Rℓx = −m g sinαi2

i2 + r2(2.160)

Rℓy = m g cosα (2.161)

La reaction de liaison Rℓx est uniquement due a l’inertie du solide en rotation.

2.5.3 Exercice en application du theoreme de l’energie cinetique

2.5.3.1 Mouvement d’un motocycliste

Un motocycliste roule sans glisser vers la droite. Les roues ont une masse m, un rayon degiration central i et un rayon r. Le cadre de la moto et le motocyliste sont assimiles a un solideindeformable de masse M . Determiner l’acceleration x de la moto.

Reponse :

x =C

r (M + 2m(1 + i2/R2))(2.162)

2.5.4 Comparaison avec le premier principe de la Thermodynamique

Le premier principe de la Thermodynamique exprime la conservation de l’energie pour unsysteme ferme subissant une transformation elementaire :

dT + dU = δWe + δQ (2.163)

ou



Fig. 2.17 – Motocycliste accelerant sans glisser

– U est l’energie interne du systeme, fonction d’etat du systeme,– T est l’energie cinetique du systeme, fonction d’etat du systeme,– W est l’energie recue sous forme mecanique,– Q est l’energie recue sous forme de chaleur.

dT et dU sont des differentielles totales exactes, tandis que δWe et δQ ne le sont pas a priori.Ce principe exprime la balance entre la variation d’energie accumulee par le systeme, soit sousforme macroscopique (dT ), soit sous forme microscopique (dU) et l’energie recue par le systeme,soit sous forme macroscopique (δWe ), soit sous forme microscopique (δQ).

L’energie potentielle eventuelle est comprise dans dU (variation de l’energie accumulee parle systeme sous forme microscopique) si elle correspond a des forces interieures (par exemplel’energie de deformation), ou dans dWe (variation de l’energie accumulee par le systeme sousforme macroscopique) si elle correspond a des forces exterieures (pesanteur par exemple).

Par comparaison avec le theoreme de l’energie cinetique, on deduit :

δWi = δQ− dU (2.164)

Le theoreme de l’energie cinetique est evidemment compatible avec le premier principe de laThermodynamique. Le travail δWi des forces interieures englobe en fait deux termes d’energiemicroscopique qui ne sont pas consideres separement par la Mecanique Rationnelle.

Un cas souvent considere en Mecanique Rationnelle est celui du systeme adiabatique (δQ =0). Le travail des forces interieures derive alors d’un potentiel interne δWi = −dU (par exemplele potentiel elastique).

2.6 Cas plan de la dynamique du solide

On dit qu’il y a cas plan en dynamique du solide quand les torseurs cinetiques d’un solideen mouvement plan sont plans. On a vu que pour qu’il en soit ainsi, il faut que l’axe GZ dusolide perpendiculaire au plan du mouvement, soit principal central .



Fig. 2.18 – Cas plan de la dynamique du solide

Dans ce cas, soient (~Ra , ~MaG) et (~Rℓ, ~MℓG), les coordonnees en G des torseurs des forcesdirectement appliquees et des reactions de liaison exercees sur le solide S (G,M, iG). Oxy est leplan fixe (galileen), ou se meut le centre de masse G.

Le theoreme du centre de masse, projete sur Ox et Oy, fournit le mouvement de G :

Md2xGdt2

= Rax +Rℓx = Rex (2.165)

Md2yGdt2

= Ray +Rℓy = Rey (2.166)

L’equilibre de rotation en G, centre de gravite, s’exprime par :

~MG + ~M(−ma)G= ~0 (2.167)

~MG − IGzzdω

dt~uz = ~0 (2.168)

~MG −Mi2Gzzdω

dt~uz = ~0 (2.169)

M iG2 d

2θ

dt2= MaGz +MℓGz (2.170)

(θ etant l’angle dont tourne S/s).

En cas plan de la dynamique du solide, on dispose de trois equations du mouvement (deuxde translation (2.165 et 2.166), une de rotation (equation 2.170)).

Ces equations ne font intervenir que la sollicitation plane (Rax, Ray, MaGz) et les forces deliaisons planes.

Le theoreme du centre de masse projete sur Oz et le theoreme du moment cinetique projetesur Gx et Gy donnent en outre les relations suivantes :

Raz +Rℓz = 0 (2.171)

MaGx +MℓGx = 0 (2.172)

MaGy +MℓGy = 0 (2.173)



Ces equations sont identiques a celles obtenues en Statique. Le mouvement du solide n’inter-vient pas. La sollicitation normale (Raz, MaGx, MaGy) est reprise directement par les reactionsde liaison qui imposent le mouvement plan.

Pour resoudre un probleme plan de dynamique du solide, on peut donc d’abord considererque S n’est soumis qu’a l’action de la sollicitation normale et determiner les forces de liaisoncorrespondantes et ensuite considerer qu’il n’est soumis qu’a la sollicitation et aux forces deliaison planes, et determiner ainsi son mouvement (comme si S etait une figure plane).

Il y a cas strictement plan de la dynamique du solide lorsque le torseur des forces directementappliquees est plan. Alors, seules les trois premieres equations subsistent.

Le systeme des trois equations du mouvement ne peut evidemment contenir que trois fonc-tions inconnues (inconnues du mouvement - xG(t), zG(t), θ(t) - ou inconnues de liaison - Rℓx(t),Rℓy(t), MℓGz(t)).

Par exemple, si le mouvement plan de S est libre, les trois inconnues sont xG, yG et θ(Rℓx = Rℓy = MℓGz = 0) ; si S est astreint a rouler sans glisser sur un axe, les inconnues arechercher seront par exemple x, Rℓx et Rℓy.

2.7 Invariance des theoremes generaux et generalisation dutheoreme du moment cinetique.

On peut egalement :– demontrer l’invariance des theoremes generaux par rapport a tout repere galileen. Les

theoremes generaux derivent directement du principe fondamental ; ils sont donc vraispar rapport a tout repere galileen, alors que les quantites cinetiques varient quand onchange de repere. On peut verifier explicitement– l’invariance des theoremes generaux par rapport a tout repere galileen ;– que le theoreme du moment cinetique, avec G pour pole, et celui de l’energie cinetique

se maintiennent en repere de Koenig, quoique ce repere ne soit galileen en general ;– generaliser le theoreme du moment cinetique autour d’un point quelconque et demontrer

que si on considere le repere S′ lie au point A en mouvement par rapport au repere galileens, S′ etant en translation permanente par rapport a s (~ωS′/s ≡ 0)

d~LrAdt

= ~MeA −M−→AG ∧ ~aA (2.174)



2.8 Tests de comprehension sur les theoremes generaux de ladynamique







2.9 Exercices sur les theoremes generaux de la dynamique

2.9.1 Poulie roulant sur un plan horizontal grace a deux ergots

rR

C

O

A

x

y

F_

S

S

s

Fig. 2.19 – Poulie

La poulie de la figure 2.19 de rayon R roule sans glisser sur le sol horizontal s grace a deuxergots de rayon r. Le rayon de giration de l’ensemble poulie-ergots autour de l’axe CZ vaut icet la masse de l’ensemble vaut m. Une force ~F = F~ux est appliquee en A. Determiner l’equationdifferentielle du mouvement de la poulie, reperee par l’abscisse x de son centre de gravite.

Solution

x = −Fr(R− r)

m(i2c + r2)



2.9.2 Mouvement d’un systeme roue et tige glissant avec frottement

Une tige AB homogene de masse m et de longueur L est articulee sans perte au centre Bd’un disque homogene de masse M et de rayon R.

Le systeme est situe dans le plan vertical et peut se deplacer sur un rail rectiligne horizontal(cas plan) ; le coefficient de frottement entre disque et rail et entre tige et rail vaut f ; onsupposera que f est suffisamment grand pour que le disque puisse rouler sans glisser. A l’instantinitial, on lance le systeme de telle facon que le point B soit anime d’une vitesse ~v0 parallelementau rail (vers la droite).

On demande de determiner l’equation differentielle du mouvement ainsi que la loi du mou-vement correspondant du point B en fonction des caracteristiques du systeme.

B

A M

S

x

y

Fig. 2.20 – Systeme roue + tige glissant avec frottement

Solution

x = − fmg l cosα

(3M +m)Rf + (3M + 2m)l cosαx(t) = v0t −

fmg l cosα

(3M +m)Rf + (3M + 2m)l cosα

t2

2

2.9.3 Mouvements d’un carrousel

Le carrousel de la figure 2.21 est compose de 3 barres parfaitement articulees. Les barres ABet CD sont identiques de longueur l et de masse m. Elles sont assimilees a des poutres parfaites.Les passagers se logent sur le solide BD. Ils se repartissent de facon aleatoire. Le solide BD etles passagers ont une masse M et une inertie principale IG connues (G : centre de gravite de BD+ passagers). Le carrousel est entraıne par un moteur agissant en A et developpant un couplemoteur connu ~C.On demande l’equation differentielle du mouvement du carrousel.

Solution

C = (M +2

3m)l2θ + (M +m)gl sin θ



A

B

C

DG

C_

E F

Fig. 2.21 – Engin de foire a structure cinematique d’un mecanisme a 4 barres

2.9.4 Appontage d’un avion

Pour ralentir un avion S lors de son appontage, celui-ci est muni d’une crosse qui accrocheun cable en C. Ce cable roule sans perte sur les poulies S1 et S2 et est fixe au solide s en P . Lapoulie S2 est montee sur un equipage mobile de masse m2 qui glisse sans perte. Il est relie autravers d’une suspension de raideur k, de longueur naturelle l0 et d’un amortisseur c, au pistond’un verin pneumatique perce d’ouıes qui dissipent l’energie cinetique du piston par laminage.Cette dissipation est modelisee par la force c3y3 ou y3 est la vitesse absolue du piston.L’avion de masse M a une vitesse initiale V ~uy. Il accroche le milieu du cable et on considererapour simplifier qu’il se deplace sans perte selon OY . Les poulies S1 et S2 sont de rayon r et leurinertie est negligeable. Les cables sont elastiques de raideur kc.On demande d’etablir les equations du mouvement du systeme.

Fig. 2.22 – Appontage d’un avion

Solution (cf. Recueil d’exercices)



y1 = −2kcM

(√

H2 + y21 −H − 2y2)

y1√

H2 + y21

(2.175)

y2 = −2kcm2

(√

H2 + y21 −H − 2y2) −

k

m2(y2 − y3 − l0) −

c

m2(y2 − y3) (2.176)

y3 =k

m3(y2 − y3 − l0) +

c

m3(y2 − y3) −

c3m3

y3 (2.177)

Ce systeme est a integrer avec les conditions initiales suivantes :

y1 0 = 0 y1 0 = V (2.178)

y2 0 = 0 y2 0 = 0 (2.179)

y3 0 = 0 y3 0 = 0 (2.180)


Chapitre 3

Vibrations des Systemes Mecaniquesa un degre de liberte

J’entends et j’oublie.Je vois et je me souviens.

Je fais et je comprends.Proverbe chinois

3.1 Mouvement libre d’un systeme a 1 degre de liberte

3.1.1 Equation differentielle du mouvement libre d’un systeme a 1 degre deliberte

3.1.1.1 Mouvement horizontal d’une masse glissant sans perte soumise a des forceselastiques et d’amortissement

Considerons une masse ponctuelle m en P , pouvant glisser sans perte sur une glissierehorizontale OX, soumise a l’action (Fig. 3.1) :

– d’un ressort lineaire de raideur k et de longueur naturelle L0, generant une force propor-tionnelle a l’allongement :

~FR = −k(X − L0)~uX (3.1)

– d’un amortisseur lineaire (ou dashpot) generant une force proportionnelle a la vitesse, deconstante d’amortissement c :

~FA = −cX~uX (3.2)

Fig. 3.1 – Masse en mouvement horizontal sans perte

85

CHAPITRE 3. VIBRATIONS DES SYSTEMES MECANIQUES A UN DEGRE DE LIBERTE 86

L’equation d’equilibre dynamique s’ecrit :

m~g + ~FR + ~FA + ~Fℓ −maP/s = ~0 (3.3)

Par projection de cette equation sur OX, on obtient l’equation du mouvement de la massem :

−k(X − L0) − cX −mX = 0 (3.4)

ou mX + c X + k (X − L0) = 0 (3.5)

(la liaison en P etant sans perte, il n’y a pas de composantes selon OX de la force de liaison Fℓexercee par la glissiere sur la masse).

Si on pose x(t) = X(t) − L0, la distance x(t) est l’ecart entre la position du point P parrapport a sa position d’equilibreXeq = L0 et represente la reponse dynamique du systeme autourde sa position de repos.

On a doncx = X et x = X (3.6)

L’equation differentielle decrivant le mouvement d’un systeme a un degre de liberte soumisa des forces elastiques et d’amortissement s’exprime par :

mx+ c x+ k x = 0 (3.7)

Il s’agit d’une equation differentielle du second ordre, a coefficients constants, qui exprimel’equilibre dynamique entre les forces variables qui s’exercent sur M :

– la force d’inertie −mx– la force dissipative −c x– la force elastique −k x

3.1.1.2 Mouvement vertical d’une masse ponctuelle soumise a des forces elastiqueset d’amortissement

Considerons une masse ponctuelle m en P , suspendue librement selon la verticale OX dirigeevers le haut (Fig. 3.2). Cette masse est soumise a l’action

– d’un ressort lineaire de raideur k et de longueur naturelle L0, generant une force propor-tionnelle a l’allongement :

~FR = −k(X − L0)~uX (3.8)

– d’un amortisseur lineaire (ou dashpot) generant une force proportionnelle a la vitesse, deconstante d’amortissement c :

~FA = −cX~uX (3.9)


m~g + ~FR + ~FA −m~aP/s = ~0 (3.10)

Par projection de cette equation sur OX, on obtient l’equation du mouvement de la massem :

−mg − k (X − L0) − c X −mX = 0 (3.11)

mX + c X + k (X − L0) +mg = 0 (3.12)



Fig. 3.2 – Masse en mouvement vertical

On peut s’arranger pour introduire le poids a l’interieur de la derniere parenthese :

mX + c X + k(

X − (L0 −mg

k))

= 0 (3.13)

Posons Xeq = X − (Lo + mg/k), qui represente la position d’equilibre finale du systemelorsque X = 0 et X = 0

La longueur ∆ = mg/k represente la deflexion statique, a savoir la longueur de compressiondu ressort sous l’effet du poids.

Comme precedemment, si on pose x(t) = X(t) − Xeq, la distance x(t) est l’ecart entre laposition du point P autour de sa position d’equilibre Xeq et represente la reponse dynamiquedu systeme autour de sa position de repos.

Comme x = X et x = X, en substituant dans l’equation (3.13), on obtient la meme equationque precedemment quant au mouvement libre x(t) du point P autour de sa position de reposXeq :

mx+ c x+ k x = 0 (3.14)

En pratique, la position d’equilibre des deux systemes (horizontal et vertical) est differente(ressort a sa longueur naturelle dans le premier cas, ressort a sa longueur naturelle moins ladeflexion statique dans le second cas), mais la facon dont le systeme vibre autour de cetteconfiguration d’equilibre est identique.

En consequence, independamment de la position de repos d’un systeme lineaire (position derepos influencee par les forces elastiques et les forces constantes, telle la gravite), les mouvementsvibratoires d’un systeme lineaire autour de la position de repos, dependent d’une equation demouvement qui ne tient compte que des forces variables durant le mouvement, le parametre deconfiguration etant l’ecart par rapport a cette position de repos.



3.1.2 Rappels sur la resolution d’une equation differentielle homogene a co-efficients constants

L’equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants

mx+ c x+ k x = 0 (3.15)

peut s’ecrireK(D)x = 0 (3.16)

en posantK(D) = mD2 + cD + k (3.17)

K(D) etant l’operateur differentiel a coefficients constants, D etant l’operateur de derivationd/dt.

Si bs, de multiplicite ks (s = 1, · · · , p), sont les p racines de l’equation caracteristiqueK(D) =0, la solution generale de l’equation homogene est :

x(t, · · · ) =

p∑

s=1

ebs t pks−1(t) (3.18)

ou pks−1(t) est un polynome de degre (ks − 1) a coefficients constants arbitraires.

Dans le cas d’une equation differentielle du second ordre, la solution dependra de deuxconstantes A et B que l’on retrouve dans le(s) polynome(s) pks−1(t). On aura en effet :

– soit deux racines distinctes b1 et b2 (de multiplicite 1), qui conduisent a :

x(t, A,B) = eb1 tA+ eb2 tB (3.19)

– soit une racine double b1 (de multiplicite 2), qui conduit a :

x(t, A,B) = eb1 t (A+B t) (3.20)

A et B etant des constantes a priori complexes, dont les valeurs peuvent etre determineesen respectant les conditions initiales, tout en assurant que la solution x(t) trouvee reste unesolution reelle :

x(0) = x0 = x(0, A,B) et x(0) = x0 = x(0, A,B) (3.21)

3.1.3 Lois du mouvement libre d’un systeme lineaire vibrant amorti a 1 degrede liberte

Apres avoir ete soumis a une excitation f(t) jusqu’a l’instant t = 0, cette excitation cessanta partir de cet instant (f(t) = 0 pour t > 0 ), le systeme ne sera plus au repos, en general,a l’instant 0. A partir de cet instant, sa reponse x(t) verifie l’equation homogene K(D)x = 0et constitue la solution particuliere definie par l’etat dynamique suivant : t0 = 0, x0 = x(0) etx0 = x(0). Cette reponse x(t), pour t > 0, est la reponse en mouvement libre (naturelle ou nonforcee) du systeme.



Fig. 3.3 – Masse non amortie soumise a une force elastique

3.1.3.1 Cas d’un systeme non amorti ξ = 0

Dans ce cas, l’equation differentielle decrivant le mouvement est une equation differentielled’ordre 2, non amortie et homogene :

mx+ k x = 0 (3.22)

satisfaisant aux conditions initiales x(0) = x0 et x(0) = x0.

Divisons par la masse m :

x+k

mx = 0 (3.23)

Posons ω20 =

k

mde telle facon que

ω0 =

√

k

m(3.24)

L’equation de comportement devient :

x+ ω20 x = 0 (3.25)

L’equation caracteristiqueD2 + ω2

0 = 0 (3.26)

admet les racines imaginaires +jω0 et −jω0.

La multiplicite de ces racines etant egale a 1, la solution s’ecrit :

x(t) = Aejω0t +Be−jω0t (3.27)

Comme la reponse x(t) est reelle, il faut necessairement que B soit le conjugue de A. Si

A = |A|ejψ → B = A∗ = |A|e−jψ (3.28)

Et :

x(t) = Aejω0t +A∗e−jω0t = |A|ejψejω0t + |A|e−jψe−jω0t (3.29)

= |A|(ej(ω0t+ψ) + e−j(ω0t+ψ)) = 2|A| cos(ω0t+ ψ) (3.30)

= C cos(ω0t+ ψ) (3.31)



La reponse libre d’un systeme mecanique lineaire a un degre de liberte non amorti estsinusoıdale, la pulsation du mouvement etant la pulsation propre du systeme ω0 =

√

k/m :

x(t) = C cos(ω0t+ ψ) (3.32)

C et ψ etant deux constantes qui peuvent etre determinees a partir des conditions initiales ent = 0.

L’expression de ces conditions initiales aboutit a :

x0 = C cosψ x0 = −Cω0 sinψ → C =

√

x20 +

x20

ω20

ψ = arctan (− x0

ω0) (3.33)

On peut donc interpreter la pulsation propre d’un systeme non amorti comme sa pulsationnaturelle d’oscillation, qui depend de ses proprietes d’inertie (par la massem) et de ses proprietesd’elasticite (par sa raideur k) par :

ω0 =

√

k

m(3.34)

3.1.3.2 Cas general d’un systeme amorti ξ > 0

L’equation differentielle decrivant le mouvement est une equation differentielle d’ordre 2,amortie et homogene :

mx+ c x+ k x = 0 (3.35)

satisfaisant aux conditions initiales x(0) = x0 et x(0) = x0

Fig. 3.4 – Masse amortie soumise a une force elastique

Divisons par la masse m :

x+c

mx+

k

mx = 0 (3.36)

Posons ω20 =

k

met 2ξω0 =

c

m.

– ω0 est la pulsation propre du systeme non amorti et T0 =2π

ω0est la periode propre ;

– ξ, variable reduite, est le degre d’amortissement du systeme.

L’equation differentielle devient :

x+ 2ξω0x+ ω20x = 0 (3.37)



L’equation caracteristique est

D2 + 2ξω0D + ω20 = 0 (3.38)

Trois cas sont possibles pour la determination de ses racines, selon que ξ < 1 (amortissementfaible), ξ = 1 (amortissement critique) ou ξ > 1 (amortissement fort).

Cas ou ξ = 1 : amortissement critique et mouvement aperiodique critique

L’amortissement est dit critique et le mouvement libre correspondant est dit aperiodiquecritique. Les deux racines sont egales a −ω0, leur multiplicite est donc double et la solutiongenerale est

x(t) = e−ω0 t (A+B t) (3.39)

Les constantes arbitraires A et B doivent etre telles que les conditions initiales soient res-pectees, a savoir x0 = A et x0 = B − ω0A :

x(t) = (x0 + (x0 + ω0 x0) t) e−ωOt (3.40)

La vitesse devient

v(t) = x(t) = (x0 − ω0 (x0 + ω0 x0) t) e−ω0t (3.41)

La position x(t) s’annule en t∗ = −x0/(x0 + ω0 x0) (si t∗ ≥ 0).

La vitesse v(t) s’annule en t∗∗ = x0/ (ω0 (x0 + ω0 x0)) (si t∗∗ ≥ 0).

Considerons le cas ou x0 > 0 (Fig.3.5). On verifie aisement que– si x0 > 0, t∗ n’existe pas, mais t∗∗ existe toujours ;– si x0 < 0, t∗ et t∗∗ existent si −x0 ≥ ω0 x0. On en conclut que la vitesse s’annule au plus

une fois. Le systeme revient finalement a l’equilibre en x = 0, puisque limt→∞ x(t) = 0Il n’y a donc pas d’oscillations autour de la position de repos (mouvement aperiodique

critique).

Cas ou ξ > 1 : amortissement fort et mouvement aperiodique

L’amortissement est dit fort et le mouvement libre correspondant est dit aperiodique. Lesracines de l’equation caracteristique sont reelles et negatives :

D1 = −ξω0 + ωa et D2 = −ξω0 − ωa (3.42)

en posantωa = ω0

√

ξ2 − 1 (3.43)

La solution generale est de la forme

x(t) = e−ξω0 t (A cosh(ωa t) +B sinh(ωa t)) (3.44)

Les conditions initiales imposent x(0) = x0 = A et x(0) = x0 = ωaB − ξω0A, de telle sorteque

x(t) = e−ξω0 t (x0 cosh(ωa t) +x0 + ξω0 x0

ωasinh(ωa t)) (3.45)



0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps : t / To

Dép

lace

men

t : X

/ X

o

+15 = Vo To / Xo

−2

−20

annulation du déplacement

annulation de la vitesse


Fig. 3.5 – Mouvement libre d’un systeme lineaire a 1 ddl avec amortissement critique, pourdifferentes vitesses initiales

La vitesse devient

v(t) = x = e−ξω0 t (x0 cosh(ωa t) +x0ω0 + ξx0√

ξ2 − 1sinh(ωa t)) (3.46)

Comme dans le cas aperiodique critique, on demontre que la vitesse s’annule une fois auplus. Le mouvement a la meme allure, mais est plus lent (Fig.3.6).

Cas ou ξ < 1 : amortissement faible et mouvement pseudo-periodique

L’amortissement est dit faible, et le mouvement est pseudo-periodique. Les racines del’equation caracteristiques sont complexes conjuguees et valent

D1 = −ξω0 + jωa et D2 = −ξω0 − jωa (3.47)

siωa = ω0

√

1 − ξ2 (3.48)

la pulsation ωa est appele la pulsation amortie ou la pseudo-pulsation.

Le temps Ta = 2π/ωa est la pseudo-periode ou la periode amortie1.

1La pseudo-periode Ta du mouvement faiblement amorti est plus grande que T0 : Ta = T0/p

1 − ξ2. Enpratique, la difference entre Ta et T0 est insensible si ξ est suffisamment petit.



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−3

−2

−1

0

1

2

3

Temps : t / To

Dép

lace

men

t : X

/ X

o

ξ = 0,1

ξ = 0,2

ξ = 0,3

ξ = 0,5 ξ = 0,7 ξ = 1

ξ = 5 ξ = 3

ξ = 1,5

ξ = 2

ξ = 0,1

ξ = 0,2

ξ = 0,3

Fig. 3.6 – Mouvement libre d’un systeme lineaire a 1 ddl avec amortissement faible, critique etfort

Par analogie avec le cas ou ξ > 1, on obtient :

x(t) = e−ξω0 t (x0 cos(ωa t) +x0 + ξω0 x0

ωasin(ωa t)) (3.49)

oux(t) = C e−ξω0 t cos(ωa t+ ψ) (3.50)

avec

C =

√

x2o +

(x0 + ξω0 x0

ωa

)2

(3.51)

et

tan(ψ) = − x0 + ξω0 x0

ωa x0(3.52)

(cosψ ayant le signe de x0)

La vitesse devient

v(t) = x = e−ξω0 t (x0 cos(ωa t) +x0ω0 + ξx0√

ξ2 − 1sin(ωa t)) (3.53)

3.1.3.3 Analyse detaillee de l’evolution correspondant a une loi du mouvementpseudo-periodique

Lorsque le degre d’amortissement ξ < 1, la loi du mouvement est une sinusoıde dont l’am-plitude varie selon une exponentielle decroissante (les ”enveloppes” sont ±C e−ξω0 t)(Fig. 3.7).



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Temps t

Dép

lace

men

t X

A1 A2

A3

annulation du déplacement

B1 C1

B2

C2


point de tangence

Fig. 3.7 – Mouvement libre amorti d’un systeme a 1 ddl

Le point M tend asymptotiquement vers sa position de repos, mais en oscillant de part etd’autre de celle-ci (cf Fig. 3.8).

Seul le facteur sinusoıdal est periodique : sa periode Ta est la pseudo-periode du mouvementamorti. Plus l’amortissement est faible, plus la decroissance vers le point de repos est lente.

La vibration x(t) s’annule aux points Ai ou cos(ωat+ψ) s’annule : ils sont distants de Ta/2.La courbe x(t) est tangente aux exponentielles ±C e−ξω0 t aux points Ci ou le cosinus vaut ±1 :les points Ci sont distants de Ta/2, et s’intercalent a mi-distance des points Ai. La vitesse v(t)est nulle aux points Bi egalement distants de Ta/2.

Fig. 3.8 – Mouvement libre amorti d’un systeme a 1 ddl



Si on considere deux elongations xi et xi+1, produites a des instants separes de Ta/2 (ti etti + Ta/2), on a :

xixi+1

= −e−ξω0Ta2 = −e+

πξ√1−ξ2 = −q (3.54)

le rapport de telles elongations est constant (= −q) au cours du mouvement. En particulier, sil’on designe par ai les elongations maximales successives, prises avec leur signe par ai, c’est-a-direles ordonnees des points Bi, on obtient :

aiai+1

= −q = −e+πξ√1−ξ2 q > 1 (3.55)

puisque les points Bi sont distants de Ta/2.

On pose :

Λ = ln q =πξ

√

1 − ξ2(3.56)

Λ est le decrement logarithmique du mouvement considere.

On peut en deduire le degre d’amortissement ξ par la formule inverse :

ξ =Λ/π

√

1 + (Λ/π)2(3.57)

Si Λ est petit, on utilise habituellement la formule approchee suivante2 :

ξ ∼ Λ

π(3.58)

3.1.4 Determination experimentale du degre d’amortissement

3.1.4.1 Si le systeme oscille autour de zero

Deux methodes peuvent etre utilisees dans ce cas et sont basees sur la mesure des maximasuccessifs qui conduisent a la connaissance du decrement logarithmique.

Premiere methode : en passant par le rapport entre deux elongations maximalessuccessives

Le systeme oscillant autour de la position d’equilibre x = 0, le rapport entre 2 elongationsmaximales successives s’ecrit

Xi

Xi+1= −q (3.59)

q etant positif.

Si on considere les elongations en valeur absolue, on a :

|Xi||Xi+1|

= q (3.60)

2Si ξ = 10%, l’erreur relative n’est que de 1/2%.



Fig. 3.9 – Determination du decrement logarithmique a partir du rapport entre deux elongationsmaximales successives

Et :|Xi| = q|Xi+1| (3.61)

Si on porte en graphique |Xi| en fonction de |Xi+1|, les points s’aligneront sur une droite dontla pente vaut le rapport q (Fig. 3.9).

On pourra en deduire le decrement logarithmique Λ = ln q et le degre d’amortissement reduitpar

ξ =Λ/π

1 + (Λ/π)2ou ξ =

Λ

πsi ξ est faible (3.62)

3.1.4.2 Deuxieme methode : en determinant directement le decrement logarith-mique

Le systeme oscillant autour de la position d’equilibre x = 0, le rapport entre 2 elongationsmaximales successives s’ecrit

Xi

Xi+1= −q (3.63)

q etant positif.

Si on considere les elongations en valeur absolue, on a :

|Xi||Xi+1|

= q (3.64)

Considerons cette relation pour la premiere oscillation et prenons en le logarithme neperien

|X0||X1|

= q → ln |X0| − ln |X1| = ln q = Λ → ln |X1| = ln |X0| − Λ (3.65)

Pour la deuxieme oscillation, on a

|X1||X2|

= q → ln |X1| − ln |X2| = ln q = Λ → ln |X0| = ln |X2| − 2Λ (3.66)



Fig. 3.10 – Determination directe du decrement logarithmique

De facon analogue, pour la i-eme oscillation, on a :

ln |Xi| = ln |X0| − i Λ (3.67)

Des lors, si on porte en graphique ln |Xi| en fonction de l’ordre i, les points s’alignent selonune droite dont la pente vaut −Λ (Fig. 3.10). A partir de ce decrement logarithmique Λ, le degred’amortissement reduit ξ peut etre deduit comme precedemment.

3.1.4.3 Si le systeme n’oscille pas autour de 0

Seule, la premiere des deux methodes est applicable si le systeme n’oscille pas autour duzero. Dans ce cas, si η est la valeur d’equilibre autour de laquelle oscille le systeme, si Xi

sont les oscillations maximales successives, celles-ci peuvent etre explicitees par rapport a laposition d’equilibre en introduisantXir, oscillations maximales successives ramenees a la positiond’equilibre η (Fig. 3.11).

Xir = Xi − η (3.68)

On a donc :Xir

Xi+1r= −q (3.69)

Et :Xi − η

Xi+1 − η= −q (3.70)

Xi = −qXi+1 + η(1 + q) (3.71)

On pourrait porter en graphique Xi en fonction de Xi+1, les points s’alignant dans ce cassur une droite dont la pente vaut −q et l’ordonnee a l’origine η(1 + q).

On peut egalement separer les oscillations paires (i = 0, 2, 4...) et impaires (i = 1, 3, 5...) enconvenant de considerer la valeur de depart X0 paire et positive (Fig. 3.12).



Fig. 3.11 – Oscillations autour d’une position autre que 0

Fig. 3.12 – Determination du decrement logarithmique a partir du rapport entre deuxelongations maximales successives autour d’une position d’equilibre differente de 0

– pour les oscillations paires (i = 2n), on a

X2n = −qX2n+1 + η(1 + q) (3.72)

Supposons que l’on soit parti d’une valeur X0 (que l’on considere conventionnellementpositive), on a

X2n = q(−X2n+1) + η(1 + q) (3.73)

Si pour les oscillations paires, on porte Xi en fonction de −Xi+1, les points s’alignent surune droite de pente egale a q et d’ordonnee a l’origine egale a η(1 + q).

– pour les oscillations impaires (i = 2n+ 1), on a

X2n+1 = −qX2n+2 + η(1 + q) (3.74)



On posera ici plutot−X2n+1 = q(X2n+2) − η(1 + q) (3.75)

Si pour les oscillations impaires, on porte −Xi en fonction de Xi+1, les points s’alignentsur une droite de pente egale a q et d’ordonnee a l’origine egale a −η(1 + q).

On peut donc tracer deux droites dont la pente egale a q, et qui permet donc de determinerle decrement logarithmique (Λ = ln q) et le degre d’amortissement reduit comme precedemment(ξ = Λ/π si ξ est faible).

On peut en outre montrer que l’intersection des droites avec la bissectrice des 2-eme et 4-emequadrants vaut η

√2.

En effet, les deux droites ont pour equations y = qx + η (1+q) et y = qx − η(1 + q).L’intersection de la premiere droite avec la droite y = −x donne le point de coordonnees (−η,+η), distant de l’origine de η

√2. L’intersection de la seconde droite avec la droite y = −x, donne

le point de coordonnees(+η, −η), distant de l’origine de η√

2. Les intersections des deux droitespar n’importe quelle droite parallele a la bissectrice y = −x sont donc distantes de 2η

√2.

3.1.4.4 Influence du frottement sec

Supposons que M glisse avec frottement sur Ox (Fig. 3.13). En plus de la force de frottementvisqueux (−c v), il s’exercera sur M la force de frottement sec θ f Fln, si f est le coefficient defrottement et Fln la force normale de liaison entre Ox et M ; −1 ≤ θ ≤ +1 : θ = ±1 s’il y amouvement (+1 si v < 0 et −1 si v > 0) et −1 < θ < +1 s’il n’y a pas mouvement.

Fig. 3.13 – Influence du frottement sec

La relation entre la force de frottement Ffrott et la vitesse v n’est pas une fonction (Fig.3.14) : pour v = 0, Ffrott peut prendre toutes les valeurs comprises entre −f Fln et +f Fln.

Mathematiquement, il est donc impossible de reduire le probleme a une unique equationdifferentielle ; la loi du mouvement doit etre soigneusement discutee.

Soit x = 0 le point de repos du systeme lorsque la force de frottement n’agit pas (ensupposant f = 0) et supposons que M soit abandonne a lui-meme, sans vitesse initiale, d’uneabscisse x0 > 0.

Etudions l’evolution du systeme.

1. En t = 0, le ressort exerce la force −k x0 ;



Fig. 3.14 – Relation entre force de frottement et vitesse

si kx0 < f Fℓn, soit si x0 < f Fℓn/k = ε, la condition d’equilibre est satisfaite : la forcede rappel du ressort ne peut vaincre la force de frottement ; il n’y aura pas mouvement :x(t) = x0.

2. Supposons alors que x0 > ε. La force de rappel du ressort est superieure a la force defrottement maximum ; il y aura mouvement de M vers l’arriere, selon la loi

mx+ c x+ k x = +f Fℓn (3.76)

En posant X = x− ε = x− f Fℓnk , on obtient

mX + c X + kX = 0 (3.77)

X(t) suit une loi du mouvement vibratoire amorti (en supposant ξ < 1) repondant auxC.I X(0) = x0 − ε et X(0) = 0.

Dans le plan (x, t), on obtient une courbe de mouvement pseudo-periodique, dont l’axeO′t′ est decale de +ε par rapport a l’axe Ot (cf Fig. 3.15).

Cette loi de mouvement reste valable aussi longtemps que v reste inferieur a 0. Des que lavitesse s’annule, l’equation du mouvement change. A l’instant ou v = 0, M est en x1 et

X0

−X1=

|x0 − ε||x1 − ε| =

x0 − ε

−x1 + ε= q (3.78)

3. Si |x1| < ε, la force de rappel du ressort est insuffisante pour remettre M en mouvement.M restera immobile dans la position atteinte.

4. |x1| > ε, M repart en sens contraire, avec une vitesse superieure a 0 et son mouvementrepond a l’equation

mx+ c x+ k x = +f Fℓn (3.79)

En posant Y = x+ ε = x+ f Flnk , cette equation devient

mY + c Y + k Y = 0 (3.80)

Le graphique de x(t) sera une courbe de mouvement pseudo-periodique, mais autour del’axe O′′t′′, decale de −ǫ par rapport a Ot. Cette seconde phase cessera des que v s’annule.A cet instant, l’amplitude x2 est telle que

−Y1

Y2=

|x1 + ε||x2 + ε| =

−x1 − ε

x2 + ε= q (3.81)



0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−4

−2

0

2

4

6

8

Temps t

Dép

lace

men

t X

Xo

+ ε

− ε

Fig. 3.15 – Courbe du mouvement pseudo-periodique

La meme discussion recommence : ou bien le mouvement cesse, ou bien il redemarreselon l’equation 3.77, . . .. Le mouvement durera finalement un nombre entier de demi-pseudoperiodes Ta/2. La plage (−ε, ε) autour de 0 est la plage d’incertitude : M finira pars’arreter dans cette bande, mais en un endroit qui depend des conditions initiales (pourun appareil de mesure, il y a une incertitude de ε sur la valeur de mesure).

Si les a2n designent les elongations extremes paires, avec a0 = x0 > 0 et les a2n+1 leselongations extremes impaires, on a :

a2n − ε

−a2n+1 + ε=

−a2n+1 − ε

a2n+2 + ε= q = eΛ = e

πξ√1−ξ2 (3.82)

3.1.5 Aspects energetiques en mouvement libre

Considerons par exemple le cas d’une masse m suspendue a un ressort de raideur k et delongueur naturelle L0 et soumise a son propre poids m~g (Fig. 3.16).

Expression de l’energie potentielle et de l’energie cinetique

L’energie potentielle comprend deux termes : l’un du a la force constante mg et l’autrecorrespondant a l’energie elastique accumulee dans le ressort.

On a :

V = +mgX +1

2k(X − L0)

2 (3.83)



Fig. 3.16 – Masse en mouvement vertical

Soit Xeq, la position du point de repos (imposee par la force constante F = mg et le ressort).

A l’equilibre statique, −mg − k(Xeq − L0) = 0 (d’ailleurs∂V

∂r

∣∣∣∣x=0

= 0 a l’equilibre) :

Xeq = L0 −mg

k(3.84)

Si x = X −Xeq est le mouvement du point P autour du point de repos, on a donc

X = x+Xeq (3.85)

D’ou

V = +mg(x+Xeq) +1

2k(x+Xeq − L0)

2 (3.86)

= +mgx+mgXeq +1

2kx2 +

1

2k(Xeq − L0)

2 + kx(Xeq − L0) (3.87)

= +mgx+mgXeq +1

2kx2 +

1

2k(Xeq − L0)

2 − kxmg

k(3.88)

=1

2kx2 + termes constants (3.89)

Donc,

V =1

2kx2 (3.90)

a une constante pres : l’energie potentielle est une forme quadratique definie positive en leparametre x, decrivant l’ecart de position autour du point de repos.

L’energie cinetique T = 12mx2 est une forme quadratique definie positive en la vitesse x.

3.1.5.1 Bilan energetique dans le cas d’un systeme amorti

L’energie mecanique totale E egale la somme de l’energie cinetique T et de l’energie poten-tielle V :



E = T + V =1

2k x2 +

1

2mx2 (3.91)

On definit la fonction de dissipation par

F =1

2cx2 (3.92)

forme quadratique definie positive en x.

Le theoreme de l’energie cinetique donne :

dT

dt= Ptot = −dV

dt+ ~Fam~vP/s (3.93)

d

dt(T + V ) = Pamortisseur = −c x x = −c x2 (3.94)

oudE

dt= −cx2 = −2F < 0 (3.95)

L’energie mecanique totale E du systeme diminue constamment : elle est dissipee dansl’amortisseur.

D’une elongation maximale a l’autre, E diminue en progression geometrique de raison q2,car en ces instants, elle est toute entiere sous forme d’energie potentielle. En effet, a l’instant cor-respondant a une elongation maximale, la vitesse est nulle. Ainsi par exemple, pour l’elongationd’ordre i, l’energie totale Ei s’exprime par

Ei =1

2kx2

i (3.96)

De meme, pour l’elongation d’ordre i+ 1, l’energie totale Ei+1 s’exprime par

Ei+1 =1

2kx2

i+1 (3.97)

Le rapport entre les energies correspondant a 2 extrema successifs devient

EiEi+1

=x2i

x2i+1

(3.98)

Comme le rapport entre deux elongations successives est egal a

xixi+1

= −q (3.99)

on obtientEiEi+1

=q2x2

i+1

x2i+1

= q2 (3.100)



3.1.5.2 Bilan energetique dans le cas d’un systeme non amorti

Si l’amortissement est nul, le systeme est conservatif :

E = T + V = Cte (3.101)

Periodiquement, l’energie potentielle se transforme totalement en energie cinetique et vice-versa.L’oscillation sinusoıdale se maintient au cours du temps (la conclusion est generale : pour main-tenir une oscillation, il faut disposer de deux formes d’accumulation de l’energie - par exemplecinetique, elastique, magnetique, electrique,...- et permettre la conversion de cette energie d’uneforme en l’autre).

L’oscillation libre du systeme non amorti (ou mode propre pour un systeme a un degre deliberte) est de la forme

x = C cos(ω0t+ ψ) (3.102)

On a :

V =1

2k x2 =

1

2k C2 cos2(ω0 t+ ψ) (3.103)

T =1

2mx2 =

1

2mC2ω2

0 sin2(ω0 t+ ψ) (3.104)

Tmax = Vmax = E =1

2mC2ω2

0 (3.105)

Dans un mode propre, l’energie cinetique maximum est egale a l’energie potentielle maxi-mum ; elle est proportionnelle au carre de l’amplitude et au carre de la pulsation propre3.

3.2 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte soumisa des forces elastiques et dissipatives - Cas general

3.2.1 Equation differentielle du mouvement

Considerons une masse ponctuelle m en P , pouvant glisser sans perte sur une glissierehorizontale OX, soumise a l’action d’une force f(t)~uX , d’un ressort lineaire de raideur k et delongueur naturelle L0 et d’un amortisseur lineaire, de constante d’amortissement c (Fig. 3.17).


~F +m~g + ~FR + ~FA + ~Fℓ −m~aP/s = ~0 (3.106)

La liaison etant sans perte, il n’y a pas de composante selon OX de la force de liaison exerceepar la glissiere sur la masse.

Si on pose x(t) = X(t)−L0, la longueur x(t) est l’ecart entre la position du point P autourde sa position de repos (ou d’equilibre) Xeq = L0 et represente la reponse du systeme autour decelui-ci4.

3Ces considerations energetiques resteront valables pour les systemes vibrants a n degres de liberte.4On peut ne pas tenir compte des forces constantes telles que la gravite qui influence la configuration d’equilibre,

mais pas le comportement dynamique.



Fig. 3.17 – Masse en mouvement horizontal sans perte soumise a une force f(t)

Par projection de cette equation sur OX, on obtient l’equation du mouvement de la masse :

f(t) − kx− cx−mx = 0 (3.107)

L’equation differentielle du second ordre, a coefficients constants, decrivant le mouvementd’un systeme lineaire a un degre de liberte s’exprime par :

mx+ c x+ k x = f(t) (3.108)

le mouvement force x(t) de P etant decrit autour de sa position de repos Xeq.

3.2.2 Linearisation de l’equation differentielle du mouvement lorsque lesysteme est soumis a des forces elastiques non lineaires

Il arrive frequemment que les equations differentielles decrivant le mouvement de systemesmecaniques ne soient pas lineaires. C’est le cas par exemple lorsque la force de rappel elastiqueR n’est pas simplement proportionnelle a l’allongement x, ce qui peut se produire notammentsi le materiau constitutif de l’element elastique n’est pas lineaire ou si la geometrie du systemefait varier l’inclinaison de la force de rappel en fonction du deplacement.

Si Xeq est le point de repos, l’equation differentielle decrivant le mouvement x = X −Xeq

autour du point de repos s’exprime par :

mx+ c x+R(x) = f(t) (3.109)

Si la fonction R(x) peut etre developpee en serie autour de x = 0 (Fig. 3.18), on obtient :

mx+ c x+

(dR

dx

)

0

x+

(d2R

dx2

)

0

x2

2+ · · · = f(t) (3.110)

En supposant que les deplacements x restent suffisamment petits, on peut confondre lafonction R(x) avec sa tangente au point de repos et lineariser ainsi l’equation differentielle dumouvement :

mx+ c x+ k x = F (t) (3.111)

avec k =(dRdx

)

0.

La linearisation fournit une bonne approximation du mouvement reel tant que lesdeplacements gardent des valeurs suffisamment faibles, sinon il faut absolument considerer



x

R

x0

force statiqueR0 M0

r

Fig. 3.18 – Linearisation

l’equation differentielle non lineaire, beaucoup plus difficile a integrer que l’equation linearisee.Les systemes non lineaires peuvent etre l’objet des phenomenes caracteristiques que la seuleetude des systemes lineaires ne permet pas de soupconner (resonances subharmoniques, oscilla-tions de relaxation, instabilites a la resonance,...).

La linearisation n’est pas toujours possible, en particulier si le systeme presente des jeux oudu frottement sec. Si le jeu (ou le contact unilateral) se produit entre le solide etudie et un elementelastique, la force de rappel que l’un exerce sur l’autre presente des discontinuites inconciliablesavec une linearisation ; si le jeu se produit entre le solide et un autre element suppose rigide, desphenomenes de chocs seront alors a prendre en consideration. La force de frottement sec n’estpas decrite par une fonction, puisque, en l’absence de glissement relatif des surfaces en contact,elle peut prendre n’importe quelle valeur entre deux limites ; la linearisation est evidemmentimpossible. L’etude des systemes presentent des jeux ou du frottement sec s’avere generalementfort complexe.

3.2.3 Rappels sur la resolution d’une equation differentielle lineaire a coeffi-cients constants

3.2.3.1 Integrale generale - Integrale particuliere

L’equation differentielle lineaire a coefficients constants

mx+ c x+ k x = f(t) (3.112)

peut s’ecrireK(D)x = f(t) (3.113)

en posantK(D) = mD2 + cD + k (3.114)

K(D) etant l’operateur differentiel a coefficients constants, D etant l’operateur de derivationd/dt.

On appelle solution generale (ou integrale generale) de l’equation differentielle une fonctionx(t, C1, C2) qui la verifie, ∀C1 et C2.

On appelle solution particuliere (ou integrale particuliere) une integrale obtenue en fixantles valeurs de C1 et C2.



On fixe generalement l’etat dynamique initial x0 = x(0) et x0 = x(0), c’est-a-dire que l’onrecherche la solution particuliere de l’equation differentielle, passant par un point fixe x0 ent = 0 et ayant une vitesse fixee x0 en t = 0, dans l’intervalle (0,∞).

3.2.3.2 Proprietes

Linearite

Si xi(t) est solution generale de K(D)xi = fi(t), alors x =∑

i λi xi est solution generale del’equation K(D)x = f , avec f =

∑

i λi fi, les λi etant des constantes arbitraires.

Par consequent, si les causes s’additionnent, les effets s’additionnent. Cette propriete restevraie si les coefficients m, c et k sont des fonctions du temps, c’est-a-dire si le systeme evoluedans le temps.

Permanence

Si x(t) est solution generale de K(D)x = f(t), alors, ∀τ, x(t − τ) est solution generale deK(D)x(t− τ) = f(t− τ).

Le systeme reste identique a lui-meme, quel que soit l’instant ou on le considere. Cettepropriete ne se maintient que si les coefficients sont constants.

3.2.3.3 Solution generale de l’equation non homogene

La solution generale de l’equation non homogene K(D)x = f , est egale a la somme de lasolution generale de l’equation homogene K(D)x = 0 et d’une solution particuliere de l’equationnon homogene (linearite).

Si xt(t, C1, C2) est solution generale de K(D)x = 0 (appelee terme transitoire ) et xr(t) unesolution particuliere de K(D)x = f (appelee terme force ou terme de regime permanent), alors

x(t, C1, C2) = xt(t, C1, C2) + xr(t) (3.115)

sera solution generale de K(D)x = f(t).

Rappelons que si bs, de multiplicite ks (s = 1, · · · , p), sont les racines de l’equation ca-racteristique K(D) = 0, la solution generale de l’equation homogene est :

x(t, · · · ) =

p∑

s=1

ebs t pks−1(t) (3.116)

ou pks−1(t) est un polynome de degre (ks − 1) a coefficients constants arbitraires.

Pour obtenir la solution de l’equation non homogene satisfaisant aux conditions initialesx(0) = x0 et x(0) = x0, il suffit de choisir les constantes arbitraires de la solution generale desorte que

x0 = xt(0, C1, C2) + xr(0) (3.117)

etx0 = xt(0, C1, C2) + xr(0) (3.118)



En pratique, on considere que l’excitation ou l’entree f(t) ne commence qu’a partir d’uncertain temps, que l’on choisit pour instant t = 0. On admet generalement que, jusque cetinstant, le systeme etait au repos. En principe, la reponse x(t) est la solution particuliere quicorrespond a l’etat dynamique initial x0 = 0 et x0 = 0 (x(t) ≡ 0 pour t < 0).

Pour noter clairement des fonctions identiquement nulles pour t < 0, il est commode d’utiliserla fonction echelon (u(t) = 0 si t < 0 et u(t) = 1 si t ≥ 0. Ainsi la fonction sin(ωt)u(t) est lafonction sinusoıdale sin(ωt) sur [0,∞], mais est identiquement nulle sur [−∞, 0].

3.2.3.4 Principaux types d’excitation f(t)

Des entrees fort importantes seront les fonctions sinusoıdales F cos(ωt + ΦF )u(t), echelonFuu(t), et l’impulsionnelle Pδ(t). Les reponses respectives sont appelees reponses harmonique,indicielle, ou impulsionnelle.

Sur le plan de leurs applications, trois types de problemes peuvent en pratique etre distinguesen mecanique vibratoire quant a la reponse harmonique d’un systeme lineaire a un degre deliberte, selon que

– le systeme est sollicite par une force d’excitation harmonique f(t) = F cos(ωt+ ΦF )(Cas general),

– l’excitation provient d’un rotor desequilibre solidaire du systeme, ce qui conduit a uneexcitation par balourd dont l’amplitude est proportionnelle au carre de lapulsation (Exemple : vibrations transmises par une machine tournante, ...),

– l’excitation est causee par un mouvement impose a la base du systeme (Exemple :isolation des passagers d’un vehicule par rapport au sol, isolation d’un dispositif fragilepar rapport aux vibrations provenant du sol, ...).

3.3 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte soumisa des forces elastiques et dissipatives ainsi qu’a une excita-tion harmonique f(t) = F cos(ωt + ΦF )

3.3.1 Solution globale en transitoire

Considerons un systeme mecanique a un degre de liberte constitue par une masse m pouvantosciller horizontalement sans perte, et soumise a l’action d’un ressort de raideur k et de longueurnaturelle L0, d’un amortisseur de constante c et d’un force sinusoıdale f(t) = F cos(ωt + ΦF )agissant brusquement en t = 0 sur le systeme schematise a la figure 3.19 (systeme initialementau repos). Les conditions initiales sont x0 = x0 = 0.

On recherche la solution de regime, correspondant a une solution particuliere de l’equationdifferentielle. Si x est l’ecart par rapport a la configuration de repos du systeme, l’equationdifferentielle a resoudre est obtenue a partir de l’equation d’equilibre projetee sur Ox :

~R+ ~R(−m~a) = ~0/x → −cx− kx+ f(t) = −mx (3.119)

Et :mx+ c x+ k x = F cos(ωt+ ΦF ) (t ≥ 0) (3.120)

soit, apres division par m, et introduction de la pulsation propre ω0 et du degre d’amortissementξ :

x+ 2ξω0x+ ω20x =

F

mcos(ωt+ ΦF ) (3.121)



Fig. 3.19 – Systeme soumis a une excitation harmonique f(t) = F cosωt+ Φ - Cas general

La reponse globale x(t) est egale a la somme de la reponse en transitoire xt(t), solutionde l’equation differentielle homogene, et de la solution de regime xr(t), solution particuliere del’equation differentielle (Fig. 3.20).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−3

−2

−1

0

1

2

3

Temps t

Dép

lace

men

t X

Φ/ω

Excitation f(t)

Réponse x(t)

Transitoire)

Régime

Fig. 3.20 – Reponse a une excitation sinusoıdale - Evolution en transitoire et en regime

En supposant ξ < 1, la solution generale xt(t, C, ψ) de l’equation homogene est :

xt(t) = C e−ξω0t cos(ωat+ ψ) (3.122)

C et ψ etant deux constantes arbitraires dependant des conditions initiales.

Lorsqu’un systeme mecanique lineaire est soumis a une excitation sinusoıdale, la reponseen regime x(t) est egalement sinusoıdale et de meme pulsation que la pulsation d’excitation (ils’agit en l’occurrence de la solution particuliere de l’equation differentielle) :

xr(t) = X cos(ωt+ ΦX) (t ≥ 0) (3.123)

Pour une excitation harmonique d’entree donnee (caracterisee par F et ΦF ), l’amplitudeX et



0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

−1

0

1

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

−1

0

1

2

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500−2

−1

0

1

2

Réponse transitoire − solution de l’homogène

Réponse en régime : solution particulière

Réponse globale

Fig. 3.21 – Superposition de la solution de l’equation differentielle homogene et d’une solutionparticuliere de l’equation differentielle

le dephasage ΦX peuvent etre determines en fonction des parametres du systeme (ω0, ξ, F/m, ω).C’est la reponse harmonique.

Des lors, la solution generale de l’equation non homogene sera :

x(t) = C e−ξω0t cos(ωat+ ψ) +X cos(ωt+ ΦX) (3.124)

Les constantes C et ψ assurent que le systeme soit au repos a l’instant initial :

x(0) = 0 = xt(0) + xr(0) (3.125)

x(0) = 0 = xt(0) + xr(0) (3.126)

Cela revient a choisir le mouvement libre transitoire xt de sorte que :

xt(0) = −X cos ΦX (3.127)

xt(0) = +Xω sinΦX (3.128)

En utilisant la loi du mouvement libre pour ξ < 1 (par exemple), on obtient finalement :

x(t) = xt(t) + xr(t)

= −Xe−ξω0t

[

cos ΦX cosωat+

(ω

ωasinΦX

+ξ

√

1 − ξ2cos ΦX

)

sinωat

]

(3.129)

+X cos(ωt+ ΦX) (t ≥ 0). (3.130)



Le premier terme xt(t), correspondant au mouvement libre du systeme, disparaıt avec letemps (que ξ soit < 1, = 1 ou> 1, sauf si ξ = 0 qui n’est en fait qu’un cas special theorique) : c’estle terme transitoire. Il assure la continuite l’etat dynamique initial (repos) et le mouvementde regime.

Le second terme xr(t), la reponse harmonique, se maintient dans le temps : c’est le termede regime permanent. Il est independant des conditions initiales. En regime, lorsque le termetransitoire a disparu, le systeme lineaire ”ne se souvient plus” de la facon dont on l’a demarre(ce qui n’est pas vrai pour les systemes non lineaires).

La figure 3.21 montre un exemple de construction de la reponse a partir de la reponsede regime et du transitoire. Le terme transitoire peut temporairement augmenter fortementl’amplitude du mouvement et devenir dangereux pour le systeme. L’amplitude totale peut tran-sitoirement etre presque doublee.

3.3.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Reponse harmonique - Courbed’amplification dynamique G1

Considerons l’equation differentielle a resoudre5 :

x+ 2ξω0x+ ω20x =

F

mcos(ωt+ ΦF ) =

f(t)

m(3.131)

La solution de regime cherchee x(t) (solution particuliere de l’equation non homogene), estune fonction sinusoıdale, de meme pulsation ω que l’entree, de la forme :

x(t) = X cos(ωt+ ΦX)

La reponse et l’excitation peuvent etre explicitees en fonction des substituts complexes s’yrapportant6 :

f(t) = Re(FejΦF ejωt) = Re(F ejωt) (3.132)

x(t) = Re(Xej(φX)eωt) = Re(X ejωt) (3.133)

avec F = FejΦF et X = XejΦX ;Les vitesses et accelerations de la reponse x(t) peuvent egalement s’exprimer par rapport a cessubstituts complexes :

x(t) = Re((jω)X ejωt) (3.134)

x(t) = Re((jω)2X ejωt) = Re((−ω2)Xejωt) (3.135)

5Comme on se polarise sur la solution en regime, nous noterons dans la suite de ce chapitre x(t) = xr(t)6On sait d’apres la formule d’Euler que

a cos(ωt + θ) = Re(a ej(ωt+θ)),

et a sin(ωt + θ) = Im(a ej(ωt+θ)) (j =√−1)

Si on pose x = aejθ et x∗ = ae−jθ (complexe conjugue), on a |x| = |x∗| = a et arg(x) = −arg(x∗) = θLa connaissance du nombre complexe x et de la pulsation ω determine entierement la fonction harmonique x(t)

par :x(t) = Re(xejωt)

x est appele le substitut complexe de x(t).



En portant ces expressions dans l’equation differentielle et en regroupant, on obtient :

Re((−ω2 + 2jξωω0 + ω2

0

)X ejωt

)= Re

(F

mejωt

)

(3.136)

ou

Re

(((−ω2 + 2jξωω0 + ω2

0

)X − F

m

)

ejωt)

= 0 (3.137)

La relation 3.137 peut donc se transformer en une egalite algebrique entre substituts com-plexes7 :

(−ω2 + ω2

0 + 2jξωω0

)X =

F

m(3.138)

soit

X =1/m

(ω2

0 − ω2 + 2jξωω0

)F (3.139)

L’utilisation des substituts complexes permet de ramener la resolution d’une equationdifferentielle dont la variable reelle est la fonction sinusoıdale x(t) = X cos(ωt + ΦX), de pul-sation ω connue, a celle d’une equation algebrique faisant intervenir des nombres complexes, etdont la variable est le substitut complexe correspondant X = XejΦX .

Si on divise le numerateur et le denominateur par la pulsation propre ω0 de facon a faireapparaıtre la pulsation reduite Ω :

Ω =ω

ω0(3.140)

on obtient :

X =1/mω2

0(

1 − ω2

ω20

+ 2j ξ ωω0

)F (3.141)

Comme ω20 = k/m, on obtient :

X =F / k

(1 − Ω2 + 2j ξΩ)(3.142)

Le rapport entre le substitut complexe de la reponse X et le substitut complexe de l’ex-citation F porte le nom de reponse en frequence (ou transmittance isochrone) et estgeneralement note H. La reponse en frequence a pour unite le rapport d’un deplacement parune force (en m/N dans le systeme MKS).

H =X

F=

1/k

1 − Ω2 + 2j ξΩ(3.143)

On voit donc que dans le domaine frequentiel, il y a linearite entre substituts complexes dela reponse X et de l’excitation F, puisque

X(ω) = H(ω).F (ω) (3.144)

H etant une fonction complexe de la pulsation8.

7En effet, si Re`

cejωt´

= 0 ∀t, avec c = Cejθ, donc si C cos(ωt + θ) = 0 ∀t, alors c = 08On soulignera H pour preciser qu’il s’agit d’une fonction complexe.



On peut rendre cette fonction de transfert non dimensionnelle. On pose generalementF

k= Xst, qui represente le deplacement statique de la massem sous l’action d’une force constante

d’amplitude egale a F . Le rapport XXstat

correspond au rapport entre l’amplitude de la reponsedynamiqueX et la reponse statiqueXst = F/k. Ce rapport est appele le gain G1, ou le coefficientd’amplification dynamique du systeme.

On appellera plus generalement la fonction complexe gain G1 = XF/k , dont l’amplitude est

le coefficient d’amplification dynamique. D’ou :

X

F/k= G1 =

1

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.145)

XejΦX

Fk e

jΦF=

1

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.146)

Fig. 3.22 – Reponse harmonique. Evolution en amplitude et en phase de la courbe de gain G1

Si on examine cette relation sur le plan de l’amplitude, on obtient l’evolution du coefficientd’amplification dynamique G1 en fonction de la pulsation reduite :

G1 =X

F/k=

X

Xst

1√

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.147)

Sur le plan de la phase, on a :

ΦX − ΦF = arg1

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.148)

ΦX − ΦF = − arctan2ξΩ

1 − Ω2(3.149)



Si on pose :ΦX = ΦF − Φ (3.150)

Φ represente le dephasage de la reponse x(t) par rapport a l’excitation f(t) de telle facon quela reponse x(t) s’exprime sous la forme generale :

x(t) = X cos(ωt+ ΦF − Φ) (3.151)

Φ/ω representant le retard de la reponse sur l’entree (en pratique, le temps separant deuxpassages a zeros successifs (dans le meme sens), la reponse etant en retard sur l’entree.

D’ou :

Φ = arctan2ξΩ

1 − Ω2(3.152)

En conclusion, la reponse sinusoıdale x(t) = X cos(ωt + ΦF − Φ) en regime d’un systemelineaire amorti, de massem, soumis a des forces elastiques de raideur k, de degre d’amortissementξ, excite par une force sinusoıdale f(t) = F cos(ωt+ΦF ), est caracterisee par une fonction gainG1

representee en amplitude et en phase sur la figure 3.22 et permettant de determiner l’amplitudeX et le dephasage Φ de la reponse par :

G1 =X

F/k=

X

Xst=

1√

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.153)

Φ = arctan2ξΩ

1 − Ω2(3.154)

Ω etant la pulsation reduite egale a Ω = ω/ω0.

Remarques

– La methode des substituts complexes est generale ; elle s’appliquera a la recherche desreponses harmoniques des systemes a plusieurs degres de liberte.

– Ce qui a ete etabli pour la forme a cos(ωt + θ) peut evidemment l’etre de meme pourla forme a sin(ωt + θ) ; il suffit de prendre la partie Im au lieu de la partie Re dans lesdemonstrations. Des que l’on a choisi la forme cos ou la forme sin, il faut s’y tenir toutau long de l’etude.

Analyse detaillee de l’evolution frequentielle des fonctions gain G1 et dephasage

1. L’etude de la loi du gain

G1(Ω) =1

√

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.155)

appelle les commentaires suivants (Fig. 3.23) :

– Comportement aux basses et hautes frequences :G1(Ω → 0) ∼ 1 +

(1 − 2ξ2

)Ω2

G1(Ω → ∞) ∼ 1

Ω2∀ξ ;

– Comportement pour des frequences proches de la resonance(Ω ∼ 1 ou ω ∼ ω0)dG1

dΩ= 0 pour Ω = 0 ou pour Ω∗ =

√

1 − 2ξ2 : G1 possede un maximum si

ξ ≤ 1√2∼ 70% ;



si ξ est petit, Ω∗ ∼ 1 − ξ2 : le maximum se produit peu avant le point Ω = 1 ;

G1max = G(Ω∗) =1

2ξ√

1 − ξ2;

si ξ est petit, G1max ∼ 1

2ξ= G1(ω = 1) : la valeur du maximum est proche du gain en

Ω = 1 ;– Le point Ω = 1 est appele le point de resonance ; le systeme est resonant si la frequence

du signal d’entree est egale a la frequence propre.Si l’amortissement est faible, le gain G est voisin du gain maximum et il peut prendredes valeurs considerables (G1(Ω = 1) = 1

2ξ ). Le coefficient d’amplification peut alorsdevenir prohibitif (rupture du systeme).

– Plus l’amortissement est faible, plus la pointe de resonance est elevee et etroite. Loinde la resonance (Ω ≪ 1 ou Ω ≫ 1), il y a peu de difference entre systeme amortiset systemes non amortis. L’amortissement joue un role important au voisinage de laresonance.

– Si ξ =1√2∼ 70%, G1 =

1√1 + Ω4

= 1 − 1

2Ω4 +

3

8Ω8 + · · · ; cette courbe reste la plus

voisine de G1 = 1 a partir de Ω = 0.

Fig. 3.23 – Reponse harmonique. Courbes de gain et de dephasage de la fonction G1 en fonctionde la pulsation reduite pour divers degres d’amortissement

2. L’etude de la loi du dephasage Φ(Ω) = arctan

(2ξΩ

1 − Ω2

)

appelle les commentaires suivants

(Fig. 3.23) :

– Comportement aux basses et hautes frequences :φ(Ω → 0) ∼ 2ξΩ ;

φ(Ω → ∞) ∼ π − 2ξ

Ωquel que soit l’amortissement ;

– Comportement a la resonance (Ω ∼ 1)φ(Ω = 1) = 90o

dφ

dΩ= G2

12ξΩ(1 + Ω2) ; en particulier,dφ

dΩ=

1

ξa la resonance : la pente est d’autant



plus raide que le degre d’amortissement est faible.

– si ξ = 1√2∼ 70%,

dφ

dΩ=

1 + Ω2

1 + Ω4

√2 : la pente reste voisine de

√2 pour 0 ≤ Ω < 1 et le

diagramme du dephasage est quasi-lineaire (φ ∼√

2Ω).

3.3.3 Interpretation de l’evolution frequentielle des reponses harmoniques enamplitude et en phase - Aspects physiques et mathematiques

1. Aux basses frequences

Si Ω ≪ 1, la force f(t) agit tres lentement par rapport a la periode propre du systeme ;les forces d’inertie (proportionnelles a ω2) et les forces d’amortissement (proportionnellesa ω) restent faibles vis-a-vis des forces elastiques : l’equation du mouvement tend versl’equation statique et

kx = F (3.156)

Et

x(t) ∼ F

kcos(ωt+ ΦF ) ∼ Xst cos(ωt+ ΦF ) (G1 → 1 Φ → 0) (3.157)

2. Aux hautes frequences

Si Ω ≫ 1, les forces d’inertie deviennent preponderantes par rapport aux forces d’amor-tissement et aux forces elastiques, l’equation du mouvement tend vers

mx = F cos(ωt+ ΦF ) et (3.158)

x(t) ∼ F

mω2cos(ω + ΦF ) = −F/k

Ω2cos(ωt+ ΦF ) (3.159)

= −Xst

Ω2cos(ωt+ ΦF ) (G1 → 1

Ω2Φ → π) (3.160)

3. A la resonanceSi Ω est voisin de 1, la reaction d’inertie est egale a la force elastique, et seule la force

d’amortissement s’oppose a la force d’entree.

En effet,

−mx(t) = +mω2X cos(ωt+ ΦX) ∼ mω20X cosωt+ ΦX = kX cosωt+ ΦX) = kx(t)

(3.161)

L’equation du mouvement tend vers

cx = F cos(ωt+ ΦF ) (3.162)

Et :

x(t) ∼ F

cωsin(ωt+ ΦF ) ∼ Xst

2ξcos(ωt+ ΦF − π/2) (G1 → 1

2ξφ→ π

2) (3.163)

3.3.4 Interpretation de l’evolution frequentielle des reponses harmoniques enamplitude et en phase - Visualisation dans le plan complexe

Cette interpretation peut egalement etre etablie a partir d’un raisonnement base sur larepresentation graphique des substituts complexes de chacun des termes intervenant dans



l’equation differentielle, a savoir les forces elastiques (−kx), les forces d’amortissement (−cx),les forces d’inertie (−mx) et la force d’excitation (f(t)). En effet, on a :

−kx− cx−mx+ f(t) = 0 (3.164)

L’excitation sinusoıdale F cos(ωt+ΦF ), de pulsation ω, est representee par le complexe Fejωt,F etant le substitut complexe constant qui y correspond. La reponse sinusoıdale X cos(ωt+ΦX),egalement de pulsation ω, est representee par le nombre complexe Xejωt, X etant le substitutcomplexe correspondant.

On a donc :−kXejωt − jcωXejωt −mω2Xejωt + Fejωt = 0 (3.165)

Et :−kX − jcωX −mω2X + F = 0 (3.166)

Chacun des substituts complexes peut etre represente dans le plan complexe en supposantpar exemple que ΦF = 0, ce qui implique que F = FejΦF = F est dirige dans ce cas selon l’axereel.

1. Aux basses frequences

La figure 3.24 represente ces vecteurs pour Ω < 1 (ω < ω0).

Fig. 3.24 – Contributions dans le plan complexe si Ω < 1

X est dephase de l’angle Φ < π/2 par rapport a F .

−kX est oppose aX, −jωcX est dephase de π/2 par rapport a −kX, etmω2X est parallelea X.

La somme de −kX − jcωX +mω2X donne l’oppose de F .

2. Aux hautes frequences

La figure 3.25 represente ces vecteurs pour Ω > 1 (ω > ω0), pour lequel le dephasage Φest compris entre π/2 et π.

3. A la resonance

La figure 3.26 se rapporte a la resonance (Ω = 1 (ω = ω0), pour laquelle le dephasage Φ estegal π/2. A la resonance, la force d’elasticite compense exactement la reaction d’inertie, etla force F n’est compensee que par les forces d’amortissement, ce qui justifie une reponseimportante si le coefficient d’amortissement est faible.



Fig. 3.25 – Contributions dans le plan complexe si Ω < 1

Fig. 3.26 – Contributions dans le plan complexe si Ω = 1

3.3.5 Aspects energetiques du comportement d’un systeme mecaniqueamorti soumis a une excitation harmonique

L’equation differentielle du mouvement correspond a la somme des 4 termes se rapportantaux forces elastiques (−kx), aux forces d’amortissement (−cx), aux forces d’inertie (−mx) et laforce d’excitation (f(t))

−kx− cx−mx+ f(t) = 0 (3.167)

Multiplions par la vitesse x afin de faire apparaıtre les puissances developpees par chacunede ces forces :

−kxx− cxx−mxx+ f(t)x = 0 (3.168)

3.3.5.1 Energie developpee par la force d’excitation harmonique durant un cycle

Considerons la force sinusoıdale f(t) = Fcos(ωt+ ΦF ) qui developpe une puissance instan-tanee P (t) s’exprimant par :

P (t) = f(t)x(t) = F cos(ωt+ ΦF ) (−Xω sin(ωt+ ΦF − Φ)) (3.169)

le deplacement x(t) = X cos(ωt+ ΦF − Φ) et la vitesse x(t) = −Xω sin(ωt+ ΦF − Φ)

P (t) = −FXω cos(ωt+ ΦF ) sin(ωt+ ΦF − Φ)) (3.170)



Apres developpement9, on a :

P (t) = −FXω1

2

(

sin(2ωt+ 2ΦF − Φ) − sinΦ

)

(3.171)

Il s’agit d’une fonction sinusoıdale de pulsation 2ω, oscillant autour de la valeur moyennePmoy

Pmoy =1

2FXω sinΦ

L’energie fournie durant un cycle de duree T est egale a

Efournie / cycle =

∫ T

0fxdt = −FXω

(∫ T

0

1

2sin(2ωt+ 2ΦF − Φ)dt−

∫ T

0sinΦdt

)

(3.172)

Efournie / cycle = πFX sinΦ (3.173)

Si Φ est le retard (dephasage) de la reponse d’amplitude X sur l’excitation d’amplitude F ,l’energie fournie par cycle est proportionnelle au produit FX des amplitudes de la reponse etde l’excitation ainsi qu’au sinus Φ de l’angle de dephasage de la reponse sur l’excitation.

3.3.5.2 Egalite sur un cycle entre l’energie dissipee par l’amortisseur et l’energiefournie

On peut demontrer que la puissance fournie par cycle par l’excitation est dissipee entierementpar l’amortissement durant un cycle.

En effet, la puissance developpee par la reactions d’inertie −mxx peut s’exprimer en fonctionde l’energie cinetique T par :

−mxx = −dTdt

(3.174)

De meme, la puissance developpee par la force elastique −kxx peut s’exprimer en fonctionde l’energie potentielle V par :

−kxx = −dVdt

(3.175)

Integrons sur un cycle (puisque la reponse est periodique sinusoıdale) :

∫

cycle−dV +

∫

cycle−cx2dt+

∫

cycle−dT +

∫

cyclef(t)xdt = 0 (3.176)

9Rappel de trigonometrie :

sin(a + (a − b)) = sin a cos(a − b) + cos a. sin(a − b)

sin(a − (a − b)) = sin a cos(a − b) − cos a. sin(a − b)

La difference entre ces relations donne

sin(a + (a − b)) − sin(a − (a − b)) = 2 cos a. sin(a − b)

Et

cos a. sin(a − b) =1

2(sin(a + (a − b)) − sin(a − (a − b))



Le mouvement etant harmonique, les energies potentielles en debut et en fin de cycle sontidentiques, de meme que les energies cinetiques en debut et en fin de cycle. D’ou :

∫

cycle−dV = 0

∫

cycle−dT = 0 (3.177)

La somme de l’energie fournie au systeme par la force f(t) et l’energie dissipee (de signenegatif) par les forces d’amortissement durant un cycle est donc nulle :

∫

cycle−cx2dt+

∫

cyclef(t)xdt = 0 (3.178)

L’energie dissipee Ediss / cycle(en valeur absolue) dans l’amortisseur vaut donc l’energie four-nie par cycle :

Ediss / cycle =

∫

cyclecx2dt =

∫

cyclef(t)xdt = Efournie / cycle (3.179)

3.3.5.3 Energie dissipee par l’amortisseur durant un cycle

Dans le cas d’un mouvement harmonique, l’energie dissipee durant un cycle peut donc s’ex-primer par :

Ediss/cycle =

∫

cyclecX2ω2 sin2(ωt+ ΦF − Φ)dt =

∫ T

0cX2ω2 sin2(ωt+ ΦF − Φ)dt(3.180)

=

∫ 2π

0cX2ω sin2(ωt− Φ)d(ωt) = cX2ω

∫ 2π

0sin2(ωt− Φ)d(ωt) (3.181)

= cX2ω

∫ 2π

0

(1 − cos2(ωt− Φ))

2d(ωt) = cX2ω

1

2

∫ 2π

0d(ωt) (3.182)

La puissance dissipee vaut doncEdiss = πcωX2 (3.183)

L’energie dissipee durant un cycle est proportionnelle au carre de l’amplitude X de la vi-bration ainsi qu’au coefficient d’amortissement c et a la pulsation ω.

Déplacement x(t)

Force f(t)

Fig. 3.27 – Force harmonique en fonction du deplacement harmonique correspondant - Propor-tionnalite de l’energie dissipee par cycle par rapport a la surface fermee



Les conclusions suivantes peuvent etre deduites pour un systeme mecanique a un degre deliberte de caracteristiques (m, k, c) :

– Si on porte en graphique (Fig. 3.27) la force d’excitation f(t) en fonction du deplacementx(t) pour des temps variant de 0 a la periode T , l’energie fournie par la force d’excitationharmonique est proportionnelle a l’aire de la surface fermee formee. En effet,

Efournie / cycle =

∫

f(t)xdt =

∫

f(x)dx (3.184)

– cette aire est proportionnelle au sinus de l’angle Φ decrivant le dephasage de la reponsesunusoıdale d’amplitude X par rapport a la force sinusoıdale d’amplitude F :

Efournie / cycle = πFX sinΦ (3.185)

– cette aire donne une image de la dissipation d’energie par cycle, d’autant plus importanteque le coefficient d’amortissement c est grand :

Efournie / cycle = Pdiss / cycle = πcωX2 (3.186)

– l’energie fournie durant un cycle par la force d’amplitude F est maximum pour unepulsation d’excitation egale a la pulsation de resonance car Φ = π/2 et Efournie/cycle =πFX sin Φ

3.3.6 Reponse dans le cas particulier (theorique) ou l’amortissement est nul

Si le coefficient d’amortissement c est nul, on recherche dans ce cas la solution de l’equationdifferentielle

mx+ k x = F cos(ωt+ ΦF ) (3.187)

satisfaisant aux conditions initiales x(0) = x(0) = 0.

Si ω 6= ω0, les calculs precedents restent valables, mais le terme que l’on avait appele transi-toire devient sinusoıdal et ne disparaıt plus avec le temps. En regime, la reponse sera la super-position de deux sinusoıdes, l’une de pulsation ω, independante des conditions initiales, l’autrede pulsation ω0, en dependant.

x(t) = Ce−ξω0t cos(ω0t+ ψ) +X cos(ωt+ ΦX) (3.188)

Si ω = ω0, le calcul de la reponse harmonique n’est plus valable. L’equation 3.187 admetune solution particuliere

x(t) =Fω0

2kt sin(ω0t+ ΦF ) (3.189)

l’equation homogene admettant la solution generale

x = C cos(ω0t+ ψ) (3.190)

La solution sera donc :

x(t) = C cos(ω0t+ ψ) +Fω0

2kt sin(ω0t+ ΦF ) (3.191)



avec

x(0) = 0 = C cosψ (3.192)

x(0) = 0 =Fω0

2ksinΦF − Cω0 sinψ (3.193)

relations d’ou l’on peut deduire les constantes C et ψ.

Le mouvement resultant sera un mouvement oscillatoire de periode T0 dont l’amplitudeaugmente indefiniment avec le temps. Ce cas particulier est toutefois purement theorique, lessystemes reels etant toujours amortis.

3.4 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte sou-mis a des forces elastiques et dissipatives, ainsi qu’a uneexcitation provoquee par la rotation d’un balourd


Considerons le cas d’un solide S de masse M pouvant osciller sans perte en translation selonl’axe x horizontal et solidaire d’un axe de rotation Oz autour duquel peut tourner a vitesseangulaire constante ω un balourd caracterise par sa masse m0 et sa distance r0 (au point P ) parrapport a l’axe Oz (Fig. 3.28).

Fig. 3.28 – Excitation par balourd en rotation

L’equation differentielle du mouvement selon l’axe x est obtenue de la facon suivante si xest l’ecart par rapport a la configuration d’equilibre

−kx− cx−Mx−m0~aP/s~ux = 0 (3.194)

Or~aP/s = ~aP/S + ~aPS/s + 2~ωS/s ∧ ~vP/S (3.195)

L’acceleration de Coriolis etant nulle, le solide S etant en translation, on obtient

~aP/s = ~aP/S + ~aPS/s = ω2r0~un + x ~ux (3.196)

~un etant le vecteur unitaire centripete. D’ou

−kx− cx−Mx−m0(ω2r0~un + x~ux)~ux = 0 (3.197)



−kx− cx−Mx−m0ω2r0cos(ωt+ ΦF ) −m0x = 0 (3.198)

ωt etant l’angle que fait le balourd avec la direction Ox, et nous supposerons qu’a l’instantinitial, ΦF est l’angle que fait la direction OP du balourd avec Ox.

D’ou :(M +m0)x+ cx+ kx = m0ω

2r0 cos(ωt+ ΦF ) (3.199)

La forme generale, si m est la masse totale (m = M +m0), devient :

mx+ cx+ kx = m0r0ω2 cos(ω t+ ΦF ) (3.200)

Si on fait apparaıtre la pulsation propre ω0 et le degre d’amortissement reduit ξ, on a

x+c

mx+

k

mx =

m0r0m

ω2 cos(ωt+ ΦF ) (3.201)

x+ 2ξω0x+ ω20x =

m0r0m

ω2cos(ωt+ ΦF ) (3.202)

3.4.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Courbe de gain G2

Le passage aux substituts complexes donne :

−ω2Xejωt + 2ξω0jωXejωt + ω2

0Xejωt =

m0r

mω2ej(ωt+ΦF ) (Re) (3.203)

−ω2X + 2jωξω0X + ω20X =

m0r

mω2ejΦF (Re) (3.204)

X =m0rm ω2ejΦF

ω20 − ω2 + 2jωξω0

(3.205)

Si on introduit la pulsation reduite Ω = ωω0

, le substitut complexe X de la reponse du systemes’exprime par :

X =m0rm Ω2ejΦF

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.206)

On peut rendre cette fonction de transfert non dimensionnelle. On pose generalement Xeq =m0r0/m qui represente10 la distance equivalente du centre de gravite d’un systeme de masse m,qui conduirait a un meme desequilibre m0r0.

Le rapport non dimensionnel entre l’amplitude de la reponse dynamique X et cette distanceequivalente Xeq est appele le gain G2. De facon generale, on appellera la fonction complexe gainG2, la fonction dont l’amplitude est le gain G2, et s’exprimant par :

X

XeqejΦF= G2 =

Ω2

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.207)

ouXejΦX

XeqejΦF=

Ω2

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.208)

10On verra qu’il s’agit aussi du deplacement que l’on aurait pour une excitation a frequence elevee.



Fig. 3.29 – Courbes de gain et de dephasage pour la fonction G2 - Exemple

Si on examine cette reponse sur le plan de l’amplitude (Fig. 3.29), on obtient le gain G2 :

G2 =X

m0r0/m=

X

Xeq=

Ω2

√

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.209)

Sur le plan de la phase, on a :

ΦX − ΦF = + argΩ2

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.210)

ΦX − ΦF = − arctan2ξΩ

1 − Ω2(3.211)

Si on pose :ΦX = ΦF − Φ (3.212)

Φ represente le dephasage de la reponse x(t) par rapport a l’excitation de phase ΦF , de tellefacon que la reponse x(t) s’exprime sous la forme generale :

x(t) = X cos(ωt+ ΦF − Φ) (3.213)

D’ou, l’expression du dephasage identique au cas precedent (courbe G1) :

Φ = arctan2ξΩ

1 − Ω2(3.214)

Analyse detaillee de l’evolution frequentielle de la fonction gain G2 et du dephasage

L’etude de cette fonction G2 appelle les commentaires suivants (Fig. 3.30) :

– Aux basses frequences :G2(Ω → 0) ∼ Ω2

– Aux hautes frequences :G2(Ω → ∞) ∼ 1



Fig. 3.30 – Courbes de gain et de dephasage pour la fonction G2. Effet de l’amortissement

– A la resonance (Ω ∼ 1)dG2

dΩ= 0 pour Ω → ∞ et Ω∗ =

1√

1 − 2ξ2:

Elle passe par un maximum si

ξ ≤ 1√2∼ 70% ; ce maximum vaut G2max =

1

2ξ

1√

1 − ξ2. Si ξ ≪ 1, le maximum est voisin

du point a la resonance.

– La courbe correspondant a ξ =1√2∼ 70% est la plus voisine de l’horizontale G2 = 1

3.4.3 Force dynamique transmise au sol - Courbe de transmissibilite T

Interessons-nous a la force dynamique transmise au sol. Dans le cas d’une machine tournante,le choix de la suspension sur laquelle repose la machine doit se faire de telle facon a minimisercette force transmise, responsable des vibrations sur l’environnement.

On sait que dans le domaine temporel, cette force correspond a la somme des contributionsde la force elastique passant par le ressort et la force dissipative passant par l’amortisseur.

fdyn = kx(t) + cx(t) (3.215)

Comme il s’agit de la somme de deux contributions sinusoıdales de meme pulsation ω, laforce dynamique transmise au sol est egalement un fonction sinusoıdale de pulsation ω. En termede substituts complexes, on a donc :

F dyn = kX + jωcX = (k + jωc)X (3.216)

D’ou, le substitut complexe de la force dynamique transmise s’exprime par :

F dyn = (k + jωc)m0rm ω2ejΦF

ω20 − ω2 + 2jωξω0

(3.217)



Si on poseFexc = m0rω

2 (3.218)

cette force represente l’amplitude de la force sinusoıdale qui serait transmise au sol sous l’effet dela rotation a vitesse ω d’un balourdm0r, s’il n’y avait aucune suspension (il s’agit de la projectionsur Ox de la reaction d’inertie −m0ω

2r~un qui serait dans ce cas reprise par la reaction du sol).

On obtient alors :

F dyn

FexcejΦF=

(k + jωc)

m

1

ω20 − ω2 + 2jξωω0

=ω2

0 + j2ξω0ω

ω20 − ω2 + 2jξωω0

(3.219)

On introduit classiquement la pulsation reduite en divisant le numerateur et le denominateurpar ω2

0 :Fdyn

FexcejΦF=

1 + j2ξΩ

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.220)

Le rapport entre l’amplitude Fdyn de la force transmise pour le systeme amorti et l’amplitudeFexc de la force que l’on transmettrait s’il n’y avait pas de systeme amortisseur porte le nom detransmissibilite T .

La fonction complexe transmissibilite T est definie par le rapport entre F dyn et FexcejΦF :

T =F dyn

FexcejΦF=

1 + j2ξΩ

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.221)

L’amplitude de cette transmissibilite T , representee sur la figure 3.31, est le parametreimportant qui permet d’evaluer les propreites d’isolation vibratoire d’une suspension :

T =Fdyn

Fexc=

√

1 + (2ξΩ)2

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.222)

On peut en deduire que pour qu’il y ait attenuation de la force dynamique transmise ausol, il faut necessairement que la transmissibilite T soit < 1. On peut demontrer que l’abscissedu point d’intersection de la courbe de transmissibilite avec la droite T = 1 vaut Ω =

√2 ou

ω = ω0

√2 (pulsation de coupure).

Un effet d’attenuation de la force dynamique transmise au sol est donc obtenu si la pulsationd’excitation ω depasse la pulsation propre ω0 multipliee par

√2 :

Ω >√

2 ou ω >√

2ω0 (3.223)

Cette condition permet de determiner la valeur maximale de la raideur k qui permetd’attenuer la force dynamique transmise au sol et donc les vibrations induites sur l’environ-nement. En effet,

ω2 > 2ω20 = 2

k

m(3.224)

D’ou :

k <mω2

2(3.225)

Dans le cas d’un moteur dont le bati est place sur sa suspension, la raideur est limitee versle haut par cette valeur limite au-dela de laquelle les vibrations induites sur l’environnementseraient amplifiees. Si on a interet a assouplir la suspension, la raideur est toutefois limitee versle bas par des contraintes touchant essentiellement le deplacement en translation de la masse



Fig. 3.31 – Evolution de la transmissibilite avec la pulsation reduite - Exemple

en statique, afin de ne pas aller au-dela de la deflexion maximale statique ∆max. Comme ladeflexion statique ∆ peut etre determinee a partir du bilan de forces statiques, on a donc :

k∆ = mg et ∆ =mg

k< ∆max (3.226)

D’ou :k >

mg

∆max(3.227)

La raideur k de la suspension est donc comprise entre deux valeurs limites :

mg

∆max< k < 2mω2 (3.228)

m etant la masse du systeme, ω est sa vitesse de rotation, ∆max est la deflexion statique maximale

D’autre part, l’amortissement a la resonance permet de limiter la transmissibilite puisquelorsque ξ augmente, la transmissibilite diminue dans la zone de la resonance (Ω ∼ 1). Parcontre, dans la zone d’attenuation (Ω >

√2), lorsque le degre d’amortissement ξ augmente, la

transmissibilite T diminue et assure donc une meilleure isolation de l’environnement par rapportau moteur en rotation.

Pour autant que le choix de l’amortissement puisse etre realise (le choix de la raideur etantprioritaire), les caracteristiques d’amortissement sont limitees vers la bas par le comportementa la resonance, et vers la haut par les qualites d’isolation dynamique de la machine au-dela dela resonance de la suspension.



Fig. 3.32 – Evolution de la transmissibilite en fonction de la pulsation. Effet de l’amortissement

3.5 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte sou-mis a des forces elastiques et dissipatives, ainsi qu’a uneexcitation par la base


Considerons un systeme de masse m relie par un ressort de raideur k et un systeme amor-tisseur de coefficient c, a une base animee d’un mouvement sinusoıdal xB(t) = XBsin(ωt+ ΦF )(Fig. 3.33).

Fig. 3.33 – Excitation par la base

L’equation differentielle du mouvement selon l’axe x est obtenue de la facon suivante si xa



est l’ecart par rapport a la reference

−k(xa − xB − L0) − c(xa − xB) −mxa = 0 (3.229)

−k(xa − L0) + kxB − cxa + cxB −mxa = 0 (3.230)

D’oumxa + cxa + k(xa − L0) = kxB + cxB (3.231)

Si on pose x = xa − L0, et compte tenu du fait que x = xa et x = xa, on a la forme generalesuivante

mx+ cx+ kx = kxB + cxB (3.232)

Si on fait apparaıtre la pulsation propre ω0 et le degre d’amortissement ξ, on a :

x+c

mx+

k

mx =

k

mxB +

c

mxB (3.233)

x+ 2ξω0x+ ω20x = ω2

0xB + 2ξω0xB (3.234)

3.5.2 Mouvement sinusoıdal en regime - Courbe de transmissibilite T

Si on passe aux substituts complexes, on a

−ω2X + 2ξω0jωX + ω20X = ω2

0xB + 2ξω0jωXB (3.235)

(ω20 − ω2 + 2ξω0jω)X = (ω2

0 + 2jωξω0XB (3.236)

X =ω2

0 + 2jωξω0

ω20 − ω2 + 2jωξω0

XB (3.237)

Si on introduit la pulsation reduite Ω = ωω0

, le rapport entre d’une part, le substitut complexesX de la reponse du systeme et d’autre part, le substitut complexe XB decrivant le mouvementd’excitation par la base, est appele la fonction complexe de transmissibilite T , s’exprimant par :

T =X

XB

=1 + 2jξΩ

1 − Ω2 + 2jξΩ(3.238)

L’expression de cette transmissibilite est identique a celle obtenue dans le cas du rapportentre force dynamique et force d’excitation transmise au sol pour un systeme a un degre deliberte excite par un balourd en rotation.

Analyse detaillee de l’evolution frequentielle de la fonction transmissibilite T

Si on examine cette reponse sur le plan de l’amplitude, la transmissibilite T , qui representele rapport entre l’amplitude X de la vibration de la masse m et l’amplitude XB de la vibrationimposee a la base (donc de la vibration que l’on imposerait a la masse s’il n’y avait pas desysteme amortisseur) s’exprime par :

X

XB=

√

1 + (2ξΩ)2

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.239)



Fig. 3.34 – Evolution de la transmissibilite en fonction de la pulsation reduite

qui est donc la meme relation que celle s’appliquant dans le cas d’un systeme excite par unbalourd quant au rapport entre l’amplitude Fdyn de la force transmise pour le systeme amortiet l’amplitude Fexc de la force que l’on transmettrait s’il n’y avait pas de systeme amortisseur(Fig. 3.34).

On peut donc deduire les memes conclusions que precedemment pour le choix de la sus-pension destinee a attenuer les vibrations d’un systeme a proteger par rapport aux vibrationsvenant du milieu exterieur et transmises par le sol (Fig. 3.35), a savoir :

– Un effet d’attenuation du mouvement provenant du sol est obtenu si la pulsation d’exci-tation ω depasse la pulsation propre ω0 multipliee par

√2 :

Ω >√

2 ou ω >√

2ω0 (3.240)

– La raideur k de la suspension est donc comprise entre deux valeurs limites :

mg

∆max< k <

mω2

2(3.241)

m etant la masse du systeme, ω est la pulsation d’excitation dominante venant du sol,∆max est la deflexion statique maximale.

– Pour autant que le choix de l’amortissement puisse etre realise (le choix de la raideuretant prioritaire), les caracteristiques d’amortissement sont limitees vers la bas par lecomportement a la resonance, et vers la haut par les qualites d’isolation dynamique de lamachine au-dela de la resonance de la suspension.



Fig. 3.35 – Evolution de la transmissibilite T en fonction de la pulsation reduite pour diversdegres d’amortissement ξ

3.6 Mouvement force d’un systeme a un degre de liberte sou-mis a des forces elastiques et dissipatives, ainsi qu’a uneexcitation periodique

3.6.1 Rappels sur la decomposition en series de Fourier

Considerons la fonction periodique f(t) = f(t+ T ), de periode T .

On demontre (theoreme de Dirichlet) que la fonction periodique f(t) peut etre, sous certainesconditions, developpee en une somme de contributions sinusoıdales de la forme :

f(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos(nωt+ ψn) (3.242)

Le terme constanta0 correspond a la valeur moyenne de la fonction sur une periode 11 :

a0 =1

T

T∫

0

f(t)dt (3.243)

11qui peut etre considere comme une sinusoıde de pulsation nulle.



La pulsation fondamentale ωF est la pulsation se rapportant a la periode T de la fonction,et est definie par :

ωF =2π

T(3.244)

Les coefficients an et ψn decrivent l’amplitude et la phase de la sinusoıde correspondantean cos(nωt + ψn) de pulsation nωF , n etant un nombre entier (egalement appele l’harmoniqued’ordre n).

an cosψn =2

T

T∫

0

x(t) cos(nωF t)dt et − an sinψn =2

T

T∫

0

x(t) sin(nωF t)dt (3.245)

L’evolution des amplitudes an en fonction de la pulsation nωF sera appelee le spectreen amplitude de la fonction periodique f(t)12. L’evolution des phases φn en fonction de lapulsation nωF sera appelee le spectre en phase de la fonction periodique f(t). Rechercher lesan et ψn, c’est faire l’analyse harmonique (ou analyse frequentielle) du signal de f(t).

t

x(t)

0 T/ 2 T 3T/ 2 2T

1

0.5

Fig. 3.36 – Fonction ”dent de scie”

Ainsi, par exemple, pour la fonction en ”dent de scie” de la figure 3.36, on obtient ledeveloppement suivant :

f(t) =1

2+

4

π2

∑

n=1,3,5···

1

n2cos(2πn

t

T+ π) (3.246)

Les amplitudes an diminuent rapidement avec le rang n (an = 4π2

1n2 ). Les dephasages ψn

sont tous egaux a π (Fig. 3.37).

En pratique, le rapportanaN

≪ 1 a partir d’un certain rang N , de sorte que l’on pourra

limiter la serie :

f(t) ∼ a0 +N∑

n=1

cos(nωt+ ψn) (3.247)

12L’amplitude continue a0 correspond a la pulsation ω = 0.



0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Harmonique

Spectre en amplitude

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

Harmonique

Spectre en phase (rad)

Fig. 3.37 – Spectres en amplitude et en phase de la fonction ”dent de scie”

3.6.2 Etude de la reponse de regime lorsque l’excitation est periodique

Considerons le systeme classique masse-ressort-amortisseur de la figure 3.38, dont l’equationdifferentielle du mouvement est

mx+ cx+ kx = f(t) (3.248)

Fig. 3.38 – Masse en mouvement horizontal sans perte soumise a une force f

Supposons que l’excitation f(t) soit une fonction periodique que l’on peut decomposer enseries de Fourier :

f(t) = F0 +∞∑

n=1

Fn cos(nωt+ ΦFn) (3.249)

de sorte que l’equation differentielle du systeme est

mx+ cx+ kx = F0 +∞∑

n=1

Fn cos(nωt+ ΦFn) (3.250)



Le systeme etant lineaire, on obtiendra la reponse de regime en additionnant les reponses deregime que donneraient separement les differents termes de l’excitation d’entree s’ils agissaientseuls :

x(t) =F0

k+

∞∑

n=1

FnkG1(nΩ) cos(nωt+ ΦFn − Φ(nΩ)) (3.251)

avec Ω = ωω0

, G1 et Φ etant les valeurs des fonctions gain G1 et dephasage Φ se rapportanta la reponse harmonique d’un systeme excite par une fonction sinusoıdale, pour des pulsationsegales a nΩ, a savoir :

G(nΩ) =1

√

(1 − n2Ω2)2 + (2ξnΩ)2(3.252)

tan Φ(nΩ) =2ξnΩ

1 − n2Ω2(0 ≤ φ ≤ π) (3.253)

On obtient de cette maniere la serie de Fourier se rapportant a la reponse qui est evidemmentperiodique, de periode T .

3.6.3 Application a la dynamique des systemes mecaniques : importance dudomaine frequentiel pour les vibrations mecaniques

Pour un systeme mecanique lineaire, la linearite se marque dans le domaine frequentiel danslequel pour chaque composante frequentielle, il y a linearite entre reponse et excitation.

En effet, la composante d’ordre n de la reponse Xn s’exprime en amplitude par

Xn =FnkG1(nΩ) (3.254)

et en phase parΦn = ΦFn − Φ1(nΩ) (3.255)

Fig. 3.39 – Linearite dans le domaine frequentiel



Lorsqu’un systeme mecanique a un degre de liberte est excite par une force f(t) periodique,les composantes frequentielles dominantes au niveau de la reponse peuvent correspondre :

– soit aux pulsations dominantes provenant de l’excitation (pour lesquelles Fn sont les plusimportantes)

– soit a la pulsation propre caracteristique du systeme (nΩ ∼ 1) pour laquelle G1(nΩ = 1)presente un maximum. A la pulsation propre, le systeme est particulierement flexible(une petite force peut causer une reponse importante a la resonance).

Ces conclusions peuvent etre extrapolees aux systemes mecaniques en general (systemescontinus ou a plusieurs degres de liberte presentant un ensemble de frequences propres) etpour des excitations quelconques. Le domaine frequentiel et ses proprietes de linearite est ledomaine le plus adapte pour poser un diagnostic sur l’origine de vibrations excessives d’unsysteme mecanique, celles-ci pouvant etre associees soit aux faiblesses dynamiques du systeme(aux pulsations de resonance pour lesquelles le systeme est particulierement flexible), soit al’excitation elle-meme, lorsqu’elle presente des composantes frequentielles dominantes.

3.6.4 Application en metrologie : reproduction d’un signal d’entree

Supposons que l’on desire reproduire un signal d’entree, c’est-a-dire obtenir un signal desortie x(t) proportionnel au signal d’entree f(t) (Cas d’un appareil de mesure par exemple).

Les harmoniques du signal d’entree sont donc traites differemment en fonction de leur pul-sation nΩ. On dit que les harmoniques de la reponse subissent une distorsion d’amplitude et unedistorsion de phase. En general, quel que soit ξ, le gain diminue si n augmente suffisamment, desorte que les harmoniques de rang eleve sont attenues vis-a-vis de ceux de rang inferieur.

Pour atteindre la proportionnalite entre signal d’entree et signal de sortie, 2 methodes sontpossibles :

Fig. 3.40 – Metrologie

1. Rendre nΩ < 1 et ξ ∼ ξopt =√

2/2 ∼ 70%



t

F(t) r (t)

0 τ T 2T

Fig. 3.41 – Reproduction d’un signal a un delai pres

En effet, on sait que pour ξ = 1/√

2, la courbe de gain G1 est la plus voisine de G1 = 1(G1 = 0.97 pour Ω = 0.5) et que la loi du dephasage est quasi lineaire (φ ∼

√2Ω), de sorte

que :

x(t) ∼ F0

k+

∞∑

n=1

Fnk

1 cos(nωt+ ΦFn −√

2iΩ)

=1

k

(

F0 +

∞∑

n=1

Fn cos

(

nω

(

t−√

2

2πT0

)

+ ΦFn

))

=1

kf(t− τ)

avec τ =√

22π T0 = 0.225T0

La reponse x(t) est bien proportionnelle a l’entree f(t), avec un certain delai τ . Ce delaiτ = 0.225T0 = 0.225

n nΩT sera petit par rapport a la periode T de l’entree.

2. Rendre nΩ ≪ 1 et ξ ≪ 1

Dans ce cas, G1(iΩ) ∼ 1 et φ(iΩ) ∼ 0, de sorte que x(t) ∼ 1kf(t)

3.7 Reponse indicielle d’un systeme mecanique lineaire a undegre de liberte soumis a des forces elastiques et dissipatives


La reponse indicielle, notee g(t), est la reponse a une entree egale a l’echelon unitaire deforce Fu u(t) agissant sur le systeme schematise a la figure 3.38, Fu = 1N etant egal a une unitede force (u(t) est sans dimension).

Il s’agit de la solution de l’equation differentielle

mx+ c x+ k x = Fuu(t) (3.256)

satisfaisant les conditions initiales x(0) = 0 et x(0) = 0 (systeme initialement au repos).

Une solution particuliere de l’equation non homogene, pour t > 0, est evidemment gr = Fu/k(solution en regime).



Si gt = x(t, C, ψ) est la solution generale de l’equation homogene (assurant l’evolution tran-sitoire), pour t > 0, la solution globale est donc :

g(t) = gt(t) + gr(t) = gt(t, C, ψ) +Fuk

(3.257)

En utilisant les resultats obtenus precedemment pour la solution transitoire dans le casd’un amortissement faible (ξ < 1 (solution de l’equation differentielle homogene), il vientimmediatement (t > 0) :

g(t)

g(∞)= 1 − 1

√

1 − ξ2e−ξω0t cos(ωat− ψ) (3.258)

si ωa =√

1 − ξ2ω0 et ψ = arctan ξ√1−ξ2

(0 ≤ ψ ≤ π2 ) ;

g(∞) =Fuk

(avec Fu = 1) est la nouvelle position de repos atteindre asymptotiquement,

appelee valeur de regime.

Quelques reponses indicielles13 sont portees en graphique en fonction de ξ, a la figure 3.42.

Fig. 3.42 – Reponse indicielle

Si ξ < 1, g(t) passe la premiere fois par la position g(∞) a l’instant t∗ = (π/2 + ψ)/ωa en

particulier, si ξ =√

2/2 ∼ 70%,t∗

T0=

3

8

√2 = 0.530

13Si ξ est faible, g(t) oscillera tres longtemps avant de tendre vers la nouvelle position de repos. Si ξ est grand,g(t) tendra tres lentement vers cette position



3.7.2 Utilisation de la reponse indicielle en metrologie

La reponse indicielle joue un role important dans la pratique en metrologie. C’est la reponse ades commandes brusques. Dans la plupart des questions techniques, on desire que g(t) se stabilisele plus rapidement possible a sa valeur de regime et avec une bonne precision, c’est a dire sanstrop depasser cette valeur de regime. Analysons ces deux qualites generalement demandees auxsystemes.

– Rapidite

On demontre que le temps reduit t′/T0, apres lequel l’ecart reduit

∣∣∣∣

(g(t) − g(∞))

g(∞)

∣∣∣∣

reste

definitivement inferieur a 5%, est minimum pour un degre d’amortissement ξ de 70%(∼

√2/2). Pour cette valeur de ξ, t′/T0 = 0.43.

– Precision

Il faut eviter que le depassement(gmax − g(∞))

g(∞)ne soit trop important. Le depassement

vaut 100% pour ξ = 0 (mouvement sinusoıdal) et est nul pour (ξ = 1) (mouvementaperiodique). Le depassement est de 4% seulement pour ξ = 70%.

L’amortissement optimal ne peut etre mathematiquement defini, car son choix resulte d’uncompromis entre la precision et la rapidite de la reponse. Les considerations precedentes montrentqu’en pratique, un amortissement de 70% donne satisfaction a tout point de vue. L’amortisse-ment de 70% sera optimal pour la reponse fidele a des signaux d’entree.

En fait, si ξ = 70%, comme chaque oscillation maximale autour de la valeur de regimen’atteint que 11% de la precedente (1/q = e−Λ = 11%) et que la premiere vaut 4% de la valeurde regime, le caractere oscillatoire du phenomene disparaıt.

3.7.3 Utilisation de la reponse indicielle pour la determination de la reponsea une excitation quelconque

La connaissance de la reponse indicielle d’un systeme caracterise entierement le systemelineaire considere. La reponse x(t) a une entree quelconque f(t) peut en effet etre calculee si onconnaıt la reponse indicielle g(t). Cette theorie peut se demontrer de maniere intuitive commesuit (Fig. 3.43).

Considerons une excitation d’entree f(t) commencant brusquement en t = 0. f(t) peut etredecompose comme suit14 :

f(t) ∼ f(0+)u(t) + (f(τ1) − f(0+))u(t− τ1) + (f(τ2) − f(τ1))u(t− τ2) + · · · (3.259)

soit15 :

f(t) ∼ f(0+)u(t) +∞∑

i=1

f(τi) − f(τi−1)

τi − τi−1(τi − τi−1)u(t− τi) (3.260)

Lorsque la norme du partage tend vers zero, on obtient a la limite :

f(t) = f(0+)u(t) +

∞∫

0+

df(τ)

dτu(t− τ)dτ (3.261)

14La notation u(t − τ) correspond a l’echelon unitaire u = 1 a partir de t=τ15La notation 0+ tient compte de la discontinuite a l’origine, la fonction valant 0 en O− et f(O+) en 0+



f(0+)

f(τ1)

f(τ2)

f(τ3)

τ1

τ2

τ3

τ40+

f(τ4)

f(t)

Temps t

Fig. 3.43 – Utilisation de la fonction echelon pour recomposer une excitation f(t) quelconque

ou puisque u(t− τ) = 0 si t < τ ,

f(t) = f(0+)u(t) +

t∫

+0

df(τ)

dτu(t− τ)dτ (3.262)

L’equation differentielle etant lineaire et permanente, la reponse s’exprime par :

x(t) = f(0+) g(t) +

t∫

0+

df(τ)

dτg(t− τ)dτ (3.263)

En integrant par parties, on verifie aisement que

x(t) = g(0+) f(t) +

t∫

0+

dg(τ)

dτf(t− τ)dτ (3.264)

ou

x(t) =

t∫

0

dg(τ)

dτf(t− τ)dτ (3.265)

(puisque g(0+) = g(0) )



3.8 Reponse impulsionnelle des systemes a un degre de liberte(ou reponse balistique)


La reponse impulsionnelle x(t) = z(t) est la reponse a une impulsion de Dirac unitaire deforce. C’est la solution particuliere de l’equation differentielle

mx+ cx+ kx = Puδ(t) (3.266)

avec x(0) = x(0), Pu etant egal a une unite de force fois une unite de temps (δ(t) a pourdimension l’inverse d’un temps.

L’impulsion Puδ(t) correspond a une force f(t) exercee durant un intervalle tI et tel que lasurface sous-tendue par la courbe f(t) tend vers l’impulsion unitaire Pu lorsque cet intervalle tItend vers 0 :

limtI→0

∫ tI

0f(t)dt = Pu Pu etant l’impulsion unitaire (3.267)

En pratique, une reponse impulsionnelle sera creee par une force d’entree variant rapide-ment pendant un intervalle de temps tres bref, negligeable par rapport a la periode propreT0 du systeme (un choc par exemple). On peut donc determiner la reponse impulsionnelle enconsiderant :

– que le systeme est soumis a l’impulsion unitaire Pu pendant l’intervalle de temps comprisentre l’instant 0 et l’instant 0+ a la fin de l’impulsion.L’application du theoreme de la quantite de mouvement durant cet intervalle aboutit a :

mx(0+) −mx(0) =

∫

f(t)dt = Pu (3.268)

Comme les conditions initales sont nulles (x(0) = 0) et la vitesse a la sortie de la phasede percussion s’exprime par :

x(0+) =Pum

(3.269)

– que le systeme evolue ensuite librement, en respectant a l’instant initial, les conditions devitesses correspondant a la fin de la phase d’impulsion.Il s’agit d’une reponse en mouvement libre correspondant aux conditions initiales suivantesx(0+) = 0 et x(0+) = Pu

mComme la position initiale est nulle, la forme generale de la reponse libre utilise la fonctionsin(ωat) s’annulant en t = 0, ce qui donne (si ξ < 1, par exemple) :

x(t) = Ce−ξω0t sin(ωat) (3.270)

La constante C peut etre determinee en assurant la continuite de la vitesse initiale, ent = 0 :

x(t) = C(−ξω0)e−ξω0t sin(ωat) + Ce−ξω0tωa cos(ωat) (3.271)

x(0+) = Cωa =Pum

(3.272)

D’ou :

C =Pumωa

=Pu

mω0

√

1 − ξ2=

Puω0

mω20

√

1 − ξ2=

Puω0

k√

1 − ξ2(3.273)



Fig. 3.44 – Reponse impulsionnelle

La reponse impulsionnelle (si le degre d’amortissement ξ < 1) s’exprime par :

x(t) =Puω0

k

1√

1 − ξ2e−ξω0t sin(ω0

√

1 − ξ2t) (3.274)

ou sous forme non dimensionnelle, la reponse impulsionnelle z(t) devient :

z(t)

Puω0/k=

x(t)

Puω0/k=

1√

1 − ξ2e−ξω0t sin(ω0

√

1 − ξ2t) (3.275)

Si on generalise la reponse obtenue pour differents degres d’amortissement, en posant

a =ω0Puk

, avec Pu = 1 unite de force × 1 unite de temps, on obtient :

– ξ < 1 :z(t)

a=

e−ξω0t

√

1 − ξ2sin(

√

1 − ξ2ω0t)

– ξ = 1 :z(t)

a= ω0 te

−ξω0t

– ξ > 1 :z(t)

a=

e−ξω0t

√

ξ2 − 1sinh(

√

ξ2 − 1ω0t)

Dans chaque cas, z(t) tend vers zero si t tend vers l’infini. Quelques reponses impulsionnellessont portees en graphique, en fonction de ξ, a la figure 3.44.

Dans chacun des cas (ξ < 1,= 1 ou > 1), z(t) passe par un maximum zmax avant de revenira l’equilibre. Si la percussion n’est pas unitaire, mais vaut P, la reponse impulsionnelle estmultipliee par P (linearite), ainsi que zmax. zmax est donc proportionnel P : c’est le principe desappareils de mesure balistiques.



3.8.1.1 Utilisation de la reponse impulsionnelle pour la determination a une exci-tation quelconque

La connaissance de la reponse impulsionnelle d’un systeme caracterise entierement le systemelineaire considere. La reponse x(t) a une excitation quelconque f(t) peut en effet etre calculeesi on connaıt la reponse impulsionnelle z(t) (Fig. 3.45).

f(0+)

f(τ1)

f(τ2)

f(τ3)

τ1

τ2

τ3

τ40+

f(τ4)

f(t)

Temps t ∆ τ

Fig. 3.45 – Utilisation de la fonction impulsion pour recomposer une excitation f(t) quelconque

Considerons une excitation d’entree f(t) commencant en t = 0. f(t) peut etre decomposecomme suit16 :

f(t) ∼ f(0+)∆τ δ(t) + f(τ1) ∆τ δ(t− τ1) + f(τ2) ∆τ δ(t− τ2) + · · · (3.276)

soit :

f(t) ∼∞∑

i=0

f(τi)∆τ δ(t− τi) (3.277)

Lorsque la norme du partage tend vers zero, on obtient a la limite :

f(t) =

∞∫

0

f(τ) δ(t− τ)dτ (3.278)

ou puisque a un instant t, seule les impulsions precedentes interviennent, on a :

f(t) =

t∫

0

f(τ) δ(t− τ)dτ (3.279)

L’equation differentielle etant lineaire et permanente, la reponse x(t) s’exprime par :

16La notation δ(t − τ) correspond a l’impulsion unitaire a partir de t=τ



x(t) =

t∫

0

f(τ) z(t− τ)dτ (3.280)

Il s’agit d’une integrale de convolution, qui presente la propriete de commutativite :

x(t) =

t∫

0

z(τ) f(t− τ)dτ (3.281)

3.8.2 Relation entre reponse impulsionnelle z(t) et reponse indicielle g(t)

Rappelons que la reponse a une excitation quelconque f(t) en passant par la reponse indicielleg(t) s’exprime par :

x(t) =

t∫

0

dg(τ)

dτf(t− τ)dτ (3.282)

Si on passe par la reponse impulsionnelle z(t), la reponse a une excitation quelconque f(t)s’exprime par :

x(t) =

t∫

0

z(τ) f(t− τ)d(τ) (3.283)

On en deduit que la reponse impulsionnelle est la derivee de la reponse indicielle (fois uneunite de temps, pour assurer l’homogeneite de la relation) :

z(t) =dg(t)

dt(3.284)

3.9 Systemes du premier ordre

3.9.1 Equation differentielle du mouvement - Reduction a l’ordre 1

L’equation differentielle mx+ c x+ k x = f(t), d’ordre 2, se reduira a une equation d’ordre1 dans les cas suivants :

1. si la masse m est negligeable

On a alors+c x+ k x = f(t) (3.285)

C’est une approximation que l’on peut admettre lorsqu’on etudie des reponses a des entreestres lentes. Par exemple, si l’entree est sinusoıdale (f(t) = F cos(ωt)), les forces elastiquessont independantes de la pulsation ω, les forces d’amortissement sont proportionnelles a ω,et les forces d’inertie a ω2. Si ω est suffisamment petit, les forces d’inertie seront negligeablespar rapport aux autres (etude quasi statique). Mais, si ω augmente, les forces d’inertiene seront plus negligeables. Considerer que la masse m est negligeable ne provient doncpas d’une propriete intrinseque du systeme, mais constitue seulement une approximationvalable lorsque les phenomenes sont suffisamment lents.



xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

x

F (t)

M (m)

c

Fig. 3.46 – Masse amortie (sans ressort)

2. il n’y a pas de ressort (k = 0)

Considerons par exemple un point M attache a un point fixe par l’amortisseur c et soumisa l’action de la force f(t) (le ressort n’existe pas).

L’equation du mouvement se reduit a :

mx+ c x = f(t) (3.286)

Si f(t) = 0, toute position est position d’equilibre statique (equilibre indifferent). On ditque le systeme est semi-defini.

En choisissant pour reponse, la vitesse v(t) = x, on obtient l’equation differentielle dupremier ordre :

mv + c v = f(t) (3.287)

Le systeme est d’ordre 1.

Si on divise par la masse m :

v +c

mv =

f(t)

m→ v +

v

m/c=f(t)

m(3.288)

Si on pose τ =m

c(τ est la constante de temps du systeme), l’equation du mouvement

devient :

v +v

τ=f(t)

m(3.289)

3.9.2 Reponse en mouvement libre

La reponse en mouvement libre est la solution de l’equation homogene

v +v

τ= 0 (3.290)

verifiant la seule condition initiale v(0) = v0.

On obtient aisement (Fig. 3.47) :

v(t) = v0e− t

τ (3.291)

3.9.3 Reponse indicielle d’un systeme du premier ordre

La reponse indicielle est la solution de l’equation non homogene

v +v

τ= Fu

u(t)

m(3.292)



0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Temps (s)

Vite

sse

rela

tive

par

rapp

ort à

la v

itess

e in

itial

e

V / Vo

τ = 1 s

Fig. 3.47 – Reponse libre d’un systeme du premier ordre

(Fu = 1 est l’unite de force, et u(t) etant la fonction echelon), verifiant la condition initialev(0) = 0 (systeme initialement au repos).

g = Fuτ

mest solution particuliere de l’equation non homogene, de sorte que la solution

generale est

v(t) = Fuτ

m+ Ce−

tτ (3.293)

L’expression de la condition initiale donne finalement :

v(t) = Fuτ

m(1 − e−

tτ ) (3.294)

soitv(t)

v(∞)= 1 − e−

tτ (3.295)

v(∞) est la vitesse v vers laquelle tend asymptotiquement le systeme pour un temps infini(Fig. 3.48).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Temps

Vite

sse

rela

tive

par

rapp

ort à

la v

itess

e à

l’inf

ini

V / V∞

τ = 1 sm = 1kg

V∞ = Fu τ / m

Fig. 3.48 – Reponse a une excitation de type echelon d’un systeme du premier ordre



Exemple : corps en chute libre

Un corps en chute libre est soumis a l’action de la force constante mg et de la force −cv deresistance de l’air (supposee proportionnelle a la vitesse).

Si l’axe x est dirige vers le bas, on a :

mg − c x−mx = 0 (3.296)

mx+ c x = mg (3.297)

Si (v(t) = x, on a

mv + c v = mg

S’il est abandonne sans vitesse initiale, on aura

v = mgτ

m

(

1 − e−tτ

)

, τ =m

c(3.298)

Sa vitesse limite (t→ ∞) vaut

vlim = gτ = gm

c(3.299)

3.9.4 Reponse harmonique d’un systeme du premier ordre

Si v(t) = x est la vitesse, l’equation differentielle du mouvement s’ecrit :

v +v

τ=f(t)

m(3.300)

avec τ = m/c.

Si f(t) = F cos(ωt+ ΦF ), la reponse en regime s’exprime par v(t) = V cos(ωt+ ΦF − Φ).

Si on utilise les substituts complexes, on obtient :

V = V ej(ΦF−Φ) (3.301)

F = FejΦF (3.302)

on obtient la relation suivante :(

jω +1

τ

)

V =F

m=F/c

m/c=F/c

τ(3.303)

soitV

F/c=

1

1 + jωτ(3.304)

Le gain, rapport entre l’amplitude de la vitesse v et l’amplitude de F/c, vaut :

G =V

F/c=

1√1 + ω2τ2

(3.305)

et le dephasage s’exprime par :Φ = arctan(ωτ) (3.306)

Les caracteristiques de la reponse en frequence VF/c sont representees en amplitude et en

phase sur la figure 3.49.



0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Pulsation multipliée par la constante de temps : ω τ

0 1 2 3 4 5 60

102030405060708090

100

Pulsation multipliée par la constante de temps : ω τ

Rapport entre les amplitudes de la vitesse et de la forcedivisée par la constante d’amortissement

v / (F/c)

Déphasage entre la vitesse et la force d’excitation

ΦF − Φ

V (deg)

τ = 1 s)

τ = 1 s)

Fig. 3.49 – Reponse harmonique d’un systeme du premier ordre

3.10 Capteurs d’acceleration et de vitesse

Differents types de capteurs peuvent etre utilises pour mesurer les vibrations, notammentles capteurs d’acceleration ou accelerometres, ou les capteurs de vitesse ou geophone. Les prin-cipaux types de capteurs d’accelerations le plus generalement utilises sont les accelerometrespiezoelectriques.

Fig. 3.50 – Capteurs d’acceleration et capteurs de vitesse



3.10.1 Principe d’un accelerometre piezoelectrique

Le capteur qui de nos jours, est plus ou moins universellement utilise pour les mesures devibrations est l’accelerometre piezoelectrique. Le coeur d’un accelerometre piezoelectrique estconstitue d’un element de materiau produisant un effet piezoelectrique : lorsque cette tranchesubit une contrainte mecanique en extension, en compression ou en cisaillement, elle engendreune charge electrique proportionnelle a la force qui le sollicite.

Les accelerometres piezo-electriques contiennent generalement une ou plusieurs plaquettesen materiau piezo-electrique, en contact avec une ou plusieurs masses sismiques (Fig. 3.51).Le mouvement que subit l’accelerometre provoque une contrainte mecanique produite par lesmasses sismiques sur les plaquettes piezo-electriques, ce qui induit la charge electrique sur lemateriau piezo-electrique. Une precontrainte mecanique est generalement exercee sur l’elementcentral pour pouvoir realiser des mesures dans les deux sens (positif et negatif). Le rapport entrecharge induite et acceleration constitue la sensibilite de l’accelerometre. La charge electrique estensuite reprise par un amplificateur de charge, permettant d’obtenir une tension electrique apartir de la charge aux bornes du cristal. Certains capteurs plus recents utilisent un amplificateurdirectement integre, qu’il est alors necessaire d’alimenter .

Fig. 3.51 – Accelerometre piezoelectrique

Plusieurs dispositions sont possibles selon qu’il s’agit d’accelerometres de type ”compression”(compression type), cisaillement (planar type) ou cisaillement avec charges cumulees (”deltashear”). (Fig. 2)

3.10.2 Caracteristique frequentielle d’un accelerometre

Le deplacement relatif que tend a avoir la masse sismique par rapport au boıtier B est limitepar les proprietes elastiques de son environnement. Ce deplacement est une image de la solli-citation que subira le materiau piezo-electrique de l’accelerometre. L’allure des caracteristiques



dynamiques d’un accelerometre peut par consequent etre obtenue a partir d’un modele simpleconstitue par le systeme classique masse m - ressort k - amortisseur c contenu dans un boıtierB.

Fig. 3.52 – Accelerometre piezoelectrique - Modele vibratoire

Pour etablir l’allure generale de la caracteristique frequentielle de l’accelerometre en fonctionde la frequence, on peut exprimer dans un premier temps, l’equation differentielle du mouvementvertical de la masse m, en prenant pour parametre de configuration le deplacement relatif XM dela masse par rapport au boıtier. En appliquant le principe de base de la dynamique par rapportau repere galileen, on obtient :

−kXM − cXM −m(xB + XM ) = 0 (3.307)

En faisant apparaıtre la pulsation propre ω0 et le degre d’amortissement ξ de l’accelerometre,on obtient :

XM + 2ξω0XM + ω20XM = −xB (3.308)

Si le boıtier est anime d’un mouvement sinusoıdal de pulsation ω, on peut exprimerl’evolution temporelle de l’acceleration sous la forme suivante aB(t) = AB cos(ωt + ΦA), fai-sant intervenir l’amplitude AB de l’acceleration, la reponse de regime est de la forme

XM (t) = XM cos(ωt+ ΦA − Φ) (3.309)

Si on introduit les substituts complexes AB de l’acceleration et XM du mouvement relatif,on obtient :

−ω2XM + 2ξjωω0XM + ω20XM = −AB (3.310)

Le rapport entre l’amplitude du mouvement de la masse m par rapport a l’acceleration du boıtiers’exprime par :

XM

AB=

1√(ω2 − ω2

0

)2+ (2jξω0ω)2

(3.311)

Le dephasage etant egal a

Φ = arctan

(2ξΩ

1 − Ω2

)

(3.312)

L’allure de cette fonction par rapport a la pulsation montre que (Fig. 3.53) :



ω0

Pulsation ω

1 / ω02

0

Zone utile

Fig. 3.53 – Reponse en frequence d’un capteur d’acceleration

– pour une pulsation ω proche de 0, ce rapport tend vers une valeur constante egale a1/ω2

0 . Dans cette zone en-dessous de la frequence propre, le rapport deplacement relatif-acceleration est constant, autrement dit les mouvements de la masse ont tendance a suivreles effets d’acceleration du boıtier.

– pour ω proche de ω0, pulsation de resonance de l’accelerometre, ce rapport passe par unmaximum, d’autant plus aigu que le degre d’amortissement est faible.

– pour ω tendant vers l’infini, ce rapport tend vers 0.Au dela de la frequence propre, il n’y a pratiquement plus de mouvement relatif de la

masse, la frequence etant trop grande. D’ou, l’interet pour un accelerometre piezoelectrique depresenter une frequence propre elevee. Les accelerometres piezoelectriques sont principalementutilises pour des gammes de frequences basses a moyennement elevees (pratiquement de 1 a 10kHz).

Si le mouvement de S est periodique, de periode T =2π

ω, on peut decomposer aB(t) en serie

de Fourier :

aB(t) = a0 +∞∑

n=1

an cos(nωt+ ΦFn) (3.313)

la reponse XM (t), periodique, sera :

XM (t) =a0

ω20

+

∞∑

n=1

anG(nΩ) cos(nωt+ ΦFn − Φ(nΩ)) (3.314)

Pour que l’appareil fonctionne en accelerometre, il faut que XM (t) soit semblable a aB(t), leplus fidelement possible, nous avons vu que deux techniques peuvent etre utilisees dans ce but :

– si Ω < 1, n etant l’harmonique de plus haut rang contenu dans le signal d’entree, on saitque ce signal d’entree sera bien reproduit au delai τ = 0.255T0 pres, si l’amortissement dusysteme est optimal : ξ ∼ 70%. Cette solution est generalement utilisee pour l’etude dephenomenes a basse frequence (∼< 5Hz) ; dans ce cas, on peut admettre des harmoniquesdans le signal d’entree jusque nΩ ∼ 0.4.

– si nΩ ≪ 1 et si ξ ∼ 0, alors G1 ∼ 1/ω20 et φ ∼ 0, de sorte que le signal d’entree sera bien

reproduit. Cette solution est celle adoptee dans les capteurs a ceramiques piezoelectriques.



La frequence propre f0 de ces capteurs est de l’ordre de 20000Hz et l’amortissement esttres faible. Les harmoniques doivent etre limites a nΩ ∼ 0.1.

Que l’on adopte une solution ou l’autre, la reponse est d’autant meilleure que la frequence dusignal d’entree est faible par rapport a la frequence propre du capteur.

3.10.3 Les capteurs de vitesse

3.10.3.1 Principe

Des capteurs de vitesse peuvent toutefois encore etre utilises pour les mesures a bassefrequence, notamment dans le cadre de la mesure des vibrations induites dans les batiments(ou la vitesse est le parametre principal a mesurer).

Le signal utile d’un capteur de vitesse (de type geophone) est genere a partir d’une bobinesolenoıdale se deplacant dans un champ magnetique, cree par exemple par un aimant permanent(Fig.3.54). La tension induite dans l’enroulement est directement proportionnelle a la vitesserelative entre enroulement et aimant. Soit l’enroulement, soit l’aimant permanent est solidairede la partie vibrante, le mouvement de l’autre composant servant alors pour mesurer la vitesse.La figure 3.54 represente le schema de principe d’un capteur de vitesse dans lequel l’aimantpermanent est solidaire de la structure vibrante, une bobine pouvant osciller a l’interieur de cetaimant permanent, le mouvement de l’enroulement etant soumis a l’effet de rappel de ressortsexterieurs.

Fig. 3.54 – Capteur de vitesse - Modele vibratoire

3.10.3.2 Caracteristique frequentielle d’un capteur de vitesse

La courbe frequentielle caracteristique d’un capteur de vitesse peut egalement etre ob-tenue a partir du meme modele simple masse-ressort-amortisseur a un degre de liberte. Lesequations differentielles du mouvement sont identiques aux equations developpees dans le cadredu modele associe a l’accelerometre piezo-electrique. En prenant pour parametre de configura-tion le deplacement relatif XM de la masse par rapport au boıtier et en appliquant le principede base de la dynamique par rapport au repere galileen, on obtient :

−kXM − cXM −m(xB + XM ) = 0 (3.315)



En faisant apparaıtre la pulsation propre ω0 et le degre d’amortissement ξ du capteur, onobtient :

XM + 2ξω0XM + ω20XM = −xB (3.316)

Si le boıtier est anime d’un mouvement sinusoıdal de pulsation ω, on peut exprimerl’evolution temporelle de l’acceleration sous la forme suivante aB(t) = AB cos(ωt + ΦA), fai-sant intervenir l’amplitude A de l’acceleration, la reponse de regime est de la forme

XM (t) = XM cos(ωt+ ΦA − Φ) (3.317)

Si on introduit les substituts complexes A de l’acceleration et X du mouvement relatif, onobtient :

(−ω2 + 2ξjωω0 + ω20)XM = −AB (3.318)

Au niveau de la resolution, la difference importante vient du fait que l’excitation d’entreeque l’on veut suivre est la vitesse du boıtier xB = vB, tandis que le phenomene qui permet demesurer la vibration est ici la vitesse relative de la masse XM = VM .

D’ou :

XM =VM

jω(3.319)

EtAB = jωV B (3.320)

D’ou,

(−ω2 + 2ξjωω0 + ω20)VM

jω= −jωV B (3.321)

D’ou :

VM =−ω2

(ω20 − ω2 + 2ξjωω0)

V B (3.322)

Le rapport entre l’amplitude de la vitesse relative de la masse par rapport a la vitesse absoluedu boıtier s’exprime par :

VMVB

=ω2

√(ω2

0 − ω2)2

+ (2ξω0ω)2=

Ω2

√

(1 − Ω2)2 + (2ξΩ)2(3.323)

Le dephasage etant egal a

Φ = arctan

(2ξω0ω

ω20 − ω2

)

= arctan

(2ξΩ

1 − Ω2

)

(3.324)

L’allure de cette fonction par rapport a la pulsation montre que (Fig. 3.55) :– pour une pulsation ω proche de 0, ce rapport tend vers 0.– pour ω proche de ω0, pulsation de resonance du vibrometre, ce rapport peut passer par

un maximum d’autant plus aigu que l’amortissement est faible. Pour un degre d’amor-tissement de l’ordre de 70%, la fonction garde une valeur relativement constante dans lazone de la resonance,

– pour ω tendant vers l’infini, ce rapport tend vers une valeur constante egale a 1.



0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Pulsation ω

VM

/ VB

ω0

Zone utile

Fig. 3.55 – Reponse en frequence d’un capteur de vitesse

La zone utile pour le capteur de vitesse est la zone se situant au-dessus de la frequence deresonance, qu’il y a donc interet a avoir la plus faible possible. Pour que l’appareil fonctionneconvenablement en vibrometre, il faut donc que sa frequence propre soit tres faible par rapporta celle du fondamental du signal d’entree 17.

3.11 Mouvements pendulaires

On parlera d’un pendule simple lorsqu’il s’agit d’un mouvement pendulaire concernant unemasse ponctuelle. Il s’agira plutot d’un pendule compose lorsque le mouvement pendulaireconcerne un solide oscillant autour d’un axe.

3.11.1 Pendule simple

Un point M , de masse m, glisse sans perte sur une circonference (0, l) situee dans un planvertical, ou un point M , de masse m, est lie par un fil parfait au point fixe O et se meut dans leplan vertical Oxz (si M est dans le plan Oxz en position initiale est dans ce plan, sa trajectoiresera entierement dans ce plan).

Le systeme est conservatif :T + V = E = Cste (3.325)

Par convention, le zero de l’energie potentielle V sera fixe a l’altitude z = 0 : V = mg z, zetant la verticale ascendante, ou V = −mg l cos θ, θ etant l’angle que forme OM avec la verticaledescendante.

17Theoriquement, il n’y a donc aucune difference essentielle au niveau du modele de base entre un vibrometre etun accelerometre. Le meme appareil fonctionnerait en accelerometre pour des phenomenes tres lents (pour autantqu’on suive le deplacement relatif), et en vibrometre pour des phenomenes tres rapides (pour autant qu’on suivela vitesse relative)



0

lM

mg

x

y

z

θ

Fig. 3.56 – Mouvement pendulaire

L’energie mecanique totale E peut etre caracterisee par une longueurH telle que E = mgH.H est l’altitude maximale que le point materiel pourrait atteindre si toute l’energie cinetiqueetait convertie en energie potentielle.

On peut obtenir le trois types de mouvements suivants :– H < l : M ne peut atteindre que la partie inferieure de la circonference pour laquellez < H ; le mouvement est oscillatoire ; dans ce cas, E = −mg l cos θm, θm etant l’anglemaximum atteint par le pendule.

– H = l : cas special– H > l : M peut atteindre tous les points de la circonference ; quand il se trouve au point

le plus eleve (z = l), M possede encore l’energie cinetique T = mg (H− l) ; le mouvementest revolutif.

On a :

E = mgH = −mg l cos θ +1

2m(

lθ)2

(3.326)

donc θ2 =2 g

l

(H

l+ cos θ

)

; par derivation, on obtient l’equation differentielle du mouvement :

θ +g

lsin θ = 0 (3.327)

Remarquons des a present que si θ reste petit (mouvement oscillatoire avec θm ≪ 1),

l’equation se linearise, a l’ordre 3 pres, en θ +g

lθ = 0. Ce mouvement de faible amplitude est

donc harmonique :θ = θm cos(ω0t+ φ) (3.328)

avec ω0 =2π

T0=

√g

l, soit T0 = 2π

√

l

g.

T0 est la periode des oscillations de faible amplitude du pendule. si le mouvement etait amorti,l’equation du mouvement serait de la forme :

θ + 2ξω0θ + ω20θ = 0 (3.329)



3.11.2 Pendule compose

Le solide pesant S tourne sans perte autour de l’axe horizontale Oy ; a est la distance OGde son centre de masse G a l’axe Oy ; le plan vertical Oxz est le plan du mouvement de G. Onsuppose que l’amortissement est negligeable. i0 est le rayon de giration par rapport a Oy m estla masse et θ est l’angle que forme OG avec la verticale descendante.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

0

S

G

mg

x

y

z

θ

utun

axx x

xx

Fig. 3.57 – Pendule compose

Le systeme est conservatif T + V = E = Cte.

Comme pour le pendule simple, on peut caracteriser l’energie mecanique totale E par lalongueur H telle que E = mgH ; H est la hauteur maximale que pourrait atteindre G si toutel’energie cinetique du solide etait convertie en energie potentielle. On a :

E = mgH =1

2mi20θ

2 −mg a cos θ (3.330)

Par derivation, on obtient l’equation differentielle du mouvement :

θ +gi20a

sin θ = 0 (3.331)

Cette equation a la meme forme que celle du pendule simple : le pendule compose aurameme loi de mouvement que celle du pendule simple de longueur :

ls =i20a

= a+i2Ga

(3.332)

(theoreme des axes paralleles), iG etant le rayon de giration par rapport a Gy.

Le longueur ls est appelee longueur synchrone : il s’agit de la longueur du pendulesimple qui aurait la meme periode d’oscillation que le,pendule compose.

La longueur ls est toujours superieure a la distance a du centre de masse a l’axe de rotation.



L’equation differentielle du mouvement du pendule compose s’ecrit donc :

θ +g

lsθ = 0 (3.333)

et l’equation de conservation de l’energie 3.330 devient :

θ2 =2 g

ls

(H

a+ cosθ

)

(3.334)

La periode T0 des oscillations de faible amplitude vaut :

T0 = 2π

√

lsg

(3.335)

Le mouvement sera oscillatoire si H < a ; dans ce cas, E = −mga cos θm. Il sera revolutif siH > a (H = a etant un cas special).

Au-dela des petits angles, l’ equation differentielle de comportement dynamique n’est pluslineaire. Elle peut etre determinee par integration numerique (voir laboratoire) ou par integrationanalytique de l’equation differentielle en passant par les integrales elliptiques de second espece.

3.11.3 Systemes mecaniques dont l’equation du mouvement est identique acelle du pendule

Considerons des systemes mecaniques conservatifs a un degre de liberte, dont le mouvementest decrit par le seul parametre θ. Si T et V sont de la forme :

T =1

2ma θ2

V = −mgB cos(θ)

alors la seule equation du mouvement est fournie par le theoreme de l’energie cinetique :

d(T + V )

dt= 0 (3.336)

soitθ +

g

A/Bsin(θ) = 0 (3.337)

Le systeme considere a une loi de mouvement identique a celle d’un pendule simple de longueur

ls =A

B(ls est la longueur du pendule simple synchrone).

3.12 Exemples de formulation des equations du mouvementpour des systemes a un degre de liberte

3.12.1 Disque oscillant autour d’un axe vertical

Le disque S est suspendu a un fil vertical Oz. Ce fil se comporte comme un ressort entorsion generant un couple proportionnel a l’ecart angulaire entre ses deux extremites. Si θ etθe designent les angles dont tournent respectivement chacune des extremites, a partir d’un etat



Fig. 3.58 – Disque oscillant autour d’un axe vertical

non deforme du fil, l’angle de torsion vaut θ− θe et le fil transmet au disque un couple de rappel~Cr d’axe Oz, proportionnel a ce dernier :

Crz = −k (θ − θe) (3.338)

k etant la raideur en torsion du fil (de dimension [FL]).

Par son mouvement dans le milieu ambiant, le disque S subit des resistances passives ; leurmoment resultant par rapport a l’axe de rotation z est proportionnel a la vitesse angulaireωz = α, si celle-ci reste suffisamment faible. On peut augmenter ce couple par des amortisseursartificiels (amortisseurs a huile ou a courants de Foucault,...). En general, on aura :

Caz = −c ωz = −cθ (3.339)

c etant le coefficient d’amortissement du aux elements amortisseurs (de dimension [FLT ]).

L’equation d’equilibre de rotation autour de l’axe Oz s’ecrit :

~M0 + ~M(−ma)0/s = ~0 (3.340)

soit apres projection sur l’axe Oz :

−k(θ − θe) − cθ − IOzz θ = 0 (3.341)

L’equation differentielle du mouvement θ(t) de S autour de Oz s’exprime finalement :

I θ + c θ + k θ = k θe(t) (3.342)

Si la tete de torsion est soumise a un mouvement harmonique impose par ailleurs

θe(t) = θE sinωt (3.343)

l’equation differentielle a resoudre devient

I θ + c θ + k θ = k θE sinωt (3.344)

Cette equation sera utilisee dans le laboratoire V2 afin d’illustrer un phenomene de resonancemecanique en rotation.



3.12.2 Table vibrant horizontalement excitee par un balourd en rotation

Fig. 3.59 – Table vibrant horizontalement excitee par un balourd en rotation

La table S (masseM , centre de gravite G) de la figure 3.59 peut se deplacer horizontalement,dans la direction x, sous l’effet de ressorts horizontaux de raideur globale egale a k, et d’unamortisseur suppose lineaire (piston perce se deplacant dans une enceinte remplie d’huile), deconstante c. Un moteur fixe a la table entraıne deux balourds S′ et S′′ (masse m et centre degravite respectivement en P et Q, a une distance r des axes de rotations O′ et O′′ ), de facona ce qu’au cours du mouvement, les deux balourds restent symetriques par rapport au planhorizontal. Les deux balourds tournent a vitesse angulaire ω constante de grandeur constantemais de sens oppose. L’equation d’equilibre de translation s’exprime par :

~R+ ~R(−ma)/s = ~0 (3.345)

Si x est l’ecart par rapport a la position d’equilibre de la table, et si la table se deplace sansperte horizontalement, la resultante des forces exterieures projetee sur l’horizontale donne

R/x = −kx− cx (3.346)

La reaction d’inertie s’exprime par :

~R(−ma) = −M~aGS/s −m~aPS′/s −m~aQS′′/s (3.347)

La composition des accelerations en prenant comme repere intermediaire la table S, s’ecrit :

~aPS′/s = ~aPS′/S + ~aPS/s + 2 ~ωS/s ∧ ~vPS′/S (3.348)

Comme la table S est en translation horizontale, la vitesse angulaire d’entraınement ~ωS/s estnulle, de meme que l’acceleration de Coriolis. Dans ce cas, l’acceleration absolue ~aPS′/s corres-pond a la somme de :

– l’acceleration relative ~aPS′/S = ω2r~un due a la rotation autour du point O′ a vitesseconstante,

– l’acceleration d’entraınement ~aPS/s = x~ux due a la translation horizontale de la table.

On a donc~R(−ma) = −Mx~ux −mx~ux −mω2r~un′ −mx~ux −mω2r~un′′ (3.349)



Les deux balourds tournant a la meme vitesse constante ω, l’angle que fait O′P (et doncle vecteur −~un′ avec l’horizontale vaut ωt tandis que l’angle que fait O′′Q (la direction duvecteur−~un′′) avec l’horizontale vaut -ωt.

La projection sur l’horizontale Ox de la reaction d’inertie globale est donc egale a

~R(−ma)/x = −(M + 2m)x+ 2mω2r cosωt (3.350)

L’equation differentielle du mouvement de la table s’exprime donc par :

−kx− cx− (M + 2m)x+ 2mω2r cosωt (3.351)

Et :(M + 2m)x+ cx+ kx = 2mω2r cosωt (3.352)

Cette equation sera utilisee dans le laboratoire V3 afin d’illustrer un phenomene de resonancemecanique en translation.

3.13 Raideur equivalente pour differents systemes

Le modele de base masse-ressort-amortisseur utilise un modele de base de ressort exercantune force proportionnelle au deplacement. Les figures 3.60 et 3.61 representent quelques rai-deurs equivalentes de certains systemes en fonction de leurs caracteristiques geometriques et desproprietes des materiaux qui s’y rapportent.

Fig. 3.60 – Raideur equivalente



Fig. 3.61 – Raideur equivalente (suite)



3.14 Tests de comprehension sur les theoremes generaux de ladynamique







3.15 Exercices

3.15.1 Vibrations subie par un cycliste

Un coureur cycliste roule sur une route pavee ; on souhaite etudier la facon dont les vibrationsprovenant du sol sont amorties a partir de l’action de ses pneus. Le modele simplifie masse-ressort-amortisseur correspondant est defini en considerant que la masse totale M du cycliste etde son velo oscille verticalement en translation sous l’action d’un ressort lineaire de raideur ket de longueur naturelle L0 ainsi que d’un amortisseur lineaire de constante c. Les irregularitesprovenant du sol sont idealisees par une evolution sinusoıdale : on considerera que la base du pneuest soumise a un deplacement sinusoıdal qui s’exprime en fonction du temps par yS(t) = YS .sinωtpar rapport au niveau de reference fixe s. H est la hauteur du centre de gravite G par rapporta la base de la masse M .

G

S

k c

y

H

8

y (t)s

On demande :

1. d’etablir l’equation differentielle du mouvement de la masse M , en utilisant le parametrede configuration y decrivant la hauteur absolue du centre de gravite G de la masse M parrapport au niveau de reference fixe s

Solution :

Y +c

MY +

k

MY =

k

Mys +

c

Mys

Y + 2ξω0Y + ω20Y = ys + 2ξω0ys

2. si Ω est le rapport entre la pulsation d’excitation ω et la pulsation propre ω0 de la sus-pension et si ξ est le degre d’amortissement reduit de celle-ci, d’exprimer le rapport entrel’amplitude maximale YM des mouvements du cycliste et l’amplitude YS des irregularitesau sol, en fonction des donnees non dimensionnelles du probleme, a savoir Ω et ξ

Solution :

YMYs

=

√

1 + (2ξΩ)2√

((1 − Ω2)2) + (2ξΩ)2

3. d’exprimer la pulsation temporelle ω correspondant a l’excitation verticale du velo, sicelui-ci avance a une vitesse constante V sur des paves distants d’une longueur λ

Solution :



λ = V T

T = λ/V

ω = 2π/T = 2πV/λ

3.15.2 Stabilisation d’une plate forme sur un bateau

Fig. 3.62 – Stabilisation d’une plate-forme sur un bateau

On souhaite placer une antenne parabolique a bord d’un navire pour suivre la progression desatellites (Fig. 3.62). Pour cela, il y a lieu de stabiliser la plate-forme par rapport aux mouvementsdu navire. Ce probleme est idealise en assimilant les mouvements du bateau a des oscillationsde roulis β(t) de faible amplitude autour du point A (figure 3.62). La plate-forme oscille sansperte autour du point O. Ses proprietes geometriques et d’inertie sont supposees connues.On demande :

1. l’equation du mouvement de la plate-forme ;

Solution :

(i2G + a2

)θ + g a sin θ − −a l β cos (θ − β) − al β2 sin (θ − β) = 0

2. de lineariser l’equation du mouvement pour des oscillations de faible amplitude ;

Solution :

(i2G + a2

)θ + g a θ − a l β = 0

3. de resoudre l’equation lineairisee lorsque le mouvement de roulis du bateau vaut β(t) =βm sin(ωt).

Solution :

θ =−ω2 a l βm

−ω2(i2G + a2

)+ g a



L’angle maximum θm atteint par la plate-forme est fourni par le module θ

θm = |θ| =ω2 a l βm

∣∣−ω2

(i2G + a2

)+ g a

∣∣

3.15.3 Exercice : appontage d’un avion

Fig. 3.63 – Appontage d’un avion

Pour ralentir un avion S lors de son appontage, il est muni d’une crosse qui accroche uncable en C (Fig. 3.63). Ce cable roule sans perte sur les poulies S1 et S2 et est fixe au solides en P . La poulie S2 est montee sur un equipage mobile de masse m2 qui glisse sans perte. Ilest relie au travers d’une suspension de raideur k, de longueur naturelle l0 et d’un amortisseurc, au piston d’un verin pneumatique perce d’ouıes qui dissipent l’energie cinetique du piston.Cette dissipation est modelisee par la force c3y3 ou y3 est la vitesse absolue du piston.L’avion de masse M apponte a la vitesse y1uy au milieu du cable et se deplace sans perte selonOY sans tourner. Les poulies S1 et S2 sont de rayon r et leur inertie est negligeable. Les cablessont elastiques de raideur kc.

On demande d’etablir les equations du mouvement du systeme.

Solution

y1 = −2kcM

(√

H2 + y21 −H − 2y2)

y1√

H2 + y21

(3.353)

y2 = −2kcm2

(√

H2 + y21 −H − 2y2) −

k

m2(y2 − y3 − l0) −

c

m2(y2 − y3) (3.354)

y3 =k

m3(y2 − y3 − l0) +

c

m3(y2 − y3) −

c3m3

y3 (3.355)

(3.356)


Chapitre 4

Percussions — Gyroscopie —Equilibrage

Un optimiste est quelqu’unqui commence son cote de Mecanique rationnelle

directement au propreCC

4.1 Percussions

4.1.1 Choc entre deux solides : hypotheses de la mecanique rationnelle

Un solide S, de masse M , entre en contact a l’instant t′ avec un solide s suppose fixe. Il estsoumis a l’action de differentes forces appliquees (son poids m~g par exemple), representees par

le torseur des forces appliquees au point O, de coordonnees (−→R a ,

−→MaO).

Fig. 4.1 – Choc entre deux solides

Durant le choc, les deux solides S et s se deforment : le solide s exerce sur S, a travers la

surface de contact, des forces de liaison dont la resultante est−→F ℓ. Cette force

−→F ℓ (t) croıt tres

rapidement au debut du contact en t′ (elle s’oppose a la penetration des deux corps), selon uneloi complexe. Apres la phase de choc, les deux solides S et s tendent a reprendre leur forme

initiale :−→F ℓ (t) decroıt, pour retomber finalement a zero a l’instant t′′, lorsque la bille se separe

de s.

Quels que soient les mouvements exacts de la bille durant ou apres le choc, entre l’instantinitial t′ et l’instant final t′′ (apres le choc, des ondes se propagent encore dans la bille et dans

167

CHAPITRE 4. PERCUSSIONS — GYROSCOPIE — EQUILIBRAGE 168

Fig. 4.2 – Evolution de la force de liaison au cours du temps

le solide s), les theoremes de la quantite de mouvement et du moment cinetique peuvent etreappliques :

4.1.2 Applications des theoremes generaux de la dynamique a la phase dechoc

4.1.2.1 Theoreme de la quantite de mouvement

Rappelons que le theoreme de la quantite de mouvement relie la quantite de mouvement ~Pa la resultante ~R des forces exercees sur le systeme. Il s’exprime sous forme differentielle par :

~dP

dt= ~R ou ~dP = ~Rdt = (~Ra + ~Fℓ) dt (4.1)

~Ra etant la resultante des forces appliquees.

Sous forme integree, durant l’intervalle de temps que dure le choc (entre t′ et t′′), on obtient :

∫ t′′

t′

~dP =

∫ t′′

t′

~Ra(t) dt+

∫ t′′

t′

~Fℓ(t) dt (4.2)

L’intervalle de temps t′′ − t′ est petit (de l’ordre de 100 ms en pratique), de sorte que−→R a

reste a peu pres constant durant cet intervalle de temps, tout en etant petit par rapport aux

forces de liaison. L’integrale portant sur−→R a est consideree comme negligeable vis-a-vis des autres

integrales concernant les forces de liaison.

La quantite de mouvement gagnee ou perdue s’exprime donc par :

~P (t′′) − ~P (t′) =

∫ t′′

t′

~Fℓ(t) dt (4.3)

4.1.2.2 Theoreme du moment cinetique

Rappelons que le theoreme de la moment cinetique exprime au point O relie le momentcinetique ~LO au moment resultant ~MO des forces exercees sur le systeme. Il s’exprime sous



forme differentielle par :

~dLOdt

= ~MO ou ~dLO = ~MOdt = ( ~Ma0(t) dt+ ~MℓO(t)) dt (4.4)

~MaO etant le moment des forces appliquees au point O.

Sous forme integree durant l’intervalle de temps que dure le choc, on obtient :

∫ t′′

t′

~dLO =

∫ t′′

t′

~MaO(t) dt+

∫ t′′

t′

~MℓO(t) dt (4.5)

L’intervalle de temps t′′ − t′ = ǫ etant petit, ~MaO reste a peu pres constant durant cetintervalle de temps en etant petit par rapport au moment des forces de liaison. L’integrale

portant sur−→MaO est donc negligeable vis-a-vis des autres integrales concernant les forces de

liaison.

Le moment cinetique gagne ou perdu s’exprime par :

~LO(t′′) − ~LO(t′) =

∫ t′′

t′

~MℓO(t) dt (4.6)

Les phenomenes reels impliquent les deformations locales des solides en contact et des plagesde contact non ponctuelles. Pour rester dans le cadre de la mecanique rationnelle des systemesdiscrets, on idealise les phenomenes, ce qui revient a faire l’hypothese, a la limite, que :

– les solides sont indeformables,– les contacts sont ponctuels,– le choc est instantane.

On admet ainsi qu’a l’instant t′ (avant) = t′′ (apres) du choc, les deplacements ne varient pas,mais que les vitesses peuvent varier brusquement (ce qui implique que les trajectoires presententun point anguleux.

4.1.3 Definition du vecteur percussion et equations d’equilibre dans le casd’une percussion unique sur un solide

En passant a la limite, les theoremes de la quantite de mouvement et du moment cinetiqueprecedents deviennent :

~P (t′′) − ~P (t′) = limt′′→t′

∫ t′′

t′

~Fℓ(t) dt (4.7)

~LO(t′′) − ~LO(t′) = limt′′→t′

∫ t′′

t′

~Mℓ0(t) dt (4.8)

= limt′′→t′

∫ t′′

t′MO

~Fℓ(t) dt = MO limt∗→t

∫ t′′

t′

~Fℓ(t) dt (4.9)

le contact etant suppose ponctuel et les deplacements etant nuls durant le choc.

Pour que ces limites aient un sens, la force de liaison ~Fℓ(t) est idealisee par une impulsionde Dirac du premier ordre, etat limite d’une fonction nulle en dehors de l’intervalle (t′ , t′′), qui



Fig. 4.3 – Percussion idealisee a l’instant t∗

tend vers l’infini lorsque ǫ = t′′ − t′ tend vers 0 (l’impulsion ayant lieu en l’instant t′ = t′′ = t∗),mais de telle sorte que l’integrale ~P de la fonction reste finie1 :

~P = limt∗→t

∫ t∗

tlimFℓ (t) dt (4.11)

~P, de dimension [F T ], est le vecteur percussion, localise au point d’impact.

Les equations de base decrivant le cas d’une seule percussion sur le solide S s’exprimentpar :

~P (t′′) − ~P (t′) = ~P (4.12)

~LO(t′′) − ~LO(t′) = MO~P =

−−→OM ∧ ~P (4.13)

le point M est le point d’impact.

Il est important de remarquer que, dans l’application du theoreme du moment cinetique, lepole O peut etre quelconque, fixe ou mobile par rapport au repere galileen s, puisqu’il n’y a pasde deplacement lors du choc. Generalement, ce pole est choisi :

– soit au centre de gravite G, ce qui facilite l’expression du moment cinetique, puisqu’en G,~LG = ΦG~ωS/s,

– soit au point de contact M , ce qui elimine le vecteur percussion ~P lui-meme quand onprend le moment en M .

1La force de liaison peut alors s’ecrire :

−→F ℓ(t) = ~P δ(t − t∗) (4.10)

si δ(t) est l’impulsion de Dirac unitaire en l’instant t = O, definie par

Z +∞

−∞

δ(t) dt = 1

δ(t − t∗) etant l’impulsion de Dirac en t = t∗



Fig. 4.4 – Percussion ponctuelle au point de contact M

Le vecteur percussion ~P etant defini a partir d’une integrale de la force de liaison ~Fℓ , aurales memes caracteristiques qu’une force de liaison classique :

– si, dans les conditions normales, le coefficient de frottement f entre les deux corps S et sest nul, le vecteur percussion ~P est perpendiculaire aux surfaces en contact. Dans ce cas,~P introduit une seule inconnue :

~P = P ~un (4.14)

Il faut toutefois signaler que meme si la liaison est sans perte, le choc peut dissiper del’energie2.

– si le contact est caracterise par un coefficient de frottement f et l’angle de frottement φcorrespondant, ~P sera situe sur ou a l’interieur du cone de frottement selon qu’il y a - ouqu’il n’y a pas - de glissement. Mathematiquement, s’il y a glissement, on a :

~P = Pn ~un − fPnvg|vg|

~ut (4.15)

vg = vMS/st

′′ etant la vitesse de glissement apres le choc.S’il n’y pas de glissement, la vitesse tangentielle apres le choc est nulle :

vg = vMS/st

′′ = ~0 (4.16)

Sur un plan energetique, le vecteur percussion ~P caracterise entierement la variation dequantite de mouvement ou du moment cinetique, mais ne fournit aucun renseignement sur les

echanges energetiques lors du choc : il ne permet pas de calculer le travail fourni par−→F ℓ(t).

Le theoreme de l’energie cinetique donne simplement :

T ′′ − T ′ = ∆Wi + ∆We (4.17)

∆Wi representant l’energie interne du solide en mouvement, emportee sous forme d’ondes etdissipee ensuite dans ce solide (∆Wi 6= 0 car on ne peut admettre que le solide reste rigide) ;∆We represente le travail des forces de contact.

2Cette notion sera developpee plus loin lors de l’introduction du coefficient de restitution.



4.1.4 Cas des percussions multiples

Considerons un solide S0 initialement en contact avec les solides S2 et S3 en B et C respec-tivement.

Fig. 4.5 – Percussions multiples entre divers solides

Le solide S1 heurte S0 en A a l’instant t′. Comme dans le cas du choc de deux solides, onadmettra que les phenomenes sont instantanes (on suppose en fait que les vitesses de propagationdes ondes elastiques dans les corps en contact sont infinies) et qu’ils sont entierement caracterises,tout au moins pour les variations des quantites de mouvement et des moments cinetiques, parles percussions ~P1, ~P2, ~P3 localisees respectivement en A, B, C, et agissant simultanement al’instant t′.

En general, pour un systeme mecanique quelconque, on considerera des percussions simul-tanees ~Pi que l’on peut classer (toutr comme les forces) en percussions exterieures ou interieures,directement appliquees (connues a priori) ou de liaison.

Par application des theoremes generaux, on generalise aisement les theoremes de la quantitede mouvement et du moment cinetique au point O, obtenues pour le choc de deux solides :

~P ′′ −−→P ′ =

∑~Pe (4.18)

~LO′′ − ~LO

′=∑

MO~Pe (4.19)

ce qui montre que le torseur des variations de quantites de mouvement au pointO, de coordonnees

(−→P ′′ −−→

P ′,−→LO

′′ −−→LO

′), est equivalent au torseur des percussions exterieures.

Le theoreme de la quantite de mouvement peut egalement s’ecrire :

M ~vG′′ −M ~vG

′ =∑

~Pe (4.20)

la variation de la vitesse du centre de masse d’un systeme materiel qui subit un choc est la memeque si toute la masse y etait concentree, et toutes les percussions y etaient appliquees.

4.1.5 Centre des percussions et percussion sur un pendule compose

Considerons un solide S (de masse M , de rayon de giration central iG) pouvant oscillersans perte autour d’un axe horizontal Oz (pendule compose). Le solide S est initialement au



repos, le point G est dans le plan vertical Oxy et l’axe Gz est principal central (cas plan de laDynamique).

Fig. 4.6 – Percussion sur un pendule compose

On exerce la percussion appliquee ~Pa (supposee connue) sur S, dans le plan Oxy. On souhaiterechercher quelles conditions doivent etre remplies pour que le support Oz ne subisse aucunepercussion3.

Fig. 4.7 – Longueur synchrone - Application - Distance entre impact d’une batte et poignetpour minimiser le choc au niveau du poignet

Si C est le point ou la ligne d’action de ~Pa coupe l’axe OG, on appellera ℓ, la distance OCet a, la distance OG. ~Pℓ est la percussion de liaison que developpe l’axe Oz en O sur S.

Le theoreme de la quantite de mouvement donne :

~P ′′(t) − ~P ′(t) = ~Pa + ~Pℓ (4.21)

M~vG′′ −M~vG

′ = ~Pa + ~Pℓ (4.22)

3Ce modele peut etre applique pour evaluer la distance entre le point d’impact d’une balle et le poignetlorsqu’on frappe une balle avec une raquette de tennis ou une batte de baseball, ou la longueur optimale dumanche d’un marteau, ou la distance entre le point d’arret d’une porte par rapport aux charnieres de celles-ci(Fig. 4.7, Fig. 4.8, Fig. 4.9).



Fig. 4.8 – Longueur synchrone - Application - Distance entre impact d’une raquette de tenniset poignet pour minimiser le choc au niveau du poignet

Fig. 4.9 – Longueur synchrone - Application - Distance entre impact d’un arret de porte et l’axedes charniere pour minimiser le choc au niveau des charnieres

Le theoreme du moment cinetique en O aboutit a :

−→L ′′O −−→

L ′O =

−−→OC ∧ ~Pa (4.23)

IOzz ω′′ ~uz − IOzz ω

′ ~uz = Pax ℓ ~uz (4.24)

l’axe Oz etant principal, puisque l’axe Gz est principal central et IOxz = IGxz +MxGzG = 0 etIOyz = IGyz +MyGzG = 0.

Apres projection, le systeme etant a l’arret avant la percussion (v′Gx = 0, v′Gy = 0 et ω′ = 0),on obtient :

Mv′′Gx = Pax + Pℓx (4.25)

Mv′′Gy = Pay + Pℓy (4.26)

IOzz ω′′ = Pax ℓ (4.27)

Les conditions cinematiques apres la percussion correspondent a une rotation autour du



point O :

~vG′′ = ~v′′O + ~ω ′′ ∧ −−→

OG = ω′′~uz ∧−−→OG (4.28)

Apres projection, on obtient :

v′′Gx = ω′′ a et v′′Gy = 0 (4.29)

ce qui donne

M ω′′ a = Pax + Pℓx (4.30)

0 = Pay + Pℓy (4.31)

IOzz ω′′ = Pax ℓ (4.32)

Sous le choc applique, le solide S prend brusquement la vitesse angulaire

ω′′ = Pax ℓ/IOzz (4.33)

La percussion de liaison ~Pℓ a pour composantes :

Pℓx = PaxM a ℓ− IOzz

IOzz(4.34)

Pℓy = −Pay (4.35)

~Pℓ sera nul si

Pay = 0 et si ℓ =IOzzm a

= ℓS (4.36)

ℓS etant justement la longueur du pendule simple synchrone.

Pour qu’il n’y ait aucune percussion de liaison sur l’axeOz, il faut que la percussion appliqueesoit perpendiculaire a OG et appliquee en un point C distant de la longueur synchrone ℓS del’axe de rotation :

ℓs =IOzzm a

(4.37)

Le point C est le centre des percussions.

4.1.6 Definition du coefficient de restitution et aspects energetiques

Considerons un solide S heurtant le solide s fixe. L’etat dynamique de S avant le choc estcaracterise par ~v′G et ~ω′

S/s et l’etat dynamique apres le choc par ~v′′G et ~ω′′S/s .

Supposons que la liaison developpee entre s et S soit sans frottement : ~Pℓ = Pℓ ~un est normalaux deux surfaces en contact.

Dans un cas spatial, les theoremes generaux

M ~v′′G −M ~v′G = Pℓ ~un (4.38)

ΦG ~ω′′ − φG ~ω

′ =−−→GM ∧ Pℓ ~un (4.39)

comportent sept inconnues (v′′Gx, v′′Gy, v

′′Gz, ω

′′x, ω

′′y , ω

′′z , Pℓ) et fournissent six equations seulement.

Dans un cas plan, elles comportent quatre inconnues (v′′Gx, v′′Gy, ω

′′z , P) et fournissent trois

equations seulement (deux en translation et une en rotation).



Le probleme est indetermine. Pour lever cette indetermination, il est indispensable d’in-troduire des hypotheses sur la nature physique du choc, c’est-a-dire de considerer l’aspectenergetique.

Generalement, on exprime que la vitesse normale relative de separation apres choc diminueavec le choc et represente la fraction e de la vitesse normale relative d’approche. Elle changeegalement de signe, ce qui conduit a :

~v′′MS/s· ~un = − e ~v′MS/s

· ~un (4.40)

(M etant le point de contact et s etant fixe).

Le coefficient de restitution e est compris entre 0 et 1 :

0 ≤ e ≤ 1 (4.41)

Si e = 1, le choc est dit elastique ; l’energie de S n’a pas varie (ce qui sera verifie plus loin).

Si e = 0, le choc est dit mou ; la vitesse normale s’annule, S glissant eventuellement sur s.

Pour le choc entre deux solides S1 et S2, le coefficient de restitution e est defini par :

~v′′MS1/S2· ~un = − e ~v′MS1/S2

· ~un (4.42)

(~v′′MS1/s− ~v′′MS2/s

) · ~un = − e (~v′MS1/s− ~v′MS2/s

) · ~un (4.43)

Si S2 est un solide mobile dont le mouvement est impose et ne peut etre perturbe par lechoc - liaison dependant du temps -, alors ~v′′MS2/s

= ~v′MS2/s).

4.1.6.1 Determination du coefficient de restitution. Rebond d’une bille

Le coefficient de restitution e peut etre obtenu en mesurant la hauteur de rebond h′′ d’unebille lachee sans vitesse initiale d’une hauteur h′, sur une face plane horizontale du materiauconsidere (e est fonction de la nature des deux materiaux en presence).

En effet, on peut distinguer les 3 phases successives se rapportant a la chute libre de la bille,le choc sur s, et la remontee de la bille.

Lors de la premiere phase en chute libre a partir d’une hauteur h′, le systeme est conservatifsi on neglige l’effet dissipatif du au freinage par l’air. L’energie totale T + V du systeme restedonc constante. Si v′ est la vitesse juste avant le rebond, on a :

0 +mgh′ =1

2mv′ 2 + 0 (4.44)

Lors de la phase de choc, si v′′ est la vitesse de remontee de la bille juste apres le choc (prisepositivement vers le haut), on a :

v′′ = ev′ (4.45)

Lors de la troisieme phase, a savoir la phase de remontee, le systeme est conservatif si onneglige l’effet de freinage du a l’air. L’energie totale T +V du systeme reste constante. Si h′′ estla hauteur de remontee de la bille, on a :

1

2mv′′ 2 + 0 = 0 +mgh′′ (4.46)



On a donc :

mgh′′ =1

2mv′′,2 =

1

2m(ev′)2 =

1

2(mv′ 2) e2 = mgh′ e2 (4.47)

La bille remonte a la hauteur maximum h′′ telle que

h′′

h′= e2 (4.48)

Le coefficient de restitution e est donc egal a la racine carree du rapport entre deux rebondssuccessifs :

e =

√

h′′

h′(4.49)

4.1.6.2 Evolution temporelle du rebond d’une bille

On laisse tomber en t = 0, d’une hauteur h, sans vitesse initiale, une bille sur un solhorizontal, et on la laisse rebondir successivement. On recherche la loi y(t) de la hauteur de labille en fonction du temps.

Si hi est la hauteur maximum a laquelle remonte la bille apres le ieme choc produit en ti,

hi = e2 hi−1 = e2i h (4.50)

La vitesse de rebond apres le ieme choc vaut

vi′′ =

√

2 g hi (4.51)

La loi du mouvement apres le ieme choc est :

y = vi′′(t− ti) −

1

2g (t− ti)

2 (4.52)

Fig. 4.10 – Evolution temporelle du rebond d’une bille

Le (i+ 1)eme choc se produit donc en

ti+1 = ti + 2vi

′′

g= ti + 2

√2 g hig

= ti + 23/2

√

higei (4.53)



L’intervalle de temps ti+1 − ti = 23/2√

hig ei entre deux chocs successifs diminue constamment

(e < 1) (ce que traduit l’impression auditive produite par un tel phenomene).

Le temps ti+1 du (i+ 1)eme choc correspond a

ti+1 =

√

2 h

g+

i∑

k=1

23/2

√g

√h ek (4.54)

=

√

2 h

g(1 + 2

i∑

k=1

ek) (4.55)

= t1 (1 + 2 (ei − 1

e− 1− 1)) (4.56)

Le temps d’arret tarret de la bille vaut donc

tarret = limi→∞

ti+1 = t1 (1 + 2 (−1

e− 1− 1)) (4.57)

= t1 (1 + e

1 − e) (4.58)

Si le coefficient de restitution e = 0, le temps d’arret tarret = t1 tandis que si e = 1, tarret = ∞.

4.1.6.3 Interpretation energetique du coefficient de restitution

Le solide S entre en contact avec le solide fixe s. On suppose que le contact est sans frotte-ment.

Verifions que si e = 1, l’energie cinetique du solide S est conservee : T ′′ = T ′ (l’energiepotentielle ne pouvant varier, puisque les deplacements sont supposes nuls).

Les theoremes des generaux aboutissent a :

M (~v′′G − ~v′G ) = Pℓ ~un (4.59)

φG (~ω′′ − ~ω′) =−−→GM ∧ Pℓ ~un (4.60)

D’autre part, lors du contact, l’utilisation du coefficient de restitution donne

~v′′MS/s· ~un = −~v′MS/s

· ~un (4.61)

Or~v′MS/s

= ~v′G + ~ω ′ ∧ −−→GM (4.62)

et~v′′MS/s

= ~v′′G + ~ω′′ ∧ −−→GM (4.63)

de sorte que l’equation (4.61) devient :

(~v′′G + ~ω ′′ ∧ −−→GM)~un = −(~v′G + ~ω ′ ∧ −−→

GM)~un (4.64)

ou~v′′G · ~un + ~ω′′ · (−−→GM ∧ ~un) = −(~v′G · ~un + ~ω′ · (−−→GM ∧ ~un)) (4.65)



et(~v′G + ~v′′G ) · ~un + (~ω′ + ~ω′′ ) · (−−→GM ∧ ~un) = 0 (4.66)

Utilisant les relations (4.59) et (4.60), on obtient ensuite :

M

Pℓ(~v′′G

2 − ~vG′2) +

1

Pℓ(~ω′′ + ~ω′ ) · φG (~ω′′ − ~ω′ ) = 0 (4.67)

soit1

2M ~v′′2G +

1

2~ω′′ · φG ~ω′′ =

1

2M ~v′2G +

1

2~ω′ · φG ~ω′ (4.68)

c’est-a-dire T ′′ = T ′

4.1.7 Validite de la theorie des percussions

La theorie des percussions neglige la deformation des corps reels, ainsi que le temps de pro-pagation des ondes dans les materiaux. La theorie sera bien verifiee pour les corps de dimensionssuffisamment petites par rapport aux longueurs d’ondes des phenomenes de propagation. Pourles corps elances, la theorie est fausse.

Considerons, par exemple, le choc coaxial d’un cylindre S avec une barre elancee S′, dememe section droite et constituee du meme materiau. La theorie des percussions prevoit un

Fig. 4.11 – Choc coaxial d’un cylindre S avec une barre elancee S′

rebond de S sur S′, selon la loi de conservation de la quantite de mouvement totale des corpssupposes rigides et avec conservation de l’energie cinetique totale si le choc est suppose elastique.En realite, des ondes elastiques de compression vont etre generees a l’endroit de l’impact et sepropager avec une certaine vitesse dans les deux solides. Si la longueur L de S′ est suffisammentgrande par rapport a celle ℓ de S, apres un certain temps, l’ensemble du ”paquet d’ondes” generesera entierement dans S′ et S sera au repos !

4.2 Equilibrage d’un solide autour d’un axe

4.2.1 Equations d’equilibre dynamique d’un solide en rotation autour d’unaxe fixe

Le solide S est astreint a tourner sans perte autour de l’axe fixe Oz (Fig. 4.12). Il est soumisa l’action des forces appliquees qui se reduisent a (~Ra ; ~MaO) en O.

Puisque les liaisons sont sans perte, MℓOz = 0, les autres inconnues de liaisonRℓx, Rℓy, Rℓz, MℓOx et MℓOy pouvant a priori prendre n’importe quelle valeur.

Les equations dynamiques de S sont les suivantes :

~Ra + ~Rℓ = M~aG (4.69)

~MaO + ~MℓO =d~LOdt

(4.70)



ce qui donne apres projection sur une base OXY Z liee a S :

RaX +RℓX = −dωdtM YG − ω2M XG (4.71)

RaY +RℓY = −dωdtM XG − ω2M YG (4.72)

RaZ +RℓZ = 0 (4.73)

MaOX +MℓOX = −dωdtIOXZ + ω2IOY Z (4.74)

MaOY +MℓOY = −dωdtIOY Z − ω2IOXZ (4.75)

MaZ = IOZZdω

dt= IOZZ

dα2

dt2(4.76)

L’equation 4.73 de translation suivant l’axe z ne depend pas de la loi du mouvement ; elleexprime simplement que la resultante des forces appliquees parallelement a l’axe de rotation estreprise directement par les liaisons.

L’equation 4.76 de rotation autour de l’axe z correspond a l’equation differentielle du mou-vement.

La loi du mouvement α = α(t) ayant ete determinee par integration de cette equation, lescinq premieres equations permettent le calcul des cinq coordonnees inconnues du torseur desforces de liaison4.

On constate que les forces d’inertie sont proportionnelles a dω/dt et a ω2. Elles peuventprendre des valeurs importantes lors des demarrages ou des ralentissements (dω/dt = Maz/IOzz),ou aux grandes vitesses (ω2). Il importe donc de les reduire au maximum par un equilibrage.

4Selon la facon dont elles sont realisees, on en deduira finalement les differentes forces de liaison, si elles nesont pas surabondantes.

Fig. 4.12 – Solide en rotation autour d’un axe fixe



4.2.2 Caracteristiques d’equilibrage d’un rotor

4.2.2.1 Equilibrage statique

Un rotor est dit statiquement equilibre si son centre de masse G est situe sur l’axe derotation, la resultante des reactions d’inertie etant nulle (~R(−m~a) = ~0) :

XG = YG = 0 (4.77)

Dans ce cas, l’equilibre statique est indifferent autour de l’axe de rotation.

Les equations d’equilibre dynamique de translation montrent que

~Ra = −~Rℓ (4.78)

La resultante des reactions d’inertie s’annule, mais le moment des reactions d’inertie n’estpas nul en general.

4.2.2.2 Equilibrage dynamique

Un rotor est dynamiquement equilibre si l’axe de rotation est axe principal d’inertie pourl’un des points. Si l’on place le pole O en ce point, les produits d’inertie en O sont nuls, etles moments des reactions d’inertie selon les directions perpendiculaires a l’axe de rotation sontnuls :

IOXZ = IOY Z = 0 (4.79)

M(−ma)OX = M(−ma)OY = 0 (4.80)

La resultante des reactions d’inertie n’est toutefois pas nulle en general.

La relation entre moment applique et moment de liaison en O donne :

MℓOX = −MaOX et MℓOY = −MaOY (4.81)

Supposons que la liaison rotoıde soit realisee a l’aide d’une rotule en O et d’un palier-guideplace en un point A de l’axe Oz. Le solide est mis en rotation, et on supprime ensuite les forcesappliquees de sorte que ~MaO = ~O.

Les equations d’equilibre dynamique montrent que l’on a alors ~MℓO = 0 et ω = Cte.

Les forces de liaison peuvent donc se reduire a leur resultante Rℓ localisee en O, ce quiimplique que la force ~FℓA du palier-guide est nulle. On peut supprimer la liaison en A : le solidecontinuera a tourner indefiniment autour de Oz a la meme vitesse angulaire. On verifie ainsiqu’un axe de rotation qui est axe principal d’inertie pour l’un de ses points est un axe permanentde rotation.

4.2.2.3 Equilibrage parfait

Un rotor est parfaitement equilibre s’il est a la fois statiquement et dynamiquement equilibre.Le centre de gravite G doit etre sur l’axe et l’axe de rotation doit etre un axe principal centraldu solide.



En effet, on sait qu’un axe principal central est principal en tous ses points. En effet, siIGXZ = IGY Z = 0, l’application du theoreme des axes paralleles aboutit a IOXZ = IOY Z = 0,quel que soit le pole O choisi.

Les reactions de liaison sont dans ce cas independantes du mouvement du solide :

~Rℓ = −~Ra ,MℓOx = −MaOx ,MℓOy = −MaOy Mℓz = 0 (4.82)

Supposons que le solide soit mis en rotation autour d’un de ses axes principaux centraux,puis que l’on supprime toutes les forces appliquees (~Ra = 0, ~Ma0 = 0). On obtient alors ~Rℓ = 0et ~MℓO = 0, de sorte que l’on peut supprimer toutes les liaisons sans perturber le mouvementde rotation du solide autour de son axe Oz, a vitesse angulaire constante. On verifie ainsi qu’unaxe principal central est un axe naturel de rotation.

4.2.3 Theoreme fondamental de l’equilibrage

Equilibrer un rotor, c’est lui ajouter ou lui enlever des masses de sorte que ses reactionsd’inertie transmises aux paliers soient nulles (equilibrage parfait). Il faut donc que la resultantedes reactions d’inertie soit nulle et les composantes du moment des reactions d’inertie dans unplan perpendiculaire a l’axe Oz soient nulles. En pratique, l’axe de rotation Oz doit devenir axeprincipal central d’inertie pour le solide :

XG = YG = 0 et IGXZ = IGY Z = 0 (4.83)

Les equations 4.73 montrent qu’il suffit de proceder a l’equilibrage d’un rotor rigide lorsquecelui-ci tourne a une vitesse constante ω quelconque : si le rotor est equilibre pour cette vitessede rotation, il le sera pour toute autre vitesse, meme variable.

4.2.3.1 Definition du vecteur balourd

On appelle balourd (m′ r′) ou masse de desequilibre, toute masse m′ excentree, localiseeen un point P ′ situe a une distance r′ de l’axe de rotation, et liee au rotor. Un balourd est

entierement represente par le vecteur-balourd ~B′ = m−−→O′P ′ localise en P ′, O′ etant la projection

de P ′ sur l’axe de rotation Oz.Lorsque le rotor S tourne a la vitesse angulaire constante ω, le vecteur ~B′, lie a S, tourne

autour de Oz, et ω2 ~B′ est la reaction d’inertie produite par la masse de desequilibre.

4.2.3.2 Theoreme de base de l’equilibrage

Du point de vue de son equilibrage, un rotor est equivalent a deux balourds places dansdeux plans perpendiculaires a l’axe de rotation et dont la position est arbitrairement choisie.

Considerons en effet deux balourds ~B′ = m′ ~O′P ′ et ~B′′ = m′′−−−→O′′P ′′ situes respectivementdans les plans π′ et π′′ perpendiculaires a Oz, z′ et z′′ etant les cotes de ces plans, par rapporta l’axe Oz.

Dans le repere XY Z lie au solide S que l’on supposera tourner a vitesse angulaire constante,le torseur des reactions d’inertie s’exprime par :

~R(−m~a) = −m′~aP ′ −m′′~aP ′′ = −m′ω2−−→P ′O′ −m′′ω2

−−−→P ′′O′′ (4.84)

= m′ω2−−→O′P ′ +m′′ω2

−−−→O′′P ′′ = ~B′ω2 + ~B′′ω2 (4.85)



Fig. 4.13 – Systeme constitue par 2 balourds dans deux plans perpendiculaires a l’axe de rotation

~M(−m~a)O=

−−→OP ′ ∧ (−m′~aP ′) +

−−→OP ′′ ∧ (−m′′~aP ′′) (4.86)

=

~uX ~uY ~uZx′ y′ z′

B′Xω

2 B′Y ω

2 0

+

~uX ~uY ~uZx′′ y′′ z′′

B′′Xω

2 B′′Y ω

2 0

(4.87)

Les composantes des reactions d’inertie liees au desequilibre se rapportant au solide S∗

constitue de ces deux balourds :

R(−ma)XS∗/s = ω2(B′X +B′′

X)

R(−ma)Y S∗/s = ω2(B′Y +B′′

Y )

M(−ma)OXS∗/s= ω2(z′B′

Y + z′′B′′Y )

M(−ma)OY S∗/s= ω2(z′B′

X + z′′B′′X) (4.88)

L’equivalence des deux systemes (le rotor S initial et le systeme S∗ constitue par les deuxbalourds) est assure quel que soit le choix de z′ et de z′′ par la resolution du systeme suivant :

R(−ma)XS/s = ω2(B′X +B′′

X)

R(−ma)Y S/s = ω2(B′Y +B′′

Y )

M(−ma)OXS/s= ω2(z′B′

Y + z′′B′′Y )

M(−ma)OY S/s= ω2(z′B′

X + z′′B′′X) (4.89)

Ce systeme peut d’ailleurs etre reecrit en fonction des proprietes d’inertie du solide S. Avitesse ω constante, si G′ est la projection du centre de gravite G sur l’axe Oz, et compte tenudes equations 4.76, on obtient :

~R(−ma)S/s = −M~aG = −M ω2−−→GG′ == M ω2

−−→G′G = M XG ω

2;M YG ω2; 0 (4.90)

~M(−ma)OS/s = −~ω ∧ ΦO~ω = (−IOY Zω2;−IOXZω2; 0) (4.91)



D’ou :

MXG = B′X +B′′

X

MYG = B′Y +B′′

Y

−IOY Z = z′B′Y + z′′B′′

Y

IOXZ = z′B′X + z′′B′′

X (4.92)

Par resolution du systeme d’equations 4.92, on obtient :

B′X =

M XG z′′ − IOXZ

z′′ − z′B′′X =

M XG z′ − IOXZ

z′ − z′′

B′Y =

M YG z′′ − IOY Z

z′′ − z′B′′Y =

M YG z′ − IOY Z

z′ − z′′(4.93)

Il est donc toujours possible de trouver deux balourds ~B′ et ~B′′ ayant les memes ca-racteristiques de desequilibre qu’un rotor S donne, celui-ci etant caracterise par MXG, MYG,IOXZ et IOY Z , la position des plans π′ et π′′ pouvant etre arbitrairement choisie.

4.2.4 Realisation de l’operation d’equilibrage d’un rotor

4.2.4.1 Relation entre balourds d’equilibrage et vibrations induites

Pour equilibrer un rotor S, il suffit d’enlever les balourds B′ = m′r′ et B′′ = m′′r′′ definisdans le theoreme precedent, ou d’ajouter ces balourds en les points symetriques par rapport al’axe de rotation ω.

La resultante ~R(−m~a) = Mω2−−→G′G = Mω2(XG~uX+YG~uY ) et le moment resultant ~M(−m~a)0 =

ω2(−IOY Z~uX+IOXZ~uY ) des reactions d’inertie sont des vecteurs lies a S. Ces reactions d’inertievont donc produire des forces sinusoıdales, de pulsation ω, sur les paliers. Ces forces peuvent etremesurees par des capteurs loges dans les paliers (a l’aide de vibrometres ou d’accelerometres).

Dans deux plans π′ et π′′ perpendiculaires a l’axe, on place des balourds correctifs B′ etB′′ (ou on enleve de la matiere), de sorte que les capteurs enregistrent finalement la vibrationminimum acceptable.

Les vibrations mesurees en deux points 1 et 2 du stator ont un contenu frequentiel dominepar la composante correspondant a la pulsation de rotation du moteur. On considerera donc lesdeux reponses sinusoıdales suivantes aux points 1 et 2 (Fig. 4.2.4.1) :

x1(t) = X1 cos(ωt+ Φ1) (4.94)

x2(t) = X2 cos(ωt+ Φ2) (4.95)

Les excitations et les reponses etant sinusoıdales et de meme pulsation, on peut lesrepresenter grace a leurs substituts complexes B′ et B′′ correspondants, definis par :

X1 cos(ωt+ Φ1) = Re X1ejωt avec X1 = X1e

jΦ1 (4.96)

X2 cos(ωt+ Φ2) = Re X2ejωt avec X2 = X2e

jΦ2 (4.97)

B′ cos(ωt+ α1) = Re B′ejωt avec B′ = B′ejα′

(4.98)

B′′ cos(ωt+ α2) = Re B′′ejωt avec B′′ = B′′ejα′′

(4.99)



Fig. 4.14 – Machines a equilibrer des pneumatiques

Fig. 4.15 – Vibrations induites sur le stator a la pulsation de rotation du rotor

Au depart, les reponses aux balourds naturels sont decrites par les substituts complexes X10

et X20.

Le probleme revient a determiner quels balourds il convient d’ajouter dans les plans π′ etπ′′ du rotor pour que les vibrations induites aux points 1 et 2 du stator s’annulent.

Si on considere le systeme comme lineaire, les reponses aux balourds ajoutes dans le plan π′



et π′′ satisfont a :

X1 = X10 + Z11 B′ + Z12 B

′′ (4.100)

X2 = X20 + Z21 B′ + Z22 B

′′ (4.101)

4.2.4.2 Determination des coefficients d’influence

Le coefficient d’influence Zij est un nombre complexe explicitant la relation (en amplitudeet en phase) existant entre un balourd place dans le plan j et la vibration mesuree au point i. Lemodule de ce coefficient d’influence decrit la relation entre l’amplitude de la vibration induiteet le balourd, l’argument decrivant la phase a rajouter a la phase du balourd pour determinerson effet sur la phase de la reponse.

Les balourds a ajouter dans les plans π′ et π′′ seront donc les solutions du systeme d’equations(dont les inconnues sont les nombres complexes B′ et B′′) exprimant que la reponses aux points1 er 2 apres addition de ces balourds s’annulent :

X10 + Z11 B′ + Z12 B

′′ = 0 (4.102)

X20 + Z21 B′ + Z22 B

′′ = 0 (4.103)

La connaissance des coefficients d’influence est necessaire et peut etre determinee en ajoutantdans chaque plan un balourd connu dans une direction de reference connue.

Ainsi par exemple, si la direction de reference dans le plan π′ est la direction 1′ (Fig. 4.16),et si on ajoute un balourd m′r′ sur la direction 1′, on teste l’effet d’un balourd B′(1′) = m′r′ej0

sur les reponses aux points 1 et 2, qui deviennent

X1(1′) = X10 + Z11 B

′(1′) X2(1′) = X20 + Z21 B

′(1′) (4.104)

Chacune de ces deux equations donnera le coefficient d ’influence correspondant Z11 et Z21.

De meme, si la direction de reference dans le plan π′′ est la direction 1′′, et si on ajoute unbalourd m′′r′′ sur la direction 1′′, on teste l’effet d’un balourd B′′(1′′) = m′′r′′ej0 sur les reponsesaux points 1 et 2, qui deviennent dont

X1(1′′) = X10 + Z12 B

′′(1′′) X2(1′′) = X20 + Z22 B

′′(1′′) (4.105)

Chacune de ces deux equations donnera le coefficient d’influence correspondant Z12 et Z22.

4.2.4.3 Verification de l’hypothese de linearite et comportement lineaire moyen

L’hypothese de linearite a ete adoptee, et revient a admettre qu’un coefficient d’influencecaracterise completement la relation d’un balourd place dans le plan et la reponse en un pointdu stator, quelle que soit sa position dans le plan et quelle que soit sa grandeur.

Cete hypothese pourra etre verifiee (et critiquee) pour ce qui concerne l’effet de la positiondans le plan si on mesure successivement les reponses induites lorsque un meme balourd estplace dans d’autres directions du plan et notamment les directions 2’, 3’ et 4’ (par exemple pourle plan π′, faisant entre elles un angle de 90 degres (Fig. 4.16).



Fig. 4.16 – Balourds en rotation dans les plan π′ et π′′

Les relations entre les reponses obtenues pour ces 4 directions perpendiculaires s’exprimentpar :

X1(1′) = X10 + Z11 B

′(1′) (4.106)

X1(2′) = X10 + Z11 B

′(2′) (4.107)

X1(3′) = X10 + Z11 B

′(3′) (4.108)

X1(4′) = X10 + Z11 B

′(4′) (4.109)

Si l’on examine la position de ces points dans le plan complexe (Fig. 4.17), on constate quele point X1(1

′), representatif de la reponse au point 1 pour un balourd dans la direction 1′, peutetre obtenu a partir de la position de la reponse au balourd naturel X10 a laquelle on ajoute levecteur Z11B

′(1′).

Pour le point X1(2′), representatif de la reponse au point 1 pour un balourd dans la direction

2′, le point representatif est obtenu a partir de la position de la reponse au balourd naturel X10

a laquelle on ajoute le vecteur Z11B′2′ , qui n’est rien d’autre que le vecteur Z11B

′1′ qui aura

effectue une rotation de 90 degres (puisque B′(2′) = B′(1′)ej90 et que Z11 est considere commeconstant).

Un raisonnement analogue pour les points representatifs des reponses aux balourds placesen 3′ et 4′ conduirait au trace d’un carre dans le plan complexe. La plus ou moins grandedistorsion de ce carre est une image de la plus ou moins grande linearite du systeme. De plus,la position de ce carre peut etre exploitee en tracant le meilleur carre (au sens des moindrescarres) collant au mieux aux reponse obtenues, ce qui permettrait de determiner un coefficientd’influence correspondant au comportement lineaire moyen5.

5Une procedure du meme type pourrait etre utilisee pour tester la dependance eventuelle du coefficient d’in-fluence par rapport a l’amplitude du balourd.



Fig. 4.17 – Points representatifs des vibrations induites au point 1 naturellement (X10), et apresaddition de balourds dans les directions 1′, 2′, 3′ et 4′

4.3 Gyroscopie

4.3.1 Les conditions definissant l’approximation gyroscopique

Un gyroscope est un solide de revolution en rotation rapide autour de son axe. S’il est placedans un systeme de telle facon qu’il peut tourner sans perte autour d’un point O sur cet axe(grace a une suspension a la cardan par exemple), cette rotation rapide lui confere une tresgrande stabilite, qui peut etre exploitee notamment lorsqu’il s’agit de stabiliser l’orientationde solides dans l’espace (horizon artificiel en navigation aerienne par exemple ou minimisationdes effets perturbateurs sur la trajectoire d’obus, qui sont de ce fait anime d’un mouvement derotation a la sortie du canon).

Deux conditions definissent l’approximation gyroscopique :– le solide S est dynamique de revolution autour de son axe G3 (inertie axiale IA, inertie

equatoriale IE en O), articule sans perte autour du point fixe O de cet axe (a l’aide d’unesuspension de Cardan par exemple) ;

– le solide S est anime d’une grande vitesse de rotation axiale.Si on considere le systeme d’axes 1, 2 et 3 (ce dernier etant l’axe de revolution)

~ω = ω1~u1 + ω2~u2 + ω3~u3 (4.110)

la composante axiale ω3 etant nettement plus grande que les autres composantes ω1 et ω2 de lavitesse :

ω3 ≫ ωE , ~ωE~uE = ω1~u1 + ω2~u2, etant la vitesse de rotation equatoriale.



Fig. 4.18 – Solide de revolution autour de OG3

Le moment cinetique du gyroscope autour du point fixe O s’exprime par :

~LO = ΦOω =

IE 0 00 IE 00 0 IA

ω1

ω2

ω3

= IEω1~u1 + IEω2~u2 + IAω3~u3 = IEωE~uE + IAω3~u3 (4.111)

L’approximation gyroscopique revient a considerer que le moment cinetique du gyroscopese ramene essentiellement a son moment cinetique axial (ou spin) (IAω3 ≫ IEωE) :

~LO ∼ IAω3~u3 (4.112)

La direction du moment cinetique ~LO coıncide approximativement avec l’axe OG3 du gyroscope.

La propriete caracteristique d’un gyroscope (qui sera demontree au point suivant) est lasuivante : si un moment perturbateur ~MaO est applique en O perpendiculairement a l’axe derotation ~u3 du gyroscope (en rotation a la vitesse angulaire ω3), celui-ci ne bascule pas selonl’axe du moment perturbateur applique (ce qu’il ferait si le solide n’etait pas en rotation axialerapide), mais plutot suivant un axe ~uE perpendiculaire a ~u3 et ~MaO :

ωE~uE =~u3 ∧ ~MaO

IAω3(4.113)

Il tend ainsi a s’aligner sur l’axe du couple applique par le plus court chemin, la vitesse derotation ωE etant d’autant plus faible que le moment d’inerte IA et la vitesse de rotation dugyrosocpe ω3 sont grands.

4.3.2 Equations differentielles du mouvement d’un gyroscope

Cette mise en equation sera realisee en deux etapes, en passant d’abord par– les equations d’equilibre dynamique d’un solide autour d’un point O autour duquel il peut

tourner sans perte (il s’agit des equations d’Euler) ;– l’application des equations d’Euler au cas particulier d’un gyroscope



4.3.2.1 Equations d’Euler : mouvement d’un solide autour d’un point fixe O

Considerons un solide S pouvant tourner sans perte autour du point fixe O ainsi qu’unsysteme d’axe O1, O2 et O3 correspondant aux directions principales en O.

Fig. 4.19 – Solide en rotation autour d’un point O

L’equation d’equilibre de rotation autour du point O donne :

MO +MℓO = ΦOd~ω

dt+ ~ω ∧ ΦO~ω (4.114)

MOxMOyMOz

+

MℓOxMℓOyMℓOz

=

I1 0 00 I2 00 0 I3

dω1/dtdω2/dtdω3/dt

+

~u1 ~u2 ~u3

ω1 ω2 ω3

I1ω1 I2ω2 I3ω3

(4.115)

Si on tient compte du fait que la rotation s’effectue sans perte autour du point O ( ~MℓO = ~0),on obtient les equations d’Euler :

MaO1 = I1dω1

dt+ (I3 − I2)ω2ω3 (4.116)

MaO2 = I2dω2

dt+ (I1 − I3)ω1ω3 (4.117)

MaO3 = I3dω3

dt+ (I2 − I1)ω2ω1 (4.118)

4.3.2.2 Mouvement d’un gyroscope autour d’un point de son axe

Si le moment ~MaO initial des forces appliquees sur S est nul, l’axe OG3 reste fixe dansl’espace lorsqu’il est abandonne a lui-meme sans vitesse initiale (ωE(0) = 0).

Supposons ensuite que S soit soumis a l’action de forces dont le moment par rapport a l’axeOG3 est nul. On ne quantifiera en pratique que l’effet d’un moment perturbateur perpendiculairea l’axe du gyroscope, donc tel que :



~MaO = MaO1~u1 +MaO2~u2 = MaOE~uE (4.119)

MaO3 etant nul, la troisieme equation d’Euler (Equ. 4.118) implique que la rotation ω3 autourde l’axe ~u3 reste constante. En effet, si la direction du gyroscope coıncide avec la direction 3, ona

I3 = IA et I2 = I1 = IE (4.120)

La troisieme equation d’Euler de rotation autour de l’axe du gyroscope donne :

MaO3 = IAdω3

dt+ (IE − IE)ω2ω1 = IA

dω3

dt= 0 D’ou ω3 = constante (4.121)

Le theoreme du moment cinetique en O s’exprime par

~MaO =d~LOdt

(4.122)

Suite a l’approximation gyroscopique, on obtient

~MaO =dIAω3~u3

dt(4.123)

La vitesse ω3 etant constante, on aboutit a

~MaO = IAω3d~u3

dt(4.124)

En appliquant la composition des derivees (en passant par le solide S lui-meme), on obtient :

~MaO = IAω3(~ω ∧ ~u3) = IAω3[(ω3~u3 + ωE~uE) ∧ ~u3)] = IAω3((ωE~uE) ∧ ~u3) = IA(ωE~uE ∧ ω3~u3)(4.125)

Si on multiplie les deux membres de cette relation par ~u3, on obtient :

~u3 ∧ ~MaO = ~u3 ∧ IA(ωE~uE ∧ ω3~u3) (4.126)

Si on applique la formule d’expulsion, on obtient in fine

~u3 ∧ ~MaO = IAω3ωE [(~u3~u3)~uE − (~u3~uE)~u3)] = IAω3ωE~uE (4.127)

D’ou

ωE~uE =~u3 ∧ ~MaO

IAω3(4.128)

On en deduit que, sous l’action du couple applique ~Ma0, l’axe du gyroscope ne tourne pasautour de l’axe de ce couple, ce qu’il ferait si le solide S n’etait pas en rotation axiale rapide,mais qu’il tourne autour d’un axe perpendiculaire a ~u3 et a ~Ma0. L’axe du gyroscope tend as’aligner sur l’axe du couple applique par le plus court chemin (tendance au parallelisme desaxes de rotation). La vitesse de rotation ωE = Ma0/IAω3 est d’autant plus faible que le momentcinetique axial (IAω3) est grand.

La rotation axiale rapide du gyroscope lui assure une grande stabilite (le changement dedirection de l’axe sous l’influence d’un couple perturbateur est d’autant plus faible que le momentcinetique est eleve). Lorsque le couple ~MaO cesse d’agir, l’axe du gyroscope reste fixe dans laposition atteinte (en realite, il precessionne avec une faible nutation autour de cette position).



4.3.2.3 Comparaison de l’effet d’un moment perturbateur sur un solide en rotationou non

Pour illustrer la stabilite d’un gyroscope S, comparons son comportement a celui d’un solideidentique S∗ qui ne tourne pas sur lui-meme, lorsque ces deux solides sont soumis a l’action d’uncouple perturbateur ~MaO perpendiculaire a l’axe OG3 (MaO3 = 0) durant l’intervalle de temps∆t.

Fig. 4.20 – Comparaison de l’effet d’un moment perturbateur sur un solide initialement a l’arretou en rotation

Initialement, aucun couple n’agit sur les solides articules en O : ils restent en equilibre dansleur position actuelle.

Sous l’action du couple ~Ma0, S∗ tourne et acquiert le moment cinetique ∆~L = ~Ma0∆t.

Lorsque ~Ma0 s’annule, S∗ continue a tourner avec la vitesse angulaire constante ω = ωE =∆~L0/IE (tout axe perpendiculaire a O3 est principal et constitue un axe permanent de rotation).

Pour le gyroscope S, sous l’action de Ma0, celui-ci deviera legerement, son moment cinetiquepassant de la valeur initiale ~LO = IAω3~u3(0) a la valeur finale.

~LO + ∆~LO = IAω3~u3(0) + ~Ma0∆t ∼ IAω3~u3 (4.129)

L’axe O3 passe approximativement de la position ~u3(0) a la position ~u3(f), l’ecart angulaireη entre ces deux positions etant tres faible :

η = arctan∆L0

L0∼ Ma0∆t

IAω3(4.130)

Lorsque le couple ~Ma0 est supprime, l’axe du gyroscope s’immobilise. Le gyroscope resisteaux deviations que l’on veut lui imposer.

On qualifie d’effet gyroscopique, l’ensemble des phenomenes precedents, relatifs a un gyro-scope en rotation axiale rapide et articule au point fixe O6.

6Tout ce qui precede s’applique sans modification au mouvement d’un gyroscope autour de son centre de masse,quel que soit le mouvement de ce dernier, puisque le mouvement d’un solide autour de son centre de masse est lememe que si ce dernier restait fixe.



Fig. 4.21 – Structure cinematique d’un gyroscope a la base d’un dispositif maintenant un horizonartificiel

4.3.2.4 Quelques applications exploitant la stabilite d’un gyroscope

L’effet gyroscopique est utilise lorsqu’on veut exploiter une orientation fixe dans un systememecanique, comme par exemple,

– le lancement de projectiles (obus, satellites,...) auxquels on confere une grande vitesse derotation axiale ;

– l’usage de gyroscopes comme reperes de direction (guidages inertiels, horizons artificiels,plate-formes gyroscopiques,...) (Fig. 4.21)

4.3.3 Couple gyroscopique

4.3.3.1 Reactions d’inertie dues a la combinaison de deux rotations

Les machines mobiles comportent frequemment des masses en rotation rapide (roues, volants,turbines,...). Toute rotation de ces machines provoque des effets gyroscopiques sur les paliers quisupportent les rotors. Nous nous proposons de calculer ces couples ”inattendus”.

Considerons un solide S” dynamiquement de revolution, en rotation autour de son axeprincipal central AB par rapport au solide S′ (carter ou armature). ~ωr = ωr~ur designe larotation ~ωS′/s de S′ par rapport au repere galileen s (rotation d’entraınement).

(~R′e, ~M

′e0) sont les coordonnees par rapport a un pole fixe O du torseur des forces exterieures

agissant sur S′ ; (~Re”, ~Me0”) sont celles du torseur des forces exterieures agissant sur S” ; (~Re =~R′e+ ~Re”; ~Me0 = ~M ′

e0 + ~Me0”) sont les coordonnees du torseur s’exercant sur l’ensemble des deuxsolides S′ et S”.

Designons par S∗, le solide que l’on obtiendrait en soudant S” a S′, c’est-a-dire en supposantque ωr = 0. La position relative de S” par rapport a S′ dans l’ensemble rigide S∗ importe peupuisque S” est dynamiquement de revolution autour de AB.

Le probleme est le suivant : on recherche le torseur de forces qu’il faudrait ajouter au torseurreellement applique (~Re, ~Me0) pour que le solide S∗ ait le meme mouvement que le solide S′

lorsque ce dernier comporte le rotor S” tournant a la vitesse constante ωr.



Fig. 4.22 – Gyroscope

Fig. 4.23 – Gyroscope et suspension a la cardan



Fig. 4.24 – Effets dynamiques resultant de la combinaison d’une rotation relative et d’unerotation d’entraınement

4.3.3.2 Theoreme de la quantite de mouvement

La quantite de mouvement totale de S′ et S” vaut :

~P = ~P ′ + ~P ′′ = ~P ′ + ~M”~vG′′ (4.131)

La quantite de mouvement du solide S∗ vaut :

~P ∗ = ~P ′ + ~M ′′~vG′′ = ~P (4.132)

puisque S∗ a le meme mouvement que S′ et que le centre de masse G′′ de S” est sur AB liea S′. Des lors,

d~P ∗

dt=d~P

dt= ~Re (4.133)

Le theoreme de la quantite de mouvement n’est pas modifie. Il ne faut ajouter aucuneresultante supplementaire a ~Re pour que ce theoreme s’applique au solide S∗ (autrement dit :le centre de masse de S∗ est identique a celui de l’ensemble de S′ et S′′ ; il a meme mouvements’il est soumis a l’action de la meme force ~Re).

4.3.3.3 Theoreme du moment cinetique

Le moment cinetique de S′′ vaut :

~L′′O = ~L′′

G′′ +M ′′~eG′′ ∧ ~vG”

= φG′′(~ωr + ~ωe) +M ′′~eG′′ ∧ ~vG′′

φG′′ etant le tenseur d’inertie central de S′′ (S′′ etant dynamiquement de revolution, φG′′ est lememe a tout instant par rapport a S’).



Le moment cinetique total de S′ et S” vaut donc :

~LO = ~L′O + ~LO” = ~L′

O + φG′′(~ωr + ~ωe) +M ′′~eG′′ ∧ ~vG′′ (4.134)

Le moment cinetique du solide S∗ ayant le meme mouvement que S′ vaut de meme :

~L∗O = ~L′

O + φG′′(ωe) +M ′′~eG′′ ∧ ~vG′′ (4.135)

Donc,~LO − ~L∗

O = φG′′~ωr = IA~ωr = IAωr~ur (4.136)

si IA est le moment d’inertie axial de S”. La difference des moments cinetiques est simplementle moment cinetique relatif de S”. Des lors,

d~LOdt

=d~L∗

O

dt+ IAωr

d~urdt

(4.137)

Or

d~urdt

=

(d~urdt

)

s

=

(d~urdt

)

S′

+ ~ωe ∧ ~ur (4.138)

= ~ωe ∧ ~ur (4.139)

de sorte que,

d~LOdt

=d~L∗

O

dt+ IAωr~ωe ∧ ~ur

=d~L∗

O

dt+ IA~ωe ∧ ~ωr = ~MeO

Finalement, on obtient :

d~L∗O

dt= ~MeO + ~Cg (4.140)

en posant~Cg = IA~ωr ∧ ~ωe (4.141)

Le theoreme du moment cinetique est donc applicable a l’ensemble rigide S∗, a conditiond’ajouter au couple ~MeO reellement exerce, le couple fictif ~Cg.

En resume, le solide S∗ constitue du solide S” soude au solide S′, se meut comme le solideS′, a condition d’ajouter au torseur des forces reelles (~Re, ~MeO) exerce sur S′ et S”, un couplefictif ~Cg applique a S”, appele couple gyroscopique, avec ~Cg = IA~ωr ∧ ~ωe

Le couple gyroscopique ~Cg permet d’expliquer les resultats du numero precedent (effet gy-

roscopique), notamment la tendance au parallelisme des axes de rotation des gyroscopes (~Cg,perpendiculaire a ωr et ωe, tend a amener ~ωr sur ~ωe).

Remarquons que la puissance developpee par un couple gyroscopique est nulle :

Pg = ~Cg ~ωe = 0 (4.142)

Les forces gyroscopiques ne mettent pas d’energie en jeu.

Les positions d’equilibre d’un systeme S comprenant des gyroscopes sont les memes quecelles du systeme S∗, ou les gyroscopes sont supposes soudes a leur carter, puisque les couplesgyroscopiques s’annulent a l’equilibre. Mais, la stabilite d’un systeme comprenant des gyroscopesest en general differente de celle du systeme S∗ correspondant.



4.3.4 Exemples d’effets dus au couple gyroscopique

4.3.4.1 Inertie gyroscopique d’un gyroscope dans une valise

Considerons une valise contenant un gyroscope tournant a grande vitesse ωr. L’axe Gx dugyroscope est horizontal. Tant que l’on donne a la valise des mouvements de translation, il nese produit aucun effet ”anormal” :les effets d’inertie sont ceux auxquels on s’attend.

Fig. 4.25 – Valise contenant un gyroscope

Si l’on soumet ensuite la valise a une rotation instantanee verticale

~ωe = ωe~uz (4.143)

en tournant la poignee par exemple, il se developpe un couple gyroscopique tendant a aligner~ωr sur ~ωe :

~Cg = −IAωrωe~uy (4.144)

La valise va tendre a tourner autour de l’axe horizontal Gy, et non autour de la verticalecomme on s’y attendrait ! Elle s’oppose au mouvement qu’on voudrait lui imposer. Cet exemplemontre les effets particuliers de l’inertie gyroscopique.

4.3.4.2 Avion monoreacteur en virage

Un avion monoreacteur volant a 2400 km/h vire a droite en decrivant un cercle horizontalde 10 km de rayon. Son reacteur est longitudinal et tourne a 9000 tours par minute, dans unsens positif par rapport a un axe Gx dirige vers l’avant. Le moment d’inertie axial IA du rotorest egal a 50 kgm2. Le couple gyroscopique developpe sur le rotor durant le virage vaut :

~Cg = IA~ωr ∧ ωe (4.145)

avec ~ωr = 9000 2π60 ~ux et ~ωe = 2400

3600 10~uz,

l’axe Gz etant dirige vers la verticale descendante. On obtient :

~Cg = −3141 (N.m)~uy (4.146)

Gy etant dirige vers le centre du cercle. Ce couple de tangage, tres perceptible pour le pilote,va tendre a faire piquer l’avion.



4.3.4.3 Efforts supplementaires dus a la rotation des paliers d’un rotor

Un rotor S” de 100 kg et d’inertie axiale IA = 1 kgm2, tourne autour d’un axe horizontalAB a la vitesse angulaire de 1500 tr/min. L’arbre du volant est soutenu par deux paliers A etB distants de 0.5m, ces paliers etant solidaires d’un bati S′.

Fig. 4.26 – Rotor dont les paliers sont eux-memes entraınes dans un mouvement de rotationd’entraınement

Si S′ est fixe, les forces dans les paliers A et B valent 100 9.812 = 491N , en supposant que le

rotor est place au milieu de AB.

Supposons ensuite que le bati S′ tourne autour de la verticale avec une vitesse angulairerelativement faible, par exemple 100 tr/min. Le couple gyroscopique agissant sur S” du fait decette rotation vaut :

~Cg = IA~ωr ∧ ωe

= −1 · 1500 · 100 ·(

2π

60

)2

~ux

Les efforts supplementaires dans les paliers A et B pour reprendre ce couple valent :

~RB = −~RA = 3290N uz (4.147)

soit presque 7 fois les efforts dus au poids !

Notons qu’il faudra eventuellement ajouter a ces efforts ceux engendres par la rotation dusolide S∗ = S′+S” autour de Oz. Sur les gros navires, les efforts supplementaires dans les paliersdes turbines disposees suivant l’axe du navire peuvent ainsi atteindre des dizaines de tonnes,suite au mouvement de tangage.



4.3.5 Resume des effets gyroscopiques

Si l’on exerce un couple ~MaO (avec MaO3 = 0) sur l’axe d’un gyroscope, cet axe oG3 subitla rotation instantanee

~ωE =~u3 ∧ ~MaO

IAω3(4.148)

tendant a amener l’axe O3 sur l’axe du couple.

Si l’on oblige le gyroscope a subir une rotation instantanee ~ωe, il exerce sur son carter lecouple gyroscopique

~Cg = IAωr~u3 ∧ ~ωe (4.149)

tendant a amener l’axe O3 sur l’axe de la rotation imposee.

Dans les deux cas, les phenomenes gyroscopiques tendent a aligner l’axe du gyroscope selonl’axe qu’on veut lui imposer ( ~MaO ou ~ωe), de maniere a annuler la cause des phenomenes.

Les relations precedentes expriment les memes phenomenes, mais decrits en intervertissantce que l’on choisit comme cause et comme effet.

4.3.6 Exemple d’application : le compas gyroscopique

4.3.6.1 Influence de la rotation de la terre sur un gyroscope

Considerons un gyroscope S′′, d’inertie axiale IA, en rotation entretenue ~ωr par rapport aun carter S′. Soit O le centre de masse du solide S∗ = S′ + S” obtenu en soudant S” a S′. Lecarter peut tourner sans perte autour de O, fixe par rapport a la terre s.

On sait que la terre ne constitue pas un repere galileen, mais que le repere geocentrique Sgpeut etre considere comme galileen si on neglige l’effet des autres astres. On peut donc appliquerla theorie du couple gyroscopique au mouvement de S′ par rapport a ce repere geocentriqueSg = s : le mouvement de S∗ est le meme que celui de S′, a condition de supposer que le couple~Cg suivant s’exerce sur S” soude sur S′ :

~Cg = IA(ωS′′/S′ ∧ ωS′/s) = IA~ωr ∧ (~ωS′/ST+ ~ωST /s) = IA~ωr ∧ (~ωe + ~Ω) (4.150)

~Ω etant le vecteur rotation de la terre par rapport au repere geocentrique.

Pour etudier ensuite le mouvement de S∗ par rapport a la terre s, il faut remplacer l’at-traction de la terre sur les divers elements materiels m par leur poids m~g, et ajouter aux forcesreelles et a ~Cg, les forces d’inertie de Coriolis

−2m~Ω ∧ ~v = −2m~Ω ∧ (ωe ∧ ~e) (4.151)

La resultante des forces de Coriolis est nulle :

~Rc = −2∑

m~Ω ∧ ~v = −2 Ω ∧ (∑

m~v) = ~0 (4.152)

(∑m~v = ~P = ~0, puisque le centre de masse de S∗ est en O fixe).

Les forces de Coriolis forment donc un couple, dont le moment est :

~Mc = −2∑

m~e ∧ (~Ω ∧ (~ωe ∧ ~e)) = 2∑

m(Ω~e)(~ω ∧ ~e) (4.153)



La grandeur de ce couple est de l’ordre de IAΩωe

~Mc est donc negligeable vis-a-vis du couple gyroscopique

~Cg = IAωr ∧ (~ωe + ~Ω) (4.154)

(ωr ≫ Ω et ωr ≫ ωe, les vitesses de rotation ωe du carter S′ etant faibles en pratique).

En resume, le theoreme du moment cinetique pour le mouvement de S∗ par rapport a laterre peut s’ecrire :

d

dt(~L∗

O) =d

dt(φ∗O~ωe) = ~MeO + IA~ωr ∧ ~ωe + IAωr ∧ ~Ω (4.155)

En consequence, pour tenir compte de l’influence de la rotation de la terre sur un gyroscope,il suffit d’appliquer sur ce gyroscope le couple supplementaire

~CgΩ = IA~ωr ∧ Ω (4.156)

et de considerer que la terre constitue un repere galileen.

Par rapport au systeme d’axes locaux Oxyz (Ox =sud, Oy =est,Oz = verticale ou zenith),on obtient :

~CgΩ = IAΩ[ωry cosλ ~ux − (ωrx cosλ+ ωrz sinλ)~uy + ωry sinλ~uz] (4.157)

λ etant la colatitude du lieu.

4.3.6.2 Principe du compas gyroscopique

Supposons que S′ soit astreint a tourner sans perte autour de la verticale Oz et que l’axe dugyroscope soit cale dans S′ perpendiculairement a Oz : l’axe du gyroscope est astreint a resterdans le plan horizontal Oxy.

Si α designe l’azimut de l’axe du gyroscope par rapport a la direction Ox′ du nord, on a :

ωrx = −ωr cosα

ωry = −ωr sinα

CgΩz = −IAΩωr sinα sinλ (4.158)

L’equation du mouvement de S′ autour de Oz s’ecrit alors :

I∗Ozzd2α

dt2+ IAΩωr sinα sinλ = 0 (4.159)

On reconnaıt une equation du meme type que celle du pendule simple qui pour des anglesα faibles (sinα = α)devient :

I∗Ozzd2α

dt2+ IAΩωr sinλα = 0 (4.160)

Elle admet aux faibles oscillations, une solution sinusoıdale dont la pulsation ω est egale a :

ω =

√

IAΩωr sinλ

I∗Ozz= 0 (4.161)



Fig. 4.27 – Structure cinematique d’un compas gyroscopique

L’axe du gyroscope va donc osciller autour de la direction Ox′ du Nord, la periode des faiblesoscillations etant

T =2π

√IAI∗Ozz

Ωωr sinλ(4.162)

Suite aux amortissements, l’axe du gyroscope s’arretera dans la direction du Nord, en α = 0.L’appareil considere peut donc assurer la fonction de compas gyroscopique7.

7Remarquons que α = π (direction du sud) est une position d’equilibre instable.


Chapitre 5

La dynamique du point materiel etses applications aux mouvements dessatellites et aux effets de rotation dela terre

Il faut accepterde paraıtre ignorant

pour apprendre

5.1 Les lois de Kepler et ses applications aux mouvements desplanetes (et des satellites)

Les equations de base de la dynamique du point materiel sont a la base des celebres lois deKepler qui permettent a la fois de decrire les mouvements de planetes autour du soleil ainsi quecelui des satellites en orbite terrestre :

– les planetes (les satellites) ont une orbite elliptique dont le soleil (la terre) est l’un desfoyer (Fig 5.5) ;

– une ligne joignant une planete (un satellite) au soleil (a la terre) balaie une surface iden-tique en l’unite de temps (Fig 5.4) ;

– le carre de la periode de revolution d’une planete (d’un satellite) est proportionnel au cubede demi-axe long de sa trajectoire elliptique (Fig 5.7)

5.1.1 Equations d’equilibre de translation

Considerons une masse ponctuellem en P soumise a la resultante ~R (Fig. 5.1), en mouvementpar rapport au repere galileen s.

L’equation d’equilibre dynamique projetee sur le systeme d’axes fixes Oxyz aboutit au

202

CHAPITRE 5. LA DYNAMIQUE DU POINT MATERIEL ET SES APPLICATIONS . . . 203

systeme classique :

Rx = max = md2x

dt2(5.1)

Ry = may = md2y

dt2(5.2)

Rz = maz = md2z

dt2(5.3)

Pour des conditions initiales donnees, l’integration numerique de ce systeme permettrait dedeterminer numeriquement la trajectoire, pour autant que la fonction ~R = ~R(x, y, z) precisantla resultante ~R en fonction de la position x, y, z soit bien determinee.

Fig. 5.1 – Masse ponctuelle soumise a une resultante ~R

Si on souhaite toutefois degager analytiquement les proprietes de la trajectoire de la masseponctuelle, il convient de projeter l’equation vectorielle d’equilibre sur le systeme d’axes localdefini par le triedre de Fresnet (~ut, ~un, ~ub), et constitue par le vecteur ~ut tangent a la trajectoire,~un, normal a la trajectoire dans le plan osculateur, la direction normale contenant le centre decourbure C, distant du rayon de courbure ρ par rapport au point P (~ub = ~un ∧ ~ut).

Si s = s(t) decrit l’evolution par rapport au temps de la coordonnee curviligne precisant laposition du point P sur sa trajectoire, on peut rappeler que :

– la vitesse du point P est tangentielle et s’exprime par

~vP/s = vt~ut avec vt =ds

dt(5.4)

– l’acceleration du point P comporte une composante tangentielle et une composante nor-male :

~aP/s =d2s

dt2~ut +

v2t

ρ~un (5.5)

On a donc

Rt = mat = md2s

dt2(5.6)

Rn = man = mv2t

ρ(5.7)

Rb = mab = 0 (5.8)

On peut en deduire que



– la resultante est dans le plan osculateur, autrement dit la tangente et la normale a latrajectoire contiennent cette resultante ~R,

– Rn etant positif, le centre de courbure C est situe du cote dans lequel se trouve la resultantedes forces appliquees sur la masse ponctuelle.

5.1.2 Application du theoreme du moment cinetique

Considerons une masse ponctuelle m en A soumise a une force resultante ~R. L’applicationdu theoreme du moment cinetique donne :

d~LOdt

= ~MO ou d~LO = ~MOdt (5.9)

ce qui conduit sous forme integree a :

~LO(t) − ~LO(0) =

∫ t

0

~M0dt (5.10)

5.1.2.1 Premier cas : si la projection selon l’axe Oz du moment en O est nulle atout instant : MOz(t) = 0

Cette hypothese signifie pratiquement que la resultante ~R passe par l’axe Oz a tout instant(Fig. 5.2). En effet, comme

~MO =−→OA ∧ ~R (5.11)

si la resultante ~R passe par l’axe Oz, le vecteur ~MO est perpendiculaire au plan forme par−→OA

et ~R, et a donc une composante MOz sur Oz nulle.

Il y a des lors conservation du moment cinetique en O suivant l’axe z puisque :

LOz(t) − LOz(0) =

∫ t

0MOzdt = 0 (5.12)

Et :LOz(t) = LOz(0) (5.13)

Interpretation de la conservation du moment cinetique selon Oz - Loi des aires

Le moment cinetique ~LO s’exprime en coordonnees cartesiennes par :

~LO = ~OA ∧m~vA =

~ux ~uy ~uzx y zmvx mvy mvz

(5.14)

La composante suivant l’axe Oz du moment cinetique (composante qui reste donc constante)s’exprime par :

LOz = m(x vy − y vx) (5.15)

D’ou

x vy − y vx =LOzm

= c (5.16)

La constante c = LOz/m est appelee la constante des aires.



Fig. 5.2 – Masse ponctuelle soumise a une resultante ~R passant a tout instant par un axe Oz.Loi des aires dans le plan xy perpendiculaire a Oz

L’interpretation geometrique est toutefois plus directe en coordonnees cylindriques. Si (r, θ,z) sont les coordonnees cylindriques du point A (r, θ) sont les coordonnees polaires decrivent laposition de la projection A′ du point A dans le plan x, y perpendiculaire a l’axe Oz.

En effet

x = r cos θ et vx = r cos θ − θ sin θ r (5.17)

y = r sin θ et vy = r sin θ + θ cos θ r (5.18)

La conservation du moment cinetique suivant l’axe z conduit donc en coordonnees cylin-driques a :

x vy − y vx = rcosθ(r sin θ + θ cos θ r) − r sin θ(r cos θ − θ sin θ r) (5.19)

= r2θ cos2 θ + r2θ sin2 θ (5.20)

= r2θ = r2dθ

dt=LOzm

= c (5.21)

Cette equation differentielle r2dθ/dt = c conduit a la loi des aires se rapportant a la surfacebalayee par la trajectoire r = r(θ) de la projection dans le plan perpendiculaire a l’axe Oz (parrapport auquel le moment cinetique est conserve).

La surface balayee peut en effet etre decomposee en une succession de surfaces elementairescomprises entre θ et θ + ∆θ. La surface ∆Sθ se rapportant a une de ces surfaces elementairespeut etre approchee par un triangle de base r(θ) et de hauteur r(θ+∆θ) sin∆θ ∼ r(θ+∆θ)∆θ :

∆Sθ =1

2r(θ)r(θ+∆θ)∆θ (5.22)



La surface balayee entre 0 et θ est obtenue a partir de la somme de toutes ces surfaceselementaires :

Sθ =θ∑

0

1

2r(θ)r(θ+∆θ)∆θ (5.23)

En passant a la limite pour ∆θ tendant vers 0, la surface balayee s’exprime par :

Sθ =1

2

∫ θ

0r2θdθ =

1

2

∫ t

0cdt =

1

2ct (5.24)

La loi des aires exprime que l’aire balayee par A′ par unite de temps reste constante (Fig.5.2) :

dS

dt=c

2(5.25)

En conclusion, si une masse ponctuelle m est soumise a une force ~R passant par un axe Oza chaque instant t,

– la composante LOz du moment cinetique en O suivant l’axe Oz est conservee,– la projection de la trajectoire de la masse sur un plan perpendiculaire a l’axe z suit une

loi r = r(θ) telle que– sous forme differentielle, r2 dθdt = c = LOz

m– geometriquement, elle respecte la loi des aires, a savoir que la surface balayee par

unite de temps est constante, ce qui correspond sous forme differentielle a dSdt = c

2 etsous forme integrale a S = 1

2ct.

5.1.2.2 Deuxieme cas : Cas de forces centrales telles que le moment au point O estnul a tout instant : ~MO(t) = ~0

Dans le cas de forces centrales, la resultante ~R passe constamment par un point O (Fig.5.3) : ~MO = ~0 a chaque instant.

L’application du theoreme du moment cinetique sous sa forme integree donne dans ce cas :

~LO(t) − ~LO(0) =

∫ t

0

~M0dt = ~0 (5.26)

Il y a donc conservation du moment cinetique en O.

Si la vitesse intiale de la masse m est ~vA(0), le moment cinetique au point O s’exprime par~LO =

−→OA ∧m~vA et est perpendiculaire au plan forme par le vecteur

−→OA et le vecteur vitesse

initiale ~vA. Comme ce moment cinetique se conserve au cours du temps, cela signifie que la tra-jectoire est une trajectoire plane a chaque instant, la coordonnee vectorielle overrightarrowOAet la vitesse ~vA appartenant constamment a ce plan.

D’autre part, si z est la direction perpendiculaire au plan, on a MOz(t) = 0 , d’ou LOz(t) =LOz(0). Le mouvement dans ce plan suit de ce fait la loi des aires.

Cette propriete est evidemment applicable dans le cas des forces centrales gravitationnellesa la base de l’attraction d’une masse m et d’une masse M distance de r par

~Fr = −GMm

r2~ur (5.27)



Fig. 5.3 – Masse ponctuelle soumise a une force centrale ~R passant a tout instant par un pointO. Loi des aires dans le plan xy perpendiculaire au plan forme par la vitesse initiale de la masseA et OA

G etant la constante gravitationnelle (notee egalement γ) egale a 6.6710−11m3kg−1s−2.

La loi des aires est d’application dans le cas du mouvement des planetes autour du soleil oude satellites artificiels autour de la terre (Fig. 5.4)

Fig. 5.4 – Deuxieme loi de Kepler - Loi des aires : une ligne joignant une planete (un satellite)au soleil (a la terre) balaie une surface identique en l’unite de temps



5.1.3 Etablissement des equations du mouvement pour une masse ponctuellesoumise a une force centrale en l’absence de pertes

Le mouvement etant plan, le systeme a deux degres de liberte est decrit par les variables ret θ.

L’application du theoreme du moment cinetique aboutit a la premiere equation differentiellecaracteristique de la loi des aires :

r2θ = c = LOz/m (5.28)

La seconde equation est obtenue a partir de l’application du theoreme de l’energie cinetique,le systeme etant suppose conservatif

dT

dt= Ptot = −dV

dt

d(T + V )

dt= 0 T + V = constante (5.29)

5.1.3.1 Expression de l’energie potentielle

La force centrale attirant une masse m a une autre masse M s’exprime par :

~F (r) = −GMm

r2~ur (5.30)

Elle derive de ce fait d’une energie potentielle egale a

V (r) = −GMm

rassurant que ~F = −−−→

grad V = −dVdr~ur (5.31)

5.1.3.2 Expression de l’energie cinetique

Si on considere la masse m ponctuelle en A (de coordonnees (r,θ), son energie cinetique Ts’exprime par :

T =1

2mv2

A/s (5.32)

Or, en coordonnees cylindriques, la vitesse du point A peut etre obtenue en considerant unsolide OA fictif, en rotation de vecteur θ~uz par rapport a s, le point A pouvant glisser selon unevitesse r~ur par rapport a OA. L’application de la composition des vitesses conduit a :

~vA/s = ~vA/OA + ~vAOA/s = r~ur + θr~uθ (5.33)

le vecteur ~uθ etant perpendiculaire a OA.

D’ou

T =1

2mv2

A/s =1

2m(r2 + θ2r2) (5.34)

Si les conditions initiales sont telles que la position initiale est r0 et la vitesse initiale v0perpendiculaire a r0, la conservation de l’energie aboutit a :

T + V = E = constante =1

2m(r2 + θ2r2) −G

Mm

r=

1

2mv2

0 −GMm

r0(5.35)



5.1.3.3 Resolution des equations differentielles du mouvement

La resolution du systeme d’equations differentielles forme par les equations de conservationdu moment cinetique (5.28) et de l’energie (5.35) aboutit, apres calcul, a la solution suivante :

r =p

1 + e cos θ(5.36)

donnant l’equation polaire de la trajectoire, en fonction de l’excentricite e et du parametrep, definis par

e =

√

1 +2c2E

G2mM2p =

c2

GM(5.37)

Fig. 5.5 – Premiere loi de Kepler : les planetes (les satellites) ont une orbite elliptique dont lesoleil (la terre) est l’un des foyer

Le parametre p est lie au moment cinetique initial, puisque p = c2

GM avec c = LOz/m =mv0r0/m = v0r0

D’ou

p =(v0r0)

2

GM(en m) (5.38)

L’excentricite n’a pas de dimension et correspond a :

e =

√

1 +2(v0r0)2E

G2mM2(5.39)

La figure 5.6 illustre le type de solution en fonction de la valeur de l’excentricite e– Si e = 0, r = p et la trajectoire est circulaire.– Si e est compris entre O et 1, la trajectoire est elliptique.– Si e = 1, la trajectoire est parabolique.



– Si e > 1, la trajectoire est hyperbolique.Pour un satellite artificiel mis sur orbite autour de la terre, on en deduit que l’excentricite limiteseparant les trajectoires stables (circulaire-elliptique) des trajectoires instables (paraboliques ethyperboliques) est egale a e = 1.

5.1.3.4 Vitesse de satellisation et vitesse de liberation

On peut en deduire la vitesse de liberation vlib d’un satellite articiel lorsque e = 1 :

e = 1 =

√

1 +2c2E

G2mM2(5.40)

1 = 1 +2c2E

G2mM2(5.41)

Et

E = 0 (5.42)

1

2mv2

0/s = GMm

r0(5.43)

v20 =

2GM

r0(5.44)

v0 =

√

2GM

r0= vlib (5.45)

D’autre part, e = 0 correspond a la limite pour obtenir une trajectoire circulaire. On peuten deduire la vitesse de satellisation vsat par :

e = 0 =

√

1 +2c2E

G2mM2(5.46)

0 = 1 +2c2E

G2mM2(5.47)

−G2mM2 = 2c2 (5.48)

E =−G2mM2

2c2E=

−G2mM2

2r20v2O

(5.49)

La resolution de l’equation algebrique suivante

1

2mv2

0 −GMm

r0=

−G2mM2

2r20v2O

(5.50)

aboutit a la vitesse de satellisation

v0 =

√

GM

r0= vsat (5.51)

La figure 5.6 illustre le type de trajectoire du satellite en fonction de la vitesse initiale v0pour une distance initiale r0 correspondant a un satellite attire par une masse M , G etant laconstante d’attraction universelle.



Fig. 5.6 – Trajectoires de satellites stabilises par la force centrale gravitationnelle en fonctionde l’excentricite et de la vitesse initiale

5.1.3.5 Periode de revolution d’un satellite sur sa trajectoire elliptique

Dans le cas d’un satellite a trajectoire stable elliptique, on peut montrer que les dimensionsdes demi-axes de l’ellipse sont respectivement

a =p

1 − e2et b =

√ap (5.52)

Si on applique la loi des aires, la surface S de l’ellipse, balayee pour un tour complet estdonnee par :

S =1

2cT (5.53)

T etant la periode, c etant la constante des aires.

On a donc :

S = πab =1

2cT (5.54)

T = 2πab

c(5.55)

Or p = c2/GM et c =√p√GM

T =2πa

√a√p

c=

2πa3/2

c

c√GM

(5.56)

T 2 =4π2

GMa3 (5.57)

EtT 2

a3=

4π2

GM(5.58)



Fig. 5.7 – Troisieme loi de Kepler : proportionnalite entre le cube du grand demi-axe de latrajectoire elliptique et le carre de la periode de revolution

Le tableau 5.1.3.5 illustre la constance du rapport a3/T 2 entre le cube du grand axe a del’orbite elliptique et le carre de la periode T pour differentes planetes du systeme solaire

Planete Rayon R (unites astron.) Periode de revolution T(annees) R3/T 2

Mercure 0.387 0.241 0.99994Venus 0.723 0.615 0.99992Terre 1.000 1.00004 0.99992Mars 1.524 1.881 0.99991

Jupiter 5.203 11.862 1.00087Saturne 9.540 29.458 1.00060Uranus 19.180 84.013 1.00000

Tab. 5.1 – Rapport constant entre le cube du grand axe de l’orbite elliptique et le carre de laperiode pour differentes planetes du systeme solaire

5.1.4 Cas particulier d’un mouvement circulaire

5.1.4.1 Vitesse de satellisation

Dans le cas particulier d’un mouvement circulaire, la vitesse de satellisation peut etredeterminee plus simplement, en exprimant que la force gravitationnelle compense la reactiond’inertie du mouvement circulaire a vitesse angulaire constante :

F = ma (5.59)

GMmr2 = mω2 = v2r (5.60)

On peut en deduire la vitesse de satellisation en orbite circulaire :

v2 = GMr (5.61)

v =

√

GM

r(5.62)



5.1.4.2 Periode de revolution

Toujours dans le cas particulier d’un mouvement circulaire, la periode de revolution T peutetre dedeterminee en utilisant l’expression de la vitesse dans un mouvement circulaire

v = ωr =2π

Tr (5.63)

v2 =4π2

T 2r2 (5.64)

(5.65)

En utilisant l’expression de la vitesse de satellisation (Equ. 5.62), on obtient

GM

r=

4π2

T 2r2 (5.66)

et en deduire la troisieme loi de Kepler :

T 2

a3=

4π2

GM(5.67)

Un satellite geostationnaire est un satellite dont la periode de revolution correspond a 23h56minutes, ce qui correspond a une distance d’environ r = 42000km par rapport au centre de laterre, soit a une altitude de 35786km.

5.1.5 Mise en orbite d’un satellite artificiel

En theorie, il suffit de communiquer a un satellite, une vitesse legerement superieure a lavitesse de satellisation (ou premiere vitesse cosmique ou spatiale) et inferieure a la vitesse deliberation (ou deuxieme vitesse cosmique ou spatiale), pour qu’il tourne indefiniment autour dela Terre.

C’est generalement la vitesse initiale horizontale conduisant a une orbite strictement circu-laire qu’on appelle la vitesse de satellisation (il s’agit cependant la de la vitesse minimale desatellisation). Cette vitesse ne depend que de l’altitude du point d’injection en orbite (il en estde meme pour la periode de revolution, c’est a dire le temps que met le satellite pour accomplirune orbite complete) (Tableau 5.1.5).

Pour l’altitude de 35786 km, un satellite situe dans le plan equatorial de la Terre survoletoujours le meme point puisque sa periode de revolution est egale a la periode de rotation de laTerre (23 h 56 min) sur elle-meme : le satellite est dit geostationnaire.

Dans la pratique, la satellisation ne peut se faire que depuis une altitude elevee, car l’at-mosphere freinerait le satellite, et le detruirait par l’echauffement. C’est pourquoi on ne peutfaire tourner un satellite a moins de 150 kilometres d’altitude.

La satellisation se fait en pratique en plusieurs etapes :– lancement depuis le sol avec pour vecteur une fusee ou une navette, qui porte l’objet a

une altitude suffisante (le point d’injection),– puis modification de la trajectoire pour placer le satellite le plus pres possible de l’hori-

zontale. A ce stade, soit la trajectoire souhaitee est circulaire, et le mobile est amene ala vitesse de satellisation (7,8 km/s a 150 km/h) avant que la propulsion ne soit coupee,soit on veut obtenir une orbite elliptique ; dans ce dernier cas, la vitesse est superieure a



Altitude du point Premiere vitesse Periode ded’injection (km) spatiale (m/s) revolution

150 7814 87,49 min = 5249 s200 7789 88,34 min = 5300 s300 7726 90,52 min = 5431 s500 7613 94,62 min = 5677 s1000 7350 105,1 min = 6306 s2000 6898 127,2 min = 7632 s5000 5919 201,3 min = 12078 s10000 4933 347,7 min = 20862 s35786 3075 1436 min = 23 h 56 min

Tab. 5.2 – Premiere vitesse spatiale (vitesse de satellisation) et periode de revolution en fonctionde l’altitude du point d’injection d’un satellite

celle de satellisation, et le point P (ou la trajectoire etait horizontale) devient le perigeede l’ellipse.Apres une demi-periode, le satellite passe a son apogee, et revient ensuite en P avec unevitesse egale a la vitesse acquise lors de l’arret de la propulsion a ce point. On dit alorsque le satellite est ”injecte” dans son orbite.

Si le satellite est lance depuis l’equateur et que son orbite est directe vers l’est, il beneficiede la vitesse de rotation de la Terre (c’est-a-dire 464 m/s ).

La vitesse de liberation (ou deuxieme vitesse spatiale) est la vitesse pour laquelle l’engins’eloignerait a jamais de la Terre : sa trajectoire est alors parabolique. Toute vitesse qui estcomprise entre la premiere et la deuxieme vitesse spatiale est une vitesse de satellisation. Toutevitesse qui est superieure a la deuxieme vitesse spatiale est une vitesse de liberation (qui doitetre communiquee a toute sonde interplanetaire).

A l’instar de la premiere vitesse spatiale, la deuxieme vitesse spatiale ne depend que del’altitude du point d’injection ; sur Terre, cette vitesse est de l’ordre de 11 kilometres par seconde(Tableau 5.3).

Altitude du point d’injection (km) Deuxieme vitesse spatiale (m/s)

0 11180200 11010400 108401000 10390

Tab. 5.3 – Deuxieme vitesse spatiale en fonction de l’altitude du point d’injection

Sur d’autre planetes, dont les tailles, les masses et, par consequent, les valeurs del’acceleration de la pesanteur, sont differentes, les vitesses de satellisation varient : les vitessesminimales de satellisation sont de 1,7 km par seconde dans le cas de Lune, de 3,6 kilometres parseconde pour Mars.



5.2 Quelques effets de la rotation de la terre sur des masses enmouvement a la surface de la terre

5.2.1 Principe fondamental par rapport a des axes lies a la terre - Rappel

Fig. 5.8 – Repere ST lie a la terre

Si on neglige l’effet d’attraction des autres astres de maniere a pouvoir admettre que lerepere geocentrique SG est galileen (Fig. 5.8), on a :

~R+ ~FTerre = m ~aP/SG(5.68)

Si on applique la composition des accelerations en prenant le repere ST lie a la terre commerepere intermediaire, l’equation du mouvement de la masse ponctuelle en P par rapport aurepere geocentrique SG est :

~R+ ~FTerre = m(~aP/ST+ ~aPST /SG

+ ~aC) (5.69)

ou– ~aP/ST

est l’acceleration de P par rapport a la terre,– ~aPST /SG

est l’acceleration d’entraınement due au mouvement de rotation de la terre surelle-meme,

– ~aC est l’acceleration de Coriolis s’exprimant par

~aC = 2 ~ωST /SG∧ ~vP/ST

(5.70)

~vP/STetant la vitesse relative du point P par rapport a la terre.

D’ou~R+ ~FTerre −m~aPST /SG

−m~aC = m~aP/ST(5.71)



Les termes ~FTerre −m~aPST /SGrepresentent la somme combinee de la force de gravitation

due a la terre et de la force fictive de reaction d’inertie due au mouvement relatif par rapportau repere geocentrique. Ils correspondent par definition au poids m~g :

m~g = ~FTerre −m~aPST /SG(5.72)

En conclusion, le mouvement d’un point materiel P au voisinage de la terre s’ecrit, parrapport a un repere ST lie a la terre :

~R+m ~g + (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.73)

~R representant la resultante des forces autres que le poids et autres que les forces attractivesdues aux corps celestes, et Ω etant le vecteur rotation de la terre.

5.2.2 Cas de la chute d’une masse ponctuelle

Dans le cas d’un mouvement en chute libre, la masse n’est soumise a aucune autre force quela gravite :

m ~g + (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.74)

Pour estimer l’ordre de grandeur de la force de perturbation, on va considerer que le mou-vement principal n’est que faiblement perturbe par la reaction d’inertie due a l’acceleration deCoriolis, et que dans l’estimation de ce dernier terme, on peut ne considerer pour la vitesserelative par rapport a la terre que la vitesse verticale due au mouvement principal. En effet, enchute libre, on a

m~g = m~aP/ST(5.75)

~aP/ST= ~g (5.76)

~v = ~g t (5.77)

La force pertubatrice s’exprime par :

~Fpert = −2m(~Ω ∧ ~vP/ST) = −2m(~Ω ∧ ~g t) (5.78)

Si on considere le repere de projection lie a la terre, constitue par l’axe ~ux, oriente pa-rallelement au meridien vers le sud, l’axe ~uy oriente vers l’Est, l’axe ~uz etant dirige selon laverticale locale en P , la force perturbatrice peut etre evaluee par :

~Fpert = −2m

ux uy uz−Ωsinλ 0 −Ωcosλ

0 0 −g t

= +2mΩ sinλ g t ~uy (5.79)

La deviation se situe donc bien vers l’Est (~uy). On pourra en exprimer l’ordre de grandeuren evaluant successivement l’acceleration de perturbation apert, la vitesse de perturbation vpert

et la distance de perturbation dpert pour un temps de chute t determine.

Fpert = mapert = +2mΩg sinλgt (5.80)

apert = +2Ω sinλgt (5.81)

vpert = +2Ω sinλgt2

2= mΩg sinλgt2 (5.82)

dpert = +Ωsinλgt3

3(5.83)



Le temps de chute libre correspondant a une hauteur de chute H donnee peut etre estime apartir de la loi de chute (v = gt) qui aboutit a

H = gt2

2(5.84)

t =

√

2H

g(5.85)

dpert = +Ωsinλg2H

g

3/2

(5.86)

dpert = +2√

2

3Ω sinλg

H3/2

g1/2(5.87)

On peut par exemple estimer l’ordre de grandeur de la distance de perturbation, respective-ment a 84mm et a 11mm, pour un corps lache du dessus de la Tour Eiffel a Paris (H = 324m,λ = 41 deg 8′) ou du beffroi de Mons (H = 87m, λ = 39 deg 33′).

Fig. 5.9 – Deviation d’un corps en chute libre due a la rotation de la terre

5.2.3 Cas d’un tir horizontal d’un projectile ou d’une balle

La masse n’etant soumise a aucune autre force que la gravite, on a

m ~g + (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.88)

Pour estimer l’ordre de grandeur de la force de perturbation, on va considerer que le mou-vement principal est horizontal, a vitesse constante ~v = v~uh, et que celui-ci n’est que faiblementperturbe par la reaction d’inertie due a l’acceleration de Coriolis, et que dans l’estimation dece dernier terme, on peut ne considerer pour la vitesse relative par rapport a la terre que cettevitesse horizontale.



La force pertubatrice s’exprime par :

~Fpert = −2m(~Ω ∧ ~vP/ST) = −2m(~Ω ∧ v~uh) (5.89)

Si on considere le repere de projection lie a la terre en un point P de l’hemisphere Nord,constitue par l’axe ~uh, oriente selon la vitesse horizontale ~v, l’axe ~ud oriente vers la droite parrapport a cette vitesse, l’axe ~uz etant dirige vers le haut selon la verticale locale en P , la forceperturbatrice peut etre evaluee par :

~Fpert = −2m

~ud ~uh ~uz−Ωsinλ sinα −Ωsinλ cosα −Ωcosλ

0 v 0

=[+2mΩv cosλ 0 +2mΩv sinλ sinα

]

(5.90)α etant l’angle que fait uh avec le meridien.

Si on ne s’interesse qu’a la deviation dans le plan horizontal, seule la composante suivant levecteur ~ud intervient

~Fpert = 2mΩv cosλ~ud (5.91)

La deviation se situe donc bien vers la droite dans l’hemisphere Nord. On pourra en exprimerl’ordre de grandeur en evaluant successivement l’acceleration de perturbation apert, la vitesse deperturbation vpert et la distance de perturbation dpert pour un temps de chute t determine.

Fpert = mapert = +2mΩv cosλ (5.92)

apert = +2Ωv cosλ (5.93)

vpert = +2Ωv cosλt (5.94)

dpert = +2Ωv cosλt2

2= Ωv cosλt2 (5.95)

Le temps de parcours correspondant a une distance L donnee par etre estimee a partir dela loi du mouvement L = vt qui aboutit a

t =L

v(5.96)

dpert = Ωv cosλL2

v2= Ωcosλ

L2

v(5.97)

On peut estimer l’ordre de grandeur de la longueur de deviation, par exemple une vingtainede metres pour un obus lance a une vitesse v = 1000km/h sur une distance de 10km. Par contre,pour un ballon de basket, a une vitesse de 5m/s sur une distance de 5m, la perturbation n’estque de 0.2mm et est donc negligeable.

5.2.4 Oscillation sans perte d’un pendule : pendule de Foucault

Le pendule de Foucault correspond a une masse m suspendue a un fil de grande longueurL, et pouvant osciller sous le seul effet de la gravite, les autres perturbations dues par exemplea des courants d’air perturbateur etant negligeable.

La masse est soumise a la gravite et la tension T dans le fil.

~T +m ~g + (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.98)



Fig. 5.10 – Deviation d’un corps lance horizontalement du a la rotation de la terre

Fig. 5.11 – Pendule de Foucault

La longueur du pendule etant assez grande, on pourra admettre que le mouvement de lamasse est pratiquement plan.

La coordonnee vectorielle reperant la masse M par rapport a au pole O, sur la verticalepassant par C, point d’accrochage du pendule, est situe dans le plan π du mouvement.

La tension du fil T peut etre decomposee en– une tension verticale Tz = T cos θ ∼ T ∼ mg



– une tension dans le plan, en module, egale a

Tplan = T sin θ = Te

L= mg

e

L(5.99)

D’ou~Tplan = −mg

L~e (5.100)

L’equation du mouvement dans le plan π devient :

−mgL

~e+ (−2 m ~Ω ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.101)

Le vecteur ~Ω de rotation de la terre par rapport a la terre peut etre decompose en sa composanteverticale Ωv et Ωh suivant la direction verticale ~uv et horizontale ~uh :

−mgL

~e+ [−2 m (Ωv~uz + ~Ωh~uh) ∧ ~vP/ST] = m ~aP/ST

(5.102)

Seule la composante Ωv induit, apres multiplication vectorielle par vP/ST, une composante

horizontale dans le plan du mouvement :

−mgL

~e+ (−2 m Ωv~uz ∧ ~vP/ST) = m ~aP/ST

(5.103)

L’introduction d’un repere intermediaire S∗ facilite la recherche analytique d’une solution acette equation :il s’agit d’un repere S∗ tournant a la vitesse −Ωv~uz autour de la verticale Oz.L’application de la composition des vitesses et des accelerations donne :

~vP/ST= ~vP/S∗ + ~vPS∗/ST

(5.104)

~aP/ST= ~aP/S∗ + ~aPS∗/ST

+ 2(−Ωz~uz ∧ ~vP/S∗) (5.105)

Fig. 5.12 – Pendule de Foucault : Repere S∗ tournant a vitesse Omegav autour de la verticale

Les vitesse et acceleration d’entraınement correspondent a ce mouvement de rotation avitesse angulaire constante donne :

~vPS∗/ST= −Ωv~uz ∧ ~e (5.106)

~aPS∗/ST= −Ω2

v~e (5.107)



L’equation d’equilibre devient :

−mg

L~e− 2mΩ~uz ∧~vP/S∗ + 2mΩv~uz ∧ (Ωv~uz ∧~e) = m[~aP/S∗ −Ω2

v~e+ 2(−Ωz~uz ∧~vP/S∗ ] (5.108)

Apres developpement du dernier terme de gauche par la formule d’expulsion (~a ∧ (~b ∧ ~c) =(~a~b)~c− (~a~c)~b) :

2mΩv~uz ∧ (Ωv~uz ∧ ~e = −2mΩ2v~e (5.109)

Apres simplification, on obtient :

m~aP/S∗ +m(Ω2v +

g

L)~e = ~0 (5.110)

Et :

x ∗ + (Ω2v +

g

L)x ∗ = 0 (5.111)

y ∗ + (Ω2v +

g

L)y ∗ = 0 (5.112)

En prenant comme parametres descriptifs de la trajectoire les coordonnees (x ∗, y ∗) du pointP dans le repere tournant S∗, on obtient deux equations differentielles decouplees conduisant a

des solutions sinusoıdales de pulsations ω =√

Ω2v + g

L = 2πT .

En pratique, la pulsation d’oscillation est pratiquement egale a :

ω ∼√g

L(5.113)

car Ω2v ≪ g

L . En effet, Ω2v = 2π

86164 ≪ g/L), L etant de l’ordre de plusieurs dizaines de m.

En terme de coordonnees absolues (x, y) (dans le repere non tournant), les conditions initialescorrespondent a un deplacement a dans la direction x, nul dans la direction y, la vitesse initialeetant nulle :

x = a y = 0 x = 0 y = 0 (5.114)

En se ramenant aux coordonnees dans le repere tournant S∗, les conditions initiales sont lessuivantes :

x∗ = a y = 0 x∗ = 0 y∗ = Ωva (5.115)

car~vP/ST

= ~vP/S∗ + ~vPS∗/ST(5.116)

0 = x∗ 0 = y∗ − Ωva (5.117)

En tenant compte des conditions initiales, la trajectoire dans le repere S∗ est decrite par

x∗ = a cosωt y∗ = ˙ωvaω sinωt (5.118)

La trajectoire est une trajectoire elliptique dont le rapport entre petit demi-axe et granddemi-axe est tres petit :

Ωva

ωa=

Ωv

ω=

Ωv√

gL

∼ 0 (5.119)



La trajectoire dans le repere S∗ est pratiquement contenue dans un plan qui tourne a lavitesse angulaire −Ωv par rapport a la verticale ~uz (Ω−v etant la projection du vecteur rotationde la terre sur la verticale).

La periode de rotation du plan de la trajectoire s’exprime par

T = 2πΩv = 2πΩcosλ = (23h56min) cosλ (5.120)

ce qui correspond a un mouvement– dans le sens horlogique dans l’hemisphere Nord, avec une periode variant de 1 jour au

pole Nord, a 32h a Paris, l’infini a l’equateur (le plan ne bouge pas)– dans le sens antihorlogique dans l’hemisphere Sud, avec une periode variant de l’infini a

l’equateur (le plan ne bouge pas), a 43 h a Sidney et 1 jour au pole Sud.


Chapitre 6

Elements de mecanique des milieuxcontinus — Deformationsinfinitesimales et contraintes dans unsolide deformable isotrope

Comprendre que l’on n’a pas comprisest ce qu’il est le plus difficile

a comprendreAlbert Jacquart

6.1 Elasticite lineaire - Introduction

Lorsqu’un systeme mecanique est soumis a des sollicitations, plusieurs questions sont enrapport direct avec les preoccupations de l’ingenieur qui doit le concevoir et dimensionner lastructure. Parmi les questions les plus fondamentales :

– Quelles sont les contraintes, les deformations et les deplacements engendres par les solli-citations ?

– Ces chargements sont-ils supportables par le materiau ?Ces questions peuvent etre abordees a partir des theories de l’elasticite combinees aux

criteres de resistance des materiaux.

Ce chapitre intitule ”Elements de mecanique des milieux continus” porte sur les fondementsde l’elasticite classique. Il concerne l’etude du comportement des solides deformables, elastiques,isotropes en se placant dans le cadre de l’hypothese des petits deplacements et des petitesdeformations. On peut montrer que ces hypotheses ont pour consequences de rendre lineaires lesequations differentielles de l’elasticite, on parle des lors d’elasticite lineaire. Elles ne sont pastrop restrictives car la majorite des materiaux utilises en construction mecanique ou en geniecivil sont peu deformables et de toute facon utilises en limitant leur deformation en service.

Pour fixer les idees, signalons qu’un acier courant supporte des elongations relatives maxi-mum de l’ordre de 0, 1% seulement1.

1Comme on le verra plus loin, les deplacements ui sont tels que leurs derivees premieres

˛

˛

˛

˛

∂ui

∂Xj

˛

˛

˛

˛

sont << 1, de

sorte que les termes du second ordre deviennent negligeables.

223

CHAPITRE 6. ELEMENTS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS . . . 224

D’autre part, ce chapitre constitue une introduction au cours de Resistance des Materiaux :on ne s’interessera en pratique qu’a la statique des corps elastiques, qui considere essentiellementl’etat final du solide lorsque l’application du chargement est terminee et que le solide a atteintson etat d’equilibre sous la charge2.

Seront successivement consideres :– les outils mathematiques necessaires a la description des deformations infinitesimales dans

le cadre restreint des petites deformations d’un solide homogene isotrope (tenseur dugradient de deformations F , tenseur du gradient de deplacement G, tenseur des contraintesε ;

– le tenseur Σ permettant de decrire l’etat des contraintes a l’interieur d’un milieu continu ;– les lois de comportement dans le cadre de l’elasticite lineaire isotrope en deformations

infinitesimales, a savoir la relation existant entre tenseur des contraintes Σ et tenseur desdeformations ε.

6.2 Deformations infinitesimales en un point d’un solidedeformable - Tenseur des deformations

6.2.1 La notion de milieu continu et de point materiel

Mathematiquement parlant, un milieu materiel est considere comme continu si on peutdefinir des champs de grandeurs physiques locales relatives a ce milieu materiel. Il peut s’agirpar exemple de grandeurs scalaires (masse volumique...), vectorielles (vitesses, accelerations,...)ou tensorielles (tenseurs des deformations et des contraintes...).

En pratique, la mecanique des milieux continus considere la matiere d’un point de vue ma-croscopique. En effet, les connaissances de la physique moleculaire et atomique nous apprennentqu’a l’echelle microscopique, la matiere est discontinue, les notions de masse volumique ou devitesse n’ayant aucun sens a cette echelle (la matiere vue a cette echelle est essentiellementconstituee de vides).

Un ”point” pour l’observateur macroscopique est en fait un petit volume suffisamment grandpour qu’il puisse etre representatif des proprietes macroscopiques du materiau au voisinage dece point (ce volume devant toutefois etre suffisamment petit pour pouvoir etre associe auxproprietes locales en ce point). Pour fixer les idees, un volume de l’ordre de 0.1 a 1mm3 dansle cas de l’acier pour lequel les grains ont une taille moyenne de l’ordre de quelques dizaines deµm.

Contrairement a la mecanique des solides indeformables, le nombre de parametres pourdecrire le mouvement d’un milieu continu deformable est infini. En effet, pour decrire la vitessed’un point Q d’un solide indeformable, il suffit de connaıtre la vitesse d’un point P de cesolide ainsi que le vecteur rotation ω du solide, soit au total 6 composantes projetees, donc 6parametres, dans le cas general spatial. Les vitesses des points d’un solide decoulent directementde la relation classique du champ de vitesse

~v(Q) = ~v(P ) + ~ω ∧ −−→PQ (6.1)

2La description du mouvement du milieu deformable pendant la deformation (comme on le ferait en mecaniquedes fluides ou dans la dynamique et vibrations des structures mecaniques) ne sera pas abordee.



dont l’origine provient de la propriete d’equiprojectivite du champ de vitesse, trouvant sonorigine dans le fait que la distance entre deux points d’un solide indeformable reste constantedurant le mouvement.

En mecanique des milieux continus deformables, la distance entre deux points du milieuconsidere varie. Il faut donc en principe decrire le mouvement de chaque particule du milieu etpouvoir distinguer dans le deplacement d’une particule, la partie qui concerne specifiquementla deformation que subit le milieu continu par rapport a la partie qui concerne un deplacementd’ensemble du solide (comme si celui-ci etait rigide).

6.2.2 Deplacement et deformation dans un milieu continu deformable

Considerons (Fig. 6.1)– un referentiel fixe s oriente par les 3 vecteurs unitaires (~u1, ~u2, ~u3) ;– un solide deformable S a l’instant t = t0 ;– un point P quelconque de ce solide S, qui en l’instant t0 se trouve en P0.

Fig. 6.1 – Coordonnee vectorielle ~E avant et ~e apres deformation. Deplacement ~u

La position en t = t0 de ce point P0 est decrite par la coordonnee vectorielle ~E = ~OP0 dontles coordonnees par rapport au referentiel fixe s sont ~E(X1, X2, X3). Cet etat initial en t = t0sera considere comme l’etat de reference pour l’etude des deformations de ce solide.

A l’instant t, le solide S s’est deplace et s’est deforme. Le point P du solide S a l’instant test decrit par la coordonnee vectorielle ~e = ~OP dont les coordonnees par rapport au referentielfixe s sont ~e(x1, x2, x3).



On definit le deplacement du point P durant l’intervalle de temps (t0, t) par le vecteur ~u telque

~u = ~e− ~E (6.2)

Les coordonnees du vecteur deplacement ~u par rapport au referentiel fixe s sont ~u(u1, u2, u3).

La fonction de base decrivant le mouvement du solide deformable au cours du temps decritla correspondance entre les points P et P0 : il s’agit de la fonction vectorielle precisant la position~e a l’instant t pour un point de coordonnee vectorielle ~E a l’instant t0 :

~e = ~e( ~E, t) (6.3)

On admettra que cette fonction est continue et differentiable, ce qui est notamment le caspour un solide deformable isotrope en elasticite lineaire.

6.2.3 Les tenseurs F, gradient de deformation et G, gradient de deplacement

6.2.3.1 Tenseur F, gradient de deformation (relation entre ~de et ~dE)

Fig. 6.2 – Mouvements de 2 points voisins P et Q d’un milieu deformable de l’instant t0 al’instant t

Considerons (voir Fig. 6.2)– un domaine infiniment petit entourant un point materiel P du corps S ainsi que l’evolution

de ce domaine, de l’instant initial t0 a l’instant t ;– le point Q, voisin du point P ;

– le vecteur−−−→P0Q0 =

−→dE decrivant la position de ce point voisin Qo dans l’etat de reference

en t = t0 ;



– le vecteur−−→PQ =

−→de decrivant la position du point voisin Q a l’instant t.

Le point P s’est deplace de la quantite−−→P0P = ~u, tandis que le point Q, voisin de P , s’est

deplace de la quantite−−→Q0Q = ~u+ d~u.

Le tenseur F est un tenseur du second ordre, appele le gradient de la deformation en P , quidecrit la relation entre les differentielles d~e et d ~E et peut s’ecrire :

~de = F ~dE (6.4)

Dans le referentiel de base s, ce tenseur relie les coordonnees (dx1, dx2, dx3) de ~de auxcoordonnees (dX1, dX2, dX3) de ~dX. Il est donc represente par une matrice (3x3) :

dx1

dx2

dx3

=

∂x1∂X1

∂x1∂X2

∂x1∂X3

∂x2∂X1

∂x2∂X2

∂x2∂X3

∂x3∂X1

∂x3∂X2

∂x3∂X3

dX1

dX2

dX3

(6.5)

Les composantes du tenseur gradient de deformation F par rapport a la base s= 0123s’expriment par :

Fij =∂xi∂Xj

=∂(Xi + ui)

∂Xj= δij +

∂ui∂Xj

(6.6)

6.2.3.2 Tenseur G, gradient de deplacement (relation entre ~du et ~dE)

Le tenseur G est un tenseur du second ordre, appele le gradient du deplacement en P quidecrit la relation entre les differentielles ~du et ~dE peut s’ecrire :

~du = G ~dE (6.7)

Dans le referentiel de base s, ce tenseur relie les coordonnees (du1, du2, du3) de ~du auxcoordonnees (dX1, dX2, dX3) de ~dX. Il est donc represente par une matrice (3x3) :

du1

du2

du3

=

∂u1∂X1

∂u1∂X2

∂u1∂X3

∂u2∂X1

∂u2∂X2

∂u2∂X3

∂u3∂X1

∂u3∂X2

∂u3∂X3

dX1

dX2

dX3

(6.8)

Les composantes du tenseur gradient de deplacement G par rapport a la base s = 0123 =Oxyz s’expriment par :

Gij =∂ui∂Xj

(6.9)

6.2.3.3 Relation entre le tenseur F , gradient de deformation et le tenseur G, gra-dient de deplacement

Cette relation est directe dans la mesure ou

~de = ~dE + ~du (6.10)

d’ou :F ~dE = ~dE +G ~dE (6.11)



Le tenseur des tenseurs gradient de deformations F est egal a la somme du tenseur unitaireI et du tenseur gradient de deplacement G.

F = I +G (6.12)

Les composantes du tenseur gradient de deformation F par rapport a la base s (O123)s’expriment par :

Fij =∂xi∂Xj

(6.13)

6.2.3.4 Decomposition cartesienne du tenseur G, gradient de deplacement

La decomposition cartesienne du tenseur G, gradient de deplacement peut etre realisee3 apartir de sa partie symetrique ε (appelee tenseur des deformations) et de sa partie antisymetriqueΩ(appelee tenseur des rotations) :

G = ε+ Ω (6.14)

avec ε =G+GT

2= εT (6.15)

et Ω =G−GT

2= −ΩT (6.16)

Les composantes des parties symetrique ε et antisymetrique Ω du tenseur des deplacementsG s’expriment par :

εij =1

2

(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

)

= εji, (6.17)

et Ωij =1

2

(∂ui∂Xj

− ∂uj∂Xi

)

= −Ωji. (6.18)

Ce resultat peut etre utilise pour le tenseur F , gradient de la deformation en P , qui s’exprimepar :

F = I +G (6.19)

G etant le tenseur gradient du deplacement

D’ou :F = I + ε+ Ω. (6.20)

Le tenseur F , gradient des deformations, est egal a la somme du tenseur unitaire I, d’untenseur symetrique ε et d’un tenseur antisymetrique Ω.

L’interpretation physique de ces deux derniers tenseurs sera abordee dans le cas dedeformations infinitesimales dans les points suivants.

3Rappelons qu’il est toujours possible de decomposer un tenseur T en la somme d’un tenseur symetrique S et

d’un tenseur antisymetrique A, qui peuvent etre obtenus par S = T+T T

2et A = T−T T

2.



6.2.4 Tenseur symetrique ε des deformations

6.2.4.1 Definition

Considerons– le vecteur elementaire initial (a l’instant t0) ~dE =

−−−→P0Q0 = ds0 ~n, dirige suivant le vecteur

unitaire ~n et de grandeur ds0 :~dE = ds0 ~n (6.21)

– ce vecteur elementaire, devenu apres deformation a l’instant t, le vecteur ~de, de longueurds = |d~e|.

On definit l’elongation relative λ dans la direction ~n comme l’allongement relatif du vecteurelementaire dirige initialement suivant la direction ~n :

λ =ds− ds0ds0

(6.22)

Apres deformation, on a donc :

ds2 = ~de · ~de = F ~dE · F ~dE (6.23)

= ~dE · F TF ~dE = ~dE · C ~dE (6.24)

Le tenseur C = F TF est connu sous le nom du tenseur de dilatation de Cauchy-Green etcorrespond au produit du tenseur transpose F T de F , tenseur gradient de deformation, par letenseur F lui-meme.

On obtient donc :ds2 = ds0~nF

TFds0~n (6.25)

ds2

ds20= ~n · F TF~n = ~nF TF~n (6.26)

Et :ds2 − ds20

ds20= ~n(F TF − I)~n = ~n(C − I)~n (6.27)

On pose

E =1

2(C − I) =

1

2

(F TF − I

)(6.28)

E etant le tenseur (symetrique) des deformations finies de Green (ou de Lagrange).

Moyennant l’introduction de ce tenseur, on obtient

ds2 − ds20ds20

= ~n · 2E~n (6.29)

Si on tient compte de la decomposition du tenseur F , on obtient

C = F TF = (I + ǫ+ Ω)T (I + ǫ+ Ω) = (I + ǫ− Ω)(I + ǫ+ Ω) (6.30)

compte tenu du caractere symetrique de ε et antisymetrique de Ω.



D’ou :

C = F TF = I + ε− Ω + ε+ ε.ε+ Ωε+ Ω − εΩ − ΩΩ (6.31)

Si on tient compte de l’hypothese des deformations infinitesimales, on se limitera au premierordre pres, ce qui conduit a

C = F TF ∼ I + 2ε (6.32)

Et :

ǫ =1

2(F TF − I) =

1

2(C − I) (6.33)

En deformations infinitesimales, le tenseur de deformation de Green coıncide donc avec le tenseurε (qui rappelons-le est la partie symetrique du tenseur gradient de deplacement).

Ce tenseur ε est le tenseur des deformations infinitesimales.

L’elongation relative dans la direction ~n, peut etre calculee en partant de :

ds2 − ds20ds20

= ~n2ε~n (6.34)

Si on se place dans le cadre de faibles deformations et deplacements, on sait que ds0 estproche de ds. D’ou :

ds2 − ds20ds20

=(ds+ ds0)(ds− ds0)

ds20∼ 2

(ds− ds0)

ds0(6.35)

Dans le cas de deformations infinitesimales, l’elongation relative dans la direction ~n s’exprimepar :

λ =ds− ds0ds0

= ~nε~n (6.36)

6.2.4.2 Interpretation des termes de la diagonale de la matrice des deformations ε

Si on considere la direction ~u1, un vecteur elementaire dirige suivant ~u1 subit l’elongationrelative λ1.

Compte tenu de la definition de l’elongation relative, s’il a une longueur initiale ds0, lalongueur apres deformation de ce vecteur elementaire vaut

ds = ds0(1 + λ1) (6.37)

Cette elongation relative s’exprime en fonction du tenseur symetrique ε par

λ1 = ~u1ε~u1. (6.38)

D’autre part, une propriete classique de la matrice representative d’un tenseur du secondordre est que le terme d’indice (i, j) de la matrice peut etre trouve a partir de l’operationtensorielle ~uiε~uj .

Dans le cas qui nous occupe, l’element (1, 1) s’exprime donc par ε11 = u1ε~u1 qui est doncprecisement egal a la dilatation lineaire relative dans la direction ~u1 :



ε11 = ~u1ε~u1 = λ1 (6.39)

Un resultat analogue peut etre demontre dans les directions ~u2 et ~u3.

Les termes de la diagonale de la matrice representative du tenseur des deformations corres-pondent aux dilatations relatives dans les directtions des axes du repere de projection :

ε11 = ~u1ε~u1 = λ1 (6.40)

ε22 = ~u2ε~u2 = λ2 (6.41)

ε33 = ~u3ε~u3 = λ3 (6.42)

6.2.4.3 Interpretation des elements hors diagonale de la matrice des deformations ε

Considerons deux vecteurs elementaires issus de P0, a savoir a l’instant t0, dans la configu-ration de reference :

– d ~E′ = ds′0~n′ (de grandeur ds′0 et de vecteur unitaire ~n′)

– d ~E′′ = ds′′0~n′′ (de grandeur ds′′0 et de vecteur unitaire ~n′′).

Fig. 6.3 – Deformation de deux vecteurs elementaires orientes avant deformation selon ~n′

et ~n′′

et angle θ apres deformation

Apres deformation, ces deux vecteurs elementaires sont devenus les vecteurs ~de′ et ~de′′

Determinons l’angle entre ces deux vecteurs elementaires apres deformation a partir del’expression de leur produit scalaire :

d~e′ · d~e′′ = Fd~E′ · Fd~E′′ = d ~E′ · F TFd~E′′ = d ~E′ · Cd~E′′ (6.43)

Or

de′ = dE′(1 + λ′) (6.44)

de′′ = dE′′(1 + λ′′) (6.45)



D’oudE′(1 + λ′)dE′′(1 + λ′′) cos θ = dE′~n′CdE′′~n′ (6.46)

Et(1 + λ′)(1 + λ′′) cos θ = ~n′C~n′ = ~n′F TF~n′′ = ~n′(I + 2ε)~n′′ (6.47)

ce qui permet de determiner l’angle θ apres deformation en fonction des directions initiales ~n′

et ~n′′ des deux vecteurs elementaires. En particulier, l’angle θij forme par les vecteurs initialement

Fig. 6.4 – Deformation de deux vecteurs unitaires avant deformation selon ~ui et ~uj , angle θij etangle de distorsion γij apres deformation

alignes selon les axes coordonnees Oi et Oj (donc formant avant deformation un angle de 90degres) est donne par (Fig. 6.4) :

cos θij =(~uiI~uj + 2~uiε~uj)

(1 + λi)(1 + λj)(6.48)

cos θij =2~uiε~uj

(1 + λi)(1 + λj)(6.49)

cos θij =2εij

(1 + λi)(1 + λj)(6.50)

On definit l’angle de distorsion (ou de glissement) γij comme la variation d’angle subie parles axes i et j de la base :

γij =π

2− θij , (6.51)

D’ou :

cos θij = sin γij =2εij

(1 + λi) (1 + λj)(6.52)

Si les deformations sont faibles, le sinus etant assimilable a l’angle, et les dilatations relativesetant faibles par rapport a l’unite, les termes hors diagonales correspondent a la moitie de ladistorsion angulaire γij :

εij ∼γij2

(6.53)



Dans le cas de deformations infinitesimales, les termes hors diagonale εij correspondent a lamoitie de la distorsion angulaire γij entre les vecteurs correspondants de la base.

En conclusion, toute l’information concernant la deformation en un point est contenue dansla matrice symetrique ε, ce qui justifie son nom de matrice des deformations infinitesimales, lestermes de la diagonale εii correspondant aux dilatations relatives λi, les termes hors diagonalesεij correspondent a la moitie de la distorsion angulaire γij entre les vecteurs correspondants dela base.

6.2.4.4 Interpretation du tenseur des deformations ε - Raisonnement geometrique

On peut retrouver les resultats precedents a l’aide deun raisonnement geometrique simple.

Considerons les vecteurs d ~E′

=−−−→P0Q0 et d ~E

′′

=−−−→P0R0 alignes respectivement selon les axes

~u1 = ~ux et ~u2 = ~uy (Figure 6.5 :

d ~E′

= dX~u1 et d ~E′′

= dY ~u2. (6.54)

Durant la transformation, P0 s’est deplace de :

~u =−−→P0P = ~u(u1, u2, u3) (6.55)

Pour le vecteur d ~E′

=−−−→P0Q0, on a :

d~u =−−→PQ−−−−→

P0Q0 =∂~u

∂X1dX1 (dX2 = dX3 = 0 pour d ~E

′

) (6.56)

ou d~u =

(∂u1

∂X1+∂u2

∂X1+∂u3

∂X1

)

dX1, (6.57)

d’ou d~e′

=−−→PQ =

(

(1 +∂u1

∂X1)~ux1 +

∂u2

∂X1~ux2 +

∂u3

∂X1~ux3

)

dX1. (6.58)

Pour le vecteur d ~E′′

=−−−→P0R0, on a de meme :

d~e′′

=−→PR =

(∂u1

∂X2~ux1 + (1 +

∂u2

∂X2)~ux2 +

∂u3

∂X2~ux3

)

dX2. (6.59)

Des lors, l’elongation relative suivant l’axe 1 peut etre obtenue par

λ1 =PQ− P0Q0

P0Q0=

√(

1 +∂u1

∂X1

)2

+

(∂u2

∂X2

)2

+

(∂u3

∂X3

)2

− 1 (6.60)

∼=√

1 + 2∂u1

∂X1− 1 ∼= ∂u1

∂X1: (6.61)

λ1 =∂u1

∂X1= ε11 au second ordre pres. (6.62)

Il en est de meme pour :

λ2 =PR− P0Q0

P0R0= ε22. (6.63)



Q0

R0

P0

uX

dX

dXvX

dYuY

dYvY de’’

de’

dE’

u (u, v, w)

A0

γ’

γ’’

dY

dX

y

x

x

dY

R’

dXP Q’

dE’’

A

π/2 − γ

Fig. 6.5 – Mouvement des deux vecteurs perpendiculaires ~dE′

et ~dE′′

D’autre part :

γ = γ′ + γ′′ (6.64)

∼=∂u2∂X1

1 + ∂u1∂X1

+∂u1∂X2

1 + ∂u2∂X2

(6.65)

∼= ∂u2

∂X1+∂u1

∂X2: (6.66)

γ12 =∂u2

∂X1+∂u1

∂X2= 2ε12 au second ordre pres. (6.67)

6.2.5 Proprietes des valeurs propres et directions propres de la matrice desdeformations ε. - Dilatations principales et directions principales

6.2.5.1 Determination des dilatations et directions principales

Il existe une base de vecteurs orthonormes ~n1, ~n2 et ~n3 telle que le tenseur de deformationinfinitesimale ε s’exprime sous une forme diagonale : ces directions sont dites principales.



Cette base correspond aux directions propres du tenseur ε et si les valeurs propres sont ε1,ε2 et ε3, le tenseur des deformations s’exprime dans la base formee par les directions principalespar :

[ε] =

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

(6.68)

ε1, ε2 et ε3 etant les dilatations principales.

Dans cette base, les termes hors diagonale sont nuls, ce qui signifie que la distorsion angulaireest nulle pour les directions correspondant aux directions propres.

εij = 0 → γij = 0 si i 6= j (6.69)

Les directions propres de la matrice symetrique ε sont les directions principales de la trans-formation.

Rappelons que dans le cas general, ces directions et valeurs propres peuvent etre trouveesen cherchant le vecteur unitaire ~n et le scalaire µ tels que

[ε]~n = µ~n (6.70)

D’ou([ε] − µ[I])~n = ~0 (6.71)

Ce systeme d’equations algebriques homogenes n’admet une solution non triviale autre que~n = ~0 que si

det([ε] − µ[I]) = 0 (6.72)

Les µi, racines de cette equation, sont les 3 valeurs propres (i=1, 2 et 3). On a donc :

εi = µi (6.73)

Pour chaque µi, la resolution de

([ε] − µi[I])~n∗i = ~0 (6.74)

permet de determiner les vecteurs propres ~n∗i , dans un premier temps a une constante mul-tiplicative pres (puisque le systeme precedent est un systeme d’equations lineaires algebriqueshomogenes dont le determinant est nul).

Les vecteur ~n∗i trouves peuvent ensuite etre rendus unitaires en les divisant par leur norme :

~ni =~n∗i|n∗i |

(6.75)



6.2.5.2 Proprietes des dilatations principales

On peut demontrer que si on classe les dilatations principales dans l’ordre suivant :

ε1 > ε2 > ε3 (6.76)

la plus grande valeur propre ε1 correspond a la dilatation relative maximale et la plus petitevaleur propre ε3 a la dilatation relative minimale. Autrement dit, les dilatations relatives dansles autres directions sont comprises entre ces deux valeurs extremes.

En effet, considerons une direction quelconque se rapportant au vecteur unitaire ~n, dont lescomposantes (cosinus directeurs) dans la base principale sont

~nT = (p, q, r) (6.77)

Dans la base principale correspondant aux vecteurs propres ~n1, ~n2, ~n3, on peut expliciterl’elongation relative dans la direction ~n par :

εnn = ~nε~n = p, q, r

ε1 0 00 ε2 00 0 ε3

pqr

= ε1p

2 + ε2q2 + ε3r

2 (6.78)

On peut demontrer queε1p

2 + ε2q2 + ε3r

2 < ε1 (6.79)

En effet, si on remplace ε2 et ε3 par ε1, on majore le premier membre. D’ou

ε1p2 + ε2q

2 + ε3r2 < ε1p

2 + ε1q2 + ε1r

2 = ε1(p2 + q2 + r2) = ε1 (6.80)

De meme, on peut demontrer que

ε3 < ε1p2 + ε2q

2 + ε3r2 (6.81)

En effet, si on remplace ε1 et ε2 par ε3, on majore le second membre. D’ou

ε1p2 + ε2q

2 + ε3r2 > ε3p

2 + ε3q2 + ε3r

2 = ε3(p2 + q2 + r2) = ε3 (6.82)

6.2.6 Tenseur antisymetrique Ω - Interpretation

Considerons (Fig. 6.6)

– un vecteur elementaire−−−→P0Q0 =

−→dE dans la configuration initiale en t = t0

– le vecteur elementaire−−→PQ =

−→de le vecteur elementaire obtenu apres un mouvement sans

deformation, simplement apres rotation d’un angle α autour de l’axe P0d (oriente par levecteur unitaire ~n).

La rotation s’effectuant dans le plan perpendiculaire a l’axe P0d, si le point R est le pointde percee de l’axe de rotation dans le plan perpendiculaire a l’axe passant par les points Q etQ0, le point Q aura effectue une rotation dans ce plan d’un angle α autour du point R.

On souhaite expliciter la relation entre ~du et ~dE afin de donner une signification physiquea la partie antisymetrique Ω de la matrice G, gradient de deplacement, sachant que dans le cas



Fig. 6.6 – Deplacement du vecteur infinitesimal ~dE = ~P0Q0 dans un cas sans deformation

qui nous occupe, la matrice symetrique ε est nulle, aucune deformation n’ayant ete imposee aumilieu.

On a donc dans ce cas (sans deformation)

~du = ~de− ~dE = Ω ~dE car ε = 0 (6.83)

On sait que−→de =

−−→P0R+

−−→RQ (6.84)

−→dE =

−−→P0R+

−−→RQ0 (6.85)

D’ou :~du = ~de− ~dE =

−−→P0R+

−−→RQ−−−→

P0R−−−→RQ0 =

−−→RQ−−−→

RQ0 (6.86)

Le vecteur−−→RQ correspond a la rotation du vecteur

−−→RQ0 autour de l’axe ~n perpendiculaire

au plan contenant les points R, Q et Q0. La grandeur des vecteurs−−→RQ et

−−→RQ0 est donc identique

puisqu’ils resultent d’une simple rotation.

On a donc −−→RQ = |RQ| cosα ~uRQ0 + |RQ| sinα ~uRW , (6.87)

la direction RW etant la direction perpendiculaire a RQ0 dans le plan.

D’ou :

~uRQ0 =~RQ0

|RQ0|(6.88)

~uRW =~n ∧RQ0

|RQ0|(6.89)



D’ou : −−→RQ = cosα

−−→RQ0 + sinα (~n ∧ −−→

RQ0) (6.90)

Si les deformations sont infinitesimales, l’angle α est petit

cosα ≈ 1 (6.91)

sinα ≈ α (6.92)

D’ou :

−−→RQ =

−−→RQ0 + α(~n ∧ −−→

RQ0) (6.93)−−→RQ−−−→

RQ0 = α~n ∧ −−→RQ0 (6.94)

Et :~du = ~RQ− ~RQ0 = α~n ∧ ~RQ0 (6.95)

Des lors, en l’absence de deformations, suite a une simple rotation d’angle α autour del’axe~n, on a

~du = α~n ∧ −−→RQ0 = α~n ∧ ~dE (6.96)

On peut montrer que cette operation, similaire a l’expression classique (produit vectoriel)permettant de decrire la rotation d’un angle α, revient a appliquer un tenseur de rotationantisymetrique, qui correspond justement a la matrice antisymetrique Ω.

En effet, si α1, α2 et α3 sont les composantes du vecteur α~n dans la base s, on obtient

~du = α~n ∧ ~dE =

~ux1 ~ux2 ~ux3

α1 α2 α3

dX1 dX2 dX3

=

α2dX3 − α3dX2

α3dX1 − α1dX3

α1dX2 − α2dX1

(6.97)

Ce dernier resultat peut etre obtenu a partir de la multiplication d’une matrice anti-symetrique par le vecteur ~dE :

~du =

0 −α3 α2

α3 0 −α1

−α2 α1 0

dX1

dX2

dX3

(6.98)

Une rotation infinitesimale d’un angle α du vecteur ~dE autour d’un axe de vecteur unitaire~n equivaut a la multiplication par une matrice antisymetrique, qui est justement la matriceantisymetrique Ω, dont les termes sont donc les suivants :

Ω11 = 0 Ω22 = 0 Ω33 = 0 Ω12 = −α3 Ω13 = α2 Ω23 = −α1 (6.99)

Si α1, α2 et α3 sont les composantes du vecteur α~n dans la base s, la matrice representativedu tenseur antisymetrique Ω a pour composantes

0 −α3 α2

α3 0 −α1

−α2 α1 0

(6.100)

Le tenseur antisymetrique Ω contient donc l’information correspondant a la rotation commesi le corps etait rigide.



6.2.7 Deformations planes et cercle de Mohr associe au tenseur dedeformation

6.2.7.1 Etat plan de deformation

Une deformation est plane si le deplacement se situe dans un plan et est independant de lacoordonnee perpendiculaire au plan. Ainsi par exemple, une deformation plane contenue dansle plan X1X2 = xy correspond a un deplacement ~u perpendiculaire a X3 = Oz et independantde X3 = z :

u1 = u1(X1, X2) u2 = u2(X1, X2) u3 = 0 (6.101)

Comme

Gij =∂ui∂Xj

(6.102)

les termes concernant u3 (ou les derivees partielles par rapport a X3) sont nuls :

G13 = 0 G23 = 0 G33 = 0 G31 = 0 G32 = 0 (6.103)

On en deduit que

ε13 =1

2(G13 +G31) = 0 ε23 =

1

2(G23 +G32) = 0 ε33 =

1

3(G33 +G33) = 0 (6.104)

D’autre part, les termes restant different de 0, a savoir ε11, ε22 et ε12 sont independants dez = X3.

Le tenseur de deformation ε est plan et independant de z = X3. La matrice de ses compo-santes par rapport aux axes O1 = Ox, O2 = Oy et O3 = Oz est :

[ε] =

ε11 ε12 0ε12 ε22 00 0 0

(6.105)

La matrice de ses composantes par rapport aux axes O1 = Ox et O2 = Oy est :

[ε] =

[ε11 ε12ε12 ε22

]

(6.106)

6.2.7.2 Determination des directions propres du tenseur des deformations ε dansun cas plan

Recherchons les composantes du tenseur plan ε par rapport a une base (~uθ, ~uθ+π/2), tourneede l’angle θ par rapport a la base Oxy = O12. On obtient :

εθ,θ = ~uθ · ε~uθ = ε11 cos2 θ + ε12 sin 2θ + ε22 sin2 θ (6.107)

εθ+π/2,θ+π/2 = ~uθ+π/2 · ε~uθ+π/2 = ε11 sin2 θ − ε12 sin 2θ + ε22 cos2 θ (6.108)

εθ,θ+π/2 = ~uθ · ε~uθ+π/2 =ε22 − ε11

2sin 2θ + ε12 cos 2θ (6.109)

En particulier, les directions propres ~ni seront obtenues par les angles θi telles que εθi,θi+π/2 =0, c’est-a-dire tels que

tan 2θi =2ε12

ε11 − ε22. (6.110)



θ2

θ1

n2

n1

θ1

θ + π/2

β + π/2

x

y

+

0

θβ

θ (β)

Fig. 6.7 – Localisation d’une direction par rapport a l’axe x (θ) et a la direction principale ~n1

(β)

6.2.7.3 Cercle de Mohr relatif au tenseur des deformations

La variance tensorielle peut etre commodement illustree par un trace graphique appele cerclede Mohr.

Choisissons pour base celle des directions propres (~n1, ~n2) et designons par β l’angle queforme une direction quelconque avec ~n1 (β = θ − θ1) (Fig. 6.8).

Les composantes du tenseurs des contraintes se rapportant aux axes faisant un angle β etβ + π/2 par rapport a la direction propre ~n1 s’expriment par :

εβ,β = ε1 cos2 β + ε2 sin2 β (6.111)

εβ,β+π/2 = −ε1 − ε22

sin 2β (6.112)

L’expression de εβ,β peut etre transformee de la facon suivante :

εβ,β = ε1 cos2 β + ε2 sin2 β (6.113)

=ε12

cos2 β +ε12

cos2 β +ε22

sin2 β +ε22

sin2 β (6.114)

=ε12

cos2 β +ε12

cos2 β +ε22

sin2 β +ε22

sin2 β (6.115)

+ε12

sin2 β − ε12

sin2 β +ε22

cos2 β − ε22

cos2 β (6.116)

(6.117)

ce qui conduit a

εβ,β =ε12

+ε22

+ε12

cos 2β − ε22

cos 2β (6.118)

εβ,β =ε1 − ε2

2cos 2β +

ε1 + ε22

(6.119)



Portons en graphique le point Pβ d’abscisse εββ et d’ordonnee εβ,β+π/2, et recherchons lelieu Pβ lorsque β varie.

Si C est le point d’abscisseε1 + ε2

2=

tr ε

2, les composantes de CPβ sont

ε1 − ε22

cos 2β et

−ε1 − ε22

sin 2β.

Pβ appartient donc au cercle de centre C et de rayonε1 − ε2

2. Ce cercle est le cercle de

Mohr du tenseur plan ε.

Si on a choisi les directions principales de sorte que ε1 > ε2, CPβ forme l’angle 2β, comptepositivement dans le sens horlogique avec l’axe des abscisses. Le point Pβ+π/2 est le pointdiametralement oppose a Pβ sur ce cercle.

2θ2

2θ1 P1(ε1)P2(ε2)

Px(ε , ε )xx xy

εββ

Pβ + π/2

εβ,β + π/2

(ε − ε )yy’ yxPy

ε1 + ε22

2ε1 2 − ε

O

2θ

2β

θ

B

A

C

+ β, θ

Fig. 6.8 – Cercle de Mohr du tenseur des deformations

Les points P1 et P2 correspondant aux directions propres sont situes sur l’axe des abscisses.

Pour tracer le cercle de Mohr, il suffit de connaıtre les composantes εxx, εyy et εxy du tenseurε par rapport a une base Oxy.

En effet, l’abscisse du centre du cercle est OC =tr ε

2=εxx + εyy

2; il suffit ensuite de porter

le point Px(εxx, εxy) et de tracer le cercle de centre C et de rayon CPx.

Remarquons que les points A et B du cercle de Mohr, c’est-a-dire pour les directions quisont les bissectrices des axes principaux 1 et 2, les distorsions angulaires γij = 2εij sont maximaet valent ±(ε1 − ε2).



6.2.8 Transformation volumique et invariant de la transformation

Un cube elementaire d’aretes paralleles aux axes de coordonnees Oi se transforme en unparallelepipede oblique, dont les aretes ont subi les elongations relatives λi et dont les faces ontsubi les distorsions γij .

On definit la dilatation volumique relative d’un volume initial V0 qui, apres deformation, estdevenu le volume V par

∆ =∆V

V=V − V0

V. (6.120)

Si on considere un volume initial unitaire correspondant a des cotes sur les axes 1, 2 et 3unitaires, on a

V0 = 1 (6.121)

Le volume apres deformation devient

V = (1 + ε11)(1 + ε22)(1 + ε33) (6.122)

V = 1 + ε11 + ε22 + ε33 + o(ε2) (6.123)

D’ou

∆ =∆V

V=V − V0

V= ε11 + ε22 + ε33 = tr (ε) (6.124)

La trace de la matrice des deformations elementaires est un invariant (qui ne depend pasde la base dans laquelle le tenseur des deformations est exprime) et represente physiquement ladilatation volumique relative.

6.2.9 Quadrique associee au tenseur symetrique

La quadrique associee au tenseur symetrique ε d’equation

ε1x21 + ε2x

22 + ε3x

23 = ±1 (6.125)

par rapport a la base O123 des directions propres, peut etre un ellipsoıde, un hyperboloıde aune nappe ou un hyperboloıde a deux nappes selon le signe des εi.

Cette quadrique est l’indicatrice des deformations normales (quadrique de Cauchy). Ellejouit des proprietes classiques des quadriques associees a un tenseur symetrique.

Si M est le point de percee d’un axe ~n dans le quadrique, OM =1

√

|εnn|(εnn = ~n · Σ~n)

etant la composante normale de ε dans la direction ~n et le vecteur ε~n est perpendiculaire auplan tangent a la quadrique en M .

L’ellipsoıde des deformations est l’ellipsoıde direct de la transformation ε. Cet ellipsoıde estla transformee de la sphere de centre O et de rayon unitaire.

6.2.10 Recapitulation des principaux outils permettant de decrire ladeformation en un point d’un solide deformable

En conclusion,

~de = ~dE + ε ~dE + Ω ~dE (6.126)

F ~dE = ~dE + ε ~dE + Ω ~dE (6.127)



et :F = I + ε+ Ω (6.128)

– F est le tenseur gradient de deformation reliant ~de a ~dE– I est le tenseur unitaire correspondant a la translation de corps rigide ;– ε est le tenseur symetrique des deformations infinitesimales contenant l’information sur la

deformation du milieu : les termes de la diagonale representent les elongations relativessuivant les axes coordonnees, les termes hors diagonales etant egaux a la moitie des anglesde distorsion qui s’y rapportent ;

– Ω est le tenseur antisymetrique des rotations contenant l’information sur la rotation decorps rigide ;

avecF = I +G (6.129)

G etant le tenseur gradient de deplacement reliant ~du a ~dE, pouvant etre decompose en sa partiesymetrique ε et antisymetrique Ω par

ε =G+GT

2(6.130)

Ω =G−GT

2(6.131)

Si les coordonnees vectorielles du milieu deforme sont decrites par ~e = ~e( ~E), ~E(X1, X2, X3)etant la configuration initiale, et ~e(x1, x2, x3) etant la configuration deformee ou si le deplacementpar rapport a la configuration de reference est decrit par ~u = ~u( ~E) , avec ~u = ~e − ~E, lescomposantes des diverses matrices peuvent etre obtenues de la facon suivante :

– Matrice G, gradient de deplacement :

Gij =∂ui∂Xj

=∂xi∂Xj

− δij (6.132)

– Matrice F , gradient de deformation :

Fij = δij +Gij = δij +∂ui∂Xj

=∂xi∂Xj

(6.133)

– Matrice ε, matrice symetrique des deformations infinitesimales :

εij =1

2(Gij +Gji) =

1

2(∂ui∂Xj

+∂uj∂Xi

) (6.134)

– Matrice Ω, matrice antisymetrique des rotations

Ωij =1

2(Gij −Gji) =

1

2(∂ui∂Xj

− ∂uj∂Xi

) (6.135)

6.2.11 Exemples

6.2.11.1 Distorsion simple

Considerons la transformation homogene suivante :

x1 = X1 + kX2 (6.136)

x2 = X2 + kX1 (6.137)

x3 = X3 (6.138)

k(t) > 0 (6.139)



k est considere comme tres petit.

Tous les points (X1, X2, X3) situes sur une perpendiculaire au plan O12 subissent le memedeplacement ~u(kY, kX, 0). La transformation est plane dans le plan O12 (Fig. 6.9).

Le carre OA0B0C0 se transforme en le losange OABC.

n2n1 kX0

A0 (X0, 0)

kY0B0 (0, Y0)C0

u

u

P0(X, Y)

π / 2 − γxy

O

A

B

C

P (X+kY, Y+kX)

x

y

kY

kX

Fig. 6.9 – Distorsion simple (ou cisaillement pur) d’un solide deformable

Une telle deformation est appelee une distorsion simple (ou un cisaillement pur).

La matrice du tenseur F par rapport a la base s = O123 vaut (puisque Fij = ∂xi∂Xj

) :

[F ] =

1 k 0k 1 00 0 1

; (6.140)

La matrice du tenseur G vaut (puisque Gij = Fij − δij)

[G] =

0 k 0k 0 00 0 0

; (6.141)

Le tenseur G est donc symetrique ; on peut donc directement en deduire que si on veutle decomposer en ses composantes symetrique et antisymetrique, cette derniere est nulle et lamatrice est directement egale a la composante symetrique.

En effet,

ε =1

2(GT +G) = G (6.142)

Ω =1

2(GT −G) = 0 (6.143)

La transformation est donc une deformation pure, decrite par le tenseur des deformationsinfinitesimales :

[ε] =

0 k 0k 0 00 0 0

; (6.144)



Le vecteur rotation ~ω = 0 puisque la matrice antisymetrique des rotations Ω = 0.

Les valeurs propres µi de ε valent : µ1 = +k ; µ2 = −k et µ3 = 0.

Les directions principales dans le plan (~u1, ~u2) sont les bissectrices des axes ~u1 et ~u2 :

~n1 =1√2

(~u1 + ~u2) et ~n2 =1√2

(~u1 − ~u2) . (6.145)

Les elongations relatives principales sont :

ε1 = µ1 =OC −OC0

OC0= k, (6.146)

ε2 = µ2 =AB −A0B0

A0B0= −k, (6.147)

ε3 = µ3 = 0. (6.148)

Les elongations relatives λi = εii selon les axes coordonnes Oi sont nulles.

λ1 = 0 = ε11 (6.149)

λ2 = 0 = ε22 (6.150)

λ3 = 0 = ε33; (6.151)

Seule la composante de cisaillement ε12 = k est 6= 0.

Les angles de distorsion valent :

γ12 ∼ 2k (6.152)

γ13 = 0 (6.153)

γ23 = 0 (6.154)

La dilatation volumique relative est nulle : ∆ = tr ε = 0. Le volume est donc conserve lorsde la deformation.

Le cisaillement pur apparaıt comme une deformation plane sans rotation ni changement devolume.

6.2.11.2 Cisaillement simple

Considerons la transformation homogene de glissement (ou de cisaillement simple) :

x1 = X1 + 2kX2 (6.155)

x2 = X2 (6.156)

x3 = X3 (6.157)

k est considere comme tres petit.

Tout plan X2 = Cste glisse sur lui-meme d’une longueur proportionnelle a X2 (Fig. 6.10).

La transformation etant plane, on peut l’etudier dans le plan O12.

La matrice du tenseur F par rapport a la base s = O123 vaut (puisque Fij = ∂xi∂Xj

) :

[F ] =

1 2k 00 1 00 0 1

(6.158)



n1

A02 ; 0 ) ( 1+k

2+k ; 1 )B ( 1+k0B ( 1+k2−k ; 1 )

n2

y

xO

1

(k = 0,75)

C0(−k ; 1)

φ

φ φ

C (k ; 1)

Fig. 6.10 – Cisaillement simple d’un solide deformable

La matrice du tenseur G vaut (puisque Gij = Fij − δij) :

[G] =

0 2k 00 0 00 0 0

; (6.159)

Le tenseur G peut donc etre decompose en sa composante symetrique ε et antisymetriqueΩ.

ε =1

2(GT +G) (6.160)

[ε] =

0 k 0k 0 00 0 0

(6.161)

Ω =1

2(GT −G) (6.162)

[Ω] =

0 k 0−k 0 00 0 0

(6.163)

D’ou, le vecteur rotation~ω = (0; 0;−k) (6.164)

Un glissement infinitesimal se ramene a un cisaillement pur et a une rotation d’axe z.Les caracteristiques de la deformation dependant du tenseur symetrique des deformations infi-nitesimales ε sont identiques a ce qui a ete obtenu precedemment dans le cas de la distorsionsimple.



Les dilatations relatives principales sont :

ε1 = µ1 =OC −OC0

OC0= k (6.165)

ε2 = µ2 =AB −A0B0

A0B0= −k (6.166)

ε3 = µ3 = 0 (6.167)

Les valeurs propres µi de ε valent : µ1 = +k ; µ2 = −k et µ3 = 0.

Les directions principales sont les bissectrices des axes u1 et u2

~n1 =1√2

(~u1 + ~u2) et ~n2 =1√2

(~u1 − ~u2) . (6.168)

Les elongations relatives λi = εii selon les axes coordonnes Oi sont nulles :

λ1 = 0 = ε11 (6.169)

λ2 = 0 = ε22 (6.170)

λ3 = 0 = ε33 (6.171)

Seule la composante de cisaillement ε12 = k est 6= 0.

Les angles de distorsion valent :

γ12 ∼ 2k (6.172)

γ13 = 0 (6.173)

γ23 = 0 (6.174)

La dilatation volumique relative est nulle : ∆ = tr ε = 0. Le volume est donc conserve lorsde la deformation.

6.2.11.3 Extension simple suivant les axes

Considerons la transformation homogene d’extensions simples selon les axes coordonnees(Fig. 6.11) :

x1 = X1 + kX1

x2 = X2 − νkX2

x3 = X3 − νkX3

On verifie aisement que :

[F ] =

1 + k 0 00 1 − νk 00 0 1 − νk

(6.175)

[G] =

k 0 00 −νk 00 0 −νk

. (6.176)



1 − kν

1 − kν

t = t0

x

y

z

0

1

1

x

z

y

1 + k

t = t

Fig. 6.11 – Extension simple suivant les axes d’un solide deformable

G est donc symetrique et ε = G.

Les directions principales sont celles des axes coordonnees.

Les valeurs propres µi valent k, −νk, −νk, et les elongations relatives principales valentegalement k, −νk, −νk.

La deformation d’un cube d’arete unitaire est schematisee a la figure 6.11.

6.3 Contraintes dans un milieu continu - Tenseur descontraintes Σ

6.3.1 Forces agissant sur un milieu continu. Contrainte en un point

Considerons un corps S a un instant t, ce corps pouvant etre au repos ou en mouvement(Fig. 6.12). Un volume dV quelconque de matiere choisi au sein de B, de masse dm, limite parla surface fermee S, est soumis a l’action des forces suivantes :

1. Forces a distance

Sur chaque element dm de matiere agit une force ~fdm. ~f est une force massique :– ~f = ~g pour la pesanteur– ~f = −~a pour les reactions d’inertie (si le corps est en mouvement).

2. Forces de contact

En un point P de S, l’action de la matiere exterieure a S sur un element de surface ∆S,de normale exterieure ~n, peut se reduire a une force ∆~F .

Nous admettrons que lorsque l’element de surface ∆S tend vers zero, le rapport ∆~F/∆Sadmet une limite ~T = d~F/dS (principe d’Euler-Cauchy).

~T = lim∆S→0

∆~F

∆S=d~F

dS(6.177)



dF

f dm

n

x

z

yO

B(t)

dSV

Sdm

Fig. 6.12 – Forces agissant sur un element de volume d’un milieu continu

La contrainte ~T en P s’exercant au travers d’une facette perpendiculaire au vecteur unitaire~n (oriente vers l’exterieur) est la force par unite de surface qu’exerce en P la matiere situee ducote positif de ~n sur celle situee du cote negatif de ~n.

La contrainte ~T ne depend que du point P considere et de la direction ~n :

~T = ~T (P,~n) (6.178)

Le principe de l’egalite de l’action et de la reaction pour les forces de contact exprime quela contrainte exercee a travers une facette par la matiere situee du cote negatif de ~n sur cellesituee du cote positif de ~n, est opposee a la contrainte definie precedemment :

~T (P,−~n) = −~T (P,~n) (6.179)

6.3.1.1 Convention de notation pour les contraintes σij

Si on considerons une facette de normale ~uj (facette perpendiculaire a l’axe Pj), on designera

par σij , la projection sur l’axe ~ui de la contrainte ~T (~uj) s’exercant en P sur cette facette denormale ~uj .

Lorsqu’on decrit une contrainte σij , le second indice se rapporte a la normale orientant lafacette, tandis que le premier indice decrit la direction de projection :

σij = ~ui · ~T (~uj) (6.180)



6.3.1.2 Application de la loi fondamentale de la mecanique a un tetraedre trirec-tangle elementaire

On souhaite appliquer la loi fondamentale de la mecanique au tetraedre trirectangleelementaire PABC de la figure 6.13. Le vecteur unitaire ~n(n1, n2, n3) est la normale exterieurea la face oblique ABC, d’aire dS de ce tetraedre qui possede trois faces paralleles aux plans descoordonnees.

uj

ui

T (uj)

σjj

σij

n (nx, ny, nz)

T (Tx, Ty, Tz)

x

y

z i

j

P dydx

dz

A

C

B

P

Fig. 6.13 – Tetraedre trirectangle elementaire

Inventaire des forces de contact exercees sur le tetraedre

– sur la face ABC, de surface dS et de normale ~n, soumise a la tension ~T , les composantesde la force globale s’expriment par (T1dS, T2dS,T3dS) ;

– sur la face APB de normale exterieure −~uz = −~u3, soumise aux contraintes -σ13,−σ23, et−σ33 (paralleles respectivement aux axes 1, 2 et 3 ;APB est la projection orthogonale de ABC (orientee par le vecteur ~n) sur le plan Pxy =P12 (oriente par le vecteur −~u3), l’aire APB s’exprime par :aire APB = aire ACB cos(~n, ~u3) = n3dS ;Les forces de contact sur la face APB sont donc egales a (−σ13n3dS ; −σ23n3dS ;−σ33n3dS) ;

– sur la face APC de normale exterieure −~uy = −~u2, soumise aux contraintes -σ12, -σ22 et-σ32, paralleles respectivement aux axes 1, 2 et 3 ;APC est la projection orthogonale de ABC (orientee par le vecteur ~n) sur le plan Pxz =P13 (oriente par le vecteur −~u2), l’aire APC s’exprime par :aire APC = aire ACB cos(~n, ~u2) = n2dS ;Les forces de contact sur la face APC sont donc egales a (−σ12n2dS ; −σ22n2dS ;−σ32n2dS) ;

– sur la faceBPC de normale exterieure −~ux = −~u1, soumise aux contraintes -σ11,−σ21, et−σ31, paralleles respectivement aux axes 1, 2 et 3 ;BPC est la projection orthogonale de ABC (orientee par le vecteur ~n) sur le plan Pyz =P23 (oriente par le vecteur (−~u1), l’aire BPC s’exprime par :aire BPC = aire ACB cos(~n, ~u1) = n1dS ;Les forces de contact sur la face BPC sont donc egales a (−σ11n1dS ; −σ21n1dS ;



−σ31n1dS).

Il est utile de remarquer que les forces a distance ρ~fdV = ρ~fdxdydz sont du troisieme ordre,donc negligeables par rapport aux forces de contact qui sont du second ordre (de meme, toutesles contraintes peuvent etre considerees en P et non aux centres des faces puisque la differenceest du troisieme ordre).

Equilibre du tetraedre et definition du tenseur des contraintes Σ

L’expression de l’equilibre dynamique du tetraedre donne :

T1 = σ11n1 + σ12n2 + σ13n3,

T2 = σ21n1 + σ22n2 + σ23n3, (6.181)

T3 = σ31n1 + σ32n2 + σ33n3,

ou Ti =3∑

j=1

σijnj . (6.182)

Etant donne cette relation lineaire entre les composantes de la contrainte ~T s’exercant surune face de normale ~n, les contraintes σij sont donc les composantes d’un tenseur du secondordre Σ, appele le tenseur des contraintes en P , tel que

~T = ~T (~n) = Σ~n (6.183)

6.3.1.3 Signification des termes de la matrice representative du tenseur descontraintes Σ

Les composantes de ce tenseur des contraintes Σ valent

σij = ~ui · T (~uj) = ~ui · Σ ~uj (6.184)

– La composante σnn = ~n·Σ~n s’exercant sur une facette orientee par le vecteur ~n est appeleela contrainte normale a cette facette :– si σnn > 0, la contrainte est une tension,– si σnn < 0, la contrainte est une compression.

– La composante tangentielle ~σt = Σ~n − σnn~n est appelee contrainte de cisaillement. Cescomposantes tangentielles de cisaillement sont egalement notees τ .

La matrice des composantes du tenseur des contraintes Σ par rapport a la base Oxyz = O123peut etre notee sous l’une ou l’autre des formes suivantes4 :

[Σ] =

σxx σxy σxzσyx σyy σyzσzx σzy σzz

=

σx τxy τxzτyx σy τyzτzx τzy σz

=

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

=

σ11 τ12 τ13τ21 σ22 τ23τ31 τ32 σ33

(6.185)

4Comme on le verra plus loin, on reservera la notation σi aux valeurs propres de la matrice des contraintes Σ.



6.3.1.4 Symetrie du tenseur des contraintes Σ

Considerons un parallelepipede rectangle (dx, dy, dz) centre au point P (x, y, z) du corpscontinu S.

σzz

σyzσxz

σzy

σyy

σxyσyx

σzx

σxxx

O

z

y

z

x

y

dz

dx

dy

P

Fig. 6.14 – Parallelepipede rectangle (dx, dy, dz) d’un solide deformable et contraintes agissantsur les faces visibles de ce parallelepipede

Sur la facette normale a Ox et d’abscissedx

2, les composantes de la contrainte ~T (~ux) sont :

σxx

(

x+dx

2, y, z

)

, σyx

(

x+dx

2, y, z

)

, σzx

(

x+dx

2, y, z

)

Sur l’autre facette normale a Ox, d’abscisse −dx2

, les composantes de la contrainte T (−~ux)sont :

−σxx(

x+dx

2, y, z

)

, −σyx(

x+dx

2, y, z

)

, −σzx(

x+dx

2, y, z

)

Des resultats similaires peuvent etre obtenus pour les contraintes sur les facettes normalesa Oy et a Oz.

Ecrivons l’equation d’equilibre dynamique de rotation autour de l’axe Pz. Seules, lescontraintes σxy et σyx ont un moment non nul par rapport a cet axe ; le moment resultantdes forces elementaires correspondantes vaut :

MPz =

(

−σxy(

x, y +dy

2, z

)dy

2− σxy

(

x, y − dy

2, z

)dy

2

)

dxdz

+

(

σyx

(

x+dx

2, y, z

)dx

2+ σyx

(

x− dx

2, y, z

)dx

2

)

dydz

= (−σxy(x, y, z) + σyx(x, y, z)) dxdydz

(a des infiniment petits d’ordre 4 pres).

Il est utile de remarquer que les forces massiques ρ~fdxdydz et −ρ~adxdydz (reaction d’inertie)ont un moment nul par rapport a P .



L’equation d’equilibre dynamique autour de Pz se reduit donc a :

σyx = σxy (6.186)

Les equations d’equilibre dynamique de rotation autour des axes Px et Py conduiraient dememe a :

σyz = σzy et σxz = σzx (6.187)

On dit aussi qu’il y a reciprocite des contraintes tangentielles.

Le tenseur des contraintes Σ est donc symetrique :

σij = σji ou Σ = ΣT (6.188)

6.3.2 Equations differentielles exprimant l’equilibre dynamique d’un milieucontinu

L’equation d’equilibre dynamique de translation selon Px s’expriment par :

(

σxx

(

x+dx

2, y, z

)

− σxx

(

x− dx

2, y, z

))

dydz

+

(

σxy

(

x, y +dy

2, z

)

− σxy

(

x, y − dy

2, z

))

dxdz

+

(

σxz

(

x, y, z +dz

2

)

− σxz

(

x, y, z − dz

2

))

dxdy + ρ (fx − ax) dxdydz = 0

D’ou

∂σxx∂x

+∂σxy∂y

+∂σxz∂z

+ ρ (fx − ax) = 0

De meme que pour l’equilibre suivant les deux autres axes, les equations sont

∂σyx∂x

+∂σyy∂y

+∂σyz∂z

+ ρ (fy − ay) = 0

∂σzx∂x

+∂σzy∂y

+∂σzz∂z

+ ρ (fz − az) = 0

soit

3∑

j=1

∂σij∂xj

− ρ (fi − ai) (i = 1, 2, 3) (6.189)

On obtient ainsi les equations differentielles exprimant l’equilibre dynamique d’un milieucontinu.



6.3.3 Contraintes en un point P et directions principales

Il existe une base de vecteurs orthonormes ~n1, ~n2 et ~n3 telle que le tenseur des contraintesΣ s’exprime sous une forme diagonale.

Cette base correspond aux directions propres du tenseur Σ et si les valeurs propres sont σ1,σ2 et σ3, le tenseur des contraintes Σ s’exprime dans la base formee par les directions principalespar5 :

[σ] =

σ1 0 00 σ2 00 0 σ3

; (6.190)

Dans cette base, les termes hors diagonale sont nuls.

Les trois directions propres ~ni sont orthogonales deux a deux :

Σ~ni = σi~ni et ~ni · ~nj = δij (6.191)

Les σi et les ~ni sont aussi appeles les contraintes et directions principales. Les contraintesassociees a ces directions principales sont donc purement normales aux facettes correspondantes ;elles ne possedent pas de composantes de cisaillement.

Rappelons que dans le cas general, ces directions et valeurs propres peuvent etre trouveesen cherchant le vecteur ~n et le scalaire µ tels que

[Σ]~n = µ~n (6.192)

D’ou([Σ] − µ[I])~n = ~0 (6.193)

Ce systeme d’equations lineaires homogenes n’admet une solution non triviale autre que~n = ~0 que si

det([Σ] − µ[I]) = 0 (6.194)

Les µi, racines de cette equation, sont les 3 valeurs propres (i =1, 2 et 3). On a donc :

σi = µi (6.195)

Pour chaque µi = σi, la resolution de

([Σ] − σi[I])~n∗i = ~0 (6.196)

permet de determiner les vecteurs propres ~n∗i , dans un premier temps, a une constantemultiplicative pres (puisque le systeme precedent est un systeme d’equations lineaires algebriqueshomogenes dont le determinant est nul). Les vecteur n∗i trouves peuvent ensuite etre rendusunitaires en les divisant par leur norme :

~ni =~n∗i|n∗i |

(6.197)

5Le tenseur des contraintes Σ etant symetrique admet trois valeurs propres reelles σ1, σ2 et σ3.



6.3.4 Autres proprietes du tenseur des contraintes Σ

Les invariants fondamentaux du tenseur des contraintes Σ sont :

J1 = σ1 + σ2 + σ3 = tr Σ,

J2 = σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1 =1

2

(

(tr Σ)2 − tr(Σ2))

(6.198)

J3 = σ1σ2σ3 = det Σ.

On definit la quadrique indicatrice des contraintes normales d’equation

σ1x21 + σ2x

22 + σ3x

23 = ±1 (6.199)

par rapport a la base P123 des directions principales de P , ainsi que l’ellipsoıde des contraintes(ou ellipsoıde de Lame), d’equation

(x1

σ1

)2

+

(x2

σ2

)2

+

(x3

σ3

)2

= 1 (6.200)

Ces quadriques jouissent de proprietes analogues a celles definies pour les quadriques as-sociees au tenseur des deformations ǫ. On en deduit notamment que si σ3 < σ2 < σ1, σ1 et σ3

sont respectivement le maximum et le minimum des contraintes normales σnn.

6.3.5 Etat plan de contrainte

L’etat de contrainte de P est plan si toutes les contraintes se rapportant a une directiondonnee sont nulles, autrement dit, si toutes les contraintes sont paralleles a un plan.

Ainsi par exemple, pour un etat de contrainte dans le plan xy, toutes les contraintes ~T = Σ~nsont dans le plan xy. Le premier indice de σij se rapportant a la direction de projection i, on adonc :

σzx = 0 , σzy = 0 , σzz = 0 (6.201)

La contrainte en un point P pour une facette orientee par le vecteur normal unitaire ~n =nx~ux + nu~uy + nz~uz s’exprime par :

Tx = σxxnx + σxyny (6.202)

Ty = σxyny + σzyny (6.203)

Tz = 0 (6.204)

Le tenseur Σ peut alors etre considere comme plan.

Sa matrice (3x3) des composantes par rapport aux axes x, y et z est

[σ] =

σxx σxy 0σxy σyy 00 0 0

(6.205)

Sa matrice (2x2) des composantes par rapport aux axes x et y correspond a :

[σ] =

[σxx σxyσxy σyy

]

(6.206)



Le cas d’un etat plan de contrainte se presente notamment en un point de la surface libred’un solide, ou toutes les composantes selon la normale a cette surface sont nulles.

La recherche des contraintes principales σ1 et σ2 et des directions principales ~n1 et ~n2 duplan xy ( σ3 = 0 et ~n3 = ~uz), ainsi que la representation graphique de la variance tensorielle parun cercle de Mohr, peuvent etre calquees sur l’etude similaire effectuee pour les deformationsplanes.

6.3.6 Cercle de Mohr du tenseur des contraintes Σ

n (n1, n2, n3)

T

facette nπ

3

1

2

P

τQR

σ

Fig. 6.15 – Decomposition de la contrainte ~T en contrainte normale ~σ et en contrainte tangen-tielle ~τ

La contrainte ~T (~n) sur la facette πn perpendiculaire a la direction ~n peut etre decomposeeen (Fig. 6.15)

– la contrainte normale σ = σnn = ~n · Σ~n (σ peut etre ≤ 0 ou < 0),– la contrainte tangentielle (ou contrainte de cisaillement) ~τ = ~T − σ~n (τ est toujours ≥ 0.

On appelera τ = |~τ |, la grandeur de la contrainte tangentielle.

On se propose de porter en diagramme l’ensemble des points (σ = σnn, τ) correspondant al’ensemble des directions ~n autour de P .

Considerons la base des directions principales 123 au point P , formee par les vecteurs uni-taires ~n1, ~n2, ~n3. Dans ce repere principal, le vecteur unitaire ~n a pour composantes (p, q, r) :

~n = p~n1 + q ~n2 + r ~n3 (6.207)

Le vecteur ~n etant unitaire, la relation suivante est verifiee :

p2 + q2 + r2 = 1 (6.208)

On peut egalement exprimer dans cette base la valeur de la contrainte σnn :

σ = σnn = ~n · Σ~n (6.209)

ce qui donne : σ = σ1 p2 + σ2 q

2 + σ3 r2 (6.210)



D’autre part, on peut egalement exprimer dans cette base la contrainte ~T :

~T = Σ~n = σ1p~n1 + σ2q ~n2 + σ3r ~n3 (6.211)

ce qui conduit au carre T 2 de la contrainte :

T 2 = τ2 + σ2 = σ21 p

2 + σ22 q

2 + σ23 r

2 (6.212)

La resolution de ce systeme d’equations (6.208), (6.210) et (6.212)conduit a :

p2 =(σ − σ2)(σ − σ3) + τ2

(σ1 − σ2)(σ1 − σ3), (6.213)

q2 =(σ − σ3)(σ − σ1) + τ2

(σ2 − σ3)(σ2 − σ1), (6.214)

r2 =(σ − σ1)(σ − σ2) + τ2

(σ3 − σ1)(σ3 − σ2). (6.215)

Les contraintes principales (σ1, σ2, σ3) etant supposees rangees dans l’ordre σ3 < σ2 < σ1,les inegalites suivantes en decoulent :

σ1 − σ2 > 0 , σ1 − σ3 > 0 et σ2 − σ3 > 0 (6.216)

On peut donc deduire de l’equation (6.213), (p2 etant positif) que :

(σ − σ2)(σ − σ3) + τ2 ≥ 0 (6.217)

ou

(

σ − σ2 + σ3

2

)2

+ τ2 ≥(σ2 − σ3

2

)2

(6.218)

Les points M (σ, τ) doivent donc etre situes sur ou a l’exterieur du demi-cercle de centre

Cl

(σ2 + σ3

2, 0

)

et de rayonσ2 − σ3

2.

De meme, on deduit que les points M doivent etre situes sur ou a l’interieur du demi-cercle

de centre C2

(σ1 + σ3

2, 0

)


2.

On deduit que les points M se trouvent sur ou a l’exterieur du demi-cercle de centre C3(σ1 + σ2

2, 0

)


2.

Ces trois cercles sont appeles cercles de Mohr du tenseur des contraintes Σ (Fig. 6.16).Les points M (σ, τ) appartiennent donc a la zone hachuree a l’interieur du demi-cercle serapportant aux contraintes principales extremes σ1 et σ3, et a l’exterieur des deux autres cercles,se rapportant a la contrainte principale intermediaire σ2, et respectivement a la plus petite σ1

et a la plus grande contrainte principale σ3.

La contrainte de cisaillement maximum est donc egale a τmax =σ1 − σ3

2, correspondant a

σ =σ1 + σ3

2.

On obtient ainsi les composantes des directions ~n relatives a ce cisaillement maximum :

~n

(

± 1√2

; 0 ; ± 1√2

)

(6.219)



1C C3C2

σ2−σ32

σ3 2σ σ1

σ1−σ22

σ1−σ32

2σ1 2+σ

2σ1 3+σ

2σ2 3+σ

M (σ, τ)

O N

τ

σ

Fig. 6.16 – Les trois cercles de Mohr du tenseur des contraintes

Ce sont les bissectrices des directions principales P1 et P3. Les facettes subissant le cisaille-ment maximum sont donc celles contenant l’axe principal P2 et les bissectrices des autres axesprincipaux.

Remarquons que si les trois contraintes principales sont egales (σ1 = σ2 = σ3 = σ), lediagramme se reduit au seul point (σ, 0). Le tenseur Σ est isotrope : Σ = σI, de sorte que~T = Σ~n = σ~n ; c’est l’etat de contrainte hydrostatique.

En etat plan de contrainte, les diagrammes (σ, τ) peuvent prendre l’une ou l’autre des alluresrepresentees a la figure 6.17.

σ1σ2σ3=0 σ1σ2=0σ3σ3 σ2 σ1=0

σ12

σ22

σ1 − σ32

σσ

ττ τ

σ

Fig. 6.17 – Cercles de Mohr du tenseur des contraintes dans un cas plan

6.3.7 Exemples

6.3.7.1 Traction uniaxiale

Admettons qu’en tout point P du corps S l’etat de contrainte soit le suivant : σxx = σ∗,tous les autres σij etant nuls. C’est le cas d’un fil tendu selon l’axe x par une force F = Sσ∗, Setant l’aire de la section droite du fil. Le corps est en traction simple (ou traction uniaxiale)(Fig.6.18).

Les contraintes principales sont σ1 = σ∗ et σ2 = σ3 = 0. La direction principale associee aσ1 est ~n1 = ~ux ; les directions principales associees a la valeur double σ2 = σ3 = 0 sont toutesles droites du plan Pyz.



T

n

σ∗

ασ∗

σ∗

σ∗

σ∗

σ∗S

P

z

y

x

Fig. 6.18 – Traction uniaxiale

La contrainte ~T sur une facette normale a la direction ~n (nx = cosα, ny , nz) a pourcomposantes : Tx = σ∗ cosα, Ty = 0 et Tz = O.

La contrainte normale vaut σ = σnn = ~T · ~n = σ∗ cos2 α et la contrainte de cisaillement estτ = σ∗ sinα cosα. L’etat de contrainte est represente par un demi-cercle dans le graphe (σ, τ)

(Fig. 6.19). Si α = 45o, τ est maximum : τmax =σ∗

2.

πn

σnn

T (n) = σ∗ cosα ux

2σ∗

2σ∗σ2 = σ3 = 0 σ1 = σ∗

n

x

τ

P

α

τ

M

O

2ασ

Fig. 6.19 – Etat de contrainte pour une traction uniaxiale

6.3.7.2 Cisaillement pur

Considerons l’etat de contrainte suivant : σxx = σ∗ , σyy = −σ∗, tous les autres σij etantnuls. C’est le cas d’un cube soumis a des forces de traction sur ses faces perpendiculaires al’axe x et a des forces de compression de meme grandeur sur ses faces perpendiculaires a l’axey (Figure 6.20).

L’etat de contrainte est plan (plan xy). Les contraintes principales sont σ1 = σ∗, σ3 = −σ∗et σ2 = 0 ; les directions principales sont ~n1 = ~ux, ~n3 = ~uy et ~n2 = ~uz.

L’etat de contrainte est represente par un graphe (σ, π) a la figure 6.20.

La contrainte maximum τmax = σ∗ est atteinte sur les facettes perpendiculaires au plan xyet contenant les bissectrices des axes. Sur ces facettes, la contrainte normale σ = O. Ces facettessont soumises a du cisaillement pur.

Un cube tel que ABCD (Fig. 6.20) au sein du corps S est soumis uniquement a descontraintes de cisaillement sur ses faces perpendiculaires au plan xy.



σ3 = − σ∗ σ1 = σ∗σ2 = 0

τmax = σ∗

σ∗

σ∗

σ∗

σ∗

τ

ττ

τ

x (1)

y (3)

P C

B

D

A

45°

τ

σ

Fig. 6.20 – Cas du cisaillement pur

6.4 Solide elastique lineaire isotrope - Relations entrecontraintes et deformations

6.4.1 Deformations infinitesimales

Les deformations ǫij et les rotations Ωij en tout point des corps consideres seront supposeespetites vis–a–vis des dimensions de ces corps, ainsi que les deplacements ui par rapport a l’etatde reference.

Cette hypothese de deformations infinitesimales est admissible tout au moins dans leurdomaine d’utilisation normale en construction des machines ou en genie civil, car les deformationssubies par les materiaux sont tres faibles.

Elle a notamment pour consequence de considerer que la masse volumique ρ reste constante :

ρ =ρ0

1 + ∆≈ ρ0 (6.220)

la dilatation volumique ∆ etant infinitesimale.

Les equations d’equilibre seront d’autre part decrites dans l’etat initial (non deforme) descorps.

6.4.2 Solide elastique

On appelle solide elastique le milieu continu qui verifie les hypotheses suivantes :

– Il existe un etat naturel tel qu’en absence de forces exterieures, les contraintes soientnulles en tout point du corps. Nous choisirons cet etat naturel comme etat de referencepour definir les deformations. Certains corps peuvent ne pas posseder d’etat naturel ;citons les pieces coulees dont l’exterieur s’est refroidi avant l’interieur, les pieces fretteesou precontraintes. Dans ce cas, il existe un champ de contraintes initiales σ0,ij au sein dumateriau, en l’absence de forces exterieures.



– Les contraintes σij en un point ne dependent que des deformations ǫij en ce point.Elles ne dependent pas des vitesses de deformation ǫij , ni du temps explicitement ; lesphenomenes de viscosite interne, de fluage ou de relaxation sont donc exclus.

– Les transformations elastiques sont reversibles ; les phenomene d’hysteresis ne sont paspris en consideration. En resume, il existe des relations biunivoques entre les contraintesσij et les deformations ǫkl en tout point du materiau :

σij = σij (ǫkl) (6.221)

– Il existe une energie potentielle elastique Ve, fonction d’etat telle que le travail ∆Wi

des forces interieures entre l’etat initial 0 et l’etat final f ne depende pas des etats in-termediaires :

∆Wi = Wi(0 a f) = Ve(0) − Ve(f) , (6.222)

ou ∆Wi = ∆Ve (6.223)

Cette propriete devant etre verifiee pour n’importe quel volume V considere dans le milieucontinu, on doit aussi avoir :

dwi = −dve (6.224)

Le travail volumique (developpe par les forces agissant sur un volume elementaire) s’ex-prime par :

dwi = −∑

i

∑

j

σij dǫij (6.225)

Il s’agit d’une differentielle totale exacte ; l’energie potentielle elastique par unite de volumeve est fonction des deformations (fonction d’etat) : ve = ve(ǫij).De (6.224) et (6.225), on deduit immediatement que

σij =∂ve∂ǫij

(6.226)

a condition de considerer que l’energie potentielle elastique par unite de volume ve estfonction des neuf variables (deformations) ǫij (sans tenir compte de la symetrie ǫij = ǫji).Explicitement, on a :

σxx =∂ve∂ǫxx

(6.227)

σxy =∂ve∂ǫxy

(6.228)

σyx =∂ve∂ǫyx

(6.229)

. . . (6.230)

Les relations entre contraintes et deformations doivent alors verifier les conditions sui-vantes :

∂σij∂ǫkl

=∂2ve

∂ǫij ∂ǫij=∂σkl∂ǫij

(6.231)



6.4.3 Relation reliant les contraintes en fonction des deformations pour unsolide elastique lineaire

Un solide elastique est dit lineaire si ses relations entre contraintes et deformations sontlineaires :

σij =∑

k

∑

l

Lijklǫkl (6.232)

En pratique, la plupart des materiaux d’utilisation courante peuvent etre consideres commeelastiques lineaires.

Les constantes Lijkl sont les coefficients d’elasticite. Dans un cas tout-a-fait general, cescoefficients sont au nombre de 81, reliant les 9 composantes de chacun des tenseurs.

En tenant compte de la symetrie des tenseurs Σ et ε, et de la symetrie apportee par lesconditions (6.231), on peut reduire les 81 coefficients Lijki a 21 coefficients independants :

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

=

L1111 L1122 L1133 L1112 L1113 L1123

L2222 L2233 L2212 L2213 L2223

L3333 L3312 L3313 L3323

L1212 L1213 L1223

sym. L1313 L1323

L2323

ε11ε22ε33ε12ε13ε23

(6.233)

Pour les materiaux possedant des proprietes de symetrie (cristaux, materiaux composites),ce nombre peut encore etre reduit par des considerations de symetrie.

6.4.4 Relation reliant les contraintes en fonction des deformations pour unsolide elastique lineaire isotrope

Pour un corps isotrope, le nombre de coefficients d’elasticite est reduit a 2. En effet, puisqueles proprietes elastiques dans le voisinage d’un point sont les memes dans toutes les directions,les directions principales des tenseurs Σ et ε doivent coıncider. Les relations lineaires entre lescontraintes principales σi et les deformations principales ǫi doivent avoir la forme suivante :

σ1 = λ1ǫ1 + λ2(ǫ2 + ǫ3) (6.234)

σ2 = λ1ǫ2 + λ2(ǫ1 + ǫ3) (6.235)

σ3 = λ1ǫ3 + λ2(ǫ1 + ǫ2) (6.236)

(le premier coefficient λ1 s’appliquant a la direction consideree, le deuxieme λ2 aux deux direc-tions perpendiculaires).

En introduisant la dilatation cubique ∆ = ǫ1 + ǫ2 + ǫ3 = tr(ε) et en posant 2µ = λ1 − λ2 etλ2 = λ, on obtient :

σ1 = λ∆ + 2µǫ1 (6.237)

σ2 = λ∆ + 2µǫ2 (6.238)

σ3 = λ∆ + 2µǫ3 (6.239)



ou sous une forme generale :

σi = λ∆ + 2µǫi . (6.240)

Les coefficients d’elasticite λ et µ, homogenes a une pression, sont appeles les coefficients deLame.

De l’equation (6.240), on deduit immediatement (quel que soit le repere de projection) larelation entre le tenseur de deformation [ε] et le tenseur des contraintes [Σ] pour un milieuelastique lineaire et isotrope :

Σ = λ∆I + 2µε (6.241)

Par rapport a une base orthonormee quelconque (P123 = Pxyz), on a donc :

σxx = λ∆ + 2µǫxx

σyy = λ∆ + 2µǫyy

σzz = λ∆ + 2µǫzz (6.242)

σxy = 2µǫxy = µγxy

σyz = 2µǫyz = µγyz

σzx = 2µǫzx = µγzx

avec ∆ = ǫxx + ǫyy + ǫzz

les γij = 2ǫij etant les angles de distorsion.

Les trois dernieres relations admettent une interpretation physique immediate :

Pour imposer la distorsion angulaire γyz aux faces (yz) d’un parallelepipede elementaire, ilfaut exercer sur les autres faces des contraintes tangentielles σyz telles que σyz = µγyz.

σzy

σyz

σzy

σyz

z

x

y

γ

Fig. 6.21 – Interpretation physique des contraintes tangentielles

Le second coefficient de Lame µ est habituellement note G

µ = G (6.243)



Il s’agit du module de cisaillement G ou module d’elasticite transversal, ou encore le modulede rigidite au glissement.

Le module de cisaillement G permet d’expliciter la contrainte tangentielle σij en fonction dela distorsion angulaire γij par :

σij = Gγij (6.244)

6.4.5 Relation reliant les deformations en fonction des contraintes pour unsolide elastique lineaire isotrope

Les relations reciproques expriment les deformations en fonction des contraintes. Ellespeuvent etre obtenues a partir de la relation 6.241, qui devient :

ε =1

2µ(Σ − λ∆I) (6.245)

La trace ∆ = ε1+ε2+ε3 se rapportant au tenseur des deformations ε, il convient d’explicitercette trace en fonction de la trace s = σ1 + σ2 + σ3 du tenseur des contraintes Σ

Cette relation peut etre obtenue en sommant les relations (6.237), (6.238) et (6.239) :

σ1 + σ2 + σ3 = (λ1 + 2λ2)(ε1 + ε2 + ε3) (6.246)

= (2µ+ 3λ)(ε1 + ε2 + ε3) (6.247)

∆ = (2µ+ 3λ)s (6.248)

D’ou, la relation entre tenseur des deformation ε et tenseur des contraintes Σ :

ε =1

2µ

(

Σ − λ

3λ+ 2µsI

)

(6.249)

avec s = σxx + σyy + σzz = σ1 + σ2 + σ3 = tr Σ

ou :

εij =1

2µ

(

σij −λ

3λ+ 2µsδij

)

(6.250)

La contrainte normale moyenne σm (analogue a une pression dans un fluide) est egale a lamoyenne des 3 contraintes principales :

σm =σ1 + σ2 + σ3

3=s

3. (6.251)

Le module de compressibilite K du materiau (ou module de rigidite a la compression) est lerapport entre la contrainte normale moyenne σm et la dilatation cubique ∆ :

K =σm∆

=s/3

∆=

3λ+ 2µ

3. (6.252)

6.4.6 Essai de traction - Module d’Young et nombre de Poisson

Considerons une eprouvette cylindrique dont le materiau constitutif est elastique lineaire,homogene et isotrope, soumise a un essai de traction simple selon l’axe Ox = 01.



σ1

N

3

2

N 1

S

O

Fig. 6.22 – Traction sur une eprouvette cylindrique

En tout point de l’eprouvette (tout au moins dans sa partie centrale en pratique), l’etat decontrainte est le suivant (cf Figure 6.22, les axes 1, 2 et 3 etant principaux) :

σ1 6= 0 (6.253)

σ2 = σ3 = 0 (6.254)

On peut verifier que les equations differentielles d’equilibre sont satisfaites par cette solution(en supposant que les forces massiques ~f sont negligeables), et que la contrainte ~T a la surfacede l’eprouvette est bien nulle (~T (~n) = Σ~n = 0 si ~n = (0, n2, n3)).

Experimentalement, on obtient :

σ1 = E ǫ1 (6.255)

et ǫ2 = ǫ3 = − ν ǫ1. (6.256)

Le module d’Young E ou module d’elasticite longitudinal est le rapport entre la contraintelongitudinale et la deformation dans la meme direction.

Le nombre de Poisson ν (sans dimension) est le rapport entre la contraction laterale et ladilatation longitudinale.

Remarquons que si l’aire de la section droite de la barre est S et si sa longueur initiale estL0,

σ1 =N

S= Eǫ1 = E

L− L0

L0= E

∆L

L0(6.257)

L’effort normal N = k∆L, ∆L etant la variation de longueur de la barre qui constitue ainsi

un ressort rectiligne de raideur k =ES

L0.

Puisque

∆ = ǫ1 + ǫ2 + ǫ3 = (1 − 2ν)ǫ1,

σ1 = λ∆ + 2µǫ1 = (λ(1 − 2ν) + 2µ)ǫ1 = Eǫ1, (6.258)

et σ2 = λ∆ + 2µǫ2 = (λ(1 − 2ν) + 2µν)ǫ1 = 0. (6.259)



On obtient ainsi les relations suivantes entre les coefficients de Lame (λ, µ) et la paire moduled’Young, nombre de Poisson (E, ν) :

λ =Eν

(1 − 2ν)(1 + ν)et G = µ =

E

2(1 + ν), (6.260)

ou E =µ(3λ+ 2µ)

λ+ µet ν =

λ

2(λ+ µ). (6.261)

On peut aussi exprimer le module de compressibilite K en fonction de E et de ν :

K =E

1 − 2ν

1

3(6.262)

K devant physiquement etre ≥ 0, on deduit que

ν ≤ 0, 5 (6.263)

Lorsque ν = 0, 5, le materiau est incompressible (exemple : le caoutchouc est pratiquementincompressible).

Les caracteristiques elastiques moyennes de quelques materiaux sont les suivantes :

E ν G K ρ

(en 1010Pa) (en 1010Pa) (en 1010Pa) (en 103kg/m3)

acier 21 0,29 8,1 50 7,8de construction

aluminium 7,1 0,34 2,7 22 2,6

verre 6 0,25 2,4 12 2,7

caoutchouc 2.10−4 0,5 6,7.10−5 ∞ 1

titane 10,5 0,34 3,9 33 4,5

A titre de comparaison, le module de compressibilite K vaut 0,2.1010Pa pour l’eau.

La relation entre le tenseur des deformations ε et le tenseur des deformations Σ peutegalement s’ecrire en fonction de E et de ν :

ǫ =1

E(−ν s I + (1 + ν)Σ) (6.264)

ou ǫij =1

E(−ν s δij + (1 + ν)σij) (6.265)

avec s = trΣ

Explicitement, ces relations s’ecrivent :

ǫxx =1

E(σxx − ν(σyy + σzz)) (6.266)

ǫyy =1

E(σyy − ν(σxx + σzz)) (6.267)

ǫzz =1

E(σzz − ν(σxx + σyy)) (6.268)

ǫxy =1 + ν

Eσxy =

1

2Gσxy (6.269)

ǫyz =1 + ν

Eσyz =

1

2Gσyz (6.270)

ǫxz =1 + ν

Eσxz =

1

2Gσxz (6.271)



On peut interpreter les trois premieres relations comme suit : l’elongation totale ǫxx dansla direction x est la somme de l’elongation σxx/E due a la contrainte normale dans la memedirection, et des contractions laterales (−ν) associees aux elongations σyy/E et σzz/E selon deuxdirections orthogonales y et z.

L’interpretation des trois dernieres relations a ete effectuee precedemment, car elles ex-priment la linearite entre distortion angulaire et contrainte tangentielle :

γxy =1

Gσxy (6.272)

γyz =1

Gσyz (6.273)

γxz =1

Gσxz (6.274)

Cette relation entre le tenseur des contraintes Σ et tenseur des deformations ε peut egalements’ecrire en fonction de G et de ν.

Σ = 2G

(ν

1 − 2ν∆I + ǫ

)

(6.275)

ou σij = 2G

(ν

1 − 2ν∆δij + ǫij

)

(6.276)

avec s = trε

6.4.7 Exemple

6.4.7.1 Etat de contrainte hydrostatique

Dans ce cas, Σ = −pI, ou σij = −pδij , p etant la pression a laquelle est soumise le materiau.Le tenseur de deformation est alors ε et la dilatation cubique vaut ∆ = tr ε = − p

K .

6.4.7.2 Cisaillement pur

σxy = σyx = τ 6= 0, les autres σij etant nuls, l’etat de contrainte est plan (plan xy).

Tous les ǫij sont nuls sauf

ǫxy =τ

2G, (6.277)

et γxy = 2ǫxy =τ

G. (6.278)

La deformation est une distorsion simple. Si l’on suppose que la base PQ d’un parallelepipede(dx, dy, dz) est fixe, la face parallele a celle-ci glisse d’une quantite γdy = τ

Gdy dans son propreplan.



τ = σxy

σyx = τ

y

dy

dx

τ

τ

P Q

z

x

γ

Fig. 6.23 – Cisaillement pur

6.4.8 Capteurs de deformation

Le capteur de deformation (aussi designe extensometre ou jauge de deformation) le pluscouramment utilise est la jauge resistive : elle est collee sur la structure dont elle subit ladeformation. Ses faibles dimensions, du mm au cm selon les modeles, permettent des mesuresquasi ponctuelles.

Fig. 6.24 – Jauges resistives : a) a fil metallique ; b) semi-conductrice ; c) fixation de la jauge ala surface d’une structure

Elle est constituee par une grille formee par un conducteur filiforme de resistivite ρ, desection S, et de longueur nl, l etant la longueur d’un brin et n leur nombre. La resistance R dela jauge a pour expression :

R =ρnl

S(6.279)

Le conducteur est fixe sur un support isolant qui est colle sur la structure etudiee. Il en resulteque la jauge subit une deformation identique a celle de la structure, dans la direction paralleleaux brins : ǫl = ∆l/l. Sous l’influence de la deformation, la resistance de la jauge varie de ∆R.



En etablissant la forme variationnelle de (6.279), on obtient :

∆R

R=

∆ρ

ρ+

∆l

l− ∆S

S(6.280)

La deformation longitudinale du fil ǫl entraıne une variation de chacune de ses dimen-sions transversales ǫt = −νǫl, ν etant le coefficient de Poisson, voisin de 0,3 dans la zone desdeformations elastiques pour les materiaux metalliques. Il en resulte :

∆S

S= −2νǫl (6.281)

Pour les jauges metalliques, la variation relative de resistivite est proportionnelle a la variationrelative du volume V = Snl :

∆ρ

ρ= C

∆V

V= C(1 − 2ν)ǫl (6.282)

On en deduit :∆R

R= ((1 + 2ν) + C(1 − 2ν)) ǫl = Kǫl (6.283)

ou le facteur K est appele facteur de jauge. Compte tenu des valeurs usuelles pour les materiauxmetalliques (ν = 0,3 et C = 1), le facteur K est generalement de l’ordre de 2. Les materiauxclassiquement utilises sont des alliages a base de nickel (Constantan : 45% Ni, 55% Cu ; Karma :74% Ni, 20% Cr, 3% Cu, 3% Fe). Leur resistivite est suffisamment elevee pour obtenir desresistances des jauges comprises entre 100 Ω et 1000 Ω sans longueur de fil excessive et sansreduction trop importante de la section qui imposerait une diminution du courant de mesure etdonc de la sensibilite.

Les differents alliages se distinguent par leurs proprietes thermiques. Les jauges peuvent etrea fil ou a trame pelliculaire.

Les resistances des jauges et leurs variations sont mesurees par les methodes classiques : lesmontages potentiometriques et les ponts de mesure.

6.4.9 Exercices

6.4.9.1 Caracterisation de la deformation d’un milieu continu

Caracteriser la transformation suivante d’un corps deformable. Preciser les parametresdecrivant la deformation, la rotation et la distorsion (0 < k ≤ 1)

x = X + 5kY (6.284)

y = Y − 3kX (6.285)

z = Z (6.286)

Solution

Dilatations relatives εxx = 0, εyy = 0, εzz = 0 .

Distorsions : γxy = 2k, γxz = 0, γyz = 0

Rotation : ωT = 0; 0;−4k



6.4.9.2 Deformation d’une eprouvette

Une eprouvette prismatique, de longueur L = 400mm, de section S carree (cote c = 15mm),en acier (materiau elastique lineaire homogene caracterise par un module d’Young E = 211010Paet un coefficient de Poisson ν = 0.29 est soumis a un essai de traction simple selon l’axe xlongitudinal.

L’effort de traction N est egal a 5000N . En un point P de l’une des faces libres, on colle unerosette de 3 jauges : la premiere (x) est orientee suivant l’axe x, la deuxieme (y) est orthogonalea la premiere, la troisieme (d) est orientee suivant la bissectrice interieure de (x) et (y).

L’etat de contrainte en P est-il plan ? L’etat de deformation en P est-il plan ?

Determiner les valeurs εxx, εyy et εxy correspondantes.

Construire le cercle de Mohr en P.

Solution

L’etat de contrainte est plan (σxz = 0, σyz = 0, σzz = 0)

L’etat de deformation n’est pas plan.

σxx =1

Eσxx σyy = −νEσxx σzz = −νEσxx (6.287)

avec : σxx =N

S(6.288)

D’ou :

σxx = 22.2MPa ǫxx = 0.105810−3 ǫyy = −0.030710−3 (6.289)

ǫxy = 0 x et y sont directions principales pour les deux tenseurs (6.290)

6.4.9.3 Deformations d’un carre

Un carre A0B0C0D0 (A0B0 definit l’axe x, A0D0, l’axe y), de cote c =√

2mm a ete trace ala surface d’un solide. Il a subi une deformation infinitesimale (ou supposee comme telle) sansrotation qui l’a transforme en un losange ABCD dont les longueurs des diagonales AC et BDvalent respectivement 2.04mm et 1.98mm.

Representer schematiquement les figures avant et apres deformation.

Fournir les expressions des composantes σxx, σxy et σyy du tenseur de deformation infi-nitesimale ε.

Quelles sont les deformations et directions principales ?

Solution

AB = 1.421 εxx = 0.00511 εyy = 0.00511 εxy=0.0149

Les directions des diagonales sont les directions principales ε1 = 0.02 ε2 = -0.01



6.4.9.4 Utilisation d’une jauge de contrainte de type ”rosette a 3 jauges”

Une rosette constituee par trois jauges de deformations placees suivant les directions x, yet b (bissectrice interieure des axes x et y) fournit les valeurs εxx, εbb,εyy. Par un raisonnementexclusivement base sur la representation graphique dans le plan de Mohr, prouver que εxy =εbb − εxx+εyy

2

6.4.9.5 Utilisation d’une jauge de contrainte de type ”rosette a 3 jauges”

On considere un solide S elastique, homogene et isotrope subissant une deformation infi-nitesimale sous l’action de forces exterieures, et un point M libre de la surface de S (aucuneforce exterieure ne s’exerce en M).

Trois jauges de deformation collees sur S en M mesurent les elongations relatives a 120degres l’une de l’autre. Ces mesures valent :

ε′ = 3.5310−3 (6.291)

ε′′ = 2.1210−3 (6.292)

ε′′′ = 3.1910−3 (6.293)

Calculer εxx, εxy et εyy. Rechercher ensuite les valeurs principales ε1 et ε2 et les directionsprincipales ~n1 et ~n2 du plan Mxy du tenseur des deformations ε.

Rechercher les expressions de σ1, de σ2 et de εzz = σ3 en fonction de σ1, σ2 de E et de ν.Quelles sont les directions principales du tenseur des contraintes Σ ?

6.4.9.6 Contraintes et deformations a la surface d’un solide elastique homogene

On considere un corps elastique S, homogene et isotrope, subissant une deformation infi-nitesimale sous l’action de forces exterieures, et un point libre M de la surface de ce solide(aucune force exterieure ne s’exerce en M).

Trois jauges de deformation collees sur S en M mesurent les elongations relatives εxx, εyyet εbb. La direction b est celle de la bissectrice interieure des axes x et y (voir Fig. 6.25).

Fig. 6.25 – Rosette de jauges de deformation



Les resultats obtenus sont les suivants :

εxx = 1.210−3 εyy = 2.510−3 εbb = 1.610−3 (6.294)

soit en milliemes εxx = 1.2 εyy = 2.5 εbb = 1.6 (6.295)

On demande de determiner– le tenseur de contraintes et des deformations en M ,– les contraintes et deformations principales en M ainsi que les directions principales cor-

respondantes,– les cercles de Mohr du tenseur des contraintes, la contrainte tangentielle maximale ainsi

que la direction dans laquelle cette contrainte est maximale.

Solution

Forme generale en surface des matrices representatives des tenseurs des contrainteset des deformations

La surface en M est libre : la contrainte sur la surface orientee par l’axe z, normal a lasurface est nulle : ~T (~uz) = ~0 car M est libre de forces dans la direction z normale a la surface.

Les composantes de cette contrainte selon les 3 directions sont donc nulles. En effet :

~T (~uz) = Σ~uz = σxz~uz + σyz~uy + σzz~uz = ~0 (6.296)

etσxz = 0 σyz = 0 σzz = 0 (6.297)

La forme generale du tenseur plan des contraintes en un point libre de la surface est lasuivante :

[Σ] =

σxx σxy 0σxy σyy 00 0 0

(6.298)

La relation generale entre tenseur des deformations et tenseur des contraintes est la suivante :

ε =1

E((1 + ν)Σ − ν tr(Σ) I) (6.299)

L’application de cette relation generale au point M en surface donne

εxx =1

E(σxx − νσyy) (6.300)

εyy =1

E(σyy − νσxx) (6.301)

εxy =1

E(1 + ν)σxy (6.302)

εxz = εyz = 0 (6.303)

εzz = − ν

E(σxx + σyy) (6.304)

(6.305)



La forme generale du tenseur des deformations est donc la suivante :

[ε] =

εxx εxy 0εxy εyy 00 0 εzz

(6.306)

Determination de εxy a partir de la connaissance de εxx, εyy et εbb

Le tenseur des deformations permet de determiner la dilatation relative dans la direction b :

εbb = ~ubε~ub (6.307)

La projection dans le repere xyz donne

εbb = ~ubT [ε]~ub avec ~ubT = (√

2/2,√

2/2, 0) (6.308)

D’ou :

εbb =1

2εxx +

1

2εyy + εxy (6.309)

Et :

εxy = εbb −1

2(εxx + εyy) (6.310)

Dans le cas des donnees de cet exercice, on obtient εxy = −0.2510−3

Determination du tenseur des contraintes

L’exploitation de la relation entre tenseur des contraintes et tenseur des deformations aboutita

σxy = Eεxy/(1 + ν) (6.311)

σxx = Eεxx + νεyy

1 − ν2(6.312)

σyy = Eεyy + νεxx

1 − ν2(6.313)

et

εzz = − ν

E(σxx + σyy) = E

εxx + εyy1 − ν

(6.314)

Determination des directions principales du tenseur des deformations

z est direction principale car les termes εxz = 0 εyz = 0 et ε~uz = λ~uz = εzz~uz. L’etude desdirections principales peut donc se faire dans le plan xy.

On cherche une direction ~n telle que

ε~n = λ~n, λ etant scalaire. (6.315)

D’ou :(ε− Iλ)~n = ~0 (6.316)



Une solution non triviale autre que ~n = ~0 existe si

det(ε− Iλ) = 0 (6.317)

D’ou (en milliemes) :

det

[1.2 − λ −0.25−0.25 2.5 − λ

]

= 0 (6.318)

Et :(1.2 − λ)(2.5 − λ) − (0.25)2 = 0 (6.319)

λ2 − 3.7λ+ 2.9375 = 0 (6.320)

Les racines sont :

λi =3.7 + −

√3.72 − 4 2.9375

2= 2.546 et 1.153 milliemes (6.321)

Les deformations principales sont donc egales a

ε1 = 2.54610−3 ε2 = 1.15310−3 (6.322)

Directions principales

Pour la premiere deformation principale, on a

(1.2 − ε1)n1x − 0.25n1y = 0 (6.323)

Si n1x = 1, on a

n1y =1.2 − 2.546

0.25= −5.384 (6.324)

D’ou ~n∗1 = (1,−5.384) (non unitaire) et, apres normalisation,

~n1 = (0.183,−0.983) (6.325)

L’angle α1 que fait la direction principale avec la direction x

α1 = arctan−0.983

0.183= −79.5 (6.326)

Pour la deuxieme deformation principale, on obtiendrait de la meme facon

α2 = arctan0.183

0.983= 10.5 (6.327)

Contraintes principales

Les relation entre εi et σi s’expriment par

ε1 =1

E(σ1 − νσ2) (6.328)

ε2 =1

E(σ2 − νσ1) (6.329)

ε3 =−νE

(σ1 + σ2) (6.330)

D’ou : σ1 =E

1 − ν2(ε1 + νε2) (6.331)

σ2 =E

1 − ν2(ε2 + νε1) (6.332)

σ3 = 0 (6.333)



Les directions principales du tenseur des contraintes Σ sont celles du tenseur desdeformations ε (le solide etant homogene isotrope).


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Mécanique Rationnelle II