MATRIKS RUANG DAN VEKTOR BAB 4

8/16/2019 MATRIKS RUANG DAN VEKTOR BAB 4

1/16

Bab 4

VVeekkttoorr ddii BBiiddaanngg ddaann ddii R R uuaanngg

Vektor merupakan besaran yang mempunyai arah. Padabab ini akan dijelaskan tentang vektor di bidang dan di ruang,yang disertai operasi dot product, cross product, dan penerapannyapada proyeksi vektor dan perhitungan luas suatu segitiga di ruang3-dimensi. Setiap vektor tersebut dapat dinyatakan secarageometris sebagai segmen garis berarah pada bidang atau ruang,dengan notasi garis berpanah. Ekor panah garis tersebutmerupakan titik awal vektor, sedangkan ujung panah sebagai titikakhir (ujung) vektor tersebut.

4.1 OPERASI VEKTOR

Seperti halnya matriks, setiap vektor dapat di dikenakanoperasi aljabar, seperti penjumlahan dan perkalian. Notasi vektordapat dituliskan dengan menggunakan huruf kecil dicetak tebalatau huruf kecil dengan garis diatasnya. Sedangkan unsur vektortersebut ditulis berurutan atau seperti matriks satu kolom atau

memakai notasi vektor satuan i , , dan .k ˆˆ

jˆ

Contoh 4.1 :

Berikut adalah beberapa contoh notasi vektor :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

3

2

1

c

c

c

c

a = (aa. 1, a , a2 3)c. k ̂b.

b = b1 i +bˆ ĵ +b 2 3


2/16


3/16


4/16

50 Bab 4 ● Vektor di Bidang dan di Ruang

4.2 HASIL KALI TITIK

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah

vektor yang akan menghasilkan skalar. Misal ba dan adalah

vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara a dan

b didefinisikan oleh

α cosbaba =• , (4.1)

a b adan masing-masing merupakan panjang vektordimana

dan b aserta α merupakan sudut yang dibentuk antara vektor

dan vektor b . Ingat kembali definisi panjang (norm) suatu vektor

semasa si sekolah menengah, yaitu : jika ( )21 a ,aa =r

maka

22

21 aaa +=

r

.

Contoh 4.2 :

Tentukan hasil kali titik dari dua vektor berikut :

ba = 2i dan = 2i + 2j

Jawab :

b

a

Karena tan α = 1 , artinya α = 45 0

Sehingga


5/16

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 51

2

1a b 8a b α cos. = = 2

= 22

122 = 4

Bagaimana cara menghitung hasil kali titik di RN dan dua buahvektor tanpa diketahui sudut antar kedua vektor tersebut? Untuk

hal tersebut, ingat kembali tentang aturan cosinus :

β

c a

α b δ

22

Gambar 4.3 Ilustrasi aturan cosinus

Selanjutnya, akan dijelaskan hubungan dua vektor posisi denganaturan cosinus. Perhatikan ilustrasi dua vektor di ruang R2 berikut ini :

Gambar 4.4 Ilustrasi aturan cosinus dua vektor dan selisihnya

a = b + c2 – 2 bc cos α

b - a )(b

θ a


6/16


Notasi vektor pada Gambar 4.4, akan dirubah dalam notasipanjang (norm) vektor, yaitu :

a

b - a b

θ

Gambar 4.5 Aturan Cosinus Norm Dua Vektor dan Selisihnya

Menurut aturan cosinus pada ilustrasi diatas, maka :

α cos2222

babaab −+=−

Selanjutnya :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+

222

2

1 abba=θ cosba

Seperti telah kita ketahui bahwa :

ba a bcos θ (1) = .

2a = a + a(2) 1 2 2 2 + a 3 2 + …. + a 2 n

2

b = b + b + b(3) 1 2 2 2 3 2 + …. + bn2

( ) ( ) ( 22222

11

2

... nn abababab −++−+−=− )(4)

=

nnnn

nn

ababab

aaabbb

2...22

......

11

22

2

2

1

22

2

2

1

−−−−

+++++++

maka akhirnya diperoleh :

nnbababaa +=• b ++ ...2211


7/16


Contoh 4.3 :

Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor berikutberikut dengan rumus di atas

a b= 2i dan = 2i + 2j

Jawab :

2211 bababa +=• = 2 (2) + 0 (2)= 4

Berikut ini adalah sifat – sifat hasil kali titik :

abba •=• (i)

( ) ( ) ( )cabacba •+•=+• (ii)

Rk bk abak bak ∈•=•=•dimana, (iii)

Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor

Secara geometri, proyeksi ortogonal suatu vektor terhadapvektor lain dapat diilustrasikan sebagai berikut :

w a

b

ab

oy r

rPr

a bGambar 4.6 Proyeksi Ortogonal Vektor Terhadap Vektor


8/16


9/16


Jawab :

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+−+−=

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−−++

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

•⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

=

•=

4

3

14

3

1

26

26

4

3

1

26

)12()12(2

4

3

1

)4(31

4

3

1

3

4

2

Pr

222

2 v

v

vwwoy v

4.3 HASIL KALI SILANG (CROSS PRODUCT )

Hasil kali silang merupakan perkalian antara dua vektoryang akan menghasilkan suatu vektor baru

Definisi :vuMisal dan adalah vektor di ruang (R3) maka vektor yang

tegak lurus terhadap keduanya ( u v wdan ) adalah sehingga

w u v w u w v× ⊥ ⊥= . Ini membuktikan bahwa dan .

u v w u v×Secara geometri, misal =(0,0,1) dan =(0,1,0), jika =

maka w u vyang tegak lurus terhadap dan yang searah sumbux negatif. Arah vektor w di tentukan dengan menggunakan


10/16


uaturan tangan kanan, dimana arah empat jari dari vektormenuju vektor v wsehingga ibu jari searah dengan arah vektor .

u w

v

y

Z

x

Gambar 4.7 Ilustrasi Hasilkali Silang antara Dua Vektor

wCara menentukan vektor yang mempunyai hasil kali silangantara dua vektor yaitu u vdan adalah sebagai berikut :

w u v×=

321

21

ˆˆˆ

vvv

uuu

k ji

=

21

21ˆvv

uuk

32

32ˆvv

uui

31

31ˆvv

uu j− = +

= (u2v3-u3v2) i +(uˆ 3v1-u1v3) +(u ĵ ) k ˆv -u v1 2 2 1

Contoh 4.5 :

( )2,2,1 −=uvuw ×= )1,0,3(=vTentukan , dengan dan .


11/16


Jawab :

vuw ×=

321

321

ˆˆˆ

vvv

uuu

k ji

=

31

31

ˆ vv

uu

j−21

21

ˆ vv

uu

k 32

32

ˆ vv

uu

i = +

= (u2v3-u3v2) i +(uˆ 3v1-u1v3) +(u ĵ 1v2-u2v ) k ̂1

= ( ) +−− î)2(01.2 ( ) +−− ĵ1.1)2(3 ( ) k ̂2.30.1 −

= k ji ˆ6ˆ7ˆ2 −−

Beberapa sifat hasil kali silang yang perlu diketahui adalah:

uMisal dan di ruang (Rv 3) maka:( ) 0=• v xuua. ( ) 0=• v xuvb.

( )2222 vuvuvu •−=×c.

Dari sifat ketiga dapat kita simpulkan bahwa:

( )vuvu •−⋅= 222vu ×

( )222 cosα ⋅⋅−⋅= vuvu

α 22222cos⋅⋅−⋅= vuvu

( )α 222 cos1−⋅= vu

α 222sin⋅⋅= vu

Sehingga kita memperoleh hubungan :

α sin⋅⋅= vuv xu


12/16


Untuk memudahkan pemahaman rumusan diatas, perhatikanilustrasi berikut :

u

v

α

α sinv

u

Gambar 4.8 Hasilkali Silang Dua Vektor dengan Daerah yangDibentuknya

Dengan mengacu pada gambar 4.8, beberapa hal yang diperolehantara lain :

u v•

Luas jajaran-genjang yang dibentuk oleh vektor &

adalah vu ×

u v u v , , dan (• Luas segitiga yang dibentuk oleh – )

adalah vu ×2

1

Agar dapat memperoleh pemahaman lebih dalam berikut adalahcontoh aplikasi hasilkali silang dalam menghitung luas segitiga.

Contoh 4.6 :

Diketahui titik-titik diruang (R³ ) adalah :

A = (1, –1, –2), B = (4, 1, 0), dan C = (2, 3, 3)Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luassegitiga ABC !


13/16


Jawab:

AB AC a. Misalkan, dan adalah vektor yang berimpitpada titik A.

AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2)Tulis= (3, 2, 2)

AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2)

= (1, 4, 5)Dengan menggunakan kedua vektor tersebut

diperoleh :

541

223

ˆˆˆ k ji

AC × AB =

k ji ˆ10ˆ13ˆ2 +−=

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah :

= AB2

1 AC ×

= 10016942

1++

= 273

2

1

BA BC danb. Misalkan, adalah vektor yang berimpitpada titik B.

BA = ba − = (1,-1,-2) – (4,1,0)= (-3,-2,-2)

BC = bc − = (2,3,3) – (4,1,0)= (-2,2,3)


14/16


15/16


Latihan Bab 4

1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektorberikut :

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =2

1u ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=8

6v a. dan

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

7

3

1

u⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

2

2

8

v b. dan

terhadap vektor2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor ba dantentukan panjang vektor proyeksi tersebut:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=2

3b⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =1

2a a. dan

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

3

1

2

a⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

2

2

1

b b. dan

3. Tentukan dua buah vektor satuan (vektor dengan panjang satu)

yang tegak lurus terhadap vektor ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=2

3u

⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

=

1

3

7

u4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor

dan vektor⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

4

0

2

v

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2,0, –3), Q (1, 4, 5) dan R (7, 2, 9)


16/16

Documents

MATRIKS RUANG DAN VEKTOR BAB 4