RUANG-RUANG VEKTOR

OLEH: NURUL SAILA

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRIFAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS PANCA

MARGARabu, 4 JANUARI 2012

Definisi: Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif maka

sebuah tupel-n-terorde(ordered-n-tupel) adalah sebuah urutan dari n bilangan riel (a1, a2, a3, …, an ).

Himpunan dari semua tupel-n-terorde dinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rn.

jika a1, a2, …, an adalah koordinat-koordinat maka (a1, a2, a3, …, an ) adalah titik di Rn

Jika a1, a2, …, an adalah komponen-komponen maka (a1, a2, a3, …, an )adalah vector.

“Ruang-n”

1. Kesamaan Vektor: Dua vector u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) di dalam Rn dinamakan sama jika u1 = v1, u2 = v2, …, un = vn

2. Penjumlahan Vektor:Jumlah u + v didefinisikan oleh u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn).

3. Perkalian dengan Skalar:jika k adalah sebarang scalar maka kelipatan scalar k.u didefinisikan oleh ku = (ku1, ku2, …, kun)

4. Vektor Nol: O = (0,0,…,0)

Definisi:

5. Invers Aditif: jika u = (u1, u2, …, un) maka –u = (-u1, -u2, …, -un).

6. Pengurangan Vektor: u - v didefinisikan oleh u - v = (u1 - v1, u2 - v2, …, un - vn).

7. Norma Euclidis(panjang Euclidis):Jika u = (u1, u2, …, un) maka norma Euclidis u didefinisikan dengan:

8. Perkalian Dalam Euclidis;Jika u = (u1, u2, …, un) dan v = (v1, v2, …, vn) adalah sebarang vector di dalam Rn maka perkalian dalam Euclidis(Euclidean inner product) u . v didefinisikan oleh:

u . v = (u1v1, u2v2, …, unvn).

ȁ�𝑢ȁ�=ඥ𝑢12 +𝑢22 + 𝑢32 +⋯+𝑢𝑛2

Definisi: Misalkan V adalah sebarang himpunan , dimana didefinisikan dua operasi, yakni penambahan dan perkalian dengan scalar. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V dan oleh semua scalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vector (vector space) dan benda-benda di dalam v kita namakan vector:

“Ruang Vektor Umum”

1. Jika u dan v adalah benda-benda di dalam V maka u + v berada di dalam V.[u, v V => u + v V (tertutup/closure)]

2. u + v = v + u (komutatif)3. u +(v + w) = (u + v) + w (assosiatif)4. Ada sebuah benda O di dalam V sehingga

O + u = u + O = u untuk semua u di dalam V (mempunyai unsure identitas)

5. Untuk setiap u di dalam V ada sebuah benda –u di dalam V yang dinamakan negative dari u, sehingga u + (-u) = (-u) + u = O (tiap unsure punya invers)

6. Jika k adalah sebarang bilangan riel dan u adalah sebarang benda di dalam V maka ku berada di dalam V (tertutup)

7. k(u +v) = ku + kv(distributive)

8. (k + l)u = ku + lu(distributive)

9. k(lu) = (kl)u (assosiatif)10. 1u = u (identitas)

Vektor O di dalam aksioma 4 dinamakan vector nol (zero vector) untuk V.

Contoh:Tentukan himpunan mana yang merupakan ruang vector dibawah operasi-operasi yang diberikan. Untuk himpunan yang bukan merupakan ruang vector, daftarkanlah semua aksioma yg gagal dipenuhi.

1. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y,z) dengan operasi-operasi (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (kx, y, z).

2. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y,z) dengan operasi-operasi (x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (0, 0, 0).

3. Himpunan semua tripel bilangan riel (x, y) dengan operasi-operasi (x, y) + (x’, y’) = (x+x’, y+y’, z+z’) dan k(x, y, z) = (2kx, 2ky).

Definisi: Sebuah subhimpunan W dari sebuah ruang vector V dinamakan sebuah subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri adalah sebuah rung vector dibawah penambahan dan perkalian scalar yang didefinisikan pada V.

“Sub Ruang”

Teorema 4 (subruang):Jika W adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vector dari sebuah ruang vector V maka W adalah adalah sebuah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku:

a. Jika u dan v adalah vector-vektor di dalam W maka u + v berada di dalam W

b. Jika k adalah sebarang scalar dan u adalah sebarang vector di dalam W, maka ku berada di dalam W.

Contoh:1. Tentukan manakah diantara yang berikut

yang merupakan subruang dari R3.a. semua vector yg berbentuk (a, 0, 0)b. semua vector yg berbentuk (a, 1, 1)c. semua vector yg berbentuk (a, b, c),

dimana b = a + cd. semua vector yg berbentuk (a, 0, 0),

dimana b = a + c + c

2. Tentukan manakah diantara yg berikut yg merupakan subruang dari M22.

a. semua matriks yang berbentuk , dimana a, b, c, d adalah bilangan-bilangan bulat.

b. semua matriks yang berbentuk , dimana a + d = 0.

c. Semua matriks A yg berukuran 2 x 2 sehingga A = At.

d. Semua matriks A yg berukuran 2 x 2 sehingga det(A) = 0.