bilqis 1

Pertemuan 5 Alin

2017

Bilqis

Vektor 2 dan 3 Dimensi

Dot Product, Ruang n-euclidean

bilqis 2

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Setelah menyelesaikan pertemuan ini

mahasiswa diharapkan :

– Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan

Vektor Dimensi 3

– Dapat menghitung dot product.

– Dapat menerapkan dot product pada contoh

kasus

bilqis 3

Vektor di Ruang-2

Vektor di Ruang-3

bilqis 4

3.1) Vektor -> Pengantar

Vektor :

• Besaran skalar yang mempunyai arah

• ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-)

• Secara geometris,

• Simbol vektor : v

• Skalar vektor : v +

• Vektor : 2 dimensi -

*

3 dimensi +

-

*

B

A

v

vektor v = AB

A disebut titik awal/inisial

B disebut titik akhir/terminal

Arah panah = arah vektor

Panjang panah = besar vektor

bilqis 5

A

B

v

vektor v = AB

A disebut titik awal/inisial

B disebut titik akhir/terminal

Vektor-vektor ekivalen

Dianggap sama

Panjang dan arahnya sama

bilqis 6

Negasi sebuah vektor v → –v secara geometrik

v–v

Panjang sama, arah berlawanan

Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik

Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)

u

vw

u

vw

v

u

w

bilqis 7

Penjumlahan dua vektor: w = u + v

u

vw

Cara analitik:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3

Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)

w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, u2 + v2)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

bilqis 8

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)

w = k v ; k = skalar

v

3v–2v

v

secara geometrik:

bilqis 9

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)

w = k v ; k = skalar

Cara analitik:

Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2)

(w1, w2) = (kv1, kv2)

w1= kv1

w2 = kv2

bilqis 10

Koordinat Cartesius:

P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)

P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)

atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen

pertama x1 dan komponen kedua y1

P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)

atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen

pertama x2 dan komponen kedua y2

Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)

bilqis 11

Using Coordinat

( v1, v2 ) v1 & v2 komponen2 v

Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 )

( + ) v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 )

= ( 1 + 7, -2 + 6 )

= ( 8, 4 )

( - ) v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 )

= ( 1 - 7, -2 - 6 )

= ( -6, -8 )

( * ) 4 v = 4 ( 1, -2 )

= ( 4, -8 )

y

x

v

w

v

V + w

4vV - w

bilqis 12

Vektor 3 dimensi

v = ( v1, v2, v3 )

Misal:

v = ( 4, 5, 6 )

Mis : v = ( 1, -3, 2 )

w = ( 4, 2, 1 )

( + ) v + w = ( 5, -1, 3 )

( - ) v – w = ( -3, -5, 1 )

( * ) 2 v = ( 2, -6, 4 )

v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )

x

y

z

4

5

6

v

P1

P2

v

bilqis 13

Ex 2 hal 124

Example 2: the component of the vector v = P1 P2 with the initial point

P1 ( 2, -1, 4 )

And terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are

v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 )

in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal

point P2 ( x2, y2 ) is

P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 )

bilqis 14

Translasi

(0, 0)

(k, l)

sumbu-x

sumbu-y sumbu-y’

sumbu-x’

(x, y)

(x’, y’)P

X = k + x’ y = l + y’

x’ = x – k y’ = y – l

y

l

x

x’

k

y’

(0, 0)

bilqis 15

Translasi

pers.Translasi :

x’ = x - k

y’ = y – l

x = x’ + k

y = y’ + p

Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah

koordinat

( x’ , y’ )?

Jwb : x’ = x – k y’ = y – l

= 2 – 4 = 0 - 1

= -2 = -1

(0, 0)

(k, l)

(x, y)

(x’, y’)

sumbu-y

sumbu-x

l

k

x

sumbu-x’

P sumbu-y’

(0, 0)

x’

y’

bilqis 16

bilqis 17

Ex 3 hal 125Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’-

coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1)

(a) Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2,

0 )

(b) Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1,

5 )

Solutions (a): the translations equations are

x’ = x – 4 y’ = y – 1

So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = -

1

Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as

x = x’ + 4 y = y’ + 1

So the xy-coordinates of Q are x = -1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6

bilqis 18

Contoh soal

Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai

arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P

jwb :

v = ( 4, 5 ) dari titik P

so, x’ = 4

y’ = 5

Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang

kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat

mula-mula ( 0, 0 )

x = k + x’ y = l + y’

= 2 + 4 = 3 + 5

= 6 = 8

Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q (

6, 8 )

P ( 2, 3 )

x

y y’

x’

v

bilqis 19

Aritmatika vektor

Norma sebuah vektor

bilqis 20

Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3

Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3

k, l adalah skalar (bilangan real)

• u+v = v+u

• (u+v)+w = u+(v+w)

• u+0 = 0+u = u

• u+(-u) = (-u)+u = 0

• k(lu) = (kl)u

• k(u+v) = ku + kv

• (k+l)u = ku + lu

• 1u = u

bilqis 21

Bukti teorema 3.2.1.:

1. Secara geometrik (digambarkan)

2. Secara analitik (dijabarkan)

Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3

u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)

u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)

= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)

= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)

= v + u = 0 + u

= (u1, u2, u3)

= u

bilqis 22

k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))

= (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)

= kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )

= klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )

= ku + kv

(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)

= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)

= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)

= ku + lu

bilqis 23

Norma sebuah vektor:

(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor)

Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2

2

Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| = u12 + u2

2 + u32

Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1

bilqis 24

Jarak antara dua titik:

Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)

jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) =

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2 + (z2 – z1)2

bilqis 25

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka

norma ku = | k | || u ||

bilqis 26

• Vektor bisa dinyatakan secara grafik

analitik (diuraikan mjd

komponennya)

• Norma v = panjang vektor v

= || v || = v1 + v2

• v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )

d = || v || = ( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2

Ex:

• Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14

• Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah

d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2

= 44

= 2 11

bilqis 27

Contoh (1):

Cari norma dari v = (0, 6, 0)

Penyelesaian :

Contoh (2):

Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4

Penyelesaian :

636060 222 ==++=v

||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ]

= | k |30 = 4 → | k | = 4 / 30 → k = 4 / 30

bilqis 28

Contoh (3):

Carilah jarak antara

a) P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7)

b) P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3)

Penyelesaian :

a) d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 = 4 + 9 = 13

b) d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 = 9 + 9 + 0 = 18

bilqis 29

Perkalian titik (Dot Product)

bilqis 30

3.3) Hasil kali titik : proyeksi

• Hasil kali titik ( dot product ) atau hasil kali Euclidis ( Euclidis inner

product )

|| u || . || v || . Cos θ If u . v ≠ 0

u . v =

0 if u or v = 0

Contoh = example 1 hal 131

• u . v = u1 . v1 + u2 . v2 + u3 . v3

= || u || . || v || . Cos θ

Contoh = example 2 hal 133

bilqis 31

Example I As shown in Figure 2, the angle between the vectors u = (0, 0, 1) and

v = (0, 2, 2) is 45°. Thus,

( )( ) 22

1 220 100 cos . 222222 =

++++== vuvu

Ex 1 hal 131

bilqis 32

Example 2 Consider the vectors

u = (2, -1, 1) and v = (1, 1, 2)

Find u.v and determine the angle θ between u and v.

Solution

u.v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 3

(5) from that so ,6 have weorsgiven vect for the == vu

2

1

66

3.cos ===

vu

vu

.60 thus, =

Ex 2 hal 133

bilqis 33

Kemungkinan sudut apit antara dua vektor

bilqis 34

Perkalian titik: u . v = skalar

Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit

antara u dan v

||u|| ||v|| cos jika u 0 dan v 0

u . v =

0 jika u = 0 atau v = 0

Catatan: u dan v saling tegak lurus ( = 90o & cos = 0) u . v = 0

Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal

bilqis 35

Perkalian titik: u . v = skalar

Vektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit

antara u dan v

Catatan: u, v Ruang-2 → u = (u1, u2), v = (v1, v2)

u, v Ruang-3 → u = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)

Formula lain untuk u . v :

Ruang-2: u . v = u1v1 + u2v2

Ruang-3: u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3

bilqis 36

Contoh :

1. Misal u = (1, 2, 3) dan v = (–2, 1, 3)

Maka u.v = –2 + 2 + 9 = 9

2. Dari soal nomor 1, hitunglah sudut antara u dan v

|| u || = 14 dan || v || = 14

u . v = || u || || v || cos = 9 di mana adalah sudut antara u dan v

cos = 9 / 14

= arccos (9/14)

bilqis 37

Teorema 3.3.1 – 3.3.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3

1. v.v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2

2. Jika u 0, v 0 dan mengapit sudut , maka

❑ lancip u .v 0

❑ tumpul u .v 0

❑ = 90o u .v = 0

3. u . v = v . u

4. u . (v + w) = u .v + u .w

5. Jika k adalah skalar, maka k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

6. v .v 0 jika v 0 dan v . v = 0 jika v = 0

bilqis 38

Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:

Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3

1. v.v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2

Bukti: v . v = ||v|| ||v|| cos 0o v . v = v1v1 + v2v2

= ||v|| ||v|| (1) = ||v||2 = v12 + v2

2

= ||v||2 = ||v||2

3. u . v = v . u

Bukti: u . v = ||u|| ||v|| cos

= ||v|| ||u|| cos

= v . u

bilqis 39

Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3

4. u . (v + w) = u .v + u .w

Bukti: u . (v + w) = (u1, u2 , u3) . (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

= u1(v1+w1) + u2(v2+w2) + u3(v3+w3)

= (u1v1+u1w1) + (u2v2+u2w2) + (u3v3+u3w3)

= (u1v1+u2v2+ u3v3) + (u1w1 + u2w2+u3w3)

= u .v + u .w

5. Jika k adalah skalar maka k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

Bukti: k(u . v) = k(u1v1 + u2v2 + u3v3) ………….

= (ku1v1 + ku2v2 + ku3v3) = (u1kv1 + u2kv2 + u3kv3)

= (ku1)v1 + (ku2)v2 + (ku3)v3 = u1(kv1) + u2(kv2) + u3(kv3)

= (ku) . v = u . (kv)

bilqis 40

Bukti Teorema 3.3.1 – 3.3.2:

Vektor v di Ruang-2 atau di Ruang-3

6. v .v 0 jika v 0 dan

v . v = 0 (skalar) jika v = 0 (vektor)

Bukti: v 0 = (v1, v2, v3)

v . v = v1v1 + v2v2 + v3v3 = v12 + v2

2 + v32

karena vi2 selalu > 0 maka v . v > 0

v = 0 = (0, 0, 0)

maka v . v = 0

bilqis 41

Aplikasi Teorema 3.3.1:

Vektor-vektor u, v di Ruang-2 atau di Ruang-3

2. jika u 0, v 0 dan mengapit sudut , maka

lancip u .v 0

tumpul u .v 0

= 90o u .v = 0

Contoh :

Jika u = (1, –2, 3), v = (–3, 4, 2), w = (3, 6, 3)

maka u.v = – 3 – 8 + 6 = –5

v.w = – 9 + 24 + 6 = 21

u.w = 3 – 12 + 9 = 0

Oleh karena itu,

u dan v membentuk suatu sudut tumpul

v dan w membentuk suatu sudut lancip

u dan w saling tegak lurus

bilqis 42

Proyeksi Ortogonal:

w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a

= komponen vektor u di sepanjang vektor a

w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a

u

aw1

w2u

u

a

a w1

w1

w2

w2

bilqis 43

Proyeksi Ortogonal:

u

w1

w2

a

w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a

w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a

w1 = ( u . a / || a ||2 ) a w2 = u – ( u . a / || a ||2 ) a

Bukti: w1 = ( k ) a → k = ( u . a / || a ||2 ) ?

u = w1 + w2 = k a + w2

u . a = (k a + w2) . a

= ka . a + w2 . a

= k || a ||2 + 0 = k || a ||2

k = ( u . a ) / || a ||2

Norm vektor w1 : || w1 || = | u . a | || a || / || a ||2 = | u . a | / || a ||

bilqis 44

Contoh

Anggap u = (2, –1, 3) dan a = (4, –1, 2).

Tentukan :

Proyeksi ortogonal vektor u pada vektor a

Komponen vektor u yang orthogonal terhadap a

Penyelesaian:

u . a = 8 + 1 + 6 = 15

||a||2 = 21

maka :

w1 = proya u = ( u . a / ||a||2 ) a = (15/21) (4, –1,2) = (20/7, –5/7, 10/7)

w2 = u – proya u = (–6/7, –2/7, 11/7)

bilqis 45

Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax + by + c = 0

g : ax + by + c = 0

n

Q (x1, y1)

Vektor n = (a, b) ortogonal garis g

Bukti bahwa n = (a, b) ortogonal garis g

R(x2, y2)*

* Vektor QR = (x2 – x1, y2 – y1)

Dengan perkalian titik: n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1)

R terletak pada garis g, maka: ax2 + by2 + c = 0

Q terletak pada garis g, maka: ax1 + by1 + c = 0

a(x2 – x1) + b (y2 – y1) + 0 = 0

Jadi, n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1) = 0

artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n

ortogonal garis g (terbukti)

bilqis

46

Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax + by + c = 0

g: ax + by + c = 0

n

Po (xo, yo)Q (x1, y1)

Vektor QPo = (xo– x1, yo – y1)

( vektor QPo seperti vektor u;

vektor n seperti vektor a

vektor d seperti vektor w1)

jarak dari titik Po ke garis g = || d ||

d

|| w1 || = | u . a | / || a ||

|| d || = | QPo . n | / ||n|| = |(xo– x1, yo – y1) . (a, b)| / (a2 + b2)

= | (xo– x1)a +(yo – y1)b) | / (a2 + b2) = | xoa – x1a + yo b – y1b | / (a2 + b2)

tetapi Q terletak di g, maka ax1 + by1 + c = 0 atau c = – ax1 – by1

Maka || d || = | axo + byo – ax1 – by1| / (a2 + b2)

|| d || = | axo + byo + c| / (a2 + b2)

bilqis 47

Contoh (1) :

Hitunglah jarak antara titik (1, –2) ke garis 3x + 4y – 6 = 0

Penyelesaian :

Contoh (2) :

Hitunglah jarak antara titik (1, – 2) ke garis 2 = 4y – 2x

Penyelesaian : garis diubah menjadi – 2x + 4y – 2 = 0

d = = =

5

11

25

11

43

6)2.4(1.3

22=

−=

+

−−+=D

| (–2)(1) +(4)(– 2) – 2 | | –12 | 12

(–2)2 + (4)2 20 20

bilqis 48

Ruang-n Euclidean

(Euclidean n-space)

bilqis 49

Review: Bab 3 membahas Ruang-2 dan Ruang-3

Ruang-n : himpunan yang beranggotakan vektor-

vektor dengan n komponen

{ … , v = (v1, v2, v3, v4, …, vn), ….. }

• Atribut: arah dan “panjang” / norma ||v||

• Aritmatika vektor-vektor di Ruang-n:

1. Penambahan vektor

2. Perkalian vektor dengan skalar

3. Perkalian vektor dengan vektor

bilqis 50

Norma sebuah vektor:Norma Euclidean (Euclidean norm) di Ruang-n :

u = (u1, u2, u3, … , un)

||u|| = u12 + u2

2 + u32 + … + un

2

d(u,v) = ||u-v| |= (u1-v1)2 + (u2-v2)

2 + (u3-v3)2 + … + (un-vn)

2

bilqis 51

Ex. 3 hal 171

Example 3.

If u = (1, 3, -2, 7) and v = (0, 7, 2, 2) then in the Euclidean

space R2.

||u|| = = =

And

d(u,v) = =

2222 )7()2()3()1( +−++

2222 )27()22()73()01( −+−−+−+−

63 73

58

bilqis 52

Contoh:Hitunglah Eucledian norm dari vektor-vektor berikut :

(a) x = (3, 4, 0, –12)

(b) v = (–2, 1, 1, –3, 4)

(a) || x || = 9 + 16 + 0 + 144 = 169 = 13

(b) || v || = 4 + 1 + 1 + 9 + 16 = 31

bilqis 53

Penambahan vektor: di Ruang-nu = (u1, u2 , u3, …, un); v = (v1, v2 , v3, …, vn)

w = (w1, w2 , w3, …, wn) = u + v

w = (u1, u2 , u3, …, un) + (v1, v2 , v3, …, vn)

w = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, …, un + vn)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

………..

w2 = un + vn

bilqis 54

Negasi suatu vektor:

u = (u1, u2 , u3, …, un)

– u = (– u1, – u2 , – u3, …, – un)

Selisih dua vektor:

w = u – v = u + (– v)

= (u1 – v1, u2 – v2, u3 – v3, …, un – vn)

Vektor nol: 0 = (01, 02 , 03, …, 0n)

bilqis 55

Perkalian skalar dengan vektor:

w = kv = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

(w1, w2 , w3,…, wn) = (kv1, kv2 , kv3 , …, kvn)

w1= kv1

w2 = kv2

…..…

wn = kvn

bilqis 56

Perkalian titik: (perkalian Euclidean)

u . v = skalar

u . v = u1v1 + u2v2 + u3v3 + … + unvn

u . v = 0 jika u dan v ortogonal

Catatan: perkalian silang hanya di Ruang-3

bilqis 57

Ex.1 hal 169

Example 1

The Euclidean inner product of the vectors

u = (-1, 3, 5, 7) and v = (5, -4, 7, 0)

is R4 is

u.v = (-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0) = 18

bilqis 58

Contoh:

Hitunglah perkalian Eucledian u . v

di mana u = (0, –2, 1, 1) dan v = (–3, 2, 4, 4)

u . v = (0)(–3) + (–2)(2) + (1)(4) + (1)(4)

= 4

bilqis 59

Aritmatika vektor di Ruang-n:

Teorema 4.1.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-n

k, l adalah skalar (bilangan real)

• u + v = v + u

• (u + v) + w = u + (v + w)

• u + 0 = 0 + u = u

• u + (-u) = (-u) + u = 0

• k(lu) = (kl)u

• k(u + v) = ku + kv

• (k + l) u = ku + lu

• 1u = u

bilqis 60

Teorema 4.1.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-n; k adalah

skalar

• u . v = v . u

• u . (v + w) = u .v + u .w

• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

• v .v 0 jika v 0

v . v = 0 jika dan hanya jika v = 0

bilqis 61

Ex. 2 hal 170

Example 2 Theorem 4.1.2 aloows us to perform

computation with Euclidean inner products in much the

same way that we perform them with ordinary arithmetic

products. For Exmple,

(3u + 2v).(4u + v) = (3u).(4u + v) + (2v).(4u + v)

= (3u).(4u) + (3u).v + (2v).(4u) + (2v).(v)

= 12(u.u) + 3(u.v) + 8(v.u) + 2(v.v)

= 12(u.u) + 11(u.v) + 2(v.v)

The reader should determine which parts of Theorm 4.1.2

were used in each step

bilqis 62

Teorema 4.1.3 - 4.1.5:

| u . v | || u || || v ||

|| u || 0

|| u || 0 jika dan hanya jika u = 0

|| ku || = | k | || u ||

|| u + v || || u || + || v ||

d(u, v) 0

d(u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v

d(u, v) = d(v, u)

d(u, v) d(u, w) + d(w, v)

bilqis 63

Fig. 2 hal 173

kv

v

(a)

Figure 2 ||kv|| = ||k||||v||

u + v v

u

(b)

||u+v|| ||u|| + ||v||

bilqis 64

Fig. 3 hal 173

w

v

u

d(u,w) d(u,v) + d(v,w)

bilqis 65

Teorema 4.1.6 – 4.1.7:

u . v = ¼ || u + v || 2 – ¼ || u – v || 2

Teorema Pythagoras

➔ jika u ortogonal v

|| u + v || 2 = || u || 2 + || v || 2

u

v u + v

bilqis 66

Ex. 4 hal 174

Example 4 In the Euclidean space R2 the vectors

u = (-2, 3, 1, 4) and v = (1, 2, 0, -1)

are orthogonal, since

u.v = (-2)(1) + (3)(2) + (1)(0) + (4)(1)

Contoh soal No. 1

bilqis 67

bilqis 68

Contoh soal No. 2

bilqis 69

bilqis 70

Contoh soal no. 3

bilqis 71

bilqis 72

Contoh soal No. 4

bilqis 73

bilqis 74

Contoh soal No. 5

bilqis 75

bilqis 76

• Tugas Kelompok ➔

– cari 2 soal dan jawaban di internet yang

berhubungan dengan materi ppt ini

– Tulis alamat internetnya

– Di kirim ke elearning, terakhir ➔

• Minggu depan

• Format ➔ subject ➔

– Alin-B-melati

– Bentuk ➔ ppt ➔ informasi nama kelompok

+ anggota

bilqis 77